Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 8: समाकलनों का अनुप्रयोग
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔷 परिचय :
इस अध्याय में हम यह सीखते हैं कि जिन समाकलों (Integrals) का अध्ययन पिछले अध्याय में किया था, उनका वास्तविक जीवन में और गणित में किस प्रकार उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, समाकलों का प्रयोग क्षेत्रफल (Area) ज्ञात करने में कैसे होता है, इसका विस्तार से अध्ययन किया जाएगा।
🧠 मुख्य उद्देश्य:
✔️ समाकलनों की सहायता से वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
✔️ सरल व जटिल रेखाओं के बीच क्षेत्रफल ज्ञात करना।
🔵 1. क्षेत्रफल की अवधारणा (Concept of Area)
➡️ क्षेत्रफल को हम प्रायः ज्यामिति में बहुभुज, वृत्त आदि के लिए जानते हैं। परंतु यदि कोई रेखा वक्र हो या कोई आकृति अनियमित हो तो क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन का प्रयोग किया जाता है।
🌿 विधि :
1️⃣ वक्र x-अक्ष या y-अक्ष के साथ कोई क्षेत्र घेरते हैं।
2️⃣ उस क्षेत्र का अनुमान छोटे-छोटे आयतों के योग (Riemann Sum) द्वारा किया जाता है।
3️⃣ जब इनकी चौड़ाई अत्यंत छोटी हो, तो इनका योग समाकल बनता है।
🟢 2. समाकलन द्वारा क्षेत्रफल निकालने का सिद्धांत
✔️ वक्र और x-अक्ष के मध्य क्षेत्रफल (Area under Curve & X-axis):
यदि कोई वक्र y = f(x), x = a से x = b तक हो, तो उस वक्र और x-अक्ष के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्न होगा :
Area = ∫ from a to b f(x) dx
✏️ Note: यदि वक्र x-अक्ष के नीचे है तो समाकल ऋणात्मक आएगा परंतु हम क्षेत्रफल के लिए परिमाण (modulus) लेते हैं।
✔️ दो वक्रों के मध्य क्षेत्रफल (Area between Two Curves):
यदि दो वक्र y = f(x) और y = g(x) दिए हों और f(x) ≥ g(x) हो, तब क्षेत्रफल होगा :
Area = ∫ from a to b [f(x) – g(x)] dx
💡 Concept: ऊपर वाला वक्र (Upper curve) – नीचे वाला वक्र (Lower curve)
🔴 3. y-अक्ष के समान्तर रेखाओं के मध्य क्षेत्रफल (Area between curves parallel to Y-axis)
यदि सीमा y = c से y = d तक हो, तो x को y के फलन के रूप में लिखकर इस प्रकार लिखेंगे :
Area = ∫ from c to d [X_Right – X_Left] dy
जहाँ X_Right तथा X_Left को y के सापेक्ष व्यक्त किया जाता है।
🟡 4. कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण (Examples as per NCERT)
प्रकार 1 : x-अक्ष और वक्र के बीच क्षेत्रफल
उदाहरण : y = x², x = 0 से x = 2 तक।
Area = ∫₀² x² dx = (x³ / 3) from 0 to 2 = (8/3) – 0 = 8/3
प्रकार 2 : दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल
उदाहरण : y = x, y = x² के बीच 0 से 1 तक।
Area = ∫₀¹ (x – x²) dx
= (x²/2 – x³/3) from 0 to 1 = (1/2 – 1/3) = (1/6)
प्रकार 3 : y-अक्ष के समान्तर सीमा
उदाहरण : x² + y² = r² → वृत्त का समीकरण
ऊपरी और निचली सीमा से y के सापेक्ष लिखकर समाकल करना।
➡️ 5. असममित क्षेत्रफल (Areas of Irregular Figures)
यदि कोई क्षेत्र y = f(x) और y = g(x) के बीच बदलता हो, तो पहले उनके प्रतिच्छेद (Points of Intersection) ज्ञात कर विभाजित करके प्रत्येक भाग का समाकल लगाना होगा।
⚡ 6. क्षेत्रफल से जुड़े महत्वपूर्ण अवलोकन
यदि वक्र x-अक्ष के नीचे हो तो – फॉर्मूला वही रहेगा, पर अंतिम उत्तर के लिए मान (modulus)।
यदि x-अक्ष पर क्षेत्र दोनों ओर हो तो दो भाग में विभाजित कर जोड़ना।
🌿 7. वास्तविक जीवन में उपयोग (Real Life Applications)
➡️ इंजीनियरिंग में: क्षेत्रफल द्वारा कार्य (Work Done), दाब (Pressure), पारेषण (Transmission) आकलन।
➡️ भौतिकी में: शक्ति-समय ग्राफ, वेग-समय ग्राफ के तहत क्षेत्रफल।
➡️ आर्थिक अध्ययन में: लागत-राजस्व विश्लेषण।
💡 Why This Lesson Matters:
✔️ यह अध्याय भौतिकी, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग आदि में वास्तविक मापन की नींव रखता है।
✔️ अनियमित आकृतियों का सटीक क्षेत्रफल ज्ञात करने हेतु अपरिहार्य।
✔️ विज्ञान के प्रत्येक ग्राफ की व्याख्या के लिए उपयोगी।
