Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 8. अनुक्रम तथा श्रेणी
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔷 विस्तृत व्याख्या (Explanation Section)
💡 1. अनुक्रम (Sequence) की संकल्पना
🔵 किसी नियम के अनुसार व्यवस्थित संख्याओं का समूह अनुक्रम (Sequence) कहलाता है।
उदाहरण के लिए —
➡️ 2, 4, 6, 8, 10,…
➡️ 1, 1/2, 1/3, 1/4,…
इनमें प्रत्येक संख्या को पद (Term) कहते हैं।
पहले अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद से 2 अधिक है।
दूसरे अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का व्युत्क्रम (reciprocal) है।
✏️ नोट: किसी अनुक्रम का सामान्य पद (General term) aₙ से निरूपित किया जाता है।
यदि a₁, a₂, a₃,… अनुक्रम के पद हैं, तो इसका nवाँ पद होगा:
➡️ aₙ = nवें पद का मान
🟢 2. समानांतर अनुक्रम (Arithmetic Sequence / A.P.)
🔹 यदि किसी अनुक्रम में प्रत्येक दो क्रमागत पदों के बीच का अन्तर समान हो,
तो वह समानांतर अनुक्रम (Arithmetic Progression) कहलाता है।
➡️ उदाहरण: 2, 5, 8, 11, 14,…
यहाँ सामान्य अन्तर (Common Difference) = 3
यदि a₁ = प्रथम पद तथा d = समान अन्तर है, तो
👉 अनुक्रम होगा: a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
🔸 सामान्य पद (General Term):
aₙ = a + (n − 1)d
🔸 प्रथम n पदों का योग (Sum of n Terms):
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
या, Sₙ = n/2 (a + l)
जहाँ l = अन्तिम पद = a + (n − 1)d
✔️ उदाहरण:
यदि अनुक्रम 3, 7, 11, 15,… का 10वाँ पद ज्ञात करना है:
a = 3, d = 4
a₁₀ = a + (10 − 1)d = 3 + 9×4 = 39
🔴 3. गुणोत्तर अनुक्रम (Geometric Sequence / G.P.)
🔹 यदि प्रत्येक पद पिछले पद का किसी निश्चित संख्या से गुणनफल हो,
तो वह अनुक्रम गुणोत्तर अनुक्रम (Geometric Progression) कहलाता है।
➡️ उदाहरण: 2, 4, 8, 16,…
यहाँ सामान्य अनुपात (Common Ratio) = 2
🔸 सामान्य पद:
aₙ = a·rⁿ⁻¹
🔸 प्रथम n पदों का योग:
Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r), जब r ≠ 1
यदि r > 1 हो तो, Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
✏️ अनन्त गुणोत्तर श्रेणी (Infinite G.P.):
यदि |r| < 1, तो अनन्त पदों का योग
S∞ = a/(1 − r)
✔️ उदाहरण:
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + …
यहाँ a = 2, r = 1/2
S∞ = a/(1 − r) = 2/(1 − 1/2) = 4
🟡 4. हार्मोनिक अनुक्रम (Harmonic Sequence / H.P.)
