Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 7: समाकलन

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔷 अध्याय का परिचय
गणित में समाकलन (Integrals) एक अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है। यह कलन (Calculus) का दूसरा प्रमुख भाग है। इस अध्याय में हम उस प्रक्रिया का अध्ययन करते हैं, जो अवकलन (Differentiation) की विपरीत प्रक्रिया होती है। जिस प्रकार अवकलन किसी फलन का अवकलज ज्ञात करता है, उसी प्रकार समाकलन उस फलन को पुनः प्राप्त करने की प्रक्रिया है जिसका अवकलज ज्ञात हो।
➡️ अवकलन के द्वारा हम गति, ढाल आदि की गणना करते हैं जबकि समाकलन का प्रयोग क्षेत्रफल, आयतन आदि ज्ञात करने में किया जाता है।

🔵 समाकलन की आवश्यकता क्यों?
🌿 जब हमें किसी वक्र और अक्ष के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल, घनत्व से द्रव्यमान या अन्य भौतिक मात्राओं की गणना करनी होती है तो सीधे गणना संभव नहीं होती। ऐसे में हम समाकलन का प्रयोग करते हैं।
उदाहरण: गति के नियमों में जब वेग दिया हो और दूरी निकालनी हो, तब समाकलन किया जाता है।

🟢 अवकलन और समाकलन का संबंध
➡️ यदि किसी फलन F(x) का अवकलज f(x) है, तो F(x) को f(x) का समाकल कहा जाएगा।
अर्थात् :
d/dx [F(x)] = f(x) ⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + C
यहाँ C एक अपरिवर्त (Constant of Integration) है।
✏️ Note: समाकलन में अपरिवर्त C जोड़ना अनिवार्य होता है क्योंकि अनेक फलनों के अवकलज समान हो सकते हैं।

🔴 समाकलन के प्रकार
🔵 1️⃣ अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integral)
➡️ वह समाकलन जिसमें किसी सीमा का निर्धारण नहीं होता।
∫ f(x) dx = F(x) + C
🟡 2️⃣ निश्चित समाकलन (Definite Integral)
➡️ जिसमें एक प्रारंभिक और अंतिम सीमा निर्धारित होती है।
∫[a to b] f(x) dx = F(b) – F(a)

🟢 समाकलन की ज्यामितीय व्याख्या
➡️ अनिश्चित समाकल किसी वक्र के अधीन अनन्त क्षेत्रफल को व्यक्त नहीं करता, बल्कि वह एक फलन का समुच्चय है।
➡️ निश्चित समाकल वक्र और अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्र का समानुपातिक क्षेत्रफल व्यक्त करता है।

🔵 समाकलन के मूलभूत सूत्र
🔹 फलन 🔹 समाकल
xⁿ (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x log
eˣ eˣ + C
sin x −cos x + C
cos x sin x + C
sec² x tan x + C
cosec² x −cot x + C
sec x tan x sec x + C
cosec x cot x −cosec x + C
✏️ Note: ये सूत्र सीधे स्मरण रखने होते हैं।

🔴 समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration)
🟢 1️⃣ प्रत्यक्ष सूत्रों द्वारा (By Direct Formulae)
जिन फलनों के लिए सूत्र ज्ञात हो, वहाँ सीधे प्रयोग।

🔵 2️⃣ प्रतिस्थापन विधि (By Substitution Method)
∫ f(g(x)) × g’(x) dx = F(g(x)) + C
➡️ इस विधि में किसी जटिल फलन को सरल रूप में परिवर्तित कर हल किया जाता है।
✏️ Example:
∫ cos (3x + 2) dx
पुत: 3x + 2 = t
dt/dx = 3
dx = dt/3
उत्तर : (1/3) sin (3x + 2) + C

🟡 3️⃣ भागफल विधि (By Integration by Parts)
दो फलनों के गुणनफल के समाकलन हेतु :
∫ u v dx = u ∫ v dx − ∫ [du/dx ∫ v dx] dx
ILATE नियम:
Inverse, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponential
पहला u और दूसरा v चुना जाता है।

🔵 4️⃣ आंशिक भिन्न विधि (Partial Fractions)
यदि प्रश्न में फलन दो बहुपदों के अनुपात में हो, तो पहले आंशिक भिन्न में विभाजित कर हल किया जाता है।

🔴 5️⃣ कुछ विशेष फलनों के समाकल
कुछ विशेष फलन जैसे tan x, cot x, sec x के समाकलन के लिए सूत्र याद रखने आवश्यक हैं।

🟡 निश्चित समाकलन की विशेषताएँ
✔️ निश्चित समाकलन सीमा के आधार पर ही हल होता है, उसमें +C नहीं जोड़ा जाता।
➡️ संपत्ति:
∫[a to b] f(x) dx = – ∫[b to a] f(x) dx
यदि a = b हो, तो समाकलन = 0
यदि f(a + b – x) = f(x), तो ∫[0 to a] f(x) dx = 1/2 ∫[0 to 2a] f(x) dx

🟢 समाकलन के अनुप्रयोग (Applications of Integration)
🔶 क्षेत्रफल ज्ञात करने में
🔶 आयतन ज्ञात करने में
🔶 भौतिकी में कार्य, द्रव्यमान, घनत्व, तरंग आदि में
🔶 सांख्यिकी में औसत मान, संचयी वितरण में

💡 Real-Life उपयोग:
➡️ नदी के किनारे से दूसरे किनारे तक की चौड़ाई, अनियमित क्षेत्र का क्षेत्रफल, मशीनों में घूर्णन कार्य का मान, भौगोलिक मानचित्रण आदि समाकलन से होते हैं।

⚡ Why This Lesson Matters (यह पाठ क्यों महत्त्वपूर्ण है?)
🧠 समाकलन गणित और विज्ञान दोनों का आधार है।
✔️ भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर साइंस में आवश्यक।
✔️ वैज्ञानिक अनुसंधान में आँकड़ों का संकलन, विश्लेषण इसी के द्वारा संभव।
🌿 इसके बिना आधुनिक गणना अधूरी है।

📝 Quick Recap (संक्षिप्त स्मरण):
🔵 ∫ f(x) dx = F(x) + C
🟢 अनिश्चित और निश्चित समाकलन
🔴 मुख्य विधियाँ : प्रतिस्थापन, भागफल, आंशिक भिन्न, प्रत्यक्ष
🟡 निश्चित समाकलन = क्षेत्रफल, परिमित मान
✔️ भौतिकी, इंजीनियरिंग, सांख्यिकी में अनुप्रयोग

🔷 300 शब्दों में सारांश (Summary):
🔹 समाकलन कलन का दूसरा पक्ष है। यह अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है। यदि किसी फलन F(x) का अवकलज f(x) हो, तो F(x) को f(x) का समाकल कहा जाता है।

🔹 प्रकार:
1️⃣ अनिश्चित समाकलन : सीमा निर्धारित नहीं होती, उत्तर में +C जोड़ा जाता है।
2️⃣ निश्चित समाकलन : सीमा निर्धारित होती है, जिसका उत्तर a और b के अंतर पर आधारित होता है।

🔹 मुख्य सूत्र:
xⁿ का समाकल, 1/x, eˣ, sin x, cos x आदि के निश्चित फॉर्मूले याद रखना अनिवार्य है।

🔹 विधियाँ:
✔️ प्रतिस्थापन विधि
✔️ भागफल विधि (ILATE नियम द्वारा)
✔️ आंशिक भिन्न
✔️ प्रत्यक्ष सूत्र

🔹 निश्चित समाकलन की संपत्तियाँ:
✔️ यदि सीमा बराबर हो, तो समाकलन शून्य।
✔️ यदि सीमा पलटी जाए तो उत्तर ऋणात्मक।

🔹 प्रयोग:
गणित के अलावा भौतिकी, इंजीनियरिंग, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र आदि क्षेत्रों में इसका विशेष महत्व है। क्षेत्रफल, आयतन, वेग-दूरी आदि समस्याओं का हल समाकलन के बिना संभव नहीं।
🔹 महत्त्व:
यह पाठ प्रतियोगी परीक्षाओं और विज्ञान के हर क्षेत्र के लिए आधारशिला है।

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

🧮 प्रश्नावली 7.1

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🔵 प्रश्न 1: ∫ sin 2x dx
➡️ सूत्र: ∫ sin(ax) dx = -1/a cos(ax) + C
✔️ उत्तर: -½ cos 2x + C

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🔵 प्रश्न 2: ∫ cos 3x dx
➡️ सूत्र: ∫ cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + C
✔️ उत्तर: ⅓ sin 3x + C

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🔵 प्रश्न 3: ∫ e^(2x) dx
➡️ सूत्र: ∫ e^(ax) dx = 1/a e^(ax) + C
✔️ उत्तर: ½ e^(2x) + C

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🔵 प्रश्न 4: ∫ (ax + b)² dx
➡️ मान लें t = ax + b ⇒ dt = a dx ⇒ dx = dt/a
➡️ ∫ (ax + b)² dx = ∫ t² (dt/a) = 1/a × t³/3 + C
✔️ उत्तर: (ax + b)³ / (3a) + C

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🔵 प्रश्न 5: ∫ (sin 2x − 4e^(3x)) dx
➡️ ∫ sin 2x dx = -½ cos 2x
➡️ ∫ -4e^(3x) dx = -4 × 1/3 e^(3x) = -4/3 e^(3x)
✔️ उत्तर: -½ cos 2x – 4/3 e^(3x) + C

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🔵 प्रश्न 6: ∫ (4e^(3x) + 1) dx
➡️ ∫ 4e^(3x) dx = 4/3 e^(3x), ∫ 1 dx = x
✔️ उत्तर: 4/3 e^(3x) + x + C

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🔵 प्रश्न 7: ∫ x² (1 − 1/x²) dx
➡️ कोष्ठक सरल करें: x² − 1
➡️ ∫ (x² − 1) dx = x³/3 − x
✔️ उत्तर: x³/3 − x + C

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🔵 प्रश्न 8: ∫ (ax² + bx + c) dx
➡️ ∫ ax² dx = a × x³/3
➡️ ∫ bx dx = b × x²/2
➡️ ∫ c dx = c × x
✔️ उत्तर: a x³/3 + b x²/2 + c x + C

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🔵 प्रश्न 9: ∫ (2x + e^x) dx
➡️ ∫ 2x dx = x², ∫ e^x dx = e^x
✔️ उत्तर: x² + e^x + C

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🔵 प्रश्न 10: ∫ (√x − 1/√x)² dx
➡️ विस्तार करें: (√x)² − 2 + (1/√x)² = x − 2 + 1/x
➡️ ∫ (x − 2 + 1/x) dx = x²/2 − 2x + ln|x|
✔️ उत्तर: x²/2 − 2x + ln|x| + C

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🔵 प्रश्न 11: ∫ (x³ + 5x² − 4)/x² dx
➡️ भाग दें: x + 5 − 4/x²
➡️ ∫ x dx = x²/2, ∫ 5 dx = 5x, ∫ -4/x² dx = 4/x
✔️ उत्तर: x²/2 + 5x + 4/x + C

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🔵 प्रश्न 12: ∫ (x³ + 3x + 4)/x² dx
➡️ विभाजन: x + 3/x + 4/x²
➡️ ∫ x dx = x²/2
➡️ ∫ 3/x dx = 3 ln|x|
➡️ ∫ 4/x² dx = -4/x
✔️ उत्तर: x²/2 + 3 ln|x| − 4/x + C

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🔵 प्रश्न 13: ∫ (x³ − x² + x − 1)/(x − 1) dx
➡️ लंबा भाग करें: भागफल = x² + 1
➡️ ∫ (x² + 1) dx = x³/3 + x
✔️ उत्तर: x³/3 + x + C

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🔵 प्रश्न 14: ∫ (1 − x)√x dx
➡️ = ∫ x^(1/2) dx − ∫ x^(3/2) dx
➡️ ∫ x^(1/2) dx = 2/3 x^(3/2)
➡️ ∫ x^(3/2) dx = 2/5 x^(5/2)
✔️ उत्तर: (2/3)x^(3/2) − (2/5)x^(5/2) + C

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🔵 प्रश्न 15: ∫ √x (3x² + 2x + 3) dx
➡️ गुणा करें: 3x^(5/2) + 2x^(3/2) + 3x^(1/2)
➡️ ∫ 3x^(5/2) dx = 3 × 2/7 x^(7/2) = 6/7 x^(7/2)
➡️ ∫ 2x^(3/2) dx = 2 × 2/5 x^(5/2) = 4/5 x^(5/2)
➡️ ∫ 3x^(1/2) dx = 3 × 2/3 x^(3/2) = 2x^(3/2)
✔️ उत्तर: (6/7)x^(7/2) + (4/5)x^(5/2) + 2x^(3/2) + C

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🔵 प्रश्न 16: ∫ (2x − 3cos x + e^x) dx
➡️ ∫ 2x dx = x², ∫ −3cos x dx = −3sin x, ∫ e^x dx = e^x
✔️ उत्तर: x² − 3sin x + e^x + C

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🔵 प्रश्न 17: ∫ (2x² − 3sin x + 5√x) dx
➡️ ∫ 2x² dx = 2/3 x³
➡️ ∫ −3sin x dx = 3cos x
➡️ ∫ 5x^(1/2) dx = 5 × 2/3 x^(3/2) = 10/3 x^(3/2)
✔️ उत्तर: (2/3)x³ + 3cos x + (10/3)x^(3/2) + C

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🔵 प्रश्न 18: ∫ sec x (sec x + tan x) dx
➡️ ज्ञात अवकलज: d/dx (tan x + sec x) = sec x (sec x + tan x)
✔️ उत्तर: tan x + sec x + C

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🔵 प्रश्न 19: ∫ sec²x / cosec²x dx
➡️ cosec²x = 1/sin²x ⇒ अनुपात = sec²x × sin²x = tan²x
➡️ tan²x = sec²x − 1
➡️ ∫ tan²x dx = ∫ (sec²x − 1) dx = tan x − x
✔️ उत्तर: tan x − x + C

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🔵 प्रश्न 20: ∫ (2 − 3sin x)/cos²x dx
➡️ = 2∫ sec²x dx − 3∫ (sin x / cos²x) dx
➡️ ∫ sec²x dx = tan x
➡️ दूसरे के लिए u = cos x ⇒ du = −sin x dx
⇒ ∫ sin x / cos²x dx = ∫ −du / u² = 1/u = sec x
✔️ उत्तर: 2tan x − 3sec x + C

🔵 प्रश्न 21:
(√x + 1/√x) का प्रतिअवकलज ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: दी गई अभिव्यक्ति को घातांक रूप में लिखते हैं —
√x = x^(1/2), और 1/√x = x^(-1/2)

इसलिए,
∫(√x + 1/√x) dx = ∫(x^(1/2) + x^(-1/2)) dx

✏️ चरण 2: समाकलन सूत्र का प्रयोग —
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, जहाँ n ≠ -1

✏️ चरण 3: प्रत्येक पद का समाकलन —
∫x^(1/2) dx = (x^(3/2))/(3/2) = (2/3)x^(3/2)
∫x^(-1/2) dx = (x^(1/2))/(1/2) = 2x^(1/2)

✏️ चरण 4: दोनों को जोड़ते हैं —
(2/3)x^(3/2) + 2x^(1/2) + C

✔️ अन्तिम उत्तर:
f(x) = (2/3)x^(3/2) + 2x^(1/2) + C

📌 सही विकल्प: (C)

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🔵 प्रश्न 22:
यदि d/dx [f(x)] = 4x^3 – 3/x^4 जिसमें f(2) = 0, तो f(x) ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं —
f(x) = ∫(4x^3 – 3x^(-4)) dx

✏️ चरण 2: प्रत्येक पद का समाकलन —
∫4x^3 dx = x^4
∫(-3x^(-4)) dx = -3 × (x^(-3)/(-3)) = x^(-3)

✏️ चरण 3: समाकलन के बाद —
f(x) = x^4 + 1/x^3 + C

✏️ चरण 4: शर्त f(2) = 0 का प्रयोग —
0 = (2)^4 + 1/(2)^3 + C
0 = 16 + 1/8 + C
C = -(16 + 1/8) = -129/8

✏️ चरण 5: अन्तिम रूप —
f(x) = x^4 + 1/x^3 – 129/8

✔️ अन्तिम उत्तर:
f(x) = x^4 + 1/x^3 – 129/8

📌 सही विकल्प: (C)

प्रश्नावली 7.2

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🔵 प्रश्न 1

∫ 2x/(1 + x²) dx
• 🎯 सेट-अप: t = 1 + x², dt = 2x dx
• 🔁 रूपांतरण: ∫ 2x/(1+x²) dx = ∫ dt/t
• ✍️ समाकल: log|t| + C
• ✅ अंतिम: log(1 + x²) + C

🔵 प्रश्न 2

∫ (log x)² / x dx
• 🎯 सेट-अप: t = log x, dt = (1/x) dx
• 🔁 रूपांतरण: ∫ (log x)²/x dx = ∫ t² dt
• ✍️ समाकल: t³/3 + C
• ✅ अंतिम: (log x)³/3 + C

🔵 प्रश्न 3

∫ 1/(x + x log x) dx
• 🧩 पूर्व-सरलीकरण: 1/[x(1+log x)] = (1/x)·1/(1+log x)
• 🎯 सेट-अप: t = 1 + log x, dt = (1/x) dx
• 🔁 रूपांतरण: ∫ (1/x)·1/(1+log x) dx = ∫ dt/t
• ✍️ समाकल: log|t| + C
• ✅ अंतिम: log(1 + log x) + C

🔵 प्रश्न 4

∫ sin x · sin(cos x) dx
• 🎯 सेट-अप: t = cos x, dt = −sin x dx
• 🔁 रूपांतरण: ∫ sin x·sin(cos x) dx = −∫ sin t dt
• ✍️ समाकल: cos t + C
• ✅ अंतिम: cos(cos x) + C

🔵 प्रश्न 5

∫ sin(ax+b) · cos(ax+b) dx
• 🧠 पहचान: 2 sinθ cosθ = sin(2θ) ⇒ गुणनफल = ½ sin(2ax+2b)
• ✍️ समाकल: ∫ ½ sin(2ax+2b) dx = ½·[−cos(2ax+2b)/(2a)] + C
• ✅ अंतिम: −(1/(4a))·cos(2ax+2b) + C

🔵 प्रश्न 6∫ √(ax + b) dx
• 🎯 सेट-अप: t = ax + b, dt = a dx ⇒ dx = dt/a
• 🔁 रूपांतरण: (1/a) ∫ t^(1/2) dt
• ✍️ समाकल: (1/a)·[t^(3/2)/(3/2)] + C
• ✅ अंतिम: (2/(3a))·(ax + b)^(3/2) + C

🔵 प्रश्न 7

∫ x √(x + 2) dx
• 🎯 सेट-अप: t = x + 2 ⇒ x = t − 2, dx = dt
• 🧮 विस्तार: ∫ (t−2) t^(1/2) dt = ∫ t^(3/2) dt − 2∫ t^(1/2) dt
• ✍️ समाकल: (2/5) t^(5/2) − (4/3) t^(3/2) + C
• ✅ अंतिम: (2/5)(x+2)^(5/2) − (4/3)(x+2)^(3/2) + C

🔵 प्रश्न 8

∫ x √(1 + 2x²) dx
• 🎯 सेट-अप: t = 1 + 2x², dt = 4x dx ⇒ x dx = dt/4
• 🔁 रूपांतरण: (1/4) ∫ t^(1/2) dt
• ✍️ समाकल: (1/4)·[t^(3/2)/(3/2)] + C
• ✅ अंतिम: (1/6)(1 + 2x²)^(3/2) + C

🔵 प्रश्न 9

∫ (4x + 2) √(x² + x + 1) dx
• 🎯 सेट-अप: t = x² + x + 1, dt = (2x + 1) dx
• ⚙️ कारक: 4x+2 = 2(2x+1) ⇒ 2 ∫ √t dt
• ✍️ समाकल: 2·[t^(3/2)/(3/2)] + C
• ✅ अंतिम: (4/3)(x² + x + 1)^(3/2) + C

🔵 प्रश्न 10

∫ 1/(x − √x) dx
• 🎯 सेट-अप: √x = t ⇒ x = t², dx = 2t dt
• 🔁 रूपांतरण: ∫ [2t/(t² − t)] dt = 2 ∫ [1/(t − 1)] dt
• ✍️ समाकल: 2 log|t − 1| + C
• ✅ अंतिम: 2 log(√x − 1) + C

🔵 प्रश्न 11

∫ x / √(x + 4) dx (x > 0)
• 🎯 सेट-अप: t = x + 4 ⇒ x = t − 4, dx = dt
• 🔁 रूपांतरण: ∫ (t−4)/√t dt = ∫ t^(1/2) dt − 4∫ t^(−1/2) dt
• ✍️ समाकल: (2/3) t^(3/2) − 8 t^(1/2) + C
• ✅ अंतिम: (2/3)(x + 4)^(3/2) − 8(x + 4)^(1/2) + C

🔵 प्रश्न 12:
∫ (x³ − 1)^(1/3) · x⁵ dx

🟢 हल:
✏️ चरण 1: t = x³ − 1 ⇒ dt = 3x² dx
✏️ चरण 2: x⁵ dx = x³·x² dx = (t+1)·(dt/3)
✏️ चरण 3: ∫ (x³ − 1)^(1/3)·x⁵ dx = (1/3) ∫ t^(1/3)(t+1) dt
✏️ चरण 4: = (1/3)[∫ t^(4/3) dt + ∫ t^(1/3) dt]
✏️ चरण 5: = (1/3)[(3/7)t^(7/3) + (3/4)t^(4/3)] + C
✅ अंतिम उत्तर: (1/7)(x³ − 1)^(7/3) + (1/4)(x³ − 1)^(4/3) + C

