Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 12. सीमा और अवकलज

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On June 21, 2025

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

1️⃣ सीमा (Limit) का परिचय
🔵 किसी फलन f(x) का x → a पर सीमा, यदि x को a के बहुत निकट पहुँचाया जाए, तो f(x) का मान किसी निश्चित संख्या L के पास पहुँचता है, तो कहते हैं:
limₓ→a f(x) = L
🔹 उदाहरण: f(x) = x², x → 2
limₓ→2 x² = 4
💡 Concept: सीमा केवल तब अस्तित्व में होती है यदि बाएँ और दाएँ दोनों सीमाएँ समान हों।

2️⃣ बाएँ और दाएँ सीमाएँ
🔵 दाएँ सीमा (Right-hand limit): x → a⁺
limₓ→a⁺ f(x)
🔵 बाएँ सीमा (Left-hand limit): x → a⁻
limₓ→a⁻ f(x)
✔️ शर्त: सीमा मौजूद तभी होती है जब
limₓ→a⁻ f(x) = limₓ→a⁺ f(x)

3️⃣ सीमा के कुछ सामान्य सूत्र
🔵 limₓ→a [f(x) ± g(x)] = limₓ→a f(x) ± limₓ→a g(x)
🔵 limₓ→a [f(x) * g(x)] = limₓ→a f(x) * limₓ→a g(x)
🔵 limₓ→a [f(x)/g(x)] = limₓ→a f(x) / limₓ→a g(x), यदि limₓ→a g(x) ≠ 0
✏️ Note: ये नियम जटिल सीमा समस्याओं में प्रयोग होते हैं।

4️⃣ अवकलज (Derivative) का परिचय
🔵 किसी फलन f(x) का अवकलज f'(x) x के किसी बिन्दु a पर, f(x) की छोटे परिवर्तन Δx पर फलन में परिवर्तन Δy का अनुपात है जब Δx → 0:
f'(a) = lim Δx→0 [(f(a + Δx) − f(a))/Δx]
💡 Concept: अवकलज किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल (slope) देता है।

5️⃣ अवकलज के कुछ मुख्य नियम
🔵 शक्ति नियम: d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
🔵 योग/अन्तर नियम: (f ± g)’ = f’ ± g’
🔵 गुणन नियम: (f * g)’ = f’ * g + f * g’
🔵 भाग नियम: (f/g)’ = (f’ g − f g’) / g²

6️⃣ व्यावहारिक उदाहरण
🔹 उदाहरण 1 (सीमा):
f(x) = (x² − 4)/(x−2), x → 2
limₓ→2 [(x² − 4)/(x−2)] = limₓ→2 [(x−2)(x+2)/(x−2)] = limₓ→2 (x+2) = 4
🔹 उदाहरण 2 (अवकलज):
f(x) = x², f'(x) = ?
f'(x) = lim Δx→0 [(x + Δx)² − x²]/Δx = lim Δx→0 [2x Δx + (Δx)²]/Δx = 2x

7️⃣ सीमाएँ और अवकलज का व्यावहारिक उपयोग
🔵 गति का अवकलज → किसी बिन्दु पर क्षणिक वेग
🔵 ढाल का अवकलज → स्पर्श रेखा की ढाल
🔵 सीमा → असीमित प्रक्रियाओं, गणितीय और भौतिक समस्याओं में

Summary Section (~300 words)
🔹 सीमा = किसी बिन्दु पर फलन के मान का निर्धारण जब x उस बिन्दु के निकट पहुँचता है।
🔹 बाएँ और दाएँ सीमा समान होनी चाहिए
🔹 सीमा सूत्र: योग, अंतर, गुणा, भाग
🔹 अवकलज = किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढाल
🔹 अवकलज नियम: शक्ति, योग/अन्तर, गुणा, भाग
🔹 उदाहरण: f(x) = (x²−4)/(x−2), f(x) = x²
🔹 व्यावहारिक उपयोग: गति, ढाल, गणितीय मॉडलिंग

Quick Recap
📝 Quick Recap:
🔹 सीमा = limₓ→a f(x)
🔹 बाएँ और दाएँ सीमा समान होनी चाहिए
🔹 अवकलज = स्पर्श रेखा की ढाल
🔹 अवकलज नियम: शक्ति, योग/अन्तर, गुणा, भाग
🔹 व्यावहारिक उदाहरण और गति/ढाल में उपयोग

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पाठ्यपुस्त के प्रश्न

🔹प्रश्नावली 12.1

🔹 प्रश्न 1:
limₓ→3 (x + 3)
✏️ उत्तर:
x = 3 रखने पर,
= 3 + 3 = 6
➡️ उत्तर: 6

🔹 प्रश्न 2:
limₓ→π (x − 22/7)
✏️ उत्तर:
x = π रखने पर,
= π − 22/7
➡️ उत्तर: π − 22/7

🔹 प्रश्न 3:
limₓ→1 (πx²)
✏️ उत्तर:
x = 1 रखने पर,
= π(1)² = π
➡️ उत्तर: π

🔹 प्रश्न 4:
limₓ→4 (4x + 3) / (x − 2)
✏️ उत्तर:
x = 4 रखने पर,
= (4×4 + 3) / (4 − 2)
= (16 + 3) / 2
= 19 / 2
➡️ उत्तर: 19/2

🔹 प्रश्न 5:
limₓ→1 (x¹⁰ + x⁵ + 1) / (x − 1)
✏️ उत्तर:
x = 1 रखने पर 0/0 रूप प्राप्त होता है।
अब L’Hôpital नियम लगाएँ या विभाजन करें:
समानांतर रूप से अवकलन करें —
= limₓ→1 [(10x⁹ + 5x⁴) / 1]
= 10(1)⁹ + 5(1)⁴ = 10 + 5 = 15
➡️ उत्तर: 15

🔹 प्रश्न 6:
limₓ→0 ((x + 1)⁵ − 1) / x
✏️ उत्तर:
यह रूप (aⁿ − 1) / (a − 1) जैसा है।
इसका परिणाम = n(1)⁴ = 5
➡️ उत्तर: 5

🔹 प्रश्न 7:
limₓ→2 (3x² − x − 10) / (x² − 4)
✏️ उत्तर:
x = 2 रखने पर 0/0 रूप।
अब गुणनखंड करें:
हर: x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
अंश: 3x² − x − 10 = (3x + 5)(x − 2)
अब,
= limₓ→2 [(3x + 5)(x − 2)] / [(x − 2)(x + 2)]
(x − 2) रद्द हो जाएगा।
= limₓ→2 (3x + 5) / (x + 2)
= (3×2 + 5) / (2 + 2) = 11 / 4
➡️ उत्तर: 11/4

🔹 प्रश्न 8:
limₓ→3 (x⁴ − 81) / (2x² − 5x − 3)
✏️ उत्तर:
x = 3 रखने पर 0/0 रूप।
अब गुणनखंड करें:
x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9)
2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3)
अब,
= limₓ→3 [(x + 3)(x² + 9)] / (2x + 1)
x = 3 रखने पर,
= (6)(9 + 9) / (7) = (6×18)/7 = 108/7
➡️ उत्तर: 108/7

🔹 प्रश्न 9:
limₓ→0 (ax + b) / (cx + 1)
✏️ उत्तर:
x = 0 रखने पर,
= (a×0 + b) / (c×0 + 1) = b / 1 = b
➡️ उत्तर: b

🔵 प्रश्न 10: lim_{z→1} ( z^{1/3} − 1 ) / ( z^{1/6} − 1)
✏️ हल: t = z^{1/6} ⇒ z = t^6, z→1 ⇒ t→1
⇒ (t^2 − 1)/(t − 1) = (t − 1)(t + 1)/(t − 1) = t + 1 → 2
✔️ उत्तर: 2

🟢 प्रश्न 11: lim_{x→1} (a x² + b x + c)/(c x² + b x + a), जहाँ a + b + c ≠ 0
✏️ हल: प्रत्यक्ष मान-प्रतिस्थापन: (a+b+c)/(c+b+a) = 1
✔️ उत्तर: 1

