Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 1: संबंध एवं फलन

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🟢 परिचय :
गणित में संबंध और फलन अत्यंत मूलभूत और महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। इन दोनों की सहायता से हम दो या दो से अधिक समूहों (सेट्स) के तत्त्वों के बीच किस प्रकार के नियम या संबंध होते हैं, यह आसानी से समझ सकते हैं। ये अवधारणाएँ आगे चलकर गणित के अन्य अध्यायों में, जैसे कैलकुलस, प्रायिकता, गणितीय मॉडलिंग, आदि में अत्यंत उपयोगी सिद्ध होती हैं।
इस अध्याय में हम सीखेंगे –
➡️ कार्तीय गुणनफल क्या होता है।
➡️ संबंध की परिभाषा, प्रकार और गुण।
➡️ फलन की परिभाषा, प्रकार, विशेष फलन, समग्र फलन तथा व्युत्क्रमी फलन।

🔴 कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product) :
🌿 जब दो गैर रिक्त समुच्चय A और B दिए होते हैं, तो उनके बीच बनने वाले सभी संभावित क्रमबद्ध युग्मों (a, b) का समुच्चय A × B कहलाता है।
यहाँ a का चुनाव A से और b का चुनाव B से होता है।
➡️ यदि A में m तत्त्व हैं और B में n तत्त्व, तो A × B में कुल m × n तत्त्व होते हैं।
उदाहरण :
A = {1, 2}
B = {x, y}
तो A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
✏️ नोट : क्रम का विशेष महत्व होता है। (1, x) ≠ (x, 1)

🟡 संबंध (Relation) :
🔵 परिभाषा : यदि A और B दो गैर रिक्त समुच्चय हों, तो A से B में कोई भी उपसमुच्चय A × B का संबंध कहलाता है।
यदि (a, b) ∈ R, तो कहा जाएगा कि a का संबंध b से है।
➡️ R ⊆ A × B
✏️ नोट : जब A = B हो, तो उसे A में परिभाषित संबंध कहते हैं।

🔴 संबंध के प्रकार :
🔵 1. रिक्त संबंध (Void Relation)
यदि A का कोई भी तत्त्व A के किसी भी तत्त्व से संबंधित न हो, तो उसे रिक्त संबंध कहते हैं।
➡️ R = ∅

🟢 2. सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation)
यदि A के प्रत्येक तत्त्व का A के प्रत्येक तत्त्व से संबंध हो, तो वह सार्वत्रिक संबंध कहलाता है।
➡️ R = A × A

🔴 3. स्पष्ट संबंध (Explicit Relation)
यदि संबंध को किसी विशेष नियम द्वारा परिभाषित किया जाए।
उदाहरण : {(x, y) | x > y, x, y ∈ प्राकृतिक संख्याएँ}

🟡 संबंधों के गुण :
🧠 1. रिफ्लेक्सिव (Reflexive)
यदि ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R हो।
🧠 2. सिमेट्रिक (Symmetric)
यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
🧠 3. ट्रांसिटिव (Transitive)
यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
✔️ यदि कोई संबंध उपर्युक्त तीनों गुणों को संतुष्ट करता हो, तो वह समतुल्यता संबंध (Equivalence Relation) कहलाता है।

🔵 समतुल्यता संबंध (Equivalence Relation) :
यदि कोई संबंध रिफ्लेक्सिव, सिमेट्रिक और ट्रांसिटिव हो, तो उसे समतुल्यता संबंध कहते हैं।
ऐसा संबंध पूरे समुच्चय को समतुल्यता वर्गों में बाँट देता है।
उदाहरण : R = {(a, b) | a – b पूर्णांक से विभाज्य हो}

🟢 फलन (Function) :
🌿 फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है, जिसमें प्रक्षेपक (Domain) के प्रत्येक तत्त्व का केवल एक ही संचित (Co-domain) के तत्त्व से संबंध होता है।
➡️ A → B
➡️ A : प्रक्षेपक
➡️ B : संचित
➡️ Range : B का वह भाग, जो वास्तव में A से संबंधित है।
✏️ नोट : हर फलन संबंध होता है, पर हर संबंध फलन नहीं।

🔴 फलन को दर्शाने के प्रकार :
🟡 1. ऐरो आरेख (Arrow Diagram)
👉 सरल चित्र द्वारा प्रक्षेपक से संचित तक संबंध दिखाया जाता है।

🟢 2. संचय युग्म (Ordered Pairs)
👉 {(x, y)} के रूप में दिखाया जाता है।

🔵 3. नियम द्वारा (By Rule)
👉 जैसे y = 2x + 3

🔴 4. ग्राफ द्वारा (Graphically)
👉 फलन को ग्राफ़ के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

🟡 फलनों के प्रकार :
🔵 1. एक-एक फलन (One-One / Injective)
प्रत्येक भिन्न x के लिए भिन्न y हो।

🟢 2. परिपूर्ण फलन (Onto / Surjective)
संचित के प्रत्येक तत्त्व के लिए A में कोई तत्त्व अवश्य हो।

🔴 3. एक-एक एवं परिपूर्ण फलन (Bijective)
फलन एक-एक और परिपूर्ण दोनों हो।

🟡 4. नियत फलन (Constant Function)
प्रत्येक x के लिए y एक समान हो।

🔵 विशेष फलन (Special Functions) :
1️⃣ परिचायक फलन : f(x) = x
2️⃣ नियत फलन : f(x) = k
3️⃣ मूल फलन : f(x) = |x|
4️⃣ धात्व फलन : f(x) = [x]
5️⃣ धनात्मक-ऋणात्मक संकेत फलन : f(x) = -1, 0, 1

🔴 फलनों पर संक्रियाएँ :
➡️ (f + g)(x) = f(x) + g(x)
➡️ (f – g)(x) = f(x) – g(x)
➡️ (f . g)(x) = f(x) × g(x)
➡️ (f / g)(x) = f(x) ÷ g(x), जहाँ g(x) ≠ 0

🟡 समग्र फलन (Composite Function) :
यदि f : A → B और g : B → C हों, तो (g ◦ f)(x) = g(f(x)) होगा।
समग्र फलन में पहला फलन अंदर और दूसरा बाहर लिखा जाता है।
✏️ नोट : क्रम बदलने पर परिणाम बदल सकता है।

🟢 व्युत्क्रमी फलन (Inverse Function) :
केवल Bijective फलन का ही व्युत्क्रमी फलन संभव होता है।
यदि f : A → B हो, तो f⁻¹ : B → A इस प्रकार कि :
f(f⁻¹(y)) = y और f⁻¹(f(x)) = x
उदाहरण :
f(x) = 3x + 2
तो, f⁻¹(y) = (y – 2)/3

🔴 चित्रण द्वारा समझ (Graphical Understanding) :
🔵 ग्राफ़ द्वारा फलन को समझना सरल होता है।

जैसे :
y = x² → परबोला
y = |x| → V आकार
y = [x] → सीढ़ी जैसा

🟡 वास्तविक जीवन में उपयोग :
➡️ गणना में उपयोग : इनपुट-आउटपुट मशीन के समान।
➡️ विज्ञान : तापमान, समय के साथ परिवर्तन।
➡️ अर्थशास्त्र : मांग-आपूर्ति।
➡️ कंप्यूटर : डेटा बेस में संरचनात्मक जोड़।

🔶 इस पाठ का महत्त्व क्यों?
(🌿 Why This Lesson Matters?)
✔️ गणित की आधारशिला – आगे कैलकुलस, संभाव्यता में अत्यावश्यक।
✔️ कंप्यूटर, अर्थशास्त्र, भौतिकी में सतत प्रयोग।
✔️ हमारे जीवन में हर जगह इनपुट-आउटपुट की परिभाषा इसी से निकलती है।

📝 Quick Recap :
🔵 संबंध : A × B का कोई भी उपसमुच्चय
🟢 प्रकार : रिक्त, सार्वत्रिक, समतुल्यता
🔴 फलन : एक-एक निश्चित उत्तर
🟡 प्रकार : एक-एक, परिपूर्ण, संयोजित
🔵 विशेष : परिचायक, नियत, मूल, धात्व
🟢 व्युत्क्रमी, समग्र फलन, ग्राफ द्वारा चित्रण

🔵 सारांश (लगभग 300 शब्दों में)
🔵 संबंध (Relation)
➡️ A और B के बीच क्रमबद्ध युग्मों का उपसमुच्चय।
➡️ प्रकार : रिक्त, सार्वत्रिक, स्पष्ट।
➡️ गुण : रिफ्लेक्सिव, सिमेट्रिक, ट्रांसिटिव।

🟢 समतुल्यता संबंध (Equivalence Relation)
➡️ जो तीनों गुणों को संतुष्ट करता हो।
➡️ समुच्चय को समतुल्यता वर्गों में बाँटता है।

🔴 फलन (Function)
➡️ ऐसा विशेष संबंध जिसमें प्रक्षेपक का हर तत्त्व केवल एक ही तत्त्व से जुड़ा हो।
➡️ प्रक्षेपक, संचित, प्रतिमा – तीन भाग।
➡️ फलन का चित्रण : ऐरो, युग्म, नियम, ग्राफ द्वारा।

🟡 फलनों के प्रकार
➡️ एक-एक, परिपूर्ण, संयोजित, नियत।
➡️ विशेष फलन : परिचायक, नियत, मूल, धात्व, संकेत।
🔵 समग्र व व्युत्क्रमी फलन
➡️ दो फलनों का संयोजन समग्र फलन कहलाता है।
➡️ केवल Bijective फलन का ही व्युत्क्रमी फलन संभव।

