Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 7. द्विपद प्रमेय
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
✳️ व्याख्या (Explanation Section)
🔵 परिचय (Introduction)
द्विपद प्रमेय गणित की एक अत्यंत महत्वपूर्ण संकल्पना है, जिसका उपयोग बीजगणित, क्रमचय–संचय, प्रायिकता और श्रेणी सिद्धान्त में व्यापक रूप से किया जाता है।
यह प्रमेय किसी भी द्विपद (a + b)ⁿ के प्रसार (expansion) को सरल और व्यवस्थित रूप में व्यक्त करता है।
🟢 द्विपद की परिभाषा
यदि कोई बीजगणितीय पद दो पदों से मिलकर बना हो, जैसे (a + b), (x + y), (2p – 3q), तो उसे द्विपद (Binomial) कहते हैं।
🔹 उदाहरण: (x + 3), (2x – y), (a + b)
🔹 यहाँ दो पद हैं — एक धनात्मक, एक ऋणात्मक भी हो सकता है।
🟠 द्विपद का घातांक (Power of Binomial)
जब किसी द्विपद को किसी धनात्मक पूर्णांक n की घात में उठाया जाता है, जैसे (a + b)ⁿ, तो उसके विस्तार में कुल (n + 1) पद होते हैं।
यहाँ “द्विपद प्रमेय” हमें यह बताता है कि इन पदों को कैसे लिखा जा सकता है।
🔴 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का कथन
💡 कथन:
यदि n कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो
(a + b)ⁿ = nC₀aⁿ + nC₁aⁿ⁻¹b + nC₂aⁿ⁻²b² + … + nCᵣaⁿ⁻ʳbʳ + … + nCₙbⁿ
यह प्रमेय पैस्कल त्रिभुज (Pascal’s Triangle) के गुणांक के समान है।
✏️ सूत्र में प्रयुक्त चिह्नों का अर्थ
➡️ nCᵣ = संयोजन गुणांक (Combination term)
➡️ nCᵣ = n! / [r!(n – r)!]
➡️ r = 0, 1, 2, …, n
➡️ कुल पदों की संख्या = (n + 1)
💡 सामान्य पद (General Term)
(a + b)ⁿ के प्रसार का सामान्य पद Tᵣ₊₁ होगा —
Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
जहाँ
r = 0, 1, 2, …, n
🔹 यह किसी भी विशिष्ट पद को ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।
🌿 उदाहरण
(a + b)⁵ =
n = 5
(a + b)⁵ = 5C₀a⁵ + 5C₁a⁴b + 5C₂a³b² + 5C₃a²b³ + 5C₄ab⁴ + 5C₅b⁵
✔️ यहाँ कुल पदों की संख्या = 6
🧠 मध्य पद (Middle Term)
यदि n सम (even) हो → मध्य पद एक ही होगा।
यदि n विषम (odd) हो → दो मध्य पद होंगे।
➡️ मध्य पद का क्रमांक = (n/2 + 1) जब n सम है।
➡️ मध्य पदों के क्रमांक = (n + 1)/2 तथा (n + 3)/2 जब n विषम है।
💡 द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग (Applications)
1️⃣ विस्तार करने में — जैसे (x + 1)⁵
2️⃣ किसी पद के गुणांक ज्ञात करने में
3️⃣ विशिष्ट पद निकालने में
4️⃣ समीकरणों के सन्निकटन हेतु
5️⃣ पास्कल त्रिभुज से गुणांक प्राप्त करने में
🔵 पास्कल त्रिभुज (Pascal’s Triangle)
पंक्तियाँ n के अनुसार बनती हैं।
प्रत्येक पद अपने ऊपर के दो पदों का योग होता है।
0वीं पंक्ति: 1
1वीं पंक्ति: 1 1
2वीं पंक्ति: 1 2 1
3वीं पंक्ति: 1 3 3 1
4वीं पंक्ति: 1 4 6 4 1
5वीं पंक्ति: 1 5 10 10 5 1
➡️ इन संख्याओं को ही हम nCᵣ के रूप में प्रयोग करते हैं।
🟢 nCᵣ के गुण (Properties of Binomial Coefficient)
1️⃣ nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎
2️⃣ nCᵣ + nC₍ᵣ₋₁₎ = (n + 1)Cᵣ
3️⃣ nCᵣ₊₁ / nCᵣ = (n − r)/(r + 1)
4️⃣ ∑ nCᵣ = 2ⁿ
🔴 ऋणात्मक घातांक के लिए (For Negative or Fractional Index)
जब n ऋणात्मक या भिन्न (fractional) हो, तब
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + …
यह श्रेणी असीमित (infinite series) होती है।
उदाहरण:
(1 + x)⁻¹ = 1 − x + x² − x³ + …
(1 − x)⁻¹ = 1 + x + x² + x³ + …
✏️ विशेष स्थितियाँ (Special Cases)
🔹 (a − b)ⁿ = ∑ (−1)ʳ nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🔹 (1 + x)ⁿ में गुणांकों का योग = 2ⁿ
🔹 (1 − x)ⁿ में विषम स्थानों के गुणांकों का योग = 0
💡 सूत्र पुनरावलोकन (Key Formulae Recap)
✔️ nCᵣ = n! / [r!(n − r)!]
✔️ (a + b)ⁿ = ∑ nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ कुल पद = (n + 1)
✔️ मध्य पद का क्रमांक = (n/2 + 1) (यदि n सम है)
📗 सारांश (Summary Section)
🔸 (a + b)ⁿ का प्रसार “द्विपद प्रमेय” से किया जाता है।
🔸 कुल पदों की संख्या = n + 1
🔸 सामान्य पद = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🔸 nCᵣ = n! / [r!(n − r)!]
