Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 13. सांख्यिकी
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 परिचय
सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों (Data) के संग्रह, संगठन, प्रस्तुति, विश्लेषण तथा व्याख्या से सम्बन्धित है। यह हमें बड़ी मात्रा के आंकड़ों से अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने की विधियाँ सिखाती है।
➡️ शब्द सांख्यिकी का उद्गम लैटिन शब्द Status से हुआ है, जिसका अर्थ “राज्य” या “स्थिति” होता है। प्राचीन समय में यह केवल जनगणना एवं शासन से जुड़ी थी, परन्तु आज यह लगभग सभी क्षेत्रों (विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, शिक्षा आदि) में प्रयुक्त होती है।
🟢 1. आंकड़ों का प्रकार (Types of Data)
💡 आंकड़े दो प्रकार के होते हैं –
1️⃣ असंगठित आंकड़े (Raw Data) ➡️ वे आंकड़े जो सीधे किसी स्रोत से बिना क्रमबद्ध रूप में प्राप्त किए गए हों।
2️⃣ संगठित आंकड़े (Organised Data) ➡️ वे आंकड़े जिन्हें किसी तालिका या आवृत्ति वितरण में क्रमबद्ध कर दिया गया हो।
🟡 2. सांख्यिकीय शब्दावली (Statistical Terms)
✏️ आवृत्ति (Frequency):
किसी प्रेक्षण (Observation) के बार-बार आने की संख्या।
✏️ वर्ग (Class):
डेटा को समान लंबाई के समूहों में बाँटने पर प्रत्येक समूह को वर्ग कहते हैं।
✏️ वर्ग-सीमाएँ (Class Limits):
प्रत्येक वर्ग का निम्नतम तथा उच्चतम मान।
➡️ उदाहरण: 10–20, 20–30 आदि में 10 और 20 वर्ग-सीमाएँ हैं।
✏️ वर्ग-मध्य (Class Mark):
वर्ग का मध्य मान = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2
🔴 3. आंकड़ों की प्रस्तुति (Presentation of Data)
सांख्यिकी में आंकड़ों को कई रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है:
1️⃣ तालिकीय रूप (Tabular Form) – सारणी में व्यवस्थित।
2️⃣ ग्राफिक रूप (Graphical Form) – स्तम्भ आरेख (Histogram), बहुभुज (Frequency Polygon), तथा आवृत्ति वक्र (Frequency Curve) आदि।
🟠 4. केंद्रीय प्रवृत्ति के मापन (Measures of Central Tendency)
यह ऐसे मान होते हैं जो सम्पूर्ण आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं। मुख्य तीन मापन हैं —
(i) माध्य (Mean)
सभी प्रेक्षणों के योग को उनकी कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान।
➡️ असंगठित डेटा के लिए:
x̄ = (Σx) / n
➡️ समूहित डेटा के लिए:
x̄ = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ)
यहाँ fᵢ = प्रत्येक वर्ग की आवृत्ति, xᵢ = वर्ग-मध्य।
💡 संक्षिप्त विधियाँ:
प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
विचलन विधि (Deviation Method)
चरण-विचलन विधि (Step-Deviation Method)
(ii) माध्यिका (Median)
डेटा को आरोही क्रम में लिखकर बीच का मान ज्ञात किया जाता है।
➡️ समूहित डेटा के लिए:
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
जहाँ:
l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
n = कुल आवृत्तियों का योग
F = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग की चौड़ाई
(iii) बहुलक (Mode)
वह मान जो सर्वाधिक बार प्रकट होता है।
➡️ समूहित डेटा के लिए:
Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
जहाँ:
f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
f₀ = उससे पूर्व वर्ग की आवृत्ति
f₂ = उससे बाद के वर्ग की आवृत्ति
🟢 5. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच सम्बन्ध
💡 महत्वपूर्ण सूत्र:
Mode = 3 × Median − 2 × Mean
यह केवल लगभग समूहित डेटा के लिए मान्य है।
🔵 6. आरेखीय प्रस्तुति (Graphical Representation)
✏️ (i) स्तम्भ आरेख (Histogram):
वर्ग-सीमाओं को क्षैतिज धुरी पर तथा आवृत्तियों को ऊर्ध्वाधर धुरी पर लेते हैं और आयतें बनाते हैं।
✏️ (ii) बहुभुज (Frequency Polygon):
स्तम्भ आरेख के मध्यबिन्दुओं को जोड़कर एक बहुभुज प्राप्त करते हैं।
✏️ (iii) संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive):
संचयी आवृत्तियों को वर्ग सीमाओं के साथ जोड़ने पर प्राप्त वक्र।
➡️ दो प्रकार — “कम से कम” (Less than) एवं “अधिक से अधिक” (More than) ओजाइव।
🟡 7. विचलन एवं प्रसरण (Dispersion – Introduction)
यद्यपि यह अध्याय मुख्यतः केंद्रीय प्रवृत्ति तक सीमित है, परन्तु सांख्यिकी में डेटा के फैलाव को समझना भी आवश्यक है। माध्य से विभिन्न मानों की दूरी का औसत हमें प्रसरण बताता है।
🔴 8. सांख्यिकी का उपयोग (Applications)
✔️ विज्ञान और अनुसंधान में डेटा विश्लेषण।
✔️ अर्थशास्त्र में उत्पादन, मूल्य, मांग आदि के अध्ययन में।
✔️ समाजशास्त्र, चिकित्सा, शिक्षा, एवं प्रशासनिक निर्णयों में।
🟢 9. सीमाएँ (Limitations of Statistics)
✏️ यह केवल संख्यात्मक आंकड़ों पर ही आधारित होती है।
✏️ सांख्यिकीय निष्कर्ष सदैव औसत रूप में होते हैं, व्यक्तिगत रूप से नहीं।
✏️ आंकड़ों के गलत संग्रह या पक्षपात से परिणाम प्रभावित हो सकते हैं।
✴️ भाग 2 – सारांश (~300 शब्द)
💡 मुख्य बातें एक नजर में:
सांख्यिकी वह विज्ञान है जो आंकड़ों के संग्रह, वर्गीकरण, प्रस्तुति, विश्लेषण तथा व्याख्या से सम्बन्धित है। इसमें प्रमुख तीन केंद्रीय प्रवृत्ति मापन होते हैं —
1️⃣ माध्य (x̄) जो सभी प्रेक्षणों के औसत को दर्शाता है।
2️⃣ माध्यिका (Median) जो डेटा का मध्य मान बताती है।
3️⃣ बहुलक (Mode) जो सर्वाधिक बार आने वाले मान को दर्शाता है।
इनके लिए विशेष सूत्र समूहित आँकड़ों के लिए निर्धारित हैं।
साथ ही, आंकड़ों को ग्राफिक रूप में प्रस्तुत करने की तीन मुख्य विधियाँ हैं — Histogram, Frequency Polygon, तथा Ogive।
सांख्यिकी का उपयोग सामाजिक, वैज्ञानिक और आर्थिक क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है, परन्तु यह तभी उपयोगी है जब आंकड़े विश्वसनीय और निष्पक्ष हों।
✴️ भाग 3 – Quick Recap (त्वरित पुनरावृत्ति)
🟡 1️⃣ सांख्यिकी = आंकड़ों का संग्रह + विश्लेषण + व्याख्या।
🟢 2️⃣ केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापन: माध्य, माध्यिका, बहुलक।
🔵 3️⃣ मुख्य सूत्र:
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🔴 4️⃣ सम्बन्ध: Mode = 3 × Median − 2 × Mean
🟢 5️⃣ ग्राफिक प्रस्तुति: Histogram, Frequency Polygon, Ogive
🟡 6️⃣ उपयोग: अर्थशास्त्र, शिक्षा, चिकित्सा, समाजशास्त्र आदि में।
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
🧮 प्रश्नावली 13.1
🔷 प्रश्न 1. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17 के लिए माध्य (Mean) के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ दिए गए आंकड़े: 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17
➡️ कुल संख्या (n) = 8
🔹 माध्य (Mean):
x̄ = (4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17)/8
= 80/8 = 10
🔹 |x − x̄| का मान:
|4 − 10| = 6, |7 − 10| = 3, |8 − 10| = 2, |9 − 10| = 1, |10 − 10| = 0, |12 − 10| = 2, |13 − 10| = 3, |17 − 10| = 7
Σ|x − x̄| = 24
➡️ माध्य विचलन (M.D.):
M.D. = Σ|x − x̄| / n = 24/8 = 3
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 3
🔷 प्रश्न 2. 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ n = 10
x̄ = (38 + 70 + 48 + 40 + 42 + 55 + 63 + 46 + 54 + 44)/10
= 500/10 = 50
🔹 |x − x̄| के मान:
|38−50|=12, |70−50|=20, |48−50|=2, |40−50|=10, |42−50|=8, |55−50|=5, |63−50|=13, |46−50|=4, |54−50|=4, |44−50|=6
Σ|x − x̄| = 84
➡️ M.D. = 84/10 = 8.4
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 8.4
🔷 प्रश्न 3. 13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17 के लिए माध्यिका (Median) के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ व्यवस्थित रूप: 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18
➡️ n = 12
Median = (13 + 14)/2 = 13.5
🔹 |x − M| के मान:
3.5, 2.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 0.5, 2.5, 2.5, 3.5, 3.5, 4.5
Σ|x − M| = 28
➡️ M.D. = 28/12 = 2.33
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 2.33
🔷 प्रश्न 4. 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49 के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
➡️ व्यवस्थित रूप: 36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72
➡️ n = 10
Median = (46 + 49)/2 = 47.5
🔹 |x − M| के मान:
11.5, 5.5, 2.5, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 12.5, 24.5
Σ|x − M| = 70
➡️ M.D. = 70/10 = 7
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 7
🔷 प्रश्न 5. xᵢ = 5, 10, 15, 20, 25 तथा fᵢ = 7, 4, 3, 5, 5 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
Σf = 24
Σfx = (5×7) + (10×4) + (15×3) + (20×5) + (25×5) = 35 + 40 + 45 + 100 + 125 = 345
➡️ x̄ = Σfx / Σf = 345/24 = 14.375
🔹 |x − x̄| के लिए Σf|x − x̄| = 146.25
➡️ M.D. = 146.25 / 24 = 6.09
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 6.09
🔷 प्रश्न 6. xᵢ = 30, 50, 70, 90 तथा fᵢ = 4, 28, 16, 8 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
Σf = 56
Σfx = (30×4) + (50×28) + (70×16) + (90×8) = 120 + 1400 + 1120 + 720 = 3360
➡️ x̄ = 3360/56 = 60
🔹 Σf|x − x̄| = 1080
➡️ M.D. = 1080/56 = 19.29
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 19.29
🔷 प्रश्न 7. xᵢ = 5, 9, 12, 15 तथा fᵢ = 8, 6, 2, 4 के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
Σf = 20
➡️ Cumulative Frequency: 8, 14, 16, 20
Median = 9 (क्योंकि 10वाँ अवलोकन 9 पर आता है)
🔹 |x − M|: 4, 0, 3, 6
Σf|x − M| = (8×4) + (6×0) + (2×3) + (4×6) = 32 + 0 + 6 + 24 = 62
➡️ M.D. = 62/20 = 3.1
✔️ उत्तर: माध्य विचलन = 3.1
🔵 प्रश्न 8.
