Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 2. संबंध एवं फलन
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔶 व्याख्या भाग (Explanation Section)
🟢 1️⃣ क्रमबद्ध युग्म (Ordered Pair)
🔹 दो तत्वों a और b को एक निश्चित क्रम में लिखने पर (a, b) कहलाता है।
🔹 यदि (a, b) और (b, a) हों, तो ये दोनों समान तभी होंगे जब a = b हो।
💡 उदाहरण:
(2, 3) ≠ (3, 2) क्योंकि क्रम अलग है।
🟡 2️⃣ कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product)
✏️ यदि A और B दो समुच्चय हैं,
तो उनका कार्तीय गुणनफल लिखा जाता है —
➡️ A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
💡 उदाहरण:
A = {1, 2}, B = {x, y}
तो A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
🔵 3️⃣ संबंध (Relation)
🔹 यदि R, A × B का कोई उपसमुच्चय है,
तो R को A से B पर एक संबंध (Relation) कहा जाता है।
💡 उदाहरण:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}
R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
अतः R एक संबंध है।
🔴 4️⃣ संबंधों के प्रकार (Types of Relations)
🟢 (i) प्रतिबिंबित संबंध (Reflexive):
यदि (a, a) ∈ R प्रत्येक a ∈ A के लिए, तो R प्रतिबिंबित है।
🟠 (ii) सममित संबंध (Symmetric):
यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, तो R सममित है।
🔵 (iii) संक्रामी संबंध (Transitive):
यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, तो R संक्रामी है।
✔️ यदि कोई संबंध प्रतिबिंबित, सममित और संक्रामी तीनों हो,
तो उसे समानता संबंध (Equivalence Relation) कहते हैं।
🟣 5️⃣ फलन (Function)
🔹 एक फलन f : A → B ऐसा संबंध है जिसमें A का प्रत्येक तत्व B के केवल एक तत्व से सम्बद्ध होता है।
🔹 फलन को f(x) के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।
💡 उदाहरण:
f(x) = x² एक फलन है क्योंकि प्रत्येक x का केवल एक f(x) है।
🧠 6️⃣ फलनों के प्रकार (Types of Functions)
🔵 (i) एकएक फलन (One–One):
यदि f(a₁) ≠ f(a₂) जब a₁ ≠ a₂ हो,
तो फलन एकएक कहलाता है।
🟢 (ii) सर्वतुल्य फलन (Onto):
यदि सह–परिभाषा–समुच्चय (Co-domain) का प्रत्येक तत्व A के किसी न किसी तत्व से सम्बद्ध हो,
तो फलन सर्वतुल्य कहलाता है।
🟠 (iii) एकएक सर्वतुल्य फलन (Bijective):
यदि फलन एकएक और सर्वतुल्य दोनों हो,
तो उसे एकएक सर्वतुल्य कहते हैं।
🔴 (iv) स्थिर फलन (Constant Function):
यदि f(x) = k, जहाँ k स्थिरांक है,
तो यह स्थिर फलन कहलाता है।
💡 7️⃣ प्रतिलोम फलन (Inverse Function)
यदि f : A → B एक एकएक सर्वतुल्य फलन है,
तो एक फलन f⁻¹ : B → A परिभाषित होता है
जिसे प्रतिलोम फलन कहा जाता है।
शर्तें:
f⁻¹(f(x)) = x और f(f⁻¹(x)) = x
🟤 8️⃣ सम्मिश्र फलन (Composite Function)
यदि f : A → B और g : B → C हों,
तो एक नया फलन (g ∘ f) : A → C परिभाषित किया जाता है —
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
🟢 9️⃣ फलन का आलेख (Graph of Function)
फलन y = f(x) का आलेख उन सभी बिंदुओं (x, f(x)) का समूह होता है
जो कार्तीय तल (x–y plane) पर खींचे जाते हैं।
💡 उदाहरण:
f(x) = x² का आलेख ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय (Parabola) होता है।
