Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 7. द्विपद प्रमेय
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
✳️ व्याख्या (Explanation Section)
🔵 परिचय (Introduction)
द्विपद प्रमेय गणित की एक अत्यंत महत्वपूर्ण संकल्पना है, जिसका उपयोग बीजगणित, क्रमचय–संचय, प्रायिकता और श्रेणी सिद्धान्त में व्यापक रूप से किया जाता है।
यह प्रमेय किसी भी द्विपद (a + b)ⁿ के प्रसार (expansion) को सरल और व्यवस्थित रूप में व्यक्त करता है।
🟢 द्विपद की परिभाषा
यदि कोई बीजगणितीय पद दो पदों से मिलकर बना हो, जैसे (a + b), (x + y), (2p – 3q), तो उसे द्विपद (Binomial) कहते हैं।
🔹 उदाहरण: (x + 3), (2x – y), (a + b)
🔹 यहाँ दो पद हैं — एक धनात्मक, एक ऋणात्मक भी हो सकता है।
🟠 द्विपद का घातांक (Power of Binomial)
जब किसी द्विपद को किसी धनात्मक पूर्णांक n की घात में उठाया जाता है, जैसे (a + b)ⁿ, तो उसके विस्तार में कुल (n + 1) पद होते हैं।
यहाँ “द्विपद प्रमेय” हमें यह बताता है कि इन पदों को कैसे लिखा जा सकता है।
🔴 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का कथन
💡 कथन:
यदि n कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो
(a + b)ⁿ = nC₀aⁿ + nC₁aⁿ⁻¹b + nC₂aⁿ⁻²b² + … + nCᵣaⁿ⁻ʳbʳ + … + nCₙbⁿ
यह प्रमेय पैस्कल त्रिभुज (Pascal’s Triangle) के गुणांक के समान है।
✏️ सूत्र में प्रयुक्त चिह्नों का अर्थ
➡️ nCᵣ = संयोजन गुणांक (Combination term)
➡️ nCᵣ = n! / [r!(n – r)!]
➡️ r = 0, 1, 2, …, n
➡️ कुल पदों की संख्या = (n + 1)
💡 सामान्य पद (General Term)
(a + b)ⁿ के प्रसार का सामान्य पद Tᵣ₊₁ होगा —
Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
जहाँ
r = 0, 1, 2, …, n
🔹 यह किसी भी विशिष्ट पद को ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।
🌿 उदाहरण
(a + b)⁵ =
n = 5
(a + b)⁵ = 5C₀a⁵ + 5C₁a⁴b + 5C₂a³b² + 5C₃a²b³ + 5C₄ab⁴ + 5C₅b⁵
✔️ यहाँ कुल पदों की संख्या = 6
🧠 मध्य पद (Middle Term)
यदि n सम (even) हो → मध्य पद एक ही होगा।
यदि n विषम (odd) हो → दो मध्य पद होंगे।
➡️ मध्य पद का क्रमांक = (n/2 + 1) जब n सम है।
➡️ मध्य पदों के क्रमांक = (n + 1)/2 तथा (n + 3)/2 जब n विषम है।
💡 द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग (Applications)
1️⃣ विस्तार करने में — जैसे (x + 1)⁵
2️⃣ किसी पद के गुणांक ज्ञात करने में
3️⃣ विशिष्ट पद निकालने में
4️⃣ समीकरणों के सन्निकटन हेतु
5️⃣ पास्कल त्रिभुज से गुणांक प्राप्त करने में
🔵 पास्कल त्रिभुज (Pascal’s Triangle)
पंक्तियाँ n के अनुसार बनती हैं।
प्रत्येक पद अपने ऊपर के दो पदों का योग होता है।
0वीं पंक्ति: 1
1वीं पंक्ति: 1 1
2वीं पंक्ति: 1 2 1
3वीं पंक्ति: 1 3 3 1
4वीं पंक्ति: 1 4 6 4 1
5वीं पंक्ति: 1 5 10 10 5 1
➡️ इन संख्याओं को ही हम nCᵣ के रूप में प्रयोग करते हैं।
🟢 nCᵣ के गुण (Properties of Binomial Coefficient)
1️⃣ nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎
2️⃣ nCᵣ + nC₍ᵣ₋₁₎ = (n + 1)Cᵣ
3️⃣ nCᵣ₊₁ / nCᵣ = (n − r)/(r + 1)
4️⃣ ∑ nCᵣ = 2ⁿ
🔴 ऋणात्मक घातांक के लिए (For Negative or Fractional Index)
जब n ऋणात्मक या भिन्न (fractional) हो, तब
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + …
यह श्रेणी असीमित (infinite series) होती है।
उदाहरण:
(1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + …
(1 − x)⁻¹ = 1 + x + x² + x³ + …
✏️ विशेष स्थितियाँ (Special Cases)
🔹 (a − b)ⁿ = ∑ (−1)ʳ nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🔹 (1 + x)ⁿ में गुणांकों का योग = 2ⁿ
🔹 (1 − x)ⁿ में विषम स्थानों के गुणांकों का योग = 0
💡 सूत्र पुनरावलोकन (Key Formulae Recap)
✔️ nCᵣ = n! / [r!(n − r)!]
