Class 7 : गणित – अध्याय 8 : भिन्नों के साथ कार्य करना
व्याख्या और विवेचन
🌟 🔵 प्रस्तावना
🟢 हमारे दैनिक जीवन में भिन्नों का बहुत अधिक उपयोग होता है।
🟡 जब हम कहते हैं कि आधी रोटी, चौथाई किलो फल, तीन-चौथाई मीटर कपड़ा या किसी काम का 2/5 भाग पूरा हुआ, तब हम भिन्नों का ही प्रयोग कर रहे होते हैं।
🔴 इसलिए भिन्न केवल पुस्तक का विषय नहीं है, बल्कि जीवन का भी बहुत महत्वपूर्ण भाग है।
🟣 इस अध्याय “भिन्नों के साथ कार्य करना” में हम सीखते हैं कि
➡️ भिन्न क्या है
➡️ समतुल्य भिन्न कैसे बनते हैं
➡️ भिन्नों की तुलना कैसे करते हैं
➡️ भिन्नों को जोड़ना और घटाना कैसे होता है
➡️ भिन्न का गुणा और भाग कैसे किया जाता है
➡️ और भिन्नों को सरल रूप में कैसे लिखा जाता है
💡 अवधारणा:
भिन्न किसी संपूर्ण वस्तु या राशि के भाग को व्यक्त करता है।
✏️ ध्यान दें:
यदि किसी संख्या को a/b के रूप में लिखा गया है, तो
🔹 a अंश है
🔹 b हर है
🔹 और b ≠ 0 होना चाहिए
🌈 🔵 भिन्न का अर्थ
🟢 भिन्न किसी पूर्ण वस्तु के बराबर भागों में से कुछ भागों को दर्शाता है।
🟣 जैसे 3/4 का अर्थ है कि किसी वस्तु को 4 बराबर भागों में बाँटा गया है और उनमें से 3 भाग लिए गए हैं।
🔸 उदाहरण:
🔹 1/2 = दो बराबर भागों में से एक भाग
🔹 3/5 = पाँच बराबर भागों में से तीन भाग
🔹 7/8 = आठ बराबर भागों में से सात भाग
🧠 इससे स्पष्ट होता है कि हर हमें कुल बराबर भागों की संख्या बताता है और अंश हमें लिए गए भागों की संख्या बताता है।
✏️ ध्यान दें:
भिन्न तभी सही अर्थ देता है जब बाँट बराबर भागों में किया गया हो।
🌟 🔵 भिन्नों के प्रकार
🟡 भिन्न कई प्रकार के होते हैं और हर प्रकार का अपना उपयोग है।
🔹 उचित भिन्न
जिसमें अंश, हर से छोटा हो
जैसे: 3/7, 5/9
🔹 अनुचित भिन्न
जिसमें अंश, हर के बराबर या उससे बड़ा हो
जैसे: 7/5, 9/9, 11/4
🔹 मिश्र भिन्न
जिसमें एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न साथ हो
जैसे: 2 1/3, 4 5/7
🔹 इकाई भिन्न
जिसमें अंश 1 हो
जैसे: 1/2, 1/9, 1/15
💡 अवधारणा:
उचित भिन्न 1 से छोटा होता है, जबकि अनुचित भिन्न 1 के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है।
🌟 🔵 मिश्र भिन्न और अनुचित भिन्न में परिवर्तन
🟢 कई बार हमें मिश्र भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना पड़ता है और कभी अनुचित भिन्न को मिश्र भिन्न में।
🔸 मिश्र भिन्न से अनुचित भिन्न
मान लीजिए 2 3/5 को अनुचित भिन्न में बदलना है।
🔹 पूर्ण संख्या = 2
🔹 हर = 5
🔹 अंश = 3
🔹 नया अंश = (2 x 5) + 3
🔹 = 10 + 3
🔹 = 13
🔹 इसलिए
2 3/5 = 13/5
🔸 अनुचित भिन्न से मिश्र भिन्न
मान लीजिए 17/4 को मिश्र भिन्न में बदलना है।
🔹 17 ÷ 4 = 4 शेष 1
🔹 इसलिए
17/4 = 4 1/4
✏️ ध्यान दें:
मिश्र भिन्न में हर वही रहता है।
🌟 🔵 समतुल्य भिन्न
🟣 ऐसे भिन्न जो देखने में अलग हों लेकिन मान में बराबर हों, समतुल्य भिन्न कहलाते हैं।
उदाहरण:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
🔹 यदि हम किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करें, तो समतुल्य भिन्न मिलता है।
जैसे:
3/5 को 2 से गुणा करें:
(3 x 2)/(5 x 2) = 6/10
अतः
3/5 = 6/10
🔹 यदि अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से भाग दें, तब भी समतुल्य भिन्न मिलता है।
जैसे:
8/12 को 4 से भाग दें:
(8 ÷ 4)/(12 ÷ 4) = 2/3
अतः
8/12 = 2/3
💡 अवधारणा:
समतुल्य भिन्नों का मान समान रहता है, केवल रूप बदलता है।
🌟 🔵 भिन्न का सरलतम रूप
🟢 जब किसी भिन्न के अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई समान गुणनखण्ड न बचे, तब वह भिन्न अपने सरलतम रूप में होता है।
उदाहरण:
12/18
🔹 12 और 18 दोनों 6 से विभाजित होते हैं।
🔹 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6)
🔹 = 2/3
अब 2 और 3 में 1 के अतिरिक्त कोई समान गुणनखण्ड नहीं है।
🔹 इसलिए 2/3 इसका सरलतम रूप है।
✏️ ध्यान दें:
भिन्न को सरलतम रूप में लिखना गणना को आसान बनाता है।
🌟 🔵 भिन्नों की तुलना
🟡 यह जानना बहुत जरूरी है कि दो भिन्नों में कौन बड़ा है और कौन छोटा।
भिन्नों की तुलना अलग-अलग स्थितियों में अलग ढंग से की जाती है।