xᵢ = 15, 21, 27, 30, 35
fᵢ = 3, 5, 6, 7, 8
✏️ चरण 1 :
माध्य = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ) = 802 / 29 = 27.655
✏️ चरण 2 :
माध्य विचलन = (Σfᵢ|xᵢ − x̄|) / (Σfᵢ) = 150.344 / 29 = 5.18
✔️ उत्तर : माध्य विचलन = 5.18
🟢 प्रश्न 9.
आय वर्ग (₹ में): 0–100, 100–200, 200–300, 300–400, 400–500, 500–600, 600–700, 700–800
आवृत्तियाँ: 4, 8, 9, 10, 7, 5, 4, 3
✏️ चरण 1 :
वर्ग मध्य = 50, 150, 250, 350, 450, 550, 650, 750
✏️ चरण 2 :
माध्य = 17900 / 50 = 358
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 7896 / 50 = 157.92
✔️ उत्तर : माध्य = 358, माध्य विचलन = 157.92
🟡 प्रश्न 10.
कद (सेमी में): 95–105, 105–115, 115–125, 125–135, 135–145, 145–155
लड़कों की संख्या: 9, 13, 26, 30, 12, 10
✏️ चरण 1 :
वर्ग मध्य = 100, 110, 120, 130, 140, 150
✏️ चरण 2 :
माध्य = 12530 / 100 = 125.3
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 1128.8 / 100 = 11.288
✔️ उत्तर : माध्य = 125.3, माध्य विचलन = 11.288
🔴 प्रश्न 11.
अंक वर्ग : 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60
आवृत्तियाँ : 6, 8, 14, 16, 4, 2
✏️ चरण 1 :
कुल आवृत्ति N = 50, N/2 = 25
संचयी आवृत्तियाँ = 6, 14, 28, 44, 48, 50
माध्यिका वर्ग = 20–30
✏️ चरण 2 :
माध्यिका = L + ((N/2 − c_f) / f) × h
= 20 + ((25 − 14)/14) × 10 = 27.857
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 517.14 / 50 = 10.34
✔️ उत्तर : माध्यिका = 27.857, माध्य विचलन = 10.34
🔵 प्रश्न 12.
आयु वर्ग (वर्षों में): 16–20, 21–25, 26–30, 31–35, 36–40, 41–45, 46–50, 51–55
आवृत्तियाँ: 5, 12, 14, 28, 24, 9, 7, 1
✏️ चरण 1 :
कुल आवृत्ति N = 100, N/2 = 50
संचयी आवृत्तियाँ: 5, 17, 31, 59, 83, 92, 99, 100
माध्यिका वर्ग = 31–35
✏️ चरण 2 :
माध्यिका = L + ((N/2 − c_f)/f) × h
= 30.5 + ((50 − 31)/28) × 5 = 33.893
✏️ चरण 3 :
माध्य विचलन = 616.07 / 100 = 6.16
✔️ उत्तर : माध्यिका = 33.893, माध्य विचलन = 6.16
📘 प्रश्नावली 13.2
🔵 प्रश्न 1.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12 के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
✏️ चरण 1 :
माध्य (x̄) = (Σx) / n
= (6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12) / 8 = 72 / 8 = 9
✏️ चरण 2 :
Σ(x − x̄)² = (6−9)² + (7−9)² + (10−9)² + (12−9)² + (13−9)² + (4−9)² + (8−9)² + (12−9)²
= 9 + 4 + 1 + 9 + 16 + 25 + 1 + 9 = 74
✏️ चरण 3 :
प्रसरण = Σ(x − x̄)² / n = 74 / 8 = 9.25
✔️ उत्तर: माध्य = 9, प्रसरण = 9.25
🟢 प्रश्न 2.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याएँ।
✏️ सूत्र: माध्य = (n + 1)/2
✏️ प्रसरण = (n² − 1)/12
✔️ उत्तर:
माध्य = (n + 1)/2
प्रसरण = (n² − 1)/12
🟡 प्रश्न 3.
तीन के प्रथम 10 गुणज।
संख्या = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
✏️ चरण 1 :
माध्य = (Σx) / n = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30) / 10
= 165 / 10 = 16.5
✏️ चरण 2 :
प्रसरण = Σ(x − x̄)² / n
= 82.5
✔️ उत्तर: माध्य = 16.5, प्रसरण = 82.5
🔴 प्रश्न 4.
xᵢ : 6, 10, 14, 18, 24, 28, 30
fᵢ : 2, 4, 7, 12, 8, 4, 3
✏️ चरण 1 :
Σfᵢ = 40
Σfᵢxᵢ = 820
माध्य (x̄) = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 820 / 40 = 20.5
✏️ चरण 2 :
Σfᵢ(xᵢ − x̄)² = 2060
प्रसरण = 2060 / 40 = 51.5
✔️ उत्तर: माध्य = 20.5, प्रसरण = 51.5
🔵 प्रश्न 5.
xᵢ : 92, 93, 97, 98, 100, 102, 104, 109
fᵢ : 4, 3, 2, 4, 3, 6, 3, 5
✏️ चरण 1 :
Σfᵢ = 30
Σfᵢxᵢ = 2943
माध्य = 2943 / 30 = 98.1
✏️ चरण 2 :
Σfᵢ(xᵢ − x̄)² = 555.9
प्रसरण = 555.9 / 30 = 18.53
✔️ उत्तर: माध्य = 98.1, प्रसरण = 18.53
🟢 प्रश्न 6.
xᵢ : 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68
fᵢ : 2, 1, 1, 29, 25, 12, 4, 5
✏️ चरण 1 :
Σfᵢ = 79
Σfᵢxᵢ = 5103
माध्य (x̄) = 5103 / 79 = 64.6
✏️ चरण 2 :
Σfᵢ(xᵢ − x̄)² = 296.04
मानक विचलन (σ) = √(Σfᵢ(xᵢ − x̄)² / Σfᵢ) = √(296.04 / 79) = √3.75 = 1.94
✔️ उत्तर: माध्य = 64.6, मानक विचलन = 1.94
🔷 प्रश्न 7:
वर्गों 0–30, 30–60, 60–90, 90–120, 120–150, 150–180, 180–210 की आवृत्तियाँ क्रमशः 2, 3, 5, 10, 3, 5, 2 हैं।
माध्य (Mean) एवं प्रसरण (Variance) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 15, 45, 75, 105, 135, 165, 195
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 2, 3, 5, 10, 3, 5, 2
➡️ Σf = 30
➡️ Σfx = (2×15)+(3×45)+(5×75)+(10×105)+(3×135)+(5×165)+(2×195)
= 30 + 135 + 375 + 1050 + 405 + 825 + 390 = 3210
🟢 माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 3210 / 30 = 107
अब (xᵢ − x̄)² निकालें:
(15−107)², (45−107)², (75−107)², (105−107)², (135−107)², (165−107)², (195−107)²
= 8464, 3844, 1024, 4, 784, 3364, 7744
➡️ Σf(x−x̄)² = (2×8464)+(3×3844)+(5×1024)+(10×4)+(3×784)+(5×3364)+(2×7744)
= 16928 + 11532 + 5120 + 40 + 2352 + 16820 + 15488 = 68280
🟡 प्रसरण = Σf(x−x̄)² / Σf = 68280 / 30 = 2276
🔴 मानक विचलन = √2276 = 47.7
अतः माध्य = 107, प्रसरण = 2276, मानक विचलन = 47.7
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🔷 प्रश्न 8:
वर्ग: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्ति: 5, 8, 15, 16, 6
माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 5, 15, 25, 35, 45
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 5, 8, 15, 16, 6
➡️ Σf = 50
➡️ Σfx = (5×5)+(8×15)+(15×25)+(16×35)+(6×45)
= 25 + 120 + 375 + 560 + 270 = 1350
🟢 माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 1350 / 50 = 27
अब (xᵢ − x̄)² निकालें:
(5−27)² = 484, (15−27)² = 144, (25−27)² = 4, (35−27)² = 64, (45−27)² = 324
➡️ Σf(x−x̄)² = (5×484)+(8×144)+(15×4)+(16×64)+(6×324)
= 2420 + 1152 + 60 + 1024 + 1944 = 6596
🟡 प्रसरण = Σf(x−x̄)² / Σf = 6596 / 50 = 131.92
🔴 मानक विचलन = √131.92 = 11.49
अतः माध्य = 27, प्रसरण = 131.92, मानक विचलन = 11.49
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🔷 प्रश्न 9:
लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
कद (सेमी में): 70–75, 75–80, 80–85, 85–90, 90–95, 95–100, 100–105, 105–110, 110–115
संख्या: 3, 4, 7, 15, 9, 6, 6, 6, 3
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 72.5, 77.5, 82.5, 87.5, 92.5, 97.5, 102.5, 107.5, 112.5
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 3, 4, 7, 15, 9, 6, 6, 6, 3
✏️ मानक वर्ग-चौड़ाई (h) = 5
✏️ मानक माध्य वर्ग (a) = 92.5
➡️ u = (x−a)/h = −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4
➡️ Σf = 59
➡️ Σfu = (3×−4)+(4×−3)+(7×−2)+(15×−1)+(9×0)+(6×1)+(6×2)+(6×3)+(3×4)
= −12 −12 −14 −15 +0 +6 +12 +18 +12 = −5
🟢 माध्य (x̄) = a + (Σfu / Σf) × h
= 92.5 + (−5/59)×5 = 92.5 − 0.42 = 92.08 सेमी
अब u² निकालें और Σfu² निकालें:
Σfu² = (3×16)+(4×9)+(7×4)+(15×1)+(9×0)+(6×1)+(6×4)+(6×9)+(3×16)
= 48 + 36 + 28 + 15 + 0 + 6 + 24 + 54 + 48 = 259
➡️ प्रसरण = (Σfu² / Σf) − (Σfu / Σf)²
= (259 / 59) − (−5/59)² = 4.389 − 0.007 = 4.382
➡️ मानक विचलन = √4.382 × h = 2.09 × 5 = 10.45
अतः माध्य = 92.08 सेमी, मानक विचलन = 10.45 सेमी
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🔷 प्रश्न 10:
वृत्तों के व्यास (मि.मी. में): 33–36, 37–40, 41–44, 45–48, 49–52
संख्या: 15, 17, 21, 22, 25
वृत्तों के व्यास का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ वर्ग-मध्य (xᵢ) = 34.5, 38.5, 42.5, 46.5, 50.5
✏️ आवृत्ति (fᵢ) = 15, 17, 21, 22, 25
➡️ Σf = 100
➡️ Σfx = (15×34.5)+(17×38.5)+(21×42.5)+(22×46.5)+(25×50.5)
= 517.5 + 654.5 + 892.5 + 1023 + 1262.5 = 4350
🟢 माध्य (x̄) = Σfx / Σf = 4350 / 100 = 43.5 मि.मी.
