Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 12: रैखिक प्रोग्रामन
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 1. परिचय (Introduction)
➡️ रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) एक ऐसी गणितीय विधि है जिसमें किसी रैखिक फलन (Linear Function) को कुछ रैखिक असमिकाओं (Linear Inequalities) की शर्तों के अंतर्गत अधिकतम (Maximize) या न्यूनतम (Minimize) किया जाता है।
💡 मुख्य विचार:
रैखिक प्रोग्रामन का उद्देश्य —
🔹 किसी फलन Z = a·x + b·y का मान प्राप्त करना,
🔹 ऐसी दशाओं में जहाँ x और y कुछ असमिकाओं को संतुष्ट करते हों।
✏️ उदाहरण:
एक उद्योगपति अपने लाभ को अधिकतम करना चाहता है, जिसके लिए वह रैखिक प्रोग्रामन की सहायता लेता है।
🟢 2. रैखिक प्रोग्रामन समस्या के घटक (Components)
🔹 (i) निर्णय चर (Decision Variables):
वे राशियाँ जिनका मान निकालना होता है, जैसे x, y।
🔹 (ii) उद्देश्य फलन (Objective Function):
Z = a·x + b·y, जहाँ a, b नियतांक हैं।
इसका मान अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
🔹 (iii) बाधाएँ (Constraints):
रैखिक असमिकाओं के रूप में दी जाती हैं, जैसे
2·x + 3·y ≤ 6,
x + y ≥ 3।
🔹 (iv) अऋणता शर्त (Non-Negativity Condition):
x ≥ 0, y ≥ 0
क्योंकि वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
🔴 3. उद्देश्य फलन (Objective Function)
➡️ Z = a·x + b·y
🔸 जहाँ Z वह फलन है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना है।
🔸 a, b नियतांक (constant) हैं।
🔸 x, y निर्णय चर हैं।
🟡 4. बाधाएँ (Constraints)
रैखिक असमिकाएँ जैसे:
2·x + y ≤ 10
x + 3·y ≤ 15
x ≥ 0, y ≥ 0
इन असमिकाओं से एक साध्य क्षेत्र (Feasible Region) बनता है।
🔵 5. साध्य क्षेत्र (Feasible Region)
➡️ वह क्षेत्र जो सभी असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करता है।
➡️ यह क्षेत्र ग्राफ में बहुभुजाकार रूप में दिखाई देता है।
💡 प्रकार:
🔹 सीमित साध्य क्षेत्र (Bounded) – जहाँ क्षेत्र सीमित है।
🔹 असीमित साध्य क्षेत्र (Unbounded) – जहाँ क्षेत्र अनंत दिशा में बढ़ता है।
🟢 6. कोण बिंदु (Corner Points)
➡️ साध्य क्षेत्र की सीमा पर स्थित वे बिंदु जहाँ दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
➡️ Z = a·x + b·y का मान प्रत्येक कोण बिंदु पर निकालते हैं।
➡️ अधिकतम/न्यूनतम मान किसी एक कोण बिंदु पर प्राप्त होता है।
💡 कोण बिंदु प्रमेय (Corner Point Theorem):
यदि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल अस्तित्व में है, तो वह साध्य क्षेत्र के किसी कोण बिंदु पर प्राप्त होगा।
🔴 7. ग्राफीय विधि (Graphical Method)
चरण:
1️⃣ असमिकाओं को = के रूप में लिखें।
2️⃣ प्रत्येक रेखा को x–y तल पर अंकित करें।
3️⃣ सही अर्ध-समतल (Half-plane) चुनें।
4️⃣ सभी रेखाओं के सामान्य क्षेत्र को साध्य क्षेत्र मानें।
5️⃣ साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु ज्ञात करें।
6️⃣ प्रत्येक बिंदु पर Z = a·x + b·y का मान निकालें।
7️⃣ अधिकतम या न्यूनतम मान निर्धारित करें।
🟡 8. विशेष स्थितियाँ (Special Cases)
🔹 (i) कोई साध्य क्षेत्र नहीं: यदि असमिकाएँ विरोधाभासी हैं।
🔹 (ii) असीमित साध्य क्षेत्र: चरम मान केवल तभी अस्तित्व में होगा जब वह सीमित हो।
🔹 (iii) बहुल हल: यदि एक से अधिक कोण बिंदुओं पर समान चरम मान प्राप्त हो।
🔵 9. उदाहरण (Example)
🎯 अधिकतम करें ➡️ Z = 3·x + 5·y
शर्तें (Constraints):
1️⃣ x + y ≤ 4
2️⃣ x ≤ 2
3️⃣ y ≤ 3
4️⃣ x ≥ 0, y ≥ 0
➡️ अब ग्राफ द्वारा साध्य क्षेत्र बनाएँ।
➡️ प्रत्येक असमिका को रेखा के रूप में लिखें:
x + y = 4
x = 2
y = 3
x = 0, y = 0 (अक्ष)
✏️ इन रेखाओं के प्रतिच्छेद से बने साध्य क्षेत्र (Feasible Region) के कोण बिंदु (Corner Points) होंगे:
(0,0), (0,3), (1,3), (2,2), (2,0)
अब प्रत्येक बिंदु पर Z = 3·x + 5·y का मान निकालें:बिंदु Z = 3·x + 5·y (0,0) 3·0 + 5·0 = 0 (0,3) 3·0 + 5·3 = 15 (1,3) 3·1 + 5·3 = 3 + 15 = 18 (2,2) 3·2 + 5·2 = 6 + 10 = 16 (2,0) 3·2 + 5·0 = 6 + 0 = 6
✔️ Z का अधिकतम मान = 18
📍 यह बिंदु (1, 3) पर प्राप्त होता है।
➡️ अतः हल:
x = 1, y = 3, Zₘₐₓ = 18
🟢 10. अनुप्रयोग (Applications)
📌 उत्पादन योजना (Production Planning)
📌 संसाधन आवंटन (Resource Allocation)
📌 लाभ अधिकतमकरण (Profit Maximization)
📌 लागत न्यूनकरण (Cost Minimization)
📌 परिवहन समस्या (Transportation Problem)
🔴 11. सावधानियाँ (Precautions)
⚡ सभी असमिकाओं के सही अर्ध-समतल चुनें।
⚡ x ≥ 0, y ≥ 0 की शर्त सदैव शामिल करें।
⚡ केवल दो चर वाली समस्याओं पर ग्राफीय विधि लागू करें।
⚡ हर कोण बिंदु पर Z का मान अवश्य निकालें।
📘 सारांश (Summary)
🔹 रैखिक प्रोग्रामन समस्या में Z = a·x + b·y को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है।
🔹 बाधाएँ रैखिक असमिकाएँ होती हैं जो साध्य क्षेत्र बनाती हैं।
🔹 Corner Point Theorem के अनुसार हल कोण बिंदु पर प्राप्त होता है।
🔹 यदि साध्य क्षेत्र सीमित है, तो चरम मान निश्चित रूप से प्राप्त होता है।
🔹 यह विधि दो चरों वाली समस्याओं के लिए उपयुक्त है।
🔹 रैखिक प्रोग्रामन के उपयोग — लाभ बढ़ाना, लागत घटाना, संसाधन आवंटन।
📝 Quick Recap
🔹 🎯 उद्देश्य फलन: Z = a·x + b·y
🔹 📏 बाधाएँ: रैखिक असमिकाएँ
🔹 📉 साध्य क्षेत्र: असमिकाओं का समान क्षेत्र
🔹 🧠 Corner Point Theorem: चरम मान कोण बिंदु पर
🔹 📈 ग्राफीय विधि: दो चरों के लिए
🔹 💡 उपयोग: लाभ अधिकतम, लागत न्यूनतम
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🧾 प्रश्नावली 12.1
