Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 9. सरल रेखाएँ
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🧠 परिचय
समतल पर प्रत्येक बिन्दु का स्थान उसके निर्देशांक (x, y) द्वारा प्रकट किया जाता है। ऐसी रेखा जो इस समतल पर स्थित है, उसका प्रत्येक बिन्दु एक बीजीय सम्बन्ध को संतुष्ट करता है, वही उस रेखा का समीकरण कहलाता है।
इस पाठ में हम रेखा के विभिन्न रूपों, झुकाव (ढाल), अक्षों के समानान्तर रेखाओं, दो रेखाओं के बीच कोण, किसी बिन्दु से रेखा की दूरी तथा रेखाओं के सम्बन्धों का अध्ययन करेंगे।
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📘 1️⃣ निर्देशांक समतल
🔵 बिन्दु P(x, y) का स्थान समतल पर क्ष-अक्ष तथा य-अक्ष से दूरी द्वारा निर्धारित होता है।
🟢 यदि दो बिन्दु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) हों, तो उनके बीच की दूरी:
➡️ PQ = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
🔴 तीन बिन्दु एक ही रेखा पर हों तो उन्हें सहरेखी कहा जाता है।
💡 अवधारणा: रेखा का समीकरण उस रेखा के प्रत्येक बिन्दु का सम्बन्ध है जो उसे संतुष्ट करता है।
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📘 2️⃣ रेखा का झुकाव (ढाल)
यदि कोई रेखा क्ष-अक्ष के साथ θ कोण बनाती है, तो उसका ढाल m = tanθ होता है।
🧮 यदि रेखा दो बिन्दुओं (x₁, y₁) तथा (x₂, y₂) से गुजरती है,
➡️ m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁), बशर्ते x₂ ≠ x₁।
✏️ टिप्पणी:
यदि x₂ = x₁ ⇒ झुकाव अपरिभाषित (य-अक्ष के समानान्तर)।
यदि y₂ = y₁ ⇒ झुकाव 0 (क्ष-अक्ष के समानान्तर)।
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📘 3️⃣ रेखा के समीकरण के रूप
🟢 (क) झुकाव–स्थिरांश रूप:
y = m x + c
यहाँ m झुकाव है और c वह बिन्दु है जहाँ रेखा य-अक्ष को काटती है (0, c)।
🔵 (ख) बिन्दु–झुकाव रूप:
यदि रेखा बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरती है तथा झुकाव m है, तो
➡️ y – y₁ = m(x – x₁)
🔴 (ग) दो-बिन्दु रूप:
यदि रेखा बिन्दु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरती है, तो
➡️ (y – y₁)/(y₂ – y₁) = (x – x₁)/(x₂ – x₁)
🟡 (घ) अक्ष–छेदन रूप:
यदि रेखा x-अक्ष को a पर और y-अक्ष को b पर काटती है,
➡️ x/a + y/b = 1
🔵 (ङ) सामान्य रूप:
Ax + By + C = 0
झुकाव: m = -A/B (B ≠ 0)।
💡 अवधारणा: प्रत्येक रूप परिस्थिति के अनुसार उपयोगी होता है।
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📘 4️⃣ अक्षों के समानान्तर रेखाएँ
🔵 क्ष-अक्ष के समानान्तर रेखा: y = k
🟢 य-अक्ष के समानान्तर रेखा: x = h
🔴 यहाँ h और k स्थिरांक हैं।
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📘 5️⃣ दो रेखाओं का प्रतिच्छेद
यदि दो रेखाएँ हों —
L₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0
L₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0
तो उनका प्रतिच्छेद बिन्दु (x, y) वह है जो दोनों को संतुष्ट करता है।
🟢 यदि A₁/B₁ = A₂/B₂ और C₁/B₁ ≠ C₂/B₂ ⇒ रेखाएँ समानान्तर।
🔴 यदि A₁:B₁:C₁ = A₂:B₂:C₂ ⇒ रेखाएँ एक ही हैं।
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📘 6️⃣ दो रेखाओं के बीच कोण
यदि झुकाव क्रमशः m₁ और m₂ हों, तो
➡️ tanθ = |(m₂ – m₁)/(1 + m₁m₂)|
🟢 यदि m₁m₂ = -1 ⇒ रेखाएँ लम्ब (समकोण)।
🔴 यदि m₁ = m₂ ⇒ रेखाएँ समानान्तर।
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📘 7️⃣ किसी बिन्दु से रेखा की दूरी
यदि रेखा Ax + By + C = 0 तथा बिन्दु (x₁, y₁) हो, तो
➡️ d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²)
🟢 यदि d = 0 ⇒ बिन्दु रेखा पर स्थित है।
🔴 दूरी सदैव अशून्य या शून्य होती है।
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📘 8️⃣ रेखाओं के परस्पर सम्बन्ध
🔵 समानान्तर: m₁ = m₂
🟢 लम्बवत: m₁ × m₂ = -1
🔴 सामान्य रूप में:
A₁/B₁ = A₂/B₂ ⇒ समानान्तर
A₁A₂ + B₁B₂ = 0 ⇒ लम्बवत
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📘 9️⃣ सहरेखीयता की शर्त
तीन बिन्दु P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), R(x₃, y₃) सहरेखी होंगे यदि
➡️ (1/2)|x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)| = 0
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📘 🔟 लम्बवत समद्विभाजक
यदि रेखाखण्ड AB के बिन्दु A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) हैं, तो
मध्यबिन्दु M(xₘ, yₘ):
xₘ = (x₁ + x₂)/2, yₘ = (y₁ + y₂)/2
रेखाखण्ड का झुकाव m₁ = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
लम्बवत समद्विभाजक का झुकाव m₂ = -1/m₁
➡️ समीकरण: y – yₘ = m₂(x – xₘ)
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📘 11️⃣ कोण द्विभाजक
रेखाएँ A₁x + B₁y + C₁ = 0 और A₂x + B₂y + C₂ = 0 हों,
तो कोण द्विभाजक का समीकरण:
➡️ (A₁x + B₁y + C₁)/√(A₁² + B₁²) = ± (A₂x + B₂y + C₂)/√(A₂² + B₂²)
“+” → आन्तरिक द्विभाजक, “–” → बाह्य द्विभाजक।
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📘 12️⃣ उदाहरण (चरणबद्ध)
🧮 उदाहरण 1:
बिन्दु (2, -1) से गुजरती और झुकाव 3 वाली रेखा का समीकरण।
➡️ y – y₁ = m(x – x₁)
➡️ y – (-1) = 3(x – 2)
➡️ y + 1 = 3x – 6
➡️ y = 3x – 7
✔️ उत्तर: y = 3x – 7
🧮 उदाहरण 2:
रेखा 4x – 3y + 6 = 0 तथा बिन्दु (4, 5) के बीच दूरी।
➡️ d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²)
➡️ d = |4(4) + (-3)(5) + 6| / √(4² + (-3)²)
➡️ d = |16 – 15 + 6| / √25
➡️ d = 7/5
✔️ दूरी = 7/5 इकाई
🧮 उदाहरण 3:
रेखाएँ y = 2x + 1 तथा y = -½x + 3 परस्पर कैसी हैं?
➡️ m₁ = 2, m₂ = -½
➡️ m₁ × m₂ = -1
✔️ रेखाएँ लम्ब हैं।
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📘 13️⃣ मुख्य सूत्र संग्रह
🔹 m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
🔹 y – y₁ = m(x – x₁)
🔹 y = m x + c
🔹 x/a + y/b = 1
🔹 Ax + By + C = 0
🔹 tanθ = |(m₂ – m₁)/(1 + m₁m₂)|
🔹 d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²)
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📘 🧾 सारांश (लगभग 300 शब्द)
इस पाठ में सरल रेखा के विभिन्न रूपों का अध्ययन किया गया।
रेखा का झुकाव (m = tanθ) उसकी दिशा को प्रदर्शित करता है।
समीकरण के रूप — y = m x + c, y – y₁ = m(x – x₁), x/a + y/b = 1, Ax + By + C = 0 — प्रत्येक का प्रयोग परिस्थिति के अनुसार किया जाता है।
दो रेखाओं के बीच कोण tanθ = |(m₂ – m₁)/(1 + m₁m₂)| से ज्ञात किया जा सकता है।
किसी बिन्दु से रेखा की दूरी d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²) से निकलती है।
सहरेखीयता की जाँच क्षेत्रफल शून्य या झुकाव समान होने पर की जाती है।
लम्बवत समद्विभाजक का समीकरण y – yₘ = (-1/m)(x – xₘ) होता है।
यह अध्याय रेखा के समीकरण, प्रतिच्छेद, दूरी, कोण आदि के अध्ययन का आधार है।
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📝 त्वरित पुनरावर्तन (Quick Recap)
✔️ झुकाव: m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
✔️ सामान्य रूप: Ax + By + C = 0
✔️ अक्ष–छेदन: x/a + y/b = 1
✔️ दूरी: d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²)
✔️ कोण: tanθ = |(m₂ – m₁)/(1 + m₁m₂)|
✔️ सहरेखीयता: क्षेत्रफल = 0
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
📘प्रश्नावली 9.1
🔵 प्रश्न 1:
कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शिखर
A(−4, 5), B(0, 7), C(5, −5) और D(−4, −2) हैं।
इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
🟢 हल (ढाल जाँच):
✏️ ढाल AB = (7−5)/(0−(−4)) = 2/4 = 1/2
✏️ ढाल BC = (−5−7)/(5−0) = −12/5
✏️ ढाल CD = (−2−(−5))/(−4−5) = 3/(−9) = −1/3
✏️ ढाल DA = (5−(−2))/(−4−(−4)) = 7/0 (अपरिभाषित, अर्थात् लंबवत)
💡 कोई भी विपरीत भुजाएँ समांतर नहीं ⇒ यह साधारण चतुर्भुज है।
🟡 क्षेत्रफल (शू-लेस विधि):
शिखर क्रम = A(−4, 5), B(0, 7), C(5, −5), D(−4, −2)
क्षेत्रफल = ½ | Σ xᵢ yᵢ₊₁ − Σ yᵢ xᵢ₊₁ |
Σ xᵢ yᵢ₊₁ = (−4)(7)+0(−5)+5(−2)+(−4)(5) = −58
Σ yᵢ xᵢ₊₁ = 5(0)+7(5)+(−5)(−4)+(−2)(−4) = 63
➡️ क्षेत्रफल = ½ | −58 − 63 | = ½ × 121 = 60.5 वर्ग इकाई
✔️ उत्तर = चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 121⁄2 वर्ग इकाई।
🔵 प्रश्न 2:
2a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का आधार y-अक्ष के अनुसार है और आधार का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है। त्रिभुज के शिखर ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
🌿 आधार की लंबाई = 2a ⇒ आधार के छोर बिंदु = (0, a) और (0, −a)
🌿 ऊँचाई = √3 a (क्योंकि समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = √3 × भुजा⁄2)
🌿 तीसरा शिखर मध्य से x-अक्ष की दिशा में = (±√3 a, 0)
✔️ उत्तर = (0, a), (0, −a), (√3 a, 0) या (0, a), (0, −a), (−√3 a, 0)
🔵 प्रश्न 3:
P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच दूरी ज्ञात कीजिए, जब —
(i) PQ y-अक्ष के समांतर हो।
(ii) PQ x-अक्ष के समांतर हो।
🟢 हल:
