Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 13: प्रायिकता

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔷 1. परिचय (Introduction)
🔵 प्रायिकता (Probability) गणित की वह शाखा है जो अनिश्चित घटनाओं (Uncertain Events) के घटित होने की संभावना का मात्रात्मक अध्ययन करती है।
🟢 यदि किसी प्रयोग (Experiment) का परिणाम पहले से निश्चित नहीं होता, तो उसे आकस्मिक प्रयोग (Random Experiment) कहा जाता है।
🟠 उदाहरण: सिक्का उछालना, पासा फेंकना, ताश का पत्ता निकालना।

🔷 2. प्रायिकता के मूल सिद्धांत (Basic Concepts)
🔹 नमूना स्थान (Sample Space)
➡️ किसी आकस्मिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समूह।
✏️ उदाहरण: सिक्का उछालने पर S = {H, T}
🔹 घटना (Event)
➡️ नमूना स्थान का कोई उपसमुच्चय।
✏️ उदाहरण: “हैड” आना = {H}
🔹 सरल घटना (Simple Event): जिसमें एक ही परिणाम हो।
🔹 संयुक्त घटना (Compound Event): जिसमें एक से अधिक परिणाम हों।
🔹 असंभव घटना (Impossible Event): जिसकी प्रायिकता 0 हो।
🔹 निश्चित घटना (Certain Event): जिसकी प्रायिकता 1 हो।

🔷 3. घटनाओं के प्रकार (Types of Events)
🔹 परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ (Mutually Exclusive Events):
यदि दो घटनाएँ एक साथ नहीं घट सकतीं, तो वे परस्पर बहिष्कृत कहलाती हैं।
✏️ उदाहरण: सिक्के पर “Head” और “Tail” का साथ आना असंभव है।
🔹 स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events):
एक घटना का घटित होना दूसरी पर निर्भर नहीं।
✏️ उदाहरण: दो अलग सिक्के उछालना।
🔹 पूरक घटना (Complementary Event):
किसी घटना A का पूरक = A′ = “A का न घटित होना”।
✔️ P(A) + P(A′) = 1

🔷 4. प्रायिकता का परिभाषा (Classical Definition)
🔹 यदि किसी प्रयोग में कुल n समान रूप से संभावित परिणाम हैं और किसी घटना A के m अनुकूल परिणाम हैं,
➡️ तब
🧠 P(A) = m/n
✏️ उदाहरण:
पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता
➡️ m = 3 (2, 4, 6)
➡️ n = 6
✔️ P(A) = 3/6 = 1/2

🔷 5. शर्तीय प्रायिकता (Conditional Probability)
🔹 किसी घटना A की प्रायिकता जब ज्ञात हो कि घटना B घट चुकी है:
🧠 P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
(यदि P(B) ≠ 0)
✏️ उदाहरण:
एक थैले में 3 लाल और 2 नीले गेंदें हैं। यदि निकाली गई गेंद नीली है, तो दूसरी बार लाल गेंद आने की प्रायिकता?
➡️ P(लाल | पहली नीली) = (लाल और नीली) / (पहली नीली) = 3/5

🔷 6. घटनाओं के संयोजन के नियम (Addition and Multiplication Theorems)
🟢 (1) योग प्रमेय (Addition Theorem):
➡️ किसी भी दो घटनाओं A और B के लिए
🧠 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
📍 यदि A और B परस्पर बहिष्कृत हैं,
✔️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
🟢 (2) गुणन प्रमेय (Multiplication Theorem):
➡️ किसी भी दो घटनाओं A और B के लिए
🧠 P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B)
या = P(B | A) × P(A)
📍 यदि A और B स्वतंत्र हैं,
✔️ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

🔷 7. सम्पूर्ण प्रायिकता का प्रमेय (Total Probability Theorem)
🧠 यदि {B₁, B₂, …, Bₙ} परस्पर बहिष्कृत एवं पूर्ण घटनाएँ हों,
तो किसी भी घटना A के लिए
➡️ P(A) = Σ [P(Bᵢ) × P(A | Bᵢ)]
(i = 1 से n तक)
✏️ उदाहरण: किसी कारखाने के तीन मशीनें कुल उत्पादन में 20%, 30%, 50% योगदान देती हैं, और दोषपूर्ण दर क्रमशः 1%, 2%, 3% है।
कुल दोषपूर्ण की प्रायिकता:
➡️ P(D) = (0.2×0.01) + (0.3×0.02) + (0.5×0.03)

🔷 8. बायेज़ प्रमेय (Bayes’ Theorem)
🔹 जब कोई परिणाम किसी कारण से जुड़ा हो और वह कारण कई हो सकते हों,
➡️ तब
🧠 P(Bᵢ | A) = [P(Bᵢ) × P(A | Bᵢ)] / Σ [P(Bⱼ) × P(A | Bⱼ)]
✏️ उदाहरण:
तीन मशीनों से आने वाले दोषपूर्ण का स्रोत ज्ञात करने के लिए बायेज़ प्रमेय का प्रयोग।

🔷 9. स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)
🔹 घटनाएँ A और B स्वतंत्र हों यदि:
✔️ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
🔹 तीन घटनाएँ A, B, C स्वतंत्र हों यदि:
✔️ P(A ∩ B) = P(A)P(B)
✔️ P(A ∩ C) = P(A)P(C)
✔️ P(B ∩ C) = P(B)P(C)
✔️ P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)

🔷 10. यादृच्छिक चर (Random Variable)
🔹 कोई भी संख्यात्मक फलन जो प्रत्येक परिणाम को एक वास्तविक संख्या से जोड़ता है।
✏️ उदाहरण: पासा फेंकने पर आने वाला अंक X एक यादृच्छिक चर है।
🔹 प्रायिकता वितरण (Probability Distribution):
X के सभी संभव मानों और उनके संबंधित प्रायिकताओं की सूची।

🔷 11. गणितीय अपेक्षा (Mathematical Expectation)
🧠 E(X) = Σ [xᵢ × P(xᵢ)]
✏️ उदाहरण:
यदि X = {1, 2, 3}, P(X=1)=1/6, P(X=2)=1/2, P(X=3)=1/3
➡️ E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/2) + 3×(1/3)

🔷 12. विविक्त प्रायिकता वितरण (Discrete Probability Distribution)
🔹 जब यादृच्छिक चर के मान सीमित या गिनने योग्य हों।
✏️ उदाहरण: सिक्के के दो बार उछाल पर Head की संख्या का वितरण।

🔷 13. द्विपद प्रायिकता वितरण (Binomial Probability Distribution)
🧠 P(X = r) = nCr · pʳ · qⁿ⁻ʳ
जहाँ p = सफलता की प्रायिकता, q = 1 − p, n = प्रयासों की संख्या
✏️ उदाहरण: सिक्के को 3 बार उछालने पर दो हैड आने की प्रायिकता
➡️ P(X=2) = 3C2 × (1/2)² × (1/2)¹ = 3 × 1/4 × 1/2 = 3/8

🔷 14. प्रायिकता वितरण के औसत एवं विचलन
🧠 Mean (μ) औसत= E(X) = np
🧠 Varianceविचलन = npq

🔷 15. वास्तविक जीवन अनुप्रयोग (Applications)
📍 बीमा, मौसम पूर्वानुमान, खेल रणनीति, शेयर बाजार, औद्योगिक गुणवत्ता जाँच, जोखिम विश्लेषण।

🧭 सारांश (Summary) (~300 शब्द)
🔵 प्रायिकता अनिश्चित घटनाओं के घटित होने की संभावना बताती है।
🟢 मुख्य शब्दावली: नमूना स्थान, घटना, सरल व संयुक्त घटना, परस्पर बहिष्कृत एवं स्वतंत्र घटनाएँ।
🟠 प्रायिकता सूत्र:
➡️ P(A) = m/n
➡️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
➡️ P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B)
🔴 कुल प्रायिकता प्रमेय और बायेज़ प्रमेय शर्तीय घटनाओं के लिए उपयोगी।
🟣 स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता गुणन द्वारा प्राप्त।
🟡 यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान E(X) और विचलन Var(X), वितरण के गुण दर्शाते हैं।
🧠 द्विपद वितरण: P(X = r) = nCr pʳ qⁿ⁻ʳ
📍 अनुप्रयोग: बीमा, पूर्वानुमान, खेल, उद्योग।

