Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 5: सततता एवं अवकलनीयता
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔷 पाठ की रूपरेखा
यह अध्याय दो प्रमुख भागों में विभाजित है:
1️⃣ सततता (Continuity)
2️⃣ अवकलनीयता (Differentiability)
यह अध्याय फलनों की निरंतरता, असततता और अवकलनीयता की अवधारणाओं को विस्तार से समझाता है।
🌿 1. सततता (Continuity)
🔵 परिभाषा:
किसी फलन f(x) को बिन्दु x = a पर सतत कहा जाता है यदि
limₓ→a⁻ f(x) = limₓ→a⁺ f(x) = f(a)
🧠 इसका अर्थ है —
➡️ बाएँ सीमा (LHL), दाएँ सीमा (RHL) और फलन का मान f(a) तीनों समान होने चाहिए।
✔️ यदि ये तीनों बराबर हैं ⇒ फलन बिन्दु x = a पर सतत है।
🔵 सततता की शर्तें:
1️⃣ फलन उस बिन्दु पर परिभाषित हो।
2️⃣ सीमा (limit) उस बिन्दु पर अस्तित्व रखे।
3️⃣ सीमा का मान = फलन का मान।
🔵 ग्राफ द्वारा पहचान:
यदि ग्राफ में कोई टूटन नहीं है ⇒ फलन सतत है।
यदि ग्राफ में छलाँग या अंतराल है ⇒ फलन असतत है।
🔵 सतत फलनों के गुण:
यदि f(x) और g(x) किसी बिन्दु पर सतत हैं, तो
✔️ f(x) ± g(x) भी सतत है।
✔️ f(x) × g(x) भी सतत है।
✔️ f(x)/g(x) भी सतत है (यदि g(x) ≠ 0)।
✔️ समिश्र फलन f(g(x)) भी सतत है।
🔵 उदाहरण:
✔️ बहुपद फलन (polynomial) सर्वत्र सतत होते हैं।
✔️ त्रिकोणमितीय फलन sinx, cosx अपने परिभाषा क्षेत्र में सतत होते हैं।
✔️ घातांकीय (eˣ) और लघुगणकीय (logx) फलन भी अपने क्षेत्र में सतत हैं।
✏️ नोट:
sinx, cosx, tanx, eˣ, logx जैसे फलन अपने परिभाषा क्षेत्र में सतत हैं।
🌿 2. अवकलनीयता (Differentiability)
🔵 परिभाषा:
फलन f(x) बिन्दु x = a पर अवकलनीय होगा यदि
f′(a) = limₕ→0 [f(a + h) − f(a)] / h
अस्तित्व रखता हो और सीमित हो।
✔️ तब f′(a) उस बिन्दु पर अवकलज कहलाता है।
🧠 मुख्य तथ्य:
यदि फलन किसी बिन्दु पर अवकलनीय है ⇒ वह वहाँ सतत भी होगा।
परन्तु यदि फलन सतत है ⇒ वह आवश्यक नहीं कि अवकलनीय भी हो।
📌 उदाहरण: f(x) = |x| बिन्दु x = 0 पर सतत है, परन्तु अवकलनीय नहीं।
🔵 परीक्षण:
यदि
LHD = limₕ→0⁻ [f(a + h) − f(a)] / h
RHD = limₕ→0⁺ [f(a + h) − f(a)] / h
और LHD = RHD ⇒ फलन अवकलनीय।
अन्यथा फलन अवकलनीय नहीं।
🌿 3. सततता और अवकलनीयता का संबंध
✔️ अवकलनीयता ⇒ सततता
❌ सततता ⇒ अवकलनीयता नहीं
🌿 4. अवकलनीयता के नियम
🔸 (f + g)′ = f′ + g′
🔸 (f − g)′ = f′ − g′
🔸 (f × g)′ = f′g + fg′
🔸 (f / g)′ = (f′g − fg′) / g²
🌿 5. श्रृंखला नियम (Chain Rule)
यदि y = f(g(x)), तो
dy/dx = (df/dg) × (dg/dx)
🌿 6. मानक अवकलज
1️⃣ d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
2️⃣ d/dx (sinx) = cosx
3️⃣ d/dx (cosx) = −sinx
4️⃣ d/dx (tanx) = sec²x
5️⃣ d/dx (eˣ) = eˣ
6️⃣ d/dx (logx) = 1/x
🌿 7. असततता के प्रकार
🔸 हटाने योग्य (Removable): सीमा अस्तित्व रखती है पर फलन का मान अलग।
🔸 छलाँग असततता (Jump): LHL ≠ RHL
🔸 अनन्त असततता (Infinite): सीमा अनन्त।
🌿 8. सतत फलनों के प्रमेय
यदि f(x) [a, b] पर सतत है:
✔️ सीमित है
✔️ अधिकतम व न्यूनतम मान लेता है
✔️ मध्य मान प्रमेय लागू होता है
🌿 9. उदाहरण
✳️ उदाहरण 1:
f(x) = |x|
x = 0 पर:
LHL = 0, RHL = 0, f(0) = 0 ⇒ सतत
परन्तु LHD = −1, RHD = 1 ⇒ अवकलनीय नहीं
✳️ उदाहरण 2:
f(x) = x²
सर्वत्र सतत व अवकलनीय
🌿 10. विशेष फलनों की सततता/अवकलनीयता
✔️ x², sinx, cosx, eˣ, logx सर्वत्र सतत और अवकलनीय
✔️ |x| सतत पर x = 0 पर अवकलनीय नहीं
🌿 11. ग्राफ पर प्रभाव
सतत फलन का ग्राफ बिना टूटे बना सकते हैं।
अवकलनीय फलन का ग्राफ चिकना होता है (कोई कोण नहीं)।
🌟 सारांश (Summary)
🔹 सततता की शर्त: LHL = RHL = f(a)
🔹 अवकलनीयता की शर्त: LHD = RHD = सीमित
🔹 अवकलनीयता ⇒ सततता
🔹 सतत फलनों के संयोजन, योग, गुणन, भाग फलन भी सतत
🔹 श्रृंखला नियम: dy/dx = (df/dg) × (dg/dx)
🔹 मानक अवकलज:
• d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
• d/dx (sinx) = cosx
• d/dx (cosx) = −sinx
🔹 असततता के प्रकार: हटाने योग्य, छलाँग, अनन्त
🔹 |x| का ग्राफ सतत पर अवकलनीय नहीं
📝 Quick Recap
✔️ सततता: limₓ→a⁻ f(x) = limₓ→a⁺ f(x) = f(a)
✔️ अवकलनीयता: LHD = RHD = सीमित
✔️ अवकलनीय ⇒ सतत
✔️ सतत ⇒ आवश्यक नहीं अवकलनीय
✔️ बहुपद, sinx, cosx, eˣ, logx सर्वत्र सतत और अवकलनीय
✔️ श्रृंखला नियम: dy/dx = (df/dg) × (dg/dx)
✔️ |x| सतत पर x = 0 पर अवकलनीय नहीं
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
📄 प्रश्नावली 5.1
🔵 प्रश्न 1:
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x − 3, x = 0, x = −3 तथा x = 5 पर सतत है।
🟢 उत्तर:
✳️ फलन: f(x) = 5x − 3
यह एक बहुपद (polynomial) फलन है।
💡 सिद्धांत:
हर बहुपद फलन अपने परिभाषा क्षेत्र (domain) के प्रत्येक बिंदु पर सतत होता है।
अतः
f(x) = 5x − 3
x = 0, x = −3, और x = 5 पर सतत है।
✔️ निष्कर्ष: फलन f(x) = 5x − 3 सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है।
🔵 प्रश्न 2:
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² − 1 के सतत होने की जाँच कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ फलन: f(x) = 2x² − 1
✳️ x = 3 पर जाँच:
limₓ→3 f(x) = 2(3)² − 1 = 2×9 − 1 = 18 − 1 = 17
f(3) = 2(3)² − 1 = 17
➡️ limₓ→3 f(x) = f(3)
✔️ निष्कर्ष: f(x) x = 3 पर सतत है।
🔵 प्रश्न 3:
निम्नलिखित फलनों के सतत होने की जाँच कीजिए:
(a) f(x) = x − 5
(b) f(x) = 1 / (x − 5), x ≠ 5
(c) f(x) = (x² − 25)/(x + 5), x ≠ −5
(d) f(x) = |x − 5|
🟢 उत्तर:
(a) ✳️ f(x) = x − 5
यह बहुपद फलन है → सभी x पर सतत।
(b) ✳️ f(x) = 1 / (x − 5)
x = 5 पर परिभाषित नहीं है → वहाँ असतत।
✔️ x ≠ 5 पर सतत, x = 5 पर असतत।
(c) ✳️ f(x) = (x² − 25)/(x + 5)
सरलीकरण: (x − 5)(x + 5)/(x + 5) = x − 5, x ≠ −5
यह फलन x = −5 पर परिभाषित नहीं → वहाँ असतत।
✔️ अन्यत्र सतत।
(d) ✳️ f(x) = |x − 5|
मॉड फलन सदैव सतत होता है।
✔️ सभी x पर सतत।
🔵 प्रश्न 4:
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n पर सतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
🟢 उत्तर:
✳️ फलन: f(x) = xⁿ
यह एक बहुपद फलन है।
limₓ→n f(x) = limₓ→n xⁿ = nⁿ
f(n) = nⁿ
➡️ limₓ→n f(x) = f(n)
✔️ अतः f(x) x = n पर सतत है।
🔵 प्रश्न 5:
फलन
f(x) = { x, यदि x ≤ 1
5, यदि x > 1 }
द्वारा परिभाषित फलन f
x = 0, x = 1, तथा x = 2 पर सतत है या नहीं, जाँच कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ x = 0 पर:
f(0) = 0, और limₓ→0 f(x) = 0
➡️ सतत ✔️
✳️ x = 1 पर:
बाएँ सीमा (LHL) = limₓ→1⁻ f(x) = 1
दाएँ सीमा (RHL) = limₓ→1⁺ f(x) = 5
f(1) = 1
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ असतत ❌
✳️ x = 2 पर:
x > 1 ⇒ f(2) = 5
आस-पास के सभी मान f(x) = 5 ⇒ सतत ✔️
✔️ निष्कर्ष:
f(x) x = 0 और x = 2 पर सतत है, x = 1 पर असतत है।
प्रश्न:
f के सभी असांतत्य (discontinuity) के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जब कि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
🔵 प्रश्न 6:
f(x) =
{ 2x + 3, यदि x ≤ 2
{ 2x − 3, यदि x > 2
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 2
✳️ LHL = limₓ→2⁻ f(x) = 2(2) + 3 = 7
✳️ RHL = limₓ→2⁺ f(x) = 2(2) − 3 = 1
f(2) = 2(2) + 3 = 7
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ असतत।
✔️ असांतत्य बिंदु: x = 2
🔵 प्रश्न 7:
f(x) =
{ |x| + 3, यदि x ≤ −3
{ −2x, यदि −3 < x < 3
{ 6x + 2, यदि x ≥ 3
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = −3, x = 3
(i) x = −3 पर:
LHL = limₓ→(−3)⁻ (|x| + 3) = 3 + 3 = 6
RHL = limₓ→(−3)⁺ (−2x) = −2(−3) = 6
f(−3) = |−3| + 3 = 6
➡️ LHL = RHL = f(−3) ⇒ सतत ✔️
(ii) x = 3 पर:
LHL = limₓ→3⁻ (−2x) = −6
RHL = limₓ→3⁺ (6x + 2) = 18 + 2 = 20
f(3) = 6(3) + 2 = 20
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ असतत ❌
✔️ असांतत्य बिंदु: x = 3
🔵 प्रश्न 8:
f(x) =
{ |x|/x, यदि x ≠ 0
{ 0, यदि x = 0
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 0
LHL = limₓ→0⁻ (|x|/x) = (−x)/x = −1
RHL = limₓ→0⁺ (|x|/x) = x/x = 1
f(0) = 0
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ असतत x = 0 पर।
✔️ असांतत्य बिंदु: x = 0
🔵 प्रश्न 9:
f(x) =
{ x/|x|, यदि x < 0
{ −1, यदि x ≥ 0
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 0
LHL = limₓ→0⁻ (x/|x|) = x/(−x) = −1
RHL = limₓ→0⁺ (−1) = −1
f(0) = −1
➡️ LHL = RHL = f(0) ⇒ सतत
✔️ कोई असांतत्य बिंदु नहीं
🔵 प्रश्न 10:
f(x) =
{ x + 1, यदि x ≥ 1
{ x² + 1, यदि x < 1
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 1
LHL = limₓ→1⁻ (x² + 1) = 1 + 1 = 2
RHL = limₓ→1⁺ (x + 1) = 2
f(1) = 1 + 1 = 2
➡️ LHL = RHL = f(1) ⇒ सतत ✔️
✔️ कोई असांतत्य नहीं
🔵 प्रश्न 11:
f(x) =
{ x³ − 3, यदि x ≤ 2
{ x² + 1, यदि x > 2
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 2
LHL = limₓ→2⁻ (x³ − 3) = 8 − 3 = 5
RHL = limₓ→2⁺ (x² + 1) = 4 + 1 = 5
f(2) = 2³ − 3 = 5
➡️ LHL = RHL = f(2) ⇒ सतत ✔️
✔️ कोई असांतत्य नहीं
🔵 प्रश्न 12:
f(x) =
{ x¹⁰ − 1, यदि x ≤ 1
{ x², यदि x > 1
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 1
LHL = limₓ→1⁻ (x¹⁰ − 1) = 1 − 1 = 0
RHL = limₓ→1⁺ (x²) = 1
f(1) = 1¹⁰ − 1 = 0
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ असतत
✔️ असांतत्य बिंदु: x = 1
🔵 प्रश्न 13:
क्या
f(x) = { x + 5, यदि x ≤ 1
{ x − 5, यदि x > 1
द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है?