🟡 प्रश्न 12: lim_{x→−2} ( 1/x + 1/2 ) / ( x + 2 )
✏️ हल: अंश = (2 + x)/(2x); अतः भिन्न = [(x+2)/(2x)] /(x+2) = 1/(2x)
x→−2 ⇒ 1/(2·(−2)) = −1/4
✔️ उत्तर: −1/4

🔴 प्रश्न 13: lim_{x→0} ( sin(a x) )/( b x )
✏️ हल: sin(ax)/(ax) → 1 ⇒ परिणाम = a/b
✔️ उत्तर: a/b

🔵 प्रश्न 14: lim_{x→0} ( sin(a x) )/( sin(b x) ), a,b ≠ 0
✏️ हल: sin(ax)/(ax) ÷ [sin(bx)/(bx)] ⇒ (a/b)
✔️ उत्तर: a/b

🟢 प्रश्न 15: lim_{x→π} [ sin(π − x) ] / [ π(π − x) ]
✏️ हल: h = π − x → 0 ⇒ अभिव्यक्ति = sin h /(π h) → 1/π
✔️ उत्तर: 1/π

🟡 प्रश्न 16: lim_{x→0} ( cos x ) / ( π − x )
✏️ हल: प्रत्यक्ष मान-प्रतिस्थापन ⇒ cos0/(π−0) = 1/π
✔️ उत्तर: 1/π

🔴 प्रश्न 17: lim_{x→0} ( cos 2x − 1 ) / ( cos x − 1 )
✏️ हल: cos2x − 1 = −2 sin²x, cos x − 1 = −2 sin²(x/2)
⇒ अनुपात = sin²x / sin²(x/2) → (x²)/(x²/4) = 4
✔️ उत्तर: 4

🔵 प्रश्न 18:
limₓ→0 (a x + x cosx) / (b sinx)
✏️ हल:
अंश = x(a + cosx), हर = b sinx
= (x(a + cosx)) / (b sinx)
⇒ (a + cosx)/b × (x/sinx)
x→0 ⇒ cosx = 1, sinx ≈ x
= (a + 1)/b × 1 = (a + 1)/b
✔️ उत्तर: (a + 1)/b

🟢 प्रश्न 19:
limₓ→0 (x secx)
✏️ हल:
x = 0 रखने पर → 0 × 1 = 0
✔️ उत्तर: 0

🟡 प्रश्न 20:
limₓ→0 (sin(ax) + b x) / (a x + sin(bx)) , जहाँ a,b,a+b ≠ 0
✏️ हल:
sin(ax) ≈ a x, sin(bx) ≈ b x
अतः = (a x + b x)/(a x + b x) = 1
✔️ उत्तर: 1

🔴 प्रश्न 21:
limₓ→0 (cosec x − cot x)
✏️ हल:
cosec x − cot x = (1/sinx − cosx/sinx) = (1−cosx)/sinx
= [2sin²(x/2)] / [2sin(x/2)cos(x/2)]
= tan(x/2)
x→0 ⇒ tan(x/2) → 0
✔️ उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 22:
limₓ→π/2 (tan 2x) / (x − π/2)
✏️ हल:
x = π/2 + h, जहाँ h→0
⇒ tan(2x) = tan(π + 2h) = tan(2h)
अतः सीमा = lim_{h→0} tan(2h)/h = 2 lim_{h→0} (tan(2h)/(2h)) = 2
✔️ उत्तर: 2

🟢 प्रश्न 23:
limₓ→0 f(x) और limₓ→1 f(x) ज्ञात कीजिए, जहाँ
f(x) = {
2x + 3, x ≤ 0
3(x + 1), x > 0
}
✏️ हल:
➡️ जब x→0⁻ :
f(x) = 2x + 3 ⇒ f(0⁻) = 3
➡️ जब x→0⁺ :
f(x) = 3(x + 1) ⇒ f(0⁺) = 3(1) = 3
∴ limₓ→0 f(x) = 3

अब,
➡️ जब x→1⁻ :
f(x) = 3(x + 1) ⇒ f(1⁻) = 3(2) = 6
➡️ जब x→1⁺ :
f(x) = 3(x + 1) ⇒ f(1⁺) = 6
∴ limₓ→1 f(x) = 6
✔️ उत्तर:
limₓ→0 f(x) = 3
limₓ→1 f(x) = 6

🔵 प्रश्न 24: limₓ→1 f(x), जहाँ
f(x) = { x² − 1, x ≤ 1 ; −x² − 1, x > 1 }
✏️ हल:
LHL = limₓ→1⁻ (x² − 1) = 1 − 1 = 0
RHL = limₓ→1⁺ (−x² − 1) = −1 − 1 = −2
क्योंकि LHL ≠ RHL,
✔️ उत्तर: सीमा अस्तित्व में नहीं है (Does Not Exist).

🟢 प्रश्न 25: limₓ→0 f(x), जहाँ
f(x) = { |x|/x, x ≠ 0 ; 0, x = 0 }
✏️ हल:
x→0⁺ ⇒ |x|/x = 1 ; x→0⁻ ⇒ |x|/x = −1
LHL ≠ RHL
✔️ उत्तर: सीमा अस्तित्व में नहीं है।

🟡 प्रश्न 26: limₓ→0 f(x), जहाँ
f(x) = { x / |x|ʳ, x ≠ 0 ; 0, x = 0 } (r वास्तविक)
✏️ हल (दोनों ओर):
x→0⁺ ⇒ f(x) = x/ xʳ = x^{1−r} →
• r < 1 ⇒ 0
• r = 1 ⇒ 1
• r > 1 ⇒ +∞
x→0⁻ ⇒ x = −|x| ⇒ f(x) = (−|x|)/|x|ʳ = −|x|^{1−r} →
• r < 1 ⇒ 0
• r = 1 ⇒ −1
• r > 1 ⇒ −∞
निष्कर्ष:
✔️ यदि r < 1, तो limₓ→0 f(x) = 0
❌ r = 1 पर LHL ≠ RHL ⇒ सीमा नहीं।
❌ r > 1 पर परिमित सीमा नहीं (अपसारी)।

🔴 प्रश्न 27: limₓ→5 f(x), जहाँ f(x) = |x| − 5
✏️ हल: 5 के आस-पास x > 0 ⇒ |x| = x
limₓ→5 (x − 5) = 5 − 5 = 0
✔️ उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 28: f(x) = { a + b x, x < 1 ; 4, x = 1 ; b − a x, x > 1 }
और दिया है limₓ→1 f(x) = f(1). a तथा b ज्ञात कीजिए।
✏️ हल (निरंतरता @ x = 1):
LHL = a + b, RHL = b − a, और f(1) = 4
शर्तें: a + b = 4 और b − a = 4
हल: जोड़ने पर 2b = 8 ⇒ b = 4
फिर a + 4 = 4 ⇒ a = 0
✔️ उत्तर: a = 0, b = 4 ✅

🔵 प्रश्न 29.
मान लीजिए a₁, a₂, …, aₙ अलग वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन
f(x) = (x − a₁)(x − a₂)…(x − aₙ) से परिभाषित है।
limₓ→aₖ f(x) क्या है?
🟢 उत्तर:
जब x → aₖ होगा, तब (x − aₖ) → 0 होगा।
बाकी सभी गुणक सीमित रहेंगे।
अतः,
limₓ→aₖ f(x) = (aₖ − a₁)(aₖ − a₂)…(aₖ − aₖ−₁)(0)(aₖ − aₖ₊₁)…(aₖ − aₙ) = 0
✔️ अतः limₓ→aₖ f(x) = 0

🔵 प्रश्न 30.
यदि
f(x) =
|x| + 1, जब x < 0
0, जब x = 0
|x| − 1, जब x > 0
तो a के किन मानों के लिए limₓ→a f(x) का अस्तित्व है?
🟢 उत्तर:
हम अलग-अलग स्थितियों में सीमा ज्ञात करेंगे —
➡️ (i) जब x < 0:
f(x) = |x| + 1 = (−x) + 1 = 1 − x
➡️ (ii) जब x > 0:
f(x) = |x| − 1 = x − 1
अब,
limₓ→0⁻ f(x) = 1 − 0 = 1
limₓ→0⁺ f(x) = 0 − 1 = −1
चूंकि LHL ≠ RHL, अतः x = 0 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
🔸 अन्य सभी a ≠ 0 पर f(x) सरल रेखीय है, इसलिए सीमा मौजूद है।
✔️ अतः सीमा सभी a ≠ 0 के लिए अस्तित्व में है।