✔️ (a + b)ⁿ = ∑ nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ कुल पद = (n + 1)
✔️ मध्य पद का क्रमांक = (n/2 + 1) (यदि n सम है)
📗 सारांश (Summary Section)
🔸 (a + b)ⁿ का प्रसार “द्विपद प्रमेय” से किया जाता है।
🔸 कुल पदों की संख्या = n + 1
🔸 सामान्य पद = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🔸 nCᵣ = n! / [r!(n − r)!]
🔸 मध्य पद = (n/2 + 1) (सम n के लिए)
🔸 nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎
🔸 ∑ nCᵣ = 2ⁿ
🔸 ऋणात्मक या भिन्न घातांक के लिए श्रेणी असीमित होती है।
📝 Quick Recap (3–6 Points)
✔️ द्विपद प्रमेय: (a + b)ⁿ = ∑ nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ सामान्य पद: Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ कुल पद: n + 1
✔️ गुणांकों का योग: 2ⁿ
✔️ मध्य पद: (n/2 + 1) (यदि n सम है)
✔️ ऋणात्मक n के लिए श्रेणी असीमित
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
🔷प्रश्नावली 7.1
🔵 प्रश्न 1. (1 − 2x)⁵
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(1 − 2x)⁵ = Σ ⁵Cₖ · 1⁽⁵⁻ᵏ⁾ · (−2x)ᵏ, k = 0 से 5
➡️ क्रमशः पद:
• k=0: ⁵C₀·1·(−2x)⁰ = 1
• k=1: ⁵C₁·(−2x) = −10x
• k=2: ⁵C₂·(−2x)² = 10·4x² = 40x²
• k=3: ⁵C₃·(−2x)³ = 10·(−8x³) = −80x³
• k=4: ⁵C₄·(−2x)⁴ = 5·16x⁴ = 80x⁴
• k=5: ⁵C₅·(−2x)⁵ = −32x⁵
✔️ प्रसार: 1 − 10x + 40x² − 80x³ + 80x⁴ − 32x⁵
🔵 प्रश्न 2. (2/x − x/2)⁵
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(2/x − x/2)⁵ = Σ ⁵Cₖ · (2/x)⁽⁵⁻ᵏ⁾ · (−x/2)ᵏ
= ⁵Cₖ·(−1)ᵏ·2⁽⁵−2k⁾ · x⁽−5+2k⁾
➡️ क्रमशः पद:
• k=0: 32·x⁻⁵ = 32/x⁵
• k=1: −40·x⁻³ = −40/x³
• k=2: 20·x⁻¹ = 20/x
• k=3: −5·x¹ = −5x
• k=4: (5/8)·x³
• k=5: −(1/32)·x⁵
✔️ प्रसार: 32/x⁵ − 40/x³ + 20/x − 5x + (5/8)x³ − (1/32)x⁵
🔵 प्रश्न 3. (2x − 3)⁶
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(2x − 3)⁶ = Σ ⁶Cₖ · (2x)⁽⁶⁻ᵏ⁾ · (−3)ᵏ
➡️ क्रमशः पद (सरलीकृत):
• ⁶C₀·(2x)⁶ = 64x⁶
• ⁶C₁·(2x)⁵·(−3) = −576x⁵
• ⁶C₂·(2x)⁴·(−3)² = 2160x⁴
• ⁶C₃·(2x)³·(−3)³ = −4320x³
• ⁶C₄·(2x)²·(−3)⁴ = 4860x²
• ⁶C₅·(2x)¹·(−3)⁵ = −2916x
• ⁶C₆·(−3)⁶ = 729
✔️ प्रसार: 64x⁶ − 576x⁵ + 2160x⁴ − 4320x³ + 4860x² − 2916x + 729
🔵 प्रश्न 4. (x/3 + 1/x)⁵
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(x/3 + 1/x)⁵ = Σ ⁵Cₖ · (x/3)⁽⁵⁻ᵏ⁾ · (1/x)ᵏ