अब (xᵢ − x̄)² निकालें:
(34.5−43.5)² = 81, (38.5−43.5)² = 25, (42.5−43.5)² = 1, (46.5−43.5)² = 9, (50.5−43.5)² = 49
➡️ Σf(x−x̄)² = (15×81)+(17×25)+(21×1)+(22×9)+(25×49)
= 1215 + 425 + 21 + 198 + 1225 = 3084
🟡 प्रसरण = Σf(x−x̄)² / Σf = 3084 / 100 = 30.84
🔴 मानक विचलन = √30.84 = 5.56 मि.मी.
अतः माध्य व्यास = 43.5 मि.मी., मानक विचलन = 5.56 मि.मी.
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
✴️ Section A — बहुविकल्पी प्रश्न (MCQs)
🔵 Q1. सांख्यिकी का प्रमुख उद्देश्य क्या है?
🔵 (A) संख्याओं को जोड़ना
🟢 (B) आंकड़ों का विश्लेषण करना
🟠 (C) चित्र बनाना
🔴 (D) परिभाषाएँ लिखना
Answer: (B) आंकड़ों का विश्लेषण करना
🔵 Q2. “सांख्यिकी” शब्द किस भाषा से लिया गया है?
🔵 (A) ग्रीक
🟢 (B) लैटिन
🟠 (C) संस्कृत
🔴 (D) अंग्रेज़ी
Answer: (B) लैटिन
🔵 Q3. जब आंकड़े सीधे किसी स्रोत से लिए जाते हैं तो उन्हें क्या कहा जाता है?
🔵 (A) संगठित आंकड़े
🟢 (B) असंगठित आंकड़े
🟠 (C) वर्गीकृत आंकड़े
🔴 (D) संचयी आंकड़े
Answer: (B) असंगठित आंकड़े
🔵 Q4. वर्ग-मध्य (Class Mark) ज्ञात करने का सूत्र है —
🔵 (A) (उच्च सीमा − निम्न सीमा)/2
🟢 (B) (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2
🟠 (C) (आवृत्ति × सीमा)/2
🔴 (D) केवल निम्न सीमा
Answer: (B) (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2
🔵 Q5. समूहित आँकड़ों के लिए माध्य का सूत्र है —
🔵 (A) x̄ = Σx / n
🟢 (B) x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🟠 (C) x̄ = Σxᵢ / n
🔴 (D) x̄ = Σfᵢ / n
Answer: (B) x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔵 Q6. माध्यिका (Median) का सूत्र है —
🔵 (A) l + [(n/2 − F)/f] × h
🟢 (B) l + [(n − F)/2] × f
🟠 (C) Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔴 (D) l − [(F − n)/2] × h
Answer: (A) l + [(n/2 − F)/f] × h
🔵 Q7. बहुलक (Mode) ज्ञात करने का सूत्र है —
🔵 (A) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🟢 (B) l + [(f₁ + f₂)/(f₀ − f₁)] × h
🟠 (C) Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔴 (D) (f₁ − f₀)/(f₂ − f₁)
Answer: (A) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🔵 Q8. केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापन कौन-से हैं?
🔵 (A) Mean, Median, Mode
🟢 (B) Range, Variance, Deviation
🟠 (C) Class, Frequency, Interval
🔴 (D) Histogram, Polygon, Ogive
Answer: (A) Mean, Median, Mode
🔵 Q9. Mode, Median और Mean के बीच सम्बन्ध है —
🔵 (A) Mean = 3 Median − 2 Mode
🟢 (B) Mode = 3 Median − 2 Mean
🟠 (C) Median = 3 Mean − 2 Mode
🔴 (D) Mode = Mean − Median
Answer: (B) Mode = 3 Median − 2 Mean
🔵 Q10. Histogram का प्रयोग किसके लिए किया जाता है?
🔵 (A) संचयी आवृत्ति दिखाने हेतु
🟢 (B) आवृत्ति वितरण को दर्शाने हेतु
🟠 (C) मध्य मान ज्ञात करने हेतु
🔴 (D) सूत्र सिद्ध करने हेतु
Answer: (B) आवृत्ति वितरण को दर्शाने हेतु
🔵 Q11. यदि किसी वर्ग की सीमा 10–20 है, तो उसका वर्ग-मध्य क्या होगा?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 15
🟠 (C) 20
🔴 (D) 30
Answer: (B) 15
🔵 Q12. सांख्यिकी का उपयोग मुख्यतः किसमें किया जाता है?
🔵 (A) कलाकारी में
🟢 (B) डेटा विश्लेषण में
🟠 (C) कविता लेखन में
🔴 (D) संगीत रचना में
Answer: (B) डेटा विश्लेषण में
🔵 Q13. जब प्रत्येक वर्ग समान चौड़ाई का होता है तो उसे क्या कहते हैं?
🔵 (A) समान वर्ग-चौड़ाई वितरण
🟢 (B) असमान वर्ग-चौड़ाई वितरण
🟠 (C) एकमात्र वर्ग
🔴 (D) मिश्रित वर्ग
Answer: (A) समान वर्ग-चौड़ाई वितरण
🔵 Q14. संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive) कितने प्रकार का होता है?
🔵 (A) एक
🟢 (B) दो
🟠 (C) तीन
🔴 (D) चार
Answer: (B) दो
🔵 Q15. “Less than Ogive” किस धुरी के साथ तैयार की जाती है?
🔵 (A) ऊर्ध्वाधर धुरी
🟢 (B) क्षैतिज धुरी पर ऊपरी सीमा के साथ
🟠 (C) निम्न सीमा के साथ
🔴 (D) दोनों के साथ
Answer: (B) क्षैतिज धुरी पर ऊपरी सीमा के साथ
🔵 Q16. यदि किसी डेटा का माध्य 25 और माध्यिका 27 है, तो Mode होगा —
🔵 (A) 31
🟢 (B) 29
🟠 (C) 33
🔴 (D) 27
Answer: (B) 29
Mean = 25, Median = 27
Mode = 3×Median − 2×Mean = 3×27 − 2×25 = 81 − 50 = 31 ✅
🔵 Q17. Histogram में आयतों की ऊँचाई किस पर निर्भर करती है?
🔵 (A) वर्ग-सीमा
🟢 (B) वर्ग-मध्य
🟠 (C) वर्ग की आवृत्ति
🔴 (D) संचयी आवृत्ति
Answer: (C) वर्ग की आवृत्ति
🔵 Q18. सांख्यिकी का उपयोग किन क्षेत्रों में होता है?
🔵 (A) केवल अर्थशास्त्र में
🟢 (B) विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र आदि में
🟠 (C) केवल गणित में
🔴 (D) केवल चिकित्सा में
Answer: (B) विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र आदि में
🔵 Q19. सांख्यिकी क्या है?
Answer:
सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों के संग्रह, संगठन, प्रस्तुति, विश्लेषण एवं व्याख्या से सम्बन्धित है।
➡️ इसका उद्देश्य बड़ी संख्या के डेटा से सार्थक निष्कर्ष निकालना होता है।
🟢 Q20. असंगठित और संगठित आंकड़ों में क्या अन्तर है?
Answer:
✏️ असंगठित आंकड़े: वे आंकड़े जो बिना किसी क्रम या सारणी के सीधे स्रोत से लिए गए हों।
✏️ संगठित आंकड़े: वे आंकड़े जिन्हें किसी नियम या तालिका में व्यवस्थित किया गया हो।
➡️ उदाहरण — असंगठित: 5, 3, 8, 9, 3
संगठित: वर्ग-वार सारणी जैसे 0–10, 10–20 आदि।
🔴 Q21. आवृत्ति (Frequency) से आप क्या समझते हैं?