🔵 प्रश्न 1:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,0), (4,0), (0,4)
✏️ Z(0,0) = 0
✏️ Z(4,0) = 12
✏️ Z(0,4) = 16
✔️ अधिकतम Z = 16 बिंदु (0,4) पर।
🔵 प्रश्न 2:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,0), (4,0), (0,4), (2,3)
✏️ Z(0,0) = 0
✏️ Z(4,0) = -12
✏️ Z(0,4) = 16
✏️ Z(2,3) = 6
✔️ न्यूनतम Z = -12 बिंदु (4,0) पर।
🔵 प्रश्न 3:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,0), (2,0), (0,3), तथा दोनों रेखाओं का छेदन
✏️ छेदन से ➡️ x = 20/19, y = 45/19
✏️ Z(0,0) = 0
✏️ Z(2,0) = 10
✏️ Z(0,3) = 9
✏️ Z(20/19, 45/19) = 235/19
✔️ अधिकतम Z = 235/19 बिंदु (20/19, 45/19) पर।
🔵 प्रश्न 4:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
x + 3y ≥ 3, x ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ छेदन बिंदु ➡️ x = 2, y = 1/3
✏️ Z(2, 1/3) = 6 + 5/3 = 23/3
✏️ Z(3, 0) = 9
✔️ न्यूनतम Z = 23/3 बिंदु (2, 1/3) पर।
🔵 प्रश्न 5:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ क्षेत्र में मूल बिंदु (0,0) शामिल है
✏️ Z(0,0) = 0
✔️ न्यूनतम Z = 0 बिंदु (0,0) पर।
🔵 प्रश्न 6:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ कोने-बिंदु ➡️ (0,3) और (6,0)
✏️ Z(0,3) = 6
✏️ Z(6,0) = 6
✔️ न्यूनतम Z = 6, जो रेखा-खंड (0,3) से (6,0) तक के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।
📝 Quick Recap:
✏️ अधिकतम/न्यूनतम सदैव कोने-बिंदुओं पर प्राप्त होते हैं।
✏️ ‘≤’ प्रकार की बाधाएँ क्षेत्र को मूल की ओर बाँधती हैं।
✏️ जब Z किसी किनारे के समानान्तर होता है ➡️ उस किनारे पर Z का मान समान रहता है।
✔️ प्रश्न 6 में यही स्थिति है।
🔵 प्रश्न 7:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = 5x + 10y का न्यूनतमकरण तथा अधिकतमकरण कीजिए :
x + 2y ≤ 120,
x + y ≥ 60,
x – 2y ≥ 0,
x, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ सबसे पहले रेखाएँ बनाइए :
x + 2y = 120,
x + y = 60,
x – 2y = 0
✏️ ➡️ इनसे बने क्षेत्र के कोने बिंदु हैं :
A(0,60), B(40,40), C(120,0)
✏️ ➡️ अब प्रत्येक कोने पर Z = 5x + 10y का मान ज्ञात करें:
Z(A) = 5(0) + 10(60) = 600
Z(B) = 5(40) + 10(40) = 600
Z(C) = 5(120) + 10(0) = 600
✔️ अतः न्यूनतम मान = अधिकतम मान = 600
✔️ यह क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर समान है।
🔵 प्रश्न 8:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = x + 2y का न्यूनतमकरण तथा अधिकतमकरण कीजिए :
x + 2y ≥ 100,
2x – y ≤ 0,
2x + y ≤ 200,
x, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ समीकरणों की रेखाएँ :
x + 2y = 100,
2x – y = 0 (या y = 2x),
2x + y = 200
✏️ ➡️ कोने बिंदु ज्ञात करें :
A(0,50), B(40,80), C(50,100)
✏️ ➡️ प्रत्येक बिंदु पर Z = x + 2y का मान:
Z(A) = 0 + 2(50) = 100
Z(B) = 40 + 2(80) = 200
Z(C) = 50 + 2(100) = 250
✔️ न्यूनतम मान = 100, बिंदु A(0,50) पर
✔️ अधिकतम मान = 250, बिंदु C(50,100) पर
🔵 प्रश्न 9:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = –x + 2y का अधिकतमकरण कीजिए :
x ≥ 3,
x + y ≥ 5,
x + 2y ≥ 6,
y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ रेखाएँ :
x = 3,
x + y = 5,
x + 2y = 6
✏️ ➡️ प्रतिच्छेदन बिंदु:
A(3,0), B(3,1.5), C(4,1)
✏️ ➡️ Z = –x + 2y
Z(A) = –3 + 0 = –3
Z(B) = –3 + 3 = 0
Z(C) = –4 + 2 = –2
✔️ अधिकतम मान = 0 बिंदु B(3,1.5) पर।
🔵 प्रश्न 10:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत
Z = x + y का अधिकतमकरण कीजिए :
x – y ≤ –1,
–x + y ≤ 0,
x, y ≥ 0
🟢 उत्तर:
✏️ ➡️ पहली रेखा: x – y = –1 ⇒ y = x + 1
✏️ ➡️ दूसरी रेखा: –x + y = 0 ⇒ y = x
✏️ ➡️ क्षेत्र y ≥ x + 1 और y ≥ x दोनों रेखाओं के ऊपर है।
✏️ ➡️ कोई सीमित क्षेत्र नहीं बनता, अतः Z = x + y का मान अनंत तक बढ़ सकता है।
✔️ अधिकतम मान अपरिभाषित (∞)
✔️ कोई सीमित अधिकतम नहीं है।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र
🔵 प्रश्न 1
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन का सामान्य रूप है:
🔵 (A) Z = ax + by
🟢 (B) Z = a/x + b/y
🟠 (C) Z = a·x² + b·y²
🔴 (D) Z = a·x³ + b·y³
✔️ Answer: (A) Z = ax + by
🔵 प्रश्न 2
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में बाधाएँ दी जाती हैं:
🔵 (A) रैखिक समीकरण के रूप में
🟢 (B) रैखिक असमिकाओं के रूप में
🟠 (C) द्विघात समीकरण के रूप में
🔴 (D) लघुगणकीय रूप में
✔️ Answer: (B) रैखिक असमिकाओं के रूप में
🔵 प्रश्न 3
रैखिक प्रोग्रामन में कौन सी शर्त सदैव आवश्यक होती है?
🔵 (A) x ≤ 0, y ≤ 0
🟢 (B) x ≥ 0, y ≥ 0
🟠 (C) x = 0, y = 0
🔴 (D) x, y कोई भी मान ले सकते हैं
✔️ Answer: (B) x ≥ 0, y ≥ 0
🔵 प्रश्न 4
साध्य क्षेत्र (Feasible Region) किससे बनता है?
🔵 (A) उद्देश्य फलन से
🟢 (B) बाधाओं से
🟠 (C) अऋणता शर्त से
🔴 (D) उपर्युक्त सभी से
✔️ Answer: (B) बाधाओं से
🔵 प्रश्न 5
रैखिक प्रोग्रामन का हल प्राप्त करने की कौन सी विधि दो चर वाले मामलों में प्रयुक्त होती है?
🔵 (A) बीजीय विधि
🟢 (B) ग्राफीय विधि
🟠 (C) रेखीय विधि
🔴 (D) संख्यात्मक विधि
✔️ Answer: (B) ग्राफीय विधि
🔵 प्रश्न 6
यदि साध्य क्षेत्र सीमित है, तो:
🔵 (A) हल अस्तित्व में नहीं होता
🟢 (B) अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त होते हैं
🟠 (C) केवल न्यूनतम मान मिलता है
🔴 (D) केवल अधिकतम मान मिलता है
✔️ Answer: (B) अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त होते हैं
🔵 प्रश्न 7
Corner Point Theorem के अनुसार हल किस पर प्राप्त होता है?
