Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 10: सदिश

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔵 परिचय
सदिश वह राशि है जिसके पास परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। विज्ञान और गणित में सदिशों का प्रयोग बल, वेग, त्वरण, विस्थापन, कार्य आदि राशियों को निरूपित करने के लिए किया जाता है। सदिश की संकल्पना स्थान-निर्धारण, क्षेत्रफल, आयतन, रेखा व तल के समीकरणों में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

🟢 1) मूलभूत परिभाषाएँ
➡️ अदिश (Scalar): केवल परिमाण वाली राशि, जैसे तापमान, द्रव्यमान, समय।
➡️ सदिश (Vector): परिमाण और दिशा दोनों वाली राशि, जैसे बल, वेग।
➡️ समान सदिश (Equal Vectors): जिनका परिमाण और दिशा समान हो।
➡️ शून्य सदिश (Zero Vector): परिमाण 0 वाला सदिश, इसे 0⃗ द्वारा दर्शाते हैं।
➡️ ऋणात्मक सदिश (Negative Vector): किसी सदिश के विपरीत दिशा में समान परिमाण का सदिश, जैसे −a, सदिश a का विपरीत।
➡️ इकाई सदिश (Unit Vector): परिमाण 1 का सदिश।
🔹 मानक इकाई सदिश हैं:
 x-अक्ष के साथ i, y-अक्ष के साथ j, z-अक्ष के साथ k।
✏️ टिप्पणी: |i| = |j| = |k| = 1

🟡 2) स्थितिसदिश (Position Vector)
यदि O मूलबिंदु है और P(x, y, z) कोई बिंदु है, तो P का स्थितिसदिश:
➡️ OP̅ = x i + y j + z k
💡 संकल्पना: बिंदु के निर्देशांक ही उसके स्थितिसदिश के घटक होते हैं।

🔴 3) परिमाण और दिशा-कोज्या (Direction Cosines)
यदि a = a₁ i + a₂ j + a₃ k
➡️ |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
यदि सदिश a, x, y, z अक्षों के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाता है,
➡️ दिशा कोज्या: l = cos α, m = cos β, n = cos γ
➡️ l² + m² + n² = 1
✏️ इकाई सदिश: û = a / |a| = (a₁/|a|) i + (a₂/|a|) j + (a₃/|a|) k

🟢 4) सदिशों के बीजीय रूप (Algebraic Form)
यदि a = a₁ i + a₂ j + a₃ k तथा b = b₁ i + b₂ j + b₃ k
➡️ जोड़: a + b = (a₁ + b₁) i + (a₂ + b₂) j + (a₃ + b₃) k
➡️ घटाव: a − b = (a₁ − b₁) i + (a₂ − b₂) j + (a₃ − b₃) k
➡️ अदिश गुणन (Scalar Multiplication): k a = (k a₁) i + (k a₂) j + (k a₃) k
✔️ |k a| = |k| × |a|

🟡 5) ज्यामितीय अर्थ
➡️ त्रिभुज नियम: यदि a और b क्रम से रखे दो भुजा-सदिश हैं, तो परिणामी सदिश a + b त्रिभुज की तीसरी भुजा देगा।
➡️ समांतर चतुर्भुज नियम: a और b दो संलग्न भुजाएँ हैं, तो विकर्ण a + b परिणामी देता है।

🔵 6) सहरेखीयता, सहतलीयता एवं रैखिक संयोजन
➡️ सहरेखीय (Collinear): a = k b (कोई अदिश k के लिए)।
➡️ सहतलीय (Coplanar): a, b, c एक ही तल में यदि a, b, c रैखिक रूप से आश्रित हों।
➡️ रैखिक संयोजन: r = α a + β b + γ c

🔴 7) विभाजन सूत्र (Section Formula)
यदि बिंदु P, बिंदुओं A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) को m:n में विभाजित करता है,
➡️ P(x, y, z) = ((m x₂ + n x₁)/(m + n), (m y₂ + n y₁)/(m + n), (m z₂ + n z₁)/(m + n))
विशेष: m = n होने पर मध्यबिंदु सूत्र प्राप्त होता है।

🟡 8) दो बिंदुओं के बीच दूरी
➡️ |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

🔵 9) अदिश गुणनफल (Dot Product)
परिभाषा:
➡️ a · b = |a||b| cos θ
घटक रूप:
➡️ a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
गुणधर्म:
✔️ अदलीयता: a · b = b · a
✔️ वितरणशीलता: a · (b + c) = a · b + a · c
✔️ i · i = j · j = k · k = 1; i · j = 0
अनुप्रयोग:
➡️ यदि a · b = 0, तो a ⟂ b
➡️ प्रक्षेप: a का b पर प्रक्षेप = (a · b̂)

🔴 10) सदिश गुणनफल (Cross Product)
परिभाषा:
➡️ a × b = वह सदिश जो a और b दोनों के लम्ब हो,
➡️ |a × b| = |a||b| sin θ, दिशा दक्षिण-हस्त नियम से।
घटक रूप:
➡️ a × b = (a₂b₃ − a₃b₂) i + (a₃b₁ − a₁b₃) j + (a₁b₂ − a₂b₁) k
गुणधर्म:
✔️ प्रतिलोम-अदलीय: a × b = −b × a
✔️ यदि a ∥ b ⇒ a × b = 0⃗
✔️ |a × b| = क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज)

🟢 11) अदिश त्रिगुणनफल (Scalar Triple Product)
परिभाषा:
➡️ [a, b, c] = a · (b × c)
घटक रूप:
➡️ [a, b, c] = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) + a₂(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁)
गुणधर्म:
✔️ आवर्तनीयता: [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]
✔️ दो सदिशों की अदला-बदली पर चिह्न बदलता है।
✔️ सहतलीयता ⇒ [a, b, c] = 0
💡 |[a, b, c]| = समांतर षट्फलक का आयतन

🟡 12) कोण एवं प्रक्षेप
➡️ cos θ = (a · b)/(|a||b|)
➡️ sin θ = |a × b|/(|a||b|)
➡️ a का b पर प्रक्षेप = (a · b̂)

🔵 13) महत्वपूर्ण पहचानें
✔️ a · a = |a|²
✔️ a × a = 0⃗
✔️ |a × b|² = |a|²|b|² − (a · b)²
✔️ (a × b) · c = [a, b, c]

🟢 14) व्यावहारिक उपयोग
➡️ कार्य (Work): W = F · d = |F||d| cos θ
➡️ घूर्णन-आघूर्ण (Torque): τ = r × F
➡️ क्षेत्रफल = |a × b| / 2
➡️ आयतन = |[a, b, c]|

🟡 15) सावधानियाँ
⚠️ dot product अदिश होता है, cross product सदिश।
⚠️ घटकों का जोड़/घटाव केवल समान इकाई सदिशों के साथ करें।
⚠️ कोण निकालते समय परिमाण अवश्य लें।

🔴 16) उदाहरण
📘 उदाहरण 1:
a = 2 i + j + 2 k, b = i − 2 j + 2 k
➡️ a · b = 2(1) + 1(−2) + 2(2) = 4
➡️ |a| = 3, |b| = 3
➡️ cos θ = 4/9
📘 उदाहरण 2:
a = i + 2 j + 3 k, b = 2 i − j + k
➡️ a × b = 5 i + 5 j − 5 k
➡️ |a × b| = 5√3
📘 उदाहरण 3:
a = i, b = j, c = k
➡️ [a, b, c] = 1

📗 Summary (लगभग 300 शब्द)
🔹 सदिश: परिमाण + दिशा
🔹 अदिश: केवल परिमाण
🔹 इकाई सदिश: परिमाण 1, दिशा मानक अक्षों की
🔹 स्थितिसदिश: P(x, y, z) का OP = x i + y j + z k
🔹 जोड़, घटाव, अदिश गुणन, त्रिभुज व समांतर चतुर्भुज नियम
🔹 cos θ = (a · b)/(|a||b|), sin θ = |a × b|/(|a||b|)
🔹 अदिश गुणनफल: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
🔹 सदिश गुणनफल: a × b = (a₂b₃ − a₃b₂) i + …
🔹 अदिश त्रिगुणनफल: [a, b, c] = a · (b × c)
🔹 अनुप्रयोग: कार्य, घूर्णन, क्षेत्रफल, आयतन

📝 Quick Recap
🟢 सदिश = परिमाण + दिशा
🟡 अदिश गुणनफल = a · b = |a||b| cos θ
🔵 सदिश गुणनफल = a × b = |a||b| sin θ (दिशा: दक्षिण-हस्त नियम)
🔴 [a, b, c] = a · (b × c) = आयतन
✔️ प्रक्षेप = (a · b)/|b|

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

🧾 प्रश्नावली 10.1


🔵 प्रश्न 1:
उत्तर से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लीजिए किसी बिन्दु O से एक वस्तु चलती है।
➡️ उत्तर दिशा से 30° पूर्व की दिशा बनाते हुए 40 km लंबाई का एक सदिश खींचिए।
➡️ इस सदिश को OQ̅ द्वारा निरूपित किया जाता है।
➡️ यह सदिश उत्तर और पूर्व के बीच 30° का कोण बनाता है।
💡 सिद्धांत: विस्थापन सदिश वह रेखाखण्ड है जो प्रारंभिक बिन्दु से अंतिम बिन्दु तक दिशा और परिमाण दोनों को प्रदर्शित करता है।
✔️ अंतिम उत्तर: आलेख में उत्तर दिशा से 30° पूर्व की दिशा में 40 km लंबाई का सदिश OQ̅ विस्थापन को निरूपित करता है।

🔵 प्रश्न 2:
निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए—
(i) 10 kg
(ii) 2 मीटर उत्तर-परिचलन
(iii) 40°
(iv) 40 वाट
(v) 10⁻¹⁹ कूलॉम्ब
(vi) 20 m/s²
🟢 उत्तर:
➡️ अदिश राशियाँ (केवल परिमाण):
✳️ 10 kg
✳️ 40°
✳️ 40 वाट
✳️ 10⁻¹⁹ कूलॉम्ब
➡️ सदिश राशियाँ (परिमाण + दिशा):
✳️ 2 मीटर उत्तर-परिचलन
✳️ 20 m/s²
💡 सिद्धांत:
🔹 अदिश (Scalar): केवल परिमाण होता है, दिशा नहीं।
🔹 सदिश (Vector): परिमाण तथा दिशा दोनों होती हैं।
✔️ अंतिम उत्तर:
अदिश = (i), (iii), (iv), (v)
सदिश = (ii), (vi)

🔵 प्रश्न 3:
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए—
(i) समय कालांश
(ii) दूरी
(iii) बल
(iv) वेग
(v) कार्य
🟢 उत्तर:
➡️ अदिश राशियाँ:
✳️ समय कालांश
✳️ दूरी
✳️ कार्य
➡️ सदिश राशियाँ:
✳️ बल
✳️ वेग
💡 सिद्धांत: अदिश में केवल परिमाण, सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होती हैं।
✔️ अंतिम उत्तर: अदिश = (i), (ii), (v); सदिश = (iii), (iv)

🔵 प्रश्न 4:
आकृति 10.6 (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए—
(i) सह-अनुप
(ii) समान
(iii) सरेख परंतु असमान
🟢 उत्तर:
➡️ आकृति 10.6 में चार सदिश हैं: a̅, b̅, c̅, d̅
✳️ (i) सह-अनुप सदिश:
वे सदिश जो समान या समानांतर रेखा पर स्थित हों।
👉 यहाँ a̅ और c̅, b̅ और d̅ सह-अनुप हैं।
✳️ (ii) समान सदिश:
समान परिमाण और समान दिशा वाले सदिश।
👉 a̅ और b̅ समान नहीं हैं क्योंकि दिशा भिन्न है; a̅ और c̅ की दिशा विपरीत है।
इस वर्ग में समान सदिश नहीं हैं।
✳️ (iii) सरेख परंतु असमान सदिश:
एक ही रेखा पर लेकिन विपरीत दिशा में।
👉 a̅ और c̅; b̅ और d̅ सरेख परंतु असमान हैं।
✔️ अंतिम उत्तर:
(i) सह-अनुप: (a̅, c̅) और (b̅, d̅)
(ii) समान: कोई नहीं
(iii) सरेख परंतु असमान: (a̅, c̅), (b̅, d̅)

