Class : 9 – Math (Hindi) : Lesson 2. बहुपद
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 परिचय : बहुपद की अवधारणा
गणित में बहुपद (Polynomial) वह बीजीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद (terms) होते हैं और प्रत्येक पद में चर (variable) का घातांक (power) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
हर पद में सामान्यतः तीन घटक होते हैं – गुणांक (coefficient), चर (variable) और घात (exponent)।
🔹 उदाहरण:
2x² + 3x + 1 ✅ (बहुपद)
1/x + 2 ❌ (बहुपद नहीं, क्योंकि x का घातांक −1 है)
बहुपद का उपयोग अनेक वास्तविक जीवन स्थितियों जैसे क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन तथा गति-समय समीकरणों को प्रदर्शित करने में किया जाता है।
🟢 बहुपद की परिभाषा
यदि a₀, a₁, a₂, …, aₙ वास्तविक संख्याएँ हैं और x एक चर है, तो
🧮 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
को n-घातीय बहुपद कहते हैं, जहाँ
aₙ ≠ 0
n = 0, 1, 2, … (गैर-ऋणात्मक पूर्णांक)
प्रत्येक aᵢ को गुणांक कहा जाता है।
🟡 बहुपद के उदाहरण
x² + 2x + 1 ✅
2x³ + 5x² − 3x + 7 ✅
7 ✅ (स्थिर बहुपद)
🔴 बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)
1️⃣ घात (Degree) के आधार पर
घात = चर का सर्वाधिक घातांक
📘 प्रकार:
घात 1 → रेखीय बहुपद (x + 2)
घात 2 → द्विघात बहुपद (x² + 3x + 2)
घात 3 → घन बहुपद (2x³ + x² + 5)
2️⃣ पदों की संख्या के आधार पर
एकपद (Monomial) → 3x
द्विपद (Binomial) → x + 2
त्रिपद (Trinomial) → 2x² + 3x + 1
💡 शून्य बहुपद (Zero Polynomial)
जब सभी गुणांक 0 हों ⇒ व्यंजक 0 कहलाता है ⇒ इसकी घात परिभाषित नहीं होती।
यह बहुपद प्रत्येक x के लिए 0 मान देता है।
✏️ बहुपद का मान (Value of a Polynomial)
किसी बहुपद P(x) में x के स्थान पर कोई संख्या रखने पर प्राप्त परिणाम को बहुपद का मान कहते हैं।
📘 उदाहरण:
P(x) = 2x² + 3x + 1
यदि x = 2
→ P(2) = 2(2)² + 3(2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15 ✅
🧭 बहुपद का शून्य (Zero of Polynomial)
यदि P(a) = 0 ⇒ a को बहुपद का शून्य कहा जाता है।
📘 उदाहरण:
P(x) = x − 2
P(2) = 0 ⇒ x = 2 इसका शून्य है ✅
🔵 रेखीय बहुपद का शून्य
रेखीय बहुपद ax + b = 0
⇒ x = −b/a
📘 उदाहरण: 2x + 3 = 0 ⇒ x = −3/2 ✅
हर रेखीय बहुपद का एक ही शून्य होता है।
🟢 द्विघात बहुपद के शून्य
ax² + bx + c = 0 के शून्य वे मान हैं जिन पर P(x) = 0।
इनके अधिकतम 2 शून्य हो सकते हैं।
📘 उदाहरण 1:
x² − 3x + 2 = 0
⇒ (x − 1)(x − 2) = 0
⇒ शून्य: x = 1, 2 ✅
📘 उदाहरण 2:
x² − 4 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 2) = 0 ⇒ x = ±2
🟡 घन बहुपद (Cubic Polynomial)
रूप: ax³ + bx² + cx + d
अधिकतम 3 शून्य होते हैं।
🔴 गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)
यदि P(a) = 0 ⇒ (x − a) गुणनखंड है।
यदि (x − a) गुणनखंड है ⇒ P(a) = 0 ✅
