Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 11. त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🌿 प्रस्तावना (Introduction)
त्रिविमीय ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो बिन्दुओं, रेखाओं और समतलों के बीच के स्थानिक सम्बन्धों का अध्ययन करती है।
जहाँ द्विविमीय ज्यामिति (2D Geometry) में हम x तथा y अक्षों पर स्थित बिन्दुओं का अध्ययन करते हैं, वहीं त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry) में तीसरा अक्ष — z-अक्ष — भी सम्मिलित होता है।
इस प्रकार किसी भी बिन्दु का स्थान तीन निर्देशांक (x, y, z) द्वारा व्यक्त किया जाता है।
💡 स्मरण रखो:
त्रिविमीय स्थान में किसी भी बिन्दु का स्थान ज्ञात करने के लिए तीन परस्पर लंब अक्षों — X, Y, Z — की आवश्यकता होती है।
🔵 निर्देशांक अक्ष (Coordinate Axes)
त्रिविमीय स्थान में तीन परस्पर लंब अक्ष होते हैं —
➡️ X-अक्ष (क्षैतिज दिशा में)
➡️ Y-अक्ष (दाईं ओर क्षैतिज दिशा में)
➡️ Z-अक्ष (ऊर्ध्व दिशा में)
तीनों अक्ष एक-दूसरे के लंबवत (परस्पर समकोण पर) होते हैं और जिस बिन्दु पर ये तीनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं, उसे मूल बिन्दु (Origin) कहते हैं।
✏️ नोट: मूल बिन्दु को (0, 0, 0) से निरूपित किया जाता है।
🟢 निर्देशांक तल (Coordinate Planes)
जब दो अक्ष मिलकर एक समतल बनाते हैं, तो उसे निर्देशांक तल कहते हैं।
त्रिविमीय स्थान में तीन निर्देशांक तल होते हैं —
1️⃣ XY-तल → जब Z = 0 हो
2️⃣ YZ-तल → जब X = 0 हो
3️⃣ ZX-तल → जब Y = 0 हो
इन तीनों तलों से स्थान आठ भागों में विभाजित होता है जिन्हें अष्टक (Octants) कहा जाता है।
💡 स्मरण: जैसे द्विविमीय में चार चतुर्थांश (Quadrants) होते हैं, वैसे ही त्रिविमीय में आठ अष्टक होते हैं।
🔴 बिन्दु का स्थान और निर्देशांक (Coordinates of a Point)
यदि किसी बिन्दु P का स्थान त्रिविमीय स्थान में इस प्रकार हो कि
वह X-अक्ष से x इकाई, Y-अक्ष से y इकाई और Z-अक्ष से z इकाई दूरी पर हो,
तो उस बिन्दु को P(x, y, z) द्वारा दर्शाया जाता है।
✔️ उदाहरण:
यदि P बिन्दु X-अक्ष से 2 इकाई, Y-अक्ष से 3 इकाई, और Z-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है,
तो उसके निर्देशांक होंगे P(2, 3, 4)।
🔵 बिन्दु का चिन्ह निर्धारण (Signs of Coordinates in Octants)
त्रिविमीय स्थान (3D Space) में जब तीनों अक्ष X, Y और Z एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, तो वे स्थान को आठ भागों (अष्टक) में बाँटते हैं।
प्रत्येक अष्टक में x, y और z के चिन्ह (Sign) अलग-अलग होते हैं।
💡 स्मरण रखो:
बिन्दु के निर्देशांक के चिन्ह यह बताते हैं कि वह बिन्दु किस अष्टक (Octant) में स्थित है।
🟢 अष्टकों में चिन्हों का क्रम (Signs of Coordinates in Each Octant):
1️⃣ प्रथम अष्टक:
x > 0 , y > 0 , z > 0
👉 चिन्ह: (+ , + , +)
2️⃣ द्वितीय अष्टक:
x < 0 , y > 0 , z > 0
👉 चिन्ह: (− , + , +)
3️⃣ तृतीय अष्टक:
x < 0 , y < 0 , z > 0
👉 चिन्ह: (− , − , +)
4️⃣ चतुर्थ अष्टक:
x > 0 , y < 0 , z > 0
👉 चिन्ह: (+ , − , +)