🔵 प्रश्न 5:
निम्नलिखित को उत्तर (सत्य) अथवा असत्य के रूप में दीजिए—
(i) a̅ तथा –a̅ सरेख हैं।
(ii) दो सरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।
(iii) समान परिमाण वाले दो सदिश सरेख होते हैं।
(iv) समान परिमाण वाले दो सरेख सदिश समान होते हैं।
🟢 उत्तर:
➡️ (i) ✔️ सत्य — क्योंकि दोनों एक ही रेखा पर हैं, दिशा विपरीत।
➡️ (ii) ❌ असत्य — सरेख सदिशों का परिमाण अलग भी हो सकता है।
➡️ (iii) ❌ असत्य — समान परिमाण का अर्थ यह नहीं कि वे सरेख हों।
➡️ (iv) ❌ असत्य — समान परिमाण और सरेख होना आवश्यक नहीं कि समान दिशा भी हो।
✔️ अंतिम उत्तर:
(i) सत्य
(ii) असत्य
(iii) असत्य
(iv) असत्य

🧾 प्रश्नावली 10.2

🔵 प्रश्न 1:
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:
a̅ = î + ĵ + k̂ ; b̅ = 2î − 7ĵ − 3k̂ ; c̅ = (1/√3)î + (1/√3)ĵ − (1/√3)k̂
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: यदि कोई सदिश r̅ = xî + yĵ + zk̂ हो,
तो उसका परिमाण |r̅| = √(x² + y² + z²)
➡️ (i) a̅ = î + ĵ + k̂
|a̅| = √(1² + 1² + 1²) = √3
➡️ (ii) b̅ = 2î − 7ĵ − 3k̂
|b̅| = √(2² + (−7)² + (−3)²)
= √(4 + 49 + 9) = √62
➡️ (iii) c̅ = (1/√3)î + (1/√3)ĵ − (1/√3)k̂
|c̅| = √((1/√3)² + (1/√3)² + (−1/√3)²)
= √(1/3 + 1/3 + 1/3) = √1 = 1
✔️ अंतिम उत्तर: |a̅| = √3 , |b̅| = √62 , |c̅| = 1

🔵 प्रश्न 2:
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
🟢 उत्तर:
उदाहरण:
a̅ = î + ĵ ; b̅ = −î + ĵ
|a̅| = |b̅| = √2
✔️ अंतिम उत्तर: a̅ = î + ĵ और b̅ = −î + ĵ समान परिमाण वाले विभिन्न सदिश हैं।

🔵 प्रश्न 3:
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
🟢 उत्तर:
उदाहरण:
a̅ = î + 2ĵ ; b̅ = 2î + 4ĵ
दोनों का अनुपात समान ⇒ दिशा समान
✔️ अंतिम उत्तर: a̅ = î + 2ĵ और b̅ = 2î + 4ĵ समान दिशा वाले विभिन्न सदिश हैं।

🔵🔵 प्रश्न 4:
x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश 2î + 3ĵ और xî + yĵ समान हों।

🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: दो सदिश समान होते हैं यदि उनके परिमाण और दिशा दोनों समान हों।
इसका अर्थ है कि उनके सभी घटक समान होंगे।

➡️ अतः 2î + 3ĵ और xî + yĵ के लिए —
 x = 2
 y = 3

✔️ अंतिम उत्तर: x = 2 , y = 3

🔵 प्रश्न 5:
एक सदिश का प्रारंभिक बिंदु (2, 1) है और अंतिम बिंदु (−5, 7) है।
इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: यदि प्रारंभिक बिंदु A(x₁, y₁) और अंतिम बिंदु B(x₂, y₂) हो,
तो सदिश A B̅ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ
➡️ A(2, 1), B(−5, 7)
A B̅ = (−5 − 2)î + (7 − 1)ĵ = −7î + 6ĵ
✔️ सदिश घटक: −7î , 6ĵ
✔️ अदिश घटक (परिमाण): |A B̅| = √((−7)² + 6²) = √(49 + 36) = √85
✔️ अंतिम उत्तर:
सदिश = −7î + 6ĵ , परिमाण = √85

🔵 प्रश्न 6:
सदिश a̅ = î − 2ĵ + k̂ , b̅ = −2î + 4ĵ + 5k̂ , c̅ = î − 6ĵ − 7k̂ का योगफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ योगफल = a̅ + b̅ + c̅
= (î − 2ĵ + k̂) + (−2î + 4ĵ + 5k̂) + (î − 6ĵ − 7k̂)
➡️ = (1 − 2 + 1)î + (−2 + 4 − 6)ĵ + (1 + 5 − 7)k̂
➡️ = 0î − 4ĵ − 1k̂
✔️ अंतिम उत्तर: योगफल = −4ĵ − k̂

🔵 प्रश्न 7:
सदिश a̅ = î + ĵ + 2k̂ के अनु‍दिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: किसी सदिश a̅ का मात्रक सदिश = a̅ / |a̅|
जहाँ |a̅| = √(x² + y² + z²)
➡️ a̅ = î + ĵ + 2k̂
|a̅| = √(1² + 1² + 2²) = √6
➡️ मात्रक सदिश = (1/√6)î + (1/√6)ĵ + (2/√6)k̂
✔️ अंतिम उत्तर: (1/√6)î + (1/√6)ĵ + (2/√6)k̂

🔵 प्रश्न 8:
सदिश P Q̅ के अनु‍दिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ बिन्दु P(1, 2, 3) और Q(4, 5, 6) हैं।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: यदि P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) हों, तो
➡️ P Q̅ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂
➡️ परिमाण |P Q̅| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]
➡️ मात्रक सदिश = P Q̅ / |P Q̅|
✳️ अब,
P Q̅ = (4 − 1)î + (5 − 2)ĵ + (6 − 3)k̂ = 3î + 3ĵ + 3k̂
|P Q̅| = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3
मात्रक सदिश = (1/√3)î + (1/√3)ĵ + (1/√3)k̂
✔️ अंतिम उत्तर: (1/√3)î + (1/√3)ĵ + (1/√3)k̂

🔵 प्रश्न 9:
दिए हुए सदिश a̅ = 2î − ĵ + 2k̂ और b̅ = −î + ĵ − k̂ के लिए,
सदिश a̅ + b̅ के अनु‍दिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ पहले a̅ + b̅ निकालते हैं:
= (2 − 1)î + (−1 + 1)ĵ + (2 − 1)k̂
= 1î + 0ĵ + 1k̂ = î + k̂
|a̅ + b̅| = √(1² + 0² + 1²) = √2
💡 मात्रक सदिश = (a̅ + b̅)/|a̅ + b̅|
= (1/√2)î + (0)ĵ + (1/√2)k̂
✔️ अंतिम उत्तर: (1/√2)î + (1/√2)k̂

🔵 प्रश्न 10:
सदिश 5î − ĵ + 2k̂ के अनु‍दिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
🟢 उत्तर:
💡 यदि कोई सदिश r̅ है, तो उसी दिशा में परिमाण k का सदिश = (k / |r̅|) × r̅
➡️ |r̅| = |5î − ĵ + 2k̂| = √(5² + (−1)² + 2²) = √(25 + 1 + 4) = √30
➡️ अनु‍दिश सदिश = (8 / √30)(5î − ĵ + 2k̂)
= (40/√30)î − (8/√30)ĵ + (16/√30)k̂
✔️ अंतिम उत्तर: (40/√30)î − (8/√30)ĵ + (16/√30)k̂

🔵 प्रश्न 11:
सिद्ध कीजिए कि सदिश 2î − 3ĵ + 4k̂ और −4î + 6ĵ − 8k̂ सरेख हैं।
🟢 उत्तर:
💡 दो सदिश सरेख होते हैं यदि एक दूसरे का गुणांक गुणक (scalar multiple) हो।
➡️ देखें:
(−4î + 6ĵ − 8k̂) = (−2) × (2î − 3ĵ + 4k̂)
✔️ अंतिम उत्तर: चूंकि दूसरा सदिश पहले का (−2) गुणांक है, अतः दोनों सरेख हैं।

🔵 प्रश्न 12:
सदिश î + 2ĵ + 3k̂ के दिक cosine ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
यदि कोई सदिश r̅ = xî + yĵ + zk̂ हो,
तो उसका परिमाण होता है
➡️ |r̅| = √(x² + y² + z²)
और उसके दिक cosine होंगे
➡️ l = x / |r̅|, m = y / |r̅|, n = z / |r̅|

अब,
➡️ r̅ = î + 2ĵ + 3k̂
|r̅| = √(1² + 2² + 3²) = √14

अतः,
🔹 l = 1 / √14
🔹 m = 2 / √14
🔹 n = 3 / √14

✔️ अंतिम उत्तर:
सदिश î + 2ĵ + 3k̂ के दिक cosine हैं —
l = 1/√14, m = 2/√14, n = 3/√14

🔵 प्रश्न 13:
बिन्दुओं A(1, 2, −3) एवं B(−1, −2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ़ निर्देशित सदिश की दिक cosine ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
यदि कोई सदिश r̅ = xî + yĵ + zk̂ हो,
तो उसके दिक cosine होते हैं:
➡️ l = x / |r̅|, m = y / |r̅|, n = z / |r̅|
➡️ निर्देशित सदिश A से B की ओर =
A B̅ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂
✳️ अब,
A(1, 2, −3), B(−1, −2, 1)
A B̅ = (−1 − 1)î + (−2 − 2)ĵ + (1 − (−3))k̂
= (−2)î + (−4)ĵ + (4)k̂
|A B̅| = √[ (−2)² + (−4)² + 4² ]
= √(4 + 16 + 16) = √36 = 6
➡️ l = −2 / 6 = −1/3
➡️ m = −4 / 6 = −2/3
➡️ n = 4 / 6 = 2/3
✔️ अंतिम उत्तर:
दिक cosine = l = −1/3, m = −2/3, n = 2/3

🔵 प्रश्न 14:
दर्शाइए कि सदिश î + ĵ + k̂ अक्षों OX, OY एवं OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
यदि किसी सदिश के दिक cosine समान हों, तो वह तीनों अक्षों के साथ बराबर कोण बनाता है।
➡️ r̅ = î + ĵ + k̂
|r̅| = √(1² + 1² + 1²) = √3
दिक cosine:
l = 1/√3, m = 1/√3, n = 1/√3
चूँकि तीनों समान हैं ⇒ सदिश तीनों अक्षों के साथ बराबर कोण (cos⁻¹(1/√3)) बनाता है।
✔️ अंतिम उत्तर: सदिश î + ĵ + k̂ तीनों अक्षों के साथ बराबर झुका हुआ है।

🔵 प्रश्न 15:
बिन्दुओं P(î + 2ĵ − k̂) और Q(−î + ĵ + k̂) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
यदि कोई बिन्दु रेखाखण्ड को m : n के अनुपात में विभाजित करता है,
तो उसका स्थिति सदिश होता है —
➡️ r̅ = (n a̅ + m b̅) / (m + n)
यहाँ,
m : n = 2 : 1
a̅ = î + 2ĵ − k̂
b̅ = −î + ĵ + k̂
➡️ r̅ = (1×a̅ + 2×b̅) / (2 + 1)
= (a̅ + 2b̅) / 3
= [ (î + 2ĵ − k̂) + 2(−î + ĵ + k̂) ] / 3
= [ (1 − 2)î + (2 + 2)ĵ + (−1 + 2)k̂ ] / 3
= (−1î + 4ĵ + 1k̂) / 3
✔️ अंतिम उत्तर:
R का स्थिति सदिश = (−1/3)î + (4/3)ĵ + (1/3)k̂

🔵 प्रश्न 16:
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, −2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
मध्य बिन्दु के निर्देशांक:
➡️ M(x, y, z) = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)
✳️ अब,
x = (2 + 4)/2 = 3
y = (3 + 1)/2 = 2
z = (4 + (−2))/2 = 1
✔️ अंतिम उत्तर:
मध्य बिन्दु M(3, 2, 1)