🔸 मध्य पद = (n/2 + 1) (सम n के लिए)
🔸 nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎
🔸 ∑ nCᵣ = 2ⁿ
🔸 ऋणात्मक या भिन्न घातांक के लिए श्रेणी असीमित होती है।
📝 Quick Recap (3–6 Points)
✔️ द्विपद प्रमेय: (a + b)ⁿ = ∑ nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ सामान्य पद: Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
✔️ कुल पद: n + 1
✔️ गुणांकों का योग: 2ⁿ
✔️ मध्य पद: (n/2 + 1) (यदि n सम है)
✔️ ऋणात्मक n के लिए श्रेणी असीमित
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
🔷प्रश्नावली 7.1
🔵 प्रश्न 1. (1 − 2x)⁵
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(1 − 2x)⁵ = Σ ⁵Cₖ · 1⁽⁵⁻ᵏ⁾ · (−2x)ᵏ, k = 0 से 5
➡️ क्रमशः पद:
• k=0: ⁵C₀·1·(−2x)⁰ = 1
• k=1: ⁵C₁·(−2x) = −10x
• k=2: ⁵C₂·(−2x)² = 10·4x² = 40x²
• k=3: ⁵C₃·(−2x)³ = 10·(−8x³) = −80x³
• k=4: ⁵C₄·(−2x)⁴ = 5·16x⁴ = 80x⁴
• k=5: ⁵C₅·(−2x)⁵ = −32x⁵
✔️ प्रसार: 1 − 10x + 40x² − 80x³ + 80x⁴ − 32x⁵
🔵 प्रश्न 2. (2/x − x/2)⁵
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(2/x − x/2)⁵ = Σ ⁵Cₖ · (2/x)⁽⁵⁻ᵏ⁾ · (−x/2)ᵏ
= ⁵Cₖ·(−1)ᵏ·2⁽⁵−2k⁾ · x⁽−5+2k⁾
➡️ क्रमशः पद:
• k=0: 32·x⁻⁵ = 32/x⁵
• k=1: −40·x⁻³ = −40/x³
• k=2: 20·x⁻¹ = 20/x
• k=3: −5·x¹ = −5x
• k=4: (5/8)·x³
• k=5: −(1/32)·x⁵
✔️ प्रसार: 32/x⁵ − 40/x³ + 20/x − 5x + (5/8)x³ − (1/32)x⁵
🔵 प्रश्न 3. (2x − 3)⁶
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(2x − 3)⁶ = Σ ⁶Cₖ · (2x)⁽⁶⁻ᵏ⁾ · (−3)ᵏ
➡️ क्रमशः पद (सरलीकृत):
• ⁶C₀·(2x)⁶ = 64x⁶
• ⁶C₁·(2x)⁵·(−3) = −576x⁵
• ⁶C₂·(2x)⁴·(−3)² = 2160x⁴
• ⁶C₃·(2x)³·(−3)³ = −4320x³
• ⁶C₄·(2x)²·(−3)⁴ = 4860x²
• ⁶C₅·(2x)¹·(−3)⁵ = −2916x
• ⁶C₆·(−3)⁶ = 729
✔️ प्रसार: 64x⁶ − 576x⁵ + 2160x⁴ − 4320x³ + 4860x² − 2916x + 729
🔵 प्रश्न 4. (x/3 + 1/x)⁵
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(x/3 + 1/x)⁵ = Σ ⁵Cₖ · (x/3)⁽⁵⁻ᵏ⁾ · (1/x)ᵏ
➡️ क्रमशः पद (सरलीकृत):
• k=0: x⁵/3⁵ = x⁵/243
• k=1: 5·(x⁴/3⁴)·(1/x) = 5x³/81
• k=2: 10·(x³/3³)·(1/x²) = 10x/27
• k=3: 10·(x²/3²)·(1/x³) = 10/(9x)
• k=4: 5·(x/3)·(1/x⁴) = 5/(3x³)
• k=5: (1/x)⁵ = 1/x⁵
✔️ प्रसार: x⁵/243 + 5x³/81 + 10x/27 + 10/(9x) + 5/(3x³) + 1/x⁵
🔵 प्रश्न 5. (x + 1/x)⁶
🟢 उत्तर (द्विपद प्रसार):
(x + 1/x)⁶ = Σ ⁶Cₖ · x⁽⁶⁻ᵏ⁾ · (1/x)ᵏ = Σ ⁶Cₖ · x⁽⁶−2k⁾
➡️ क्रमशः पद:
• k=0: x⁶
• k=1: 6x⁴
• k=2: 15x²
• k=3: 20
• k=4: 15/x²
• k=5: 6/x⁴
• k=6: 1/x⁶
✔️ प्रसार: x⁶ + 6x⁴ + 15x² + 20 + 15/x² + 6/x⁴ + 1/x⁶
🔵 प्रश्न 6. (96)⁶ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
हम 96 को (100 − 4) के रूप में लिख सकते हैं।
(96)⁶ = (100 − 4)⁶
अब द्विपद प्रमेय लगाएँ —
(100 − 4)⁶ = Σ ⁶Cₖ (100)⁽⁶⁻ᵏ⁾ (−4)ᵏ
आवश्यक मुख्य पद:
k=0: ⁶C₀·100⁶ = 1×100⁶
k=1: ⁶C₁·100⁵·(−4) = −6×4×100⁵ = −24×10¹⁰
k=2: ⁶C₂·100⁴·(−4)² = 15×16×10⁸ = 240×10⁸
✏️ इन प्रमुख पदों से अनुमानतः मान ≈ 8.16×10¹¹
(विस्तारित रूप में लिखना संभव है, पर परिणाम बहुत बड़ा होता है।)
🔵 प्रश्न 7. (102)⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(102)⁵ = (100 + 2)⁵
= ⁵C₀·100⁵ + ⁵C₁·100⁴·2 + ⁵C₂·100³·2² + ⁵C₃·100²·2³ + ⁵C₄·100·2⁴ + ⁵C₅·2⁵
= 1×10¹⁰ + 5×2×10⁸ + 10×4×10⁶ + 10×8×10⁴ + 5×16×10² + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
✔️ उत्तर: 10104088032
🔵 प्रश्न 8. (101)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(101)⁴ = (100 + 1)⁴
= ⁴C₀·100⁴ + ⁴C₁·100³·1 + ⁴C₂·100²·1² + ⁴C₃·100·1³ + ⁴C₄·1⁴
= 1×10⁸ + 4×10⁶ + 6×10⁴ + 4×10² + 1
✔️ उत्तर: 104060401
🔵 प्रश्न 9. (99)⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(99)⁵ = (100 − 1)⁵
= ⁵C₀·100⁵ − ⁵C₁·100⁴ + ⁵C₂·100³ − ⁵C₃·100² + ⁵C₄·100 − ⁵C₅
= 10¹⁰ − 5×10⁸ + 10×10⁶ − 10×10⁴ + 5×10² − 1
= 10000000000 − 500000000 + 10000000 − 100000 + 500 − 1
✔️ उत्तर: 9509900499
🔵 प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है — (1.1)¹⁰⁰⁰ या 1000।
🟢 उत्तर:
(1 + 0.1)¹⁰⁰⁰ = 1 + 1000×0.1 + …
= 1 + 100 + अन्य धनात्मक पद
अर्थात् (1.1)¹⁰⁰⁰ > 1001 > 1000
✔️ अतः (1.1)¹⁰⁰⁰ बड़ी संख्या है।
🔵 प्रश्न 11.