🔵 (A) साध्य क्षेत्र के भीतर
🟢 (B) साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु पर
🟠 (C) असाध्य क्षेत्र पर
🔴 (D) कहीं भी
✔️ Answer: (B) साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु पर
🔵 प्रश्न 8
यदि साध्य क्षेत्र असीमित हो, तो:
🔵 (A) अधिकतम मान निश्चित रूप से प्राप्त होगा
🟢 (B) न्यूनतम मान प्राप्त नहीं हो सकता
🟠 (C) चरम मान का परीक्षण आवश्यक है
🔴 (D) कोई हल नहीं होगा
✔️ Answer: (C) चरम मान का परीक्षण आवश्यक है
🔵 प्रश्न 9
बाधाएँ किस रूप में दी जाती हैं?
🔵 (A) ax + by = c
🟢 (B) ax + by ≤ c या ax + by ≥ c
🟠 (C) ax² + by² = c
🔴 (D) उपर्युक्त सभी
✔️ Answer: (B) ax + by ≤ c या ax + by ≥ c
🔵 प्रश्न 10
रैखिक प्रोग्रामन में निर्णय चर कौन होते हैं?
🔵 (A) वे राशियाँ जिनका मान निश्चित है
🟢 (B) वे राशियाँ जिनका मान निकालना है
🟠 (C) नियतांक
🔴 (D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
✔️ Answer: (B) वे राशियाँ जिनका मान निकालना है
🔵 प्रश्न 11
यदि बाधाएँ विरोधाभासी हों, तो:
🔵 (A) बहुल हल मिलते हैं
🟢 (B) कोई साध्य क्षेत्र नहीं बनेगा
🟠 (C) सभी हल संभव हैं
🔴 (D) हल असीमित होंगे
✔️ Answer: (B) कोई साध्य क्षेत्र नहीं बनेगा
🔵 प्रश्न 12
यदि दो बिंदुओं पर Z का मान समान हो, तो:
🔵 (A) कोई हल नहीं
🟢 (B) बहुल हल होंगे
🟠 (C) अधिकतम हल
🔴 (D) न्यूनतम हल
✔️ Answer: (B) बहुल हल होंगे
🔵 प्रश्न 13
ग्राफीय विधि किस स्थिति में प्रयुक्त होती है?
🔵 (A) दो से अधिक चर
🟢 (B) दो चर
🟠 (C) एक चर
🔴 (D) कोई भी नहीं
✔️ Answer: (B) दो चर
🔵 प्रश्न 14
उद्देश्य फलन का रूप सदैव होता है:
🔵 (A) द्विघात
🟢 (B) रैखिक
🟠 (C) घन
🔴 (D) घातांकीय
✔️ Answer: (B) रैखिक
🔵 प्रश्न 15
रैखिक प्रोग्रामन में हल का स्वरूप होता है:
🔵 (A) समीकरण
🟢 (B) बिंदु
🟠 (C) वक्र
🔴 (D) असमिका
✔️ Answer: (B) बिंदु
🔵 प्रश्न 16
यदि साध्य क्षेत्र सीमित है, तो Z का अधिकतम और न्यूनतम मान:
🔵 (A) अस्तित्व में नहीं
🟢 (B) अस्तित्व में होता है
🟠 (C) केवल अधिकतम
🔴 (D) केवल न्यूनतम
✔️ Answer: (B) अस्तित्व में होता है
🔵 प्रश्न 17
Z = 3x + 2y का अधिकतम मान ज्ञात करने हेतु किस क्षेत्र में जाँच करते हैं?
🔵 (A) असाध्य क्षेत्र
🟢 (B) साध्य क्षेत्र
🟠 (C) असीम क्षेत्र
🔴 (D) पूरे तल पर
✔️ Answer: (B) साध्य क्षेत्र
🔵 प्रश्न 18
रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग कहाँ नहीं होता?
🔵 (A) लाभ अधिकतमकरण
🟢 (B) लागत न्यूनकरण
🟠 (C) आकस्मिक निर्णय
🔴 (D) संसाधन आवंटन
✔️ Answer: (C) आकस्मिक निर्णय
(Section B: Q19–Q23 — लघु उत्तर • Section C: Q24–Q28 — मध्यम उत्तर)
🔵 प्रश्न 19
रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) के चार मुख्य घटक लिखिए।
उत्तर:
🟢 घटक 1: निर्णय चर (Decision Variables) — जैसे x, y
🟡 घटक 2: उद्देश्य फलन (Objective Function) — Z = a·x + b·y
🔴 घटक 3: बाधाएँ (Constraints) — रैखिक असमिकाएँ, जैसे ax + by ≤ c
🟣 घटक 4: अऋणता शर्त (Non-negativity) — x ≥ 0, y ≥ 0
🔵 प्रश्न 20
Corner Point Theorem का कथन लिखिए।
उत्तर:
🟢 Step 1: यदि LPP का साध्य क्षेत्र रिक्त नहीं है और हल अस्तित्व में है,
🟡 Step 2: तो उद्देश्य फलन Z = a·x + b·y का अधिकतम/न्यूनतम मान साध्य क्षेत्र के किसी कोण बिंदु पर प्राप्त होता है।
✔️ निष्कर्ष: चरम मान की जाँच केवल कोण बिंदुओं पर पर्याप्त है।
🔵 प्रश्न 21
निम्न असमिकाओं से अर्ध-समतल कैसे चुना जाता है: 2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0?
उत्तर:
🟢 Step 1: प्रत्येक असमिका को = के रूप में लिखें: 2x + y = 6
🟡 Step 2: जाँच बिंदु (0,0) रखें: 2·0 + 0 = 0 ≤ 6 ⇒ सही अर्ध-समतल रेखा के नीचे/बाएँ
🔴 Step 3: x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ प्रथम चतुर्थांश
✔️ निष्कर्ष: साध्य क्षेत्र = रेखा 2x + y = 6 के नीचे का भाग ∩ प्रथम चतुर्थांश
🔵 प्रश्न 22
यदि साध्य क्षेत्र असीमित हो, तो अधिकतम मान की पुष्टि कैसे करेंगे?
उत्तर:
🟢 Step 1: कोण बिंदु पर Z का मान निकालें
🟡 Step 2: उद्देश्य रेखा Z = k को समान्तर खिसकाएँ
🔴 Step 3: यदि Z का मान किसी दिशा में बिना बंधन बढ़ता/घटता है, तो चरम मान अस्तित्व में नहीं
✔️ Step 4: यदि आगे खिसकाने पर साध्य क्षेत्र छोड़ना पड़े, तो प्राप्त मान ही अधिकतम/न्यूनतम है
🔵 प्रश्न 23
बहुल (Multiple) हल कब प्राप्त होते हैं?