🔸 जब हर समान हो
यदि दो भिन्नों के हर समान हों, तो जिसका अंश बड़ा होगा, वही भिन्न बड़ा होगा।
उदाहरण:
5/9 और 7/9
🔹 दोनों का हर 9 है
🔹 7 > 5
अतः
7/9 > 5/9
🔸 जब अंश समान हो
यदि दो भिन्नों के अंश समान हों, तो जिसका हर छोटा होगा, वही भिन्न बड़ा होगा।
उदाहरण:
3/4 और 3/7
🔹 दोनों का अंश 3 है
🔹 4 < 7
अतः
3/4 > 3/7
💡 अवधारणा:
एक ही संख्या के अधिक भाग करने पर हर भाग छोटा हो जाता है। इसलिए समान अंश की स्थिति में छोटा हर बड़ा भिन्न देता है।
🌟 🔵 असमान हर वाले भिन्नों की तुलना
🟢 जब हर अलग-अलग हों, तब हम समहर बनाकर तुलना करते हैं।
उदाहरण:
2/3 और 3/5 की तुलना करें।
🔹 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य = 15
🔹 2/3 = (2 x 5)/(3 x 5) = 10/15
🔹 3/5 = (3 x 3)/(5 x 3) = 9/15
अब
10/15 > 9/15
अतः
2/3 > 3/5
✏️ ध्यान दें:
तुलना के लिए समहर बनाना बहुत उपयोगी विधि है।
🌟 🔵 भिन्नों का जोड़
🟣 भिन्नों को जोड़ते समय यह देखना पड़ता है कि उनके हर समान हैं या नहीं।
🔸 समान हर वाले भिन्नों का जोड़
उदाहरण:
2/7 + 3/7
🔹 हर समान है, इसलिए अंश जोड़ेंगे।
🔹 = (2 + 3)/7
🔹 = 5/7
🔸 असमान हर वाले भिन्नों का जोड़
उदाहरण:
1/4 + 2/3
🔹 4 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य = 12
🔹 1/4 = 3/12
🔹 2/3 = 8/12
🔹 अब जोड़ें:
3/12 + 8/12 = 11/12
अतः
1/4 + 2/3 = 11/12
💡 अवधारणा:
भिन्नों को जोड़ने से पहले हर समान करना आवश्यक है, यदि हर पहले से समान न हो।
🌟 🔵 भिन्नों का घटाव
🟢 भिन्नों के घटाव में भी वही नियम काम करता है जो जोड़ में।
🔸 समान हर वाले भिन्नों का घटाव
उदाहरण:
6/11 – 2/11
🔹 = (6 – 2)/11
🔹 = 4/11
🔸 असमान हर वाले भिन्नों का घटाव
उदाहरण:
5/6 – 1/4
🔹 6 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य = 12
🔹 5/6 = 10/12
🔹 1/4 = 3/12
🔹 अब घटाएँ:
10/12 – 3/12 = 7/12
अतः
5/6 – 1/4 = 7/12
✏️ ध्यान दें:
घटाव के बाद यदि भिन्न सरल हो सकता हो, तो उसे सरलतम रूप में अवश्य लिखें।
🌟 🔵 मिश्र भिन्नों का जोड़ और घटाव
🟡 मिश्र भिन्नों के साथ कार्य करते समय दो विधियाँ उपयोगी होती हैं।
🔹 पहले उन्हें अनुचित भिन्न में बदलो
या
🔹 पूर्ण भाग और भिन्न भाग को अलग-अलग सँभालो
उदाहरण:
2 1/3 + 1 1/6
पहले अनुचित भिन्न में बदलते हैं:
🔹 2 1/3 = 7/3
🔹 1 1/6 = 7/6
अब समहर बनाते हैं:
🔹 7/3 = 14/6
🔹 14/6 + 7/6 = 21/6
🔹 = 7/2
🔹 = 3 1/2
अतः
2 1/3 + 1 1/6 = 3 1/2
🌟 🔵 भिन्न का पूर्ण संख्या से गुणा
🟢 यदि किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना हो, तो हम अंश को उस संख्या से गुणा कर देते हैं।
उदाहरण:
3 x 2/5
🔹 = (3 x 2)/5
🔹 = 6/5
🔹 = 1 1/5
अतः
3 x 2/5 = 1 1/5
🔸 एक और उदाहरण:
7 x 3/8
🔹 = 21/8
🔹 = 2 5/8
💡 अवधारणा:
पूर्ण संख्या को n/1 मानकर भी गुणा समझा जा सकता है।
🌟 🔵 भिन्न का भिन्न से गुणा
🟣 दो भिन्नों का गुणा करते समय
अंश x अंश
और
हर x हर
किया जाता है।
उदाहरण:
2/3 x 5/7
🔹 = (2 x 5)/(3 x 7)
🔹 = 10/21
उदाहरण:
4/5 x 3/8
🔹 = (4 x 3)/(5 x 8)
🔹 = 12/40
🔹 = 3/10
✏️ ध्यान दें:
यदि संभव हो तो गुणा से पहले या बाद में भिन्न को सरल करें।
🌟 🔵 भिन्न का भिन्न से भाग
🟡 भिन्न का भाग सीखना बहुत महत्वपूर्ण है।
नियम है:
किसी भिन्न से भाग करना = उसके व्युत्क्रम से गुणा करना
यदि
a/b ÷ c/d
तो
a/b x d/c
उदाहरण:
3/4 ÷ 2/5
🔹 = 3/4 x 5/2
🔹 = 15/8
🔹 = 1 7/8
अतः
3/4 ÷ 2/5 = 1 7/8
उदाहरण:
5/6 ÷ 10/9
🔹 = 5/6 x 9/10
🔹 = 45/60
🔹 = 3/4
💡 अवधारणा:
भाग में दूसरा भिन्न उलट जाता है और फिर गुणा किया जाता है।
🌟 🔵 व्युत्क्रम क्या है
🟢 किसी भिन्न का व्युत्क्रम पाने के लिए अंश और हर को आपस में बदल देते हैं।
उदाहरण:
🔹 3/7 का व्युत्क्रम = 7/3
🔹 5/9 का व्युत्क्रम = 9/5
लेकिन 0 का व्युत्क्रम नहीं होता।
✏️ ध्यान दें:
भाग की क्रिया में व्युत्क्रम का प्रयोग बहुत आवश्यक है।
🌟 🔵 शब्द समस्याओं में भिन्न
🟣 भिन्नों का वास्तविक महत्व तब और स्पष्ट होता है जब हम उन्हें शब्द समस्याओं में उपयोग करते हैं।
उदाहरण:
एक रस्सी की लंबाई 3/4 मीटर है। उसका 2/3 भाग कितना होगा?
