Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 13. सांख्यिकी
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 परिचय
सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों (Data) के संग्रह, संगठन, प्रस्तुति, विश्लेषण तथा व्याख्या से सम्बन्धित है। यह हमें बड़ी मात्रा के आंकड़ों से अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने की विधियाँ सिखाती है।
➡️ शब्द सांख्यिकी का उद्गम लैटिन शब्द Status से हुआ है, जिसका अर्थ “राज्य” या “स्थिति” होता है। प्राचीन समय में यह केवल जनगणना एवं शासन से जुड़ी थी, परन्तु आज यह लगभग सभी क्षेत्रों (विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, शिक्षा आदि) में प्रयुक्त होती है।
🟢 1. आंकड़ों का प्रकार (Types of Data)
💡 आंकड़े दो प्रकार के होते हैं –
1️⃣ असंगठित आंकड़े (Raw Data) ➡️ वे आंकड़े जो सीधे किसी स्रोत से बिना क्रमबद्ध रूप में प्राप्त किए गए हों।
2️⃣ संगठित आंकड़े (Organised Data) ➡️ वे आंकड़े जिन्हें किसी तालिका या आवृत्ति वितरण में क्रमबद्ध कर दिया गया हो।
🟡 2. सांख्यिकीय शब्दावली (Statistical Terms)
✏️ आवृत्ति (Frequency):
किसी प्रेक्षण (Observation) के बार-बार आने की संख्या।
✏️ वर्ग (Class):
डेटा को समान लंबाई के समूहों में बाँटने पर प्रत्येक समूह को वर्ग कहते हैं।
✏️ वर्ग-सीमाएँ (Class Limits):
प्रत्येक वर्ग का निम्नतम तथा उच्चतम मान।
➡️ उदाहरण: 10–20, 20–30 आदि में 10 और 20 वर्ग-सीमाएँ हैं।
✏️ वर्ग-मध्य (Class Mark):
वर्ग का मध्य मान = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2
🔴 3. आंकड़ों की प्रस्तुति (Presentation of Data)
सांख्यिकी में आंकड़ों को कई रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है:
1️⃣ तालिकीय रूप (Tabular Form) – सारणी में व्यवस्थित।
2️⃣ ग्राफिक रूप (Graphical Form) – स्तम्भ आरेख (Histogram), बहुभुज (Frequency Polygon), तथा आवृत्ति वक्र (Frequency Curve) आदि।
🟠 4. केंद्रीय प्रवृत्ति के मापन (Measures of Central Tendency)
यह ऐसे मान होते हैं जो सम्पूर्ण आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं। मुख्य तीन मापन हैं —
(i) माध्य (Mean)
सभी प्रेक्षणों के योग को उनकी कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान।
➡️ असंगठित डेटा के लिए:
x̄ = (Σx) / n
➡️ समूहित डेटा के लिए:
x̄ = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ)
यहाँ fᵢ = प्रत्येक वर्ग की आवृत्ति, xᵢ = वर्ग-मध्य।
💡 संक्षिप्त विधियाँ:
प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
विचलन विधि (Deviation Method)
चरण-विचलन विधि (Step-Deviation Method)
(ii) माध्यिका (Median)
डेटा को आरोही क्रम में लिखकर बीच का मान ज्ञात किया जाता है।
➡️ समूहित डेटा के लिए:
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
जहाँ:
l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
n = कुल आवृत्तियों का योग
F = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग की चौड़ाई
(iii) बहुलक (Mode)
वह मान जो सर्वाधिक बार प्रकट होता है।
➡️ समूहित डेटा के लिए:
Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
जहाँ:
f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
f₀ = उससे पूर्व वर्ग की आवृत्ति
f₂ = उससे बाद के वर्ग की आवृत्ति
🟢 5. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच सम्बन्ध
💡 महत्वपूर्ण सूत्र:
Mode = 3 × Median − 2 × Mean
यह केवल लगभग समूहित डेटा के लिए मान्य है।
🔵 6. आरेखीय प्रस्तुति (Graphical Representation)
✏️ (i) स्तम्भ आरेख (Histogram):
वर्ग-सीमाओं को क्षैतिज धुरी पर तथा आवृत्तियों को ऊर्ध्वाधर धुरी पर लेते हैं और आयतें बनाते हैं।