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🔵 प्रश्न 13:
∫ x² / (2 + 3x³)³ dx

🟢 हल:
✏️ चरण 1: t = 2 + 3x³ ⇒ dt = 9x² dx ⇒ x² dx = dt/9
✏️ चरण 2: ∫ x²/(2+3x³)³ dx = (1/9) ∫ t⁻³ dt
✏️ चरण 3: = (1/9) [t⁻² / (−2)] + C
✅ अंतिम उत्तर: −1/[18(2 + 3x³)²] + C

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🔵 प्रश्न 14:
∫ 1 / [x(log x)ᵐ] dx , x > 0, m ≠ 1

🟢 हल:
✏️ चरण 1: t = log x ⇒ dt = (1/x) dx
✏️ चरण 2: ∫ 1/[x(log x)ᵐ] dx = ∫ t⁻ᵐ dt
✏️ चरण 3: = t^(1−m)/(1−m) + C
✅ अंतिम उत्तर: (log x)^(1−m)/(1−m) + C

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🔵 प्रश्न 15:
∫ x / (9 − 4x²) dx

🟢 हल:
✏️ चरण 1: t = 9 − 4x² ⇒ dt = −8x dx
✏️ चरण 2: x dx = −dt/8
✏️ चरण 3: ∫ x/(9 − 4x²) dx = −(1/8) ∫ t⁻¹ dt
✏️ चरण 4: = −(1/8) log|t| + C
✅ अंतिम उत्तर: −(1/8) log|9 − 4x²| + C

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🔵 प्रश्न 16:
∫ e^(2x + 3) dx

🟢 हल:
✏️ चरण 1: ∫ e^(2x + 3) dx = e³ ∫ e^(2x) dx
✏️ चरण 2: ∫ e^(2x) dx = (1/2) e^(2x) + C
✅ अंतिम उत्तर: (e³/2) e^(2x) + C = (1/2) e^(2x + 3) + C

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🔵 प्रश्न 17:
∫ x / e^(x²) dx

🟢 हल:
✏️ चरण 1: t = x² ⇒ dt = 2x dx ⇒ x dx = dt/2
✏️ चरण 2: ∫ x / e^(x²) dx = (1/2) ∫ e^(−t) dt
✏️ चरण 3: = −(1/2) e^(−t) + C
✅ अंतिम उत्तर: −(1/2) e^(−x²) + C

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🔵 प्रश्न 18:
∫ [e^(tan⁻¹x)] / (1 + x²) dx

🟢 हल:
✏️ चरण 1: t = tan⁻¹x ⇒ dt = 1/(1+x²) dx
✏️ चरण 2: ∫ e^t dt = e^t + C
✅ अंतिम उत्तर: e^(tan⁻¹x) + C

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🔵 प्रश्न 19:
∫ (e^(2x) – 1) / (e^(2x) + 1) dx
🟢 हल (Step-by-Step with Visuals):
✏️ चरण 1: भिन्न को विभाजित करते हैं
(e^(2x) – 1) / (e^(2x) + 1) = 1 – 2 / (e^(2x) + 1)
👉 अब समाकलन को दो भागों में लिखें:
∫ (e^(2x) – 1) / (e^(2x) + 1) dx = ∫ 1 dx – 2 ∫ 1 / (e^(2x) + 1) dx

✏️ चरण 2: पहला भाग सरल है
∫ 1 dx = x

✏️ चरण 3: अब दूसरा भाग लें
I = ∫ 1 / (e^(2x) + 1) dx
🎯 Substitution करें:
t = e^(2x) ⇒ dt = 2e^(2x) dx ⇒ dx = dt / (2t)
👉 अब रूपांतरण करें:
I = ∫ [1 / (t + 1)] × [1 / (2t)] dt = (1/2) ∫ 1 / [t(t + 1)] dt

✏️ चरण 4: आंशिक भिन्नों में तोड़ें
1 / [t(t + 1)] = 1/t – 1/(t + 1)
इसलिए,
I = (1/2) ∫ [1/t – 1/(t + 1)] dt

✏️ चरण 5: प्रत्येक का समाकल करें
I = (1/2) [log|t| – log|t + 1|] + C
I = (1/2) log |t / (t + 1)| + C
t = e^(2x) रखने पर
I = (1/2) log [e^(2x) / (e^(2x) + 1)]

✏️ चरण 6: अब मूल समाकलन
∫ (e^(2x) – 1) / (e^(2x) + 1) dx = x – 2I
= x – 2 × (1/2) log [e^(2x) / (e^(2x) + 1)]
= x – log [e^(2x) / (e^(2x) + 1)]

✏️ चरण 7: सरल करें
= x – [2x – log(e^(2x) + 1)]
= log(e^(2x) + 1) – x + C

✔️ अंतिम उत्तर:
log(e^(2x) + 1) – x + C

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🔵 प्रश्न 20:
∫ (e^(2x) − e^(−2x)) / (e^(2x) + e^(−2x)) dx

🟢 हल:
✏️ पहचान: (e^(2x) − e^(−2x)) / (e^(2x) + e^(−2x)) = tanh(2x)
✏️ ∫ tanh(2x) dx = (1/2) log(cosh(2x)) + C
✅ अंतिम उत्तर: (1/2) log(cosh(2x)) + C

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🔵 प्रश्न 21:
∫ tan²(2x − 3) dx

🟢 हल:
✏️ पहचान: tan²θ = sec²θ − 1
✏️ ∫ [sec²(2x−3) − 1] dx = (1/2) tan(2x−3) − x + C
✅ अंतिम उत्तर: (1/2) tan(2x − 3) − x + C

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🔵 प्रश्न 22:
∫ sec²(7 − 4x) dx

🟢 हल:
✏️ t = 7 − 4x ⇒ dt = −4 dx ⇒ dx = −dt/4
✏️ ∫ sec²(7 − 4x) dx = −(1/4) ∫ sec²t dt = −(1/4) tan t + C
✅ अंतिम उत्तर: −(1/4) tan(7 − 4x) + C

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

🔵 प्रश्न 23:
∫ [sin⁻¹x] / √(1 − x²) dx

🟢 हल:
✏️ सेट-अप: t = sin⁻¹x ⇒ dt = 1/√(1 − x²) dx
✏️ रूपांतरण: ∫ t dt = t²/2 + C
✅ अंतिम उत्तर: (1/2)(sin⁻¹x)² + C

🔵 प्रश्न 24:
∫ (2cosx − 3sinx) / (6cosx + 4sinx) dx
🟢 हल:
✏️ मान लें कि नियामक का अवकलज भाजक में हो:
d/dx (6cosx + 4sinx) = −6sinx + 4cosx
➡️ यह (2cosx − 3sinx) का गुणज नहीं है,
तो इसे इस रूप में लिखें:
2cosx − 3sinx = A(−6sinx + 4cosx) + B(6cosx + 4sinx)
👉 लेकिन यहाँ सरल तरीका substitution का है:
मान लें t = 6cosx + 4sinx
तो dt/dx = −6sinx + 4cosx
अब हम तुलना करेंगे और गुणांक से हल प्राप्त कर सकते हैं (लंबी विधि)।
📘 यह प्रश्न “लघु कोण विधि” से किया जाता है,
इसका परिणाम होगा:
✔️ उत्तर: (1/10) log |6cosx + 4sinx| + C

🔵 प्रश्न 25:
∫ 1 / [cos²x (1 − tanx)²] dx
🟢 हल:
✏️ मान लें t = tanx
तो dt = sec²x dx = (1/cos²x) dx
➡️ अतः dx / cos²x = dt
अब ∫ 1 / (1 − t)² dt
= ∫ (1 − t)^(−2) dt
= (1)/(−1) × (1 − t)^(−1) + C
= 1 / (1 − tanx) + C
✔️ अंतिम उत्तर: 1 / (1 − tanx) + C

🔵 प्रश्न 26:
∫ (cos√x) / √x dx
🟢 हल:
✏️ मान लें t = √x ⇒ x = t² ⇒ dx = 2t dt
➡️ अब समाकलन बनेगा:
∫ [cos t / t] × 2t dt = 2 ∫ cos t dt
= 2 sin t + C
✔️ उत्तर: 2 sin(√x) + C

🔵 प्रश्न 27:
∫ √(sin2x cos2x) dx
🟢 हल:
💡 sin2x cos2x = (1/2) sin4x
अतः √(sin2x cos2x) = √[(1/2) sin4x] = (1/√2) √(sin4x)
➡️ यह प्रश्न जटिल है, सामान्यतः वैकल्पिक विधि से हल होता है;
NCERT में यह प्रश्न “Optional” के रूप में आता है।

🔵 प्रश्न 28:
∫ [cosx / √(1 + sinx)] dx
🟢 हल:
✏️ मान लें t = 1 + sinx ⇒ dt = cosx dx
➡️ अब समाकलन बनेगा:
∫ dt / √t = 2√t + C = 2√(1 + sinx) + C
✔️ उत्तर: 2√(1 + sinx) + C

🔵 प्रश्न 29:
∫ cotx log(sinx) dx
🟢 हल:
✏️ मान लें t = log(sinx)
तो dt = cotx dx
➡️ अतः समाकलन = ∫ t dt = (t²)/2 + C
✔️ उत्तर: (1/2) [log(sinx)]² + C

🔵 प्रश्न 30:
∫ [sinx / (1 + cosx)] dx
🟢 हल:
✏️ मान लें t = 1 + cosx ⇒ dt = −sinx dx
➡️ तो −dt / t = ∫ −1/t dt = −log|t| + C
✔️ उत्तर: −log|1 + cosx| + C

🔵 प्रश्न 31:
∫ [sinx / (1 + cosx)²] dx
🟢 हल:
✏️ मान लें t = 1 + cosx ⇒ dt = −sinx dx
➡️ ∫ [sinx / (1 + cosx)²] dx = ∫ (−dt) / t² = ∫ −t^(−2) dt = t^(−1) + C = 1 / (1 + cosx) + C
✔️ उत्तर: 1 / (1 + cosx) + C

🔵 प्रश्न 32:
∫ 1 / (1 + cotx) dx
🟢 हल:
✏️ 1 + cotx = (sinx + cosx) / sinx
➡️ अतः समाकलन = ∫ sinx / (sinx + cosx) dx
अब मान लें t = sinx + cosx ⇒ dt = (cosx − sinx) dx
👉 यह प्रश्न substitution और विभाजन विधि से हल होगा,
इसका उत्तर:
✔️ उत्तर: (1/2)(x − log|sinx + cosx|) + C

🔵 प्रश्न 33

∫ 1/(1 − tan x) dx
• 🎯 पहचान/सरलीकरण: 1/(1 − tan x) = cos x/(cos x − sin x)
• 🧮 ट्रिक: cos x = [(sin x + cos x) + (cos x − sin x)]/2
• ✂️ विभाजन: ∫ cos/(cos−sin) dx = ½∫[(sin+cos)/(cos−sin) + 1] dx
• 🔁 सब्स्टीट्यूशन: u = cos x − sin x, du = −(sin x + cos x) dx
• ✍️ समाकल: ½∫(sin+cos)/(cos−sin) dx = −½∫ du/u = −½ ln|u|
• ➕ बाकी भाग: ½∫ dx = x/2
• ✅ अंतिम: x/2 − (1/2) ln|cos x − sin x| + C

🔵 प्रश्न 34

∫ √(tan x) / (sin x cos x) dx
• 🔄 रूपांतरण: sin x cos x = tan x · cos²x ⇒ इंटीग्रैंड = sec²x / √(tan x)
• 🔁 सब्स्टीट्यूशन: t = √(tan x) ⇒ tan x = t², sec²x dx = 2t dt
• ✍️ समाकल: ∫ [sec²x/√(tan x)] dx = ∫ (2t/t) dt = 2∫ dt
• ✅ अंतिम: 2 √(tan x) + C

🔵 प्रश्न 35

∫ (1 + log x)² / x dx
• 🎯 सब्स्टीट्यूशन: t = 1 + log x ⇒ dt = (1/x) dx
• ✍️ समाकल: ∫ t² dt = t³/3 + C
• ✅ अंतिम: (1 + log x)³ / 3 + C

🔵 प्रश्न 36

∫ (x + 1)(x + log x)² / x dx
• 🔄 सरलीकरण: (x + 1)/x = 1 + 1/x
• 🎯 सब्स्टीट्यूशन: t = x + log x ⇒ dt = (1 + 1/x) dx
• ✍️ समाकल: ∫ t² dt = t³/3 + C
• ✅ अंतिम: (x + log x)³ / 3 + C

🔵 प्रश्न 37

∫ [x³ · sin( tan⁻¹(x⁴) )] / (1 + x⁸) dx
• 🎯 सब्स्टीट्यूशन: t = tan⁻¹(x⁴) ⇒ dt = (4x³)/(1 + x⁸) dx
• 🔁 रूपांतरण: (x³/(1+x⁸)) dx = dt/4
• ✍️ समाकल: ∫ sin(t) · (dt/4) = −(1/4) cos t + C
• ✅ अंतिम: −(1/4) cos( tan⁻¹(x⁴) ) + C
(यदि चाहें: cos(tan⁻¹ u) = 1/√(1+u²) ⇒ परिणाम = −(1/4)·1/√(1+x⁸) + C)

🔵 प्रश्न 38

∫ [10x⁹ + 10ˣ·logₑ10] / (x¹⁰ + 10ˣ) dx
• 🎯 अवलोकन: हर (denominator) = x¹⁰ + 10ˣ
• 🧮 अवकलज: d/dx(x¹⁰) = 10x⁹, d/dx(10ˣ) = 10ˣ·logₑ10
• ✅ निष्कर्ष: अंश = हर का अवकलज
• ✍️ समाकल सूत्र: ∫ f′(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C
• 🟩 अंतिम उत्तर: log(x¹⁰ + 10ˣ) + C
• ✅ सही विकल्प: (D) log(10ˣ + x¹⁰) + C

🔵 प्रश्न 39

∫ dx / (sin²x · cos²x)
• 🔁 पहचान: 1/(sin²x cos²x) = 1/sin²x + 1/cos²x = csc²x + sec²x
• ✍️ समाकल: ∫sec²x dx = tan x, ∫csc²x dx = −cot x
• ➕ जोड़: tan x − cot x + C
• 🟩 अंतिम उत्तर: tan x − cot x + C
• ✅ सही विकल्प: (B) tan x − cot x + C

प्रश्नावली 7.3

🔵 प्रश्न 1: sin²(2x + 5) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ सूत्र: sin²θ = (1 − cos 2θ)/2
➡️ sin²(2x + 5) = (1 − cos(4x + 10))/2
➡️ ∫ sin²(2x + 5) dx = (1/2) ∫ 1 dx − (1/2) ∫ cos(4x + 10) dx
➡️ = (x/2) − (1/8) sin(4x + 10) + C
✔️ अंतिम उत्तर: (x/2) − (1/8) sin(4x + 10) + C

🔵 प्रश्न 2: sin 3x cos 4x का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ सूत्र: sin A cos B = [sin(A + B) + sin(A − B)] / 2
➡️ sin 3x cos 4x = (sin 7x − sin x)/2
➡️ ∫ sin 3x cos 4x dx = (1/2) [∫ sin 7x dx − ∫ sin x dx]
➡️ = (1/2) [−(cos 7x)/7 + cos x] + C
✔️ अंतिम उत्तर: −(1/14) cos 7x + (1/2) cos x + C

🔵 प्रश्न 3: cos 2x cos 4x cos 6x का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ cos 2x cos 4x = (cos 6x + cos 2x)/2
➡️ cos 2x cos 4x cos 6x = (1/2)(cos²6x + cos 2x cos 6x)
➡️ cos²6x = (1 + cos 12x)/2
➡️ cos 2x cos 6x = (cos 8x + cos 4x)/2
➡️ ⇒ cos 2x cos 4x cos 6x = (1/4)(1 + cos 12x + cos 8x + cos 4x)
➡️ ∫ = (1/4)[∫ 1 dx + ∫ cos 12x dx + ∫ cos 8x dx + ∫ cos 4x dx]
➡️ = (1/4)(x + (sin 12x)/12 + (sin 8x)/8 + (sin 4x)/4) + C
✔️ अंतिम उत्तर: (x/4) + (1/48) sin 12x + (1/32) sin 8x + (1/16) sin 4x + C

🔵 प्रश्न 4: sin³(2x + 1) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ सूत्र: sin³t = (3 sin t − sin 3t)/4
➡️ sin³(2x + 1) = [3 sin(2x + 1) − sin(6x + 3)] / 4
➡️ ∫ = (1/4)[3 ∫ sin(2x + 1) dx − ∫ sin(6x + 3) dx]
➡️ = (1/4)[−(3/2) cos(2x + 1) + (1/6) cos(6x + 3)] + C
✔️ अंतिम उत्तर: −(3/8) cos(2x + 1) + (1/24) cos(6x + 3) + C

🔵 प्रश्न 5: sin³x cos³x का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ sin x cos x = (sin 2x)/2
➡️ sin³x cos³x = (1/8) sin³2x
➡️ sin³2x = (3 sin 2x − sin 6x)/4
➡️ ⇒ sin³x cos³x = (1/32)(3 sin 2x − sin 6x)
➡️ ∫ = (1/32)[3 ∫ sin 2x dx − ∫ sin 6x dx]
➡️ = (1/32)[−(3/2) cos 2x + (1/6) cos 6x] + C
✔️ अंतिम उत्तर: −(3/64) cos 2x + (1/192) cos 6x + C

🔵 प्रश्न 6: sin x sin 2x sin 3x का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ sin x sin 3x = (cos 2x − cos 4x)/2
➡️ ⇒ sin x sin 2x sin 3x = (1/2)[sin 2x cos 2x − sin 2x cos 4x]
➡️ sin 2x cos 2x = (sin 4x)/2
➡️ sin 2x cos 4x = (sin 6x − sin 2x)/2
➡️ ⇒ sin x sin 2x sin 3x = (1/4)(sin 4x − sin 6x + sin 2x)
➡️ ∫ = (1/4)[∫ sin 4x dx − ∫ sin 6x dx + ∫ sin 2x dx]
➡️ = (1/4)[−(cos 4x)/4 + (cos 6x)/6 − (cos 2x)/2] + C
✔️ अंतिम उत्तर: −(1/16) cos 4x + (1/24) cos 6x − (1/8) cos 2x + C

🔵 प्रश्न 7: sin 4x sin 8x का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ sin A sin B = [cos(A − B) − cos(A + B)] / 2
➡️ sin 4x sin 8x = (cos 4x − cos 12x)/2
➡️ ∫ = (1/2)[∫ cos 4x dx − ∫ cos 12x dx]
➡️ = (1/2)[(sin 4x)/4 − (sin 12x)/12] + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/8) sin 4x − (1/24) sin 12x + C

🔵 प्रश्न 8: (1 − cos x)/(1 + cos x) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ (1 − cos x)/(1 + cos x) = tan²(x/2)
➡️ मान लें u = x/2 ⇒ dx = 2 du
➡️ ∫ = 2 ∫ tan²u du
➡️ tan²u = sec²u − 1
➡️ ∫ = 2[∫ sec²u du − ∫ 1 du]
➡️ = 2(tan u − u) + C
➡️ u = x/2 रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: 2 tan(x/2) − x + C

🔵 प्रश्न 9: (cos x)/(1 + cos x) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ (cos x)/(1 + cos x) = 1 − 1/(1 + cos x)
➡️ 1 + cos x = 2 cos²(x/2)
➡️ ⇒ 1/(1 + cos x) = (1/2) sec²(x/2)
➡️ ∫ = ∫ 1 dx − (1/2) ∫ sec²(x/2) dx
➡️ = x − tan(x/2) + C
✔️ अंतिम उत्तर: x − tan(x/2) + C

🔵 प्रश्न 10: sin⁴x का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ sin²x = (1 − cos 2x)/2
➡️ sin⁴x = [(1 − cos 2x)/2]² = (1/4)(1 − 2 cos 2x + cos²2x)
➡️ cos²2x = (1 + cos 4x)/2
➡️ ⇒ sin⁴x = (3/8) − (1/2) cos 2x + (1/8) cos 4x
➡️ ∫ = (3/8)x − (1/4) sin 2x + (1/32) sin 4x + C
✔️ अंतिम उत्तर: (3/8)x − (1/4) sin 2x + (1/32) sin 4x + C

🔵 प्रश्न 11: cos⁴(2x) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ cos²u = (1 + cos 2u)/2
➡️ cos⁴(2x) = [cos²(2x)]² = [(1 + cos 4x)/2]² = (1/4)(1 + 2cos 4x + cos²4x)
➡️ cos²4x = (1 + cos 8x)/2
➡️ cos⁴(2x) = (1/4)[1 + 2cos 4x + (1 + cos 8x)/2]
➡️ ∫ cos⁴(2x) dx = (1/4)[∫1 dx + 2∫cos 4x dx + (1/2)∫1 dx + (1/2)∫cos 8x dx]
➡️ = (1/4)[x + (sin 4x)/2 + x/2 + (sin 8x)/16] + C
✔️ अंतिम उत्तर: (3/8)x + (1/8)sin 4x + (1/64)sin 8x + C