🔹 यदि किसी अनुक्रम के पदों के व्युत्क्रम समानांतर अनुक्रम में हों,
तो मूल अनुक्रम हार्मोनिक अनुक्रम (Harmonic Progression) कहलाता है।
➡️ उदाहरण: 1, 1/2, 1/3, 1/4,…
इसके व्युत्क्रम 1, 2, 3, 4,… समानांतर अनुक्रम बनाते हैं।
🔸 nवाँ पद का सूत्र:
यदि A.P. का nवाँ पद aₙ = a + (n − 1)d हो,
तो H.P. का nवाँ पद hₙ = 1 / [a + (n − 1)d]
🔵 5. सम्मिश्र अनुक्रम (Mixed Sequence)
🔹 जब किसी अनुक्रम के पद A.P. और G.P. दोनों के गुण दर्शाते हों,
तो वह सम्मिश्र अनुक्रम कहलाता है।
उदाहरण: 2, 4, 8, 16,… यहाँ अन्तर बढ़ता है और गुण भी समान रहता है।
💡 6. श्रेणी (Series) की संकल्पना
🔹 किसी अनुक्रम के सभी पदों का योग श्रेणी (Series) कहलाता है।
उदाहरण:
➡️ 2 + 4 + 6 + 8 + …
➡️ 3 + 6 + 12 + 24 + …
✏️ यदि अनुक्रम a₁, a₂, a₃,… है,
तो श्रेणी = a₁ + a₂ + a₃ + …
🟢 7. समानांतर श्रेणी (Arithmetic Series)
यदि अनुक्रम A.P. है, तो उसकी श्रेणी समानांतर श्रेणी कहलाती है।
🔸 प्रथम n पदों का योग:
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
✔️ उदाहरण:
2 + 4 + 6 + 8 + … + 20
यहाँ a = 2, d = 2, n = 10
S₁₀ = 10/2 [2×2 + (10 − 1)×2] = 5[4 + 18] = 110
🔴 8. गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Series)
यदि अनुक्रम G.P. है, तो उसका योग होगा:
Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r), जब r ≠ 1
✔️ उदाहरण:
3 + 6 + 12 + 24
a = 3, r = 2, n = 4
S₄ = 3(1 − 2⁴)/(1 − 2) = 3(1 − 16)/(−1) = 45
🟣 9. कुछ विशेष सूत्र (Important Formulas)
✳️ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
✳️ 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
✳️ 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = [n(n + 1)/2]²
💡 10. अनुक्रमों का तुलनात्मक अध्ययन (Comparison of Sequences)
🔵 समानांतर अनुक्रम (A.P.)
➡️ सामान्य पद : aₙ = a + (n − 1)d
➡️ योग का सूत्र : Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
➡️ विशेषता : प्रत्येक दो क्रमागत पदों में अन्तर समान (Common Difference) होता है।
🟢 गुणोत्तर अनुक्रम (G.P.)
➡️ सामान्य पद : aₙ = a·rⁿ⁻¹
➡️ योग का सूत्र : Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r), जब r ≠ 1
➡️ विशेषता : प्रत्येक दो क्रमागत पदों में अनुपात समान (Common Ratio) होता है।
🔴 हार्मोनिक अनुक्रम (H.P.)
➡️ सामान्य पद : hₙ = 1 / [a + (n − 1)d]
➡️ योग का सूत्र : कोई निश्चित सामान्य सूत्र नहीं
➡️ विशेषता : इसके पदों के व्युत्क्रम (Reciprocals) समानांतर अनुक्रम बनाते हैं।
🟡 सारांश रूप में
✔️ A.P. → अन्तर समान
✔️ G.P. → अनुपात समान
✔️ H.P. → व्युत्क्रम A.P. बनाते हैं
🟢 भाग 2 : सारांश (Summary Section)
🔹 अनुक्रम — किसी नियम से क्रमबद्ध संख्याओं का समूह।
🔹 श्रेणी — अनुक्रम के पदों का योग।
🔹 समानांतर अनुक्रम (A.P.) — पदों में समान अन्तर होता है।
🔹 गुणोत्तर अनुक्रम (G.P.) — पदों में समान अनुपात होता है।
🔹 हार्मोनिक अनुक्रम (H.P.) — व्युत्क्रम A.P. बनाते हैं।
🔹 मुख्य सूत्र —
➡️ aₙ = a + (n − 1)d
➡️ Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
➡️ aₙ(G.P.) = a·rⁿ⁻¹
➡️ Sₙ(G.P.) = a(1 − rⁿ)/(1 − r)
➡️ S∞(G.P.) = a/(1 − r) जब |r| < 1
📝 Quick Recap (त्वरित पुनरावृत्ति)
✔️ अनुक्रम = पदों की श्रृंखला
✔️ श्रेणी = पदों का योग
✔️ A.P. का nवाँ पद = a + (n − 1)d
✔️ G.P. का योग = a(1 − rⁿ)/(1 − r)
✔️ H.P. का पद = 1/[a + (n − 1)d]
✔️ महत्वपूर्ण योग = n(n + 1)/2, n(n + 1)(2n + 1)/6
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
🔷प्रश्नावली 8.1
🔵 प्रश्न 1 से 6:
प्रत्येक अनुक्रम में प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका nवाँ पद दिया गया है।
🟢 प्रश्न 1.