(i) y-अक्ष के समांतर ⇒ x₁ = x₂
➡️ दूरी = | y₂ − y₁ |
(ii) x-अक्ष के समांतर ⇒ y₁ = y₂
➡️ दूरी = | x₂ − x₁ |
✔️ उत्तर = (i) | y₂−y₁ | (ii) | x₂−x₁ |
🔵 प्रश्न 4:
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (7, 6) और (3, 4) से समदूर है।
🟢 हल:
✏️ मान लें बिंदु (x, 0) है।
तब √[(x−7)² + (0−6)²] = √[(x−3)² + (0−4)²]
➡️ दोनों पक्षों का वर्ग:
(x−7)² + 36 = (x−3)² + 16
x²−14x+85 = x²−6x+25
−8x + 60 = 0 ⇒ x = 15⁄2
✔️ उत्तर = बिंदु (15⁄2, 0)
🔵 प्रश्न 5
रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु तथा P(0, −4) और B(8, 0) बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु से होकर जाती है।
🟢 हल:
✏️ P(0, −4) और B(8, 0) का मध्य बिंदु
➡️ M = ( (0+8)/2 , (−4+0)/2 ) = (4, −2)
✏️ मूल बिंदु (0, 0) और M(4, −2) को मिलाने वाली रेखा की ढाल —
➡️ m = (−2−0)/(4−0) = −½
✔️ उत्तर: रेखा की ढाल = −½
🔵 प्रश्न 6
पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किए बिना दिखाइए कि बिंदु (4, 4), (3, 5) और (−1, −1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
🟢 हल:
💡 ढालें ज्ञात कीजिए —
➡️ m₁ = (5−4)/(3−4) = 1/(−1) = −1
➡️ m₂ = (−1−5)/(−1−3) = (−6)/(−4) = 3/2
➡️ m₃ = (4−(−1))/(4−(−1)) = 5/5 = 1
✏️ यदि दो भुजाओं की ढालों का गुणनफल −1 हो ⇒ वे परस्पर लंबवत हैं।
➡️ यहाँ m₁ × m₃ = −1
✔️ उत्तर: ये तीनों बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
🔵 प्रश्न 7
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष की धन दिशा से 30° का कोण बनाती है।
🟢 हल:
💡 रेखा y-अक्ष से 30° का कोण बनाती है ⇒ x-अक्ष से कोण = 90°−30° = 60°
➡️ ढाल (m) = tan 60° = √3
✔️ उत्तर: रेखा का समीकरण = y = √3x + c
(जहाँ c नियतांक है)
🔵 प्रश्न 8
दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखाइए कि बिंदु (−2, −1), (4, 0), (3, 3) और (−3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
🟢 हल:
💡 ढालें ज्ञात करें —
➡️ AB = (0−(−1))/(4−(−2)) = 1/6
➡️ CD = (2−3)/(−3−3) = (−1)/(−6) = 1/6
⇒ AB ∥ CD
➡️ BC = (3−0)/(3−4) = 3/(−1) = −3
➡️ AD = (2−(−1))/(−3−(−2)) = 3/(−1) = −3
⇒ BC ∥ AD
✔️ उत्तर: विपरीत भुजाओं की ढाल समान ⇒ यह एक समांतर चतुर्भुज है।
🔵 प्रश्न 9
x-अक्ष और (3, −1), (4, −2) को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
➡️ ढाल m = (−2−(−1))/(4−3) = (−1)/1 = −1
➡️ x-अक्ष की ढाल = 0
अब,
tan θ = | (m₁ − m₂) / (1 + m₁m₂) |
➡️ = | (−1−0) / (1+(−1)(0)) | = 1
⇒ θ = 45°
✔️ उत्तर: कोण = 45°
🔵 प्रश्न 10
एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दूना है। यदि दोनों के बीच का कोण स्पर्शत (tangent) = 1/3 है, तो दोनों रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
➡️ पहली रेखा की ढाल = m
➡️ दूसरी रेखा की ढाल = 2m
अब,
tan θ = | (2m − m) / (1 + 2m²) | = | m / (1 + 2m²) | = 1/3
✏️ दोनों पक्षों को सरल करें —
3m = 1 + 2m²
⇒ 2m² − 3m + 1 = 0
⇒ (2m − 1)(m − 1) = 0
➡️ m = ½ या 1
✔️ उत्तर:
पहली रेखा की ढाल = ½ या 1
दूसरी रेखा की ढाल = 1 या 2
🔵 प्रश्न 11
एक रेखा (x₁, y₁) और (h, k) से होकर जाती है। यदि उसकी ढाल m है, तो यह सिद्ध कीजिए कि
➡️ k − y₁ = m(h − x₁)
🟢 हल:
ढाल सूत्र —
m = (k − y₁)/(h − x₁)
दोनों पक्षों को (h − x₁) से गुणा करें —
➡️ m(h − x₁) = k − y₁
✔️ उत्तर: सिद्ध कि k − y₁ = m(h − x₁)
.📘प्रश्नावली 9.2
🔷 प्रश्न 1.
x-अक्ष तथा y-अक्ष के समीकरण लिखिए।
✏️ उत्तर:
x-अक्ष पर सभी बिंदुओं के y निर्देशांक 0 होते हैं।
➡️ इसलिए x-अक्ष का समीकरण है —
y = 0
इसी प्रकार y-अक्ष पर सभी बिंदुओं के x निर्देशांक 0 होते हैं।
➡️ इसलिए y-अक्ष का समीकरण है —
x = 0
🔷 प्रश्न 2.
ढाल ½ और बिंदु (−4, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
रेखा का सामान्य समीकरण होता है:
y − y₁ = m(x − x₁)
यहाँ, m = ½ और (x₁, y₁) = (−4, 3)
➡️ y − 3 = ½(x + 4)
➡️ 2(y − 3) = x + 4
➡️ 2y − 6 = x + 4
➡️ x − 2y + 10 = 0
🔷 प्रश्न 3.
बिंदु (0, 0) से जाने वाली तथा ढाल m वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
मूल बिंदु (0, 0) से जाने वाली रेखा का समीकरण:
y = mx
🔷 प्रश्न 4.
बिंदु (2, 2√3) से जाने वाली तथा x-अक्ष से 75° के कोण पर झुकी हुई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
रेखा की ढाल m = tan(75°)
➡️ m = 2 + √3
अब बिंदु (2, 2√3) से गुजरने वाली रेखा:
y − 2√3 = (2 + √3)(x − 2)
➡️ y = (2 + √3)x − (4 + 2√3)
🔷 प्रश्न 5.
मूल बिंदु की बाईं ओर और x-अक्ष की 3 इकाई दूरी पर स्थित रेखा ढाल −2 वाली है।
✏️ उत्तर:
रेखा का समीकरण:
y = m x + c
यहाँ, m = −2 और रेखा बाईं ओर है, इसलिए बिंदु (−3, 0) ले सकते हैं।
➡️ 0 = −2(−3) + c
➡️ 0 = 6 + c
➡️ c = −6
अतः समीकरण होगा —
y = −2x − 6
🔷 प्रश्न 6.
मूल बिंदु के ऊपर y-अक्ष की 2 इकाई दूरी पर स्थित तथा x-अक्ष की धन दिशा के साथ 30° का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
ढाल m = tan(30°) = 1/√3
रेखा बिंदु (0, 2) से गुजरती है।
➡️ y − 2 = (1/√3)x
➡️ √3y − 2√3 = x
🔷 प्रश्न 7.
बिंदुओं (−1, 1) और (2, −4) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
ढाल m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
➡️ m = (−4 − 1)/(2 + 1) = −5/3
अब बिंदु (−1, 1) से गुजरने वाली रेखा:
y − 1 = (−5/3)(x + 1)
➡️ 3(y − 1) = −5(x + 1)
➡️ 3y − 3 = −5x − 5
➡️ 5x + 3y + 2 = 0
🔷 प्रश्न 8.
त्रिभुज PQR के शीर्ष P(2, 1), Q(−2, 3) तथा R(4, 5) हैं। शिखर R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
Q और P को जोड़ने वाली रेखा का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए:
M = ((2 + (−2))/2, (1 + 3)/2) = (0, 2)
अब R(4, 5) और M(0, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण:
(y − 5) = (2 − 5)/(0 − 4)(x − 4)
➡️ y − 5 = (−3/−4)(x − 4)
➡️ y − 5 = (3/4)(x − 4)
➡️ 4y − 20 = 3x − 12
➡️ 3x − 4y + 8 = 0
🔵 प्रश्न 9
(−3, 5) से होकर जाने वाली और बिंदु (2, 5) व (−3, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
➡️ दी गई रेखा की ढाल:
m₁ = (6−5)/(−3−2) = −1/5
➡️ लंब रेखा की ढाल:
m = −1/m₁ = 5
➡️ बिंदु (−3,5) से जाने वाली रेखा:
y − 5 = 5(x + 3)
⇒ y = 5x + 20
✔️ उत्तर: 5x − y + 20 = 0
🔵 प्रश्न 10
रेखा जो (1,0) तथा (2,3) को मिलाती है उस पर लंब है और उसे 1 : n के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
➡️ विभाजन बिंदु P के निर्देशांक:
P( (2 + n)/(n + 1), 3/(n + 1) )
➡️ दी गई रेखा की ढाल = 3 ⇒ लंब की ढाल = −1/3
➡️ समीकरण:
y − (3/(n + 1)) = −(1/3)(x − (n + 2)/(n + 1))
✏️ सरलीकरण:
(n + 1)(x + 3y) = n + 11
✔️ उत्तर: (n + 1)(x + 3y) = n + 11
🔵 प्रश्न 11
ऐसी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों पर समान अवरोध काटती हो और बिंदु (2, 3) से जाती हो।
🟢 हल:
➡️ अवरोध रूप: x/a + y/a = 1 ⇒ x + y = a
➡️ बिंदु (2,3) से: 2 + 3 = a ⇒ a = 5
✔️ उत्तर: x + y = 5
🔵 प्रश्न 12
बिंदु (2,2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों पर कटे अवरोधों का योग 9 है।
🟢 हल:
➡️ समीकरण: x/a + y/b = 1
➡️ दिया है a + b = 9
➡️ बिंदु (2,2) से: 2/a + 2/b = 1 ⇒ 1/a + 1/b = ½
➡️ b = 9 − a रखने पर:
1/a + 1/(9 − a) = ½
⇒ (9 − a + a)/(a(9 − a)) = ½
⇒ 18 = 9a − a²
⇒ a² − 9a + 18 = 0
➡️ a = 3 या 6 ⇒ b = 6 या 3
✔️ उत्तर: दो रेखाएँ —
(i) 2x + y = 6
(ii) x + 2y = 6
🔵 प्रश्न 13
बिंदु (0,2) से जाने वाली रेखा जो धन x-अक्ष से 120° का कोण बनाती है।
🟢 हल:
➡️ m = tan(120°) = −√3
➡️ y − 2 = −√3(x − 0)
⇒ y = −√3x + 2
✔️ उत्तर: y = −√3x + 2
🔵 प्रश्न 14
ऐसी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष को मूल से 2 इकाई ऊपर काटती है और धन x-अक्ष से 30° का कोण बनाती है।
🟢 हल:
➡️ बिंदु (0,2) से
➡️ m = tan(30°) = 1/√3
➡️ y − 2 = (1/√3)x
⇒ x − √3y + 2√3 = 0
✔️ उत्तर: x − √3y + 2√3 = 0
🔵 प्रश्न 15
मूल बिंदु से किसी रेखा पर डाला गया लंब रेखा को बिंदु (−2,9) पर मिलता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
➡️ बिंदु O(0,0) और A(−2,9) की ढाल:
m₁ = (9 − 0)/(−2 − 0) = −9/2
➡️ दी गई रेखा उस पर लंब है ⇒ m = 2/9
➡️ समीकरण: y − 9 = (2/9)(x + 2)
⇒ 9y − 81 = 2x + 4
⇒ 2x − 9y + 85 = 0
✔️ उत्तर: 2x − 9y + 85 = 0
🔵 प्रश्न 16
एक व्यापारी 1220 लीटर मिश्रण ₹16 प्रति लीटर के भाव से बेचता है और लाभ 20% है। यदि दूध ₹14 प्रति लीटर है, पानी नि:शुल्क है, तथा स्थिर खर्च ₹980 है — तो दूध और पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
➡️ कुल बिक्री = 16 × 1220 = ₹19520
➡️ लाभ 20% ⇒ लागत = 19520 / 1.2 = ₹16266.67
➡️ लागत = 14x + 980
14x + 980 = 16266.67
14x = 15286.67
x = 1091.9 लीटर (दूध)
➡️ पानी = 1220 − 1091.9 = 128.1 लीटर
🟡 प्रतिशत:
दूध = 89.5%
पानी = 10.5%
✔️ उत्तर: दूध ≈ 1091.9 लीटर, पानी ≈ 128.1 लीटर
प्रश्न 16.