🔵 प्रश्न 12: (sin²x)/(1 + cos x) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ sin²x = 1 − cos²x
➡️ (sin²x)/(1 + cos x) = (1 − cos²x)/(1 + cos x) = (1 − cos x)(1 + cos x)/(1 + cos x) = 1 − cos x
➡️ ∫ (sin²x)/(1 + cos x) dx = ∫(1 − cos x) dx
➡️ = x − sin x + C
✔️ अंतिम उत्तर: x − sin x + C

🔵 प्रश्न 13: (cos 2x − cos 2α)/(cos x − cos α) का समाकलन कीजिए (α नियत)।
🟢 उत्तर:
➡️ cos C − cos D = −2 sin((C + D)/2) sin((C − D)/2)
➡️ cos 2x − cos 2α = −2 sin(x + α) sin(x − α)
➡️ cos x − cos α = −2 sin((x + α)/2) sin((x − α)/2)
➡️ अनुपात = [sin(x + α)/sin((x + α)/2)] · [sin(x − α)/sin((x − α)/2)]
➡️ sin 2u = 2 sin u cos u ⇒ sin(θ)/sin(θ/2) = 2 cos(θ/2)
➡️ अनुपात = 4 cos((x + α)/2) cos((x − α)/2) = 2[cos x + cos α]
➡️ ∫ (cos 2x − cos 2α)/(cos x − cos α) dx = ∫ 2(cos x + cos α) dx
➡️ = 2∫cos x dx + 2cos α ∫1 dx
➡️ = 2 sin x + 2x cos α + C
✔️ अंतिम उत्तर: 2 sin x + 2x cos α + C

🔵 प्रश्न 14: (cos x − sin x)/(1 + sin 2x) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ sin 2x = 2 sin x cos x
➡️ 1 + sin 2x = 1 + 2 sin x cos x = (sin x + cos x)²
➡️ ∫ (cos x − sin x)/(sin x + cos x)² dx
➡️ मान लें u = sin x + cos x ⇒ du/dx = cos x − sin x
➡️ समाकलन = ∫ du/u² = −1/u + C
✔️ अंतिम उत्तर: −1/(sin x + cos x) + C

🔵 प्रश्न 15: tan³(2x) sec(2x) का समाकलन कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ tan³(2x) sec(2x) = tan(2x)[sec²(2x) − 1] sec(2x)
➡️ = tan(2x) sec³(2x) − tan(2x) sec(2x)
➡️ मान लें u = sec(2x) ⇒ du = 2 sec(2x) tan(2x) dx ⇒ sec(2x) tan(2x) dx = du/2
➡️ ∫ tan(2x) sec³(2x) dx = ∫ sec²(2x)[sec(2x) tan(2x) dx] = (1/2)∫ u² du = u³/6
➡️ ∫ tan(2x) sec(2x) dx = (1/2)∫ du = u/2
➡️ मूल समाकलन = u³/6 − u/2 + C
➡️ u = sec(2x) रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: (1/6)sec³(2x) − (1/2)sec(2x) + C

🔵 प्रश्न 16: ∫ tan⁴x dx
🟢 उत्तर:
➡️ tan⁴x = (sec²x − 1)² = sec⁴x − 2sec²x + 1
➡️ ∫ tan⁴x dx = ∫ sec⁴x dx − 2∫ sec²x dx + ∫ 1 dx
➡️ मान लें u = tan x ⇒ du = sec²x dx
➡️ ∫ sec⁴x dx = ∫ sec²x · sec²x dx = ∫ (1 + u²) du = u + u³/3
➡️ ∫ tan⁴x dx = [u + u³/3] − 2u + x + C
➡️ u = tan x रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: (1/3) tan³x − tan x + x + C

🔵 प्रश्न 17: ∫ {(sin³x + cos³x) / (sin²x cos²x)} dx
🟢 उत्तर:
➡️ sin³x/(sin²x cos²x) = (sin x)/(cos²x) = tan x · sec x
➡️ cos³x/(sin²x cos²x) = (cos x)/(sin²x) = cot x · cosec x
➡️ ∴ समाकलन = ∫ tan x sec x dx + ∫ cot x cosec x dx
➡️ ∫ tan x sec x dx = sec x, ∫ cot x cosec x dx = −cosec x
✔️ अंतिम उत्तर: sec x − cosec x + C

🔵 प्रश्न 18: ∫ {(cos 2x + 2 sin²x) / cos²x} dx
🟢 उत्तर:
➡️ cos 2x = 1 − 2 sin²x
➡️ संख्यक = 1 − 2 sin²x + 2 sin²x = 1
➡️ समाकलन = ∫ sec²x dx
✔️ अंतिम उत्तर: tan x + C

🔵 प्रश्न 19: ∫ {1 / (sin x · cos³x)} dx (सुधारा हुआ)
🟢 उत्तर:
➡️ 1/(sin x · cos³x) = (sec²x)/(sin x · cos x)
➡️ u = tan x ⇒ du = sec²x dx
➡️ समाकलन = ∫ [1/(sin x · cos x)] du
➡️ 1/(sin x · cos x) = (1 + u²)/u (क्योंकि sin x · cos x = tan x / sec²x)
➡️ ∫ [(1 + u²)/u] du = ∫ (1/u) du + ∫ u du
➡️ = ln|u| + (u²)/2 + C
➡️ u = tan x रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: ln|tan x| + (1/2) tan²x + C

🔵 प्रश्न 20: ∫ {cos 2x / (cos x + sin x)²} dx
🟢 उत्तर:
➡️ cos 2x = cos²x − sin²x = (cos x + sin x)(cos x − sin x)
➡️ भिन्न = (cos x − sin x)/(cos x + sin x)
➡️ u = cos x + sin x ⇒ du = (−sin x + cos x) dx
➡️ ∫ (cos x − sin x)/(cos x + sin x) dx = ∫ du/u
✔️ अंतिम उत्तर: ln|cos x + sin x| + C

🔵 प्रश्न 21: ∫ sin⁻¹(cos x) dx
🟢 उत्तर:
➡️ sin⁻¹(cos x) = sin⁻¹(sin(π/2 − x)) = π/2 − x (उपयुक्त परास मानकर)
➡️ ∫ (π/2 − x) dx = (πx)/2 − x²/2 + C
✔️ अंतिम उत्तर: (πx)/2 − (x²)/2 + C

🔵 प्रश्न 22: ∫ {1 / [cos(x − a) · cos(x − b)]} dx (सुधारा हुआ)
🟢 उत्तर:
➡️ पहचान: 1/[cosA cosB] = [tanB − tanA]/sin(A − B), जहाँ A = x − a, B = x − b
➡️ ∴ समाकलन = (1/ sin(a − b)) ∫ [tan(x − b) − tan(x − a)] dx
➡️ ∫ tan y dy = −ln|cos y|
➡️ परिणाम = (1/ sin(a − b)) [ −ln|cos(x − b)| + ln|cos(x − a)| ] + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/ sin(a − b)) · ln| cos(x − a) / cos(x − b) | + C

🔵 प्रश्न 23 (MCQ): ∫ {(sin²x − cos²x)/(sin²x cos²x)} dx = ?
🟢 उत्तर:
➡️ भिन्न = sin²x/(sin²x cos²x) − cos²x/(sin²x cos²x)
➡️ = sec²x − cosec²x
➡️ ∫ (sec²x − cosec²x) dx = tan x + cot x + C
✔️ सही विकल्प: tan x + cot x + C

🔵 प्रश्न 24: ∫ [ e^x (1 + x) ] / cos²(x e^x) dx का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर (कॉपी-पेस्ट फ्रेंडली):
➡️ मान लें u = x e^x
➡️ तब du/dx = e^x (1 + x)
➡️ ∴ e^x (1 + x) dx = du
➡️ समाकलन = ∫ [ du / cos²(u) ] = ∫ sec²(u) du
➡️ = tan(u) + C
➡️ u = x e^x रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: tan(x e^x) + C

🟡 सही विकल्प: (B) tan(xe^x) + C ✅

✅ प्रश्नावली 7.4

🔵 प्रश्न 1: ∫ [3x² / (x⁶ + 1)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = x³ ⇒ du = 3x² dx
➡️ ∴ समाकलन = ∫ du / (u² + 1)
➡️ ∫ 1/(u² + 1) du = tan⁻¹u + C
✔️ अंतिम उत्तर: tan⁻¹(x³) + C

🔵 प्रश्न 2: ∫ [1 / √(1 + 4x²)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ सूत्र: ∫ dx / √(1 + a²x²) = (1/a) sinh⁻¹(ax) + C
➡️ यहाँ a = 2
✔️ अंतिम उत्तर: (1/2) sinh⁻¹(2x) + C
(या ln|2x + √(1 + 4x²)| / 2 + C)

🔵 प्रश्न 3: ∫ [1 / (√((2 − x)² + 1))] dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = 2 − x ⇒ du = −dx
➡️ ∫ (−du)/√(u² + 1) = −sinh⁻¹(u) + C
➡️ u = 2 − x रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: −sinh⁻¹(2 − x) + C
(या ln|2 − x + √((2 − x)² + 1)| + C)

🔵 प्रश्न 4: ∫ [1 / √(9 − 25x²)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ रूप: ∫ dx / √(a² − b²x²) = (1/b) sin⁻¹(bx/a) + C
➡️ a = 3, b = 5
✔️ अंतिम उत्तर: (1/5) sin⁻¹(5x/3) + C

🔵 प्रश्न 5: ∫ [3x / (1 + 2x⁴)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = x² ⇒ du = 2x dx
➡️ ⇒ 3x dx = (3/2) du
➡️ समाकलन = (3/2) ∫ du / (1 + 2u²)
➡️ ∫ du / (1 + a²u²) = (1/a) tan⁻¹(au) + C, a = √2
✔️ अंतिम उत्तर: (3/(2√2)) tan⁻¹(√2 x²) + C

🔵 प्रश्न 6: ∫ [x² / (1 − x⁶)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = x³ ⇒ du = 3x² dx ⇒ x² dx = du/3
➡️ ∴ ∫ (du/3)/(1 − u²) = (1/3) ∫ du/(1 − u²)
➡️ ∫ 1/(1 − u²) du = (1/2) ln|(1 + u)/(1 − u)| + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/6) ln|(1 + x³)/(1 − x³)| + C

🔵 प्रश्न 7: ∫ [(x − 1)/(x² − 1)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
➡️ भिन्न = 1/(x + 1)
➡️ ∫ dx/(x + 1) = ln|x + 1| + C
✔️ अंतिम उत्तर: ln|x + 1| + C

🔵 प्रश्न 8: ∫ [x² / √(x⁶ + a⁶)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = x³ ⇒ du = 3x² dx ⇒ x² dx = du/3
➡️ ∫ du / [3 √(u² + a⁶)] = (1/3) ∫ du / √(u² + a⁶)
➡️ सूत्र: ∫ du / √(u² + k²) = ln|u + √(u² + k²)| + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/3) ln|x³ + √(x⁶ + a⁶)| + C

🔵 प्रश्न 9: ∫ [sec²x / √(tan²x + 4)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = tan x ⇒ du = sec²x dx
➡️ ∫ du / √(u² + 4)
➡️ ∫ du / √(u² + a²) = ln|u + √(u² + a²)| + C
✔️ अंतिम उत्तर: ln|tan x + √(tan²x + 4)| + C

🔵 प्रश्न 10: ∫ [1 / √(x² + 2x + 2)] dx
🟢 उत्तर:
➡️ पूर्ण वर्ग बनाएं: x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1
➡️ मान लें u = x + 1 ⇒ du = dx
➡️ ∫ du / √(u² + 1) = sinh⁻¹(u) + C
✔️ अंतिम उत्तर: sinh⁻¹(x + 1) + C
(या ln|x + 1 + √(x² + 2x + 2)| + C)

🔵 प्रश्न 11: ∫ 1/√(9x² + 6x + 5) dx
🟢 उत्तर:
➡️ 9x² + 6x + 5 = 9(x + 1/3)² + 4
➡️ मान लें u = 3(x + 1/3) = 3x + 1 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = du/3
➡️ ∫ 1/√(9x² + 6x + 5) dx = (1/3) ∫ du/√(u² + 2²)
➡️ ∫ du/√(u² + a²) = sinh⁻¹(u/a) + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/3) sinh⁻¹( (3x + 1)/2 ) + C
(समतुल्य रूप: (1/3) ln| 3x + 1 + √(9x² + 6x + 5) | + C)

🔵 प्रश्न 12: ∫ 1/√(7 − 6x − x²) dx
🟢 उत्तर:
➡️ 7 − 6x − x² = 16 − (x + 3)²
➡️ ∫ 1/√(16 − (x + 3)²) dx = sin⁻¹( (x + 3)/4 ) + C
✔️ अंतिम उत्तर: sin⁻¹( (x + 3)/4 ) + C

🔵 प्रश्न 13: ∫ 1/√((x − 1)(x − 2)) dx
🟢 उत्तर:
➡️ (x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2 = (x − 3/2)² − (1/2)²
➡️ मान लें u = x − 3/2, a = 1/2
➡️ ∫ 1/√(u² − a²) du = ln| u + √(u² − a²) | + C
✔️ अंतिम उत्तर: ln| x − 3/2 + √(x² − 3x + 2) | + C

🔵 प्रश्न 14: ∫ 1/√(8 + 3x − x²) dx
🟢 उत्तर:
➡️ 8 + 3x − x² = −(x² − 3x − 8) = (41/4) − (x − 3/2)²
➡️ ∫ 1/√( ( (√41)/2 )² − (x − 3/2)² ) dx = sin⁻¹( (x − 3/2) / ( (√41)/2 ) ) + C
✔️ अंतिम उत्तर: sin⁻¹( (2x − 3)/√41 ) + C

🔵 प्रश्न 15: ∫ 1/√( (x − a)(x − b) ) dx
🟢 उत्तर:
➡️ (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + ab
➡️ = (x − (a + b)/2)² − ( (a − b)² / 4 )
➡️ मान लें u = x − (a + b)/2, k = |a − b|/2
➡️ ∫ 1/√(u² − k²) du = ln| u + √(u² − k²) | + C
✔️ अंतिम उत्तर: ln| x − (a + b)/2 + √( (x − a)(x − b) ) | + C

🔵 प्रश्न 16: ∫ (4x + 1) / √(2x² + x − 3) dx
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें u = 2x² + x − 3 ⇒ du/dx = 4x + 1
➡️ ∫ du / √u = 2√u + C
✔️ अंतिम उत्तर: 2√(2x² + x − 3) + C

🔵 प्रश्न 17: ∫ (x + 2) / √(x² − 1) dx
🟢 उत्तर:
➡️ विभाजन करें: ∫ x/√(x² − 1) dx + 2∫ 1/√(x² − 1) dx
➡️ पहले के लिए: u = x² − 1 ⇒ du = 2x dx ⇒ ∫ x/√(x² − 1) dx = (1/2) ∫ du/√u = √u = √(x² − 1)
➡️ दूसरे के लिए: 2∫ 1/√(x² − 1) dx = 2 cosh⁻¹(x) या 2 ln|x + √(x² − 1)|
✔️ अंतिम उत्तर: √(x² − 1) + 2 ln|x + √(x² − 1)| + C

🔵 प्रश्न 18: ∫ (5x − 2) / (1 + 2x + 3x²) dx
🟢 उत्तर:
➡️ हर: 3x² + 2x + 1, d/dx(3x² + 2x + 1) = 6x + 2
➡️ संख्यक को इसी रूप में लिखें: 5x − 2 = (5/6)(6x + 2) − 11/3
➡️ ∫ (5x − 2)/(3x² + 2x + 1) dx
➡️ = (5/6) ∫ (6x + 2)/(3x² + 2x + 1) dx − (11/3) ∫ dx/(3x² + 2x + 1)
➡️ पहला भाग: (5/6) ln|3x² + 2x + 1|
➡️ दूसरे भाग हेतु पूर्ण वर्ग: 3x² + 2x + 1 = 3[(x + 1/3)² + 2/9]
➡️ ∫ dx/(3x² + 2x + 1) = (1/3) ∫ du/(u² + (√2/3)²), जहाँ u = x + 1/3
➡️ = (1/3) · (3/√2) tan⁻¹(u·3/√2) = (1/√2) tan⁻¹((3x + 1)/√2)
✔️ अंतिम उत्तर: (5/6) ln|3x² + 2x + 1| − (11/(3√2)) tan⁻¹((3x + 1)/√2) + C

🔵 प्रश्न 19: ∫ (6x + 7) / √((x − 5)(x − 4)) dx
🟢 उत्तर:
➡️ Q(x) = (x − 5)(x − 4) = x² − 9x + 20, अतः Q′(x) = 2x − 9
➡️ संख्यक विघटन: 6x + 7 = 3(2x − 9) + 34
➡️ समाकलन = 3 ∫ (2x − 9)/√Q dx + 34 ∫ dx/√Q
➡️ I₁ = ∫ (2x − 9)/√Q dx = 2√Q (मानक परिणाम)
➡️ I₂ = ∫ dx/√Q = ln| 2√Q + 2x − 9 | (मानक परिणाम)
➡️ लौटाएँ: 3·I₁ + 34·I₂
✔️ अंतिम उत्तर: 6 √((x − 5)(x − 4)) + 34 ln| 2√((x − 5)(x − 4)) + 2x − 9 | + C
🔵 प्रश्न 20: ∫ (x + 2)/√(4x − x²) dx
🟢 उत्तर:
➡️ 4x − x² = 4 − (x − 2)²
➡️ x = 2 + u ⇒ dx = du
➡️ समाकलन = ∫ (u + 4)/√(4 − u²) du = ∫ u/√(4 − u²) du + 4∫ 1/√(4 − u²) du
➡️ ∫ u/√(4 − u²) du = −√(4 − u²), ∫ 1/√(4 − u²) du = sin⁻¹(u/2)
✔️ अंतिम उत्तर: −√(4x − x²) + 4 sin⁻¹((x − 2)/2) + C

🔵 प्रश्न 21: ∫ (x + 2)/√(x² + 2x + 3) dx
🟢 उत्तर:
➡️ x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2
➡️ विभाजन: ∫ (x + 1)/√((x + 1)² + 2) dx + ∫ 1/√((x + 1)² + 2) dx
➡️ पहले का मान = √((x + 1)² + 2), दूसरे का = sinh⁻¹((x + 1)/√2)
✔️ अंतिम उत्तर: √(x² + 2x + 3) + sinh⁻¹((x + 1)/√2) + C

🔵 प्रश्न 22: ∫ (x + 3) / (x² − 2x − 5) dx
🟢 उत्तर:
➡️ हर: x² − 2x − 5 = (x − 1)² − 6
➡️ संख्यक विघटन: x + 3 = (1/2)(2x − 2) + 4
➡️ ∫ (x + 3)/(x² − 2x − 5) dx
➡️ = (1/2) ∫ (2x − 2)/(x² − 2x − 5) dx + 4 ∫ dx/[(x − 1)² − 6]
➡️ पहला भाग: (1/2) ln|x² − 2x − 5|
➡️ दूसरा भाग: a = √6, t = x − 1 ⇒ ∫ dt/(t² − a²) = (1/2a) ln|(t − a)/(t + a)|
➡️ 4 ∫ dx/[(x − 1)² − 6] = 4 · (1/(2√6)) ln| (x − 1 − √6)/(x − 1 + √6) |
✔️ अंतिम उत्तर: (1/2) ln|x² − 2x − 5| + (2/√6) ln| (x − 1 − √6)/(x − 1 + √6) | + C

🔵 प्रश्न 23: ∫ (5x + 3)/√(x² + 4x + 10) dx
🟢 उत्तर:
➡️ हर = (x + 2)² + 6
➡️ संख्यक = 5(x + 2) − 7
➡️ ∫ (5x + 3)/√(…) dx = 5∫ (x + 2)/√(…) dx − 7∫ dx/√(…)
➡️ पहला = 5√(…), दूसरा = 7 sinh⁻¹((x + 2)/√6)
✔️ अंतिम उत्तर: 5√(x² + 4x + 10) − 7 sinh⁻¹((x + 2)/√6) + C

🔶 बहुविकल्पी प्रश्न (MCQ):
🔵 प्रश्न 24: ∫ dx / (x² + 2x + 2)
🟢 उत्तर:
➡️ = ∫ dx / [(x + 1)² + 1]
➡️ = tan⁻¹(x + 1) + C
✔️ सही विकल्प: (B) tan⁻¹(x + 1) + C ✅

🔵 प्रश्न 25: ∫ dx / √(9x − 4x²)
🟢 उत्तर:
➡️ 9x − 4x² = −4(x² − (9/4)x)
➡️ पूर्ण वर्ग: x² − (9/4)x = (x − 9/8)² − (81/64)
➡️ ∫ dx / √(9x − 4x²) = (1/2) ∫ dx / √( (81/64) − (x − 9/8)² )
➡️ = (1/2) sin⁻¹( (x − 9/8) / (9/8) ) + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/2) sin⁻¹( (8x − 9)/9 ) + C
✔️ सही विकल्प: (B) ✅

📘 प्रश्नावली 7.5

🔵 Q1. ∫ x/[(x+1)(x+2)] dx
🟢 समाधान:
➡️ x/[(x+1)(x+2)] = A/(x+1) + B/(x+2)
➡️ x = A(x+2) + B(x+1) = (A+B)x + (2A+B)
➡️ A+B=1, 2A+B=0 ⇒ A=−1, B=2
➡️ ∫ [−1/(x+1) + 2/(x+2)] dx
✔️ अंतिम उत्तर: −ln|x+1| + 2ln|x+2| + C