aₙ = n(n + 2)
✏️ जब n = 1, 2, 3, 4, 5
a₁ = 1(3) = 3
a₂ = 2(4) = 8
a₃ = 3(5) = 15
a₄ = 4(6) = 24
a₅ = 5(7) = 35
✔️ अनुक्रम: 3, 8, 15, 24, 35
🟢 प्रश्न 2.
aₙ = n / (n + 1)
✏️ जब n = 1, 2, 3, 4, 5
a₁ = 1/2
a₂ = 2/3
a₃ = 3/4
a₄ = 4/5
a₅ = 5/6
✔️ अनुक्रम: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6
🟢 प्रश्न 3.
aₙ = 2ⁿ
✏️ जब n = 1, 2, 3, 4, 5
a₁ = 2
a₂ = 4
a₃ = 8
a₄ = 16
a₅ = 32
✔️ अनुक्रम: 2, 4, 8, 16, 32
🟢 प्रश्न 4.
aₙ = (2n − 3) / 6
✏️ जब n = 1, 2, 3, 4, 5
a₁ = (2×1 − 3)/6 = −1/6
a₂ = (4 − 3)/6 = 1/6
a₃ = (6 − 3)/6 = 1/2
a₄ = (8 − 3)/6 = 5/6
a₅ = (10 − 3)/6 = 7/6
✔️ अनुक्रम: −1/6, 1/6, 1/2, 5/6, 7/6
🟢 प्रश्न 5.
aₙ = (−1)ⁿ⁻¹ × 5ⁿ⁺¹
✏️ जब n = 1, 2, 3, 4, 5
a₁ = (−1)⁰×5² = 25
a₂ = (−1)¹×5³ = −125
a₃ = (−1)²×5⁴ = 625
a₄ = (−1)³×5⁵ = −3125
a₅ = (−1)⁴×5⁶ = 15625
✔️ अनुक्रम: 25, −125, 625, −3125, 15625
🟢 प्रश्न 6.
aₙ = n(n² + 5)/4
✏️ जब n = 1, 2, 3, 4, 5
a₁ = 1(1 + 5)/4 = 6/4 = 3/2
a₂ = 2(4 + 5)/4 = 18/4 = 9/2
a₃ = 3(9 + 5)/4 = 42/4 = 21/2
a₄ = 4(16 + 5)/4 = 84/4 = 21
a₅ = 5(25 + 5)/4 = 150/4 = 75/2
✔️ अनुक्रम: 3/2, 9/2, 21/2, 21, 75/2
प्रश्न 7. aₙ = 4n − 3 ; a₁₇, a₂₄ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
a₁₇ = 4×17 − 3 = 68 − 3 = 65
a₂₄ = 4×24 − 3 = 96 − 3 = 93
🔵 प्रश्न 8. aₙ = n² / 2ⁿ ; a₇ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
a₇ = 7² / 2⁷ = 49 / 128 = 49/128
🔵 प्रश्न 9. aₙ = (−1)ⁿ⁻¹·n³ ; a₉ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
a₉ = (−1)⁸·9³ = 1·729 = 729
🔵 प्रश्न 10. aₙ = [n(n − 2)] / (n + 3) ; a₂₀ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
a₂₀ = [20(20 − 2)]/(20 + 3) = (20×18)/23 = 360/23
🔵 प्रश्न 11. a₁ = 3, aₙ = 3aₙ₋₁ + 2 (सभी n > 1 के लिए) — प्रथम पाँच पद तथा संगत श्रेणी लिखिए।
🟢 उत्तर (पद):
a₁ = 3
a₂ = 3a₁ + 2 = 9 + 2 = 11
a₃ = 3a₂ + 2 = 33 + 2 = 35
a₄ = 3a₃ + 2 = 105 + 2 = 107
a₅ = 3a₄ + 2 = 321 + 2 = 323
✔️ अनुक्रम: 3, 11, 35, 107, 323, …
✔️ संगत श्रेणी: 3 + 11 + 35 + 107 + 323 + …
🔵 प्रश्न 12. a₁ = −1, aₙ = aₙ₋₁ / n (n ≥ 2) — प्रथम पाँच पद तथा संगत श्रेणी लिखिए।
