Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 12. सीमा और अवकलज

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

1️⃣ सीमा (Limit) का परिचय
🔵 किसी फलन f(x) का x → a पर सीमा, यदि x को a के बहुत निकट पहुँचाया जाए, तो f(x) का मान किसी निश्चित संख्या L के पास पहुँचता है, तो कहते हैं:
limₓ→a f(x) = L
🔹 उदाहरण: f(x) = x², x → 2
limₓ→2 x² = 4
💡 Concept: सीमा केवल तब अस्तित्व में होती है यदि बाएँ और दाएँ दोनों सीमाएँ समान हों।

2️⃣ बाएँ और दाएँ सीमाएँ
🔵 दाएँ सीमा (Right-hand limit): x → a⁺
limₓ→a⁺ f(x)
🔵 बाएँ सीमा (Left-hand limit): x → a⁻
limₓ→a⁻ f(x)
✔️ शर्त: सीमा मौजूद तभी होती है जब
limₓ→a⁻ f(x) = limₓ→a⁺ f(x)

3️⃣ सीमा के कुछ सामान्य सूत्र
🔵 limₓ→a [f(x) ± g(x)] = limₓ→a f(x) ± limₓ→a g(x)
🔵 limₓ→a [f(x) * g(x)] = limₓ→a f(x) * limₓ→a g(x)
🔵 limₓ→a [f(x)/g(x)] = limₓ→a f(x) / limₓ→a g(x), यदि limₓ→a g(x) ≠ 0
✏️ Note: ये नियम जटिल सीमा समस्याओं में प्रयोग होते हैं।

4️⃣ अवकलज (Derivative) का परिचय
🔵 किसी फलन f(x) का अवकलज f'(x) x के किसी बिन्दु a पर, f(x) की छोटे परिवर्तन Δx पर फलन में परिवर्तन Δy का अनुपात है जब Δx → 0:
f'(a) = lim Δx→0 [(f(a + Δx) − f(a))/Δx]
💡 Concept: अवकलज किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल (slope) देता है।

5️⃣ अवकलज के कुछ मुख्य नियम
🔵 शक्ति नियम: d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
🔵 योग/अन्तर नियम: (f ± g)’ = f’ ± g’
🔵 गुणन नियम: (f * g)’ = f’ * g + f * g’
🔵 भाग नियम: (f/g)’ = (f’ g − f g’) / g²

6️⃣ व्यावहारिक उदाहरण
🔹 उदाहरण 1 (सीमा):
f(x) = (x² − 4)/(x−2), x → 2
limₓ→2 [(x² − 4)/(x−2)] = limₓ→2 [(x−2)(x+2)/(x−2)] = limₓ→2 (x+2) = 4
🔹 उदाहरण 2 (अवकलज):
f(x) = x², f'(x) = ?
f'(x) = lim Δx→0 [(x + Δx)² − x²]/Δx = lim Δx→0 [2x Δx + (Δx)²]/Δx = 2x

7️⃣ सीमाएँ और अवकलज का व्यावहारिक उपयोग
🔵 गति का अवकलज → किसी बिन्दु पर क्षणिक वेग
🔵 ढाल का अवकलज → स्पर्श रेखा की ढाल
🔵 सीमा → असीमित प्रक्रियाओं, गणितीय और भौतिक समस्याओं में

Summary Section (~300 words)
🔹 सीमा = किसी बिन्दु पर फलन के मान का निर्धारण जब x उस बिन्दु के निकट पहुँचता है।
🔹 बाएँ और दाएँ सीमा समान होनी चाहिए
🔹 सीमा सूत्र: योग, अंतर, गुणा, भाग
🔹 अवकलज = किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढाल
🔹 अवकलज नियम: शक्ति, योग/अन्तर, गुणा, भाग
🔹 उदाहरण: f(x) = (x²−4)/(x−2), f(x) = x²
🔹 व्यावहारिक उपयोग: गति, ढाल, गणितीय मॉडलिंग