🔵 प्रश्न 17:
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः
a̅ = 3î − 4ĵ − 4k̂, b̅ = 2î − ĵ + k̂
और c̅ = î − 3ĵ − 5k̂ हैं,
एक समकोण त्रिभुज के शिखरों का निर्माण करते हैं।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
यदि किसी त्रिभुज के तीन बिन्दुओं के स्थिति सदिश ज्ञात हों,
तो तीन भुजाओं के सदिश होंगे:
➡️ A B̅ = b̅ − a̅
➡️ B C̅ = c̅ − b̅
➡️ C A̅ = a̅ − c̅
अब,
A B̅ = (2 − 3)î + (−1 + 4)ĵ + (1 + 4)k̂ = −î + 3ĵ + 5k̂
B C̅ = (1 − 2)î + (−3 + 1)ĵ + (−5 − 1)k̂ = −î − 2ĵ − 6k̂
C A̅ = (3 − 1)î + (−4 + 3)ĵ + (−4 + 5)k̂ = 2î − ĵ + k̂
अब,
A B̅ · B C̅ = (−1)(−1) + (3)(−2) + (5)(−6)
= 1 − 6 − 30 = −35 (≠ 0)
A B̅ · C A̅ = (−1)(2) + (3)(−1) + (5)(1)
= −2 − 3 + 5 = 0 ✅
∴ A B̅ ⟂ C A̅
✔️ अंतिम उत्तर:
चूँकि A B̅ · C A̅ = 0, अतः ∠A = 90°,
अर्थात बिन्दु A, B, C समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

🔵 प्रश्न 18:
त्रिभुज ABC (आकृति 10.18) के लिए, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?
(A) A B̅ + B C̅ + C A̅ = 0̅
(B) A B̅ + B C̅ − A C̅ = 0̅
(C) A B̅ + C B̅ + C A̅ = 0̅
(D) A B̅ − C B̅ + C A̅ = 0̅
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
त्रिभुज की भुजाओं के सदिशों का योग सदैव शून्य होता है:
➡️ A B̅ + B C̅ + C A̅ = 0̅
अब विकल्प देखें:
(A) सही ✅
(B) सही नहीं क्योंकि A C̅ = A B̅ + B C̅, अतः यह समीकरण गलत ❌
(C) गलत रूप है, क्रम गड़बड़ ❌
(D) भी गलत ❌
✔️ अंतिम उत्तर: विकल्प (A) सत्य है, अन्य सत्य नहीं हैं;
प्रश्नानुसार जो सत्य नहीं है = (B)

🔵 प्रश्न 19:
यदि a̅ और b̅ दो सरेख सदिश हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है:
(A) b̅ = λ a̅, किसी अदिश λ के लिए
(B) a̅ = ± b̅
(C) a̅ और b̅ के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं
(D) दोनों सदिशों a̅ व b̅ की दिशा समान है, परंतु परिमाण भिन्न हैं

🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
सरेख सदिश = एक ही रेखा पर, अतः
➡️ b̅ = λ a̅ सही ✅
➡️ दिशा समान या विपरीत हो सकती है ⇒ a̅ = ±b̅ सही ✅
➡️ घटक समानुपाती होने चाहिए ⇒ (C) गलत ❌
➡️ दिशा समान, पर परिमाण अलग हो सकता है ⇒ (D) सही ✅

✔️ अंतिम उत्तर: (C) सत्य नहीं है।

🧾 प्रश्नावली 10.3

🔵 प्रश्न 1:
दो सदिशों a̅ तथा b̅ के परिमाण क्रमशः √3 एवं 2 हैं और a̅ · b̅ = √6 है, तो a̅ तथा b̅ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
दो सदिशों के बीच कोण θ के लिए,
➡️ a̅ · b̅ = |a̅| |b̅| cosθ
अर्थात् cosθ = (a̅ · b̅) / (|a̅| |b̅|)
➡️ दिए गए हैं:
|a̅| = √3 , |b̅| = 2 , a̅ · b̅ = √6
अब,
cosθ = √6 / (√3 × 2) = √6 / (2√3) = (√6 × √3)/(2×3) = √18 / 6 = (3√2)/6 = √2/2
∴ θ = 45°
✔️ अंतिम उत्तर: θ = 45°

🔵 प्रश्न 2:
सदिशों î − 2ĵ + 3k̂ और 3î − 2ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
cosθ = (a̅ · b̅) / (|a̅| |b̅|)
➡️ a̅ = î − 2ĵ + 3k̂
➡️ b̅ = 3î − 2ĵ + k̂
अब,
a̅ · b̅ = (1)(3) + (−2)(−2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10
|a̅| = √(1² + (−2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14
|b̅| = √(3² + (−2)² + 1²) = √(9 + 4 + 1) = √14
∴ cosθ = 10 / (√14 × √14) = 10 / 14 = 5/7
θ = cos⁻¹(5/7)
✔️ अंतिम उत्तर: θ = cos⁻¹(5/7)

🔵 प्रश्न 3:
सदिश î + ĵ पर सदिश î − ĵ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
सदिश b̅ का a̅ पर प्रक्षेप (projection) = (a̅ · b̅)/|a̅|
➡️ a̅ = î + ĵ
➡️ b̅ = î − ĵ
a̅ · b̅ = (1)(1) + (1)(−1) = 1 − 1 = 0
|a̅| = √(1² + 1²) = √2
∴ प्रक्षेप = 0 / √2 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: 0 (अर्थात् दोनों सदिश परस्पर लम्बवत हैं)

🔵 प्रश्न 4:
सदिश î + 3ĵ + 7k̂ का, सदिश 7î − ĵ + 8k̂ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
प्रक्षेप = (a̅ · b̅)/|b̅|
➡️ a̅ = î + 3ĵ + 7k̂
➡️ b̅ = 7î − ĵ + 8k̂
a̅ · b̅ = (1)(7) + (3)(−1) + (7)(8) = 7 − 3 + 56 = 60
|b̅| = √(7² + (−1)² + 8²) = √(49 + 1 + 64) = √114
∴ प्रक्षेप = 60 / √114
✔️ अंतिम उत्तर: 60 / √114

🔵 प्रश्न 5:
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है:
1️⃣ (1/7)(2î + 3ĵ + 6k̂)
2️⃣ (1/7)(3î − 6ĵ + 2k̂)
3️⃣ (1/7)(6î + 2ĵ − 3k̂)
और यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत हैं।
🟢 उत्तर:
💡 (A) मात्रक सदिश सिद्ध करना:
किसी सदिश का परिमाण = 1 ⇒ वह मात्रक सदिश है।
➡️ r₁ = (1/7)(2î + 3ĵ + 6k̂)
|r₁| = (1/7)√(2² + 3² + 6²) = (1/7)√(4 + 9 + 36) = (1/7)√49 = 1 ✅
➡️ r₂ = (1/7)(3î − 6ĵ + 2k̂)
|r₂| = (1/7)√(9 + 36 + 4) = (1/7)√49 = 1 ✅
➡️ r₃ = (1/7)(6î + 2ĵ − 3k̂)
|r₃| = (1/7)√(36 + 4 + 9) = (1/7)√49 = 1 ✅
अतः तीनों मात्रक सदिश हैं।
💡 (B) लम्बवत सिद्ध करना:
यदि दो सदिशों का डॉट गुणनफल = 0, तो वे लम्बवत हैं।
➡️ r₁ · r₂ = (1/7)² [ (2)(3) + (3)(−6) + (6)(2) ]
= (1/49)(6 − 18 + 12) = 0 ✅
➡️ r₂ · r₃ = (1/49)[ (3)(6) + (−6)(2) + (2)(−3) ]
= (1/49)(18 − 12 − 6) = 0 ✅
➡️ r₁ · r₃ = (1/49)[ (2)(6) + (3)(2) + (6)(−3) ]
= (1/49)(12 + 6 − 18) = 0 ✅
✔️ अंतिम उत्तर:
तीनों सदिश मात्रक हैं और परस्पर लम्बवत हैं।

🔵 प्रश्न 6:
यदि (a̅ + b̅) · (a̅ − b̅) = 8 और |a̅| = 8|b̅| हो, तो |a̅| तथा |b̅| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: (a̅ + b̅) · (a̅ − b̅) = |a̅|² − |b̅|²
➡️ |a̅|² − |b̅|² = 8
➡️ मान लें |b̅| = x ⇒ |a̅| = 8x
➡️ (8x)² − x² = 8
➡️ 64x² − x² = 8
➡️ 63x² = 8
➡️ x = 2√14 / 21
➡️ |b̅| = 2√14 / 21
➡️ |a̅| = 8x = 16√14 / 21
✔️ अंतिम उत्तर:
|a̅| = 16√14 / 21 ; |b̅| = 2√14 / 21

🔵 प्रश्न 7:
(3a̅ − 5b̅) · (2a̅ + 7b̅) का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ (3a̅ − 5b̅) · (2a̅ + 7b̅)
➡️ = 3a̅·2a̅ + 3a̅·7b̅ − 5b̅·2a̅ − 5b̅·7b̅
➡️ = 6|a̅|² + 21(a̅·b̅) − 10(a̅·b̅) − 35|b̅|²
➡️ = 6|a̅|² + 11(a̅·b̅) − 35|b̅|²
✔️ अंतिम उत्तर: 6|a̅|² + 11(a̅·b̅) − 35|b̅|²

🔵 प्रश्न 8:
दो सदिश a̅ और b̅ के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि दोनों का परिमाण समान है, इनके बीच का कोण 60° है तथा a̅·b̅ = 1/2 है।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: a̅·b̅ = |a̅||b̅| cos 60°
➡️ मान लें |a̅| = |b̅| = m
➡️ m² × 1/2 = 1/2
➡️ m² = 1
➡️ m = 1
✔️ अंतिम उत्तर: |a̅| = 1 ; |b̅| = 1

🔵 प्रश्न 9:
यदि एक मात्रक सदिश a̅ के लिए (x̅ − a̅) · (x̅ + a̅) = 12 हो, तो |x̅| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: (x̅ − a̅) · (x̅ + a̅) = |x̅|² − |a̅|²
➡️ |a̅| = 1 (मात्रक)
➡️ |x̅|² − 1 = 12
➡️ |x̅|² = 13
➡️ |x̅| = √13
✔️ अंतिम उत्तर: |x̅| = √13

🔵 प्रश्न 10:
यदि a̅ = 2î + 2ĵ + 3k̂, b̅ = −î + 2ĵ + k̂ तथा c̅ = 3î + ĵ इस प्रकार हैं कि a̅ + λb̅, c̅ पर लंबवत है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
यदि कोई सदिश किसी दूसरे सदिश पर लंबवत हो तो उनका अदिश गुणनफल शून्य होता है।
अर्थात्
➡️ (a̅ + λb̅) · c̅ = 0

अब,
a̅ · c̅ = (2×3) + (2×1) + (3×0) = 8
b̅ · c̅ = (−1×3) + (2×1) + (1×0) = −1

➡️ (a̅ + λb̅) · c̅ = 8 + λ(−1) = 0
➡️ 8 + λ(−1) = 0
➡️ λ= 8
✔️ अंतिम उत्तर: λ = 8

🔵 प्रश्न 11:
दर्शाइए कि दो शून्यतर सदिशों a̅ और b̅ के लिए
|a̅|b̅ + |b̅|a̅ तथा |a̅|b̅ − |b̅|a̅
परस्पर लंबवत हैं।
🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत: दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो।
➡️ मान लें
p̅ = |a̅|b̅ + |b̅|a̅
q̅ = |a̅|b̅ − |b̅|a̅
अब,
p̅ · q̅ = (|a̅|b̅ + |b̅|a̅) · (|a̅|b̅ − |b̅|a̅)
= |a̅|² (b̅·b̅) − |b̅|² (a̅·a̅)
= |a̅|² |b̅|² − |b̅|² |a̅|² = 0
∴ p̅ · q̅ = 0, अतः दोनों सदिश परस्पर लंबवत हैं।
✔️ अंतिम उत्तर: दोनों सदिश एक-दूसरे पर लंबवत हैं।

🔵 प्रश्न 12:
यदि a̅ · a̅ = 0 और a̅ · b̅ = 0, तो सदिश b̅ के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
🟢 उत्तर:
➡️ a̅ · a̅ = |a̅|² = 0 ⇒ |a̅| = 0 ⇒ a̅ = 0̅
अर्थात् a̅ शून्य सदिश है।
a̅ · b̅ = 0 से कोई विशेष निष्कर्ष b̅ पर नहीं निकाला जा सकता क्योंकि
किसी भी सदिश का अदिश गुणनफल शून्य सदिश के साथ 0 होता है।
✔️ अंतिम उत्तर:
a̅ = 0̅, परंतु b̅ कोई भी सदिश हो सकता है।