⚡ 🔟 फलनों का परिभाषा–क्षेत्र और परिभाषा–कोटि
🔹 परिभाषा–क्षेत्र:
वे सभी मान x के, जिनके लिए f(x) परिभाषित है।
🔹 परिभाषा–कोटि:
f(x) के सभी सम्भव मानों का समुच्चय।
💡 उदाहरण:
यदि f(x) = √x है,
तो
परिभाषा–क्षेत्र = [0, ∞)
परिभाषा–कोटि = [0, ∞)
📗 सारांश (Summary Section)
🔹 क्रमबद्ध युग्म (a, b) क्रम के अनुसार भिन्न होते हैं।
🔹 कार्तीय गुणनफल A × B सभी सम्भव युग्मों का समूह है।
🔹 संबंध R, A × B का उपसमुच्चय होता है।
🔹 फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है जिसमें A का प्रत्येक तत्व B के एक ही तत्व से सम्बद्ध होता है।
🔹 फलनों के प्रमुख प्रकार —
✔️ एकएक (One–One)
✔️ सर्वतुल्य (Onto)
✔️ स्थिर (Constant)
🔹 प्रतिलोम फलन केवल एकएक सर्वतुल्य फलनों के लिए परिभाषित होता है।
📝 Quick Recap:
🔹 संबंध A × B का उपसमुच्चय है।
🔹 फलन = विशिष्ट संबंध।
🔹 एकएक सर्वतुल्य फलन का प्रतिलोम होता है।
🔹 सम्मिश्र फलन (g ∘ f)(x) = g(f(x))।
🔹 परिभाषा–क्षेत्र और परिभाषा–कोटि फलन के मूल तत्त्व हैं।
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
प्रश्नावली 2.1
🔵 प्रश्न 1.
यदि (x/3 + 1, y − 2/3) = (5/3, 1/3), तो x तथा y ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दो क्रमित युग्म तभी समान होते हैं जब उनके समतुल्य अवयव समान हों।
इसलिए,
x/3 + 1 = 5/3 तथा y − 2/3 = 1/3
➡️ पहले समीकरण से:
x/3 = 5/3 − 1 = (5 − 3)/3 = 2/3
⇒ x = 2
➡️ दूसरे समीकरण से:
y = 1/3 + 2/3 = 1
✔️ अतः x = 2 और y = 1
🟢 प्रश्न 2.
यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो (A × B) में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यदि किसी समुच्चय A में m अवयव और B में n अवयव हों,
तो A × B में अवयवों की संख्या = m × n होती है।
यहाँ,
n(A) = 3 और n(B) = 3
⇒ n(A × B) = 3 × 3 = 9
✔️ अतः A × B में 9 अवयव होंगे।
🔴 प्रश्न 3.
यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G × H और H × G ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
क्रमित युग्म (a, b) में पहला अवयव G से और दूसरा H से लिया जाता है।
➡️ G × H = {(7,5), (7,4), (7,2), (8,5), (8,4), (8,2)}
➡️ H × G = {(5,7), (5,8), (4,7), (4,8), (2,7), (2,8)}
✔️ अतः G × H और H × G समान नहीं हैं, क्योंकि क्रम का अंतर है।
🟡 प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य है।
यदि कथन असत्य है, तो उसे सही बनाइए।
✏️ (i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m}, तो P × Q = {(m, n), (n, m)}।
उत्तर:
P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
➡️ दिया गया कथन गलत है, क्योंकि P × Q में चार क्रमित युग्म होंगे।
✔️ सही कथन: P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}।
✏️ (ii) यदि A और B अकृत समुच्चय हैं, तो A × B क्रमित युग्मों (x, y) का एक अकृत समुच्चय है, इस प्रकार कि x ∈ A तथा y ∈ B।
उत्तर:
यह कथन सत्य है ✅
क्योंकि परिभाषा के अनुसार, A × B = {(x, y): x ∈ A, y ∈ B}।
✏️ (iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × (B ∩ Φ) = Φ।
उत्तर:
B ∩ Φ = Φ
⇒ A × (B ∩ Φ) = A × Φ = Φ
✔️ अतः यह कथन सत्य है।
🔵 प्रश्न 5.