🔹 हमें 2/3 of 3/4 ज्ञात करना है।
🔹 = 2/3 x 3/4
🔹 = 6/12
🔹 = 1/2
अतः
रस्सी का 2/3 भाग = 1/2 मीटर
उदाहरण:
एक विद्यार्थी ने पुस्तक का 2/5 भाग सोमवार को और 1/5 भाग मंगलवार को पढ़ा। उसने कुल कितना भाग पढ़ा?
🔹 2/5 + 1/5 = 3/5
अतः
उसने कुल 3/5 भाग पढ़ा।
🧠 इससे स्पष्ट है कि भिन्न जीवन से जुड़ी समस्याओं को हल करने में भी सहायक हैं।
🌟 🔵 भिन्नों में सामान्य भूलें
🔴 विद्यार्थी भिन्नों में कुछ सामान्य भूलें कर बैठते हैं।
इनसे बचना बहुत जरूरी है।
🔹 भूल 1:
असमान हर वाले भिन्नों को सीधे जोड़ देना
जैसे
1/2 + 1/3 = 2/5 लिख देना
यह गलत है।
सही विधि:
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
अतः
1/2 + 1/3 = 5/6
🔹 भूल 2:
भाग में दूसरे भिन्न को व्युत्क्रम करना भूल जाना
🔹 भूल 3:
सरलतम रूप में उत्तर न लिखना
🔹 भूल 4:
मिश्र भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलते समय गलत अंश लेना
✏️ ध्यान दें:
भिन्नों के प्रश्नों में सावधानी, क्रमबद्धता और सरलकरण बहुत महत्वपूर्ण हैं।
🌟 🔵 अध्याय का सारभूत महत्व
🟢 यह अध्याय गणित की आधारभूत समझ को मजबूत करता है।
🟡 भिन्नों के साथ सही ढंग से काम करना आगे चलकर दशमलव, अनुपात, प्रतिशत, बीजगणित और मापन जैसे अनेक विषयों में बहुत काम आता है।
🟣 इसलिए यह अध्याय केवल एक अलग पाठ नहीं, बल्कि आगे की गणित की तैयारी भी है।
💡 अवधारणा:
यदि विद्यार्थी भिन्नों को अच्छी तरह समझ ले, तो आगे की अनेक गणितीय क्रियाएँ सरल हो जाती हैं।
🌟 🔵 समापन
🔵 “भिन्नों के साथ कार्य करना” अध्याय हमें यह सिखाता है कि किसी संपूर्ण वस्तु के भागों को गणितीय रूप से कैसे समझें और उन पर क्रियाएँ कैसे करें।
🟢 इसमें हम भिन्नों के प्रकार, समतुल्य भिन्न, सरलतम रूप, तुलना, जोड़, घटाव, गुणा और भाग सभी को व्यवस्थित रूप से सीखते हैं।
🟡 साथ ही हम यह भी समझते हैं कि भिन्न केवल पुस्तकीय नियम नहीं हैं, बल्कि जीवन के वास्तविक अनुभवों से जुड़े हुए हैं।
🔴 इस अध्याय का अभ्यास विद्यार्थी में तर्क, सावधानी, क्रमबद्ध गणना और समस्या-समाधान की क्षमता विकसित करता है।
✏️ ध्यान दें:
भिन्नों में सफलता का सबसे अच्छा मार्ग है —
➡️ हर को ध्यान से देखना
➡️ सही समहर बनाना
➡️ क्रिया के नियम याद रखना
➡️ और उत्तर को सरलतम रूप में लिखना
💡 अवधारणा:
भिन्न गणित की भाषा का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, जो हमें “भाग” को सही अर्थ में समझना सिखाते हैं।
सारांश
🟢 भिन्न किसी पूर्ण वस्तु या राशि के बराबर भागों में से कुछ भागों को दर्शाता है।
🟡 a/b के रूप में लिखे भिन्न में a अंश और b हर होता है, जहाँ b = 0 नहीं हो सकता।
🟣 उचित, अनुचित, मिश्र और इकाई भिन्न भिन्नों के मुख्य प्रकार हैं।
🔵 मिश्र भिन्न को अनुचित भिन्न में और अनुचित भिन्न को मिश्र भिन्न में बदला जा सकता है।
🔴 समतुल्य भिन्न वे हैं जिनका मान समान होता है, भले ही उनका रूप अलग हो।
🟠 किसी भिन्न को सरलतम रूप में लाने के लिए अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग दिया जाता है।
🟤 समान हर वाले भिन्नों की तुलना और जोड़-घटाव आसान होते हैं, जबकि असमान हर वाले भिन्नों के लिए पहले समहर बनाना पड़ता है।
🔷 भिन्न का पूर्ण संख्या से गुणा, भिन्न से गुणा, और भिन्न से भाग विशेष नियमों के अनुसार किया जाता है।
🔶 भाग की क्रिया में दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा किया जाता है।
🌟 भिन्नों की समझ वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने और आगे की गणित के लिए बहुत आवश्यक है।
📝 त्वरित पुनरावृत्ति
🔹 भिन्न = अंश/हर, जहाँ हर 0 नहीं होता।
🔸 समतुल्य भिन्नों का मान समान होता है।
🔹 जोड़-घटाव में असमान हर होने पर पहले समहर बनाते हैं।
🔸 गुणा में अंश x अंश और हर x हर करते हैं।
🔹 भाग में दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा करते हैं।
🔸 उत्तर को यथासंभव सरलतम रूप में लिखना चाहिए।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🔒 ❓ प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मूल्यांकित कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 (क) 3 ÷ 7/9
🔹 = 3 × 9/7
🔹 = 27/7
🔸 अंतिम उत्तर: 27/7
🔹 (ख) 14/4 ÷ 2
🔹 = 14/4 × 1/2
🔹 = 14/8
🔹 = 7/4
🔸 अंतिम उत्तर: 7/4
🔹 (ग) 2/3 ÷ 2/3
🔹 = 2/3 × 3/2
🔹 = 1
🔸 अंतिम उत्तर: 1
🔹 (घ) 14/6 ÷ 7/3
🔹 = 14/6 × 3/7
🔹 = 14×3 / 6×7
🔹 = 2×3 / 6
🔹 = 1
🔸 अंतिम उत्तर: 1
🔹 (ङ) 4/3 ÷ 3/4
🔹 = 4/3 × 4/3
🔹 = 16/9
🔸 अंतिम उत्तर: 16/9
🔹 (च) 7/4 ÷ 1/7
🔹 = 7/4 × 7/1
🔹 = 49/4
🔸 अंतिम उत्तर: 49/4
🔹 (छ) 8/2 ÷ 4/15
🔹 = 4 ÷ 4/15
🔹 = 4 × 15/4
🔹 = 15
🔸 अंतिम उत्तर: 15
🔹 (ज) 1/5 ÷ 1/9
🔹 = 1/5 × 9/1
🔹 = 9/5
🔸 अंतिम उत्तर: 9/5
🔹 (झ) 1/6 ÷ 11/12
🔹 = 1/6 × 12/11
🔹 = 12/66
🔹 = 2/11
🔸 अंतिम उत्तर: 2/11
🔹 (ञ) 3 2/3 ÷ 1 3/8
🔹 3 2/3 = 11/3
🔹 1 3/8 = 11/8
🔹 = 11/3 ÷ 11/8
🔹 = 11/3 × 8/11
🔹 = 8/3
🔸 अंतिम उत्तर: 8/3
🔒 ❓ प्रश्न 2.
