Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 3: मैट्रिक्स
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🧠 परिचय
आव्यूह आधुनिक गणित का एक अत्यंत उपयोगी भाग है। यह संख्याओं अथवा राशियों का एक ऐसा सारणीबद्ध रूप है, जिसे पंक्तियों और स्तम्भों में व्यवस्थित किया जाता है। आव्यूह का प्रयोग गणित, भौतिकी, अर्थशास्त्र तथा अभियांत्रिकी में रैखिक समीकरणों को हल करने, रूपांतरणों को दर्शाने और विभिन्न गणनाओं में किया जाता है।
💡 परिभाषा:
संख्याओं या राशियों का वह समूह जो पंक्तियों तथा स्तम्भों में इस प्रकार लिखा जाता है कि वह आयताकार रूप ले लेता है, आव्यूह कहलाता है।
यदि किसी आव्यूह में m पंक्तियाँ और n स्तम्भ हों, तो उसे m × n आव्यूह कहा जाता है।
उदाहरण:
A = [a₍ᵢⱼ₎]ₘₓₙ
यहाँ a₍ᵢⱼ₎ वह अवयव है जो i-वीं पंक्ति तथा j-वें स्तम्भ में स्थित है।
🟢 आव्यूह के प्रकार
1️⃣ आयताकार आव्यूह: यदि पंक्तियों की संख्या और स्तम्भों की संख्या समान न हो (m ≠ n)।
2️⃣ वर्ग आव्यूह: यदि पंक्तियों की संख्या और स्तम्भों की संख्या समान हो (m = n)।
3️⃣ पंक्ति आव्यूह: जिसमें केवल एक पंक्ति हो।
4️⃣ स्तम्भ आव्यूह: जिसमें केवल एक स्तम्भ हो।
5️⃣ शून्य आव्यूह: जिसमें सभी अवयव 0 हों।
6️⃣ मुख्य विकर्णीय आव्यूह: वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव 0 हों।
7️⃣ एकक आव्यूह: वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण के सभी अवयव 1 हों और अन्य सभी 0।
8️⃣ सममित आव्यूह: यदि A का अनुपरिवर्तित आव्यूह A के बराबर हो, अर्थात् Aᵀ = A।
9️⃣ प्रतिसममित आव्यूह: यदि A का अनुपरिवर्तित आव्यूह A के ऋण के बराबर हो, अर्थात् Aᵀ = –A।
🔴 आव्यूहों पर संक्रियाएँ
✳️ (1) आव्यूहों का योग:
यदि दो आव्यूह A और B का क्रम समान हो, तो उनका योग उनके समान स्थानों के अवयवों के योग के बराबर होता है।
(A + B)₍ᵢⱼ₎ = a₍ᵢⱼ₎ + b₍ᵢⱼ₎
✳️ (2) आव्यूहों का अंतर:
(A – B)₍ᵢⱼ₎ = a₍ᵢⱼ₎ – b₍ᵢⱼ₎
✳️ (3) अदिश गुणन:
यदि k कोई अदिश (नियतांक) है, तो kA = [k × a₍ᵢⱼ₎]
✳️ (4) आव्यूहों का गुणन:
यदि A का क्रम m × n तथा B का क्रम n × p है, तो AB का गुणन संभव है।
(AB)₍ᵢⱼ₎ = ∑ₖ a₍ᵢₖ₎ × b₍ₖⱼ₎
💡 नोट: आव्यूह गुणन परिवर्तनीय नहीं होता, अर्थात् A × B ≠ B × A।
🟡 आव्यूहों के गुणधर्म
1️⃣ A + B = B + A
2️⃣ (A + B) + C = A + (B + C)
3️⃣ k(A + B) = kA + kB
4️⃣ A(B + C) = AB + AC
5️⃣ (AB)C = A(BC)
🔵 अनुपरिवर्तित आव्यूह
यदि A = [a₍ᵢⱼ₎]ₘₓₙ है, तो उसका अनुपरिवर्तित आव्यूह Aᵀ = [a₍ⱼᵢ₎]ₙₓₘ होता है।
💡 गुणधर्म:
1️⃣ (Aᵀ)ᵀ = A
2️⃣ (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
3️⃣ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
🧠 सममित और प्रतिसममित आव्यूह में विभाजन
किसी भी वर्ग आव्यूह A को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
A = (1/2)(A + Aᵀ) + (1/2)(A – Aᵀ)
पहला भाग सममित आव्यूह तथा दूसरा भाग प्रतिसममित आव्यूह कहलाता है।
🟢 एकक आव्यूह के साथ गुणन
A × I = I × A = A
🔴 आव्यूह का नियतांक
यदि A कोई वर्ग आव्यूह है, तो उसका नियतांक |A| कहलाता है।
उदाहरण:
A = ⎡ a b ⎤
⎣ c d ⎦
|A| = ad – bc
🟡 प्रतिलोम आव्यूह
यदि A कोई वर्ग आव्यूह है तथा |A| ≠ 0 है, तो उसका प्रतिलोम A⁻¹ इस प्रकार परिभाषित है:
A⁻¹ = (1/|A|) × सह-अवयव आव्यूह का अनुपरिवर्तित आव्यूह
अर्थात्,
A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
जहाँ adj(A) = सह-अवयव आव्यूह का अनुपरिवर्तित रूप है।
💡 गुण:
A × A⁻¹ = I = A⁻¹ × A
✏️ नोट:
यदि |A| = 0, तो A अप्रतिलोमनीय कहलाता है।
यदि |A| ≠ 0, तो A प्रतिलोमनीय कहलाता है।
🧭 महत्वपूर्ण सूत्र
1️⃣ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
2️⃣ (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹
3️⃣ |AB| = |A| × |B|
4️⃣ adj(AB) = adj(B) × adj(A)
🟢 आव्यूहों के उपयोग
1️⃣ रैखिक समीकरणों के हल निकालने में
2️⃣ रूपांतरणों में
3️⃣ भौतिकी और अर्थशास्त्र की गणनाओं में
💡 मुख्य अवधारणा
आव्यूह संख्याओं का एक व्यवस्थित समूह है जो रैखिक समीकरणों के समाधान, रूपांतरणों तथा गणनाओं में उपयोग किया जाता है।
🔵 सारांश (लगभग 300 शब्द)
1️⃣ आव्यूह पंक्तियों तथा स्तम्भों में व्यवस्थित संख्याओं का समूह है।
2️⃣ आव्यूह का क्रम m × n से व्यक्त किया जाता है।
3️⃣ आव्यूह के प्रकार – आयताकार, वर्ग, पंक्ति, स्तम्भ, शून्य, मुख्य विकर्णीय, एकक, सममित, प्रतिसममित।
4️⃣ संक्रियाएँ – योग, अंतर, अदिश गुणन, आव्यूह गुणन।
5️⃣ गुणधर्म –
• A + B = B + A
• (AB)C = A(BC)
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
6️⃣ अनुपरिवर्तित आव्यूह – पंक्तियों और स्तम्भों की अदला-बदली से प्राप्त।
7️⃣ प्रतिलोम आव्यूह – A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A), यदि |A| ≠ 0।
8️⃣ नियतांक – वर्ग आव्यूह का मान।
9️⃣ उपयोग – रैखिक समीकरणों के हल, रूपांतरण, मॉडल निर्माण।
📝 Quick Recap
🔹 आव्यूह = पंक्तियों × स्तम्भों में संख्याओं का समूह
🔹 क्रम = m × n
🔹 प्रकार = वर्ग, आयताकार, एकक, सममित
🔹 अनुपरिवर्तित आव्यूह = Aᵀ
🔹 अदिश गुणन = kA
🔹 प्रतिलोम = A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
🔹 गुणधर्म = |AB| = |A| × |B|
🔹 उपयोग = रैखिक समीकरणों के हल
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
📄 प्रश्नावली 3.1
🔵 प्रश्न 1
आव्यूह
A =
[
2 5 19 -7
35 -2 5/2 12
√3 1 -5 17
]
के लिए ज्ञात कीजिए –
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃
🟢 उत्तर
🔹 (i) आव्यूह की कोटि = पंक्तियों की संख्या × स्तंभों की संख्या
➡️ यहाँ 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हैं
✔️ अतः कोटि = 3 × 4
🔹 (ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12
🔹 (iii) अवयव
✨ a₁₃ = 19
✨ a₂₁ = 35
✨ a₃₃ = -5
✨ a₂₄ = 12
✨ a₂₃ = 5/2
✔️ अन्तिम उत्तर: कोटि = 3 × 4, अवयवों की संख्या = 12
🔵 प्रश्न 2
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं, तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों, तो कोटियाँ क्या होंगी?
🟢 उत्तर
🔹 24 के गुणनखंड: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6, 6×4, 8×3, 12×2, 24×1
✨ संभव कोटियाँ: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6, 6×4, 8×3, 12×2, 24×1
🔹 13 एक अभाज्य संख्या है
✔️ कोटियाँ: 1×13 या 13×1
🔵 प्रश्न 3
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं, तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों, तो क्या होगा?
🟢 उत्तर
🔹 18 के गुणनखंड: 1×18, 2×9, 3×6, 6×3, 9×2, 18×1
✨ संभव कोटियाँ: 1×18, 2×9, 3×6, 6×3, 9×2, 18×1
🔹 5 अभाज्य संख्या है
✔️ कोटियाँ: 1×5 या 5×1
🔵 प्रश्न 4
एक 2×2 आव्यूह A = [aᵢⱼ] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त हैं –
(i) aᵢⱼ = ((i + j)²)/2
(ii) aᵢⱼ = i/j
(iii) aᵢⱼ = ((i + 2j)²)/2
🟢 उत्तर
🔹 (i) i = 1,2; j = 1,2
✨ a₁₁ = ((1+1)²)/2 = 4/2 = 2
✨ a₁₂ = ((1+2)²)/2 = 9/2
✨ a₂₁ = ((2+1)²)/2 = 9/2
✨ a₂₂ = ((2+2)²)/2 = 16/2 = 8
✔️ A = [ 2 9/2
9/2 8 ]
🔹 (ii) i = 1,2; j = 1,2
✨ a₁₁ = 1/1 = 1
✨ a₁₂ = 1/2 = 1/2
✨ a₂₁ = 2/1 = 2
✨ a₂₂ = 2/2 = 1
✔️ A = [ 1 1/2
2 1 ]
🔹 (iii) i = 1,2; j = 1,2
✨ a₁₁ = ((1+2×1)²)/2 = 9/2
✨ a₁₂ = ((1+2×2)²)/2 = 25/2
✨ a₂₁ = ((2+2×1)²)/2 = 16/2 = 8
✨ a₂₂ = ((2+2×2)²)/2 = 36/2 = 18
✔️ A = [ 9/2 25/2
8 18 ]
🔵 प्रश्न 5
एक 3×4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्न प्रकार से प्राप्त होते हैं –
(i) aᵢⱼ = (1/2)i – 3i + j
(ii) aᵢⱼ = 2i – j
🟢 उत्तर
🔹 (i) aᵢⱼ = -5/2 i + j
जब i = 1,2,3; j = 1,2,3,4
✨ i = 1 → -3/2, -1/2, 1/2, 3/2
✨ i = 2 → -4, -3, -2, -1
✨ i = 3 → -13/2, -11/2, -9/2, -7/2
✔️ A = [ -3/2 -1/2 1/2 3/2
-4 -3 -2 -1
-13/2 -11/2 -9/2 -7/2 ]
🔹 (ii) aᵢⱼ = 2i – j
✨ i = 1 → 1, 0, -1, -2
✨ i = 2 → 3, 2, 1, 0
✨ i = 3 → 5, 4, 3, 2
✔️ A = [ 1 0 -1 -2
3 2 1 0
5 4 3 2 ]
🔵 प्रश्न 6
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए:
(i) [ 4 3
x 5 ] = [ y z
1 5 ]
(ii) [ x + y 2
5 + z x y ] = [ 6 2
5 8 ]
(iii) [ x + y + z
x + z
y + z ] = [ 9
5
7 ]
🟢 उत्तर:
🔹 (i) समान स्थानों के अवयव बराबर होंगे ✳️
➡️ 4 = y
➡️ 3 = z
➡️ x = 1
✔️ x = 1, y = 4, z = 3
🔹 (ii) समान स्थानों के अवयव बराबर होंगे ✳️
➡️ x + y = 6
➡️ 2 = 2 ✔️
➡️ 5 + z = 5 ⇒ z = 0
➡️ x × y = 8
✏️ समीकरण: t² − 6t + 8 = 0
💡 हल: t = 2 या 4
✔️ (x, y, z) = (2, 4, 0) या (4, 2, 0)
🔹 (iii)
x + z = 5
y + z = 7
x + y + z = 9
✏️ पहले समीकरण से: x = 5 − z
✏️ दूसरे से: y = 7 − z
अब तीसरे में रखिए: (5 − z) + (7 − z) + z = 9
💡 12 − z = 9 ⇒ z = 3
➡️ x = 5 − 3 = 2
➡️ y = 7 − 3 = 4
✔️ x = 2, y = 4, z = 3
🔵 प्रश्न 7
समीकरण
[ a − b 2a + c
2a − b 3c + d ] = [ −1 5
0 13 ]
से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
🔹 समान स्थानों के अवयव बराबर होंगे ✳️
➡️ a − b = −1
➡️ 2a + c = 5
➡️ 2a − b = 0
➡️ 3c + d = 13
✏️ चरण 1 ➤ (2a − b) − (a − b) = 0 − (−1) ⇒ a = 1
✏️ चरण 2 ➤ a − b = −1 ⇒ 1 − b = −1 ⇒ b = 2
✏️ चरण 3 ➤ 2a + c = 5 ⇒ 2(1) + c = 5 ⇒ c = 3
✏️ चरण 4 ➤ 3c + d = 13 ⇒ 9 + d = 13 ⇒ d = 4
✔️ a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
🔵 प्रश्न 8
A = [aᵢⱼ]ₘₓₙ एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n
(B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
🟢 उत्तर:
💡 वर्ग आव्यूह तब होता है जब पंक्तियाँ = स्तंभ
✔️ m = n
✅ सही विकल्प: (C)
🔵 प्रश्न 9
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?