🟢 आवश्यकता और महत्त्व
➡️ गणित के अन्य अध्यायों की नींव।
➡️ कंप्यूटर, विज्ञान, अर्थशास्त्र में उपयोग।
➡️ दैनिक जीवन के हर पहलू में लागू।
➡️ इस अध्याय ने गणित में संबंध और फलन के आधारभूत सिद्धांत को सरल भाषा में स्पष्ट किया है। यह आगे के अध्यायों का आधार बनेगा।

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 1.1

🔵 प्रश्न 1:
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वत्व, सममित तथा संक्रामक हैं :
(i) समुच्चय A = {1, 2, 3, …, 13, 14} में संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(x, y) : 3x − y = 0}
(ii) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N में
R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित संबंध R
(iii) समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में
R = {(x, y) : y भाज्य है x से} द्वारा परिभाषित संबंध R
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में
R = {(x, y) : x − y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R :
(a) R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
(b) R = {(x, y) : x तथा y एक ही जाति में हैं}
(c) R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 वर्ष बड़ा है}
(d) R = {(x, y) : x तथा y के पिता समान हैं}

🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
(i) R = {(x, y) : 3x − y = 0}, A = {1, 2, …, 14}
✏️ स्वत्व के लिए:
➡️ (a, a) ∈ R ⇔ 3a − a = 0 ⇔ 2a = 0 ⇔ a = 0
✔️ 0 ∉ A
अतः स्वत्व नहीं।
✏️ सममित के लिए:
➡️ यदि (x, y) ∈ R ⇒ 3x − y = 0 ⇒ y = 3x
अब (y, x) ∈ R के लिए होना चाहिए 3y − x = 0 ⇒ x = 3y
यह तभी संभव है जब x = 0 ⇒ असत्य।
✔️ सममित नहीं।
✏️ संक्रामक के लिए:
➡️ यदि (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R ⇒ y = 3x, z = 3y = 9x
अब (x, z) ∈ R ⇒ z = 3x होना चाहिए, पर z = 9x है।
✔️ संक्रामक नहीं।
निष्कर्ष: ❌ स्वत्व नहीं, ❌ सममित नहीं, ❌ संक्रामक नहीं।

(ii) R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4}, N पर
✏️ स्वत्व के लिए:
➡️ (a, a) ∈ R ⇔ a = a + 5 ⇒ असंभव।
✔️ स्वत्व नहीं।
✏️ सममित के लिए:
➡️ यदि (x, y) ∈ R ⇒ y = x + 5
अब (y, x) ∈ R ⇔ x = y + 5 ⇒ असत्य।
✔️ सममित नहीं।
✏️ संक्रामक के लिए:
➡️ यदि (x, y) ∈ R ⇒ y = x + 5 और (y, z) ∈ R के लिए y < 4 होना चाहिए।
परन्तु x < 4 होने पर y = x + 5 ≥ 6 ⇒ y < 4 नहीं।
अतः कोई भी (x, y), (y, z) साथ नहीं आते ⇒ रिक्त स्थिति ⇒ संक्रामक।
निष्कर्ष: ❌ स्वत्व नहीं, ❌ सममित नहीं, ✅ संक्रामक।

(iii) R = {(x, y) : y भाज्य है x से}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
✏️ स्वत्व:
➡️ हर संख्या स्वयं से विभाज्य होती है।
✔️ स्वत्व है।
✏️ सममित:
➡️ यदि 2 | 4 ⇒ 4 | 2 नहीं ⇒ सममित नहीं।
✔️ सममित नहीं।
✏️ संक्रामक:
➡️ यदि x | y और y | z ⇒ x | z
✔️ संक्रामक है।
निष्कर्ष: ✅ स्वत्व, ❌ सममित, ✅ संक्रामक।

(iv) R = {(x, y) : x − y एक पूर्णांक है}, Z पर
✏️ स्वत्व:
➡️ x − x = 0 ⇒ पूर्णांक ✔️
✏️ सममित:
➡️ यदि x − y पूर्णांक ⇒ y − x = −(x − y) भी पूर्णांक ✔️
✏️ संक्रामक:
➡️ यदि x − y, y − z पूर्णांक ⇒ (x − z) = (x − y) + (y − z) पूर्णांक ✔️
निष्कर्ष: ✅ स्वत्व, ✅ सममित, ✅ संक्रामक (तुल्यता संबंध)।

(v) नगर के निवासियों पर संबंध:
(a) “एक ही स्थान पर कार्य करते हैं”
✅ स्वत्व (स्वयं के साथ कार्यस्थल समान)
✅ सममित (यदि x,y समान कार्यस्थल तो y,x भी)
✅ संक्रामक (x,y तथा y,z समान ⇒ x,z भी समान)
✔️ तुल्यता संबंध।
(b) “एक ही जाति में हैं”
✅ स्वत्व
✅ सममित
✅ संक्रामक
✔️ तुल्यता संबंध।
(c) “x, y से ठीक 7 वर्ष बड़ा है”
❌ स्वत्व (कोई स्वयं से 7 वर्ष बड़ा नहीं)
❌ सममित (x>y ⇒ y>x नहीं)
❌ संक्रामक (x>y, y>z ⇒ x>z 14 वर्ष)
✔️ तुल्यता नहीं।
(d) “x तथा y के पिता समान हैं”
✅ स्वत्व
✅ सममित
✅ संक्रामक
✔️ तुल्यता संबंध।

प्रश्न 2:
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में
R = {(a, b) : a ≤ b²} द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वत्व है, न सममित है और न ही संक्रामक है।
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व के लिए जाँच:
➡️ स्वत्व होने हेतु प्रत्येक a ∈ R के लिए (a, a) ∈ R होना चाहिए।
➡️ अर्थात a ≤ a² होना चाहिए।
अब देखें :
यदि a = 2 ⇒ 2 ≤ 4 ✔️
यदि a = 1 ⇒ 1 ≤ 1 ✔️
यदि a = 1/2 ⇒ 1/2 ≤ 1/4 ❌
यदि a = −1 ⇒ −1 ≤ 1 ✔️
चूँकि a = 1/2 के लिए शर्त असत्य है, अतः
✔️ R स्वत्व नहीं है।
✏️ सममित के लिए जाँच:
➡️ यदि (a, b) ∈ R ⇒ a ≤ b²
अब (b, a) ∈ R के लिए b ≤ a² होना चाहिए।
उदाहरण:
a = 1, b = 2 ⇒ a ≤ b² ⇒ 1 ≤ 4 ✔️
परंतु b ≤ a² ⇒ 2 ≤ 1² ⇒ 2 ≤ 1 ❌
✔️ R सममित नहीं है।
✏️ संक्रामक के लिए जाँच:
➡️ यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ a ≤ b² और b ≤ c²
अब हमें देखना है कि (a, c) ∈ R ⇒ a ≤ c² है या नहीं।
उदाहरण:
a = 2, b = 2, c = 1
a ≤ b² ⇒ 2 ≤ 4 ✔️
b ≤ c² ⇒ 2 ≤ 1² ⇒ 2 ≤ 1 ❌
यह असत्य है। अतः शर्त सामान्यतः सत्य नहीं होती।
✔️ R संक्रामक नहीं है।
➡️ निष्कर्ष: ❌ स्वत्व नहीं, ❌ सममित नहीं, ❌ संक्रामक नहीं।

🔵 प्रश्न 3:
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में
R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वत्व, सममित या संक्रामक है।
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व:
➡️ प्रत्येक a के लिए (a, a) ∈ R होना चाहिए।
परंतु b = a + 1 ⇒ a ≠ a + 1 ❌
✔️ स्वत्व नहीं।
✏️ सममित:
➡️ यदि (a, b) ∈ R ⇒ b = a + 1
अब (b, a) ∈ R के लिए a = b + 1 होना चाहिए,
पर b = a + 1 ⇒ a = a + 2 ❌
✔️ सममित नहीं।
✏️ संक्रामक:
➡️ यदि (a, b) ∈ R ⇒ b = a + 1
और (b, c) ∈ R ⇒ c = b + 1 = a + 2
अब (a, c) ∈ R के लिए c = a + 1 होना चाहिए, पर c = a + 2 ❌
✔️ संक्रामक नहीं।
➡️ निष्कर्ष: ❌ स्वत्व नहीं, ❌ सममित नहीं, ❌ संक्रामक नहीं।

🔵 प्रश्न 4:
सिद्ध कीजिए कि R में
R = {(a, b) : a ≤ b} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वत्व तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व:
➡️ (a, a) ∈ R ⇔ a ≤ a ✔️
✔️ स्वत्व है।
✏️ सममित:
➡️ यदि (a, b) ∈ R ⇒ a ≤ b
अब (b, a) ∈ R ⇒ b ≤ a होना चाहिए।
उदाहरण: a = 2, b = 3
⇒ 2 ≤ 3 ✔️, परंतु 3 ≤ 2 ❌
✔️ सममित नहीं है।
✏️ संक्रामक:
➡️ यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ a ≤ b और b ≤ c
⇒ a ≤ c ✔️
✔️ संक्रामक है।
➡️ निष्कर्ष: ✅ स्वत्व, ❌ सममित, ✅ संक्रामक।