✏️ (ii) बहुभुज (Frequency Polygon):
स्तम्भ आरेख के मध्यबिन्दुओं को जोड़कर एक बहुभुज प्राप्त करते हैं।
✏️ (iii) संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive):
संचयी आवृत्तियों को वर्ग सीमाओं के साथ जोड़ने पर प्राप्त वक्र।
➡️ दो प्रकार — “कम से कम” (Less than) एवं “अधिक से अधिक” (More than) ओजाइव।
🟡 7. विचलन एवं प्रसरण (Dispersion – Introduction)
यद्यपि यह अध्याय मुख्यतः केंद्रीय प्रवृत्ति तक सीमित है, परन्तु सांख्यिकी में डेटा के फैलाव को समझना भी आवश्यक है। माध्य से विभिन्न मानों की दूरी का औसत हमें प्रसरण बताता है।
🔴 8. सांख्यिकी का उपयोग (Applications)
✔️ विज्ञान और अनुसंधान में डेटा विश्लेषण।
✔️ अर्थशास्त्र में उत्पादन, मूल्य, मांग आदि के अध्ययन में।
✔️ समाजशास्त्र, चिकित्सा, शिक्षा, एवं प्रशासनिक निर्णयों में।
🟢 9. सीमाएँ (Limitations of Statistics)
✏️ यह केवल संख्यात्मक आंकड़ों पर ही आधारित होती है।
✏️ सांख्यिकीय निष्कर्ष सदैव औसत रूप में होते हैं, व्यक्तिगत रूप से नहीं।
✏️ आंकड़ों के गलत संग्रह या पक्षपात से परिणाम प्रभावित हो सकते हैं।
✴️ भाग 2 – सारांश (~300 शब्द)
💡 मुख्य बातें एक नजर में:
सांख्यिकी वह विज्ञान है जो आंकड़ों के संग्रह, वर्गीकरण, प्रस्तुति, विश्लेषण तथा व्याख्या से सम्बन्धित है। इसमें प्रमुख तीन केंद्रीय प्रवृत्ति मापन होते हैं —
1️⃣ माध्य (x̄) जो सभी प्रेक्षणों के औसत को दर्शाता है।
2️⃣ माध्यिका (Median) जो डेटा का मध्य मान बताती है।
3️⃣ बहुलक (Mode) जो सर्वाधिक बार आने वाले मान को दर्शाता है।
इनके लिए विशेष सूत्र समूहित आँकड़ों के लिए निर्धारित हैं।
साथ ही, आंकड़ों को ग्राफिक रूप में प्रस्तुत करने की तीन मुख्य विधियाँ हैं — Histogram, Frequency Polygon, तथा Ogive।
सांख्यिकी का उपयोग सामाजिक, वैज्ञानिक और आर्थिक क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है, परन्तु यह तभी उपयोगी है जब आंकड़े विश्वसनीय और निष्पक्ष हों।
✴️ भाग 3 – Quick Recap (त्वरित पुनरावृत्ति)
🟡 1️⃣ सांख्यिकी = आंकड़ों का संग्रह + विश्लेषण + व्याख्या।
🟢 2️⃣ केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापन: माध्य, माध्यिका, बहुलक।
🔵 3️⃣ मुख्य सूत्र:
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🔴 4️⃣ सम्बन्ध: Mode = 3 × Median − 2 × Mean
🟢 5️⃣ ग्राफिक प्रस्तुति: Histogram, Frequency Polygon, Ogive
🟡 6️⃣ उपयोग: अर्थशास्त्र, शिक्षा, चिकित्सा, समाजशास्त्र आदि में।
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
🧮 प्रश्नावली 13.1
🔷 प्रश्न 1. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17 के लिए माध्य (Mean) के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ दिए गए आंकड़े: 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17
➡️ कुल संख्या (n) = 8
🔹 माध्य (Mean):
x̄ = (4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17)/8
= 80/8 = 10
🔹 |x − x̄| का मान:
|4 − 10| = 6, |7 − 10| = 3, |8 − 10| = 2, |9 − 10| = 1, |10 − 10| = 0, |12 − 10| = 2, |13 − 10| = 3, |17 − 10| = 7
Σ|x − x̄| = 24
➡️ माध्य विचलन (M.D.):
M.D. = Σ|x − x̄| / n = 24/8 = 3
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 3
🔷 प्रश्न 2. 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ n = 10
x̄ = (38 + 70 + 48 + 40 + 42 + 55 + 63 + 46 + 54 + 44)/10
= 500/10 = 50
🔹 |x − x̄| के मान:
|38−50|=12, |70−50|=20, |48−50|=2, |40−50|=10, |42−50|=8, |55−50|=5, |63−50|=13, |46−50|=4, |54−50|=4, |44−50|=6
Σ|x − x̄| = 84
➡️ M.D. = 84/10 = 8.4
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 8.4