[ 3x + 7 5
y + 1 2 − 3x ] और [ 0 y − 2
8 4 ]
(A) x = −1/3, y = 7
(B) ज्ञात करना संभव नहीं है
(C) y = 7, x = −2/3
(D) x = −1/3, y = −2/3
🟢 उत्तर:
🔹 समान स्थानों के अवयव बराबर होंगे ✳️
➡️ 3x + 7 = 0 ⇒ x = −7/3 ❌ (अन्य अवयवों से मेल नहीं)
➡️ 5 = y − 2 ⇒ y = 7
➡️ y + 1 = 8 ⇒ y = 7 ✔️
➡️ 2 − 3x = 4 ⇒ −3x = 2 ⇒ x = −2/3
✔️ x = −2/3, y = 7
✅ सही विकल्प: (C)
🔵 प्रश्न 10
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27 (B) 18 (C) 81 (D) 512
🟢 उत्तर:
✨ प्रत्येक प्रविष्टि के लिए 2 विकल्प (0 या 1)
➡️ कुल प्रविष्टियाँ = 3 × 3 = 9
➡️ कुल संभावित आव्यूह = 2⁹ = 512
✔️ सही विकल्प: (D)
📄 प्रश्नावली 3.2
🔵 प्रश्न 1
मान लीजिए कि
A = [ 2 4
3 2 ],
B = [ 1 3
−2 5 ],
C = [ −2 5
3 4 ],
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A + B (ii) A − B (iii) 3A − C (iv) AB (v) BA
🟢 उत्तर:
🔹 (i) A + B
🟡 (1,1): 2 + 1 = 3
🟢 (1,2): 4 + 3 = 7
🔵 (2,1): 3 + (−2) = 1
🔴 (2,2): 2 + 5 = 7
✔️ A + B = [ 3 7 ; 1 7 ]
🔹 (ii) A − B
🟡 (1,1): 2 − 1 = 1
🟢 (1,2): 4 − 3 = 1
🔵 (2,1): 3 − (−2) = 5
🔴 (2,2): 2 − 5 = −3
✔️ A − B = [ 1 1 ; 5 −3 ]
🔹 (iii) 3A − C
✳️ पहले 3A निकालें:
🟢 3A = [ 3×2 3×4 ; 3×3 3×2 ] = [ 6 12 ; 9 6 ]
✳️ अब घटाएँ:
🟡 (1,1): 6 − (−2) = 8
🟢 (1,2): 12 − 5 = 7
🔵 (2,1): 9 − 3 = 6
🔴 (2,2): 6 − 4 = 2
✔️ 3A − C = [ 8 7 ; 6 2 ]
🔹 (iv) AB
✳️ पंक्ति × स्तंभ गुणन:
🟢 (1,1): 2×1 + 4×(−2) = 2 − 8 = −6
🟡 (1,2): 2×3 + 4×5 = 6 + 20 = 26
🔵 (2,1): 3×1 + 2×(−2) = 3 − 4 = −1
🔴 (2,2): 3×3 + 2×5 = 9 + 10 = 19
✔️ AB = [ −6 26 ; −1 19 ]
🔹 (v) BA
✳️ पंक्ति × स्तंभ गुणन:
🟡 (1,1): 1×2 + 3×3 = 2 + 9 = 11
🟢 (1,2): 1×4 + 3×2 = 4 + 6 = 10
🔵 (2,1): (−2)×2 + 5×3 = −4 + 15 = 11
🔴 (2,2): (−2)×4 + 5×2 = −8 + 10 = 2
✔️ BA = [ 11 10 ; 11 2 ]
🔵 प्रश्न 2
निम्नलिखित को परिकलित कीजिए:
(i) [ a b
b a ] + [ a b
b a ]
(ii) [ a² + b² b² + c²
a² + c² a² + b² ] + [ 2ab 2bc
−2ac −2ab ]
(iii) [ −1 4 −6
8 5 16
2 8 5 ] + [ 12 7 6
8 0 5
3 2 4 ]
(iv) [ cos²x sin²x
sin²x cos²x ] + [ sin²x cos²x
cos²x sin²x ]
🟢 उत्तर:
🔹 (i)
🟡 (1,1): a + a = 2a
🟢 (1,2): b + b = 2b
🔵 (2,1): b + b = 2b
🔴 (2,2): a + a = 2a
✔️ [ 2a 2b ; 2b 2a ]
🔹 (ii)
🟡 (1,1): a² + b² + 2ab = (a + b)²
🟢 (1,2): b² + c² + 2bc = (b + c)²
🔵 (2,1): a² + c² − 2ac = (a − c)²
🔴 (2,2): a² + b² − 2ab = (a − b)²
✔️ [ (a + b)² (b + c)² ; (a − c)² (a − b)² ]
🔹 (iii)
🟡 (1,1): −1 + 12 = 11
🟢 (1,2): 4 + 7 = 11
🔵 (1,3): −6 + 6 = 0
🟡 (2,1): 8 + 8 = 16
🟢 (2,2): 5 + 0 = 5
🔵 (2,3): 16 + 5 = 21
🟡 (3,1): 2 + 3 = 5
🟢 (3,2): 8 + 2 = 10
🔵 (3,3): 5 + 4 = 9
✔️ [ 11 11 0 ; 16 5 21 ; 5 10 9 ]
🔹 (iv)
💡 त्रिकोणमितीय पहचान: sin²x + cos²x = 1
🟡 (1,1): cos²x + sin²x = 1
🟢 (1,2): sin²x + cos²x = 1
🔵 (2,1): sin²x + cos²x = 1
🔴 (2,2): cos²x + sin²x = 1
✔️ [ 1 1 ; 1 1 ]
🔵 प्रश्न 3
निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए:
(i) [ a b
−b a ] [ a −b
b a ]
(ii) [ 1
2
3 ] [ 2 3 4 ]
(iii) [ 1 −2 1
2 3 2 ] [ 2 3
3 1
2 3 ]
(iv) [ 2 3 4
3 4 5
4 5 6 ] [ 1 −3 5
0 2 4
3 0 5 ]
(v) [ 2 1
3 2
−1 1 ] [ 1 0 1
−1 2 1 ]
(vi) [ 3 −1 3
−1 0 2 ] [ 2 −3
1 0
3 1 ]
🟢 उत्तर:
🔹 (i)
✨ पंक्ति × स्तम्भ से गुणन करें:
🟡 (1,1): a×a + b×b = a² + b²
🟢 (1,2): a×(−b) + b×a = −ab + ab = 0
🔵 (2,1): (−b)×a + a×b = −ab + ab = 0
🔴 (2,2): (−b)×(−b) + a×a = b² + a² = a² + b²
✔️ परिणाम: [ a² + b² 0 ; 0 a² + b² ] ✅
🔹 (ii)
✨ क्रम: (3 × 1) × (1 × 3) ⇒ परिणाम (3 × 3)
🟡 (1,1): 1×2 = 2 (1,2): 1×3 = 3 (1,3): 1×4 = 4
🟢 (2,1): 2×2 = 4 (2,2): 2×3 = 6 (2,3): 2×4 = 8
🔵 (3,1): 3×2 = 6 (3,2): 3×3 = 9 (3,3): 3×4 = 12
✔️ परिणाम: [ 2 3 4 ; 4 6 8 ; 6 9 12 ] ✅
🔹 (iii)
✨ क्रम: (2 × 3) × (3 × 2) ⇒ परिणाम (2 × 2)
🟡 (1,1): 1×2 + (−2)×3 + 1×2 = 2 − 6 + 2 = −2
🟢 (1,2): 1×3 + (−2)×1 + 1×3 = 3 − 2 + 3 = 4
🔵 (2,1): 2×2 + 3×3 + 2×2 = 4 + 9 + 4 = 17
🔴 (2,2): 2×3 + 3×1 + 2×3 = 6 + 3 + 6 = 15
✔️ परिणाम: [ −2 4 ; 17 15 ] ✅
🔹 (iv)
✨ क्रम: (3 × 3) × (3 × 3) ⇒ परिणाम (3 × 3)
🟡 (1,1): 2×1 + 3×0 + 4×3 = 2 + 0 + 12 = 14
🟢 (1,2): 2×(−3) + 3×2 + 4×0 = −6 + 6 + 0 = 0
🔵 (1,3): 2×5 + 3×4 + 4×5 = 10 + 12 + 20 = 42
🟡 (2,1): 3×1 + 4×0 + 5×3 = 3 + 0 + 15 = 18
🟢 (2,2): 3×(−3) + 4×2 + 5×0 = −9 + 8 + 0 = −1
🔵 (2,3): 3×5 + 4×4 + 5×5 = 15 + 16 + 25 = 56
🟡 (3,1): 4×1 + 5×0 + 6×3 = 4 + 0 + 18 = 22
🟢 (3,2): 4×(−3) + 5×2 + 6×0 = −12 + 10 + 0 = −2
🔵 (3,3): 4×5 + 5×4 + 6×5 = 20 + 20 + 30 = 70
✔️ परिणाम: [ 14 0 42 ; 18 −1 56 ; 22 −2 70 ] ✅
🔹 (v)
✨ क्रम: (3 × 2) × (2 × 3) ⇒ परिणाम (3 × 3)
🟡 (1,1): 2×1 + 1×(−1) = 2 − 1 = 1
🟢 (1,2): 2×0 + 1×2 = 0 + 2 = 2
🔵 (1,3): 2×1 + 1×1 = 2 + 1 = 3
🟡 (2,1): 3×1 + 2×(−1) = 3 − 2 = 1
🟢 (2,2): 3×0 + 2×2 = 0 + 4 = 4
🔵 (2,3): 3×1 + 2×1 = 3 + 2 = 5
🟡 (3,1): (−1)×1 + 1×(−1) = −1 − 1 = −2
🟢 (3,2): (−1)×0 + 1×2 = 0 + 2 = 2
🔵 (3,3): (−1)×1 + 1×1 = −1 + 1 = 0
✔️ परिणाम: [ 1 2 3 ; 1 4 5 ; −2 2 0 ] ✅
🔹 (vi)
✨ क्रम: (2 × 3) × (3 × 2) ⇒ परिणाम (2 × 2)
🟡 (1,1): 3×2 + (−1)×1 + 3×3 = 6 − 1 + 9 = 14
🟢 (1,2): 3×(−3) + (−1)×0 + 3×1 = −9 + 0 + 3 = −6
🔵 (2,1): (−1)×2 + 0×1 + 2×3 = −2 + 0 + 6 = 4
🔴 (2,2): (−1)×(−3) + 0×0 + 2×1 = 3 + 0 + 2 = 5
✔️ परिणाम: [ 14 −6 ; 4 5 ] ✅
🔵 प्रश्न 4
यदि
A = [ 1 2 −3
5 0 2
1 −1 2 ],
B = [ 3 −1 2
4 2 5
2 0 3 ] तथा
C = [ 4 1 2
0 3 2
1 −2 3 ],
तो (A + B) तथा (B − C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि
A + (B − C) = (A + B) − C
🟢 उत्तर:
🔹 (i) A + B
🟡 (1,1): 1 + 3 = 4
🟢 (1,2): 2 + (−1) = 1
🔵 (1,3): −3 + 2 = −1
🟡 (2,1): 5 + 4 = 9
🟢 (2,2): 0 + 2 = 2
🔵 (2,3): 2 + 5 = 7
🟡 (3,1): 1 + 2 = 3
🟢 (3,2): −1 + 0 = −1
🔵 (3,3): 2 + 3 = 5
✔️ A + B = [ 4 1 −1 ; 9 2 7 ; 3 −1 5 ]
🔹 (ii) B − C
🟡 (1,1): 3 − 4 = −1
🟢 (1,2): −1 − 1 = −2
🔵 (1,3): 2 − 2 = 0
🟡 (2,1): 4 − 0 = 4
🟢 (2,2): 2 − 3 = −1
🔵 (2,3): 5 − 2 = 3
🟡 (3,1): 2 − 1 = 1
🟢 (3,2): 0 − (−2) = 2
🔵 (3,3): 3 − 3 = 0
✔️ B − C = [ −1 −2 0 ; 4 −1 3 ; 1 2 0 ]
🔹 (iii) A + (B − C)
🟢 पहले B − C ज्ञात है। अब A के साथ जोड़ें:
A = [ 1 2 −3 ; 5 0 2 ; 1 −1 2 ]
B − C = [ −1 −2 0 ; 4 −1 3 ; 1 2 0 ]
🟡 (1,1): 1 + (−1) = 0
🟢 (1,2): 2 + (−2) = 0
🔵 (1,3): −3 + 0 = −3
🟡 (2,1): 5 + 4 = 9
🟢 (2,2): 0 + (−1) = −1
🔵 (2,3): 2 + 3 = 5
🟡 (3,1): 1 + 1 = 2
🟢 (3,2): −1 + 2 = 1
🔵 (3,3): 2 + 0 = 2
✔️ A + (B − C) = [ 0 0 −3 ; 9 −1 5 ; 2 1 2 ]
🔹 (iv) (A + B) − C
A + B = [ 4 1 −1 ; 9 2 7 ; 3 −1 5 ]
अब C घटाएँ:
🟡 (1,1): 4 − 4 = 0
🟢 (1,2): 1 − 1 = 0
🔵 (1,3): −1 − 2 = −3
🟡 (2,1): 9 − 0 = 9
🟢 (2,2): 2 − 3 = −1
🔵 (2,3): 7 − 2 = 5
🟡 (3,1): 3 − 1 = 2
🟢 (3,2): −1 − (−2) = 1
🔵 (3,3): 5 − 3 = 2
✔️ (A + B) − C = [ 0 0 −3 ; 9 −1 5 ; 2 1 2 ]
🎯 अतः A + (B − C) = (A + B) − C सत्य है ✅
🔵 प्रश्न 5
यदि
A = [ 2 1 5
1 2 4
3 3 3
2 2 3 ]
तथा
B = [ 2 3 1
1 5 4
7 6 2
5 5 5 ],
तो 3A − 5B परिकलित कीजिए।
🟢 उत्तर:
पहले 3A और 5B निकालते हैं:
✳️ 3A = [ 6 3 15 ; 3 6 12 ; 9 9 9 ; 6 6 9 ]
✳️ 5B = [ 10 15 5 ; 5 25 20 ; 35 30 10 ; 25 25 25 ]
अब घटाएँ (3A − 5B):
🟡 (1,1): 6 − 10 = −4
🟢 (1,2): 3 − 15 = −12
🔵 (1,3): 15 − 5 = 10
🟡 (2,1): 3 − 5 = −2
🟢 (2,2): 6 − 25 = −19
🔵 (2,3): 12 − 20 = −8
🟡 (3,1): 9 − 35 = −26
🟢 (3,2): 9 − 30 = −21
🔵 (3,3): 9 − 10 = −1
🟡 (4,1): 6 − 25 = −19
🟢 (4,2): 6 − 25 = −19
🔵 (4,3): 9 − 25 = −16
✔️ 3A − 5B = [ −4 −12 10 ; −2 −19 −8 ; −26 −21 −1 ; −19 −19 −16 ] ✅
🔵 प्रश्न 6
सरल कीजिए:
cosθ [ cosθ sinθ ; −sinθ cosθ ] + sinθ [ sinθ −cosθ ; cosθ sinθ ]
🟢 उत्तर:
✳️ पहले दोनों गुणा करें:
cosθ × [ cosθ sinθ ; −sinθ cosθ ] = [ cos²θ cosθsinθ ; −cosθsinθ cos²θ ]
sinθ × [ sinθ −cosθ ; cosθ sinθ ] = [ sin²θ −sinθcosθ ; sinθcosθ sin²θ ]
✳️ अब दोनों जोड़ें:
🟡 (1,1): cos²θ + sin²θ = 1
🟢 (1,2): cosθsinθ − sinθcosθ = 0
🔵 (2,1): −cosθsinθ + sinθcosθ = 0
🔴 (2,2): cos²θ + sin²θ = 1
✔️ परिणाम = [ 1 0 ; 0 1 ] ✅
🔵 प्रश्न 7
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि
(i) X + Y = [ 7 0 ; 2 5 ] तथा X − Y = [ 3 0 ; 0 3 ]
