Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 12: रैखिक प्रोग्रामन
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 1. परिचय (Introduction)
➡️ रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) एक ऐसी गणितीय विधि है जिसमें किसी रैखिक फलन (Linear Function) को कुछ रैखिक असमिकाओं (Linear Inequalities) की शर्तों के अंतर्गत अधिकतम (Maximize) या न्यूनतम (Minimize) किया जाता है।
💡 मुख्य विचार:
रैखिक प्रोग्रामन का उद्देश्य —
🔹 किसी फलन Z = a·x + b·y का मान प्राप्त करना,
🔹 ऐसी दशाओं में जहाँ x और y कुछ असमिकाओं को संतुष्ट करते हों।
✏️ उदाहरण:
एक उद्योगपति अपने लाभ को अधिकतम करना चाहता है, जिसके लिए वह रैखिक प्रोग्रामन की सहायता लेता है।
🟢 2. रैखिक प्रोग्रामन समस्या के घटक (Components)
🔹 (i) निर्णय चर (Decision Variables):
वे राशियाँ जिनका मान निकालना होता है, जैसे x, y।
🔹 (ii) उद्देश्य फलन (Objective Function):
Z = a·x + b·y, जहाँ a, b नियतांक हैं।
इसका मान अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
🔹 (iii) बाधाएँ (Constraints):
रैखिक असमिकाओं के रूप में दी जाती हैं, जैसे
2·x + 3·y ≤ 6,
x + y ≥ 3।
🔹 (iv) अऋणता शर्त (Non-Negativity Condition):
x ≥ 0, y ≥ 0
क्योंकि वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
🔴 3. उद्देश्य फलन (Objective Function)
➡️ Z = a·x + b·y
🔸 जहाँ Z वह फलन है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना है।
🔸 a, b नियतांक (constant) हैं।
🔸 x, y निर्णय चर हैं।
🟡 4. बाधाएँ (Constraints)
रैखिक असमिकाएँ जैसे:
2·x + y ≤ 10
x + 3·y ≤ 15
x ≥ 0, y ≥ 0
इन असमिकाओं से एक साध्य क्षेत्र (Feasible Region) बनता है।
🔵 5. साध्य क्षेत्र (Feasible Region)
➡️ वह क्षेत्र जो सभी असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करता है।
➡️ यह क्षेत्र ग्राफ में बहुभुजाकार रूप में दिखाई देता है।
💡 प्रकार:
🔹 सीमित साध्य क्षेत्र (Bounded) – जहाँ क्षेत्र सीमित है।
🔹 असीमित साध्य क्षेत्र (Unbounded) – जहाँ क्षेत्र अनंत दिशा में बढ़ता है।
🟢 6. कोण बिंदु (Corner Points)
➡️ साध्य क्षेत्र की सीमा पर स्थित वे बिंदु जहाँ दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
➡️ Z = a·x + b·y का मान प्रत्येक कोण बिंदु पर निकालते हैं।
➡️ अधिकतम/न्यूनतम मान किसी एक कोण बिंदु पर प्राप्त होता है।
💡 कोण बिंदु प्रमेय (Corner Point Theorem):
यदि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल अस्तित्व में है, तो वह साध्य क्षेत्र के किसी कोण बिंदु पर प्राप्त होगा।
🔴 7. ग्राफीय विधि (Graphical Method)
चरण:
1️⃣ असमिकाओं को = के रूप में लिखें।
2️⃣ प्रत्येक रेखा को x–y तल पर अंकित करें।
3️⃣ सही अर्ध-समतल (Half-plane) चुनें।