🔵 प्रश्न 5:
जाँच कीजिए कि क्या R में
R = {(a, b) : a ≤ b³}
द्वारा परिभाषित संबंध स्वत्व, सममित अथवा संक्रामक है?
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व (Reflexive):
➡️ स्वत्व होने के लिए (a, a) ∈ R ⇒ a ≤ a³ होना चाहिए।
अब देखें:
यदि a = 2 ⇒ 2 ≤ 8 ✔️
यदि a = 1/2 ⇒ 1/2 ≤ (1/2)³ = 1/8 ❌
अतः सभी a के लिए सत्य नहीं है।
✔️ R स्वत्व नहीं है।
✏️ सममित (Symmetric):
➡️ यदि (a, b) ∈ R ⇒ a ≤ b³
अब (b, a) ∈ R के लिए b ≤ a³ होना चाहिए।
उदाहरण:
a = 1, b = 2 ⇒ 1 ≤ 8 ✔️ पर 2 ≤ 1³ = 1 ❌
✔️ R सममित नहीं है।
✏️ संक्रामक (Transitive):
➡️ यदि (a, b) ∈ R ⇒ a ≤ b³ और (b, c) ∈ R ⇒ b ≤ c³
हमें देखना है (a, c) ∈ R ⇒ a ≤ c³ है या नहीं।
उदाहरण:
a = 2, b = 2, c = 1
a ≤ b³ ⇒ 2 ≤ 8 ✔️
b ≤ c³ ⇒ 2 ≤ 1³ = 1 ❌
शर्त असफल।
✔️ R संक्रामक नहीं है।
➡️ निष्कर्ष: ❌ स्वत्व नहीं, ❌ सममित नहीं, ❌ संक्रामक नहीं।

🔵 प्रश्न 6:
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3} में
R = {(1, 2), (2, 1)}
द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है, किंतु न तो स्वत्व है और न संक्रामक है।
🟢 उत्तर:
✏️ सममित:
➡️ (1, 2) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R ✔️
➡️ (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R ✔️
✔️ R सममित है।
✏️ स्वत्व:
➡️ (1,1), (2,2), (3,3) R में नहीं हैं ❌
✔️ स्वत्व नहीं।
✏️ संक्रामक:
➡️ (1, 2), (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R होना चाहिए,
परंतु (1,1) R में नहीं है ❌
✔️ संक्रामक नहीं।
➡️ निष्कर्ष: ✅ सममित, ❌ स्वत्व, ❌ संक्रामक।

🔵 प्रश्न 7:
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में
R = {(x, y) : x तथा y में पृष्ठों की संख्या समान है}
द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व:
➡️ प्रत्येक पुस्तक x में पृष्ठों की संख्या स्वयं से समान है ✔️
✔️ स्वत्व है।
✏️ सममित:
➡️ यदि x और y में पृष्ठों की संख्या समान है, तो y और x में भी समान होगी ✔️
✔️ सममित है।
✏️ संक्रामक:
➡️ यदि x और y में समान पृष्ठ संख्या है और y और z में भी समान है,
⇒ तो x और z में भी समान होगी ✔️
✔️ संक्रामक है।
➡️ निष्कर्ष: ✅ स्वत्व, ✅ सममित, ✅ संक्रामक ⇒ तुल्यता संबंध।

🔵 प्रश्न 8:
सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में,
R = {(a, b) : |a − b| सम है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है।
प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं, परंतु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व:
➡️ प्रत्येक a ∈ A के लिए |a − a| = 0, जो सम है।
✔️ R स्वत्व है।
✏️ सममित:
➡️ यदि |a − b| सम है, तो |b − a| = |a − b| भी सम होगा।
✔️ R सममित है।
✏️ संक्रामक:
➡️ यदि |a − b| सम और |b − c| सम ⇒ दोनों का योग सम ⇒ |a − c| सम।
✔️ R संक्रामक है।
✔️ निष्कर्ष: R तुल्यता संबंध है।
✏️ समतुल्यता वर्ग:
[1] = {1, 3, 5}
[2] = {2, 4}
➡️ दोनों वर्गों में कोई पारस्परिक संबंध नहीं।

🔵 प्रश्न 9:
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय
A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}
में, दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है :
(i) R = {(a, b) : |a − b|, 4 का एक गुणज है}
(ii) R = {(a, b) : a = b}
प्रत्येक वर्ग में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
(i) R = {(a, b) : |a − b|, 4 का एक गुणज है}
✏️ स्वत्व के लिए:
➡️ प्रत्येक a ∈ A के लिए |a − a| = 0,
और 0, 4 का गुणज है।
✔️ R स्वत्व है।
✏️ सममित के लिए:
➡️ यदि |a − b|, 4 का गुणज है, तो
|b − a| = |a − b| भी 4 का गुणज होगा।
✔️ R सममित है।
✏️ संक्रामक के लिए:
➡️ यदि |a − b| = 4m और |b − c| = 4n,
तो |a − c| ≤ |a − b| + |b − c| = 4m + 4n = 4(m + n),
अर्थात |a − c| भी 4 का गुणज है।
✔️ R संक्रामक है।
✅ अतः R एक तुल्यता संबंध है।
✏️ 1 से संबंधित अवयव:
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
अब देखें |a − 1|, 4 का गुणज हो:
1 − 1 = 0 ✔️, 5 − 1 = 4 ✔️, 9 − 1 = 8 ✔️
[1] = {1, 5, 9}

(ii) R = {(a, b) : a = b}
✏️ स्वत्व:
(a, a) ∈ R सभी a के लिए ✔️
✏️ सममित:
यदि a = b, तो b = a ✔️
✏️ संक्रामक:
यदि a = b और b = c ⇒ a = c ✔️
✅ अतः R एक तुल्यता संबंध है।
✏️ 1 से संबंधित अवयव:
केवल वही b जिसके लिए 1 = b ⇒ [1] = {1}
🔵 प्रश्न 10:
ऐसे संबंधों के उदाहरण दीजिए जो
(i) सममित हों परंतु न स्वत्व हों, न संक्रामक।
(ii) संक्रामक हों परंतु न स्वत्व हों, न सममित।
(iii) स्वत्व और संक्रामक हों परंतु सममित न हों।
(iv) स्वत्व और सममित हों परंतु संक्रामक न हों।
(v) सममित और संक्रामक हों परंतु स्वत्व न हों।
🟢 उत्तर:
(i) R = {(1, 2), (2, 1)}
✔️ सममित (क्योंकि दोनों युग्म परस्पर हैं)
❌ स्वत्व (क्योंकि (1,1), (2,2) अनुपस्थित)
❌ संक्रामक (क्योंकि (1,2),(2,1) ⇒ (1,1) नहीं)
(ii) R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
✔️ संक्रामक (क्योंकि (1,2),(2,3) ⇒ (1,3) मौजूद)
❌ स्वत्व, ❌ सममित
(iii) R = {(a, b) : a ≤ b}, R वास्तविक संख्याओं पर
✔️ स्वत्व, ✔️ संक्रामक, ❌ सममित
(iv) R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)}
✔️ स्वत्व, ✔️ सममित, ❌ संक्रामक
(v) R = ∅ (रिक्त संबंध)
✔️ सममित, ✔️ संक्रामक (क्योंकि कोई विपरीत युग्म नहीं), ❌ स्वत्व

🔵 प्रश्न 11:
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में
R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी = बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी}
द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः दिखाइए कि यदि P ≠ (0, 0) हो, तो P से संबंधित समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय मूल बिंदु केंद्र तथा त्रिज्या OP वाला वृत्त है।

🟢 उत्तर:
✏️ परिभाषा: O = (0, 0), d(O, P) = √(xₚ² + yₚ²)।
➡️ स्वत्व: d(O, P) = d(O, P) ✔️
➡️ सममित: d(O, P) = d(O, Q) ⇒ d(O, Q) = d(O, P) ✔️
➡️ संक्रामक: d(O, P) = d(O, Q) तथा d(O, Q) = d(O, R) ⇒ d(O, P) = d(O, R) ✔️
✔️ निष्कर्ष: R तुल्यता संबंध है।

✏️ समतुल्यता-वर्ग [P]:
➡️ [P] = {X : d(O, X) = d(O, P)} = {X : xₓ² + yₓ² = xₚ² + yₚ²}
✔️ यह मूल केंद्रित त्रिज्या OP वाला वृत्त है (P ≠ O)।

🔵 प्रश्न 12:
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(Tᵢ, Tⱼ) : Tᵢ सर्वांगसम Tⱼ} एक तुल्यता संबंध है। त्रिभुज T₁, T₂, T₃ की भुजाएँ क्रमशः 3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10 हैं। जाँचिए कि T₁, T₂, T₃ में से कौन-कौन से परस्पर संबंधित हैं। प्रत्येक Tᵢ का समतुल्यता-वर्ग लिखिए।

🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व: प्रत्येक त्रिभुज स्वयं से सर्वांगसम ✔️
➡️ सममित: Tᵢ सर्वांगसम Tⱼ ⇒ Tⱼ सर्वांगसम Tᵢ ✔️
➡️ संक्रामक: Tᵢ सर्वांगसम Tⱼ तथा Tⱼ सर्वांगसम Tₖ ⇒ Tᵢ सर्वांगसम Tₖ ✔️
✔️ निष्कर्ष: R तुल्यता संबंध है।

✏️ दिए त्रिभुजों की जाँच:
➡️ T₁ = (3, 4, 5)
➡️ T₂ = (5, 12, 13)
➡️ T₃ = (6, 8, 10) = 2 × (3, 4, 5) (केवल समानुपाती, सर्वांगसम नहीं)
✔️ निष्कर्ष: T₁, T₂, T₃ में कोई भी जोड़ी सर्वांगसम नहीं।