📘 उदाहरण:
P(x) = x² − 3x + 2
P(1) = 0 ⇒ (x − 1) गुणनखंड ✅
💡 शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)
यदि P(x) को (x − a) से विभाजित करें,
⇒ शेषफल = P(a)
📘 उदाहरण:
P(x) = x³ − 3x² + 4x − 5, विभाजक: (x − 2)
⇒ शेषफल = P(2)
🧠 बहुपदों पर संक्रियाएँ (Operations on Polynomials)
1️⃣ योग (Addition):
(2x² + 3x + 1) + (x² + 2x + 4) = 3x² + 5x + 5
2️⃣ घटाव (Subtraction):
(3x² + 2x) − (x² + 5x) = 2x² − 3x
3️⃣ गुणन (Multiplication):
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
4️⃣ विभाजन (Division):
शेषफल प्रमेय के अनुसार R = P(a)
💡 वास्तविक जीवन में बहुपदों का प्रयोग
🔹 भौतिकी: दूरी–समय–गति के समीकरण s = ut + ½ at²
🔹 अर्थशास्त्र: लाभ = राजस्व − व्यय, दोनों को बहुपदों से दर्शाया जा सकता है
🔹 ज्यामिति: वर्ग, आयत, घनाभ आदि के क्षेत्रफल/आयतन सूत्र बहुपद रूप में
🔹 अभियांत्रिकी: संरचनात्मक डिज़ाइन में तनाव-विकृति समीकरण बहुपद रूप में
🌟 सारांश (Summary)
🔹 बहुपद = पदों का योग, जिनमें घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं।
🔹 घात = चर का अधिकतम घातांक।
🔹 प्रकार: रेखीय (1), द्विघात (2), घन (3)।
🔹 शून्य बहुपद का मान सदैव 0।
🔹 शून्य: वह x मान जहाँ P(x) = 0।
🔹 गुणनखंड प्रमेय ↔ शेषफल प्रमेय बहुपद विभाजन में सहायक।
🔹 बहुपदों पर योग, घटाव, गुणन और विभाजन की संक्रियाएँ परिभाषित हैं।
🔹 वास्तविक जीवन में इनका प्रयोग सर्वत्र होता है।
📝 Quick Recap
✔ बहुपद = पदों का योग
✔ घात = अधिकतम घातांक
✔ रेखीय बहुपद का 1 शून्य
✔ द्विघात बहुपद के 2 शून्य
✔ यदि P(a) = 0 ⇒ (x − a) गुणनखंड
✔ शेषफल प्रमेय: R = P(a)
✔ वास्तविक जीवन में गति, क्षेत्रफल, लाभ आदि में उपयोग
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 2.1
🔵 प्रश्न 1:
निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x² − 3x + 7
(ii) y² + √2
(iii) 3√t + 1√2
(iv) y + 2/y
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
🟢 उत्तर:
(i) 4x² − 3x + 7
➡ यह एक चर x में है, और x के घात पूर्णांक एवं गैर-ऋणात्मक हैं।
✔ यह बहुपद है।
(ii) y² + √2
➡ चर y है, घात 2 है (पूर्णांक, गैर-ऋणात्मक)।
✔ यह भी बहुपद है।
(iii) 3√t + 1√2 = 3t¹⸍² + √2
➡ चर t की घात 1/2 है (भिन्न घात)।
❌ यह बहुपद नहीं है।
(iv) y + 2/y = y + 2y⁻¹
➡ y की एक घात ऋणात्मक (−1) है।
❌ यह बहुपद नहीं है।
(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰
➡ तीन चर हैं (x, y, t), यह एक चर में नहीं है।
❌ यह एक चर में बहुपद नहीं है।
✔ बहुपद हैं: (i), (ii)
❌ बहुपद नहीं हैं: (iii), (iv), (v)
🔵 प्रश्न 2:
निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए :
(i) 2 + x² + x
(ii) 2 − x² + x³
(iii) (π/2)x² + x
(iv) √2 x − 1
🟢 उत्तर:
(i) गुणांक = 1
(ii) गुणांक = −1
(iii) गुणांक = π/2