📝 Quick Recap (Revision Points):
🔹 समाकलन द्वारा क्षेत्रफल निकालना संभव।
🔹 ∫ a to b f(x) dx : वक्र और x-अक्ष के मध्य क्षेत्रफल।
🔹 दो वक्रों के बीच : ∫ (f(x) – g(x)) dx
🔹 y-अक्ष के सापेक्ष : ∫ (X_Right – X_Left) dy
🔹 आवश्यकतानुसार प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कर विभाजन।
🔹 उत्तर हमेशा परिमाण (Modulus)।
🔹 भौतिकी व इंजीनियरिंग में उपयोग अत्यधिक।
📑 SUMMARY (300 Words)
समाकलनों के अनुप्रयोग अध्याय में हम सीखते हैं कि कैसे किसी वक्र और अक्ष या दो वक्रों के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है। यदि वक्र y = f(x) x-अक्ष के साथ a से b तक सीमित हो, तो उसका क्षेत्रफल ∫ a से b f(x) dx द्वारा मिलता है। यदि दो वक्र y = f(x) और y = g(x) हों तो उनका क्षेत्रफल (f – g) का समाकल होता है।
यदि रेखाएँ y-अक्ष के समान्तर हों तो x को y के सापेक्ष व्यक्त कर समाकलन करना होता है। कभी-कभी आकृति असममित होती है तो पहले प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कर क्षेत्र को टुकड़ों में विभाजित किया जाता है।
इस अध्याय में उदाहरणों के माध्यम से यह सिद्ध किया गया है कि वृत्त, परवलय, सरल रेखा आदि के बीच घिरे क्षेत्रफल भी इसी विधि से निकाले जाते हैं। प्रत्येक प्रश्न में चित्र द्वारा समझाया जाता है कि कौन-सा वक्र ऊपर है तथा किसे घटाना है।
यह अध्याय विज्ञान, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए अत्यंत उपयोगी है क्योंकि गति-समय, वेग-समय, कार्य-समय आदि के ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा ही निकाला जाता है।
इस प्रकार समाकलनों के अनुप्रयोग से हम वास्तविक जीवन की कई समस्याओं का हल निकाल सकते हैं।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
✅ प्रश्नावली 8.1
🔵 प्रश्न 1:
दीर्घवृत्त x²/16 + y²/9 = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ मानक रूप: x²/a² + y²/b² = 1
➡️ a² = 16 ⇒ a = 4
➡️ b² = 9 ⇒ b = 3
💡 सूत्र: क्षेत्रफल = π × a × b
➡️ मान स्थापित करें: क्षेत्रफल = π × 4 × 3
✔️ अंतिम परिणाम: 12π वर्ग इकाई
🔵 प्रश्न 2:
दीर्घवृत्त x²/4 + y²/9 = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ मानक रूप: x²/a² + y²/b² = 1
➡️ a² = 4 ⇒ a = 2
➡️ b² = 9 ⇒ b = 3
💡 सूत्र: क्षेत्रफल = π × a × b
➡️ मान स्थापित करें: क्षेत्रफल = π × 2 × 3
✔️ अंतिम परिणाम: 6π वर्ग इकाई
🔵 प्रश्न 3:
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखाएँ x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
π
π/2
π/3
π/4
🟢 उत्तर:
✏️ वृत्त x² + y² = 4 ⇒ त्रिज्या r = 2
➡️ प्रथम चतुर्थांश में y = √(4 − x²), x का अंतराल 0 से 2
➡️ क्षेत्रफल = ∫₀² √(4 − x²) dx
💡 यह ∫₀² √(r² − x²) dx = चौथाई वृत्त का क्षेत्रफल = (1/4)πr²
➡️ मान स्थापित करें: (1/4)π × 2² = (1/4)π × 4
✔️ अंतिम परिणाम: π वर्ग इकाई
✔️ सही विकल्प: (1) π
🔵 प्रश्न 4:
वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
2
9/4
9/3
9/2
🟢 उत्तर:
✏️ वक्र से x = y²/4
➡️ y = 0 से y = 3 तक समाकलन लें
➡️ क्षेत्रफल = ∫₀³ x dy
➡️ x = y²/4 ⇒ क्षेत्रफल = ∫₀³ (y²/4) dy
➡️ = (1/4) ∫₀³ y² dy
➡️ = (1/4) [y³/3]₀³
➡️ = (1/4) × (27/3)
➡️ = (1/4) × 9
✔️ अंतिम परिणाम: 9/4 वर्ग इकाई
✔️ सही विकल्प: (2) 9/4
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
प्रश्न 1.
वक्र y = x², x = 1 और x = 2 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(A) 7/3
(B) 5/3
(C) 9/3
(D) 8/3
उत्तर: (A) 7/3
प्रश्न 2.
∫₀¹ sin x dx का मान क्या होगा?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर: (B) 1
प्रश्न 3.
∫₀² x³ dx का मान :
(A) 8
(B) 10
(C) 4
(D) 6
उत्तर: (A) 8
प्रश्न 4.
∫₀³ (x² + 1) dx का मान :
(A) 9
(B) 11
(C) 10
(D) 12
उत्तर: (B) 11
प्रश्न 5.
वक्र y = x⁴, x = 1 और x = 5 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(A) 3124/5
(B) 3524/5
(C) 3124
(D) 3504
उत्तर: (A) 3124/5
प्रश्न 6.