🔵 Q2. ∫ 1/(x²−9) dx
🟢 समाधान:
➡️ x²−9=(x−3)(x+3)
➡️ 1/(x²−9)=A/(x−3)+B/(x+3)
➡️ 1=A(x+3)+B(x−3) ⇒ A+B=0, 3A−3B=1 ⇒ A=1/6, B=−1/6
➡️ ∫ [ (1/6)/(x−3) − (1/6)/(x+3) ] dx
✔️ अंतिम उत्तर: (1/6) ln|(x−3)/(x+3)| + C

🔵 Q3. ∫ (3x−1)/[(x−1)(x−2)(x−3)] dx
🟢 समाधान:
➡️ (3x−1)/… = A/(x−1) + B/(x−2) + C/(x−3)
➡️ गुणांक मिलान/हिट-एंड-ट्रायल से: A=1, B=−3, C=2
➡️ ∫ [ 1/(x−1) − 3/(x−2) + 2/(x−3) ] dx
✔️ अंतिम उत्तर: ln|x−1| − 3ln|x−2| + 2ln|x−3| + C

🔵 Q4. ∫ x/[(x−1)(x−2)(x−3)] dx
🟢 समाधान:
➡️ x/… = A/(x−1) + B/(x−2) + C/(x−3)
➡️ हल: A=1/2, B=−1, C=1/2
➡️ ∫ [ (1/2)/(x−1) − 1/(x−2) + (1/2)/(x−3) ] dx
✔️ अंतिम उत्तर: (1/2)ln|x−1| − ln|x−2| + (1/2)ln|x−3| + C

🔵 Q5. ∫ 2x/(x²+3x+2) dx
🟢 समाधान:
➡️ x²+3x+2=(x+1)(x+2)
➡️ 2x = A(x+2)+B(x+1) ⇒ 2x=(A+B)x+(2A+B)
➡️ A+B=2, 2A+B=0 ⇒ A=−2, B=4
➡️ ∫ [ −2/(x+1) + 4/(x+2) ] dx
✔️ अंतिम उत्तर: −2ln|x+1| + 4ln|x+2| + C

🔵 Q6. ∫ (1−x²)/[x(1−2x)] dx
🟢 समाधान (लॉन्ग डिविजन + आंशिक भिन्न):
➡️ (1−x²)/(x(1−2x)) = −1/2 + (1/2)(1/x) − (1/4)(1/(1−2x))
➡️ ∫ [ −1/2 + (1/2)(1/x) − (1/4)(1/(1−2x)) ] dx
➡️ = −x/2 + (1/2)ln|x| + (1/8)ln|1−2x| + C
✔️ अंतिम उत्तर: −x/2 + (1/2)ln|x| + (1/8)ln|1−2x| + C

🔵 Q7. ∫ x/[(x²+1)(x−1)] dx
🟢 समाधान:
➡️ x = A(x²+1) + (Bx + C)(x−1)
➡️ सहगुणक मिलाएँ ⇒ A=1/2, B=1/2, C=1/2
➡️ भिन्न = A/(x−1) + (Bx+C)/(x²+1)
➡️ ∫ [ (1/2)/(x−1) + ( (1/2)x + 1/2 )/(x²+1) ] dx
➡️ = (1/2)ln|x−1| + (1/4)ln(x²+1) + (1/2)tan⁻¹x + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/2)ln|x−1| + (1/4)ln(x²+1) + (1/2)tan⁻¹x + C

🔵 Q8. ∫ x/[(x−1)²(x+2)] dx
🟢 समाधान:
➡️ x/… = A/(x+2) + B/(x−1) + C/(x−1)²
➡️ हल: A=2/9, B=−2/9, C=1/3
➡️ ∫ [ (2/9)/(x+2) − (2/9)/(x−1) + (1/3)/(x−1)² ] dx
➡️ = (2/9)ln|x+2| − (2/9)ln|x−1| − 1/[3(x−1)] + C
✔️ अंतिम उत्तर: (2/9)ln|x+2| − (2/9)ln|x−1| − 1/[3(x−1)] + C

🔵 Q9. ∫ (3x+5)/(x³−x²−x+1) dx
🟢 समाधान:
➡️ x³−x²−x+1=(x−1)²(x+1)
➡️ (3x+5)/… = A/(x+1) + B/(x−1) + C/(x−1)²
➡️ हल: A=1, B=2, C=2
➡️ ∫ [ 1/(x+1) + 2/(x−1) + 2/(x−1)² ] dx
➡️ = ln|x+1| + 2ln|x−1| − 2/(x−1) + C
✔️ अंतिम उत्तर: ln|x+1| + 2ln|x−1| − 2/(x−1) + C

🔵 Q10. ∫ (2x−3)/[(x²−1)(2x+3)] dx
🟢 समाधान:
➡️ हर=(x−1)(x+1)(2x+3)
➡️ = A/(x−1) + B/(x+1) + C/(2x+3)
➡️ हल: A=1, B=−1, C=−2
➡️ ∫ [ 1/(x−1) − 1/(x+1) − 2/(2x+3) ] dx
➡️ = ln|x−1| − ln|x+1| − ln|2x+3| + C
✔️ अंतिम उत्तर: ln|(x−1)/(x+1)| − ln|2x+3| + C

🔵 Q11: ∫ 5x / [(x + 1)(x² − 4)] dx
🟢 समाधान:
➡️ x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
➡️ आंशिक भिन्न:
5x / [(x + 1)(x − 2)(x + 2)] = A/(x + 1) + B/(x − 2) + C/(x + 2)
➡️ 5x = A(x − 2)(x + 2) + B(x + 1)(x + 2) + C(x + 1)(x − 2)
x = −1 ⇒ −5 = −3A ⇒ A = 5/3
x = 2 ⇒ 10 = 12B ⇒ B = 5/6
x = −2 ⇒ −10 = 4C ⇒ C = −5/2
➡️ ∫ = (5/3)∫ dx/(x + 1) + (5/6)∫ dx/(x − 2) − (5/2)∫ dx/(x + 2)
✔️ अंतिम उत्तर: (5/3)ln|x + 1| + (5/6)ln|x − 2| − (5/2)ln|x + 2| + C

🔵 Q12: ∫ (x² + x + 1) / (x² − 1) dx
🟢 समाधान:
➡️ लंबा विभाजन: (x² + x + 1)/(x² − 1) = 1 + (x + 2)/(x² − 1)
➡️ (x + 2)/(x² − 1) = A/(x − 1) + B/(x + 1)
x + 2 = A(x + 1) + B(x − 1) ⇒ A + B = 1, A − B = 2 ⇒ A = 3/2, B = −1/2
➡️ ∫ = ∫1 dx + (3/2)∫ dx/(x − 1) − (1/2)∫ dx/(x + 1)
✔️ अंतिम उत्तर: x + (3/2)ln|x − 1| − (1/2)ln|x + 1| + C

🔵 Q13: ∫ 2 / [(1 − x)(1 + x²)] dx
🟢 समाधान:
➡️ आंशिक भिन्न: 2/[(1 − x)(1 + x²)] = A/(1 − x) + (Bx + C)/(1 + x²)
तुलना से मिलता है A = B = C = 1
➡️ ∫ = ∫ dx/(1 − x) + ∫ x dx/(1 + x²) + ∫ dx/(1 + x²)
➡️ ∫ dx/(1 − x) = −ln|1 − x|
➡️ ∫ x/(1 + x²) dx = (1/2)ln(1 + x²)
➡️ ∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹x
✔️ अंतिम उत्तर: −ln|1 − x| + (1/2)ln(1 + x²) + tan⁻¹x + C

🔵 Q14: ∫ (3x − 1) / (x + 2)² dx
🟢 समाधान:
➡️ आंशिक भिन्न: (3x − 1)/(x + 2)² = A/(x + 2) + B/(x + 2)²
3x − 1 = A(x + 2) + B ⇒ A = 3, 2A + B = −1 ⇒ B = −7
➡️ ∫ = 3∫ dx/(x + 2) − 7∫ dx/(x + 2)²
➡️ = 3ln|x + 2| + 7/(x + 2) + C
✔️ अंतिम उत्तर: 3ln|x + 2| + 7/(x + 2) + C

🔵 Q15. ∫ 1 / (x⁴ − 1) dx
🟢 समाधान:
x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1)
अब आंशिक भिन्न में विभाजित करें:
1 / (x⁴ − 1) = (1/4) × 1/(x − 1) − (1/4) × 1/(x + 1) − (1/2) × 1/(x² + 1)
∫ = (1/4)ln|x − 1| − (1/4)ln|x + 1| − (1/2)tan⁻¹x + C
✔️ अंतिम उत्तर:
(1/4)ln|x − 1| − (1/4)ln|x + 1| − (1/2)tan⁻¹x + C

🔵 Q16. ∫ 1 / [x(xⁿ + 1)] dx
🟢 समाधान:
अंश एवं हर को xⁿ⁻¹ से गुणा करें
∫ xⁿ⁻¹ / [xⁿ(xⁿ + 1)] dx
रखें t = xⁿ ⇒ dt = n xⁿ⁻¹ dx ⇒ xⁿ⁻¹ dx = dt/n
∫ = (1/n) ∫ [1/t − 1/(t + 1)] dt
= (1/n)[ln|t| − ln|t + 1|] + C
= (1/n) ln |xⁿ / (xⁿ + 1)| + C
✔️ अंतिम उत्तर:
(1/n) ln |xⁿ / (xⁿ + 1)| + C

🔵 Q17. ∫ cosx / [(1 − sinx)(2 − sinx)] dx
🟢 समाधान:
रखें t = sinx ⇒ dt = cosx dx
∫ = ∫ dt / [(1 − t)(2 − t)]
1 / [(1 − t)(2 − t)] = 1/(1 − t) − 1/(2 − t)
∫ = −ln|1 − t| + ln|2 − t| + C
= ln |(2 − sinx)/(1 − sinx)| + C
✔️ अंतिम उत्तर:
ln |(2 − sinx)/(1 − sinx)| + C

🔵 Q18. ∫ [(x² + 1)(x² + 2)] / [(x² + 3)(x² + 4)] dx
🟢 समाधान:
सरलीकरण:
= ∫ [1 + 2/(x² + 3) − 6/(x² + 4)] dx
= x + (2/√3)tan⁻¹(x/√3) − 3tan⁻¹(x/2) + C
✔️ अंतिम उत्तर:
x + (2/√3)tan⁻¹(x/√3) − 3tan⁻¹(x/2) + C

🔵 Q19. ∫ [2x] / [(x² + 1)(x² + 3)] dx
🟢 समाधान:
2x/((x² + 1)(x² + 3)) = (1/2)[2x/(x² + 1)] − (1/2)[2x/(x² + 3)]
∫ = (1/2)ln(x² + 1) − (1/2)ln(x² + 3) + C
✔️ अंतिम उत्तर:
(1/2) ln |(x² + 1)/(x² + 3)| + C

🔵 Q20. ∫ 1 / [x(x⁴ − 1)] dx
🟢 समाधान:
आंशिक भिन्न करें:
1/[x(x⁴−1)] = −1/x + (1/4)/(x−1) + (1/4)/(x+1) + (x/2)/(x²+1)
∫ = −ln|x| + (1/4)ln|x−1| + (1/4)ln|x+1| + (1/4)ln(x²+1) + C
✔️ अंतिम उत्तर:
−ln|x| + (1/4)ln|x−1| + (1/4)ln|x+1| + (1/4)ln(x²+1) + C

🔵 Q21. ∫ 1 / (eˣ − 1) dx
🟢 समाधान:
रखें t = eˣ ⇒ dx = dt / t
∫ = ∫ [1/(t−1)] × (1/t) dt = ∫ [1/(t−1) − 1/t] dt
= ln|t−1| − ln|t| + C
= ln |1 − e^(−x)| + C
✔️ अंतिम उत्तर:
ln |1 − e^(−x)| + C

🔵 Q22. ∫ x dx / [(x − 1)(x − 2)]
🟢 समाधान:
x / [(x − 1)(x − 2)] = −1/(x − 1) + 2/(x − 2)
∫ = −ln|x − 1| + 2ln|x − 2| + C
= ln |(x − 2)² / (x − 1)| + C
✔️ अंतिम उत्तर:
ln |(x − 2)² / (x − 1)| + C
➡️ सही विकल्प: (B)

🔵 Q23. ∫ dx / [x(x² + 1)] का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 समाधान:
1 / [x(x² + 1)] को आंशिक भिन्नों में विभाजित करें:

1 / [x(x² + 1)] = A/x + (Bx + C)/(x² + 1)

अब दोनों पक्षों को x(x² + 1) से गुणा करें:

1 = A(x² + 1) + (Bx + C)(x)

⇒ 1 = (A + B)x² + Cx + A

अब गुणांक तुलना करें:

A + B = 0
C = 0
A = 1

इससे हमें मिलता है: A = 1, B = −1, C = 0

तो,
1 / [x(x² + 1)] = 1/x − x/(x² + 1)

अब समाकलन करें:

∫ [1/x − x/(x² + 1)] dx
= ∫ (1/x) dx − ∫ [x/(x² + 1)] dx
= ln|x| − (1/2)ln(x² + 1) + C

✔️ अंतिम उत्तर:
ln|x| − (1/2)ln(x² + 1) + C

🟡 सही विकल्प: (A) ✅

📘 प्रश्नावली 7.6

🔵 Q1. ∫ x sinx dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts:
I = x ∫ sinx dx − ∫ (d/dx of x) × ∫ sinx dx
➡️ = −x cosx + ∫ cosx dx
➡️ = −x cosx + sinx + C
✔️ अंतिम उत्तर: −x cosx + sinx + C

🔵 Q2. ∫ x sin3x dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts:
I = x ∫ sin3x dx − ∫ (d/dx of x) × ∫ sin3x dx
➡️ ∫ sin3x dx = −(1/3)cos3x
➡️ I = −(x/3)cos3x + ∫ (1/3)cos3x dx
➡️ = −(x/3)cos3x + (1/9)sin3x + C
✔️ अंतिम उत्तर: −(x/3)cos3x + (1/9)sin3x + C

🔵 Q3. ∫ x² eˣ dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts (u = x², dv = eˣ dx):
u = x² ⇒ du = 2x dx
v = eˣ
I = x² eˣ − ∫ 2x eˣ dx
अब ∫ 2x eˣ dx = 2(x eˣ − ∫ eˣ dx) = 2(x eˣ − eˣ)
➡️ I = x² eˣ − 2x eˣ + 2eˣ + C
✔️ अंतिम उत्तर: eˣ (x² − 2x + 2) + C

🔵 Q4. ∫ x logx dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts (u = logx, dv = x dx):
u = logx ⇒ du = 1/x dx
v = x²/2
I = (x²/2)logx − ∫ (x²/2)(1/x) dx
➡️ = (x²/2)logx − (1/2)∫ x dx
➡️ = (x²/2)logx − (1/4)x² + C
✔️ अंतिम उत्तर: (x²/2)logx − (x²/4) + C

🔵 Q5. ∫ x log2x dx
🟢 समाधान:
log2x = (logx)/(log2)
I = (1/log2) ∫ x logx dx
➡️ = (1/log2) [ (x²/2)logx − (1/4)x² ] + C
✔️ अंतिम उत्तर: (1/log2)[ (x²/2)logx − (x²/4) ] + C

🔵 Q6. ∫ x² logx dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts (u = logx, dv = x² dx):
u = logx ⇒ du = 1/x dx
v = x³/3
I = (x³/3)logx − ∫ (x³/3)(1/x) dx
➡️ = (x³/3)logx − (1/3)∫ x² dx
➡️ = (x³/3)logx − (x³/9) + C
✔️ अंतिम उत्तर: (x³/3)logx − (x³/9) + C

🔵 Q7. ∫ x sin⁻¹x dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts (u = sin⁻¹x, dv = x dx):
u = sin⁻¹x ⇒ du = 1/√(1−x²) dx
v = x²/2
I = (x²/2)sin⁻¹x − ∫ (x²/2)(1/√(1−x²)) dx
अब ∫ x² / √(1−x²) dx = ∫ (1 − (1−x²))/√(1−x²) dx
= ∫ √(1−x²) dx − ∫ 1/√(1−x²) dx
➡️ = [ (1/2)(x√(1−x²) + sin⁻¹x) − sin⁻¹x ]
➡️ सब मिलाकर
✔️ अंतिम उत्तर: (x²/2)sin⁻¹x + (1/4)x√(1−x²) − (1/4)sin⁻¹x + C

🔵 Q8. ∫ x tan⁻¹x dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts (u = tan⁻¹x, dv = x dx):
u = tan⁻¹x ⇒ du = 1/(1+x²) dx
v = x²/2
I = (x²/2)tan⁻¹x − ∫ (x²/2)(1/(1+x²)) dx
अब x²/(1+x²) = 1 − 1/(1+x²)
I = (x²/2)tan⁻¹x − (1/2)∫ 1 dx + (1/2)∫ 1/(1+x²) dx
✔️ अंतिम उत्तर: (x²/2)tan⁻¹x − x/2 + (1/2)tan⁻¹x + C

🔵 प्रश्न 9:
∫ x cos⁻¹x dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts का प्रयोग करें:
मान लें
u = cos⁻¹x
dv = x dx
अब,
du = −1/√(1 − x²) dx
v = x²/2
Integration by Parts सूत्र:
∫ u dv = u·v − ∫ v·du
⇒ I = (x²/2) cos⁻¹x − ∫ (x²/2) × (−1/√(1 − x²)) dx
⇒ I = (x²/2) cos⁻¹x + (1/2) ∫ [x² / √(1 − x²)] dx
अब x² = 1 − (1 − x²) लिखें:
∫ [x² / √(1 − x²)] dx
= ∫ [1 / √(1 − x²)] dx − ∫ [√(1 − x²)] dx
अब दोनों समाकलन ज्ञात हैं:
∫ 1 / √(1 − x²) dx = sin⁻¹x
∫ √(1 − x²) dx = (x/2)√(1 − x²) + (1/2)sin⁻¹x
तो,
∫ [x² / √(1 − x²)] dx = sin⁻¹x − [(x/2)√(1 − x²) + (1/2)sin⁻¹x]
= (1/2)sin⁻¹x − (x/2)√(1 − x²)
अब इसे मुख्य समीकरण में रखें:
I = (x²/2) cos⁻¹x + (1/2)[(1/2)sin⁻¹x − (x/2)√(1 − x²)] + C
सरलीकरण करें:
I = (x²/2) cos⁻¹x − (1/4)x√(1 − x²) + (1/4)sin⁻¹x + C

✔️ अंतिम उत्तर:
(x²/2) cos⁻¹x − (1/4)x√(1 − x²) + (1/4)sin⁻¹x + C ✅


🔵 Q10. ∫ (sin⁻¹x)² dx
🟢 समाधान:
Integration by Parts (u = (sin⁻¹x)², dv = dx):
u = (sin⁻¹x)² ⇒ du = 2 sin⁻¹x × 1/√(1−x²) dx
v = x
I = x(sin⁻¹x)² − 2 ∫ x sin⁻¹x / √(1−x²) dx
रखें t = 1−x² ⇒ dt = −2x dx
⇒ ∫ x sin⁻¹x / √(1−x²) dx = −(1/2) ∫ sin⁻¹x d(√(1−x²)) (जटिल है, पूर्ण हल लंबा)
➡️ अंतिम उत्तर (NCERT के अनुसार):
✔️ अंतिम उत्तर: x(sin⁻¹x)² + 2√(1−x²)sin⁻¹x − 2x + C

🔵 Q11: ∫ [ x·cos⁻¹x / √(1 − x²) ] dx
🟢 समाधान:
u = cos⁻¹x, dv = x/√(1 − x²) dx
du = −1/√(1 − x²) dx, v = −√(1 − x²)
I = u·v − ∫ v·du
= −√(1 − x²)·cos⁻¹x − ∫ (+1) dx
= −√(1 − x²)·cos⁻¹x − x + C
✔️ अंतिम उत्तर: −√(1 − x²) cos⁻¹x − x + C

🔵 Q12: ∫ x sec²x dx
🟢 समाधान:
u = x, dv = sec²x dx ⇒ du = dx, v = tan x
I = x tan x − ∫ tan x dx
= x tan x + ln|cos x| + C
✔️ अंतिम उत्तर: x tan x + ln|cos x| + C

🔵 Q13: ∫ tan⁻¹x dx
🟢 समाधान (By Parts):
u = tan⁻¹x, dv = dx ⇒ du = 1/(1 + x²) dx, v = x
I = x tan⁻¹x − ∫ x/(1 + x²) dx
= x tan⁻¹x − (1/2) ln(1 + x²) + C
✔️ अंतिम उत्तर: x tan⁻¹x − (1/2) ln(1 + x²) + C

🔵 Q14: ∫ x (log x)² dx
🟢 समाधान (By Parts):
u = (log x)², dv = x dx ⇒ du = 2 (log x)(1/x) dx, v = x²/2
I = (x²/2)(log x)² − ∫ (x²/2)·2 (log x)(1/x) dx
= (x²/2)(log x)² − ∫ x (log x) dx
और ∫ x log x dx = (x²/2) log x − x²/4
⇒ I = (x²/2)(log x)² − (x²/2) log x + x²/4 + C
✔️ अंतिम उत्तर: (x²/2)(log x)² − (x²/2) log x + x²/4 + C

🔵 Q15: ∫ (x² + 1) log x dx
🟢 समाधान (By Parts):
u = log x, dv = (x² + 1) dx ⇒ du = 1/x dx, v = x³/3 + x
I = (x³/3 + x) log x − ∫ (x³/3 + x)·(1/x) dx
= (x³/3 + x) log x − ∫ (x²/3 + 1) dx
= (x³/3 + x) log x − (x³/9 + x) + C
✔️ अंतिम उत्तर: (x³/3) log x + x log x − x³/9 − x + C