(iv) गुणांक = 0 (x² पद नहीं है)
✔ अंतिम उत्तर: 1, −1, π/2, 0
🔵 प्रश्न 3:
35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपद का एक-एक उदाहरण दीजिए।
🟢 उत्तर:
द्विपद (2 पद):
x³⁵ + 5
एकपद (1 पद):
7x¹⁰⁰
✔ उदाहरण सही हैं।
🔵 प्रश्न 4:
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³ + 4x² + 7x
(ii) 4 − y²
(iii) 5t − √7
(iv) 3
🟢 उत्तर:
(i) घात = 3
(ii) घात = 2
(iii) घात = 1
(iv) घात = 0
✔ अंतिम उत्तर: 3, 2, 1, 0
🔵 प्रश्न 5:
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघात हैं और कौन-कौन त्रिघात हैं :
(i) x² + x
(ii) x − x³
(iii) y + y² + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) y² + y
(vii) 7x³
🟢 उत्तर:
रैखिक बहुपद (घात 1):
(iv) 1 + x, (v) 3t
द्विघात बहुपद (घात 2):
(i) x² + x, (iii) y + y² + 4, (vi) y² + y
त्रिघात बहुपद (घात 3):
(ii) x − x³, (vii) 7x³
प्रश्नावली 2.2
🔵 प्रश्न 1:
निम्नलिखित पर बहुपद 5x − 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0 (ii) x = −1 (iii) x = 2
🟢 उत्तर:
➤ (i) p(0) = 5(0) − 4(0)² + 3
= 0 − 0 + 3
✔️ p(0) = 3
➤ (ii) p(−1) = 5(−1) − 4(−1)² + 3
= −5 − 4(1) + 3
= −5 − 4 + 3 = −6
✔️ p(−1) = −6
➤ (iii) p(2) = 5(2) − 4(2)² + 3
= 10 − 4(4) + 3
= 10 − 16 + 3 = −3
✔️ p(2) = −3
🔵 प्रश्न 2:
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
🟣 (i) p(y) = y² − y + 1
p(0) = 0 − 0 + 1 = 1
p(1) = 1 − 1 + 1 = 1
p(2) = 4 − 2 + 1 = 3
✔️ p(0) = 1, p(1) = 1, p(2) = 3
🟣 (ii) p(t) = 2 + t + 2t² − t³
p(0) = 2
p(1) = 2 + 1 + 2 − 1 = 4
p(2) = 2 + 2 + 8 − 8 = 4
✔️ p(0) = 2, p(1) = 4, p(2) = 4
🟣 (iii) p(x) = x³
p(0) = 0³ = 0
p(1) = 1³ = 1
p(2) = 2³ = 8
✔️ p(0) = 0, p(1) = 1, p(2) = 8
🟣 (iv) p(x) = (x − 1)(x + 1) = x² − 1
p(0) = 0² − 1 = −1
p(1) = 1² − 1 = 0
p(2) = 2² − 1 = 3
✔️ p(0) = −1, p(1) = 0, p(2) = 3
🔵 प्रश्न 3:
सत्यापित कीजिए कि दिये गये मान निर्दिष्ट स्थितियों में संगत बहुपद के शून्याक हैं :
🟣 (i) p(x) = 3x + 1 ; x = −1⸍3
p(−1⸍3) = 3(−1⸍3) + 1 = −1 + 1 = 0
✔️ x = −1⸍3 शून्याक है।
🟣 (ii) p(x) = 5x − π ; x = π⸍5
p(π⸍5) = 5(π⸍5) − π = π − π = 0
✔️ x = π⸍5 शून्याक है।
🟣 (iii) p(x) = x² − 1 ; x = 1, −1
p(1) = 1 − 1 = 0
p(−1) = 1 − 1 = 0
✔️ दोनों शून्याक हैं।
🟣 (iv) p(x) = (x + 1)(x − 2) ; x = −1, 2
p(−1) = 0, p(2) = 0
✔️ दोनों शून्याक हैं।
🟣 (v) p(x) = x² ; x = 0
p(0) = 0
✔️ x = 0 शून्याक है।
🟣 (vi) p(x) = l·x + m ; x = −m⸍l
p(−m⸍l) = l(−m⸍l) + m = −m + m = 0
✔️ x = −m⸍l शून्याक है।
🟣 (vii) p(x) = 3x² − 1 ; x = 1⸍√3, −1⸍√3
p(1⸍√3) = 3(1⸍3) − 1 = 1 − 1 = 0
p(−1⸍√3) = 3(1⸍3) − 1 = 0
✔️ दोनों शून्याक हैं।
🟣 (viii) p(x) = 2x + 1 ; x = −1⸍2
p(−1⸍2) = 2(−1⸍2) + 1 = −1 + 1 = 0