(a + b)⁴ − (a − b)⁴ का विस्तार कीजिए तथा इसका प्रयोग करके (√3 + √2)⁴ − (√3 − √2)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴
दोनों को घटाएँ:
(a + b)⁴ − (a − b)⁴ = 8ab(a² + b²)
अब a = √3, b = √2
= 8×√3×√2×(3 + 2)
= 8×√6×5 = 40√6
✔️ उत्तर: 40√6
🔵 प्रश्न 12.
(x + 1)⁴ + (x − 1)⁴ का मान ज्ञात कीजिए तथा इसका प्रयोग करके (√2 + 1)⁴ + (√2 − 1)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1
(x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1
दोनों को जोड़ें:
= 2x⁴ + 12x² + 2
= 2(x⁴ + 6x² + 1)
अब x = √2 रखें —
= 2[(√2)⁴ + 6(√2)² + 1]
= 2[4 + 12 + 1] = 2×17 = 34
✔️ उत्तर: 34
🔵 प्रश्न 13.
दिखाइए कि 8ⁿ − 1 − 8n − 9, 64 से विभाज्य है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
🟢 उत्तर:
8ⁿ − 1 = (7 + 1)ⁿ − 1 = Σ ⁿCₖ·7ᵏ − 1
= 7n + (ⁿC₂·7²) + (ⁿC₃·7³) + …
अब 8ⁿ − 1 − 8n − 9
= (7n + 21ⁿC₂ + …) − 8n − 9
= 7n − 8n + 49ⁿC₂ + … − 9
प्रत्येक पद में 64 = 8² का गुणक आता है,
अतः यह 64 से विभाज्य है। ✔️
🔵 प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि Σ (r=0 से 4 तक) 3ʳ·⁴Cᵣ = 4⁴
🟢 उत्तर:
(1 + 3)⁴ = Σ ⁴Cᵣ·1⁽⁴⁻ʳ⁾·3ʳ
= Σ ⁴Cᵣ·3ʳ
अर्थात् Σ 3ʳ·⁴Cᵣ = 4⁴
✔️ सिद्ध हुआ।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
🔷 Section A — बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
प्रश्न 1. (a + b)ⁿ के प्रसार में कुल पदों की संख्या क्या होगी?
🔵 (A) n
🟢 (B) n + 1
🟠 (C) n − 1
🔴 (D) 2n
उत्तर: (B) n + 1
प्रश्न 2. (a + b)⁵ के विस्तार में b³ वाले पद का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 20
🟠 (C) 15
🔴 (D) 5
उत्तर: (C) 15
प्रश्न 3. (x + 1)⁶ के विस्तार में तीसरा पद क्या है?
🔵 (A) 6x⁵
🟢 (B) 15x⁴
🟠 (C) 20x³
🔴 (D) 10x²
उत्तर: (A) 6x⁵
प्रश्न 4. यदि nC₍ₙ₋₂₎ = 10 हो, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 10
उत्तर: (B) 5
प्रश्न 5. (1 + x)ⁿ में गुणांकों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2ⁿ
🔴 (D) n
उत्तर: (C) 2ⁿ
प्रश्न 6. (1 − x)ⁿ में विषम स्थानों के गुणांकों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) −2ⁿ
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 0
प्रश्न 7. (a + b)ⁿ में सामान्य पद Tᵣ₊₁ क्या है?
🔵 (A) nCᵣ aʳ bⁿ⁻ʳ
🟢 (B) nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🟠 (C) nCᵣ₊₁ aⁿ bʳ
🔴 (D) nC₍ₙ₋ᵣ₎ aʳ bⁿ⁻ʳ
उत्तर: (B) nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
प्रश्न 8. (1 + x)⁶ में x³ का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 15
🟢 (B) 20
🟠 (C) 60
🔴 (D) 10
उत्तर: (B) 20
प्रश्न 9. यदि nC₄ = nC₅, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 11
उत्तर: (B) 9
प्रश्न 10. (x + 2)⁴ में x² का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 12
🟢 (B) 24
🟠 (C) 48
🔴 (D) 96
उत्तर: (B) 24
प्रश्न 11. यदि (a + b)⁵ के विस्तार का पाँचवाँ पद 80a¹b⁴ है, तो a और b के अनुपात का मान क्या होगा?
🔵 (A) 1 : 2
🟢 (B) 2 : 1
🟠 (C) 1 : 4
🔴 (D) 4 : 1
उत्तर: (B) 2 : 1
प्रश्न 12. (1 + x)⁸ के विस्तार में मध्य पद कौन सा होगा?
🔵 (A) चौथा
🟢 (B) पाँचवाँ
🟠 (C) छठा
🔴 (D) नौवाँ
उत्तर: (B) पाँचवाँ
प्रश्न 13. (1 + x)¹⁰ के विस्तार में दो मध्य पद कौन से हैं?
🔵 (A) पाँचवाँ और छठा
🟢 (B) चौथा और पाँचवाँ
🟠 (C) छठा और सातवाँ
🔴 (D) पाँचवाँ और सातवाँ
उत्तर: (A) पाँचवाँ और छठा
प्रश्न 14. यदि nC₂ = 15, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 6
🟠 (C) 7
🔴 (D) 8
उत्तर: (C) 7
प्रश्न 15. (x + 3)⁵ में x³ का गुणांक क्या होगा?
🔵 (A) 90
🟢 (B) 120
🟠 (C) 150
🔴 (D) 180
उत्तर: (A) 90
प्रश्न 16. यदि nCᵣ = nC₍ᵣ₊₁₎, तो n और r में सम्बन्ध क्या होगा?
🔵 (A) n = 2r + 1
🟢 (B) n = 2r − 1
🟠 (C) n = 3r
🔴 (D) n = r + 1
उत्तर: (A) n = 2r + 1
प्रश्न 17. (a − b)ⁿ में सम स्थानों के पदों के गुणांक का योग क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) −2ⁿ
🔴 (D) 1
उत्तर: (B) 2ⁿ
प्रश्न 18. (x − 2)⁴ के प्रसार में स्थिर पद (constant term) क्या है?