Answer:
किसी प्रेक्षण (Observation) के दोहराने की संख्या को आवृत्ति कहते हैं।
💡 उदाहरण: यदि “5” तीन बार आता है, तो उसकी आवृत्ति 3 है।
🟠 Q22. वर्ग-मध्य (Class Mark) निकालने का सूत्र लिखिए।
Answer:
वर्ग-मध्य = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) / 2
➡️ उदाहरण: 10–20 वर्ग के लिए वर्ग-मध्य = (10 + 20)/2 = 15
🟡 Q23. माध्यिका (Median) ज्ञात करने की विधि लिखिए।
Answer:
समूहित आँकड़ों के लिए माध्यिका =
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
जहाँ:
l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
n = कुल आवृत्तियों का योग
F = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग की चौड़ाई
✴️ Section C — मध्यम-दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Mid-Length / Numericals)
🔵 Q24. निम्न आँकड़ों के लिए माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए —
वर्ग (x): 10, 20, 30, 40, 50
आवृत्ति (f): 3, 5, 7, 5, 0
💡Answer:
वर्ग (x): 10, 20, 30, 40, 50
आवृत्ति (f): 3, 5, 7, 5, 0
Σfᵢxᵢ = 3×10 + 5×20 + 7×30 + 5×40 + 0×50 = 540
Σfᵢ = 3 + 5 + 7 + 5 + 0 = 20
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 540/20 = 27
🟢 Q25. यदि माध्य = 30 और माध्यिका = 32 हो, तो बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए।
Answer:
सूत्र: Mode = 3×Median − 2×Mean
= 3×32 − 2×30
= 96 − 60 = 36
✔️ बहुलक = 36
🔴 Q26. एक समूहित वितरण के लिए निम्न आँकड़े दिए हैं —
कक्षा (0–10), (10–20), (20–30), (30–40), (40–50)
आवृत्तियाँ (5, 8, 12, 10, 5)
माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले संचयी आवृत्ति निकालें:
5, 13, 25, 35, 40
कुल n = 40
n/2 = 20
माध्यिका वर्ग = 20–30 (क्योंकि संचयी आवृत्ति 25 पहली बार 20 से अधिक है)
अब सूत्र:
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
= 20 + [(20 − 13)/12] × 10
= 20 + (7/12)×10
= 20 + 5.83 = 25.83
✔️ माध्यिका = 25.83
🟠 Q27. किसी वितरण में बहुलक वर्ग की निचली सीमा 30 है, f₁=12, f₀=9, f₂=6, और वर्ग चौड़ाई 10 है। बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
सूत्र: Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
= 30 + [(12 − 9)/(24 − 9 − 6)] × 10
= 30 + [3/9] × 10
= 30 + 3.33 = 33.33
✔️ बहुलक = 33.33
✴️ Section D — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions)
🔵 Q28. समूहित आँकड़ों के लिए माध्य (Mean) ज्ञात करने की चरणबद्ध विधि समझाइए।
Answer:
माध्य वह मान है जो सम्पूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व करता है। समूहित आँकड़ों के लिए इसका निर्धारण तीन विधियों से किया जा सकता है —
✏️ (i) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):
सूत्र: x̄ = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ)
जहाँ fᵢ = प्रत्येक वर्ग की आवृत्ति, xᵢ = वर्ग-मध्य।
✏️ (ii) विचलन विधि (Assumed Mean Method):
यदि आँकड़े बड़े हों, तो किसी मान ‘A’ को अनुमानित माध्य मानकर —
x̄ = A + (Σfᵢdᵢ) / (Σfᵢ)
जहाँ dᵢ = xᵢ − A
✏️ (iii) चरण-विचलन विधि (Step-Deviation Method):
जब वर्ग चौड़ाई समान हो, तब
x̄ = A + [(Σfᵢuᵢ) / (Σfᵢ)] × h
जहाँ uᵢ = (xᵢ − A)/h, और h = वर्ग चौड़ाई।
💡 इस प्रकार माध्य का मान डेटा की प्रकृति के अनुसार चुनी गई विधि से निकाला जाता है।
🟢 Q29. माध्यिका (Median) के निर्धारण की प्रक्रिया एक उदाहरण सहित समझाइए।
Answer:
माध्यिका वह मान है जो व्यवस्थित आँकड़ों को दो बराबर भागों में बाँट देता है।
समूहित आँकड़ों के लिए सूत्र:
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
जहाँ,
l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
n = कुल आवृत्तियाँ
F = माध्यिका वर्ग से पूर्व संचयी आवृत्ति
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग की चौड़ाई
📘 उदाहरण:
कक्षा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 4, 6, 10, 8, 2
संचयी आवृत्तियाँ: 4, 10, 20, 28, 30
n = 30 ⇒ n/2 = 15
माध्यिका वर्ग = 20–30 (क्योंकि संचयी आवृत्ति 20 पहली बार 15 से अधिक है)
अब,
Median = 20 + [(15 − 10)/10] × 10
= 20 + (5/10)×10
= 20 + 5 = 25
✔️ माध्यिका = 25
🔴 Q30. बहुलक (Mode) ज्ञात करने की विधि समझाइए और एक उदाहरण दीजिए।
Answer:
बहुलक वह मान है जो किसी आँकड़े में सर्वाधिक बार आता है।
समूहित आँकड़ों के लिए सूत्र —
Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
जहाँ,
f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
f₀ = उससे पहले की आवृत्ति
f₂ = उससे बाद की आवृत्ति
l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
h = वर्ग चौड़ाई
📘 उदाहरण:
कक्षा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 3, 9, 15, 8, 5
बहुलक वर्ग = 20–30
f₁=15, f₀=9, f₂=8, l=20, h=10
Mode = 20 + [(15−9)/(30−9−8)]×10
= 20 + (6/13)×10 = 20 + 4.6 = 24.6
✔️ बहुलक = 24.6
🟠 Q31. Mode, Median और Mean के बीच सम्बन्ध सिद्ध कीजिए।
Answer:
अनुभवजन्य रूप से पाया गया है कि
Mode, Median और Mean के बीच यह लगभग सम्बन्ध होता है —
Mode = 3×Median − 2×Mean
📘 सिद्धांत:
यदि वितरण लगभग सममित (Symmetrical) हो, तो माध्य, माध्यिका और बहुलक एक ही बिंदु पर मिलते हैं।
परंतु यदि वितरण झुका हुआ हो (Skewed), तो तीनों के स्थान में अंतर होता है।
सांख्यिकीय विश्लेषण से यह पाया गया कि Mode लगभग इस अनुभवजन्य समीकरण से जुड़ा होता है,
इसलिए इसे Empirical Relationship कहा जाता है।
✔️ निष्कर्ष: यह सम्बन्ध केवल लगभग सही होता है, किन्तु व्यवहार में अत्यंत उपयोगी है।
✴️ Section E — प्रकरण आधारित / अनुप्रयोगात्मक प्रश्न (Case/Application Type)
🔵 Q32. एक विद्यालय के छात्रों के मासिक टेस्ट के औसत अंक (100 में से) इस प्रकार हैं —
50–60: 5 छात्र, 60–70: 8 छात्र, 70–80: 12 छात्र, 80–90: 10 छात्र, 90–100: 5 छात्र।
कक्षा का औसत अंक ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले वर्ग-मध्य ज्ञात करें —
55, 65, 75, 85, 95
अब,
Σfᵢxᵢ = (5×55) + (8×65) + (12×75) + (10×85) + (5×95)
= 275 + 520 + 900 + 850 + 475 = 3020
Σfᵢ = 40
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 3020 / 40 = 75.5
✔️ औसत अंक = 75.5
🟢 Q33. एक परीक्षा के अंक वितरण निम्न प्रकार हैं —
कक्षा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 5, 7, 15, 10, 3
माध्यिका ज्ञात कीजिए और परिणाम की व्याख्या कीजिए।
Answer:
संचयी आवृत्तियाँ: 5, 12, 27, 37, 40
n = 40 ⇒ n/2 = 20
माध्यिका वर्ग = 20–30
अब,
Median = l + [(n/2 − F)/f] × h
= 20 + [(20 − 12)/15] × 10
= 20 + (8/15)×10
= 20 + 5.33 = 25.33
✔️ माध्यिका = 25.33
💡 व्याख्या:
इसका अर्थ है कि आधे विद्यार्थी 25.33 अंकों से कम और आधे विद्यार्थी इससे अधिक अंक प्राप्त करते हैं।
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि किसी वर्ग का मध्य मान 15 और वर्ग की चौड़ाई 10 है, तो उस वर्ग की सीमा होगी –
1️⃣ 10 – 20
2️⃣ 5 – 15
3️⃣ 12 – 18
4️⃣ 20 – 30
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023 – Shift 1
🔵 प्रश्न 2
यदि माध्यिका (Median) = 20, बहुलक (Mode) = 16 है, तो औसत (Mean) का मान होगा –
1️⃣ 18
2️⃣ 19
3️⃣ 20
4️⃣ 21
🟢 उत्तर: 1️⃣ 18
📅 JEE Main 2022 – Shift 2
🔵 प्रश्न 3
किसी आँकड़े का औसत 50 और मानक विचलन 5 है। विचरण (Variance) होगा –
1️⃣ 10
2️⃣ 15
3️⃣ 20
4️⃣ 25
🟢 उत्तर: 4️⃣ 25
📅 JEE Main 2021 – Shift 1
🔵 प्रश्न 4
यदि किसी आंकड़े का औसत 30 है और प्रत्येक मान में 5 जोड़ा जाए, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 30
2️⃣ 25
3️⃣ 35
4️⃣ 40
🟢 उत्तर: 3️⃣ 35
📅 JEE Main 2020 – Shift 2
🔵 प्रश्न 5
यदि आँकड़ों का औसत = 10 है और मानक विचलन = 0 है, तो सभी मान होंगे –
1️⃣ समान
2️⃣ असमान
3️⃣ 0
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ समान
📅 JEE Main 2019 – Shift 1
🔵 प्रश्न 6
किसी आँकड़े में सभी प्रेक्षण समान होने पर मानक विचलन होगा –
1️⃣ 1
2️⃣ 0
3️⃣ ∞
4️⃣ −1
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0
📅 JEE Main 2018 – Shift 1
🔵 प्रश्न 7
यदि किसी आँकड़े का औसत 20 है और प्रत्येक मान को 2 से गुणा किया जाए, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 10
2️⃣ 20
3️⃣ 40
4️⃣ 80
🟢 उत्तर: 3️⃣ 40
📅 JEE Main 2017 – Shift 1
🔵 प्रश्न 8
यदि किसी आँकड़े का विचरण 25 है, तो मानक विचलन होगा –
1️⃣ 5
2️⃣ 25
3️⃣ 50
4️⃣ 125
🟢 उत्तर: 1️⃣ 5
📅 JEE Main 2016 – Shift 1
🔵 प्रश्न 9
यदि औसत = 60 और बहुलक = 50 है, तो माध्यिका का मान होगा –
1️⃣ 56.67
2️⃣ 55
3️⃣ 60
4️⃣ 65
🟢 उत्तर: 1️⃣ 56.67
📅 JEE Main 2015 – Shift 1
🔵 प्रश्न 10
किसी आँकड़े का औसत 25 और माध्यिका 20 है, तो बहुलक का मान लगभग होगा –
1️⃣ 15
2️⃣ 30
3️⃣ 10
4️⃣ 20
🟢 उत्तर: 1️⃣ 15
📅 JEE Main 2014 – Shift 2
🔵 प्रश्न 11
यदि किसी आँकड़े में सबसे बड़े और सबसे छोटे मान का अंतर 20 है, तो इसे क्या कहते हैं?