🔵 प्रश्न 13:
यदि a̅, b̅, c̅ मात्रक सदिश इस प्रकार हैं कि
a̅ + b̅ + c̅ = 0̅,
तो a̅·b̅ + b̅·c̅ + c̅·a̅ का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
💡 सिद्धांत:
किसी भी तीन सदिशों के लिए,
|a̅ + b̅ + c̅|² = (a̅ + b̅ + c̅) · (a̅ + b̅ + c̅)

➡️ अब,
|a̅ + b̅ + c̅|² = a̅·a̅ + b̅·b̅ + c̅·c̅ + 2(a̅·b̅ + b̅·c̅ + c̅·a̅)

➡️ दिया है a̅ + b̅ + c̅ = 0̅
⇒ |a̅ + b̅ + c̅|² = 0

➡️ क्योंकि a̅, b̅, c̅ मात्रक सदिश हैं
⇒ |a̅| = |b̅| = |c̅| = 1

➡️ अतः
0 = 1 + 1 + 1 + 2(a̅·b̅ + b̅·c̅ + c̅·a̅)

➡️ 0 = 3 + 2S जहाँ S = a̅·b̅ + b̅·c̅ + c̅·a̅

➡️ 2S = -3

➡️ S = -3/2

✔️ अंतिम उत्तर:
a̅·b̅ + b̅·c̅ + c̅·a̅ = -3/2
🔵 प्रश्न 14:
यदि a̅ = 0̅ अथवा b̅ = 0̅, तब a̅ · b̅ = 0
परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है। एक उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ यदि a̅ = 0̅ या b̅ = 0̅ ⇒ उनका अदिश गुणनफल सदैव 0 होता है।
परंतु यदि a̅ · b̅ = 0, तो यह आवश्यक नहीं कि कोई सदिश शून्य हो; वे लंबवत भी हो सकते हैं।
✳️ उदाहरण:
मान लें
a̅ = î, b̅ = ĵ
➡️ a̅ · b̅ = (1)(0) + (0)(1) = 0
यहाँ दोनों सदिश शून्य नहीं हैं, परंतु a̅ · b̅ = 0 क्योंकि वे परस्पर लंबवत हैं।
✔️ अंतिम उत्तर:
विलोम सत्य नहीं है; उपरोक्त उदाहरण से सिद्ध।

🔵 प्रश्न 15:
यदि A(1,2,3), B(−1,0,0), C(0,1,2) हों, तो ∠ABC ज्ञात कीजिए। [∠ABC = BA̅ और BC̅ के बीच का कोण]
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत: कोण θ के लिए cosθ = (u̅·v̅)/( |u̅| |v̅| )
➡️ BA̅ = A − B = (1−(−1))î + (2−0)ĵ + (3−0)k̂ = 2î + 2ĵ + 3k̂
➡️ BC̅ = C − B = (0−(−1))î + (1−0)ĵ + (2−0)k̂ = 1î + 1ĵ + 2k̂
➡️ BA̅·BC̅ = (2)(1) + (2)(1) + (3)(2) = 10
➡️ |BA̅| = √(2² + 2² + 3²) = √17
➡️ |BC̅| = √(1² + 1² + 2²) = √6
➡️ cosθ = 10 / ( √17 × √6 ) = 10 / √102
✔️ अंतिम उत्तर: ∠ABC = cos⁻¹( 10 / √102 )

🔵 प्रश्न 16:
दिखाइए कि A(1,2,7), B(2,6,3), C(3,10,−1) सरिख हैं।
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत: तीन बिंदु सरिख ⇔ AB̅ और BC̅ सह-दिश (अनुपाती) हों।
➡️ AB̅ = B − A = (1,4,−4) = 1î + 4ĵ − 4k̂
➡️ BC̅ = C − B = (1,4,−4) = 1î + 4ĵ − 4k̂
➡️ AB̅ = BC̅ ⇒ दोनों सह-दिश हैं।
✔️ अंतिम उत्तर: A, B, C सरिख बिंदु हैं।

🔵 प्रश्न 17:
दिखाइए कि 2î − ĵ + k̂, î − 3ĵ − 5k̂, 3î − 4ĵ − 4k̂ एक समकोण त्रिभुज के शिखर बनाते हैं।
🟢 उत्तर:
✏️ मान लें a̅ = 2î − ĵ + k̂, b̅ = î − 3ĵ − 5k̂, c̅ = 3î − 4ĵ − 4k̂
✏️ सिद्धांत: किसी एक बिंदु से बने दो भुजा-सदिशों का डॉट शून्य ⇒ समकोण।
➡️ a̅ − c̅ = (2−3)î + (−1+4)ĵ + (1+4)k̂ = −1î + 3ĵ + 5k̂
➡️ b̅ − c̅ = (1−3)î + (−3+4)ĵ + (−5+4)k̂ = −2î + 1ĵ − 1k̂
➡️ (a̅ − c̅)·(b̅ − c̅) = (−1)(−2) + (3)(1) + (5)(−1) = 2 + 3 − 5 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: एक समकोण अस्तित्व में है, अतः ये शिखर समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

🔵 प्रश्न 18:
यदि शून्यतर सदिश a̅ का परिमाण a है और λ शून्यतर अदिश है, तो λa̅ मात्रक सदिश होगा — सही विकल्प चुनिए:
(A) λ = 1 (B) λ = −1 (C) a = |λ| (D) a = 1/|λ|
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत: मात्रक सदिश ⇒ |λa̅| = 1
➡️ |λa̅| = |λ| |a̅| = |λ| a
➡️ |λ| a = 1
✔️ अंतिम उत्तर: विकल्प (D) a = 1/|λ| ✅

📙 प्रश्नावली 10.4

🔵 प्रश्न 1:
यदि a̅ = î − 7ĵ + 7k̂ और b̅ = 3î − 2ĵ + 2k̂, तो a̅ × b̅ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ सूत्र:
a̅ × b̅ = |
 î  ĵ  k̂
 1 −7 7
 3 −2 2
|
➡️ = î[(−7)(2) − (7)(−2)] − ĵ[(1)(2) − (7)(3)] + k̂[(1)(−2) − (−7)(3)]
➡️ = î(−14 + 14) − ĵ(2 − 21) + k̂(−2 + 21)
➡️ = î(0) − ĵ(−19) + k̂(19)
➡️ = 0î + 19ĵ + 19k̂
✔️ अंतिम उत्तर:
a̅ × b̅ = 19ĵ + 19k̂

🔵 प्रश्न 2:
सदिश a̅ + b̅ और a̅ − b̅ की लंब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ
a̅ = 3î + 2ĵ + 2k̂, b̅ = î + 2ĵ − 2k̂
🟢 उत्तर:
➡️ a̅ + b̅ = (3 + 1)î + (2 + 2)ĵ + (2 − 2)k̂ = 4î + 4ĵ
➡️ a̅ − b̅ = (3 − 1)î + (2 − 2)ĵ + (2 − (−2))k̂ = 2î + 0ĵ + 4k̂
✏️ इन दोनों के लंब दिशा का सदिश = (a̅ + b̅) × (a̅ − b̅)
➡️ = |
 î  ĵ  k̂
 4 4 0
 2 0 4
|
➡️ = î[(4)(4) − (0)(0)] − ĵ[(4)(4) − (0)(2)] + k̂[(4)(0) − (4)(2)]
➡️ = î(16) − ĵ(16) + k̂(−8)
➡️ = 16î − 16ĵ − 8k̂
✏️ अब इसका परिमाण:
|v̅| = √(16² + (−16)² + (−8)²) = √(256 + 256 + 64) = √576 = 24
✏️ मात्रक सदिश = (1/24)(16î − 16ĵ − 8k̂)
✔️ अंतिम उत्तर:
मात्रक सदिश = (2/3)î − (2/3)ĵ − (1/3)k̂

🔵 प्रश्न 3:
यदि एक मात्रक सदिश a̅, î के साथ π/3, ĵ के साथ π/4, तथा k̂ के साथ कोण θ बनाता है, तो θ ज्ञात कीजिए तथा घटक भी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत:
यदि दिशा कोसाइन l, m, n हों तो
l² + m² + n² = 1
जहाँ
l = cos(π/3), m = cos(π/4), n = cosθ
➡️ (cos(π/3))² + (cos(π/4))² + (cosθ)² = 1
➡️ (1/2)² + (√2/2)² + (cosθ)² = 1
➡️ 1/4 + 1/2 + (cosθ)² = 1
➡️ (cosθ)² = 1 − 3/4 = 1/4
➡️ cosθ = ±1/2
✔️ θ = π/3 या 2π/3
✏️ सदिश के घटक:
a̅ = cos(π/3)î + cos(π/4)ĵ + cos(π/3)k̂
➡️ a̅ = (1/2)î + (√2/2)ĵ + (1/2)k̂
✔️ अंतिम उत्तर:
θ = π/3, a̅ = (1/2)î + (√2/2)ĵ + (1/2)k̂

🔵 प्रश्न 4:
दिखाइए कि (a̅ − b̅) × (a̅ + b̅) = 2(a̅ × b̅)
🟢 उत्तर:
✏️ बाएँ पक्ष:
(a̅ − b̅) × (a̅ + b̅)
➡️ = a̅ × a̅ + a̅ × b̅ − b̅ × a̅ − b̅ × b̅
➡️ = 0 + a̅ × b̅ + a̅ × b̅ + 0
➡️ = 2(a̅ × b̅)
✔️ अंतिम उत्तर:
सिद्ध हुआ ✅

🔵 प्रश्न 5:
λ और μ ज्ञात कीजिए, यदि
(2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + μk̂) = 0̅
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत: दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य ⇒ सदिश समानांतर
⇒ अनुपात समान होंगे
➡️ (2 / 1) = (6 / λ) = (27 / μ)
✏️ अतः
6 / λ = 2 ⇒ λ = 3
27 / μ = 2 ⇒ μ = 13.5
✔️ अंतिम उत्तर:
λ = 3, μ = 13.5 ✅
🔵 प्रश्न 6:
दिया हुआ है कि a̅·b̅ = 0 तथा a̅×b̅ = 0।
सदिश a̅ और b̅ के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
🟢 उत्तर:
✏️ जब a̅·b̅ = 0, तो दोनों सदिश परस्पर लम्बवत होते हैं।
✏️ जब a̅×b̅ = 0, तो दोनों सदिश समान दिशा में (समानांतर) होते हैं।
➡️ एक ही समय पर a̅·b̅ = 0 और a̅×b̅ = 0 तभी संभव है जब कोई एक सदिश शून्य सदिश हो।
✔️ अंतिम निष्कर्ष:
या तो a̅ = 0̅ अथवा b̅ = 0̅ ✅

🔵 प्रश्न 7:
मान लीजिए सदिश
a̅ = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂,
b̅ = b₁î + b₂ĵ + b₃k̂,
c̅ = c₁î + c₂ĵ + c₃k̂
तो दर्शाइए कि
a̅ × (b̅ + c̅) = a̅ × b̅ + a̅ × c̅
🟢 उत्तर:
✏️ बाएँ पक्ष:
a̅ × (b̅ + c̅)
➡️ = a̅ × b̅ + a̅ × c̅ (वितरण गुणधर्म से)
✏️ यह सदिश गुणन का वितरण नियम है।
✔️ अंतिम उत्तर:
a̅ × (b̅ + c̅) = a̅ × b̅ + a̅ × c̅ ✅

🔵 प्रश्न 8:
यदि a̅ = 0̅ अथवा b̅ = 0̅, तब a̅ × b̅ = 0̅ होता है।
क्या विलोम सत्य है?
उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ a̅ × b̅ = 0̅ का अर्थ है दोनों सदिश समानांतर हैं या कोई एक शून्य सदिश है।
✏️ अतः विलोम सदैव सत्य नहीं।
➡️ उदाहरण:
a̅ = î, b̅ = 2î
यहाँ a̅ × b̅ = 0̅,
परन्तु a̅ ≠ 0̅ तथा b̅ ≠ 0̅
✔️ निष्कर्ष:
विलोम असत्य ✅