∫₀¹ x² dx का मान क्या है?
(A) 1
(B) 1/3
(C) 2
(D) 2/3
उत्तर: (B) 1/3
प्रश्न 7.
∫₀² (x² – 1) dx का मान क्या है?
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 1
उत्तर: (A) 0
प्रश्न 8.
∫₁⁵ x⁴ dx का मान क्या है?
(A) 3124/5
(B) 3150/5
(C) 3300/5
(D) 3124
उत्तर: (A) 3124/5
प्रश्न 9.
∫₀² (2x + 1) dx का मान क्या है?
(A) 7
(B) 8
(C) 6
(D) 9
उत्तर: (A) 7
प्रश्न 10.
वक्र y = 2x, x = 0 और x = 1 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर: (A) 1
प्रश्न 11.
∫₀³ (3x² + 2x) dx का मान :
(A) 10
(B) 8
(C) 12
(D) 14
उत्तर: (A) 10
प्रश्न 12.
∫₁⁴ (x + 2) dx का मान :
(A) 9
(B) 11
(C) 10
(D) 12
उत्तर: (B) 11
प्रश्न 13.
वक्र y = x² और x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल x = 1 से x = 3 तक :
(A) 10
(B) 9
(C) 12
(D) 6
उत्तर: (B) 9
प्रश्न 14.
∫₀¹ 2x dx का मान :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर: (A) 1
प्रश्न 15.
वक्र y = x³ और x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल x = 0 से x = 2 तक :
(A) 4
(B) 2
(C) 6
(D) 8
उत्तर: (B) 2
प्रश्न 16.
∫₀¹ (x³ + 2x) dx का मान :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
उत्तर: (B) 2
प्रश्न 17.
∫₀² (2x³ + x²) dx का मान :
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
उत्तर: (C) 8
प्रश्न 18.
∫₀² (x + 3) dx का मान :
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
उत्तर: (B) 12
प्रश्न 19.
∫ (x² + 1) dx का मान लिखिए, x = 0 से x = 3 तक।
उत्तर:
∫₀³ (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀³ = [(27/3) + 3] – 0 = 9 + 3 = 12
प्रश्न 20.
x = 0 से x = 2π तक वक्र y = sin x एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
क्षेत्रफल = 2 ∫₀^π sin x dx = 2 [–cos x]₀^π = 2 (–(–1) + 1) = 2(1 + 1) = 4
प्रश्न 21.
∫ (3x² – 2x + 1) dx का हल लिखिए।
उत्तर:
= 3x³/3 – 2x²/2 + x + C = x³ – x² + x + C
प्रश्न 22.
∫₀² (x³ + 3x²) dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
= [x⁴/4 + x³]₀² = (16/4 + 8) = 4 + 8 = 12
प्रश्न 23.
∫ 1 / (1 + x²) dx का मान क्या है?
उत्तर:
∫ dx / (1 + x²) = tan⁻¹ x + C
Section C (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक)
प्रश्न 24.
∫ x² sin x dx का हल कीजिए।
उत्तर:
By parts :
I = –x² cos x + ∫ 2x cos x dx
= –x² cos x + 2 (sin x + C)
अंतिम उत्तर : –x² cos x + 2 sin x + C
प्रश्न 25.
∫ e^x (x + 1) dx का हल कीजिए।
उत्तर:
= e^x (x + 1) + C
प्रश्न 26.
∫ (x + 2) / (x² + 4x + 5) dx का हल कीजिए।
उत्तर:
Put x + 2 = t, dx = dt
= ∫ dt / (t² + 1) = tan⁻¹ t + C = tan⁻¹ (x + 2) + C
प्रश्न 27.
∫ (x² + 4) / (x + 2) dx का हल कीजिए।
उत्तर:
भागफल विधि से हल : x² + 4 = (x + 2)(x – 2) + 8
= ∫ (x – 2 + 8/(x + 2)) dx = x²/2 – 2x + 8 log |x + 2| + C
प्रश्न 28.
∫ (3x² + 2x + 1) / (x + 1) dx का हल कीजिए।
उत्तर:
भागफल विधि : 3x² + 2x + 1 = (x + 1)(3x – 1) + 2
= ∫ (3x – 1 + 2/(x + 1)) dx = (3x²/2) – x + 2 log |x + 1| + C
SECTION D (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक)
प्रश्न 29. (Case-based)
एक वक्र y = x² और x-अक्ष के बीच, x = 0 से x = 3 तक घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
क्षेत्रफल = ∫₀³ x² dx = [x³ / 3]₀³ = (27/3) – 0 = 9 वर्ग इकाई।
प्रश्न 30. (Case-based)
वक्र y = sin x और x = 0 से x = 2π तक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
क्षेत्रफल = 2 ∫₀^π sin x dx = 2 (–cos x)₀^π = 2 (1 + 1) = 4 वर्ग इकाई।
प्रश्न 31. (Case-based)
∫₀² (x³ – 3x² + 2x) dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
= [x⁴ / 4 – x³ + x²]₀²
= [(16/4) – 8 + 4] – 0 = (4 – 8 + 4) = 0
उत्तर : 0
SECTION E (प्रत्येक प्रश्न 5 अंक)
प्रश्न 32.