5️⃣ पंचम अष्टक:
x > 0 , y > 0 , z < 0
👉 चिन्ह: (+ , + , −)
6️⃣ षष्ठ अष्टक:
x < 0 , y > 0 , z < 0
👉 चिन्ह: (− , + , −)
7️⃣ सप्तम अष्टक:
x < 0 , y < 0 , z < 0
👉 चिन्ह: (− , − , −)
8️⃣ अष्टम अष्टक:
x > 0 , y < 0 , z < 0
👉 चिन्ह: (+ , − , −)
💡 ध्यान दो: किसी बिन्दु के निर्देशांक के चिन्ह उसके स्थान (octant) को दर्शाते हैं।
🧠 दो बिन्दुओं के बीच की दूरी (Distance between Two Points)
यदि दो बिन्दु P₁(x₁, y₁, z₁) और P₂(x₂, y₂, z₂) हों,
तो उनके बीच की दूरी निम्न सूत्र से निकाली जाती है —
➡️ P₁P₂ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]
✏️ उदाहरण:
P₁(1, 2, 3) और P₂(4, 6, 9) के बीच की दूरी —
= √[(4 − 1)² + (6 − 2)² + (9 − 3)²]
= √[9 + 16 + 36]
= √61 इकाई
🟢 मध्य बिन्दु का सूत्र (Section / Mid-Point Formula)
यदि रेखाखण्ड P₁(x₁, y₁, z₁) और P₂(x₂, y₂, z₂) को जोड़ता है,
तो इसका मध्य बिन्दु M के निर्देशांक होंगे —
➡️ M( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 , (z₁ + z₂)/2 )
💡 यह सूत्र बिन्दु को समान दो भागों में विभाजित करता है।
🔵 आन्तरिक एवं बाह्य विभाजन (Section Formula)
यदि कोई बिन्दु P(x, y, z) रेखाखण्ड को आन्तरिक रूप से m : n अनुपात में विभाजित करता है,
तो इसके निर्देशांक होंगे —
➡️ P( (mx₂ + nx₁)/(m + n) , (my₂ + ny₁)/(m + n) , (mz₂ + nz₁)/(m + n) )
और यदि बाह्य रूप से विभाजन होता है, तो —
➡️ P( (mx₂ − nx₁)/(m − n) , (my₂ − ny₁)/(m − n) , (mz₂ − nz₁)/(m − n) )
🔴 त्रिविमीय रूप में दूरी और मध्य बिन्दु के उपयोग
त्रिविमीय ज्यामिति में इन सूत्रों का प्रयोग निम्न कार्यों हेतु किया जाता है —
✔️ बिन्दुओं के बीच की दूरी निकालना
✔️ बिन्दु किसी रेखा या समतल पर स्थित है या नहीं, यह जाँचना
✔️ त्रिभुज के केन्द्रक, लम्ब केन्द्र, परिकेन्द्र आदि ज्ञात करना
🟢 तीन बिन्दुओं की सहरेखीयता की शर्त (Collinearity of Three Points)
यदि तीन बिन्दु P₁, P₂, P₃ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं,
तो उनकी दो-दो के बीच की दूरियों में यह सम्बन्ध होता है —
➡️ P₁P₃ = P₁P₂ + P₂P₃
या, उनके अंतर निर्देशांकों में अनुपात समान होता है —
(x₂ − x₁)/(x₃ − x₂) = (y₂ − y₁)/(y₃ − y₂) = (z₂ − z₁)/(z₃ − z₂)
🟡 चार बिन्दुओं के समतलीय होने की शर्त (Coplanarity of Four Points)
यदि चार बिन्दु A, B, C, D एक ही समतल में हों,
तो उनके स्थिति सदिशों (position vectors) में यह सम्बन्ध होगा —
AB, AC, और AD सहसमतलीय होंगे,
अर्थात् AB·(AC × AD) = 0
🧠 वास्तविक जीवन में प्रयोग (Applications in Real Life)
✔️ भवन निर्माण में त्रिविमीय मापों का प्रयोग।
✔️ उपग्रह, मिसाइल, और विमान के पथ की गणना।
✔️ कंप्यूटर ग्राफिक्स और 3D मॉडलिंग में स्थिति निर्धारण।
🔵🔵🔵 सारांश (Summary Section) 🔵🔵🔵
➡️ त्रिविमीय ज्यामिति में किसी बिन्दु का स्थान तीन निर्देशांकों (x, y, z) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
➡️ तीन निर्देशांक अक्ष — X, Y, Z — परस्पर लंब होते हैं और मूल बिन्दु (0, 0, 0) पर मिलते हैं।