Quick Recap
📝 Quick Recap:
🔹 सीमा = limₓ→a f(x)
🔹 बाएँ और दाएँ सीमा समान होनी चाहिए
🔹 अवकलज = स्पर्श रेखा की ढाल
🔹 अवकलज नियम: शक्ति, योग/अन्तर, गुणा, भाग
🔹 व्यावहारिक उदाहरण और गति/ढाल में उपयोग

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पाठ्यपुस्त के प्रश्न

🔹प्रश्नावली 12.1

🔹 प्रश्न 1:
limₓ→3 (x + 3)
✏️ उत्तर:
x = 3 रखने पर,
= 3 + 3 = 6
➡️ उत्तर: 6

🔹 प्रश्न 2:
limₓ→π (x − 22/7)
✏️ उत्तर:
x = π रखने पर,
= π − 22/7
➡️ उत्तर: π − 22/7

🔹 प्रश्न 3:
limₓ→1 (πx²)
✏️ उत्तर:
x = 1 रखने पर,
= π(1)² = π
➡️ उत्तर: π

🔹 प्रश्न 4:
limₓ→4 (4x + 3) / (x − 2)
✏️ उत्तर:
x = 4 रखने पर,
= (4×4 + 3) / (4 − 2)
= (16 + 3) / 2
= 19 / 2
➡️ उत्तर: 19/2

🔹 प्रश्न 5:
limₓ→1 (x¹⁰ + x⁵ + 1) / (x − 1)
✏️ उत्तर:
x = 1 रखने पर 0/0 रूप प्राप्त होता है।
अब L’Hôpital नियम लगाएँ या विभाजन करें:
समानांतर रूप से अवकलन करें —
= limₓ→1 [(10x⁹ + 5x⁴) / 1]
= 10(1)⁹ + 5(1)⁴ = 10 + 5 = 15
➡️ उत्तर: 15

🔹 प्रश्न 6:
limₓ→0 ((x + 1)⁵ − 1) / x
✏️ उत्तर:
यह रूप (aⁿ − 1) / (a − 1) जैसा है।
इसका परिणाम = n(1)⁴ = 5
➡️ उत्तर: 5

🔹 प्रश्न 7:
limₓ→2 (3x² − x − 10) / (x² − 4)
✏️ उत्तर:
x = 2 रखने पर 0/0 रूप।
अब गुणनखंड करें:
हर: x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
अंश: 3x² − x − 10 = (3x + 5)(x − 2)
अब,
= limₓ→2 [(3x + 5)(x − 2)] / [(x − 2)(x + 2)]
(x − 2) रद्द हो जाएगा।
= limₓ→2 (3x + 5) / (x + 2)
= (3×2 + 5) / (2 + 2) = 11 / 4
➡️ उत्तर: 11/4

🔹 प्रश्न 8:
limₓ→3 (x⁴ − 81) / (2x² − 5x − 3)
✏️ उत्तर:
x = 3 रखने पर 0/0 रूप।
अब गुणनखंड करें:
x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9)
2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3)
अब,
= limₓ→3 [(x + 3)(x² + 9)] / (2x + 1)
x = 3 रखने पर,
= (6)(9 + 9) / (7) = (6×18)/7 = 108/7
➡️ उत्तर: 108/7

🔹 प्रश्न 9:
limₓ→0 (ax + b) / (cx + 1)
✏️ उत्तर:
x = 0 रखने पर,
= (a×0 + b) / (c×0 + 1) = b / 1 = b
➡️ उत्तर: b

🔵 प्रश्न 10: lim_{z→1} ( z^{1/3} − 1 ) / ( z^{1/6} − 1)
✏️ हल: t = z^{1/6} ⇒ z = t^6, z→1 ⇒ t→1
⇒ (t^2 − 1)/(t − 1) = (t − 1)(t + 1)/(t − 1) = t + 1 → 2
✔️ उत्तर: 2

🟢 प्रश्न 11: lim_{x→1} (a x² + b x + c)/(c x² + b x + a), जहाँ a + b + c ≠ 0
✏️ हल: प्रत्यक्ष मान-प्रतिस्थापन: (a+b+c)/(c+b+a) = 1
✔️ उत्तर: 1