4️⃣ सभी रेखाओं के सामान्य क्षेत्र को साध्य क्षेत्र मानें।
5️⃣ साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु ज्ञात करें।
6️⃣ प्रत्येक बिंदु पर Z = a·x + b·y का मान निकालें।
7️⃣ अधिकतम या न्यूनतम मान निर्धारित करें।
🟡 8. विशेष स्थितियाँ (Special Cases)
🔹 (i) कोई साध्य क्षेत्र नहीं: यदि असमिकाएँ विरोधाभासी हैं।
🔹 (ii) असीमित साध्य क्षेत्र: चरम मान केवल तभी अस्तित्व में होगा जब वह सीमित हो।
🔹 (iii) बहुल हल: यदि एक से अधिक कोण बिंदुओं पर समान चरम मान प्राप्त हो।
🔵 9. उदाहरण (Example)
🎯 अधिकतम करें ➡️ Z = 3·x + 5·y
शर्तें (Constraints):
1️⃣ x + y ≤ 4
2️⃣ x ≤ 2
3️⃣ y ≤ 3
4️⃣ x ≥ 0, y ≥ 0
➡️ अब ग्राफ द्वारा साध्य क्षेत्र बनाएँ।
➡️ प्रत्येक असमिका को रेखा के रूप में लिखें:
x + y = 4
x = 2
y = 3
x = 0, y = 0 (अक्ष)
✏️ इन रेखाओं के प्रतिच्छेद से बने साध्य क्षेत्र (Feasible Region) के कोण बिंदु (Corner Points) होंगे:
(0,0), (0,3), (1,3), (2,2), (2,0)
अब प्रत्येक बिंदु पर Z = 3·x + 5·y का मान निकालें:बिंदु Z = 3·x + 5·y (0,0) 3·0 + 5·0 = 0 (0,3) 3·0 + 5·3 = 15 (1,3) 3·1 + 5·3 = 3 + 15 = 18 (2,2) 3·2 + 5·2 = 6 + 10 = 16 (2,0) 3·2 + 5·0 = 6 + 0 = 6
✔️ Z का अधिकतम मान = 18
📍 यह बिंदु (1, 3) पर प्राप्त होता है।
➡️ अतः हल:
x = 1, y = 3, Zₘₐₓ = 18
🟢 10. अनुप्रयोग (Applications)
📌 उत्पादन योजना (Production Planning)
📌 संसाधन आवंटन (Resource Allocation)
📌 लाभ अधिकतमकरण (Profit Maximization)
📌 लागत न्यूनकरण (Cost Minimization)
📌 परिवहन समस्या (Transportation Problem)
🔴 11. सावधानियाँ (Precautions)
⚡ सभी असमिकाओं के सही अर्ध-समतल चुनें।
⚡ x ≥ 0, y ≥ 0 की शर्त सदैव शामिल करें।
⚡ केवल दो चर वाली समस्याओं पर ग्राफीय विधि लागू करें।
⚡ हर कोण बिंदु पर Z का मान अवश्य निकालें।
📘 सारांश (Summary)
🔹 रैखिक प्रोग्रामन समस्या में Z = a·x + b·y को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है।
🔹 बाधाएँ रैखिक असमिकाएँ होती हैं जो साध्य क्षेत्र बनाती हैं।
🔹 Corner Point Theorem के अनुसार हल कोण बिंदु पर प्राप्त होता है।
🔹 यदि साध्य क्षेत्र सीमित है, तो चरम मान निश्चित रूप से प्राप्त होता है।
🔹 यह विधि दो चरों वाली समस्याओं के लिए उपयुक्त है।
🔹 रैखिक प्रोग्रामन के उपयोग — लाभ बढ़ाना, लागत घटाना, संसाधन आवंटन।
📝 Quick Recap
🔹 🎯 उद्देश्य फलन: Z = a·x + b·y
🔹 📏 बाधाएँ: रैखिक असमिकाएँ
🔹 📉 साध्य क्षेत्र: असमिकाओं का समान क्षेत्र
🔹 🧠 Corner Point Theorem: चरम मान कोण बिंदु पर
🔹 📈 ग्राफीय विधि: दो चरों के लिए
🔹 💡 उपयोग: लाभ अधिकतम, लागत न्यूनतम
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🧾 प्रश्नावली 12.1