🔵 (A) 16
🟢 (B) 24
🟠 (C) 12
🔴 (D) 6
उत्तर: (A) 16
)
🔶 Section B — अति-लघु उत्तर प्रश्न (Q19–Q23)
प्रश्न 19. (1 + x)⁵ के विस्तार में सामान्य पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 5, a = 1, b = x
⇒ Tᵣ₊₁ = 5Cᵣ xʳ
अर्थात् सामान्य पद = 5Cᵣ xʳ, जहाँ r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
प्रश्न 20. (a + b)⁶ के विस्तार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
चौथा पद ⇒ r = 3
T₄ = 6C₃ a³b³
= 20a³b³
प्रश्न 21. (x + 1/x)⁶ में स्थिर पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 6Cᵣ x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = 6Cᵣ x⁶⁻²ʳ
स्थिर पद के लिए घात 0 ⇒ 6 − 2r = 0 ⇒ r = 3
⇒ स्थिर पद = 6C₃ = 20
प्रश्न 22. (1 − x)⁸ में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 8Cᵣ (−1)ʳ xʳ
x⁵ के लिए r = 5
गुणांक = (−1)⁵ × 8C₅ = −56
प्रश्न 23. यदि (1 + x)ⁿ के विस्तार में चौथा पद 120x³ है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
T₄ = nC₃ x³ = 120x³
⇒ nC₃ = 120
⇒ n! / (3!(n−3)!) = 120
⇒ n(n−1)(n−2)/6 = 120
⇒ n³ − 3n² + 2n − 720 = 0
हल करने पर n = 10
🔷 Section C — मध्यम उत्तर प्रश्न (Q24–Q28)
प्रश्न 24. (x + 2)⁵ के विस्तार में x³ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 5, a = x, b = 2
x³ के लिए घात 3 ⇒ r = 2
⇒ T₃ = 5C₂ x³·2² = 10 × 4x³ = 40x³
गुणांक = 40
प्रश्न 25. (a − b)⁵ के प्रसार में सम स्थानों के गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
गुणांकों का योग (1 − 1)⁵ + (1 + 1)⁵ / 2 =
[(0)⁵ + (2)⁵]/2 = 32/2 = 16
उत्तर = 16
प्रश्न 26. यदि nC₂ : nC₃ = 1 : 3, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 हमें ज्ञात है —
🔹 nC₂ / nC₃ = 1 / 3
अब,
🔹 nC₂ = n(n−1)/2
🔹 nC₃ = n(n−1)(n−2)/6
➡️ अतः,
nC₂ / nC₃ = [n(n−1)/2] ÷ [n(n−1)(n−2)/6]
= (3) / (n−2)
अब, दिया है
3 / (n−2) = 1 / 3
✏️ इससे हमें मिलता है —
3 × 3 = n − 2
➡️ n − 2 = 9
➡️ n = 11
✅ अन्तिम उत्तर:
🔵 n = 11
प्रश्न 27. (1 + 2x)⁶ में x⁴ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 6Cᵣ (1)⁶⁻ʳ (2x)ʳ = 6Cᵣ 2ʳ xʳ
x⁴ के लिए r = 4
गुणांक = 6C₄ × 2⁴ = 15 × 16 = 240
उत्तर = 240
प्रश्न 28. (1 + 3x)⁴ के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
गुणांकों का योग = (1 + 1×3)⁴ ⇒ (1 + 3)⁴ = 4⁴ = 256
उत्तर = 256
🔶 Section D — दीर्घ उत्तर प्रश्न (Q29–Q31)
प्रश्न 28. (x + 1/x)¹⁰ में पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद — Tᵣ₊₁ = nCᵣ (x)ⁿ⁻ʳ (1/x)ʳ = nCᵣ xⁿ⁻²ʳ
यहाँ n = 10, पाँचवाँ पद ⇒ r = 4
⇒ T₅ = 10C₄ x¹⁰⁻⁸ = 210x²
उत्तर = 210x²
प्रश्न 29. (1 + 2x)¹⁰ के प्रसार में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 10, a = 1, b = 2x, r = 5
⇒ T₆ = 10C₅ (1)⁵ (2x)⁵ = 252 × 32x⁵ = 8064x⁵
अतः गुणांक = 8064
प्रश्न 30. यदि (1 + x)ⁿ के विस्तार में पाँचवाँ और छठा पद समान हैं, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
पाँचवाँ पद = nC₄ x⁴
छठा पद = nC₅ x⁵
अब दिया है nC₄ = nC₅
⇒ nCᵣ = nCₙ₋ᵣ ⇒ 4 = n − 5
⇒ n = 9
प्रश्न 31. (a + b)¹⁰ के विस्तार में सातवें पद का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
सामान्य पद: Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ r = 6 ⇒ T₇ = 10C₆ a⁴b⁶ = 210a⁴b⁶
गुणांक = 210
🔷 Section E — केस आधारित / अनुप्रयोग प्रश्न (Q32–Q33)
प्रश्न 32. यदि (1 + x)¹² के विस्तार में किसी पद का गुणांक 495 है, तो उस पद का क्रम ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = 12Cᵣ xʳ
गुणांक = 495 ⇒ 12Cᵣ = 495
अब 12C₄ = 495
⇒ r = 4
अतः वह पद है (r + 1) = 5वाँ पद
प्रश्न 33. (1 − 2x)⁸ के प्रसार में x⁶ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
Tᵣ₊₁ = nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
यहाँ n = 8, a = 1, b = −2x
r = 6 ⇒ T₇ = 8C₆ (−2x)⁶ = 28 × 64x⁶ = 1792x⁶
उत्तर = 1792
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
(1 + x)⁵ के प्रसार में x³ का गुणांक है
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 30
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2
(2 + x)⁶ के प्रसार में स्थिर पद है
🟥 1️⃣ 64
🟩 2️⃣ 32
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ 128
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 3
(1 + x)¹⁰ के प्रसार में पाँचवाँ पद है
🟥 1️⃣ ⁹C₄x⁴
🟩 2️⃣ ¹⁰C₄x⁴
🟨 3️⃣ ¹⁰C₅x⁵
🟦 4️⃣ ⁹C₅x⁵
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4
(1 + x)⁶ के प्रसार में अधिकतम पदों की संख्या =
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 5
(1 − x)¹⁰ के प्रसार में सम घात वाले पदों का योग है
🟥 1️⃣ 2⁹
🟩 2️⃣ 2¹⁰
🟨 3️⃣ 2⁸
🟦 4️⃣ 2¹¹
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6
(1 + 2x)⁴ में x² का गुणांक है
🟥 1️⃣ 24
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 16
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 7
(1 − 2x)⁵ के प्रसार में x³ का गुणांक है
🟥 1️⃣ −80
🟩 2️⃣ 80
🟨 3️⃣ −40
🟦 4️⃣ 40
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8
(1 + x)⁸ के प्रसार में चौथा पद है
🟥 1️⃣ ⁸C₃x³
🟩 2️⃣ ⁸C₄x⁴
🟨 3️⃣ ⁸C₂x²
🟦 4️⃣ ⁸C₁x¹
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 9
यदि (1 + x)ⁿ में कुल पदों की संख्या 11 है, तो n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 11
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10
(1 + 3x)⁵ के प्रसार में x⁴ का गुणांक है
🟥 1️⃣ 405
🟩 2️⃣ 270
🟨 3️⃣ 81
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 11
(1 + x)ⁿ के प्रसार में मध्य पद की संख्या है
🟥 1️⃣ n/2
🟩 2️⃣ n + 1
🟨 3️⃣ (n + 1)/2
🟦 4️⃣ n
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12
(1 + x)⁸ में चौथे पद का गुणांक है
🟥 1️⃣ 28
🟩 2️⃣ 56
🟨 3️⃣ 84
🟦 4️⃣ 70
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 13
(1 + x)¹² में x⁶ का गुणांक है
🟥 1️⃣ 924
🟩 2️⃣ 252
🟨 3️⃣ 462
🟦 4️⃣ 792
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14