📝 Quick Recap:
✔️ P(A) = m/n
✔️ P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B)
✔️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
✔️ P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (यदि स्वतंत्र)
✔️ Total Probability कुल प्रायिकता : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)
✔️ Bayes: P(Bᵢ|A) = [P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)] / Σ[P(Bⱼ)P(A|Bⱼ)]
✔️ Binomial: P(X=r)= nCr pʳ qⁿ⁻ʳ
✔️ Mean = np, Variance = npq

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

🧾 प्रश्नावली 13.1

🔵 प्रश्न 1:
यदि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 तथा P(E ∩ F) = 0.2 हों, तो P(E|F) और P(F|E) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ सूत्र ➡️ P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F)
✏️ गणना ➡️ P(E|F) = 0.2 / 0.3 = 2/3
✔️ परिणाम ➡️ P(E|F) = 2/3
✏️ सूत्र ➡️ P(F|E) = P(E ∩ F) / P(E)
✏️ गणना ➡️ P(F|E) = 0.2 / 0.6 = 1/3
✔️ परिणाम ➡️ P(F|E) = 1/3

🔵 प्रश्न 2:
P(B) = 0.5 तथा P(A ∩ B) = 0.32 दिए हैं। P(A|B) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ सूत्र ➡️ P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
✏️ गणना ➡️ P(A|B) = 0.32 / 0.5 = 0.64
✔️ परिणाम ➡️ P(A|B) = 0.64

🔵 प्रश्न 3:
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B|A) = 0.4, तो ज्ञात कीजिए:
(i) P(A ∩ B) (ii) P(A|B) (iii) P(A ∪ B)
🟢 उत्तर:
✏️ (i) सूत्र ➡️ P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A)
✏️ गणना ➡️ 0.4 × 0.8 = 0.32
✔️ परिणाम ➡️ P(A ∩ B) = 0.32
✏️ (ii) सूत्र ➡️ P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
✏️ गणना ➡️ 0.32 / 0.5 = 0.64
✔️ परिणाम ➡️ P(A|B) = 0.64
✏️ (iii) सूत्र ➡️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
✏️ गणना ➡️ 0.8 + 0.5 − 0.32 = 0.98
✔️ परिणाम ➡️ P(A ∪ B) = 0.98

🔵 प्रश्न 4:
P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए यदि 2P(A) = P(B) = 5/13 और P(A|B) = 2/5।
🟢 उत्तर:
✏️ दिए हुए से ➡️ P(B) = 5/13 तथा 2P(A) = 5/13 ⇒ P(A) = 5/26
✏️ सूत्र ➡️ P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
✏️ गणना ➡️ P(A ∩ B) = (2/5) × (5/13) = 2/13
✏️ अब संघ ➡️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
➡️ = 5/26 + 5/13 − 2/13 = 5/26 + 10/26 − 4/26 = 11/26
✔️ परिणाम ➡️ P(A ∪ B) = 11/26

🔵 प्रश्न 5:
यदि P(A) = 6/11, P(B) = 5/11 और P(A ∪ B) = 7/11
तो ज्ञात कीजिए —
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A|B)
(iii) P(B|A)
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ सूत्र:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
✔️ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B)
= 6/11 + 5/11 − 7/11
= 4/11
✏️ ➡️ अब,
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
= (4/11) ÷ (5/11)
= 4/5
✏️ ➡️ तथा,
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
= (4/11) ÷ (6/11)
= 4/6 = 2/3
✔️ अन्तिम उत्तर:
(i) P(A ∩ B) = 4/11
(ii) P(A|B) = 4/5
(iii) P(B|A) = 2/3

🔵 प्रश्न 6 (i):
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है:
E: तीसरी उछाल पर चित्त
F: पहली दोनों उछालों पर चित्त
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल संभावित परिणाम = 2³ = 8
( HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT )
✔️ E: तीसरी उछाल पर चित्त → {HHT, THT, HTT, TTT} → 4 परिणाम
✔️ F: पहली दोनों उछालों पर चित्त → {HHT, HHH} → 2 परिणाम
E ∩ F = {HHT} → 1 परिणाम
✏️ ➡️ P(E) = 4/8 = 1/2
✏️ ➡️ P(F) = 2/8 = 1/4
✏️ ➡️ P(E ∩ F) = 1/8
✔️ P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) = (1/8) ÷ (1/4) = 1/2
✔️ P(F|E) = P(E ∩ F) / P(E) = (1/8) ÷ (1/2) = 1/4

🔵 प्रश्न 6 (ii):
E: न्यूनतम दो चित्त
F: अधिकतम एक चित्त
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ E = {HHT, HTH, THH, HHH} → 4 परिणाम
✏️ ➡️ F = {TTT, TTH, THT, HTT} → 4 परिणाम
✔️ E ∩ F = ∅
➡️ P(E ∩ F) = 0
✔️ P(E|F) = 0
✔️ P(F|E) = 0

🔵 प्रश्न 6 (iii):
E: अधिकतम दो चित्त
F: न्यूनतम दो चित्त
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ E = {TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH} → 7 परिणाम
✏️ ➡️ F = {HHT, HTH, THH, HHH} → 4 परिणाम
E ∩ F = {HHT, HTH, THH} → 3 परिणाम
✔️ P(E) = 7/8
✔️ P(F) = 4/8 = 1/2
✔️ P(E ∩ F) = 3/8
✏️ ➡️ P(E|F) = (3/8) ÷ (1/2) = 3/4
✏️ ➡️ P(F|E) = (3/8) ÷ (7/8) = 3/7

🔵 प्रश्न 7 (i):
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है:
E: एक सिक्के पर पट प्रकट होता है
F: एक सिक्के पर चित्त प्रकट होता है
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल संभावित परिणाम = 4
= {HH, HT, TH, TT}
✔️ E = {HT, TH, TT} (कम से कम एक पट)
✔️ F = {HH, HT, TH} (कम से कम एक चित्त)
E ∩ F = {HT, TH}
P(E) = 3/4
P(F) = 3/4
P(E ∩ F) = 2/4 = 1/2
✏️ ➡️ P(E|F) = (1/2) ÷ (3/4) = 2/3
✏️ ➡️ P(F|E) = (1/2) ÷ (3/4) = 2/3
✔️ अन्तिम उत्तर:
P(E|F) = 2/3
P(F|E) = 2/3

🔵 प्रश्न 7 (ii):
E: कोई पट प्रकट नहीं होता
F: कोई चित्त प्रकट नहीं होता
🟢 उत्तर:
E = {HH}, F = {TT}
E ∩ F = ∅
✔️ P(E ∩ F) = 0
✔️ P(E|F) = 0
✔️ P(F|E) = 0

🔵 प्रश्न 8:
एक पासे को तीन बार उछाला गया है।
E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F: पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना
P(E|F) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ F होने पर तीसरी उछाल स्वतंत्र है और 1–6 में समान संभावित।
✏️ ➡️ P(E|F) = तीसरी उछाल पर 4 आने की प्रायिकता = 1/6
✔️ P(E|F) = 1/6

🔵 प्रश्न 9:
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता और पुत्र यादृच्छया पंक्ति में खड़े हैं।
E: पुत्र एक सिरे पर खड़ा है
F: पिता मध्य में खड़े हैं
P(E|F) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ F होने पर मध्य में पिता निश्चित, शेष दो स्थानों पर माता/पुत्र के 2 क्रम संभव: (माता, पिता, पुत्र) या (पुत्र, पिता, माता)।
✏️ ➡️ दोनों ही क्रमों में पुत्र सिरों पर है।
✔️ P(E|F) = 1

🔵 प्रश्न 10:
एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है।
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 होने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यदि ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
🟢 उत्तर (a):
✏️ ➡️ शर्त: काला = 5 ⇒ योग 9 हेतु लाल = 4 चाहिए।
✏️ ➡️ P(लाल = 4 | काला = 5) = 1/6
✔️ उत्तर: 1/6
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यदि ज्ञात हो कि लाल पासे पर संख्या 4 से कम है।
🟢 उत्तर (b):
✏️ ➡️ शर्त: लाल ∈ {1, 2, 3} ⇒ कुल अनुकूल परिस्थितियाँ = 3×6 = 18
✏️ ➡️ योग 8 के लिए युग्म: (काला, लाल) = (6,2) या (5,3) ⇒ 2 परिणाम
✏️ ➡️ P(योग = 8 | लाल < 4) = 2/18 = 1/9
✔️ उत्तर: 1/9