किसी दूध भंडार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध ₹14 प्रति लीटर के भाव से और 1220 लीटर दूध ₹16 प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है। विक्रय मूल्य तथा माँग के संबंध को रैखिक मानते हुए यह ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितना दूध ₹17 प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है।
उत्तर:
✏️ मान लें —
➡️ प्रति लीटर मूल्य = x रुपये
➡️ प्रति सप्ताह बिक्री = y लीटर
तब दिए गए अनुसार —
जब x₁ = 14, y₁ = 980
और x₂ = 16, y₂ = 1220
✏️ चूँकि सम्बन्ध रैखिक है, अतः सीधी रेखा का समीकरण होगा :
y – y₁ = m(x – x₁)
जहाँ ढाल (m) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
🔵 m = (1220 – 980) / (16 – 14)
= 240 / 2
= 120
✏️ अतः समीकरण होगा :
y – 980 = 120(x – 14)
⇒ y = 120x – 1680 + 980
⇒ y = 120x – 700
अब x = 17 रखने पर,
➡️ y = 120(17) – 700 = 2040 – 700 = 1340 लीटर
💡 उत्तर: वह प्रति सप्ताह ₹17 प्रति लीटर के भाव से 1340 लीटर दूध बेच सकता है।
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प्रश्न 17.
अक्षों के बीच रेखाखंड का मध्यबिंदु P(a, b) है। दिखाइए कि रेखा का समीकरण
(x / a) + (y / b) = 2 है।
उत्तर:
✏️ मान लें रेखा x-अक्ष पर (a₁, 0) तथा y-अक्ष पर (0, b₁) को काटती है।
इन दोनों के मध्यबिंदु के निर्देशांक होंगे —
P(a, b) = (a₁/2, b₁/2)
🔵 अतः a₁ = 2a तथा b₁ = 2b
रेखा का समीकरण होगा :
(x / a₁) + (y / b₁) = 1
⇒ (x / 2a) + (y / 2b) = 1
⇒ (x / a) + (y / b) = 2
💡 अतः सिद्ध हुआ कि (x / a) + (y / b) = 2
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प्रश्न 18.
अक्षों के बीच रेखाखंड को बिंदु R(h, k), 1:2 के अनुपात में विभक्त करता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ रेखा x-अक्ष पर (a, 0) तथा y-अक्ष पर (0, b) को काटती है।
R(h, k) बिंदु इसको 1:2 के अनुपात में विभक्त करता है।
📘 आंतरिक विभाजन सूत्र —
(h, k) = ((m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂))
अर्थात्
h = (1×0 + 2×a)/(1 + 2) = 2a/3
k = (1×b + 2×0)/(1 + 2) = b/3
🔵 इससे a = (3h/2), b = 3k
रेखा का समीकरण होगा —
(x / a) + (y / b) = 1
⇒ (x / (3h/2)) + (y / 3k) = 1
⇒ (2x / 3h) + (y / 3k) = 1
⇒ 2kx + hy = 3hk
💡 अतः रेखा का समीकरण 2kx + hy = 3hk है।
─────────────────────────────
प्रश्न 19.
रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिंदु (3, 0), (-2, -2) और (8, 2) सहरेखीय हैं।
उत्तर:
✏️ पहले दो बिंदुओं (3, 0) और (-2, -2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें —
ढाल (m) = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
= (-2 – 0)/(-2 – 3)
= (-2)/(-5) = 2/5
अब रेखा का समीकरण —
y – 0 = (2/5)(x – 3)
⇒ y = (2/5)x – (6/5)
अब तीसरा बिंदु (8, 2) इस समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं :
LHS = 2
RHS = (2/5)(8) – (6/5) = (16/5 – 6/5) = (10/5) = 2
✔️ LHS = RHS
💡 अतः बिंदु (3, 0), (-2, -2) और (8, 2) सहरेखीय हैं।
📘प्रश्नावली 9.3
🔵 प्रश्न 1
निम्न समीकरणों को ढाल–अन्त-खण्ड रूप y = mx + c में रूपांतरित कीजिए और ढाल व अन्त-खण्ड ज्ञात कीजिए:
(i) x + 7y = 0
➡️ 7y = -x
➡️ y = -1/7 x
💡 ढाल (m) = -1/7, अन्त-खण्ड (c) = 0
(ii) 6x + 3y – 5 = 0
➡️ 3y = -6x + 5
➡️ y = -2x + 5/3
💡 m = -2, c = 5/3
(iii) y = 0
💡 m = 0, c = 0 (यह रेखा x-अक्ष है)
🟢 प्रश्न 2
निम्न समीकरणों को अन्त-खण्ड रूप x/a + y/b = 1 में लिखिए और अक्षों पर इनके कटान ज्ञात कीजिए:
(i) 3x + 2y – 12 = 0
➡️ y = 0 ⇒ x = 4
➡️ x = 0 ⇒ y = 6
💡 अन्त-खण्ड रूप: x/4 + y/6 = 1
(ii) 4x – 3y = 6
➡️ y = 0 ⇒ x = 1.5
➡️ x = 0 ⇒ y = -2
💡 अन्त-खण्ड रूप: x/1.5 + y/(-2) = 1
(iii) 3y + 2 = 0
➡️ y = -2/3
💡 यह रेखा x-अक्ष के समांतर है
💡 केवल y-अन्त-खण्ड = -2/3
🔴 प्रश्न 3
बिंदु (-1, 1) से रेखा 12(x + 6) = 5(y – 2) की दूरी ज्ञात कीजिए।
➡️ 12x + 72 = 5y – 10
➡️ 12x – 5y + 82 = 0
📏 दूरी सूत्र: d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
➡️ d = |12(-1) + (-5)(1) + 82| / √(12² + (-5)²)
➡️ d = |65| / 13 = 5
💡 दूरी = 5 इकाई
🟣 प्रश्न 4
x-अक्ष पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए जिनकी दूरी रेखा x/3 + y/4 = 1 से 4 इकाई है।
➡️ रेखा: 4x + 3y – 12 = 0
📍 बिंदु: (a, 0)
📏 दूरी सूत्र: d = |4a – 12| / √(4² + 3²)
➡️ |4a – 12| / 5 = 4
➡️ |4a – 12| = 20
➡️ a = 8 या a = -2
💡 बिंदु (8, 0) और (-2, 0)
🟡 प्रश्न 5
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) 15x + 8y – 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0
📏 d = |(-34) – (31)| / √(15² + 8²)
➡️ d = | -65 | / 17 = 65/17
💡 दूरी = 65/17 इकाई
(ii) l(x + y) + p = 0 और 3l(x + y) – r = 0
➡️ x + y = -p/l और x + y = r/3l
📏 d = |r + 3p| / (3|l|√2)
💡 दूरी = |r + 3p| / (3|l|√2)
🔵 प्रश्न 6
रेखा 3x – 4y + 2 = 0 के समांतर तथा बिंदु (2, -3) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
➡️ समांतर ⇒ 3x – 4y + k = 0
➡️ 3(2) – 4(-3) + k = 0
➡️ 6 + 12 + k = 0
➡️ k = -18
💡 समीकरण: 3x – 4y – 18 = 0
🟢 प्रश्न 7
रेखा 7x – 7y + 5 = 0 पर लंब तथा x-अन्त-खण्ड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
➡️ दी गई रेखा की ढाल m = 1
➡️ लंब रेखा की ढाल m’ = -1
➡️ बिंदु (3, 0) से गुजरती है
➡️ y – 0 = -1(x – 3)
➡️ y = -x + 3
💡 समीकरण: x + y – 3 = 0
🔵 प्रश्न 8:
रेखाओं √3x + y = 1 और x + √3y = 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
✏️ हल:
पहली रेखा √3x + y = 1 को y = -√3x + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः इसका ढाल (m₁) = -√3
दूसरी रेखा x + √3y = 1 ⇒ y = (-1/√3)x + 1/√3
अतः इसका ढाल (m₂) = -1/√3
अब, दो रेखाओं के बीच कोण θ के लिए,
tanθ = |(m₁ – m₂) / (1 + m₁m₂)|
➡️ tanθ = |(-√3 – (-1/√3)) / (1 + (-√3)(-1/√3))|
= |(-√3 + 1/√3) / (1 + 1)|
= |(-2/√3) / 2| = 1/√3
⇒ θ = 30°
✔️ उत्तर: रेखाओं के बीच का कोण 30° है।
🟢 प्रश्न 9:
बिंदुओं (h, 3) और (4, 1) से जाने वाली रेखा, रेखा 7x – 9y – 19 = 0 को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। h का मान ज्ञात कीजिए।
✏️ हल:
दी गई रेखा 7x – 9y – 19 = 0 की ढाल m₁ = 7/9
यदि कोई दूसरी रेखा इससे समकोण पर हो, तो उसका ढाल m₂ = -1/m₁ = -9/7 होगा।
अब, बिंदुओं (h, 3) और (4, 1) से जाने वाली रेखा का ढाल = (1 – 3)/(4 – h) = -2/(4 – h)
इसका ढाल m₂ = -9/7 के बराबर होगा।
➡️ अतः
-2/(4 – h) = -9/7
⇒ 2/(4 – h) = 9/7
⇒ 8 – 2h = 36 – 9h
⇒ 7h = 28
⇒ h = 4
✔️ उत्तर: h = 4
🟡 प्रश्न 10:
सिद्ध कीजिए कि बिंदु (x₁, y₁) से जाने वाली और रेखा Ax + By + C = 0 के समांतर रेखा का समीकरण A(x – x₁) + B(y – y₁) = 0 है।
✏️ हल:
दी गई रेखा का समीकरण: Ax + By + C = 0
इसकी ढाल = -A/B
अब, समानांतर रेखा की ढाल भी यही होगी, अतः उसका सामान्य रूप:
A x + B y + D = 0
क्योंकि यह बिंदु (x₁, y₁) से गुजरती है,
⇒ A x₁ + B y₁ + D = 0
⇒ D = -(A x₁ + B y₁)
इसे सामान्य रूप में रखने पर:
A x + B y – (A x₁ + B y₁) = 0
या
A(x – x₁) + B(y – y₁) = 0
✔️ अतः सिद्ध हुआ।
🔴 प्रश्न 11:
बिंदु (2, 3) से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक रेखा की ढाल 2 है, तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ हल:
पहली रेखा की ढाल m₁ = 2
मान लेते हैं दूसरी रेखा की ढाल = m₂
दोनों रेखाओं के बीच कोण θ = 60° दिया है।
अतः
tan60° = |(m₂ – m₁) / (1 + m₁m₂)|
√3 = |(m₂ – 2) / (1 + 2m₂)|
अब दो स्थितियाँ होंगी:
1️⃣ (m₂ – 2)/(1 + 2m₂) = √3
2️⃣ (m₂ – 2)/(1 + 2m₂) = -√3
➡️ पहले समीकरण से:
m₂ – 2 = √3(1 + 2m₂)
⇒ m₂ – 2 = √3 + 2√3 m₂
⇒ m₂ – 2√3 m₂ = √3 + 2
⇒ m₂(1 – 2√3) = √3 + 2
⇒ m₂ = (√3 + 2)/(1 – 2√3)
➡️ दूसरे समीकरण से:
m₂ – 2 = -√3(1 + 2m₂)
⇒ m₂ – 2 = -√3 – 2√3 m₂
⇒ m₂ + 2√3 m₂ = -√3 + 2
⇒ m₂(1 + 2√3) = 2 – √3
⇒ m₂ = (2 – √3)/(1 + 2√3)
अब, रेखाएँ बिंदु (2, 3) से गुजरती हैं।