🟢 उत्तर (पद):
a₁ = −1
a₂ = a₁/2 = −1/2
a₃ = a₂/3 = −1/6
a₄ = a₃/4 = −1/24
a₅ = a₄/5 = −1/120
✔️ अनुक्रम: −1, −1/2, −1/6, −1/24, −1/120, …
✔️ संगत श्रेणी: −1 − 1/2 − 1/6 − 1/24 − 1/120 − …
🔵 प्रश्न 13. a₁ = a₂ = 2, aₙ = aₙ₋₁ − aₙ₋₂ (n > 2) — प्रथम पाँच पद तथा संगत श्रेणी लिखिए।
🟢 उत्तर (पद):
a₁ = 2
a₂ = 2
a₃ = a₂ − a₁ = 2 − 2 = 0
a₄ = a₃ − a₂ = 0 − 2 = −2
a₅ = a₄ − a₃ = (−2) − 0 = −2
✔️ अनुक्रम: 2, 2, 0, −2, −2, …
✔️ संगत श्रेणी: 2 + 2 + 0 − 2 − 2 + …
🔵 प्रश्न 14. फिबोनाची अनुक्रम परिभाषित है: a₁ = a₂ = 1 तथा aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (n > 2).
a₍ₙ₊₁₎/aₙ ज्ञात कीजिए, जब n = 1, 2, 3, 4, 5.
🟢 उत्तर:
फिबोनाची पद: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
अनुपात a₍ₙ₊₁₎/aₙ:
n=1 → a₂/a₁ = 1/1 = 1
n=2 → a₃/a₂ = 2/1 = 2
n=3 → a₄/a₃ = 3/2 = 3/2
n=4 → a₅/a₄ = 5/3 = 5/3
n=5 → a₆/a₅ = 8/5 = 8/5
📘 प्रश्नावली 8.2
🔵 प्रश्न 1.
गुणोत्तर श्रेणी 5/2, 5/4, 5/8,… का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
यहाँ a = 5/2, r = (5/4) ÷ (5/2) = 1/2
✏️ nवाँ पद का सूत्र:
aₙ = a·rⁿ⁻¹
➡️ aₙ = (5/2)·(1/2)ⁿ⁻¹ = (5)/(2ⁿ)
अब,
20वाँ पद = a₂₀ = 5 / (2²⁰) = 5 / 1048576
🔵 प्रश्न 2.
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 है तथा सार्व अनुपात 2 है।
🟢 उत्तर:
a₈ = a·r⁷ = 192
a·2⁷ = 192
a = 192 / 128 = 1.5
अब,
a₁₂ = a·r¹¹ = 1.5·2¹¹ = 1.5 × 2048 = 3072
🔵 प्रश्न 3.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः p, q, s हैं। दिखाइए कि q² = ps
🟢 उत्तर:
मान लें प्रथम पद a तथा सार्व अनुपात r है।
तो,
a₅ = a·r⁴ = p
a₈ = a·r⁷ = q
a₁₁ = a·r¹⁰ = s
अब,
q² = (a·r⁷)² = a²·r¹⁴
ps = (a·r⁴)(a·r¹⁰) = a²·r¹⁴
अतः ✔️ q² = ps
🔵 प्रश्न 4.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद −3 है। 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
a₄ = a·r³, a₂ = a·r
दिया है a₄ = (a₂)²
a·r³ = (a·r)²
a·r³ = a²·r²
a ≠ 0 ⇒ r = a
अब a = −3 ⇒ r = −3
7वाँ पद a₇ = a·r⁶ = (−3)(−3)⁶ = (−3)(729) = −2187
🔵 प्रश्न 5. अनुक्रम का कौन-सा पद है:
(i) 2, 2√2, 4, …, 128?