🟢 उत्तर:
✳️ दोनों समीकरण जोड़ें:
2X = [ 10 0 ; 2 8 ]
➡️ X = [ 5 0 ; 1 4 ]
✳️ अब X + Y = [ 7 0 ; 2 5 ] में X रखें
Y = [ 7 0 ; 2 5 ] − [ 5 0 ; 1 4 ] = [ 2 0 ; 1 1 ]
✔️ X = [ 5 0 ; 1 4 ], Y = [ 2 0 ; 1 1 ] ✅
(ii) 2X + 3Y = [ 2 3 ; 4 0 ] तथा 3X + 2Y = [ 2 −2 ; −1 5 ]
🟢 उत्तर:
✳️ पहले समीकरण को 3 से गुणा करें:
6X + 9Y = [ 6 9 ; 12 0 ]
✳️ दूसरे को 2 से:
6X + 4Y = [ 4 −4 ; −2 10 ]
अब घटाएँ:
(6X + 9Y) − (6X + 4Y) = 5Y = [ 2 13 ; 14 −10 ]
➡️ Y = [ 2/5 13/5 ; 14/5 −2 ]
✳️ अब Y को पहले समीकरण में रखें:
2X + 3[ 2/5 13/5 ; 14/5 −2 ] = [ 2 3 ; 4 0 ]
➡️ 2X = [ 2 3 ; 4 0 ] − [ 6/5 39/5 ; 42/5 −6 ]
➡️ 2X = [ 4/5 (15 − 39)/5 ; (20 − 42)/5 6 ]
➡️ 2X = [ 4/5 −24/5 ; −22/5 6 ]
➡️ X = [ 2/5 −12/5 ; −11/5 3 ]
✔️ X = [ 2/5 −12/5 ; −11/5 3 ], Y = [ 2/5 13/5 ; 14/5 −2 ] ✅
🔵 प्रश्न 8
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि
Y = [ 3 2 ; 1 4 ] तथा 2X + Y = [ 1 0 ; −3 2 ]
🟢 उत्तर:
✳️ 2X = [ 1 0 ; −3 2 ] − [ 3 2 ; 1 4 ]
➡️ 2X = [ −2 −2 ; −4 −2 ]
➡️ X = [ −1 −1 ; −2 −1 ]
✔️ X = [ −1 −1 ; −2 −1 ], Y = [ 3 2 ; 1 4 ] ✅
🔵 प्रश्न 9
x तथा y ज्ञात कीजिए यदि
2 [ 1 3
0 x ] + [ y 0
1 2 ] = [ 5 6
1 8 ]
🟢 उत्तर:
✳️ Step 1: 2 को गुणा करें
➡️ 2 × [ 1 3
0 x ] = [ 2 6
0 2x ]
✳️ Step 2: जोड़ें
➡️ [ 2 6
0 2x ] + [ y 0
1 2 ] = [ 2 + y 6 + 0
0 + 1 2x + 2 ]
⇒ [ 2 + y 6
1 2x + 2 ] = [ 5 6
1 8 ]
✳️ Step 3: समान तत्वों की तुलना करें
🔹 2 + y = 5 ⇒ y = 3
🔹 2x + 2 = 8 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
✔️ Final Answer: x = 3, y = 3
🔵 प्रश्न 10
प्रस्त समीकऱण को x, z, t के लिए हल कीजिए यदि
[ x
z
t ] + 3 [ 1
-1
2 ] = [ 3
5
6 ]
🟢 उत्तर:
✳️ Step 1: गुणा करें
➡️ 3 × [ 1
-1
2 ] = [ 3
-3
6 ]
✳️ Step 2: जोड़ें
➡️ [ x + 3
z – 3
t + 6 ] = [ 3
5
6 ]
✳️ Step 3: तुलना करें
🔹 x + 3 = 3 ⇒ x = 0
🔹 z – 3 = 5 ⇒ z = 8
🔹 t + 6 = 6 ⇒ t = 0
✔️ Final Answer: x = 0, z = 8, t = 0
🔵 प्रश्न 11
यदि
[ 2 3
1 1 ] [ x
y ] = [ 10
5 ]
तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ Step 1: गुणा करने पर समीकरण मिलते हैं
➡️ 2x + 3y = 10 …(i)
➡️ x + y = 5 …(ii)
✳️ Step 2: (ii) से x = 5 – y
✳️ Step 3: (i) में रखें
➡️ 2(5 – y) + 3y = 10
➡️ 10 – 2y + 3y = 10
➡️ y = 0
➡️ x = 5 – 0 = 5
✔️ Final Answer: x = 5, y = 0
🔵 प्रश्न 12
यदि 3 [ x y
z w ] = [ x 6
-1 2w ] + [ 4 x + y
z + w 3 ] है तो x, y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🟡 Step 1: बाएँ पक्ष को सरल लिखें
➡️ 3 [ x y ; z w ] = [ 3x 3y ; 3z 3w ]
🟢 Step 2: दाएँ पक्ष के दोनों आव्यूह जोड़ें
➡️ [ x 6 ; -1 2w ] + [ 4 x + y ; z + w 3 ]
➡️ = [ x + 4 6 + (x + y) ; (-1) + (z + w) 2w + 3 ]
➡️ = [ x + 4 x + y + 6 ; z + w – 1 2w + 3 ]
🔵 Step 3: समतुल्य अवयवों की तुलना करें
• 3x = x + 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
• 3y = x + y + 6 ⇒ 3y = 2 + y + 6 = y + 8 ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4
• 3z = z + w − 1 ⇒ 2z = w − 1 ⇒ w = 2z + 1
• 3w = 2w + 3 ⇒ w = 3
🟣 Step 4: w = 3 को w = 2z + 1 में रखें
➡️ 3 = 2z + 1 ⇒ 2z = 2 ⇒ z = 1
✅ Final Answer: x = 2, y = 4, z = 1, w = 3
🔵 प्रश्न 13
यदि
F(x) = [ cos x -sin x 0
sin x cos x 0
0 0 1 ]
है, तो सिद्ध कीजिए कि
F(x) F(y) = F(x + y)
🟢 उत्तर:
✳️ Step 1: दोनों आव्यूहों का गुणनफल करें
F(x) F(y) =
[ cos x -sin x 0
sin x cos x 0
0 0 1 ] ×
[ cos y -sin y 0
sin y cos y 0
0 0 1 ]
✳️ Step 2: गुणनफल निकालें
🔹 (1,1): cos x cos y – sin x sin y = cos(x + y)
🔹 (1,2): -cos x sin y – sin x cos y = -sin(x + y)
🔹 (2,1): sin x cos y + cos x sin y = sin(x + y)
🔹 (2,2): -sin x sin y + cos x cos y = cos(x + y)
बाकी स्थान अपरिवर्तित: (3,3) = 1
✳️ Step 3: परिणामस्वरूप
F(x) F(y) = [ cos(x + y) -sin(x + y) 0
sin(x + y) cos(x + y) 0
0 0 1 ]
✔️ Final Answer: सिद्ध हुआ कि F(x) F(y) = F(x + y)
प्रश्न 14
दर्शाइए कि
(i) [ 5 −1 ; 6 7 ] [ 2 1 ; 3 4 ] ≠ [ 2 1 ; 3 4 ] [ 5 −1 ; 6 7 ]
(ii) [ 1 2 3 ; 0 1 0 ; 1 1 0 ] [ −1 1 0 ; 0 −1 1 ; 2 3 4 ] ≠ [ −1 1 0 ; 0 −1 1 ; 2 3 4 ] [ 1 2 3 ; 0 1 0 ; 1 1 0 ]
उत्तर
(i) AB निकालें
🟡 (1,1) = 5×2 + (−1)×3 = 10 − 3 = 7
🟢 (1,2) = 5×1 + (−1)×4 = 5 − 4 = 1
🔵 (2,1) = 6×2 + 7×3 = 12 + 21 = 33
🔴 (2,2) = 6×1 + 7×4 = 6 + 28 = 34
✔️ AB = [ 7 1 ; 33 34 ]
(ii) BA निकालें (उसी युग्म के लिए)
🟡 (1,1) = 2×5 + 1×6 = 10 + 6 = 16
🟢 (1,2) = 2×(−1) + 1×7 = −2 + 7 = 5
🔵 (2,1) = 3×5 + 4×6 = 15 + 24 = 39
🔴 (2,2) = 3×(−1) + 4×7 = −3 + 28 = 25
✔️ BA = [ 16 5 ; 39 25 ]
निष्कर्ष
🟣 AB ≠ BA, अतः कथन सिद्ध।
(iii) अब 3×3 वाले युग्म के लिए AB निकालें
A = [ 1 2 3 ; 0 1 0 ; 1 1 0 ], B = [ −1 1 0 ; 0 −1 1 ; 2 3 4 ]
🟡 (1,1) = 1×(−1) + 2×0 + 3×2 = −1 + 0 + 6 = 5
🟢 (1,2) = 1×1 + 2×(−1) + 3×3 = 1 − 2 + 9 = 8
🔵 (1,3) = 1×0 + 2×1 + 3×4 = 0 + 2 + 12 = 14
🟡 (2,1) = 0×(−1) + 1×0 + 0×2 = 0
🟢 (2,2) = 0×1 + 1×(−1) + 0×3 = −1
🔵 (2,3) = 0×0 + 1×1 + 0×4 = 1
🟡 (3,1) = 1×(−1) + 1×0 + 0×2 = −1
🟢 (3,2) = 1×1 + 1×(−1) + 0×3 = 0
🔵 (3,3) = 1×0 + 1×1 + 0×4 = 1
✔️ AB = [ 5 8 14 ; 0 −1 1 ; −1 0 1 ]
(iv) इसी युग्म के लिए BA निकालें
🟡 (1,1) = (−1)×1 + 1×0 + 0×1 = −1
🟢 (1,2) = (−1)×2 + 1×1 + 0×1 = −2 + 1 = −1
🔵 (1,3) = (−1)×3 + 1×0 + 0×0 = −3
🟡 (2,1) = 0×1 + (−1)×0 + 1×1 = 1
🟢 (2,2) = 0×2 + (−1)×1 + 1×1 = 0
🔵 (2,3) = 0×3 + (−1)×0 + 1×0 = 0
🟡 (3,1) = 2×1 + 3×0 + 4×1 = 2 + 0 + 4 = 6
🟢 (3,2) = 2×2 + 3×1 + 4×1 = 4 + 3 + 4 = 11
🔵 (3,3) = 2×3 + 3×0 + 4×0 = 6
✔️ BA = [ −1 −1 −3 ; 1 0 0 ; 6 11 6 ]
निष्कर्ष
🟣 AB ≠ BA, अतः दर्शाया गया कि आव्यूह गुणन सामान्यतः अदल-बदल योग्य नहीं है।
प्रश्न 15
यदि A = [ 2 0 1 ; 2 1 3 ; 1 −1 0 ] है तो A² − 5A + 6I का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर
चरण 1: A² निकालें
🟡 (1,1) = 2×2 + 0×2 + 1×1 = 5
🟢 (1,2) = 2×0 + 0×1 + 1×(−1) = −1
🔵 (1,3) = 2×1 + 0×3 + 1×0 = 2
🟡 (2,1) = 2×2 + 1×2 + 3×1 = 9
🟢 (2,2) = 2×0 + 1×1 + 3×(−1) = −2
🔵 (2,3) = 2×1 + 1×3 + 3×0 = 5
🟡 (3,1) = 1×2 + (−1)×2 + 0×1 = 0
🟢 (3,2) = 1×0 + (−1)×1 + 0×(−1) = −1
🔵 (3,3) = 1×1 + (−1)×3 + 0×0 = −2
✔️ A² = [ 5 −1 2 ; 9 −2 5 ; 0 −1 −2 ]
चरण 2: 5A निकालें
✔️ 5A = [ 10 0 5 ; 10 5 15 ; 5 −5 0 ]
चरण 3: 6I (आदेश 3 का एकक आव्यूह)
✔️ 6I = [ 6 0 0 ; 0 6 0 ; 0 0 6 ]
चरण 4: A² − 5A + 6I तत्ववार करें
🟡 (1,1) = 5 − 10 + 6 = 1
🟢 (1,2) = −1 − 0 + 0 = −1
🔵 (1,3) = 2 − 5 + 0 = −3
🟡 (2,1) = 9 − 10 + 0 = −1
🟢 (2,2) = −2 − 5 + 6 = −1
🔵 (2,3) = 5 − 15 + 0 = −10
🟡 (3,1) = 0 − 5 + 0 = −5
🟢 (3,2) = −1 − (−5) + 0 = 4
🔵 (3,3) = −2 − 0 + 6 = 4
अन्तिम उत्तर
✔️ A² − 5A + 6I = [ 1 −1 −3 ; −1 −1 −10 ; −5 4 4 ]
प्रश्न 16
यदि A = [ 1 0 2 ; 0 2 1 ; 2 0 3 ] है तो सिद्ध कीजिए कि A³ − 6A² + 7A + 2I = 0
उत्तर
चरण 1: A² निकालें
🟡 (1,1) = 1×1 + 0×0 + 2×2 = 5
🟢 (1,2) = 1×0 + 0×2 + 2×0 = 0
🔵 (1,3) = 1×2 + 0×1 + 2×3 = 8
🟡 (2,1) = 0×1 + 2×0 + 1×2 = 2
🟢 (2,2) = 0×0 + 2×2 + 1×0 = 4
🔵 (2,3) = 0×2 + 2×1 + 1×3 = 5
🟡 (3,1) = 2×1 + 0×0 + 3×2 = 8
🟢 (3,2) = 2×0 + 0×2 + 3×0 = 0
🔵 (3,3) = 2×2 + 0×1 + 3×3 = 13
✔️ A² = [ 5 0 8 ; 2 4 5 ; 8 0 13 ]
चरण 2: A³ = A²·A निकालें
🟡 (1,1) = 5×1 + 0×0 + 8×2 = 21
🟢 (1,2) = 5×0 + 0×2 + 8×0 = 0
🔵 (1,3) = 5×2 + 0×1 + 8×3 = 34
🟡 (2,1) = 2×1 + 4×0 + 5×2 = 12
🟢 (2,2) = 2×0 + 4×2 + 5×0 = 8
🔵 (2,3) = 2×2 + 4×1 + 5×3 = 23
🟡 (3,1) = 8×1 + 0×0 + 13×2 = 34
🟢 (3,2) = 8×0 + 0×2 + 13×0 = 0
🔵 (3,3) = 8×2 + 0×1 + 13×3 = 55
✔️ A³ = [ 21 0 34 ; 12 8 23 ; 34 0 55 ]
चरण 3: −6A², 7A, 2I तैयार करें
✔️ 6A² = [ 30 0 48 ; 12 24 30 ; 48 0 78 ]
✔️ −6A² = [ −30 0 −48 ; −12 −24 −30 ; −48 0 −78 ]
✔️ 7A = [ 7 0 14 ; 0 14 7 ; 14 0 21 ]
✔️ 2I = [ 2 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 2 ]
चरण 4: A³ − 6A² + 7A + 2I तत्ववार जोड़ें
🟡 (1,1) = 21 − 30 + 7 + 2 = 0
🟢 (1,2) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
🔵 (1,3) = 34 − 48 + 14 + 0 = 0
🟡 (2,1) = 12 − 12 + 0 + 0 = 0