➡️ बिन्दु P₁(x₁, y₁, z₁) तथा P₂(x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²] होती है।
➡️ मध्य बिन्दु M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 , (z₁+z₂)/2)
➡️ आन्तरिक विभाजन के लिए सूत्र P( (mx₂ + nx₁)/(m + n), … )
➡️ सहरेखीयता की शर्त — निर्देशांक के अन्तरों का समान अनुपात।
📝 Quick Recap:
🔹 त्रिविमीय ज्यामिति में बिन्दु = (x, y, z)
🔹 दूरी सूत्र = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]
🔹 मध्य बिन्दु सूत्र = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)
🔹 विभाजन सूत्र (आन्तरिक/बाह्य)
🔹 सहरेखीयता एवं समतलता की शर्तें
🔹 8 अष्टक → x, y, z के चिन्हों से पहचाने जाते हैं
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
पाठ्यपुस्त के प्रश्न
प्रश्नावली 11.1
प्रश्न 1:
एक बिंदु x-अक्ष पर स्थित है। इसके y-निर्देशांक तथा z-निर्देशांक क्या हैं?
उत्तर:
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x, 0, 0) होते हैं।
अतः y = 0 और z = 0।
प्रश्न 2:
एक बिंदु XZ-तल में है। इसके y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
उत्तर:
XZ-तल पर किसी भी बिंदु का रूप (x, 0, z) होता है।
अतः y = 0 (जबकि x और z कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं)।
प्रश्न 3:
उन अष्टांशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिंदु स्थित हैं —
(1, 2, 3), (4, −2, 3), (4, −2, −5), (4, 2, −5), (−4, 2, −5), (−4, 2, 5), (−3, −1, 6), (−2, −4, −7)
उत्तर:
(+,+,+) → प्रथम अष्टांश → (1, 2, 3)
(+,-,+) → चतुर्थ अष्टांश → (4, −2, 3)
(+,-,-) → अष्टम अष्टांश → (4, −2, −5)
(+,+,-) → पंचम अष्टांश → (4, 2, −5)
(−,+,-) → षष्ठ अष्टांश → (−4, 2, −5)
(−,+,+) → द्वितीय अष्टांश → (−4, 2, 5)
(−,−,+) → तृतीय अष्टांश → (−3, −1, 6)
(−,−,−) → सप्तम अष्टांश → (−2, −4, −7)
प्रश्न 4:
रिक्त स्थान भरिए —
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों मिलकर जो तल बनाते हैं, उसे ______ कहते हैं।
(ii) XY-तल में किसी बिंदु के निर्देशांक ______ रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को ______ अष्टांशों में विभाजित करते हैं।
उत्तर:
(i) XY-तल
(ii) (x, y, 0)
(iii) 8
प्रश्नावली 11.2
🔹 प्रश्न 1: निम्नलिखित बिंदु–युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
(ii) (−3, 7, 2) और (2, 4, −1)
(iii) (−1, 3, −4) और (1, −3, 4)
(iv) (2, −1, 3) और (−2, 1, 3)
✏️ उत्तर:
दूरी सूत्र:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
➡️ (i)
= √((4−2)² + (3−3)² + (1−5)²)
= √(2² + 0² + (−4)²)
= √(4 + 16)
= √20 = 2√5
➡️ (ii)
= √((2−(−3))² + (4−7)² + (−1−2)²)
= √(5² + (−3)² + (−3)²)
= √(25 + 9 + 9)
= √43
➡️ (iii)
= √((1−(−1))² + (−3−3)² + (4−(−4))²)
= √(2² + (−6)² + (8)²)
= √(4 + 36 + 64)
= √104 = 2√26
➡️ (iv)
= √((−2−2)² + (1−(−1))² + (3−3)²)
= √((−4)² + (2)² + 0²)
= √(16 + 4)
= √20 = 2√5
✔️ अतः दूरियाँ क्रमशः हैं:
(2√5), (√43), (2√26), (2√5)