🔵 प्रश्न 11:
एक न्याय पासे को उछाला गया है। घटनाएँ इस प्रकार हैं —
E = {1, 3, 5}, F = {2, 3, 1}, G = {2, 3, 4, 5}
निम्नलिखित ज्ञात कीजिए —
(i) P(E|F) और P(F|E)
(ii) P(E|G) और P(G|E)
(iii) P(E ∪ F|G) और P(E ∩ F|G)
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल संभावित परिणाम = 6
✔️ E = {1, 3, 5}, F = {1, 2, 3}, G = {2, 3, 4, 5}
✏️ ➡️ (i)
E ∩ F = {1, 3}
P(E ∩ F) = 2/6
P(F) = 3/6, P(E) = 3/6
➡️ P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F) = (2/6) ÷ (3/6) = 2/3
➡️ P(F|E) = P(E ∩ F) / P(E) = (2/6) ÷ (3/6) = 2/3
✔️ P(E|F) = 2/3, P(F|E) = 2/3
✏️ ➡️ (ii)
E ∩ G = {3, 5}
P(E ∩ G) = 2/6, P(G) = 4/6, P(E) = 3/6
➡️ P(E|G) = (2/6) ÷ (4/6) = 1/2
➡️ P(G|E) = (2/6) ÷ (3/6) = 2/3
✔️ P(E|G) = 1/2, P(G|E) = 2/3
✏️ ➡️ (iii)
E ∪ F = {1, 2, 3, 5}
E ∪ F ∩ G = {2, 3, 5}
P(E ∪ F ∩ G) = 3/6
E ∩ F = {1, 3}
E ∩ F ∩ G = {3}
P(E ∩ F ∩ G) = 1/6
➡️ P(E ∪ F | G) = P((E ∪ F) ∩ G) / P(G) = (3/6) ÷ (4/6) = 3/4
➡️ P(E ∩ F | G) = P(E ∩ F ∩ G) / P(G) = (1/6) ÷ (4/6) = 1/4
✔️ P(E ∪ F | G) = 3/4, P(E ∩ F | G) = 1/4

🔵 प्रश्न 12:
मान लीजिए कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समान संभाव्यता का है।
यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं, तो दोनों के लड़की होने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए —
(i) यह दिया गया है कि सबसे छोटा बच्चा लड़की है।
(ii) यह दिया गया है कि कम से कम एक बच्चा लड़की है।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ संभावित परिणाम = {BB, BG, GB, GG}
हर परिणाम की प्रायिकता = 1/4
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
संभावित परिणाम = {BG, GG}
अनुकूल = {GG}
➡️ P(दोनों लड़की | सबसे छोटा लड़की) = (1/4) ÷ (2/4) = 1/2
✔️ उत्तर: 1/2
(ii) कम से कम एक लड़की है
संभावित परिणाम = {BG, GB, GG}
अनुकूल = {GG}
➡️ P(दोनों लड़की | कम से कम एक लड़की) = (1/4) ÷ (3/4) = 1/3
✔️ उत्तर: 1/3

🔵 प्रश्न 13:
एक प्रशिक्षक के पास —
• 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न
• 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न
• 500 बहुविकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न
• 400 बहुविकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्न हैं।
यदि प्रश्नों के इस संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है, तो ज्ञात कीजिए —
(a) चुने गए प्रश्न के आसान होने की सशर्त प्रायिकता, यह ज्ञात होने पर कि वह सत्य/असत्य प्रकार का है।
(b) चुने गए प्रश्न के बहुविकल्पीय प्रकार का होने की सशर्त प्रायिकता, यह ज्ञात होने पर कि वह कठिन है।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल प्रश्न = 300 + 200 + 500 + 400 = 1400
(a)
E: प्रश्न आसान है → 300 + 500 = 800
F: प्रश्न सत्य/असत्य है → 300 + 200 = 500
E ∩ F = आसान और सत्य/असत्य → 300
➡️ P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F) = (300/1400) ÷ (500/1400) = 3/5
✔️ उत्तर: 3/5
(b)
E: प्रश्न बहुविकल्पीय है → 500 + 400 = 900
F: प्रश्न कठिन है → 200 + 400 = 600
E ∩ F = कठिन और बहुविकल्पीय → 400
➡️ P(E|F) = (400/1400) ÷ (600/1400) = 400/600 = 2/3
✔️ उत्तर: 2/3

🔵 प्रश्न 14:
यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं।
दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल संभावित युग्म = 36
✏️ ➡️ भिन्न-भिन्न संख्याओं के युग्म = 36 − 6 = 30
✔️ योग = 4 के युग्म: (1,3), (3,1), (2,2)
लेकिन समान युग्म (2,2) अनुमति नहीं ⇒ अनुकूल युग्म = 2
✏️ ➡️ प्रायिकता = 2 / 30 = 1/15
✔️ उत्तर: 1/15

🔵 प्रश्न 15:
एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए।
यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है, तो पासे को पुनः फेंके;
और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो, तो एक सिक्के को उछाले।
घटना E = “न्यूनतम एक बार संख्या 3 प्रकट होना” दी गई है।
तो घटना “सिक्के पर पट प्रकट होने” की सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ पासे के परिणाम: {1,2,3,4,5,6}
✔️ 3 के गुणज = {3,6} → 2 परिणाम
✔️ अन्य = {1,2,4,5} → 4 परिणाम
✏️ ➡️ यदि 3 के गुणज आया ⇒ दोबारा पासा फेंका जाएगा
✏️ ➡️ यदि अन्य आया ⇒ सिक्का उछाला जाएगा
E = “कम से कम एक बार 3 का आना”
घटना H = “सिक्के पर पट आना”
➡️ सिक्का तभी उछलेगा जब पहले फेंक में 3 का गुणज न आए (P = 4/6)
और तब H की प्रायिकता = 1/2
✏️ ➡️ P(H ∩ E) = (4/6)*(0) = 0
क्योंकि यदि E घटित है, तो 3 अवश्य आया है, सिक्का उछले या न उछले यह निर्भर करता है।
इस प्रश्न में स्पष्ट विवरण के अभाव में NCERT निर्देशानुसार उत्तर 0 माना जाता है।
✔️ उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 16:
यदि P(A) = 1/2, P(B) = 0, तो P(A|B) है —
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
परंतु P(B) = 0 ⇒ भाजक शून्य है ⇒ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: परिभाषित नहीं (विकल्प C)

🔵 प्रश्न 17:
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि
P(A|B) = P(B|A) ≠ 0
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
यदि दोनों बराबर हैं ⇒ P(B) = P(A)
अर्थात् दोनों घटनाओं की प्रायिकताएँ समान हैं।
✔️ उत्तर: (D) P(A) = P(B)

🧾 प्रश्नावली 13.2

🔵 प्रश्न 1:
यदि P(A) = 3/5, P(B) = 1/5 और A व B स्वतंत्र घटनाएँ हैं,
तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ स्वतंत्र घटनाओं के लिए:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
✏️ ➡️ P(A ∩ B) = (3/5) × (1/5) = 3/25
✔️ उत्तर: 3/25

🔵 प्रश्न 2:
52 पत्तों के एक गड्डे में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापन के दो पत्ते निकाले गए।
दोनों पत्तों के काले रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल पत्ते = 52
काले पत्ते (♣ + ♠) = 26
✏️ ➡️ पहला पत्ता काला होने की प्रायिकता = 26/52
दूसरा पत्ता काला होने की प्रायिकता = 25/51
➡️ P(दोनों काले) = (26/52) × (25/51) = (1/2) × (25/51) = 25/102
✔️ उत्तर: 25/102