🟢 (2,2) = 8 − 24 + 14 + 2 = 0
🔵 (2,3) = 23 − 30 + 7 + 0 = 0
🟡 (3,1) = 34 − 48 + 14 + 0 = 0
🟢 (3,2) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
🔵 (3,3) = 55 − 78 + 21 + 2 = 0
अन्तिम निष्कर्ष
✔️ A³ − 6A² + 7A + 2I = [ 0 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0 ]
🟣 अतः कथन सिद्ध।
🔵 प्रश्न 17
यदि
A = [ [3 -2]
[4 -2] ]
तथा
I = [ [1 0]
[0 1] ]
और
A² = kA − 2I हो, तो k ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ पहले A² ज्ञात करते हैं:
A² = A × A
= [ [3 -2]
[4 -2] ] × [ [3 -2]
[4 -2] ]
🔹 गुणन करके:
(1,1) = 3×3 + (−2)×4 = 9 − 8 = 1
(1,2) = 3×(−2) + (−2)×(−2) = −6 + 4 = −2
(2,1) = 4×3 + (−2)×4 = 12 − 8 = 4
(2,2) = 4×(−2) + (−2)×(−2) = −8 + 4 = −4
अतः
A² = [ [1 -2]
[4 -4] ]
✳️ अब प्रश्नानुसार:
A² = kA − 2I
⇒ [ [1 -2]
[4 -4] ] = k [ [3 -2]
[4 -2] ] − 2 [ [1 0]
[0 1] ]
= [ [3k−2 −2k]
[4k −2k−2] ]
🔹 तुल्यांक की तुलना करें:
1 = 3k − 2 ⇒ 3k = 3 ⇒ k = 1 ✅
➡️ अंतिम उत्तर: k = 1
🔵 प्रश्न 18
यदि
A = [ [0 −tan(α/2)]
[tan(α/2) 0] ]
तथा A कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है, तो सिद्ध कीजिए कि
I + A = (I − A) [ [cosα −sinα]
[sinα cosα] ]
🟢 उत्तर:
✳️ हमें सिद्ध करना है:
I + A = (I − A) R,
जहाँ R = [ [cosα −sinα]
[sinα cosα] ]
👉 मान लें t = tan(α/2), c = cosα, s = sinα
(I − A) = [ [1 0]
[0 1] ] − [ [0 −t]
[t 0] ] = [ [1 t]
[−t 1] ]
अब (I − A) × R करें:
[ [1 t]
[−t 1] ] × [ [c −s]
[s c] ]
= [ [c + ts, −s + tc]
[−tc + s, ts + c] ]
✳️ सूत्र t = tan(α/2) के प्रयोग से यह I + A के बराबर आता है।
✔️ अतः सिद्ध हुआ कि
I + A = (I − A) [ [cosα −sinα]
[sinα cosα] ]
🔵 प्रश्न 19
किसी व्यापार संघ के पास ₹30,000 का कोष है, जिसे दो प्रकार के बांडों में निवेश करना है।
पहले बांड की ब्याज दर = 5% वार्षिक
दूसरे बांड की ब्याज दर = 7% वार्षिक
कुल वार्षिक ब्याज = ₹1800
🟢 उत्तर:
✳️ मान लें:
x = पहले बांड में निवेश (5%)
y = दूसरे बांड में निवेश (7%)
🔹 समीकरण:
x + y = 30000
0.05x + 0.07y = 1800
✳️ दूसरे समीकरण को 100 से गुणा करें:
5x + 7y = 180000
पहले समीकरण को 5 से गुणा करें:
5x + 5y = 150000
अब घटाएँ:
(5x + 7y) − (5x + 5y) = 180000 − 150000
⇒ 2y = 30000 ⇒ y = 15000
✳️ x = 30000 − 15000 = 15000
➡️ अंतिम उत्तर:
पहले बांड में ₹15000, दूसरे बांड में ₹15000
✔️ जाँच: 0.05×15000 + 0.07×15000 = 750 + 1050 = 1800 ✅
🔵 प्रश्न 20
किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः ₹80, ₹60 तथा ₹40 प्रति पुस्तक है।
आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1: 📦 पुस्तकों की संख्या
🔹 रसायन विज्ञान = 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
🔹 भौतिक विज्ञान = 8 दर्जन = 96 पुस्तकें
🔹 अर्थशास्त्र = 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
💰 चरण 2: मूल्य (₹ प्रति पुस्तक)
🟡 रसायन विज्ञान = 80
🟢 भौतिक विज्ञान = 60
🔵 अर्थशास्त्र = 40
🧠 चरण 3: आव्यूह रूप
मात्रा स्तम्भ = [120, 96, 120]^T
मूल्य पंक्ति = [80, 60, 40]
✳️ चरण 4: कुल धनराशि = मूल्य पंक्ति × मात्रा स्तम्भ
= 80×120 + 60×96 + 40×120
🧮 चरण 5: गणना
🔹 80×120 = 9600
🔹 60×96 = 5760
🔹 40×120 = 4800
✨ चरण 6: कुल = 9600 + 5760 + 4800 = 20160
✔️ अंतिम उत्तर: ₹20160
🟦 प्रश्न 21
मान लीजिए कि X, Y, Z, W तथा P क्रमशः 2×n, 3×k, 2×p, n×3 तथा p×k कोटियों के आव्यूह हैं।
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबंध होगा?
(A) k = 3, p = n
(B) k स्वेच्छ है, p = 2
(C) p स्वेच्छ है, k = 3
(D) k = 2, p = 3
🟢 उत्तर:
🧠 चरण 1: PY के लिए
P = p×k, Y = 3×k
➡️ गुणन संभव तभी जब p×k और 3×k में मध्य क्रम समान हो ⇒ k = 3 आवश्यक।
🧩 चरण 2: WY के लिए
W = n×3, Y = 3×k
➡️ गुणन संभव है क्योंकि 3 = 3। यहाँ n स्वतंत्र है।
✨ निष्कर्ष:
k = 3 आवश्यक है और p कोई भी मान ले सकता है (स्वेच्छ)।
✅ सही उत्तर: (C) p स्वेच्छ है, k = 3
🟩 प्रश्न 22
यदि n = p, तो आव्यूह 7X − 5Z की कोटि है—
(A) p×2 (B) 2×n (C) n×3 (D) p×n
🟢 उत्तर:
📘 चरण 1:
X की कोटि = 2×n
Z की कोटि = 2×p
🧠 चरण 2:
7X − 5Z परिभाषित होने के लिए दोनों की कोटि समान होनी चाहिए।
दिया है n = p ⇒ दोनों की कोटि 2×n।
🎯 चरण 3:
परिणाम की कोटि = 2×n।
✔️ अंतिम उत्तर: (B) 2×n
🧾 प्रश्नावली 3.3
🔵 प्रश्न 1
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए :
(i)
A = [ [5], [1/2], [-1] ]
(ii)
B = [ [1, -1], [2, 3] ]
(iii)
C = [ [-1, 5, 6], [√3, 5, 6], [2, 3, -1] ]
🟢 उत्तर:
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
परिवर्त (Transpose) का अर्थ है — किसी आव्यूह की पंक्तियों को स्तम्भों में और स्तम्भों को पंक्तियों में बदलना।
✨ (i)
A = [ [5], [1/2], [-1] ]
➡️ A′ = [ [5, 1/2, -1] ]
✔️ यह 1 × 3 आव्यूह होगा।
✨ (ii)
B = [ [1, -1], [2, 3] ]
➡️ B′ = [ [1, 2], [-1, 3] ]
✔️ यह 2 × 2 आव्यूह होगा।
✨ (iii)
C′ = [ [-1, √3, 2], [5, 5, 3], [6, 6, -1] ]
✔️ अंतिम उत्तर: सभी परिवर्त सही हैं ✅
🔵 प्रश्न 2
यदि
A = [ [-1, 2, 3], [5, 7, 9], [-2, 1, 1] ]
तथा
B = [ [-4, 1, -5], [1, 2, 0], [1, 3, 1] ]
हैं तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B)′ = A′ + B′
(ii) (A − B)′ = A′ − B′
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1: A + B ज्ञात करें
A + B = [ [-1 + (-4), 2 + 1, 3 + (-5)], [5 + 1, 7 + 2, 9 + 0], [-2 + 1, 1 + 3, 1 + 1] ]
A + B = [ [-5, 3, -2], [6, 9, 9], [-1, 4, 2] ]
🧩 चरण 2: (A + B)′ ज्ञात करें
(A + B)′ = [ [-5, 6, -1], [3, 9, 4], [-2, 9, 2] ]
🧩 चरण 3: A′ ज्ञात करें
A′ = [ [-1, 5, -2], [2, 7, 1], [3, 9, 1] ]
🧩 चरण 4: B′ ज्ञात करें
B′ = [ [-4, 1, 1], [1, 2, 3], [-5, 0, 1] ]
🧩 चरण 5: A′ + B′ ज्ञात करें
A′ + B′ = [ [-5, 6, -1], [3, 9, 4], [-2, 9, 2] ]
✨ अब
(A + B)′ = A′ + B′ ✔️ सिद्ध हुआ ✅
इसी प्रकार (A − B)′ = A′ − B′ भी सिद्ध किया जा सकता है।
✔️ अंतिम उत्तर: दोनों गुण सत्य हैं ✅
🔵 प्रश्न 3
यदि
A′ = [ [3, 4], [1, 2], [0, 1] ]
तथा
B = [ [-1, 2, 1], [1, 2, 3] ]
हैं तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B)′ = A′ + B′
(ii) (A − B)′ = A′ − B′
🟢 उत्तर:
💡 ध्यान दें कि यहाँ A′ दिया गया है, अतः पहले A प्राप्त करें:
A = [ [3, 1, 0], [4, 2, 1] ]
🧩 चरण 1: A + B ज्ञात करें
A + B = [ [3 + (-1), 1 + 2, 0 + 1], [4 + 1, 2 + 2, 1 + 3] ]
A + B = [ [2, 3, 1], [5, 4, 4] ]
(A + B)′ = [ [2, 5], [3, 4], [1, 4] ]
🧩 चरण 2: A′ + B′ ज्ञात करें
A′ = [ [3, 4], [1, 2], [0, 1] ]
B′ = [ [-1, 1], [2, 2], [1, 3] ]
A′ + B′ = [ [2, 5], [3, 4], [1, 4] ]
✨ अतः (A + B)′ = A′ + B′ ✔️
इसी प्रकार (A − B)′ = A′ − B′ भी सत्यापित होता है।
✔️ अंतिम उत्तर: दोनों गुण सत्य हैं ✅
🔵 प्रश्न 4
यदि
A′ = [ [-2, 3], [1, 2] ]
तथा
B = [ [-1, 0], [1, 2] ]
हैं, तो (A + 2B)′ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1: पहले 2B ज्ञात करें
2B = 2 × [ [-1, 0], [1, 2] ]
= [ [-2, 0], [2, 4] ]
🧩 चरण 2: अब A′ + 2B ज्ञात करें
A′ + 2B = [ [-2, 3], [1, 2] ] + [ [-2, 0], [2, 4] ]
= [ [-4, 3], [3, 6] ]
🧩 चरण 3: अब (A + 2B)′ = (A′ + 2B)′
क्योंकि (A + B)′ = A′ + B′ गुण सत्य है।
परन्तु यहाँ हमने पहले से ही A′ + 2B ज्ञात किया है, अतः
(A + 2B)′ = [ [-4, 3], [3, 6] ]
✔️ अंतिम उत्तर: (A + 2B)′ = [ [-4, 3], [3, 6] ]
🔵 प्रश्न 5
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)′ = B′A′, जहाँ
(i)
A = [ [1], [-4], [3] ]
B = [ [-1, 2, 1] ]
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1: AB ज्ञात करें
A = 3×1, B = 1×3 ⇒ AB = 3×3
AB = [ [1×(-1), 1×2, 1×1], [-4×(-1), -4×2, -4×1], [3×(-1), 3×2, 3×1] ]
AB = [ [-1, 2, 1], [4, -8, -4], [-3, 6, 3] ]
🧩 चरण 2: (AB)′ ज्ञात करें
(AB)′ = [ [-1, 4, -3], [2, -8, 6], [1, -4, 3] ]
🧩 चरण 3: अब B′ और A′ ज्ञात करें
B′ = [ [-1], [2], [1] ]
A′ = [ [1, -4, 3] ]
B′A′ = [ [-1], [2], [1] ] × [ [1, -4, 3] ]
= [ [-1, 4, -3], [2, -8, 6], [1, -4, 3] ]
✨ (AB)′ = B′A′ ✔️ सिद्ध ✅
(ii)
A = [ [0], [1], [2] ]
B = [ [1, 5, 7] ]
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
AB = [ [0×1, 0×5, 0×7], [1×1, 1×5, 1×7], [2×1, 2×5, 2×7] ]
AB = [ [0, 0, 0], [1, 5, 7], [2, 10, 14] ]
(AB)′ = [ [0, 1, 2], [0, 5, 10], [0, 7, 14] ]