🟢 उत्तर:
a = 2, r = (2√2)/2 = √2
128 = 2(√2)ⁿ⁻¹
64 = (√2)ⁿ⁻¹
64 = 2⁶ ⇒ √2ⁿ⁻¹ = 2⁶
2^(n−1)/2 = 2⁶ ⇒ n−1 = 12 ⇒ n = 13
(ii) √3, 3, 3√3, …, 729?
🟢 उत्तर:
a = √3, r = 3 / √3 = √3
729 = √3(√3)ⁿ⁻¹ = (√3)ⁿ
(√3)ⁿ = 729 = 3^(9/2) ⇒ n = 9 ⇒ n = 9
(iii) 1/3, 1/9, 1/27, …, 1/19683?
🟢 उत्तर:
a = 1/3, r = 1/3
(1/3)ⁿ = 1/19683
3ⁿ = 19683 = 3⁹ ⇒ n = 9
🔵 प्रश्न 6. x के किस मान के लिए संख्याएँ −2/7, x, −7/2 गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
🟢 उत्तर:
GP में लगातार तीन पद a, ar, ar² होते हैं।
यहाँ a = −2/7, दूसरा पद x = ar, तीसरा −7/2 = ar².
r = x ÷ (−2/7) = x·(−7/2) = −7x/2
और r = (−7/2) ÷ x = −7/(2x)
समानता: −7x/2 = −7/(2x)
⇒ x² = 1
✔️ x = ±1 (दोनों पर श्रेणी GP है)
🔵 प्रश्न 7. 0.15, 0.015, 0.0015, … 20 पदों तक योगफल
🟢 उत्तर:
a = 0.15, r = 0.1
Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)
S₂₀ = 0.15(1 − 0.1²⁰)/(1 − 0.1)
= (0.15/0.9)(1 − 10⁻²⁰)
= (1/6)(1 − 10⁻²⁰)
✔️ उत्तर: S₂₀ = (1 − 10⁻²⁰)/6
🔵 प्रश्न 8. √7, √21, 3√7, … n पदों तक योगफल
🟢 उत्तर:
a = √7, r = √3 (क्योंकि √21 = √3·√7, 3√7 = (√3)²·√7)
Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
✔️ उत्तर: Sₙ = √7 · [(√3)ⁿ − 1] / (√3 − 1)
🔵 प्रश्न 9. 1, −a, a², −a³, … n पदों तक (a ≠ −1) का योगफल
🟢 उत्तर:
यह GP है: a₁ = 1, r = −a
Sₙ = (1 − rⁿ)/(1 − r) = (1 − (−a)ⁿ)/(1 + a)
✔️ उत्तर: Sₙ = [1 − (−a)ⁿ]/(1 + a)
🔵 प्रश्न 10. x³, x⁵, x⁷, … n पदों तक (x ≠ ±1) का योगफल
🟢 उत्तर:
a = x³, r = x²
Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
= x³(x²ⁿ − 1)/(x² − 1)
✔️ उत्तर: Sₙ = x³(x²ⁿ − 1)/(x² − 1)
🔵 प्रश्न 11. मान ज्ञात कीजिए Σₖ₌₁¹¹ (2 + 3ᵏ)
🟢 उत्तर:
Σ(2 + 3ᵏ) = Σ2 + Σ3ᵏ = 11·2 + [3(3¹¹ − 1)/(3 − 1)]
= 22 + (3¹² − 3)/2
= (3¹² + 41)/2
✔️ उत्तर: (3¹² + 41)/2
🔵 प्रश्न 12. एक GP के तीन पदों का योगफल 39/10 है एवं उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
तीन क्रमिक पद लें: a/r, a, ar
योग: a(1/r + 1 + r) = 39/10
गुणनफल: (a/r)·a·ar = a³ = 1 ⇒ a = 1
अब r + 1 + 1/r = 39/10
r² − (29/10)r + 1 = 0
⇒ 10r² − 29r + 10 = 0
Discriminant = 29² − 4·10·10 = 841 − 400 = 441 = 21²
r = (29 ± 21)/20 ⇒ r = 5/2 या r = 2/5
पद:
• r = 5/2 ⇒ (1/r, 1, r) = (2/5, 1, 5/2)
• r = 2/5 ⇒ (1/r, 1, r) = (5/2, 1, 2/5)
✔️ उत्तर: r = 5/2 या 2/5; पद क्रमशः (2/5, 1, 5/2) या (5/2, 1, 2/5)
🔵 प्रश्न 13.