समीकरण का रूप: y – 3 = m(x – 2)
✔️ अतः दो रेखाओं के समीकरण हैं —
y – 3 = [(√3 + 2)/(1 – 2√3)] (x – 2)
और
y – 3 = [(2 – √3)/(1 + 2√3)] (x – 2)
🔵 प्रश्न 12:
बिंदुओं (3, 4) और (-1, 2) को मिलाने वाली रेखाखंड के लंब समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ हल:
पहले रेखाखंड का मध्यबिंदु ज्ञात करें —
M = ((3 + (-1))/2 , (4 + 2)/2) = (1, 3)
अब रेखा (3, 4) और (-1, 2) की ढाल (m₁) = (4 – 2)/(3 – (-1)) = 2/4 = 1/2
इसकी लंबवत रेखा की ढाल (m₂) = -1/m₁ = -2
अब रेखा का समीकरण:
y – y₁ = m₂(x – x₁)
⇒ y – 3 = -2(x – 1)
⇒ y – 3 = -2x + 2
⇒ 2x + y – 5 = 0
✔️ उत्तर: लंब समद्विभाजक रेखा का समीकरण 2x + y – 5 = 0 है।
🟢 प्रश्न 13:
बिंदु (-1, 3) से रेखा 3x – 4y – 16 = 0 पर डाले गये लम्ब का पाद बिंदु ज्ञात कीजिए।
✏️ हल:
दी गई रेखा: 3x – 4y – 16 = 0
बिंदु P(-1, 3) है।
पाद बिंदु (x₁, y₁) का सूत्र —
x₁ = [b(bx₁ – ay₁) – a c] / (a² + b²)
y₁ = [a(-bx₁ + ay₁) – b c] / (a² + b²)
यहाँ a = 3, b = -4, c = -16
x₁ = [(-4)((-4)(-1) – (3)(3)) – 3(-16)] / (3² + (-4)²)
= [(-4)(-4 – 9) + 48] / 25
= [(-4)(-13) + 48] / 25
= [52 + 48] / 25 = 100/25 = 4
y₁ = [3(-(-4)(-1) + 3×3) – (-4)(-16)] / 25
= [3(-4 + 9) – 64] / 25
= [3(5) – 64] / 25 = (15 – 64)/25 = -49/25 = -1.96
✔️ उत्तर: पाद बिंदु (4, -49/25) है।
🟡 प्रश्न 14:
मूल बिंदु से रेखा y = mx + c पर डाला गया लंब रेखा से बिंदु (-1, 2) पर मिलता है। m और c के मान ज्ञात कीजिए।
✏️ हल:
रेखा का समीकरण: y = mx + c
इस पर मूल बिंदु (0, 0) से खींचे गए लंब का समीकरण होगा —
m y + x = 0 (क्योंकि लम्बवत रेखा की ढाल -1/m होती है)
यह लंब रेखा बिंदु (-1, 2) से गुजरती है।
⇒ m(2) + (-1) = 0
⇒ 2m – 1 = 0
⇒ m = 1/2
अब रेखा y = mx + c बिंदु (-1, 2) से गुजरती है।
⇒ 2 = (1/2)(-1) + c
⇒ 2 = -1/2 + c
⇒ c = 2 + 1/2 = 5/2
✔️ उत्तर: m = 1/2, c = 5/2
🔴 प्रश्न 15:
यदि p और q क्रमशः मूल बिंदु से रेखाओं x cosθ – y sinθ = k cos2θ और x secθ + y cosecθ = k पर लंबों की लम्बाइयाँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि p² + 4q² = k²।
✏️ हल:
पहली रेखा: x cosθ – y sinθ = k cos2θ
मूल बिंदु से इस रेखा पर लंब की लम्बाई:
p = |k cos2θ| / √(cos²θ + sin²θ) = |k cos2θ|
दूसरी रेखा: x secθ + y cosecθ = k
मूल से लंब की लम्बाई:
q = |k| / √(sec²θ + cosec²θ)
अब हमें सिद्ध करना है — p² + 4q² = k²
➡️ p² = k² cos²2θ
और
q² = k² / (sec²θ + cosec²θ)
अब
sec²θ + cosec²θ = (1/cos²θ) + (1/sin²θ) = (sin²θ + cos²θ)/(sin²θ cos²θ) = 1/(sin²θ cos²θ)
⇒ q² = k² sin²θ cos²θ
अब
p² + 4q² = k² cos²2θ + 4k² sin²θ cos²θ
= k²[cos²2θ + 4 sin²θ cos²θ]
लेकिन
cos2θ = cos²θ – sin²θ
⇒ cos²2θ = (cos²θ – sin²θ)² = cos⁴θ – 2 sin²θ cos²θ + sin⁴θ
अब
cos²2θ + 4 sin²θ cos²θ = cos⁴θ + sin⁴θ + 2 sin²θ cos²θ
= (sin²θ + cos²θ)² = 1
✔️ अतः सिद्ध हुआ कि p² + 4q² = k² ✅
🔵 प्रश्न 16:
शिखाएँ A(2, 3), B(4, -1) और C(1, 2) वाले त्रिभुज ABC के शिखर A से उसकी सम्मुख भुजा पर लंब डाला गया है। लंब की लम्बाई तथा उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।
✏️ हल (स्टेप-बाय-स्टेप):
भुजा BC की रेखा का समीकरण निकालें।
➤ B(4, -1), C(1, 2) ⇒ ढाल m(BC) = (2 – (-1)) / (1 – 4) = 3 / (-3) = -1
➤ बिंदु–ढाल रूप: y + 1 = -1(x – 4) ⇒ x + y – 3 = 0
✔️ अतः BC: x + y – 3 = 0
A से BC पर खींचे गए लंब की ढाल:
➤ m(BC) = -1 ⇒ लंबवत ढाल = +1
A(2, 3) से ढाल 1 वाली रेखा:
➤ y – 3 = 1(x – 2) ⇒ y = x + 1 (या x – y + 1 = 0)
✔️ यही A से BC पर डाला गया लंब का समीकरण है।
लंब का पाद और लम्बाई:
➤ BC और y = x + 1 का प्रतिच्छेद: x + (x + 1) – 3 = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 ⇒ x = 1, y = 2
➤ पाद बिंदु H(1, 2) (ध्यान दें: यही C है)।
लम्बाई AH:
➤ AH = √[(2 – 1)² + (3 – 2)²] = √(1 + 1) = √2
✔️ उत्तर:
🔹 लंब का समीकरण: y = x + 1 (अथवा x – y + 1 = 0)
🔹 लंब की लम्बाई: √2
🟢 прश्न 17:
यदि p मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लम्बाई हो, जो अक्षों पर अंत: खंड a और b काटती है, तो दिखाइए कि
1/p² = 1/a² + 1/b² ।
✏️ हल (स्टेप-बाय-स्टेप):
अंत:खंड रूप: x/a + y/b = 1
➤ ab से गुणा: bx + ay = ab ⇒ bx + ay – ab = 0
मूल (0, 0) से इस रेखा की दूरी p:
➤ दूरी सूत्र: p = |C| / √(A² + B²) (जहाँ Ax + By + C = 0)
➤ यहाँ A = b, B = a, C = -ab
➤ p = |−ab| / √(b² + a²) = ab / √(a² + b²)
अब p² = a²b² / (a² + b²) ⇒ 1/p² = (a² + b²)/(a²b²) = 1/a² + 1/b²
✔️ अतः सिद्ध हुआ: 1/p² = 1/a² + 1/b² ✅
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
प्रश्न 1. बिन्दु A(2, 3) एवं B(5, 9) से जाने वाली रेखा की ढाल m क्या है?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3/2
🟠 (C) 6/5
🔴 (D) 5/6
उत्तर: (A) 2
🧠 संकेत: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (9 − 3)/(5 − 2) = 6/3 = 2
प्रश्न 2. रेखा y = 3x + 1 की y-अक्ष पर काटने का बिन्दु कौन-सा है?
🔵 (A) (1, 0)
🟢 (B) (0, 1)
🟠 (C) (0, 3)
🔴 (D) (−1, 0)
उत्तर: (B) (0, 1)
💡 y = m x + c में y-अक्ष पर बिन्दु (0, c)
प्रश्न 3. यदि रेखाएँ L₁: y = 2x + 5 तथा L₂: y = 2x − 1 हों, तो वे कैसी हैं?
🔵 (A) लम्बवत
🟢 (B) समानान्तर
🟠 (C) अभिन्न (एक ही)
🔴 (D) प्रतिच्छेदित किन्तु असमानान्तर
उत्तर: (B) समानान्तर
✔️ समान ढाल m₁ = m₂ = 2
प्रश्न 4. रेखा x = 4 के बारे में सत्य कथन चुनिए।
🔵 (A) ढाल 0
🟢 (B) ढाल अपरिभाषित
🟠 (C) y-अक्ष के समानान्तर
🔴 (D) मूलबिन्दु से होकर जाती है
उत्तर: (B) ढाल अपरिभाषित
✏️ x = स्थिर ⇒ y-अक्ष के समानान्तर, ढाल अपरिभाषित
प्रश्न 5. बिन्दु P(−1, 2) से ढाल 3 वाली रेखा का समीकरण क्या होगा?
🔵 (A) y − 2 = 3(x + 1)
🟢 (B) y + 1 = 3(x − 2)
🟠 (C) y − 3 = 2(x + 1)
🔴 (D) y = 3x − 2
उत्तर: (A) y − 2 = 3(x + 1)
💡 बिन्दु–ढाल रूप: y − y₁ = m(x − x₁)
प्रश्न 6. रेखाएँ y = (−1/2)x + 4 तथा y = 2x − 3 के बीच कोण θ के लिए tanθ का मान क्या होगा?
🔵 (A) |(2 − (−1/2)) / (1 + 2(−1/2))|
🟢 (B) |(2 + (−1/2)) / (1 − 2(−1/2))|
🟠 (C) |((−1/2) − 2) / (1 + (−1/2)·2)|
🔴 (D) |(2 − (−1/2)) / (1 + (−1/2)·2)|
उत्तर: (D) |(2 − (−1/2)) / (1 + (−1/2)·2)|
🧠 सूत्र: tanθ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
प्रश्न 7. रेखा Ax + By + C = 0 की बिन्दु Q(x₁, y₁) से दूरी d क्या है?
🔵 (A) |Ax₁ + By₁ + C|/(A + B)
🟢 (B) |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)
🟠 (C) (Ax₁ + By₁ + C)/(A² + B²)
🔴 (D) |Ax₁ + By₁ − C|/√(A² + B²)
उत्तर: (B) |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)
प्रश्न 8. यदि तीन बिन्दुओं से बना त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 हो, तो वे बिन्दु क्या कहलाते हैं?
🔵 (A) समकोण पर स्थित
🟢 (B) समद्विबाहु
🟠 (C) सहरेखी
🔴 (D) समदूरी
उत्तर: (C) सहरेखी
✔️ क्षेत्रफल = 0 ⇒ एक ही रेखा पर
प्रश्न 9. रेखा y = 0 किस प्रकार की रेखा है?
🔵 (A) y-अक्ष के समानान्तर
🟢 (B) क्ष-अक्ष
🟠 (C) ढाल अपरिभाषित
🔴 (D) मूलबिन्दु से नहीं गुजरती
उत्तर: (B) क्ष-अक्ष
💡 y = 0 स्वयं क्ष-अक्ष है
प्रश्न 10. यदि L₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 तथा L₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 हों और A₁B₂ − A₂B₁ = 0 ≠ (C₁B₂ − C₂B₁), तो रेखाएँ कैसी हैं?
🔵 (A) समानान्तर
🟢 (B) लम्बवत
🟠 (C) अभिन्न
🔴 (D) सममित
उत्तर: (A) समानान्तर
🧠 निर्धारक शर्त से
प्रश्न 11. रेखा y = m x + c की x-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, c)
🟢 (B) (−c/m, 0)
🟠 (C) (c, 0)
🔴 (D) (0, −c/m)
उत्तर: (B) (−c/m, 0)
✏️ x-अक्ष पर y = 0 रखने से
प्रश्न 12. रेखा 2x − 3y + 6 = 0 का y-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, 2)
🟢 (B) (0, −2)
🟠 (C) (0, 3)
🔴 (D) (0, −3)
उत्तर: (A) (0, 2)
🧠 सुधारित उत्तर: (A) (0, 2)
प्रश्न 13. यदि किसी रेखा का ढाल m = 0 हो, तो वह कैसी रेखा है?