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 1
LHL = limₓ→1⁻ (x + 5) = 1 + 5 = 6
RHL = limₓ→1⁺ (x − 5) = 1 − 5 = −4
f(1) = 1 + 5 = 6
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ x = 1 पर असतत
✔️ फलन सतत नहीं है।
🔵 प्रश्न 14:
f(x) =
{ 3, यदि 0 ≤ x ≤ 1
{ 4, यदि 1 < x < 3
{ 5, यदि 3 ≤ x ≤ 10
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 1, x = 3
(i) x = 1 पर:
LHL = 3, RHL = 4 ⇒ असतत ❌
(ii) x = 3 पर:
LHL = 4, RHL = 5 ⇒ असतत ❌
✔️ असांतत्य बिंदु: x = 1, x = 3
🔵 प्रश्न 15:
f(x) =
{ 2x, यदि x < 0
{ 0, यदि 0 ≤ x ≤ 1
{ 4x, यदि x > 1
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 0, x = 1
(i) x = 0 पर:
LHL = limₓ→0⁻ (2x) = 0
RHL = limₓ→0⁺ (0) = 0
f(0) = 0
➡️ सतत ✔️
(ii) x = 1 पर:
LHL = 0
RHL = 4(1) = 4
f(1) = 0
➡️ LHL ≠ RHL ⇒ असतत ❌
✔️ असांतत्य बिंदु: x = 1
🔵 प्रश्न 16:
f(x) =
{ −2, यदि x ≤ −1
{ 2x, यदि −1 < x ≤ 1
{ 2, यदि x > 1
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = −1, x = 1
(i) x = −1 पर:
LHL = −2
RHL = 2(−1) = −2
f(−1) = −2
➡️ सतत ✔️
(ii) x = 1 पर:
LHL = 2(1) = 2
RHL = 2
f(1) = 2
➡️ सतत ✔️
✔️ कोई असांतत्य नहीं ✅
🔵 प्रश्न 17:
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
f(x) = { a·x + 1, यदि x ≤ 3
{ b·x + 3, यदि x > 3
द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर सतत है।
🟢 उत्तर:
x = 3 पर सतत होने हेतु:
limₓ→3⁻ f(x) = limₓ→3⁺ f(x) = f(3)
LHL = a·3 + 1 = 3a + 1
RHL = b·3 + 3 = 3b + 3
f(3) = 3a + 1
सततता हेतु:
3a + 1 = 3b + 3
➡️ 3a − 3b = 2
➡️ a − b = 2/3
✔️ शर्त: a − b = 2/3
(a, b) के कोई भी युग्म जो इस शर्त को संतुष्ट करें फलन को x = 3 पर सतत बनाएँगे।
उदाहरण:
यदि a = 1 ⇒ b = 1 − 2/3 = 1/3
🔵 प्रश्न 23:
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ
f(x) =
{ (sin x)/x, यदि x < 0
{ x + 1, यदि x ≥ 0
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 0
➡️ LHL = limₓ→0⁻ (sin x / x) = 1
➡️ RHL = limₓ→0⁺ (x + 1) = 0 + 1 = 1
➡️ f(0) = 0 + 1 = 1
✔️ LHL = RHL = f(0) ⇒ f(x) x = 0 पर सतत है।
✅ कोई असांतत्य बिंदु नहीं।
🔵 प्रश्न 24:
निर्धारित कीजिए कि फलन
f(x) =
{ x² sin(1/x), यदि x ≠ 0
{ 0, यदि x = 0
एक सतत फलन है या नहीं।
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 0
➡️ जब x ≠ 0, f(x) = x² sin(1/x)
हम जानते हैं कि −1 ≤ sin(1/x) ≤ 1
⇒ −x² ≤ x² sin(1/x) ≤ x²
जब x → 0, दोनों सीमाएँ 0 पर जाती हैं ⇒
limₓ→0 f(x) = 0
f(0) = 0
✔️ limₓ→0 f(x) = f(0) ⇒ सतत फलन ✅
🔵 प्रश्न 25:
f की सततता की जाँच कीजिए, जहाँ
f(x) =
{ sin x − cos x, यदि x ≠ 0
{ −1, यदि x = 0
🟢 उत्तर:
✳️ संभावित असांतत्य बिंदु: x = 0
➡️ LHL = RHL = limₓ→0 (sin x − cos x)
= sin(0) − cos(0)
= 0 − 1 = −1
➡️ f(0) = −1
✔️ LHL = RHL = f(0) ⇒ x = 0 पर सतत ✅
✔️ कोई असांतत्य बिंदु नहीं।
🔵 प्रश्न 26:
f(x) =
{ (k·cos x)/(π − 2x), यदि x ≠ π/2
{ 3, यदि x = π/2 }
फलन x = π/2 पर सतत है।
🟢 उत्तर:
✳️ सततता हेतु शर्त:
limₓ→(π/2) f(x) = f(π/2)
➡️ f(π/2) = 3
अब limₓ→(π/2) (k·cos x)/(π − 2x)
👉 x → π/2 पर cos(π/2) = 0, π − 2x → 0 ⇒ रूप 0/0, L’Hospital विधि से:
limₓ→(π/2) f(x) = limₓ→(π/2) [d/dx (k·cos x) / d/dx (π − 2x)]
= limₓ→(π/2) [ (−k·sin x)/(−2) ]
= (k/2)·sin(π/2) = k/2
सततता हेतु:
k/2 = 3
➡️ k = 6
✔️ k = 6 पर फलन x = π/2 पर सतत ✅
🔵 प्रश्न 27:
f(x) =
{ kx², यदि x ≤ 2
{ 3, यदि x > 2 }
फलन x = 2 पर सतत है।
🟢 उत्तर:
सततता हेतु:
limₓ→2⁻ f(x) = limₓ→2⁺ f(x) = f(2)
➡️ LHL = k(2)² = 4k
➡️ RHL = 3
➡️ f(2) = 4k
सततता हेतु: 4k = 3
➡️ k = 3/4
✔️ k = 3/4 पर सतत ✅
🔵 प्रश्न 28:
f(x) =
{ kx + 1, यदि x ≤ π
{ cos x, यदि x > π }
फलन x = π पर सतत है।
🟢 उत्तर:
LHL = kπ + 1
RHL = cos π = −1
f(π) = kπ + 1
सततता हेतु:
kπ + 1 = −1
➡️ kπ = −2
➡️ k = −2/π
✔️ k = −2/π पर फलन x = π पर सतत ✅
🔵 प्रश्न 29:
f(x) =
{ kx + 1, यदि x ≤ 5
{ 3x − 5, यदि x > 5 }
फलन x = 5 पर सतत है।
🟢 उत्तर:
LHL = k(5) + 1 = 5k + 1
RHL = 3(5) − 5 = 15 − 5 = 10
f(5) = 5k + 1
सततता हेतु:
5k + 1 = 10
➡️ 5k = 9
➡️ k = 9/5
✔️ k = 9/5 पर फलन x = 5 पर सतत ✅
🔵 प्रश्न 30:
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
f(x) =
{ 5, यदि x ≤ 2
{ ax + b, यदि 2 < x < 10
{ 21, यदि x ≥ 10 }
द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन हो।
🟢 उत्तर:
सततता के लिए, x = 2 और x = 10 पर f(x) सतत होना चाहिए।
(i) x = 2 पर:
➡️ LHL = f(2⁻) = 5
➡️ RHL = f(2⁺) = 2a + b
➡️ f(2) = 5
✔️ 2a + b = 5 …(1)
(ii) x = 10 पर:
➡️ LHL = f(10⁻) = 10a + b
➡️ RHL = f(10⁺) = 21
➡️ f(10) = 21
✔️ 10a + b = 21 …(2)
अब (1) और (2) हल करें:
(2) − (1):
(10a + b) − (2a + b) = 21 − 5
➡️ 8a = 16
➡️ a = 2
अब a = 2 को (1) में रखें:
2(2) + b = 5
➡️ 4 + b = 5
➡️ b = 1
✔️ a = 2, b = 1 पर फलन सतत ✅
🔵 प्रश्न 31:
दर्शाइए कि f(x) = cos(x²) द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।
🟢 उत्तर:
f(x) = cos(x²) एक संयोजन (composition) है दो सतत फलनों का:
x² और cos(x)
चूँकि x² तथा cos(x) दोनों सतत हैं, अतः f(x) भी सर्वत्र सतत है।
✔️ f(x) = cos(x²) सतत फलन है ✅
🔵 प्रश्न 32:
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।
🟢 उत्तर:
cos x सर्वत्र सतत है
|x| फलन भी सर्वत्र सतत है
सतत फलनों का संयोजन (composition) भी सतत होता है
✔️ अतः f(x) = |cos x| सर्वत्र सतत फलन है ✅
🔵 प्रश्न 33:
जाँचिए कि क्या sin|x| एक सतत फलन है।
🟢 उत्तर:
|x| फलन सर्वत्र सतत है
sin x फलन भी सर्वत्र सतत है
संयोजन sin(|x|) ⇒ सतत फलन
✔️ sin|x| सर्वत्र सतत फलन है ✅
🔵 प्रश्न 34:
f(x) = |x| − |x + 1| + 1 द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ |x|, |x + 1| दोनों सर्वत्र सतत हैं
इनका रैखिक संयोजन (linear combination) भी सर्वत्र सतत होता है
इसलिए f(x) सर्वत्र सतत है
✔️ कोई असांतत्य बिंदु नहीं ✅
📄 प्रश्नावली 5.2
🔵 प्रश्न 1:
f(x) = sin(x² + 5)
🟢 उत्तर:
f'(x) = cos(x² + 5) × 2x = 2x·cos(x² + 5)
🔵 प्रश्न 2:
f(x) = cos(sin x)
🟢 उत्तर:
f'(x) = −sin(sin x) × cos x = −cos x·sin(sin x)
🔵 प्रश्न 3:
f(x) = sin(ax + b)
🟢 उत्तर:
f'(x) = cos(ax + b) × a = a·cos(ax + b)
🔵 प्रश्न 4:
f(x) = sec(tan(√x))
🟢 उत्तर:
f'(x) = sec(tan(√x))·tan(tan(√x)) × (1/(2√x)) × sec²(√x)
= [sec(tan(√x))·tan(tan(√x))·sec²(√x)] / (2√x)
🔵 प्रश्न 5:
f(x) = [sin(ax + b)] / [cos(cx + d)]
🟢 उत्तर (भागफल नियम):
f'(x) =
{ [cos(ax + b)·a·cos(cx + d)] − [sin(ax + b)·(−sin(cx + d)·c)] } / [cos²(cx + d)]
= [a·cos(ax + b)·cos(cx + d) + c·sin(ax + b)·sin(cx + d)] / cos²(cx + d)
🔵 प्रश्न 6:
f(x) = cos(x³)·sin²(x⁵)
🟢 उत्तर (गुणन नियम):
f'(x) = [−sin(x³)·3x²]·sin²(x⁵) + cos(x³)·2sin(x⁵)·cos(x⁵)·5x⁴
= −3x²·sin(x³)·sin²(x⁵) + 10x⁴·cos(x³)·sin(x⁵)·cos(x⁵)
🔵 प्रश्न 7:
f(x) = 2√(cot(x²))
🟢 उत्तर:
f(x) = 2(cot(x²))^(1/2)
f'(x) = 2 × (1/2)(cot(x²))^(−1/2) × [−csc²(x²)] × 2x
= [−2x·csc²(x²)] / √(cot(x²))
🔵 प्रश्न 8:
f(x) = cos(√x)
🟢 उत्तर:
f'(x) = −sin(√x) × (1/(2√x))
= −[sin(√x)] / [2√x]
🔵 प्रश्न 9:
सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x − 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
🟢 उत्तर:
f(x) = { x − 1, यदि x ≥ 1 ; 1 − x, यदि x < 1 }
f'(x) = { 1, यदि x > 1 ; −1, यदि x < 1 }
x = 1 पर:
बाएँ अवकलज = −1, दाएँ अवकलज = 1
➡️ असमान ⇒ x = 1 पर अवकलनीय नहीं ✅
🔵 प्रश्न 10:
सिद्ध कीजिए कि f(x) = ⌊x⌋ (महत्तम पूर्णांक फलन)
0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।
🟢 उत्तर:
f(x) = ⌊x⌋ हर बिंदु पर स्थिर होता है, पर
x = 1 तथा x = 2 पर मान अचानक बदलता है ⇒ छलांग असांतत्य
➡️ इन बिंदुओं पर सीमा भिन्न ⇒ x = 1, 2 पर अवकलनीय नहीं ✅
📄 प्रश्नावली 5.3
🔵 प्रश्न 1:
2x + 3y = sin x
🟢 उत्तर:
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
2 + 3(dy/dx) = cos x
➡️ 3(dy/dx) = cos x − 2
✔️ dy/dx = (cos x − 2) / 3
🔵 प्रश्न 2:
2x + 3y = sin y
🟢 उत्तर:
2 + 3(dy/dx) = cos y × (dy/dx)
➡️ 3(dy/dx) − cos y(dy/dx) = −2
➡️ dy/dx(3 − cos y) = −2
✔️ dy/dx = −2 / (3 − cos y)
🔵 प्रश्न 3:
a·x + b·y² = cos y
🟢 उत्तर:
a + 2b·y(dy/dx) = −sin y × (dy/dx)
➡️ dy/dx(2b·y + sin y) = −a
✔️ dy/dx = −a / (2b·y + sin y)
🔵 प्रश्न 4:
x·y + y² = tan x + y
🟢 उत्तर:
(x)(dy/dx) + y + 2y(dy/dx) = sec²x + (dy/dx)
➡️ dy/dx(x + 2y − 1) = sec²x − y
✔️ dy/dx = (sec²x − y) / (x + 2y − 1)
🔵 प्रश्न 5:
x² + x·y + y² = 100
🟢 उत्तर:
2x + y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0