🔵 प्रश्न 1:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,0), (4,0), (0,4)
✏️ Z(0,0) = 0
✏️ Z(4,0) = 12
✏️ Z(0,4) = 16
✔️ अधिकतम Z = 16 बिंदु (0,4) पर।
🔵 प्रश्न 2:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,0), (4,0), (0,4), (2,3)
✏️ Z(0,0) = 0
✏️ Z(4,0) = -12
✏️ Z(0,4) = 16
✏️ Z(2,3) = 6
✔️ न्यूनतम Z = -12 बिंदु (4,0) पर।
🔵 प्रश्न 3:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,0), (2,0), (0,3), तथा दोनों रेखाओं का छेदन
✏️ छेदन से ➡️ x = 20/19, y = 45/19
✏️ Z(0,0) = 0
✏️ Z(2,0) = 10
✏️ Z(0,3) = 9
✏️ Z(20/19, 45/19) = 235/19
✔️ अधिकतम Z = 235/19 बिंदु (20/19, 45/19) पर।
🔵 प्रश्न 4:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
x + 3y ≥ 3, x ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ छेदन बिंदु ➡️ x = 2, y = 1/3
✏️ Z(2, 1/3) = 6 + 5/3 = 23/3
✏️ Z(3, 0) = 9
✔️ न्यूनतम Z = 23/3 बिंदु (2, 1/3) पर।
🔵 प्रश्न 5:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ क्षेत्र में मूल बिंदु (0,0) शामिल है
✏️ Z(0,0) = 0
✔️ न्यूनतम Z = 0 बिंदु (0,0) पर।
🔵 प्रश्न 6:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,3) और (6,0)
✏️ Z(0,3) = 6
✏️ Z(6,0) = 6
✔️ न्यूनतम Z = 6, जो रेखा-खंड (0,3) से (6,0) तक के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।
📝 Quick Recap:
✏️ अधिकतम/न्यूनतम सदैव कोने-बिंदुओं पर प्राप्त होते हैं।
✏️ ‘≤’ प्रकार की बाधाएँ क्षेत्र को मूल की ओर बाँधती हैं।
✏️ जब Z किसी किनारे के समानान्तर होता है ➡️ उस किनारे पर Z का मान समान रहता है।
✔️ प्रश्न 6 में यही स्थिति है।
🔵 प्रश्न 7:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = 5x + 10y का न्यूनतमकरण तथा अधिकतमकरण कीजिए :
x + 2y ≤ 120,
x + y ≥ 60,
x – 2y ≥ 0,
x, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ सबसे पहले रेखाएँ बनाइए :
x + 2y = 120,
x + y = 60,
x – 2y = 0
✏️ ➡️ इनसे बने क्षेत्र के कोने बिंदु हैं :
A(0,60), B(40,40), C(120,0)
✏️ ➡️ अब प्रत्येक कोने पर Z = 5x + 10y का मान ज्ञात करें:
Z(A) = 5(0) + 10(60) = 600
Z(B) = 5(40) + 10(40) = 600
Z(C) = 5(120) + 10(0) = 600
✔️ अतः न्यूनतम मान = अधिकतम मान = 600
✔️ यह क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर समान है।
🔵 प्रश्न 8:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = x + 2y का न्यूनतमकरण तथा अधिकतमकरण कीजिए :
x + 2y ≥ 100,
2x – y ≤ 0,
2x + y ≤ 200,
x, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ समीकरणों की रेखाएँ :
x + 2y = 100,
2x – y = 0 (या y = 2x),
2x + y = 200
✏️ ➡️ कोने बिंदु ज्ञात करें :
A(0,50), B(40,80), C(50,100)
✏️ ➡️ प्रत्येक बिंदु पर Z = x + 2y का मान:
Z(A) = 0 + 2(50) = 100
Z(B) = 40 + 2(80) = 200
Z(C) = 50 + 2(100) = 250
✔️ न्यूनतम मान = 100, बिंदु A(0,50) पर
✔️ अधिकतम मान = 250, बिंदु C(50,100) पर
🔵 प्रश्न 9:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = –x + 2y का अधिकतमकरण कीजिए :
x ≥ 3,
x + y ≥ 5,
x + 2y ≥ 6,
y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ रेखाएँ :
x = 3,
x + y = 5,
x + 2y = 6
✏️ ➡️ प्रतिच्छेदन बिंदु:
A(3,0), B(3,1.5), C(4,1)
✏️ ➡️ Z = –x + 2y
Z(A) = –3 + 0 = –3
Z(B) = –3 + 3 = 0
Z(C) = –4 + 2 = –2
✔️ अधिकतम मान = 0 बिंदु B(3,1.5) पर।
🔵 प्रश्न 10:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = x + y का अधिकतमकरण कीजिए :
x – y ≤ –1,
–x + y ≤ 0,
x, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ पहली रेखा: x – y = –1 ⇒ y = x + 1
✏️ ➡️ दूसरी रेखा: –x + y = 0 ⇒ y = x
✏️ ➡️ क्षेत्र y ≥ x + 1 और y ≥ x दोनों रेखाओं के ऊपर है।
✏️ ➡️ कोई सीमित क्षेत्र नहीं बनता, अतः Z = x + y का मान अनंत तक बढ़ सकता है।
✔️ अधिकतम मान अपरिभाषित (∞)
✔️ कोई सीमित अधिकतम नहीं है।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र
🔵 प्रश्न 1
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन का सामान्य रूप है:
🔵 (A) Z = ax + by
🟢 (B) Z = a/x + b/y
🟠 (C) Z = a·x² + b·y²
🔴 (D) Z = a·x³ + b·y³
✔️ Answer: (A) Z = ax + by
🔵 प्रश्न 2
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में बाधाएँ दी जाती हैं:
🔵 (A) रैखिक समीकरण के रूप में
🟢 (B) रैखिक असमिकाओं के रूप में
🟠 (C) द्विघात समीकरण के रूप में
🔴 (D) लघुगणकीय रूप में
✔️ Answer: (B) रैखिक असमिकाओं के रूप में
🔵 प्रश्न 3
रैखिक प्रोग्रामन में कौन सी शर्त सदैव आवश्यक होती है?
🔵 (A) x ≤ 0, y ≤ 0
🟢 (B) x ≥ 0, y ≥ 0
🟠 (C) x = 0, y = 0
🔴 (D) x, y कोई भी मान ले सकते हैं
✔️ Answer: (B) x ≥ 0, y ≥ 0
🔵 प्रश्न 4
साध्य क्षेत्र (Feasible Region) किससे बनता है?
🔵 (A) उद्देश्य फलन से
🟢 (B) बाधाओं से
🟠 (C) अऋणता शर्त से
🔴 (D) उपर्युक्त सभी से
✔️ Answer: (B) बाधाओं से
🔵 प्रश्न 5
रैखिक प्रोग्रामन का हल प्राप्त करने की कौन सी विधि दो चर वाले मामलों में प्रयुक्त होती है?
🔵 (A) बीजीय विधि
🟢 (B) ग्राफीय विधि
🟠 (C) रेखीय विधि
🔴 (D) संख्यात्मक विधि
✔️ Answer: (B) ग्राफीय विधि
🔵 प्रश्न 6
यदि साध्य क्षेत्र सीमित है, तो:
🔵 (A) हल अस्तित्व में नहीं होता
🟢 (B) अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त होते हैं
🟠 (C) केवल न्यूनतम मान मिलता है
🔴 (D) केवल अधिकतम मान मिलता है
✔️ Answer: (B) अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त होते हैं
🔵 प्रश्न 7
Corner Point Theorem के अनुसार हल किस पर प्राप्त होता है?