🔹 प्रश्न 2: दर्शाइए कि बिंदु (−2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, −1) सरेख हैं।
✏️ उत्तर:
तीन बिंदु सरेख होते हैं यदि AB⃗ और AC⃗ समानांतर हों।
मान लेते हैं —
A(−2, 3, 5), B(1, 2, 3), C(7, 0, −1)
अब,
AB⃗ = (1−(−2), 2−3, 3−5) = (3, −1, −2)
AC⃗ = (7−(−2), 0−3, −1−5) = (9, −3, −6)
➡️ अब देखें:
AC⃗ = 3 × AB⃗
अर्थात्, वेक्टर समानांतर हैं।
इसलिए, A, B, C तीनों बिंदु सरेख हैं।
🔹 प्रश्न 3: निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए —
(i) (0, 7, −10), (1, 6, −6), (4, 9, −6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
✏️ उत्तर:
AB = √((1−0)² + (6−7)² + (−6−(−10))²)
= √(1² + (−1)² + (4)²) = √(1 + 1 + 16) = √18
BC = √((4−1)² + (9−6)² + (−6−(−6))²)
= √(3² + 3² + 0²) = √18
CA = √((4−0)² + (9−7)² + (−6−(−10))²)
= √(4² + 2² + 4²) = √(16 + 4 + 16) = √36 = 6
🔵 AB = BC ⇒ त्रिभुज समद्विबाहु है।
(ii) (0, 7, 10), (−1, 6, 6), (−4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
AB = √((−1−0)² + (6−7)² + (6−10)²)
= √(1 + 1 + 16) = √18
BC = √((−4−(−1))² + (9−6)² + (6−6)²)
= √(9 + 9 + 0) = √18
CA = √((−4−0)² + (9−7)² + (6−10)²)
= √(16 + 4 + 16) = √36 = 6
अब,
AB² + BC² = 18 + 18 = 36 = CA²
🟢 अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।
(iii) (−1, 2, 1), (1, −2, 5), (4, −7, 8), (2, −3, 4) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
AB⃗ = (1−(−1), −2−2, 5−1) = (2, −4, 4)
DC⃗ = (2−4, −3−(−7), 4−8) = (−2, 4, −4)
🔴 AB⃗ = −DC⃗ ⇒ समानांतर और समान लंबाई के हैं।
इसी प्रकार AD⃗ = (4−(−1), −7−2, 8−1) = (5, −9, 7)
BC⃗ = (2−1, −3−(−2), 4−5) = (1, −1, −1)
दोनों युग्म समानांतर जोड़े बनाते हैं,
इसलिए चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है।
🔹 प्रश्न 4: ऐसे बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1, 2, 3) और (3, 2, −1) से समदूरस्थ हैं।
✏️ उत्तर:
मान लें कि P(x, y, z) वांछित बिंदु है।
शर्त: PA = PB
⇒ √((x−1)² + (y−2)² + (z−3)²) = √((x−3)² + (y−2)² + (z+1)²)
दोनों पक्षों को वर्ग करें —
(x−1)² + (y−2)² + (z−3)² = (x−3)² + (y−2)² + (z+1)²
➡️ विस्तार करें और सरल करें:
x²−2x+1 + y²−4y+4 + z²−6z+9 = x²−6x+9 + y²−4y+4 + z²+2z+1
सरलीकरण के बाद:
−2x + 1 − 6z + 9 = −6x + 9 + 2z + 1
➡️ 4x − 8z = 0
या x = 2z
✔️ अतः वांछित बिंदुओं का समीकरण है:
🟢 x = 2z
🔹 प्रश्न 5: बिंदुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं A(4, 0, 0) और B(−4, 0, 0) से दूरी का योग 10 है।
✏️ उत्तर:
यह शर्त दीर्घवृत्त की है,
क्योंकि किसी भी बिंदु से दो नियत बिंदुओं तक की दूरी का योग नियत होता है।
यहाँ, A(4, 0, 0), B(−4, 0, 0), तथा दूरी का योग 10 है।
तो, फोकस दूरी 2c = 8 ⇒ c = 4
कुल दूरी = 2a = 10 ⇒ a = 5
अब, b² = a² − c² = 25 − 16 = 9
✔️ दीर्घवृत्त का समीकरण:
(x² / 25) + (y² / 9) = 1
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
🔹 Response 1 : Q1–Q18 (MCQs)
Q1. किसी बिन्दु P(2, 3, 4) के निर्देशांक क्या हैं?