✔️ x = −1⸍2 शून्याक है।
🔵 प्रश्न 4:
निम्नलिखित स्थितियों में प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्याक ज्ञात कीजिए :
🟣 (i) p(x) = x + 5
x + 5 = 0 → x = −5
✔️ शून्याक = −5
🟣 (ii) p(x) = x − 5
x − 5 = 0 → x = 5
✔️ शून्याक = 5
🟣 (iii) p(x) = 2x + 5
2x + 5 = 0 → x = −5⸍2
✔️ शून्याक = −5⸍2
🟣 (iv) p(x) = 3x − 2
3x − 2 = 0 → x = 2⸍3
✔️ शून्याक = 2⸍3
🟣 (v) p(x) = 3x
3x = 0 → x = 0
✔️ शून्याक = 0
🟣 (vi) p(x) = a·x ; a ≠ 0
a·x = 0 → x = 0
✔️ शून्याक = 0
🟣 (vii) p(x) = c·x + d ; c ≠ 0, c, d वास्तविक
c·x + d = 0 → x = −d⸍c
✔️ शून्याक = −d⸍c
📄 प्रश्नावली 2.3
🔵 प्रश्न 1:
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है।
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ − x² − (2 + √2)x + √2
🟢 उत्तर:
➡ गुणनखंड प्रमेय: यदि (x + 1) किसी बहुपद p(x) का गुणनखंड है तो p(−1) = 0 होगा।
(i) p(−1) = (−1)³ + (−1)² + (−1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0
✔️ अतः (x + 1) गुणनखंड है।
(ii) p(−1) = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 ≠ 0 ❌
(iii) p(−1) = 1 − 3 + 3 − 1 + 1 = 1 ≠ 0 ❌
(iv) p(−1) = (−1)³ − (−1)² − (2 + √2)(−1) + √2 = −1 − 1 + (2 + √2) + √2 = 2√2 ≠ 0 ❌
✨ अंतिम निष्कर्ष: केवल (i) में x + 1 गुणनखंड है।
🔵 प्रश्न 2:
गुणनखंड प्रमेय लगाकर बताइए कि निम्न स्थितियों में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं।
🟣 (i) p(x) = 2x³ + x² − 2x − 1, g(x) = x + 1
p(−1) = 2(−1)³ + (−1)² − 2(−1) − 1 = −2 + 1 + 2 − 1 = 0
✔️ g(x) गुणनखंड है।
🟣 (ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
p(−2) = (−8) + 12 − 6 + 1 = −1 ≠ 0 ❌
g(x) गुणनखंड नहीं है।
🟣 (iii) p(x) = x³ − 4x² + x + 6, g(x) = x − 3
p(3) = 27 − 36 + 3 + 6 = 0
✔️ g(x) गुणनखंड है।
🔵 प्रश्न 3:
k का मान ज्ञात कीजिए, जब (x − 1), p(x) का एक गुणनखंड हो।
🟣 (i) p(x) = x² + x + k
p(1) = 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = −2
🟣 (ii) p(x) = 2x² + kx + √2
p(1) = 2 + k + √2 = 0 ⇒ k = −(2 + √2)
🟣 (iii) p(x) = kx² − √2·x + 1
p(1) = k − √2 + 1 = 0 ⇒ k = √2 − 1
🟣 (iv) p(x) = kx² − 3x + k
p(1) = k − 3 + k = 0 ⇒ 2k = 3 ⇒ k = 3⸍2
🔵 प्रश्न 4:
गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
🟣 (i) 12x² − 7x + 1
Δ = 49 − 48 = 1
मूल: x = (7 ± 1)⸍24 ⇒ x = 1⸍3, 1⸍4
✔️ बहुपद = (3x − 1)(4x − 1)
🟣 (ii) 2x² + 7x + 3
= 2x² + x + 6x + 3
= x(2x + 1) + 3(2x + 1)
✔️ बहुपद = (2x + 1)(x + 3)
🟣 (iii) 6x² + 5x − 6
= 6x² + 9x − 4x − 6
= 3x(2x + 3) − 2(2x + 3)
✔️ बहुपद = (2x + 3)(3x − 2)
🟣 (iv) 3x² − x − 4
= 3x² + 3x − 4x − 4
= 3x(x + 1) − 4(x + 1)
✔️ बहुपद = (x + 1)(3x − 4)
🔵 प्रश्न 5:
गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