🔵 (A) साध्य क्षेत्र के भीतर
🟢 (B) साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु पर
🟠 (C) असाध्य क्षेत्र पर
🔴 (D) कहीं भी
✔️ Answer: (B) साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु पर
🔵 प्रश्न 8
यदि साध्य क्षेत्र असीमित हो, तो:
🔵 (A) अधिकतम मान निश्चित रूप से प्राप्त होगा
🟢 (B) न्यूनतम मान प्राप्त नहीं हो सकता
🟠 (C) चरम मान का परीक्षण आवश्यक है
🔴 (D) कोई हल नहीं होगा
✔️ Answer: (C) चरम मान का परीक्षण आवश्यक है
🔵 प्रश्न 9
बाधाएँ किस रूप में दी जाती हैं?
🔵 (A) ax + by = c
🟢 (B) ax + by ≤ c या ax + by ≥ c
🟠 (C) ax² + by² = c
🔴 (D) उपर्युक्त सभी
✔️ Answer: (B) ax + by ≤ c या ax + by ≥ c
🔵 प्रश्न 10
रैखिक प्रोग्रामन में निर्णय चर कौन होते हैं?
🔵 (A) वे राशियाँ जिनका मान निश्चित है
🟢 (B) वे राशियाँ जिनका मान निकालना है
🟠 (C) नियतांक
🔴 (D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
✔️ Answer: (B) वे राशियाँ जिनका मान निकालना है
🔵 प्रश्न 11
यदि बाधाएँ विरोधाभासी हों, तो:
🔵 (A) बहुल हल मिलते हैं
🟢 (B) कोई साध्य क्षेत्र नहीं बनेगा
🟠 (C) सभी हल संभव हैं
🔴 (D) हल असीमित होंगे
✔️ Answer: (B) कोई साध्य क्षेत्र नहीं बनेगा
🔵 प्रश्न 12
यदि दो बिंदुओं पर Z का मान समान हो, तो:
🔵 (A) कोई हल नहीं
🟢 (B) बहुल हल होंगे
🟠 (C) अधिकतम हल
🔴 (D) न्यूनतम हल
✔️ Answer: (B) बहुल हल होंगे
🔵 प्रश्न 13
ग्राफीय विधि किस स्थिति में प्रयुक्त होती है?
🔵 (A) दो से अधिक चर
🟢 (B) दो चर
🟠 (C) एक चर
🔴 (D) कोई भी नहीं
✔️ Answer: (B) दो चर
🔵 प्रश्न 14
उद्देश्य फलन का रूप सदैव होता है:
🔵 (A) द्विघात
🟢 (B) रैखिक
🟠 (C) घन
🔴 (D) घातांकीय
✔️ Answer: (B) रैखिक
🔵 प्रश्न 15
रैखिक प्रोग्रामन में हल का स्वरूप होता है:
🔵 (A) समीकरण
🟢 (B) बिंदु
🟠 (C) वक्र
🔴 (D) असमिका
✔️ Answer: (B) बिंदु
🔵 प्रश्न 16
यदि साध्य क्षेत्र सीमित है, तो Z का अधिकतम और न्यूनतम मान:
🔵 (A) अस्तित्व में नहीं
🟢 (B) अस्तित्व में होता है
🟠 (C) केवल अधिकतम
🔴 (D) केवल न्यूनतम
✔️ Answer: (B) अस्तित्व में होता है
🔵 प्रश्न 17
Z = 3x + 2y का अधिकतम मान ज्ञात करने हेतु किस क्षेत्र में जाँच करते हैं?
🔵 (A) असाध्य क्षेत्र
🟢 (B) साध्य क्षेत्र
🟠 (C) असीम क्षेत्र
🔴 (D) पूरे तल पर
✔️ Answer: (B) साध्य क्षेत्र
🔵 प्रश्न 18
रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग कहाँ नहीं होता?