🔷 प्रश्न 3. 13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17 के लिए माध्यिका (Median) के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ व्यवस्थित रूप: 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18
➡️ n = 12
Median = (13 + 14)/2 = 13.5
🔹 |x − M| के मान:
3.5, 2.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 0.5, 2.5, 2.5, 3.5, 3.5, 4.5
Σ|x − M| = 28
➡️ M.D. = 28/12 = 2.33
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 2.33
🔷 प्रश्न 4. 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49 के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ व्यवस्थित रूप: 36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72
➡️ n = 10
Median = (46 + 49)/2 = 47.5
🔹 |x − M| के मान:
11.5, 5.5, 2.5, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 12.5, 24.5
Σ|x − M| = 70
➡️ M.D. = 70/10 = 7
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 7
🔷 प्रश्न 5. xᵢ = 5, 10, 15, 20, 25 तथा fᵢ = 7, 4, 3, 5, 5 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
Σf = 24
Σfx = (5×7) + (10×4) + (15×3) + (20×5) + (25×5) = 35 + 40 + 45 + 100 + 125 = 345
➡️ x̄ = Σfx / Σf = 345/24 = 14.375
🔹 |x − x̄| के लिए Σf|x − x̄| = 146.25
➡️ M.D. = 146.25 / 24 = 6.09
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 6.09
🔷 प्रश्न 6. xᵢ = 30, 50, 70, 90 तथा fᵢ = 4, 28, 16, 8 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
Σf = 56
Σfx = (30×4) + (50×28) + (70×16) + (90×8) = 120 + 1400 + 1120 + 720 = 3360
➡️ x̄ = 3360/56 = 60
🔹 Σf|x − x̄| = 1080
➡️ M.D. = 1080/56 = 19.29
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 19.29
🔷 प्रश्न 7. xᵢ = 5, 9, 12, 15 तथा fᵢ = 8, 6, 2, 4 के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
Σf = 20
➡️ Cumulative Frequency: 8, 14, 16, 20
Median = 9 (क्योंकि 10वाँ अवलोकन 9 पर आता है)
🔹 |x − M|: 4, 0, 3, 6
Σf|x − M| = (8×4) + (6×0) + (2×3) + (4×6) = 32 + 0 + 6 + 24 = 62
➡️ M.D. = 62/20 = 3.1
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 3.1
🔵 प्रश्न 8.
xᵢ = 15, 21, 27, 30, 35
fᵢ = 3, 5, 6, 7, 8
✏️ चरण 1 :
माध्य = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ) = 802 / 29 = 27.655
✏️ चरण 2 :
माध्य विचलन = (Σfᵢ|xᵢ − x̄|) / (Σfᵢ) = 150.344 / 29 = 5.18
✔️ उत्तर : माध्य विचलन = 5.18
🟢 प्रश्न 9.
आय वर्ग (₹ में): 0–100, 100–200, 200–300, 300–400, 400–500, 500–600, 600–700, 700–800
आवृत्तियाँ: 4, 8, 9, 10, 7, 5, 4, 3
✏️ चरण 1 :
वर्ग मध्य = 50, 150, 250, 350, 450, 550, 650, 750
✏️ चरण 2 :
माध्य = 17900 / 50 = 358
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 7896 / 50 = 157.92
✔️ उत्तर : माध्य = 358, माध्य विचलन = 157.92
🟡 प्रश्न 10.
कद (सेमी में): 95–105, 105–115, 115–125, 125–135, 135–145, 145–155
लड़कों की संख्या: 9, 13, 26, 30, 12, 10
✏️ चरण 1 :
वर्ग मध्य = 100, 110, 120, 130, 140, 150
✏️ चरण 2 :
माध्य = 12530 / 100 = 125.3
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 1128.8 / 100 = 11.288
✔️ उत्तर : माध्य = 125.3, माध्य विचलन = 11.288
🔴 प्रश्न 11.
अंक वर्ग : 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60
आवृत्तियाँ : 6, 8, 14, 16, 4, 2
✏️ चरण 1 :
कुल आवृत्ति N = 50, N/2 = 25
संचयी आवृत्तियाँ = 6, 14, 28, 44, 48, 50
माध्यिका वर्ग = 20–30
✏️ चरण 2 :
माध्यिका = L + ((N/2 − c_f) / f) × h
= 20 + ((25 − 14)/14) × 10 = 27.857
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 517.14 / 50 = 10.34
✔️ उत्तर : माध्यिका = 27.857, माध्य विचलन = 10.34
🔵 प्रश्न 12.