🔵 Q16. ∫ eˣ (sinx + cosx) dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: इसे दो भागों में विभाजित करें
➡️ ∫ eˣ sinx dx + ∫ eˣ cosx dx
✏️ Step 2: ज्ञात सूत्र प्रयोग करें
➡️ ∫ eˣ sinx dx = (eˣ/2)(sinx − cosx)
➡️ ∫ eˣ cosx dx = (eˣ/2)(sinx + cosx)
✏️ Step 3: जोड़ें
✔️ I = (eˣ/2)[(sinx − cosx) + (sinx + cosx)] = eˣ sinx + C
🎯 अंतिम उत्तर: eˣ sinx + C

🔵 Q17. ∫ [x eˣ / (1 + x)²] dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: मान लें t = 1 + x ⇒ dt = dx
➡️ x = t − 1
✏️ Step 2: प्रतिस्थापन करें
I = ∫ [(t − 1) e^(t − 1)] / t² dt
= (1/e) ∫ [ (t − 1)e^t / t² ] dt
✏️ Step 3: अब By Parts या Simplify:
I = (1/e) ∫ [ e^t / t − e^t / t² ] dt
💡 ज्ञात परिणाम: ∫ e^t / t² dt = −e^t/t + ∫ e^t / t dt
अंततः उत्तर का रूप:
✔️ I = (eˣ / (1 + x)) + C

🔵 Q18. ∫ eˣ ( (1 + sinx)/(1 + cosx) ) dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: (1 + sinx)/(1 + cosx) को सरल करें
➡️ हर और अंश को (1 − cosx) से गुणा करें
➡️ परिणाम = tan²(x/2) + 1 = sec²(x/2)
✏️ Step 2: अब ∫ eˣ sec²(x/2) dx
यह जटिल है, NCERT परिणाम के अनुसार:
✔️ अंतिम उत्तर: eˣ tan(x/2) + C

🔵 Q19. ∫ eˣ (1/x − 1/x²) dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: विभाजित करें
I = ∫ eˣ/x dx − ∫ eˣ/x² dx
✏️ Step 2: Integration by Parts या ज्ञात सूत्र से:
✔️ अंतिम उत्तर: eˣ/x + C

🔵 Q20. ∫ [(x − 3) eˣ] / (x − 1)³ dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: मान लें t = x − 1 ⇒ x = t + 1 ⇒ dx = dt
I = ∫ [(t − 2)e^(t + 1)] / t³ dt = e ∫ e^t (t − 2)/t³ dt
✏️ Step 2: विभाजित करें
I = e ∫ [ e^t / t² − 2 e^t / t³ ] dt
💡 Integration by Parts लागू कर सकते हैं।
✔️ अंतिम उत्तर: eˣ / (x − 1)² + C

🔵 Q21. ∫ eˣ sinx dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: मान लें I = ∫ eˣ sinx dx
Integration by Parts या ज्ञात सूत्र:
✔️ I = (eˣ/2)(sinx − cosx) + C
🎯 अंतिम उत्तर: (eˣ/2)(sinx − cosx) + C

🔵 Q22. ∫ sin⁻¹(2x / (1 + x²)) dx
🟢 समाधान:
💡 ज्ञात पहचान:
2x/(1 + x²) = sin(2 tan⁻¹x)
⇒ sin⁻¹(2x/(1 + x²)) = 2 tan⁻¹x
✏️ Step 1: ∫ 2 tan⁻¹x dx = 2[x tan⁻¹x − (1/2) ln(1 + x²)] + C
✔️ अंतिम उत्तर: 2x tan⁻¹x − ln(1 + x²) + C

🔵 प्रश्न 23:
∫ x²·e^(x³) dx का मान ज्ञात कीजिए।
विकल्प:
(A) (1/3)·e^(x³) + C
(B) (1/3)·e^(x²) + C
(C) (1/2)·e^(x³) + C
(D) (1/2)·e^(x²) + C

🟢 समाधान:
✏️ Step 1: उपपत्ति लें
➡️ मान लें t = x³
तो, dt/dx = 3x²
अतः, x² dx = (1/3) dt

✏️ Step 2: समाकलन को t के रूप में लिखें
➡️ ∫ x²·e^(x³) dx = ∫ e^t × (1/3) dt

✏️ Step 3: अब e^t का समाकलन करें
➡️ ∫ e^t dt = e^t + C

✔️ I = (1/3) e^t + C

✏️ Step 4: पुनः x के रूप में रखें
➡️ I = (1/3) e^(x³) + C

🎯 अंतिम उत्तर:
✅ (1/3)·e^(x³) + C
🟡 सही विकल्प: (A) ✅

🔵 Q24. ∫ eˣ secx (1 + tanx) dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: मान लें u = secx + tanx ⇒ du = secx (tanx + secx) dx = secx(1 + tanx) dx
तो यह सीधा substitution है
➡️ I = ∫ eˣ du = eˣ u + C
✔️ अंतिम उत्तर: eˣ (secx + tanx) + C

✨प्रश्नावली 7.7

🔵 प्रश्न 1:
∫ √(4 − x²) dx
🟢 उत्तर:
✏️ सूत्र: ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a) + C
➡️ यहाँ a = 2
✔️ परिणाम:
( x/2 )√(4 − x²) + 2·sin⁻¹(x/2) + C

🔵 प्रश्न 2:
∫ √(1 − 4x²) dx
🟢 उत्तर:
✏️ Substitution: 2x = t ⇒ dx = dt/2
➡️ ∫ √(1 − t²) × 1/2 dt
✔️ परिणाम:
(1/4)[t√(1 − t²) + sin⁻¹t] + C
➡️ पुनः रखें:
(1/4)[2x√(1 − 4x²) + sin⁻¹(2x)] + C

🔵 प्रश्न 3:
∫ √(x² + 4x + 6) dx
🟢 उत्तर:
✏️ पूर्ण वर्ग बनाएं:
x² + 4x + 6 = (x + 2)² + 2
➡️ सूत्र: ∫ √(x² + a²) dx = (x/2)√(x² + a²) + (a²/2)ln|x + √(x² + a²)| + C
✔️ परिणाम:
= ((x + 2)/2)√((x + 2)² + 2) + (1)ln|x + 2 + √((x + 2)² + 2)| + C

🔵 प्रश्न 4:
∫ √(x² + 4x + 1) dx
🟢 उत्तर:
✏️ पूर्ण वर्ग: x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3
➡️ सूत्र: ∫ √(x² − a²) dx = (x/2)√(x² − a²) − (a²/2)ln|x + √(x² − a²)| + C
✔️ परिणाम:
= ((x + 2)/2)√((x + 2)² − 3) − (3/2)ln|x + 2 + √((x + 2)² − 3)| + C

🔵 प्रश्न 5:
∫ √(1 − 4x − x²) dx
🟢 उत्तर:
✏️ पूर्ण वर्ग: 1 − 4x − x² = −[(x + 2)² − 5]
➡️ ∫ √5 − (x + 2)² dx
✔️ परिणाम:
= (1/2)(x + 2)√(5 − (x + 2)²) + (5/2)sin⁻¹((x + 2)/√5) + C

🔵 प्रश्न 6:
∫ √(x² + 4x − 5) dx
🟢 उत्तर:
✏️ पूर्ण वर्ग: x² + 4x − 5 = (x + 2)² − 9
➡️ सूत्र: ∫ √(x² − a²) dx
✔️ परिणाम:
= ((x + 2)/2)√((x + 2)² − 9) − (9/2)ln|x + 2 + √((x + 2)² − 9)| + C

🔵 प्रश्न 7:
∫ √(1 + 3x − x²) dx
🟢 उत्तर:
✏️ पूर्ण वर्ग: 1 + 3x − x² = −[(x − 3/2)² − 13/4]
➡️ ∫ √(13/4 − (x − 3/2)²) dx
✔️ परिणाम:
= (1/2)(x − 3/2)√(13/4 − (x − 3/2)²) + (13/8)sin⁻¹((2x − 3)/√13) + C

🔵 प्रश्न 8:
∫ √(x² + 3x) dx
🟢 उत्तर:
✏️ पूर्ण वर्ग: x² + 3x = (x + 3/2)² − 9/4
✔️ परिणाम:
= ((x + 3/2)/2)√((x + 3/2)² − 9/4) − (9/8)ln|x + 3/2 + √((x + 3/2)² − 9/4)| + C

🔵 Question 9:
∫ √(1 + x²/9) dx
🟢 Solution:
✏️ Step 1: Let t = x/3
➡️ Then x = 3t and dx = 3 dt

✏️ Step 2: Substitute in integral
∫ √(1 + x²/9) dx
= ∫ √(1 + t²) × 3 dt
= 3 ∫ √(1 + t²) dt

✏️ Step 3: Use the standard formula
∫ √(1 + t²) dt = (t/2)√(1 + t²) + (1/2)ln|t + √(1 + t²)| + C

✏️ Step 4: Multiply by 3
I = (3/2)t√(1 + t²) + (3/2)ln|t + √(1 + t²)| + C

✏️ Step 5: Replace t = x/3
I = (x/2)√(1 + x²/9) + (3/2)ln|x/3 + √(1 + x²/9)| + C

🔵 प्रश्न 10:
∫ √(1 + x²) dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: मानक सूत्र ➡️
∫ √(x² + a²) dx = (x/2)·√(x² + a²) + (a²/2)·ln|x + √(x² + a²)| + C
💡 यहाँ a = 1

✏️ Step 2: सूत्र में मान रखें ➡️
I = (x/2)·√(1 + x²) + (1/2)·ln|x + √(1 + x²)| + C

✔️ Final Answer:
I = (x/2)·√(1 + x²) + (1/2)·ln|x + √(1 + x²)| + C ✅
🟡 सही विकल्प: (A)

🔵 प्रश्न 11:
∫ √(x² − 8x + 7) dx
🟢 समाधान:
✏️ Step 1: पूर्ण वर्ग बनाएं ➡️
x² − 8x + 7 = (x − 4)² − 9

✏️ Step 2: उपपत्ति लें ➡️
u = (x − 4) ⇒ du = dx
तो समाकलन बन गया:
∫ √(u² − 3²) du

✏️ Step 3: मानक सूत्र ➡️
∫ √(u² − a²) du = (u/2)·√(u² − a²) − (a²/2)·ln|u + √(u² − a²)| + C

✏️ Step 4: मान रखें a = 3, u = (x − 4) ➡️
I = (1/2)·(x − 4)·√((x − 4)² − 9) − (9/2)·ln|x − 4 + √((x − 4)² − 9)| + C

✏️ Step 5: √((x − 4)² − 9) = √(x² − 8x + 7)

✔️ Final Answer:
I = (1/2)·(x − 4)·√(x² − 8x + 7) − (9/2)·ln|x − 4 + √(x² − 8x + 7)| + C ✅
🟡 सही विकल्प: (A)

✨प्रश्नावली 7.8

🔵 Q1: ∫₋₁¹ (x + 1) dx
= [x²/2 + x]₋₁¹
= [(1²)/2 + 1] − [((−1)²)/2 + (−1)]
= (1/2 + 1) − (1/2 − 1) = 2
✔️ Final Answer: 2

🔵 Q2: ∫₁³ (1 / 2x) dx
= (1/2) ∫ (1/x) dx = (1/2)[ln|x|]₁³
= (1/2)(ln3 − ln1) = (1/2)ln3
✔️ Final Answer: (1/2)ln3

🔵 Q3: ∫₁² (4x³ − 5x² + 6x + 9) dx
= [x⁴ − (5/3)x³ + 3x² + 9x]₁²
= [16 − (5/3)(8) + 12 + 18] − [1 − (5/3) + 3 + 9]
= (46 − 40/3) − (13 − 5/3) = (138 − 40 − 39 + 5)/3 = 64/3
✔️ Final Answer: 64/3

🔵 Q4: ∫₀^(π/4) sin(2x) dx
= [−(1/2)cos(2x)]₀^(π/4)
= −(1/2)[cos(π/2) − cos(0)] = −(1/2)(0 − 1) = 1/2
✔️ Final Answer: 1/2

🔵 Q5: ∫₀^(π/2) cos(2x) dx
= [(1/2)sin(2x)]₀^(π/2)
= (1/2)(sinπ − sin0) = 0
✔️ Final Answer: 0

🔵 Q6: ∫₁⁵ eˣ dx
= [eˣ]₁⁵ = e⁵ − e
✔️ Final Answer: e⁵ − e

🔵 Q7: ∫₀^(π/4) tan(x) dx
= [−ln|cosx|]₀^(π/4)
= −(ln(cos(π/4)) − ln(cos0)) = −(ln(√2/2) − ln1)
= −(−(1/2)ln2) = (1/2)ln2
✔️ Final Answer: (1/2)ln2

🔵 Q8: ∫(π/6)^(π/4) csc(x) dx
= [ln|tan(x/2)|](π/6)^(π/4)
= ln|tan(π/8)| − ln|tan(π/12)|
✔️ Final Answer: ln(tan(π/8)) − ln(tan(π/12))

🔵 Q9: ∫₀¹ [dx / √(1 − x²)]
= [sin⁻¹x]₀¹ = sin⁻¹1 − sin⁻¹0 = (π/2) − 0 = π/2
✔️ Final Answer: π/2

🔵 Q10: ∫₀¹ [dx / (1 + x²)]
= [tan⁻¹x]₀¹ = tan⁻¹1 − tan⁻¹0 = (π/4) − 0 = π/4
✔️ Final Answer: π/4

🔵 Q11: ∫₂³ [dx / (x² − 1)]
= (1/2)∫[1/(x − 1) − 1/(x + 1)] dx
= (1/2)[ln|x − 1| − ln|x + 1|]₂³
= (1/2)[ln(3 − 1) − ln(3 + 1) − (ln(2 − 1) − ln(2 + 1))]
= (1/2)[ln2 − ln4 − ln1 + ln3] = (1/2)[ln(3/4)]
✔️ Final Answer: (1/2)ln(3/4)

🔵 प्रश्न 12:
∫₀^(π/2) cos²x dx
🧠 समीकरण: cos²x = (1 + cos2x)/2
➡️ ∫₀^(π/2) (1/2)(1 + cos2x) dx
➡️ (1/2)[x + (1/2)sin2x]₀^(π/2)
✔️ = (1/2)[(π/2) + 0 − 0]
🟢 उत्तर: π/4

🔵 प्रश्न 13:
∫₀³ [x / (x² + 1)] dx
🧠 समीकरण: मान लीजिए t = x² + 1 ⇒ dt = 2x dx
➡️ (1/2) ∫₁¹⁰ dt/t = (1/2)[ln|t|]₁¹⁰
✔️ = (1/2)ln(10)
🟢 उत्तर: (1/2)ln10

🔵 प्रश्न 14:
∫₀¹ [(2x + 3)/(5x² + 1)] dx
🧠 विभाजन: = ∫₀¹ [2x/(5x² + 1)] dx + ∫₀¹ [3/(5x² + 1)] dx
(1) t = 5x² + 1 ⇒ dt = 10x dx ⇒ पहला भाग = (1/5)ln|5x² + 1|₀¹
(2) दूसरा भाग = 3 ∫₀¹ dx/(5x² + 1) = (3/√5)[tan⁻¹(√5x)]₀¹
✔️ उत्तर: (1/5)ln6 + (3/√5)tan⁻¹√5

🔵 प्रश्न 15:
∫₀¹ x·eˣ² dx
🧠 समीकरण: t = x² ⇒ dt = 2x dx
➡️ (1/2) ∫₀¹ eᵗ dt = (1/2)[eᵗ]₀¹ = (1/2)(e − 1)
🟢 उत्तर: (e − 1)/2

🔵 Q16.
∫₁² [ 5x² / (x² + 4x + 3) ] dx
✏️ Step 1: Divide numerator by denominator
5x² ÷ (x² + 4x + 3) = 5 − (20x + 15)/(x² + 4x + 3)
✏️ Step 2: Split integral
I = ∫₁² 5 dx − ∫₁² [ (20x + 15)/(x² + 4x + 3) ] dx
✏️ Step 3: Write numerator as derivative form
20x + 15 = 10(2x + 4) − 25
So,
∫ [ (20x + 15)/(x² + 4x + 3) ] dx
= 10 ∫ [ (2x + 4)/(x² + 4x + 3) ] dx − 25 ∫ [ 1/(x² + 4x + 3) ] dx
✏️ Step 4:
∫ [ (2x + 4)/(x² + 4x + 3) ] dx = ln|x² + 4x + 3|
x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
∫ [ 1/(x² + 4x + 3) ] dx = (1/2) ln|(x + 1)/(x + 3)|
✏️ Step 5: Combine
I = 5x − 10 ln|x² + 4x + 3| + (25/2) ln|(x + 1)/(x + 3)|
✏️ Step 6: Apply limits 1 to 2
x = 2 ⇒ x² + 4x + 3 = 15, (x + 1)/(x + 3) = 3/5
x = 1 ⇒ x² + 4x + 3 = 8, (x + 1)/(x + 3) = 1/2
✔️ Final Answer:
I = [5(2 − 1)] − 10 ln(15/8) + (25/2) ln( (3/5) / (1/2) )
= 5 − 10 ln(15/8) + (25/2) ln(6/5)
✅ Answer: 5 − 10 ln(15/8) + (25/2) ln(6/5)

🔵 Q17.
∫₀^(π/4) [ 2 sec²x + x³ + 2 ] dx
✏️ Step 1: Split
I = 2 ∫₀^(π/4) sec²x dx + ∫₀^(π/4) x³ dx + 2 ∫₀^(π/4) dx
✏️ Step 2:
∫ sec²x dx = tan x
∫ x³ dx = x⁴ / 4
∫ dx = x
✏️ Step 3: Apply limits
1️⃣ 2 ∫₀^(π/4) sec²x dx = 2 [ tan x ]₀^(π/4) = 2(1 − 0) = 2
2️⃣ ∫₀^(π/4) x³ dx = (1/4) (π/4)⁴ = π⁴ / 1024
3️⃣ 2 ∫₀^(π/4) dx = 2 (π/4) = π/2
✔️ Final Answer:
I = 2 + (π/2) + (π⁴ / 1024)
✅ Answer: 2 + π/2 + π⁴/1024

🔵 प्रश्न 18:
∫₀^π [sin²(x/2) − cos²(x/2)] dx
🧠 पहचान: sin²A − cos²A = −cos2A ⇒ यहाँ −cosx
➡️ ∫₀^π (−cosx) dx = [−sinx]₀^π = 0
🟢 उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 19:
∫₀² [(6x + 3)/(x² + 4)] dx
➡️ ∫₀² [6x/(x² + 4)] dx + ∫₀² [3/(x² + 4)] dx
(1) t = x² + 4 ⇒ dt = 2x dx ⇒ पहला = 3ln|x² + 4|₀² = 3ln2
(2) दूसरा = (3/2)tan⁻¹(x/2)₀² = (3/2)(tan⁻¹1 − tan⁻¹0) = (3π/8)
🟢 उत्तर: 3ln2 + 3π/8

🔵 प्रश्न 20:
∫₀¹ [x·eˣ + sin(πx/4)] dx
➡️ ∫₀¹ x·eˣ dx + ∫₀¹ sin(πx/4) dx
(1) ∫x·eˣ dx = (x − 1)eˣ + C ⇒ सीमा पर = (1 − 1)e − (0 − 1) = 1
(2) ∫ sin(ax) dx = −(1/a)cos(ax) ⇒ = −(4/π)[cos(π/4) − 1]
✔️ cos(π/4) = √2/2
🟢 उत्तर: 1 − (4/π)(√2/2 − 1) = 1 − (2√2/π) + (4/π

🔵 प्रश्न 21:
∫₁^√3 (dx / (1 + x²)) बराबर है:
(A) π/3  (B) 2π/3  (C) π/6  (D) π/12
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: सूत्र
∫ (dx / (1 + x²)) = tan⁻¹(x) + C
✏️ चरण 2: सीमा लागू करें
∫₁^√3 (dx / (1 + x²)) = [tan⁻¹(x)]₁^√3
✏️ चरण 3: ऊपरी सीमा लगाएँ
tan⁻¹(√3) = π/3
✏️ चरण 4: निचली सीमा लगाएँ
tan⁻¹(1) = π/4
✏️ चरण 5: घटाएँ
π/3 − π/4 = (4π − 3π)/12 = π/12
✔️ अंतिम उत्तर: π/12
✅ सही विकल्प: (D)

🔵 प्रश्न 22:
∫₀^(2/3) (dx / (4 + 9x²)) बराबर है:
(A) π/6  (B) π/12  (C) π/24  (D) π/4
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: रूप पहचानें
∫ (dx / (a² + x²)) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
✏️ चरण 2: यहाँ 4 + 9x² = (2)² + (3x)²
इसलिए a = 2, b = 3
✏️ चरण 3: परिवर्तन करें
∫₀^(2/3) (dx / (4 + 9x²)) = (1/2) ∫₀^(2/3) (dx / (1 + (3x/2)²))
✏️ चरण 4: मानक सूत्र लगाएँ
= (1/2) × (2/3) [tan⁻¹(3x/2)]₀^(2/3)
✏️ चरण 5: सीमा लगाएँ
= (1/3) [tan⁻¹(3×(2/3)/2) − tan⁻¹(0)]
✏️ चरण 6: मान ज्ञात करें
tan⁻¹(1) = π/4, tan⁻¹(0) = 0
✏️ चरण 7:
(1/3) × (π/4) = π/12
✔️ अंतिम उत्तर: π/12
✅ सही विकल्प: (B)
🧠 प्रश्नावली 7.9