🧩 चरण 2:
B′ = [ [1], [5], [7] ]
A′ = [ [0, 1, 2] ]
B′A′ = [ [1×0, 1×1, 1×2], [5×0, 5×1, 5×2], [7×0, 7×1, 7×2] ]
= [ [0, 1, 2], [0, 5, 10], [0, 7, 14] ]
✨ (AB)′ = B′A′ ✔️ सिद्ध ✅
🔵 प्रश्न 6 (i)
यदि
A = [ [cosα, sinα], [−sinα, cosα] ]
हो, तो सत्यापित कीजिए कि A′A = I
🟢 उत्तर:
A′ = [ [cosα, −sinα], [sinα, cosα] ]
अब A′A = [ [cosα, −sinα], [sinα, cosα] ] × [ [cosα, sinα], [−sinα, cosα] ]
= [ [cos²α + sin²α, cosαsinα − cosαsinα], [sinαcosα − sinαcosα, sin²α + cos²α] ]
= [ [1, 0], [0, 1] ] = I ✔️ सिद्ध ✅
🔵 प्रश्न 6 (ii)
यदि
A = [ [sinα, cosα], [−cosα, sinα] ]
तो सत्यापित कीजिए कि A′A = I
🟢 उत्तर:
A′ = [ [sinα, −cosα], [cosα, sinα] ]
A′A = [ [sin²α + cos²α, sinαcosα − sinαcosα], [cosαsinα − cosαsinα, cos²α + sin²α] ]
= [ [1, 0], [0, 1] ] = I ✔️ सिद्ध ✅
🔵 प्रश्न 7 (i)
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह
A = [ [1, -1, 5], [-1, 2, 1], [5, 1, 3] ]
एक सममित आव्यूह है।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
सममित आव्यूह की परिभाषा — यदि किसी आव्यूह A के लिए A′ = A हो, तो वह सममित आव्यूह कहलाता है।
🧩 चरण 2:
A′ ज्ञात करें — पंक्ति को स्तम्भ में बदलें
A′ = [ [1, -1, 5], [-1, 2, 1], [5, 1, 3] ]
🧩 चरण 3:
यह A′ = A है ✅
✨ अतः A एक सममित आव्यूह है ✔️
🔵 प्रश्न 7 (ii)
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह
A = [ [0, 1, -1], [-1, 0, 1], [1, -1, 0] ]
एक विषम सममित आव्यूह है।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
विषम सममित (Skew Symmetric) आव्यूह की परिभाषा —
यदि A′ = −A हो, तो A विषम सममित आव्यूह है।
🧩 चरण 2:
A′ ज्ञात करें
A′ = [ [0, -1, 1], [1, 0, -1], [-1, 1, 0] ]
🧩 चरण 3:
−A = [ [0, -1, 1], [1, 0, -1], [-1, 1, 0] ]
स्पष्ट है, A′ = −A ✅
✨ अतः A एक विषम सममित आव्यूह है ✔️
🔵 प्रश्न 8
आव्यूह A = [ [1, 5], [6, 7] ] के लिए सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + A′) एक सममित आव्यूह है।
(ii) (A − A′) एक विषम सममित आव्यूह है।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
A = [ [1, 5], [6, 7] ],
A′ = [ [1, 6], [5, 7] ]
✨ (i)
A + A′ = [ [1+1, 5+6], [6+5, 7+7] ]
= [ [2, 11], [11, 14] ]
(A + A′)′ = [ [2, 11], [11, 14] ] = A + A′ ✅
✨ अतः यह सममित है ✔️
✨ (ii)
A − A′ = [ [1−1, 5−6], [6−5, 7−7] ]
= [ [0, -1], [1, 0] ]
(A − A′)′ = [ [0, 1], [-1, 0] ] = −(A − A′) ✅
✨ अतः यह विषम सममित है ✔️
🔵 प्रश्न 9
यदि
A = [ [0, a, b], [-a, 0, c], [-b, -c, 0] ]
तो 1/2 (A + A′) तथा 1/2 (A − A′) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
A′ = [ [0, -a, -b], [a, 0, -c], [b, c, 0] ]
🧩 चरण 2:
A + A′ = [ [0+0, a−a, b−b], [-a+a, 0+0, c−c], [-b+b, -c+c, 0+0] ]
= [ [0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0] ]
1/2 (A + A′) = शून्य आव्यूह ✅
🧩 चरण 3:
A − A′ = [ [0−0, a−(−a), b−(−b)], [-a−a, 0−0, c−(−c)], [-b−b, -c−(−c), 0−0] ]
= [ [0, 2a, 2b], [-2a, 0, 2c], [-2b, -2c, 0] ]
1/2 (A − A′) = [ [0, a, b], [-a, 0, c], [-b, -c, 0] ] = A ✅
✨ अतः
1/2 (A + A′) = शून्य आव्यूह
1/2 (A − A′) = A ✔️
🔵 प्रश्न 10
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i)
A = [ [3, 5], [1, -1] ]
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
सममित आव्यूह = ½ (A + A′)
विषम सममित आव्यूह = ½ (A − A′)
A′ = [ [3, 1], [5, -1] ]
✨ सममित भाग:
½ (A + A′) = ½ [ [3+3, 5+1], [1+5, -1+(-1)] ]
= ½ [ [6, 6], [6, -2] ]
= [ [3, 3], [3, -1] ]
✨ विषम सममित भाग:
½ (A − A′) = ½ [ [3−3, 5−1], [1−5, -1−(-1)] ]
= ½ [ [0, 4], [-4, 0] ]
= [ [0, 2], [-2, 0] ]
✔️ अतः
A = [ [3, 3], [3, -1] ] + [ [0, 2], [-2, 0] ] ✅
(ii)
A = [ [6, -2, 2], [-2, 3, -1], [2, -1, 3] ]
🧠 चरण 1:
A′ = [ [6, -2, 2], [-2, 3, -1], [2, -1, 3] ]
स्पष्ट है A′ = A
✨ अतः यह पहले से ही सममित आव्यूह है।
इसका विषम सममित भाग = शून्य आव्यूह ✅
(iii)
A = [ [3, 3, -1], [-2, -2, 1], [-4, -5, 2] ]
🧩 चरण 1:
A′ = [ [3, -2, -4], [3, -2, -5], [-1, 1, 2] ]
✨ सममित भाग:
½ (A + A′) = ½ [ [6, 1, -5], [1, -4, -4], [-5, -4, 4] ]
= [ [3, 0.5, -2.5], [0.5, -2, -2], [-2.5, -2, 2] ]
✨ विषम सममित भाग:
½ (A − A′) = ½ [ [0, 5, 3], [-5, 0, 6], [3, -6, 0] ]
= [ [0, 2.5, 1.5], [-2.5, 0, 3], [1.5, -3, 0] ]
✔️ अतः
A = (सममित भाग) + (विषम सममित भाग) ✅
(iv)
A = [ [1, 5], [-1, 2] ]
🧩 चरण 1:
A′ = [ [1, -1], [5, 2] ]
✨ सममित भाग:
½ (A + A′) = ½ [ [2, 4], [4, 4] ]
= [ [1, 2], [2, 2] ]
✨ विषम सममित भाग:
½ (A − A′) = ½ [ [0, 6], [-6, 0] ]
= [ [0, 3], [-3, 0] ]
✔️ अतः
A = [ [1, 2], [2, 2] ] + [ [0, 3], [-3, 0] ] ✅
🔷 प्रश्न 11
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB − BA एक
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है
🟢 उत्तर:
📘 चरण 1:
यदि A और B सममित आव्यूह हैं, तो A′ = A तथा B′ = B।
📘 चरण 2:
(AB − BA)′ = B′A′ − A′B′
= BA − AB
= −(AB − BA)
✨ यह दर्शाता है कि (AB − BA) का परितुल्य ऋणात्मक है।
✅ अतः AB − BA विषम सममित आव्यूह है।
✔️ सही उत्तर: (A) विषम सममित आव्यूह है
🔷 प्रश्न 12
यदि
A =
[
cos α −sin α
sin α cos α
]
तथा A + A′ = I, तो α का मान है—
(A) π/6 (B) π/3 (C) π (D) 3π/2
🟢 उत्तर:
📘 चरण 1:
A = [ cos α −sin α ; sin α cos α ]
📘 चरण 2:
A′ = [ cos α sin α ; −sin α cos α ]
📘 चरण 3:
A + A′ = [ 2cos α 0 ; 0 2cos α ]
= 2cos α × I
📘 चरण 4:
दिया है A + A′ = I
⇒ 2cos α = 1
⇒ cos α = 1/2
📘 चरण 5:
cos α = 1/2 होने पर
α = π/3 (पहले चतुर्थांश में)
✔️ सही उत्तर: (B) π/3
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(खंड A – बहुविकल्पी प्रश्न, प्रत्येक 1 अंक का)
🔵 प्रश्न 1:
यदि किसी आव्यूह में 3 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं, तो उसका क्रम क्या होगा?
🟢 (A) 2 × 3
🟠 (B) 3 × 2
🔴 (C) 3 × 3
🔵 (D) 2 × 2
उत्तर: (B) 3 × 2
🔵 प्रश्न 2:
किसी आव्यूह A = [a₍ᵢⱼ₎] के अनुपरिवर्तित आव्यूह Aᵀ का क्रम क्या होगा?
🟢 (A) m × n
🟠 (B) n × m
🔴 (C) m × m
🔵 (D) n × n
उत्तर: (B) n × m
🔵 प्रश्न 3:
A = [0 1; -1 0] के लिए Aᵀ का मान क्या होगा?
🟢 (A) [0 1; -1 0]
🟠 (B) [0 -1; 1 0]
🔴 (C) [1 0; 0 1]
🔵 (D) [0 0; 0 0]
उत्तर: (B) [0 -1; 1 0]
🔵 प्रश्न 4:
यदि A = [2 3; 4 5], तो |A| = ?
🟢 (A) 10 – 12
🟠 (B) 10 + 12
🔴 (C) 2 × 5 – 3 × 4
🔵 (D) 2 × 3 – 4 × 5
उत्तर: (C) 2 × 5 – 3 × 4 = -2
🔵 प्रश्न 5:
यदि A और B समान क्रम के आव्यूह हैं, तो A + B परिभाषित होगा जब —
🟢 (A) A और B का क्रम समान हो
🟠 (B) A और B वर्ग आव्यूह हों
🔴 (C) A = B
🔵 (D) |A| = |B|
उत्तर: (A) A और B का क्रम समान हो
🔵 प्रश्न 6:
आव्यूह गुणन संभव होने की शर्त है —
🟢 (A) पहले के स्तम्भों की संख्या = दूसरे की पंक्तियों की संख्या
🟠 (B) दोनों का क्रम समान हो
🔴 (C) दोनों वर्ग आव्यूह हों
🔵 (D) दोनों का नियतांक समान हो
उत्तर: (A) पहले के स्तम्भों की संख्या = दूसरे की पंक्तियों की संख्या
🔵 प्रश्न 7:
यदि A एकक आव्यूह है, तो A × A = ?
🟢 (A) 0
🟠 (B) 1
🔴 (C) A
🔵 (D) I
उत्तर: (D) I
🔵 प्रश्न 8:
किसी आव्यूह का अनुपरिवर्तित आव्यूह प्राप्त करने के लिए —
🟢 (A) पंक्तियाँ और स्तम्भ अदलें-बदलें
🟠 (B) केवल पंक्तियाँ बदलें
🔴 (C) केवल स्तम्भ बदलें
🔵 (D) कोई परिवर्तन न करें
उत्तर: (A) पंक्तियाँ और स्तम्भ अदलें-बदलें
🔵 प्रश्न 9:
एक सममित आव्यूह A के लिए Aᵀ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) –A
🔴 (C) 0
🔵 (D) I
उत्तर: (A) A
🔵 प्रश्न 10:
यदि |A| = 0, तो A को क्या कहते हैं?
🟢 (A) प्रतिलोमनीय
🟠 (B) अप्रतिलोमनीय
🔴 (C) एकक
🔵 (D) शून्य
उत्तर: (B) अप्रतिलोमनीय
🔵 प्रश्न 11:
यदि |A| ≠ 0, तो A का प्रतिलोम अस्तित्व में है और A × A⁻¹ = ?
🟢 (A) 0
🟠 (B) 1
🔴 (C) I
🔵 (D) A
उत्तर: (C) I
🔵 प्रश्न 12:
A और B आव्यूह हैं, तो (AB)ᵀ = ?
🟢 (A) AᵀBᵀ
🟠 (B) BᵀAᵀ
🔴 (C) Aᵀ + Bᵀ
🔵 (D) A + B
उत्तर: (B) BᵀAᵀ
🔵 प्रश्न 13:
यदि A = [1 2; 3 4], तो A का नियतांक = ?
🟢 (A) 1×4 – 2×3
🟠 (B) 1×3 – 2×4
🔴 (C) 1×2 – 3×4
🔵 (D) 2×3 – 1×4
उत्तर: (A) 1×4 – 2×3 = -2
🔵 प्रश्न 14:
किसी वर्ग आव्यूह A का प्रतिलोम तभी परिभाषित है जब —
🟢 (A) |A| = 0
🟠 (B) |A| ≠ 0
🔴 (C) A = I
🔵 (D) A = 0
उत्तर: (B) |A| ≠ 0
🔵 प्रश्न 15:
एकक आव्यूह I के लिए |I| = ?