✏️ समतुल्यता-वर्ग:
➡️ [T₁] = {वे सभी त्रिभुज जिनकी भुजाएँ 3, 4, 5 (क्रम परिवर्तन तक)}
➡️ [T₂] = {वे सभी त्रिभुज जिनकी भुजाएँ 5, 12, 13}
➡️ [T₃] = {वे सभी त्रिभुज जिनकी भुजाएँ 6, 8, 10}

🔵 प्रश्न 13:
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(Pᵢ, Pⱼ) : Pᵢ और Pⱼ की भुजाओं की संख्या समान है} एक तुल्यता संबंध है। फिर उन अवयवों के समुच्चयों का वर्णन कीजिए जो त्रिभुज से संबंधित हैं तथा जो चतुर्भुज से संबंधित हैं।

🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व: किसी भी बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं से समान ✔️
➡️ सममित: यदि Pᵢ और Pⱼ की भुजाओं की संख्या समान है, तो Pⱼ और Pᵢ की भी समान ✔️
➡️ संक्रामक: Pᵢ व Pⱼ समान, Pⱼ व Pₖ समान ⇒ Pᵢ व Pₖ समान ✔️
✔️ निष्कर्ष: R तुल्यता संबंध है।

✏️ समतुल्यता-वर्ग:
➡️ [त्रिभुज] = {समस्त 3-भुजीय बहुभुज}
➡️ [चतुर्भुज] = {समस्त 4-भुजीय बहुभुज}

🔵 प्रश्न 14:
मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और R = {(L₁, L₂) : L₁ समांतर L₂} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। फिर रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व: प्रत्येक रेखा स्वयं के समांतर होती है ✔️
➡️ सममित: L₁ ∥ L₂ ⇒ L₂ ∥ L₁ ✔️
➡️ संक्रामक: L₁ ∥ L₂ तथा L₂ ∥ L₃ ⇒ L₁ ∥ L₃ ✔️
✔️ निष्कर्ष: R तुल्यता संबंध है।

✏️ समतुल्यता-वर्ग [y = 2x + 4]:
➡️ समान ढाल (m = 2) वाली सभी रेखाएँ:
[y = 2x + 4] = {y = 2x + c : c ∈ ℝ} ✔️

🔵 प्रश्न 15:
मान लीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} में
R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है।
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए —
(A) R स्वत्व तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।
(B) R स्वत्व तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
(C) R सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वत्व नहीं है।
(D) R एक तुल्यता संबंध है।
🟢 उत्तर:
✏️ स्वत्व के लिए जाँच:
स्वत्व संबंध के लिए (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) सभी R में होने चाहिए।
➡️ यहाँ ये चारों युग्म R में उपस्थित हैं।
✔️ अतः R स्वत्व है।
✏️ सममित के लिए जाँच:
यदि (a, b) ∈ R है, तो (b, a) भी ∈ R होना चाहिए।
➡️ (1,2) ∈ R है, परंतु (2,1) ∉ R
❌ अतः R सममित नहीं है।
✏️ संक्रामक के लिए जाँच:
यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तो (a, c) ∈ R होना चाहिए।
उदाहरण:
➡️ (1,3) और (3,2) ∈ R ⇒ (1,2) ∈ R ✔️
➡️ (1,2) और (2,2) ∈ R ⇒ (1,2) ∈ R ✔️
➡️ अन्य संयोजनों से कोई विरोधाभास नहीं मिलता।
✔️ अतः R संक्रामक है।
➡️ निष्कर्ष:
R स्वत्व ✅
R सममित ❌
R संक्रामक ✅
✔️ सही विकल्प: (B) R स्वत्व तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

🔵 प्रश्न 16:
मान लीजिए कि समुच्चय N में,
R = {(a, b) : a = b − 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है।
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए —
(A) (2, 4) ∈ R
(B) (3, 8) ∈ R
(C) (6, 8) ∈ R
(D) (8, 7) ∈ R
🟢 उत्तर:
✏️ शर्त: (a, b) ∈ R तभी जब
➡️ a = b − 2 और
➡️ b > 6
अब प्रत्येक विकल्प की जाँच करें —
➡️ (2, 4): a = 2, b = 4 ⇒ 2 = 4 − 2 ✔️ परंतु b = 4 > 6 ❌
✖️ (2, 4) ∉ R
➡️ (3, 8): a = 3, b = 8 ⇒ 3 = 8 − 2 ⇒ 3 = 6 ❌
✖️ (3, 8) ∉ R
➡️ (6, 8): a = 6, b = 8 ⇒ 6 = 8 − 2 ✔️ और 8 > 6 ✔️
✅ (6, 8) ∈ R
➡️ (8, 7): a = 8, b = 7 ⇒ 8 = 7 − 2 ⇒ 8 = 5 ❌
✖️ (8, 7) ∉ R
✔️ सही उत्तर: (C) (6, 8) ∈ R

🧮 प्रश्नावली 1.2

🔵 प्रश्न 1:
सिद्ध कीजिए कि f(x) = 1/x द्वारा परिभाषित फलन
f : R* → R* एकांकी तथा आच्छादक है,
जहाँ R* सभी शून्य रहित वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
यदि प्रांत R* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत् R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया फलन: f(x) = 1/x, जहाँ x ∈ R*
➡️ एकांकी (Injective):
मान लें f(x₁) = f(x₂)
⇒ 1/x₁ = 1/x₂
⇒ x₁ = x₂
✔️ अतः फलन एकांकी है।
➡️ आच्छादक (Surjective):
किसी भी y ∈ R* के लिए x = 1/y चुनें,
तब f(x) = 1/(1/y) = y
✔️ अतः फलन आच्छादक है।
✅ निष्कर्ष:
फलन f : R* → R* एकांकी तथा आच्छादक है,
अर्थात् यह एकसापेक्ष (Bijective) है।
💡 यदि प्रांत को N कर दिया जाए:
f : N → R*
यहाँ f(n) = 1/n, जो केवल (0,1] में मान देता है,
पूरा R* आच्छादित नहीं होता।
✔️ एकांकी रहेगा, ❌ आच्छादक नहीं होगा।
✅ अंतिम निष्कर्ष:
f : R* → R* ⇒ एकसापेक्ष फलन
f : N → R* ⇒ केवल एकांकी फलन

🔵 प्रश्न 2:
निम्नलिखित फलनों की एकांकी तथा आच्छादक गुणों की जाँच कीजिए:
(i) f(x) = x², f : N → N
(ii) f(x) = x², f : Z → Z
(iii) f(x) = x³, f : R → R
(iv) f(x) = 3x + 5, f : R → R
(v) f(x) = 1/x, f : R* → R*
(vi) f(x) = x², f : R → R

🟢 उत्तर:
(i) f : N → N, f(x) = x²
➡️ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का वर्ग भिन्न होता है ✔️
✅ एकांकी
✖️ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या किसी वर्ग का परिणाम नहीं ❌
❌ आच्छादक नहीं
(ii) f : Z → Z, f(x) = x²
➡️ f(2) = 4, f(-2) = 4 ⇒ ❌
❌ एकांकी नहीं
✖️ ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त नहीं होतीं ❌
❌ आच्छादक नहीं
(iii) f : R → R, f(x) = x³
➡️ f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ ✔️
➡️ प्रत्येक y ∈ R के लिए x = ∛y चुनने पर f(x) = y ✔️
✅ एकसापेक्ष (एकांकी एवं आच्छादक)
(iv) f : R → R, f(x) = 3x + 5
➡️ f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ ✔️
➡️ प्रत्येक y के लिए x = (y – 5)/3 ✔️
✅ एकसापेक्ष
(v) f : R* → R*, f(x) = 1/x
➡️ पहले सिद्ध किया जा चुका है
✅ एकसापेक्ष
(vi) f : R → R, f(x) = x²
➡️ f(2) = 4, f(-2) = 4 ❌
❌ एकांकी नहीं
❌ आच्छादक नहीं

🔵 प्रश्न 3:
सिद्ध कीजिए कि f(x) = ⌊x⌋ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन
f : R → R, न तो एकांकी है और न आच्छादक है।
जहाँ ⌊x⌋, x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया फलन: f(x) = ⌊x⌋
✳️ उदाहरण के लिए f(1.2) = 1, f(1.9) = 1
➡️ एकांकी जाँच:
यदि f(1.2) = f(1.9) = 1, जबकि 1.2 ≠ 1.9
❌ अतः फलन एकांकी नहीं है।
➡️ आच्छादक जाँच:
हर y ∈ R के लिए कोई x ∈ R ऐसा नहीं है जिससे f(x) = y हो,
क्योंकि f(x) सदैव पूर्णांक देता है, परंतु R में अपूर्णांक भी हैं।
❌ अतः आच्छादक नहीं है।
✔️ निष्कर्ष: f(x) = ⌊x⌋ न तो एकांकी है और न आच्छादक।

🔵 प्रश्न 4:
सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन
f : R → R, न तो एकांकी है और न आच्छादक है।
जहाँ |x| = x यदि x ≥ 0 तथा |x| = −x यदि x < 0।
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया फलन: f(x) = |x|
➡️ एकांकी जाँच:
f(2) = 2, f(−2) = 2
जबकि 2 ≠ −2
❌ अतः फलन एकांकी नहीं है।
➡️ आच्छादक जाँच:
किसी ऋणात्मक y ∈ R के लिए कोई x ∈ R ऐसा नहीं जिससे f(x) = y हो।
❌ अतः फलन आच्छादक नहीं है।
✔️ निष्कर्ष: f(x) = |x| न तो एकांकी है और न आच्छादक।