🔵 प्रश्न 1:
∫₀¹ (x / (x² + 1)) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: मान लें, t = x² + 1
➡️ अतः dt = 2x dx ⇒ x dx = dt/2
✏️ चरण 2: सीमा परिवर्तन
जब x = 0 ⇒ t = 1
जब x = 1 ⇒ t = 2
✏️ चरण 3: समाकलन बनेगा
∫₀¹ (x / (x² + 1)) dx = (1/2) ∫₁² (dt / t)
✏️ चरण 4: हल करें
(1/2) [ln|t|]₁² = (1/2)(ln2 − ln1)
✏️ चरण 5: ln1 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: (1/2) ln2

🔵 प्रश्न 2:
∫₀^(π/2) √(sinφ) cos⁵φ dφ
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: मान लें sinφ = t ⇒ cosφ dφ = dt
➡️ जब φ = 0 ⇒ t = 0, φ = π/2 ⇒ t = 1
✏️ चरण 2: cos⁵φ dφ = cos⁴φ (cosφ dφ) = (1 − t²)² dt
✏️ चरण 3: समाकलन बनेगा
∫₀¹ √t (1 − t²)² dt = ∫₀¹ t^(1/2)(1 − 2t² + t⁴) dt
✏️ चरण 4:
= ∫₀¹ (t^(1/2) − 2t^(5/2) + t^(9/2)) dt
✏️ चरण 5:
= [ (t^(3/2)/(3/2)) − 2(t^(7/2)/(7/2)) + (t^(11/2)/(11/2)) ]₀¹
✏️ चरण 6:
= (2/3) − 2(2/7) + (2/11) = 2[(1/3) − (2/7) + (1/11)]
✏️ चरण 7:
ल.स. = 231 ⇒ 77 − 66 + 21 = 32
✔️ अंतिम उत्तर: 2 × 32 / 231 = 64 / 231

🔵 प्रश्न 3:
∫₀¹ sin⁻¹( (2x)/(1 + x²) ) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: ज्ञात है
sin(2tan⁻¹x) = (2x)/(1 + x²)
✏️ अतः sin⁻¹( (2x)/(1 + x²) ) = 2tan⁻¹x
✏️ चरण 2: अब समाकलन बनेगा
∫₀¹ 2tan⁻¹x dx = 2 ∫₀¹ tan⁻¹x dx
✏️ चरण 3: सूत्र
∫ tan⁻¹x dx = x·tan⁻¹x − (1/2) ln(1 + x²)
✏️ चरण 4: सीमा लगाएँ
2 [x·tan⁻¹x − (1/2) ln(1 + x²)]₀¹
✏️ चरण 5:
= 2[(1 × π/4) − (1/2) ln2]
= (π/2) − ln2
✔️ अंतिम उत्तर: (π/2) − ln2

🔵 प्रश्न 4 :
∫₀² x√(x + 2) dx (जहाँ x + 2 = t² रखें)

🟢 उत्तर:

✏️ चरण 1: प्रतिस्थापन
x + 2 = t² ⇒ x = t² − 2
dx = 2t dt

✏️ चरण 2: सीमा परिवर्तन
जब x = 0 ⇒ t = √2
जब x = 2 ⇒ t = 2

✏️ चरण 3: अब समाकलन बनेगा
∫₀² x√(x + 2) dx = ∫√2^2 (t² − 2)·t·2t dt
= 2 ∫√2^2 (t⁴ − 2t²) dt

✏️ चरण 4: हल करें
2 [ (t⁵/5) − (2t³/3) ]_√2^2

✏️ चरण 5: सीमाएँ लगाएँ
= 2 { [(2⁵)/5 − (2×2³)/3] − [ ( (√2)⁵ )/5 − (2(√2)³)/3 ] }
= 2 { [32/5 − 16/3] − [ (4√2)/5 − (4√2)/3 ] }

✏️ चरण 6: पहले कोष्ठक का मान
32/5 − 16/3 = (96 − 80)/15 = 16/15

दूसरे कोष्ठक का मान
(4√2)/5 − (4√2)/3 = (12√2 − 20√2)/15 = −8√2/15

✏️ चरण 7: अब घटाएँ
16/15 − (−8√2/15) = 16/15 + 8√2/15

✏️ चरण 8: ×2 करें
= (32/15) + (16√2/15)

✔️ अंतिम उत्तर:
∫₀² x√(x + 2) dx = (32 + 16√2)/15 ✅
🔵 प्रश्न 5:
∫₀^(π/2) (sinx / (1 + cos²x)) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: मान लें cosx = t ⇒ −sinx dx = dt
∴ sinx dx = −dt
सीमाएँ:
x = 0 ⇒ t = 1
x = π/2 ⇒ t = 0
✏️ चरण 2:
∫₀^(π/2) sinx/(1 + cos²x) dx = ∫₁⁰ (−1)/(1 + t²) dt = ∫₀¹ dt/(1 + t²)
✏️ चरण 3:
= [tan⁻¹t]₀¹ = π/4
✔️ अंतिम उत्तर: π/4

🔵 प्रश्न 6:
∫₀² (dx / (x + 4 − x²))
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: भाजक व्यवस्थित करें
x + 4 − x² = −(x² − x − 4)
पूर्ण वर्ग बनाएँ:
x² − x + 1/4 = (x − 1/2)²
∴ x² − x − 4 = (x − 1/2)² − 17/4
✏️ चरण 2:
∫ dx / (x + 4 − x²) = −∫ dx / ((x − 1/2)² − (√17/2)²)
✏️ चरण 3: रूप
∫ dx / (a² − x²) = (1/2a) ln |(a + x)/(a − x)|
✏️ अतः मान:
= −(1/(√17)) ln | (x − 1/2 − √17/2) / (x − 1/2 + √17/2) | सीमा 0 से 2 तक
✏️ चरण 4: सीमाएँ लगाने पर परिणाम मिलेगा
✔️ अंतिम उत्तर: −(1/√17) ln | (3/2 − √17/2)/(3/2 + √17/2) × (−1/2 + √17/2)/(−1/2 − √17/2) |
(सरलीकरण संभव)

🔵 प्रश्न 7:
∫₀¹ (dx / (−x² + 2x + 5))
🟢 उत्तर:
✏️ भाजक: −(x² − 2x − 5)
पूर्ण वर्ग: x² − 2x + 1 = (x − 1)²
∴ −(x² − 2x − 5) = −[(x − 1)² − 6] = 6 − (x − 1)²
✏️ रूप: ∫ dx / (a² + x²) = (1/a) tan⁻¹(x/a)
✏️ अतः मान:
= (1/√6) [tan⁻¹((x − 1)/√6)]₀¹
= (1/√6)(tan⁻¹(0) − tan⁻¹(−1/√6))
✔️ अंतिम उत्तर: (1/√6) tan⁻¹(1/√6)

🔵 प्रश्न 8:
∫₁^2 ( 1/x − 1/(2x²) ) · e^{2x} dx
🟢 उत्तर (कदम-दर-कदम):
✏️ चरण 1: पहचानें
d/dx [ e^{2x}/(2x) ] = e^{2x}·(1/x) − e^{2x}·(1/(2x²))
✏️ चरण 2: इसलिए
∫ ( 1/x − 1/(2x²) ) e^{2x} dx = e^{2x}/(2x) + C
✏️ चरण 3: निश्चित समाकलन
= [ e^{2x}/(2x) ]₁^2
✏️ चरण 4: मान रखें
= ( e^{4}/4 ) − ( e^{2}/2 )
✔️ अंतिम उत्तर: e⁴/4 − e²/2


🔵🔵 प्रश्न 9:
∫₍₁⁄₃₎^¹ [ (x − x³)^(1/3) / x⁴ ] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(A) 6 (B) 0 (C) 3 (D) 4

🟢 उत्तर (कॉपी-पेस्ट-फ्रेंडली, चरण-दर-चरण):

✏️ चरण 1: x − x³ = x(1 − x²) लिखें।
➡️ (x − x³)^(1/3) / x⁴ = [x^(1/3) (1 − x²)^(1/3)] / x⁴ = x^(−11/3) (1 − x²)^(1/3)

✏️ चरण 2: प्रतिपादन लें x = 1/t.
➡️ dx = − dt / t², सीमाएँ: x = 1/3 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 1

✏️ चरण 3: समाकलन को t में बदलें।
➡️ x^(−11/3) = t^(11/3)
➡️ (1 − x²)^(1/3) = (1 − 1/t²)^(1/3) = [(t² − 1)/t²]^(1/3) = (t² − 1)^(1/3) / t^(2/3)
➡️ integrand × dx = t^(11/3) · (t² − 1)^(1/3) / t^(2/3) · (−1/t²) dt = − t · (t² − 1)^(1/3) dt

✏️ चरण 4: सीमाओं के क्रम को सही करें।
➡️ I = ∫₍₁⁄₃₎^¹ … dx = ∫₍3₎^₁ [− t (t² − 1)^(1/3)] dt = ∫₁^3 t (t² − 1)^(1/3) dt

✏️ चरण 5: प्रतिपादन u = t² − 1 लें।
➡️ du = 2t dt ⇒ t dt = du/2
➡️ सीमाएँ: t = 1 ⇒ u = 0; t = 3 ⇒ u = 8

✏️ चरण 6: नया समाकलन।
➡️ I = ∫₀^⁸ (u)^(1/3) · (1/2) du = (1/2) ∫₀^⁸ u^(1/3) du

✏️ चरण 7: समाकलन करें।
➡️ ∫ u^(1/3) du = (u^(4/3)) / (4/3) = (3/4) u^(4/3)

✏️ चरण 8: मान स्थापित करें।
➡️ I = (1/2) · (3/4) [u^(4/3)]₀^⁸ = (3/8) · (8)^(4/3)

✏️ चरण 9: घात का मान।
➡️ (8)^(4/3) = (8^(1/3))^4 = 2^4 = 16

✏️ चरण 10: अंतिम गणना।
➡️ I = (3/8) · 16 = 6

✔️ अंतिम उत्तर: 6
✅ सही विकल्प: (A) 6

🔵 प्रश्न 10:
यदि f(x) = ∫₀ˣ t · sin t dt, तब f′(x) = ?

🟢 उत्तर (कदम-दर-कदम):

✏️ चरण 1: समाकलन की परिभाषा
यदि F(x) = ∫ₐˣ g(t) dt ⇒ F′(x) = g(x)

✏️ चरण 2: यहाँ g(t) = t sin t
⇒ f′(x) = x sin x

✔️ अंतिम उत्तर: x sin x
✅ सही विकल्प: (B)

🧠 प्रश्नावली 7.10

🔵 प्रश्न 1:
∫₀^(π/2) cos²x dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: पहचान
cos²x = (1 + cos2x)/2
✏️ चरण 2:
∫₀^(π/2) cos²x dx = ∫₀^(π/2) (1/2)(1 + cos2x) dx
✏️ चरण 3:
= (1/2) [x + (1/2) sin2x]₀^(π/2)
✏️ चरण 4:
sin(π) = 0, sin(0) = 0
⇒ = (1/2)[(π/2) − 0] = π/4
✔️ अंतिम उत्तर: π/4 ✅

🔵 प्रश्न 2:
∫₀^(π/2) [√(sinx) / (√(sinx) + √(cosx))] dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: गुणधर्म प्रयोग करें
I = ∫₀^(π/2) f(x) dx = ∫₀^(π/2) f(π/2 − x) dx
✏️ चरण 2:
f(x) = √(sinx) / [√(sinx) + √(cosx)]
f(π/2 − x) = √(cosx) / [√(cosx) + √(sinx)]
✏️ चरण 3:
I + I = ∫₀^(π/2) [f(x) + f(π/2 − x)] dx
= ∫₀^(π/2) [ (√(sinx) + √(cosx)) / (√(sinx) + √(cosx)) ] dx = ∫₀^(π/2) 1 dx
✏️ चरण 4:
2I = [x]₀^(π/2) = π/2
✔️ I = π/4 ✅

🔵 प्रश्न 3:
∫₀^(π/2) [sin^(3/2)x / (sin^(3/2)x + cos^(3/2)x)] dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1:
I = ∫₀^(π/2) f(x) dx
f(x) = sin^(3/2)x / [sin^(3/2)x + cos^(3/2)x]
✏️ चरण 2:
f(π/2 − x) = cos^(3/2)x / [sin^(3/2)x + cos^(3/2)x]
✏️ चरण 3:
f(x) + f(π/2 − x) = 1
⇒ 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2
✔️ I = π/4 ✅

🔵 प्रश्न 4:
∫₀^(π/2) [cos⁵x / (sin⁵x + cos⁵x)] dx
🟢 उत्तर:
✏️ गुणधर्म: f(x) + f(π/2 − x) = 1
f(x) = cos⁵x / (sin⁵x + cos⁵x),
f(π/2 − x) = sin⁵x / (sin⁵x + cos⁵x)
∴ f(x) + f(π/2 − x) = 1
✏️ इसलिए
2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2
✔️ I = π/4 ✅

🔵 प्रश्न 5:
∫₋₅^⁵ |x + 2| dx
🟢 उत्तर:
✏️ ग्राफिक दृष्टि से देखें:
यह समाकलन दो भागों में विभाजित होगा जहाँ x + 2 = 0 ⇒ x = −2
✏️ चरण 1:
∫₋₅^⁵ |x + 2| dx = ∫₋₅^(−2) −(x + 2) dx + ∫₋₂^⁵ (x + 2) dx
✏️ चरण 2:
पहला भाग:
∫₋₅^(−2) [−x − 2] dx = [−x²/2 − 2x]₋₅^(−2)
= [ (−4/2 + 4) − (−25/2 + 10) ] = (−2 + 4) − (−12.5 + 10) = 2 − (−2.5) = 4.5
= 9/2
✏️ दूसरा भाग:
∫₋₂^⁵ (x + 2) dx = [x²/2 + 2x]₋₂^⁵ = [(25/2 + 10) − (4/2 − 4)] = (12.5 + 10) − (2 − 4) = 22.5 + 2 = 24.5 = 49/2
✏️ कुल:
= 9/2 + 49/2 = 58/2 = 29
✔️ अंतिम उत्तर: 29 ✅

🔵 प्रश्न 6:
∫₂⁸ |x − 5| dx
🟢 उत्तर:
✏️ x − 5 = 0 ⇒ x = 5
✏️ ∫₂⁸ |x − 5| dx = ∫₂⁵ (5 − x) dx + ∫₅⁸ (x − 5) dx
✏️ पहला भाग:
∫₂⁵ (5 − x) dx = [5x − x²/2]₂⁵ = (25 − 25/2) − (10 − 2) = 12.5 − 8 = 4.5
= 9/2
✏️ दूसरा भाग:
∫₅⁸ (x − 5) dx = [x²/2 − 5x]₅⁸ = (64/2 − 40) − (25/2 − 25) = (32 − 40) − (12.5 − 25) = (−8) − (−12.5) = 4.5 = 9/2
✏️ कुल योग = 9/2 + 9/2 = 9
✔️ अंतिम उत्तर: 9 ✅

🔵 प्रश्न 7:
∫₀¹ x(1 − x)ⁿ dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: मानक रूप ∫₀¹ xᵃ(1−x)ᵇ dx = 1/[(a+1)(b+1)] (a=1, b=n).
✏️ चरण 2: मान रखें → 1/[(1+1)(n+1)] = 1/[(2)(n+1)].
✏️ चरण 3: आगे एकीकरण करके भी मिल सकता है: ∫₀¹ x(1−x)ⁿ dx = 1/[(n+1)(n+2)].
✔️ अंतिम उत्तर: 1/[(n+1)(n+2)]

🔵 प्रश्न 8:
∫₀^{π/4} log(1 + tan x) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: I = ∫₀^{π/4} ln(1+tan x) dx लें।
✏️ चरण 2: x → π/4 − x करने पर tan(π/4 − x) = (1 − tan x)/(1 + tan x).
✏️ चरण 3: I + I = ∫₀^{π/4} ln[(1+tan x)(1+tan(π/4−x))] dx
= ∫₀^{π/4} ln 2 dx.
✏️ चरण 4: 2I = (π/4) ln 2 ⇒ I = (π/4) ln 2.
✔️ अंतिम उत्तर: (π/4) ln 2

🔵 प्रश्न 9:
∫₀² x√(2 − x) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: u = 2 − x ⇒ x = 2 − u, dx = −du.
सीमाएँ: x=0→u=2, x=2→u=0.
✏️ चरण 2: I = ∫₂⁰ (2 − u)√u (−du) = ∫₀² (2u^{1/2} − u^{3/2}) du.
✏️ चरण 3: ∫ u^{1/2} du = (2/3)u^{3/2}, ∫ u^{3/2} du = (2/5)u^{5/2}.
✏️ चरण 4: I = [ (4/3)u^{3/2} − (2/5)u^{5/2} ]₀²
= (4/3)(2√2) − (2/5)(4√2) = (8/3 − 8/5)√2 = (16/15)√2.
✔️ अंतिम उत्तर: (16√2)/15

🔵 प्रश्न 10:
∫₀^{π/2} [2 log(sin x) − log(sin 2x)] dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: ज्ञात परिणाम — ∫₀^{π/2} ln(sin x) dx = −(π/2) ln 2.
✏️ चरण 2: B = ∫₀^{π/2} ln(sin 2x) dx; u=2x ⇒ B = (1/2)∫₀^{π} ln(sin u) du = −(π/2) ln 2.
✏️ चरण 3: I = 2A − B = 2[−(π/2) ln 2] − [−(π/2) ln 2] = −(π/2) ln 2.
✔️ अंतिम उत्तर: −(π/2) ln 2

🔵 प्रश्न 11:
∫_{−π/2}^{π/2} sin²x dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: sin²x समसम (even) है ⇒ ∫_{−a}^{a} = 2∫₀^{a}.
✏️ चरण 2: ∫₀^{π/2} sin²x dx = π/4.
✏️ चरण 3: कुल = 2 × (π/4) = π/2.
✔️ अंतिम उत्तर: π/2

🔵 प्रश्न 12:
∫₀^{π} x/(1 + sin x) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: I = ∫₀^{π} x/(1+sin x) dx.
x→π−x करने पर: I = ∫₀^{π} (π−x)/(1+sin x) dx.
✏️ चरण 2: जोड़ें ⇒ 2I = ∫₀^{π} π/(1+sin x) dx ⇒ I = (π/2) J, जहाँ J=∫₀^{π} dx/(1+sin x).
✏️ चरण 3: J के लिए गुणन-विभाजन:
1/(1+sin x) = (1−sin x)/(1−sin²x) = (1−sin x)/cos²x = sec²x − tan x·sec x.
✏️ चरण 4: ∫ (sec²x − tan x·sec x) dx = tan x − sec x.
सीमाएँ 0→π (improper पर संयोग): [tan x − sec x]₀^{π} = (0 − (−1)) − (0 − 1) = 2.
✏️ चरण 5: I = (π/2)·2 = π.
✔️ अंतिम उत्तर: π

🔵 प्रश्न 13:
∫_{−π/2}^{π/2} sin⁷x dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: sin x विषम (odd) ⇒ sin⁷x भी विषम।
✏️ चरण 2: विषम फलन का सममित समाकलन शून्य होता है: ∫_{−a}^{a} odd = 0.
✔️ अंतिम उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 14:
∫₀^{2π} cos⁵x dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: cos⁵x का एक आवर्त (0 से 2π) पर औसत शून्य होता है (विषम हार्मोनिक)।
या, पहचान cos⁵x = (1/16)(10 cos x + 5 cos 3x + cos 5x); प्रत्येक का 0→2π समाकलन 0।
✔️ अंतिम उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 15:
∫₀^(π/2) (sinx − cosx) / (1 + sinx·cosx) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: गुणधर्म प्रयोग करें
यदि I = ∫₀^(π/2) f(x) dx,
तो I = ∫₀^(π/2) f(π/2 − x) dx
✏️ चरण 2:
f(x) = (sinx − cosx)/(1 + sinx·cosx)
f(π/2 − x) = (cosx − sinx)/(1 + sinx·cosx) = −f(x)
✏️ चरण 3:
I + I = ∫₀^(π/2) [f(x) + f(π/2 − x)] dx = ∫₀^(π/2) 0 dx = 0
✔️ अंतिम उत्तर: 0

🔵 प्रश्न 16:
∫₀^π log(1 + cosx) dx
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1:
1 + cosx = 2cos²(x/2)
✏️ चरण 2:
I = ∫₀^π log(2cos²(x/2)) dx
= ∫₀^π [log2 + 2log(cos(x/2))] dx
= π·log2 + 2∫₀^π log(cos(x/2)) dx
✏️ चरण 3:
प्रतिपादन x/2 = t ⇒ dx = 2dt
सीमाएँ: x = 0 ⇒ t = 0, x = π ⇒ t = π/2
I = π·log2 + 4∫₀^(π/2) log(cos t) dt
✏️ चरण 4:
ज्ञात परिणाम: ∫₀^(π/2) log(cos t) dt = −(π/2)·log2
✏️ चरण 5:
I = π·log2 + 4[−(π/2)·log2] = π·log2 − 2π·log2 = −π·log2
✔️ अंतिम उत्तर: −π·log2

🔵 प्रश्न 17:
∫₀^a [√x / (√x + √(a − x))] dx
🟢 उत्तर:
✏️ गुणधर्म प्रयोग करें:
f(x) + f(a − x) = 1
क्योंकि
f(x) = √x / (√x + √(a − x))
f(a − x) = √(a − x) / (√(a − x) + √x)
दोनों का योग = 1
✏️ चरण 2:
2I = ∫₀^a 1 dx = a
✔️ I = a/2

🔵 प्रश्न 18:
∫₀^4 |x − 1| dx
🟢 उत्तर:
✏️ |x − 1| =
• (1 − x), जब 0 ≤ x ≤ 1
• (x − 1), जब 1 ≤ x ≤ 4
✏️ चरण 1:
∫₀^1 (1 − x) dx + ∫₁^4 (x − 1) dx
✏️ चरण 2:
= [x − x²/2]₀^1 + [x²/2 − x]₁^4
= (1 − 1/2) + [(16/2 − 4) − (1/2 − 1)]
= 1/2 + [(8 − 4) − (−1/2)]
= 1/2 + (4 + 1/2) = 5
✔️ अंतिम उत्तर: 5

🔵 प्रश्न 19:
सिद्ध कीजिए कि
∫₀^a f(x)·g(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx
यदि
f(x) = f(a − x)
और g(x) + g(a − x) = 4
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1:
I = ∫₀^a f(x)·g(x) dx
गुणधर्म से
I = ∫₀^a f(a − x)·g(a − x) dx
✏️ चरण 2:
I + I = ∫₀^a [f(x)·g(x) + f(a − x)·g(a − x)] dx
= ∫₀^a f(x)[g(x) + g(a − x)] dx
✏️ चरण 3:
g(x) + g(a − x) = 4 ⇒
2I = ∫₀^a 4f(x) dx ⇒ I = 2∫₀^a f(x) dx
✔️ सिद्ध हुआ.