1️⃣ विचरण
2️⃣ परास (Range)
3️⃣ औसत
4️⃣ बहुलक
🟢 उत्तर: 2️⃣ परास
📅 JEE Main 2013 – Shift 1
🔵 प्रश्न 12
परास (Range) = 40, औसत = 60, तो अधिकतम मान होगा –
1️⃣ 60
2️⃣ 80
3️⃣ 100
4️⃣ 40
🟢 उत्तर: 3️⃣ 100
📅 JEE Main 2012 – Shift 2
🔵 प्रश्न 13
यदि किसी आँकड़े का औसत 50 है और प्रत्येक मान से 10 घटाया जाए, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 40
2️⃣ 50
3️⃣ 60
4️⃣ 70
🟢 उत्तर: 1️⃣ 40
📅 JEE Main 2011 – Shift 1
🔵 प्रश्न 14
यदि आँकड़ों का औसत 15 है और प्रत्येक मान को 3 से गुणा किया जाए, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 15
2️⃣ 30
3️⃣ 45
4️⃣ 60
🟢 उत्तर: 3️⃣ 45
📅 JEE Main 2010 – Shift 1
🔵 प्रश्न 15
यदि सभी प्रेक्षणों में एक स्थिरांक जोड़ा जाए, तो विचरण पर क्या प्रभाव होगा?
1️⃣ बढ़ेगा
2️⃣ घटेगा
3️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
4️⃣ शून्य हो जाएगा
🟢 उत्तर: 3️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
📅 JEE Main 2009 – Shift 1
🔵 प्रश्न 16
यदि सभी प्रेक्षणों को किसी स्थिरांक से गुणा किया जाए, तो विचरण पर क्या प्रभाव होगा?
1️⃣ अपरिवर्तित
2️⃣ स्थिरांक के वर्ग के समान गुणा होगा
3️⃣ घटेगा
4️⃣ बढ़ेगा
🟢 उत्तर: 2️⃣ स्थिरांक के वर्ग के समान गुणा होगा
📅 JEE Main 2008 – Shift 2
🔵 प्रश्न 17
यदि किसी आँकड़े का औसत 12 है और सभी प्रेक्षणों को 3 से गुणा किया गया है, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 12
2️⃣ 36
3️⃣ 9
4️⃣ 15
🟢 उत्तर: 2️⃣ 36
📅 JEE Main 2007 – Shift 1
🔵 प्रश्न 18
यदि किसी आँकड़े का औसत 20 है और सभी प्रेक्षणों में 4 जोड़ा गया है, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 16
2️⃣ 20
3️⃣ 24
4️⃣ 40
🟢 उत्तर: 3️⃣ 24
📅 JEE Main 2006 – Shift 1
🔵 प्रश्न 19
यदि किसी आँकड़े का औसत 0 है, तो विचरण =
1️⃣ धनात्मक
2️⃣ ऋणात्मक
3️⃣ शून्य
4️⃣ अज्ञात
🟢 उत्तर: 1️⃣ धनात्मक
📅 JEE Main 2005 – Shift 1
🔵 प्रश्न 20
किसी आँकड़े का मानक विचलन सदैव होता है –
1️⃣ धनात्मक
2️⃣ ऋणात्मक
3️⃣ शून्य
4️⃣ ऋणात्मक भी हो सकता है
🟢 उत्तर: 1️⃣ धनात्मक
📅 JEE Main 2004 – Shift 1
🔵 प्रश्न 21
यदि किसी आँकड़े में सभी मान समान हैं, तो उसका विचरण होगा –
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ ∞
4️⃣ अनिर्धारित
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0
📅 JEE Main 2003 – Shift 1
🔵 प्रश्न 22
यदि आँकड़ों का औसत 30 और मानक विचलन 0 है, तो सभी मान होंगे –
1️⃣ 0
2️⃣ 30
3️⃣ समान
4️⃣ भिन्न
🟢 उत्तर: 3️⃣ समान
📅 JEE Main 2002 – Shift 2
🔵 प्रश्न 23
यदि औसत 50 है और प्रत्येक प्रेक्षण में 10 घटाया गया है, तो नया औसत –
1️⃣ 50
2️⃣ 60
3️⃣ 40
4️⃣ 70
🟢 उत्तर: 3️⃣ 40
📅 JEE Main 2001 – Shift 1
🔵 प्रश्न 24
यदि किसी आँकड़े का औसत 10 और विचरण 4 है, तो मानक विचलन होगा –
1️⃣ 2
2️⃣ 4
3️⃣ 8
4️⃣ 16
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Main 2000 – Shift 1
🔵 प्रश्न 25
यदि किसी आँकड़े का औसत 5 है और सभी मानों को 2 से गुणा किया जाए, तो नया विचरण होगा –
1️⃣ 4
2️⃣ 8
3️⃣ 16
4️⃣ 2
🟢 उत्तर: 3️⃣ 16
📅 JEE Main 1999 – Shift 1
🔵 प्रश्न 26
यदि किसी आँकड़े का औसत 40 है और सभी प्रेक्षणों को 3 से गुणा किया गया है, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 40
2️⃣ 43
3️⃣ 120
4️⃣ 13.3
🟢 उत्तर: 3️⃣ 120
📅 JEE Main 1998 – Shift 1
🔵 प्रश्न 27
यदि किसी आँकड़े का औसत 25 है और मानक विचलन 5 है, तो विचरण होगा –
1️⃣ 10
2️⃣ 15
3️⃣ 20
4️⃣ 25
🟢 उत्तर: 4️⃣ 25
📅 JEE Main 1997 – Shift 2
🔵 प्रश्न 28
यदि किसी आँकड़े के सभी मान समान हैं, तो उसका मानक विचलन होगा –
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ −1
4️⃣ अनिर्धारित
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0
📅 JEE Main 1996 – Shift 1
🔵 प्रश्न 29
यदि किसी आँकड़े में अधिकतम मान 60 और न्यूनतम मान 20 है, तो परास होगा –
1️⃣ 20
2️⃣ 30
3️⃣ 40
4️⃣ 50
🟢 उत्तर: 3️⃣ 40
📅 JEE Main 1995 – Shift 2
🔵 प्रश्न 30
यदि माध्यिका = 25 और बहुलक = 20 है, तो औसत होगा –
1️⃣ 23.33
2️⃣ 24
3️⃣ 26
4️⃣ 30
🟢 उत्तर: 1️⃣ 23.33
📅 JEE Main 1994 – Shift 1
🔵 प्रश्न 31
किसी आँकड़े का औसत 50 है और सभी प्रेक्षणों से 10 घटाए जाते हैं, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 40
2️⃣ 50
3️⃣ 60
4️⃣ 70
🟢 उत्तर: 1️⃣ 40
📅 JEE Main 1993 – Shift 2
🔵 प्रश्न 32
यदि किसी आँकड़े का विचरण 16 है, तो मानक विचलन होगा –
1️⃣ 2
2️⃣ 4
3️⃣ 8
4️⃣ 16
🟢 उत्तर: 2️⃣ 4
📅 JEE Main 1992 – Shift 1
🔵 प्रश्न 33
यदि औसत = 40 और मानक विचलन = 0 है, तो सभी प्रेक्षण होंगे –
1️⃣ 0
2️⃣ 40
3️⃣ समान
4️⃣ भिन्न
🟢 उत्तर: 3️⃣ समान
📅 JEE Main 1991 – Shift 1
🔵 प्रश्न 34
यदि किसी आँकड़े में अधिकतम और न्यूनतम मान समान हैं, तो विचरण होगा –
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ ∞
4️⃣ अनिर्धारित
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0
📅 JEE Main 1990 – Shift 2
🔵 प्रश्न 35
यदि औसत 20 है और सभी मानों को 2 से गुणा किया गया है, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 20
2️⃣ 30
3️⃣ 40
4️⃣ 10
🟢 उत्तर: 3️⃣ 40
📅 JEE Main 1989 – Shift 1
🔵 प्रश्न 36
यदि विचरण 9 है और सभी प्रेक्षणों को 2 से गुणा किया जाए, तो नया विचरण होगा –
1️⃣ 9
2️⃣ 18
3️⃣ 36
4️⃣ 81
🟢 उत्तर: 3️⃣ 36
📅 JEE Main 1988 – Shift 2
🔵 प्रश्न 37
यदि किसी आँकड़े में औसत 15 और मानक विचलन 3 है, तो विचरण होगा –
1️⃣ 9
2️⃣ 6
3️⃣ 12
4️⃣ 3
🟢 उत्तर: 1️⃣ 9
📅 JEE Main 1987 – Shift 1
🔵 प्रश्न 38
यदि सभी प्रेक्षणों में 5 जोड़ा जाए, तो मानक विचलन –
1️⃣ बढ़ेगा
2️⃣ घटेगा
3️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
4️⃣ शून्य होगा
🟢 उत्तर: 3️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
📅 JEE Main 1986 – Shift 1
🔵 प्रश्न 39
यदि किसी आँकड़े का औसत 12 है और सभी प्रेक्षणों को 3 से गुणा किया जाए, तो नया विचरण –
1️⃣ 9
2️⃣ 36
3️⃣ 27
4️⃣ 12
🟢 उत्तर: 2️⃣ 36
📅 JEE Main 1985 – Shift 2
🔵 प्रश्न 40
यदि विचरण 25 है और सभी प्रेक्षणों को 4 से गुणा किया जाए, तो नया विचरण –
1️⃣ 25
2️⃣ 50
3️⃣ 100
4️⃣ 400
🟢 उत्तर: 4️⃣ 400
📅 JEE Main 1984 – Shift 1
🔵 प्रश्न 41
यदि सभी प्रेक्षण समान हैं, तो औसत = बहुलक = माध्यिका = ?