आयु वर्ग (वर्षों में): 16–20, 21–25, 26–30, 31–35, 36–40, 41–45, 46–50, 51–55
आवृत्तियाँ: 5, 12, 14, 28, 24, 9, 7, 1
✏️ चरण 1 :
कुल आवृत्ति N = 100, N/2 = 50
संचयी आवृत्तियाँ: 5, 17, 31, 59, 83, 92, 99, 100
माध्यिका वर्ग = 31–35
✏️ चरण 2 :
माध्यिका = L + ((N/2 − c_f)/f) × h
= 30.5 + ((50 − 31)/28) × 5 = 33.893
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 616.07 / 100 = 6.16
✔️ उत्तर : माध्यिका = 33.893, माध्य विचलन = 6.16
📘 प्रश्नावली 13.2
🔵 प्रश्न 1.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12 के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
✏️ चरण 1 :
माध्य (x̄) = (Σx) / n
= (6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12) / 8 = 72 / 8 = 9
✏️ चरण 2 :
Σ(x − x̄)² = (6−9)² + (7−9)² + (10−9)² + (12−9)² + (13−9)² + (4−9)² + (8−9)² + (12−9)²
= 9 + 4 + 1 + 9 + 16 + 25 + 1 + 9 = 74
✏️ चरण 3 :
प्रसरण = Σ(x − x̄)² / n = 74 / 8 = 9.25
✔️ उत्तर: माध्य = 9, प्रसरण = 9.25
🟢 प्रश्न 2.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याएँ।
✏️ सूत्र: माध्य = (n + 1)/2
✏️ प्रसरण = (n² − 1)/12
✔️ उत्तर:
माध्य = (n + 1)/2
प्रसरण = (n² − 1)/12
🟡 प्रश्न 3.
तीन के प्रथम 10 गुणज।
संख्या = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
✏️ चरण 1 :
माध्य = (Σx) / n = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30) / 10
= 165 / 10 = 16.5
✏️ चरण 2 :
प्रसरण = Σ(x − x̄)² / n
= 82.5
✔️ उत्तर: माध्य = 16.5, प्रसरण = 82.5
🔴 प्रश्न 4.
xᵢ : 6, 10, 14, 18, 24, 28, 30
fᵢ : 2, 4, 7, 12, 8, 4, 3
✏️ चरण 1 :
Σfᵢ = 40
Σfᵢxᵢ = 820
माध्य (x̄) = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 820 / 40 = 20.5
✏️ चरण 2 :
Σfᵢ(xᵢ − x̄)² = 2060
प्रसरण = 2060 / 40 = 51.5
✔️ उत्तर: माध्य = 20.5, प्रसरण = 51.5
🔵 प्रश्न 5.
xᵢ : 92, 93, 97, 98, 100, 102, 104, 109
fᵢ : 4, 3, 2, 4, 3, 6, 3, 5
✏️ चरण 1 :
Σfᵢ = 30
Σfᵢxᵢ = 2943
माध्य = 2943 / 30 = 98.1
✏️ चरण 2 :
Σfᵢ(xᵢ − x̄)² = 555.9
प्रसरण = 555.9 / 30 = 18.53
✔️ उत्तर: माध्य = 98.1, प्रसरण = 18.53
🟢 प्रश्न 6.
xᵢ : 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68
fᵢ : 2, 1, 1, 29, 25, 12, 4, 5
✏️ चरण 1 :
Σfᵢ = 79
Σfᵢxᵢ = 5103
माध्य (x̄) = 5103 / 79 = 64.6
✏️ चरण 2 :
Σfᵢ(xᵢ − x̄)² = 296.04
मानक विचलन (σ) = √(Σfᵢ(xᵢ − x̄)² / Σfᵢ) = √(296.04 / 79) = √3.75 = 1.94
✔️ उत्तर: माध्य = 64.6, मानक विचलन = 1.94
🔷 प्रश्न 7:
वर्गों 0–30, 30–60, 60–90, 90–120, 120–150, 150–180, 180–210 की आवृत्तियाँ क्रमशः 2, 3, 5, 10, 3, 5, 2 हैं।
माध्य (Mean) एवं प्रसरण (Variance) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 15, 45, 75, 105, 135, 165, 195
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 2, 3, 5, 10, 3, 5, 2
➡️ Σf = 30
➡️ Σfx = (2×15)+(3×45)+(5×75)+(10×105)+(3×135)+(5×165)+(2×195)
= 30 + 135 + 375 + 1050 + 405 + 825 + 390 = 3210
🟢 माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 3210 / 30 = 107
अब (xᵢ − x̄)² निकालें:
(15−107)², (45−107)², (75−107)², (105−107)², (135−107)², (165−107)², (195−107)²
= 8464, 3844, 1024, 4, 784, 3364, 7744
➡️ Σf(x−x̄)² = (2×8464)+(3×3844)+(5×1024)+(10×4)+(3×784)+(5×3364)+(2×7744)
= 16928 + 11532 + 5120 + 40 + 2352 + 16820 + 15488 = 68280
🟡 प्रसरण = Σf(x−x̄)² / Σf = 68280 / 30 = 2276
🔴 मानक विचलन = √2276 = 47.7
अतः माध्य = 107, प्रसरण = 2276, मानक विचलन = 47.7
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🔷 प्रश्न 8:
वर्ग: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्ति: 5, 8, 15, 16, 6
माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 5, 15, 25, 35, 45
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 5, 8, 15, 16, 6
➡️ Σf = 50
➡️ Σfx = (5×5)+(8×15)+(15×25)+(16×35)+(6×45)
= 25 + 120 + 375 + 560 + 270 = 1350
🟢 माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 1350 / 50 = 27
अब (xᵢ − x̄)² निकालें:
(5−27)² = 484, (15−27)² = 144, (25−27)² = 4, (35−27)² = 64, (45−27)² = 324
➡️ Σf(x−x̄)² = (5×484)+(8×144)+(15×4)+(16×64)+(6×324)
= 2420 + 1152 + 60 + 1024 + 1944 = 6596
🟡 प्रसरण = Σf(x−x̄)² / Σf = 6596 / 50 = 131.92
🔴 मानक विचलन = √131.92 = 11.49
अतः माध्य = 27, प्रसरण = 131.92, मानक विचलन = 11.49
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🔷 प्रश्न 9:
लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
कद (सेमी में): 70–75, 75–80, 80–85, 85–90, 90–95, 95–100, 100–105, 105–110, 110–115
संख्या: 3, 4, 7, 15, 9, 6, 6, 6, 3
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 72.5, 77.5, 82.5, 87.5, 92.5, 97.5, 102.5, 107.5, 112.5
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 3, 4, 7, 15, 9, 6, 6, 6, 3
✏️ मानक वर्ग-चौड़ाई (h) = 5
✏️ मानक माध्य वर्ग (a) = 92.5
➡️ u = (x−a)/h = −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4
➡️ Σf = 59
➡️ Σfu = (3×−4)+(4×−3)+(7×−2)+(15×−1)+(9×0)+(6×1)+(6×2)+(6×3)+(3×4)
= −12 −12 −14 −15 +0 +6 +12 +18 +12 = −5
🟢 माध्य (x̄) = a + (Σfu / Σf) × h
= 92.5 + (−5/59)×5 = 92.5 − 0.42 = 92.08 सेमी
अब u² निकालें और Σfu² निकालें:
Σfu² = (3×16)+(4×9)+(7×4)+(15×1)+(9×0)+(6×1)+(6×4)+(6×9)+(3×16)
= 48 + 36 + 28 + 15 + 0 + 6 + 24 + 54 + 48 = 259
➡️ प्रसरण = (Σfu² / Σf) − (Σfu / Σf)²
= (259 / 59) − (−5/59)² = 4.389 − 0.007 = 4.382
➡️ मानक विचलन = √4.382 × h = 2.09 × 5 = 10.45
अतः माध्य = 92.08 सेमी, मानक विचलन = 10.45 सेमी
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🔷 प्रश्न 10:
वृत्तों के व्यास (मि.मी. में): 33–36, 37–40, 41–44, 45–48, 49–52
संख्या: 15, 17, 21, 22, 25
वृत्तों के व्यास का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 34.5, 38.5, 42.5, 46.5, 50.5
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 15, 17, 21, 22, 25
➡️ Σf = 100
➡️ Σfx = (15×34.5)+(17×38.5)+(21×42.5)+(22×46.5)+(25×50.5)
= 517.5 + 654.5 + 892.5 + 1023 + 1262.5 = 4350
🟢 माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 4350 / 100 = 43.5 मि.मी.
अब (xᵢ − x̄)² निकालें:
(34.5−43.5)² = 81, (38.5−43.5)² = 25, (42.5−43.5)² = 1, (46.5−43.5)² = 9, (50.5−43.5)² = 49
➡️ Σf(x−x̄)² = (15×81)+(17×25)+(21×1)+(22×9)+(25×49)
= 1215 + 425 + 21 + 198 + 1225 = 3084
🟡 प्रसरण = Σf(x−x̄)² / Σf = 3084 / 100 = 30.84
🔴 मानक विचलन = √30.84 = 5.56 मि.मी.
अतः माध्य व्यास = 43.5 मि.मी., मानक विचलन = 5.56 मि.मी.
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
✴️ Section A — बहुविकल्पी प्रश्न (MCQs)
🔵 Q1. सांख्यिकी का प्रमुख उद्देश्य क्या है?
🔵 (A) संख्याओं को जोड़ना
🟢 (B) आंकड़ों का विश्लेषण करना
🟠 (C) चित्र बनाना
🔴 (D) परिभाषाएँ लिखना
Answer: (B) आंकड़ों का विश्लेषण करना
🔵 Q2. “सांख्यिकी” शब्द किस भाषा से लिया गया है?
🔵 (A) ग्रीक
🟢 (B) लैटिन
🟠 (C) संस्कृत
🔴 (D) अंग्रेज़ी
Answer: (B) लैटिन
🔵 Q3. जब आंकड़े सीधे किसी स्रोत से लिए जाते हैं तो उन्हें क्या कहा जाता है?