नीचे दिए गए प्रत्येक प्रश्न के लिए उस व्यंजक को चुनिए जो हल का वर्णन करता हो। फिर उसे सरल कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 (क) मारिया ने विद्यालय के लिए बनाए गए थैलों को सजाने के लिए 8 मीटर फीता खरीदा। उसने प्रत्येक थैले के लिए 1/4 मीटर फीते का उपयोग किया और सारा फीता खत्म कर दिया। उसने कितने थैलों को सजाया?
🔹 कुल फीता = 8 मीटर
🔹 एक थैले के लिए फीता = 1/4 मीटर
🔹 थैलों की संख्या = 8 ÷ 1/4
🔹 सही व्यंजक = (iii) 8 ÷ 1/4
अब सरल कीजिए—
🔹 8 ÷ 1/4
🔹 = 8 × 4
🔹 = 32
🔸 अंतिम उत्तर: 32 थैले
🔹 (ख) 8 बिल्ले बनाने के लिए 1/2 मीटर फीते का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक बिल्ला बनाने के लिए उपयोग किए गए फीते की लंबाई क्या है?
🔹 कुल फीता = 1/2 मीटर
🔹 बिल्लों की संख्या = 8
🔹 एक बिल्ले के लिए फीता = 1/2 ÷ 8
🔹 सही व्यंजक = (iv) 1/2 ÷ 8
अब सरल कीजिए—
🔹 1/2 ÷ 8
🔹 = 1/2 × 1/8
🔹 = 1/16
🔸 अंतिम उत्तर: 1/16 मीटर
🔹 (ग) एक रोटी बनाने वाले को बड़ी रोटी बनाने के लिए 1/6 किलोग्राम आटे की आवश्यकता होती है। उसके पास 5 कि.ग्रा. आटा है। उससे वह कितनी रोटियाँ बना सकता है?
🔹 कुल आटा = 5 कि.ग्रा.
🔹 एक रोटी के लिए आटा = 1/6 कि.ग्रा.
🔹 रोटियों की संख्या = 5 ÷ 1/6
🔹 सही व्यंजक = (iii) 5 ÷ 1/6
अब सरल कीजिए—
🔹 5 ÷ 1/6
🔹 = 5 × 6
🔹 = 30
🔸 अंतिम उत्तर: 30 रोटियाँ
🔒 ❓ प्रश्न 3.
यदि 12 रोटियाँ बनाने के लिए 1/4 कि.ग्रा. आटे का उपयोग किया जाता है तो 6 रोटियाँ बनाने के लिए कितना आटा उपयोग होता है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 12 रोटियों के लिए आटा = 1/4 कि.ग्रा.
🔹 6 रोटियाँ, 12 रोटियों का आधा है।
🔹 इसलिए आवश्यक आटा भी आधा होगा।
🔹 6 रोटियों के लिए आटा
🔹 = 1/4 ÷ 2
🔹 = 1/4 × 1/2
🔹 = 1/8
🔸 अंतिम उत्तर: 1/8 कि.ग्रा. आटा
🔒 ❓ प्रश्न 4.
नौवीं शताब्दी ई. में श्रीधराचार्य द्वारा लिखित पुस्तक पाटीगणित में इस समस्या का उल्लेख है, “मित्र! सोचकर बताइए कि 1 ÷ 1/6, 1 ÷ 1/10, 1 ÷ 1/13, 1 ÷ 1/9 और 1 ÷ 1/2 को एक साथ जोड़ने पर क्या प्राप्त होगा?” मित्र का क्या उत्तर होगा?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 हमें निम्नलिखित मानों का योग ज्ञात करना है—
🔹 1 ÷ 1/6
🔹 1 ÷ 1/10
🔹 1 ÷ 1/13
🔹 1 ÷ 1/9
🔹 1 ÷ 1/2
अब एक-एक करके हल करते हैं—
🔹 1 ÷ 1/6
🔹 = 1 × 6/1
🔹 = 6
🔹 1 ÷ 1/10
🔹 = 1 × 10/1
🔹 = 10
🔹 1 ÷ 1/13
🔹 = 1 × 13/1
🔹 = 13
🔹 1 ÷ 1/9
🔹 = 1 × 9/1
🔹 = 9
🔹 1 ÷ 1/2
🔹 = 1 × 2/1
🔹 = 2
अब इन सबका योग—
🔹 6 + 10 + 13 + 9 + 2
🔹 = 16 + 13 + 9 + 2
🔹 = 29 + 9 + 2
🔹 = 38 + 2
🔹 = 40
🔸 अतः मित्र का उत्तर होगा: 40
🔒 ❓ प्रश्न 5.