🔵 प्रश्न 31.
यदि फलन f(x) इस शर्त को संतुष्ट करता है —
limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x² − 1)] = π,
तो limₓ→1 f(x) का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
हम जानते हैं कि x² − 1 = (x − 1)(x + 1)।
अब, मान लीजिए limₓ→1 f(x) = L
तब,
limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x² − 1)] = π
⇒ limₓ→1 [(f(x) − 2)/((x − 1)(x + 1))] = π
जब x → 1, (x + 1) → 2
अतः,
limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x − 1)] × 1/2 = π
⇒ limₓ→1 [(f(x) − 2)/(x − 1)] = 2π
इसका अर्थ है कि f(x) x = 1 पर अवकलनीय है,
और f(1) = 2 है।
✔️ अतः limₓ→1 f(x) = 2

प्रश्न 32:
किन पूर्णांकों m और n के लिए lim(x→0) f(x) तथा lim(x→1) f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि
f(x) =
mx² + n, x < 0
nx + m, 0 ≤ x ≤ 1
nx³ + m, x > 1

उत्तर:
(A) जब x → 0 पर सीमा ज्ञात करें:
बाएँ सीमा (LHL):
lim(x→0⁻) f(x) = lim(x→0⁻)(mx² + n) = n
दाएँ सीमा (RHL):
lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁺)(nx + m) = m
सीमा के अस्तित्व के लिए LHL = RHL होना चाहिए,
इसलिए n = m

(B) जब x → 1 पर सीमा ज्ञात करें:
बाएँ सीमा (LHL):
lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻)(nx + m) = n + m
दाएँ सीमा (RHL):
lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺)(nx³ + m) = n(1)³ + m = n + m
दोनों सीमाएँ समान हैं, इसलिए x = 1 पर सीमा किसी भी m, n के लिए अस्तित्व में है।
लेकिन x = 0 पर के लिए हमें शर्त मिली m = n

अतः lim(x→0) f(x) और lim(x→1) f(x) दोनों तभी अस्तित्व में हैं जब
m = n

अंतिम उत्तर:
दोनों सीमाएँ तभी अस्तित्व में होंगी जब
m = n (जहाँ m और n कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं)

प्रश्नावली 12.2

🔵 प्रश्न 1:
x = 10 पर x² − 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = x² − 2
f′(x) = 2x
अतः f′(10) = 2(10) = 20
✔️ अवकलज = 20

🔵 प्रश्न 2:
x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = x
f′(x) = 1
अतः f′(1) = 1
✔️ अवकलज = 1

🔵 प्रश्न 3:
x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = 99x
f′(x) = 99
अतः f′(100) = 99
✔️ अवकलज = 99

🔵 प्रश्न 4:
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = x³ − 27
(ii) f(x) = (x − 1)(x − 2)
(iii) f(x) = 1/x²
(iv) f(x) = (x + 1)/(x − 1)
🟢 उत्तर:
(i) f(x) = x³ − 27
⇒ f′(x) = 3x²
(ii) f(x) = (x − 1)(x − 2)
⇒ f(x) = x² − 3x + 2
⇒ f′(x) = 2x − 3
(iii) f(x) = x⁻²
⇒ f′(x) = −2x⁻³ = −2/x³
(iv) f(x) = (x + 1)/(x − 1)
⇒ f′(x) = [(x − 1)(1) − (x + 1)(1)] / (x − 1)²
⇒ f′(x) = (x − 1 − x − 1) / (x − 1)² = −2/(x − 1)²

🔵 प्रश्न 5:
फलन f(x) = (x¹⁰⁰)/100 + (x⁹⁹)/99 + … + (x²)/2 + x + 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि
f′(1) = 100f′(0)
🟢 उत्तर:
f′(x) = x⁹⁹ + x⁹⁸ + … + x + 1
अब,
f′(1) = 100
f′(0) = 1
अतः f′(1) = 100 × f′(0) ✅
✔️ सिद्ध हुआ।

🔵 प्रश्न 6:
किसी वास्तविक संख्या a के लिए
xⁿ + a xⁿ⁻¹ + a² xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹x + aⁿ
का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
f(x) = xⁿ + a xⁿ⁻¹ + a² xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹x + aⁿ
⇒ f′(x) = n xⁿ⁻¹ + (n−1)a xⁿ⁻² + (n−2)a² xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹
✔️ अवकलज = n xⁿ⁻¹ + (n−1)a xⁿ⁻² + (n−2)a² xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹

🔵 प्रश्न 7:
किसी a और b के लिए निम्न फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = (x − a)(x − b)
(ii) f(x) = (a x² + b)²
(iii) f(x) = (x − a)/(x − b)
🟢 उत्तर:
(i) f(x) = (x − a)(x − b)
⇒ f(x) = x² − (a + b)x + ab
⇒ f′(x) = 2x − (a + b)
(ii) f(x) = (a x² + b)²
⇒ f′(x) = 2(a x² + b) × (2a x)
⇒ f′(x) = 4a x (a x² + b)
(iii) f(x) = (x − a)/(x − b)
⇒ f′(x) = [(x − b)(1) − (x − a)(1)] / (x − b)²
⇒ f′(x) = (a − b)/(x − b)²

🔷 प्रश्न 8. किसी अचर a के लिए (xⁿ − aⁿ)/(x − a) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
✏️ समाधान:
(xⁿ − aⁿ) = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + a²·xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹)
➡️ अतः f(x) = (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + a²·xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻¹
✏️ अब प्रत्येक पद का अवकलज लीजिए:
f′(x) = (n−1)xⁿ⁻² + (n−2)a·xⁿ⁻³ + (n−3)a²·xⁿ⁻⁴ + … + aⁿ⁻²
✔️ उत्तर: f′(x) = (n−1)xⁿ⁻² + (n−2)a·xⁿ⁻³ + … + aⁿ⁻²

🔷 प्रश्न 9. निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए —
🟢 (i) f(x) = 2x − 3/4
✏️ d/dx(2x) = 2, d/dx(−3/4) = 0
✔️ उत्तर: f′(x) = 2
🟢 (ii) f(x) = (5x³ + 3x − 1)(x − 1)
✏️ Product rule: u′ = 15x² + 3, v′ = 1
➡️ f′(x) = (15x² + 3)(x − 1) + (5x³ + 3x − 1)
🟢 (iii) f(x) = x⁻³(5 + 3x)
✏️ (x⁻³)′ = −3x⁻⁴, (5 + 3x)′ = 3
➡️ f′(x) = −3x⁻⁴(5 + 3x) + 3x⁻³
✔️ उत्तर: f′(x) = −15x⁻⁴ − 6x⁻³
🟢 (iv) f(x) = x⁵(3 − 6x⁻⁹)
✏️ सरल रूप: f(x) = 3x⁵ − 6x⁻⁴
➡️ f′(x) = 15x⁴ + 24x⁻⁵
🟢 (v) f(x) = x⁴(3 − 4x⁻⁵)
✏️ सरल रूप: f(x) = 3x⁴ − 4x⁻¹
➡️ f′(x) = 12x³ + 4x⁻²
🟢 (vi) f(x) = 2/(x + 1) + x²/(3x − 1)
✏️ पहले भाग का अवकलज: −2/(x + 1)²
✏️ दूसरे भाग का अवकलज:
→ u = x², v = 3x − 1
→ f′(x) = [(2x)(3x − 1) − x²(3)] / (3x − 1)²
➡️ f′(x) = [3x² − 2x] / (3x − 1)²
✔️ अंतिम उत्तर: f′(x) = −2/(x + 1)² + [3x² − 2x]/(3x − 1)²