🟡 प्रश्न 12: lim_{x→−2} ( 1/x + 1/2 ) / ( x + 2 )
✏️ हल: अंश = (2 + x)/(2x); अतः भिन्न = [(x+2)/(2x)] /(x+2) = 1/(2x)
x→−2 ⇒ 1/(2·(−2)) = −1/4
✔️ उत्तर: −1/4

🔴 प्रश्न 13: lim_{x→0} ( sin(a x) )/( b x )
✏️ हल: sin(ax)/(ax) → 1 ⇒ परिणाम = a/b
✔️ उत्तर: a/b

🔵 प्रश्न 14: lim_{x→0} ( sin(a x) )/( sin(b x) ), a,b ≠ 0
✏️ हल: sin(ax)/(ax) ÷ [sin(bx)/(bx)] ⇒ (a/b)
✔️ उत्तर: a/b

🟢 प्रश्न 15: lim_{x→π} [ sin(π − x) ] / [ π(π − x) ]
✏️ हल: h = π − x → 0 ⇒ अभिव्यक्ति = sin h /(π h) → 1/π
✔️ उत्तर: 1/π

🟡 प्रश्न 16: lim_{x→0} ( cos x ) / ( π − x )
✏️ हल: प्रत्यक्ष मान-प्रतिस्थापन ⇒ cos0/(π−0) = 1/π
✔️ उत्तर: 1/π

🔴 प्रश्न 17: lim_{x→0} ( cos 2x − 1 ) / ( cos x − 1 )
✏️ हल: cos2x − 1 = −2 sin²x, cos x − 1 = −2 sin²(x/2)
⇒ अनुपात = sin²x / sin²(x/2) → (x²)/(x²/4) = 4
✔️ उत्तर: 4

🔵 प्रश्न 18:
limₓ→0 (a x + x cosx) / (b sinx)
✏️ हल:
अंश = x(a + cosx), हर = b sinx
= (x(a + cosx)) / (b sinx)
⇒ (a + cosx)/b × (x/sinx)
x→0 ⇒ cosx = 1, sinx ≈ x
= (a + 1)/b × 1 = (a + 1)/b
✔️ उत्तर: (a + 1)/b

🟢 प्रश्न 19:
limₓ→0 (x secx)
✏️ हल:
x = 0 रखने पर → 0 × 1 = 0
✔️ उत्तर: 0

🟡 प्रश्न 20:
limₓ→0 (sin(ax) + b x) / (a x + sin(bx)) , जहाँ a,b,a+b ≠ 0
✏️ हल:
sin(ax) ≈ a x, sin(bx) ≈ b x
अतः = (a x + b x)/(a x + b x) = 1
✔️ उत्तर: 1

🔴 प्रश्न 21:
limₓ→0 (cosec x − cot x)
✏️ हल:
cosec x − cot x = (1/sinx − cosx/sinx) = (1−cosx)/sinx
= [2sin²(x/2)] / [2sin(x/2)cos(x/2)]
= tan(x/2)
x→0 ⇒ tan(x/2) → 0
✔️ उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 22:
limₓ→π/2 (tan 2x) / (x − π/2)
✏️ हल:
x = π/2 + h, जहाँ h→0
⇒ tan(2x) = tan(π + 2h) = tan(2h)
अतः सीमा = lim_{h→0} tan(2h)/h = 2 lim_{h→0} (tan(2h)/(2h)) = 2
✔️ उत्तर: 2

🟢 प्रश्न 23:
limₓ→0 f(x) और limₓ→1 f(x) ज्ञात कीजिए, जहाँ
f(x) = {
 2x + 3, x ≤ 0
 3(x + 1), x > 0
}
✏️ हल:
➡️ जब x→0⁻ :
f(x) = 2x + 3 ⇒ f(0⁻) = 3
➡️ जब x→0⁺ :
f(x) = 3(x + 1) ⇒ f(0⁺) = 3(1) = 3
∴ limₓ→0 f(x) = 3

अब,
➡️ जब x→1⁻ :
f(x) = 3(x + 1) ⇒ f(1⁻) = 3(2) = 6
➡️ जब x→1⁺ :
f(x) = 3(x + 1) ⇒ f(1⁺) = 6
∴ limₓ→1 f(x) = 6
✔️ उत्तर:
limₓ→0 f(x) = 3
limₓ→1 f(x) = 6

🔵 प्रश्न 24: limₓ→1 f(x), जहाँ
f(x) = { x² − 1, x ≤ 1 ; −x² − 1, x > 1 }
✏️ हल:
LHL = limₓ→1⁻ (x² − 1) = 1 − 1 = 0
RHL = limₓ→1⁺ (−x² − 1) = −1 − 1 = −2
क्योंकि LHL ≠ RHL,
✔️ उत्तर: सीमा अस्तित्व में नहीं है (Does Not Exist).