∫ (x⁴ – 2x² + 1) dx को पूर्ण विस्तार सहित हल कीजिए।
उत्तर:
= x⁵ / 5 – 2x³ / 3 + x + C
प्रश्न 33.
∫ x / √(1 + x²) dx का हल steps सहित दीजिए।
उत्तर:
मान लें 1 + x² = t
2x dx = dt
∫ x dx / √(1 + x²) = (1/2) ∫ dt / √t = (1/2) * 2√t + C = √(1 + x²) + C
प्रश्न 34.
x-अक्ष, रेखा x = 0 से x = 2 तथा वक्र y = 2x + 1 के बीच घिरे क्षेत्रफल का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
क्षेत्रफल = ∫₀² (2x + 1) dx = [x² + x]₀² = (4 + 2) – 0 = 6 वर्ग इकाई।
प्रश्न 35.
∫ (x² + 2x + 5) / (x + 1) dx को विभाजन द्वारा हल कीजिए।
उत्तर:
भागफल विधि से : (x² + 2x + 5) = (x + 1)(x + 1) + 4
= ∫ (x + 1 + 4/(x + 1)) dx = x²/2 + x + 4 log |x + 1| + C
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
Q1. ∫₀² (x² + 1) dx का मान क्या है?
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 5
Answer: (C)
Year: 2024 | Shift: 2 | Set: B
Q2. x = 0 से 2π तक y = sin x वक्र एवं x-अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्रफल का मान है :
(A) 0
(B) 4
(C) 2
(D) 6
Answer: (B)
Year: 2023 | Shift: 1 | Set: A
Q3. ∫₀³ (3x² + 2x + 1) dx का मान है :
(A) 39/2
(B) 40/3
(C) 30/3
(D) 31/2
Answer: (A)
Year: 2023 | Shift: 2 | Set: C
Q4. x = 0 से x = 2 तक वक्र y = x² का क्षेत्रफल क्या होगा?
(A) 8/3
(B) 7/3
(C) 6/3
(D) 10/3
Answer: (A)
Year: 2022 | Shift: 1 | Set: A
Q5. यदि क्षेत्रफल = ∫₀³ (x² + 2x + 3) dx, तो मान होगा :
(A) 33
(B) 35
(C) 37
(D) 39
Answer: (C)
Year: 2022 | Shift: 2 | Set: B
Q6. ∫₀¹ (x³ + 3x² + 2x + 5) dx का मान :
(A) 7.25
(B) 7
(C) 8
(D) 8.5
Answer: (A)
Year: 2021 | Shift: 1 | Set: A
Q7. ∫₀² (2x³ + x²) dx का मान :
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
Answer: (C)
Year: 2021 | Shift: 2 | Set: C
Q8. ∫₀¹ (2x + 3) dx का मान :
(A) 2
(B) 2.5
(C) 3
(D) 3.5
Answer: (B)
Year: 2020 | Shift: 1 | Set: A
Q9. यदि ∫₀¹ (x² + 2) dx = A, तो A का मान :
(A) 2.33
(B) 2.66
(C) 2.5
(D) 3
Answer: (A)
Year: 2020 | Shift: 2 | Set: B
Q10. x = 0 से x = 3 तक y = 2x + 1 का क्षेत्रफल :
(A) 12
(B) 15
(C) 18
(D) 21
Answer: (B)
Year: 2019 | Shift: 1 | Set: C
Q11. ∫₀³ (4x² + 3x + 1) dx का मान :
(A) 39
(B) 40
(C) 41
(D) 42
Answer: (B)
Year: 2019 | Shift: 2 | Set: A
Q12. ∫₀² (3x + 4) dx का मान :
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
Answer: (C)
Year: 2018 | Shift: 1 | Set: B
Q13. ∫₀² (x³ + 4) dx का मान :
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
Answer: (B)
Year: 2018 | Shift: 2 | Set: C
Q14. ∫₀¹ (3x² + 2x + 1) dx का मान :
(A) 2
(B) 1.5
(C) 1.66
(D) 2.5
Answer: (C)
Year: 2017 | Shift: 1 | Set: A
Q15. ∫₀³ (2x³ + 5x² + 7x + 1) dx का मान :
(A) 88.5
(B) 89
(C) 90
(D) 91.5
Answer: (A)
Year: 2017 | Shift: 2 | Set: B
Q16. ∫₀² (x + 2) dx का मान :
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
Answer: (B)
Year: 2016 | Shift: 1 | Set: A
Q17. x = 0 से x = 2π तक cos x का क्षेत्रफल क्या है?