यदि A = {−1, 1}, तो A × A × A ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
A के अवयव −1 व 1 हैं। अतः सभी क्रमित तिकड़ी (a, b, c) जहाँ a, b, c ∈ A:
👉 A × A × A = { (−1, −1, −1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1), (−1, 1, 1), (1, −1, −1), (1, −1, 1), (1, 1, −1), (1, 1, 1) }
✔️ अवयवों की संख्या = 2³ = 8.
🟢 प्रश्न 6.
यदि A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
पहला अवयव A से तथा दूसरा B से आता है।
➡️ A = {a, b} तथा B = {x, y}.
🔴 прश्न 7.
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8}। सत्यापित कीजिए कि
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।
उत्तर:
✏️ (i) B ∩ C = {1,2,3,4} ∩ {5,6} = Φ
⇒ A × (B ∩ C) = A × Φ = Φ
और (A × B) ∩ (A × C) में वे युग्म होंगे जिनके दूसरे अवयव B और C दोनों में हों; पर B ∩ C = Φ ⇒ (A × B) ∩ (A × C) = Φ।
✔️ अतः दोनों पक्ष Φ हैं, समानता सत्य।
✏️ (ii) A × C के हर युग्म का पहला अवयव A = {1,2} में है जो B = {1,2,3,4} में भी है; तथा दूसरा अवयव C = {5,6} में है जो D = {5,6,7,8} में भी है।
⇒ हर (a, c) ∈ A × C के लिए (a, c) ∈ B × D।
✔️ अतः A × C ⊆ B × D (उपसमुच्चय).
🟠 प्रश्न 8.
मान लीजिए A = {1, 2} और B = {3, 4}। A × B लिखिए। A × B के कितने उपसमुच्चय होंगे? उनकी सूची बनाइए।
उत्तर:
➡️ A × B = { (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) } (कुल 4 अवयव)
उपसमुच्चयों की संख्या = 2⁴ = 16।
🧾 समस्त उपसमुच्चय (Power Set):
Φ
{(1,3)}
{(1,4)}
{(2,3)}
{(2,4)}
{(1,3), (1,4)}
{(1,3), (2,3)}
{(1,3), (2,4)}
{(1,4), (2,3)}
{(1,4), (2,4)}
{(2,3), (2,4)}
{(1,3), (1,4), (2,3)}
{(1,3), (1,4), (2,4)}
{(1,3), (2,3), (2,4)}
{(1,4), (2,3), (2,4)}
{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} (= A × B)
🟡 प्रश्न 9.
मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं, जहाँ n(A) = 3 और n(B) = 2, यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2) ∈ A × B हैं, तो A और B ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
उत्तर:
पहले अवयवों से A = {x, y, z} (तीन भिन्न अवयव)
दूसरे अवयवों से B = {1, 2}।
✔️ n(A) = 3, n(B) = 2 की शर्तें संतुष्ट।
🔵 प्रश्न 10.
कार्तीय गुणन A × A में 9 अवयव हैं, जिनमें (−1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A × A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
n(A × A) = 9 ⇒ |A|² = 9 ⇒ |A| = 3।
दिए युग्मों के सभी अवयव (−1, 0, 1) A में होने चाहिए और ये तीनों भिन्न हैं, अतः
➡️ A = {−1, 0, 1}।
अब A × A के सभी 9 युग्म:
{ (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1) }
दिए गए थे: (−1, 0), (0, 1)।
➡️ शेष अवयव: (−1, −1), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (1, −1), (1, 0), (1, 1)。
प्रश्नावली 2.2
🔵 प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, …, 14}।
R = {(x, y) : 3x − y = 0, जहाँ x, y ∈ A} द्वारा A से A का एक संबंध R परिभाषित है।
R को लिखिए तथा इसका प्रांत, सहप्रांत और परिपथ लिखिए।
उत्तर:
दिया है: 3x − y = 0 ⇒ y = 3x
A = {1, 2, 3, …, 14}
अब जब x ∈ A, तो y = 3x भी A में होना चाहिए।
➡️ x = 1 ⇒ y = 3
➡️ x = 2 ⇒ y = 6
➡️ x = 3 ⇒ y = 9
➡️ x = 4 ⇒ y = 12
x = 5 ⇒ y = 15 (A में नहीं)
अतः केवल पहले चार युग्म वैध हैं:
R = {(1,3), (2,6), (3,9), (4,12)}
✏️ प्रांत (Domain): {1, 2, 3, 4}
✏️ सहप्रांत (Co-domain): A = {1, 2, 3, …, 14}
✏️ परिपथ (Range): {3, 6, 9, 12}
🟢 प्रश्न 2.