गुणोत्तर श्रेणी 3, 3², 3³, … के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए?
🟢 हल:
💡 प्रथम पद a = 3, सार्व अनुपात r = 3
🧮 योग Sₙ = a( rⁿ − 1 )/( r − 1 ) = 3(3ⁿ − 1)/(3 − 1) = (3/2)(3ⁿ − 1)
➡️ (3/2)(3ⁿ − 1) = 120
⇒ 3ⁿ − 1 = 80
⇒ 3ⁿ = 81 = 3⁴
✔️ n = 4 (अर्थात् 4 पद)
🔵 פרश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योग 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है। तो प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
मान लें a = प्रथम पद, r = सार्व अनुपात।
✏️ a + ar + ar² = 16 … (1)
✏️ ar³ + ar⁴ + ar⁵ = a r³ (1 + r + r²) = 128 … (2)
(2) ÷ (1) ⇒ r³ = 128/16 = 8 ⇒ r = 2
अब (1) से: a(1 + 2 + 4) = 16 ⇒ 7a = 16 ⇒ a = 16/7
🔶 n पदों का योग:
Sₙ = a( rⁿ − 1 )/( r − 1 ) = (16/7)(2ⁿ − 1)
✔️ उत्तर: a = 16/7, r = 2, तथा Sₙ = (16/7)(2ⁿ − 1)
🔵 प्रश्न 15.
किस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा सातवाँ पद 64 है, तो S₇ ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
T₇ = a r⁶ = 64 ⇒ r⁶ = 64/729 = (2/3)⁶ ⇒ r = ±2/3
🧮 स्थिति 1 (r = 2/3):
S₇ = a(1 − r⁷)/(1 − r)
= 729 [1 − (2/3)⁷]/(1 − 2/3)
= 729·(1 − 128/2187)/(1/3)
= 729·(2059/2187)·3 = 2059
🧮 स्थिति 2 (r = −2/3):
S₇ = 729 [1 − (−2/3)⁷]/(1 + 2/3)
= 729·(1 + 128/2187)/(5/3)
= 729·(2315/2187)·(3/5) = 463
✔️ उत्तर: r = 2/3 ⇒ S₇ = 2059; r = −2/3 ⇒ S₇ = 463
(सामान्यतः धनात्मक r लिया जाता है, तब S₇ = 2059)
🔵 प्रश्न 16.
एक गुणोत्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योग −4 है तथा 5वाँ पद, 3रे पद का 4 गुना है।
🟢 हल:
पद: a, ar, ar², ar³, ar⁴
✏️ a + ar = −4 ⇒ a(1 + r) = −4 … (i)
✏️ 5वाँ = 4 × 3रा ⇒ ar⁴ = 4(ar²) ⇒ r² = 4 ⇒ r = 2 या r = −2
🔶 स्थिति 1: r = 2
(i) ⇒ a(1 + 2) = −4 ⇒ a = −4/3
➡️ श्रेणी: −4/3, −8/3, −16/3, −32/3, −64/3, …
🔶 स्थिति 2: r = −2
(i) ⇒ a(1 − 2) = −4 ⇒ −a = −4 ⇒ a = 4
➡️ श्रेणी: 4, −8, 16, −32, 64, …
✔️ दोनों श्रेणियाँ शर्तें पूरी करती हैं।
🔵 प्रश्न 17.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4था, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y, z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
🟢 हल:
सामान्य पद Tₙ = ar⁽ⁿ⁻¹⁾
✏️ x = ar³, y = ar⁹, z = ar¹⁵
अब,
y² = (ar⁹)² = a²r¹⁸
x·z = (ar³)(ar¹⁵) = a²r¹⁸
💡 अतः y² = xz ⇒ x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं। ✔️
🔵 प्रश्न 18.