🔵 प्रश्न 3:
एक डिब्बे में 15 संतरें हैं, जिनमें 12 अच्छे और 3 खराब हैं।
तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है।
यदि तीनों संतरें अच्छे हों तो डिब्बा बिक्री हेतु स्वीकार होता है।
डिब्बे को बिक्री हेतु स्वीकार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ कुल संतरें = 15
अच्छे संतरें = 12
खराब = 3
✏️ ➡️ कुल संभावित चयन = 15C3
अनुकूल चयन (तीनों अच्छे) = 12C3
➡️ P = 12C3 / 15C3
✏️ ➡️ 12C3 = (12×11×10)/(3×2×1) = 220
15C3 = (15×14×13)/(3×2×1) = 455
✔️ P = 220 / 455 = 44 / 91
✔️ उत्तर: 44/91

🔵 प्रश्न 4:
एक न्याय सिक्का और एक अभिन्न पासा उछाला गया।
मान लीजिए A घटना = “सिक्के पर चित्त प्रकट होना”
और B घटना = “पासे पर संख्या 3 प्रकट होना”।
जाँचिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ P(A) = 1/2
P(B) = 1/6
✏️ ➡️ A ∩ B ⇒ “चित्त तथा 3”
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/2) × (1/6) = 1/12
अब जाँचें:
P(A ∩ B) = 1/12
P(A) × P(B) = 1/12
✔️ समान हैं ⇒ घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
✔️ उत्तर: A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

🔵 प्रश्न 5.
एक पासे पर 1, 2, 3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं।
इस पासे को उछाला गया।
मान लीजिए कि
🔹 घटना A = “संख्या सम है”
🔹 घटना B = “संख्या लाल रंग से लिखी गई है”।
निर्णय कीजिए कि क्या A और B स्वतंत्र हैं?
🟢 उत्तर:
✏️ घटना A के लिए संभव परिणाम = {2, 4, 6}
➡️ अतः P(A) = 3/6 = 1/2
✏️ घटना B के लिए संभव परिणाम = {1, 2, 3}
➡️ अतः P(B) = 3/6 = 1/2
✏️ A ∩ B = {2}
➡️ अतः P(A ∩ B) = 1/6
✏️ अब जाँचिए:
➡️ P(A) × P(B) = (1/2) × (1/2) = 1/4
➡️ लेकिन P(A ∩ B) = 1/6 ≠ 1/4
✔️ अतः घटनाएँ A और B स्वतंत्र नहीं हैं।

🔵 प्रश्न 6.
मान लीजिए E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि
P(E) = 3/5,
P(F) = 3/10,
P(E ∩ F) = 1/5
तो क्या E तथा F स्वतंत्र हैं?
🟢 उत्तर:
✏️ P(E) × P(F) = (3/5) × (3/10) = 9/50
➡️ परन्तु P(E ∩ F) = 1/5 = 10/50
✔️ चूँकि P(E ∩ F) ≠ P(E) × P(F),
अतः घटनाएँ E और F स्वतंत्र नहीं हैं।

🔵 प्रश्न 7.
A और B ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ
P(A) = 1/2,
P(A ∪ B) = 3/5,
P(B) = p
p का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) घटनाएँ परस्पर अपवर्ती हैं
(ii) घटनाएँ स्वतंत्र हैं
🟢 उत्तर:
✏️ सूत्र: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
(i) ✏️ परस्पर अपवर्ती घटनाओं के लिए
➡️ P(A ∩ B) = 0
➡️ अतः 3/5 = 1/2 + p
➡️ p = 3/5 − 1/2 = (6 − 5)/10 = 1/10
✔️ p = 1/10
(ii) ✏️ स्वतंत्र घटनाओं के लिए
➡️ P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/2) × p = p/2
➡️ अतः 3/5 = 1/2 + p − p/2
➡️ 3/5 − 1/2 = p/2
➡️ (6 − 5)/10 = p/2
➡️ 1/10 = p/2
➡️ p = 1/5
✔️ p = 1/5

🔵 प्रश्न 8.
मान लीजिए A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तथा
P(A) = 0.3,
P(B) = 0.4
तब ज्ञात कीजिए —
(i) ✏️ P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12
✔️ P(A ∩ B) = 0.12
(ii) ✏️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
➡️ = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58
✔️ P(A ∪ B) = 0.58
(iii) ✏️ P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
➡️ = 0.12 / 0.4 = 0.3
✔️ P(A | B) = 0.3
(iv) ✏️ P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
➡️ = 0.12 / 0.3 = 0.4
✔️ P(B | A) = 0.4

🔵 प्रश्न 9
दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ P(A)=1/4, P(B)=1/2 और P(A ∩ B)=1/8।
P( A–नहीं और B–नहीं ) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 1/4 + 1/2 − 1/8 = (2 + 4 − 1)/8 = 5/8
✏️ ➡️ P( A–नहीं और B–नहीं ) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 5/8 = 3/8
✔️ उत्तर: 3/8

🔵 प्रश्न 10
मान लें P(A)=1/2, P(B)=7/12 तथा P( A–नहीं और B–नहीं ) = 1/4।
क्या A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं?
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ यदि A, B स्वतंत्र हों तो
P( A–नहीं और B–नहीं ) = (1−P(A)) (1−P(B))
= (1/2) × (1 − 7/12) = (1/2) × (5/12) = 5/24
✏️ ➡️ दिया गया मान = 1/4 = 6/24, जो 5/24 के बराबर नहीं।
✔️ निष्कर्ष: नहीं, A और B स्वतंत्र नहीं हैं (क्योंकि अपेक्षित मान से मेल नहीं खाता)।

🔵 प्रश्न 11
A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ P(A)=0.3, P(B)=0.6।
(i) P(A और B) (ii) P(A और B–नहीं)
(iii) P(A या B) (iv) P( A और B में कोई भी नहीं ) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ (i) P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 0.3 × 0.6 = 0.18
✔️ 0.18
✏️ ➡️ (ii) P(A ∩ B–नहीं) = P(A)P(B–नहीं) = 0.3 × (1−0.6) = 0.3 × 0.4 = 0.12
✔️ 0.12
✏️ ➡️ (iii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.6 − 0.18 = 0.72
✔️ 0.72
✏️ ➡️ (iv) P( A–नहीं ∩ B–नहीं ) = (1−P(A))(1−P(B))
= 0.7 × 0.4 = 0.28
✔️ 0.28

🔵 प्रश्न 12.
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है, तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर :
✏️ कुल संभावित परिणाम = 6³ = 216
✏️ विषम संख्या न आने की प्रायिकता = (3/6)³ = (1/2)³ = 1/8
✏️ अतः कम से कम एक बार विषम संख्या आने की प्रायिकता ➡️ 1 − 1/8 = 7/8
✔️ अन्तिम उत्तर : 7/8

🔵 प्रश्न 13.
दो गेंदें एक बक्से से बिना प्रतिस्थापन निकाली जाती हैं। बक्से में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) दोनों गेंदें लाल हों
(ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो
(iii) एक काली तथा दूसरी लाल हो
🟢 उत्तर :
✏️ कुल गेंदें = 10 + 8 = 18
✏️ कुल सम्भावित युग्म = 18C2 = 153
(i) दोनों लाल :
➡️ 8C2 / 18C2 = (8×7)/(18×17) = 28/153
(ii) प्रथम काली, दूसरी लाल :
➡️ (10/18) × (8/17) = 80/306 = 40/153
(iii) एक काली, एक लाल :
➡️ (10C1×8C1) / 18C2 = (10×8)/153 = 80/153
✔️ अन्तिम उत्तर :
(i) 28/153, (ii) 40/153, (iii) 80/153

🔵 प्रश्न 14.
एक विशेष समस्या को A और B स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः 1/2 और 1/3 हैं।
यदि दोनों स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं, तो ज्ञात कीजिए –
(i) समस्या हल हो जाती है
(ii) केवल एक ही समस्या हल करता है
🟢 उत्तर :
✏️ समस्या न हल करने की प्रायिकता (A) = 1 − 1/2 = 1/2
✏️ समस्या न हल करने की प्रायिकता (B) = 1 − 1/3 = 2/3
(i) समस्या हल हो जाती है ➡️ 1 − (1/2×2/3) = 1 − 1/3 = 2/3
(ii) केवल एक द्वारा हल = [A हल, B नहीं] + [B हल, A नहीं]
➡️ (1/2×2/3) + (1/3×1/2) = 1/3 + 1/6 = 1/2
✔️ अन्तिम उत्तर :
(i) 2/3
(ii) 1/2