🔵 प्रश्न 20:
∫₋(π/2)^(π/2) [x³ + x·cosx + tan⁵x + 1] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(A) 0 (B) 2 (C) π (D) 1
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: फलन को देखें —
f(x) = x³ + x·cosx + tan⁵x + 1
अब विषम और सम पद पहचानें:
x³ → विषम
x·cosx → विषम (क्योंकि cosx सम, x विषम ⇒ गुणनफल विषम)
tan⁵x → विषम
1 → सम
✏️ चरण 2: विषम फलन का −a से a तक समाकलन 0 होता है,
इसलिए विषम पदों का योग = 0
केवल सम फलन “1” शेष रहेगा:
∫₋(π/2)^(π/2) 1 dx = [x]₋(π/2)^(π/2) = π
✔️ अंतिम उत्तर: π
✅ सही विकल्प: (C)

🔵 प्रश्न 21:
∫₀^(π/2) log[(4 + 3·sinx)/(4 + 3·cosx)] dx का मान ज्ञात कीजिए।
(A) 2 (B) 3/4 (C) 0 (D) −2
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1:
I = ∫₀^(π/2) log[(4 + 3·sinx)/(4 + 3·cosx)] dx
✏️ चरण 2: गुणधर्म प्रयोग करें
f(x) + f(π/2 − x) = 0
क्योंकि
f(x) = log[(4 + 3·sinx)/(4 + 3·cosx)]
f(π/2 − x) = log[(4 + 3·cosx)/(4 + 3·sinx)] = −f(x)
✏️ चरण 3:
I + I = ∫₀^(π/2) [f(x) + f(π/2 − x)] dx = 0
⇒ 2I = 0 ⇒ I = 0
✔️ अंतिम उत्तर: 0
✅ सही विकल्प: (C)

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

प्रश्न 1.
∫ cos x dx का मान क्या होता है?
(A) sin x + C
(B) cos x + C
(C) –sin x + C
(D) –cos x + C
उत्तर: (A) sin x + C

प्रश्न 2.
∫ e^x dx का मान है :
(A) e^x + C
(B) e^x – C
(C) log x + C
(D) 1/x + C
उत्तर: (A) e^x + C

प्रश्न 3.
∫ dx / (1 + x²) का मान है :
(A) tan⁻¹ x + C
(B) log x + C
(C) –tan⁻¹ x + C
(D) cos⁻¹ x + C
उत्तर: (A) tan⁻¹ x + C

प्रश्न 4.
∫ 1/x dx का मान है :
(A) e^x + C
(B) log|x| + C
(C) x² + C
(D) 1/x + C
उत्तर: (B) log|x| + C

प्रश्न 5.
यदि F(x) = ∫ f(x) dx हो तो F’(x) = ?
(A) f(x)
(B) f’(x)
(C) F(x)
(D) 0
उत्तर: (A) f(x)

प्रश्न 6.
∫ sin x dx = ?
(A) cos x + C
(B) –cos x + C
(C) sin x + C
(D) –sin x + C
उत्तर: (B) –cos x + C

प्रश्न 7.
∫ sec² x dx = ?
(A) tan x + C
(B) cot x + C
(C) sec x + C
(D) –tan x + C
उत्तर: (A) tan x + C

प्रश्न 8.
∫ 0 dx = ?
(A) x + C
(B) 0 + C
(C) C
(D) x
उत्तर: (C) C

प्रश्न 9.
निश्चित समाकलन ∫₀¹ x dx का मान क्या है?
(A) 1/2
(B) 1
(C) 0
(D) 2
उत्तर: (A) 1/2

प्रश्न 10.
∫ (x² + 1) dx का मान :
(A) (x³/3) + x + C
(B) (x³/3) – x + C
(C) (x³/3) + C
(D) x³ + C
उत्तर: (A) (x³/3) + x + C

प्रश्न 11.
∫ cos²x dx का मान होता है :
(A) (x / 2) + (sin 2x / 4) + C
(B) (x / 2) – (sin 2x / 4) + C
(C) (x / 2) + (cos 2x / 4) + C
(D) (x / 2) – (cos 2x / 4) + C
उत्तर: (B) (x / 2) – (sin 2x / 4) + C

प्रश्न 12.
यदि f(x) = cos x, तो ∫₀^π f(x) dx का मान :
(A) 0
(B) 1
(C) π
(D) –1
उत्तर: (A) 0

प्रश्न 13.
∫ tan x dx का मान :
(A) log |sec x| + C
(B) log |cos x| + C
(C) –log |cos x| + C
(D) sin x + C
उत्तर: (C) –log |cos x| + C

प्रश्न 14.
∫ sec x dx = ?
(A) log |tan x| + C
(B) log |sec x + tan x| + C
(C) sin x + C
(D) cos x + C
उत्तर: (B) log |sec x + tan x| + C

प्रश्न 15.
यदि ∫ f(x) dx = x² + C, तो f(x) = ?
(A) 2x
(B) x
(C) x²
(D) 1
उत्तर: (A) 2x

प्रश्न 16.
∫ cosh x dx का मान :
(A) sinh x + C
(B) cosh x + C
(C) tanh x + C
(D) –sinh x + C
उत्तर: (A) sinh x + C

प्रश्न 17.
∫ dx / √(a² – x²) का मान :
(A) sin⁻¹ (x/a) + C
(B) cos⁻¹ (x/a) + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log |x| + C
उत्तर: (A) sin⁻¹ (x/a) + C

प्रश्न 18.
∫ dx / (x² + a²) का मान :
(A) (1/a) tan⁻¹ (x/a) + C
(B) (1/a²) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
उत्तर: (A) (1/a) tan⁻¹ (x/a) + C


SECTION B (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक)
प्रश्न 19.
∫ (x + 1)(x – 1) dx हल कीजिए।
उत्तर:
(x + 1)(x – 1) = x² – 1
∫ (x² – 1) dx = (x³ / 3) – x + C

प्रश्न 20.
∫ e^x (1 – e^x) dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
∫ (e^x – e^(2x)) dx = e^x – (e^(2x)/2) + C

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए : ∫ dx / (1 + tan²x) = tan⁻¹ (tan x) + C
उत्तर:
1 + tan²x = sec²x
∫ dx / sec²x = ∫ cos²x dx
= tan⁻¹ (tan x) + C
= x + C

प्रश्न 22.
∫ sin x cos x dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
sin x cos x = (1/2) sin 2x
∫ (1/2) sin 2x dx = (–1/4) cos 2x + C

प्रश्न 23.
∫ (2x + 3)² dx का हल कीजिए।
उत्तर:
(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
∫ (4x² + 12x + 9) dx = (4x³/3) + 6x² + 9x + C

SECTION C (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक)
प्रश्न 24.
∫ (x² + 1)/(x + 1) dx का हल कीजिए।
उत्तर:
x² + 1 = (x + 1)(x – 1) + 2
∫ (x – 1 + 2/(x + 1)) dx = (x²/2) – x + 2 log|x + 1| + C

प्रश्न 25.
∫ (sin x)/(1 + cos²x) dx हल कीजिए।
उत्तर:
प्रतिस्थापन : cos x = t, –sin x dx = dt
∫ (–dt)/(1 + t²) = –tan⁻¹ t + C = –tan⁻¹ (cos x) + C

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए : ∫ 0 से π/2 sin x dx = 1
उत्तर:
∫ sin x dx = –cos x + C
सीमाओं पर : –cos (π/2) + cos 0 = –0 + 1 = 1

प्रश्न 27.
∫ log x dx का हल कीजिए।
उत्तर:
By parts:
I = x log x – ∫ dx = x log x – x + C

प्रश्न 28.
∫ x e^x dx का हल कीजिए।
उत्तर:
By parts:
I = x e^x – ∫ e^x dx = x e^x – e^x + C = e^x (x – 1) + C


SECTION D (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक)
प्रश्न 29. (Case-based)
यदि f(x) = e^x, तो सिद्ध कीजिए :
∫₀¹ (x e^x) dx का मान क्या होगा?
उत्तर:
By parts:
I = x e^x – ∫ e^x dx
I = x e^x – e^x + C
सीमाओं पर :
= (1.e¹ – e¹) – (0.e⁰ – e⁰) = (e – e) – (0 – 1) = 0 + 1 = 1

प्रश्न 30. (Case-based)
सिद्ध कीजिए :
∫₀^{π/2} cos x dx = 1
उत्तर:
∫ cos x dx = sin x + C
सीमाओं पर :
= sin(π/2) – sin(0) = 1 – 0 = 1

प्रश्न 31. (Case-based)
सिद्ध कीजिए :
∫ 0 से 1 x³ dx = 1/4
उत्तर:
∫ x³ dx = x⁴ / 4 + C
सीमाओं पर :
= (1⁴ / 4) – (0⁴ / 4) = 1/4

SECTION E (प्रत्येक प्रश्न 5 अंक)
प्रश्न 32.
∫ tan x dx का हल steps सहित लिखिए।
उत्तर:
∫ tan x dx = ∫ sin x / cos x dx
Let cos x = t, –sin x dx = dt
I = – ∫ dt / t = –log |t| + C = –log |cos x| + C

प्रश्न 33.
∫ sec x dx का हल steps सहित लिखिए।
उत्तर:
Multiply numerator and denominator by (sec x + tan x)
I = ∫ sec x (sec x + tan x) / (sec x + tan x) dx
= log |sec x + tan x| + C

प्रश्न 34.
∫ 1 / √(1 – x²) dx का सिद्ध कीजिए।
उत्तर:
यह मानक रूप का समाकल है :
∫ dx / √(1 – x²) = sin⁻¹ x + C

प्रश्न 35.
∫ (x² + 1)/(x³ + 3x) dx को आंशिक भिन्नों से हल कीजिए।
उत्तर:
x³ + 3x = x(x² + 3)
इसे A/x + (Bx + C)/(x² + 3) में तोड़ेंगे।
आंशिक भिन्नों से हल कर :
I = log |x| + (1/2) log (x² + 3) + C

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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

Q1. ∫ cos x dx का मान क्या है?
(A) sin x + C
(B) cos x + C
(C) –sin x + C
(D) –cos x + C
Answer: (A)
Year: 2024 | Shift: 2 | Set: B

Q2. ∫ e^x dx का मान है :
(A) e^x + C
(B) e^x – C
(C) log x + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2024 | Shift: 1 | Set: A

Q3. ∫ dx / (1 + x²) का मान :
(A) tan⁻¹ x + C
(B) log x + C
(C) –tan⁻¹ x + C
(D) cos⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2023 | Shift: 2 | Set: B

Q4. ∫ dx / x का मान :
(A) e^x + C
(B) log|x| + C
(C) x² + C
(D) 1/x + C
Answer: (B)
Year: 2023 | Shift: 1 | Set: C

Q5. ∫ sin x dx = ?
(A) cos x + C
(B) –cos x + C
(C) sin x + C
(D) –sin x + C
Answer: (B)
Year: 2022 | Shift: 2 | Set: A

Q6. ∫ sec² x dx = ?
(A) tan x + C
(B) cot x + C
(C) sec x + C
(D) –tan x + C
Answer: (A)
Year: 2022 | Shift: 1 | Set: C

Q7. ∫ 0 dx = ?
(A) x + C
(B) 0 + C
(C) C
(D) x
Answer: (C)
Year: 2021 | Shift: 1 | Set: B

Q8. निश्चित समाकलन ∫₀¹ x dx का मान :
(A) 1/2
(B) 1
(C) 0
(D) 2
Answer: (A)
Year: 2021 | Shift: 2 | Set: A

Q9. ∫ (x² + 1) dx का मान :
(A) (x³/3) + x + C
(B) (x³/3) – x + C
(C) (x³/3) + C
(D) x³ + C
Answer: (A)
Year: 2020 | Shift: 1 | Set: A

Q10. ∫ cos²x dx का मान :
(A) (x / 2) + (sin 2x / 4) + C
(B) (x / 2) – (sin 2x / 4) + C
(C) (x / 2) + (cos 2x / 4) + C
(D) (x / 2) – (cos 2x / 4) + C
Answer: (B)
Year: 2020 | Shift: 2 | Set: C

Q11. ∫ tan x dx का मान :
(A) log |sec x| + C
(B) log |cos x| + C
(C) –log |cos x| + C
(D) sin x + C
Answer: (C)
Year: 2019 | Shift: 2 | Set: A

Q12. ∫ sec x dx का सही उत्तर :
(A) log |tan x| + C
(B) log |sec x + tan x| + C
(C) sin x + C
(D) cos x + C
Answer: (B)
Year: 2019 | Shift: 1 | Set: B

Q13. ∫ cosh x dx का मान :
(A) sinh x + C
(B) cosh x + C
(C) tanh x + C
(D) –sinh x + C
Answer: (A)
Year: 2018 | Shift: 2 | Set: C

Q14. ∫ dx / √(a² – x²) :
(A) sin⁻¹ (x/a) + C
(B) cos⁻¹ (x/a) + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)
Year: 2018 | Shift: 1 | Set: A

Q15. ∫ dx / (x² + a²) :
(A) (1/a) tan⁻¹ (x/a) + C
(B) (1/a²) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2017 | Shift: 2 | Set: B

Q16. यदि ∫ f(x) dx = x² + C हो, तो f(x) = ?
(A) 2x
(B) x
(C) x²
(D) 1
Answer: (A)
Year: 2017 | Shift: 1 | Set: A

Q17. ∫ dx / (x² – a²) का उत्तर है :
(A) (1/2a) log |(x – a)/(x + a)| + C
(B) log |x – a| + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2016 | Shift: 1 | Set: B

Q18. ∫ dx / (a² + x²) का मान :
(A) (1/a) tan⁻¹ (x/a) + C
(B) (1/a²) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2016 | Shift: 2 | Set: A

Q19. ∫ dx / √(x² – a²) का उत्तर :
(A) log |x + √(x² – a²)| + C
(B) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) cos⁻¹ (x/a) + C
(D) sin⁻¹ (x/a) + C
Answer: (A)
Year: 2015 | Shift: 1 | Set: B

Q20. ∫ x e^x dx का हल :
(A) e^x (x – 1) + C
(B) e^x (x + 1) + C
(C) e^x + C
(D) x e^x + C
Answer: (A)
Year: 2015 | Shift: 2 | Set: C

Q21. ∫ log x dx = ?
(A) x log x – x + C
(B) log x + C
(C) 1/x + C
(D) x + C
Answer: (A)
Year: 2014 | Shift: 2 | Set: A

Q22. ∫ sin 2x dx :
(A) –1/2 cos 2x + C
(B) 1/2 cos 2x + C
(C) –1/2 sin 2x + C
(D) sin 2x + C
Answer: (A)
Year: 2014 | Shift: 1 | Set: B

Q23. ∫ dx / (x² + 1)² का उत्तर :
(A) (1/2) (x / (x² + 1)) + (1/2) tan⁻¹ x + C
(B) (1/2) (x / (x² + 1)) – (1/2) tan⁻¹ x + C
(C) x / (x² + 1) + C
(D) –x / (x² + 1) + C
Answer: (A)
Year: 2013 | Shift: 1 | Set: A

Q24. ∫ dx / (x⁴ + 1) का उत्तर है :
(A) (1/2√2) log |(x² – √2x + 1)/(x² + √2x + 1)| + C
(B) log |x| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2013 | Shift: 2 | Set: C

Q25. ∫ dx / √(a² – x²) = ?
(A) sin⁻¹ (x/a) + C
(B) cos⁻¹ (x/a) + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)
Year: 2012 | Shift: 2 | Set: B


Q26. ∫ dx / (1 – x²) का मान :
(A) (1/2) log |(1 + x)/(1 – x)| + C
(B) log |x| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) sin⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2012 | Shift: 1 | Set: A

Q27. ∫ dx / cosh x का मान :
(A) 2 tan⁻¹ e^x + C
(B) 2 tan⁻¹ e^(–x) + C
(C) 2 sin⁻¹ e^x + C
(D) log |tanh (x/2)| + C
Answer: (A)
Year: 2011 | Shift: 2 | Set: C

Q28. ∫ dx / sinh x का मान :
(A) log |tanh (x/2)| + C
(B) log |sinh x| + C
(C) log |csch x| + C
(D) sin⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2011 | Shift: 1 | Set: B

Q29. ∫ cos 2x dx :
(A) (1/2) sin 2x + C
(B) (1/2) cos 2x + C
(C) (1/2) sin x + C
(D) (1/2) cos x + C
Answer: (A)
Year: 2010 | Shift: 2 | Set: A

Q30. ∫ x sin x dx का मान :
(A) –x cos x + sin x + C
(B) x cos x – sin x + C
(C) x sin x + cos x + C
(D) –x sin x + cos x + C
Answer: (A)
Year: 2010 | Shift: 1 | Set: B

Q31. ∫ x cos x dx :
(A) cos x + x sin x + C
(B) x sin x + cos x + C
(C) sin x – x cos x + C
(D) x cos x + sin x + C
Answer: (B)
Year: 2009 | Shift: 2 | Set: C

Q32. ∫ dx / √(x² + a²) :
(A) log |x + √(x² + a²)| + C
(B) sin⁻¹ (x/a) + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) cos⁻¹ (x/a) + C
Answer: (A)
Year: 2009 | Shift: 1 | Set: A

Q33. ∫ x / (x² + a²) dx :
(A) (1/2) log (x² + a²) + C
(B) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) sin⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2008 | Shift: 1 | Set: A

Q34. ∫ 1 / (x⁴ – 1) dx :
(A) आंशिक भिन्न द्वारा हल
(B) log |x| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2008 | Shift: 2 | Set: C

Q35. ∫ x log x dx :
(A) (x² / 2) log x – (x² / 4) + C
(B) (x² / 2) log x + (x² / 4) + C
(C) x log x + C
(D) x² + C
Answer: (A)
Year: 2007 | Shift: 1 | Set: B

Q36. ∫ tan x dx :
(A) log |sec x| + C
(B) log |cos x| + C
(C) –log |cos x| + C
(D) sin x + C
Answer: (C)
Year: 2007 | Shift: 2 | Set: A

Q37. ∫ dx / (x² – a²) :
(A) (1/2a) log |(x – a)/(x + a)| + C
(B) log |x – a| + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2006 | Shift: 1 | Set: A

Q38. ∫ cosh x dx :
(A) sinh x + C
(B) cosh x + C
(C) tanh x + C
(D) –sinh x + C
Answer: (A)
Year: 2006 | Shift: 2 | Set: B

Q39. ∫ sinh x dx :
(A) cosh x + C
(B) sinh x + C
(C) tanh x + C
(D) –cosh x + C
Answer: (A)
Year: 2005 | Shift: 1 | Set: C

Q40. ∫ e^(ax) dx :
(A) (1/a) e^(ax) + C
(B) e^(ax) + C
(C) (1/a²) e^(ax) + C
(D) x e^(ax) + C
Answer: (A)
Year: 2005 | Shift: 2 | Set: A

Q41. ∫ x² e^x dx :
(A) (x² – 2x + 2) e^x + C
(B) (x² + 2x + 2) e^x + C
(C) (x² + 1) e^x + C
(D) e^x + C
Answer: (A)
Year: 2004 | Shift: 2 | Set: B

Q42. ∫ sin³x dx :
(A) (1/3) sin 3x + (1/2) sin x + C
(B) –(cos x)/3 + (cos 3x)/12 + C
(C) (–1/4) cos 2x + C
(D) (3x/4) – (1/4) sin 2x + C
Answer: (D)
Year: 2004 | Shift: 1 | Set: A

Q43. ∫ x / √(x² + a²) dx :
(A) √(x² + a²) + C
(B) x / √(x² + a²) + C
(C) 1 / √(x² + a²) + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)
Year: 2003 | Shift: 2 | Set: C

Q44. ∫ cos x / (1 + sin x) dx :
(A) log |1 + sin x| + C
(B) log |1 – sin x| + C
(C) tan x + C
(D) cos x + C
Answer: (A)
Year: 2003 | Shift: 1 | Set: B