🔵 (A) लाभ अधिकतमकरण
🟢 (B) लागत न्यूनकरण
🟠 (C) आकस्मिक निर्णय
🔴 (D) संसाधन आवंटन
✔️ Answer: (C) आकस्मिक निर्णय
(Section B: Q19–Q23 — लघु उत्तर • Section C: Q24–Q28 — मध्यम उत्तर)
🔵 प्रश्न 19
रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) के चार मुख्य घटक लिखिए।
उत्तर:
🟢 घटक 1: निर्णय चर (Decision Variables) — जैसे x, y
🟡 घटक 2: उद्देश्य फलन (Objective Function) — Z = a·x + b·y
🔴 घटक 3: बाधाएँ (Constraints) — रैखिक असमिकाएँ, जैसे ax + by ≤ c
🟣 घटक 4: अऋणता शर्त (Non-negativity) — x ≥ 0, y ≥ 0
🔵 प्रश्न 20
Corner Point Theorem का कथन लिखिए।
उत्तर:
🟢 Step 1: यदि LPP का साध्य क्षेत्र रिक्त नहीं है और हल अस्तित्व में है,
🟡 Step 2: तो उद्देश्य फलन Z = a·x + b·y का अधिकतम/न्यूनतम मान साध्य क्षेत्र के किसी कोण बिंदु पर प्राप्त होता है।
✔️ निष्कर्ष: चरम मान की जाँच केवल कोण बिंदुओं पर पर्याप्त है।
🔵 प्रश्न 21
निम्न असमिकाओं से अर्ध-समतल कैसे चुना जाता है: 2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0?
उत्तर:
🟢 Step 1: प्रत्येक असमिका को = के रूप में लिखें: 2x + y = 6
🟡 Step 2: जाँच बिंदु (0,0) रखें: 2·0 + 0 = 0 ≤ 6 ⇒ सही अर्ध-समतल रेखा के नीचे/बाएँ
🔴 Step 3: x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ प्रथम चतुर्थांश
✔️ निष्कर्ष: साध्य क्षेत्र = रेखा 2x + y = 6 के नीचे का भाग ∩ प्रथम चतुर्थांश
🔵 प्रश्न 22
यदि साध्य क्षेत्र असीमित हो, तो अधिकतम मान की पुष्टि कैसे करेंगे?
उत्तर:
🟢 Step 1: कोण बिंदु पर Z का मान निकालें
🟡 Step 2: उद्देश्य रेखा Z = k को समान्तर खिसकाएँ
🔴 Step 3: यदि Z का मान किसी दिशा में बिना बंधन बढ़ता/घटता है, तो चरम मान अस्तित्व में नहीं
✔️ Step 4: यदि आगे खिसकाने पर साध्य क्षेत्र छोड़ना पड़े, तो प्राप्त मान ही अधिकतम/न्यूनतम है
🔵 प्रश्न 23
बहुल (Multiple) हल कब प्राप्त होते हैं?
उत्तर:
🟢 Step 1: जब दो या अधिक कोण बिंदुओं पर Z का मान समान हो
🟡 Step 2: और वह समान मान उन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर भी प्राप्त हो
✔️ निष्कर्ष: उद्देश्य रेखा साध्य क्षेत्र की किसी भुजा के समान्तर/समापतित हो जाती है
🟦 Section C — मध्यम उत्तर (3 अंक प्रत्येक)
🔵 प्रश्न 24
अधिकतम कीजिए: Z = 3x + 2y, बाधाएँ: x + y ≤ 4, x ≤ 3, y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + y = 4; x = 3; y = 2; अक्ष x = 0, y = 0
🟡 Step 2: साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु: (0,0), (0,2), (2,2), (3,1), (3,0)
🔴 Step 3: Z मान:
• (0,0) → 0
• (0,2) → 4
• (2,2) → 3·2 + 2·2 = 10
• (3,1) → 3·3 + 2·1 = 11
• (3,0) → 9
✔️ Final: Z_max = 11 बिंदु (3,1) पर; x = 3, y = 1