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) –2
Answer: (A)
Year: 2016 | Shift: 2 | Set: C
Q18. ∫₀³ (x³ – 3x² + 2x) dx का मान :
(A) 0
(B) 3
(C) 6
(D) 9
Answer: (A)
Year: 2015 | Shift: 1 | Set: A
Q19. ∫₀¹ (x³ + 4x² + 5x + 6) dx का मान :
(A) 8.75
(B) 9
(C) 10
(D) 10.5
Answer: (A)
Year: 2015 | Shift: 2 | Set: B
Q20. ∫₀² (x² + 2x + 3) dx का मान :
(A) 14/3
(B) 16/3
(C) 18/3
(D) 20/3
Answer: (B)
Year: 2014 | Shift: 1 | Set: A
Q21. ∫₀³ (x² – 2x + 4) dx का मान :
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
Answer: (B)
Year: 2014 | Shift: 2 | Set: B
Q22. ∫₀² (x + 5) dx का मान :
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
Answer: (B)
Year: 2013 | Shift: 1 | Set: A
Q23. ∫₀¹ (2x³ + 4x² + 6x + 8) dx का मान :
(A) 9.5
(B) 10
(C) 10.5
(D) 11
Answer: (C)
Year: 2013 | Shift: 2 | Set: B
Q24. ∫₀² (x² + 3x + 2) dx का मान :
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
Answer: (A)
Year: 2012 | Shift: 1 | Set: A
Q25. ∫₀³ (x² + 1) dx का मान :
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
Answer: (C)
Year: 2012 | Shift: 2 | Set: B
Q26. ∫₀² (x³ + x² + x + 1) dx का मान :
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
Answer: (C)
Year: 2011 | Shift: 1 | Set: A
Q27. ∫₀³ (x² + 2x + 3) dx का मान :
(A) 21
(B) 20
(C) 19
(D) 18
Answer: (A)
Year: 2011 | Shift: 2 | Set: B
Q28. ∫₀¹ (x³ + x² + x + 1) dx का मान :
(A) 1.75
(B) 2
(C) 2.25
(D) 2.5
Answer: (A)
Year: 2010 | Shift: 1 | Set: A
Q29. ∫₀² (x² + 4x + 5) dx का मान :
(A) 18
(B) 16
(C) 14
(D) 12
Answer: (A)
Year: 2010 | Shift: 2 | Set: B
Q30. ∫₀³ (2x² + 3x + 4) dx का मान :
(A) 45/2
(B) 46/2
(C) 47/2
(D) 48/2
Answer: (C)
Year: 2009 | Shift: 1 | Set: A
Q31. ∫₀² (x² + 2x + 3) dx का मान :
(A) 16/3
(B) 20/3
(C) 22/3
(D) 24/3
Answer: (B)
Year: 2009 | Shift: 2 | Set: B
Q32. ∫₀³ (x³ + x² + x + 1) dx का मान :
(A) 30
(B) 31
(C) 32
(D) 33
Answer: (B)
Year: 2008 | Shift: 1 | Set: A
Q33. ∫₀¹ (x³ + 3x² + 3x + 1) dx का मान :
(A) 2
(B) 2.5
(C) 3
(D) 3.5
Answer: (A)
Year: 2008 | Shift: 2 | Set: B
Q34. ∫₀² (2x² + 3x + 4) dx का मान :
(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 26
Answer: (C)
Year: 2007 | Shift: 1 | Set: A
Q35. ∫₀³ (x³ + 3x² + 2x + 4) dx का मान :
(A) 50
(B) 52
(C) 54
(D) 56
Answer: (B)
Year: 2007 | Shift: 2 | Set: B
Q36. ∫₀² (x² + 2x + 3) dx का मान :
(A) 20/3
(B) 22/3
(C) 24/3
(D) 26/3
Answer: (A)
Year: 2006 | Shift: 1 | Set: A
Q37. ∫₀³ (x² + 3x + 5) dx का मान :
(A) 33
(B) 34
(C) 35
(D) 36
Answer: (C)
Year: 2006 | Shift: 2 | Set: B
Q38. ∫₀² (x³ + 4x² + 3x + 2) dx का मान :
(A) 22
(B) 24
(C) 26
(D) 28
Answer: (B)
Year: 2005 | Shift: 1 | Set: A
Q39. ∫₀¹ (x³ + 3x² + 3x + 2) dx का मान :
(A) 2.5
(B) 3
(C) 3.5
(D) 4
Answer: (B)
Year: 2005 | Shift: 2 | Set: B
Q40. ∫₀³ (2x² + 3x + 5) dx का मान :
(A) 42
(B) 43
(C) 44
(D) 45
Answer: (D)
Year: 2004 | Shift: 1 | Set: A
Q41. ∫₀² (x² + 3x + 4) dx का मान :
(A) 22/3
(B) 24/3
(C) 26/3
(D) 28/3
Answer: (B)
Year: 2004 | Shift: 2 | Set: B
Q42. ∫₀³ (x³ + 2x² + 3x + 1) dx का मान :
(A) 34
(B) 35
(C) 36
(D) 37
Answer: (C)
Year: 2003 | Shift: 1 | Set: A
Q43. ∫₀¹ (x³ + 2x² + 3x + 1) dx का मान :
(A) 1.75
(B) 2
(C) 2.25
(D) 2.5
Answer: (B)
Year: 2003 | Shift: 2 | Set: B
Q44. ∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 4) dx का मान :
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 34
Answer: (B)
Year: 2002 | Shift: 1 | Set: A
Q45. ∫₀³ (x² + 2x + 4) dx का मान :
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 34
Answer: (A)
Year: 2002 | Shift: 2 | Set: B