🔷 प्रश्न 10. प्रथम सिद्धांत से cosx का अवकलज ज्ञात कीजिए।
✏️ f′(x) = limₕ→0 [(cos(x + h) − cosx)/h]
✏️ cos(x + h) = cosx·cosh − sinx·sinh
➡️ f′(x) = limₕ→0 [cosx( (cosh − 1)/h ) − sinx( (sinh)/h )]
💡 ज्ञात सीमाएँ:
limₕ→0 (sinh)/h = 1
limₕ→0 (cosh − 1)/h = 0
✔️ उत्तर: f′(x) = −sinx

🔷 प्रश्न 11. निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए —
🟢 (i) f(x) = sinx·cosx
✏️ Product rule से: f′ = cos²x − sin²x
✔️ उत्तर: f′(x) = cos2x
🟢 (ii) f(x) = secx
✔️ उत्तर: f′(x) = secx·tanx
🟢 (iii) f(x) = 5secx + 4cosx
✏️ f′(x) = 5secx·tanx − 4sinx
✔️ उत्तर: f′(x) = 5secx·tanx − 4sinx
🟢 (iv) f(x) = cosecx
✔️ उत्तर: f′(x) = −cosecx·cotx
🟢 (v) f(x) = 3cotx + 5cosecx
✏️ (cotx)′ = −csc²x, (cosecx)′ = −cosecx·cotx
➡️ f′(x) = −3csc²x − 5cosecx·cotx
🟢 (vi) f(x) = 5sinx − 6cosx + 7
✏️ (sinx)′ = cosx, (cosx)′ = −sinx
➡️ f′(x) = 5cosx + 6sinx
🟢 (vii) f(x) = 2tanx − 7secx
✏️ (tanx)′ = sec²x, (secx)′ = secx·tanx
➡️ f′(x) = 2sec²x − 7secx·tanx

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

Section A — MCQs (Q1–Q18)

Q1. यदि f(x) = x² − 4, x → 2, तो सीमा limₓ→2 f(x) = ?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 4
🟠 (C) 0
🔴 (D) 6
उत्तर: (B) 4

Q2. f(x) = x² + 3x, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (D) 4

Q3. f(x) = (x² − 1)/(x−1), x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (C) 2

Q4. x → 0 पर f(x) = sin x/x की सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) ∞
🔴 (D) −1
उत्तर: (B) 1

Q5. यदि f(x) = 3x² − 2x + 1, x → 1, तो limₓ→1 f(x)?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 2
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 2

Q6. f(x) = 1/x, x → 0⁺, सीमा?
🔵 (A) ∞
🟢 (B) −∞
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) ∞

Q7. f(x) = 1/x, x → 0⁻, सीमा?
🔵 (A) ∞
🟢 (B) −∞
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1
उत्तर: (B) −∞

Q8. x² + 3x − 4 / x − 1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 3
🟠 (C) 5
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 3

Q9. यदि f(x) = x³, x → 2, तो सीमा?
🔵 (A) 6
🟢 (B) 8
🟠 (C) 4
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 8

Q10. f(x) = √x, x → 4, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 4
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 2

Q11. यदि f(x) = x² − 2x + 1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (A) 0

Q12. x → 0 पर sin 3x/x?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) ∞
उत्तर: (B) 3

Q13. f(x) = x³ − 1 / x − 1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) 3

Q14. x → 0 पर (1 − cos x)/x²?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 0
🔴 (D) ∞
उत्तर: (B) 1/2

Q15. f(x) = 5x² − 4x +1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 2
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 2

Q16. x → 0 पर (tan x)/x?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) ∞
🔴 (D) −1
उत्तर: (B) 1

Q17. f(x) = x² + x −2 / x−1, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 3
🔴 (D) 2
उत्तर: (D) 2

Q18. f(x) = x³ + 2x² − x, x → 1, सीमा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 2
🔴 (D) 1
उत्तर: (B) 3

🔹 Q19. f(x) = x² − 1 / x − 1, x → 1, सीमा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➤ चरण 1: गुणनखंड का रूप निकालें: x² − 1 = (x−1)(x+1)
➤ चरण 2: सीमा: limₓ→1 [(x−1)(x+1)/(x−1)] = limₓ→1 (x+1)
➤ चरण 3: x = 1 रखें → 1 + 1 = 2
✅ उत्तर: 2

🔹 Q20. x → 0 पर sin 5x / x की सीमा।
उत्तर:
➤ चरण 1: limₓ→0 sin 5x / x = limₓ→0 [5 sin 5x / 5x] = 5 * limₓ→0 sin 5x / 5x
➤ चरण 2: limₓ→0 sin u / u = 1 ⇒ 5 * 1 = 5
✅ उत्तर: 5

🔹 Q21. f(x) = √x, x → 4, सीमा।
उत्तर:
➤ limₓ→4 √x = √4 = 2
✅ उत्तर: 2

🔹 Q22. f(x) = x² − 4x + 3, x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ f(1) = 1 − 4 + 3 = 0
✅ उत्तर: 0

🔹 Q23. f(x) = (x³ − 1)/(x−1), x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ x³ − 1 = (x−1)(x² + x +1)
➤ limₓ→1 [(x−1)(x² + x +1)/(x−1)] = limₓ→1 (x² + x +1) = 3
✅ उत्तर: 3

🔹 Q24. x → 0 पर (1 − cos 3x)/x² की सीमा।
उत्तर:
➤ limₓ→0 (1 − cos 3x)/x² = limₓ→0 [9/2 sin²(3x/2)/x²]
➤ sin²(3x/2)/(x²) → (3/2)² = 9/4
➤ × 2/1? → पूर्ण रूप से lim = 9/2 × 1? → ठीक: मानक सूत्र: limₓ→0 (1 − cos x)/x² = 1/2 ⇒ × 9 ⇒ 9/2
✅ उत्तर: 9/2

🔹 Q25. f(x) = x² + x −2 / x−1, x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ x² + x −2 = (x−1)(x+2)
➤ limₓ→1 [(x−1)(x+2)/(x−1)] = limₓ→1 (x+2) = 3
✅ उत्तर: 3

🔹 Q26. x → 0 पर tan 2x / x की सीमा।
उत्तर:
➤ limₓ→0 tan 2x / x = limₓ→0 [2 tan 2x / 2x] = 2 * limₓ→0 tan 2x / 2x = 2
✅ उत्तर: 2

🔹 Q27. f(x) = x² − 3x +2 / x−1, x → 1, सीमा।
उत्तर:
➤ x² −3x +2 = (x−1)(x−2)
➤ limₓ→1 [(x−1)(x−2)/(x−1)] = limₓ→1 (x−2) = −1
✅ उत्तर: −1

Question 28
x → 0 पर सीमा ज्ञात कीजिए: (1 − cos 2x) / x²
उत्तर:
➤ (1 − cos x)/x² = 1/2 ⇒ (1 − cos 2x)/x² = 4 × 1/2 = 2

Question 29
प्रथम सिद्धान्त से सिद्ध कीजिए कि d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
उत्तर:
➤ f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = limₕ→0 [(x+h)ⁿ − xⁿ]/h
= limₕ→0 [n xⁿ⁻¹ + n(n−1)/2! xⁿ⁻²h + …]
= n xⁿ⁻¹

Question 30
यदि y = (x² + 3x − 5)/(x − 1), तो dy/dx ज्ञात करें।
उत्तर:
➤ u = x² + 3x − 5, v = x − 1
dy/dx = [(2x + 3)(x − 1) − (x² + 3x − 5)] / (x − 1)²
= (x² − 2x + 2)/(x − 1)²
x = 2 पर dy/dx = 2

Question 31
y = √(x + 3) के लिए dy/dx तथा x = 1 पर ढाल ज्ञात करें।
उत्तर:
dy/dx = 1 / [2√(x + 3)]
x = 1 पर ⇒ dy/dx = 1 / [2√4] = 1/4

Question 32
कण का स्थान s(t) = 4t² − 2t + 3
(i) t = 2 पर क्षणिक वेग (ii) t = 1 से t = 2 पर औसत वेग
उत्तर:
➤ v(t) = ds/dt = 8t − 2
(i) v(2) = 16 − 2 = 14
(ii) औसत = [s(2) − s(1)] / (2 − 1) = (15 − 5)/1 = 10