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर R = {(x, y) : y = x + 5, x < 4, x, y ∈ N} द्वारा एक संबंध परिभाषित कीजिए।
R को (i) रोस्टर रूप में लिखिए तथा (ii) इसका प्रांत और परिपथ लिखिए।
उत्तर:
x < 4 ⇒ x = 1, 2, 3
y = x + 5 ⇒ 6, 7, 8
➡️ R = {(1,6), (2,7), (3,8)}
✏️ प्रांत (Domain): {1, 2, 3}
✏️ परिपथ (Range): {6, 7, 8}
🔴 प्रश्न 3.
A = {1, 2, 3, 5} और B = {4, 6, 9}।
A से B में एक संबंध R = {(x, y): x और y का अंतर विषम है, x ∈ A, y ∈ B} द्वारा परिभाषित कीजिए।
R को रोस्टर रूप में लिखिए।
उत्तर:
विषम अंतर का अर्थ है |x − y| विषम संख्या हो।
अब जोड़े बनाते हैं:
(1,4) → |1−4|=3 (विषम) ✅
(1,6) → |1−6|=5 (विषम) ✅
(1,9) → |1−9|=8 ❌
(2,4) → |2−4|=2 ❌
(2,6) → |2−6|=4 ❌
(2,9) → |2−9|=7 ✅
(3,4) → |3−4|=1 ✅
(3,6) → |3−6|=3 ✅
(3,9) → |3−9|=6 ❌
(5,4) → |5−4|=1 ✅
(5,6) → |5−6|=1 ✅
(5,9) → |5−9|=4 ❌
➡️ R = {(1,4), (1,6), (2,9), (3,4), (3,6), (5,4), (5,6)}
🟡 प्रश्न 4.
आकृति 2.7 में समुच्चय P से Q का एक संबंध दिया गया है।
इस संबंध को (i) समुच्चय निर्माण रूप में, (ii) रोस्टर रूप में लिखिए, और इसका प्रांत व परिपथ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
चित्रानुसार, P = {5, 6, 7}, Q = {3, 4, 5}
संबंध है: 5 → 3, 6 → 4, 7 → 5
(i) समुच्चय निर्माण रूप: R = {(x, y) : y = x − 2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) रोस्टर रूप: R = {(5,3), (6,4), (7,5)}
✏️ प्रांत (Domain): {5, 6, 7}
✏️ परिपथ (Range): {3, 4, 5}
🔵 प्रश्न 5.
मान लीजिए कि A = {2, 3, 4, 5}।
A × A पर R = {(a, b) : a, b ∈ A, a को b से विभाजित किया जा सकता है} द्वारा एक संबंध परिभाषित है।
(i) R को रोस्टर रूप में लिखिए, (ii) इसका प्रांत ज्ञात कीजिए, (iii) इसका परिपथ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
विभाज्यता के अनुसार:
2 | 2, 4
3 | 3
4 | 4
5 | 5
➡️ R = {(2,2), (2,4), (3,3), (4,4), (5,5)}
✏️ प्रांत (Domain): {2, 3, 4, 5}
✏️ परिपथ (Range): {2, 3, 4, 5}
🔵 प्रश्न 6.