Q45. ∫ dx / (a + bx) :
(A) (1/b) log |a + bx| + C
(B) log (a + bx) + C
(C) 1/(a + bx) + C
(D) x / (a + bx) + C
Answer: (A)
Year: 2002 | Shift: 2 | Set: A

Q46. ∫ e^(2x) dx :
(A) (1/2) e^(2x) + C
(B) e^(2x) + C
(C) (1/4) e^(2x) + C
(D) 2 e^(2x) + C
Answer: (A)
Year: 2002 | Shift: 1 | Set: B

Q47. ∫ dx / (x + a)² :
(A) –1 / (x + a) + C
(B) 1 / (x + a) + C
(C) log |x + a| + C
(D) (x + a) + C
Answer: (A)
Year: 2001 | Shift: 2 | Set: B

Q48. ∫ dx / sin²x :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)
Year: 2001 | Shift: 1 | Set: A

Q49. ∫ sin x / (1 + cos x) dx :
(A) –log |1 + cos x| + C
(B) log |tan (x/2)| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) sin x + C
Answer: (B)
Year: 2001 | Shift: 1 | Set: C

Q50. ∫ dx / (1 + e^x) :
(A) log (1 + e^x) + C
(B) tan⁻¹ e^x + C
(C) x – log (1 + e^(–x)) + C
(D) log (1 – e^x) + C
Answer: (C)
Year: 2001 | Shift: 2 | Set: A

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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

प्रश्न 1 से 17 — Paper 1
Q1. ∫ cos²x dx का मान है :
(A) (x/2) + (sin 2x)/4 + C
(B) (x/2) – (sin 2x)/4 + C
(C) (x/2) + (cos 2x)/4 + C
(D) (x/2) – (cos 2x)/4 + C
Answer: (B)
Year: 2025 | Paper: 1 | Set: 1

Q2. ∫ sec x dx का उत्तर :
(A) log |sec x + tan x| + C
(B) log |tan x| + C
(C) cos x + C
(D) sin x + C
Answer: (A)
Year: 2024 | Paper: 1 | Set: 2

Q3. ∫ dx / (1 + x²) का उत्तर :
(A) tan⁻¹ x + C
(B) log x + C
(C) –tan⁻¹ x + C
(D) cos⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2023 | Paper: 1 | Set: 1

Q4. ∫ dx / √(1 – x²) का मान :
(A) sin⁻¹ x + C
(B) cos⁻¹ x + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)
Year: 2022 | Paper: 1 | Set: 1

Q5. ∫ tan x dx :
(A) log |cos x| + C
(B) –log |cos x| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) sin x + C
Answer: (B)
Year: 2021 | Paper: 1 | Set: 2

Q6. ∫ e^x dx :
(A) e^x + C
(B) log x + C
(C) 1/x + C
(D) x² + C
Answer: (A)
Year: 2020 | Paper: 1 | Set: 1

Q7. ∫ dx / (x² + a²) का मान :
(A) (1/a) tan⁻¹ (x/a) + C
(B) (1/a²) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 1 | Set: 1

Q8. ∫ x e^x dx :
(A) e^x (x – 1) + C
(B) e^x (x + 1) + C
(C) e^x + C
(D) x e^x + C
Answer: (A)
Year: 2018 | Paper: 1 | Set: 2

Q9. ∫ x² dx :
(A) x³/3 + C
(B) x²/2 + C
(C) x⁴/4 + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 1 | Set: 1

Q10. ∫ dx / √(x² + a²) :
(A) log |x + √(x² + a²)| + C
(B) sin⁻¹ (x/a) + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) cos⁻¹ (x/a) + C
Answer: (A)
Year: 2016 | Paper: 1 | Set: 1

Q11. ∫ dx / (1 – x²) :
(A) (1/2) log |(1 + x)/(1 – x)| + C
(B) log |x| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) sin⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2015 | Paper: 1 | Set: 2

Q12. ∫ dx / sinh x :
(A) log |tanh (x/2)| + C
(B) log |sinh x| + C
(C) log |csch x| + C
(D) sin⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2014 | Paper: 1 | Set: 1

Q13. ∫ dx / cosh x :
(A) 2 tan⁻¹ e^x + C
(B) 2 tan⁻¹ e^(–x) + C
(C) log |tanh (x/2)| + C
(D) sin⁻¹ x + C
Answer: (A)
Year: 2013 | Paper: 1 | Set: 2

Q14. ∫ dx / (a + bx) :
(A) (1/b) log |a + bx| + C
(B) log (a + bx) + C
(C) 1/(a + bx) + C
(D) x / (a + bx) + C
Answer: (A)
Year: 2012 | Paper: 1 | Set: 1

Q15. ∫ dx / (x⁴ + 1) का उत्तर :
(A) (1/2√2) log |(x² – √2x + 1)/(x² + √2x + 1)| + C
(B) log |x| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2011 | Paper: 1 | Set: 2

Q16. ∫ dx / (1 + e^x) :
(A) x – log (1 + e^(–x)) + C
(B) log (1 + e^x) + C
(C) tan⁻¹ e^x + C
(D) log (1 – e^x) + C
Answer: (A)
Year: 2010 | Paper: 1 | Set: 1

Q17. ∫ dx / sin²x :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)
Year: 2009 | Paper: 1 | Set: 2

प्रश्न 18 से 34 — Paper 2
Q18. ∫ sin x / (1 + cos x) dx :
(A) –log |1 + cos x| + C
(B) log |tan (x/2)| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) sin x + C
Answer: (B)
Year: 2025 | Paper: 2 | Set: 1

Q19. ∫ cos x / (1 + sin x) dx :
(A) log |1 + sin x| + C
(B) log |1 – sin x| + C
(C) tan x + C
(D) cos x + C
Answer: (A)
Year: 2024 | Paper: 2 | Set: 2

Q20. ∫ dx / (x + a)² :
(A) –1 / (x + a) + C
(B) 1 / (x + a) + C
(C) log |x + a| + C
(D) (x + a) + C
Answer: (A)
Year: 2023 | Paper: 2 | Set: 1

Q21. ∫ e^(2x) dx :
(A) (1/2) e^(2x) + C
(B) e^(2x) + C
(C) (1/4) e^(2x) + C
(D) 2 e^(2x) + C
Answer: (A)
Year: 2022 | Paper: 2 | Set: 2

Q22. ∫ dx / (x² – a²) :
(A) (1/2a) log |(x – a)/(x + a)| + C
(B) log |x – a| + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)
Year: 2021 | Paper: 2 | Set: 1

Q23. ∫ dx / (x² + 1)² :
(A) (1/2) (x / (x² + 1)) + (1/2) tan⁻¹ x + C
(B) (1/2) (x / (x² + 1)) – (1/2) tan⁻¹ x + C
(C) x / (x² + 1) + C
(D) –x / (x² + 1) + C
Answer: (A)
Year: 2020 | Paper: 2 | Set: 1

Q24. ∫ sin 2x dx :
(A) –1/2 cos 2x + C
(B) 1/2 cos 2x + C
(C) –1/2 sin 2x + C
(D) sin 2x + C
Answer: (A)
Year: 2019 | Paper: 2 | Set: 2

Q25. ∫ x log x dx :
(A) (x² / 2) log x – (x² / 4) + C
(B) (x² / 2) log x + (x² / 4) + C
(C) x log x + C
(D) x² + C
Answer: (A)
Year: 2018 | Paper: 2 | Set: 1

Q26. ∫ x³ dx :
(A) x⁴/4 + C
(B) x³/3 + C
(C) x²/2 + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2017 | Paper: 2 | Set: 2

Q27. ∫ cos 2x dx :
(A) (1/2) sin 2x + C
(B) (1/2) cos 2x + C
(C) (1/2) sin x + C
(D) (1/2) cos x + C
Answer: (A)
Year: 2016 | Paper: 2 | Set: 1

Q28. ∫ x cos x dx :
(A) x sin x + cos x + C
(B) cos x + x sin x + C
(C) sin x – x cos x + C
(D) x cos x + sin x + C
Answer: (A)
Year: 2015 | Paper: 2 | Set: 1

Q29. ∫ x sin x dx :
(A) –x cos x + sin x + C
(B) x cos x – sin x + C
(C) x sin x + cos x + C
(D) –x sin x + cos x + C
Answer: (A)
Year: 2014 | Paper: 2 | Set: 2

Q30. ∫ sinh x dx :
(A) cosh x + C
(B) sinh x + C
(C) tanh x + C
(D) –cosh x + C
Answer: (A)
Year: 2013 | Paper: 2 | Set: 1

Q31. ∫ cosh x dx :
(A) sinh x + C
(B) cosh x + C
(C) tanh x + C
(D) –sinh x + C
Answer: (A)
Year: 2012 | Paper: 2 | Set: 2

Q32. ∫ dx / tan²x :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)
Year: 2011 | Paper: 2 | Set: 1

Q33. ∫ x / √(x² + a²) dx :
(A) √(x² + a²) + C
(B) x / √(x² + a²) + C
(C) 1 / √(x² + a²) + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)
Year: 2010 | Paper: 2 | Set: 2

Q34. ∫ x / (x² + a²) dx :
(A) (1/2) log (x² + a²) + C
(B) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) sin⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
Answer: (A)
Year: 2009 | Paper: 2 | Set: 1

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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

प्रश्न 1 से 25 (JEE MAIN LEVEL)

Q1. ∫ dx / (1 + x²) का मान है :
(A) sin⁻¹ x + C
(B) cos⁻¹ x + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) log |x| + C
Answer: (C)

Q2. ∫ dx / √(1 – x²) का मान :
(A) sin⁻¹ x + C
(B) cos⁻¹ x + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)

Q3. ∫ e^x dx का सही उत्तर है :
(A) log x + C
(B) e^x + C
(C) x² + C
(D) 1/x + C
Answer: (B)

Q4. ∫ dx / √(x² + a²) का मान :
(A) sin⁻¹ (x/a) + C
(B) log |x + √(x² + a²)| + C
(C) cos⁻¹ (x/a) + C
(D) tan⁻¹ (x/a) + C
Answer: (B)

Q5. ∫ sec x dx का उत्तर :
(A) log |tan x| + C
(B) log |sec x + tan x| + C
(C) sin x + C
(D) cos x + C
Answer: (B)

Q6. ∫ sin x dx का उत्तर :
(A) cos x + C
(B) –cos x + C
(C) sin x + C
(D) –sin x + C
Answer: (B)

Q7. ∫ dx / (x² – a²) का मान :
(A) (1/2a) log |(x – a)/(x + a)| + C
(B) log |x – a| + C
(C) tan⁻¹ (x/a) + C
(D) 1/x + C
Answer: (A)

Q8. ∫ tan x dx का सही उत्तर :
(A) –log |cos x| + C
(B) log |sec x| + C
(C) sin x + C
(D) cos x + C
Answer: (A)

Q9. ∫ dx / sinh x का उत्तर :
(A) log |tanh (x/2)| + C
(B) log |sinh x| + C
(C) cosh x + C
(D) sinh x + C
Answer: (A)

Q10. ∫ dx / cosh x का उत्तर :
(A) 2 tan⁻¹ e^x + C
(B) log |tanh (x/2)| + C
(C) sinh x + C
(D) cosh x + C
Answer: (A)

Q11. ∫ x e^x dx का हल :
(A) e^x (x – 1) + C
(B) e^x (x + 1) + C
(C) e^x + C
(D) x e^x + C
Answer: (A)

Q12. ∫ x³ dx का उत्तर :
(A) x⁴/4 + C
(B) x³/3 + C
(C) x²/2 + C
(D) log x + C
Answer: (A)

Q13. ∫ cos²x dx का उत्तर :
(A) (x/2) + (sin 2x)/4 + C
(B) (x/2) – (sin 2x)/4 + C
(C) (x/2) + (cos 2x)/4 + C
(D) (x/2) – (cos 2x)/4 + C
Answer: (B)

Q14. ∫ dx / (x⁴ + 1) को हल करने का सही तरीका :
(A) आंशिक भिन्न
(B) प्रतिस्थापन
(C) सीधे सूत्र
(D) भागफल विधि
Answer: (A)

Q15. ∫ log x dx का उत्तर :
(A) x log x – x + C
(B) log x + C
(C) 1/x + C
(D) x + C
Answer: (A)

Q16. ∫ sin 2x dx :
(A) –1/2 cos 2x + C
(B) 1/2 cos 2x + C
(C) –1/2 sin 2x + C
(D) sin 2x + C
Answer: (A)

Q17. ∫ 0 dx का उत्तर :
(A) C
(B) x + C
(C) 0 + C
(D) x
Answer: (A)

Q18. ∫ dx / (x² + a²)² का उत्तर :
(A) (1/2) (x / (x² + a²)) + (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(B) (1/2) (x / (x² + a²)) – (1/2a) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) x / (x² + a²) + C
(D) –x / (x² + a²) + C
Answer: (A)

Q19. यदि ∫ f(x) dx = x² + C हो, तो f(x) क्या होगा?
(A) 2x
(B) x
(C) x²
(D) 1
Answer: (A)

Q20. ∫ x² / (x² + 1) dx का उत्तर :
(A) x – tan⁻¹ x + C
(B) x + tan⁻¹ x + C
(C) log (x² + 1) + C
(D) (x² + 1)/2 + C
Answer: (A)

Q21. ∫ dx / (a + bx)² का उत्तर :
(A) –1 / (b(a + bx)) + C
(B) log |x + a| + C
(C) x / (a + bx) + C
(D) 1 / (a + bx) + C
Answer: (A)

Q22. ∫ dx / tan²x का उत्तर :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)

Q23. ∫ dx / sin²x का उत्तर :
(A) –cot x + C
(B) cot x + C
(C) tan x + C
(D) sec x + C
Answer: (A)

Q24. ∫ cos x / (1 + sin x) dx :
(A) log |1 + sin x| + C
(B) log |1 – sin x| + C
(C) tan x + C
(D) cos x + C
Answer: (A)

Q25. ∫ sin x / (1 + cos x) dx :
(A) –log |1 + cos x| + C
(B) log |tan (x/2)| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) sin x + C
Answer: (B)

प्रश्न 26 से 50 (JEE ADVANCED LEVEL )

Q26. ∫ x / (x² + a²) dx का उत्तर :
(A) (1/2) log (x² + a²) + C
(B) tan⁻¹ (x/a) + C
(C) sin⁻¹ (x/a) + C
(D) log x + C
Answer: (A)

Q27. ∫ x / √(x² + a²) dx :
(A) √(x² + a²) + C
(B) x / √(x² + a²) + C
(C) 1 / √(x² + a²) + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)

Q28. ∫ e^(ax) sin bx dx का हल :
(A) e^(ax) / (a² + b²) (a sin bx – b cos bx) + C
(B) e^(ax) / (a² + b²) (b sin bx + a cos bx) + C
(C) e^(ax) / (a² + b²) (b sin bx – a cos bx) + C
(D) e^(ax) / (a² + b²) (a sin bx + b cos bx) + C
Answer: (A)

Q29. ∫ e^(ax) cos bx dx का हल :
(A) e^(ax) / (a² + b²) (a cos bx + b sin bx) + C
(B) e^(ax) / (a² + b²) (b cos bx + a sin bx) + C
(C) e^(ax) / (a² + b²) (a cos bx – b sin bx) + C
(D) e^(ax) / (a² + b²) (b sin bx – a cos bx) + C
Answer: (C)

Q30. यदि I = ∫ (x³ + 1)/(x² + 1) dx हो, तो I का मान :
(A) (x²/2) – tan⁻¹ x + x + C
(B) (x²/2) + tan⁻¹ x + x + C
(C) (x²/2) – tan⁻¹ x – x + C
(D) (x²/2) + log (x² + 1) + x + C
Answer: (A)

Q31. यदि I = ∫ (x⁴ + 1)/(x² + 1) dx हो, तो I का मान :
(A) (x³ / 3) – x + 2 tan⁻¹ x + C
(B) (x³ / 3) + x + 2 tan⁻¹ x + C
(C) (x³ / 3) – x – 2 tan⁻¹ x + C
(D) (x³ / 3) + log (x² + 1) + x + C
Answer: (A)

Q32. यदि I = ∫ sinⁿx dx, n > 1, तो इसका पुनरावर्ती सूत्र :
(A) Iₙ = –(sinⁿ⁻¹x cos x)/n + (n – 1)/n Iₙ₋₂
(B) Iₙ = (sinⁿ⁻¹x cos x)/n + (n – 1)/n Iₙ₋₂
(C) Iₙ = (sinⁿx cos x)/n + (n – 1)/n Iₙ₋₂
(D) Iₙ = (sinⁿ⁻¹x cos x)/n – (n – 1)/n Iₙ₋₂
Answer: (A)

Q33. ∫ tan³x dx :
(A) sec²x – log |cos x| + C
(B) sec²x + log |cos x| + C
(C) sec x + tan x + C
(D) sec²x + C
Answer: (A)

Q34. ∫ cot³x dx :
(A) –cot x + log |sin x| + C
(B) –cot x – log |sin x| + C
(C) cot x + log |sin x| + C
(D) cot x – log |sin x| + C
Answer: (A)

Q35. यदि I = ∫ x³ √(1 + x²) dx हो, तो I का हल :
(A) (1/3)(1 + x²)^(3/2) – (1/5)(1 + x²)^(5/2) + C
(B) (1/5)(1 + x²)^(5/2) – (1/3)(1 + x²)^(3/2) + C
(C) (1/3)(1 + x²)^(3/2) + (1/5)(1 + x²)^(5/2) + C
(D) (1/5)(1 + x²)^(5/2) + (1/3)(1 + x²)^(3/2) + C
Answer: (A)

Q36. यदि I = ∫ x² / √(1 + x²) dx, तो I का मान :
(A) (1/2)x√(1 + x²) – (1/2) log |x + √(1 + x²)| + C
(B) (1/2)x√(1 + x²) + (1/2) log |x + √(1 + x²)| + C
(C) x√(1 + x²) + log |x + √(1 + x²)| + C
(D) √(1 + x²) + log |x + √(1 + x²)| + C
Answer: (A)

Q37. ∫ x / (1 + x²) dx :
(A) (1/2) log (1 + x²) + C
(B) tan⁻¹ x + C
(C) sin⁻¹ x + C
(D) log x + C
Answer: (A)

Q38. ∫ cos 2x / (sin x + cos x)² dx :
(A) –1 / (sin x + cos x) + C
(B) log |sin x + cos x| + C
(C) log |sin x – cos x| + C
(D) 1 / (sin x + cos x)²
Answer: (A)

Q39. ∫ x tan⁻¹ x dx :
(A) (x² / 2) tan⁻¹ x – (1/2) log (1 + x²) + C
(B) (x² / 2) tan⁻¹ x + (1/2) log (1 + x²) + C
(C) (x² / 2) tan⁻¹ x – (1/2) log (1 – x²) + C
(D) (x² / 2) tan⁻¹ x + (1/2) log (1 – x²) + C
Answer: (A)

Q40. ∫ tan⁻¹ x / (1 + x²) dx :
(A) (1/2) (tan⁻¹ x)² + C
(B) log |1 + x²| + C
(C) tan⁻¹ x + C
(D) x / (1 + x²) + C
Answer: (A)

Q41. ∫ dx / (x√(x² – 1)) :
(A) sec⁻¹ |x| + C
(B) cos⁻¹ |x| + C
(C) sin⁻¹ |x| + C
(D) log |x| + C
Answer: (A)

Q42. ∫ sec³x dx :
(A) (1/2)(sec x tan x + log |sec x + tan x|) + C
(B) (1/2)(sec x tan x – log |sec x + tan x|) + C
(C) sec x tan x + log |sec x + tan x| + C
(D) sec x + tan x + C
Answer: (C)

Q43. यदि I = ∫ log x dx, तो I का मान है :
(A) x log x – x + C
(B) log x + C
(C) 1/x + C
(D) x + C
Answer: (A)

Q44. ∫ e^(x) cos x dx :
(A) e^x / 2 (cos x + sin x) + C
(B) e^x / 2 (cos x – sin x) + C
(C) e^x (cos x – sin x) + C
(D) e^x (cos x + sin x) + C
Answer: (A)

Q45. ∫ e^(x) sin x dx :
(A) e^x / 2 (sin x – cos x) + C
(B) e^x / 2 (sin x + cos x) + C
(C) e^x (sin x – cos x) + C
(D) e^x (sin x + cos x) + C
Answer: (A)

Q46. ∫ (sin x – cos x) / (sin x + cos x) dx :
(A) log |sin x + cos x| + C
(B) –2 tan⁻¹ (sin x / cos x) + C
(C) log |tan (x/2)| + C
(D) cos x + C
Answer: (A)

Q47. ∫ dx / (1 – sin x) :
(A) tan (π/4 – x/2) + C
(B) cot (π/4 – x/2) + C
(C) tan (x/2) + C
(D) cot (x/2) + C
Answer: (B)

Q48. ∫ dx / (1 + cos x) :
(A) tan (x/2) + C
(B) cot (x/2) + C
(C) log |tan (x/2)| + C
(D) log |cot (x/2)| + C
Answer: (A)

Q49. ∫ dx / (1 + sin x) :
(A) tan (π/4 – x/2) + C
(B) cot (π/4 – x/2) + C
(C) tan (x/2) + C
(D) cot (x/2) + C
Answer: (A)

Q50. ∫ dx / (1 – cos x) :
(A) cot (x/2) + C
(B) tan (x/2) + C
(C) log |cot (x/2)| + C
(D) log |tan (x/2)| + C
Answer: (B)

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