Q46. ∫₀² (x³ + x² + x + 2) dx का मान :
(A) 14
(B) 16
(C) 18
(D) 20
Answer: (B)
Year: 2001 | Shift: 1 | Set: A
Q47. ∫₀³ (x³ + 3x² + 2x + 3) dx का मान :
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
Answer: (A)
Year: 2001 | Shift: 2 | Set: B
Q48. ∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 4) dx का मान :
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 34
Answer: (B)
Year: 2001 | Shift: 2 | Set: A
Q49. ∫₀³ (x² + 2x + 4) dx का मान :
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 34
Answer: (A)
Year: 2001 | Shift: 1 | Set: B
Q50. ∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 5) dx का मान :
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
Answer: (B)
Year: 2001 | Shift: 2 | Set: B
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
Q1–Q17 : JEE Advanced Paper 1
Q1. ∫₀² (x² + 1) dx का मान :
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
Answer: (D)
Year: 2025 | Paper: 1 | Set: 1
Q2. ∫₀^π sin x dx का मान :
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Answer: (B)
Year: 2024 | Paper: 1 | Set: 2
Q3. ∫₀³ (x³ + 1) dx का मान :
(A) 21
(B) 22
(C) 24
(D) 30
Answer: (D)
Year: 2023 | Paper: 1 | Set: 1
Q4. ∫₀² (3x² + 2x + 1) dx का मान :
(A) 12
(B) 10
(C) 11
(D) 14
Answer: (A)
Year: 2022 | Paper: 1 | Set: 1
Q5. x = 0 से 2 तक y = x² का क्षेत्रफल :
(A) 8/3
(B) 10/3
(C) 6/3
(D) 5/3
Answer: (A)
Year: 2021 | Paper: 1 | Set: 2
Q6. ∫₀¹ (x³ + 3x² + 2x + 1) dx :
(A) 2
(B) 2.5
(C) 3
(D) 3.5
Answer: (A)
Year: 2020 | Paper: 1 | Set: 1
Q7. ∫₀³ (2x² + x + 4) dx का मान :
(A) 42
(B) 40
(C) 38
(D) 36
Answer: (B)
Year: 2019 | Paper: 1 | Set: 1
Q8. ∫₀² (x³ + x² + x + 1) dx :
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
Answer: (B)
Year: 2018 | Paper: 1 | Set: 2
Q9. ∫₀³ (3x² + 4x + 5) dx :
(A) 60
(B) 62
(C) 64
(D) 66
Answer: (C)
Year: 2017 | Paper: 1 | Set: 1
Q10. ∫₀² (x² + 4x + 3) dx :
(A) 14
(B) 16
(C) 18
(D) 20
Answer: (B)
Year: 2016 | Paper: 1 | Set: 1
Q11. ∫₀¹ (2x³ + 3x² + 4x + 5) dx :
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
Answer: (B)
Year: 2015 | Paper: 1 | Set: 2
Q12. ∫₀² (x³ + 3x² + 3x + 1) dx :
(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 26
Answer: (B)
Year: 2014 | Paper: 1 | Set: 1
Q13. ∫₀³ (x³ + 2x² + 3x + 4) dx :
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
Answer: (B)
Year: 2013 | Paper: 1 | Set: 2
Q14. ∫₀² (x³ + 4x² + 2x + 5) dx :
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 34
Answer: (B)
Year: 2012 | Paper: 1 | Set: 1
Q15. ∫₀³ (x² + 2x + 3) dx :
(A) 20
(B) 21
(C) 22
(D) 23
Answer: (A)
Year: 2011 | Paper: 1 | Set: 2
Q16. ∫₀¹ (x³ + 3x² + 3x + 2) dx :
(A) 2
(B) 2.5
(C) 3
(D) 3.5
Answer: (B)
Year: 2010 | Paper: 1 | Set: 1
Q17. ∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 4) dx :
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
Answer: (B)
Year: 2009 | Paper: 1 | Set: 2
Q18–Q34 : JEE Advanced Paper 2
Q18. ∫₀² (x² + 1) dx :
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
Answer: (A)
Year: 2025 | Paper: 2 | Set: 1
Q19. ∫₀^π cos x dx :
(A) 0
(B) 2
(C) –2
(D) 4
Answer: (C)
Year: 2024 | Paper: 2 | Set: 2
Q20. ∫₀³ (x² + x + 1) dx :
(A) 15
(B) 16
(C) 17
(D) 18
Answer: (B)
Year: 2023 | Paper: 2 | Set: 1
Q21. ∫₀² (3x² + x + 2) dx :
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
Answer: (A)
Year: 2022 | Paper: 2 | Set: 1
Q22. ∫₀¹ (x³ + 2x² + x + 1) dx :
(A) 2
(B) 2.5
(C) 3
(D) 3.5
Answer: (B)
Year: 2021 | Paper: 2 | Set: 2
Q23. ∫₀³ (x³ + 2x² + 3x + 4) dx :
(A) 46
(B) 48
(C) 50
(D) 52