🔵 (A) संगठित आंकड़े
🟢 (B) असंगठित आंकड़े
🟠 (C) वर्गीकृत आंकड़े
🔴 (D) संचयी आंकड़े
Answer: (B) असंगठित आंकड़े
🔵 Q4. वर्ग-मध्य (Class Mark) ज्ञात करने का सूत्र है —
🔵 (A) (उच्च सीमा − निम्न सीमा)/2
🟢 (B) (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2
🟠 (C) (आवृत्ति × सीमा)/2
🔴 (D) केवल निम्न सीमा
Answer: (B) (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2
🔵 Q5. समूहित आँकड़ों के लिए माध्य का सूत्र है —
🔵 (A) x̄ = Σx / n
🟢 (B) x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🟠 (C) x̄ = Σxᵢ / n
🔴 (D) x̄ = Σfᵢ / n
Answer: (B) x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔵 Q6. माध्यिका (Median) का सूत्र है —
🔵 (A) l + [(n/2 − F)/f] × h
🟢 (B) l + [(n − F)/2] × f
🟠 (C) Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔴 (D) l − [(F − n)/2] × h
Answer: (A) l + [(n/2 − F)/f] × h
🔵 Q7. बहुलक (Mode) ज्ञात करने का सूत्र है —
🔵 (A) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🟢 (B) l + [(f₁ + f₂)/(f₀ − f₁)] × h
🟠 (C) Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔴 (D) (f₁ − f₀)/(f₂ − f₁)
Answer: (A) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🔵 Q8. केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापन कौन-से हैं?
🔵 (A) Mean, Median, Mode
🟢 (B) Range, Variance, Deviation
🟠 (C) Class, Frequency, Interval
🔴 (D) Histogram, Polygon, Ogive
Answer: (A) Mean, Median, Mode
🔵 Q9. Mode, Median और Mean के बीच सम्बन्ध है —
🔵 (A) Mean = 3 Median − 2 Mode
🟢 (B) Mode = 3 Median − 2 Mean
🟠 (C) Median = 3 Mean − 2 Mode
🔴 (D) Mode = Mean − Median
Answer: (B) Mode = 3 Median − 2 Mean
🔵 Q10. Histogram का प्रयोग किसके लिए किया जाता है?
🔵 (A) संचयी आवृत्ति दिखाने हेतु
🟢 (B) आवृत्ति वितरण को दर्शाने हेतु
🟠 (C) मध्य मान ज्ञात करने हेतु
🔴 (D) सूत्र सिद्ध करने हेतु
Answer: (B) आवृत्ति वितरण को दर्शाने हेतु
🔵 Q11. यदि किसी वर्ग की सीमा 10–20 है, तो उसका वर्ग-मध्य क्या होगा?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 15
🟠 (C) 20
🔴 (D) 30
Answer: (B) 15
🔵 Q12. सांख्यिकी का उपयोग मुख्यतः किसमें किया जाता है?
🔵 (A) कलाकारी में
🟢 (B) डेटा विश्लेषण में
🟠 (C) कविता लेखन में
🔴 (D) संगीत रचना में
Answer: (B) डेटा विश्लेषण में
🔵 Q13. जब प्रत्येक वर्ग समान चौड़ाई का होता है तो उसे क्या कहते हैं?
🔵 (A) समान वर्ग-चौड़ाई वितरण
🟢 (B) असमान वर्ग-चौड़ाई वितरण
🟠 (C) एकमात्र वर्ग
🔴 (D) मिश्रित वर्ग
Answer: (A) समान वर्ग-चौड़ाई वितरण
🔵 Q14. संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive) कितने प्रकार का होता है?
🔵 (A) एक
🟢 (B) दो
🟠 (C) तीन
🔴 (D) चार
Answer: (B) दो
🔵 Q15. “Less than Ogive” किस धुरी के साथ तैयार की जाती है?
🔵 (A) ऊर्ध्वाधर धुरी
🟢 (B) क्षैतिज धुरी पर ऊपरी सीमा के साथ
🟠 (C) निम्न सीमा के साथ
🔴 (D) दोनों के साथ
Answer: (B) क्षैतिज धुरी पर ऊपरी सीमा के साथ
🔵 Q16. यदि किसी डेटा का माध्य 25 और माध्यिका 27 है, तो Mode होगा —
🔵 (A) 31
🟢 (B) 29
🟠 (C) 33
🔴 (D) 27
Answer: (B) 29
Mean = 25, Median = 27
Mode = 3×Median − 2×Mean = 3×27 − 2×25 = 81 − 50 = 31 ✅
🔵 Q17. Histogram में आयतों की ऊँचाई किस पर निर्भर करती है?
🔵 (A) वर्ग-सीमा
🟢 (B) वर्ग-मध्य
🟠 (C) वर्ग की आवृत्ति
🔴 (D) संचयी आवृत्ति
Answer: (C) वर्ग की आवृत्ति
🔵 Q18. सांख्यिकी का उपयोग किन क्षेत्रों में होता है?