➡️ dy/dx(x + 2y) = −(2x + y)
✔️ dy/dx = −(2x + y) / (x + 2y)
🔵 प्रश्न 6:
x³ + x²y + x·y² + y³ = 81
🟢 उत्तर:
3x² + 2x·y + x²(dy/dx) + y² + 2x·y(dy/dx) + 3y²(dy/dx) = 0
➡️ dy/dx(x² + 2x·y + 3y²) = −(3x² + 2x·y + y²)
✔️ dy/dx = −(3x² + 2x·y + y²) / (x² + 2x·y + 3y²)
🔵 प्रश्न 7:
sin²y + cos x·y = k
🟢 उत्तर:
2sin y·cos y(dy/dx) + (−sin x·y + cos x·dy/dx) = 0
➡️ dy/dx(2sin y·cos y + cos x) = y·sin x
✔️ dy/dx = (y·sin x) / (2sin y·cos y + cos x)
🔵 प्रश्न 8:
sin²x + cos²y = 1
🟢 उत्तर:
2sin x·cos x + 2cos y(−sin y)(dy/dx) = 0
➡️ 2sin x·cos x − 2cos y·sin y(dy/dx) = 0
➡️ dy/dx = (sin x·cos x) / (sin y·cos y)
✔️ dy/dx = (sin x·cos x) / (sin y·cos y)
🔵 प्रश्न 9:
y = sin⁻¹(2x / (1 + x²))
🟢 उत्तर:
dy/dx = 1 / √(1 − (2x/(1 + x²))²) × d/dx (2x/(1 + x²))
अब d/dx(2x/(1 + x²)) = [(2)(1 + x²) − 2x(2x)] / (1 + x²)²
= (2 + 2x² − 4x²)/(1 + x²)²
= 2(1 − x²)/(1 + x²)²
और 1 − (2x/(1 + x²))² = (1 − x²)²/(1 + x²)²
⇒ √(…) = (1 − x²)/(1 + x²)
dy/dx = [2(1 − x²)/(1 + x²)²] ÷ [(1 − x²)/(1 + x²)]
✔️ dy/dx = 2 / (1 + x²)
🔵 प्रश्न 10:
y = tan⁻¹[(3x − x³)/(1 − 3x²)], −1/√3 < x < 1/√3
🟢 उत्तर:
यह सूत्र tan(3θ) के रूप में है
⇒ tan 3θ = (3tan θ − tan³ θ)/(1 − 3tan² θ)
अतः y = tan⁻¹(tan 3x)
⇒ y = 3x
➡️ dy/dx = 3
🔵 प्रश्न 11:
y = cos⁻¹( (1 − x²)/(1 + x²) ), 0 < x < 1
🟢 उत्तर:
✳️ प्रतिस्थापन: x = tan θ, जहाँ 0 < θ < π/4
🟡 तब (1 − x²)/(1 + x²) = (1 − tan²θ)/(1 + tan²θ) = cos 2θ
🟡 अतः y = cos⁻¹(cos 2θ) = 2θ (क्योंकि 2θ ∈ (0, π/2) ⊂ [0, π])
🟡 dx/dθ = sec²θ ⇒ dθ/dx = 1/sec²θ = cos²θ = 1/(1 + x²)
➡️ dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = 2 / sec²θ = 2cos²θ = 2/(1 + x²)
✔️ Final उत्तर: dy/dx = 2/(1 + x²)
🔵 प्रश्न 12:
y = sin⁻¹( (1 − x²)/(1 + x²) ), 0 < x < 1
🟢 उत्तर:
✳️ वही प्रतिस्थापन: x = tan θ, 0 < θ < π/4
🟡 (1 − x²)/(1 + x²) = cos 2θ
🟡 sin(π/2 − 2θ) = cos 2θ ⇒ sin⁻¹(cos 2θ) = π/2 − 2θ (क्योंकि 2θ ∈ (0, π/2))
🟡 dθ/dx = 1/(1 + x²)
➡️ dy/dx = d/dx(π/2 − 2θ) = −2·dθ/dx = −2/(1 + x²)
✔️ Final उत्तर: dy/dx = −2/(1 + x²)
🔵 प्रश्न 13:
y = cos⁻¹( 2x/(1 + x²) ), −1 < x < 1
🟢 उत्तर:
✳️ प्रतिस्थापन: x = tan θ, जहाँ −π/4 < θ < π/4
🟡 2x/(1 + x²) = 2tanθ/(1 + tan²θ) = sin 2θ
🟡 cos⁻¹(sin 2θ) = cos⁻¹(cos(π/2 − 2θ)) = π/2 − 2θ (क्योंकि π/2 − 2θ ∈ (0, π))
🟡 dθ/dx = 1/(1 + x²)
➡️ dy/dx = d/dx(π/2 − 2θ) = −2/(1 + x²)
✔️ Final उत्तर: dy/dx = −2/(1 + x²)
🔵 प्रश्न 14:
y = sin⁻¹( 2x√(1 − x²) ), −1/√2 < x < 1/√2
🟢 उत्तर:
✳️ प्रतिस्थापन: x = sin θ, जहाँ −π/4 < θ < π/4 (क्योंकि |x| < 1/√2)
🟡 √(1 − x²) = √(1 − sin²θ) = cos θ (> 0 इस श्रेणी में)
🟡 2x√(1 − x²) = 2sinθ·cosθ = sin 2θ
🟡 y = sin⁻¹(sin 2θ) = 2θ (क्योंकि 2θ ∈ (−π/2, π/2))
🟡 dx/dθ = cos θ ⇒ dθ/dx = 1/cos θ = sec θ
➡️ dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = 2 / cos θ = 2/√(1 − x²)
✔️ Final उत्तर: dy/dx = 2/√(1 − x²)
🔵 प्रश्न 15:
y = sec⁻¹( 1/(2x² − 1) ), 0 < x < 1/√2
🟢 उत्तर:
✳️ प्रतिस्थापन: x = cos θ, जहाँ π/4 < θ < π/2 (क्योंकि 0 < x < 1/√2)
🟡 2x² − 1 = 2cos²θ − 1 = cos 2θ
🟡 1/(2x² − 1) = sec 2θ ⇒ y = sec⁻¹(sec 2θ) = 2θ (2θ ∈ (π/2, π) principal range)
🟡 dx/dθ = −sin θ ⇒ dθ/dx = −1/sin θ
➡️ dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = 2 · (−1/ sin θ) = −2/ sin θ = −2/√(1 − x²)
✔️ Final उत्तर: dy/dx = −2/√(1 − x²)
📄 प्रश्नावली 5.4
🔵 प्रश्न 1:
f(x) = eˣ / sinx
🟢 Step-by-Step:
✳️ u = eˣ, v = sinx ➜ f(x) = u/v
🟡 u’ = eˣ, v’ = cosx
🟡 नियम: (u/v)’ = (v·u’ − u·v’)/v²
➡️ f'(x) = [sinx·eˣ − eˣ·cosx]/(sinx)²
✔️ Final: f'(x) = eˣ(sinx − cosx)/sin²x
🔵 प्रश्न 2:
f(x) = e^(sin⁻¹x)
🟢 Step-by-Step:
✳️ मानें u(x) = sin⁻¹x
🟡 (e^u)’ = e^u·u’
🟡 (sin⁻¹x)’ = 1/√(1 − x²)
➡️ f'(x) = e^(sin⁻¹x)/√(1 − x²)
✔️ Final: f'(x) = e^(sin⁻¹x)/√(1 − x²)
🔵 प्रश्न 3:
f(x) = e^(x³)
🟢 Step-by-Step:
✳️ u(x) = x³
🟡 (e^u)’ = e^u·u’, u’ = 3x²
➡️ f'(x) = 3x²·e^(x³)
✔️ Final: f'(x) = 3x²·e^(x³)
🔵 प्रश्न 4:
🔵 प्रश्न 4: f(x) = sin(tan⁻¹(e^(−x))) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए
🧠 Step-by-Step Solution
🟢 Step 1:
फलन को लिखें –
f(x) = sin(tan⁻¹(e^(−x)))
🟢 Step 2:
मान लें
u = tan⁻¹(e^(−x))
तो, f(x) = sin(u)
🟢 Step 3:
अब श्रृंखला नियम (Chain Rule) से
f'(x) = cos(u) × (du/dx)
🟢 Step 4:
u = tan⁻¹(v), जहाँ v = e^(−x)
✳️ (tan⁻¹ v)’ = v’ / (1 + v²)
v = e^(−x) ⇒ v’ = −e^(−x)
इसलिए,
du/dx = [−e^(−x)] / [1 + e^(−2x)]
🟢 Step 5:
अब
f'(x) = cos(tan⁻¹(e^(−x))) × [−e^(−x) / (1 + e^(−2x))]
🟢 Step 6 (Optional Simplification):
त्रिकोणमितीय पहचान:
cos(tan⁻¹ t) = 1 / √(1 + t²)
यहाँ t = e^(−x)
तो cos(tan⁻¹(e^(−x))) = 1 / √(1 + e^(−2x))
🟢 Step 7:
अब f'(x) बनेगा:
f'(x) = −e^(−x) / [(1 + e^(−2x)) × √(1 + e^(−2x))]
✔️ Final Answer:
f'(x) = − e^(−x) / [(1 + e^(−2x))√(1 + e^(−2x))]
या बिना सरलीकरण के:
f'(x) = cos(tan⁻¹(e^(−x))) × [−e^(−x) / (1 + e^(−2x))]
🔵 प्रश्न 5:
f(x) = log(cos(eˣ))
🟢 Step-by-Step:
✳️ (log u)’ = u’/u
🟡 u(x)=cos(eˣ) ⇒ u’ = −sin(eˣ)·eˣ
➡️ f'(x) = [−sin(eˣ)·eˣ]/cos(eˣ)
✔️ Final: f'(x) = −eˣ·tan(eˣ)
🔵 प्रश्न 6:
f(x) = eˣ + e^(x²) + … + e^(x³)
🟢 Step-by-Step:
✳️ (eˣ)’ = eˣ
✳️ (e^(x²))’ = e^(x²)·2x
✳️ (e^(x³))’ = e^(x³)·3x²
➡️ f'(x) = eˣ + 2x·e^(x²) + 3x²·e^(x³)
✔️ Final: f'(x) = eˣ + 2x·e^(x²) + 3x²·e^(x³)
🔵 प्रश्न 7:
f(x) = √(e^(√x)), x > 0
🟢 Step-by-Step:
✳️ f(x) = (e^(√x))^{1/2} = e^{(√x)/2}
🟡 g(x) = (√x)/2 ⇒ g'(x) = (1/2)·(1/(2√x)) = 1/(4√x)
🟡 (e^{g})’ = e^{g}·g’
➡️ f'(x) = e^{(√x)/2}·[1/(4√x)]
✔️ Final: f'(x) = e^{√x/2}/(4√x)
🔵 प्रश्न 8:
f(x) = log(log x), x > 1
🟢 Step-by-Step:
✳️ (log u)’ = u’/u
🟡 u(x) = log x ⇒ u’ = 1/x
➡️ f'(x) = (1/x)/(log x)
✔️ Final: f'(x) = 1/[x·log x]
🔵 प्रश्न 9:
f(x) = cosx / logx, x > 0
🟢 Step-by-Step:
✳️ u = cosx, v = logx
🟡 u’ = −sinx, v’ = 1/x
🟡 (u/v)’ = (v·u’ − u·v’)/v²
➡️ f'(x) = [logx·(−sinx) − cosx·(1/x)]/(logx)²
✔️ Final: f'(x) = [−logx·sinx − (cosx/x)]/(logx)²
🔵 प्रश्न 10:
f(x) = cos(logx + eˣ)
🟢 Step-by-Step:
✳️ u(x) = logx + eˣ
🟡 (cos u)’ = −sin u·u’
🟡 u’ = 1/x + eˣ
➡️ f'(x) = −sin(logx + eˣ)·(1/x + eˣ)
✔️ Final: f'(x) = −sin(logx + eˣ)·(1/x + eˣ)
📄 प्रश्नावली 5.5
🔵 प्रश्न 1:
f(x) = cosx · cos2x · cos3x
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
🟢 Step-by-Step Solution:
✳️ यह तीन फलनों का गुणनफल है।
मान लें
u = cosx, v = cos2x, w = cos3x
➡️ f(x) = u·v·w
💡 नियम: (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’
अब,
u’ = −sinx
v’ = −2sin2x
w’ = −3sin3x
👉 f'(x) = (−sinx)·cos2x·cos3x + cosx·(−2sin2x)·cos3x + cosx·cos2x·(−3sin3x)
✔️ Final Answer:
f'(x) = −sinx·cos2x·cos3x − 2cosx·sin2x·cos3x − 3cosx·cos2x·sin3x
🔵 प्रश्न 2:
f(x) = √[(x−1)(x−2) / (x−3)(x−4)(x−5)]
🟢 Step-by-Step Solution:
✳️ f(x) = [(x−1)(x−2)]^(1/2) · [(x−3)(x−4)(x−5)]^(−1/2)
मान लें
u = (x−1)(x−2), v = (x−3)(x−4)(x−5)
➡️ f(x) = u^(1/2) · v^(−1/2)
💡 लॉगरिदमिक अवकलन विधि प्रयोग करें:
log f = (1/2)log u − (1/2)log v
दोनों पक्षों का अवकलन करें:
(1/f)·f’ = (1/2)·(u’/u) − (1/2)·(v’/v)
अब u और v के अवकलन करें:
u = (x−1)(x−2) ⇒ u’ = (x−1)'(x−2) + (x−1)(x−2)’ = 1·(x−2) + (x−1)·1 = 2x − 3
v = (x−3)(x−4)(x−5)
💡 (log v)’ = v’/v = (1/(x−3) + 1/(x−4) + 1/(x−5))
तो,
f’/f = (1/2)·[(2x−3)/((x−1)(x−2))] − (1/2)·[1/(x−3) + 1/(x−4) + 1/(x−5)]
✔️ Final:
f'(x) = f(x) × { (1/2)·[(2x−3)/((x−1)(x−2))] − (1/2)·[1/(x−3) + 1/(x−4) + 1/(x−5)] }
🔵 प्रश्न 3:
f(x) = (logx)^(cosx)
🟢 Step-by-Step Solution:
💡 लॉगरिदमिक अवकलन विधि से:
मान लें y = (logx)^(cosx)
दोनों ओर log लें:
log y = cosx · log(logx)
दोनों पक्षों का अवकलन करें:
(1/y)·dy/dx = (−sinx)·log(logx) + cosx·(1/logx)·(1/x)
✔️ dy/dx = y × [−sinx·log(logx) + cosx/(x·logx)]
अब y का मान पुनः रखें:
✔️ Final Answer:
f'(x) = (logx)^(cosx) × [−sinx·log(logx) + cosx/(x·logx)]
🔵 प्रश्न 4:
f(x) = xˣ − 2^(sinx)
🟢 Step-by-Step Solution:
➡️ f(x) = xˣ − 2^(sinx)
अब दो भागों में अवकलन करें:
(1) (xˣ)’ = xˣ(1 + logx)
(2) (2^(sinx))’ = 2^(sinx)·log2·cosx
✔️ f'(x) = xˣ(1 + logx) − 2^(sinx)·log2·cosx
🔵 प्रश्न 5:
f(x) = (x + 3)² · (x + 4)³ · (x + 5)⁴
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