(1 + 2x)¹⁰ में x³ का गुणांक है
🟥 1️⃣ 960
🟩 2️⃣ 720
🟨 3️⃣ 240
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 15
(1 − x)¹⁰ में विषम पदों का योग है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 2¹⁰
🟨 3️⃣ −2¹⁰
🟦 4️⃣ 2⁹
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16
(1 + x)⁶ के प्रसार में चौथा पद है
🟥 1️⃣ ⁶C₃x³
🟩 2️⃣ ⁶C₂x²
🟨 3️⃣ ⁶C₄x⁴
🟦 4️⃣ ⁶C₁x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 17
यदि (1 + x)⁶ का तीसरा पद 15x² है, तो यह सत्य है
🟥 1️⃣ ⁶C₂ = 15
🟩 2️⃣ ⁶C₃ = 15
🟨 3️⃣ ⁶C₄ = 15
🟦 4️⃣ ⁶C₅ = 15
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18
(1 + x)¹² के प्रसार में कुल पदों की संख्या =
🟥 1️⃣ 12
🟩 2️⃣ 13
🟨 3️⃣ 14
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 19
(1 − 2x)⁵ में x³ का गुणांक =
🟥 1️⃣ −80
🟩 2️⃣ 80
🟨 3️⃣ 40
🟦 4️⃣ −40
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20
(1 + x)⁵ के प्रसार में पहला पद है
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ x
🟨 3️⃣ ⁵C₀
🟦 4️⃣ ⁵C₁
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 21
(1 + x)⁶ में x² का गुणांक है
🟥 1️⃣ 15
🟩 2️⃣ 30
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 25
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22
(1 + x)⁵ में x का गुणांक है
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 23
(1 + x)⁸ में मध्य पद =
🟥 1️⃣ ⁸C₄x⁴
🟩 2️⃣ ⁸C₃x³
🟨 3️⃣ ⁸C₅x⁵
🟦 4️⃣ ⁸C₆x⁶
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24
(1 + 2x)⁵ में x³ का गुणांक =
🟥 1️⃣ 80
🟩 2️⃣ 40
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 60
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25
(1 − x)⁴ में स्थिर पद =
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ −1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26
(1 + x)⁷ में x³ का गुणांक है
🟥 1️⃣ ³⁵
🟩 2️⃣ ⁷C₃
🟨 3️⃣ ³⁵x³
🟦 4️⃣ ⁷C₂
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27
(1 − x)⁸ में सम पदों का योग है
🟥 1️⃣ 2⁸
🟩 2️⃣ 2⁷
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 2⁹
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28
(1 + x)¹² के प्रसार में मध्य पद कौन-सा होगा?
🟥 1️⃣ 6वाँ
🟩 2️⃣ 7वाँ
🟨 3️⃣ 8वाँ
🟦 4️⃣ 9वाँ
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29
(1 + 2x)⁵ में x² का गुणांक है
🟥 1️⃣ 80
🟩 2️⃣ 40
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 60
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30
यदि (1 + x)ⁿ में कुल पदों की संख्या 9 है, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31
(1 + x)¹⁰ में मध्य पद है
🟥 1️⃣ 6वाँ
🟩 2️⃣ 5वाँ
🟨 3️⃣ 7वाँ
🟦 4️⃣ 8वाँ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32
(1 + 3x)⁴ में x³ का गुणांक है
🟥 1️⃣ 108
🟩 2️⃣ 54
🟨 3️⃣ 72
🟦 4️⃣ 81
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33
(1 − x)⁶ में विषम घात वाले पदों का योग =
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 2⁶
🟨 3️⃣ 2⁵
🟦 4️⃣ −2⁶
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34
(1 + x)⁸ में x⁵ का गुणांक है
🟥 1️⃣ ⁸C₅
🟩 2️⃣ ⁸C₃
🟨 3️⃣ ⁸C₂
🟦 4️⃣ ⁸C₄
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35
(1 + x)⁹ में कुल पदों की संख्या =
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36
(1 + x)⁷ में x⁴ का गुणांक =
🟥 1️⃣ ³⁵
🟩 2️⃣ ²¹
🟨 3️⃣ ²⁸
🟦 4️⃣ ⁷C₄
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37
(1 + 2x)⁴ के प्रसार में x² का गुणांक =
🟥 1️⃣ 24
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38
(1 − x)¹⁰ में विषम पदों का योग =
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 2¹⁰
🟨 3️⃣ −2¹⁰
🟦 4️⃣ 2⁹
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39
(1 + 3x)⁵ में x⁴ का गुणांक =
🟥 1️⃣ 405
🟩 2️⃣ 270
🟨 3️⃣ 81
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40
(1 + x)⁴ में x³ का गुणांक =
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 24
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41
(1 + 2x)⁶ में x⁵ का गुणांक =
🟥 1️⃣ 1920
🟩 2️⃣ 960
🟨 3️⃣ 720
🟦 4️⃣ 1440
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42
(1 + x)⁵ में कुल पदों की संख्या =
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43
(1 + 2x)³ में x² का गुणांक =
🟥 1️⃣ 12
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44
(1 + x)⁶ में x³ का गुणांक =
🟥 1️⃣ 20
🟩 2️⃣ 30
🟨 3️⃣ 15
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45
(1 + 2x)⁵ में स्थिर पद =
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46
(1 + x)⁷ में मध्य पद =
🟥 1️⃣ 4वाँ
🟩 2️⃣ 5वाँ
🟨 3️⃣ 6वाँ
🟦 4️⃣ 3वाँ
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47
(1 + x)¹⁰ में कुल पदों की संख्या =
🟥 1️⃣ 11
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48
(1 + 2x)⁴ में x³ का गुणांक =
🟥 1️⃣ 32
🟩 2️⃣ 64
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ 24
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49
(1 + x)⁵ में x² का गुणांक =
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 15
🟦 4️⃣ 20
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50
(1 − x)⁴ में विषम पदों का योग =
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में दूसरा पद 240 है तथा n = 5, तो x = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2
(1 + x)¹⁰ के प्रसार में मध्य पदों की संख्या है –
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3
(1 + x)¹⁰ के प्रसार में 5वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 210x⁴
🟩 2️⃣ 120x⁴
🟨 3️⃣ 252x⁴
🟦 4️⃣ 56x⁴
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4
(1 + x)ⁿ के प्रसार में गुणांक का योग = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2ⁿ
🟦 4️⃣ n
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5
(1 + x)⁸ के प्रसार में चौथा पद = ?