🟣 (i) x² − 3x − 10
= x² − 5x + 2x − 10
= x(x − 5) + 2(x − 5)
✔️ (x − 5)(x + 2)
🟣 (ii) x² + 13x + 12
= x² + 12x + x + 12
= x(x + 12) + 1(x + 12)
✔️ (x + 12)(x + 1)
🟣 (iii) x³ − 3x² − 9x − 5
p(5) = 125 − 75 − 45 − 5 = 0 ⇒ (x − 5) गुणनखंड
भागफल = x² + 2x + 1 = (x + 1)²
✔️ (x − 5)(x + 1)²
🟣 (iv) 2y³ + y² − 2y − 1
= y²(2y + 1) − 1(2y + 1)
= (2y + 1)(y² − 1)
= (2y + 1)(y − 1)(y + 1)
✔️ अंतिम गुणनखंड: (2y + 1)(y − 1)(y + 1)
🧮 प्रश्नावली 2.4
🔵 प्रश्न 1:
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
🟣 (i) (x + 4)(x + 10)
= x² + (4 + 10)x + (4 × 10)
= x² + 14x + 40
✔️ उत्तर: x² + 14x + 40
🟣 (ii) (x + 8)(x − 10)
= x² + (8 − 10)x − 80
= x² − 2x − 80
✔️ उत्तर: x² − 2x − 80
🟣 (iii) (3x + 4)(3x − 5)
= (3x)² + (−5 + 4)3x − 20
= 9x² − 3x − 20
✔️ उत्तर: 9x² − 3x − 20
🟣 (iv) (y² + 3/2)(y² − 3/2)
= (y²)² − (3/2)²
= y⁴ − 9/4
✔️ उत्तर: y⁴ − 9/4
🟣 (v) (3 − 2x)(3 + 2x)
= 3² − (2x)²
= 9 − 4x²
✔️ उत्तर: 9 − 4x²
🔵 प्रश्न 2:
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
🟣 (i) 103 × 107
= (100 + 3)(100 + 7)
= 100² + (3 + 7)100 + (3 × 7)
= 10000 + 1000 + 21 = 11021
🟣 (ii) 95 × 96
= (100 − 5)(100 − 4)
= 100² − (5 + 4)100 + 20
= 10000 − 900 + 20 = 9120
🟣 (iii) 104 × 96
= (100 + 4)(100 − 4)
= 100² − 4²
= 10000 − 16 = 9984
✔️ उत्तर: 11021, 9120, 9984
🔵 प्रश्न 3:
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
🟣 (i) 9x² + 6xy + y²
= (3x)² + 2(3x)(y) + y²
= (3x + y)²
✔️ उत्तर: (3x + y)²
🟣 (ii) 4y² − 4y + 1
= (2y)² − 2(2y)(1) + 1²
= (2y − 1)²
✔️ उत्तर: (2y − 1)²
🟣 (iii) x² − y²/100
= (x)² − (y/10)²
= (x − y/10)(x + y/10)
✔️ उत्तर: (x − y/10)(x + y/10)
🔵 प्रश्न 4:
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
🟣 (i) (x + 2y + 4z)²
= x² + (2y)² + (4z)² + 2(x·2y) + 2(x·4z) + 2(2y·4z)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 8xz + 16yz
🟣 (ii) (2x − y + z)²
= (2x)² + (−y)² + z² + 2(2x)(−y) + 2(2x)z + 2(−y)z
= 4x² + y² + z² − 4xy + 4xz − 2yz
🟣 (iii) (−2x + 3y + 2z)²
= (−2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(−2x)(3y) + 2(−2x)(2z) + 2(3y)(2z)
= 4x² + 9y² + 4z² − 12xy − 8xz + 12yz
🟣 (iv) (3a − 7b − c)²
= (3a)² + (−7b)² + (−c)² + 2(3a)(−7b) + 2(3a)(−c) + 2(−7b)(−c)
= 9a² + 49b² + c² − 42ab − 6ac + 14bc
🟣 (v) (−2x + 5y − 3z)²
= (−2x)² + (5y)² + (−3z)² + 2(−2x)(5y) + 2(−2x)(−3z) + 2(5y)(−3z)
= 4x² + 25y² + 9z² − 20xy + 12xz − 30yz
🟣 (vi) [¼a − ½b + 1]²
= (¼a)² + (−½b)² + 1² + 2(¼a)(−½b) + 2(¼a)(1) + 2(−½b)(1)
= 1⸍16 a² + 1⸍4 b² + 1 − 1⸍4 ab + 1⸍2 a − b
🔵 प्रश्न 5:
गुणनखंड कीजिए :