R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} द्वारा परिभाषित संबंध R के प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
रोस्टर रूप: x = 0,1,2,3,4,5 ⇒ R = {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10)}
🔹 प्रांत (Domain): {0, 1, 2, 3, 4, 5}
🔹 परिसर (Range): {5, 6, 7, 8, 9, 10}
🟢 प्रश्न 7.
संबंध R = {(x, x³) : x संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है} को रोस्टर रूप में लिखिए।
उत्तर:
10 से कम अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7
⇒ x³: 8, 27, 125, 343
➡️ R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}
🔴 प्रश्न 8.
मान लीजिए A = {x, y, z} और B = {1, 2}; A से B के संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
किसी भी दो समुच्चयों A, B के बीच संबंध = A × B के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में।
|A×B| = |A|·|B| = 3×2 = 6
अतः संभव संबंधों की संख्या = 2^6 = 64 ✔️
🟡 प्रश्न 9.
मान लीजिए कि R, Z पर, R = {(a, b) : a, b ∈ Z, a − b एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित एक संबंध है। R के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
क्योंकि a, b ∈ Z (पूर्णांक) हैं, इसलिए a − b हर बार पूर्णांक ही होता है।
इसलिए R = Z × Z (हर संभव क्रमित युग्म स्वीकार्य)।
🔹 प्रांत (Domain): Z
🔹 परिसर (Range): Z
प्रश्नावली 2.3
🔵 प्रश्न 1.
निम्नलिखित संबंधों में कौन-से फलन हैं? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है, तो उसका परिसर (Range) निर्धारित कीजिए।
(i) {(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)}
(ii) {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)}
(iii) {(1,3), (1,5), (2,5)}
उत्तर:
✴️ (i) हर प्रांत का केवल एक मान है → फलन है।
परिसर = {1}
✴️ (ii) प्रत्येक x का एक विशिष्ट y है → फलन है।
परिसर = {1,2,3,4,5,6,7}
✴️ (iii) x = 1 के लिए दो मान (3,5) हैं → फलन नहीं है।
🟢 प्रश्न 2.
निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = −|x|
(ii) f(x) = √(9 − x²)
उत्तर:
(i)
प्रांत: x ∈ R (क्योंकि |x| सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित है)
परिसर: f(x) ≤ 0 ⇒ (−∞, 0]
(ii)
√(9 − x²) परिभाषित जब 9 − x² ≥ 0 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3
अधिकतम मान 3 और न्यूनतम 0
🔹 प्रांत: [−3, 3]
🔹 परिसर: [0, 3]
🔴 प्रश्न 3.
एक फलन f(x) = 2x − 5 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए:
(i) f(0) (ii) f(7) (iii) f(−3)
उत्तर:
(i) f(0) = 2(0) − 5 = −5
(ii) f(7) = 2(7) − 5 = 14 − 5 = 9
(iii) f(−3) = 2(−3) − 5 = −6 − 5 = −11
🟡 प्रश्न 4.
फलन t सेल्सियस तापमान का फॉरेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो
t(C) = (9C / 5) + 32 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) t(0) (ii) t(28) (iii) t(−10) (iv) C का मान जब t(C) = 212
उत्तर:
(i) t(0) = (9×0)/5 + 32 = 32°F
(ii) t(28) = (9×28)/5 + 32 = 252/5 + 32 = 50.4 + 32 = 82.4°F
(iii) t(−10) = (9×(−10))/5 + 32 = −18 + 32 = 14°F
(iv) 212 = (9C)/5 + 32 ⇒ 180 = (9C)/5 ⇒ C = 100°C
🔵 प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = 2 − 3x, x ∈ R, x > 0
(ii) f(x) = x² + 2, x एक वास्तविक संख्या है
(iii) f(x) = x, x एक वास्तविक संख्या है
उत्तर:
(i)
प्रांत: (0, ∞)
परिसर: f(x) = 2 − 3x ⇒ x → 0⁺ पर f(x) = 2, और x → ∞ पर f(x) → −∞
🔹 परिसर: (−∞, 2)
(ii)
प्रांत: R
परिसर: x² + 2 ≥ 2
🔹 परिसर: [2, ∞)
(iii)
f(x) = x
🔹 प्रांत = R
🔹 परिसर = R
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
📚 Response 1 — प्रश्न 1 से 18 (Section A: MCQs)
प्रश्न 1. यदि A = {1, 2} और B = {3, 4} हो, तो A × B में कितने तत्व होंगे?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 4
🟠 (C) 6
🔴 (D) 8
उत्तर: (B) 4
💡 क्योंकि A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
प्रश्न 2. यदि (a, b) = (b, a), तो a और b के बारे में क्या सत्य है?