➡️ क्रमशः पद (सरलीकृत):
• k=0: x⁵/3⁵ = x⁵/243
• k=1: 5·(x⁴/3⁴)·(1/x) = 5x³/81
• k=2: 10·(x³/3³)·(1/x²) = 10x/27
• k=3: 10·(x²/3²)·(1/x³) = 10/(9x)
• k=4: 5·(x/3)·(1/x⁴) = 5/(3x³)
• k=5: (1/x)⁵ = 1/x⁵
✔️ प्रसार: x⁵/243 + 5x³/81 + 10x/27 + 10/(9x) + 5/(3x³) + 1/x⁵
🔵 प्रश्न 5. (x + 1/x)⁶
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(x + 1/x)⁶ = Σ ⁶Cₖ · x⁽⁶⁻ᵏ⁾ · (1/x)ᵏ = Σ ⁶Cₖ · x⁽⁶−2k⁾
➡️ क्रमशः पद:
• k=0: x⁶
• k=1: 6x⁴
• k=2: 15x²
• k=3: 20
• k=4: 15/x²
• k=5: 6/x⁴
• k=6: 1/x⁶
✔️ प्रसार: x⁶ + 6x⁴ + 15x² + 20 + 15/x² + 6/x⁴ + 1/x⁶
🔵 प्रश्न 6. (96)⁶ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
हम 96 को (100 − 4) के रूप में लिख सकते हैं।
(96)⁶ = (100 − 4)⁶
अब द्विपद प्रमेय लगाएँ —
(100 − 4)⁶ = Σ ⁶Cₖ (100)⁽⁶⁻ᵏ⁾ (−4)ᵏ
आवश्यक मुख्य पद:
k=0: ⁶C₀·100⁶ = 1×100⁶
k=1: ⁶C₁·100⁵·(−4) = −6×4×100⁵ = −24×10¹⁰
k=2: ⁶C₂·100⁴·(−4)² = 15×16×10⁸ = 240×10⁸
✏️ इन प्रमुख पदों से अनुमानतः मान ≈ 8.16×10¹¹
(विस्तारित रूप में लिखना संभव है, पर परिणाम बहुत बड़ा होता है।)
🔵 प्रश्न 7. (102)⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(102)⁵ = (100 + 2)⁵
= ⁵C₀·100⁵ + ⁵C₁·100⁴·2 + ⁵C₂·100³·2² + ⁵C₃·100²·2³ + ⁵C₄·100·2⁴ + ⁵C₅·2⁵
= 1×10¹⁰ + 5×2×10⁸ + 10×4×10⁶ + 10×8×10⁴ + 5×16×10² + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
✔️ उत्तर: 10104088032
🔵 प्रश्न 8. (101)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(101)⁴ = (100 + 1)⁴
= ⁴C₀·100⁴ + ⁴C₁·100³·1 + ⁴C₂·100²·1² + ⁴C₃·100·1³ + ⁴C₄·1⁴
= 1×10⁸ + 4×10⁶ + 6×10⁴ + 4×10² + 1
✔️ उत्तर: 104060401
🔵 प्रश्न 9. (99)⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(99)⁵ = (100 − 1)⁵
= ⁵C₀·100⁵ − ⁵C₁·100⁴ + ⁵C₂·100³ − ⁵C₃·100² + ⁵C₄·100 − ⁵C₅
= 10¹⁰ − 5×10⁸ + 10×10⁶ − 10×10⁴ + 5×10² − 1
= 10000000000 − 500000000 + 10000000 − 100000 + 500 − 1
✔️ उत्तर: 9509900499
🔵 प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है — (1.1)¹⁰⁰⁰ या 1000।
🟢 उत्तर:
(1 + 0.1)¹⁰⁰⁰ = 1 + 1000×0.1 + …
= 1 + 100 + अन्य धनात्मक पद
अर्थात् (1.1)¹⁰⁰⁰ > 1001 > 1000
✔️ अतः (1.1)¹⁰⁰⁰ बड़ी संख्या है।
🔵 प्रश्न 11.