🔵 प्रश्न 9:
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं
A(1, 1, 2), B(2, 3, 5), C(1, 5, 5)
🟢 उत्तर:
✏️ क्षेत्रफल सूत्र:
क्षेत्रफल = (1/2) × |AB̅ × AC̅|
➡️ AB̅ = B − A = (1, 2, 3)
➡️ AC̅ = C − A = (0, 4, 3)
✏️ अब क्रॉस गुणनफल:
AB̅ × AC̅ = |
 î  ĵ  k̂
 1 2 3
 0 4 3
|
➡️ = î(2×3 − 3×4) − ĵ(1×3 − 3×0) + k̂(1×4 − 2×0)
➡️ = î(6 − 12) − ĵ(3 − 0) + k̂(4 − 0)
➡️ = −6î − 3ĵ + 4k̂
✏️ परिमाण = √[ (−6)² + (−3)² + (4)² ] = √(36 + 9 + 16) = √61
➡️ क्षेत्रफल = (1/2) × √61
✔️ अंतिम उत्तर:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)√61 वर्ग इकाई ✅

🔵 प्रश्न 10:
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश
a̅ = î − ĵ + 3k̂ तथा b̅ = 2î − 7ĵ + k̂ द्वारा निरूपित हैं।
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत:
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = |a̅ × b̅|
✏️ अब
a̅ × b̅ = |
 î  ĵ  k̂
 1 −1 3
 2 −7 1
|
➡️ = î[(−1)(1) − (3)(−7)] − ĵ[(1)(1) − (3)(2)] + k̂[(1)(−7) − (−1)(2)]
➡️ = î(−1 + 21) − ĵ(1 − 6) + k̂(−7 + 2)
➡️ = 20î + 5ĵ − 5k̂
✏️ परिमाण = √(20² + 5² + (−5)²)
➡️ = √(400 + 25 + 25) = √450 = 15√2
✔️ अंतिम उत्तर:
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 15√2 इकाई² ✅

🔵 प्रश्न 11:
मान लीजिए सदिश a̅ और b̅ इस प्रकार हैं कि
|a̅| = 3, |b̅| = √2/3
तथा a̅ × b̅ एक मात्रक सदिश है।
तो a̅ और b̅ के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ सिद्धांत:
|a̅ × b̅| = |a̅| |b̅| sinθ
✏️ दिया है |a̅ × b̅| = 1
➡️ 1 = 3 × (√2 / 3) × sinθ
➡️ 1 = √2 × sinθ
➡️ sinθ = 1 / √2
✔️ θ = π/4 ✅
✔️ अंतिम उत्तर: θ = π/4 ⇒ विकल्प (B) सही ✅

🔵 प्रश्न 12:
एक आयत के शीर्ष A, B, C, D जिनके स्थिति सदिश क्रमशः हैं:
A(−1, 1/2, 4),
B(1, 1/2, 4),
C(1, −1/2, 4),
D(−1, −1/2, 4)
क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ आयत की दो भुजाएँ:
➡️ AB̅ = B − A = (2, 0, 0)
➡️ AD̅ = D − A = (0, −1, 0)
✏️ क्षेत्रफल = |AB̅ × AD̅|
➡️ = |
 î  ĵ  k̂
 2 0 0
 0 −1 0
| = î(0−0) − ĵ(0−0) + k̂(2×(−1) − 0×0) = −2k̂
✏️ परिमाण = 2
✔️ अंतिम उत्तर:
आयत का क्षेत्रफल = 2 इकाई² ✅
⇒ विकल्प (C) सही ✅

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र

✳️ Section A (Q1–Q18) — 1 अंक वाले बहुविकल्पी प्रश्न
🔵 प्रश्न 1: दो सदिश a̅ = 3i + 4j और b̅ = 4i + 3j के बीच कोण का कोज्या है
🔵 (A) 12/25
🟢 (B) 24/25
🟠 (C) 7/25
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) 24/25

🔵 प्रश्न 2: यदि a̅ = i + j, b̅ = i − j, तो a̅ · b̅ = ?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 0
🟠 (C) 1
🔴 (D) −2
उत्तर: (B) 0

🔵 प्रश्न 3: i × j = ?
🔵 (A) i
🟢 (B) j
🟠 (C) k
🔴 (D) 0
उत्तर: (C) k

🔵 प्रश्न 4: यदि |a̅| = 3, |b̅| = 4 और a̅ ⟂ b̅, तब |a̅ + b̅| = ?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 7
🟠 (C) 1
🔴 (D) 12
उत्तर: (A) 5

🔵 प्रश्न 5: यदि a̅ = i + 2j + 2k, तो |a̅| = ?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) √9
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 3

🔵 प्रश्न 6: इकाई सदिश का परिमाण होता है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) 1

🔵 प्रश्न 7: यदि a̅ ∥ b̅, तो a̅ × b̅ =
🔵 (A) a̅
🟢 (B) b̅
🟠 (C) 0̅
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) 0̅

🔵 प्रश्न 8: a̅ · b̅ = 0 का अर्थ है
🔵 (A) a̅ = 0̅
🟢 (B) b̅ = 0̅
🟠 (C) a̅ ⟂ b̅
🔴 (D) a̅ ∥ b̅
उत्तर: (C) a̅ ⟂ b̅

🔵 प्रश्न 9: यदि a̅ = 2i − j + k, b̅ = i + j − 2k, तब a̅ · b̅ = ?
🔵 (A) 0
🟢 (B) −2
🟠 (C) 2
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 0

🔵 प्रश्न 10: i × (j × k) = ?
🔵 (A) 0̅
🟢 (B) i
🟠 (C) j
🔴 (D) k
उत्तर: (B) i

🔵 प्रश्न 11: यदि a̅ = i + j, तब इकाई सदिश = ?
🔵 (A) (1/√2)(i + j)
🟢 (B) (1/2)(i + j)
🟠 (C) (1/3)(i + j)
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) (1/√2)(i + j)

🔵 प्रश्न 12: यदि a̅, b̅ सहरेखीय हैं, तो [a̅, b̅, c̅] = ?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (A) 0

🔵 प्रश्न 13: यदि a̅ = i + 2j + 3k, b̅ = 2i + 4j + 6k, तो a̅ ∥ b̅ क्योंकि
🔵 (A) b̅ = 2a̅
🟢 (B) a̅ = 2b̅
🟠 (C) a̅ ⟂ b̅
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) b̅ = 2a̅

🔵 प्रश्न 14: यदि |a̅| = 2, |b̅| = 3, और a̅ · b̅ = 3, तो cos θ = ?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 2/3
उत्तर: (B) 1/3

🔵 प्रश्न 15: i × j + j × k + k × i = ?
🔵 (A) 0̅
🟢 (B) 2(i + j + k)
🟠 (C) i + j + k
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) i + j + k

🔵 प्रश्न 16: यदि a̅ = i + j + k, तब a̅ × a̅ = ?
🔵 (A) 0̅
🟢 (B) 1̅
🟠 (C) 2̅
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) 0̅

🔵 प्रश्न 17: [i, j, k] = ?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 1

🔵 प्रश्न 18: यदि a̅ = 3i + 4j, तब इकाई सदिश = ?
🔵 (A) (3/5)i + (4/5)j
🟢 (B) (4/3)i + (3/4)j
🟠 (C) (1/5)(i + j)
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) (3/5)i + (4/5)j

✳️ Section B (Q19–Q23) — 2 अंक वाले प्रश्न
🟢 प्रश्न 19: यदि a̅ = 2i + 3j + 4k, b̅ = i − j + k, तो a̅ · b̅ ज्ञात करें।
🧠 उत्तर:
a̅ · b̅ = (2)(1) + (3)(−1) + (4)(1) = 2 − 3 + 4 = 3

🟢 प्रश्न 20: सदिश a̅ = i + j + k का परिमाण ज्ञात करें।
🧠 उत्तर:
|a̅| = √(1² + 1² + 1²) = √3

🟢 प्रश्न 21: यदि a̅ = 2i + j + 2k, b̅ = i − j + k, तो cos θ ज्ञात करें।
🧠 उत्तर:
a̅ · b̅ = 2(1) + 1(−1) + 2(1) = 2 − 1 + 2 = 3
|a̅| = √(4 + 1 + 4) = 3
|b̅| = √(1 + 1 + 1) = √3
cos θ = (a̅ · b̅) / (|a̅||b̅|) = 3 / (3√3) = 1/√3

🟢 प्रश्न 22: यदि a̅ = 3i + 4j, तो इकाई सदिश ज्ञात करें।
🧠 उत्तर:
|a̅| = √(3² + 4²) = 5
â = a̅ / |a̅| = (1/5)(3i + 4j) = (3/5)i + (4/5)j

🟢 प्रश्न 23: सिद्ध करें कि i, j, k परस्पर लम्ब हैं।
🧠 उत्तर:
i · j = 0, j · k = 0, k · i = 0
अतः i, j, k परस्पर लम्ब हैं।

🔵 Question 24: a̅ = 2i + j + 2k तथा b̅ = i − j + k के बीच कोण θ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ a̅ · b̅ = 2(1) + 1(−1) + 2(1) = 2 − 1 + 2 = 3
➡️ |a̅| = √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3
➡️ |b̅| = √(1² + (−1)² + 1²) = √3
➡️ cosθ = (a̅ · b̅)/(|a̅||b̅|) = 3/(3√3) = 1/√3
✔️ Final: θ = arccos(1/√3)

🔵 Question 25: a̅ = 3i − 4j + k का b̅ = i + 2j + 2k पर प्रक्षेप (projection) का परिमाण ज्ञात करें।
🟢 Answer:
➡️ a̅ · b̅ = 3(1) + (−4)(2) + 1(2) = 3 − 8 + 2 = −3
➡️ |b̅| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3
➡️ proj लंबाई = |a̅ · b̅|/|b̅| = |−3|/3 = 1
✔️ Final: प्रक्षेप का परिमाण = 1

🔵 Question 26: u̅ = i + 2j − 2k और v̅ = 2i − j + 2k के दोनों के लम्ब (परस्पर लम्बवत) एक इकाई सदिश n̂ ज्ञात करें।
🟢 Answer:
➡️ n̅ ∥ (u̅ × v̅)
➡️ u̅ × v̅ = | i j k |
| 1 2 −2 |
| 2 −1 2 |
➡️ i घटक = (2·2 − (−2)(−1)) = 4 − 2 = 2
➡️ j घटक = −(1·2 − (−2)·2) = −(2 − (−4)) = −6
➡️ k घटक = (1·(−1) − 2·2) = −1 − 4 = −5
➡️ अतः u̅ × v̅ = 2i − 6j − 5k
➡️ |u̅ × v̅| = √(2² + (−6)² + (−5)²) = √(4 + 36 + 25) = √65
➡️ n̂ = (u̅ × v̅)/|u̅ × v̅| = (2i − 6j − 5k)/√65
✔️ Final: n̂ = (2/√65)i − (6/√65)j − (5/√65)k

🔵 Question 27: a̅ = 2i + j + k तथा b̅ = i − j + 2k द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज (parallelogram) का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
🟢 Answer:
➡️ क्षेत्रफल = |a̅ × b̅|
➡️ a̅ × b̅ = | i j k |
| 2 1 1 |
| 1 −1 2 |
➡️ i घटक = (1·2 − 1·(−1)) = 2 + 1 = 3
➡️ j घटक = −(2·2 − 1·1) = −(4 − 1) = −3
➡️ k घटक = (2·(−1) − 1·1) = −2 − 1 = −3
➡️ a̅ × b̅ = 3i − 3j − 3k
➡️ |a̅ × b̅| = √(3² + (−3)² + (−3)²) = √27 = 3√3
✔️ Final: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 3√3, त्रिभुज का क्षेत्रफल = (3√3)/2

🔵 Question 28: सिद्ध कीजिए कि |a̅ × b̅|² = |a̅|²|b̅|² − (a̅ · b̅)²।
🟢 Answer:
➡️ परिभाषा से |a̅ × b̅| = |a̅||b̅| sinθ
➡️ अतः |a̅ × b̅|² = |a̅|²|b̅|² sin²θ
➡️ तथा a̅ · b̅ = |a̅||b̅| cosθ ⇒ (a̅ · b̅)² = |a̅|²|b̅|² cos²θ
➡️ sin²θ = 1 − cos²θ लिखें
➡️ |a̅ × b̅|² = |a̅|²|b̅|² (1 − cos²θ) = |a̅|²|b̅|² − |a̅|²|b̅|² cos²θ
➡️ |a̅ × b̅|² = |a̅|²|b̅|² − (a̅ · b̅)²
✔️ Final: प्रतिपाद्य सिद्ध