🔵 (A) केवल अर्थशास्त्र में
🟢 (B) विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र आदि में
🟠 (C) केवल गणित में
🔴 (D) केवल चिकित्सा में
Answer: (B) विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र आदि में
🔵 Q19. सांख्यिकी क्या है?
Answer:
सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों के संग्रह, संगठन, प्रस्तुति, विश्लेषण एवं व्याख्या से सम्बन्धित है।
➡️ इसका उद्देश्य बड़ी संख्या के डेटा से सार्थक निष्कर्ष निकालना होता है।
🟢 Q20. असंगठित और संगठित आंकड़ों में क्या अन्तर है?
Answer:
✏️ असंगठित आंकड़े: वे आंकड़े जो बिना किसी क्रम या सारणी के सीधे स्रोत से लिए गए हों।
✏️ संगठित आंकड़े: वे आंकड़े जिन्हें किसी नियम या तालिका में व्यवस्थित किया गया हो।
➡️ उदाहरण — असंगठित: 5, 3, 8, 9, 3
संगठित: वर्ग-वार सारणी जैसे 0–10, 10–20 आदि।
🔴 Q21. आवृत्ति (Frequency) से आप क्या समझते हैं?
Answer:
किसी प्रेक्षण (Observation) के दोहराने की संख्या को आवृत्ति कहते हैं।
💡 उदाहरण: यदि “5” तीन बार आता है, तो उसकी आवृत्ति 3 है।
🟠 Q22. वर्ग-मध्य (Class Mark) निकालने का सूत्र लिखिए।
Answer:
वर्ग-मध्य = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) / 2
➡️ उदाहरण: 10–20 वर्ग के लिए वर्ग-मध्य = (10 + 20)/2 = 15
🟡 Q23. माध्यिका (Median) ज्ञात करने की विधि लिखिए।
Answer:
समूहित आँकड़ों के लिए माध्यिका =
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
जहाँ:
l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
n = कुल आवृत्तियों का योग
F = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग की चौड़ाई
✴️ Section C — मध्यम-दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Mid-Length / Numericals)
🔵 Q24. निम्न आँकड़ों के लिए माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए —
वर्ग (x): 10, 20, 30, 40, 50
आवृत्ति (f): 3, 5, 7, 5, 0
💡Answer:
वर्ग (x): 10, 20, 30, 40, 50
आवृत्ति (f): 3, 5, 7, 5, 0
Σfᵢxᵢ = 3×10 + 5×20 + 7×30 + 5×40 + 0×50 = 540
Σfᵢ = 3 + 5 + 7 + 5 + 0 = 20
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 540/20 = 27
🟢 Q25. यदि माध्य = 30 और माध्यिका = 32 हो, तो बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए।
Answer:
सूत्र: Mode = 3×Median − 2×Mean
= 3×32 − 2×30
= 96 − 60 = 36
✔️ बहुलक = 36
🔴 Q26. एक समूहित वितरण के लिए निम्न आँकड़े दिए हैं —
कक्षा (0–10), (10–20), (20–30), (30–40), (40–50)
आवृत्तियाँ (5, 8, 12, 10, 5)
माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले संचयी आवृत्ति निकालें:
5, 13, 25, 35, 40
कुल n = 40
n/2 = 20
माध्यिका वर्ग = 20–30 (क्योंकि संचयी आवृत्ति 25 पहली बार 20 से अधिक है)
अब सूत्र:
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
= 20 + [(20 − 13)/12] × 10
= 20 + (7/12)×10
= 20 + 5.83 = 25.83
✔️ माध्यिका = 25.83
🟠 Q27. किसी वितरण में बहुलक वर्ग की निचली सीमा 30 है, f₁=12, f₀=9, f₂=6, और वर्ग चौड़ाई 10 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
सूत्र: Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
= 30 + [(12 − 9)/(24 − 9 − 6)] × 10
= 30 + [3/9] × 10
= 30 + 3.33 = 33.33
✔️ बहुलक = 33.33
✴️ Section D — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions)
🔵 Q28. समूहित आँकड़ों के लिए माध्य (Mean) ज्ञात करने की चरणबद्ध विधि समझाइए।
Answer:
माध्य वह मान है जो सम्पूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व करता है। समूहित आँकड़ों के लिए इसका निर्धारण तीन विधियों से किया जा सकता है —
✏️ (i) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):
सूत्र: x̄ = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ)
जहाँ fᵢ = प्रत्येक वर्ग की आवृत्ति, xᵢ = वर्ग-मध्य।
✏️ (ii) विचलन विधि (Assumed Mean Method):