🟢 Step-by-Step Solution:
✳️ लॉगरिदमिक अवकलन विधि से:
log f = 2log(x + 3) + 3log(x + 4) + 4log(x + 5)
➡️ दोनों ओर अवकलन:
(1/f)·f’ = 2/(x + 3) + 3/(x + 4) + 4/(x + 5)
✔️ Final Answer:
f'(x) = f(x) × [2/(x + 3) + 3/(x + 4) + 4/(x + 5)]
या,
f'(x) = (x + 3)²·(x + 4)³·(x + 5)⁴ × [2/(x + 3) + 3/(x + 4) + 4/(x + 5)]
🔵 प्रश्न 6:
f(x) = (x + 1/x)^x + x^(1 + 1/x)
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
🟢 चरण 1 : फलन को दो भागों में विभाजित करें
✳️ f(x) = u + v
🔹 जहाँ,
u = (x + 1/x)^x
v = x^(1 + 1/x)
➡️ f'(x) = u’ + v’
🟢 चरण 2 : पहले भाग का अवकलन — u = (x + 1/x)^x
✳️ लघुगणक लें
➡️ log u = x · log(x + 1/x)
✳️ दोनों ओर अवकलन करें
➡️ (1/u)·(du/dx) = log(x + 1/x) + x · [ (1 − 1/x²) / (x + 1/x) ]
✳️ भीतर के पद को सरल करें
➡️ x · (1 − 1/x²) / (x + 1/x) = (x² − 1)/(x² + 1)
✔️ तो,
(1/u)·(du/dx) = log(x + 1/x) + (x² − 1)/(x² + 1)
➡️ u’ = u · [ log(x + 1/x) + (x² − 1)/(x² + 1) ]
🧾 अर्थात्
✔️ u’ = (x + 1/x)^x · [ log(x + 1/x) + (x² − 1)/(x² + 1) ]
🟢 चरण 3 : दूसरे भाग का अवकलन — v = x^(1 + 1/x)
✳️ लघुगणक लें
➡️ log v = (1 + 1/x) · log x
✳️ दोनों ओर अवकलन करें
➡️ (1/v)·(dv/dx) = (−1/x²)·log x + (1 + 1/x)·(1/x)
✳️ सरलीकरण करें
➡️ (1 + 1/x)·(1/x) = 1/x + 1/x²
✔️ तो,
(1/v)·(dv/dx) = 1/x + 1/x² − (log x)/x²
➡️ v’ = v · [ 1/x + (1 − log x)/x² ]
🧾 अर्थात्
✔️ v’ = x^(1 + 1/x) · [ 1/x + (1 − log x)/x² ]
🟢 चरण 4 : दोनों अवकलजों को जोड़ना
➡️ f'(x) = (x + 1/x)^x · [ log(x + 1/x) + (x² − 1)/(x² + 1) ]
+ x^(1 + 1/x) · [ 1/x + (1 − log x)/x² ]
🟢 चरण 5 : परिभाषा क्षेत्र (Domain)
💡 log x तभी परिभाषित होता है जब x > 0
💡 तथा (x + 1/x) भी x > 0 पर धनात्मक होता है
✔️ अतः परिभाषा क्षेत्र (Domain): x > 0
🎯 अंतिम उत्तर:
f'(x) = (x + 1/x)^x · [ log(x + 1/x) + (x² − 1)/(x² + 1) ]
+ x^(1 + 1/x) · [ 1/x + (1 − log x)/x² ]
📘 परिभाषा क्षेत्र (Domain): x > 0
🔵 प्रश्न 7:
f(x) = (logx)^x + x^(logx)
🟢 Step-by-Step Solution:
(i) u = (logx)^x
➡️ log u = x·log(logx)
➡️ (1/u)·u’ = log(logx) + x·(1/logx)·(1/x) = log(logx) + 1/logx
➡️ u’ = (logx)^x × [log(logx) + 1/logx]
(ii) v = x^(logx)
➡️ log v = logx·logx = (logx)²
➡️ (1/v)·v’ = 2logx·(1/x)
➡️ v’ = x^(logx) × [2logx/x]
✔️ Final Answer:
f'(x) = (logx)^x × [log(logx) + 1/logx] + x^(logx) × [2logx/x]
🔵 प्रश्न 8:
f(x) = (sinx)^x + sin⁻¹(√x)
🟢 Step-by-Step Solution:
(i) u = (sinx)^x
➡️ log u = x·log(sinx)
➡️ (1/u)·u’ = log(sinx) + x·(1/sinx)·cosx
➡️ u’ = (sinx)^x × [log(sinx) + x·cotx]
(ii) v = sin⁻¹(√x)
➡️ v’ = 1/√(1 − x) × 1/(2√x) = 1/[2√x·√(1 − x)]
✔️ Final Answer:
f'(x) = (sinx)^x × [log(sinx) + x·cotx] + 1/[2√x·√(1 − x)]
🔵 प्रश्न 9:
f(x) = x^(sinx) + (sinx)^(cosx)
🟢 Step-by-Step Solution:
(i) u = x^(sinx)
➡️ log u = sinx·logx
➡️ (1/u)·u’ = cosx·logx + sinx·(1/x)
➡️ u’ = x^(sinx) × [cosx·logx + sinx/x]
(ii) v = (sinx)^(cosx)
➡️ log v = cosx·log(sinx)
➡️ (1/v)·v’ = −sinx·log(sinx) + cosx·cotx
➡️ v’ = (sinx)^(cosx) × [−sinx·log(sinx) + cosx·cotx]
✔️ Final Answer:
f'(x) = x^(sinx) × [cosx·logx + sinx/x] + (sinx)^(cosx) × [−sinx·log(sinx) + cosx·cotx]
🔵 प्रश्न 10:
f(x) = x^(cosx) + (x² + 1)/(x² − 1)
🟢 Step-by-Step Solution:
(i) u = x^(cosx)
➡️ log u = cosx·logx
➡️ (1/u)·u’ = −sinx·logx + cosx/x
➡️ u’ = x^(cosx) × [−sinx·logx + cosx/x]
(ii) v = (x² + 1)/(x² − 1)
➡️ v’ = [(2x)(x² − 1) − (x² + 1)(2x)] / (x² − 1)²
➡️ v’ = [2x³ − 2x − 2x³ − 2x] / (x² − 1)² = (−4x)/(x² − 1)²
✔️ Final Answer:
f'(x) = x^(cosx) × [−sinx·logx + cosx/x] − 4x/(x² − 1)²
🔵 प्रश्न 11:
f(x) = (xcosx)^x + (xsinx)^(1/x)
🟢 Step-by-Step Solution:
(i) u = (xcosx)^x
➡️ log u = x·log(xcosx)
➡️ (1/u)·u’ = log(xcosx) + x·[1/(xcosx)]·(cosx − xsinx)
➡️ u’ = (xcosx)^x × [log(xcosx) + (cosx − xsinx)/(cosx)]
(ii) v = (xsinx)^(1/x)
➡️ log v = (1/x)·log(xsinx)
➡️ (1/v)·v’ = (−1/x²)·log(xsinx) + (1/x)·(1/(xsinx))·(sinx + xcosx)
➡️ v’ = (xsinx)^(1/x) × [ (−log(xsinx))/x² + (sinx + xcosx)/(x²sinx) ]
✔️ Final Answer:
f'(x) = (xcosx)^x × [log(xcosx) + (cosx − xsinx)/(xcosx)] + (xsinx)^(1/x) × [ (−log(xsinx))/x² + (sinx + xcosx)/(x²sinx) ]
🔵 प्रश्न 12:
xʸ + yˣ = 1
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
🟢 हल:
दोनों पक्षों का अवकलन x के सापेक्ष कीजिए —
➡️ d/dx (xʸ) + d/dx (yˣ) = d/dx (1)
अब,
✳️ d/dx (xʸ) = xʸ (dy/dx · log x + y/x)
✳️ d/dx (yˣ) = yˣ (log y + (x/y) dy/dx)
➡️ xʸ (dy/dx · log x + y/x) + yˣ (log y + (x/y) dy/dx) = 0
अब dy/dx वाले पद एक ओर रखें:
➡️ dy/dx [xʸ log x + (x yˣ)/y] = − [xʸ (y/x) + yˣ log y]
✔️ अतः
dy/dx = − [xʸ (y/x) + yˣ log y] / [xʸ log x + (x yˣ)/y]
🔵 प्रश्न 13:
yˣ = xʸ
🟢 हल:
दोनों पक्षों का लघुगणक लें:
➡️ log yˣ = log xʸ
➡️ x log y = y log x
दोनों पक्षों का अवकलन कीजिए:
➡️ (log y + x (1/y) dy/dx) = (dy/dx log x + y (1/x))
अब dy/dx के पद एक ओर रखें:
➡️ x (1/y) dy/dx − log x dy/dx = y/x − log y
dy/dx [x/y − log x] = y/x − log y
✔️ अतः
dy/dx = (y/x − log y) / (x/y − log x)
🔵 प्रश्न 14:
(cos x)ʸ = (cos y)ˣ
🟢 हल:
दोनों ओर log लें:
➡️ y log (cos x) = x log (cos y)
अवकलन करें:
➡️ (dy/dx) log (cos x) + y (−sin x / cos x) = log (cos y) + x (−sin y / cos y) (dy/dx)
अब dy/dx वाले पद साथ रखें:
➡️ dy/dx [log (cos x) − x tan y] = log (cos y) − y tan x
✔️ अतः
dy/dx = [log (cos y) − y tan x] / [log (cos x) − x tan y]
🔵 प्रश्न 15:
x·y = e^(x − y)
🟢 हल:
दोनों ओर log लें:
➡️ log x + log y = x − y
अवकलन करें:
➡️ (1/x) + (1/y) dy/dx = 1 − dy/dx
अब dy/dx के पद एक ओर रखें:
➡️ dy/dx (1/y + 1) = 1 − 1/x
✔️ अतः
dy/dx = (1 − 1/x) / (1 + 1/y)
🔵 प्रश्न 16:
f(x) = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)(1 + x⁴)(1 + x⁵)
का अवकलन ज्ञात कीजिए और f'(1) ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
✳️ log f(x) = log(1 + x) + log(1 + x²) + log(1 + x³) + log(1 + x⁴) + log(1 + x⁵)
अवकलन करें:
➡️ (1/f) f'(x) = 1/(1 + x) + 2x/(1 + x²) + 3x²/(1 + x³) + 4x³/(1 + x⁴) + 5x⁴/(1 + x⁵)
✔️ f'(x) = f(x) [ 1/(1 + x) + 2x/(1 + x²) + 3x²/(1 + x³) + 4x³/(1 + x⁴) + 5x⁴/(1 + x⁵) ]
अब x = 1 रखें:
➡️ f(1) = (2)(2)(2)(2)(2) = 2⁵ = 32
➡️ f'(1) = 32 [1/2 + 2/2 + 3/2 + 4/2 + 5/2] = 32 × (15/2) = 240
✔️ f'(1) = 240
🔵 प्रश्न 17:
(x² − 5x + 8)(x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन तरीकों से करें —
(i) गुणनफल नियम
(ii) विस्तार द्वारा
(iii) लघुगणकीय अवकलन
🟢 हल:
मान लीजिए u = (x² − 5x + 8), v = (x³ + 7x + 9)
(i) गुणनफल नियम से:
➡️ d(uv)/dx = u’v + uv’
u’ = 2x − 5, v’ = 3x² + 7
➡️ f'(x) = (2x − 5)(x³ + 7x + 9) + (x² − 5x + 8)(3x² + 7)
✔️ यही उत्तर अन्य विधियों से भी समान आएगा।
🔵 प्रश्न 18:
यदि u, v, w x के फलन हैं, तो सिद्ध कीजिए:
d/dx (u·v·w) = (du/dx)·v·w + u·(dv/dx)·w + u·v·(dw/dx)
🟢 हल:
✳️ मान लें z = u·v·w
log z = log u + log v + log w
अवकलन करें:
➡️ (1/z) dz/dx = (1/u) du/dx + (1/v) dv/dx + (1/w) dw/dx
➡️ dz/dx = z [ (du/dx)/u + (dv/dx)/v + (dw/dx)/w ]
अब z = u·v·w रखने पर:
✔️ d/dx (u·v·w) = (du/dx)·v·w + u·(dv/dx)·w + u·v·(dw/dx)
📄 प्रश्नावली 5.6
🔵 प्रश्न 1:
x = 2a·t² , y = a·t⁴
🟢 चरण-दर-चरण
• dx/dt = 4a·t
• dy/dt = 4a·t³
• dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (4a·t³)/(4a·t)
➡️ ✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = t²
🔵 प्रश्न 2:
x = a·cosθ , y = b·cosθ
🟢 चरण-दर-चरण
• dx/dθ = −a·sinθ
• dy/dθ = −b·sinθ
• dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = (−b·sinθ)/(−a·sinθ)
➡️ ✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = b/a (θ से स्वतंत्र)
🔵 प्रश्न 3:
x = sin t , y = cos 2t
🟢 चरण-दर-चरण
• dx/dt = cos t
• dy/dt = −2·sin 2t = −4·sin t·cos t
• dy/dx = (−4·sin t·cos t)/(cos t)
➡️ ✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = −4·sin t
🔵 प्रश्न 4:
x = 4t , y = 4/t
🟢 चरण-दर-चरण
• dx/dt = 4
• dy/dt = −4/t²
• dy/dx = (−4/t²)/4
➡️ ✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = −1/t²
🔵 प्रश्न 5:
x = cosθ − cos2θ , y = sinθ − sin2θ
🟢 चरण-दर-चरण
• dx/dθ = −sinθ + 2·sin2θ
• dy/dθ = cosθ − 2·cos2θ
• dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = (cosθ − 2·cos2θ)/(−sinθ + 2·sin2θ)