🟥 1️⃣ 56x³
🟩 2️⃣ 28x³
🟨 3️⃣ 84x³
🟦 4️⃣ 70x³
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6
यदि (1 + x)⁶ में पाँचवाँ पद = 80x⁴ है, तो x = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7
(1 + x)⁴ के प्रसार में कुल पदों की संख्या = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8
(1 + 2x)⁵ के प्रसार में तीसरे पद का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 40
🟩 2️⃣ 80
🟨 3️⃣ 60
🟦 4️⃣ 100
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9
(1 − x)⁶ के प्रसार में सम पदों के गुणांकों का योग = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 32
🟨 3️⃣ 64
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10
(1 + x)ⁿ में चौथा पद = 84x³ और पाँचवाँ पद = 56x⁴, n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11
(1 + 3x)⁵ के प्रसार में x³ का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 270
🟩 2️⃣ 360
🟨 3️⃣ 405
🟦 4️⃣ 540
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12
(1 − 2x)⁶ के प्रसार में स्थिर पद = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 64
🟨 3️⃣ −64
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13
(1 + x)ⁿ में तीसरा पद = 120x² और चौथा पद = 210x³, n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14
(1 + x)ⁿ में गुणांकों का योग 256 है, n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15
(1 − x)⁶ में विषम घात वाले पदों के गुणांकों का योग = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 32
🟨 3️⃣ −32
🟦 4️⃣ 64
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16
यदि (1 + x)ⁿ में 4था पद = 120 और 5वाँ पद = 210, तो n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17
(1 + x)⁵ में मध्य पद = ?
🟥 1️⃣ 6x²
🟩 2️⃣ 10x²
🟨 3️⃣ 10x³
🟦 4️⃣ 6x³
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में तीसरा पद 84x² और चौथा पद 56x³ है, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19
(1 + x)⁶ में सम घात वाले पदों का योग = ?
🟥 1️⃣ 32
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 64
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20
(1 − 2x)⁵ के प्रसार में x³ का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ −80
🟩 2️⃣ 80
🟨 3️⃣ −40
🟦 4️⃣ 40
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21
यदि (1 + x)ⁿ में पाँचवाँ पद = 56x⁴ है, तो n का मान = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22
(1 + 3x)⁴ के प्रसार में चौथे पद का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 108
🟩 2️⃣ 81
🟨 3️⃣ 54
🟦 4️⃣ 36
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23
(1 + x)¹⁰ में विषम घात वाले पदों के गुणांकों का योग = ?
🟥 1️⃣ 512
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 1024
🟦 4️⃣ 256
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24
(1 − x)⁸ में स्थिर पद = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ −1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 256
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25
(1 + 2x)⁵ में x² का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 40
🟩 2️⃣ 80
🟨 3️⃣ 60
🟦 4️⃣ 100
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26
(1 − 3x)⁴ में x³ का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ −108
🟩 2️⃣ 108
🟨 3️⃣ 81
🟦 4️⃣ −81
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27
(1 + x)ⁿ में मध्य पद का क्रमांक = ?
🟥 1️⃣ n/2
🟩 2️⃣ (n/2) + 1
🟨 3️⃣ (n + 1)/2
🟦 4️⃣ n + 1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28
(1 + x)⁵ में गुणांकों का योग = ?
🟥 1️⃣ 32
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 64
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29
(1 + x)⁴ में विषम घात वाले पदों के गुणांकों का योग = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30
(1 − x)⁶ के प्रसार में कुल पदों की संख्या = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31
(1 + 2x)³ में अंतिम पद का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32
(1 − x)⁴ के प्रसार में तीसरे पद का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ −6
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ −4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33
(1 + 2x)⁵ के प्रसार में x⁴ का गुणांक = ?