🔵 (A) a ≠ b
🟢 (B) a = b
🟠 (C) a > b
🔴 (D) a < b
उत्तर: (B) a = b
प्रश्न 3. यदि A = {x | x एक प्राकृतिक संख्या ≤ 3} और B = {a, b}, तो A × B में कुल तत्व?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 8
उत्तर: (C) 6
प्रश्न 4. एक संबंध R यदि A से B पर है, तो R किसका उपसमुच्चय होता है?
🔵 (A) A + B
🟢 (B) A × B
🟠 (C) B × A
🔴 (D) A ∩ B
उत्तर: (B) A × B
प्रश्न 5. यदि R = {(1,1), (2,2), (3,3)} है, तो R किस प्रकार का संबंध है?
🔵 (A) प्रतिबिंबित
🟢 (B) सममित
🟠 (C) समानता
🔴 (D) संक्रामी
उत्तर: (C) समानता
प्रश्न 6. यदि R = {(1,2), (2,3)} तो क्या R सममित है?
🔵 (A) हाँ
🟢 (B) नहीं
🟠 (C) कभी-कभी
🔴 (D) परिभाषित नहीं
उत्तर: (B) नहीं
प्रश्न 7. यदि f(x) = x² है, तो यह कौन-सा फलन है?
🔵 (A) एकएक
🟢 (B) सर्वतुल्य
🟠 (C) एकएक सर्वतुल्य
🔴 (D) स्थिर
उत्तर: (A) एकएक
प्रश्न 8. यदि f : A → B एक फलन है, तो प्रत्येक a ∈ A का क्या होना चाहिए?
🔵 (A) कोई एक ही f(a) ∈ B
🟢 (B) अनेक f(a)
🟠 (C) कोई नहीं
🔴 (D) एक–से–अधिक
उत्तर: (A) कोई एक ही f(a) ∈ B
प्रश्न 9. f(x) = 2x + 1 का परिभाषा–क्षेत्र R है। तो परिभाषा–कोटि क्या होगी?
🔵 (A) R
🟢 (B) N
🟠 (C) Z
🔴 (D) Q
उत्तर: (A) R
प्रश्न 10. यदि f(x) = √x, तो परिभाषा–क्षेत्र क्या है?
🔵 (A) (-∞, 0)
🟢 (B) [0, ∞)
🟠 (C) (-∞, ∞)
🔴 (D) (0, ∞)
उत्तर: (B) [0, ∞)
प्रश्न 11. यदि g(x) = x + 3 और f(x) = 2x हो, तो (g ∘ f)(x) = ?
🔵 (A) 2x + 3
🟢 (B) 2x + 6
🟠 (C) x + 5
🔴 (D) x + 6
उत्तर: (B) 2x + 6
प्रश्न 12. फलन f(x) = k सभी x के लिए समान मान देता है, तो यह किस प्रकार का फलन है?
🔵 (A) स्थिर फलन
🟢 (B) एकएक
🟠 (C) सर्वतुल्य
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) स्थिर फलन
प्रश्न 13. यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, तो यह संबंध क्या कहलाएगा?
🔵 (A) प्रतिबिंबित
🟢 (B) संक्रामी
🟠 (C) सममित
🔴 (D) समानता
उत्तर: (C) सममित
प्रश्न 14. f(x) = 1/x का परिभाषा–क्षेत्र क्या है?