➡️ ✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = (cosθ − 2·cos2θ)/(−sinθ + 2·sin2θ)
(इच्छानुसार आप sin2θ = 2sinθ·cosθ तथा cos2θ = 2cos²θ − 1 रखकर सरल कर सकते हैं।)
🔵 प्रश्न 6:
x = a(θ − sinθ), y = a(1 + cosθ)
🟢 चरण-दर-चरण हल:
• dx/dθ = a(1 − cosθ)
• dy/dθ = a(−sinθ)
➡️ dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = [a(−sinθ)] / [a(1 − cosθ)]
➡️ dy/dx = − sinθ / (1 − cosθ)
✏️ सरलीकरण:
sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2), 1 − cosθ = 2sin²(θ/2)
➡️ dy/dx = − [2sin(θ/2)cos(θ/2)] / [2sin²(θ/2)] = − cot(θ/2)
✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = − cot(θ/2)
🔵 प्रश्न 7:
x = sin³t / √(cos2t), y = cos³t / √(cos2t)
🟢 चरण-दर-चरण हल:
• मान लें x = sin³t · (cos2t)^(-1/2)
➡️ dx/dt = 3sin²t·cos t·(cos2t)^(-1/2) + sin³t·(-1/2)(cos2t)^(-3/2)(−2sin2t)
➡️ dx/dt = (cos2t)^(-3/2) [3sin²t·cos t·cos2t + sin³t·sin2t]
• इसी प्रकार,
y = cos³t·(cos2t)^(-1/2)
➡️ dy/dt = (cos2t)^(-3/2) [−3cos²t·sin t·cos2t + cos³t·sin2t]
अब,
➡️ dy/dx = [dy/dt] / [dx/dt]
= [−3cos²t·sin t·cos2t + cos³t·sin2t] / [3sin²t·cos t·cos2t + sin³t·sin2t]
✔️ अंतिम उत्तर:
dy/dx = [−3cos²t·sin t·cos2t + cos³t·sin2t] / [3sin²t·cos t·cos2t + sin³t·sin2t]
🔵 प्रश्न 8:
x = a(cos t + log tan(t/2)), y = a sin t
🟢 चरण-दर-चरण हल:
• d/dt [log tan(t/2)] = 1/sin t
➡️ dx/dt = a(−sin t + 1/sin t)
➡️ dx/dt = a((1 − sin²t)/sin t) = a(cos²t/sin t)
• dy/dt = a cos t
➡️ dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (a cos t)/(a cos²t/sin t)
➡️ dy/dx = tan t
✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = tan t
🔵 प्रश्न 9:
x = a secθ, y = b tanθ
🟢 चरण-दर-चरण हल:
• dx/dθ = a secθ·tanθ
• dy/dθ = b sec²θ
➡️ dy/dx = (b sec²θ)/(a secθ·tanθ) = (b/a)(secθ/tanθ)
➡️ dy/dx = (b/a) cosecθ
✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = (b/a) cosecθ
🔵 प्रश्न 10:
x = a(cosθ + θ sinθ), y = a(sinθ − θ cosθ)
🟢 चरण-दर-चरण हल:
• dx/dθ = a(−sinθ + sinθ + θ cosθ) = a θ cosθ
• dy/dθ = a(cosθ − (cosθ − θ sinθ)) = a θ sinθ
➡️ dy/dx = (a θ sinθ)/(a θ cosθ) = tanθ
✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = tanθ
🔵 प्रश्न 11:
x = √(a·sin⁻¹t), y = √(a·cos⁻¹t)
🟢 चरण-दर-चरण हल:
• dx/dt = a / [2x·√(1 − t²)]
• dy/dt = −a / [2y·√(1 − t²)]
➡️ dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = [−a/(2yS)] / [a/(2xS)] = −x/y
✔️ अंतिम उत्तर: dy/dx = −x/y
📄 प्रश्नावली 5.7
🔵 प्रश्न 1:
y = x² + 3x + 2
🟢 चरण-दर-चरण हल:
dy/dx = 2x + 3
d²y/dx² = 2
✔️ अंतिम उत्तर: d²y/dx² = 2
🔵 प्रश्न 2:
y = x²⁰
🟢 हल:
dy/dx = 20x¹⁹
d²y/dx² = 20 × 19 × x¹⁸ = 380x¹⁸
✔️ उत्तर: d²y/dx² = 380x¹⁸
🔵 प्रश्न 3:
y = x·cosx
🟢 हल:
dy/dx = 1·cosx + x(−sinx) = cosx − x·sinx
d²y/dx² = (−sinx) − [sinx + x·cosx] = −2sinx − x·cosx
✔️ उत्तर: d²y/dx² = −2sinx − x·cosx
🔵 प्रश्न 4:
y = logx
🟢 हल:
dy/dx = 1/x
d²y/dx² = −1/x²
✔️ उत्तर: d²y/dx² = −1/x²
🔵 प्रश्न 5:
y = x³·logx
🟢 हल:
dy/dx = 3x²·logx + x³·(1/x) = 3x²·logx + x²
d²y/dx² = 6x·logx + 3x + 2x = 6x·logx + 5x
✔️ उत्तर: d²y/dx² = 6x·logx + 5x
🔵 प्रश्न 6:
y = eˣ·sin5x
🟢 हल:
dy/dx = eˣ(sin5x + 5cos5x)
d²y/dx² = eˣ(sin5x + 5cos5x) + eˣ(5cos5x − 25sin5x)
➡️ d²y/dx² = eˣ[(1−25)sin5x + (5+5)cos5x]
✔️ उत्तर: d²y/dx² = eˣ(−24sin5x + 10cos5x)
🔵 प्रश्न 7:
y = tan⁻¹x
🟢 हल:
dy/dx = 1/(1 + x²)
d²y/dx² = −2x/(1 + x²)²
✔️ उत्तर: d²y/dx² = −2x/(1 + x²)²
🔵 प्रश्न 8:
y = log(logx)
🟢 हल:
dy/dx = 1/(logx) × 1/x = 1/[x·logx]
d²y/dx² = −1/[x²·logx] − 1/[x²·(logx)²]
✔️ उत्तर: d²y/dx² = −[1/(x²·logx) + 1/(x²·(logx)²)]
🔵 प्रश्न 9:
y = logx⁻¹ = −logx
🟢 हल:
dy/dx = −1/x
d²y/dx² = 1/x²
✔️ उत्तर: d²y/dx² = 1/x²
🔵 प्रश्न 10:
y = sin(logx)
🟢 हल:
dy/dx = cos(logx) × 1/x = (1/x)·cos(logx)
d²y/dx² = −1/x²·cos(logx) + 1/x·[−sin(logx)×(1/x)]
➡️ d²y/dx² = −(1/x²)[cos(logx) + sin(logx)]
✔️ उत्तर: d²y/dx² = −(1/x²)[cos(logx) + sin(logx)]
🔵 प्रश्न 11:
y = 5cosx − 3sinx
🟢 हल:
dy/dx = −5sinx − 3cosx
d²y/dx² = −5cosx + 3sinx
अब जाँचिए:
d²y/dx² + y = (−5cosx + 3sinx) + (5cosx − 3sinx) = 0
✔️ सिद्ध हुआ: d²y/dx² + y = 0
🔵 प्रश्न 12:
y = cos⁻¹x
🟢 हल:
dy/dx = −1/√(1 − x²)
d²y/dx² = −x/(1 − x²)^(3/2)
अब केवल y के पदों में:
cosy = x, siny = √(1 − x²)
➡️ d²y/dx² = −cosy / (siny)³
✔️ उत्तर: d²y/dx² = −cosy / sin³y
प्रश्न 13
यदि y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x) है, तो सिद्ध कीजिए कि x² y₂ + x y₁ + y = 0
चरण 1️⃣: प्रथम अवकलज
• y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x)
• y₁ = d/dx[3 cos(log x)] + d/dx[4 sin(log x)]
• y₁ = 3(−sin(log x))·(1/x) + 4(cos(log x))·(1/x)
• y₁ = (1/x)[−3 sin(log x) + 4 cos(log x)] ✅
चरण 2️⃣: द्वितीय अवकलज
• y₂ = d/dx[(1/x)(−3 sin(log x) + 4 cos(log x))]
• y₂ = (−1/x²)(−3 sin(log x) + 4 cos(log x)) + (1/x)(1/x)[−3 cos(log x) − 4 sin(log x)]
• y₂ = (1/x²)[3 sin(log x) − 4 cos(log x) − 3 cos(log x) − 4 sin(log x)]
• y₂ = (1/x²)[−1·sin(log x) − 7·cos(log x)] ✅
चरण 3️⃣: दी गई पहचान की जाँच
• x² y₂ + x y₁ + y
= x²·(1/x²)[−sin − 7cos] + x·(1/x)[−3sin + 4cos] + [3cos + 4sin]
= (−sin − 7cos) + (−3sin + 4cos) + (3cos + 4sin)
• sin के गुणांक: (−1 − 3 + 4) = 0
• cos के गुणांक: (−7 + 4 + 3) = 0
• कुल = 0 ✅ सिद्ध हुआ
(ऊपर sin, cos का आर्ग्युमेंट log x है; स्पष्टता हेतु छोड़ा गया।)
प्रश्न 14
यदि y = A e^{m x} + B e^{n x} है तो सिद्ध कीजिए कि y₂ − (m + n) y₁ + mn y = 0
चरण 1️⃣: अवकलज निकालें
• y₁ = A m e^{m x} + B n e^{n x} ✅
• y₂ = A m² e^{m x} + B n² e^{n x} ✅
चरण 2️⃣: समीकरण में स्थापित करें
• y₂ − (m + n) y₁ + mn y
= (A m² e^{m x} + B n² e^{n x}) − (m + n)(A m e^{m x} + B n e^{n x}) + mn(A e^{m x} + B e^{n x})
चरण 3️⃣: पद-वार गुणांक जाँचें
• e^{m x} का गुणांक: A[m² − (m + n)m + mn] = A[m² − m² − mn + mn] = 0
• e^{n x} का गुणांक: B[n² − (m + n)n + mn] = B[n² − mn − n² + mn] = 0
चरण 4️⃣: निष्कर्ष
• दोनों गुणांक 0 ⇒ पूरा व्यंजक 0
✅ सिद्ध हुआ: y₂ − (m + n) y₁ + mn y = 0
प्रश्न 15
यदि y = 500 e^{7x} + 600 e^{−7x} है तो सिद्ध कीजिए कि y₂ = 49 y
चरण 1️⃣: अवकलज
• y₁ = 3500 e^{7x} − 4200 e^{−7x} ✅
• y₂ = 24500 e^{7x} + 29400 e^{−7x} ✅
चरण 2️⃣: 49 y से तुलना
• 49 y = 49(500 e^{7x} + 600 e^{−7x}) = 24500 e^{7x} + 29400 e^{−7x}
• y₂ = 49 y ✅ सिद्ध
प्रश्न 16
यदि e^{y} (x + 1) = 1 है तो सिद्ध कीजिए कि y₂ = (y₁)²
चरण 1️⃣: प्रथम अवकलन (दोनों ओर x के सापेक्ष)
• d/dx[e^{y} (x + 1)] = 0
• e^{y} y₁ (x + 1) + e^{y} = 0
• e^{y}[(x + 1) y₁ + 1] = 0 ⇒ (x + 1) y₁ + 1 = 0
• y₁ = −1/(x + 1) ✅
चरण 2️⃣: द्वितीय अवकलन
• y₂ = d/dx[−1/(x + 1)] = 1/(x + 1)² ✅
चरण 3️⃣: RHS की जाँच
• (y₁)² = (1/(x + 1)²)
• y₂ = (y₁)² ✅ सिद्ध
प्रश्न 17
यदि y = (tan⁻¹ x)² है, तो सिद्ध कीजिए कि (x² + 1)² y₂ + 2x (x² + 1) y₁ = 2
चरण 1️⃣: प्रथम अवकलज
• y₁ = d/dx[(tan⁻¹ x)²] = 2 (tan⁻¹ x) · (1/(1 + x²)) ✅
चरण 2️⃣: द्वितीय अवकलज (गुणन नियम)
• y₂ = 2[ (1/(1 + x²))·(1/(1 + x²)) + (tan⁻¹ x)·(−2x)/(1 + x²)² ]
• y₂ = 2[ (1/(1 + x²)²) − (2x tan⁻¹ x)/(1 + x²)² ] ✅
चरण 3️⃣: LHS का मान निकालें
• (x² + 1)² y₂
= (x² + 1)² × 2[ 1/(1 + x²)² − (2x tan⁻¹ x)/(1 + x²)² ]
= 2[ 1 − 2x tan⁻¹ x ]
• 2x (x² + 1) y₁
= 2x (x² + 1) × [ 2 tan⁻¹ x/(1 + x²) ]
= 4x tan⁻¹ x
• कुल LHS = 2[1 − 2x tan⁻¹ x] + 4x tan⁻¹ x = 2 ✅
चरण 4️⃣: निष्कर्ष
• (x² + 1)² y₂ + 2x (x² + 1) y₁ = 2 ✅ सिद्ध
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
🔹 खंड A — बहुविकल्पीय प्रश्न (1 अंक प्रत्येक)
🔵 प्रश्न 1:
यदि f(x) = x² हो, तो x = 2 पर f(x) सतत है या नहीं?
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🔴 (C) केवल x = 0 पर सतत
🟠 (D) कहीं भी नहीं
उत्तर: (A) सतत
🔵 प्रश्न 2:
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर क्या स्थिति है?
🟢 (A) सतत पर अवकलनीय नहीं
🟡 (B) असतत
🔴 (C) अवकलनीय
🟠 (D) दोनों
उत्तर: (A) सतत पर अवकलनीय नहीं
🔵 प्रश्न 3:
यदि f(x) = sinx, तो x = π/2 पर सततता?
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🔴 (C) सीमित नहीं
🟠 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) सतत
🔵 प्रश्न 4:
किस प्रकार की असततता में बाएँ व दाएँ सीमा समान होती है पर फलन मान भिन्न होता है?