🟥 1️⃣ 80
🟩 2️⃣ 40
🟨 3️⃣ 100
🟦 4️⃣ 60
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34
(1 + x)⁴ में स्थिर पद = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
भाग A — Q1 से Q20
Q1. (a + b)ⁿ के प्रसार में कुल पदों की संख्या है —
🔵 (A) n
🟢 (B) n + 1
🟠 (C) 2n
🔴 (D) n − 1
उत्तर: (B) n + 1
Q2. (1 + x)⁵ के प्रसार में x³ का गुणांक है —
🔵 (A) 5
🟢 (B) 10
🟠 (C) 20
🔴 (D) 15
उत्तर: (D) 15
Q3. (a + b)⁶ के प्रसार में a⁴b² वाले पद का गुणांक है —
🔵 (A) 6C₂
🟢 (B) 6C₄
🟠 (C) 6C₃
🔴 (D) 6C₅
उत्तर: (A) 6C₂
Q4. (x + 2)⁴ के प्रसार में x² का गुणांक है —
🔵 (A) 6
🟢 (B) 12
🟠 (C) 24
🔴 (D) 48
उत्तर: (C) 24
Q5. (1 − x)⁶ के प्रसार में विषम घातों के गुणांकों का योग है —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2⁶
🟠 (C) −2⁶
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 0
Q6. (a + b)ⁿ के प्रसार का सामान्य पद Tᵣ₊₁ है —
🔵 (A) nCᵣ aʳ bⁿ⁻ʳ
🟢 (B) nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
🟠 (C) nCᵣ₊₁ aⁿ bʳ
🔴 (D) nC₍ₙ₋ᵣ₎ aʳ bⁿ⁻ʳ
उत्तर: (B) nCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
Q7. (1 + x)⁸ में x⁵ का गुणांक है —
🔵 (A) 8C₃
🟢 (B) 8C₅
🟠 (C) 8C₄
🔴 (D) 8C₂
उत्तर: (B) 8C₅
Q8. (x − 3)⁵ के प्रसार में स्थिर पद है —
🔵 (A) 3⁵
🟢 (B) −3⁵
🟠 (C) (−3)⁵
🔴 (D) (−3)⁰
उत्तर: (C) (−3)⁵
Q9. यदि nC₂ = 28, तो n का मान है —
🔵 (A) 7
🟢 (B) 8
🟠 (C) 6
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 8
Q10. (2x + 1)⁴ में x³ का गुणांक है —
🔵 (A) 16
🟢 (B) 32
🟠 (C) 48
🔴 (D) 64
उत्तर: (B) 32
Q11. (1 + x)¹⁰ के प्रसार में मध्य पदों के क्रमांक हैं —
🔵 (A) 5वाँ, 6वाँ
🟢 (B) 6वाँ, 7वाँ
🟠 (C) 4था, 5वाँ
🔴 (D) 7वाँ, 8वाँ
उत्तर: (A) 5वाँ, 6वाँ
Q12. (1 + x)⁹ में मध्य पद का क्रमांक है —
🔵 (A) 5वाँ
🟢 (B) 4था
🟠 (C) 6वाँ
🔴 (D) 7वाँ
उत्तर: (A) 5वाँ
Q13. (a − b)⁶ के प्रसार में सम घात वाले पदों के गुणांकों का योग है —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2⁶
🟠 (C) 2⁵
🔴 (D) −2⁶
उत्तर: (B) 2⁶
Q14. (1 + x)⁷ में x² का गुणांक है —
🔵 (A) 7
🟢 (B) 21
🟠 (C) 14
🔴 (D) 35
उत्तर: (C) 14
Q15. (1 − 2x)⁵ में x⁴ का गुणांक है —
🔵 (A) −80
🟢 (B) 80
🟠 (C) −40
🔴 (D) 40
उत्तर: (B) 80
Q16. यदि nCᵣ = nC₍ᵣ₊₁₎, तो n और r का सम्बन्ध है —
🔵 (A) n = 2r
🟢 (B) n = 2r + 1
🟠 (C) n = r + 1
🔴 (D) n = 3r
उत्तर: (B) n = 2r + 1
Q17. ∑ᵣ₌₀ⁿ nCᵣ = —
🔵 (A) n
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) n!
🔴 (D) n²
उत्तर: (B) 2ⁿ
Q18. (x + 3)⁶ में x³ का गुणांक है —
🔵 (A) 6C₃·3³
🟢 (B) 6C₃·3²
🟠 (C) 6C₂·3³
🔴 (D) 6C₄·3²
उत्तर: (B) 6C₃·3²
Q19. (1 + x)¹² के प्रसार में x¹² का गुणांक है —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 12C₁
🟠 (C) 12C₁₂
🔴 (D) 12C₀
उत्तर: (C) 12C₁₂
Q20. (a + b)⁵ के प्रसार में चौथा पद है —
🔵 (A) 5C₃ a²b³
🟢 (B) 5C₂ a³b²
🟠 (C) 5C₃ a³b²
🔴 (D) 5C₂ a²b³
उत्तर: (B) 5C₂ a³b²
🟣 भाग B — Q21 से Q40 (JEE Main स्तर)
Q21. यदि nC₂ = 6·nC₄, तो n है —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 8
उत्तर: (A) 4
Q22. (1 + x)¹⁰ में x⁵ के गुणांक का मान है —
🔵 (A) 10C₅
🟢 (B) 10C₅·1⁵
🟠 (C) 10C₅·1⁵ = 252
🔴 (D) 10C₅·5
उत्तर: (C) 10C₅·1⁵ = 252
Q23. (1 − x)⁸ में x⁶ का गुणांक है —
🔵 (A) 8C₆
🟢 (B) −8C₆
🟠 (C) (−1)⁶·8C₆
🔴 (D) (−1)⁶·8C₆·(−1)
उत्तर: (C) (−1)⁶·8C₆
Q24. (x + 1/x)¹² के प्रसार में स्थिर पद है —
🔵 (A) 12C₆
🟢 (B) 12C₆·2
🟠 (C) 12C₆·x⁰
🔴 (D) 12C₀
उत्तर: (A) 12C₆
Q25. यदि nCᵣ : nCᵣ₋₁ = 3 : 2, तो (n − r + 1)/r = —
🔵 (A) 2/3
🟢 (B) 3/2
🟠 (C) 1
🔴 (D) 3
उत्तर: (B) 3/2
Q26. (2x − 1)⁷ में x⁵ का गुणांक है —
🔵 (A) 7C₅·2⁵·(−1)²
🟢 (B) 7C₂·2⁵·(−1)²
🟠 (C) 7C₅·2²·(−1)⁵
🔴 (D) 7C₂·2²·(−1)⁵
उत्तर: (A) 7C₅·2⁵·(−1)²
Q27. (1 + 3x)⁸ में x⁴ का गुणांक है —
🔵 (A) 8C₄·3⁴
🟢 (B) 8C₄·3²
🟠 (C) 8C₃·3⁴
🔴 (D) 8C₅·3⁵
उत्तर: (A) 8C₄·3⁴
Q28. (a + b)¹² में a⁸b⁴ और a⁹b³ के गुणांकों का अनुपात है —
🔵 (A) 12C₄ : 12C₃
🟢 (B) 12C₈ : 12C₉
🟠 (C) 12C₄ : 12C₃ = 4/1
🔴 (D) 12C₈ : 12C₉ = 3/9
उत्तर: (B) 12C₈ : 12C₉
Q29. यदि nC₂ = 45, तो nC₃ का मान है —
🔵 (A) 120
🟢 (B) 84
🟠 (C) 210
🔴 (D) 165
उत्तर: (C) 210
Q30. (1 − 2x)¹⁰ में x⁶ का गुणांक है —
🔵 (A) (−1)⁶·10C₆·2⁶
🟢 (B) (−1)⁶·10C⁴·2⁶
🟠 (C) (−1)¹⁰·10C₆·2⁶
🔴 (D) 10C₆·2⁶
उत्तर: (A) (−1)⁶·10C₆·2⁶
Q31. (x + 1)¹² में तीसरा पद है —
🔵 (A) 12C₂ x²
🟢 (B) 12C₁ x
🟠 (C) 12C₂ x¹⁰
🔴 (D) 12C₃ x³
उत्तर: (A) 12C₂ x²
Q32. (a + b)ⁿ में aⁿ⁻ʳbʳ का गुणांक 2⁰ है, तो r = —
🔵 (A) 0
🟢 (B) n
🟠 (C) ऐसा r जहाँ nCᵣ = 1
🔴 (D) केवल सम n पर 0
उत्तर: (C) ऐसा r जहाँ nCᵣ = 1
Q33. (1 + x)ⁿ के प्रसार में xᵏ का गुणांक 2ⁿ⁻¹ हो, तो k क्या हो सकता है?