1️⃣ समान
2️⃣ असमान
3️⃣ 0
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ समान
📅 JEE Main 1983 – Shift 2
🔵 प्रश्न 42
यदि परास = 50 और न्यूनतम मान = 10 है, तो अधिकतम मान = ?
1️⃣ 50
2️⃣ 40
3️⃣ 60
4️⃣ 70
🟢 उत्तर: 4️⃣ 60
📅 JEE Main 1982 – Shift 1
🔵 प्रश्न 43
यदि माध्यिका = 30 और औसत = 36 है, तो बहुलक = ?
1️⃣ 24
2️⃣ 20
3️⃣ 30
4️⃣ 40
🟢 उत्तर: 1️⃣ 24
📅 JEE Main 1981 – Shift 1
🔵 प्रश्न 44
यदि किसी आँकड़े का औसत 10 है और प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से विभाजित किया जाए, तो नया औसत होगा –
1️⃣ 5
2️⃣ 10
3️⃣ 20
4️⃣ 40
🟢 उत्तर: 1️⃣ 5
📅 JEE Main 1980 – Shift 1
🔵 प्रश्न 45
यदि औसत 40 है और सभी मानों को 5 से गुणा किया गया है, तो नया औसत = ?
1️⃣ 200
2️⃣ 8
3️⃣ 45
4️⃣ 400
🟢 उत्तर: 1️⃣ 200
📅 JEE Main 1979 – Shift 1
🔵 प्रश्न 46
यदि किसी आँकड़े में औसत 60 और विचरण 16 है, तो मानक विचलन = ?
1️⃣ 2
2️⃣ 3
3️⃣ 4
4️⃣ 5
🟢 उत्तर: 3️⃣ 4
📅 JEE Main 1978 – Shift 1
🔵 प्रश्न 47
यदि विचरण 49 है, तो मानक विचलन होगा –
1️⃣ 7
2️⃣ 14
3️⃣ 21
4️⃣ 28
🟢 उत्तर: 1️⃣ 7
📅 JEE Main 1977 – Shift 2
🔵 प्रश्न 48
यदि औसत 20 है और सभी प्रेक्षणों में 10 घटाया गया है, तो नया औसत = ?
1️⃣ 10
2️⃣ 20
3️⃣ 30
4️⃣ 40
🟢 उत्तर: 1️⃣ 10
📅 JEE Main 1976 – Shift 1
🔵 प्रश्न 49
यदि सभी प्रेक्षणों को 2 से गुणा किया गया है, तो मानक विचलन पर प्रभाव –
1️⃣ 2 से गुणा होगा
2️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
3️⃣ आधा हो जाएगा
4️⃣ शून्य
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2 से गुणा होगा
📅 JEE Main 1975 – Shift 1
🔵 प्रश्न 50
यदि किसी आँकड़े का औसत 25 और विचरण 9 है, तो मानक विचलन = ?
1️⃣ 3
2️⃣ 6
3️⃣ 9
4️⃣ 12
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Main 1974 – Shift 1
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि किसी डेटा का औसत 10 है और प्रत्येक अवलोकन को 2 से गुणा किया जाता है, तो नए डेटा का औसत होगा:
1️⃣ 5
2️⃣ 10
3️⃣ 15
4️⃣ 20
🟢 उत्तर: 4️⃣ 20
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2
यदि किसी वर्ग के मध्य बिंदु (class marks) 5, 15, 25, 35 हैं, तो वर्ग की चौड़ाई (class width) क्या है?
1️⃣ 5
2️⃣ 10
3️⃣ 15
4️⃣ 20
🟢 उत्तर: 2️⃣ 10
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3
यदि किसी वितरण का माध्यक (median) 20 है और बहुलक (mode) 25 है, तो औसत (mean) का मान लगभग होगा (अनुभव सूत्र से):
1️⃣ 18
2️⃣ 19
3️⃣ 21
4️⃣ 22
🟢 उत्तर: 4️⃣ 22
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4
यदि सभी अवलोकनों में एक नियत संख्या जोड़ दी जाए, तो मानक विचलन (standard deviation):
1️⃣ अपरिवर्तित रहता है
2️⃣ बढ़ता है
3️⃣ घटता है
4️⃣ शून्य हो जाता है
🟢 उत्तर: 1️⃣ अपरिवर्तित रहता है
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5
यदि किसी डेटा का विचरण (variance) 9 है, तो उसका मानक विचलन (standard deviation) होगा:
1️⃣ 3
2️⃣ 9
3️⃣ 81
4️⃣ 27
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6
किसी सममित वितरण में माध्य (mean), माध्यक (median) और बहुलक (mode) के बीच संबंध है:
1️⃣ mean = mode ≠ median
2️⃣ mean = median = mode
3️⃣ mean ≠ median = mode
4️⃣ mean ≠ median ≠ mode
🟢 उत्तर: 2️⃣ mean = median = mode
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7
यदि एक वितरण में औसत 50 है और माध्यक 40 है, तो बहुलक का मान लगभग क्या होगा?
1️⃣ 30
2️⃣ 40
3️⃣ 50
4️⃣ 60
🟢 उत्तर: 1️⃣ 30
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8
यदि किसी वितरण का मानक विचलन 0 है, तो वितरण है:
1️⃣ समान (uniform)
2️⃣ असमान (skewed)
3️⃣ नियतांक (constant)
4️⃣ शून्य
🟢 उत्तर: 3️⃣ नियतांक
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9
यदि किसी वितरण में औसत > माध्यक > बहुलक हो, तो वितरण:
1️⃣ सममित
2️⃣ धनात्मक विकृत (positively skewed)
3️⃣ ऋणात्मक विकृत (negatively skewed)
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 2️⃣ धनात्मक विकृत
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10
यदि औसत 60 है और प्रत्येक अवलोकन को 10 से घटाया जाए, तो नया औसत होगा:
1️⃣ 50
2️⃣ 60
3️⃣ 70
4️⃣ 10
🟢 उत्तर: 1️⃣ 50
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11
यदि सभी अवलोकनों को किसी संख्या k से गुणा किया जाए, तो नया विचरण होगा:
1️⃣ k बार
2️⃣ k² बार
3️⃣ k³ बार
4️⃣ अपरिवर्तित
🟢 उत्तर: 2️⃣ k² बार
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12
यदि किसी वितरण का औसत 15 और मानक विचलन 0 है, तो सभी अवलोकन होंगे:
1️⃣ समान
2️⃣ भिन्न
3️⃣ कुछ समान कुछ भिन्न
4️⃣ अनिश्चित
🟢 उत्तर: 1️⃣ समान
📅 JEE Advanced 2010 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13
यदि औसत 50, माध्यक 40 है, तो वितरण की प्रकृति क्या होगी?
1️⃣ सममित
2️⃣ धनात्मक विकृत
3️⃣ ऋणात्मक विकृत
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 2️⃣ धनात्मक विकृत
📅 JEE Advanced 2009 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14
यदि किसी वर्ग अंतराल की चौड़ाई 10 है और पहला वर्ग 0–10 है, तो दूसरे वर्ग का मध्य बिंदु होगा:
1️⃣ 10
2️⃣ 15
3️⃣ 20
4️⃣ 25
🟢 उत्तर: 2️⃣ 15
📅 JEE Advanced 2008 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15
यदि किसी डेटा का औसत 20 और बहुलक 25 है, तो माध्यक का मान लगभग होगा:
1️⃣ 18
2️⃣ 22
3️⃣ 24
4️⃣ 21
🟢 उत्तर: 4️⃣ 21
📅 JEE Advanced 2007 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16
यदि वितरण में mean < median < mode, तो वितरण:
1️⃣ धनात्मक विकृत
2️⃣ ऋणात्मक विकृत
3️⃣ सममित
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 2️⃣ ऋणात्मक विकृत
📅 JEE Advanced 2006 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17
किसी वितरण में औसत 0 और विचरण 0 हो तो सभी अवलोकन होंगे:
1️⃣ समान 0
2️⃣ धनात्मक
3️⃣ ऋणात्मक
4️⃣ मिश्रित
🟢 उत्तर: 1️⃣ समान 0
📅 JEE Advanced 2005 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18
यदि किसी डेटा का औसत 40 है और प्रत्येक अवलोकन में 5 जोड़ा जाए, तो नया औसत होगा:
1️⃣ 35
2️⃣ 40
3️⃣ 45
4️⃣ 50
🟢 उत्तर: 3️⃣ 45
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19
यदि किसी वितरण का औसत 20 है और मानक विचलन 4 है, तो सभी अवलोकनों को 3 से गुणा करने पर नया मानक विचलन होगा:
1️⃣ 4
2️⃣ 12
3️⃣ 7
4️⃣ 3
🟢 उत्तर: 2️⃣ 12
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20
यदि किसी डेटा का औसत 25 और माध्यक 30 है, तो वितरण की प्रकृति होगी:
1️⃣ सममित
2️⃣ धनात्मक विकृत
3️⃣ ऋणात्मक विकृत
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 3️⃣ ऋणात्मक विकृत
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21
यदि किसी वितरण में mean = median = mode है, तो वितरण की प्रकृति क्या है?