🟢 (A) हटाने योग्य असततता
🟡 (B) छलाँग असततता
🔴 (C) अनन्त असततता
🟠 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) हटाने योग्य असततता
🔵 प्रश्न 5:
यदि f(x) = 1/x, तो x = 0 पर फलन
🟢 (A) असतत
🟡 (B) सतत
🔴 (C) अवकलनीय
🟠 (D) परिभाषित नहीं
उत्तर: (A) असतत
🔵 प्रश्न 6:
यदि limₓ→a f(x) = f(a), तो f(x) कहलाता है —
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🔴 (C) अवकलनीय
🟠 (D) उपरोक्त में कोई नहीं
उत्तर: (A) सतत
🔵 प्रश्न 7:
यदि f(x) सतत नहीं है, तो वह
🟢 (A) अवकलनीय नहीं होगा
🟡 (B) अवकलनीय होगा
🔴 (C) दोनों
🟠 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) अवकलनीय नहीं होगा
🔵 प्रश्न 8:
f(x) = x³ का x = 0 पर अवकलज है —
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🔴 (C) 3
🟠 (D) परिभाषित नहीं
उत्तर: (A) 0
🔵 प्रश्न 9:
d/dx (xⁿ) = ?
🟢 (A) n xⁿ⁻¹
🟡 (B) xⁿ
🔴 (C) nⁿ
🟠 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) n xⁿ⁻¹
🔵 प्रश्न 10:
यदि f(x) = cosx, तो f′(x) = ?
🟢 (A) −sinx
🟡 (B) cosx
🔴 (C) sinx
🟠 (D) −cosx
उत्तर: (A) −sinx
🔵 प्रश्न 11:
यदि f(x) = tanx, तो f′(x) = ?
🟢 (A) sec²x
🟡 (B) sin²x
🔴 (C) cos²x
🟠 (D) cotx
उत्तर: (A) sec²x
🔵 प्रश्न 12:
यदि f(x) = eˣ, तो f′(x) = ?
🟢 (A) eˣ
🟡 (B) ln(x)
🔴 (C) 1/x
🟠 (D) 0
उत्तर: (A) eˣ
🔵 प्रश्न 13:
यदि f(x) = logₑx, तो f′(x) = ?
🟢 (A) 1/x
🟡 (B) logₑx
🔴 (C) eˣ
🟠 (D) 0
उत्तर: (A) 1/x
🔵 प्रश्न 14:
यदि f(x) = sin⁻¹x, तो f′(x) = ?
🟢 (A) 1/√(1 − x²)
🟡 (B) 1/x
🔴 (C) cosx
🟠 (D) sinx
उत्तर: (A) 1/√(1 − x²)
🔵 प्रश्न 15:
यदि f(x) = x² + 3x, तो f′(x) = ?
🟢 (A) 2x + 3
🟡 (B) 2x
🔴 (C) 3
🟠 (D) 0
उत्तर: (A) 2x + 3
🔵 प्रश्न 16:
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर
🟢 (A) LHD ≠ RHD
🟡 (B) LHD = RHD
🔴 (C) दोनों 0
🟠 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) LHD ≠ RHD
🔵 प्रश्न 17:
f(x) सतत है ⇒
🟢 (A) limₓ→a f(x) = f(a)
🟡 (B) LHD = RHD
🔴 (C) f(x) = 0
🟠 (D) उपरोक्त सभी
उत्तर: (A) limₓ→a f(x) = f(a)
🔵 प्रश्न 18:
अवकलनीयता की शर्त है —
🟢 (A) LHD = RHD = सीमित
🟡 (B) केवल सतत
🔴 (C) असतत
🟠 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) LHD = RHD = सीमित
🔹 खंड B — लघु उत्तरीय प्रश्न (2–3 अंक प्रत्येक)
🔵 प्रश्न 19:
जाँच करें कि फलन f(x) = x² + 2x + 1 बिन्दु x = 1 पर सतत है या नहीं।
🟢 उत्तर:
➡️ f(1) = 1² + 2(1) + 1 = 4
➡️ limₓ→1⁻ f(x) = 1² + 2(1) + 1 = 4
➡️ limₓ→1⁺ f(x) = 1² + 2(1) + 1 = 4
✔️ चूँकि LHL = RHL = f(1), अतः फलन x = 1 पर सतत है।
🔵 प्रश्न 20:
जाँचें कि f(x) = |x| बिन्दु x = 0 पर सतत है या नहीं।
🟢 उत्तर:
➡️ f(0) = |0| = 0
➡️ limₓ→0⁻ |x| = 0
➡️ limₓ→0⁺ |x| = 0
✔️ अतः LHL = RHL = f(0), इसलिए x = 0 पर सतत है।
🔵 प्रश्न 21:
यदि f(x) = {x², x ≤ 1; 2x + 1, x > 1}, तो x = 1 पर सततता जाँचें।
🟢 उत्तर:
➡️ f(1) = 1² = 1
➡️ limₓ→1⁻ f(x) = 1² = 1
➡️ limₓ→1⁺ f(x) = 2(1) + 1 = 3
❌ LHL ≠ RHL ⇒ फलन x = 1 पर असतत है।
🔵 प्रश्न 22:
f(x) = sinx + cosx का अवकलज ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ f′(x) = d/dx(sinx) + d/dx(cosx)
➡️ f′(x) = cosx − sinx
✔️ अतः f′(x) = cosx − sinx ✅
🔵 प्रश्न 23:
f(x) = eˣ logₑx का अवकलज ज्ञात करें।
🟢 उत्तर:
➡️ f′(x) = (eˣ)′ logₑx + eˣ (logₑx)′
➡️ f′(x) = eˣ logₑx + eˣ (1/x)
➡️ f′(x) = eˣ (logₑx + 1/x)
🔵 प्रश्न 24:
f(x) = (x² + 1)/(x − 1) का अवकलज निकालिए।
🟢 उत्तर (भागफल नियम से):
➡️ f′(x) = [(x − 1)(2x) − (x² + 1)(1)] / (x − 1)²
➡️ f′(x) = (2x² − 2x − x² − 1)/(x − 1)²
➡️ f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)²
🔵 प्रश्न 25:
f(x) = sinx cosx का अवकलज निकालिए।
🟢 उत्तर (गुणन नियम से):
➡️ f′(x) = sinx (cosx)′ + cosx (sinx)′
➡️ f′(x) = sinx (−sinx) + cosx (cosx)
➡️ f′(x) = cos²x − sin²x
🔵 प्रश्न 26:
जाँचें कि f(x) = x² x = 0 पर अवकलनीय है या नहीं।
🟢 उत्तर:
➡️ LHD = limₕ→0 (f(0) − f(0 − h))/h = limₕ→0 (0 − h²)/h = limₕ→0 (−h) = 0
➡️ RHD = limₕ→0 (f(0 + h) − f(0))/h = limₕ→0 (h² − 0)/h = limₕ→0 (h) = 0
✔️ LHD = RHD ⇒ x = 0 पर अवकलनीय ✅
🔵 प्रश्न 27:
f(x) = |x| का x = 0 पर अवकलनीयता जाँचें।
🟢 उत्तर:
➡️ LHD = limₕ→0 (|0 − h| − |0|)/h = limₕ→0 (|−h|)/h = limₕ→0 (−h)/h = −1
➡️ RHD = limₕ→0 (|0 + h| − |0|)/h = limₕ→0 (h)/h = 1
❌ LHD ≠ RHD ⇒ फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, यद्यपि यह सतत है।
🔹 खंड C — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक प्रत्येक)
🔵 प्रश्न 28:
जाँचें कि फलन
f(x) =
{ x², x ≤ 1
2x − 1, x > 1 }
x = 1 पर सतत और अवकलनीय है या नहीं।
🟢 उत्तर:
➤ चरण 1: f(1) = 1² = 1
➤ चरण 2: limₓ→1⁻ f(x) = 1² = 1
➤ चरण 3: limₓ→1⁺ f(x) = 2(1) − 1 = 1
✔️ अतः LHL = RHL = f(1) ⇒ फलन x = 1 पर सतत है।
➤ चरण 4:
f′(x) = 2x (x < 1)
f′(x) = 2 (x > 1)
f′(1⁻) = 2(1) = 2
f′(1⁺) = 2
✔️ LHD = RHD ⇒ x = 1 पर अवकलनीय भी है।
🔵 प्रश्न 29:
f(x) = |x| का x = 0 पर सततता एवं अवकलनीयता की जाँच करें।
🟢 उत्तर:
➤ f(0) = 0
➤ limₓ→0⁻ |x| = 0
➤ limₓ→0⁺ |x| = 0
✔️ LHL = RHL = f(0) ⇒ फलन सतत है।
➤ LHD = limₕ→0 [|0 − h| − |0|]/h = limₕ→0 (|−h|)/h = limₕ→0 (−h)/h = −1
➤ RHD = limₕ→0 [|0 + h| − |0|]/h = limₕ→0 (h)/h = 1
❌ LHD ≠ RHD ⇒ फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
🔵 प्रश्न 30:
फलन
f(x) =
{ x², x < 2
4x − 4, x ≥ 2 }
के लिए x = 2 पर सततता एवं अवकलनीयता की जाँच करें।
🟢 उत्तर:
➤ f(2) = 4(2) − 4 = 4
➤ limₓ→2⁻ f(x) = 2² = 4
➤ limₓ→2⁺ f(x) = 4(2) − 4 = 4
✔️ LHL = RHL = f(2) ⇒ फलन x = 2 पर सतत है।
➤ f′(x) = 2x (x < 2) ⇒ f′(2⁻) = 4
➤ f′(x) = 4 (x > 2) ⇒ f′(2⁺) = 4
✔️ LHD = RHD ⇒ x = 2 पर अवकलनीय है।
🔹 खंड D — केस/अनुप्रयोग आधारित प्रश्न (5 अंक प्रत्येक)
🔵 प्रश्न 31:
फलन f(x) = sin|x| के लिए x = 0 पर सततता एवं अवकलनीयता जाँचें।
🟢 उत्तर:
➤ f(0) = sin0 = 0
➤ limₓ→0⁻ f(x) = sin|x| = 0
➤ limₓ→0⁺ f(x) = sin|x| = 0
✔️ LHL = RHL = f(0) ⇒ सतत है।
➤ LHD = limₕ→0 [sin|0 − h| − sin0]/h = limₕ→0 (sinh)/h = 1
➤ RHD = limₕ→0 [sin|0 + h| − sin0]/h = limₕ→0 (sinh)/h = 1
✔️ LHD = RHD ⇒ x = 0 पर अवकलनीय भी है।
🔵 प्रश्न 32:
सिद्ध करें कि f(x) = tan⁻¹x बिन्दु x = 0 पर सतत एवं अवकलनीय है।
🟢 उत्तर:
➤ f(0) = tan⁻¹(0) = 0
➤ limₓ→0 f(x) = tan⁻¹(0) = 0
✔️ LHL = RHL = f(0) ⇒ सतत है।
➤ f′(x) = 1 / (1 + x²)
➤ f′(0) = 1
✔️ LHD = RHD = 1 ⇒ x = 0 पर अवकलनीय है।
🔵 प्रश्न 33:
फलन
f(x) =
{ x³, x < 1
3x − 2, x ≥ 1 }
के लिए x = 1 पर सततता एवं अवकलनीयता की जाँच करें।
🟢 उत्तर:
➤ f(1) = 3(1) − 2 = 1
➤ limₓ→1⁻ f(x) = 1³ = 1
➤ limₓ→1⁺ f(x) = 3(1) − 2 = 1
✔️ LHL = RHL = f(1) ⇒ फलन सतत है।
➤ f′(x) = 3x² (x < 1) ⇒ f′(1⁻) = 3
➤ f′(x) = 3 (x > 1) ⇒ f′(1⁺) = 3
✔️ LHD = RHD ⇒ फलन x = 1 पर अवकलनीय भी है।
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1:
यदि f(x) = x^2 है, तो x = 2 पर f(x) का अवकलज होगा –
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 8
✅ उत्तर: 2️⃣ 4
📘 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2:
यदि f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 5x + 1 है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 9x^2 + 4x + 5
🟩 2️⃣ 6x^2 + 4x + 5
🟨 3️⃣ 3x^2 + 2x
🟦 4️⃣ 9x + 2
✅ उत्तर: 1️⃣ 9x^2 + 4x + 5
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 3:
यदि f(x) = sin x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ cos x
🟩 2️⃣ -cos x
🟨 3️⃣ sin x
🟦 4️⃣ -sin x
✅ उत्तर: 1️⃣ cos x
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4:
यदि f(x) = cos x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -sin x
🟩 2️⃣ sin x
🟨 3️⃣ cos x
🟦 4️⃣ -cos x
✅ उत्तर: 1️⃣ -sin x
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 5:
यदि f(x) = tan x, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ sec^2 x
🟩 2️⃣ cos^2 x
🟨 3️⃣ 1/sin^2 x
🟦 4️⃣ 1/cos^2 x
✅ उत्तर: 1️⃣ sec^2 x
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6:
यदि f(x) = e^x, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ e^x
🟩 2️⃣ x
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ e^x
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 7:
यदि f(x) = log x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 1/x
🟩 2️⃣ x
🟨 3️⃣ log x
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ 1/x
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8:
यदि f(x) = x^n है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ nx^(n-1)
🟩 2️⃣ nx^n
🟨 3️⃣ x^(n+1)
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ n*x^(n-1)
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 9:
यदि f(x) = sin(2x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 cos(2x)
🟩 2️⃣ cos(2x)
🟨 3️⃣ sin(2x)
🟦 4️⃣ 2 sin(2x)
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 cos(2x)
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10:
यदि f(x) = 2x + 3 है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 11:
यदि f(x) = 1/x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -1/x^2
🟩 2️⃣ 1/x^2
🟨 3️⃣ -1/x
🟦 4️⃣ x^(-1)
✅ उत्तर: 1️⃣ -1/x^2
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12:
यदि f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1 है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 3x^2 + 4x + 3
🟩 2️⃣ 2x^2 + 3x
🟨 3️⃣ 3x + 2
🟦 4️⃣ 2x^3
✅ उत्तर: 1️⃣ 3x^2 + 4x + 3
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 13:
यदि f(x) = x^3, तो x = 2 पर f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 12
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 4
✅ उत्तर: 2️⃣ 6
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14:
यदि y = ln(1 + x) है, तो dy/dx = ?