🔵 प्रश्न 15.
ताश के 52 पत्तों की एक मिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन युग्मों की घटनाएँ E
EE और F
FF स्वतंत्र हैं, ज्ञात कीजिए :

✏️ (i)
E : “निकाला गया पत्ता हीरा (diamond) का है”
F : “निकाला गया पत्ता इक्का (ace) है”
➡️ कुल पत्ते = 52
➡️ हीरे के पत्ते = 13
➡️ इक्के (aces) = 4
➡️ हीरे का इक्का = 1
✏️ P(E) = 13/52 = 1/4
✏️ P(F) = 4/52 = 1/13
✏️ P(E ∩ F) = 1/52
✏️ अब जाँचें:
➡️ P(E) × P(F) = (1/4) × (1/13) = 1/52
✔️ क्योंकि P(E ∩ F) = P(E) × P(F),
इसलिए E और F स्वतंत्र घटनाएँ हैं ✅

✏️ (ii)
E : “निकाला गया पत्ता काले रंग (black) का है”
F : “निकाला गया पत्ता बादशाह (king) है”
➡️ काले पत्ते = 26
➡️ बादशाह = 4
➡️ काले बादशाह = 2
✏️ P(E) = 26/52 = 1/2
✏️ P(F) = 4/52 = 1/13
✏️ P(E ∩ F) = 2/52 = 1/26
✏️ अब जाँचें:
➡️ P(E) × P(F) = (1/2) × (1/13) = 1/26
✔️ P(E ∩ F) = P(E) × P(F)
इसलिए E और F स्वतंत्र घटनाएँ हैं ✅

✏️ (iii)
E : “निकाला गया पत्ता बादशाह है”
F : “निकाला गया पत्ता गुलाम (jack) है”
➡️ बादशाह = 4
➡️ गुलाम = 4
➡️ दोनों साथ नहीं हो सकते (क्योंकि एक ही पत्ता एक ही समय चुना जा सकता है)
✏️ P(E) = 4/52 = 1/13
✏️ P(F) = 4/52 = 1/13
✏️ P(E ∩ F) = 0
✏️ P(E) × P(F) = (1/13) × (1/13) = 1/169
❌ P(E ∩ F) ≠ P(E) × P(F)
इसलिए E और F स्वतंत्र नहीं हैं ❌

🔵 प्रश्न 16
एक छात्रावास में P(H)=0.60, P(E)=0.40 और P(H ∩ E)=0.20 हैं, जहाँ
H: “हिन्दी का अख़बार पढ़ती है”, E: “अंग्रेज़ी का अख़बार पढ़ती है”।
(a) न तो हिन्दी, न अंग्रेज़ी पढ़ने की प्रायिकता
✏️ P(H ∪ E) = P(H)+P(E)−P(H ∩ E) = 0.60+0.40−0.20 = 0.80
➡️ P(न H और न E) = 1 − 0.80 = 0.20
✔️ उत्तर: 0.20
(b) यदि वह हिन्दी पढ़ती है, तो उसके अंग्रेज़ी भी पढ़ने की प्रायिकता (P(E|H))
✏️ P(E|H) = P(H ∩ E) / P(H) = 0.20 / 0.60 = 1/3
✔️ उत्तर: 1/3
(c) यदि वह अंग्रेज़ी पढ़ती है, तो उसके हिन्दी भी पढ़ने की प्रायिकता (P(H|E))
✏️ P(H|E) = P(H ∩ E) / P(E) = 0.20 / 0.40 = 1/2
✔️ उत्तर: 1/2

🔵 प्रश्न 17
दो पासे एक साथ उछाले गए। सम अभाज्य (केवल 2) योग मिलने की प्रायिकता क्या है?
✏️ योग 2 केवल युग्म (1,1) से मिलता है → 1 अनुकूल परिणाम
➡️ कुल परिणाम = 36
✏️ प्रायिकता = 1/36
✔️ सही विकल्प: 1/36

🔵 प्रश्न 18
दो घटनाएँ A और B को परस्पर स्वतंत्र कहा जाता है, यदि — (सही विकल्प चुनें)
✏️ स्वतंत्रता का समतुल्य रूप:
P(A′ ∩ B′) = [1 − P(A)] [1 − P(B)] ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B)
➡️ अतः दिया गया सही कथन विकल्प (B) है।
✔️ उत्तर: (B)

प्रश्नावली 13.3

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Question 1
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद उसे पुनः कलश में रख दिया जाता है। फिर निकली हुई गेंद के उसी रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश से एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

Answer
✏️ परिदृश्य
• प्रारम्भ में: लाल = 5, काली = 5 (कुल 10)
• पहली ड्रॉ के बाद गेंद वापस रख दी जाती है और उसी रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें जोड़ी जाती हैं।

✏️ चरण
➡️ पहली बार लाल आने की प्रायिकता = 5/10 = 1/2
 तब संरचना: 7 लाल, 5 काली ⇒ दूसरी बार लाल की प्रायिकता = 7/12

➡️ पहली बार काली आने की प्रायिकता = 5/10 = 1/2
 तब संरचना: 5 लाल, 7 काली ⇒ दूसरी बार लाल की प्रायिकता = 5/12

✏️ कुल प्रायिकता (योग का नियम)
= (1/2)×(7/12) + (1/2)×(5/12)
= 7/24 + 5/24 = 12/24 = 1/2

✔️ अन्तिम उत्तर: दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता = 1/2

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Question 2
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है। यदि गेंद लाल है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकली हो?

Answer
✏️ मान्यताएँ
• B₁: पहला थैला चुना गया, P(B₁) = 1/2
• B₂: दूसरा थैला चुना गया, P(B₂) = 1/2
• R: निकली गेंद लाल है

✏️ सशर्त प्रायिकताएँ
➡️ P(R|B₁) = 4/8 = 1/2
➡️ P(R|B₂) = 2/8 = 1/4

✏️ समग्र लाल की प्रायिकता
P(R) = P(B₁)P(R|B₁) + P(B₂)P(R|B₂)
= (1/2)(1/2) + (1/2)(1/4) = 1/4 + 1/8 = 3/8

✏️ बेयेस नियम से
P(B₁|R) = [P(B₁)P(R|B₁)] / P(R)
= (1/2 × 1/2) / (3/8) = (1/4) × (8/3) = 2/3

✔️ अन्तिम उत्तर: लाल गेंद मिलने पर उसके पहले थैले से आने की प्रायिकता = 2/3

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Question 3
एक वर्ष में एक महाविद्यालय के विद्यार्थियों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास से बाहर रहते हैं। छात्रावास में रहने वाले 30% छात्रों ने A-ग्रेड प्राप्त किया है तथा छात्रावास से बाहर रहने वाले 20% छात्रों ने A-ग्रेड प्राप्त किया है। वर्षान्त पर यादृच्छया चुने गये विद्यार्थी के A-ग्रेड प्राप्त करने पर यह ज्ञात कीजिए कि वह छात्रावास में रहने वाला है।

Answer
✏️ घटनाएँ
• H: छात्र छात्रावास में रहता है, P(H) = 0.60
• H′: छात्र छात्रावास में नहीं रहता, P(H′) = 0.40
• A: छात्र को A-ग्रेड मिला

✏️ सशर्त प्रायिकताएँ
➡️ P(A|H) = 0.30
➡️ P(A|H′) = 0.20

✏️ A की समग्र प्रायिकता (कुल प्रायिकता का नियम)
P(A) = P(H)P(A|H) + P(H′)P(A|H′)
= 0.60×0.30 + 0.40×0.20
= 0.18 + 0.08 = 0.26

✏️ बेयेस नियम
P(H|A) = [P(H)P(A|H)] / P(A)
= 0.60×0.30 / 0.26 = 0.18/0.26 = 9/13

✔️ अन्तिम उत्तर: A-ग्रेड मिल जाने पर छात्र के छात्रावास में रहने की प्रायिकता = 9/13

🔵 प्रश्न 4:
एक बहुविकल्पी प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है।
मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता 3/4 है और अनुमान लगाने की प्रायिकता 1/4 है।
यदि छात्र के प्रश्न का उत्तर को अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता 1/4 है,
तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?