🟣 (i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy − 24yz − 16xz
= (2x + 3y − 4z)²
✔️ उत्तर: (2x + 3y − 4z)²
🟣 (ii) 2x² + y² + 8z² − 2√2 xy + 4√2 yz − 8xz
= (√2x − y + 2√2z)²
✔️ उत्तर: (√2x − y + 2√2z)²
🔵 प्रश्न 6:
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
🟣 (i) (2x + 1)³
= (2x)³ + 3(2x)²(1) + 3(2x)(1)² + 1³
= 8x³ + 12x² + 6x + 1
🟣 (ii) (2a − 3b)³
= (2a)³ − 3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² − (3b)³
= 8a³ − 36a²b + 54ab² − 27b³
🟣 (iii) (3⸍2 x + 1)³
= (3⸍2 x)³ + 3(3⸍2 x)²(1) + 3(3⸍2 x)(1)² + 1³
= 27⸍8 x³ + 27⸍4 x² + 9⸍2 x + 1
🟣 (iv) [x − 2⸍3 y]³
= x³ − 3x²(2⸍3 y) + 3x(2⸍3 y)² − (2⸍3 y)³
= x³ − 2x²y + 4⸍3 xy² − 8⸍27 y³
🔵 प्रश्न 7:
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
🟢 (i) 99³
➡ 99 = (100 − 1)
⇒ (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
⇒ 99³ = 100³ − 3×100²×1 + 3×100×1² − 1³
= 1000000 − 30000 + 300 − 1
= 970299 ✅
🟢 (ii) 102³
➡ 102 = (100 + 2)
⇒ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8
= 1061208 ✅
🟢 (iii) 998³
➡ 998 = (1000 − 2)
⇒ (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
= 1000000000 − 6000000 + 12000 − 8
= 994011992 ✅
🔵 प्रश्न 8:
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
🟢 (i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= (2a + b)³ ✅
🟢 (ii) 8a³ − b³ − 12a²b + 6ab²
= (2a − b)³ ✅
🟢 (iii) 27 − 125a³ − 135a + 225a²
= (3 − 5a)³ ✅
🟢 (iv) 64a³ − 27b³ − 144a²b + 108ab²
= (4a − 3b)³ ✅
🟢 (v) 27p³ − 1/216 − (9/2)p² + (1/4)p
= (3p − 1/6)³ ✅
🔵 प्रश्न 9:
सत्यापित कीजिए :
🟢 (i) x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
🟢 (ii) x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
✔ विस्तार करने पर LHS = RHS ✅
🔵 प्रश्न 10:
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
🟢 (i) 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z)(9y² − 15yz + 25z²) ✅
🟢 (ii) 64m³ − 343n³
= (4m)³ − (7n)³
= (4m − 7n)(16m² + 28mn + 49n²) ✅
🔵 प्रश्न 11:
गुणनखंड कीजिए :
27x³ + y³ + z³ − 9xyz
➡ सूत्र: a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
जहाँ a = 3x, b = y, c = z
⇒ = (3x + y + z)(9x² + y² + z² − 3xy − 3xz − yz) ✅
🔵 प्रश्न 12:
सत्यापित कीजिए :
x³ + y³ + z³ − 3xyz = ½ (x + y + z) [ (x − y)² + (y − z)² + (z − x)² ] ✅
🔵 प्रश्न 13:
यदि x + y + z = 0 हो, तो सिद्ध कीजिए कि
x³ + y³ + z³ = 3xyz
➡ (x³ + y³ + z³ − 3xyz) = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)
चूँकि (x + y + z) = 0 ⇒ LHS = 0 ⇒
x³ + y³ + z³ = 3xyz ✅
🔵 प्रश्न 14:
घनों का परिकलन किए बिना मान ज्ञात कीजिए :
🟢 (i) (−12)³ + 7³ + 5³