🔵 (A) R
🟢 (B) R – {0}
🟠 (C) [0, ∞)
🔴 (D) (-∞, 0)
उत्तर: (B) R – {0}
प्रश्न 15. यदि f(x) = 2x – 5 और g(x) = 3x, तो (f ∘ g)(x) = ?
🔵 (A) 6x – 5
🟢 (B) 3x – 5
🟠 (C) 2x – 15
🔴 (D) 6x – 15
उत्तर: (D) 6x – 15
प्रश्न 16. किसी फलन f : A → B के लिए, यदि f⁻¹ अस्तित्व में है, तो f होना चाहिए —
🔵 (A) केवल एकएक
🟢 (B) केवल सर्वतुल्य
🟠 (C) एकएक सर्वतुल्य
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) एकएक सर्वतुल्य
प्रश्न 17. यदि f(x) = x³, तो क्या यह एकएक है?
🔵 (A) हाँ
🟢 (B) नहीं
🟠 (C) केवल x > 0 के लिए
🔴 (D) परिभाषित नहीं
उत्तर: (A) हाँ
प्रश्न 18. यदि f(x) = |x| हो, तो क्या यह एकएक है?
🔵 (A) हाँ
🟢 (B) नहीं
🟠 (C) x ≥ 0 के लिए
🔴 (D) केवल धनात्मक x के लिए
उत्तर: (B) नहीं
प्रश्न 19 से 27 (Section B: लघु उत्तरीय प्रश्न 2–3 अंक शैली)
प्रश्न 19.
यदि A = {1, 2, 3} और B = {x, y}, तो A × B ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
🔹 यहाँ प्रत्येक तत्व A का हर तत्व B के प्रत्येक तत्व से जुड़ता है।
🔹 कुल युग्मों की संख्या = 3 × 2 = 6
प्रश्न 20.
यदि R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} हो, तो दिखाइए कि यह समानता संबंध है।
उत्तर:
✔️ प्रतिबिंबित क्योंकि (a, a) ∈ R प्रत्येक a के लिए।
✔️ सममित क्योंकि यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R (यहाँ दोनों समान हैं)।
✔️ संक्रामी क्योंकि (a, b) और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R।
💡 अतः R समानता संबंध (Equivalence Relation) है।
प्रश्न 21.
f : R → R को f(x) = 2x + 3 द्वारा परिभाषित किया गया है। f(–2) और f(3) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
f(x) = 2x + 3
➡️ f(–2) = 2(–2) + 3 = –4 + 3 = –1
➡️ f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
प्रश्न 22.
यदि f(x) = x² और g(x) = x + 1, तो (f ∘ g)(x) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
= f(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1
✔️ अतः (f ∘ g)(x) = x² + 2x + 1
प्रश्न 23.
f(x) = 3x – 2 का प्रतिलोम फलन (Inverse Function) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
y = 3x – 2
x और y को अदल-बदल कर दें:
x = 3y – 2
➡️ 3y = x + 2
➡️ y = (x + 2)/3
💡 अतः f⁻¹(x) = (x + 2)/3
प्रश्न 24.
यदि f(x) = x² और g(x) = √x, तो दिखाइए कि (g ∘ f)(x) = x।
उत्तर:
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
= g(x²) = √(x²) = |x|
यदि x ≥ 0, तो |x| = x
✔️ अतः (g ∘ f)(x) = x
प्रश्न 25.
यदि f(x) = 2x + 5 और g(x) = 3x – 2, तो (g ∘ f)(x) और (f ∘ g)(x) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x + 5) – 2 = 6x + 15 – 2 = 6x + 13
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x – 2) + 5 = 6x – 4 + 5 = 6x + 1
प्रश्न 26.
यदि f : R → R, f(x) = x³ हो, तो क्या यह एकएक है?
उत्तर:
मान लीजिए f(a₁) = f(a₂)
⇒ a₁³ = a₂³ ⇒ a₁ = a₂
✔️ अतः f(x) = x³ एकएक (One–One) फलन है।
प्रश्न 27.