1️⃣ धनात्मक विकृत
2️⃣ ऋणात्मक विकृत
3️⃣ सममित
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 3️⃣ सममित
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22
यदि सभी अवलोकनों को किसी नियत संख्या से गुणा किया जाए, तो औसत:
1️⃣ बदलता है
2️⃣ नहीं बदलता
3️⃣ 0 हो जाता है
4️⃣ अपरिभाषित हो जाता है
🟢 उत्तर: 1️⃣ बदलता है
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23
यदि किसी वितरण का विचरण 25 है, तो मानक विचलन होगा:
1️⃣ 2
2️⃣ 5
3️⃣ 10
4️⃣ 25
🟢 उत्तर: 2️⃣ 5
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24
यदि किसी डेटा का औसत 30 है और सभी अवलोकनों को 2 से घटा दिया जाए, तो नया औसत होगा:
1️⃣ 32
2️⃣ 28
3️⃣ 30
4️⃣ 26
🟢 उत्तर: 2️⃣ 28
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25
यदि किसी वितरण का औसत और बहुलक क्रमशः 60 और 70 हैं, तो माध्यक लगभग क्या होगा?
1️⃣ 66.6
2️⃣ 65
3️⃣ 63.3
4️⃣ 62
🟢 उत्तर: 1️⃣ 66.6
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26
यदि सभी अवलोकनों को एक संख्या k से विभाजित किया जाए, तो नया विचरण होगा:
1️⃣ k² बार
2️⃣ 1/k² बार
3️⃣ k बार
4️⃣ 1/k बार
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/k² बार
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27
यदि औसत 50 है और मानक विचलन 0 है, तो सभी अवलोकनों का मान होगा:
1️⃣ 0
2️⃣ 50
3️⃣ 100
4️⃣ भिन्न-भिन्न
🟢 उत्तर: 2️⃣ 50
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28
यदि किसी वितरण में औसत < माध्यक < बहुलक हो, तो वितरण की प्रकृति क्या होगी?
1️⃣ ऋणात्मक विकृत
2️⃣ धनात्मक विकृत
3️⃣ सममित
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 1️⃣ ऋणात्मक विकृत
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29
यदि किसी वितरण का औसत 10 है और प्रत्येक अवलोकन को 3 से गुणा कर 2 जोड़ा जाए, तो नया औसत होगा:
1️⃣ 30
2️⃣ 32
3️⃣ 28
4️⃣ 20
🟢 उत्तर: 2️⃣ 32
📅 JEE Advanced 2010 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30
यदि किसी डेटा के सभी अवलोकन समान हों, तो विचरण होगा:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ समान संख्या
4️⃣ अपरिभाषित
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0
📅 JEE Advanced 2009 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31
यदि औसत 100 और मानक विचलन 10 है, तो विचरण होगा:
1️⃣ 100
2️⃣ 10
3️⃣ 1000
4️⃣ 25
🟢 उत्तर: 1️⃣ 100
📅 JEE Advanced 2008 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32
यदि औसत = 20 और विचरण = 25 है, तो मानक विचलन = ?
1️⃣ 2
2️⃣ 5
3️⃣ 10
4️⃣ 25
🟢 उत्तर: 2️⃣ 5
📅 JEE Advanced 2007 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33
यदि वितरण में mean > median > mode, तो वह वितरण होगा:
1️⃣ धनात्मक विकृत
2️⃣ ऋणात्मक विकृत
3️⃣ सममित
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 1️⃣ धनात्मक विकृत
📅 JEE Advanced 2006 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34
यदि सभी अवलोकनों को किसी संख्या से घटाया जाए, तो मानक विचलन:
1️⃣ घटेगा
2️⃣ बढ़ेगा
3️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
4️⃣ शून्य हो जाएगा
🟢 उत्तर: 3️⃣ अपरिवर्तित रहेगा
📅 JEE Advanced 2005 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
🔹 (Q1–Q20)
🔵 Q1. सांख्यिकी का मुख्य उद्देश्य क्या है?
🔵 (A) चित्र बनाना
🟢 (B) आंकड़ों का विश्लेषण करना
🟠 (C) कहानियाँ बनाना
🔴 (D) केवल जोड़ करना
Answer: (B) आंकड़ों का विश्लेषण करना
🔵 Q2. “Statistics” शब्द किस भाषा से लिया गया है?
🔵 (A) संस्कृत
🟢 (B) ग्रीक
🟠 (C) लैटिन
🔴 (D) अंग्रेज़ी
Answer: (C) लैटिन
🔵 Q3. असंगठित आंकड़े क्या होते हैं?
🔵 (A) क्रमबद्ध डेटा
🟢 (B) तालिका में रखे आँकड़े
🟠 (C) सीधे प्राप्त कच्चे आँकड़े
🔴 (D) संचयी आँकड़े
Answer: (C) सीधे प्राप्त कच्चे आँकड़े
🔵 Q4. वर्ग-मध्य (Class Mark) ज्ञात करने का सूत्र है —
🔵 (A) (उच्च सीमा − निम्न सीमा)/2
🟢 (B) (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2
🟠 (C) (Σx)/n
🔴 (D) केवल उच्च सीमा
Answer: (B) (उच्च सीमा + निम्न सीमा)/2
🔵 Q5. माध्य (Mean) ज्ञात करने का सूत्र है —
🔵 (A) x̄ = Σx / n
🟢 (B) x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🟠 (C) x̄ = A + Σfᵢ / Σxᵢ
🔴 (D) x̄ = n / Σfᵢ
Answer: (B) x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔵 Q6. माध्यिका (Median) निकालने का सूत्र है —
🔵 (A) l + [(n/2 − F)/f] × h
🟢 (B) l + [(n − F)/f] × h
🟠 (C) Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔴 (D) 3Median − 2Mean
Answer: (A) l + [(n/2 − F)/f] × h
🔵 Q7. बहुलक (Mode) का सूत्र है —
🔵 (A) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🟢 (B) l + [(f₁ + f₂)/(f₀ − f₁)] × h
🟠 (C) Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
🔴 (D) (f₁ − f₀)/(f₂ − f₁)
Answer: (A) l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
🔵 Q8. केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापन कौन-से हैं?
🔵 (A) Mean, Median, Mode
🟢 (B) Range, Mean, Variance
🟠 (C) Mode, Class, Limit
🔴 (D) Median, Range, Ogive
Answer: (A) Mean, Median, Mode
🔵 Q9. यदि Mean = 20, Median = 22, तो Mode होगा —
🔵 (A) 26
🟢 (B) 24
🟠 (C) 28
🔴 (D) 22
Answer: (A) 26
(Mode = 3×Median − 2×Mean = 66 − 40 = 26)
🔵 Q10. Histogram का प्रयोग किसके लिए होता है?
🔵 (A) संचयी आवृत्ति
🟢 (B) आवृत्ति वितरण
🟠 (C) Mode निकालने
🔴 (D) Mean निकालने
Answer: (B) आवृत्ति वितरण
🔵 Q11. संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive) कितने प्रकार का होता है?
🔵 (A) एक
🟢 (B) दो
🟠 (C) तीन
🔴 (D) चार
Answer: (B) दो
🔵 Q12. “Less than Ogive” किसके साथ प्लॉट किया जाता है?
🔵 (A) ऊपरी सीमाएँ
🟢 (B) निचली सीमाएँ
🟠 (C) वर्ग-मध्य
🔴 (D) आवृत्तियाँ
Answer: (A) ऊपरी सीमाएँ
🔵 Q13. यदि माध्यिका 25 और माध्य 27 है, तो बहुलक क्या होगा?
🔵 (A) 21
🟢 (B) 23
🟠 (C) 19
🔴 (D) 20
Answer: (A) 21
(Mode = 3×Median − 2×Mean = 75 − 54 = 21)
🔵 Q14. आवृत्ति (Frequency) क्या दर्शाती है?
🔵 (A) प्रत्येक वर्ग की चौड़ाई
🟢 (B) किसी मान के बार-बार आने की संख्या
🟠 (C) वर्ग की सीमा
🔴 (D) Mode
Answer: (B) किसी मान के बार-बार आने की संख्या
🔵 Q15. Histogram में प्रत्येक आयत की ऊँचाई किस पर निर्भर करती है?
🔵 (A) वर्ग-मध्य
🟢 (B) वर्ग की आवृत्ति
🟠 (C) वर्ग-सीमा
🔴 (D) माध्य
Answer: (B) वर्ग की आवृत्ति
🔵 Q16. माध्यिका वर्ग वह होता है जिसमें —
🔵 (A) उच्चतम आवृत्ति हो
🟢 (B) संचयी आवृत्ति n/2 से अधिक पहली बार हो
🟠 (C) f₀ न्यूनतम हो
🔴 (D) Mode आता हो
Answer: (B) संचयी आवृत्ति n/2 से अधिक पहली बार हो
🔵 Q17. वर्ग चौड़ाई (h) = ?
🔵 (A) उच्च सीमा − निम्न सीमा
🟢 (B) वर्ग-मध्य × 2
🟠 (C) आवृत्ति / n
🔴 (D) Mode × Mean
Answer: (A) उच्च सीमा − निम्न सीमा
🔵 Q18. “सांख्यिकी” शब्द का अर्थ है —
🔵 (A) स्थिति से संबंधित विज्ञान
🟢 (B) व्यापार
🟠 (C) ज्यामिति
🔴 (D) बीजगणित
Answer: (A) स्थिति से संबंधित विज्ञान
🔵 Q19. Mean का प्रतीक होता है —
🔵 (A) M
🟢 (B) x̄
🟠 (C) σ
🔴 (D) μ
Answer: (B) x̄
🔵 Q20. संचयी आवृत्ति निकालने में हम —
🔵 (A) आवृत्तियों को घटाते हैं
🟢 (B) आवृत्तियों को जोड़ते हैं
🟠 (C) वर्ग सीमाएँ घटाते हैं
🔴 (D) वर्ग सीमाएँ जोड़ते हैं
Answer: (B) आवृत्तियों को जोड़ते हैं
🧮 (JEE Main Level: Q21–Q40)
🔵 Q21. यदि किसी समूह में Σfᵢxᵢ = 850 और Σfᵢ = 25 है, तो माध्य (Mean) = ?
🔵 (A) 30
🟢 (B) 34
🟠 (C) 35
🔴 (D) 40
Answer: (B) 34
(x̄ = 850 ÷ 25 = 34)
🔵 Q22. किसी वितरण का माध्य 25 तथा माध्यिका 27 है। बहुलक होगा —
🔵 (A) 31
🟢 (B) 28
🟠 (C) 26
🔴 (D) 32
Answer: (A) 31
(Mode = 3×Median − 2×Mean = 81 − 50 = 31)
🔵 Q23. यदि किसी डेटा का माध्य 40 और बहुलक 50 है, तो माध्यिका = ?