(a + b)⁴ − (a − b)⁴ का विस्तार कीजिए तथा इसका प्रयोग करके (√3 + √2)⁴ − (√3 − √2)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴
दोनों को घटाएँ:
(a + b)⁴ − (a − b)⁴ = 8ab(a² + b²)
अब a = √3, b = √2
= 8×√3×√2×(3 + 2)
= 8×√6×5 = 40√6
✔️ उत्तर: 40√6
🔵 प्रश्न 12.
(x + 1)⁴ + (x − 1)⁴ का मान ज्ञात कीजिए तथा इसका प्रयोग करके (√2 + 1)⁴ + (√2 − 1)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
(x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1
दोनों को जोड़ें:
= 2x⁴ + 12x² + 2
= 2(x⁴ + 6x² + 1)
अब x = √2 रखें —
= 2[(√2)⁴ + 6(√2)² + 1]
= 2[4 + 12 + 1] = 2×17 = 34
✔️ उत्तर: 34
🔵 प्रश्न 13.
दिखाइए कि 8ⁿ − 1 − 8n − 9, 64 से विभाज्य है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
🟢 उत्तर:
8ⁿ − 1 = (7 + 1)ⁿ − 1 = Σ ⁿCₖ·7ᵏ − 1
= 7n + (ⁿC₂·7²) + (ⁿC₃·7³) + …
अब 8ⁿ − 1 − 8n − 9
= (7n + 21ⁿC₂ + …) − 8n − 9
= 7n − 8n + 49ⁿC₂ + … − 9
प्रत्येक पद में 64 = 8² का गुणक आता है,
अतः यह 64 से विभाज्य है। ✔️
🔵 प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि Σ (r=0 से 4 तक) 3ʳ·⁴Cᵣ = 4⁴
🟢 उत्तर:
(1 + 3)⁴ = Σ ⁴Cᵣ·1⁽⁴⁻ʳ⁾·3ʳ
= Σ ⁴Cᵣ·3ʳ
अर्थात् Σ 3ʳ·⁴Cᵣ = 4⁴
✔️ सिद्ध हुआ।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
🔷 Section A — बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
प्रश्न 1. (a + b)ⁿ के प्रसार में कुल पदों की संख्या क्या होगी?
🔵 (A) n
🟢 (B) n + 1
🟠 (C) n − 1
🔴 (D) 2n
उत्तर: (B) n + 1
प्रश्न 2. (a + b)⁵ के विस्तार में b³ वाले पद का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 20
🟠 (C) 15
🔴 (D) 5
उत्तर: (C) 15
प्रश्न 3. (x + 1)⁶ के विस्तार में तीसरा पद क्या है?
🔵 (A) 6x⁵
🟢 (B) 15x⁴
🟠 (C) 20x³
🔴 (D) 10x²
उत्तर: (A) 6x⁵
प्रश्न 4. यदि nC₍ₙ₋₂₎ = 10 हो, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 10
उत्तर: (B) 5
प्रश्न 5. (1 + x)ⁿ में गुणांकों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2ⁿ
🔴 (D) n
उत्तर: (C) 2ⁿ
प्रश्न 6. (1 − x)ⁿ में विषम स्थानों के गुणांकों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) −2ⁿ
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 0
प्रश्न 7. (a + b)ⁿ में सामान्य पद Tᵣ₊₁ क्या है?