फलन f(x) = sin x का परिभाषा–क्षेत्र और परिभाषा–कोटि ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔹 परिभाषा–क्षेत्र: (–∞, ∞)
🔹 परिभाषा–कोटि: [–1, 1]
💡 क्योंकि sin x के मान हमेशा –1 और 1 के बीच होते हैं।
🔷 प्रश्न 28. यदि f(x) = 3x + 2 और g(x) = x² हो, तो (f ∘ g)(x) तथा (g ∘ f)(x) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ सबसे पहले (f ∘ g)(x) का अर्थ है f(g(x))
🔹 g(x) = x²
🔹 इसलिए f(g(x)) = f(x²) = 3(x²) + 2 = 3x² + 2
💡 अतः (f ∘ g)(x) = 3x² + 2
➡️ अब (g ∘ f)(x) = g(f(x))
🔹 f(x) = 3x + 2
🔹 इसलिए g(f(x)) = (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
✔️ अंतिम परिणाम:
(f ∘ g)(x) = 3x² + 2
(g ∘ f)(x) = 9x² + 12x + 4
🔷 प्रश्न 29. यदि f(x) = 2x + 5 और f⁻¹(x) इसका प्रतिलोम हो, तो f⁻¹(x) ज्ञात करें।
उत्तर:
💡 परिभाषा अनुसार, y = f(x) = 2x + 5
➡️ अब x और y को अदल–बदल करते हैं —
x = 2y + 5
🔹 अब y के लिए हल करें:
2y = x – 5
y = (x – 5)/2
✔️ अतः f⁻¹(x) = (x – 5)/2
🔷 प्रश्न 30. सिद्ध कीजिए कि f(x) = 3x – 4 एक–एक तथा सर्वतुल्य है।
उत्तर:
🔹 एक–एकता (One–one):
मान लें f(x₁) = f(x₂)
➡️ 3x₁ – 4 = 3x₂ – 4
➡️ 3x₁ = 3x₂
➡️ x₁ = x₂
✔️ अतः फलन एक–एक है।
🔹 सर्वतुल्यता (Onto):
मान लें f(x) = y
➡️ y = 3x – 4
➡️ x = (y + 4)/3
क्योंकि प्रत्येक वास्तविक y के लिए x भी वास्तविक है,
अतः फलन सर्वतुल्य है।
✅ इसलिए f(x) = 3x – 4 एक–एक तथा सर्वतुल्य दोनों है।
🔷 प्रश्न 31. यदि f(x) = x³ तथा g(x) = √x हो, तो (g ∘ f)(x) और (f ∘ g)(x) ज्ञात करें।
उत्तर:
➡️ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x³) = √(x³) = x^(3/2)
➡️ (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = (√x)³ = x^(3/2)
💡 अतः (g ∘ f)(x) = (f ∘ g)(x) = x^(3/2)
🔷 प्रश्न 32. (Case/Application)
यदि किसी वस्तु की माँग (Demand) और आपूर्ति (Supply) क्रमशः निम्न प्रकार हैं —
D(p) = 200 – 5p
S(p) = 20 + 3p
तो उस मूल्य p को ज्ञात कीजिए जहाँ माँग = आपूर्ति हो।
उत्तर:
संतुलन बिन्दु पर D(p) = S(p)
➡️ 200 – 5p = 20 + 3p
➡️ 200 – 20 = 8p
➡️ 180 = 8p
➡️ p = 22.5
✔️ अतः संतुलन मूल्य (Equilibrium Price) = 22.5
🔷 प्रश्न 33. (Application)
किसी वृत्त का क्षेत्रफल A, त्रिज्या r के फलन के रूप में दिया है:
A(r) = πr²
यदि त्रिज्या 7 cm से 7.1 cm हो जाती है, तो क्षेत्रफल में परिवर्तन ज्ञात करें।
उत्तर:
➡️ A₁ = πr₁² = π(7)² = 49π
➡️ A₂ = πr₂² = π(7.1)² = π(50.41)
🔹 परिवर्तन = A₂ – A₁ = π(50.41 – 49) = 1.41π
✔️ अतः क्षेत्रफल में वृद्धि = 1.41π cm²
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