उत्तर:
🟢 Step 1: जब दो या अधिक कोण बिंदुओं पर Z का मान समान हो
🟡 Step 2: और वह समान मान उन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर भी प्राप्त हो
✔️ निष्कर्ष: उद्देश्य रेखा साध्य क्षेत्र की किसी भुजा के समान्तर/समापतित हो जाती है
🟦 Section C — मध्यम उत्तर (3 अंक प्रत्येक)
🔵 प्रश्न 24
अधिकतम कीजिए: Z = 3x + 2y, बाधाएँ: x + y ≤ 4, x ≤ 3, y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + y = 4; x = 3; y = 2; अक्ष x = 0, y = 0
🟡 Step 2: साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु: (0,0), (0,2), (2,2), (3,1), (3,0)
🔴 Step 3: Z मान:
• (0,0) → 0
• (0,2) → 4
• (2,2) → 3·2 + 2·2 = 10
• (3,1) → 3·3 + 2·1 = 11
• (3,0) → 9
✔️ Final: Z_max = 11 बिंदु (3,1) पर; x = 3, y = 1
🔵 प्रश्न 25
न्यूनतम कीजिए: Z = 4x + 6y, बाधाएँ: x + 2y ≥ 4, 2x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + 2y = 4; 2x + y = 4
🟡 Step 2: प्रतिच्छेद: x + 2y = 4 … (i), 2x + y = 4 … (ii)
• (i)×2 ⇒ 2x + 4y = 8
• घटाएँ (ii): (2x + 4y) − (2x + y) = 8 − 4 ⇒ 3y = 4 ⇒ y = 4/3
• x = 4 − y·2 = 4 − 8/3 = 4/3
🔴 Step 3: सम्भाव्य कोण बिंदु (प्रथम चतुर्थांश में और दोनों ≥): (4,0), (0,4), (4/3, 4/3)
🟣 Step 4: Z मान:
• (4,0): 16
• (0,4): 24
• (4/3, 4/3): 4·(4/3) + 6·(4/3) = (16 + 24)/3 = 40/3
✔️ Final: Z_min = 40/3 बिंदु (4/3, 4/3) पर
🔵 प्रश्न 26
अधिकतम कीजिए: Z = 5x + 4y, बाधाएँ: x + y ≤ 5, x ≥ 1, y ≥ 0, x ≤ 4.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + y = 5; x = 1; x = 4; y = 0
🟡 Step 2: साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु: (1,0), (4,0), (4,1), (1,4)
🔴 Step 3: Z मान:
• (1,0): 5
• (4,0): 20
• (4,1): 5·4 + 4·1 = 24
• (1,4): 5 + 16 = 21
✔️ Final: Z_max = 24 बिंदु (4,1) पर; x = 4, y = 1
🔵 प्रश्न 27
न्यूनतम कीजिए: Z = 7x + 3y, बाधाएँ: x + y ≥ 3, x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 4.
उत्तर:
🟢 Step 1: रेखाएँ: x + y = 3; y = 0; y = 4
🟡 Step 2: सम्भाव्य कोण बिंदु (प्रथम चतुर्थांश में तथा x + y ≥ 3): (0,3), (0,4), (3,0), (4,0)
🔴 Step 3: Z मान:
• (0,3): 9
• (0,4): 12
• (3,0): 21
• (4,0): 28
✔️ Final: Z_min = 9 बिंदु (0,3) पर; x = 0, y = 3
✳️ Response 3 — प्रश्न 28 से 33 (Section D एवं E)
🔴 प्रश्न 28 (दीर्घ उत्तर प्रश्न — 5 अंक)
प्रश्न: निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या का ग्राफीय विधि से हल कीजिए —
अधिकतम करें: Z = 5·x + 3·y
बाधाएँ:
1️⃣ x + y ≤ 4
2️⃣ x ≤ 2
3️⃣ y ≤ 3
4️⃣ x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
➤ चरण 1: असमिकाओं को समीकरण के रूप में लिखें —
x + y = 4, x = 2, y = 3
➤ चरण 2: ग्राफ में इन रेखाओं को अंकित करें।
x + y = 4 रेखा के बिंदु: (0,4), (4,0)
x = 2 रेखा: (2,0), (2,4)
y = 3 रेखा: (0,3), (4,3)
➤ चरण 3: x ≥ 0, y ≥ 0 के साथ इन रेखाओं का समान क्षेत्र साध्य क्षेत्र बनेगा।
➤ चरण 4: साध्य क्षेत्र के कोण बिंदु:
(0,0), (0,3), (1,3), (2,2), (2,0)
➤ चरण 5: प्रत्येक बिंदु पर Z = 5·x + 3·y का मान:
(0,0): Z = 0
(0,3): Z = 9
(1,3): Z = 5 + 9 = 14
(2,2): Z = 10 + 6 = 16
(2,0): Z = 10
➤ चरण 6: अधिकतम मान = 16 बिंदु (2,2) पर।
✔️ अतः अधिकतम Z = 16
📍 x = 2, y = 2 पर प्राप्त।
🔴 प्रश्न 29
प्रश्न: अधिकतम करें Z = 4·x + 3·y
शर्तें:
x + 2·y ≤ 8
3·x + y ≤ 9
x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
➤ चरण 1: रेखाएँ:
x + 2·y = 8
3·x + y = 9
➤ चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें:
x + 2·y = 8 … (i)
3·x + y = 9 … (ii)
समीकरण हल:
(×2) → 2·x + 4·y = 16
(–) → 3·x + y = 9
घटाने पर: (–1·x + 3·y = 7)
x = 2, y = 3
➤ चरण 3: कोण बिंदु: (0,0), (0,4), (3,0), (2,3)
➤ चरण 4: Z के मान:
(0,0): 0
(0,4): 12
(3,0): 12
(2,3): 8 + 9 = 17
✔️ अधिकतम Z = 17 पर (2,3)
📍 x = 2, y = 3, Zₘₐₓ = 17
🔴 प्रश्न 30
प्रश्न: न्यूनतम करें Z = 6·x + 8·y
बाधाएँ:
x + y ≥ 3
x + 2·y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
उत्तर:
➤ चरण 1: रेखाएँ:
x + y = 3
x + 2·y = 4
➤ चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु:
x + y = 3 … (i)
x + 2·y = 4 … (ii)
घटाने पर: y = 1 ⇒ x = 2
➤ कोण बिंदु: (0,4), (3,0), (2,1)
➤ चरण 3: प्रत्येक बिंदु पर Z = 6·x + 8·y का मान:
(0,4): 0 + 32 = 32
(3,0): 18 + 0 = 18
(2,1): 12 + 8 = 20
✔️ न्यूनतम Z = 18 बिंदु (3,0) पर।
📍 x = 3, y = 0, Zₘᵢₙ = 18
🔴 प्रश्न 31
प्रश्न: ग्राफीय विधि से निम्न LPP हल कीजिए:
अधिकतम करें: Z = 2·x + 3·y
शर्तें:
x + y ≤ 6
x ≥ 2
y ≥ 1
x, y ≥ 0
उत्तर:
रेखाएँ:
x + y = 6 → (0,6), (6,0)
x = 2
y = 1
साध्य क्षेत्र के बिंदु: (2,1), (2,4), (5,1)
Z के मान:
(2,1): 4 + 3 = 7
(2,4): 4 + 12 = 16
(5,1): 10 + 3 = 13
✔️ अधिकतम Z = 16 पर (2,4)
📍 x = 2, y = 4, Zₘₐₓ = 16
🔴 प्रश्न 32 (Case Study)
एक उत्पादक दो वस्तुएँ A और B बनाता है।
A की प्रति इकाई लाभ = ₹3,
B की प्रति इकाई लाभ = ₹5
शर्तें:
1️⃣ A की अधिकतम 4 इकाइयाँ बन सकती हैं
2️⃣ B की अधिकतम 3 इकाइयाँ बन सकती हैं
3️⃣ कुल उत्पादन ≤ 6 इकाइयाँ
x = A की इकाइयाँ, y = B की इकाइयाँ
अधिकतम करें: Z = 3·x + 5·y
बाधाएँ:
x ≤ 4, y ≤ 3, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
कोण बिंदु: (0,0), (0,3), (3,3), (4,2), (4,0)
Z के मान:
(0,0): 0
(0,3): 15
(3,3): 9 + 15 = 24
(4,2): 12 + 10 = 22
(4,0): 12
✔️ अधिकतम Z = 24 बिंदु (3,3) पर।
📍 x = 3, y = 3
🔴 प्रश्न 33 (Case Study)
एक किसान दो फसलें गेहूँ (x) और धान (y) उगाता है।
गेहूँ प्रति हेक्टेयर से लाभ ₹2000,
धान प्रति हेक्टेयर से लाभ ₹3000।
भूमि = 4 हेक्टेयर
जल सीमा:
गेहूँ को 1 इकाई जल/हेक्टेयर,
धान को 2 इकाई जल/हेक्टेयर
कुल जल = 6 इकाई
अधिकतम करें: Z = 2000·x + 3000·y
बाधाएँ:
x + y ≤ 4
x + 2·y ≤ 6
x, y ≥ 0
कोण बिंदु: (0,0), (0,3), (2,2), (4,0)
Z के मान:
(0,0): 0
(0,3): 9000
(2,2): 4000 + 6000 = 10000
(4,0): 8000
✔️ Zₘₐₓ = 10000 पर (2,2)
📍 x = 2 हेक्टेयर गेहूँ, y = 2 हेक्टेयर धान
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या का बाधा क्षेत्र रिक्त है, तो
🟥 1️⃣ कोई हल नहीं
🟩 2️⃣ एक अद्वितीय हल
🟨 3️⃣ अनंत हल
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2
यदि उद्देश्य फलन का अधिकतम मान बाधा क्षेत्र के किसी कोने बिंदु पर होता है, तो
🟥 1️⃣ यह सदैव अद्वितीय होता है
🟩 2️⃣ यह दो या अधिक बिंदुओं पर समान हो सकता है
🟨 3️⃣ यह सीमा पर कहीं भी हो सकता है
🟦 4️⃣ उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 3
यदि बाधा क्षेत्र अबाध (unbounded) है और उद्देश्य फलन का अधिकतम मान अस्तित्व में नहीं है, तो
🟥 1️⃣ कोई हल नहीं
🟩 2️⃣ न्यूनतम मान अस्तित्व में है
🟨 3️⃣ उद्देश्य फलन का अधिकतम मान अस्तित्व में नहीं है
🟦 4️⃣ दोनों अधिकतम और न्यूनतम अस्तित्व में नहीं हैं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में बाधाएँ किस रूप में होती हैं?