🔵 प्रश्न 5:
सिद्ध कीजिए कि f : R → R, जहाँ
f(x) =
1, यदि x > 0
0, यदि x = 0
−1, यदि x < 0
🟢 उत्तर:
✏️ यह एक संकेत फलन (Sign Function) है।
➡️ एकांकी जाँच:
f(1) = 1, f(2) = 1 जबकि 1 ≠ 2
❌ अतः एकांकी नहीं।
➡️ आच्छादक जाँच:
फलन के मान केवल {−1, 0, 1} हैं।
R के प्रत्येक तत्व के लिए फलन का कोई प्रतिचित्र नहीं।
❌ अतः आच्छादक नहीं।
✔️ निष्कर्ष: यह फलन न तो एकांकी है और न आच्छादक।

🔵 प्रश्न 6:
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3},
B = {4, 5, 6, 7}
तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
A से B तक एक फलन है।
सिद्ध कीजिए कि f एकांकी है।
🟢 उत्तर:
✏️ प्रत्येक तत्व a ∈ A के लिए f(a) भिन्न है:
f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6
कोई दो भिन्न तत्त्व समान प्रतिचित्र नहीं रखते।
✔️ अतः फलन एकांकी है।
❌ आच्छादक नहीं, क्योंकि 7 का कोई पूर्व-प्रतिचित्र नहीं है।
✅ निष्कर्ष: f एक एकांकी परंतु आच्छादक नहीं फलन है।

🔵 प्रश्न 7:
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकांकी, आच्छादक अथवा एकसापेक्ष (bijective) हैं।
अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) f(x) = 3 − 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
(ii) f(x) = 1 + x² द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

🟢 उत्तर:
(i) ✏️ f(x) = 3 − 4x
➡️ मान लें f(x₁) = f(x₂)
⇒ 3 − 4x₁ = 3 − 4x₂
⇒ x₁ = x₂
✔️ अतः एकांकी है।
➡️ प्रत्येक y ∈ R के लिए x = (3 − y)/4 चुनें
⇒ f(x) = 3 − 4(3 − y)/4 = y
✔️ अतः आच्छादक है।
✅ निष्कर्ष: f(x) = 3 − 4x एक एकसापेक्ष (bijective) फलन है।

(ii) ✏️ f(x) = 1 + x²
➡️ f(2) = 5, f(−2) = 5
परंतु 2 ≠ −2
❌ अतः एकांकी नहीं।
➡️ f(x) ≥ 1, अतः R का प्रत्येक तत्व प्राप्त नहीं होता।
❌ अतः आच्छादक नहीं।
❌ निष्कर्ष: यह फलन न एकांकी है न आच्छादक।

🔵 प्रश्न 8:
मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि
f : A × B → B × A,
जिस प्रकार f(a, b) = (b, a)
एक एकसापेक्ष (bijective) फलन है।
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया फलन: f(a, b) = (b, a)
➡️ यदि f(a₁, b₁) = f(a₂, b₂)
⇒ (b₁, a₁) = (b₂, a₂)
⇒ b₁ = b₂ और a₁ = a₂
✔️ अतः एकांकी है।
➡️ किसी भी (b, a) ∈ B × A के लिए
(a, b) ∈ A × B चुनें,
तब f(a, b) = (b, a)
✔️ अतः आच्छादक है।
✅ निष्कर्ष: f एक एकसापेक्ष (bijective) फलन है।

🔵 प्रश्न 9:
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए,
f(n) =
(n + 1)/2, यदि n विषम है
n/2, यदि n सम है
द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है।
बतलाइए क्या यह फलन एकांकी, आच्छादक अथवा एकसापेक्ष (bijective) है।
अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
🟢 उत्तर:
✏️ दो स्थितियाँ —
➡️ यदि n विषम है, f(n) = (n + 1)/2
➡️ यदि n सम है, f(n) = n/2
अब देखें:
f(1) = 1, f(2) = 1
दो अलग मानों का प्रतिचित्र समान ⇒ ❌ एकांकी नहीं।
अब किसी y ∈ N के लिए
यदि y = 1, तो पूर्व-प्रतिचित्र 1 और 2 दोनों हैं,
यदि y = 3, तो f(5) = 3 (विषम), f(6) = 3 (सम)
हर प्राकृतिक संख्या y के लिए कोई n ऐसा है कि f(n) = y
✔️ अतः आच्छादक है।
✅ निष्कर्ष: f आच्छादक है परंतु एकांकी नहीं,
अतः एकसापेक्ष नहीं।

🔵 प्रश्न 10:
मान लीजिए कि
A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं।
फलन f(x) = (x − 2)/(x − 3) द्वारा परिभाषित फलन
f : A → B पर विचार कीजिए।
क्या f एकांकी तथा आच्छादक है?
अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
🟢 उत्तर:
✏️ फलन: f(x) = (x − 2)/(x − 3),
जहाँ A = R − {3}, B = R − {1}
➡️ एकांकी जाँच:
मान लें f(x₁) = f(x₂)
⇒ (x₁ − 2)/(x₁ − 3) = (x₂ − 2)/(x₂ − 3)
⇒ क्रॉस गुणन करें: (x₁ − 2)(x₂ − 3) = (x₂ − 2)(x₁ − 3)
⇒ x₁x₂ − 3x₁ − 2x₂ + 6 = x₁x₂ − 3x₂ − 2x₁ + 6
⇒ −3x₁ − 2x₂ = −3x₂ − 2x₁
⇒ x₁ = x₂
✔️ अतः फलन एकांकी है।
➡️ आच्छादक जाँच:
किसी भी y ∈ B के लिए,
y = (x − 2)/(x − 3)
⇒ yx − 3y = x − 2
⇒ x(y − 1) = 3y − 2
⇒ x = (3y − 2)/(y − 1)
अब यदि y ≠ 1 है, तो x ∈ A (क्योंकि y = 1 होने पर हर x मान 3 बनता जो A में नहीं है)।
✔️ अतः प्रत्येक y ∈ B के लिए कोई x ∈ A मौजूद है जिससे f(x) = y।
➡️ फलन आच्छादक है।
✅ निष्कर्ष: f(x) = (x − 2)/(x − 3) एक एकसापेक्ष (bijective) फलन है।

🔵 प्रश्न 11:
मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है।
सही उत्तर का चयन कीजिए —
(A) f एकांकी आच्छादक है
(B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकांकी है किंतु आच्छादक नहीं है
(D) f न तो एकांकी है और न आच्छादक है
🟢 उत्तर:
f(x) = x⁴
➡️ f(2) = 16, f(−2) = 16 ⇒ ❌ एकांकी नहीं
➡️ f(x) ≥ 0 ⇒ R का प्रत्येक तत्व नहीं प्राप्त होता ❌
✅ सही उत्तर: (D) — f न तो एकांकी है और न आच्छादक।

🔵 प्रश्न 12:
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
सही उत्तर चुनिए:
(A) f एकांकी आच्छादक है
(B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकांकी है परंतु आच्छादक नहीं है
(D) f न तो एकांकी है और न आच्छादक है
🟢 उत्तर:
f(x) = 3x
➡️ f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂ ✔️
➡️ किसी भी y ∈ R के लिए x = y/3 चुनें, तब f(x) = y ✔️
✅ फलन एकसापेक्ष (एकांकी व आच्छादक) है।
✅ सही उत्तर: (A)
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

❓ प्रश्न – 1
फलन cos⁻¹ (x) का प्रतिच्छेद (Range) क्या होता है?
(A) [0, 1]
(B) [0, π]
(C) [0, 2π]
(D) [ -π, π ]
✅ उत्तर – 1
cos⁻¹ (x) का प्रतिच्छेद [0, π] होता है।
सही उत्तर : (B)

❓ प्रश्न – 2
यदि f (x) = tan⁻¹ x हो, तो इसका परिभाषा क्षेत्र (Domain) क्या होगा?
(A) ( -∞, ∞ )
(B) [0, ∞ )
(C) ( -π/2, π/2 )
(D) [ -1, 1 ]
✅ उत्तर – 2
tan⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र सम्पूर्ण वास्तविक संख्या होता है।
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 3
यदि f (x) = sin⁻¹ x हो, तो उसका प्रतिच्छेद क्या है?
(A) [0, 1]
(B) [ -π/2, π/2 ]
(C) [ -π, π ]
(D) [ -1, 1 ]
✅ उत्तर – 3
sin⁻¹ x का प्रतिच्छेद [ -π/2, π/2 ] होता है।
सही उत्तर : (B)

❓ प्रश्न – 4
cos⁻¹ ( cos 7π / 6 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) 5π / 6
(C) π / 3
(D) 7π / 6
✅ उत्तर – 4
cos⁻¹ ( cos 7π / 6 ) = 5π / 6
सही उत्तर : (B)

❓ प्रश्न – 5
cos⁻¹ ( cos 13π / 6 ) का मान क्या होगा?
(A) π / 6
(B) 5π / 6
(C) 11π / 6
(D) π / 2
✅ उत्तर – 5
cos⁻¹ ( cos 13π / 6 ) = π / 6
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 6
यदि sin⁻¹ x का प्रतिच्छेद पूछा जाए, तो वह क्या होगा?
(A) [0, 1]
(B) [ -π/2, π/2 ]
(C) [ -π, π ]
(D) [ -1, 1 ]
✅ उत्तर – 6
sin⁻¹ x का प्रतिच्छेद [ -π/2, π/2 ] होता है।
सही उत्तर : (B)