अनुक्रम 8, 88, 888, 8888, … के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
kवाँ पद: 8, 88, 888, …
हर पद को लिखें:
tₖ = 8(10ᵏ − 1)/9 (क्योंकि 88…(k अंक) = (10ᵏ − 1)/9)
कुल योग Sₙ = Σ tₖ (k = 1…n)
= (8/9) Σ(10ᵏ − 1)
= (8/9) [ Σ10ᵏ − Σ1 ]
= (8/9) [ 10(10ⁿ − 1)/9 − n ]
🔷 अन्तिम रूप:
✔️ Sₙ = (8/81) [ 10·10ⁿ − 10 − 9n ] = (8/81)(10⁽ⁿ⁺¹⁾ − 9n − 10)
🔵 प्रश्न 19.
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 तथा 128, 32, 8, 2, 1/2 के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
✏️ संगत गुणनफल:
2·128 = 256, 4·32 = 128, 8·8 = 64, 16·2 = 32, 32·(1/2) = 16
➡️ नया अनुक्रम: 256, 128, 64, 32, 16
🧮 योग: 256 + 128 + 64 + 32 + 16 = 496 ✔️
🔵 प्रश्न 20.
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar²,…, ar⁽ⁿ⁻¹⁾ तथा A, AR, AR²,…, AR⁽ⁿ⁻¹⁾ के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होता है तथा सार्व अनुपात बताइए।
🟢 हल:
✏️ संगत गुणनफल:
(aA), (aA)(rR), (aA)(rR)², …
➡️ प्रथम पद = aA, सार्व अनुपात = rR
✔️ अतः बनी हुई श्रेणी GP है, common ratio = rR.
🔵 प्रश्न 21.
ऐसे चार पद बताइए जो GP में हों, जिनका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
🟢 हल:
मानें पद: a, ar, ar², ar³
✏️ शर्तें:
(i) ar² = a + 9 ⇒ a(r² − 1) = 9 … 🔹
(ii) ar = ar³ + 18 ⇒ ar(1 − r²) = 18 … 🔹
(ii) में (1 − r²) = −(r² − 1):
⇒ −a r (r² − 1) = 18
लेकिन (r² − 1) = 9/a (from i)
⇒ −a r · (9/a) = 18 ⇒ −9r = 18 ⇒ r = −2
अब (i): a(r² − 1) = a(4 − 1) = 3a = 9 ⇒ a = 3
🧩 चार पद: 3, −6, 12, −24
✔️ जाँच: T₃ − T₁ = 12 − 3 = 9 ✅; T₂ − T₄ = (−6) − (−24) = 18 ✅
🔵 प्रश्न 22.
यदि किसी GP का pवाँ, qवाँ, nवाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
b^(p−n) · c^(q−p) · a^(n−q) = 1.
🟢 हल (सामान्य पद Tₖ = t·r^(k−1)):
a = t r^(p−1), b = t r^(q−1), c = t r^(n−1)
अब,
b^(p−n) c^(q−p) a^(n−q)
= (t r^(q−1))^(p−n) · (t r^(n−1))^(q−p) · (t r^(p−1))^(n−q)
= t^{(p−n)+(q−p)+(n−q)} · r^{(q−1)(p−n)+(n−1)(q−p)+(p−1)(n−q)}
🔹 घातों का योग: (p−n)+(q−p)+(n−q) = 0 ⇒ t⁰ = 1
🔹 r के घात में भी कुल योग 0 आता है (सरलीकरण करने पर) ⇒ r⁰ = 1
अतः b^(p−n) c^(q−p) a^(n−q) = 1 ✔️
🔵 प्रश्न 23.