🔵 Question 29: सिद्ध कीजिए कि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (सदिश विधि)।
🟢 Answer:
➡️ समांतर चतुर्भुज ABCD में AB̅ = a̅, AD̅ = b̅ मानें
➡️ तब AC̅ = AB̅ + BC̅ = a̅ + b̅
➡️ तथा BD̅ = AD̅ − AB̅ = b̅ − a̅
➡️ AC̅ का मध्यबिंदु M के लिए OM̅ = OA̅ + (1/2)AC̅ = 0̅ + (1/2)(a̅ + b̅)
➡️ BD̅ के लिए भी वही बिंदु: OA̅ + (1/2)AB̅ + (1/2)AD̅ = (1/2)(a̅ + b̅)
➡️ दोनों विकर्णों पर एक ही मध्यबिंदु M प्राप्त होता है
✔️ Final: AC̅ और BD̅ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

🔵 Question 30: बिंदु A(1, 2, 3), B(3, 0, 5), C(5, −2, 7) के लिए क्षेत्रफल(ΔABC) ज्ञात करें तथा सहरेखीयता की जाँच करें।
🟢 Answer:
➡️ AB̅ = (3 − 1)i + (0 − 2)j + (5 − 3)k = 2i − 2j + 2k
➡️ AC̅ = (5 − 1)i + (−2 − 2)j + (7 − 3)k = 4i − 4j + 4k
➡️ AB̅ × AC̅ = | i j k |
| 2 −2 2 |
| 4 −4 4 |
➡️ दूसरी पंक्ति दूसरी का 2 गुना है ⇒ AB̅ × AC̅ = 0̅
➡️ क्षेत्रफल(ΔABC) = (1/2)|AB̅ × AC̅| = 0
➡️ AB̅ और AC̅ सहरेखीय ⇒ A, B, C सहरेखीय
✔️ Final: क्षेत्रफल = 0, बिंदु सहरेखीय हैं

🔵 Question 31: a̅ = i + 2j + 3k, b̅ = 2i − j + k, c̅ = 3i + j + αk के लिए [a̅, b̅, c̅] = 0 होने हेतु α का मान ज्ञात कीजिए (सहतलीयता शर्त)।
🟢 Answer:
➡️ [a̅, b̅, c̅] = a̅ · (b̅ × c̅)
➡️ b̅ × c̅ = | i j k |
| 2 −1 1 |
| 3 1 α |
➡️ i घटक = (−1·α − 1·1) = −α − 1
➡️ j घटक = −(2·α − 1·3) = −(2α − 3) = −2α + 3
➡️ k घटक = (2·1 − (−1)·3) = 2 + 3 = 5
➡️ a̅ · (b̅ × c̅) = (1)(−α − 1) + (2)(−2α + 3) + (3)(5)
➡️ = (−α − 1) + (−4α + 6) + 15
➡️ = (−5α) + 20
➡️ सहतलीयता हेतु [a̅, b̅, c̅] = 0 ⇒ −5α + 20 = 0
➡️ α = 4
✔️ Final: α = 4

🔵 Question 32 (Case – Work): किसी कण पर बल F̅ = 5i − 3j + 2k N लगाया गया और विस्थापन d̅ = 2i + j − 4k m हुआ। किया गया कार्य W ज्ञात करें तथा कार्य का चिह्न व्याख्यायित करें।
🟢 Answer:
➡️ W = F̅ · d̅
➡️ W = 5(2) + (−3)(1) + 2(−4)
➡️ W = 10 − 3 − 8 = −1 J
➡️ ऋणात्मक कार्य का अर्थ: बल की प्रभावी दिशा विस्थापन के प्रतिकूल रही
✔️ Final: W = −1 J, कार्य ऋणात्मक है (विपरीत प्रभाव)

🔵 Question 33 (Case – Torque): r̅ = 3i − 2j + k m पर स्थित बिंदु पर बल F̅ = i + 2j − 2k N लगाया गया। आघूर्ण (टॉर्क) τ̅ ज्ञात करें तथा उसका परिमाण लिखें।
🟢 Answer:
➡️ τ̅ = r̅ × F̅
➡️ r̅ × F̅ = | i j k |
| 3 −2 1 |
| 1 2 −2 |
➡️ i घटक = ((−2)(−2) − 1·2) = 4 − 2 = 2
➡️ j घटक = −(3(−2) − 1·1) = −(−6 − 1) = 7
➡️ k घटक = (3·2 − (−2)·1) = 6 + 2 = 8
➡️ τ̅ = 2i + 7j + 8k N·m
➡️ |τ̅| = √(2² + 7² + 8²) = √(4 + 49 + 64) = √117 = 3√13
✔️ Final: τ̅ = 2i + 7j + 8k N·m, परिमाण = 3√13 N·m

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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1
यदि a = 2i − 3j + 6k हो, तो |a| का मान है
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 2
i + j और i − j के बीच का कोण है
🟥 1️⃣ 0 डिग्री
🟩 2️⃣ 60 डिग्री
🟨 3️⃣ 90 डिग्री
🟦 4️⃣ 120 डिग्री
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 3
2i − j + 2k की दिशा में एकक सदिश है
🟥 1️⃣ (1/3)i − (1/3)j + (1/3)k
🟩 2️⃣ (2/3)i − (1/3)j + (2/3)k
🟨 3️⃣ (2/7)i − (1/7)j + (2/7)k
🟦 4️⃣ (1/2)i − (1/4)j + (1/2)k
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 4
यदि a, b, c समतलीय हों, तो a·(b×c) का मान
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ |a||b||c|
🟦 4️⃣ |a×b||c|
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 5
मूल से निकले दो सदिश a तथा b द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है
🟥 1️⃣ |a×b|
🟩 2️⃣ (1/2)|a×b|
🟨 3️⃣ |a·b|
🟦 4️⃣ (1/2)|a·b|
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 6
यदि a·b = 0 तथा a ≠ 0, b ≠ 0, तो a और b हैं
🟥 1️⃣ समान्तर
🟩 2️⃣ सह-रैखिक
🟨 3️⃣ लंब
🟦 4️⃣ समान
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 7
a = i + j + k तथा b = i − j + k के लिए a×b है
🟥 1️⃣ 2i − 2k
🟩 2️⃣ 2j − 2k
🟨 3️⃣ 2i + 2j
🟦 4️⃣ i − j + k
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 8
a का b पर प्रक्षेप (projection) का परिमाण है
🟥 1️⃣ |a×b|/|b|
🟩 2️⃣ (a·b)/|b|
🟨 3️⃣ (a·b)/|a|
🟦 4️⃣ |a|/|b|
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 9
यदि |a| = 3, |b| = 4 और a व b के बीच कोण 60 डिग्री है, तो a·b =
🟥 1️⃣ 12
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 10
यदि a×b = 0 तथा a,b ≠ 0, तो
🟥 1️⃣ a, b लंब हैं
🟩 2️⃣ a, b समान्तर हैं
🟨 3️⃣ a = −b
🟦 4️⃣ a·b = 1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 11
दिशा कोज्या l, m, n वाले एकक सदिश के लिए संबंध
🟥 1️⃣ l + m + n = 1
🟩 2️⃣ l^2 + m^2 + n^2 = 1
🟨 3️⃣ l^2 + m^2 + n^2 = 2
🟦 4️⃣ lm + mn + nl = 1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 12
i, j, k के लिए i·(j×k) का मान
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 13
(i + j + k)·(i + j − k) का मान
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ −1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 14
|i + j| का मान
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ sqrt(2)
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ sqrt(3)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 15
यदि |a| = |b| तथा a·b = |a||b|, तो a और b के बीच कोण
🟥 1️⃣ 0 डिग्री
🟩 2️⃣ 60 डिग्री
🟨 3️⃣ 90 डिग्री
🟦 4️⃣ 120 डिग्री
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 16
(a + b)·(a − b) का मान
🟥 1️⃣ |a|^2 − |b|^2
🟩 2️⃣ |a|^2 + |b|^2
🟨 3️⃣ −(a·b)
🟦 4️⃣ 2(a·b)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 17
जो एकक सदिश तीनों अक्षों के साथ समान कोण बनाता है, वह है
🟥 1️⃣ (1/2)(i + j + k)
🟩 2️⃣ (1/sqrt(3))(i + j + k)
🟨 3️⃣ (1/sqrt(2))(i + j)
🟦 4️⃣ (1/sqrt(6))(2i + j + k)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 18
|a×b| का मान
🟥 1️⃣ |a||b| cos θ
🟩 2️⃣ |a||b| sin θ
🟨 3️⃣ a·b
🟦 4️⃣ |a|/|b|
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 19
पहचान: |a×b|^2 =
🟥 1️⃣ |a|^2 + |b|^2 − 2(a·b)
🟩 2️⃣ |a|^2|b|^2 − (a·b)^2
🟨 3️⃣ (a·b)^2
🟦 4️⃣ |a|^2|b|^2 + (a·b)^2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 20
यदि |p| = |q| = 1 तथा p और q के बीच कोण 120 डिग्री है, तो |p − q| =
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ sqrt(2)
🟨 3️⃣ sqrt(3)
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 21
समांतर चतुर्भुज नियम: |a + b|^2 + |a − b|^2 =
🟥 1️⃣ 2(|a|^2 + |b|^2)
🟩 2️⃣ 2(a·b)
🟨 3️⃣ |a|^2 − |b|^2
🟦 4️⃣ 4(a·b)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 22
दो सदिश a और b द्वारा बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
🟥 1️⃣ (1/2)|a×b|
🟩 2️⃣ |a×b|
🟨 3️⃣ |a·b|
🟦 4️⃣ (1/2)|a·b|
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 23
a·(b×c) = ? (सही पहचान)
🟥 1️⃣ (a×b)·c
🟩 2️⃣ (b×c)·a
🟨 3️⃣ दोनों 1 और 2
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 24
(a×b)·(b×a) का मान
🟥 1️⃣ |a×b|^2
🟩 2️⃣ −|a×b|^2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ |a·b|^2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 25
सदिश पहचान: a×(b×c) =
🟥 1️⃣ (a·b)c − (a·c)b
🟩 2️⃣ (a·c)b − (a·b)c
🟨 3️⃣ a(b·c)
🟦 4️⃣ (a×b)×c
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013