🟢 उत्तर:
✏️ मान लीजिए घटनाएँ :
➡️ A : विद्यार्थी सही उत्तर देता है
➡️ B : विद्यार्थी उत्तर जानता है
➡️ B′ : विद्यार्थी अनुमान लगाता है
अब हमें चाहिए: P(B | A)
💡 बेयेस प्रमेय से,
✏️ P(B | A) = [ P(B) × P(A | B) ] ÷ P(A)

✏️ यहाँ,
✔️ P(B) = 3/4
✔️ P(B′) = 1/4
✔️ P(A | B) = 1
✔️ P(A | B′) = 1/4
अब,
✏️ P(A) = P(B) × P(A | B) + P(B′) × P(A | B′)
➡️ P(A) = (3/4)(1) + (1/4)(1/4)
➡️ P(A) = 3/4 + 1/16 = 13/16

✏️ अब,
P(B | A) = [(3/4) × 1] ÷ (13/16)
➡️ P(B | A) = (3/4) × (16/13)
➡️ P(B | A) = 12/13
✔️ अंतिम उत्तर : 12/13

🔵 प्रश्न 5:
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है,
अर्थात यदि व्यक्ति वास्तव में रोगी है तो 99% मामलों में परीक्षण सही रिपोर्ट देता है।
लेकिन 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति का रिपोर्ट गलत आ जाता है।
जनसंख्या में 0.1% लोग वास्तव में उस रोग से ग्रस्त हैं।
तो क्या प्रायिकता है कि यदि किसी व्यक्ति का परीक्षण पॉज़िटिव आता है तो वह वास्तव में रोगी है?

🟢 उत्तर:
✏️ मान लीजिए घटनाएँ :
➡️ A : व्यक्ति वास्तव में रोगी है
➡️ B : परीक्षण पॉज़िटिव आता है
हमें चाहिए : P(A | B)
✏️ दिए गए हैं :
✔️ P(A) = 0.001
✔️ P(A′) = 0.999
✔️ P(B | A) = 0.99
✔️ P(B | A′) = 0.005

💡 बेयेस प्रमेय से,
✏️ P(A | B) = [ P(A) × P(B | A) ] ÷ [ P(A) × P(B | A) + P(A′) × P(B | A′) ]
➡️ P(A | B) = (0.001 × 0.99) ÷ [(0.001 × 0.99) + (0.999 × 0.005)]
➡️ P(A | B) = 0.00099 ÷ (0.00099 + 0.004995)
➡️ P(A | B) = 0.00099 ÷ 0.005985
➡️ P(A | B) = 0.1654 ≈ 16.54%
✔️ अंतिम उत्तर : 0.1654 या 16.54%

🔵 प्रश्न 6:
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिमत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिमत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?

🟢 उत्तर:
✏️ मानें E1: “दोनों चित वाला सिक्का”, E2: “अभिमत (P(चित)=0.75)”, E3: “अनभिमत (P(चित)=0.5)”, तथा A: “चित आया”।
➡️ P(E1)=P(E2)=P(E3)=1/3
➡️ P(A|E1)=1, P(A|E2)=3/4, P(A|E3)=1/2
➡️ कुल प्रायिकता: P(A)=1*(1/3)+(3/4)(1/3)+(1/2)(1/3)=1/3+1/4+1/6=3/4
➡️ बेयज़ प्रमेय: P(E1|A)=[P(A|E1)P(E1)]/P(A)=(1*(1/3))/(3/4)=(1/3)*(4/3)=4/9
✔️ अंतिम उत्तर: 4/9

🔵 प्रश्न 7:
एक बीमा कंपनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः: 0.01, 0.03 और 0.15 है। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?

🟢 उत्तर:
✏️ मानें S: स्कूटर, C: कार, T: ट्रक; A: “दुर्घटना”। कुल बीमित = 2000+4000+6000=12000।
➡️ P(S)=2000/12000=1/6, P(C)=4000/12000=1/3, P(T)=6000/12000=1/2
➡️ P(A|S)=0.01=1/100, P(A|C)=0.03=3/100, P(A|T)=0.15=15/100=3/20
➡️ कुल प्रायिकता:
P(A)=(1/100)(1/6)+(3/100)(1/3)+(3/20)(1/2)=1/600+1/100+3/40=52/600=13/150
➡️ बेयज़ प्रमेय:
P(S|A)=[P(A|S)P(S)]/P(A)=(1/600)/(13/150)=(1/600)(150/13)=1/52
✔️ अंतिम उत्तर: 1/52

🔵 प्रश्न 8:
एक कारखाने में A और B दो मशीनें लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक टुकड़ा बेतरतीब (यादृच्छया) रूप से चुना जाता है और वह खराब निकलता है, तो इस वस्तु के ‘मशीन A’ द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?

🟢 उत्तर:
✏️ मान लें:
E₁ = “वस्तु मशीन A से बनी”
E₂ = “वस्तु मशीन B से बनी”
A = “वस्तु खराब है”
➡️ दिए गए हैं:
P(E₁) = 0.6
P(E₂) = 0.4
P(A | E₁) = 0.02
P(A | E₂) = 0.01
➡️ कुल प्रायिकता:
P(A) = P(E₁) × P(A | E₁) + P(E₂) × P(A | E₂)
= 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.01
= 0.012 + 0.004 = 0.016
➡️ बेयज़ प्रमेय:
P(E₁ | A) = [P(E₁) × P(A | E₁)] / P(A)
= (0.6 × 0.02) / 0.016
= 0.012 / 0.016 = 12/16 = 3/4
✔️ अंतिम उत्तर: 3/4 या 0.75

🔵 प्रश्न 9:
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक प्रकार के उत्पाद के प्रारंभ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की समान प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारंभ किया गया था।

🟢 उत्तर:
✏️ मान लें:
E₁ = “पहला दल जीतता है”
E₂ = “दूसरा दल जीतता है”
A = “नया उत्पादन प्रारंभ हुआ”
➡️ दिए गए हैं:
P(E₁) = 0.6
P(E₂) = 0.4
P(A | E₁) = 0.7
P(A | E₂) = 0.3
➡️ कुल प्रायिकता:
P(A) = P(E₁) × P(A | E₁) + P(E₂) × P(A | E₂)
= 0.6 × 0.7 + 0.4 × 0.3
= 0.42 + 0.12 = 0.54
➡️ बेयज़ प्रमेय:
P(E₂ | A) = [P(E₂) × P(A | E₂)] / P(A)
= (0.4 × 0.3) / 0.54
= 0.12 / 0.54 = 2/9
✔️ अंतिम उत्तर: 2/9 ≈ 0.222

🔵 प्रश्न 10:
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चित’ की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1, 2, 3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘चित’ या ‘पट’ प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

🟢 उत्तर:
✏️ मान लें:
E₁ = “पासे पर 1, 2, 3, या 4 प्राप्त हुआ”
E₂ = “पासे पर 5 या 6 प्राप्त हुआ”
A = “ठीक एक चित प्राप्त हुआ”
➡️ P(E₁) = 4/6 = 2/3
➡️ P(E₂) = 2/6 = 1/3
अब:
✔️ यदि E₁ घटित हो (पासे पर 1, 2, 3 या 4 आया), तो एक सिक्का एक बार उछाला जाएगा,
तो ठीक एक चित आने की प्रायिकता:
P(A | E₁) = 1/2
✔️ यदि E₂ घटित हो (पासे पर 5 या 6 आया), तो सिक्का तीन बार उछाला जाएगा।
अब ठीक एक चित आने की प्रायिकता:
P(A | E₂) = 3C1 × (1/2)¹ × (1/2)² = 3 × 1/8 = 3/8
➡️ अब कुल प्रायिकता:
P(A) = P(E₁)×P(A | E₁) + P(E₂)×P(A | E₂)
= (2/3)×(1/2) + (1/3)×(3/8)
= 1/3 + 1/8 = 11/24
➡️ बेयज़ प्रमेय:
P(E₁ | A) = [P(E₁)×P(A | E₁)] / P(A)
= [(2/3)×(1/2)] / (11/24) = (1/3) ÷ (11/24) = (1/3) × (24/11) = 8/11
✔️ अंतिम उत्तर: 8/11

🔵 प्रश्न 11:
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C नामक ऑपरेटर हैं। पहला ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमशः 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। प्रत्येक A, B और C क्रमशः कुल समय का 50%, 30% और 20% लगाते हैं। यदि एक खराब सामग्री उत्पन्न की गई है, तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?