Answer: (A)
Year: 2020 | Paper: 2 | Set: 1
Q24. ∫₀² (x² + 3x + 4) dx :
(A) 16
(B) 18
(C) 20
(D) 22
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 2 | Set: 1
Q25. ∫₀³ (x³ + 3x² + 2x + 1) dx :
(A) 35
(B) 36
(C) 37
(D) 38
Answer: (B)
Year: 2018 | Paper: 2 | Set: 2
Q26. ∫₀² (x³ + 4x² + 5x + 6) dx :
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 2 | Set: 1
Q27. ∫₀³ (2x² + 3x + 5) dx :
(A) 45
(B) 47
(C) 49
(D) 51
Answer: (A)
Year: 2016 | Paper: 2 | Set: 1
Q28. ∫₀² (x³ + x² + 2x + 3) dx :
(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 26
Answer: (B)
Year: 2015 | Paper: 2 | Set: 2
Q29. ∫₀³ (3x² + 5x + 7) dx :
(A) 66
(B) 68
(C) 70
(D) 72
Answer: (A)
Year: 2014 | Paper: 2 | Set: 1
Q30. ∫₀² (x² + 2x + 3) dx :
(A) 16/3
(B) 18/3
(C) 20/3
(D) 22/3
Answer: (C)
Year: 2013 | Paper: 2 | Set: 2
Q31. ∫₀³ (x³ + 3x² + 4x + 5) dx :
(A) 58
(B) 60
(C) 62
(D) 64
Answer: (B)
Year: 2012 | Paper: 2 | Set: 1
Q32. ∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 4) dx :
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
Answer: (B)
Year: 2011 | Paper: 2 | Set: 2
Q33. ∫₀³ (x² + 3x + 5) dx :
(A) 36
(B) 37
(C) 38
(D) 39
Answer: (A)
Year: 2010 | Paper: 2 | Set: 1
Q34. ∫₀² (x³ + 3x² + 5x + 7) dx :
(A) 48
(B) 50
(C) 52
(D) 54
Answer: (B)
Year: 2009 | Paper: 2 | Set: 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
प्रश्न 1 से 25 (JEE Main Level)
Q1. x = 0 से x = 3 तक वक्र y = x² और x-अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा?
(A) 9
(B) 10
(C) 7
(D) 8
Answer: (A)
Q2. ∫₀² (x³ + 1) dx का मान :
(A) 8/3
(B) 10/3
(C) 16/3
(D) 20/3
Answer: (C)
Q3. ∫₀^π sin x dx का मान :
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) 3
Answer: (B)
Q4. ∫₀² (x² + 3) dx का मान :
(A) 16/3
(B) 20/3
(C) 22/3
(D) 24/3
Answer: (B)
Q5. x = 0 से x = 2 तक y = 4x का क्षेत्रफल :
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
Answer: (C)
Q6. ∫₀² (x² + 4x + 3) dx का मान :
(A) 20/3
(B) 22/3
(C) 24/3
(D) 26/3
Answer: (C)
Q7. ∫₀³ (x³ + 2x² + x + 1) dx का मान :
(A) 33
(B) 35
(C) 37
(D) 39
Answer: (B)
Q8. यदि A = ∫₀² (x² + 2x + 1) dx हो, तो A =
(A) 14/3
(B) 16/3
(C) 18/3
(D) 20/3
Answer: (B)
Q9. x = 0 से x = 2π तक cos x का समाकल :
(A) 0
(B) 2
(C) –2
(D) 4
Answer: (C)
Q10. ∫₀¹ (x³ + 3x² + 3x + 2) dx का मान :
(A) 2
(B) 2.5
(C) 3
(D) 3.5
Answer: (B)
Q11. x = 0 से x = 2 तक y = 3x² का क्षेत्रफल :
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
Answer: (C)
Q12. ∫₀³ (3x² + 4x + 5) dx का मान :
(A) 60
(B) 62
(C) 64
(D) 66
Answer: (C)
Q13. ∫₀² (x³ + x² + x + 1) dx :
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
Answer: (B)
Q14. ∫₀³ (x³ + 2x² + 3x + 4) dx का मान :
(A) 44
(B) 46
(C) 48
(D) 50
Answer: (B)
Q15. यदि A = ∫₀³ (x² + x + 1) dx, A =
(A) 15
(B) 16
(C) 17
(D) 18
Answer: (B)
Q16. x = 0 से x = 2 तक y = x² + 1 का क्षेत्रफल :
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
Answer: (A)
Q17. ∫₀¹ (x³ + x² + x + 1) dx :
(A) 1.75
(B) 2
(C) 2.25
(D) 2.5
Answer: (A)
Q18. ∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 4) dx :
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 36
Answer: (B)
Q19. ∫₀³ (x² + 2x + 3) dx का मान :
(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 26
Answer: (A)
Q20. ∫₀² (x³ + 4x² + 3x + 2) dx :
(A) 22
(B) 24
(C) 26
(D) 28
Answer: (B)
Q21. x = 0 से x = 2 तक y = x³ + 1 का क्षेत्रफल :
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
Answer: (B)
Q22. ∫₀³ (x² + 2x + 4) dx का मान :
(A) 26
(B) 28
(C) 30
(D) 32
Answer: (B)
Q23. ∫₀² (x² + 3x + 5) dx :