🟥 1️⃣ रैखिक समीकरण
🟩 2️⃣ रैखिक असमिका
🟨 3️⃣ द्विघात समीकरण
🟦 4️⃣ गैर-रैखिक समीकरण
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 5
यदि दो बाधाएँ समानांतर रेखाएँ हैं, तो बाधा क्षेत्र
🟥 1️⃣ रिक्त होगा
🟩 2️⃣ एक रेखा खंड होगा
🟨 3️⃣ एक क्षेत्र होगा
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6
यदि उद्देश्य फलन Z = ax + by है, तो Z का मान
🟥 1️⃣ बाधा क्षेत्र के भीतर कहीं भी अधिकतम होगा
🟩 2️⃣ केवल कोने बिंदुओं पर जाँचा जाता है
🟨 3️⃣ किसी भी बिंदु पर समान होता है
🟦 4️⃣ किसी सीमा बिंदु पर नहीं होता
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 7
यदि बाधा क्षेत्र अबाध है और उद्देश्य फलन न्यूनतमकरण है, तो न्यूनतम मान
🟥 1️⃣ सदैव अस्तित्व में होता है
🟩 2️⃣ अस्तित्व में नहीं भी हो सकता
🟨 3️⃣ केवल एक बिंदु पर होता है
🟦 4️⃣ उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में कोने बिंदुओं की संख्या
🟥 1️⃣ हमेशा दो
🟩 2️⃣ सीमित या अनंत हो सकती है
🟨 3️⃣ केवल एक
🟦 4️⃣ शून्य
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 9
रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग नहीं किया जा सकता
🟥 1️⃣ अनुकूलन (optimization)
🟩 2️⃣ लागत न्यूनतम करने में
🟨 3️⃣ गैर-रैखिक फलनों के लिए
🟦 4️⃣ लाभ अधिकतम करने में
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10
यदि बाधा क्षेत्र रिक्त नहीं है और अबाध नहीं है, तो उद्देश्य फलन का
🟥 1️⃣ सदैव न्यूनतम मान होगा
🟩 2️⃣ सदैव अधिकतम मान होगा
🟨 3️⃣ सदैव सीमित मान होगा
🟦 4️⃣ कोई मान नहीं होगा
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 11
यदि दो बाधाएँ समानांतर हैं और तीसरी उन्हें काटती नहीं, तो बाधा क्षेत्र
🟥 1️⃣ अस्तित्व में नहीं
🟩 2️⃣ अबाध
🟨 3️⃣ सीमित
🟦 4️⃣ आयताकार
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12
रैखिक प्रोग्रामन में व्यवहार्य क्षेत्र (feasible region) का अर्थ है
🟥 1️⃣ सभी बिंदु जो बाधाओं को संतुष्ट करते हैं
🟩 2️⃣ केवल कोने बिंदु
🟨 3️⃣ केवल सीमा रेखाएँ
🟦 4️⃣ केवल आंतरिक बिंदु
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 13
यदि उद्देश्य फलन का मान सभी कोने बिंदुओं पर समान है, तो
🟥 1️⃣ अनंत हल हैं
🟩 2️⃣ कोई हल नहीं
🟨 3️⃣ एक ही हल है
🟦 4️⃣ उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14
यदि बाधा क्षेत्र सीमित है, तो उद्देश्य फलन का
🟥 1️⃣ अधिकतम मान होगा
🟩 2️⃣ न्यूनतम मान होगा
🟨 3️⃣ दोनों अधिकतम और न्यूनतम होंगे
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 15
यदि उद्देश्य फलन Z = 3x + 4y है, तो Z का मान बढ़ाने के लिए
🟥 1️⃣ y बढ़ाएँ
🟩 2️⃣ x बढ़ाएँ
🟨 3️⃣ x और y दोनों बढ़ाएँ
🟦 4️⃣ x घटाएँ
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16
रैखिक प्रोग्रामन का लक्ष्य होता है
🟥 1️⃣ समीकरण हल करना
🟩 2️⃣ किसी फलन का अधिकतम या न्यूनतम करना
🟨 3️⃣ बाधाएँ बनाना
🟦 4️⃣ ज्यामितीय आरेख बनाना
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 17
Z = 5x + 2y का अधिकतम मान किस बिंदु पर होगा (दिए गए सीमित क्षेत्र में)?