🔵 (A) कोई भी
🟢 (B) k = 0
🟠 (C) k = 1
🔴 (D) ऐसा k जहाँ nCₖ = 2ⁿ⁻¹
उत्तर: (D) ऐसा k जहाँ nCₖ = 2ⁿ⁻¹
Q34. (x + 1/x)¹⁴ में x² का गुणांक है —
🔵 (A) 14C₆
🟢 (B) 14C₄
🟠 (C) 14C₅
🔴 (D) 14C₈
उत्तर: (A) 14C₆
Q35. (1 + x)ⁿ में पाँचवाँ पद छठे पद के बराबर है, तो n = —
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 11
उत्तर: (B) 9
Q36. (a + b)¹⁰ में a⁷b³ के गुणांक का मान है —
🔵 (A) 10C₃
🟢 (B) 10C₇
🟠 (C) 10C₇ = 120
🔴 (D) 10C₃ = 120
उत्तर: (B) 10C₇
Q37. (1 − x)⁷ में x⁵ का गुणांक है —
🔵 (A) −7C₅
🟢 (B) 7C₅
🟠 (C) (−1)⁵·7C₅
🔴 (D) (−1)²·7C₅
उत्तर: (C) (−1)⁵·7C₅
Q38. (2 − x)⁶ में x² का गुणांक है —
🔵 (A) 6C₂·(−1)²·2⁴
🟢 (B) 6C₂·(−1)²·2²
🟠 (C) 6C₂·(−1)²·2⁶
🔴 (D) 6C₂·(−1)²
उत्तर: (A) 6C₂·(−1)²·2⁴
Q39. यदि nC₂ = nC₈, तो n है —
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 12
उत्तर: (C) 10
Q40. (1 + 2x)¹² में x⁵ का गुणांक है —
🔵 (A) 12C₅·2⁵
🟢 (B) 12C₅·2¹²
🟠 (C) 12C⁷·2⁵
🔴 (D) 12C₅·2⁴
उत्तर: (A) 12C₅·2⁵
🔶 भाग C — Q41 से Q50 (JEE Advanced स्तर)
Q41. (1 + x)ⁿ में kवाँ पद और (k + 1)वाँ पद बराबर हों, तो k = —
🔵 (A) (n − 1)/2
🟢 (B) n/2
🟠 (C) (n + 1)/2
🔴 (D) n − 1
उत्तर: (A) (n − 1)/2
Q42. (x + 1/x)¹⁶ में x⁰ का गुणांक है —
🔵 (A) 16C₈
🟢 (B) 2·16C₈
🟠 (C) 16C₇
🔴 (D) 2·16C₇
उत्तर: (A) 16C₈
Q43. (a + b)¹² में a⁹b³ और a⁸b⁴ के गुणांकों का अनुपात है —
🔵 (A) 12C₃ : 12C₄
🟢 (B) 12C₉ : 12C₈
🟠 (C) 12C₃ : 12C₄ = 3 : 4
🔴 (D) 12C₉ : 12C₈ = 3 : 4
उत्तर: (A) 12C₃ : 12C₄
Q44. (1 − 3x)¹¹ में x⁶ का गुणांक है —
🔵 (A) (−1)⁶·11C₆·3⁶
🟢 (B) (−1)⁶·11C⁵·3⁶
🟠 (C) (−1)¹¹·11C₆·3⁶
🔴 (D) 11C₆·3⁶
उत्तर: (A) (−1)⁶·11C₆·3⁶
Q45. (x + 1/x)¹⁰ के सभी पदों के गुणांकों का योग है —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2¹⁰
🟠 (C) 2⁵
🔴 (D) 10C₅
उत्तर: (B) 2¹⁰
Q46. (1 + x)²⁰ में x⁵ और x¹⁵ के गुणांकों का योग है —
🔵 (A) 20C₅
🟢 (B) 20C₁₅
🟠 (C) 20C₅ + 20C₁₅ = 2·20C₅
🔴 (D) 20C₁₀
उत्तर: (C) 20C₅ + 20C₁₅ = 2·20C₅
Q47. (2x + 1/x)⁸ में x⁰ का गुणांक है —
🔵 (A) 8C₄·2⁴
🟢 (B) 2·8C₄·2⁴
🟠 (C) 8C₄·2⁸
🔴 (D) 8C₄
उत्तर: (A) 8C₄·2⁴
Q48. (a + b)ⁿ में किसी r के लिए क्रमागत तीन पदों के गुणांकों का अनुपात 1 : 3 : 3 है। n और r का सम्बन्ध —
🔵 (A) r = n/2
🟢 (B) (n − r + 1)/r = 3 तथा (r + 1)/(n − r) = 1/3
🟠 (C) n = 3r
🔴 (D) r = 3
उत्तर: (B) (n − r + 1)/r = 3 तथा (r + 1)/(n − r) = 1/3
Q49. (1 + x)ⁿ के प्रसार में k ऐसा कि nCₖ = nCₖ₊₁ = nCₖ₊₂ हो। सम्भव n के लिए k है —
🔵 (A) (n − 2)/3
🟢 (B) (n − 1)/3
🟠 (C) (n − 3)/3
🔴 (D) n/3
उत्तर: (A) (n − 2)/3
Q50. (1 − x + x²)¹⁰ के प्रसार में x¹⁰ का गुणांक है —
🔵 (A) ∑ 10Cᵣ·(−1)ʳ जहाँ 2r = 10
🟢 (B) ∑ 10Cᵣ·(−1)ʳ·1⁽¹⁰⁻ʳ⁻ˢ⁾ जहाँ r + 2s = 10
🟠 (C) ∑ 10Cˢ·(−1)ʳ जहाँ r + 2s = 10
🔴 (D) 10C₅ − 10C₈
उत्तर: (B) ∑ 10Cᵣ·(−1)ʳ जहाँ r + 2s = 10
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