🟥 1️⃣ 1/(1 + x)
🟩 2️⃣ 1/x
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ x/(1 + x)
✅ उत्तर: 1️⃣ 1/(1 + x)
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 15:
यदि f(x) = x^2 + 3x + 5, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2x + 3
🟩 2️⃣ 2x + 5
🟨 3️⃣ 3x + 2
🟦 4️⃣ x + 3
✅ उत्तर: 1️⃣ 2x + 3
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16:
यदि f(x) = sin^2 x, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 sin x cos x
🟩 2️⃣ cos^2 x
🟨 3️⃣ sin 2x
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 sin x cos x
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 17:
यदि f(x) = cos^2 x, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -2 sin x cos x
🟩 2️⃣ 2 sin x cos x
🟨 3️⃣ sin^2 x
🟦 4️⃣ cos^2 x
✅ उत्तर: 1️⃣ -2 sin x cos x
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18:
यदि f(x) = tan^2 x, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 tan x sec^2 x
🟩 2️⃣ 2 sec^2 x
🟨 3️⃣ 2 tan x
🟦 4️⃣ sec^2 x
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 tan x sec^2 x
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 19:
यदि f(x) = e^(2x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 e^(2x)
🟩 2️⃣ e^(2x)
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 2
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 e^(2x)
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20:
यदि f(x) = log(2x + 1), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2/(2x + 1)
🟩 2️⃣ 1/(2x + 1)
🟨 3️⃣ 1/x
🟦 4️⃣ 2x
✅ उत्तर: 1️⃣ 2/(2x + 1)
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 21:
यदि f(x) = sqrt(x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 1/(2 sqrt(x))
🟩 2️⃣ sqrt(x)/2
🟨 3️⃣ 2x
🟦 4️⃣ 1/x
✅ उत्तर: 1️⃣ 1/(2 sqrt(x))
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22:
यदि f(x) = 1/x^3 है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -3/x^4
🟩 2️⃣ 3/x^3
🟨 3️⃣ -1/x^2
🟦 4️⃣ 1/x^4
✅ उत्तर: 1️⃣ -3/x^4
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 23:
यदि f(x) = sin 2x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 cos 2x
🟩 2️⃣ cos 2x
🟨 3️⃣ sin 2x
🟦 4️⃣ 2 sin 2x
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 cos 2x
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24:
यदि f(x) = x^n (n ≠ 0), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ n x^(n-1)
🟩 2️⃣ x^n
🟨 3️⃣ n x^n
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✅ उत्तर: 1️⃣ n x^(n-1)
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25:
यदि f(x) = 2x + 3 है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26:
यदि f(x) = cos(3x) है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -3 sin(3x)
🟩 2️⃣ 3 cos(3x)
🟨 3️⃣ sin(3x)
🟦 4️⃣ cos(3x)
✅ उत्तर: 1️⃣ -3 sin(3x)
📘 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27:
यदि f(x) = tan(2x) है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 sec^2(2x)
🟩 2️⃣ sec^2(2x)
🟨 3️⃣ 2 tan(2x)
🟦 4️⃣ sin(2x)
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 sec^2(2x)
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 28:
यदि f(x) = e^(3x) + e^(2x) है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 3 e^(3x) + 2 e^(2x)
🟩 2️⃣ e^(3x) + e^(2x)
🟨 3️⃣ 5 e^x
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ 3 e^(3x) + 2 e^(2x)
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29:
यदि f(x) = log(3x + 1) है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 3 / (3x + 1)
🟩 2️⃣ 1 / (3x + 1)
🟨 3️⃣ 1/x
🟦 4️⃣ 3x
✅ उत्तर: 1️⃣ 3 / (3x + 1)
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 30:
यदि f(x) = sqrt(4x + 1) है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 / sqrt(4x + 1)
🟩 2️⃣ 1 / (2 sqrt(4x + 1))
🟨 3️⃣ 4 / sqrt(4x + 1)
🟦 4️⃣ 2x
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 / sqrt(4x + 1)
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31:
यदि y = x^3 + 5x^2 + 4x + 1 है, तो dy/dx = ?
🟥 1️⃣ 3x^2 + 10x + 4
🟩 2️⃣ 2x^2 + 5x
🟨 3️⃣ 3x + 5
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ 3x^2 + 10x + 4
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 32:
यदि f(x) = sin x cos x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ cos^2 x – sin^2 x
🟩 2️⃣ 2 sin x cos x
🟨 3️⃣ sin 2x
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ cos^2 x – sin^2 x
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33:
यदि f(x) = 1 / (x^2 + 1) है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -2x / (x^2 + 1)^2
🟩 2️⃣ 2x / (x^2 + 1)^2
🟨 3️⃣ -x / (x^2 + 1)
🟦 4️⃣ 1 / (x^2 + 1)
✅ उत्तर: 1️⃣ -2x / (x^2 + 1)^2
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 34:
यदि y = tan^(-1) x है, तो dy/dx = ?
🟥 1️⃣ 1 / (1 + x^2)
🟩 2️⃣ -1 / (1 + x^2)
🟨 3️⃣ x / (1 + x^2)
🟦 4️⃣ 1/x
✅ उत्तर: 1️⃣ 1 / (1 + x^2)
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35:
यदि f(x) = sin(3x + 2), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 3 cos(3x + 2)
🟩 2️⃣ cos(3x + 2)
🟨 3️⃣ sin(3x + 2)
🟦 4️⃣ 2 sin(3x + 2)
✅ उत्तर: 1️⃣ 3 cos(3x + 2)
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 36:
यदि f(x) = x^4, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 4x^3
🟩 2️⃣ 3x^2
🟨 3️⃣ 2x
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ 4x^3
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37:
यदि y = e^(x^2), तो dy/dx = ?
🟥 1️⃣ 2x e^(x^2)
🟩 2️⃣ e^(x^2)
🟨 3️⃣ x e^(x^2)
🟦 4️⃣ e^x
✅ उत्तर: 1️⃣ 2x e^(x^2)
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 38:
यदि f(x) = log(sin x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ cot x
🟩 2️⃣ 1 / sin x
🟨 3️⃣ cos x / sin x
🟦 4️⃣ -cot x
✅ उत्तर: 1️⃣ cot x
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39:
यदि f(x) = 1 / sqrt(x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -1 / (2 x^(3/2))
🟩 2️⃣ 1 / (2 sqrt(x))
🟨 3️⃣ 1 / x
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ -1 / (2 x^(3/2))
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 40:
यदि y = sin^(-1) x है, तो dy/dx = ?
🟥 1️⃣ 1 / sqrt(1 – x^2)
🟩 2️⃣ -1 / sqrt(1 – x^2)
🟨 3️⃣ x / sqrt(1 – x^2)
🟦 4️⃣ sqrt(1 – x^2)
✅ उत्तर: 1️⃣ 1 / sqrt(1 – x^2)
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41:
यदि f(x) = cos^(-1) x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -1 / sqrt(1 – x^2)
🟩 2️⃣ 1 / sqrt(1 – x^2)
🟨 3️⃣ x / sqrt(1 – x^2)
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 1️⃣ -1 / sqrt(1 – x^2)
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 42:
यदि f(x) = tan^(-1)(2x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 2 / (1 + 4x^2)
🟩 2️⃣ 1 / (1 + x^2)
🟨 3️⃣ 2 / (1 + x^2)
🟦 4️⃣ 1 / (2 + x^2)
✅ उत्तर: 1️⃣ 2 / (1 + 4x^2)
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43:
यदि f(x) = x sin x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ sin x + x cos x
🟩 2️⃣ x sin x + cos x
🟨 3️⃣ sin x – x cos x
🟦 4️⃣ x cos x
✅ उत्तर: 1️⃣ sin x + x cos x
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 44:
यदि f(x) = x cos x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ cos x – x sin x
🟩 2️⃣ sin x – x cos x
🟨 3️⃣ x sin x
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ cos x – x sin x
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45:
यदि f(x) = sin(3x^2), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 6x cos(3x^2)
🟩 2️⃣ 3 cos(3x^2)
🟨 3️⃣ 2 sin(3x^2)
🟦 4️⃣ 6 sin(3x^2)
✅ उत्तर: 1️⃣ 6x cos(3x^2)
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 46:
यदि f(x) = cos(5x^2), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -10x sin(5x^2)
🟩 2️⃣ 10x cos(5x^2)
🟨 3️⃣ 5 sin(5x^2)
🟦 4️⃣ -5x cos(5x^2)
✅ उत्तर: 1️⃣ -10x sin(5x^2)
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47:
यदि f(x) = log(sin x), तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ cot x
🟩 2️⃣ tan x
🟨 3️⃣ 1/sin x
🟦 4️⃣ -cot x
✅ उत्तर: 1️⃣ cot x
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 48:
यदि f(x) = x tan x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ tan x + x sec^2 x
🟩 2️⃣ sec^2 x
🟨 3️⃣ x tan x
🟦 4️⃣ sin x
✅ उत्तर: 1️⃣ tan x + x sec^2 x
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49:
यदि f(x) = cos x / sin x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ -1 / sin^2 x
🟩 2️⃣ 1 / sin^2 x
🟨 3️⃣ cot x
🟦 4️⃣ tan x
✅ उत्तर: 1️⃣ -1 / sin^2 x
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50:
यदि f(x) = sin x / cos x है, तो f'(x) = ?
🟥 1️⃣ 1 / cos^2 x
🟩 2️⃣ -1 / cos^2 x
🟨 3️⃣ sin x cos x
🟦 4️⃣ tan^2 x
✅ उत्तर: 1️⃣ 1 / cos^2 x
📘 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1:
यदि lim (x→0) (sin 3x)/(2x) = k, तो k = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 3/2
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 2️⃣ 3/2
📘 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2:
lim (x→π/4) [(tan x – 1)/(x – π/4)] का मान क्या है?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अस्तित्व नहीं है
✔️ उत्तर: 2️⃣ 2
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3:
यदि lim (x→0) (1 – cos ax)/(b x²) = 1/2, तो b का मान है
🟥 1️⃣ a²
🟩 2️⃣ a²/2
🟨 3️⃣ a²/4
🟦 4️⃣ 2a²
✔️ उत्तर: 2️⃣ a²/2
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4:
यदि f(x) = sin x हो, तो lim (h→0) [f(x+h) – f(x)]/h = ?
🟥 1️⃣ cos x
🟩 2️⃣ sin x
🟨 3️⃣ –sin x
🟦 4️⃣ –cos x
✔️ उत्तर: 1️⃣ cos x
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5:
lim (x→0) [(1 + 3x)^(1/x)] = ?
🟥 1️⃣ e³
🟩 2️⃣ 3e
🟨 3️⃣ e
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ e³
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6:
यदि lim (x→0) [(1 + ax)^(1/x)] = e³, तो a = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 3️⃣ 3
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7:
यदि f(x) = x², तो परिभाषा से f′(x) = ?
🟥 1️⃣ 2x
🟩 2️⃣ x²
🟨 3️⃣ x
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2x
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8:
यदि lim (x→0) [(1 – cos 2x)/x²] = k, तो k = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9:
lim (x→0) (tan 2x)/(3x) = k, तो k = ?
🟥 1️⃣ 2/3
🟩 2️⃣ 3/2
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2/3
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10:
यदि f(x) = sin 2x हो, तो x = 0 पर f′(x) = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ –1
✔️ उत्तर: 2️⃣ 2
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11:
यदि f(x) = eˣ हो, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ eˣ
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ x
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ eˣ
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12:
यदि f(x) = ln(x), तो lim (h→0) [f(x+h) – f(x)]/h = ?
🟥 1️⃣ 1/x
🟩 2️⃣ x
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ ln(x)
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/x
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13:
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर अवकलज
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ –1
🟨 3️⃣ अस्तित्व नहीं है
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 3️⃣ अस्तित्व नहीं है
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14:
यदि lim (x→0) [(1 + x)^(1/x)] = k, तो logₑ k = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ ∞
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15:
lim (x→0) [(eˣ – 1)/x] = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ e
🟦 4️⃣ ∞
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16:
यदि f(x) = x³ – 5x² + 4x – 1, तो f′(1) = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 3️⃣ 2
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17:
lim (x→0) (sin x)/x = k, तो k = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अस्तित्व नहीं है
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18:
यदि lim (x→0) (1 – cos 4x)/(8x²) = k हो, तो k = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📘 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19:
यदि lim (x→0) (sin 5x)/(3x) = k, तो k का मान होगा
🟥 1️⃣ 5/3
🟩 2️⃣ 3/5
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 5/3
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20:
यदि f(x) = tan x, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ sec²x
🟩 2️⃣ tan x
🟨 3️⃣ sin x
🟦 4️⃣ cos x
✔️ उत्तर: 1️⃣ sec²x
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21:
lim (x→0) [(e^x – 1)/x] का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ e
🟦 4️⃣ ∞
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22:
यदि f(x) = ln x, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ 1/x
🟩 2️⃣ ln x
🟨 3️⃣ x
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/x
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23:
यदि f(x) = x³ – 5x² + 4x – 1, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ 3x² – 10x + 4
🟩 2️⃣ 2x – 5
🟨 3️⃣ x²
🟦 4️⃣ 4x²
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3x² – 10x + 4
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24:
lim (x→0) [(1 + x)^(1/x)] = k, तब logₑ k = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ ∞
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25:
यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर f अवकलनीय है?
🟥 1️⃣ हाँ
🟩 2️⃣ नहीं
🟨 3️⃣ केवल धनात्मक पर
🟦 4️⃣ केवल ऋणात्मक पर
✔️ उत्तर: 2️⃣ नहीं
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26:
lim (x→0) (sin 2x)/(x) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ ∞
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27:
यदि f(x) = cos x, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ –sin x
🟩 2️⃣ sin x
🟨 3️⃣ cos x
🟦 4️⃣ –cos x
✔️ उत्तर: 1️⃣ –sin x
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28:
यदि f(x) = e^x sin x, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ e^x(sin x + cos x)
🟩 2️⃣ e^x(sin x – cos x)
🟨 3️⃣ e^x cos x
🟦 4️⃣ e^x sin x
✔️ उत्तर: 1️⃣ e^x(sin x + cos x)
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29:
lim (x→0) [(1 – cos x)/x²] का मान
🟥 1️⃣ 1/2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/2
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30:
यदि f(x) = x² + 3x + 2, तो f′(x) = ?
🟥 1️⃣ 2x + 3
🟩 2️⃣ x + 3
🟨 3️⃣ 2x
🟦 4️⃣ x²
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2x + 3
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31:
lim (x→0) [(tan 3x)/(x)] का मान
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32:
यदि f(x) = x³, तो f′(2) = ?