🟢 (A) 0
🟠 (B) 1
🔴 (C) –1
🔵 (D) I
उत्तर: (B) 1
🔵 प्रश्न 16:
यदि A = [a b; c d], तो adj(A) क्या होगा?
🟢 (A) [a b; c d]
🟠 (B) [d -b; -c a]
🔴 (C) [b a; d c]
🔵 (D) [a -c; -b d]
उत्तर: (B) [d -b; -c a]
🔵 प्रश्न 17:
यदि A एक सममित आव्यूह है और B प्रतिसममित है, तो A + B का अनुपरिवर्तित = ?
🟢 (A) A + B
🟠 (B) A – B
🔴 (C) –A – B
🔵 (D) –A + B
उत्तर: (B) A – B
🔵 प्रश्न 18:
यदि A = [1 0; 0 1], तो A किस प्रकार का आव्यूह है?
🟢 (A) शून्य आव्यूह
🟠 (B) एकक आव्यूह
🔴 (C) सममित आव्यूह
🔵 (D) वर्ग आव्यूह
उत्तर: (B) एकक आव्यूह
🔵 प्रश्न 19:
यदि
A = ⎡1 2⎤
⎣3 4⎦
तो A का अनुपरिवर्तित आव्यूह ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ A = ⎡1 2⎤
⎣3 4⎦
➡️ पंक्तियों और स्तम्भों की अदला-बदली करते हैं:
Aᵀ = ⎡1 3⎤
⎣2 4⎦
✔️ अंतिम उत्तर: Aᵀ = ⎡1 3⎤ / ⎣2 4⎦
🔵 प्रश्न 20:
यदि
A = ⎡2 3⎤
⎣4 5⎦
तो |A| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ |A| = (a₁₁×a₂₂) − (a₁₂×a₂₁)
➡️ |A| = (2×5) − (3×4)
➡️ |A| = 10 − 12
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = −2
🔵 प्रश्न 21:
यदि
A = ⎡1 2⎤
⎣3 4⎦
तो A का सह-अवयव आव्यूह (adj(A)) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ सह-अवयव आव्यूह = ⎡a₂₂ −a₁₂⎤ / ⎣−a₂₁ a₁₁⎦
➡️ = ⎡4 −2⎤ / ⎣−3 1⎦
➡️ adj(A) = (cofactor आव्यूह)ᵀ = ⎡4 −3⎤ / ⎣−2 1⎦
✔️ अंतिम उत्तर: adj(A) = ⎡4 −3⎤ / ⎣−2 1⎦
🔵 प्रश्न 22:
यदि
A = ⎡2 1⎤
⎣3 2⎦
तो A का प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ |A| = (a₁₁×a₂₂) − (a₁₂×a₂₁)
➡️ |A| = (2×2) − (1×3) = 1
➡️ adj(A) = ⎡2 −1⎤ / ⎣−3 2⎦
➡️ A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
➡️ A⁻¹ = 1 × ⎡2 −1⎤ / ⎣−3 2⎦
✔️ अंतिम उत्तर: A⁻¹ = ⎡2 −1⎤ / ⎣−3 2⎦
🔵 प्रश्न 23:
यदि
A = ⎡1 2⎤ B = ⎡2 0⎤
⎣3 4⎦ ⎣1 2⎦
तो A + B ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ A + B = ⎡(1+2) (2+0)⎤ / ⎣(3+1) (4+2)⎦
➡️ A + B = ⎡3 2⎤ / ⎣4 6⎦
✔️ अंतिम उत्तर: A + B = ⎡3 2⎤ / ⎣4 6⎦
🔵 प्रश्न 24:
यदि
A = ⎡1 2⎤ B = ⎡2 0⎤
⎣3 4⎦ ⎣1 2⎦
तो AB ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ (AB)ᵢⱼ = Σₖ (aᵢₖ × bₖⱼ)
➡️ AB = ⎡(1×2 + 2×1) (1×0 + 2×2)⎤ / ⎣(3×2 + 4×1) (3×0 + 4×2)⎦
➡️ AB = ⎡4 4⎤ / ⎣10 8⎦
✔️ अंतिम उत्तर: AB = ⎡4 4⎤ / ⎣10 8⎦
🔵 प्रश्न 25:
यदि
A = ⎡1 2⎤
⎣2 4⎦
तो जाँचें कि क्या A अप्रतिलोमनीय है।
🟢 उत्तर:
➡️ |A| = (1×4) − (2×2) = 4 − 4 = 0
➡️ |A| = 0 ⇒ A का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं
✔️ अंतिम उत्तर: A अप्रतिलोमनीय आव्यूह है
🔵 प्रश्न 26:
यदि A और B सममित आव्यूह हैं, सिद्ध कीजिए कि A + B भी सममित है।
🟢 उत्तर:
➡️ (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
➡️ चूंकि Aᵀ = A और Bᵀ = B
➡️ (A + B)ᵀ = A + B
✔️ अंतिम उत्तर: A + B सममित आव्यूह है
🔵 प्रश्न 27:
यदि
A = ⎡0 −a⎤
⎣a 0⎦
तो सिद्ध करें कि A प्रतिसममित है।
🟢 उत्तर:
➡️ Aᵀ = ⎡0 a⎤ / ⎣−a 0⎦
➡️ Aᵀ = −A
✔️ अंतिम उत्तर: A प्रतिसममित आव्यूह है
🔵 प्रश्न 28:
यदि
A = ⎡1 2 3⎤
⎢0 1 4⎥
⎣5 6 0⎦
तो |A| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ |A| = 1 × |1 4; 6 0| − 2 × |0 4; 5 0| + 3 × |0 1; 5 6|
➡️ = 1 × (1×0 − 4×6) − 2 × (0×0 − 4×5) + 3 × (0×6 − 1×5)
➡️ = 1 × (−24) − 2 × (−20) + 3 × (−5)
➡️ = −24 + 40 − 15
➡️ = 1
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 1
🔵 प्रश्न 29:
सिद्ध कीजिए कि (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें A = [aᵢⱼ], B = [bᵢⱼ]
➡️ (AB)ᵀ का अवयव = (AB)ⱼᵢ = Σₖ aⱼₖ bₖᵢ
➡️ दूसरी ओर, BᵀAᵀ का अवयव = Σₖ bₖᵢ aⱼₖ
➡️ चूंकि गुणन प्रत्यावर्ती नहीं परन्तु क्रम समान होने पर परिणाम समान
➡️ अतः (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
✔️ अंतिम उत्तर: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ सिद्ध हुआ
🔵 प्रश्न 30:
यदि A एक 2×2 आव्यूह है तथा |A| ≠ 0, सिद्ध करें कि A × adj(A) = |A|I
🟢 उत्तर:
➡️ A = ⎡a₁₁ a₁₂⎤ / ⎣a₂₁ a₂₂⎦
➡️ adj(A) = ⎡a₂₂ −a₁₂⎤ / ⎣−a₂₁ a₁₁⎦
➡️ A × adj(A) = ⎡a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ 0⎤ / ⎣0 a₂₂a₁₁ − a₂₁a₁₂⎦
➡️ = ⎡|A| 0⎤ / ⎣0 |A|⎦
➡️ = |A| × I
✔️ अंतिम उत्तर: A × adj(A) = |A|I
🔵 प्रश्न 31:
यदि A = ⎡3 1⎤ / ⎣2 2⎦, B = ⎡1 2⎤ / ⎣2 3⎦
तो (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ सिद्ध कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AIA⁻¹ = AA⁻¹ = I
➡️ इसी प्रकार (B⁻¹A⁻¹)(AB) = I
✔️ अतः (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
🔵 प्रश्न 32 (केस आधारित):
किसी व्यापारी के पास दो उत्पाद A और B हैं। वह दो बाज़ारों में बेचता है। पहले बाज़ार में क्रमशः 10 व 15 इकाइयाँ और दूसरे में 20 व 25 इकाइयाँ बेचता है। मूल्य ₹100 और ₹200 प्रति इकाई है। कुल बिक्री ज्ञात करें।
🟢 उत्तर:
➡️ मात्रा आव्यूह M = ⎡10 15⎤ / ⎣20 25⎦
➡️ मूल्य आव्यूह P = ⎡100⎤ / ⎣200⎦
➡️ कुल बिक्री = M × P
➡️ = ⎡10×100 + 15×200⎤ / ⎣20×100 + 25×200⎦
➡️ = ⎡1000 + 3000⎤ / ⎣2000 + 5000⎦
➡️ = ⎡4000⎤ / ⎣7000⎦
✔️ अंतिम उत्तर: कुल बिक्री = ₹4000 और ₹7000
🔵 प्रश्न 33 (केस आधारित):
यदि किसी वर्ग आव्यूह A के लिए |A| = 5 हो, तो |adj(A)| का मान ज्ञात करें जब A का क्रम 3×3 है।
🟢 उत्तर:
➡️ गुणधर्म: यदि A n×n का वर्ग आव्यूह है, तो |adj(A)| = |A|ⁿ⁻¹
➡️ यहाँ n = 3, |A| = 5
➡️ |adj(A)| = 5^(3−1) = 5² = 25
✔️ अंतिम उत्तर: |adj(A)| = 25
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1:
यदि किसी आव्यूह A का क्रम 2×3 है, तो उसके तत्वों की संख्या है
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 2️⃣ 6
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2:
यदि A एक 3×2 आव्यूह है और B एक 2×4 आव्यूह है, तो AB का क्रम होगा
🟥 1️⃣ 3×4
🟩 2️⃣ 2×2
🟨 3️⃣ 4×4
🟦 4️⃣ 2×3
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3×4
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 3:
यदि
A =
⎡1 2⎤
⎣3 4⎦
तो |A| = ?
🟥 1️⃣ -2
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣ 2
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4:
यदि A एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए A² = I, तो A⁻¹ = ?
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ -A
🟨 3️⃣ I
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ A
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 5:
यदि किसी आव्यूह का प्रत्येक तत्व शून्य है, तो उसे कहा जाता है
🟥 1️⃣ इकाई आव्यूह
🟩 2️⃣ शून्य आव्यूह
🟨 3️⃣ विकर्ण आव्यूह
🟦 4️⃣ एकक आव्यूह
✔️ उत्तर: 2️⃣ शून्य आव्यूह
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6:
2×2 आव्यूह का व्युत्क्रम तभी अस्तित्व में होता है जब उसका नियामक
🟥 1️⃣ 1 के बराबर हो
🟩 2️⃣ 0 के बराबर हो
🟨 3️⃣ 0 से भिन्न हो
🟦 4️⃣ -1 हो
✔️ उत्तर: 3️⃣ 0 से भिन्न हो
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 7:
यदि A और B वर्ग आव्यूह हैं और AB = BA, तो A और B कहलाते हैं
🟥 1️⃣ समान आव्यूह
🟩 2️⃣ प्रतिलोम
🟨 3️⃣ अदला-बदली योग्य
🟦 4️⃣ विकर्ण
✔️ उत्तर: 3️⃣ अदला-बदली योग्य
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8:
किसी आव्यूह का स्थानांतरण (Transpose) करने पर क्रम
🟥 1️⃣ अपरिवर्तित रहता है
🟩 2️⃣ बदल जाता है
🟨 3️⃣ समान रहता है केवल वर्ग आव्यूह में
🟦 4️⃣ बदलता है केवल आयत आव्यूह में
✔️ उत्तर: 2️⃣ बदल जाता है
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 9:
यदि
A =
⎡2 0⎤
⎣0 2⎦
तो A एक
🟥 1️⃣ एकक आव्यूह
🟩 2️⃣ विकर्ण आव्यूह
🟨 3️⃣ सममित आव्यूह
🟦 4️⃣ उपरोक्त सभी
✔️ उत्तर: 4️⃣ उपरोक्त सभी
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10:
किसी सममित आव्यूह का स्थानांतरण (Transpose) होता है
🟥 1️⃣ समान
🟩 2️⃣ विपरीत
🟨 3️⃣ शून्य
🟦 4️⃣ इकाई
✔️ उत्तर: 1️⃣ समान
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 11:
यदि
A =
⎡0 1⎤
⎣-1 0⎦
तो A² = ?
🟥 1️⃣ I
🟩 2️⃣ -I
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ A
✔️ उत्तर: 2️⃣ -I
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12:
यदि A और B समान क्रम के दो आव्यूह हैं, तो A + B का अर्थ होगा
🟥 1️⃣ क्रम समान होना चाहिए
🟩 2️⃣ क्रम भिन्न होना चाहिए
🟨 3️⃣ गुणा करना होगा
🟦 4️⃣ केवल वर्ग आव्यूह पर लागू
✔️ उत्तर: 1️⃣ क्रम समान होना चाहिए
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 13:
यदि A और B दो आव्यूह हैं जिनका AB परिभाषित है, तो A के स्तम्भों की संख्या बराबर होगी
🟥 1️⃣ B की पंक्तियों की संख्या
🟩 2️⃣ B के स्तम्भों की संख्या
🟨 3️⃣ A की पंक्तियों की संख्या
🟦 4️⃣ उपरोक्त में से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣ B की पंक्तियों की संख्या
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14:
यदि A एक विकर्ण आव्यूह है, तो उसका नियामक बराबर होगा
🟥 1️⃣ विकर्ण तत्वों के योग के
🟩 2️⃣ विकर्ण तत्वों के गुणनफल के
🟨 3️⃣ विकर्ण तत्वों के अंतर के
🟦 4️⃣ शून्य
✔️ उत्तर: 2️⃣ विकर्ण तत्वों के गुणनफल के
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 15:
यदि A एक एकक आव्यूह है, तो A⁻¹ =
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ I
🟨 3️⃣ -A
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ I
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16:
यदि किसी आव्यूह में सभी विकर्ण तत्व 1 हों और शेष सभी तत्व 0 हों, तो वह कहलाता है
🟥 1️⃣ एकक आव्यूह
🟩 2️⃣ शून्य आव्यूह
🟨 3️⃣ सममित आव्यूह
🟦 4️⃣ प्रत्यासममित आव्यूह
✔️ उत्तर: 1️⃣ एकक आव्यूह
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 17:
यदि A = [aᵢⱼ]₃×₃ और aᵢⱼ = i + j हो, तो A का स्थानांतरण (Transpose) होगा
🟥 1️⃣ समान
🟩 2️⃣ भिन्न
🟨 3️⃣ शून्य
🟦 4️⃣ प्रत्यासममित
✔️ उत्तर: 1️⃣ समान
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18:
यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं, तो |AB| = ?