❓ प्रश्न – 7
tan⁻¹ x का प्रतिच्छेद क्या होता है?
(A) [ -π/2, π/2 ]
(B) [0, π]
(C) [ -π, π ]
(D) [0, 1]
✅ उत्तर – 7
tan⁻¹ x का प्रतिच्छेद [ -π/2, π/2 ] होता है।
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 8
cos⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र क्या है?
(A) [0, π]
(B) ( -∞, ∞ )
(C) [ -1, 1 ]
(D) [0, 1]
✅ उत्तर – 8
cos⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र [ -1, 1 ] होता है।
सही उत्तर : (C)

❓ प्रश्न – 9
sin⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र क्या है?
(A) [ -1, 1 ]
(B) ( -∞, ∞ )
(C) [0, π]
(D) [ -π, π ]
✅ उत्तर – 9
sin⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र [ -1, 1 ] होता है।
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 10
tan⁻¹ ( tan π/3 ) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) -π / 3
(C) 2π / 3
(D) π / 6
✅ उत्तर – 10
tan⁻¹ ( tan π/3 ) = π / 3
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 11
यदि f (x) = cos⁻¹ (x), तो क्या यह एक-एक फलन है?
(A) हाँ
(B) नहीं
(C) आंशिक रूप से
(D) निश्चित नहीं
✅ उत्तर – 11
cos⁻¹ x एक-एक फलन है।
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 12
यदि f (x) = sin⁻¹ (x), तो क्या यह फलन एक-एक और परिपूर्ण है?
(A) केवल एक-एक
(B) केवल परिपूर्ण
(C) दोनों
(D) कोई नहीं
✅ उत्तर – 12
sin⁻¹ x केवल एक-एक है, पर पूर्ण नहीं।
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 13
tan⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र क्या है?
(A) ( -∞, ∞ )
(B) [ -1, 1 ]
(C) [0, 1]
(D) [0, π]
✅ उत्तर – 13
tan⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र ( -∞, ∞ ) है।
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 14
sin⁻¹ (1 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
✅ उत्तर – 14
sin⁻¹ (1 / 2) = π / 6
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 15
cos⁻¹ (1 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) 0
✅ उत्तर – 15
cos⁻¹ (1 / 2) = π / 3
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 16
tan⁻¹ 1 का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) 0
✅ उत्तर – 16
tan⁻¹ 1 = π / 4
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 17
cos⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) π / 4
✅ उत्तर – 17
cos⁻¹ 0 = π / 2
सही उत्तर : (A)

❓ प्रश्न – 18
sin⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) π / 4
✅ उत्तर – 18
sin⁻¹ 0 = 0
सही उत्तर : (A)


❓ प्रश्न – 19
यदि cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π, तो यह सिद्ध कीजिए कि x + y = 0।
✅ उत्तर – 19
cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π
cos⁻¹ (x) = π – cos⁻¹ (y)
cos (π – θ) = – cos θ
⇒ cos (cos⁻¹ x) = – cos (cos⁻¹ y)
⇒ x = -y
⇒ x + y = 0
✔️ सिद्ध हुआ।

❓ प्रश्न – 20
सिद्ध कीजिए : sin⁻¹ (x) + sin⁻¹ (y) = sin⁻¹ (x√(1 – y²) + y√(1 – x²))
✅ उत्तर – 20
मान लीजिए sin⁻¹ (x) = A, sin⁻¹ (y) = B
⇒ sin A = x, sin B = y
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
cos A = √(1 – x²), cos B = √(1 – y²)
तो, sin (A + B) = x√(1 – y²) + y√(1 – x²)
अतः A + B = sin⁻¹ (x√(1 – y²) + y√(1 – x²))
✔️ सिद्ध हुआ।

❓ प्रश्न – 21
cos⁻¹ (4 / 5) + cos⁻¹ (3 / 5) का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर – 21
cos⁻¹ (4 / 5) = A, cos⁻¹ (3 / 5) = B
cos A = 4 / 5, sin A = 3 / 5
cos B = 3 / 5, sin B = 4 / 5
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
= (4 / 5)(3 / 5) – (3 / 5)(4 / 5) = (12 / 25 – 12 / 25) = 0
⇒ A + B = π / 2
अन्तिम उत्तर : π / 2

❓ प्रश्न – 22
यदि cos⁻¹ x + sin⁻¹ x = π / 2, तो इसका मान स्पष्ट कीजिए।
✅ उत्तर – 22
cos⁻¹ x + sin⁻¹ x = π / 2 (NCERT मानक परिणाम)
सभी x ∈ [-1, 1] के लिए सत्य।
अन्तिम उत्तर : π / 2

❓ प्रश्न – 23
tan⁻¹ (1 / √3) + tan⁻¹ (1) + tan⁻¹ (√3) का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर – 23
tan⁻¹ (1 / √3) = π / 6
tan⁻¹ (1) = π / 4
tan⁻¹ (√3) = π / 3
π / 6 + π / 4 + π / 3 = (2π + 3π + 4π) / 12 = 9π / 12 = 3π / 4
अन्तिम उत्तर : 3π / 4

📘 भाग – C (प्रश्न 24 से 28) (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक)

❓ प्रश्न – 24
यदि cos⁻¹ x + cos⁻¹ y = π, तो sin⁻¹ x + sin⁻¹ y का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर – 24
cos⁻¹ x + cos⁻¹ y = π ⇒ x + y = 0
⇒ y = -x
sin⁻¹ x + sin⁻¹ (-x) = sin⁻¹ x – sin⁻¹ x = 0
अन्तिम उत्तर : 0

❓ प्रश्न – 25
यदि tan⁻¹ a + tan⁻¹ b = π / 4 हो, तो यह सिद्ध कीजिए कि a + b = 1 – ab।
✅ उत्तर – 25
tan (tan⁻¹ a + tan⁻¹ b) = tan (π / 4) = 1
tan (A + B) = (a + b) / (1 – a b) = 1
⇒ a + b = 1 – a b
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 26
सिद्ध कीजिए : cos⁻¹ ( -x ) = π – cos⁻¹ (x)
✅ उत्तर – 26
cos⁻¹ ( -x ) = π – cos⁻¹ (x)
क्योंकि cos (π – θ) = – cos θ
दोनों पक्षों में cos लगाने पर सत्य।
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 27
सिद्ध कीजिए : sin⁻¹ ( -x ) = – sin⁻¹ (x)
✅ उत्तर – 27
sin⁻¹ ( -x ) = – sin⁻¹ (x)
क्योंकि sin ( -θ ) = – sin θ
दोनों पक्षों में sin लगाने पर सत्य।
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 28
cos⁻¹ (1 / 2) + sin⁻¹ (1 / 2) का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर – 28
cos⁻¹ (1 / 2) = π / 3
sin⁻¹ (1 / 2) = π / 6
π / 3 + π / 6 = (2π + π) / 6 = 3π / 6 = π / 2
अन्तिम उत्तर : π / 2


❓ प्रश्न – 29 (केस आधारित प्रश्न)
यदि A = cos⁻¹ (3 / 5) और B = sin⁻¹ (5 / 13), तो निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए :
(i) cos A का मान क्या है?
(ii) sin B का मान क्या है?
(iii) tan A और tan B का मान ज्ञात कीजिए।
(iv) tan (A + B) का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर – 29
(i) cos A = 3 / 5
⇒ sin A = √(1 – 9 / 25) = √(16 / 25) = 4 / 5
(ii) sin B = 5 / 13
⇒ cos B = √(1 – 25 / 169) = √(144 / 169) = 12 / 13
(iii) tan A = sin A / cos A = (4 / 5) / (3 / 5) = 4 / 3
tan B = sin B / cos B = (5 / 13) / (12 / 13) = 5 / 12
(iv) tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A tan B)
= (4 / 3 + 5 / 12) / (1 – (4 / 3)(5 / 12))
= (16 / 12 + 5 / 12) / (1 – 20 / 36)
= (21 / 12) / (16 / 36)
= (21 / 12) × (36 / 16) = (21 × 3) / (4 × 4) = 63 / 16
अन्तिम उत्तर : 63 / 16

❓ प्रश्न – 30 (केस आधारित प्रश्न)
सिद्ध कीजिए : 2 tan⁻¹ (3 / 4) = tan⁻¹ (24 / 7)
✅ उत्तर – 30
मान लीजिए tan⁻¹ (3 / 4) = θ
⇒ tan θ = 3 / 4
अब tan 2θ = (2 tan θ) / (1 – tan² θ)
= (2 × 3 / 4) / (1 – (3 / 4)²)
= (3 / 2) / (1 – 9 / 16)
= (3 / 2) / (7 / 16) = (3 / 2) × (16 / 7) = 24 / 7
⇒ 2 tan⁻¹ (3 / 4) = tan⁻¹ (24 / 7)
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 31 (केस आधारित प्रश्न)
cos⁻¹ (4 / 5) + cos⁻¹ (12 / 13) = cos⁻¹ (33 / 65) सिद्ध कीजिए।
✅ उत्तर – 31
cos⁻¹ (4 / 5) = A, cos⁻¹ (12 / 13) = B
cos A = 4 / 5, sin A = 3 / 5
cos B = 12 / 13, sin B = 5 / 13
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
= (4 / 5)(12 / 13) – (3 / 5)(5 / 13)
= (48 / 65) – (15 / 65) = 33 / 65
⇒ A + B = cos⁻¹ (33 / 65)
✔️ सिद्ध।

📘 भाग – E (प्रश्न 32 से 35) (प्रत्येक प्रश्न 5 अंक)