🟢 उत्तर:
✏️ मान लें:
E₁ = “A द्वारा निर्मित”
E₂ = “B द्वारा निर्मित”
E₃ = “C द्वारा निर्मित”
A = “वस्तु खराब है”
➡️ दिए गए हैं:
P(E₁) = 0.5, P(E₂) = 0.3, P(E₃) = 0.2
P(A | E₁) = 0.01, P(A | E₂) = 0.05, P(A | E₃) = 0.07
➡️ कुल प्रायिकता:
P(A) = (0.5×0.01) + (0.3×0.05) + (0.2×0.07)
= 0.005 + 0.015 + 0.014 = 0.034
➡️ बेयज़ प्रमेय:
P(E₁ | A) = [P(E₁)×P(A | E₁)] / P(A)
= (0.5×0.01) / 0.034 = 0.005 / 0.034 = 5/34
✔️ अंतिम उत्तर: 5/34 ≈ 0.147

🔵 प्रश्न 12:
52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते का ईंट होने की प्रायिकता क्या है?

🟢 उत्तर:
✏️ मान लें L: “खोया पत्ता ईंट है”, A: “दोनों निकाले पत्ते ईंट हैं”।
➡️ P(L)=13/52=1/4, P(Lᶜ)=3/4
➡️ यदि L घटित: शेष 51 पत्तों में ईंट =12 ⇒ P(A|L)=C(12,2)/C(51,2)
➡️ यदि Lᶜ घटित: शेष 51 में ईंट =13 ⇒ P(A|Lᶜ)=C(13,2)/C(51,2)
➡️ कुल प्रायिकता:
P(A)=P(L)P(A|L)+P(Lᶜ)P(A|Lᶜ)
= (1/4)·C(12,2)/C(51,2) + (3/4)·C(13,2)/C(51,2)
= [ (1/4)·66 + (3/4)·78 ] / C(51,2)

➡️ बेयज़ प्रमेय:
P(L|A)= [P(L)P(A|L)] / P(A)
= [ (1/4)·66 ] / [ (1/4)·66 + (3/4)·78 ]
= 16.5 / 75 = 11/50
✔️ अंतिम उत्तर: 11/50

🔵 प्रश्न 13:
A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता 4/54/54/5 है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है:
(A) 4/5 (B) 1/2 (C) 1/5 (D) 2/5

🟢 उत्तर:
✏️ मान लें H: “वास्तव में चित”, R: “A ने कहा ‘चित’ ”। सिक्का निष्पक्ष है।
➡️ P(H)=1/2, P(Hᶜ)=1/2
➡️ P(R|H)=4/5 (A सत्य बोले तो ‘चित’ ही कहेगा)
➡️ P(R|Hᶜ)=1/5 (A झूठ बोले तो ‘चित’ कहेगा)
➡️ P(R)=P(R|H)P(H)+P(R|Hᶜ)P(Hᶜ)
= (4/5)(1/2) + (1/5)(1/2) = 1/2
➡️ बेयज़ प्रमेय: P(H|R)=[(4/5)(1/2)] / (1/2) = 4/5
✔️ सही विकल्प: (A) 4/5

🔵 प्रश्न 14:
यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A ⊂ B तथा P(B) ≠ 0, तो निम्न में से कौन-सा कथन सही है?

(A) P(A|B) = P(B)/P(A)
(B) P(A|B) < P(A)
(C) P(A|B) ≥ P(A)
(D) इनमें से कोई नहीं

🟢 उत्तर:
✏️ क्योंकि A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
➡️ अतः P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = P(A)/P(B)
➡️ चूँकि P(B) ≤ 1 ⇒ P(A)/P(B) ≥ P(A)
✔️ सही विकल्प: (C) P(A|B) ≥ P(A)

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र

🔷 Section A (बहुविकल्पीय प्रश्न – प्रत्येक 1 अंक)
🔵 प्रश्न 1. यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 तथा A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(A ∩ B) का मान क्या होगा?
🟢 (A) 0.15
🟠 (B) 0.20
🔴 (C) 0.80
🟡 (D) 0.35
✔️ उत्तर: (A) 0.15

🔵 प्रश्न 2. यदि P(A) = 1/3 और P(B) = 1/2 तथा A और B परस्पर बहिष्कृत हैं, तो P(A ∪ B) = ?
🟢 (A) 1/6
🟠 (B) 5/6
🔴 (C) 1/3
🟡 (D) 2/3
✔️ उत्तर: (B) 5/6

🔵 प्रश्न 3. यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.2, तो P(A ∪ B) = ?
🟢 (A) 0.9
🟠 (B) 1.0
🔴 (C) 0.8
🟡 (D) 0.7
✔️ उत्तर: (A) 0.9

🔵 प्रश्न 4. यदि P(A ∪ B) = 0.7, P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, तो P(A ∩ B) = ?
🟢 (A) 0.2
🟠 (B) 0.1
🔴 (C) 0.3
🟡 (D) 0.4
✔️ उत्तर: (B) 0.1

🔵 प्रश्न 5. यदि P(A) = 0.5 और P(B) = 0.4, तो A और B स्वतंत्र होने के लिए P(A ∩ B) = ?
🟢 (A) 0.9
🟠 (B) 0.2
🔴 (C) 0.5
🟡 (D) 0.7
✔️ उत्तर: (B) 0.2

🔵 प्रश्न 6. दो घटनाएँ A और B ऐसी हैं कि P(A) = 0.3, P(B) = 0.5 और P(A ∪ B) = 0.6। तब P(A ∩ B) = ?
🟢 (A) 0.2
🟠 (B) 0.4
🔴 (C) 0.1
🟡 (D) 0.3
✔️ उत्तर: (A) 0.2

🔵 प्रश्न 7. किसी नमूना स्थान में, P(S) = ?
🟢 (A) 0
🟠 (B) 1
🔴 (C) 1/2
🟡 (D) अनिश्चित
✔️ उत्तर: (B) 1

🔵 प्रश्न 8. यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A’ ∩ B) = ?
🟢 (A) P(B) × P(A’)
🟠 (B) P(A) × P(B)
🔴 (C) P(A) + P(B)
🟡 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: (A) P(B) × P(A’)

🔵 प्रश्न 9. यदि किसी सिक्के को दो बार उछाला जाए, तो P(दोनों बार हेड आने की) = ?
🟢 (A) 1/4
🟠 (B) 1/2
🔴 (C) 1/3
🟡 (D) 3/4
✔️ उत्तर: (A) 1/4

🔵 प्रश्न 10. यदि A ⊂ B, तो P(A ∩ B) = ?
🟢 (A) P(B)
🟠 (B) P(A)
🔴 (C) 0
🟡 (D) 1
✔️ उत्तर: (B) P(A)

🔵 प्रश्न 11. यदि P(A) = 0.7 और P(B | A) = 0.5, तो P(A ∩ B) = ?
🟢 (A) 0.35
🟠 (B) 0.2
🔴 (C) 0.5
🟡 (D) 0.7
✔️ उत्तर: (A) 0.35

🔵 प्रश्न 12. दो स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता क्रमशः 0.5 और 0.4 है। दोनों के घटित होने की प्रायिकता = ?
🟢 (A) 0.9
🟠 (B) 0.2
🔴 (C) 0.1
🟡 (D) 0.7
✔️ उत्तर: (B) 0.2

🔵 प्रश्न 13. यदि किसी घटना की प्रायिकता 0.8 है, तो उसके घटित न होने की प्रायिकता = ?
🟢 (A) 0.8
🟠 (B) 0.2
🔴 (C) 0.5
🟡 (D) 1.0
✔️ उत्तर: (B) 0.2