= (−12 + 7 + 5)³ − 3(−12 + 7)(7 + 5)(5 − 12)
= 0 − 3(−5)(12)(−7)
= −1260 ✅
🟢 (ii) 28³ + (−15)³ + (−13)³
= (28 − 15 − 13)³ − 3(28 − 15)(−15 − 13)(−13 + 28)
= 0 − 3(13)(−28)(15)
= 16380 ✅
🔵 प्रश्न 15:
क्षेत्रफल के गुणनखंड कर लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए :
🟢 (i) क्षेत्रफल = 25a² − 35a + 12
= (5a − 3)(5a − 4)
⇒ लंबाई = (5a − 3), चौड़ाई = (5a − 4) ✅
🟢 (ii) क्षेत्रफल = 35y² + 13y − 12
= (7y − 3)(5y + 4)
⇒ लंबाई = (7y − 3), चौड़ाई = (5y + 4) ✅
🔵 प्रश्न 16:
घनों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, उनके लिए संभव विमाएँ ज्ञात कीजिए :
🟢 (i) आयतन = 3x² − 12x
➡ सामान्य गुणक निकालिए :
= 3x(x − 4)
📦 अतः सम्भावित विमाएँ :
लंबाई = 3, चौड़ाई = x, ऊँचाई = (x − 4) ✅
🟢 (ii) आयतन = 12ky² + 6ky − 20k
➡ सामान्य गुणक निकालिए :
= 2k(6y² + 3y − 10)
अब, द्विघात पद का गुणनखंड कीजिए :
6y² + 3y − 10 = (2y + 5)(3y − 2)
📦 अतः सम्भावित विमाएँ :
लंबाई = 2k, चौड़ाई = (2y + 5), ऊँचाई = (3y − 2) ✅
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
1. निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद नहीं है?
a) 3×2 – 5x + 7
b) √x + 1
c) x3 + 2x
d) 2x + 1
उत्तर: b) √x + 1
2. बहुपद x2 – 4x + 4 के शून्यक हैं —
a) 2 और -2
b) 0 और 4
c) 2 और 2
d) -2 और -2
उत्तर: c) 2 और 2
3. बहुपद x2 + 7x + 10 के गुणनखंड हैं —
a) (x + 5)(x + 2)
b) (x – 5)(x – 2)
c) (x + 1)(x + 10)
d) (x – 1)(x – 10)
उत्तर: a) (x + 5)(x + 2)
4. एक द्विघात बहुपद में चर की अधिकतम घात क्या होती है?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
उत्तर: b) 2
5. x2 + 3x + 2 में शून्यकों का योग और गुणनफल होगा —
a) योग = 5, गुणनफल = 6
b) योग = 2, गुणनफल = 3
c) योग = -3, गुणनफल = 2
d) योग = -3, गुणनफल = -2
उत्तर: a) योग = 5, गुणनफल = 6
6. यदि p(x) = x2 + 2x + 1, तो p(-1) का मान है —
a) 0
b) 1
c) -1
d) 4
उत्तर: a) 0
7. शून्य बहुपद का मान हर x के लिए होता है —
a) 0
b) 1
c) x
d) परिभाषित नहीं
उत्तर: a) 0
8. p(x) = 2×2 + 3x + 1 के लिए p(1) का मान है —
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
उत्तर: a) 6
9. x2 – 9 के शून्यक हैं —
a) 0 और 3
b) 3 और -3
c) -3 और -9
d) 1 और -9
उत्तर: b) 3 और -3
10. यदि बहुपद p(x) को x – 2 से विभाजित करें और p(2) = 0 हो, तो
a) x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है
b) x – 2 शून्यक नहीं है
c) x – 2 p(x) का भागफल है
d) उपरोक्त सभी
उत्तर: a) x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है
11. बहुपद की परिभाषा लिखिए।
उत्तर: वह बीजगणितीय व्यंजक जिसमें एक या एक से अधिक पद होते हैं, और प्रत्येक पद में चल की पूर्ण घातें होती हैं, बहुपद कहलाता है।
12. बहुपद 3×2 – 2x + 1 में कुल कितने पद हैं?