🔵 प्रश्न 25
न्यूनतम कीजिए: Z = 4x + 6y, बाधाएँ: x + 2y ≥ 4, 2x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + 2y = 4; 2x + y = 4
🟡 Step 2: प्रतिच्छेद: x + 2y = 4 … (i), 2x + y = 4 … (ii)
• (i)×2 ⇒ 2x + 4y = 8
• घटाएँ (ii): (2x + 4y) − (2x + y) = 8 − 4 ⇒ 3y = 4 ⇒ y = 4/3
• x = 4 − y·2 = 4 − 8/3 = 4/3
🔴 Step 3: सम्भाव्य कोण बिंदु (प्रथम चतुर्थांश में और दोनों ≥): (4,0), (0,4), (4/3, 4/3)
🟣 Step 4: Z मान:
• (4,0): 16
• (0,4): 24
• (4/3, 4/3): 4·(4/3) + 6·(4/3) = (16 + 24)/3 = 40/3
✔️ Final: Z_min = 40/3 बिंदु (4/3, 4/3) पर
🔵 प्रश्न 26
अधिकतम कीजिए: Z = 5x + 4y, बाधाएँ: x + y ≤ 5, x ≥ 1, y ≥ 0, x ≤ 4.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + y = 5; x = 1; x = 4; y = 0
🟡 Step 2: साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु: (1,0), (4,0), (4,1), (1,4)
🔴 Step 3: Z मान:
• (1,0): 5
• (4,0): 20
• (4,1): 5·4 + 4·1 = 24
• (1,4): 5 + 16 = 21
✔️ Final: Z_max = 24 बिंदु (4,1) पर; x = 4, y = 1
🔵 प्रश्न 27
न्यूनतम कीजिए: Z = 7x + 3y, बाधाएँ: x + y ≥ 3, x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 4.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + y = 3; y = 0; y = 4
🟡 Step 2: सम्भाव्य कोण बिंदु (प्रथम चतुर्थांश में तथा x + y ≥ 3): (0,3), (0,4), (3,0), (4,0)
🔴 Step 3: Z मान:
• (0,3): 9
• (0,4): 12
• (3,0): 21
• (4,0): 28
✔️ Final: Z_min = 9 बिंदु (0,3) पर; x = 0, y = 3
✳️ Response 3 — प्रश्न 28 से 33 (Section D एवं E)
🔴 प्रश्न 28 (दीर्घ उत्तर प्रश्न — 5 अंक)
प्रश्न: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या का ग्राफीय विधि से हल कीजिए —
अधिकतम करें: Z = 5·x + 3·y
बाधाएँ:
1️⃣ x + y ≤ 4
2️⃣ x ≤ 2
3️⃣ y ≤ 3
4️⃣ x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
➤ चरण 1: असमिकाओं को समीकरण के रूप में लिखें —
x + y = 4, x = 2, y = 3
➤ चरण 2: ग्राफ में इन रेखाओं को अंकित करें।
x + y = 4 रेखा के बिंदु: (0,4), (4,0)
x = 2 रेखा: (2,0), (2,4)
y = 3 रेखा: (0,3), (4,3)
➤ चरण 3: x ≥ 0, y ≥ 0 के साथ इन रेखाओं का समान क्षेत्र साध्य क्षेत्र बनेगा।
➤ चरण 4: साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु:
(0,0), (0,3), (1,3), (2,2), (2,0)
➤ चरण 5: प्रत्येक बिंदु पर Z = 5·x + 3·y का मान:
(0,0): Z = 0
(0,3): Z = 9
(1,3): Z = 5 + 9 = 14
(2,2): Z = 10 + 6 = 16
(2,0): Z = 10
➤ चरण 6: अधिकतम मान = 16 बिंदु (2,2) पर।
✔️ अतः अधिकतम Z = 16
📍 x = 2, y = 2 पर प्राप्त।
🔴 प्रश्न 29
प्रश्न: अधिकतम करें Z = 4·x + 3·y
शर्तें:
x + 2·y ≤ 8
3·x + y ≤ 9