यदि आँकड़े बड़े हों, तो किसी मान ‘A’ को अनुमानित माध्य मानकर —
x̄ = A + (Σfᵢdᵢ) / (Σfᵢ)
जहाँ dᵢ = xᵢ − A
✏️ (iii) चरण-विचलन विधि (Step-Deviation Method):
जब वर्ग चौड़ाई समान हो, तब
x̄ = A + [(Σfᵢuᵢ) / (Σfᵢ)] × h
जहाँ uᵢ = (xᵢ − A)/h, और h = वर्ग चौड़ाई।
💡 इस प्रकार माध्य का मान डेटा की प्रकृति के अनुसार चुनी गई विधि से निकाला जाता है।
🟢 Q29. माध्यिका (Median) के निर्धारण की प्रक्रिया एक उदाहरण सहित समझाइए।
Answer:
माध्यिका वह मान है जो व्यवस्थित आँकड़ों को दो बराबर भागों में बाँट देता है।
समूहित आँकड़ों के लिए सूत्र:
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
जहाँ,
l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
n = कुल आवृत्तियाँ
F = माध्यिका वर्ग से पूर्व संचयी आवृत्ति
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग की चौड़ाई
📘 उदाहरण:
कक्षा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 4, 6, 10, 8, 2
संचयी आवृत्तियाँ: 4, 10, 20, 28, 30
n = 30 ⇒ n/2 = 15
माध्यिका वर्ग = 20–30 (क्योंकि संचयी आवृत्ति 20 पहली बार 15 से अधिक है)
अब,
Median = 20 + [(15 − 10)/10] × 10
= 20 + (5/10)×10
= 20 + 5 = 25
✔️ माध्यिका = 25
🔴 Q30. बहुलक (Mode) ज्ञात करने की विधि समझाइए और एक उदाहरण दीजिए।
Answer:
बहुलक वह मान है जो किसी आँकड़े में सर्वाधिक बार आता है।
समूहित आँकड़ों के लिए सूत्र —
Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
जहाँ,
f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
f₀ = उससे पहले की आवृत्ति
f₂ = उससे बाद की आवृत्ति
l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
h = वर्ग चौड़ाई
📘 उदाहरण:
कक्षा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 3, 9, 15, 8, 5
बहुलक वर्ग = 20–30
f₁=15, f₀=9, f₂=8, l=20, h=10
Mode = 20 + [(15−9)/(30−9−8)]×10
= 20 + (6/13)×10 = 20 + 4.6 = 24.6
✔️ बहुलक = 24.6
🟠 Q31. Mode, Median और Mean के बीच सम्बन्ध सिद्ध कीजिए।
Answer:
अनुभवजन्य रूप से पाया गया है कि
Mode, Median और Mean के बीच यह लगभग सम्बन्ध होता है —
Mode = 3×Median − 2×Mean
📘 सिद्धांत:
यदि वितरण लगभग सममित (Symmetrical) हो, तो माध्य, माध्यिका और बहुलक एक ही बिंदु पर मिलते हैं।
परंतु यदि वितरण झुका हुआ हो (Skewed), तो तीनों के स्थान में अंतर होता है।
सांख्यिकीय विश्लेषण से यह पाया गया कि Mode लगभग इस अनुभवजन्य समीकरण से जुड़ा होता है,
इसलिए इसे Empirical Relationship कहा जाता है।
✔️ निष्कर्ष: यह सम्बन्ध केवल लगभग सही होता है, किन्तु व्यवहार में अत्यंत उपयोगी है।
✴️ Section E — प्रकरण आधारित / अनुप्रयोगात्मक प्रश्न (Case/Application Type)
🔵 Q32. एक विद्यालय के छात्रों के मासिक टेस्ट के औसत अंक (100 में से) इस प्रकार हैं —
50–60: 5 छात्र, 60–70: 8 छात्र, 70–80: 12 छात्र, 80–90: 10 छात्र, 90–100: 5 छात्र।
कक्षा का औसत अंक ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले वर्ग-मध्य ज्ञात करें —
55, 65, 75, 85, 95
अब,
Σfᵢxᵢ = (5×55) + (8×65) + (12×75) + (10×85) + (5×95)
= 275 + 520 + 900 + 850 + 475 = 3020
Σfᵢ = 40
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 3020 / 40 = 75.5
✔️ औसत अंक = 75.5
🟢 Q33. एक परीक्षा के अंक वितरण निम्न प्रकार हैं —
कक्षा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 5, 7, 15, 10, 3
माध्यिका ज्ञात कीजिए और परिणाम की व्याख्या कीजिए।
Answer:
संचयी आवृत्तियाँ: 5, 12, 27, 37, 40
n = 40 ⇒ n/2 = 20
माध्यिका वर्ग = 20–30
अब,
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
= 20 + [(20 − 12)/15] × 10
= 20 + (8/15)×10
= 20 + 5.33 = 25.33
✔️ माध्यिका = 25.33
💡 व्याख्या:
इसका अर्थ है कि आधे विद्यार्थी 25.33 अंकों से कम और आधे विद्यार्थी इससे अधिक अंक प्राप्त करते हैं।
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