🔵 (A) y-अक्ष के समानान्तर
🟢 (B) क्ष-अक्ष के समानान्तर
🟠 (C) 45° पर झुकी
🔴 (D) मूलबिन्दु से अवश्य गुजरेगी
उत्तर: (B) क्ष-अक्ष के समानान्तर
प्रश्न 14. रेखा y − 5 = −3(x + 2) को सामान्य रूप में लिखने पर मिलता है:
🔵 (A) 3x + y − 1 = 0
🟢 (B) 3x + y + 1 = 0
🟠 (C) 3x + y + 11 = 0
🔴 (D) 3x + y − 11 = 0
उत्तर: (D) 3x + y − 11 = 0
🧮 y − 5 = −3x − 6 ⇒ 3x + y − 11 = 0
प्रश्न 15. दो रेखाएँ लम्ब हों, इसकी ढाल संबंधी शर्त क्या है?
🔵 (A) m₁ = m₂
🟢 (B) m₁m₂ = −1
🟠 (C) m₁ + m₂ = 0
🔴 (D) m₁ − m₂ = 1
उत्तर: (B) m₁m₂ = −1
प्रश्न 16. रेखाएँ 4x + y − 7 = 0 और 2x − y + 1 = 0 के बीच कोण समकोण होगा या नहीं?
🔵 (A) हाँ, क्योंकि m₁m₂ = −1
🟢 (B) नहीं, क्योंकि m₁m₂ ≠ −1
🟠 (C) हाँ, क्योंकि m₁ = m₂
🔴 (D) नहीं, क्योंकि m₁ + m₂ = 0
उत्तर: (B) नहीं, क्योंकि m₁m₂ ≠ −1
प्रश्न 17. रेखा 3x − 4y + 8 = 0 की ढाल क्या है?
🔵 (A) 3/4
🟢 (B) −3/4
🟠 (C) 4/3
🔴 (D) −4/3
उत्तर: (A) 3/4
💡 Ax + By + C = 0 में m = −A/B = −3/(−4) = 3/4
प्रश्न 18. रेखा x/2 + y/3 = 1 का x-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, 2)
🟢 (B) (0, 3)
🟠 (C) (2, 0)
🔴 (D) (3, 0)
उत्तर: (C) (2, 0)
✔️ x-अक्ष पर y = 0 ⇒ x/2 = 1 ⇒ x = 2
प्रश्न 19. कोण θ के साथ बनी रेखा की ढाल m का सम्बन्ध लिखिए।
उत्तर:
🔵 ढाल का सूत्र: m = tanθ
प्रश्न 20. बिन्दु P(2, −1) से गुजरती तथा रेखा 3x − 2y + 5 = 0 के समानान्तर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 दी गई रेखा 3x − 2y + 5 = 0 ⇒ ढाल m₁ = −A/B = −3/(−2) = 3/2
🟢 समानान्तर रेखा की ढाल m = 3/2
🟠 बिन्दु–ढाल रूप: y − y₁ = m(x − x₁)
➡️ y − (−1) = (3/2)(x − 2) ⇒ y + 1 = (3/2)x − 3 ⇒ 2y + 2 = 3x − 6 ⇒ 3x − 2y − 8 = 0
✔️ उत्तर: 3x − 2y − 8 = 0
प्रश्न 21. क्या बिन्दु A(1, 2), B(3, 6), C(5, 10) सहरेखी हैं?
उत्तर:
🔵 त्रिभुज क्षेत्रफल = ½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
➡️ = ½|1(6 − 10) + 3(10 − 2) + 5(2 − 6)|
➡️ = ½|1(−4) + 3(8) + 5(−4)| = ½|−4 + 24 − 20| = ½|0| = 0
✔️ हाँ, तीनों सहरेखी हैं।
प्रश्न 22. रेखा 4x + 3y − 12 = 0 के क्ष-अक्ष तथा य-अक्ष पर काटने के बिन्दु ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 क्ष-अक्ष पर (y = 0): 4x − 12 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ बिन्दु (3, 0)
🟢 य-अक्ष पर (x = 0): 3y − 12 = 0 ⇒ y = 4 ⇒ बिन्दु (0, 4)
✔️ काटने के बिन्दु: (3, 0) तथा (0, 4)
प्रश्न 23. रेखाएँ y = 2x + 1 तथा y = −x + 5 के बीच कोण θ के लिए tanθ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 m₁ = 2, m₂ = −1
🟢 tanθ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)| = |(−1 − 2)/(1 + 2·(−1))| = |(−3)/(1 − 2)| = |(−3)/(−1)| = 3
✔️ tanθ = 3
🟦🟩🟥🟨
प्रश्न 24. बिन्दु P(4, 5) से रेखा 4x − 3y + 6 = 0 की लम्ब दूरी d ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 सूत्र: d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²)
🟢 प्रत्यक्ष मान: A = 4, B = −3, C = 6, x₁ = 4, y₁ = 5
🟠 अंश: |4·4 + (−3)·5 + 6| = |16 − 15 + 6| = |7| = 7
🟣 हर: √(4² + (−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
✔️ दूरी: d = 7/5
✅ अंतिम उत्तर: d = 7/5
प्रश्न 25. समानान्तर रेखाओं 2x − 3y + 4 = 0 तथा 2x − 3y − 8 = 0 के बीच लम्ब दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 सामान्य रूप समान (A, B एक जैसे): दूरी = |C₂ − C₁| / √(A² + B²)
🟢 A = 2, B = −3, C₁ = 4, C₂ = −8
🟠 |C₂ − C₁| = |−8 − 4| = |−12| = 12
🟣 √(A² + B²) = √(4 + 9) = √13
✔️ दूरी = 12/√13
✅ अंतिम उत्तर: 12/√13
प्रश्न 26. बिन्दु A(1, −2) से होकर रेखा 3x + 4y − 7 = 0 पर लम्ब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 दी हुई रेखा: 3x + 4y − 7 = 0 ⇒ ढाल m₁ = −A/B = −3/4
🟢 लम्ब रेखा की ढाल m = −1/m₁ = 4/3
🟠 बिन्दु–ढाल रूप: y − y₁ = m(x − x₁)
➡️ y − (−2) = (4/3)(x − 1) ⇒ y + 2 = (4/3)x − 4/3
➡️ 3y + 6 = 4x − 4 ⇒ 4x − 3y − 10 = 0
✅ अंतिम उत्तर: 4x − 3y − 10 = 0
प्रश्न 27. दो रेखाओं y = x + 3 तथा y = x − 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) √2
🔴 (D) 2 / √2
उत्तर: (D) 2 / √2
✏️ समाधान:
पहली रेखा का रूप: y = x + 3 ⇒ x − y + 3 = 0
दूसरी रेखा का रूप: y = x − 1 ⇒ x − y − 1 = 0
अब, समान रूप A x + B y + C = 0 में
➡️ A = 1, B = −1, C₁ = 3, C₂ = −1
दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र:
💡 d = |C₂ − C₁| / √(A² + B²)
अब स्थानापन्न करें:
➡️ d = |(−1) − 3| / √(1² + (−1)²)
➡️ d = |−4| / √2
➡️ d = 4 / √2
➡️ d = 2√2
✔️ अतः दोनों रेखाओं के बीच की दूरी 2√2 है।
✅ अन्तिम उत्तर: d = 2√2
प्रश्न 28. वह रेखा ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2) से गुजरती है और क्ष-अक्ष तथा य-अक्ष पर समान काटने के बिन्दु बनाती है।
उत्तर:
🔵 मान लें रेखा के काटने के बिन्दु (a, 0) तथा (0, a) (दोनों समान)
🟢 अक्ष–छेदन रूप: x/a + y/a = 1 ⇒ (x + y)/a = 1 ⇒ a = x + y
🟠 बिन्दु (1, 2) रेखा पर स्थित ⇒ a = 1 + 2 = 3
🟣 अतः रेखा: x/3 + y/3 = 1 ⇒ x + y = 3
✅ अंतिम उत्तर: x + y = 3
प्रश्न 29. बिन्दु A(2, 3) तथा B(6, −1) को जोड़ने वाली रेखाखण्ड का लम्बवत समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 चरण 1 ➤ मध्यबिन्दु
xₘ = (2 + 6)/2 = 4, yₘ = (3 + (−1))/2 = 1 ⇒ M(4, 1)
🟢 चरण 2 ➤ AB की ढाल
m_AB = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−1 − 3)/(6 − 2) = (−4)/4 = −1
🟠 चरण 3 ➤ लम्बवत समद्विभाजक की ढाल
m_⊥ = −1/m_AB = −1/(−1) = 1
🟣 चरण 4 ➤ समीकरण (बिन्दु–ढाल रूप)
y − 1 = 1(x − 4) ⇒ y − 1 = x − 4 ⇒ x − y − 3 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: x − y − 3 = 0
प्रश्न 30. रेखाएँ L₁: 3x − 4y + 8 = 0 तथा L₂: 2x + y − 5 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए और उस बिन्दु से रेखा L₃: x − 2y + 1 = 0 तक की दूरी निकालिए।
उत्तर:
🔵 चरण 1 ➤ प्रतिच्छेद (युगपत हल)
3x − 4y + 8 = 0 … (i)
2x + y − 5 = 0 … (ii) ⇒ y = 5 − 2x
(i) में रखिए: 3x − 4(5 − 2x) + 8 = 0 ⇒ 3x − 20 + 8x + 8 = 0 ⇒ 11x − 12 = 0 ⇒ x = 12/11
अब y = 5 − 2(12/11) = (55 − 24)/11 = 31/11
अतः P(12/11, 31/11)
🟢 चरण 2 ➤ दूरी P से L₃ तक
d = |A x₁ + B y₁ + C| / √(A² + B²), जहाँ L₃: A = 1, B = −2, C = 1
अंश = |1·(12/11) + (−2)·(31/11) + 1|
= |(12 − 62)/11 + 1| = |(−50/11) + 1| = |(−50/11 + 11/11)| = |−39/11| = 39/11
हर = √(1² + (−2)²) = √5
d = (39/11)/√5 = 39/(11√5)
✔️ अंतिम उत्तर: प्रतिच्छेद P(12/11, 31/11), दूरी = 39/(11√5)
प्रश्न 31. त्रिभुज के शिखर A(−1, 2), B(3, 4), C(5, −2) हैं। सिद्ध कीजिए कि कोण A का कोण द्विभाजक रेखा का समीकरण 3x − y + 5 = 0 है।
उत्तर:
🔵 चरण 1 ➤ A से गुजरने वाली प्रस्तावित रेखा की जाँच
3(−1) − 2 + 5 = −3 − 2 + 5 = 0 ✅ अतः A इस रेखा पर स्थित।
🟢 चरण 2 ➤ कोण द्विभाजक की शर्त (सामान्यीकृत दूरी समान)
AB तथा AC की किसी बिन्दु (x, y) से सामान्यीकृत दूरी समान होनी चाहिए।
AB रेखा का समीकरण (दो-बिन्दु रूप से):
ढाल m_AB = (4 − 2)/(3 − (−1)) = 2/4 = 1/2 ⇒ AB: y − 2 = (1/2)(x + 1) ⇒ x − 2y + 5 = 0
AC रेखा: m_AC = (−2 − 2)/(5 − (−1)) = (−4)/6 = −2/3 ⇒ AC: y − 2 = (−2/3)(x + 1) ⇒ 2x + 3y − 4 = 0
🟠 चरण 3 ➤ कोण द्विभाजक का मानदण्ड
|x − 2y + 5|/√(1² + (−2)²) = |2x + 3y − 4|/√(2² + 3²)
⇒ |x − 2y + 5|/√5 = |2x + 3y − 4|/√13
🟣 चरण 4 ➤ जाँच करें कि 3x − y + 5 = 0 उपर्युक्त शर्त को संतुष्ट करता है
रेखा 3x − y + 5 = 0 पर कोई भी बिन्दु रखें: y = 3x + 5
बाएँ पक्ष: |x − 2(3x + 5) + 5|/√5 = |x − 6x − 10 + 5|/√5 = |−5x − 5|/√5 = 5|x + 1|/√5
दाएँ पक्ष: |2x + 3(3x + 5) − 4|/√13 = |2x + 9x + 15 − 4|/√13 = |11x + 11|/√13 = 11|x + 1|/√13
अब 5/√5 = 11/√13 ⇔ 25·13 = 121·5 ✔️ सत्य
अतः 3x − y + 5 = 0 कोण A का द्विभाजक है।
✔️ अंतिम निष्कर्ष: कोण A का द्विभाजक — 3x − y + 5 = 0
प्रश्न 32. एक सीढ़ी दीवार पर टिकी है। भूमि के साथ बनी रेखा का समीकरण y = 0 है और दीवार का समीकरण x = 0 है। सीढ़ी का सिरा दीवार पर बिन्दु (0, 6) पर है तथा भूमि पर सिरा बिन्दु (a, 0) पर है। वह रेखा ज्ञात कीजिए जो सीढ़ी को निरूपित करती है तथा किसी बिन्दु P(2, 3) से इस रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 चरण 1 ➤ सीढ़ी की रेखा (अक्ष–छेदन रूप)
दीवार पर छेदन (0, 6), भूमि पर छेदन (a, 0) ⇒ x/a + y/6 = 1
दोनों छोरों को जोड़ती रेखा यही है।
🟢 चरण 2 ➤ यदि P(2, 3) सीढ़ी के ऊपर हो तो जाँच
x = 2, y = 3 रखने पर 2/a + 3/6 = 1 ⇒ 2/a + 1/2 = 1 ⇒ 2/a = 1/2 ⇒ a = 4
अतः वास्तविक रेखा: x/4 + y/6 = 1 ⇒ 3x + 2y − 12 = 0
🟠 चरण 3 ➤ P से दूरी
d = |3·2 + 2·3 − 12|/√(3² + 2²) = |6 + 6 − 12|/√13 = 0/√13 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: सीढ़ी की रेखा 3x + 2y − 12 = 0, दूरी = 0 (बिन्दु रेखा पर स्थित)।
प्रश्न 33. (प्रकरण) एक सड़क y = x + 1 के समीकरण से निरूपित है। नगर नियोजन के अनुसार दूसरी सड़क इस पहली सड़क के लम्बवत हो तथा बिन्दु Q(4, 1) से गुज़रे। दोनों सड़कों का प्रतिच्छेद बिन्दु तथा दोनों के बीच समदूरी वाले बिन्दुओं का स्थान-समुच्चय ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔵 चरण 1 ➤ पहली सड़क की ढाल
y = x + 1 ⇒ ढाल m₁ = 1
🟢 चरण 2 ➤ लम्बवत सड़क की ढाल
m₂ = −1/m₁ = −1 ⇒ बिन्दु–ढाल रूप: y − 1 = (−1)(x − 4) ⇒ y − 1 = −x + 4 ⇒ x + y − 5 = 0
🟠 चरण 3 ➤ प्रतिच्छेद
y = x + 1 तथा x + y − 5 = 0 ⇒ x + (x + 1) − 5 = 0 ⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2, y = 3
प्रतिच्छेद: (2, 3)
🟣 चरण 4 ➤ दोनों सड़कों से समदूरी वाले बिन्दु (कोण द्विभाजक)
सामान्यीकृत दूरी समान:
|x − y + 1|/√(1² + (−1)²) = |x + y − 5|/√(1² + 1²) ⇒ |x − y + 1|/√2 = |x + y − 5|/√2
⇒ |x − y + 1| = |x + y − 5|
दो रेखाएँ मिलेंगी:
(i) x − y + 1 = x + y − 5 ⇒ −y + 1 = y − 5 ⇒ 2y = 6 ⇒ y = 3
(ii) x − y + 1 = −x − y + 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