🔵 (A) (2, 3)
🟢 (B) (2, 3, 4)
🟠 (C) (3, 2, 4)
🔴 (D) (4, 3, 2)
उत्तर: (B) (2, 3, 4)
Q2. मूल बिन्दु कहाँ स्थित है?
🔵 (A) (1, 1, 1)
🟢 (B) (0, 0, 0)
🟠 (C) (0, 1, 0)
🔴 (D) (1, 0, 0)
उत्तर: (B) (0, 0, 0)
Q3. त्रिविमीय स्थान में X, Y, Z अक्ष क्या करते हैं?
🔵 (A) समानांतर
🟢 (B) परस्पर लंब
🟠 (C) किसी कोण पर
🔴 (D) एक-दूसरे को काटते नहीं
उत्तर: (B) परस्पर लंब
Q4. यदि बिन्दु P(x, y, z) तीसरे अष्टक में हो, तो चिन्ह होंगे —
🔵 (A) (+, +, +)
🟢 (B) (−, −, +)
🟠 (C) (−, −, −)
🔴 (D) (+, −, −)
उत्तर: (B) (−, −, +)
Q5. XY-तल पर Z का मान कितना होगा?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) −1
🔴 (D) कोई भी
उत्तर: (B) 0
Q6. YZ-तल पर X का मान होता है —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) कोई भी
उत्तर: (A) 0
Q7. ZX-तल पर Y का मान —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) कोई भी
उत्तर: (A) 0
Q8. बिन्दु P₁(1, 2, 3), P₂(4, 6, 9) के बीच की दूरी —
🔵 (A) √61
🟢 (B) √91
🟠 (C) √101
🔴 (D) √21
उत्तर: (A) √61
Q9. P₁(1, 2, 3) और P₂(7, 8, 9) का मध्य बिन्दु —
🔵 (A) (4, 5, 6)
🟢 (B) (3, 4, 5)
🟠 (C) (2, 3, 4)
🔴 (D) (5, 6, 7)
उत्तर: (A) (4, 5, 6)
Q10. P₁(2, 3, 4) और P₂(8, 9, 10) को 1:2 अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करने वाला बिन्दु —
🔵 (A) (4, 5, 6)
🟢 (B) (6, 7, 8)
🟠 (C) (5, 6, 7)
🔴 (D) (3, 4, 5)
उत्तर: (B) (6, 7, 8)
Q11. यदि तीन बिन्दु P₁, P₂, P₃ सहरेखीय हैं, तो अंतर निर्देशांकों का अनुपात —
🔵 (A) बराबर
🟢 (B) 1:2
🟠 (C) 2:3
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) बराबर
Q12. चार बिन्दु A, B, C, D समतलीय होने की शर्त —
🔵 (A) AB × AC × AD = 0
🟢 (B) AB · (AC × AD) = 0
🟠 (C) AC · (AB × AD) = 1
🔴 (D) AB + AC + AD = 0
उत्तर: (B) AB · (AC × AD) = 0
Q13. त्रिविमीय स्थान में अष्टक की संख्या —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 8
🟠 (C) 6
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 8
Q14. मूल बिन्दु से X-अक्ष तक दूरी 5, Y-अक्ष तक 12, Z-अक्ष तक 13 है। बिन्दु P(?, ?, ?) होगा —
🔵 (A) (5, 12, 13)
🟢 (B) (−5, 12, 13)
🟠 (C) (5, −12, 13)
🔴 (D) (−5, −12, −13)
उत्तर: (A) (5, 12, 13)
Q15. X = 0, Y = 2, Z = −3 बिन्दु किस तल में स्थित?