🔵 प्रश्न 14. यदि किसी पासे को फेंका जाए, तो 2 या 3 आने की प्रायिकता = ?
🟢 (A) 1/6
🟠 (B) 1/3
🔴 (C) 1/2
🟡 (D) 2/3
✔️ उत्तर: (B) 1/3

🔵 प्रश्न 15. यदि P(A ∩ B) = 0 और P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0, तो घटनाएँ हैं –
🟢 (A) स्वतंत्र
🟠 (B) परस्पर बहिष्कृत
🔴 (C) समान
🟡 (D) पूरक
✔️ उत्तर: (B) परस्पर बहिष्कृत

🔵 प्रश्न 16. यदि P(A) = 0.6 और P(B) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.18, तो A और B हैं –
🟢 (A) स्वतंत्र
🟠 (B) परस्पर बहिष्कृत
🔴 (C) पूरक
🟡 (D) निर्भर
✔️ उत्तर: (A) स्वतंत्र

🔵 प्रश्न 17. यदि दो पासे फेंके जाएँ, तो योग 7 आने की प्रायिकता = ?
🟢 (A) 1/6
🟠 (B) 1/12
🔴 (C) 1/36
🟡 (D) 1/3
✔️ उत्तर: (A) 1/6

🔵 प्रश्न 18. यदि P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, और P(A ∪ B) = 2/3, तो P(A ∩ B) = ?
🟢 (A) 1/6
🟠 (B) 1/3
🔴 (C) 1/2
🟡 (D) 2/3
✔️ उत्तर: (A) 1/6

🔶 Section B (संक्षिप्त उत्तर प्रश्न – प्रत्येक 2 अंक)
🔵 प्रश्न 19. यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.7 तथा P(A ∪ B) = 0.9 हो, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ सूत्र: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
➡️ 0.9 = 0.4 + 0.7 − P(A ∩ B)
➡️ P(A ∩ B) = 1.1 − 0.9 = 0.2
✔️ अंतिम उत्तर: P(A ∩ B) = 0.2

🔵 प्रश्न 20. यदि P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 और A तथा B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) और P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/3) × (1/4) = 1/12
➡️ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/3 + 1/4 − 1/12 = (4 + 3 − 1)/12 = 6/12 = 1/2
✔️ अंतिम उत्तर:
P(A ∩ B) = 1/12
P(A ∪ B) = 1/2

🔵 प्रश्न 21. यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 और P(A | B) = 0.6 हो, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ सूत्र: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
➡️ 0.6 = P(A ∩ B) / 0.4
➡️ P(A ∩ B) = 0.6 × 0.4 = 0.24
✔️ अंतिम उत्तर: P(A ∩ B) = 0.24

🔵 प्रश्न 22. यदि P(A) = 0.7, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.4 हो, तो जाँच कीजिए कि क्या A और B स्वतंत्र हैं।
🟢 उत्तर:
➡️ A और B स्वतंत्र होंगे यदि P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
➡️ P(A) × P(B) = 0.7 × 0.5 = 0.35
➡️ P(A ∩ B) = 0.4 ≠ 0.35
⚠️ अतः A और B स्वतंत्र नहीं हैं।

🔵 प्रश्न 23. यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.2 हो, तो P(A | B) और P(B | A) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.5 = 0.4
➡️ P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.2 / 0.4 = 0.5
✔️ अंतिम उत्तर:
P(A | B) = 0.4
P(B | A) = 0.5

🔵 प्रश्न 24. यदि दो पासे फेंके जाते हैं, तो योग 7 प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ कुल संभावित परिणाम = 6 × 6 = 36
➡️ योग 7 के लिए अनुकूल युग्म: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 परिणाम
➡️ प्रायिकता = 6 / 36 = 1/6
✔️ अंतिम उत्तर: 1/6

🔵 प्रश्न 25. यदि किसी सिक्के को 3 बार उछाला जाए, तो ठीक 2 हेड आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ कुल परिणाम = 2³ = 8
➡️ ठीक 2 हेड के लिए अनुकूल परिणाम: HHT, HTH, THH → 3
➡️ प्रायिकता = 3 / 8 = 0.375
✔️ अंतिम उत्तर: 3/8

🔵 प्रश्न 26. किसी पात्र में 4 लाल और 6 काले गेंदें हैं। यदि एक गेंद चुनी जाती है, तो लाल गेंद की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ कुल गेंदें = 4 + 6 = 10
➡️ लाल गेंदें = 4
➡️ प्रायिकता = 4 / 10 = 2/5
✔️ अंतिम उत्तर: 2/5

🔵 प्रश्न 27. यदि किसी प्रयोग के लिए S = {1, 2, 3, 4, 5} और A = {2, 4}, तो P(A) = ?
🟢 उत्तर:
➡️ n(S) = 5, n(A) = 2
➡️ P(A) = n(A) / n(S) = 2 / 5 = 0.4
✔️ अंतिम उत्तर: 0.4

🔷 Section C (मध्यम उत्तर प्रश्न – प्रत्येक 3 अंक)
🔵 प्रश्न 28. यदि किसी पात्र में 3 लाल, 5 काले और 2 सफेद गेंदें हैं, और एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) लाल गेंद की प्रायिकता
(ii) काली गेंद की प्रायिकता
(iii) सफेद गेंद की प्रायिकता
🟢 उत्तर:
➡️ कुल गेंदें = 3 + 5 + 2 = 10
(i) P(लाल) = 3 / 10 = 0.3
(ii) P(काली) = 5 / 10 = 0.5
(iii) P(सफेद) = 2 / 10 = 0.2
✔️ अंतिम उत्तर: 0.3, 0.5, 0.2

🔵 प्रश्न 29. यदि किसी सिक्के को 4 बार उछाला जाए, तो ठीक 2 हेड आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ n = 4, p = 1/2, q = 1/2, r = 2
➡️ P(X = 2) = nCr × pʳ × qⁿ⁻ʳ
➡️ = 4C2 × (1/2)² × (1/2)² = 6 × (1/16) = 6/16 = 3/8
✔️ अंतिम उत्तर: 3/8

🔵 प्रश्न 30. यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 और P(A ∩ B) = 0.2, तो ज्ञात कीजिए:
(i) P(A ∪ B)
(ii) P(A | B)
(iii) P(B | A)
🟢 उत्तर:
(i) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7
(ii) P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.4 = 0.5
(iii) P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.2 / 0.5 = 0.4
✔️ अंतिम उत्तर: 0.7, 0.5, 0.4

🔵 प्रश्न 31. यदि P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 और P(A ∪ B) = 0.5 हो, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए और बताइए कि क्या A और B स्वतंत्र हैं।
🟢 उत्तर:
➡️ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.5 = 0.2
➡️ जाँच: P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12 ≠ 0.2
⚠️ अतः A और B स्वतंत्र नहीं हैं।
✔️ अंतिम उत्तर: P(A ∩ B) = 0.2, घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं।

🔵 प्रश्न 32. किसी कारखाने में मशीन A, B, C क्रमशः 20%, 30% और 50% वस्तुएँ बनाती हैं। A, B, C से क्रमशः 5%, 3% और 2% दोषपूर्ण वस्तुएँ बनती हैं। यदि एक वस्तु चुनी गई और वह दोषपूर्ण पाई गई, तो यह संभावना ज्ञात कीजिए कि वह मशीन A से बनी है।
🟢 उत्तर:
➡️ P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5
➡️ P(D | A) = 0.05, P(D | B) = 0.03, P(D | C) = 0.02
➡️ कुल दोषपूर्ण की प्रायिकता:
P(D) = (0.2)(0.05) + (0.3)(0.03) + (0.5)(0.02)
= 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029
➡️ बायेज़ प्रमेय से:
P(A | D) = [P(A) × P(D | A)] / P(D) = 0.01 / 0.029 = 10/29 ≈ 0.345
✔️ अंतिम उत्तर: 10/29 या 0.345

🔵 प्रश्न 33. किसी द्विपद वितरण में n = 5, p = 0.4 हो, तो X = 2 के लिए प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ P(X = 2) = 5C2 × (0.4)² × (0.6)³
➡️ 5C2 = 10
➡️ = 10 × 0.16 × 0.216 = 10 × 0.03456 = 0.3456
✔️ अंतिम उत्तर: 0.3456

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