x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
➤ चरण 1: रेखाएँ:
x + 2·y = 8
3·x + y = 9
➤ चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें:
x + 2·y = 8 … (i)
3·x + y = 9 … (ii)
समीकरण हल:
(×2) → 2·x + 4·y = 16
(–) → 3·x + y = 9
घटाने पर: (–1·x + 3·y = 7)
x = 2, y = 3
➤ चरण 3: कोण बिंदु: (0,0), (0,4), (3,0), (2,3)
➤ चरण 4: Z के मान:
(0,0): 0
(0,4): 12
(3,0): 12
(2,3): 8 + 9 = 17
✔️ अधिकतम Z = 17 पर (2,3)
📍 x = 2, y = 3, Zₘₐₓ = 17
🔴 प्रश्न 30
प्रश्न: न्यूनतम करें Z = 6·x + 8·y
बाधाएँ:
x + y ≥ 3
x + 2·y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
➤ चरण 1: रेखाएँ:
x + y = 3
x + 2·y = 4
➤ चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु:
x + y = 3 … (i)
x + 2·y = 4 … (ii)
घटाने पर: y = 1 ⇒ x = 2
➤ कोण बिंदु: (0,4), (3,0), (2,1)
➤ चरण 3: प्रत्येक बिंदु पर Z = 6·x + 8·y का मान:
(0,4): 0 + 32 = 32
(3,0): 18 + 0 = 18
(2,1): 12 + 8 = 20
✔️ न्यूनतम Z = 18 बिंदु (3,0) पर।
📍 x = 3, y = 0, Zₘᵢₙ = 18
🔴 प्रश्न 31
प्रश्न: ग्राफीय विधि से निम्न LPP हल कीजिए:
अधिकतम करें: Z = 2·x + 3·y
शर्तें:
x + y ≤ 6
x ≥ 2
y ≥ 1
x, y ≥ 0
उत्तर:
रेखाएँ:
x + y = 6 → (0,6), (6,0)
x = 2
y = 1
साध्य क्षेत्र के बिंदु: (2,1), (2,4), (5,1)
Z के मान:
(2,1): 4 + 3 = 7
(2,4): 4 + 12 = 16
(5,1): 10 + 3 = 13
✔️ अधिकतम Z = 16 पर (2,4)
📍 x = 2, y = 4, Zₘₐₓ = 16
🔴 प्रश्न 32 (Case Study)
एक उत्पादक दो वस्तुएँ A और B बनाता है।
A की प्रति इकाई लाभ = ₹3,
B की प्रति इकाई लाभ = ₹5
शर्तें:
1️⃣ A की अधिकतम 4 इकाइयाँ बन सकती हैं
2️⃣ B की अधिकतम 3 इकाइयाँ बन सकती हैं
3️⃣ कुल उत्पादन ≤ 6 इकाइयाँ
x = A की इकाइयाँ, y = B की इकाइयाँ
अधिकतम करें: Z = 3·x + 5·y
बाधाएँ:
x ≤ 4, y ≤ 3, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
कोण बिंदु: (0,0), (0,3), (3,3), (4,2), (4,0)
Z के मान:
(0,0): 0
(0,3): 15
(3,3): 9 + 15 = 24
(4,2): 12 + 10 = 22
(4,0): 12
✔️ अधिकतम Z = 24 बिंदु (3,3) पर।
📍 x = 3, y = 3
🔴 प्रश्न 33 (Case Study)
एक किसान दो फसलें गेहूँ (x) और धान (y) उगाता है।
गेहूँ प्रति हेक्टेयर से लाभ ₹2000,
धान प्रति हेक्टेयर से लाभ ₹3000।
भूमि = 4 हेक्टेयर
जल सीमा:
गेहूँ को 1 इकाई जल/हेक्टेयर,
धान को 2 इकाई जल/हेक्टेयर
कुल जल = 6 इकाई
अधिकतम करें: Z = 2000·x + 3000·y
बाधाएँ:
x + y ≤ 4
x + 2·y ≤ 6
x, y ≥ 0
कोण बिंदु: (0,0), (0,3), (2,2), (4,0)
Z के मान:
(0,0): 0
(0,3): 9000
(2,2): 4000 + 6000 = 10000
(4,0): 8000
✔️ Zₘₐₓ = 10000 पर (2,2)
📍 x = 2 हेक्टेयर गेहूँ, y = 2 हेक्टेयर धान
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