उत्तर: तीन पद हैं: 3×2, -2x और 1।
13. एकवधिपदी का एक उदाहरण दीजिए।
उत्तर: 7x एक एकवधिपदी है क्योंकि इसमें केवल एक पद है।
14. द्विघात बहुपद का एक उदाहरण लिखिए।
उत्तर: x2 + 5x + 6 एक द्विघात बहुपद है क्योंकि इसमें चर की अधिकतम घात 2 है।
15. रेखीय बहुपद की परिभाषा दीजिए।
उत्तर: वह बहुपद जिसमें चर की अधिकतम घात 1 होती है, रेखीय बहुपद कहलाता है। जैसे x + 3।
16. यदि p(x) = x2 – 2x + 1 हो, तो p(1) का मान क्या होगा?
उत्तर: p(1) = (1)2 – 2×1 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0
17. बहुपद x2 + 4x + 3 के शून्यक बताइए।
उत्तर: शून्यक होंगे -1 और -3।
18. गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग कब किया जाता है?
उत्तर: जब p(a) = 0 होता है, तब x – a को p(x) का गुणनखंड माना जाता है।
19 बहुपद और परिमेय व्यंजक में क्या अंतर है?
उत्तर: बहुपद में चर की केवल पूर्ण घातें होती हैं जबकि परिमेय व्यंजक में चर हर (denominator) में भी हो सकता है।
20. द्विघात बहुपद x2 + 6x + 9 के शून्यकों का योग और गुणनफल क्या है?
उत्तर: शून्यकों का योग = -6, गुणनफल = 9
21. बहुपद x2 + 7x + 12 को गुणनखंडों के रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर:
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12
= x(x + 3) + 4(x + 3)
= (x + 4)(x + 3)
22. द्विघात बहुपद x2 – 5x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
x2 – 5x + 6 = 0
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 3)(x – 2)
शून्यक = 2 और 3
23. यदि p(x) = x2 + 2x + 1 हो, तो p(x) को गुणनखंडों के रूप में लिखिए और शून्यक भी बताइए।
उत्तर:
p(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)2
शून्यक = -1
24. शेष प्रमेय को उदाहरण सहित समझाइए।
उत्तर:
शेष प्रमेय कहती है कि यदि p(x) को x – a से भाग दें, तो शेष = p(a)।
उदाहरण :
p(x) = x2 – 3x + 2
x – 1 से भाग देने पर
p(1) = 1 – 3 + 2 = 0
अतः शेष = 0
25. बहुपद और उसके शून्यकों के बीच संबंध को समझाइए।
उत्तर:
यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं और वह बहुपद ax2 + bx + c है,
तो शून्यकों का योग = -b/a
शून्यकों का गुणनफल = c/a
विस्तृत उत्तर प्रश्न (26 से 30)
26. p(x) = x2 + 3x + 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए और गुणनखंड रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर:
p(x) = x2 + 3x + 2
= x2 + x + 2x + 2
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 2)(x + 1)
शून्यक = -1 और -2
27. बहुपद p(x) = 2×2 – 5x – 3 को विभाज्य रूप में गुणनखंड कीजिए।
उत्तर:
p(x) = 2×2 – 5x – 3
= 2×2 – 6x + x – 3
= 2x(x – 3) + 1(x – 3)
= (2x + 1)(x – 3)
28. p(x) = x2 + 4x + 4 का मान x = -2 और x = -3 पर ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
p(x) = x2 + 4x + 4
p(-2) = 4 – 8 + 4 = 0
p(-3) = 9 – 12 + 4 = 1
उत्तर: p(-2) = 0, p(-3) = 1
29. बहुपद p(x) = x3 – 3×2 – 4x + 12 को विभाजित कर गुणनखंडों में बदलिए।
उत्तर:
x3 – 3×2 – 4x + 12
= x2(x – 3) – 4(x – 3)
= (x2 – 4)(x – 3)
= (x + 2)(x – 2)(x – 3)
30. sx2 + 2x – 15 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों का योग तथा गुणनफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
x2 + 2x – 15 = x2 + 5x – 3x – 15
= x(x + 5) – 3(x + 5)
= (x + 5)(x – 3)
शून्यक = -5 और 3
शून्यकों का योग = -2, गुणनफल = -15
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मानचित्र
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