🟥 1️⃣ किसी कोने बिंदु पर
🟩 2️⃣ बीच में
🟨 3️⃣ सभी पर समान
🟦 4️⃣ कहीं नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18
रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग
🟥 1️⃣ लागत न्यूनतम करने हेतु
🟩 2️⃣ लाभ अधिकतम करने हेतु
🟨 3️⃣ दोनों हेतु
🟦 4️⃣ किसी हेतु नहीं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 19
यदि बाधाएँ x ≥ 0, y ≥ 0 हैं, तो क्षेत्र
🟥 1️⃣ प्रथम चतुर्थांश
🟩 2️⃣ द्वितीय
🟨 3️⃣ तृतीय
🟦 4️⃣ चतुर्थ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20
Z = 2x + 3y का मान न्यूनतम होगा
🟥 1️⃣ उस कोने बिंदु पर जहाँ Z सबसे कम
🟩 2️⃣ बीच में
🟨 3️⃣ किसी भी बिंदु पर
🟦 4️⃣ जहाँ x अधिकतम
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 21
रैखिक प्रोग्रामन में व्यवहार्य क्षेत्र का आकार
🟥 1️⃣ त्रिभुजाकार
🟩 2️⃣ बहुभुजाकार
🟨 3️⃣ वृत्ताकार
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22
Z = 4x + 3y का अधिकतम मान
🟥 1️⃣ कोने बिंदुओं पर जाँचा जाता है
🟩 2️⃣ केवल एक पर
🟨 3️⃣ किसी भी पर
🟦 4️⃣ नहीं जाँचा जाता
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 23
रैखिक प्रोग्रामन में समाधान विधि कहलाती है
🟥 1️⃣ ग्राफिकल विधि
🟩 2️⃣ बीजगणितीय विधि
🟨 3️⃣ विश्लेषणात्मक
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24
यदि उद्देश्य फलन और बाधाएँ समान हैं, तो
🟥 1️⃣ अनंत हल
🟩 2️⃣ कोई हल नहीं
🟨 3️⃣ एक हल
🟦 4️⃣ उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल प्राप्त करने हेतु आवश्यक
🟥 1️⃣ उद्देश्य फलन व बाधाएँ
🟩 2️⃣ केवल उद्देश्य फलन
🟨 3️⃣ केवल बाधाएँ
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2012
🔵 प्रश्न 26
यदि बाधा क्षेत्र सीमित है, तो उद्देश्य फलन का
🟥 1️⃣ अधिकतम मान होगा
🟩 2️⃣ न्यूनतम मान होगा
🟨 3️⃣ दोनों अधिकतम और न्यूनतम होंगे
🟦 4️⃣ कोई मान नहीं होगा
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27
यदि उद्देश्य फलन का अधिकतम मान दो कोने बिंदुओं पर समान है, तो
🟥 1️⃣ अनंत हल होंगे
🟩 2️⃣ कोई हल नहीं
🟨 3️⃣ केवल एक हल
🟦 4️⃣ सीमित हल
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28
यदि उद्देश्य फलन Z = 3x + 2y हो और बाधाएँ x ≥ 0, y ≥ 0 हों, तो Z का न्यूनतम मान कहाँ होगा?
🟥 1️⃣ मूल बिंदु (0, 0) पर
🟩 2️⃣ किसी अन्य कोने पर
🟨 3️⃣ अबाध
🟦 4️⃣ अस्तित्व में नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29
यदि बाधा क्षेत्र अबाध है और उद्देश्य फलन Z = 2x + 3y हो, तो
🟥 1️⃣ अधिकतम मान नहीं होगा
🟩 2️⃣ न्यूनतम मान नहीं होगा
🟨 3️⃣ दोनों अस्तित्व में होंगे
🟦 4️⃣ दोनों नहीं होंगे
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल प्राप्त करने की ग्राफिकल विधि में कितने कोने बिंदुओं पर Z का मान जाँचा जाता है?
🟥 1️⃣ सभी
🟩 2️⃣ कुछ
🟨 3️⃣ केवल दो
🟦 4️⃣ केवल एक
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31
यदि Z = ax + by का अधिकतम मान बाधा क्षेत्र के दो कोनों पर समान हो, तो
🟥 1️⃣ अनंत हल होंगे
🟩 2️⃣ एक ही हल होगा
🟨 3️⃣ कोई हल नहीं
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32
यदि बाधा क्षेत्र रिक्त हो, तो
🟥 1️⃣ कोई हल नहीं
🟩 2️⃣ एक हल
🟨 3️⃣ अनंत हल
🟦 4️⃣ उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में चर x, y की शर्तें सामान्यतः होती हैं
🟥 1️⃣ x, y ≥ 0
🟩 2️⃣ x, y ≤ 0
🟨 3️⃣ x = y
🟦 4️⃣ x ≠ y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34
यदि उद्देश्य फलन Z = 5x + 3y हो, तो Z का अधिकतम मान
🟥 1️⃣ कोने बिंदु पर होगा
🟩 2️⃣ कहीं नहीं होगा
🟨 3️⃣ सभी बिंदुओं पर समान होगा
🟦 4️⃣ अबाध होगा
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35
यदि रैखिक असमिकाएँ एक सीमित क्षेत्र बनाती हैं, तो
🟥 1️⃣ अधिकतम मान अस्तित्व में है
🟩 2️⃣ न्यूनतम मान अस्तित्व में है
🟨 3️⃣ दोनों अस्तित्व में हैं
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का समाधान
🟥 1️⃣ कोने बिंदु विधि से
🟩 2️⃣ मध्य बिंदु विधि से
🟨 3️⃣ यादृच्छिक विधि से
🟦 4️⃣ किसी भी विधि से
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37
यदि Z = 4x + 3y हो और बाधा क्षेत्र सीमित हो, तो
🟥 1️⃣ Z का अधिकतम मान होगा
🟩 2️⃣ Z का न्यूनतम मान होगा
🟨 3️⃣ दोनों होंगे
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38
यदि किसी समस्या में व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है, तो
🟥 1️⃣ कोई हल नहीं
🟩 2️⃣ अनंत हल
🟨 3️⃣ एक हल
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39
यदि उद्देश्य फलन और बाधाएँ समानांतर हैं, तो
🟥 1️⃣ अनंत हल
🟩 2️⃣ कोई हल नहीं
🟨 3️⃣ एक ही हल
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40
रैखिक प्रोग्रामन का उद्देश्य
🟥 1️⃣ लागत कम करना
🟩 2️⃣ लाभ अधिक करना
🟨 3️⃣ संसाधनों का अनुकूल उपयोग
🟦 4️⃣ उपरोक्त सभी
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41
यदि बाधाएँ x ≥ 0, y ≥ 0 हों, तो बाधा क्षेत्र
🟥 1️⃣ प्रथम चतुर्थांश
🟩 2️⃣ द्वितीय चतुर्थांश
🟨 3️⃣ तृतीय चतुर्थांश
🟦 4️⃣ चतुर्थ चतुर्थांश
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42
Z = 2x + 3y का न्यूनतम मान
🟥 1️⃣ उस कोने बिंदु पर होगा जहाँ Z न्यूनतम
🟩 2️⃣ बीच में
🟨 3️⃣ कहीं नहीं
🟦 4️⃣ सभी पर समान
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43
यदि उद्देश्य फलन Z = 5x + 2y है, तो
🟥 1️⃣ Z का मान केवल कोने बिंदुओं पर जाँचा जाता है
🟩 2️⃣ किसी भी बिंदु पर
🟨 3️⃣ मध्य बिंदु पर
🟦 4️⃣ सीमा पर नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल सदैव
🟥 1️⃣ कोने बिंदु पर
🟩 2️⃣ सीमा रेखा पर
🟨 3️⃣ बीच में
🟦 4️⃣ कहीं नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45
यदि उद्देश्य फलन का मान प्रत्येक कोने बिंदु पर समान है, तो
🟥 1️⃣ अनंत हल होंगे
🟩 2️⃣ कोई हल नहीं
🟨 3️⃣ केवल एक हल
🟦 4️⃣ कोई निश्चित हल नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46
रैखिक प्रोग्रामन में व्यवहार्य क्षेत्र होता है
🟥 1️⃣ बहुभुजाकार
🟩 2️⃣ वृत्ताकार
🟨 3️⃣ परवलयाकार
🟦 4️⃣ अर्धवृत्ताकार
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का समाधान तब नहीं होगा जब
🟥 1️⃣ बाधा क्षेत्र रिक्त हो
🟩 2️⃣ सीमित हो
🟨 3️⃣ अबाध हो
🟦 4️⃣ सीमित बिंदु हों
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48
Z = 3x + 4y का मान अधिकतम होगा
🟥 1️⃣ उस कोने बिंदु पर जहाँ Z अधिकतम
🟩 2️⃣ बीच में
🟨 3️⃣ सीमा पर
🟦 4️⃣ कहीं नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49
यदि बाधा क्षेत्र सीमित नहीं है और उद्देश्य फलन न्यूनतमकरण है, तो
🟥 1️⃣ न्यूनतम मान अस्तित्व में नहीं
🟩 2️⃣ सदैव अस्तित्व में
🟨 3️⃣ कभी-कभी अस्तित्व में
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50
रैखिक प्रोग्रामन में Z का अधिकतम/न्यूनतम मान कहाँ पाया जाता है?