🔵 (A) nCᵣ aʳ bⁿ⁻ʳ
🟢 (B) nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🟠 (C) nCᵣ₊₁ aⁿ bʳ
🔴 (D) nC₍ₙ₋ᵣ₎ aʳ bⁿ⁻ʳ
उत्तर: (B) nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
प्रश्न 8. (1 + x)⁶ में x³ का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 15
🟢 (B) 20
🟠 (C) 60
🔴 (D) 10
उत्तर: (B) 20
प्रश्न 9. यदि nC₄ = nC₅, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 11
उत्तर: (B) 9
प्रश्न 10. (x + 2)⁴ में x² का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 12
🟢 (B) 24
🟠 (C) 48
🔴 (D) 96
उत्तर: (B) 24
प्रश्न 11. यदि (a + b)⁵ के विस्तार का पाँचवाँ पद 80a¹b⁴ है, तो a और b के अनुपात का मान क्या होगा?
🔵 (A) 1 : 2
🟢 (B) 2 : 1
🟠 (C) 1 : 4
🔴 (D) 4 : 1
उत्तर: (B) 2 : 1
प्रश्न 12. (1 + x)⁸ के विस्तार में मध्य पद कौन सा होगा?
🔵 (A) चौथा
🟢 (B) पाँचवाँ
🟠 (C) छठा
🔴 (D) नौवाँ
उत्तर: (B) पाँचवाँ
प्रश्न 13. (1 + x)¹⁰ के विस्तार में दो मध्य पद कौन से हैं?
🔵 (A) पाँचवाँ और छठा
🟢 (B) चौथा और पाँचवाँ
🟠 (C) छठा और सातवाँ
🔴 (D) पाँचवाँ और सातवाँ
उत्तर: (A) पाँचवाँ और छठा
प्रश्न 14. यदि nC₂ = 15, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 6
🟠 (C) 7
🔴 (D) 8
उत्तर: (C) 7
प्रश्न 15. (x + 3)⁵ में x³ का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 90
🟢 (B) 120
🟠 (C) 150
🔴 (D) 180
उत्तर: (A) 90
प्रश्न 16. यदि nCᵣ = nC₍ᵣ₊₁₎, तो n और r में सम्बन्ध क्या होगा?
🔵 (A) n = 2r + 1
🟢 (B) n = 2r − 1
🟠 (C) n = 3r
🔴 (D) n = r + 1
उत्तर: (A) n = 2r + 1
प्रश्न 17. (a − b)ⁿ में सम स्थानों के पदों के गुणांक का योग क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) −2ⁿ
🔴 (D) 1
उत्तर: (B) 2ⁿ
प्रश्न 18. (x − 2)⁴ के प्रसार में स्थिर पद (constant term) क्या है?
🔵 (A) 16
🟢 (B) 24
🟠 (C) 12
🔴 (D) 6
उत्तर: (A) 16
)
🔶 Section B — अति-लघु उत्तर प्रश्न (Q19–Q23)
प्रश्न 19. (1 + x)⁵ के विस्तार में सामान्य पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 5, a = 1, b = x
⇒ Tᵣ₊₁ = 5Cᵣ xʳ
अर्थात् सामान्य पद = 5Cᵣ xʳ, जहाँ r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
प्रश्न 20. (a + b)⁶ के विस्तार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
चौथा पद ⇒ r = 3
T₄ = 6C₃ a³b³
= 20a³b³
प्रश्न 21. (x + 1/x)⁶ में स्थिर पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 6Cᵣ x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = 6Cᵣ x⁶⁻²ʳ
स्थिर पद के लिए घात 0 ⇒ 6 − 2r = 0 ⇒ r = 3
⇒ स्थिर पद = 6C₃ = 20
प्रश्न 22. (1 − x)⁸ में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 8Cᵣ (−1)ʳ xʳ
x⁵ के लिए r = 5
गुणांक = (−1)⁵ × 8C₅ = −56
प्रश्न 23. यदि (1 + x)ⁿ के विस्तार में चौथा पद 120x³ है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