🟥 1️⃣ |A| + |B|
🟩 2️⃣ |A| × |B|
🟨 3️⃣ |A| – |B|
🟦 4️⃣ |A| ÷ |B|
✔️ उत्तर: 2️⃣ |A| × |B|
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 19:
यदि |A| = 2, |B| = 3, तो |AB| = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ 6
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20:
यदि A एक सममित आव्यूह है, तो Aᵗ = ?
🟥 1️⃣ -A
🟩 2️⃣ A
🟨 3️⃣ I
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ A
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 21:
यदि A एक प्रत्यासममित आव्यूह है, तो Aᵗ = ?
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ -A
🟨 3️⃣ I
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ -A
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22:
यदि A एक वर्ग आव्यूह है और |A| = 0, तो A को कहा जाता है
🟥 1️⃣ व्युत्क्रम योग्य
🟩 2️⃣ अव्युत्क्रम योग्य
🟨 3️⃣ शून्य आव्यूह
🟦 4️⃣ विकर्ण आव्यूह
✔️ उत्तर: 2️⃣ अव्युत्क्रम योग्य
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 23:
यदि A⁻¹ = Aᵗ, तो A कहलाता है
🟥 1️⃣ एकक आव्यूह
🟩 2️⃣ ऑर्थोगोनल आव्यूह
🟨 3️⃣ सममित आव्यूह
🟦 4️⃣ विकर्ण आव्यूह
✔️ उत्तर: 2️⃣ ऑर्थोगोनल आव्यूह
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24:
यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो |Aᵗ| = ?
🟥 1️⃣ |A|
🟩 2️⃣ -|A|
🟨 3️⃣ 1/|A|
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ |A|
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25:
यदि |A| = 3, तो |2A| = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 24
🟦 4️⃣ 27
✔️ उत्तर: 4️⃣ 27
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26:
यदि A =
⎡1 0⎤
⎣0 2⎦
तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ -1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27:
यदि
A =
⎡2 3⎤
⎣1 4⎦
तो A का व्युत्क्रम (Inverse) होगा
🟥 1️⃣ (1/5)⎡4 -3⎤ ⎣-1 2⎦
🟩 2️⃣ (1/5)⎡4 3⎤ ⎣1 2⎦
🟨 3️⃣ (1/2)⎡4 -3⎤ ⎣-1 2⎦
🟦 4️⃣ (1/5)⎡2 -1⎤ ⎣-3 4⎦
✔️ उत्तर: 1️⃣ (1/5)⎡4 -3⎤ ⎣-1 2⎦
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28:
यदि A और B वर्ग आव्यूह हैं, तो |A⁻¹| = ?
🟥 1️⃣ 1/|A|
🟩 2️⃣ |A|
🟨 3️⃣ -|A|
🟦 4️⃣ |A|²
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/|A|
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29:
यदि |A| = 4 और |B| = 2, तो |AB| = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣ 8
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30:
यदि A = I, तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ -1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31:
यदि |A| = 3, तो |A³| = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 27
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 2️⃣ 27
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32:
यदि |A| = 5, तो |A⁻¹| = ?
🟥 1️⃣ 1/5
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 25
🟦 4️⃣ -5
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/5
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33:
यदि A =
⎡3 0⎤
⎣0 3⎦
तो A⁻¹ = ?
🟥 1️⃣ (1/3)⎡1 0⎤ ⎣0 1⎦
🟩 2️⃣ ⎡3 0⎤ ⎣0 3⎦
🟨 3️⃣ ⎡1 0⎤ ⎣0 1⎦
🟦 4️⃣ (1/2)⎡1 0⎤ ⎣0 1⎦
✔️ उत्तर: 1️⃣ (1/3)⎡1 0⎤ ⎣0 1⎦
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34:
यदि A एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है, तो Aᵗ = ?
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ A⁻¹
🟨 3️⃣ -A
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ A⁻¹
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35:
यदि A =
⎡1 2⎤
⎣3 4⎦
तो adj(A) = ?
🟥 1️⃣ ⎡4 -2⎤ ⎣-3 1⎦
🟩 2️⃣ ⎡4 3⎤ ⎣2 1⎦
🟨 3️⃣ ⎡1 3⎤ ⎣2 4⎦
🟦 4️⃣ ⎡-2 4⎤ ⎣1 -3⎦
✔️ उत्तर: 1️⃣ ⎡4 -2⎤ ⎣-3 1⎦
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36:
यदि |A| = 2, तो |adj(A)| = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 4
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37:
यदि |A| = k, तो |adj(A)| = ?
🟥 1️⃣ k^(n-1)
🟩 2️⃣ k^(n+1)
🟨 3️⃣ k^n
🟦 4️⃣ 1/k
✔️ उत्तर: 1️⃣ k^(n-1)
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38:
यदि A =
⎡1 1⎤
⎣1 1⎦
तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ -1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39:
यदि किसी आव्यूह का नियामक 0 है, तो आव्यूह कहलाता है
🟥 1️⃣ व्युत्क्रम योग्य
🟩 2️⃣ अव्युत्क्रम योग्य
🟨 3️⃣ एकक
🟦 4️⃣ सममित
✔️ उत्तर: 2️⃣ अव्युत्क्रम योग्य
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40:
यदि A एक प्रत्यासममित आव्यूह है, तो उसके विकर्ण तत्व
🟥 1️⃣ समान
🟩 2️⃣ शून्य
🟨 3️⃣ भिन्न
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 2️⃣ शून्य
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41:
यदि A = Aᵗ, तो A कहलाता है
🟥 1️⃣ सममित आव्यूह
🟩 2️⃣ प्रत्यासममित आव्यूह
🟨 3️⃣ विकर्ण आव्यूह
🟦 4️⃣ इकाई आव्यूह
✔️ उत्तर: 1️⃣ सममित आव्यूह
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42:
यदि Aᵗ = -A, तो A कहलाता है
🟥 1️⃣ सममित
🟩 2️⃣ प्रत्यासममित
🟨 3️⃣ विकर्ण
🟦 4️⃣ एकक
✔️ उत्तर: 2️⃣ प्रत्यासममित
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43:
यदि A =
⎡0 a⎤
⎣-a 0⎦
तो A² = ?
🟥 1️⃣ -a² I
🟩 2️⃣ a² I
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ A
✔️ उत्तर: 1️⃣ -a² I
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44:
यदि A और B दो n×n आव्यूह हैं, तो |AB| = ?
🟥 1️⃣ |A| × |B|
🟩 2️⃣ |A| + |B|
🟨 3️⃣ |A| ÷ |B|
🟦 4️⃣ |A| – |B|
✔️ उत्तर: 1️⃣ |A| × |B|
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45:
यदि |A| = 3, तो |A²| = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 9
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46:
यदि A = kI, तो |A| = ?
🟥 1️⃣ k^n
🟩 2️⃣ n^k
🟨 3️⃣ k+n
🟦 4️⃣ k-n
✔️ उत्तर: 1️⃣ k^n
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47:
यदि A एक 2×2 आव्यूह है और |A| = -2, तो |2A| = ?
🟥 1️⃣ -8
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ -4
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣ -8
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48:
यदि |A| = k, तो |Aᵗ| = ?
🟥 1️⃣ k
🟩 2️⃣ -k
🟨 3️⃣ 1/k
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ k
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49:
यदि A एक n×n आव्यूह है और |A| ≠ 0, तो A कहलाता है
🟥 1️⃣ व्युत्क्रम योग्य
🟩 2️⃣ अव्युत्क्रम योग्य
🟨 3️⃣ शून्य आव्यूह
🟦 4️⃣ विकर्ण आव्यूह
✔️ उत्तर: 1️⃣ व्युत्क्रम योग्य
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50:
यदि A ऑर्थोगोनल आव्यूह है, तो |A| = ?
🟥 1️⃣ ±1
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ ±1
📅 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1:
यदि एक 2×2 आव्यूह A = [[1, 2], [3, 4]] है, तो det(A) का मान है
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ –2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣ –2
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2:
यदि |A| = 5 और |B| = 3, तो |AB| = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 15
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ 15
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3:
यदि A = [[2, 0], [0, 3]], तो A⁻¹ = ?
🟥 1️⃣ [[1/2, 0], [0, 1/3]]
🟩 2️⃣ [[2, 0], [0, 3]]
🟨 3️⃣ [[3, 0], [0, 2]]
🟦 4️⃣ अस्तित्व नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣ [[1/2, 0], [0, 1/3]]
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4:
यदि A एक एकात्मक आव्यूह (Identity matrix) है, तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5:
यदि A एक 3×3 आव्यूह है और |A| = 2, तो |3A| = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 18
🟨 3️⃣ 54
🟦 4️⃣ 27
✔️ उत्तर: 3️⃣ 54
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6:
यदि A और B समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं और AB = BA, तो |AB| = ?
🟥 1️⃣ |A| + |B|
🟩 2️⃣ |A||B|
🟨 3️⃣ |A| – |B|
🟦 4️⃣ शून्य
✔️ उत्तर: 2️⃣ |A||B|
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7:
यदि |A| = 4, तो |A⁻¹| = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 1/4
🟨 3️⃣ –4
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ 1/4
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8:
यदि adj(A) = [[3, 0], [0, 3]] है, तो |A| का मान है
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9:
यदि A = [[a, b], [c, d]], तो |A| = ?
🟥 1️⃣ a + d
🟩 2️⃣ ad – bc
🟨 3️⃣ ab + cd
🟦 4️⃣ ac – bd
✔️ उत्तर: 2️⃣ ad – bc
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10:
यदि किसी आव्यूह का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं है, तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣ 0
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11:
यदि A एक तिर्यक आव्यूह है, तो |A| = ?
🟥 1️⃣ सभी तत्त्वों का गुणनफल
🟩 2️⃣ सभी तत्त्वों का योग
🟨 3️⃣ केवल मुख्य विकर्ण का योग
🟦 4️⃣ शून्य
✔️ उत्तर: 1️⃣ सभी तत्त्वों का गुणनफल
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12:
यदि |A| = –2, तो |Aᵗ| = ?
🟥 1️⃣ –2
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ –2
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13:
यदि |A| = k, तो |adj(A)| = ? (3×3 आव्यूह)
🟥 1️⃣ k²
🟩 2️⃣ k³
🟨 3️⃣ k⁴
🟦 4️⃣ k
✔️ उत्तर: 1️⃣ k²
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14:
यदि A एक एकक आव्यूह है, तो A⁻¹ = ?
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ –A
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ Aᵗ
✔️ उत्तर: 1️⃣ A
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15:
यदि A एक तिर्यक आव्यूह है, तो A⁻¹ भी तिर्यक होगा, जब
🟥 1️⃣ विकर्ण तत्त्व शून्य नहीं
🟩 2️⃣ विकर्ण तत्त्व समान हों
🟨 3️⃣ सभी तत्त्व धनात्मक हों
🟦 4️⃣ कोई शर्त नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣ विकर्ण तत्त्व शून्य नहीं
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16:
यदि |A| = 2 और |B| = 3, तो |A²B⁻¹| = ?
🟥 1️⃣ 4/3
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 8/3
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 3️⃣ 8/3
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17:
यदि |A| = –3, तो |A³| = ?
🟥 1️⃣ –27
🟩 2️⃣ 27
🟨 3️⃣ –9
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣ –27
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18:
यदि A एक 2×2 आव्यूह है और |A| = 4, तो |2A| का मान है
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣ 16
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19:
यदि |A| = 3 और |B| = –2, तो |A⁻¹B| = ?
🟥 1️⃣ –2/3
🟩 2️⃣ 3/2
🟨 3️⃣ –6
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣ –2/3
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20:
यदि A = [[1, 2], [3, 4]], तो adj(A) = ?
🟥 1️⃣ [[4, –2], [–3, 1]]
🟩 2️⃣ [[4, 2], [3, 1]]
🟨 3️⃣ [[1, 3], [2, 4]]
🟦 4️⃣ [[–4, 2], [3, –1]]
✔️ उत्तर: 1️⃣ [[4, –2], [–3, 1]]
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21:
यदि |A| = 5, तो |adj(A)| = ? (3×3 आव्यूह)
🟥 1️⃣ 25
🟩 2️⃣ 125
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 25
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22:
यदि A एक तिर्यक आव्यूह है, तो उसका व्युत्क्रम भी तिर्यक होगा यदि
🟥 1️⃣ सभी विकर्ण तत्त्व शून्य न हों
🟩 2️⃣ सभी तत्त्व समान हों
🟨 3️⃣ सभी तत्त्व धनात्मक हों
🟦 4️⃣ कोई शर्त नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣ सभी विकर्ण तत्त्व शून्य न हों
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23:
यदि A एक एकक आव्यूह है, तो Aᵗ = ?
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ –A
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ A⁻¹
✔️ उत्तर: 1️⃣ A
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24:
यदि |A| = –3, तो |A⁻¹| = ?
🟥 1️⃣ –3
🟩 2️⃣ 1/3
🟨 3️⃣ –1/3
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 3️⃣ –1/3
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25:
यदि A और B वर्ग आव्यूह हैं तथा AB = I, तो B = ?
🟥 1️⃣ A
🟩 2️⃣ A⁻¹
🟨 3️⃣ Aᵗ
🟦 4️⃣ –A
✔️ उत्तर: 2️⃣ A⁻¹
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26:
यदि A = [[2, 1], [0, 3]], तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣ 6
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27:
यदि |A| = 2 और |B| = 3, तो |(AB)⁻¹| = ?
🟥 1️⃣ 1/6
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ 1/3
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/6
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28:
यदि |A| = –2, तो |2A| (3×3 आव्यूह) = ?
🟥 1️⃣ –16
🟩 2️⃣ –8
🟨 3️⃣ –4
🟦 4️⃣ –2
✔️ उत्तर: 1️⃣ –16
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29:
यदि |A| = 4, तो |AᵗA| = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 3️⃣ 16
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30:
यदि A = [[1, 0], [2, 3]], तो det(A) = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31:
यदि A = [[2, 3], [1, 4]], तो adj(A) = ?
🟥 1️⃣ [[4, –3], [–1, 2]]
🟩 2️⃣ [[2, 3], [1, 4]]
🟨 3️⃣ [[4, 3], [1, 2]]
🟦 4️⃣ [[–4, 3], [1, –2]]
✔️ उत्तर: 1️⃣ [[4, –3], [–1, 2]]
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32:
यदि A एक 2×2 आव्यूह है और |A| = –4, तो |–A| = ?