🟢 प्रश्न 25: limₓ→0 f(x), जहाँ
f(x) = { |x|/x, x ≠ 0 ; 0, x = 0 }
✏️ हल:
x→0⁺ ⇒ |x|/x = 1 ; x→0⁻ ⇒ |x|/x = −1
LHL ≠ RHL
✔️ उत्तर: सीमा अस्तित्व में नहीं है।

🟡 प्रश्न 26: limₓ→0 f(x), जहाँ
f(x) = { x / |x|ʳ, x ≠ 0 ; 0, x = 0 } (r वास्तविक)
✏️ हल (दोनों ओर):
x→0⁺ ⇒ f(x) = x/ xʳ = x^{1−r} →
• r < 1 ⇒ 0
• r = 1 ⇒ 1
• r > 1 ⇒ +∞
x→0⁻ ⇒ x = −|x| ⇒ f(x) = (−|x|)/|x|ʳ = −|x|^{1−r} →
• r < 1 ⇒ 0
• r = 1 ⇒ −1
• r > 1 ⇒ −∞
निष्कर्ष:
✔️ यदि r < 1, तो limₓ→0 f(x) = 0
❌ r = 1 पर LHL ≠ RHL ⇒ सीमा नहीं।
❌ r > 1 पर परिमित सीमा नहीं (अपसारी)।

🔴 प्रश्न 27: limₓ→5 f(x), जहाँ f(x) = |x| − 5
✏️ हल: 5 के आस-पास x > 0 ⇒ |x| = x
limₓ→5 (x − 5) = 5 − 5 = 0
✔️ उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 28: f(x) = { a + b x, x < 1 ; 4, x = 1 ; b − a x, x > 1 }
और दिया है limₓ→1 f(x) = f(1). a तथा b ज्ञात कीजिए।
✏️ हल (निरंतरता @ x = 1):
LHL = a + b, RHL = b − a, और f(1) = 4
शर्तें: a + b = 4 और b − a = 4
हल: जोड़ने पर 2b = 8 ⇒ b = 4
फिर a + 4 = 4 ⇒ a = 0
✔️ उत्तर: a = 0, b = 4 ✅

🔵 प्रश्न 29.
मान लीजिए a₁, a₂, …, aₙ अलग वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन
f(x) = (x − a₁)(x − a₂)…(x − aₙ) से परिभाषित है।
limₓ→aₖ f(x) क्या है?
🟢 उत्तर:
जब x → aₖ होगा, तब (x − aₖ) → 0 होगा।
बाकी सभी गुणक सीमित रहेंगे।
अतः,
limₓ→aₖ f(x) = (aₖ − a₁)(aₖ − a₂)…(aₖ − aₖ−₁)(0)(aₖ − aₖ₊₁)…(aₖ − aₙ) = 0
✔️ अतः limₓ→aₖ f(x) = 0

🔵 प्रश्न 30.
यदि
f(x) =
|x| + 1, जब x < 0
0, जब x = 0
|x| − 1, जब x > 0
तो a के किन मानों के लिए limₓ→a f(x) का अस्तित्व है?
🟢 उत्तर:
हम अलग-अलग स्थितियों में सीमा ज्ञात करेंगे —
➡️ (i) जब x < 0:
f(x) = |x| + 1 = (−x) + 1 = 1 − x
➡️ (ii) जब x > 0:
f(x) = |x| − 1 = x − 1
अब,
limₓ→0⁻ f(x) = 1 − 0 = 1
limₓ→0⁺ f(x) = 0 − 1 = −1
चूंकि LHL ≠ RHL, अतः x = 0 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
🔸 अन्य सभी a ≠ 0 पर f(x) सरल रेखीय है, इसलिए सीमा मौजूद है।
✔️ अतः सीमा सभी a ≠ 0 के लिए अस्तित्व में है।