🟥 1️⃣ 12
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣ 12
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33:
यदि lim (x→0) [(e^x – 1 – x)/x²] = k, तो k = ?
🟥 1️⃣ 1/2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ e
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/2
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34:
यदि lim (x→0) [(sin 4x)/x] = k, तो k = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 4
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
भाग 1 — प्रश्न (Q1–Q20)
🔵 प्रश्न 1:
यदि f(x) = x², तो x = 2 पर f(x) की स्थिति क्या है?
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अवकलनीय नहीं
🔴 (D) अपरिभाषित
Answer: (A) सतत
🔵 प्रश्न 2:
f(x) = |x| के लिए x = 0 पर फलन की स्थिति है:
🟢 (A) सतत पर अवकलनीय नहीं
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अवकलनीय
🔴 (D) दोनों नहीं
Answer: (A) सतत पर अवकलनीय नहीं
🔵 प्रश्न 3:
f(x) सतत होने के लिए शर्त है:
🟢 (A) limₓ→a f(x) = f(a)
🟡 (B) limₓ→a f(x) ≠ f(a)
🟠 (C) LHL ≠ RHL
🔴 (D) f(a) का अस्तित्व न होना
Answer: (A) limₓ→a f(x) = f(a)
🔵 प्रश्न 4:
कौन-सी असततता में LHL = RHL परन्तु f(a) ≠ सीमा मान?
🟢 (A) हटाने योग्य असततता
🟡 (B) छलाँग असततता
🟠 (C) अनन्त असततता
🔴 (D) दोलकीय असततता
Answer: (A) हटाने योग्य असततता
🔵 प्रश्न 5:
f(x) = 1/x की x = 0 पर स्थिति है:
🟢 (A) असतत
🟡 (B) सतत
🟠 (C) अवकलनीय
🔴 (D) हटाने योग्य
Answer: (A) असतत
🔵 प्रश्न 6:
यदि f और g दोनों x = a पर सतत हैं, तो f·g का x = a पर स्वरूप होगा:
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अनिर्धारित
🔴 (D) परिभाषित नहीं
Answer: (A) सतत
🔵 प्रश्न 7:
यदि f(x) x = a पर अवकलनीय है, तो वह अवश्य:
🟢 (A) सतत होगी
🟡 (B) असतत होगी
🟠 (C) छलाँग असतत
🔴 (D) हटाने योग्य असतत
Answer: (A) सतत होगी
🔵 प्रश्न 8:
d/dx (xⁿ) = ?
🟢 (A) n xⁿ⁻¹
🟡 (B) xⁿ
🟠 (C) nⁿ
🔴 (D) 0
Answer: (A) n xⁿ⁻¹
🔵 प्रश्न 9:
d/dx (sinx) = ?
🟢 (A) cosx
🟡 (B) −sinx
🟠 (C) sec²x
🔴 (D) 0
Answer: (A) cosx
🔵 प्रश्न 10:
d/dx (cosx) = ?
🟢 (A) −sinx
🟡 (B) sinx
🟠 (C) cosx
🔴 (D) tanx
Answer: (A) −sinx
🔵 प्रश्न 11:
d/dx (tanx) = ?
🟢 (A) sec²x
🟡 (B) cos²x
🟠 (C) sin²x
🔴 (D) 0
Answer: (A) sec²x
🔵 प्रश्न 12:
d/dx (eˣ) = ?
🟢 (A) eˣ
🟡 (B) 1/x
🟠 (C) 0
🔴 (D) x
Answer: (A) eˣ
🔵 प्रश्न 13:
d/dx (logₑx) = ?
🟢 (A) 1/x
🟡 (B) x
🟠 (C) eˣ
🔴 (D) 0
Answer: (A) 1/x
🔵 प्रश्न 14:
d/dx (sin⁻¹x) = ?
🟢 (A) 1/√(1−x²)
🟡 (B) 1/(1+x²)
🟠 (C) 1/x
🔴 (D) √(1−x²)
Answer: (A) 1/√(1−x²)
🔵 प्रश्न 15:
f(x) = x³ पर x = 0 के लिए f′(0) का मान:
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🟠 (C) 3
🔴 (D) अस्तित्व नहीं
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 16:
f(x) = |x| पर x = 0 के लिए LHD और RHD:
🟢 (A) LHD = −1, RHD = 1
🟡 (B) दोनों 0
🟠 (C) दोनों 1
🔴 (D) अस्तित्व नहीं
Answer: (A) LHD = −1, RHD = 1
🔵 प्रश्न 17:
f(x) = x² + 3x का अवकलज है:
🟢 (A) 2x + 3
🟡 (B) 2x
🟠 (C) 3
🔴 (D) 0
Answer: (A) 2x + 3
🔵 प्रश्न 18:
सततता के लिए आवश्यक शर्त है:
🟢 (A) LHL = RHL = f(a)
🟡 (B) LHL ≠ RHL
🟠 (C) केवल f(a) का अस्तित्व
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (A) LHL = RHL = f(a)
🔵 प्रश्न 19:
यदि f, g दोनों सतत हैं और g(a) ≠ 0, तो f/g का स्वरूप x = a पर:
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अपरिभाषित
🔴 (D) असतत व अवकलनीय
Answer: (A) सतत
🔵 प्रश्न 20:
यदि limₓ→a f(x) = L और f(a) = M, और L = M, तो फलन x = a पर
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अनन्त
🔴 (D) अपरिभाषित
Answer: (A) सतत
🔹 भाग 2 — JEE Main स्तर के प्रश्न (Q21–Q25)
🔵 प्रश्न 21:
f(x) = x|x| का f′(0) ज्ञात करें।
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) अस्तित्व नहीं
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 22:
f(x) = |x|³ पर x = 0 के लिए फलन की स्थिति:
🟢 (A) अवकलनीय (f′(0) = 0)
🟡 (B) अवकलनीय नहीं
🟠 (C) सतत नहीं
🔴 (D) अपरिभाषित
Answer: (A) अवकलनीय (f′(0) = 0)
🔵 प्रश्न 23:
f(x) = { x², x ≤ 1 ; 2x−1, x > 1 } x = 1 पर
🟢 (A) सतत व अवकलनीय
🟡 (B) सतत पर अवकलनीय नहीं
🟠 (C) असतत
🔴 (D) अपरिभाषित
Answer: (A) सतत व अवकलनीय
🔵 प्रश्न 24:
f(x) = |x−1| की x = 1 पर स्थिति:
🟢 (A) सतत पर अवकलनीय नहीं
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अवकलनीय
🔴 (D) दोनों नहीं
Answer: (A) सतत पर अवकलनीय नहीं
🔵 प्रश्न 25:
गुणन नियम (Product Rule):
🟢 (A) (f·g)′ = f′g + fg′
🟡 (B) (f·g)′ = f′g′
🟠 (C) (f·g)′ = f′ + g′
🔴 (D) (f·g)′ = f/g′
Answer: (A) (f·g)′ = f′g + fg′
🔹 भाग 2 — JEE Main स्तर के प्रश्न (Q26–Q40)
🔵 प्रश्न 26:
f(x) = √x का अवकलज ज्ञात करें।
🟢 (A) 1/(2√x)
🟡 (B) 2√x
🟠 (C) √x
🔴 (D) 1/x
Answer: (A) 1/(2√x)
🔵 प्रश्न 27:
f(x) = 1/x² का अवकलज है:
🟢 (A) −2/x³
🟡 (B) 2/x³
🟠 (C) 2x
🔴 (D) −2x
Answer: (A) −2/x³
🔵 प्रश्न 28:
यदि f(x) = sin(3x), तो f′(x) = ?
🟢 (A) 3cos(3x)
🟡 (B) cos(3x)
🟠 (C) 3sin(3x)
🔴 (D) −3sin(3x)
Answer: (A) 3cos(3x)
🔵 प्रश्न 29:
f(x) = tan(2x) के लिए f′(x) है:
🟢 (A) 2sec²(2x)
🟡 (B) sec²(2x)
🟠 (C) 2tan(2x)
🔴 (D) 0
Answer: (A) 2sec²(2x)
🔵 प्रश्न 30:
यदि f(x) = e^(2x), तो f′(x) है:
🟢 (A) 2e^(2x)
🟡 (B) e^(2x)
🟠 (C) 2x e^(2x)
🔴 (D) 0
Answer: (A) 2e^(2x)
🔵 प्रश्न 31:
f(x) = logₑ(3x) का अवकलज है:
🟢 (A) 1/x
🟡 (B) 3/x
🟠 (C) 1/3x
🔴 (D) 3logₑx
Answer: (A) 1/x
🔵 प्रश्न 32:
यदि f(x) = sinx cosx, तो f′(x) = ?
🟢 (A) cos²x − sin²x
🟡 (B) 2sinx cosx
🟠 (C) sin²x + cos²x
🔴 (D) 0
Answer: (A) cos²x − sin²x
🔵 प्रश्न 33:
f(x) = x² sinx का अवकलज:
🟢 (A) 2x sinx + x² cosx
🟡 (B) 2x sinx − x² cosx
🟠 (C) sinx + cosx
🔴 (D) x² sinx
Answer: (A) 2x sinx + x² cosx
🔵 प्रश्न 34:
f(x) = (x² + 1)/(x² − 1) का अवकलज है:
🟢 (A) −4x/(x² − 1)²
🟡 (B) 4x/(x² − 1)²
🟠 (C) 0
🔴 (D) 2x/(x² − 1)²
Answer: (A) −4x/(x² − 1)²
🔵 प्रश्न 35:
f(x) = (sinx)/(cosx) ⇒ f′(x) = ?
🟢 (A) sec²x
🟡 (B) −sec²x
🟠 (C) cos²x
🔴 (D) sin²x
Answer: (A) sec²x
🔵 प्रश्न 36:
f(x) = tan⁻¹x का अवकलज है:
🟢 (A) 1/(1+x²)
🟡 (B) x/(1+x²)
🟠 (C) −1/(1+x²)
🔴 (D) 1/x²
Answer: (A) 1/(1+x²)
🔵 प्रश्न 37:
f(x) = x sinx का द्वितीय अवकलज f″(x) है:
🟢 (A) 2cosx − x sinx
🟡 (B) 2sinx + x cosx
🟠 (C) cosx − x sinx
🔴 (D) sinx + x cosx
Answer: (A) 2cosx − x sinx
🔵 प्रश्न 38:
श्रृंखला नियम (Chain Rule):
🟢 (A) d/dx f(g(x)) = f′(g(x)) · g′(x)
🟡 (B) f′(x) + g′(x)
🟠 (C) f′(x)·g(x)
🔴 (D) f(g′(x))
Answer: (A) f′(g(x)) · g′(x)
🔵 प्रश्न 39:
यदि f(x) = (x³ + 2x² + 3x + 4), तो f′(x) = ?
🟢 (A) 3x² + 4x + 3
🟡 (B) 3x² + 2x + 3
🟠 (C) x² + 4x + 3
🔴 (D) 3x³
Answer: (A) 3x² + 4x + 3
🔵 प्रश्न 40:
f(x) = logₑ(sinx) का अवकलज है:
🟢 (A) cotx
🟡 (B) tanx
🟠 (C) secx
🔴 (D) cosx
Answer: (A) cotx
🔹 भाग 3 — JEE Advanced स्तर के प्रश्न (Q41–Q50)
🔵 प्रश्न 41:
f(x) = (x² − 3x + 2)/(x − 1) का अवकलज ज्ञात करें।
🟢 (A) (x − 2)/(x − 1)²
🟡 (B) (x − 1)/(x − 2)²
🟠 (C) (2x − 3)/(x − 1) − (x² − 3x + 2)/(x − 1)²
🔴 (D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
Answer: (C) (2x − 3)/(x − 1) − (x² − 3x + 2)/(x − 1)²
🔵 प्रश्न 42:
यदि y = sin(x²), तो dy/dx = ?
🟢 (A) 2x cos(x²)
🟡 (B) cos(x²)
🟠 (C) 2 cosx
🔴 (D) sinx²
Answer: (A) 2x cos(x²)
🔵 प्रश्न 43:
यदि y = tan(sinx), तो dy/dx = ?
🟢 (A) cosx sec²(sinx)
🟡 (B) cosx tanx
🟠 (C) sinx sec²x
🔴 (D) sec²(sinx)
Answer: (A) cosx sec²(sinx)
🔵 प्रश्न 44:
यदि y = xˣ, तो dy/dx = ?
🟢 (A) xˣ (1 + logₑx)
🟡 (B) xˣ logₑx
🟠 (C) xˣ
🔴 (D) 1
Answer: (A) xˣ (1 + logₑx)
🔵 प्रश्न 45:
f(x) = (sinx)/(x), x ≠ 0; f(0) = 1 ⇒ x = 0 पर f(x) की स्थिति:
🟢 (A) सतत
🟡 (B) असतत
🟠 (C) अवकलनीय
🔴 (D) असतत व अवकलनीय
Answer: (A) सतत
🔵 प्रश्न 46:
यदि f(x) = |x³|, तो f′(0) = ?
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🟠 (C) अस्तित्व नहीं
🔴 (D) 3
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 47:
यदि y = sin⁻¹(2x√(1 − x²)), तो dy/dx = ?
🟢 (A) 2√(1 − 2x²)
🟡 (B) 2√(1 − x²)
🟠 (C) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x² + 4x⁴)
🔴 (D) 0
Answer: (C) 2(1 − 2x²)/√(1 − 4x² + 4x⁴)
🔵 प्रश्न 48:
यदि y = logₑ(x² + 1), तो dy/dx = ?
🟢 (A) 2x/(x² + 1)
🟡 (B) 1/x²
🟠 (C) x/(x² + 1)
🔴 (D) 0
Answer: (A) 2x/(x² + 1)
🔵 प्रश्न 49:
यदि f(x) = e^(sinx), तो f′(x) = ?
🟢 (A) e^(sinx) cosx
🟡 (B) e^(cosx) sinx
🟠 (C) e^x cosx
🔴 (D) sinx e^(sinx)
Answer: (A) e^(sinx) cosx
🔵 प्रश्न 50:
यदि f(x) = logₑ(tanx), तो f′(x) = ?
🟢 (A) sec²x / tanx
🟡 (B) cosx / sinx
🟠 (C) sinx / cosx
🔴 (D) sec²x
Answer: (A) sec²x / tanx
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