मीरा एक उपन्यास पढ़ रही है, जिसमें 400 पृष्ठ हैं। उसने कल पृष्ठों का 1/5 भाग पढ़ा और आज कुल पृष्ठों का 3/10 भाग पढ़ा। उपन्यास को पूरा पढ़ने के लिए उसे अभी और कितने पृष्ठों को पढ़ने की आवश्यकता है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 कुल पृष्ठ = 400
🔹 कल पढ़ा गया भाग = 1/5
🔹 कल पढ़े गए पृष्ठ
🔹 = 1/5 × 400
🔹 = 400/5
🔹 = 80
🔹 आज पढ़ा गया भाग = 3/10
🔹 आज पढ़े गए पृष्ठ
🔹 = 3/10 × 400
🔹 = 120
अब कुल पढ़े गए पृष्ठ—
🔹 80 + 120
🔹 = 200
अब शेष पृष्ठ—
🔹 400 – 200
🔹 = 200
🔸 अतः मीरा को उपन्यास पूरा पढ़ने के लिए अभी 200 पृष्ठ और पढ़ने हैं।
🔒 ❓ प्रश्न 6.
एक कार 1 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके 16 कि.मी. चलती है। 2 3/4 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके यह कितनी दूर तक जाएगी?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1 लीटर पेट्रोल में चली दूरी = 16 कि.मी.
🔹 2 3/4 लीटर = 11/4 लीटर
🔹 अतः चली गई कुल दूरी
🔹 = 16 × 11/4
🔹 = 4 × 11
🔹 = 44
🔸 अंतिम उत्तर: 44 कि.मी.
🔒 ❓ प्रश्न 7.
अमृतपाल अपनी छुट्टियों के लिए एक गाँव का चयन करता है। यदि वह एक रेलगाड़ी से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 5 1/6 घंटे लगेंगे। यदि वह हवाई जहाज से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 1/2 घंटा लगेगा। हवाई जहाज द्वारा जाने से कितना समय बचेगा?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 रेलगाड़ी से समय = 5 1/6 घंटे
🔹 = 31/6 घंटे
🔹 हवाई जहाज से समय = 1/2 घंटा
🔹 = 3/6 घंटा
🔹 बचा हुआ समय
🔹 = 31/6 – 3/6
🔹 = 28/6
🔹 = 14/3
🔹 = 4 2/3 घंटे
🔸 अंतिम उत्तर: 4 2/3 घंटे
🔒 ❓ प्रश्न 8.
मरियम की दादी माँ एक केक बनाती हैं। मरियम और उसके चचेरे भाई केक का 4/5 भाग खा लेते हैं। शेष केक को मरियम की तीन सहेलियों द्वारा बराबर-बराबर बाँट लिया जाता है। प्रत्येक सहेली को केक का कितना भाग मिला?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 खाया गया केक = 4/5
🔹 शेष केक
🔹 = 1 – 4/5
🔹 = 1/5
🔹 यह शेष केक 3 सहेलियों में बराबर बाँटा गया।
🔹 प्रत्येक सहेली का भाग
🔹 = 1/5 ÷ 3
🔹 = 1/5 × 1/3
🔹 = 1/15
🔸 अंतिम उत्तर: 1/15 भाग
🔒 ❓ प्रश्न 9.
(565/465 × 707/676) के गुणनफल का वर्णन करने के लिए एक अथवा अधिक विकल्पों को चुनिए—
(क) > 565/465
(ख) < 565/465
(ग) > 707/676
(घ) < 707/676
(ङ) > 1
(च) < 1
📌 ✅ उत्तर:
पहले दोनों भिन्नों को देखते हैं—
🔹 565/465
🔹 यहाँ अंश > हर
🔹 इसलिए 565/465 > 1
🔹 707/676
🔹 यहाँ भी अंश > हर
🔹 इसलिए 707/676 > 1
अब नियम:
🔹 यदि दो संख्याएँ 1 से बड़ी हों, तो उनका गुणनफल
🔸 प्रत्येक संख्या से भी बड़ा होता है
🔸 और 1 से भी बड़ा होता है
अतः
🔹 (565/465 × 707/676) > 565/465 ✔️
🔹 (565/465 × 707/676) > 707/676 ✔️
🔹 (565/465 × 707/676) > 1 ✔️
🔸 इसलिए सही विकल्प हैं:
🔹 (क)
🔹 (ग)
🔹 (ङ)
📌 ✅ अंतिम उत्तर:
🔹 सही विकल्प = (क), (ग), (ङ)
🔒 ❓ प्रश्न 10.
पूरे वर्ग का कितना भाग छायांकित है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पूरा बड़ा वर्ग 4 बराबर छोटे वर्गों में बँटा हुआ है।
🔹 इसलिए प्रत्येक छोटा वर्ग, पूरे बड़े वर्ग का
🔹 = 1/4 भाग है।
🔹 छायांकित भाग नीचे-दाएँ छोटे वर्ग के भीतर है।
अब नीचे-दाएँ छोटे वर्ग को ध्यान से देखें—
🔹 इस छोटे वर्ग में एक रेखा ऊपरी-बाएँ कोने से अंदर वाले बिंदु तक गई है।
🔹 दूसरी रेखा ऊपरी-दाएँ कोने से उसी बिंदु तक गई है।
🔹 वह अंदर वाला बिंदु दाहिनी भुजा के मध्य पर है।
🔹 इस प्रकार नीचे-दाएँ छोटे वर्ग के भीतर 3 भाग बने हैं—
🔸 ऊपर एक त्रिभुज
🔸 दाहिनी ओर एक छोटा त्रिभुज
🔸 और बाईं-नीचे की ओर छायांकित भाग
अब छोटे वर्ग की भुजा = 1 मान लेते हैं।
तब
🔹 दाहिनी भुजा का मध्यबिंदु होने से ऊपर वाला भाग और नीचे वाला भाग, दाहिनी भुजा पर 1/2, 1/2 में बँटेंगे।
अब क्षेत्रफल निकालते हैं—
1. ऊपर वाला त्रिभुज
🔹 आधार = पूरे छोटे वर्ग की ऊपरी भुजा = 1
🔹 ऊँचाई = 1/2
🔹 क्षेत्रफल
🔹 = 1/2 × 1 × 1/2
🔹 = 1/4
2. दाहिनी ओर वाला छोटा त्रिभुज
🔹 आधार = दाहिनी भुजा का निचला आधा भाग = 1/2
🔹 ऊँचाई = नीचे की भुजा का आधा भाग = 1/2
🔹 क्षेत्रफल
🔹 = 1/2 × 1/2 × 1/2
🔹 = 1/8
3. अब छायांकित भाग
🔹 पूरे छोटे वर्ग का क्षेत्रफल = 1
🔹 इसलिए छायांकित भाग
🔹 = 1 – 1/4 – 1/8
🔹 = 1 – 2/8 – 1/8
🔹 = 1 – 3/8
🔹 = 5/8
अर्थात् छायांकित भाग, नीचे-दाएँ छोटे वर्ग का 5/8 भाग है।
अब पूरे बड़े वर्ग के सापेक्ष—
🔹 नीचे-दाएँ छोटा वर्ग = पूरे बड़े वर्ग का 1/4 भाग
अतः पूरे बड़े वर्ग का छायांकित भाग
🔹 = 5/8 × 1/4
🔹 = 5/32
🔸 अंतिम उत्तर: 5/32
🔒 ❓ प्रश्न 11.