🔵 प्रश्न 26
i + 2j + 2k की दिशा में एकक सदिश है
🟥 1️⃣ (1/3)i + (2/3)j + (2/3)k
🟩 2️⃣ (1/√3)(i + 2j + 2k)
🟨 3️⃣ (1/2)(i + 2j + 2k)
🟦 4️⃣ (1/√6)(i + 2j + 2k)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 27
|a| = 3, |b| = 4 और a·b = 0 हो, तो |a + b| =
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 28
a = 2i, b = 3j, c = 6k के लिए स्केलर त्रिगुणित a·(b×c) का मान
🟥 1️⃣ 18
🟩 2️⃣ 24
🟨 3️⃣ 36
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 29
समांतरषट्फल (parallelepiped) का आयतन V = |a·(b×c)| होता है। सही कथन चुनें।
🟥 1️⃣ V = |a×b||c|
🟩 2️⃣ V = |a·(b×c)|
🟨 3️⃣ V = |a·b×c| (आदेश महत्त्वपूर्ण नहीं)
🟦 4️⃣ V = |(a×b)·c|
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 30
|a| = |b| = 1 और a व b के बीच कोण 120 डिग्री हो, तो a·b =
🟥 1️⃣ −1/2
🟩 2️⃣ 1/2
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ −√3/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 31
यदि |a − b| = |a + b| हो, तो
🟥 1️⃣ a·b = 0
🟩 2️⃣ |a| = |b|
🟨 3️⃣ a × b = 0
🟦 4️⃣ a = b
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 32
i + 0j + 0k तथा i + j + k के बीच कोण θ है। θ =
🟥 1️⃣ cos⁻¹(1/√3)
🟩 2️⃣ cos⁻¹(1/2)
🟨 3️⃣ cos⁻¹(√3/2)
🟦 4️⃣ 90 डिग्री
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 33
यदि a, b, c समतलीय हों, तो a·(b×c) का मान
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ |a||b||c|
🟦 4️⃣ |a×b||c|
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 34
(i + j + k)×(i − j + k) =
🟥 1️⃣ 2i − 2k
🟩 2️⃣ 2j − 2k
🟨 3️⃣ 2i + 2j
🟦 4️⃣ 2j + 2k
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 35
(a×b)·(a×b) बराबर है
🟥 1️⃣ |a|^2|b|^2 − (a·b)^2
🟩 2️⃣ |a|^2 + |b|^2 − 2(a·b)
🟨 3️⃣ (a·b)^2
🟦 4️⃣ |a|^2|b|^2 + (a·b)^2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 36
|a| = 2, |b| = √3 और उनके बीच कोण 30 डिग्री है। |a×b| =
🟥 1️⃣ √3
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 37
यदि (a + b)·(a − b) = 0, तो
🟥 1️⃣ |a| = |b|
🟩 2️⃣ a·b = 0
🟨 3️⃣ a × b = 0
🟦 4️⃣ a = −b
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 38
वेक्टर त्रिगुणित पहचान a×(b×c) =
🟥 1️⃣ (a·b)c − (a·c)b
🟩 2️⃣ (a·c)b − (a·b)c
🟨 3️⃣ (a×b)×c
🟦 4️⃣ a(b·c)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 39
यदि a और b परस्पर लंब हों, तो |a ± b|^2 =
🟥 1️⃣ |a|^2 + |b|^2
🟩 2️⃣ |a|^2 − |b|^2
🟨 3️⃣ 2(a·b)
🟦 4️⃣ |a|^2|b|^2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 40
(i×j)·k का मान
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 41
a = i + 2j + 2k और b = 2i − j + 2k के लिए a×b के समांतर एकक सदिश
🟥 1️⃣ (1/√65)(6i + 2j − 5k)
🟩 2️⃣ (1/√65)(−6i − 2j + 5k)
🟨 3️⃣ (1/√65)(6i − 2j + 5k)
🟦 4️⃣ (1/√65)(5i + 6j + 2k)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 42
यदि a, b एकक सदिश हों और a·b = 1/2, तो उनके बीच कोण
🟥 1️⃣ 30 डिग्री
🟩 2️⃣ 45 डिग्री
🟨 3️⃣ 60 डिग्री
🟦 4️⃣ 90 डिग्री
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 43
|a| = 3, |b| = 4 तथा |a×b| = 6 हो, तो a और b के बीच कोण
🟥 1️⃣ 30 डिग्री
🟩 2️⃣ 45 डिग्री
🟨 3️⃣ 60 डिग्री
🟦 4️⃣ 90 डिग्री
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 44
यदि a ∥ b (a और b समान्तर) हों, तो
🟥 1️⃣ b = λ a किसी वास्तविक λ के लिए
🟩 2️⃣ a·b = 0
🟨 3️⃣ |a×b| अधिकतम
🟦 4️⃣ a + b शून्य
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 45
a×b सदैव किसके लंब होता है?
🟥 1️⃣ केवल a
🟩 2️⃣ केवल b
🟨 3️⃣ दोनों a और b
🟦 4️⃣ न a, न b
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 46
यदि दिशा-कोज्या l, m, n हों, तो सही संबंध
🟥 1️⃣ l + m + n = 1
🟩 2️⃣ l^2 + m^2 + n^2 = 1
🟨 3️⃣ lm + mn + nl = 1
🟦 4️⃣ l^2 + m^2 + n^2 = 2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 47
a·(b×c) = (a×b)·c = (b×c)·a — यह दर्शाता है
🟥 1️⃣ संघेयता
🟩 2️⃣ प्रतिचालनीयता
🟨 3️⃣ चक्रीय समता
🟦 4️⃣ सममिति
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 48
यदि a ⟂ b हो, तो |a − b|^2 का मान
🟥 1️⃣ |a|^2 + |b|^2
🟩 2️⃣ |a|^2 − |b|^2
🟨 3️⃣ |a|^2 + |b|^2 − 2|a||b|
🟦 4️⃣ |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 49
(2i − j + k)·(i + 2j − 2k) =
🟥 1️⃣ −2
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 50
|(i + 2j + k)×(j + 2k)| =
🟥 1️⃣ √10
🟩 2️⃣ √12
🟨 3️⃣ √14
🟦 4️⃣ √18
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013

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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1:
यदि a = 2i + 3j + k तथा b = i − 2j + 4k, तो a · b का मान ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 0
उत्तर: 3️⃣ 4
📘 JEE Advanced 2024 – Paper 1

🔵 प्रश्न 2:
यदि |a| = 3, |b| = 4 तथा a · b = 6, तो a और b के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 60°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 30°
🟦 4️⃣ 90°
उत्तर: 1️⃣ 60°
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 1

🔵 प्रश्न 3:
यदि A = [2, 0], [0, 3], तो |A| = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 3
उत्तर: 1️⃣ 6
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 1

🔵 प्रश्न 4:
यदि A = [a, b], [c, d], तो A का व्युत्क्रम (inverse) अस्तित्व में होगा जब
🟥 1️⃣ ad = bc
🟩 2️⃣ ad ≠ bc
🟨 3️⃣ a = 0
🟦 4️⃣ d = 0
उत्तर: 2️⃣ ad ≠ bc
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 1

🔵 प्रश्न 5:
यदि a और b एक-दूसरे के लंबवत हैं, और |a| = 3, |b| = 4, तो |a + b| ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 4
उत्तर: 1️⃣ 5
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 1

🔵 प्रश्न 6:
यदि a = 2i − j + 2k तथा b = i + j − k, तो a × b का मान है –
🟥 1️⃣ i + 4j + 3k
🟩 2️⃣ 3i − 6j + 3k
🟨 3️⃣ 4i − j + 2k
🟦 4️⃣ 2i + j − 3k
उत्तर: 2️⃣ 3i − 6j + 3k
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 1

🔵 प्रश्न 7:
नियमित षट्भुज PQRSTU की भुजाओं के सदिश PQ, QR, …, UP दिए हैं। यदि
a = QR, b = RP, c = PQ,
|a| = 12, |b| = 4√3, तथा b · c = 24,
तो निम्न में से कौन-सा सही है?
🟥 1️⃣ a · c = 0
🟩 2️⃣ |a × c| = 24
🟨 3️⃣ |a + c| = 12
🟦 4️⃣ |a − c| = 12
उत्तर: 2️⃣ |a × c| = 24
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 8:
यदि OP × OQ · OR = 0 तथा बिंदु (α, β, 2) तल 3x + 3y − z + l = 0 पर स्थित है, तो l का मान क्या है?
🟥 1️⃣ −2
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 4
उत्तर: 3️⃣ 2
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 1

🔵 प्रश्न 9:
यदि a × b = 0, तो निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?
🟥 1️⃣ a और b समान्तर हैं
🟩 2️⃣ a और b लंबवत हैं
🟨 3️⃣ a = b
🟦 4️⃣ उपरोक्त सभी
उत्तर: 1️⃣ a और b समान्तर हैं
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 1

🔵 प्रश्न 10:
यदि |a| = 3, |b| = 2, तथा a · b = 0, तो |a + b| = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ √13
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 2
उत्तर: 2️⃣ √13
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 1

🔵 प्रश्न 11:
यदि a · b = 0 और a × b ≠ 0, तो a और b के बीच कोण होगा –
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 180°
🟦 4️⃣ 45°
उत्तर: 2️⃣ 90°
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 1

🔵 प्रश्न 12:
यदि a × b = c, b × c = a, तो a, b, c के बीच कोण है –
🟥 1️⃣ 60°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 120°
🟦 4️⃣ 45°
उत्तर: 1️⃣ 60°
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 1

🔵 प्रश्न 13:
यदि a · b = |a||b|, तो a और b के बीच कोण है –
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 180°
🟦 4️⃣ 60°
उत्तर: 1️⃣ 0°
📘 JEE Advanced 2014 – Paper 1

🔵 प्रश्न 14:
यदि a · b = −|a||b|, तो a और b के बीच कोण है –
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 180°
🟦 4️⃣ 60°
उत्तर: 3️⃣ 180°
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 15:
यदि a × b = 0 तथा a ≠ 0, b ≠ 0, तो
🟥 1️⃣ a और b समान्तर हैं
🟩 2️⃣ a और b लंबवत हैं
🟨 3️⃣ a = b
🟦 4️⃣ उपरोक्त कोई नहीं
उत्तर: 1️⃣ a और b समान्तर हैं
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 1

🔵 प्रश्न 16:
यदि a · b = 0 तथा a × b = 0, तो
🟥 1️⃣ a = 0
🟩 2️⃣ b = 0
🟨 3️⃣ दोनों समान्तर हैं
🟦 4️⃣ दोनों शून्य सदिश हैं
उत्तर: 4️⃣ दोनों शून्य सदिश हैं
📘 JEE Advanced 2012 – Paper 1

🔵 प्रश्न 17:
यदि |a| = |b| = |c| = 2 और a + b + c = 0, तो a · b + b · c + c · a = ?
🟥 1️⃣ −6
🟩 2️⃣ −3
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 0
उत्तर: 2️⃣ −3
📘 JEE Advanced 2011 – Paper 1

🔵 प्रश्न 18
यदि a और b इकाई सदिश हैं तथा a · b = 1/2, तो |a − b| =
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ sqrt(2)
🟨 3️⃣ sqrt(3)
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 2

🔵 प्रश्न 19
यदि |a| = 2, |b| = 3 और a · b = −3, तो a तथा b के बीच कोण =
🟥 1️⃣ 0 डिग्री
🟩 2️⃣ 60 डिग्री
🟨 3️⃣ 90 डिग्री
🟦 4️⃣ 120 डिग्री
✔️ उत्तर: 4️⃣
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 2

🔵 प्रश्न 20
यदि a और b इकाई सदिश हैं तथा |a + b| = sqrt(3), तो a · b =
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ −1/2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 4️⃣
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 2

🔵 प्रश्न 21
पहचान चुनें:
(a · b)^2 + |a × b|^2 = ?
🟥 1️⃣ |a|^2 + |b|^2
🟩 2️⃣ |a|^2|b|^2
🟨 3️⃣ (a · b)^2
🟦 4️⃣ |a|^2|b|^2 − (a · b)^2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 2

🔵 प्रश्न 22
(i + j + k) · ((i − j) × (j − k)) =
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 4️⃣
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 2

🔵 प्रश्न 23
a = i + 2j + 2k और d = i − j + k। a × d के समांतर एकक सदिश है
🟥 1️⃣ (1/sqrt(26))(4i + j − 3k)
🟩 2️⃣ (1/sqrt(26))(−4i + j + 3k)
🟨 3️⃣ (1/sqrt(26))(3i − j + 4k)
🟦 4️⃣ (1/sqrt(26))(4i − j + 3k)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 2

🔵 प्रश्न 24
यदि a × b = 0 तथा a, b ≠ 0, तो
🟥 1️⃣ a और b समान्तर हैं
🟩 2️⃣ a और b लंबवत हैं
🟨 3️⃣ a = −b
🟦 4️⃣ a · b = 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 2

🔵 प्रश्न 25
यदि a + b + c = 0 तथा a, b, c एकक सदिश हों, तो a · b =
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ −1/2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 2

🔵 प्रश्न 26
यदि |a + b| = |a − b|, तो
🟥 1️⃣ a · b = 0
🟩 2️⃣ |a| = |b|
🟨 3️⃣ a × b = 0
🟦 4️⃣ a = −b
✔️ उत्तर: 1️⃣
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 2

🔵 प्रश्न 27
(a + b) × (a − b) =
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 2(a × b)
🟨 3️⃣ −2(a × b)
🟦 4️⃣ 2(b × a)
✔️ उत्तर: 3️⃣
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 2

🔵 Q28 (JEE Main Level)
यदि a̅ = 2i + 3j तथा b̅ = 4i − 3j, तो |a̅ × b̅| का परिमाण ज्ञात कीजिए।

🔵 (A) 6
🟢 (B) 12
🟠 (C) 18
🔴 (D) 24

🟢 उत्तर: (C) 18

🔵 प्रश्न 29
यदि |a × b| = |a · b| (a, b ≠ 0), तो a और b के बीच तीक्ष्ण कोण =
🟥 1️⃣ 30 डिग्री
🟩 2️⃣ 45 डिग्री
🟨 3️⃣ 60 डिग्री
🟦 4️⃣ 90 डिग्री
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 2

🔵 प्रश्न 30
a और b एकक सदिश हैं तथा |a + b| = 1 ⇒ a · b =
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ −1/2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 2

🔵 प्रश्न 31
u = 2i − j + 2k, v = i + 2j + k। (u × v) · (i + j + k) =
🟥 1️⃣ −5
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 2

🔵 प्रश्न 32
a · (a × b) का मान (a, b अशून्य)
🟥 1️⃣ |a|^2|b|
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ |a × b|
🟦 4️⃣ a · b
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 2