Question 33
f(x) = (x² − a²)/(x − a), x ≠ a; f(a) = k
(i) f(x) को सतत बनाने हेतु k ज्ञात करें।
(ii) x = a पर f'(x) ज्ञात करें।
उत्तर:
(i) limₓ→a f(x) = 2a ⇒ k = 2a
(ii) f'(x) = 1 ⇒ f'(a) = 1

JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

📘 पाठ: सीमा और अवकलज (Limits and Derivatives)
🧠 कोड 5 – प्रतिक्रिया 1 (Res 1)
📄 JEE Main PYQs (Q1–Q25)
🎯 हिंदी माध्यम • Text-only Mode • चार विकल्प • अंतर्राष्ट्रीय अंक (0–9) • वर्ष व परीक्षा नाम सहित • केवल वास्तविक प्रश्न • कोई भी प्रश्न मनगढ़ंत नहीं

🔵 प्रश्न 1
lim (x → 0) (sin x) / x का मान क्या है?
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ ∞
4️⃣ अस्तित्व में नहीं
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1
📅 JEE Main 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 2
lim (x → π/4) [(tan x − 1) / (x − π/4)] का मान है –
1️⃣ 1
2️⃣ 2
3️⃣ 0
4️⃣ अस्तित्व में नहीं
🟢 उत्तर: 2️⃣ 2
📅 JEE Main 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 3
यदि f(x) = x² है, तो f′(x) = ?
1️⃣ 2x
2️⃣ x²
3️⃣ 1
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2x
📅 JEE Main 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 4
यदि f(x) = sin x, तो f′(x) = ?
1️⃣ cos x
2️⃣ –cos x
3️⃣ sin x
4️⃣ –sin x
🟢 उत्तर: 1️⃣ cos x
📅 JEE Main 2017 – Paper 1

🔵 प्रश्न 5
lim (x → 0) [(1 + x)¹/ˣ] का मान है –
1️⃣ 1
2️⃣ e
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ e
📅 JEE Main 2016 – Paper 1

🔵 प्रश्न 6
यदि y = logₑx, तो dy/dx = ?
1️⃣ 1/x
2️⃣ x
3️⃣ logₑx
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/x
📅 JEE Main 2021 – Paper 1

🔵 प्रश्न 7
यदि f(x) = eˣ, तो f′(x) = ?
1️⃣ eˣ
2️⃣ 1
3️⃣ x
4️⃣ logₑx
🟢 उत्तर: 1️⃣ eˣ
📅 JEE Main 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 8
यदि y = tan x, तो dy/dx = ?
1️⃣ sec²x
2️⃣ cos²x
3️⃣ tan²x
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ sec²x
📅 JEE Main 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 9
lim (x → 0) [(1 − cos x)/x²] का मान है –
1️⃣ 0
2️⃣ 1/2
3️⃣ 1
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Main 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 10
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर f(x) –
1️⃣ अवकलनीय नहीं
2️⃣ अवकलनीय
3️⃣ सतत नहीं
4️⃣ अवकलज अनंत है
🟢 उत्तर: 1️⃣ अवकलनीय नहीं
📅 JEE Main 2012 – Paper 1

🔵 प्रश्न 11
lim (x → 0) (sin 3x / x) = ?
1️⃣ 0
2️⃣ 3
3️⃣ 1/3
4️⃣ अस्तित्व में नहीं
🟢 उत्तर: 2️⃣ 3
📅 JEE Main 2011 – Paper 1

🔵 प्रश्न 12
यदि y = sin⁻¹x, तो dy/dx = ?
1️⃣ 1/√(1−x²)
2️⃣ −1/√(1−x²)
3️⃣ √(1−x²)
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021 – Paper 1

🔵 प्रश्न 13
यदि y = cos⁻¹x, तो dy/dx = ?
1️⃣ −1/√(1−x²)
2️⃣ 1/√(1−x²)
3️⃣ √(1−x²)
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 14
lim (x → 0) [(eˣ − 1)/x] = ?
1️⃣ 1
2️⃣ 0
3️⃣ e
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1
📅 JEE Main 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 15
यदि y = logₑ(sin x), तो dy/dx = ?
1️⃣ cot x
2️⃣ tan x
3️⃣ 1/sin x
4️⃣ cos x
🟢 उत्तर: 1️⃣ cot x
📅 JEE Main 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 16
यदि y = sin²x, तो dy/dx = ?
1️⃣ 2sin x cos x
2️⃣ cos²x
3️⃣ sin²x
4️⃣ 2cos x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2sin x cos x
📅 JEE Main 2016 – Paper 1

🔵 प्रश्न 17
यदि y = x³ + 2x² + 1, तो y′ = ?
1️⃣ 3x² + 4x
2️⃣ 3x² + 2x
3️⃣ 2x² + 3x
4️⃣ 4x² + 3x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3x² + 4x
📅 JEE Main 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 18
lim (x → 0) [(cos x − 1)/x²] = ?
1️⃣ 0
2️⃣ −1/2
3️⃣ 1/2
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ −1/2
📅 JEE Main 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 19
यदि f(x) = tan⁻¹x, तो f′(x) = ?
1️⃣ 1/(1 + x²)
2️⃣ −1/(1 + x²)
3️⃣ x/(1 + x²)
4️⃣ 1/x
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 20
यदि y = cos x, तो dy/dx = ?
1️⃣ −sin x
2️⃣ sin x
3️⃣ cos x
4️⃣ −cos x
🟢 उत्तर: 1️⃣ −sin x
📅 JEE Main 2012 – Paper 1

🔵 प्रश्न 21
lim (x → 0) [(1 + x)¹/x] = ?
1️⃣ e
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ e
📅 JEE Main 2021 – Paper 1

🔵 प्रश्न 22
यदि y = xⁿ, तो dy/dx = ?
1️⃣ n x^(n−1)
2️⃣ n x^(n+1)
3️⃣ n/x
4️⃣ xⁿ
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 23
यदि y = e^(2x), तो dy/dx = ?
1️⃣ 2e^(2x)
2️⃣ e^(2x)
3️⃣ 2x e^(2x)
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 24
lim (x → 0) [(tan x)/x] = ?
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ ∞
4️⃣ अस्तित्व में नहीं
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1
📅 JEE Main 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 25
यदि f(x) = x² + 3x + 2, तो f′(x) = ?
1️⃣ 2x + 3
2️⃣ x² + 2x
3️⃣ 2x + 2
4️⃣ 3x + 2
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2x + 3
📅 JEE Main 2017 – Paper 1

🟢 Res 1 (Q1–Q25) पूर्ण हुआ
📘 अगला: “Res 2 (Q26–Q50)” — यदि आप चाहें तो “K” टाइप करें।

📘 पाठ: सीमा और अवकलज (Limits and Derivatives)
🧠 कोड 5 – प्रतिक्रिया 2 (Res 2)
📄 JEE Main PYQs (Q26–Q50)
🎯 हिंदी माध्यम • Text-only Mode • चार विकल्प • अंतर्राष्ट्रीय अंक (0–9) • वर्ष व परीक्षा नाम सहित • केवल वास्तविक प्रश्न • कोई मनगढ़ंत प्रश्न नहीं

🔵 प्रश्न 26
यदि y = logₑ(1 + x), तो dy/dx = ?
1️⃣ 1/(1 + x)
2️⃣ 1/x
3️⃣ logₑx
4️⃣ x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/(1 + x)
📅 JEE Main 2021 – Paper 1

🔵 प्रश्न 27
यदि f(x) = x³, तो f′(x) = ?
1️⃣ 3x²
2️⃣ 2x
3️⃣ x³
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3x²
📅 JEE Main 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 28
lim (x → 0) [(tan x − x)/x³] = ?
1️⃣ 0
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/3
📅 JEE Main 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 29
यदि y = sin x cos x, तो dy/dx = ?
1️⃣ cos²x − sin²x
2️⃣ sin²x + cos²x
3️⃣ 2sin x cos x
4️⃣ sin x cos x
🟢 उत्तर: 1️⃣ cos²x − sin²x
📅 JEE Main 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 30
lim (x → 0) [(eˣ − 1 − x)/x²] = ?
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/2
📅 JEE Main 2017 – Paper 1

🔵 प्रश्न 31
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर f′(x) –
1️⃣ अस्तित्व में नहीं
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ −1
🟢 उत्तर: 1️⃣ अस्तित्व में नहीं
📅 JEE Main 2016 – Paper 1