चींटियों का एक समूह भोजन की खोज में निकला। जैसे-जैसे वे खोजते हैं, वे प्रत्येक बिंदु पर समान रूप से विभाजित होते रहते हैं और दो भोजन के स्रोतों पर पहुँचते हैं — एक समूह आम के पेड़ के पास और दूसरा समूह गन्ने के खेत के पास। मूल समूह का कितना भाग प्रत्येक खाद्य स्रोत तक पहुँचेगा?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 चित्र में प्रत्येक लाल बिंदु पर चींटियाँ दो बराबर भागों में बँटती हैं।
अब नीचे से ऊपर तक मार्ग को देखते हैं।
मान लीजिए प्रारम्भ में कुल समूह = 1
पहला बँटवारा
🔹 पहले लाल बिंदु पर समूह दो बराबर भागों में बँटता है—
🔹 बायाँ मार्ग = 1/2
🔹 दायाँ मार्ग = 1/2
दूसरा बँटवारा
🔹 बाएँ वाला 1/2 भाग सीधे ऊपर जाकर आम के पेड़ तक पहुँच जाता है।
🔹 दाएँ वाला 1/2 भाग अगले लाल बिंदु तक जाता है।
अब वहाँ फिर दो बराबर भाग होते हैं—
🔹 एक भाग = 1/4
🔹 दूसरा भाग = 1/4
🔹 इनमें से एक भाग सीधे गन्ने के खेत की ओर चला जाता है।
🔹 दूसरा 1/4 भाग ऊपर अगले बिंदु तक जाता है।
तीसरा बँटवारा
🔹 यह 1/4 भाग फिर दो बराबर भागों में बँटता है—
🔹 एक भाग = 1/8
🔹 दूसरा भाग = 1/8
🔹 चित्र के अनुसार
🔸 एक 1/8 भाग आम के पेड़ की ओर जाता है।
🔸 दूसरा 1/8 भाग ऊपर अगले बिंदु तक जाता है।
चौथा बँटवारा
🔹 यह 1/8 भाग फिर दो बराबर भागों में बँटता है—
🔹 एक भाग = 1/16
🔹 दूसरा भाग = 1/16
🔹 इनमें से
🔸 एक 1/16 भाग आम के पेड़ की ओर जाता है।
🔸 दूसरा 1/16 भाग गन्ने के खेत की ओर जाता है।
अब दोनों स्रोतों तक पहुँचे कुल भाग जोड़ते हैं।
आम के पेड़ तक पहुँचा भाग
🔹 पहले बँटवारे से = 1/2
🔹 तीसरे बँटवारे से = 1/8
🔹 चौथे बँटवारे से = 1/16
🔹 कुल = 1/2 + 1/8 + 1/16
🔹 = 8/16 + 2/16 + 1/16
🔹 = 11/16
गन्ने के खेत तक पहुँचा भाग
🔹 दूसरे बँटवारे से = 1/4
🔹 चौथे बँटवारे से = 1/16
🔹 कुल = 1/4 + 1/16
🔹 = 4/16 + 1/16
🔹 = 5/16
जाँच:
🔹 11/16 + 5/16 = 16/16 = 1 ✔️
🔸 अंतिम उत्तर:
🔹 आम के पेड़ तक पहुँचा भाग = 11/16
🔹 गन्ने के खेत तक पहुँचा भाग = 5/16
🔒 ❓ प्रश्न 12.
1 – 1/2 क्या है?
(1 – 1/2) × (1 – 1/3) ?
(1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5) ?
(1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5) × (1 – 1/6) × (1 – 1/7) × (1 – 1/8) × (1 – 1/9) × (1 – 1/10) ?
एक सामान्य कथन बनाइए और व्याख्या कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
पहले एक-एक करके हल करते हैं।
(क) 1 – 1/2
🔹 = 1/2
(ख) (1 – 1/2) × (1 – 1/3)
🔹 = 1/2 × 2/3
🔹 = 1/3
(ग) (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5)
अब प्रत्येक को सरल रूप में लिखते हैं—
🔹 1 – 1/2 = 1/2
🔹 1 – 1/3 = 2/3
🔹 1 – 1/4 = 3/4
🔹 1 – 1/5 = 4/5
अतः
🔹 = 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5
अब क्रमशः कटेंगे—
🔹 = 1/5
(घ) (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5) × (1 – 1/6) × (1 – 1/7) × (1 – 1/8) × (1 – 1/9) × (1 – 1/10)
प्रत्येक पद को लिखें—
🔹 1 – 1/2 = 1/2
🔹 1 – 1/3 = 2/3
🔹 1 – 1/4 = 3/4
🔹 1 – 1/5 = 4/5
🔹 1 – 1/6 = 5/6
🔹 1 – 1/7 = 6/7
🔹 1 – 1/8 = 7/8
🔹 1 – 1/9 = 8/9
🔹 1 – 1/10 = 9/10
अतः
🔹 = 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 × 5/6 × 6/7 × 7/8 × 8/9 × 9/10
अब क्रमशः सभी पद कट जाते हैं—
🔹 = 1/10
सामान्य कथन
यदि हम
🔹 (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × … × (1 – 1/n)
लिखें, तो
🔹 1 – 1/k = (k – 1)/k
अतः पूरा गुणनफल होगा—
🔹 1/2 × 2/3 × 3/4 × … × (n – 1)/n
यह क्रमशः कट कर देता है—
🔹 = 1/n
🔸 अतः सामान्य परिणाम है:
🔹 (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × … × (1 – 1/n) = 1/n
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
खंड A
(प्रश्न 1 से 6)
प्रत्येक प्रश्न 1 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 1.