🔵 प्रश्न 31.
यदि फलन f(x) इस शर्त को संतुष्ट करता है —
limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x² − 1)] = π,
तो limₓ→1 f(x) का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
हम जानते हैं कि x² − 1 = (x − 1)(x + 1)।
अब, मान लीजिए limₓ→1 f(x) = L
तब,
limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x² − 1)] = π
⇒ limₓ→1 [(f(x) − 2)/((x − 1)(x + 1))] = π
जब x → 1, (x + 1) → 2
अतः,
limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x − 1)] × 1/2 = π
⇒ limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x − 1)] = 2π
इसका अर्थ है कि f(x) x = 1 पर अवकलनीय है,
और f(1) = 2 है।
✔️ अतः limₓ→1 f(x) = 2

प्रश्न 32:
किन पूर्णांकों m और n के लिए lim(x→0) f(x) तथा lim(x→1) f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि
f(x) =
mx² + n, x < 0
nx + m, 0 ≤ x ≤ 1
nx³ + m, x > 1

उत्तर:
(A) जब x → 0 पर सीमा ज्ञात करें:
बाएँ सीमा (LHL):
lim(x→0⁻) f(x) = lim(x→0⁻)(mx² + n) = n
दाएँ सीमा (RHL):
lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁺)(nx + m) = m
सीमा के अस्तित्व के लिए LHL = RHL होना चाहिए,
इसलिए n = m

(B) जब x → 1 पर सीमा ज्ञात करें:
बाएँ सीमा (LHL):
lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻)(nx + m) = n + m
दाएँ सीमा (RHL):
lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺)(nx³ + m) = n(1)³ + m = n + m
दोनों सीमाएँ समान हैं, इसलिए x = 1 पर सीमा किसी भी m, n के लिए अस्तित्व में है।
लेकिन x = 0 पर के लिए हमें शर्त मिली m = n

अतः lim(x→0) f(x) और lim(x→1) f(x) दोनों तभी अस्तित्व में हैं जब
m = n

अंतिम उत्तर:
दोनों सीमाएँ तभी अस्तित्व में होंगी जब
m = n (जहाँ m और n कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं)

प्रश्नावली 12.2

🔵 प्रश्न 1:
x = 10 पर x² − 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = x² − 2
f′(x) = 2x
अतः f′(10) = 2(10) = 20
✔️ अवकलज = 20

🔵 प्रश्न 2:
x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = x
f′(x) = 1
अतः f′(1) = 1
✔️ अवकलज = 1

🔵 प्रश्न 3:
x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = 99x
f′(x) = 99
अतः f′(100) = 99
✔️ अवकलज = 99

🔵 प्रश्न 4:
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = x³ − 27
(ii) f(x) = (x − 1)(x − 2)
(iii) f(x) = 1/x²
(iv) f(x) = (x + 1)/(x − 1)
🟢 उत्तर:
(i) f(x) = x³ − 27
⇒ f′(x) = 3x²
(ii) f(x) = (x − 1)(x − 2)
⇒ f(x) = x² − 3x + 2
⇒ f′(x) = 2x − 3
(iii) f(x) = x⁻²
⇒ f′(x) = −2x⁻³ = −2/x³
(iv) f(x) = (x + 1)/(x − 1)
⇒ f′(x) = [(x − 1)(1) − (x + 1)(1)] / (x − 1)²
⇒ f′(x) = (x − 1 − x − 1) / (x − 1)² = −2/(x − 1)²

🔵 प्रश्न 5:
फलन f(x) = (x¹⁰⁰)/100 + (x⁹⁹)/99 + … + (x²)/2 + x + 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि
f′(1) = 100f′(0)
🟢 उत्तर:
f′(x) = x⁹⁹ + x⁹⁸ + … + x + 1
अब,
f′(1) = 100
f′(0) = 1
अतः f′(1) = 100 × f′(0) ✅
✔️ सिद्ध हुआ।