❓ प्रश्न – 32
सिद्ध कीजिए : tan⁻¹ √x = (1 / 2) cos⁻¹ ( (1 – x) / (1 + x) ), जहाँ x ∈ [0, 1]
✅ उत्तर – 32
मान लीजिए tan⁻¹ √x = θ
⇒ tan θ = √x
x = tan² θ
cos 2θ = (1 – tan² θ) / (1 + tan² θ)
= (1 – x) / (1 + x)
अब θ = (1 / 2) cos⁻¹ ( (1 – x) / (1 + x) )
⇒ tan⁻¹ √x = (1 / 2) cos⁻¹ ( (1 – x) / (1 + x) )
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 33
cot⁻¹ ( ( √(1 + sin x) + √(1 – sin x) ) / ( √(1 + sin x) – √(1 – sin x) ) ) = x / 2, जहाँ x ∈ (0, π / 4)
✅ उत्तर – 33
सुपरिचित सूत्र :
cot (A / 2) = ( √(1 + sin A) + √(1 – sin A) ) / ( √(1 + sin A) – √(1 – sin A) )
यहाँ A = x
तो cot⁻¹ (दिया गया भिन्न) = x / 2
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 34
tan⁻¹ ( ( √(1 + x) – √(1 – x) ) / ( √(1 + x) + √(1 – x) ) ) = π / 4 – (1 / 2) cos⁻¹ x सिद्ध कीजिए।
✅ उत्तर – 34
सुपरिचित सूत्र :
tan (π / 4 – A / 2) = ( √(1 + x) – √(1 – x) ) / ( √(1 + x) + √(1 – x) )
जहाँ cos A = x
तो A = cos⁻¹ x
अतः tan⁻¹ (दिया गया भिन्न) = π / 4 – (1 / 2) cos⁻¹ x
✔️ सिद्ध।

❓ प्रश्न – 35
सिद्ध कीजिए : 2 tan⁻¹ (cos x) = tan⁻¹ (2 cosec x)
✅ उत्तर – 35
मान लीजिए tan⁻¹ (cos x) = θ
⇒ tan θ = cos x
अब tan 2θ = (2 tan θ) / (1 – tan² θ)
= (2 cos x) / (1 – cos² x)
= (2 cos x) / sin² x = 2 cosec x cot x
लेकिन tan 2θ = tan⁻¹ (2 cosec x)
अतः 2 tan⁻¹ (cos x) = tan⁻¹ (2 cosec x)
✔️ सिद्ध।
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

Q1. यदि f (x) = sin⁻¹ x + cos⁻¹ x हो, तो f (x) का मान क्या होगा?
(A) π
(B) π / 2
(C) 0
(D) 1
Answer: (B)
Year: 2025 | Shift: 1 | Set: A

Q2. tan⁻¹ ( 1 / √3 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2025 | Shift: 2 | Set: B

Q3. cos⁻¹ ( -1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 2π / 3
(B) π / 2
(C) π / 3
(D) π / 6
Answer: (A)
Year: 2024 | Shift: 1 | Set: A

Q4. cos⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2024 | Shift: 2 | Set: C

Q5. cos⁻¹ ( 1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2023 | Shift: 1 | Set: A

Q6. sin⁻¹ ( 1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2023 | Shift: 2 | Set: B

Q7. tan⁻¹ (1) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2022 | Shift: 1 | Set: A

Q8. sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2022 | Shift: 2 | Set: B

Q9. cos⁻¹ ( 0 ) + sin⁻¹ ( 0 ) का मान है?
(A) π / 2
(B) 0
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2021 | Shift: 1 | Set: A

Q10. cos⁻¹ ( 1 ) का मान है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2021 | Shift: 2 | Set: C

Q11. cos⁻¹ ( -1 ) का मान है?
(A) π
(B) 0
(C) π / 2
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2020 | Shift: 1 | Set: A

Q12. sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π / 4
(C) 0
(D) π
Answer: (A)
Year: 2020 | Shift: 2 | Set: B

Q13. tan⁻¹ ( √3 ) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 4
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2019 | Shift: 1 | Set: A

Q14. sin⁻¹ ( -1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) -π / 6
(B) π / 6
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2019 | Shift: 2 | Set: C

Q15. cos⁻¹ ( -√3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 5π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2018 | Shift: 1 | Set: A

Q16. cos⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (B)
Year: 2018 | Shift: 2 | Set: B

Q17. cos⁻¹ ( -√2 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 3π / 4
(B) π / 4
(C) π / 2
(D) π / 6
Answer: (A)
Year: 2017 | Shift: 1 | Set: A

Q18. sin⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) -π / 2
(B) π / 2
(C) 0
(D) π
Answer: (A)
Year: 2017 | Shift: 2 | Set: B

Q19. cos⁻¹ ( √2 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2016 | Shift: 1 | Set: A

Q20. cos⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2016 | Shift: 2 | Set: B

Q21. sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2015 | Shift: 1 | Set: A

Q22. cos⁻¹ ( -1 ) + sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) 3π / 2
(B) π / 2
(C) π
(D) 0
Answer: (B)
Year: 2015 | Shift: 2 | Set: B

Q23. cos⁻¹ ( 0 ) + sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 2 + π / 2 = π
(B) 0
(C) 2π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2014 | Shift: 1 | Set: A

Q24. cos⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 3
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2014 | Shift: 2 | Set: C

Q25. cos⁻¹ ( 0 ) + sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) 0
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2013 | Shift: 1 | Set: A


Q26. tan⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) -π / 4
(B) π / 4
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2013 | Shift: 2 | Set: B

Q27. sin⁻¹ ( -√3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) -π / 3
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2012 | Shift: 1 | Set: A

Q28. cos⁻¹ ( 1 / √2 ) + sin⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2012 | Shift: 2 | Set: C

Q29. tan⁻¹ ( √3 / 3 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2011 | Shift: 1 | Set: A

Q30. sin⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 2
(C) π / 4
(D) π / 6
Answer: (A)
Year: 2011 | Shift: 2 | Set: B

Q31. cos⁻¹ ( -√3 / 2 ) + sin⁻¹ ( -1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) 2π / 3
(C) π / 3
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2010 | Shift: 1 | Set: A

Q32. cos⁻¹ ( -√2 / 2 ) + sin⁻¹ ( √2 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π / 4
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2010 | Shift: 2 | Set: B

Q33. cos⁻¹ ( √3 / 2 ) + sin⁻¹ ( 1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) π / 4
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2009 | Shift: 1 | Set: A

Q34. tan⁻¹ ( -√3 ) का मान क्या है?
(A) -π / 3
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2009 | Shift: 2 | Set: B

Q35. sin⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 3
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2008 | Shift: 1 | Set: A

Q36. cos⁻¹ ( 0 ) + sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) 0
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2008 | Shift: 2 | Set: C

Q37. sin⁻¹ ( -1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) -π / 4
(B) π / 4
(C) π / 6
(D) π / 3
Answer: (A)
Year: 2007 | Shift: 1 | Set: A

Q38. tan⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2007 | Shift: 2 | Set: B

Q39. cos⁻¹ ( -√3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 5π / 6
(B) π / 6
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2006 | Shift: 1 | Set: A

Q40. sin⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) -π / 2
(B) π / 2
(C) π
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2006 | Shift: 2 | Set: C

Q41. cos⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π
Answer: (B)
Year: 2005 | Shift: 1 | Set: A

Q42. sin⁻¹ ( 0 ) + cos⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2005 | Shift: 2 | Set: B

Q43. cos⁻¹ ( -1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 2π / 3
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 6
Answer: (A)
Year: 2004 | Shift: 1 | Set: A

Q44. sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2004 | Shift: 2 | Set: B

Q45. cos⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2003 | Shift: 1 | Set: A

Q46. sin⁻¹ ( 1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2003 | Shift: 2 | Set: B

Q47. cos⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) π
(B) π / 2
(C) 0
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2002 | Shift: 1 | Set: A

Q48. sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π / 4
(C) 0
(D) π
Answer: (A)
Year: 2002 | Shift: 2 | Set: B

Q49. cos⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2001 | Shift: 1 | Set: A

Q50. tan⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2001 | Shift: 2 | Set: B

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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

Q1. cos⁻¹ (0) का मान क्या होगा?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π
(D) 0
Answer: (B)
Year: 2025 | Paper: 1 | Set: 1

Q2. cos⁻¹ (1 / 2) का मान क्या होगा?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (B)
Year: 2024 | Paper: 1 | Set: 1

Q3. sin⁻¹ (1 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 3
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (C)
Year: 2024 | Paper: 1 | Set: 2

Q4. tan⁻¹ (1) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 3
(D) π / 6
Answer: (A)
Year: 2023 | Paper: 1 | Set: 1

Q5. cos⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π
(C) π / 2
(D) 2π
Answer: (B)
Year: 2023 | Paper: 1 | Set: 2

Q6. sin⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) -π / 2
(B) π / 2
(C) π
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2022 | Paper: 1 | Set: 1

Q7. cos⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (B)
Year: 2022 | Paper: 1 | Set: 2

Q8. sin⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 4
(C) π / 3
(D) π / 2
Answer: (C)
Year: 2021 | Paper: 1 | Set: 1

Q9. cos⁻¹ ( -√3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) 5π / 6
(C) π / 2
(D) π / 3
Answer: (B)
Year: 2021 | Paper: 1 | Set: 2

Q10. tan⁻¹ ( √3 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (B)
Year: 2020 | Paper: 1 | Set: 1

Q11. cos⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 2
(C) π / 4
(D) 0
Answer: (C)
Year: 2020 | Paper: 1 | Set: 2