✔️ अंतिम उत्तर: लम्बवत सड़क — x + y − 5 = 0; प्रतिच्छेद (2, 3); समदूरी स्थान-समुच्चय — रेखाएँ y = 3 तथा x = 2।
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि रेखा का ढाल (slope) 2 है और वह बिन्दु (0, 3) से गुजरती है, तो उसका समीकरण है –
🟥 1️⃣ y = 2x + 3
🟩 2️⃣ y = 2x − 3
🟨 3️⃣ y = 3x + 2
🟦 4️⃣ y = 3x − 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2
यदि किसी रेखा का ढाल 0 है, तो वह रेखा होगी –
🟥 1️⃣ क्षैतिज
🟩 2️⃣ ऊर्ध्वाधर
🟨 3️⃣ तिर्यक
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 3
यदि किसी रेखा का ढाल अपरिभाषित (undefined) है, तो वह रेखा –
🟥 1️⃣ y-अक्ष के समानान्तर
🟩 2️⃣ x-अक्ष के समानान्तर
🟨 3️⃣ x = 0
🟦 4️⃣ y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4
रेखा x + y = 5 का ढाल है –
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 5
रेखा y = 3x + 2 का y-अवरोध (y-intercept) है –
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ −2
🟦 4️⃣ −3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6
यदि दो रेखाएं समानांतर हैं, तो उनके ढालों का संबंध –
🟥 1️⃣ समान
🟩 2️⃣ व्युत्क्रम
🟨 3️⃣ ऋणात्मक
🟦 4️⃣ शून्य
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 7
यदि रेखाएं परस्पर लम्बवत हैं, तो m₁ × m₂ = ?
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8
रेखा 2x + 3y = 6 का ढाल है –
🟥 1️⃣ −2/3
🟩 2️⃣ −3/2
🟨 3️⃣ 2/3
🟦 4️⃣ 3/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 9
बिन्दु (2, 3) से होकर जाने वाली और ढाल 1 वाली रेखा का समीकरण –
🟥 1️⃣ y − 3 = 1(x − 2)
🟩 2️⃣ y + 3 = 1(x + 2)
🟨 3️⃣ y − 2 = x − 3
🟦 4️⃣ y = 2x + 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10
रेखा 3x − 4y + 12 = 0 का ढाल है –
🟥 1️⃣ 3/4
🟩 2️⃣ −3/4
🟨 3️⃣ 4/3
🟦 4️⃣ −4/3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 11
बिन्दुओं (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का ढाल –
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12
यदि रेखा का ढाल 2 है और y-अवरोध −3 है, तो समीकरण होगा –
🟥 1️⃣ y = 2x − 3
🟩 2️⃣ y = 2x + 3
🟨 3️⃣ y = −2x + 3
🟦 4️⃣ y = 3x − 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 13
रेखा 5x − 2y + 4 = 0 का x-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ −4/5
🟩 2️⃣ 4/5
🟨 3️⃣ 2/5
🟦 4️⃣ 5/4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14
x-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण –
🟥 1️⃣ y = k
🟩 2️⃣ x = k
🟨 3️⃣ y = 0
🟦 4️⃣ x = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 15
y-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण –
🟥 1️⃣ x = k
🟩 2️⃣ y = k
🟨 3️⃣ x = 0
🟦 4️⃣ y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16
रेखा 4x + 3y = 12 का y-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ −4
🟦 4️⃣ −3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 17
यदि किसी रेखा का ढाल 1 और y-अवरोध 2 है, तो समीकरण –
🟥 1️⃣ y = x + 2
🟩 2️⃣ y = x − 2
🟨 3️⃣ y = 2x + 1
🟦 4️⃣ y = −x + 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18
रेखा 2x + 5y − 10 = 0 का x-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ −5
🟦 4️⃣ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 19
यदि दो रेखाएं समानांतर हैं, तो उनका कोण = ?
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 45°
🟦 4️⃣ 60°
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20
यदि रेखाएं परस्पर लम्बवत हैं, तो उनके बीच कोण = ?
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 90°
🟦 4️⃣ 60°
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 21
रेखा x = 3 का ढाल है –
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ अपरिभाषित
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22
रेखा y = 2 का ढाल है –
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ अपरिभाषित
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 23
रेखा y = x का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ −1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24
रेखा y = −x का ढाल = ?
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25
रेखा y = 3x का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 1/3
🟨 3️⃣ −3
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26
यदि रेखा का समीकरण 3x + 4y = 12 है, तो उसका ढाल = ?
🟥 1️⃣ −3/4
🟩 2️⃣ −4/3
🟨 3️⃣ 3/4
🟦 4️⃣ 4/3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27
रेखा x − 2y + 4 = 0 का x-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ −4
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28
रेखा 2x − 3y + 6 = 0 का y-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ −2
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ −3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29
यदि दो रेखाएं समानांतर हों, तो उनके ढाल होंगे –
🟥 1️⃣ समान
🟩 2️⃣ असमान
🟨 3️⃣ व्युत्क्रम
🟦 4️⃣ ऋणात्मक
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30
यदि रेखाएं परस्पर लम्बवत हों, तो उनके ढाल m₁ और m₂ संतुष्ट करते हैं –
🟥 1️⃣ m₁ × m₂ = −1
🟩 2️⃣ m₁ × m₂ = 1
🟨 3️⃣ m₁ × m₂ = 0
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31
रेखा y = 2x + 3 और y = 2x − 4 हैं –
🟥 1️⃣ समान
🟩 2️⃣ समानांतर
🟨 3️⃣ लम्बवत
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32
रेखा y = −x + 2 और y = x − 2 हैं –
🟥 1️⃣ समानांतर
🟩 2️⃣ लम्बवत
🟨 3️⃣ समान
🟦 4️⃣ असमानांतर
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33
रेखा y = 2x + 3 का ढाल और y-अवरोध क्रमशः हैं –
🟥 1️⃣ 2, 3
🟩 2️⃣ 3, 2
🟨 3️⃣ 2, −3
🟦 4️⃣ 3, −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34
यदि रेखा y = mx + c y-अक्ष के समानांतर है, तो –
🟥 1️⃣ m अपरिभाषित
🟩 2️⃣ m = 0
🟨 3️⃣ c = 0
🟦 4️⃣ इनमें से कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35
रेखा 4x + 3y = 12 का x-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ −3
🟦 4️⃣ −4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36
बिन्दुओं (0, 0) और (4, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण –
🟥 1️⃣ y = x
🟩 2️⃣ y = 2x
🟨 3️⃣ y = 4x
🟦 4️⃣ y = x + 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37
रेखा y = x का ढाल और अवरोध हैं –
🟥 1️⃣ 1, 0
🟩 2️⃣ 0, 1
🟨 3️⃣ −1, 0
🟦 4️⃣ 1, 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38
यदि किसी रेखा का ढाल 1/2 और y-अवरोध 3 है, तो समीकरण –
🟥 1️⃣ y = (1/2)x + 3
🟩 2️⃣ y = 2x + 3
🟨 3️⃣ y = (1/2)x − 3
🟦 4️⃣ y = −(1/2)x + 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39
रेखा x + 2y = 4 का ढाल है –
🟥 1️⃣ −1/2
🟩 2️⃣ 1/2
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40
रेखा y = 5 का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ अपरिभाषित
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41
रेखा x = 2 का ढाल = ?
🟥 1️⃣ अपरिभाषित
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42
यदि रेखा का समीकरण x + y = 1 है, तो ढाल = ?
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43
रेखा 2x − y = 3 का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ −2
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ −1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44
रेखा 3x + y = 6 का y-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ −6
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ −3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45
रेखा 5x + 2y = 10 का x-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ −2
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ −5
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46
y = 2x का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1/2
🟨 3️⃣ −2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47
y = −3x + 4 का ढाल = ?
🟥 1️⃣ −3
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ −4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48
y = x − 1 का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ −1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49
y = −x + 3 का y-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ −3
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50
y = 2x − 5 का y-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ −5
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि रेखा का ढाल (slope) 3 है और वह बिंदु (0, 2) से गुजरती है, तो उसका समीकरण होगा —
🟥 1️⃣ y = 3x + 2
🟩 2️⃣ y = 2x + 3
🟨 3️⃣ y = 3x − 2
🟦 4️⃣ y = −3x + 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 2
यदि रेखा x + 2y = 4 का ढाल ज्ञात करें —
🟥 1️⃣ −1/2
🟩 2️⃣ 1/2
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 3
x-अक्ष के समानांतर रेखा का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 4
y-अक्ष के समानांतर रेखा का ढाल = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 5
ढाल 2 वाली रेखा जो बिंदु (1, 2) से गुजरती है —
🟥 1️⃣ y − 2 = 2(x − 1)
🟩 2️⃣ y = 2x + 1
🟨 3️⃣ y + 2 = 2x + 1
🟦 4️⃣ y = 2x − 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 6
यदि दो रेखाओं के ढाल m₁ और m₂ हों, तो उनके बीच कोण θ का सूत्र —
🟥 1️⃣ tanθ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
🟩 2️⃣ tanθ = (m₁ + m₂)/(1 − m₁m₂)
🟨 3️⃣ tanθ = (m₁m₂ − 1)/(m₁ + m₂)
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 7
यदि दो रेखाएँ समानांतर हों, तो m₁m₂ = ?