🔵 प्रश्न 6:
किसी वास्तविक संख्या a के लिए
xⁿ + a xⁿ⁻¹ + a² xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹x + aⁿ
का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = xⁿ + a xⁿ⁻¹ + a² xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹x + aⁿ
⇒ f′(x) = n xⁿ⁻¹ + (n−1)a xⁿ⁻² + (n−2)a² xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹
✔️ अवकलज = n xⁿ⁻¹ + (n−1)a xⁿ⁻² + (n−2)a² xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹

🔵 प्रश्न 7:
किसी a और b के लिए निम्न फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = (x − a)(x − b)
(ii) f(x) = (a x² + b)²
(iii) f(x) = (x − a)/(x − b)
🟢 उत्तर:
(i) f(x) = (x − a)(x − b)
⇒ f(x) = x² − (a + b)x + ab
⇒ f′(x) = 2x − (a + b)
(ii) f(x) = (a x² + b)²
⇒ f′(x) = 2(a x² + b) × (2a x)
⇒ f′(x) = 4a x (a x² + b)
(iii) f(x) = (x − a)/(x − b)
⇒ f′(x) = [(x − b)(1) − (x − a)(1)] / (x − b)²
⇒ f′(x) = (a − b)/(x − b)²

🔷 प्रश्न 8. किसी अचर a के लिए (xⁿ − aⁿ)/(x − a) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
(xⁿ − aⁿ) = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + a²·xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹)
➡️ अतः f(x) = (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + a²·xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹
✏️ अब प्रत्येक पद का अवकलज लीजिए:
f′(x) = (n−1)xⁿ⁻² + (n−2)a·xⁿ⁻³ + (n−3)a²·xⁿ⁻⁴ + … + aⁿ⁻²
✔️ उत्तर: f′(x) = (n−1)xⁿ⁻² + (n−2)a·xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻²

🔷 प्रश्न 9. निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए —
🟢 (i) f(x) = 2x − 3/4
✏️ d/dx(2x) = 2, d/dx(−3/4) = 0
✔️ उत्तर: f′(x) = 2
🟢 (ii) f(x) = (5x³ + 3x − 1)(x − 1)
✏️ Product rule: u′ = 15x² + 3, v′ = 1
➡️ f′(x) = (15x² + 3)(x − 1) + (5x³ + 3x − 1)
🟢 (iii) f(x) = x⁻³(5 + 3x)
✏️ (x⁻³)′ = −3x⁻⁴, (5 + 3x)′ = 3
➡️ f′(x) = −3x⁻⁴(5 + 3x) + 3x⁻³
✔️ उत्तर: f′(x) = −15x⁻⁴ − 6x⁻³
🟢 (iv) f(x) = x⁵(3 − 6x⁻⁹)
✏️ सरल रूप: f(x) = 3x⁵ − 6x⁻⁴
➡️ f′(x) = 15x⁴ + 24x⁻⁵
🟢 (v) f(x) = x⁴(3 − 4x⁻⁵)
✏️ सरल रूप: f(x) = 3x⁴ − 4x⁻¹
➡️ f′(x) = 12x³ + 4x⁻²
🟢 (vi) f(x) = 2/(x + 1) + x²/(3x − 1)
✏️ पहले भाग का अवकलज: −2/(x + 1)²
✏️ दूसरे भाग का अवकलज:
→ u = x², v = 3x − 1
→ f′(x) = [(2x)(3x − 1) − x²(3)] / (3x − 1)²
➡️ f′(x) = [3x² − 2x] / (3x − 1)²
✔️ अंतिम उत्तर: f′(x) = −2/(x + 1)² + [3x² − 2x]/(3x − 1)²

🔷 प्रश्न 10. प्रथम सिद्धांत से cosx का अवकलज ज्ञात कीजिए।
✏️ f′(x) = limₕ→0 [(cos(x + h) − cosx)/h]
✏️ cos(x + h) = cosx·cosh − sinx·sinh
➡️ f′(x) = limₕ→0 [cosx( (cosh − 1)/h ) − sinx( (sinh)/h )]
💡 ज्ञात सीमाएँ:
limₕ→0 (sinh)/h = 1
limₕ→0 (cosh − 1)/h = 0
✔️ उत्तर: f′(x) = −sinx