🟥 1️⃣ कोने बिंदुओं पर
🟩 2️⃣ सीमा रेखा पर
🟨 3️⃣ क्षेत्र के भीतर
🟦 4️⃣ कहीं नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2012
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
(NEET स्तर: Q1–Q20 • JEE Main स्तर: Q21–Q25)
🔵 प्रश्न 1
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन सामान्यतः किस रूप में होता है?
🔵 (A) Z = ax + by
🟢 (B) Z = ax² + by²
🟠 (C) Z = ax/y
🔴 (D) Z = ax − by²
उत्तर: (A) Z = ax + by
🔵 प्रश्न 2
साध्य क्षेत्र किनसे बनता है?
🔵 (A) केवल एक असमिका से
🟢 (B) सभी असमिकाओं के सामान्य भाग से
🟠 (C) प्रत्येक असमिका के बाहर के भाग से
🔴 (D) केवल उद्देश्य फलन से
उत्तर: (B) सभी असमिकाओं के सामान्य भाग से
🔵 प्रश्न 3
यदि दो असमिकाएँ x ≥ 0 और y ≥ 0 हों, तो साध्य क्षेत्र किस चतुर्थांश में होगा?
🔵 (A) प्रथम
🟢 (B) द्वितीय
🟠 (C) तृतीय
🔴 (D) चतुर्थ
उत्तर: (A) प्रथम
🔵 प्रश्न 4
Corner Point Theorem किस पर लागू होता है?
🔵 (A) रैखिक उद्देश्य फलन पर
🟢 (B) द्विघात उद्देश्य फलन पर
🟠 (C) किसी भी प्रकार के फलन पर
🔴 (D) केवल गैर-रैखिक फलन पर
उत्तर: (A) रैखिक उद्देश्य फलन पर
🔵 प्रश्न 5
यदि साध्य क्षेत्र सीमित हो, तो उद्देश्य फलन का चरम मान—
🔵 (A) अवश्य प्राप्त होगा
🟢 (B) कभी प्राप्त नहीं होगा
🟠 (C) हमेशा 0 होगा
🔴 (D) ऋणात्मक होगा
उत्तर: (A) अवश्य प्राप्त होगा
🔵 प्रश्न 6
यदि साध्य क्षेत्र असीमित हो, तो—
🔵 (A) अधिकतम मान प्राप्त नहीं होगा
🟢 (B) न्यूनतम मान प्राप्त नहीं होगा
🟠 (C) दोनों मिल सकते हैं या नहीं भी
🔴 (D) केवल एक प्राप्त होगा
उत्तर: (C) दोनों मिल सकते हैं या नहीं भी
🔵 प्रश्न 7
Z = 3x + 2y का अधिकतम मान किस बिंदु पर होगा, यदि साध्य क्षेत्र सीमित है?
🔵 (A) किसी कोने के बिंदु पर
🟢 (B) किसी मध्य बिंदु पर
🟠 (C) किसी अक्ष पर
🔴 (D) किसी असीम बिंदु पर
उत्तर: (A) किसी कोने के बिंदु पर
🔵 प्रश्न 8
बहुल हल प्राप्त होते हैं जब—
🔵 (A) दो कोने बिंदुओं पर Z समान हो
🟢 (B) Z का मान हर जगह समान हो
🟠 (C) साध्य क्षेत्र रिक्त हो
🔴 (D) उद्देश्य फलन द्विघात हो
उत्तर: (A) दो कोने बिंदुओं पर Z समान हो
🔵 प्रश्न 9
यदि साध्य क्षेत्र रिक्त है, तो—
🔵 (A) कोई हल नहीं होगा
🟢 (B) अनंत हल होंगे
🟠 (C) केवल एक हल होगा
🔴 (D) दो हल होंगे
उत्तर: (A) कोई हल नहीं होगा
🔵 प्रश्न 10
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में निर्णय चर क्या हैं?
🔵 (A) x और y
🟢 (B) a और b
🟠 (C) Z
🔴 (D) स्थिरांक
उत्तर: (A) x और y
🔵 प्रश्न 11
Z = 2x + 3y; यदि x = 2, y = 3, तो Z का मान = ?
🔵 (A) 12
🟢 (B) 13
🟠 (C) 10
🔴 (D) 8
उत्तर: (A) 12
🔵 प्रश्न 12
x + y = 4 रेखा का प्रतिच्छेद बिंदु x-अक्ष पर—
🔵 (A) (4,0)
🟢 (B) (0,4)
🟠 (C) (2,2)
🔴 (D) (1,3)
उत्तर: (A) (4,0)
🔵 प्रश्न 13
यदि उद्देश्य फलन Z = 3x + 4y है, तो Z किनका फलन है?
🔵 (A) निर्णय चर
🟢 (B) बाधाओं का
🟠 (C) साध्य क्षेत्र का
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) निर्णय चर
🔵 प्रश्न 14
Z = 4x + 5y का अधिकतम मान किस पर निर्भर करता है?
🔵 (A) साध्य क्षेत्र पर
🟢 (B) उद्देश्य फलन पर
🟠 (C) दोनों पर
🔴 (D) किसी पर नहीं
उत्तर: (C) दोनों पर
🔵 प्रश्न 15
ग्राफीय विधि में चरम मान प्राप्त करने के लिए क्या आवश्यक है?
🔵 (A) कोने बिंदुओं की पहचान
🟢 (B) केवल केंद्र बिंदु
🟠 (C) किसी भी बिंदु का चयन
🔴 (D) बिना ग्राफ के हल
उत्तर: (A) कोने बिंदुओं की पहचान
🔵 प्रश्न 16
रैखिक प्रोग्रामन में Z को क्या कहते हैं?
🔵 (A) उद्देश्य फलन
🟢 (B) बाधा
🟠 (C) साध्य क्षेत्र
🔴 (D) निर्णय चर
उत्तर: (A) उद्देश्य फलन
🔵 प्रश्न 17
x + y ≥ 3 का साध्य क्षेत्र रेखा के—
🔵 (A) ऊपर
🟢 (B) नीचे
🟠 (C) केवल रेखा पर
🔴 (D) दाएँ
उत्तर: (A) ऊपर
🔵 प्रश्न 18
x ≥ 0, y ≥ 0 किस प्रकार की शर्तें हैं?
🔵 (A) अऋणता शर्तें
🟢 (B) बाधाएँ
🟠 (C) रेखाएँ
🔴 (D) उद्देश्य फलन
उत्तर: (A) अऋणता शर्तें
🔵 प्रश्न 19
Z = 5x + 2y; यदि x = 1, y = 2 ⇒ Z = ?
🔵 (A) 9
🟢 (B) 7
🟠 (C) 6
🔴 (D) 8
उत्तर: (A) 9
🔵 प्रश्न 20
Corner Point विधि का मुख्य लाभ क्या है?
🔵 (A) केवल सीमित बिंदुओं पर जाँच
🟢 (B) पूरे क्षेत्र में गणना
🟠 (C) कठिन
🔴 (D) अनुपयोगी
उत्तर: (A) केवल सीमित बिंदुओं पर जाँच
🧠 अब JEE Main स्तर (Q21–Q25)
🔵 प्रश्न 21
न्यूनतम करें Z = 3x + 4y; बाधाएँ: x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
Z का न्यूनतम मान होगा:
🔵 (A) 12
🟢 (B) 16
🟠 (C) 0
🔴 (D) 8
उत्तर: (A) 12
🔵 प्रश्न 22
Z = 4x + 6y; बाधाएँ: x + 2y ≥ 4, 2x + y ≥ 4; साध्य क्षेत्र में Z का न्यूनतम मान होगा—
🔵 (A) 40/3
🟢 (B) 24
🟠 (C) 16
🔴 (D) 20
उत्तर: (A) 40/3
🔵 प्रश्न 23
Z = 3x + 5y; बाधाएँ: x + y ≤ 4, x ≤ 2, y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0.