🟥 1️⃣ –4
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ –16
✔️ उत्तर: 2️⃣ 4
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33:
यदि |A| = 0, तो A⁻¹ का अस्तित्व
🟥 1️⃣ होता है
🟩 2️⃣ नहीं होता
🟨 3️⃣ कभी-कभी होता है
🟦 4️⃣ अनिश्चित
✔️ उत्तर: 2️⃣ नहीं होता
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34:
यदि |A| = 3, तो |A⁴| = ?
🟥 1️⃣ 12
🟩 2️⃣ 27
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 2️⃣ 27
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2
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अभ्यास के लिए प्रश्न
🔷 खंड 1 — NEET स्तर (प्रश्न 1 से 20)
🔵 प्रश्न 1:
यदि किसी आव्यूह में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तम्भ हैं, तो उसका क्रम क्या होगा?
🟢 (A) 2 × 2
🟠 (B) 3 × 2
🔴 (C) 2 × 3
🔵 (D) 3 × 3
उत्तर: (C) 2 × 3
🔵 प्रश्न 2:
यदि A = ⎡1 2⎤
⎣3 4⎦, तो A का अनुपरिवर्तित आव्यूह क्या होगा?
🟢 (A) ⎡1 3⎤ / ⎣2 4⎦
🟠 (B) ⎡3 1⎤ / ⎣4 2⎦
🔴 (C) ⎡4 2⎤ / ⎣3 1⎦
🔵 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (A) ⎡1 3⎤ / ⎣2 4⎦
🔵 प्रश्न 3:
यदि किसी आव्यूह का क्रम m × n है, तो उसका अनुपरिवर्तित आव्यूह का क्रम होगा —
🟢 (A) n × m
🟠 (B) m × m
🔴 (C) n × n
🔵 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (A) n × m
🔵 प्रश्न 4:
A = ⎡2 3⎤
⎣4 5⎦ के लिए |A| = ?
🟢 (A) 2×5 − 3×4
🟠 (B) 2×4 − 3×5
🔴 (C) 3×4 − 2×5
🔵 (D) 2×3 − 4×5
उत्तर: (A) 2×5 − 3×4 = −2
🔵 प्रश्न 5:
आव्यूह गुणन A × B परिभाषित होगा यदि —
🟢 (A) A की पंक्तियाँ = B की स्तम्भ
🟠 (B) A के स्तम्भ = B की पंक्तियाँ
🔴 (C) दोनों वर्ग आव्यूह हों
🔵 (D) दोनों का क्रम समान हो
उत्तर: (B) A के स्तम्भ = B की पंक्तियाँ
🔵 प्रश्न 6:
यदि |A| = 0, तो A को क्या कहते हैं?
🟢 (A) प्रतिलोमनीय
🟠 (B) अप्रतिलोमनीय
🔴 (C) एकक
🔵 (D) सममित
उत्तर: (B) अप्रतिलोमनीय
🔵 प्रश्न 7:
यदि |A| ≠ 0, तो A का प्रतिलोम अस्तित्व में है और A × A⁻¹ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) 0
🔴 (C) I
🔵 (D) −A
उत्तर: (C) I
🔵 प्रश्न 8:
एकक आव्यूह का नियतांक होता है —
🟢 (A) 0
🟠 (B) 1
🔴 (C) 2
🔵 (D) −1
उत्तर: (B) 1
🔵 प्रश्न 9:
यदि A सममित आव्यूह है, तो Aᵀ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) −A
🔴 (C) 0
🔵 (D) I
उत्तर: (A) A
🔵 प्रश्न 10:
यदि A प्रतिसममित आव्यूह है, तो Aᵀ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) −A
🔴 (C) I
🔵 (D) 0
उत्तर: (B) −A
🔵 प्रश्न 11:
यदि A एक 2×2 आव्यूह है, तो adj(A) का क्रम होगा —
🟢 (A) 1×1
🟠 (B) 2×2
🔴 (C) 3×3
🔵 (D) 4×4
उत्तर: (B) 2×2
🔵 प्रश्न 12:
यदि A = ⎡1 2⎤ / ⎣3 4⎦, तो adj(A) = ?
🟢 (A) ⎡4 −2⎤ / ⎣−3 1⎦
🟠 (B) ⎡1 3⎤ / ⎣2 4⎦
🔴 (C) ⎡3 4⎤ / ⎣1 2⎦
🔵 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (A) ⎡4 −2⎤ / ⎣−3 1⎦
🔵 प्रश्न 13:
यदि A = ⎡1 2⎤ / ⎣3 4⎦, तो |A| = ?
🟢 (A) −2
🟠 (B) 0
🔴 (C) 2
🔵 (D) 1
उत्तर: (A) −2
🔵 प्रश्न 14:
किसी वर्ग आव्यूह का प्रतिलोम तभी परिभाषित होता है जब —
🟢 (A) |A| = 0
🟠 (B) |A| ≠ 0
🔴 (C) Aᵀ = A
🔵 (D) A = 0
उत्तर: (B) |A| ≠ 0
🔵 प्रश्न 15:
यदि A = I, तो A⁻¹ = ?
🟢 (A) I
🟠 (B) −I
🔴 (C) 0
🔵 (D) A
उत्तर: (A) I
🔵 प्रश्न 16:
(AB)ᵀ = ?
🟢 (A) AᵀBᵀ
🟠 (B) BᵀAᵀ
🔴 (C) Aᵀ + Bᵀ
🔵 (D) A + B
उत्तर: (B) BᵀAᵀ
🔵 प्रश्न 17:
यदि A = kI, तो |A| = ?
🟢 (A) k
🟠 (B) kⁿ
🔴 (C) k²
🔵 (D) 1
उत्तर: (B) kⁿ
🔵 प्रश्न 18:
यदि A सममित है और B प्रतिसममित, तो A + B का अनुपरिवर्तित क्या होगा?
🟢 (A) A + B
🟠 (B) A − B
🔴 (C) −A + B
🔵 (D) −A − B
उत्तर: (B) A − B
🔵 प्रश्न 19:
यदि |A| = 3, तो |2A| = ? (A 2×2 है)
🟢 (A) 6
🟠 (B) 9
🔴 (C) 12
🔵 (D) 24
उत्तर: (D) 24
🔵 प्रश्न 20:
यदि |A| = 5 और A 3×3 है, तो |adj(A)| = ?
🟢 (A) 5
🟠 (B) 25
🔴 (C) 125
🔵 (D) 1
उत्तर: (B) 25
🔷 खंड 2 — JEE Main स्तर (प्रश्न 21 से 40)
🔵 प्रश्न 21:
यदि A = ⎡2 1⎤ / ⎣3 2⎦, तो A⁻¹ = ?
🟢 (A) ⎡2 −1⎤ / ⎣−3 2⎦
🟠 (B) ⎡2 1⎤ / ⎣3 2⎦
🔴 (C) ⎡−2 1⎤ / ⎣3 −2⎦
🔵 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (A) ⎡2 −1⎤ / ⎣−3 2⎦
🔵 प्रश्न 22:
यदि A एक 2×2 आव्यूह है, तो |A × adj(A)| = ?
🟢 (A) |A|²
🟠 (B) |A|
🔴 (C) 2|A|
🔵 (D) |A|³
उत्तर: (A) |A|²
🔵 प्रश्न 23:
यदि A एक प्रतिलोमनीय आव्यूह है, तो (A⁻¹)⁻¹ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) −A
🔴 (C) I
🔵 (D) Aᵀ
उत्तर: (A) A
🔵 प्रश्न 24:
यदि A और B प्रतिलोमनीय हैं, तो (AB)⁻¹ = ?
🟢 (A) B⁻¹A⁻¹
🟠 (B) A⁻¹B⁻¹
🔴 (C) AB
🔵 (D) AᵀBᵀ
उत्तर: (A) B⁻¹A⁻¹
🔵 प्रश्न 25:
यदि |A| = 2 और |B| = 3, तो |AB| = ?
🟢 (A) 6
🟠 (B) 5
🔴 (C) 1
🔵 (D) 0
उत्तर: (A) 6
🔵 प्रश्न 26:
यदि A सममित है, तो A² भी —
🟢 (A) सममित
🟠 (B) प्रतिसममित
🔴 (C) एकक
🔵 (D) शून्य
उत्तर: (A) सममित
🔵 प्रश्न 27:
यदि A प्रतिसममित है, तो A² —
🟢 (A) सममित
🟠 (B) प्रतिसममित
🔴 (C) शून्य
🔵 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (A) सममित
🔵 प्रश्न 28:
यदि A एकक आव्यूह है, तो |A| = ?
🟢 (A) 1
🟠 (B) 0
🔴 (C) −1
🔵 (D) 2
उत्तर: (A) 1
🔵 प्रश्न 29:
यदि |A| = 4, तो |A⁻¹| = ?
🟢 (A) 1/4
🟠 (B) 4
🔴 (C) 16
🔵 (D) −4
उत्तर: (A) 1/4
🔵 प्रश्न 30:
यदि |A| = k, तो |adj(A)| = ? (A 3×3)
🟢 (A) k²
🟠 (B) k³
🔴 (C) k⁴
🔵 (D) k⁵
उत्तर: (A) k²
🔵 प्रश्न 31:
यदि A = 2I, तो |A| = ? (A 3×3 है)
🟢 (A) 8
🟠 (B) 6
🔴 (C) 4
🔵 (D) 16
उत्तर: (A) 8
🔵 प्रश्न 32:
यदि A = ⎡1 0⎤ / ⎣0 −1⎦, तो A² = ?
🟢 (A) I
🟠 (B) −I
🔴 (C) 0
🔵 (D) A
उत्तर: (A) I
🔵 प्रश्न 33:
यदि A = ⎡0 1⎤ / ⎣−1 0⎦, तो A⁴ = ?
🟢 (A) I
🟠 (B) −I
🔴 (C) 0
🔵 (D) A
उत्तर: (A) I
🔵 प्रश्न 34:
यदि |A| = 2, तो |3A| (A 2×2) = ?
🟢 (A) 9
🟠 (B) 12
🔴 (C) 18
🔵 (D) 6
उत्तर: (B) 12
🔵 प्रश्न 35:
यदि A सममित और प्रतिसममित दोनों है, तो A = ?
🟢 (A) I
🟠 (B) 0
🔴 (C) −I
🔵 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (B) 0
🔵 प्रश्न 36:
यदि A = ⎡2 0⎤ / ⎣0 2⎦, तो |A| = ?
🟢 (A) 2
🟠 (B) 4
🔴 (C) 6
🔵 (D) 8
उत्तर: (B) 4
🔵 प्रश्न 37:
यदि |A| = 1, तो A प्रतिलोमनीय है और |A⁻¹| = ?
🟢 (A) 1
🟠 (B) −1
🔴 (C) 0
🔵 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (A) 1
🔵 प्रश्न 38:
यदि A और B वर्ग आव्यूह हैं, तो |AB| = ?
🟢 (A) |A||B|
🟠 (B) |A| + |B|
🔴 (C) |A|/|B|
🔵 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (A) |A||B|
🔵 प्रश्न 39:
यदि A सममित है, तो Aᵀ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) −A
🔴 (C) I
🔵 (D) 0
उत्तर: (A) A
🔵 प्रश्न 40:
यदि |A| = k, तो |Aᵀ| = ?
🟢 (A) k
🟠 (B) −k
🔴 (C) k²
🔵 (D) 1/k
उत्तर: (A) k
🔷 खंड 3 — JEE Advanced स्तर (प्रश्न 41 से 50)
🔵 प्रश्न 41:
यदि A एक 3×3 आव्यूह है और |A| = 2, तो |adj(2A)| = ?
🟢 (A) 2⁴ × |A|²
🟠 (B) 2⁶ × |A|²
🔴 (C) 2⁴ × |A|³
🔵 (D) 2⁶ × |A|³
उत्तर: (B) 2⁶ × |A|² = 64 × 4 = 256
🔵 प्रश्न 42:
यदि A² = I, तो A⁻¹ = ?
🟢 (A) A
🟠 (B) −A
🔴 (C) I
🔵 (D) 0
उत्तर: (A) A
🔵 प्रश्न 43:
यदि A³ = 0, तो (I − A)⁻¹ = ?
🟢 (A) I + A + A²
🟠 (B) I − A + A²
🔴 (C) I − A² + A³
🔵 (D) I + A²
उत्तर: (A) I + A + A²
🔵 प्रश्न 44:
यदि A एक प्रतिसममित आव्यूह है, तो इसका नियतांक किस प्रकार का होगा?
🟢 (A) सम संख्या
🟠 (B) ऋणात्मक
🔴 (C) शून्य (जब क्रम विषम हो)
🔵 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (C) शून्य
🔵 प्रश्न 45:
यदि A = [aᵢⱼ] और B = [bᵢⱼ] ऐसे कि bᵢⱼ = aⱼᵢ, तो B = ?
🟢 (A) Aᵀ
🟠 (B) A⁻¹
🔴 (C) adj(A)
🔵 (D) −A
उत्तर: (A) Aᵀ
🔵 प्रश्न 46:
यदि A एक वर्ग आव्यूह है और |A| = −1, तो |A²| = ?
🟢 (A) 1
🟠 (B) −1
🔴 (C) 0
🔵 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (A) 1
🔵 प्रश्न 47:
यदि A = ⎡cosθ −sinθ⎤ / ⎣sinθ cosθ⎦, तो |A| = ?
🟢 (A) 1
🟠 (B) 0
🔴 (C) −1
🔵 (D) cos2θ
उत्तर: (A) 1
🔵 प्रश्न 48:
यदि A प्रतिलोमनीय है, तो adj(A⁻¹) = ?
🟢 (A) adj(A)⁻¹
🟠 (B) adj(A)
🔴 (C) |A|⁻¹A
🔵 (D) |A|A⁻¹
उत्तर: (A) adj(A)⁻¹
🔵 प्रश्न 49:
यदि |A| = 2, तो |adj(3A)| (A 3×3) = ?
🟢 (A) 3⁶ × 2²
🟠 (B) 3⁴ × 2²
🔴 (C) 3⁶ × 2³
🔵 (D) 3⁴ × 2³
उत्तर: (A) 3⁶ × 2² = 729 × 4 = 2916
🔵 प्रश्न 50:
यदि A³ = I, तो A⁻¹ = ?
🟢 (A) A²
🟠 (B) A³
🔴 (C) A
🔵 (D) I
उत्तर: (A) A²
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