कौन-सा भिन्न उचित भिन्न है?
🟢1️⃣ 7/5
🔵2️⃣ 9/4
🟡3️⃣ 3/8
🟣4️⃣ 11/7
✔️ उत्तर: 🟡3️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 2.
2/3 और 4/6 किस प्रकार के भिन्न हैं?
🟢1️⃣ असमान भिन्न
🔵2️⃣ समतुल्य भिन्न
🟡3️⃣ मिश्र भिन्न
🟣4️⃣ अनुचित भिन्न
✔️ उत्तर: 🔵2️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 3.
5/4 किस प्रकार का भिन्न है?
🟢1️⃣ उचित भिन्न
🔵2️⃣ अनुचित भिन्न
🟡3️⃣ इकाई भिन्न
🟣4️⃣ समतुल्य भिन्न
✔️ उत्तर: 🔵2️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 4.
1/2 + 1/2 का मान क्या है?
🟢1️⃣ 1/4
🔵2️⃣ 1
🟡3️⃣ 2/4
🟣4️⃣ 3/2
✔️ उत्तर: 🔵2️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 5.
किसी भिन्न का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए क्या किया जाता है?
🟢1️⃣ अंश और हर को जोड़ते हैं
🔵2️⃣ अंश और हर को घटाते हैं
🟡3️⃣ अंश और हर को आपस में बदलते हैं
🟣4️⃣ दोनों को 2 से गुणा करते हैं
✔️ उत्तर: 🟡3️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 6.
3/5 x 2 का मान क्या है?
🟢1️⃣ 6/5
🔵2️⃣ 5/6
🟡3️⃣ 3/10
🟣4️⃣ 2/5
✔️ उत्तर: 🟢1️⃣
खंड B
(प्रश्न 7 से 12)
प्रत्येक प्रश्न 2 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 7.
उचित भिन्न और अनुचित भिन्न में अंतर लिखिए।
✔️ उत्तर:
🔹 उचित भिन्न में अंश, हर से छोटा होता है।
🔹 जैसे : 3/7, 5/9
🔹 अनुचित भिन्न में अंश, हर के बराबर या उससे बड़ा होता है।
🔹 जैसे : 7/5, 9/4
🔒 ❓ प्रश्न 8.
मिश्र भिन्न किसे कहते हैं? एक उदाहरण दीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 जिस भिन्न में एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न साथ लिखा हो, उसे मिश्र भिन्न कहते हैं।
🔹 उदाहरण : 2 1/3, 4 5/7
🔒 ❓ प्रश्न 9.
3/4 और 6/8 के समतुल्य होने की जाँच कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 3/4 = (3 x 2)/(4 x 2)
🔹 = 6/8
🔹 अतः 3/4 और 6/8 समतुल्य भिन्न हैं।
🔒 ❓ प्रश्न 10.
8/3 को मिश्र भिन्न में बदलिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 8 ÷ 3 = 2 शेष 2
🔹 इसलिए
8/3 = 2 2/3
🔹 अतः मिश्र भिन्न 2 2/3 है।
🔒 ❓ प्रश्न 11.
2 1/5 को अनुचित भिन्न में बदलिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 2 1/5 = (2 x 5 + 1)/5
🔹 = (10 + 1)/5
🔹 = 11/5
🔹 अतः अनुचित भिन्न 11/5 है।
🔒 ❓ प्रश्न 12.
4/9 और 7/9 में कौन बड़ा है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 दोनों भिन्नों का हर समान है।
🔹 7 > 4
🔹 इसलिए
7/9 > 4/9
🔹 अतः 7/9 बड़ा है।
खंड C
(प्रश्न 13 से 22)
प्रत्येक प्रश्न 3 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 13.
12/18 को सरलतम रूप में बदलिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 12 और 18 का महत्तम समापवर्तक = 6
🔹 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6)
🔹 = 2/3
🔹 अतः सरलतम रूप 2/3 है।
🔒 ❓ प्रश्न 14.
2/5 और 3/4 की तुलना कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 5 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य = 20
🔹 2/5 = (2 x 4)/(5 x 4)
🔹 = 8/20
🔹 3/4 = (3 x 5)/(4 x 5)
🔹 = 15/20
🔹 15/20 > 8/20
🔹 इसलिए
3/4 > 2/5
🔒 ❓ प्रश्न 15.
3/8 + 1/8 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 दोनों भिन्नों का हर समान है।
🔹 3/8 + 1/8 = (3 + 1)/8
🔹 = 4/8
🔹 = 1/2
🔹 अतः उत्तर 1/2 है।
🔒 ❓ प्रश्न 16.
5/6 – 1/3 ज्ञात कीजिए।
अथवा
7/10 – 2/5 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए:
🔹 1/3 = 2/6
🔹 5/6 – 1/3 = 5/6 – 2/6
🔹 = 3/6
🔹 = 1/2
🔹 अतः उत्तर 1/2 है।
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए:
🔹 2/5 = 4/10
🔹 7/10 – 2/5 = 7/10 – 4/10
🔹 = 3/10
🔹 अतः उत्तर 3/10 है।
🔒 ❓ प्रश्न 17.
2/3 + 1/6 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 2/3 = 4/6
🔹 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6
🔹 = 5/6
🔹 अतः उत्तर 5/6 है।
🔒 ❓ प्रश्न 18.
3/4 x 2/5 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 3/4 x 2/5 = (3 x 2)/(4 x 5)
🔹 = 6/20
🔹 = 3/10
🔹 अतः उत्तर 3/10 है।
🔒 ❓ प्रश्न 19.
5/6 ÷ 1/3 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 5/6 ÷ 1/3 = 5/6 x 3/1
🔹 = 15/6
🔹 = 5/2
🔹 = 2 1/2
🔹 अतः उत्तर 2 1/2 है।
🔒 ❓ प्रश्न 20.