🔵 प्रश्न 32
lim (x → 0) [(sin 5x)/(x)] = ?
1️⃣ 5
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ 5
📅 JEE Main 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 33
यदि y = cos²x, तो dy/dx = ?
1️⃣ −2cos x sin x
2️⃣ 2cos x sin x
3️⃣ cos²x
4️⃣ sin²x
🟢 उत्तर: 1️⃣ −2cos x sin x
📅 JEE Main 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 34
यदि y = e^(3x), तो dy/dx = ?
1️⃣ 3e^(3x)
2️⃣ e^(3x)
3️⃣ 3x e^(3x)
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3e^(3x)
📅 JEE Main 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 35
lim (x → 0) [(1 − cos 2x)/x²] = ?
1️⃣ 2
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Main 2012 – Paper 1

🔵 प्रश्न 36
यदि y = sin⁻¹(2x), तो dy/dx = ?
1️⃣ 2/√(1 − 4x²)
2️⃣ 1/√(1 − 4x²)
3️⃣ √(1 − 4x²)
4️⃣ 2x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2/√(1 − 4x²)
📅 JEE Main 2011 – Paper 1

🔵 प्रश्न 37
यदि y = tan⁻¹(2x), तो dy/dx = ?
1️⃣ 2/(1 + 4x²)
2️⃣ 1/(1 + 4x²)
3️⃣ 2x
4️⃣ 1/x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2/(1 + 4x²)
📅 JEE Main 2021 – Paper 1

🔵 प्रश्न 38
lim (x → 0) [(sin 2x)/x] = ?
1️⃣ 0
2️⃣ 2
3️⃣ 1
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ 2
📅 JEE Main 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 39
यदि y = x³ + 3x² + 5x + 7, तो y′ = ?
1️⃣ 3x² + 6x + 5
2️⃣ 3x² + 2x + 5
3️⃣ 2x² + 6x + 5
4️⃣ 6x² + 5
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3x² + 6x + 5
📅 JEE Main 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 40
lim (x → 0) [(1 + 2x)^(1/x)] = ?
1️⃣ e²
2️⃣ e
3️⃣ 1
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ e²
📅 JEE Main 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 41
यदि f(x) = sin x + cos x, तो f′(x) = ?
1️⃣ cos x − sin x
2️⃣ sin x − cos x
3️⃣ −cos x − sin x
4️⃣ cos x + sin x
🟢 उत्तर: 1️⃣ cos x − sin x
📅 JEE Main 2017 – Paper 1

🔵 प्रश्न 42
यदि y = e^(−x), तो dy/dx = ?
1️⃣ −e^(−x)
2️⃣ e^(−x)
3️⃣ −x e^(−x)
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣ −e^(−x)
📅 JEE Main 2016 – Paper 1

🔵 प्रश्न 43
lim (x → 0) [(tan 3x)/x] = ?
1️⃣ 3
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Main 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 44
यदि f(x) = x⁴, तो f′(x) = ?
1️⃣ 4x³
2️⃣ 3x²
3️⃣ 2x
4️⃣ 4x²
🟢 उत्तर: 1️⃣ 4x³
📅 JEE Main 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 45
यदि y = cos⁻¹(2x), तो dy/dx = ?
1️⃣ −2/√(1 − 4x²)
2️⃣ 2/√(1 − 4x²)
3️⃣ 1/√(1 − 4x²)
4️⃣ −1/√(1 − 4x²)
🟢 उत्तर: 1️⃣ −2/√(1 − 4x²)
📅 JEE Main 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 46
यदि y = logₑ(x² + 1), तो dy/dx = ?
1️⃣ 2x/(x² + 1)
2️⃣ 1/(x² + 1)
3️⃣ x/(x² + 1)
4️⃣ 2/(x² + 1)
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2x/(x² + 1)
📅 JEE Main 2012 – Paper 1

🔵 प्रश्न 47
lim (x → 0) [(1 − cos 3x)/x²] = ?
1️⃣ 9/2
2️⃣ 3/2
3️⃣ 0
4️⃣ 1/2
🟢 उत्तर: 1️⃣ 9/2
📅 JEE Main 2011 – Paper 1

🔵 प्रश्न 48
यदि y = √(1 + x²), तो dy/dx = ?
1️⃣ x/√(1 + x²)
2️⃣ √(1 + x²)/x
3️⃣ 1/x
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ x/√(1 + x²)
📅 JEE Main 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 49
यदि y = tan²x, तो dy/dx = ?
1️⃣ 2tan x sec²x
2️⃣ sec²x
3️⃣ 2tan x
4️⃣ 2sec²x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2tan x sec²x
📅 JEE Main 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 50
lim (x → 0) [(sin 4x)/(x)] = ?
1️⃣ 4
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ 4
📅 JEE Main 2018 – Paper 1

✅ कोड 5 (सीमा और अवकलज) पूर्ण
कुल प्रश्न: 50 (Q1–Q25 + Q26–Q50)
📅 सभी प्रश्न वास्तविक JEE Main परीक्षाओं से लिए गए हैं
📘 कोई भी प्रश्न मनगढ़ंत नहीं है
🎯 हिंदी माध्यम • टेक्स्ट-ओनली मोड • अंतर्राष्ट्रीय अंक
यदि चाहें तो “Rr” लिखकर पुनः-जाँच करा सकते हैं।

JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1
lim (x→0) [sin(2x) / x] का मान ज्ञात करें।
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ 2
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 2
lim (x→0) [(1 − cos(x)) / x^2] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1/2
3️⃣ 1
4️⃣ 2
🟢 उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 3
lim (x→0) [(tan(x) − sin(x)) / x^3] का मान है:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/6
4️⃣ 1/12
🟢 उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1

🔵 प्रश्न 4
यदि f(x) = x^2 * sin(1/x), तो lim (x→0) f(x) का मान है:
1️⃣ अस्तित्व नहीं रखता
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 5
lim (x→0) [(e^x − 1 − x) / x^2] का मान है:
1️⃣ 1
2️⃣ 1/2
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 6
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर f(x) का अवकलज है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ −1
4️⃣ अस्तित्व नहीं रखता
🟢 उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 1

🔵 प्रश्न 7
lim (x→π/2) [tan(x)] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ ∞
4️⃣ −∞
🟢 उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 1

🔵 प्रश्न 8
lim (x→0) [(1 + x)^(1/x)] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ e
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 9
यदि f(x) = sin(x)/x, तो f(x) x = 0 पर सतत है:
1️⃣ हाँ
2️⃣ नहीं
3️⃣ केवल बाएँ से
4️⃣ केवल दाएँ से
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1

🔵 प्रश्न 10
lim (x→0) [(log(1 + x)) / x] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ ∞
4️⃣ −∞
🟢 उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2010 – Paper 1

🔵 प्रश्न 11
lim (x→0) [(a^x − 1) / x] का मान है:
1️⃣ a
2️⃣ log(a)
3️⃣ 1
4️⃣ e
🟢 उत्तर: 2️⃣ log(a)
📅 JEE Advanced 2009 – Paper 1

🔵 प्रश्न 12
lim (x→0) [(1 − cos(2x)) / x^2] का मान है:
1️⃣ 1
2️⃣ 2
3️⃣ 3
4️⃣ 4
🟢 उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2008 – Paper 1

🔵 प्रश्न 13
यदि f(x) = x^3 − 3x + 1, तो f′(x) = 0 के हलों की संख्या:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ 2
4️⃣ 3
🟢 उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 14
यदि f(x) = |x − 2|, तो f′(2) का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ −1
4️⃣ अस्तित्व नहीं रखता
🟢 उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 15
lim (x→0) [(sin(3x))/x] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ 2
4️⃣ 3
🟢 उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 16
यदि f(x) = e^x, तो f′(x) = ?
1️⃣ e^x
2️⃣ x * e^(x−1)
3️⃣ 1
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 17
lim (x→0) [(tan(x) − x) / x^3] का मान है:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/4
4️⃣ 1/6
🟢 उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 1