Z_max = ?
🔵 (A) 15
🟢 (B) 18
🟠 (C) 16
🔴 (D) 12
उत्तर: (B) 18
🔵 प्रश्न 24
यदि साध्य क्षेत्र का कोई कोना बिंदु ही नहीं है, तो—
🔵 (A) कोई चरम मान नहीं
🟢 (B) एक हल
🟠 (C) दो हल
🔴 (D) अनंत हल
उत्तर: (A) कोई चरम मान नहीं
🔵 प्रश्न 25
Z = 2x + 3y; बाधाएँ: x + y ≥ 2, x, y ≥ 0.
साध्य क्षेत्र का कौन-सा बिंदु Z_min देगा?
🔵 (A) (0,2)
🟢 (B) (2,0)
🟠 (C) दोनों
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) दोनों
🔵 प्रश्न 26
Z = 2x + 3y; बाधाएँ: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 12
🟠 (C) 8
🔴 (D) 6
उत्तर: (B) 12
🔵 प्रश्न 27
Z = 5x + 4y; बाधाएँ: x + y ≤ 5, x ≥ 1, y ≥ 0, x ≤ 4; Z_max = ?
🔵 (A) 24
🟢 (B) 21
🟠 (C) 20
🔴 (D) 18
उत्तर: (A) 24
🔵 प्रश्न 28
न्यूनतम करें Z = 4x + 6y; बाधाएँ: x + 2y ≥ 4, 2x + y ≥ 4, x, y ≥ 0
🔵 (A) 40/3
🟢 (B) 16
🟠 (C) 24
🔴 (D) 20
उत्तर: (A) 40/3
🔵 प्रश्न 29
यदि साध्य क्षेत्र असीमित है, तो चरम मान—
🔵 (A) सदैव प्राप्त होगा
🟢 (B) कभी-कभी प्राप्त होगा
🟠 (C) कभी प्राप्त नहीं होगा
🔴 (D) असंभव
उत्तर: (B) कभी-कभी प्राप्त होगा
🔵 प्रश्न 30
यदि दो कोने बिंदुओं पर Z समान हो, तो—
🔵 (A) बहुल हल
🟢 (B) एकमात्र हल
🟠 (C) कोई हल नहीं
🔴 (D) अनंत हल नहीं
उत्तर: (A) बहुल हल
🔵 प्रश्न 31
Z = 3x + 2y; बाधाएँ: x + y ≥ 3; x, y ≥ 0. Z_min = ?
🔵 (A) 6
🟢 (B) 9
🟠 (C) 12
🔴 (D) 15
उत्तर: (A) 6
🔵 प्रश्न 32
x + y ≤ 2 और x, y ≥ 0 के लिए साध्य क्षेत्र क्या है?
🔵 (A) त्रिभुज
🟢 (B) वर्ग
🟠 (C) असीम क्षेत्र
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) त्रिभुज
🔵 प्रश्न 33
Z = 6x + 5y; बाधाएँ: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 20
🟢 (B) 24
🟠 (C) 16
🔴 (D) 22
उत्तर: (B) 24
🔵 प्रश्न 34
साध्य क्षेत्र का अस्तित्व किस पर निर्भर है?
🔵 (A) बाधाओं पर
🟢 (B) उद्देश्य फलन पर
🟠 (C) दोनों पर
🔴 (D) किसी पर नहीं
उत्तर: (A) बाधाओं पर
🔵 प्रश्न 35
यदि बाधाएँ परस्पर विरोधी हों, तो—
🔵 (A) कोई हल नहीं
🟢 (B) एक हल
🟠 (C) अनंत हल
🔴 (D) बहुल हल
उत्तर: (A) कोई हल नहीं
🔵 प्रश्न 36
ग्राफीय विधि में कितने निर्णय चर होते हैं?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) 4
उत्तर: (A) 2
🔵 प्रश्न 37
Z = 3x + 4y; x + y ≤ 4; x, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 16
🟢 (B) 12
🟠 (C) 10
🔴 (D) 14
उत्तर: (A) 16
🔵 प्रश्न 38
Z = 2x + 5y; यदि x = 1, y = 2, तो Z = ?
🔵 (A) 12
🟢 (B) 10
🟠 (C) 9
🔴 (D) 11
उत्तर: (A) 12
🔵 प्रश्न 39
Corner Point विधि किसका प्रयोग करती है?
🔵 (A) कोने बिंदुओं का
🟢 (B) किसी भी बिंदु का
🟠 (C) क्षेत्र के केंद्र का
🔴 (D) केवल उद्देश्य फलन का
उत्तर: (A) कोने बिंदुओं का
🔵 प्रश्न 40
x + y = 3 रेखा का y-अवरोधक क्या होगा?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 2
🟠 (C) 1
🔴 (D) 0
उत्तर: (A) 3
⚡ JEE Advanced स्तर (Q41–Q50) — सुधार सहित
🔵 प्रश्न 41
यदि बाधाएँ x + 2y ≤ 8, 3x + y ≤ 9, x, y ≥ 0, तो Z = 4x + 5y का अधिकतम मान = ?
🔵 (A) 24
🟢 (B) 23
🟠 (C) 22
🔴 (D) 20
उत्तर: (B) 23
🔵 प्रश्न 42
Z = 3x + 2y; x + y ≤ 6; x ≥ 0, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 18
🟢 (B) 12
🟠 (C) 10
🔴 (D) 14
उत्तर: (A) 18
🔵 प्रश्न 43
Z = 5x + 6y; बाधाएँ: x + y ≤ 5, x ≥ 2, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 30
🟢 (B) 28
🟠 (C) 26
🔴 (D) 25
उत्तर: (B) 28
🔵 प्रश्न 44
Z = 7x + 4y; बाधाएँ: x + y ≥ 3; x, y ≥ 0; Z_min = ?
🔵 (A) 12
🟢 (B) 14
🟠 (C) 16
🔴 (D) 18
उत्तर: (A) 12
🔵 प्रश्न 45
यदि साध्य क्षेत्र में 4 कोने बिंदु हैं, तो अधिकतम Z कितने बिंदुओं पर जाँचेंगे?
🔵 (A) 4
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 4
🔵 प्रश्न 46
Z = 2x + 3y; बाधाएँ: x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 6
🟢 (B) 5
🟠 (C) 4
🔴 (D) 3
उत्तर: (A) 6
🔵 प्रश्न 47
Corner Point विधि में Z का मान निकालने के लिए किन बिंदुओं का उपयोग होता है?
🔵 (A) साध्य क्षेत्र के कोने बिंदु
🟢 (B) साध्य क्षेत्र के केंद्र बिंदु
🟠 (C) सभी बिंदु
🔴 (D) अक्ष
उत्तर: (A) साध्य क्षेत्र के कोने बिंदु
🔵 प्रश्न 48
Z = 3x + 5y; x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0; Z_max = ?
🔵 (A) 25
🟢 (B) 20
🟠 (C) 15
🔴 (D) 10
उत्तर: (A) 25
🔵 प्रश्न 49
यदि साध्य क्षेत्र रिक्त है, तो—
🔵 (A) कोई हल नहीं
🟢 (B) एक हल
🟠 (C) अनंत हल
🔴 (D) दो हल
उत्तर: (A) कोई हल नहीं
🔵 प्रश्न 50
Z = 4x + 6y; बाधाएँ: x + y ≥ 4, x, y ≥ 0; Z_min = ?
🔵 (A) 16
🟢 (B) 20
🟠 (C) 24
🔴 (D) 18
उत्तर: (A) 16
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