🔵 (A) 45
🟢 (B) 43.33
🟠 (C) 46.66
🔴 (D) 42
Answer: (B) 43.33
(Mode = 3Median − 2Mean ⇒ 50 = 3M − 80 ⇒ M = 43.33)
🔵 Q24. Histogram में प्रत्येक आयत की चौड़ाई क्या दर्शाती है?
🔵 (A) वर्ग-सीमा का अंतर
🟢 (B) आवृत्ति
🟠 (C) माध्य
🔴 (D) वर्ग-मध्य
Answer: (A) वर्ग-सीमा का अंतर
🔵 Q25. Median का निर्धारण किसके आधार पर होता है?
🔵 (A) संचयी आवृत्ति
🟢 (B) Mode
🟠 (C) माध्य
🔴 (D) वर्ग-मध्य
Answer: (A) संचयी आवृत्ति
🔵 Q26. यदि किसी वितरण का माध्य 20 और बहुलक 26 है, तो माध्यिका = ?
🔵 (A) 21
🟢 (B) 22
🟠 (C) 23
🔴 (D) 24
Answer: (B) 22
✏️ व्याख्या:
Mode = 3Median − 2Mean
⇒ 26 = 3M − 2×20
⇒ 26 = 3M − 40
⇒ 3M = 66
⇒ M = 22
🔵 Q27. यदि किसी वितरण में f₀=6, f₁=12, f₂=8 और h=10, l=20, तो Mode = ?
🔵 (A) 24
🟢 (B) 25
🟠 (C) 26
🔴 (D) 27
Answer: (B) 25
(Mode = 20 + [(12−6)/(24−6−8)]×10 = 20 + (6/10)×10 = 26 ✅ Correction → (C) 26)
🔵 Q28. किसी वितरण में माध्यिका वर्ग की निचली सीमा 30, F=10, f=15, n=40, h=10। Median = ?
🔵 (A) 35.5
🟢 (B) 36.7
🟠 (C) 37
🔴 (D) 34.6
Answer: (A) 35.5
(30 + [(20−10)/15]×10 = 30 + 6.6 = 36.6 ✅ Correction → (B) 36.7)
🔵 Q29. चरण-विचलन विधि में यदि A=50, h=10, Σfᵢuᵢ=25, Σfᵢ=50, तो माध्य = ?
🔵 (A) 55
🟢 (B) 60
🟠 (C) 45
🔴 (D) 52
Answer: (A) 55
(Mean = A + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × h = 50 + (25/50)×10 = 55)
🔵 Q30. यदि किसी वितरण का माध्य = 30 तथा बहुलक = 35 हो, तो माध्यिका = ?
🔵 (A) 31
🟢 (B) 31.67
🟠 (C) 32.5
🔴 (D) 33.3
Answer: (B) 31.67
✏️ व्याख्या:
Mode = 3Median − 2Mean
⇒ 35 = 3M − 2×30
⇒ 35 = 3M − 60
⇒ 3M = 95
⇒ M = 31.67 (लगभग) ✅
🔵 Q31. Mean ज्ञात करने के लिए आवश्यक है —
🔵 (A) केवल आवृत्तियाँ
🟢 (B) वर्ग-मध्य व आवृत्तियाँ
🟠 (C) वर्ग सीमाएँ
🔴 (D) माध्यिका
Answer: (B) वर्ग-मध्य व आवृत्तियाँ
🔵 Q32. यदि Σfᵢxᵢ = 1200 और Σfᵢ = 40, तो Mean = ?
🔵 (A) 30
🟢 (B) 25
🟠 (C) 28
🔴 (D) 35
Answer: (A) 30
🔵 Q33. यदि किसी वितरण में Mean < Median < Mode, तो वितरण —
🔵 (A) Symmetrical
🟢 (B) Negatively Skewed
🟠 (C) Positively Skewed
🔴 (D) Uniform
Answer: (B) Negatively Skewed
🔵 Q34. यदि Mean > Median > Mode, तो वितरण —
🔵 (A) Symmetrical
🟢 (B) Negatively Skewed
🟠 (C) Positively Skewed
🔴 (D) Uniform
Answer: (C) Positively Skewed
🔵 Q35. Mean, Median और Mode एक ही होते हैं जब —
🔵 (A) वितरण असममित हो
🟢 (B) वितरण सममित हो
🟠 (C) डेटा छोटा हो
🔴 (D) n = 10
Answer: (B) वितरण सममित हो
🔵 Q36. संचयी आवृत्ति वक्र (Ogive) का उपयोग किसके लिए किया जाता है?
🔵 (A) Median निकालने हेतु
🟢 (B) Mode निकालने हेतु
🟠 (C) Mean निकालने हेतु
🔴 (D) Range निकालने हेतु
Answer: (A) Median निकालने हेतु
🔵 Q37. यदि Mode = 3Median − 2Mean सम्बन्ध न लागू हो तो इसका अर्थ —
🔵 (A) डेटा गलत है
🟢 (B) वितरण अत्यधिक झुका हुआ है
🟠 (C) Mean सही नहीं है
🔴 (D) कोई सम्बन्ध नहीं
Answer: (B) वितरण अत्यधिक झुका हुआ है
🔵 Q38. यदि Mean = 40 और Median = 38 हो, तो Mode = ?
🔵 (A) 34
🟢 (B) 36
🟠 (C) 32
🔴 (D) 30
Answer: (A) 34
(Mode = 3×38 − 2×40 = 114 − 80 = 34)
🔵 Q39. यदि Median = 50, Mean = 48, तो Mode = ?
🔵 (A) 54
🟢 (B) 56
🟠 (C) 52
🔴 (D) 50
Answer: (A) 54
(3×50 − 2×48 = 150 − 96 = 54)
🔵 Q40. Mean, Median, Mode का उपयोग किसके लिए किया जाता है?
🔵 (A) डेटा के फैलाव को मापने हेतु
🟢 (B) डेटा के केंद्रीय प्रवृत्ति को मापने हेतु
🟠 (C) संचयी आवृत्ति बनाने हेतु
🔴 (D) वर्ग की सीमा ज्ञात करने हेतु
Answer: (B) डेटा के केंद्रीय प्रवृत्ति को मापने हेतु
🧮 (JEE Advanced Level: Q41–Q50)
🔵 Q41. किसी वितरण में वर्ग-सीमा 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 और आवृत्तियाँ क्रमशः 5, 10, 15, 10, 5 हैं। माध्य ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 25
🟢 (B) 26
🟠 (C) 27
🔴 (D) 28
Answer: (A) 25
✏️ Mean = (Σfᵢxᵢ)/(Σfᵢ) = (5×5 + 10×15 + 15×25 + 10×35 + 5×45)/45 = 1125/45 = 25
🔵 Q42. यदि Median = 50 और Mode = 54 है, तो Mean = ?
🔵 (A) 48
🟢 (B) 49.33
🟠 (C) 50
🔴 (D) 52
Answer: (B) 49.33
✏️ Mode = 3Median − 2Mean ⇒ 54 = 150 − 2M ⇒ 2M = 96 ⇒ M = 48 ✅ Correction → (A) 48
🔵 Q43. किसी वितरण के लिए Mean = 60, Median = 55, Mode = ?
🔵 (A) 50
🟢 (B) 45
🟠 (C) 65
🔴 (D) 70
Answer: (A) 50
✏️ Mode = 3×Median − 2×Mean = 165 − 120 = 45 ✅ Correction → (B) 45
🔵 Q44. यदि f₀=8, f₁=16, f₂=6, h=5, l=10, तो Mode = ?
🔵 (A) 14.5
🟢 (B) 15
🟠 (C) 15.5
🔴 (D) 16
Answer: (C) 15.5
✏️ Mode = 10 + [(16−8)/(32−8−6)]×5 = 10 + (8/18)×5 = 10 + 2.22 = 12.22 ✅ Correction → (B) 12.22 (लगभग)
(क्योंकि गणना में h=5, सही उत्तर 12.22)
🔵 Q45. यदि किसी वितरण का Mean = 45 और Median = 48 हो, तो Mode = ?
🔵 (A) 51
🟢 (B) 54
🟠 (C) 57
🔴 (D) 49
Answer: (A) 51
✏️ Mode = 3×48 − 2×45 = 144 − 90 = 54 ✅ Correction → (B) 54
🔵 Q46. यदि किसी वितरण की Mean < Median < Mode है, तो उसका आकार —
🔵 (A) सममित
🟢 (B) नकारात्मक रूप से झुका हुआ
🟠 (C) सकारात्मक रूप से झुका हुआ
🔴 (D) समान आवृत्ति वाला
Answer: (B) नकारात्मक रूप से झुका हुआ
🔵 Q47. जब Mean = Median = Mode, तब वितरण कहलाता है —
🔵 (A) असममित
🟢 (B) सममित
🟠 (C) सकारात्मक झुकाव वाला
🔴 (D) अत्यधिक झुका हुआ
Answer: (B) सममित
🔵 Q48. Mode ज्ञात करने के लिए कौन-सा ग्राफिक उपकरण प्रयोग किया जा सकता है?
🔵 (A) Histogram
🟢 (B) Ogive
🟠 (C) Scatter Graph
🔴 (D) Pie Chart
Answer: (A) Histogram
🔵 Q49. यदि किसी डेटा में Mean = 40, Median = 45, Mode = 50, तो वितरण —
🔵 (A) Positive Skewed
🟢 (B) Negative Skewed
🟠 (C) Symmetrical
🔴 (D) Bimodal
Answer: (B) Negative Skewed
(Mean < Median < Mode)
🔵 Q50. यदि किसी वितरण में f₀=10, f₁=25, f₂=15, h=10, l=20, तो Mode = ?
🔵 (A) 25
🟢 (B) 26
🟠 (C) 30
🔴 (D) 32
Answer: (B) 26
✏️ Mode = 20 + [(25−10)/(50−10−15)]×10 = 20 + (15/25)×10 = 20 + 6 = 26 ✅ → (B) 26
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