🔵 (A) XY-तल
🟢 (B) YZ-तल
🟠 (C) ZX-तल
🔴 (D) मूल बिन्दु
उत्तर: (B) YZ-तल
Q16. यदि बिन्दु P(x, y, z) प्रथम अष्टक में है, तो x, y, z के चिन्ह होंगे —
🔵 (A) +, +, +
🟢 (B) −, +, +
🟠 (C) −, −, +
🔴 (D) +, −, −
उत्तर: (A) +, +, +
Q17. P₁(1, 2, 3), P₂(4, 5, 6) के बीच रेखा की लंबाई —
🔵 (A) √27
🟢 (B) √35
🟠 (C) √14
🔴 (D) √36
उत्तर: (A) √27
Q18. रेखाखण्ड P₁(1, 1, 1) और P₂(5, 5, 5) को 1:1 अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करने वाला बिन्दु —
🔵 (A) (3, 3, 3)
🟢 (B) (2, 2, 2)
🟠 (C) (4, 4, 4)
🔴 (D) (1, 1, 1)
उत्तर: (A) (3, 3, 3)
🔹 Q19. बिन्दु P(1, 2, 3) और Q(4, 6, 9) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➤ Step 1: सूत्र:
P₁P₂ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]
➤ Step 2: मान सब्स्टिट्यूट करें:
= √[(4−1)² + (6−2)² + (9−3)²]
➤ Step 3: गणना:
= √[9 + 16 + 36]
= √61 इकाई
🔹 Q20. P₁(2, 3, 4) और P₂(8, 9, 10) का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➤ सूत्र: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)
➤ गणना: M = ((2+8)/2, (3+9)/2, (4+10)/2)
➤ परिणाम: M = (5, 6, 7)
🔹 Q21. रेखाखण्ड P₁(1, 2, 3) और P₂(4, 5, 6) को 1:2 अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करने वाला बिन्दु।
उत्तर:
➤ सूत्र: P = ((m x₂ + n x₁)/(m+n), (m y₂ + n y₁)/(m+n), (m z₂ + n z₁)/(m+n))
➤ m:n = 1:2 → P = ((14 + 21)/3, (15 + 22)/3, (16 + 23)/3)
➤ परिणाम: P = (2, 3, 4)
🔹 Q22. चार बिन्दु A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,0) समतलीय हैं या नहीं।
उत्तर:
➤ शर्त: AB · (AC × AD) = 0
AB = B − A = (1,0,0), AC = C − A = (0,1,0), AD = D − A = (1,1,0)
AC × AD = (0,0,−1)
AB · (AC × AD) = (1,0,0) · (0,0,−1) = 0
✅ इसलिए बिन्दु समतलीय हैं।
🔹 Q23. P₁(1,1,1), P₂(2,2,2), P₃(3,3,3) सहरेखीय हैं या नहीं।
उत्तर:
➤ शर्त: (x₂−x₁)/(x₃−x₂) = (y₂−y₁)/(y₃−y₂) = (z₂−z₁)/(z₃−z₂)
➤ गणना: 1/1 = 1, 1/1 = 1, 1/1 = 1
✅ सभी समान ⇒ बिन्दु सहरेखीय हैं।
🔹 Q24. बिन्दु Q(−2, 3, −4) किस अष्टक में स्थित है?