🔷 प्रश्न 11. निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए —
🟢 (i) f(x) = sinx·cosx
✏️ Product rule से: f′ = cos²x − sin²x
✔️ उत्तर: f′(x) = cos2x
🟢 (ii) f(x) = secx
✔️ उत्तर: f′(x) = secx·tanx
🟢 (iii) f(x) = 5secx + 4cosx
✏️ f′(x) = 5secx·tanx − 4sinx
✔️ उत्तर: f′(x) = 5secx·tanx − 4sinx
🟢 (iv) f(x) = cosecx
✔️ उत्तर: f′(x) = −cosecx·cotx
🟢 (v) f(x) = 3cotx + 5cosecx
✏️ (cotx)′ = −csc²x, (cosecx)′ = −cosecx·cotx
➡️ f′(x) = −3csc²x − 5cosecx·cotx
🟢 (vi) f(x) = 5sinx − 6cosx + 7
✏️ (sinx)′ = cosx, (cosx)′ = −sinx
➡️ f′(x) = 5cosx + 6sinx
🟢 (vii) f(x) = 2tanx − 7secx
✏️ (tanx)′ = sec²x, (secx)′ = secx·tanx
➡️ f′(x) = 2sec²x − 7secx·tanx

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

Section A — MCQs (Q1–Q18)

Q1. यदि f(x) = x² − 4, x → 2, तो सीमा limₓ→2 f(x) = ?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 4
🟠 (C) 0
🔴 (D) 6
उत्तर: (B) 4

Q2. f(x) = x² + 3x, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (D) 4

Q3. f(x) = (x² − 1)/(x−1), x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (C) 2

Q4. x → 0 पर f(x) = sin x/x की सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) ∞
🔴 (D) −1
उत्तर: (B) 1

Q5. यदि f(x) = 3x² − 2x + 1, x → 1, तो limₓ→1 f(x)?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 2
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 2

Q6. f(x) = 1/x, x → 0⁺, सीमा?
🔵 (A) ∞
🟢 (B) −∞
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) ∞

Q7. f(x) = 1/x, x → 0⁻, सीमा?
🔵 (A) ∞
🟢 (B) −∞
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1
उत्तर: (B) −∞

Q8. x² + 3x − 4 / x − 1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 3
🟠 (C) 5
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 3

Q9. यदि f(x) = x³, x → 2, तो सीमा?
🔵 (A) 6
🟢 (B) 8
🟠 (C) 4
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 8

Q10. f(x) = √x, x → 4, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 4
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 2

Q11. यदि f(x) = x² − 2x + 1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (A) 0

Q12. x → 0 पर sin 3x/x?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) ∞
उत्तर: (B) 3

Q13. f(x) = x³ − 1 / x − 1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) 3

Q14. x → 0 पर (1 − cos x)/x²?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 0
🔴 (D) ∞
उत्तर: (B) 1/2

Q15. f(x) = 5x² − 4x +1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 2
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 2

Q16. x → 0 पर (tan x)/x?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) ∞
🔴 (D) −1
उत्तर: (B) 1

Q17. f(x) = x² + x −2 / x−1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 3
🔴 (D) 2
उत्तर: (D) 2

Q18. f(x) = x³ + 2x² − x, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 2
🔴 (D) 1
उत्तर: (B) 3

🔹 Q19. f(x) = x² − 1 / x − 1, x → 1, सीमा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➤ चरण 1: गुणनखंड का रूप निकालें: x² − 1 = (x−1)(x+1)
➤ चरण 2: सीमा: limₓ→1 [(x−1)(x+1)/(x−1)] = limₓ→1 (x+1)
➤ चरण 3: x = 1 रखें → 1 + 1 = 2
✅ उत्तर: 2

🔹 Q20. x → 0 पर sin 5x / x की सीमा।
उत्तर:
➤ चरण 1: limₓ→0 sin 5x / x = limₓ→0 [5 sin 5x / 5x] = 5 * limₓ→0 sin 5x / 5x
➤ चरण 2: limₓ→0 sin u / u = 1 ⇒ 5 * 1 = 5
✅ उत्तर: 5