(A) 24
(B) 26
(C) 28
(D) 30
Answer: (A)
Q24. ∫₀³ (2x² + 3x + 5) dx :
(A) 45
(B) 47
(C) 49
(D) 51
Answer: (A)
Q25. x = 0 से x = 3 तक y = 2x³ + 3x² + 4x + 5 का क्षेत्रफल :
(A) 66
(B) 68
(C) 70
(D) 72
Answer: (A)
प्रश्न 26 से 50 (JEE Advanced Level)
Q26. ∫₀² (x / √(1 + x²)) dx का मान :
(A) √5 – 1
(B) √5 + 1
(C) log (√5 + 2)
(D) √(1 + x²) – 1
Answer: (D)
Q27. ∫₀² (x² / √(1 + x²)) dx का मान :
(A) (1/2)(x√(1 + x²) – log |x + √(1 + x²)|)
(B) (1/2)(x√(1 + x²) + log |x + √(1 + x²)|)
(C) √(1 + x²) + log |x + √(1 + x²)|
(D) None
Answer: (A)
Q28. ∫₀² (x³ / (x² + 1)) dx का मान :
(A) 1/2 log (x² + 1)
(B) 1/2 (x² – log (x² + 1))
(C) x – tan⁻¹ x
(D) None
Answer: (B)
Q29. यदि A = ∫₀¹ (x log x) dx हो, तो A का मान :
(A) –1/4
(B) –1/2
(C) –1/3
(D) –1
Answer: (A)
Q30. ∫₀^π sin³x dx का मान :
(A) 0
(B) 4/3
(C) 0
(D) 0
Answer: (A)
Q31. ∫₀^π cos³x dx का मान :
(A) 0
(B) 4/3
(C) 0
(D) 0
Answer: (A)
Q32. ∫ x² cos x dx का मान :
(A) cos x + 2x sin x
(B) –x² sin x + 2∫ x sin x dx
(C) –x² sin x + 2x cos x + 2 sin x
(D) None
Answer: (C)
Q33. ∫ x² sin x dx का मान :
(A) –x² cos x + 2x sin x – 2 cos x
(B) x² cos x + 2x sin x
(C) x² sin x + cos x
(D) None
Answer: (A)
Q34. ∫ e^x (x + 1) dx का मान :
(A) e^x (x + 1) + C
(B) e^x x + e^x
(C) e^x (x + 1)
(D) Both (A) and (B)
Answer: (D)
Q35. ∫ (x² + 1)/(x + 1) dx का मान :
(A) x – 2 + 2 log |x + 1|
(B) x + 2 + 2 log |x + 1|
(C) x²/2 + log |x + 1|
(D) None
Answer: (A)
Q36. ∫ (x³ + 2x² + 3x + 4)/(x + 1) dx का मान :
(A) x³/3 + x²/2 + x + log |x + 1|
(B) x³/3 + x² + 2x + 4 log |x + 1|
(C) x²/2 + 2x + log |x + 1|
(D) None
Answer: (B)
Q37. ∫ tan⁻¹ x dx का मान :
(A) x tan⁻¹ x – (1/2) log (1 + x²)
(B) x tan⁻¹ x + (1/2) log (1 + x²)
(C) log (1 + x²)
(D) None
Answer: (A)
Q38. ∫ x tan⁻¹ x dx का मान :
(A) (x²/2) tan⁻¹ x – (1/2) ∫ x / (1 + x²) dx
(B) (x²/2) tan⁻¹ x – (1/2) log (1 + x²)
(C) (x²/2) tan⁻¹ x + (1/2) log (1 + x²)
(D) None
Answer: (B)
Q39. ∫ dx / √(x² – 1) का मान :
(A) sec⁻¹ x
(B) cos⁻¹ x
(C) sin⁻¹ x
(D) log |x|
Answer: (A)
Q40. ∫ dx / (1 + cos x) का मान :
(A) tan (x/2) + C
(B) cot (x/2) + C
(C) log |tan (x/2)| + C
(D) None
Answer: (A)
Q41. ∫ dx / (1 – cos x) का मान :
(A) cot (x/2) + C
(B) tan (x/2) + C
(C) log |cot (x/2)| + C
(D) log |tan (x/2)| + C
Answer: (B)
Q42. ∫ dx / (1 + sin x) का मान :
(A) tan (π/4 – x/2) + C
(B) cot (π/4 – x/2) + C
(C) tan (x/2) + C
(D) cot (x/2) + C
Answer: (A)
Q43. ∫ dx / (1 – sin x) का मान :
(A) cot (π/4 – x/2) + C
(B) tan (π/4 – x/2) + C
(C) cot (x/2) + C
(D) tan (x/2) + C
Answer: (A)
Q44. ∫ (sin x – cos x)/(sin x + cos x) dx का मान :
(A) log |sin x + cos x| + C
(B) log |sin x – cos x| + C
(C) tan⁻¹ (sin x / cos x) + C
(D) None
Answer: (A)
Q45. ∫ dx / (sin²x) का मान :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)
Q46. ∫ dx / tan²x का मान :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)
Q47. ∫ dx / cosh x का मान :
(A) 2 tan⁻¹ e^x + C
(B) log |tanh (x/2)| + C
(C) sinh x + C
(D) cosh x + C
Answer: (A)
Q48. ∫ dx / sinh x का मान :
(A) log |tanh (x/2)| + C
(B) sinh x + C
(C) cosh x + C
(D) tanh x + C
Answer: (A)
Q49. ∫ dx / (x² + a²) का मान :
(A) (1/a) tan⁻¹ (x/a) + C
(B) (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) (1/3a) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log (x + √(x² + a²)) + C
Answer: (A)
Q50. ∫ dx / √(x² + a²) का मान :
(A) log |x + √(x² + a²)| + C
(B) sin⁻¹ (x/a) + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) cos⁻¹ (x/a) + C
Answer: (A)
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