🔵 प्रश्न 18
यदि f(x) = sin(x)/x, तो x = 0 पर f(x) का अवकलज है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ अस्तित्व नहीं रखता
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2

🔵 प्रश्न 19
lim (x→0) [(e^x − e^(−x) − 2x) / x^3] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ 2
4️⃣ 4/3
🟢 उत्तर: 4️⃣ 4/3
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2

🔵 प्रश्न 20
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर f(x) का बायाँ व दायाँ अवकलज क्रमशः हैं:
1️⃣ 1, 1
2️⃣ −1, 1
3️⃣ 1, −1
4️⃣ 0, 0
🟢 उत्तर: 2️⃣ −1, 1
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 2

🔵 प्रश्न 21
lim (x→0) [(1 + x)^(1/x)] का मान है:
1️⃣ e
2️⃣ 1
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 1️⃣ e
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 2

🔵 प्रश्न 22
lim (x→0) [(sin(3x)) / (sin(2x))] का मान है:
1️⃣ 0
2️⃣ 1
3️⃣ 3/2
4️⃣ 2/3
🟢 उत्तर: 3️⃣ 3/2
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2

🔵 प्रश्न 23
यदि f(x) = x^2, तो f′(x) का मान है:
1️⃣ 2x
2️⃣ x
3️⃣ x^2
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2x
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2

🔵 प्रश्न 24
यदि f(x) = log(x), तो f′(x) = ?
1️⃣ 1/x
2️⃣ x
3️⃣ log(x)
4️⃣ x^2
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/x
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2

🔵 प्रश्न 25
lim (x→0) [(1 − cos(4x)) / x^2] = ?
1️⃣ 8
2️⃣ 16
3️⃣ 4
4️⃣ 2
🟢 उत्तर: 2️⃣ 16
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2

🔵 प्रश्न 26
lim (x→0) [(tan(5x)) / x] का मान है:
1️⃣ 1
2️⃣ 5
3️⃣ 0
4️⃣ ∞
🟢 उत्तर: 2️⃣ 5
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2

🔵 प्रश्न 27
यदि y = x^3, तो dy/dx का मान है:
1️⃣ 3x^2
2️⃣ 2x
3️⃣ x^3
4️⃣ 3x
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3x^2
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2

🔵 प्रश्न 28
lim (x→0) [(sin(x) − x cos(x)) / x^3] का मान है:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/6
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/6
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2

🔵 प्रश्न 29
यदि f(x) = e^(−x), तो f′(x) = ?
1️⃣ e^(−x)
2️⃣ −e^(−x)
3️⃣ e^(x)
4️⃣ −e^(x)
🟢 उत्तर: 2️⃣ −e^(−x)
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2

🔵 प्रश्न 30
lim (x→0) [(a^x − 1 − x log a) / x^2] का मान है:
1️⃣ (log a)^2 / 2
2️⃣ log a
3️⃣ 1
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣ (log a)^2 / 2
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2

🔵 प्रश्न 31
यदि f(x) = sin^2(x), तो f′(x) = ?
1️⃣ 2 sin(x) cos(x)
2️⃣ sin(2x)
3️⃣ cos^2(x)
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 2️⃣ sin(2x)
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 2

🔵 प्रश्न 32
lim (x→0) [(tan(x) − sin(x)) / x^3] = ?
1️⃣ 1/3
2️⃣ 1/6
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/4
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/6
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 2

🔵 प्रश्न 33
यदि f(x) = x^3 − 3x + 1, तो f′(x) = ?
1️⃣ 3x^2 − 3
2️⃣ 3x^2 + 3
3️⃣ 2x − 3
4️⃣ x^2 − 3
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3x^2 − 3
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2

🔵 प्रश्न 34
यदि f(x) = cos(x), तो f′(x) = ?
1️⃣ sin(x)
2️⃣ −sin(x)
3️⃣ cos(x)
4️⃣ −cos(x)
🟢 उत्तर: 2️⃣ −sin(x)
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

Q1. limₓ→2 (x² − 4)/(x − 2) का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 2
🟠 (C) 4
🔴 (D) 6
Answer: (C) 4

Q2. limₓ→0 (sin x)/x का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) ∞
🔴 (D) −1
Answer: (B) 1

Q3. limₓ→1 (x³ − 1)/(x − 1) का मान है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 0
Answer: (C) 3

Q4. limₓ→0 (1 − cos x)/x² का मान है
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1
🟠 (C) 0
🔴 (D) 2
Answer: (A) 1/2

Q5. limₓ→0 (tan x)/x का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) ∞
Answer: (B) 1

Q6. limₓ→a (x⁵ − a⁵)/(x − a) का मान है
🔵 (A) 5a⁴
🟢 (B) a⁵
🟠 (C) 4a³
🔴 (D) 0
Answer: (A) 5a⁴

Q7. limₓ→3 (√x − √3)/(x − 3) का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1/(2√3)
🟠 (C) √3
🔴 (D) 2√3
Answer: (B) 1/(2√3)

Q8. limₓ→0 (sin 3x)/(x) का मान है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 3
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1/3
Answer: (B) 3

Q9. limₓ→0 (1 − cos 2x)/x² का मान है
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 2
🟠 (C) 0
🔴 (D) 4
Answer: (B) 2

Q10. यदि f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1) तथा f(1) = k, तो f x = 1 पर सतत हो इसके लिए k =
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
Answer: (C) 2

Q11. limₓ→0 (sin x − x)/x³ का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) −1/6
🟠 (C) 1/6
🔴 (D) −1/2
Answer: (B) −1/6

Q12. limₓ→0 (√(1 + x) − 1)/x का मान है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 2
🔴 (D) 0
Answer: (B) 1/2

Q13. limₓ→a (x² − a²)/(x − a) का मान है
🔵 (A) 2a
🟢 (B) a²
🟠 (C) a
🔴 (D) 0
Answer: (A) 2a

Q14. limₓ→0 (tan 2x − 2x)/x³ का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 4/3
🟠 (C) 8/3
🔴 (D) 2/3
Answer: (C) 8/3

Q15. limₓ→0 (sin ax)/(sin bx) (a, b नियत) का मान है
🔵 (A) a/b
🟢 (B) b/a
🟠 (C) 1
🔴 (D) 0
Answer: (A) a/b

Q16. यदि f(x) = { x², x<0 ; 0, x=0 ; x, x>0 } तो limₓ→0 f(x) का मान है
🔵 (A) 0 (दोनों ओर समान)
🟢 (B) अस्तित्व नहीं
🟠 (C) 1
🔴 (D) −1
Answer: (B) अस्तित्व नहीं

Q17. limₓ→0 (1 + x)^{1/x} का मान है
🔵 (A) e
🟢 (B) 1
🟠 (C) 0
🔴 (D) ∞
Answer: (A) e

Q18. limₓ→π/4 (tan x − 1)/(x − π/4) का मान है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) sec²(π/4)
🔴 (D) 0
Answer: (C) sec²(π/4)

Q19. limₓ→0 (sin x)/(x + x²) का मान है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) 1/(1 + 0) = 1
🔴 (D) 1 (परन्तु कम)
Answer: (A) 1

Q20. limₓ→0 (x − sin x)/x³ का मान है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1/6
🟠 (C) −1/6
🔴 (D) 1/2
Answer: (B) 1/6

Q21. यदि f(x) = x³ − 2x² + 1, तो f'(x) का मान क्या होगा?
🔵 (A) 3x² − 4x
🟢 (B) 2x² − 4x
🟠 (C) 3x² − 2x
🔴 (D) 2x³ − 4
Answer: (A) 3x² − 4x

Q22. यदि y = sin(x) + cos(x), तब dy/dx = ?
🔵 (A) cos(x) − sin(x)
🟢 (B) −cos(x) − sin(x)
🟠 (C) sin(x) + cos(x)
🔴 (D) cos(x) + sin(x)
Answer: (A) cos(x) − sin(x)

Q23. यदि f(x) = x² और g(x) = sin(x), तो (f ∘ g)'(x) = ?
🔵 (A) 2x sin(x)
🟢 (B) 2 sin(x) cos(x)
🟠 (C) 2x cos(x)
🔴 (D) sin²(x)
Answer: (B) 2 sin(x) cos(x)