2 1/4 + 1 1/2 ज्ञात कीजिए।
अथवा
3 1/3 – 1 1/6 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए:
🔹 2 1/4 = 9/4
🔹 1 1/2 = 3/2 = 6/4
🔹 9/4 + 6/4 = 15/4
🔹 = 3 3/4
🔹 अतः उत्तर 3 3/4 है।
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए:
🔹 3 1/3 = 10/3
🔹 1 1/6 = 7/6
🔹 10/3 = 20/6
🔹 20/6 – 7/6 = 13/6
🔹 = 2 1/6
🔹 अतः उत्तर 2 1/6 है।
🔒 ❓ प्रश्न 21.
किसी भिन्न का व्युत्क्रम क्या होता है? 7/9 और 11/4 के व्युत्क्रम लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 किसी भिन्न का व्युत्क्रम पाने के लिए उसके अंश और हर को आपस में बदलते हैं।
🔹 7/9 का व्युत्क्रम = 9/7
🔹 11/4 का व्युत्क्रम = 4/11
🔹 यही अपेक्षित उत्तर है।
🔒 ❓ प्रश्न 22.
समझाइए कि 1/2 + 1/3 को 2/5 क्यों नहीं लिखा जा सकता।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1/2 और 1/3 के हर अलग-अलग हैं।
🔹 इसलिए सीधे अंश और हर को नहीं जोड़ा जा सकता।
🔹 पहले समहर बनाएँ:
🔹 1/2 = 3/6
🔹 1/3 = 2/6
🔹 अब जोड़ें:
🔹 3/6 + 2/6 = 5/6
🔹 इसलिए
1/2 + 1/3 = 5/6, न कि 2/5
खंड D
(प्रश्न 23 से 30)
प्रत्येक प्रश्न 4 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 23.
समतुल्य भिन्न किसे कहते हैं? 4/6, 8/12 और 2/3 की सहायता से समझाइए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 ऐसे भिन्न जिनका मान समान हो, उन्हें समतुल्य भिन्न कहते हैं।
🔹 4/6 को सरल करें:
🔹 4/6 = (4 ÷ 2)/(6 ÷ 2)
🔹 = 2/3
🔹 8/12 को सरल करें:
🔹 8/12 = (8 ÷ 4)/(12 ÷ 4)
🔹 = 2/3
🔹 इसलिए
4/6 = 8/12 = 2/3
🔹 अतः ये तीनों समतुल्य भिन्न हैं।
🔒 ❓ प्रश्न 24.
3/5 + 2/15 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 3/5 = (3 x 3)/(5 x 3)
🔹 = 9/15
🔹 अब
9/15 + 2/15 = 11/15
🔹 अतः उत्तर 11/15 है।
🔒 ❓ प्रश्न 25.
7/8 – 1/4 ज्ञात कीजिए और उत्तर को सरलतम रूप में लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1/4 = 2/8
🔹 7/8 – 1/4 = 7/8 – 2/8
🔹 = 5/8
🔹 5/8 पहले से ही सरलतम रूप में है।
🔹 अतः उत्तर 5/8 है।
🔒 ❓ प्रश्न 26.
2/3 x 9/10 ज्ञात कीजिए और सरल कीजिए।
अथवा
4/7 x 14/15 ज्ञात कीजिए और सरल कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए:
🔹 2/3 x 9/10 = (2 x 9)/(3 x 10)
🔹 = 18/30
🔹 = 3/5
🔹 अतः उत्तर 3/5 है।
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए:
🔹 4/7 x 14/15 = (4 x 14)/(7 x 15)
🔹 = 56/105
🔹 = 8/15
🔹 अतः उत्तर 8/15 है।
🔒 ❓ प्रश्न 27.
3/4 ÷ 5/8 ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 3/4 ÷ 5/8 = 3/4 x 8/5
🔹 = (3 x 8)/(4 x 5)
🔹 = 24/20
🔹 = 6/5
🔹 = 1 1/5
🔹 अतः उत्तर 1 1/5 है।
🔒 ❓ प्रश्न 28.
एक छात्र ने पुस्तक का 2/7 भाग सोमवार को और 3/7 भाग मंगलवार को पढ़ा। उसने कुल कितना भाग पढ़ा? कितना भाग शेष है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 सोमवार को पढ़ा भाग = 2/7
🔹 मंगलवार को पढ़ा भाग = 3/7
🔹 कुल पढ़ा भाग = 2/7 + 3/7
🔹 = 5/7
🔹 पूरी पुस्तक = 1 = 7/7
🔹 शेष भाग = 7/7 – 5/7
🔹 = 2/7
🔹 अतः कुल पढ़ा भाग 5/7 है और शेष भाग 2/7 है।
🔒 ❓ प्रश्न 29.
एक रस्सी की लंबाई 3/4 मीटर है। उसका 2/3 भाग ज्ञात कीजिए।
अथवा
एक बोतल में 5/6 लीटर रस है। उसमें से 1/3 लीटर निकाल लिया गया। कितना रस बचा?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए:
🔹 आवश्यक भाग = 2/3 of 3/4
🔹 = 2/3 x 3/4
🔹 = 6/12
🔹 = 1/2
🔹 अतः रस्सी का 2/3 भाग = 1/2 मीटर
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए:
🔹 कुल रस = 5/6 लीटर
🔹 निकाला गया रस = 1/3 = 2/6 लीटर
🔹 बचा रस = 5/6 – 2/6
🔹 = 3/6
🔹 = 1/2
🔹 अतः बचा रस = 1/2 लीटर
🔒 ❓ प्रश्न 30.
भिन्नों के साथ कार्य करते समय जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियमों का महत्व उदाहरण सहित समझाइए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 भिन्नों के साथ कार्य करते समय प्रत्येक संक्रिया का अपना अलग नियम होता है।
🔹 जोड़ और घटाव में यदि हर समान हों, तो केवल अंशों पर क्रिया करते हैं।
🔹 यदि हर अलग हों, तो पहले समहर बनाते हैं।
🔹 उदाहरण:
🔹 1/4 + 1/2
🔹 1/2 = 2/4
🔹 1/4 + 2/4 = 3/4
🔹 गुणा में अंश x अंश और हर x हर करते हैं।
🔹 उदाहरण:
🔹 2/3 x 3/5 = 6/15 = 2/5
🔹 भाग में दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा करते हैं।
🔹 उदाहरण:
🔹 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 x 5/2 = 15/8
🔹 इन नियमों का सही ज्ञान होने से हम भिन्नों के प्रश्न सही, सरल और व्यवस्थित ढंग से हल कर सकते हैं।
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