T₄ = nC₃ x³ = 120x³
⇒ nC₃ = 120
⇒ n! / (3!(n−3)!) = 120
⇒ n(n−1)(n−2)/6 = 120
⇒ n³ − 3n² + 2n − 720 = 0
हल करने पर n = 10
🔷 Section C — मध्यम उत्तर प्रश्न (Q24–Q28)
प्रश्न 24. (x + 2)⁵ के विस्तार में x³ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 5, a = x, b = 2
x³ के लिए घात 3 ⇒ r = 2
⇒ T₃ = 5C₂ x³·2² = 10 × 4x³ = 40x³
गुणांक = 40
प्रश्न 25. (a − b)⁵ के प्रसार में सम स्थानों के गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
गुणांकों का योग (1 − 1)⁵ + (1 + 1)⁵ / 2 =
[(0)⁵ + (2)⁵]/2 = 32/2 = 16
उत्तर = 16
प्रश्न 26. यदि nC₂ : nC₃ = 1 : 3, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 हमें ज्ञात है —
🔹 nC₂ / nC₃ = 1 / 3
अब,
🔹 nC₂ = n(n−1)/2
🔹 nC₃ = n(n−1)(n−2)/6
➡️ अतः,
nC₂ / nC₃ = [n(n−1)/2] ÷ [n(n−1)(n−2)/6]
= (3) / (n−2)
अब, दिया है
3 / (n−2) = 1 / 3
✏️ इससे हमें मिलता है —
3 × 3 = n − 2
➡️ n − 2 = 9
➡️ n = 11
✅ अन्तिम उत्तर:
🔵 n = 11
प्रश्न 27. (1 + 2x)⁶ में x⁴ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 6Cᵣ (1)⁶⁻ʳ (2x)ʳ = 6Cᵣ 2ʳ xʳ
x⁴ के लिए r = 4
गुणांक = 6C₄ × 2⁴ = 15 × 16 = 240
उत्तर = 240
प्रश्न 28. (1 + 3x)⁴ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
गुणांकों का योग = (1 + 1×3)⁴ ⇒ (1 + 3)⁴ = 4⁴ = 256
उत्तर = 256
🔶 Section D — दीर्घ उत्तर प्रश्न (Q29–Q31)
प्रश्न 28. (x + 1/x)¹⁰ में पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद — Tᵣ₊₁ = nCᵣ (x)ⁿ⁻ʳ (1/x)ʳ = nCᵣ xⁿ⁻²ʳ
यहाँ n = 10, पाँचवाँ पद ⇒ r = 4
⇒ T₅ = 10C₄ x¹⁰⁻⁸ = 210x²
उत्तर = 210x²
प्रश्न 29. (1 + 2x)¹⁰ के प्रसार में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 10, a = 1, b = 2x, r = 5
⇒ T₆ = 10C₅ (1)⁵ (2x)⁵ = 252 × 32x⁵ = 8064x⁵
अतः गुणांक = 8064
प्रश्न 30. यदि (1 + x)ⁿ के विस्तार में पाँचवाँ और छठा पद समान हैं, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
पाँचवाँ पद = nC₄ x⁴
छठा पद = nC₅ x⁵
अब दिया है nC₄ = nC₅
⇒ nCᵣ = nCₙ₋ᵣ ⇒ 4 = n − 5
⇒ n = 9
प्रश्न 31. (a + b)¹⁰ के विस्तार में सातवें पद का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद: Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ r = 6 ⇒ T₇ = 10C₆ a⁴b⁶ = 210a⁴b⁶
गुणांक = 210
🔷 Section E — केस आधारित / अनुप्रयोग प्रश्न (Q32–Q33)
प्रश्न 32. यदि (1 + x)¹² के विस्तार में किसी पद का गुणांक 495 है, तो उस पद का क्रम ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 12Cᵣ xʳ
गुणांक = 495 ⇒ 12Cᵣ = 495
अब 12C₄ = 495
⇒ r = 4
अतः वह पद है (r + 1) = 5वाँ पद
प्रश्न 33. (1 − 2x)⁸ के प्रसार में x⁶ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 8, a = 1, b = −2x
r = 6 ⇒ T₇ = 8C₆ (−2x)⁶ = 28 × 64x⁶ = 1792x⁶
उत्तर = 1792
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