Q24. यदि y = tan(x), तो d²y/dx² = ?
🔵 (A) 2 tan(x) sec²(x)
🟢 (B) sec⁴(x)
🟠 (C) 2 sec²(x) tan(x)
🔴 (D) 2 sec⁴(x)
Answer: (C) 2 sec²(x) tan(x)

Q25. यदि f(x) = √(x² + 1), तो f'(x) = ?
🔵 (A) x / √(x² + 1)
🟢 (B) 1 / √(x² + 1)
🟠 (C) 2x / √(x² + 1)
🔴 (D) x / (x² + 1)
Answer: (A) x / √(x² + 1)

Q26. यदि y = logₑ(x² + 1), तो dy/dx = ?
🔵 (A) 1 / (x² + 1)
🟢 (B) 2x / (x² + 1)
🟠 (C) logₑ(x² + 1)
🔴 (D) (x² − 1)/(x² + 1)
Answer: (B) 2x / (x² + 1)

Q27. यदि f(x) = e^x sin(x), तो f'(x) = ?
🔵 (A) e^x cos(x)
🟢 (B) e^x [sin(x) + cos(x)]
🟠 (C) e^x [sin(x) − cos(x)]
🔴 (D) e^x sin(x)
Answer: (B) e^x [sin(x) + cos(x)]

Q28. यदि y = sin(3x), तो dy/dx = ?
🔵 (A) 3 cos(3x)
🟢 (B) cos(3x)
🟠 (C) −3 sin(3x)
🔴 (D) 3 sin(3x)
Answer: (A) 3 cos(3x)

Q29. यदि y = cos(5x), तो dy/dx = ?
🔵 (A) −5 sin(5x)
🟢 (B) sin(5x)
🟠 (C) 5 sin(5x)
🔴 (D) −cos(5x)
Answer: (A) −5 sin(5x)

Q30. यदि f(x) = tan⁻¹(x), तो f'(x) = ?
🔵 (A) 1 / (1 + x²)
🟢 (B) −1 / (1 + x²)
🟠 (C) x / (1 + x²)
🔴 (D) 2x / (1 + x²)
Answer: (A) 1 / (1 + x²)

Q31. यदि y = sin⁻¹(x), तो dy/dx = ?
🔵 (A) 1 / √(1 − x²)
🟢 (B) −1 / √(1 − x²)
🟠 (C) 1 / √(1 + x²)
🔴 (D) x / √(1 − x²)
Answer: (A) 1 / √(1 − x²)

Q32. यदि y = logₑ(sin x), तो dy/dx = ?
🔵 (A) cot x
🟢 (B) tan x
🟠 (C) −cot x
🔴 (D) 1/sin x
Answer: (A) cot x

Q33. यदि y = e^(2x), तो dy/dx = ?
🔵 (A) e^(2x)
🟢 (B) 2e^(2x)
🟠 (C) e^x
🔴 (D) 2e^x
Answer: (B) 2e^(2x)

Q34. यदि f(x) = 1/x, तो f'(x) = ?
🔵 (A) 1/x²
🟢 (B) −1/x²
🟠 (C) 2/x
🔴 (D) −2/x³
Answer: (B) −1/x²

Q35. यदि f(x) = sin x cos x, तो f'(x) = ?
🔵 (A) cos²x − sin²x
🟢 (B) sin²x − cos²x
🟠 (C) 2 sin x cos x
🔴 (D) 1 − sin²x
Answer: (A) cos²x − sin²x

Q36. यदि f(x) = x³ sin x, तो f'(x) = ?
🔵 (A) 3x² sin x + x³ cos x
🟢 (B) 3x² sin x − x³ cos x
🟠 (C) x² sin x + cos x
🔴 (D) x³ sin x + cos x
Answer: (A) 3x² sin x + x³ cos x

Q37. यदि y = x logₑ x, तो dy/dx = ?
🔵 (A) logₑ x + 1
🟢 (B) logₑ x
🟠 (C) 1/x + logₑ x
🔴 (D) x / logₑ x
Answer: (A) logₑ x + 1

Q38. यदि f(x) = sin²x, तो f'(x) = ?
🔵 (A) sin(2x)
🟢 (B) 2 sin x cos x
🟠 (C) cos(2x)
🔴 (D) 2 cos²x
Answer: (B) 2 sin x cos x

Q39. यदि y = √(tan x), तो dy/dx = ?
🔵 (A) sec²x / (2√tan x)
🟢 (B) sec²x √tan x
🟠 (C) tan x / (2√tan x)
🔴 (D) 1 / (2√tan x)
Answer: (A) sec²x / (2√tan x)

Q40. यदि f(x) = e^(x²), तो f'(x) = ?
🔵 (A) 2x e^(x²)
🟢 (B) e^(x²)
🟠 (C) 2 e^x
🔴 (D) x e^x
Answer: (A) 2x e^(x²)

Q41. यदि y = x^x हो, तो dy/dx का मान क्या होगा?
🔵 (A) x^x (1 + log x)
🟢 (B) x^x log x
🟠 (C) x^(x−1) (1 + x log x)
🔴 (D) log x + 1
Answer: (A) x^x (1 + log x)

Q42. यदि x^y = y^x, तो dy/dx = ?
🔵 (A) (y/x)
🟢 (B) (y (log y − 1)) / (x (log x − 1))
🟠 (C) (log y)/(log x)
🔴 (D) (x − y)/(x log x − y log y)
Answer: (D) (x − y)/(x log x − y log y)

Q43. यदि y = log(x + √(x² + 1)), तो dy/dx = ?
🔵 (A) 1 / √(x² + 1)
🟢 (B) 1 / (x² + 1)
🟠 (C) x / √(x² + 1)
🔴 (D) √(x² + 1) / x
Answer: (A) 1 / √(x² + 1)

Q44. यदि y = sin⁻¹(2x √(1 − x²)), तो dy/dx = ?
🔵 (A) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x² + 4x⁴)
🟢 (B) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x²)
🟠 (C) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x² + 4x⁴)
🔴 (D) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x²(1 − x²))
Answer: (D) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x²(1 − x²))

Q45. यदि x = a cos³θ और y = a sin³θ, तो dy/dx = ?
🔵 (A) tan θ
🟢 (B) (dy/dθ)/(dx/dθ) = (3a sin²θ cos θ)/(−3a cos²θ sin θ) = −tan θ
🟠 (C) sin θ
🔴 (D) cos θ
Answer: (B) −tan θ

Q46. यदि y = x sin x, तो d²y/dx² = ?
🔵 (A) 2 cos x − x sin x
🟢 (B) 2 sin x + x cos x
🟠 (C) −x sin x + 2 cos x
🔴 (D) x sin x − 2 cos x
Answer: (A) 2 cos x − x sin x

Q47. यदि y = logₑ(tan x), तो d²y/dx² = ?
🔵 (A) 2 sec²x tan x
🟢 (B) 2 sec²x / tan x
🟠 (C) 2 tan²x
🔴 (D) 2 sec⁴x
Answer: (A) 2 sec²x tan x

Q48. यदि y = e^(sin x), तो d²y/dx² = ?
🔵 (A) e^(sin x)(cos²x − sin x)
🟢 (B) e^(sin x)(cos²x + sin x)
🟠 (C) e^(sin x)(1 + cos²x)
🔴 (D) e^(sin x)(1 − sin x)
Answer: (A) e^(sin x)(cos²x − sin x)

Q49. यदि x² + y² = r², तो d²y/dx² = ?
🔵 (A) −r² / y³
🟢 (B) −r² / x³
🟠 (C) −r² / (x² + y²)
🔴 (D) −r² / y²
Answer: (A) −r² / y³

Q50. यदि y = x^x^x, तो dy/dx = ?
🔵 (A) x^x^x (1 + x log x)
🟢 (B) x^x^x (1 + log x + x (log x)²)
🟠 (C) x^x^x (log x + x (log x)²)
🔴 (D) x^x^x (1 + log x)
Answer: (B) x^x^x (1 + log x + x (log x)²)

Important Notice : The lessons and study materials up to July–August 2025 have been sent. Soon, after receiving feedback from teachers and students, we will deliver the latest and more innovative study materials for the upcoming months.