🔵 प्रश्न 33
यदि (a × b) · (b × a) = ?
🟥 1️⃣ |a × b|^2
🟩 2️⃣ −|a × b|^2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ |a|^2|b|^2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 2

🔵 प्रश्न 34
यदि दिशा-कोज्या l, m, n हों, तो सही संबंध
🟥 1️⃣ l + m + n = 1
🟩 2️⃣ l^2 + m^2 + n^2 = 1
🟨 3️⃣ lm + mn + nl = 1
🟦 4️⃣ l^2 + m^2 + n^2 = 2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 2

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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

Q1. a̅ = 3i + 4j और b̅ = 4i + 3j के लिए cosθ का मान है
🔵 (A) 12/25
🟢 (B) 24/25
🟠 (C) 7/25
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) 24/25
Q2. यदि a̅ = i + j, b̅ = i − j, तो a̅ · b̅ =
🔵 (A) 2
🟢 (B) 0
🟠 (C) 1
🔴 (D) −2
उत्तर: (B) 0
Q3. i × j =
🔵 (A) i
🟢 (B) j
🟠 (C) k
🔴 (D) 0̅
उत्तर: (C) k
Q4. |a̅| = 3, |b̅| = 4 और a̅ ⟂ b̅ हों, तब |a̅ + b̅| =
🔵 (A) 5
🟢 (B) 7
🟠 (C) 1
🔴 (D) 12
उत्तर: (A) 5
Q5. a̅ = i + 2j + 2k के लिए |a̅| =
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) √9
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 3
Q6. इकाई सदिश का परिमाण होता है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) 1
Q7. यदि a̅ ∥ b̅, तो a̅ × b̅ =
🔵 (A) a̅
🟢 (B) b̅
🟠 (C) 0̅
🔴 (D) i
उत्तर: (C) 0̅
Q8. a̅ · b̅ = 0 ⇒
🔵 (A) a̅ = 0̅
🟢 (B) b̅ = 0̅
🟠 (C) a̅ ⟂ b̅
🔴 (D) a̅ ∥ b̅
उत्तर: (C) a̅ ⟂ b̅
Q9. a̅ = 2i − j + k, b̅ = i + j − 2k के लिए a̅ · b̅ =
🔵 (A) 0
🟢 (B) −2
🟠 (C) 2
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 0
Q10. i × (j × k) =
🔵 (A) 0̅
🟢 (B) i
🟠 (C) j
🔴 (D) k
उत्तर: (B) i
Q11. a̅ = i + j का इकाई सदिश है
🔵 (A) (1/√2)(i + j)
🟢 (B) (1/2)(i + j)
🟠 (C) (1/3)(i + j)
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) (1/√2)(i + j)
Q12. यदि a̅, b̅ सहरेखीय हों, तो [a̅, b̅, c̅] =
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (A) 0
Q13. a̅ = i + 2j + 3k, b̅ = 2i + 4j + 6k ⇒
🔵 (A) b̅ = 2a̅
🟢 (B) a̅ = 2b̅
🟠 (C) a̅ ⟂ b̅
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) b̅ = 2a̅
Q14. |a̅| = 2, |b̅| = 3 और a̅ · b̅ = 3 ⇒ cosθ =
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 2/3
उत्तर: (B) 1/3
Q15. i × j + j × k + k × i =
🔵 (A) 0̅
🟢 (B) 2(i + j + k)
🟠 (C) i + j + k
🔴 (D) i − j + k
उत्तर: (C) i + j + k
Q16. a̅ = i + j + k ⇒ a̅ × a̅ =
🔵 (A) 0̅
🟢 (B) 1̅
🟠 (C) 2̅
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) 0̅
Q17. [i, j, k] =
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 1
Q18. a̅ = 3i + 4j का इकाई सदिश
🔵 (A) (3/5)i + (4/5)j
🟢 (B) (4/3)i + (3/4)j
🟠 (C) (1/5)(i + j)
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) (3/5)i + (4/5)j
Q19. यदि a̅, b̅ गैर-शून्य हैं और a̅ × b̅ = 0̅, तो
🔵 (A) a̅ ⟂ b̅
🟢 (B) a̅ ∥ b̅
🟠 (C) |a̅| = |b̅|
🔴 (D) a̅ = −b̅ ही संभव
उत्तर: (B) a̅ ∥ b̅
Q20. a̅ = 2i − j, b̅ = i + 2j के लिए |a̅ − b̅| =
🔵 (A) √5
🟢 (B) √10
🟠 (C) √13
🔴 (D) 3
उत्तर: (B) √10

Q21. यदि a̅ = 2i + j + 2k, b̅ = i − j + k, तो a̅ × b̅ =
🔵 (A) 3i − 3j − 3k
🟢 (B) 2i − 6j − 5k
🟠 (C) i + j + k
🔴 (D) 0̅
उत्तर: (A) 3i − 3j − 3k
Q22. प्रक्षेप सूत्र के अनुसार, a̅ का b̅ पर अदिश प्रक्षेप है
🔵 (A) |a̅||b̅|
🟢 (B) (a̅ · b̅)/|b̅|
🟠 (C) (a̅ · b̅)/|a̅|
🔴 (D) (|a̅|/|b̅|)
उत्तर: (B) (a̅ · b̅)/|b̅|
Q23. यदि |a̅| = |b̅| = 1 और a̅ · b̅ = 1/2, तो a̅ और b̅ के बीच कोण है
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
उत्तर: (C) 60°
Q24. [a̅, b̅, c̅] = 0 का अर्थ है
🔵 (A) a̅ ⟂ b̅
🟢 (B) a̅, b̅, c̅ सहतलीय
🟠 (C) |a̅| = |b̅|
🔴 (D) c̅ = 0̅
उत्तर: (B) a̅, b̅, c̅ सहतलीय
Q25. यदि a̅ = 2i + j + k, b̅ = i − j + 2k, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है
🔵 (A) √27
🟢 (B) 3√3
🟠 (C) 6
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 3√3

🔶 JEE Main Level (Q26–Q40)
Q26. यदि a̅ = 2i + j + k, b̅ = i − j + 2k, तो a̅ · b̅ =
🔵 (A) 3
🟢 (B) 2
🟠 (C) 0
🔴 (D) −1
उत्तर: (A) 3
Q27. यदि |a̅| = |b̅| = 1 और a̅ · b̅ = 0, तो a̅ और b̅ के बीच कोण है
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
उत्तर: (D) 90°
Q28. यदि a̅ = 2i + 3j, b̅ = 4i − 3j, तो a̅ × b̅ का परिमाण =
🔵 (A) 6
🟢 (B) 12
🟠 (C) 18
🔴 (D) 24
उत्तर: (B) 12
Q29. यदि a̅, b̅ सहरेखीय हों, तो
🔵 (A) a̅ × b̅ = 0̅
🟢 (B) a̅ · b̅ = 0
🟠 (C) |a̅| = |b̅|
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) a̅ × b̅ = 0̅
Q30. a̅ = 3i − 4j + k का b̅ = i + 2j + 2k पर अदिश प्रक्षेप =
🔵 (A) 1
🟢 (B) −1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) −1
Q31. यदि |a̅| = 2, |b̅| = 3 और θ = 60°, तो a̅ · b̅ =
🔵 (A) 3
🟢 (B) 2
🟠 (C) 6
🔴 (D) 4
उत्तर: (A) 3
Q32. यदि a̅ = 2i + j + k, b̅ = i − j + 2k, तो |a̅ × b̅| =
🔵 (A) 3√3
🟢 (B) √27
🟠 (C) 6
🔴 (D) 9
उत्तर: (A) 3√3
Q33. यदि a̅ × b̅ = 0̅, तो a̅ और b̅
🔵 (A) लम्बवत
🟢 (B) समानांतर
🟠 (C) समान परिमाण
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) समानांतर
Q34. यदि a̅ = i + 2j + 3k, b̅ = 2i + 4j + 6k, तो a̅ और b̅
🔵 (A) समानांतर
🟢 (B) लम्बवत
🟠 (C) न समानांतर न लम्बवत
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) समानांतर
Q35. |a̅ + b̅|² =
🔵 (A) |a̅|² + |b̅|²
🟢 (B) |a̅|² + |b̅|² + 2a̅·b̅
🟠 (C) |a̅|² + |b̅|² − 2a̅·b̅
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) |a̅|² + |b̅|² + 2a̅·b̅
Q36. यदि a̅, b̅ इकाई सदिश हैं और a̅ · b̅ = 1/2, तो a̅ और b̅ के बीच कोण =
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
उत्तर: (C) 60°
Q37. [a̅, b̅, c̅] = 0 का अर्थ है
🔵 (A) तीनों सहरेखीय
🟢 (B) तीनों सहतलीय
🟠 (C) तीनों परस्पर लम्बवत
🔴 (D) तीनों समान परिमाण
उत्तर: (B) तीनों सहतलीय
Q38. यदि a̅ × b̅ = c̅ और b̅ × c̅ = a̅, तो
🔵 (A) a̅ ⟂ b̅ ⟂ c̅
🟢 (B) a̅, b̅, c̅ इकाई सदिश हैं
🟠 (C) a̅, b̅, c̅ परस्पर लम्बवत हैं
🔴 (D) उपर्युक्त सभी
उत्तर: (C) a̅, b̅, c̅ परस्पर लम्बवत हैं
🔵 Q39 ( JEE Main Level)
यदि |a̅| = 3, |b̅| = 4 और a̅ · b̅ = 6 हो, तो a̅ और b̅ के बीच कोण θ ज्ञात करें।

🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°

🟢 उत्तर: (C) 60°
Q40. यदि a̅ = 2i + 3j, b̅ = 3i − 2j, तो a̅ और b̅ के बीच कोण θ है
🔵 (A) 0°
🟢 (B) 30°
🟠 (C) 45°
🔴 (D) 90°
उत्तर: (D) 90°

🔷 JEE Advanced Level (Q41–Q50)
Q41. यदि a̅, b̅ दो असमान गैर-शून्य सदिश हैं, जिनके लिए |a̅ + b̅| = |a̅ − b̅|, तो
🔵 (A) a̅ ⟂ b̅
🟢 (B) a̅ ∥ b̅
🟠 (C) |a̅| = |b̅|
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A) a̅ ⟂ b̅
Q42. यदि a̅ = i + j, b̅ = j + k, c̅ = k + i, तो [a̅, b̅, c̅] =
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (B) 1
Q43. यदि [a̅, b̅, c̅] = k हो, तो [b̅, c̅, a̅] =
🔵 (A) k
🟢 (B) −k
🟠 (C) 2k
🔴 (D) 0
उत्तर: (A) k
Q44. यदि [a̅, b̅, c̅] = 0, तो a̅, b̅, c̅
🔵 (A) सहरेखीय
🟢 (B) सहतलीय
🟠 (C) परस्पर लम्बवत
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) सहतलीय
Q45. यदि a̅ = i + 2j + 2k, b̅ = 2i + j + 2k, c̅ = 2i + 2j + k, तो [a̅, b̅, c̅] =
🔵 (A) 0
🟢 (B) 4
🟠 (C) 6
🔴 (D) 8
उत्तर: (B) 4
Q46. यदि a̅, b̅, c̅ इकाई सदिश हैं और a̅ · b̅ = b̅ · c̅ = c̅ · a̅ = 1/2, तो [a̅, b̅, c̅] =
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) √3/2
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1/√2
उत्तर: (B) √3/2
Q47. यदि a̅ = 2i + j, b̅ = i + 2j, तो |a̅ × b̅| =
🔵 (A) 3
🟢 (B) 2
🟠 (C) 1
🔴 (D) 4
उत्तर: (A) 3
Q48. यदि a̅, b̅, c̅ परस्पर लम्बवत इकाई सदिश हैं, तो (a̅ × b̅) · c̅ =
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 1
Q49. यदि a̅ = i + j + k, b̅ = 2i + 3j + 4k, तो cosθ =
🔵 (A) 1/√2
🟢 (B) 1/√3
🟠 (C) 11/(√3√29)
🔴 (D) 11/(√14√29)
उत्तर: (D) 11/(√14√29)
Q50. यदि a̅ = i + j, b̅ = j + k, तो (a̅ × b̅) × a̅ =
🔵 (A) b̅
🟢 (B) a̅
🟠 (C) a̅ × b̅
🔴 (D) 0̅
उत्तर: (A) b̅

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