उत्तर:
x < 0, y > 0, z < 0
✅ यह षष्ठ अष्टक में स्थित है।
🔹 Q25. रेखा P₁(1,2,3) और P₂(4,5,6) का मध्य बिन्दु।
उत्तर:
M = ((1+4)/2, (2+5)/2, (3+6)/2) = (5/2, 7/2, 9/2)
🔹 Q26. बिन्दु P(2, −3, 4) किस अष्टक में है?
उत्तर:
x > 0, y < 0, z > 0
✅ यह चतुर्थ अष्टक में स्थित है।
🔹 Q27. रेखा P₁(0,0,0) और P₂(2,4,6) को 3:1 अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करने वाला बिन्दु।
उत्तर:
m:n = 3:1
P = ((32 + 10)/4, (34 + 10)/4, (36 + 10)/4)
P = (6/4, 12/4, 18/4) = (3/2, 3, 9/2)
🔹 Q28. बिन्दु P₁(1,2,3), P₂(4,5,6), P₃(7,8,9) का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➤ चरण 1: सूत्र —
M = ((x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3 , (z₁+z₂+z₃)/3)
➤ चरण 2: मान भरकर गणना —
M = ((1+4+7)/3 , (2+5+8)/3 , (3+6+9)/3)
➤ चरण 3: परिणाम —
M = (12/3 , 15/3 , 18/3) = (4, 5, 6)
✅ मध्य बिन्दु M = (4, 5, 6)
🔹 Q29. P₁(1,0,2), P₂(3,4,6) को 2:3 अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करने वाला बिन्दु।
उत्तर:
➤ चरण 1: सूत्र —
P = ((m x₂ + n x₁)/(m+n), (m y₂ + n y₁)/(m+n), (m z₂ + n z₁)/(m+n))
➤ चरण 2: m:n = 2:3
P = ((23 + 31)/5 , (24 + 30)/5 , (26 + 32)/5)
➤ चरण 3: गणना —
P = (9/5 , 8/5 , 12/5)
✅ परिणाम: P = (9/5 , 8/5 , 12/5)
🔹 Q30. चार बिन्दु A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,0) समतलीय हैं या नहीं।
उत्तर:
➤ चरण 1: AB = B − A = (1,0,0)
AC = C − A = (0,1,0)
AD = D − A = (1,1,0)
➤ चरण 2: AB · (AC × AD)
AC × AD = (0,0,−1)
AB · (AC × AD) = (1,0,0) · (0,0,−1) = 0
✅ निष्कर्ष: बिन्दु समतलीय हैं।
🔹 Q31. P₁(1,1,1), P₂(2,2,2), P₃(3,3,3) सहरेखीय हैं या नहीं।
उत्तर:
➤ चरण 1: सहरेखीयता की शर्त:
(x₂−x₁)/(x₃−x₂) = (y₂−y₁)/(y₃−y₂) = (z₂−z₁)/(z₃−z₂)
➤ चरण 2: गणना: 1/1 = 1 , 1/1 = 1 , 1/1 = 1
✅ निष्कर्ष: बिन्दु सहरेखीय हैं।
🔹 Q32. बिन्दु P(−2,3,−4) का अष्टक निर्धारण कीजिए।
उत्तर:
x < 0 , y > 0 , z < 0
✅ बिन्दु षष्ठ अष्टक में स्थित है।
🔹 Q33. बिन्दु P₁(0,0,0), P₂(2,4,6), P₃(3,6,9) के लिए मध्य बिन्दु और दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➤ चरण 1: मध्य बिन्दु M = ((0+2+3)/3 , (0+4+6)/3 , (0+6+9)/3) = (5/3 , 10/3 , 5)
➤ चरण 2: P₁P₂ की दूरी = √[(2−0)² + (4−0)² + (6−0)²] = √(4+16+36) = √56
➤ चरण 3: P₂P₃ की दूरी = √[(3−2)² + (6−4)² + (9−6)²] = √(1+4+9) = √14
✅ मध्य बिन्दु: (5/3 , 10/3 , 5)
✅ दूरी: P₁P₂ = √56 , P₂P₃ = √14
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————