🟥 1️⃣ −1
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ m₁ = m₂
🟦 4️⃣ m₁m₂ = 0
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 8
रेखा 2x + 3y + 6 = 0 की y-अवरोध (y-intercept) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ −2
🟨 3️⃣ −3
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 9
यदि किसी रेखा का समीकरण 3x − 4y + 12 = 0 हो, तो उसका ढाल = ?
🟥 1️⃣ 3/4
🟩 2️⃣ 4/3
🟨 3️⃣ −3/4
🟦 4️⃣ −4/3
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 10
रेखा 4x − 3y + 2 = 0 का x-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 1/2
🟩 2️⃣ −1/2
🟨 3️⃣ 2/3
🟦 4️⃣ −2/3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 11
यदि रेखा का ढाल tan45° है, तो उसका मान = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 12
यदि दो रेखाएँ परस्पर लंबवत हों, तो m₁m₂ = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ −1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ ∞
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 13
बिंदु (2, 3) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण, जो x-अक्ष के समानांतर है —
🟥 1️⃣ y = 3
🟩 2️⃣ x = 2
🟨 3️⃣ y = 2
🟦 4️⃣ x + y = 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 14
बिंदु (3, 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, जो y-अक्ष के समानांतर है —
🟥 1️⃣ x = 3
🟩 2️⃣ y = 2
🟨 3️⃣ x + y = 5
🟦 4️⃣ x = 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 15
यदि रेखा 2x + 3y = 6 हो, तो उसका ढाल = ?
🟥 1️⃣ −2/3
🟩 2️⃣ 2/3
🟨 3️⃣ 3/2
🟦 4️⃣ −3/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 16
यदि रेखा 5x + 2y − 10 = 0 हो, तो y-अवरोध = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ −5
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ −10
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 17
ढाल 1/2 वाली रेखा जो मूलबिंदु से गुजरती है —
🟥 1️⃣ y = (1/2)x
🟩 2️⃣ y = 2x
🟨 3️⃣ y = x + 1
🟦 4️⃣ x = 2y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 18
यदि रेखा 3x − 4y = 7, x-अक्ष को (a, 0) पर काटती है, तो a का मान है :
🟩 1️⃣ 7/3
🟥 2️⃣ −7/3
🟨 3️⃣ −7/4
🟦 4️⃣ 7/4
🟢 उत्तर: 1️⃣ 7/3
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19
किसी रेखा की प्रवणता 5 है और वह बिंदु (2, 3) से गुजरती है। उसका समीकरण क्या होगा?
🟩 1️⃣ y − 3 = 5(x − 2)
🟥 2️⃣ y + 3 = 5(x − 2)
🟨 3️⃣ y − 2 = 5(x − 3)
🟦 4️⃣ y − 5 = 3(x − 2)
🟢 उत्तर: 1️⃣ y − 3 = 5(x − 2)
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20
रेखाएं x + 2y = 3 और 2x + 4y = 7
🟩 1️⃣ समकोण पर कटती हैं
🟥 2️⃣ समानांतर हैं
🟨 3️⃣ मिलती नहीं हैं
🟦 4️⃣ समलंब हैं
🟢 उत्तर: 2️⃣ समानांतर हैं
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21
यदि दो रेखाएं समानांतर हैं, तो उनके गुणांक (coefficients) का अनुपात :
🟩 1️⃣ समान होगा
🟥 2️⃣ विपरीत होगा
🟨 3️⃣ शून्य होगा
🟦 4️⃣ अपरिभाषित होगा
🟢 उत्तर: 1️⃣ समान होगा
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22
रेखा 2x + 3y = 5 की प्रवणता (slope) है:
🟩 1️⃣ −2/3
🟥 2️⃣ −3/2
🟨 3️⃣ 2/3
🟦 4️⃣ 3/2
🟢 उत्तर: 1️⃣ −2/3
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23
रेखा ax + by + c = 0 का y-अवरोधक है:
🟩 1️⃣ c/b
🟥 2️⃣ −c/b
🟨 3️⃣ −b/c
🟦 4️⃣ b/c
🟢 उत्तर: 2️⃣ −c/b
📅 JEE Advanced 2010 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24
रेखा y = mx + c का x-अवरोधक है:
🟩 1️⃣ −m/c
🟥 2️⃣ −c/m
🟨 3️⃣ c/m
🟦 4️⃣ m/c
🟢 उत्तर: 2️⃣ −c/m
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25
यदि दो रेखाएं एक ही बिंदु से गुजरती हैं, तो वे :
🟩 1️⃣ समांतर होती हैं
🟥 2️⃣ समान होती हैं
🟨 3️⃣ प्रतिच्छेद करती हैं
🟦 4️⃣ ललाट समकोण पर होती हैं
🟢 उत्तर: 3️⃣ प्रतिच्छेद करती हैं
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26
रेखा x = 5
🟩 1️⃣ x-अक्ष के समांतर है
🟥 2️⃣ y-अक्ष के समांतर है
🟨 3️⃣ मूल से गुजरती है
🟦 4️⃣ प्रवणता 1 है
🟢 उत्तर: 2️⃣ y-अक्ष के समांतर है
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27
रेखा 3x + 4y = 12 की प्रवणता है:
🟩 1️⃣ −4/3
🟥 2️⃣ −3/4
🟨 3️⃣ 4/3
🟦 4️⃣ 3/4
🟢 उत्तर: 1️⃣ −4/3
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28
यदि दो रेखाओं की प्रवणताएं m₁ और m₂ हैं, और वे समकोण पर कटती हैं, तो:
🟩 1️⃣ m₁ + m₂ = 0
🟥 2️⃣ m₁ − m₂ = 1
🟨 3️⃣ m₁ × m₂ = −1
🟦 4️⃣ m₁ × m₂ = 1
🟢 उत्तर: 3️⃣ m₁ × m₂ = −1
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29
रेखा 4x − y + 3 = 0 का y-अवरोधक है:
🟩 1️⃣ 3
🟥 2️⃣ −3
🟨 3️⃣ −4
🟦 4️⃣ 4
🟢 उत्तर: 2️⃣ −3
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30
यदि दो रेखाएं समान y-अवरोधक रखती हैं, तो वे:
🟩 1️⃣ समानांतर होंगी
🟥 2️⃣ समान होंगी
🟨 3️⃣ प्रतिच्छेद कर सकती हैं
🟦 4️⃣ परस्पर लंबवत होंगी
🟢 उत्तर: 3️⃣ प्रतिच्छेद कर सकती हैं
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31
रेखा 5x + y = 0 की प्रवणता है:
🟩 1️⃣ −1/5
🟥 2️⃣ −5
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 1/5
🟢 उत्तर: 2️⃣ −5
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32
रेखा y = −2x + 3 की x-अवरोधक है:
🟩 1️⃣ −3/2
🟥 2️⃣ 3/2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ −2/3
🟢 उत्तर: 2️⃣ 3/2
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33
यदि दो रेखाएं 60° के कोण पर मिलती हैं, और एक की प्रवणता 1 है, तो दूसरी की प्रवणता:
🟩 1️⃣ tan(60° − 45°)
🟥 2️⃣ tan(60° + 45°)
🟨 3️⃣ tan(30°)
🟦 4️⃣ tan(120°)
🟢 उत्तर: 3️⃣ tan(30°)
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34
यदि रेखाएं m₁ और m₂ प्रवणताओं वाली हों, और tanθ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|, तो θ है:
🟩 1️⃣ उनके बीच का कोण
🟥 2️⃣ प्रवणता का योग
🟨 3️⃣ प्रवणता का अंतर
🟦 4️⃣ x-अक्ष से कोण
🟢 उत्तर: 1️⃣ उनके बीच का कोण
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
प्रश्न 1. बिन्दु A(2, 3) तथा B(5, 9) से जाने वाली रेखा की ढाल m क्या है?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3/2
🟠 (C) 6/5
🔴 (D) 5/6
उत्तर: (A) 2
प्रश्न 2. रेखा y = 3x + 1 का य-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (1, 0)
🟢 (B) (0, 1)
🟠 (C) (0, 3)
🔴 (D) (−1, 0)
उत्तर: (B) (0, 1)
प्रश्न 3. यदि रेखाएँ L₁: y = 2x + 5 तथा L₂: y = 2x − 1 हों, तो वे कैसी हैं?
🔵 (A) लम्बवत
🟢 (B) समानान्तर
🟠 (C) अभिन्न
🔴 (D) प्रतिच्छेदित किन्तु असमानान्तर
उत्तर: (B) समानान्तर
प्रश्न 4. रेखा x = 4 के बारे में सत्य कथन चुनिए।
🔵 (A) ढाल 0
🟢 (B) ढाल अपरिभाषित
🟠 (C) य-अक्ष के समानान्तर नहीं
🔴 (D) मूलबिन्दु से होकर जाती है
उत्तर: (B) ढाल अपरिभाषित
प्रश्न 5. बिन्दु P(−1, 2) से ढाल 3 वाली रेखा का समीकरण क्या होगा?
🔵 (A) y − 2 = 3(x + 1)
🟢 (B) y + 1 = 3(x − 2)
🟠 (C) y − 3 = 2(x + 1)
🔴 (D) y = 3x − 2
उत्तर: (A) y − 2 = 3(x + 1)
प्रश्न 6. रेखाएँ y = −(1/2)x + 4 तथा y = 2x − 3 के बीच कोण θ के लिए tanθ का मान क्या होगा?
🔵 (A) |(2 − (−1/2)) / (1 + 2(−1/2))|
🟢 (B) |(2 + (−1/2)) / (1 − 2(−1/2))|
🟠 (C) |((−1/2) − 2) / (1 + (−1/2)·2)|
🔴 (D) |(2 − (−1/2)) / (1 + (−1/2)·2)|
उत्तर: (D) |(2 − (−1/2)) / (1 + (−1/2)·2)|
प्रश्न 7. रेखा Ax + By + C = 0 की बिन्दु Q(x₁, y₁) से दूरी d क्या है?
🔵 (A) |Ax₁ + By₁ + C|/(A + B)
🟢 (B) |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)
🟠 (C) (Ax₁ + By₁ + C)/(A² + B²)
🔴 (D) |Ax₁ + By₁ − C|/√(A² + B²)
उत्तर: (B) |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)
प्रश्न 8. यदि तीन बिन्दुओं से बना त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 हो, तो वे बिन्दु क्या कहलाते हैं?
🔵 (A) समकोण पर स्थित
🟢 (B) समद्विबाहु
🟠 (C) सहरेखी
🔴 (D) समदूरी
उत्तर: (C) सहरेखी
प्रश्न 9. रेखा y = 0 किस प्रकार की रेखा है?
🔵 (A) य-अक्ष के समानान्तर
🟢 (B) क्ष-अक्ष
🟠 (C) ढाल अपरिभाषित
🔴 (D) मूलबिन्दु से नहीं गुजरती
उत्तर: (B) क्ष-अक्ष
प्रश्न 10. यदि L₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 तथा L₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 हों और A₁B₂ − A₂B₁ = 0 तथा C₁B₂ − C₂B₁ ≠ 0, तो रेखाएँ कैसी हैं?
🔵 (A) समानान्तर
🟢 (B) लम्बवत
🟠 (C) अभिन्न
🔴 (D) सममित
उत्तर: (A) समानान्तर
प्रश्न 11. रेखा y = m x + c की x-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, c)
🟢 (B) (−c/m, 0)
🟠 (C) (c, 0)
🔴 (D) (0, −c/m)
उत्तर: (B) (−c/m, 0)
प्रश्न 12. रेखा 2x − 3y + 6 = 0 का य-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, 2)
🟢 (B) (0, −2)
🟠 (C) (0, 3)
🔴 (D) (0, −3)
उत्तर: (A) (0, 2)
प्रश्न 13. यदि किसी रेखा की ढाल m = 0 हो, तो वह कैसी रेखा है?