Q12. sin⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 3
(C) π / 6
(D) π / 2
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 1 | Set: 1

Q13. cos⁻¹ ( 0 ) + sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 1 | Set: 2

Q14. sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π / 4
(D) π / 3
Answer: (A)
Year: 2018 | Paper: 1 | Set: 1

Q15. cos⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2018 | Paper: 1 | Set: 2

Q16. sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 1 | Set: 1

Q17. tan⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 1 | Set: 2

Q18. cos⁻¹ (0) का मान क्या होगा?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π
(D) 0
Answer: (B)
Year: 2025 | Paper: 2 | Set: 1

Q19. cos⁻¹ (1 / 2) का मान क्या होगा?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (B)
Year: 2024 | Paper: 2 | Set: 1

Q20. sin⁻¹ (1 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 3
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (C)
Year: 2024 | Paper: 2 | Set: 2

Q21. tan⁻¹ (1) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 2
(C) π / 3
(D) π / 6
Answer: (A)
Year: 2023 | Paper: 2 | Set: 1

Q22. cos⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π
(C) π / 2
(D) 2π
Answer: (B)
Year: 2023 | Paper: 2 | Set: 2

Q23. sin⁻¹ ( -1 ) का मान क्या है?
(A) -π / 2
(B) π / 2
(C) π
(D) 0
Answer: (A)
Year: 2022 | Paper: 2 | Set: 1

Q24. cos⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) π / 4
Answer: (B)
Year: 2022 | Paper: 2 | Set: 2

Q25. sin⁻¹ ( √3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 4
(C) π / 3
(D) π / 2
Answer: (C)
Year: 2021 | Paper: 2 | Set: 1

Q26. cos⁻¹ ( -√3 / 2 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) 5π / 6
(C) π / 2
(D) π / 3
Answer: (B)
Year: 2021 | Paper: 2 | Set: 2

Q27. tan⁻¹ ( √3 ) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (B)
Year: 2020 | Paper: 2 | Set: 1

Q28. cos⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 2
(C) π / 4
(D) 0
Answer: (C)
Year: 2020 | Paper: 2 | Set: 2

Q29. sin⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 3
(C) π / 6
(D) π / 2
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 2 | Set: 1

Q30. cos⁻¹ ( 0 ) + sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 2 | Set: 2

Q31. sin⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π / 4
(D) π / 3
Answer: (A)
Year: 2018 | Paper: 2 | Set: 1

Q32. cos⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)
Year: 2018 | Paper: 2 | Set: 2

Q33. sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 2 | Set: 1

Q34. tan⁻¹ ( 0 ) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 2 | Set: 2

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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

Q1. cos⁻¹ (1) का मान क्या होगा?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)

Q2. sin⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) 0
(C) π / 2
(D) π
Answer: (B)

Q3. tan⁻¹ (1) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 2
(C) π / 4
(D) 0
Answer: (C)

Q4. cos⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)

Q5. sin⁻¹ (1) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) π / 4
Answer: (A)

Q6. यदि cos⁻¹ (x) + sin⁻¹ (x) = π / 2 हो, तो x का मान किस सीमा में होगा?
(A) [0, 1]
(B) [ -1, 1 ]
(C) ( -∞, ∞ )
(D) [0, π]
Answer: (B)

Q7. cos⁻¹ (1 / 2) का मान क्या होगा?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (B)

Q8. sin⁻¹ (1 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)

Q9. tan⁻¹ (√3) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 3
(C) π / 6
(D) 0
Answer: (B)

Q10. cos⁻¹ (√3 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 3
(B) π / 6
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)

Q11. sin⁻¹ (√3 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (B)

Q12. cos⁻¹ (0) + sin⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (B)

Q13. यदि cos⁻¹ (-1) का मान पूछा जाए, तो वह होगा :
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (C)

Q14. sin⁻¹ (-1) का मान क्या है?
(A) -π / 2
(B) π / 2
(C) 0
(D) π
Answer: (A)

Q15. cos⁻¹ (1 / √2) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 4
(D) 0
Answer: (C)

Q16. sin⁻¹ (1 / √2) का मान क्या है?
(A) π / 4
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)

Q17. tan⁻¹ (1 / √3) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)

Q18. cos⁻¹ (-√3 / 2) का मान क्या है?
(A) 5π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)

Q19. cos⁻¹ ( -1 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 2π / 3
(B) π / 2
(C) π / 6
(D) π / 3
Answer: (A)

Q20. यदि cos⁻¹ (x) = π / 3, तो x का मान क्या होगा?
(A) 1
(B) 0
(C) 1 / 2
(D) √3 / 2
Answer: (C)

Q21. sin⁻¹ (0) + cos⁻¹ (0) का योगफल होगा :
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (B)

Q22. cos⁻¹ (0) + sin⁻¹ (1) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (B)

Q23. यदि cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π, तो x + y का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) π
Answer: (A)

Q24. sin⁻¹ (-1 / √2) का मान क्या है?
(A) -π / 4
(B) π / 4
(C) π / 2
(D) 0
Answer: (A)

Q25. cos⁻¹ ( -√2 / 2 ) का मान क्या है?
(A) 3π / 4
(B) π / 4
(C) π / 6
(D) π / 3
Answer: (A)

Q26. यदि cos⁻¹ (x) + sin⁻¹ (x) = π / 2 है, तो cos⁻¹ ( -x ) + sin⁻¹ ( -x ) का मान क्या होगा?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) -π / 2
Answer: (B)

Q27. cos⁻¹ ( -1 / √2 ) + sin⁻¹ ( 1 / √2 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π / 4
(C) 0
(D) π / 6
Answer: (A)

Q28. यदि cos⁻¹ (x) = θ और θ ∈ [0, π], तो sin θ का मान क्या होगा?
(A) √(1 – x²)
(B) 1 – x²
(C) x² – 1
(D) √x
Answer: (A)

Q29. यदि sin⁻¹ (x) = θ और cos⁻¹ (x) = φ, तो θ + φ का मान क्या होगा?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)

Q30. cos⁻¹ (x) – sin⁻¹ (x) का मान क्या है?
(A) π / 2 – 2 sin⁻¹ x
(B) π / 2 – 2 cos⁻¹ x
(C) π / 2 – cos⁻¹ x
(D) π / 2 – sin⁻¹ x
Answer: (A)

Q31. tan⁻¹ (x) + cot⁻¹ (x) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)

Q32. यदि sin ( sin⁻¹ (x) + cos⁻¹ (x) ) = ?
(A) 1
(B) 0
(C) x
(D) π
Answer: (A)

Q33. यदि cos ( sin⁻¹ (x) + cos⁻¹ (x) ) = ?
(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) π / 2
Answer: (A)

Q34. cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π, तो x² + y² + 2xy का मान क्या है?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) π
Answer: (A)

Q35. sin⁻¹ (x) + sin⁻¹ (y) = π / 2, तो √(1 – x²) = y का संबंध है।
(A) सत्य
(B) असत्य
(C) अपरिभाषित
(D) इनमें से कोई नहीं
Answer: (A)

Q36. cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π / 2, तो x² + y² = ?
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) π
Answer: (A)

Q37. cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π, तो cos⁻¹ ( -x ) + cos⁻¹ ( -y ) का मान क्या होगा?
(A) 0
(B) π
(C) 2π
(D) π / 2
Answer: (B)

Q38. cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ (y) = π / 3, तो sin⁻¹ (x) + sin⁻¹ (y) = ?
(A) π / 2
(B) π / 6
(C) π / 3
(D) π / 4
Answer: (B)

Q39. cos⁻¹ ( -x ) = π – cos⁻¹ (x) यह किसका विशेष गुण है?
(A) cos
(B) sin
(C) tan
(D) cot
Answer: (A)

Q40. sin⁻¹ ( -x ) = – sin⁻¹ (x) यह किसका विशेष गुण है?
(A) सम फलन
(B) विषम फलन
(C) अपरिभाषित
(D) स्थिर फलन
Answer: (B)

Q41. cos⁻¹ (1 / √2) + sin⁻¹ (1 / √2) का योगफल क्या है?
(A) π / 2
(B) 0
(C) π
(D) π / 4
Answer: (A)

Q42. cos⁻¹ ( -1 ) + sin⁻¹ ( 1 ) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (A)

Q43. cos⁻¹ (0) + sin⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) 0
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)

Q44. cos⁻¹ (1 / 2) + sin⁻¹ (√3 / 2) का मान क्या है?
(A) π / 2
(B) π / 4
(C) 0
(D) π
Answer: (A)

Q45. cos⁻¹ (0) + sin⁻¹ (1) = ?
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
Answer: (B)

Q46. cos⁻¹ (x) + sin⁻¹ (x) का मान हर बार समान होता है :
(A) π / 2
(B) π
(C) 0
(D) x के आधार पर बदलता है
Answer: (A)

Q47. cos⁻¹ (x) + cos⁻¹ ( -x ) का योगफल :
(A) π
(B) 0
(C) π / 2
(D) 2π
Answer: (A)

Q48. sin⁻¹ (x) + sin⁻¹ ( -x ) का योगफल :
(A) 0
(B) π / 2
(C) π
(D) 2π
Answer: (A)

Q49. cos⁻¹ (1 / √3) का मान क्या है?
(A) π / 6
(B) π / 3
(C) π / 2
(D) अपरिभाषित
Answer: (D)

Q50. sin⁻¹ (1 / √3) का मान क्या है?
(A) अपरिभाषित
(B) π / 6
(C) π / 4
(D) π / 3
Answer: (D)
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