🔹 Q21. f(x) = √x, x → 4, सीमा।
उत्तर:
➤ limₓ→4 √x = √4 = 2
✅ उत्तर: 2

🔹 Q22. f(x) = x² − 4x + 3, x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ f(1) = 1 − 4 + 3 = 0
✅ उत्तर: 0

🔹 Q23. f(x) = (x³ − 1)/(x−1), x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ x³ − 1 = (x−1)(x² + x +1)
➤ limₓ→1 [(x−1)(x² + x +1)/(x−1)] = limₓ→1 (x² + x +1) = 3
✅ उत्तर: 3

🔹 Q24. x → 0 पर (1 − cos 3x)/x² की सीमा।
उत्तर:
➤ limₓ→0 (1 − cos 3x)/x² = limₓ→0 [9/2 sin²(3x/2)/x²]
➤ sin²(3x/2)/(x²) → (3/2)² = 9/4
➤ × 2/1? → पूर्ण रूप से lim = 9/2 × 1? → ठीक: मानक सूत्र: limₓ→0 (1 − cos x)/x² = 1/2 ⇒ × 9 ⇒ 9/2
✅ उत्तर: 9/2

🔹 Q25. f(x) = x² + x −2 / x−1, x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ x² + x −2 = (x−1)(x+2)
➤ limₓ→1 [(x−1)(x+2)/(x−1)] = limₓ→1 (x+2) = 3
✅ उत्तर: 3

🔹 Q26. x → 0 पर tan 2x / x की सीमा।
उत्तर:
➤ limₓ→0 tan 2x / x = limₓ→0 [2 tan 2x / 2x] = 2 * limₓ→0 tan 2x / 2x = 2
✅ उत्तर: 2

🔹 Q27. f(x) = x² − 3x +2 / x−1, x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ x² −3x +2 = (x−1)(x−2)
➤ limₓ→1 [(x−1)(x−2)/(x−1)] = limₓ→1 (x−2) = −1
✅ उत्तर: −1

Question 28
x → 0 पर सीमा ज्ञात कीजिए: (1 − cos 2x) / x²
उत्तर:
➤ (1 − cos x)/x² = 1/2 ⇒ (1 − cos 2x)/x² = 4 × 1/2 = 2

Question 29
प्रथम सिद्धान्त से सिद्ध कीजिए कि d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
उत्तर:
➤ f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = limₕ→0 [(x+h)ⁿ − xⁿ]/h
= limₕ→0 [n xⁿ⁻¹ + n(n−1)/2! xⁿ⁻²h + …]
= n xⁿ⁻¹

Question 30
यदि y = (x² + 3x − 5)/(x − 1), तो dy/dx ज्ञात करें।
उत्तर:
➤ u = x² + 3x − 5, v = x − 1
dy/dx = [(2x + 3)(x − 1) − (x² + 3x − 5)] / (x − 1)²
= (x² − 2x + 2)/(x − 1)²
x = 2 पर dy/dx = 2

Question 31
y = √(x + 3) के लिए dy/dx तथा x = 1 पर ढाल ज्ञात करें।
उत्तर:
dy/dx = 1 / [2√(x + 3)]
x = 1 पर ⇒ dy/dx = 1 / [2√4] = 1/4

Question 32
कण का स्थान s(t) = 4t² − 2t + 3
(i) t = 2 पर क्षणिक वेग (ii) t = 1 से t = 2 पर औसत वेग
उत्तर:
➤ v(t) = ds/dt = 8t − 2
(i) v(2) = 16 − 2 = 14
(ii) औसत = [s(2) − s(1)] / (2 − 1) = (15 − 5)/1 = 10

Question 33
f(x) = (x² − a²)/(x − a), x ≠ a; f(a) = k
(i) f(x) को सतत बनाने हेतु k ज्ञात करें।
(ii) x = a पर f'(x) ज्ञात करें।
उत्तर:
(i) limₓ→a f(x) = 2a ⇒ k = 2a
(ii) f'(x) = 1 ⇒ f'(a) = 1

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