🔵 (A) य-अक्ष के समानान्तर
🟢 (B) क्ष-अक्ष के समानान्तर
🟠 (C) 45° पर झुकी
🔴 (D) मूलबिन्दु से अवश्य गुजरेगी
उत्तर: (B) क्ष-अक्ष के समानान्तर
प्रश्न 14. रेखा y − 5 = −3(x + 2) को सामान्य रूप में लिखने पर मिलता है:
🔵 (A) 3x + y − 1 = 0
🟢 (B) 3x + y + 1 = 0
🟠 (C) 3x + y + 11 = 0
🔴 (D) 3x + y − 11 = 0
उत्तर: (D) 3x + y − 11 = 0
प्रश्न 15. दो रेखाएँ लम्ब हों, इसकी ढाल संबंधी शर्त क्या है?
🔵 (A) m₁ = m₂
🟢 (B) m₁m₂ = −1
🟠 (C) m₁ + m₂ = 0
🔴 (D) m₁ − m₂ = 1
उत्तर: (B) m₁m₂ = −1
प्रश्न 16. रेखाएँ 4x + y − 7 = 0 और 2x − y + 1 = 0 के बीच कोण समकोण होगा या नहीं?
🔵 (A) हाँ, क्योंकि m₁m₂ = −1
🟢 (B) नहीं, क्योंकि m₁m₂ ≠ −1
🟠 (C) हाँ, क्योंकि m₁ = m₂
🔴 (D) नहीं, क्योंकि m₁ + m₂ = 0
उत्तर: (B) नहीं, क्योंकि m₁m₂ ≠ −1
प्रश्न 17. रेखा 3x − 4y + 8 = 0 की ढाल क्या है?
🔵 (A) 3/4
🟢 (B) −3/4
🟠 (C) 4/3
🔴 (D) −4/3
उत्तर: (A) 3/4
प्रश्न 18. रेखा x/2 + y/3 = 1 का x-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, 2)
🟢 (B) (0, 3)
🟠 (C) (2, 0)
🔴 (D) (3, 0)
उत्तर: (C) (2, 0)
प्रश्न 19. रेखाएँ 3x + 4y − 7 = 0 तथा 6x + 8y + 9 = 0 कैसी हैं?
🔵 (A) समानान्तर
🟢 (B) लम्बवत
🟠 (C) अभिन्न
🔴 (D) प्रतिच्छेदित
उत्तर: (A) समानान्तर
प्रश्न 20. रेखा x − y + 2 = 0 की ढाल m क्या है?
🔵 (A) −1
🟢 (B) 1
🟠 (C) 0
🔴 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (B) 1
प्रश्न 21. रेखाएँ 2x − 3y + 4 = 0 तथा 3x + 2y − 5 = 0 के मध्य कोण θ कैसा है?
🔵 (A) समकोण (90°)
🟢 (B) तीव्रकोण (tanθ = 11/6)
🟠 (C) स्थूलकोण (tanθ = 6/11)
🔴 (D) शून्य कोण (0°)
उत्तर: (A) समकोण (90°)
प्रश्न 22. बिन्दु (2, 3) से रेखा 3x + 4y − 10 = 0 की लम्ब दूरी d क्या है?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 8/5
🔴 (D) 2
उत्तर: (C) 8/5
प्रश्न 23. रेखा y = x + c, बिन्दु (3, 7) से गुज़रे तो c का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4
🟢 (B) −4
🟠 (C) 10
🔴 (D) −10
उत्तर: (A) 4
प्रश्न 24. रेखा x + y = 5 का x-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (5, 0)
🟢 (B) (0, 5)
🟠 (C) (−5, 0)
🔴 (D) (0, −5)
उत्तर: (A) (5, 0)
प्रश्न 25. रेखा 4x + 3y = 12 के समानान्तर, बिन्दु (2, −3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण क्या है?
🔵 (A) 4x + 3y − 8 = 0
🟢 (B) 4x + 3y + 1 = 0
🟠 (C) 4x + 3y + 18 = 0
🔴 (D) 4x + 3y − 18 = 0
उत्तर: (B) 4x + 3y + 1 = 0
प्रश्न 26. रेखा 2x − 3y + 4 = 0 की ढाल m क्या होगी?
🔵 (A) −2/3
🟢 (B) 2/3
🟠 (C) −3/2
🔴 (D) 3/2
उत्तर: (A) −2/3
प्रश्न 27. बिन्दु (1, 2) से गुजरने वाली तथा रेखा 3x + 4y − 5 = 0 पर लम्ब रेखा का समीकरण क्या है?
🔵 (A) 3x + 4y − 11 = 0
🟢 (B) 4x − 3y + 2 = 0
🟠 (C) 4x − 3y − 2 = 0
🔴 (D) 3x + 4y + 2 = 0
उत्तर: (B) 4x − 3y + 2 = 0
प्रश्न 28. रेखाएँ 2x + 3y = 8 तथा 4x + 6y = 9 कैसी हैं?
🔵 (A) समानान्तर
🟢 (B) लम्बवत
🟠 (C) प्रतिच्छेदित
🔴 (D) अभिन्न
उत्तर: (A) समानान्तर
प्रश्न 29. रेखा 5x + 12y = k, बिन्दु (3, 2) से गुज़रे तो k का मान क्या है?
🔵 (A) 24
🟢 (B) 39
🟠 (C) 50
🔴 (D) 66
उत्तर: (B) 39
प्रश्न 30. रेखा y = −x + c का x-अक्ष के साथ बना कोण θ क्या है?
🔵 (A) tanθ = −1
🟢 (B) tanθ = 1
🟠 (C) tanθ = 0
🔴 (D) tanθ = √3
उत्तर: (A) tanθ = −1
प्रश्न 31. रेखा x/3 + y/4 = 1 का सामान्य रूप क्या है?
🔵 (A) 3x + 4y − 12 = 0
🟢 (B) 4x + 3y − 12 = 0
🟠 (C) 4x + 3y + 12 = 0
🔴 (D) 3x + 4y + 12 = 0
उत्तर: (A) 3x + 4y − 12 = 0
प्रश्न 32. रेखाएँ 3x + 2y − 5 = 0 तथा 2x − 3y + 8 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (1, 1)
🟢 (B) (−1/13, 34/13)
🟠 (C) (1, −1)
🔴 (D) (−1, −1)
उत्तर: (B) (−1/13, 34/13)
प्रश्न 33. यदि दो रेखाएँ एक ही बिन्दु पर मिलती हैं, तो उन्हें क्या कहते हैं?
🔵 (A) समानान्तर
🟢 (B) अभिन्न
🟠 (C) प्रतिच्छेदित
🔴 (D) लम्बवत
उत्तर: (C) प्रतिच्छेदित
प्रश्न 34. रेखा y = −2x + 3 का x-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (3/2, 0)
🟢 (B) (−3/2, 0)
🟠 (C) (2, 0)
🔴 (D) (−2, 0)
उत्तर: (A) (3/2, 0)
प्रश्न 35. रेखा y = m x + c की y-अक्ष पर काटने का बिन्दु क्या है?
🔵 (A) (0, c)
🟢 (B) (c, 0)
🟠 (C) (m, 0)
🔴 (D) (0, m)
उत्तर: (A) (0, c)
प्रश्न 36. रेखा 2x + y + 4 = 0 की ढाल m क्या है?
🔵 (A) −2
🟢 (B) 2
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) −1/2
उत्तर: (A) −2
प्रश्न 37. रेखाएँ y = 0 तथा y = 3 के बीच की दूरी क्या है?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 3
प्रश्न 38. रेखा 3x + 4y + 5 = 0 की मूलबिन्दु से लम्ब दूरी d क्या है?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 1
🟠 (C) 5/√13
🔴 (D) 13/5
उत्तर: (C) 5/√13
प्रश्न 39. रेखाएँ x − y + 4 = 0 तथा x − y − 6 = 0 कैसी हैं?
🔵 (A) समानान्तर
🟢 (B) लम्बवत
🟠 (C) प्रतिच्छेदित
🔴 (D) अभिन्न
उत्तर: (A) समानान्तर
प्रश्न 40. रेखा 4x − 3y + 6 = 0 की ढाल m क्या होगी?
🔵 (A) 4/3
🟢 (B) −4/3
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) −3/4
उत्तर: (B) −4/3
प्रश्न 41. रेखाएँ L₁: x + y − 2 = 0, L₂: 2x − y + 1 = 0 तथा L₃: (k + 1)x + (k − 2)y + 3 = 0 समसामयिक (एक ही बिन्दु पर मिलने वाली) हों, तो k का मान क्या है?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) −1
🔴 (D) 2
उत्तर: (A) 0
प्रश्न 42. रेखाओं 4x − 3y + 6 = 0 तथा 3x + 4y − 12 = 0 के आन्तरिक कोण द्विभाजक का समीकरण क्या है?
🔵 (A) x − 7y + 18 = 0
🟢 (B) 7x + y − 6 = 0
🟠 (C) 7x − y + 6 = 0
🔴 (D) x + 7y − 18 = 0
उत्तर: (B) 7x + y − 6 = 0
प्रश्न 43. रेखाओं L₁: x + y − 3 = 0 और L₂: 2x − y + 1 = 0 के प्रतिच्छेद से गुजरने वाली रेखाओं का समुच्चय (x+y−3)+λ(2x−y+1)=0 में वह रेखा जो x − 2y + 5 = 0 पर लम्ब हो, उसके लिए λ का मान क्या है?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/4
🟠 (C) −1/4
🔴 (D) −1/2
उत्तर: (B) 1/4
प्रश्न 44. समानान्तर रेखाएँ 3x − 4y + k = 0 तथा 3x − 4y − 5 = 0 के बीच दूरी 3 हो। k का धनात्मक मान क्या है?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 10
🟠 (C) 15
🔴 (D) 20
उत्तर: (B) 10
प्रश्न 45. मूलबिन्दु से लम्ब दूरी 5 तथा अभिलम्ब का कोण ऐसा हो कि cosα = 3/5, sinα = 4/5 हो। रेखा का समीकरण क्या है?
🔵 (A) 3x + 4y = 5
🟢 (B) 3x + 4y = 25
🟠 (C) 4x + 3y = 25
🔴 (D) 4x + 3y = 5
उत्तर: (B) 3x + 4y = 25
प्रश्न 46. रेखाएँ x − y + 2 = 0 तथा x + y − 4 = 0 के बाह्य कोण द्विभाजक का समीकरण क्या है?
🔵 (A) x = 1
🟢 (B) y = 3
🟠 (C) x + y = 5
🔴 (D) x − y = 1
उत्तर: (B) y = 3
प्रश्न 47. यदि रेखा Ax + By + C = 0 दोनों अक्षों पर समान छेदन बनाती है, तो आवश्यक शर्त क्या है?
🔵 (A) |A| = |B|
🟢 (B) A = 0
🟠 (C) B = 0
🔴 (D) C = 0
उत्तर: (A) |A| = |B|
प्रश्न 48. बिन्दु (h, k) से गुजरने वाली परिवर्ती रेखा y = m x + c के लिए सही सम्बन्ध क्या है?
🔵 (A) c = m h − k
🟢 (B) c = k − m h
🟠 (C) m = k − c h
🔴 (D) m = h − c k
उत्तर: (B) c = k − m h
प्रश्न 49. समानान्तर रेखाएँ 4x − 3y + 6 = 0 तथा 4x − 3y − 14 = 0 से समदूरी पर स्थित रेखा का समीकरण क्या है?
🔵 (A) 4x − 3y + 10 = 0
🟢 (B) 4x − 3y − 4 = 0
🟠 (C) 4x − 3y + 4 = 0
🔴 (D) 4x − 3y − 10 = 0
उत्तर: (B) 4x − 3y − 4 = 0
प्रश्न 50. बिन्दु P(3, 4) से रेखा 3x + 4y − 12 = 0 पर खींची गई लम्ब की पादबिन्दु H के साथ रेखाखण्ड PH के लम्बवत समद्विभाजक का समीकरण क्या होगा?
🔵 (A) 3x + 4y − 25 = 0
🟢 (B) 6x + 8y − 37 = 0
🟠 (C) 4x + 3y − 37 = 0
🔴 (D) 8x + 6y − 25 = 0
उत्तर: (B) 6x + 8y − 37 = 0
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