यदि किसी GP का प्रथम पद = a तथा nवाँ पद = b है, तो सिद्ध कीजिए कि Pₙ² = (ab)ⁿ, जहाँ Pₙ = प्रथम n पदों का गुणनफल।
🟢 हल:
Pₙ = ∏_{k=1}^{n} (a r^{k−1}) = aⁿ r^{n(n−1)/2}
और b = a r^{n−1} ⇒ ab = a² r^{n−1}
अब,
Pₙ² = a^{2n} r^{n(n−1)}
(ab)ⁿ = (a² r^{n−1})ⁿ = a^{2n} r^{n(n−1)}
⇒ Pₙ² = (ab)ⁿ ✔️
🔵 प्रश्न 24.
दिखाइए कि किसी GP के प्रथम n पदों का योग तथा (n+1)वें से 2nवें पद तक के योग का अनुपात 1 : rⁿ है (r ≠ 1).
🟢 हल:
Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)
S_{(n+1)→2n} = S_{2n} − Sₙ
= a(1 − r^{2n})/(1 − r) − a(1 − rⁿ)/(1 − r)
= a(rⁿ − r^{2n})/(1 − r)
= rⁿ · Sₙ
अतः
Sₙ : (S_{2n} − Sₙ) = 1 : rⁿ
या Sₙ / (S_{2n} − Sₙ) = 1 / rⁿ ✔️
🔵 प्रश्न 25.
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि
(a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²
🟢 हल:
✏️ चूँकि a, b, c, d GP में हैं,
⇒ b = ar, c = ar², d = ar³
अब LHS = (a² + b² + c²)(b² + c² + d²)
= [a² + (ar)² + (ar²)²] [ (ar)² + (ar²)² + (ar³)² ]
= a⁶ [ (1 + r² + r⁴)(r² + r⁴ + r⁶) ]
RHS = (ab + bc + cd)²
= [ a(ar) + (ar)(ar²) + (ar²)(ar³) ]²
= a⁶ [ (r + r³ + r⁵)² ]
💡 अब देखें:
(1 + r² + r⁴)(r² + r⁴ + r⁶) = (r + r³ + r⁵)²
✅ अतः दोनों पक्ष समान हैं, अर्थात् सिद्ध हुआ।
🔵 प्रश्न 26.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम GP बन जाए।
🟢 हल:
✏️ मान लें दो संख्याएँ x और y हैं।
अनुक्रम: 3, x, y, 81
GP में होने से:
x² = 3y और y² = 81x
पहले से y = x² / 3
⇒ (x² / 3)² = 81x
⇒ x⁴ / 9 = 81x
⇒ x³ = 729
⇒ x = 9
अब y = x² / 3 = 81 / 3 = 27
✔️ अतः संख्याएँ 9 और 27 हैं।
🔵 प्रश्न 27.
n का मान ज्ञात कीजिए ताकि
(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) / (aⁿ + bⁿ)
a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
हल:
✏️ दिया गया है:
गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) = √(ab)
अब हमें ऐसा n निकालना है जिसके लिए
➡️ (aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) / (aⁿ + bⁿ) = √(ab)
🟢 चरण 1:
दोनों ओर (aⁿ + bⁿ) से गुणा कीजिए —
aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ = √(ab)(aⁿ + bⁿ)
🟢 चरण 2:
दोनों ओर को aⁿ⁺¹ से विभाजित करें —
1 + (b/a)ⁿ⁺¹ = √(b/a) [1 + (b/a)ⁿ]
अब मान लें (b/a) = r, तब समीकरण बन जाएगा —
1 + rⁿ⁺¹ = √r (1 + rⁿ)
🟢 चरण 3:
इसे विस्तार से लिखें —
1 + rⁿ⁺¹ = r^(1/2) + r^(n + 1/2)
पदों को समूहित करें —
(1 − r^(1/2)) + (rⁿ⁺¹ − r^(n + 1/2)) = 0
(1 − √r)(1 − r^(n + 1/2)) = 0
🟢 चरण 4:
क्योंकि r ≠ 1 (क्योंकि a ≠ b),
इसलिए 1 − r^(n + 1/2) = 0
अर्थात्,
r^(n + 1/2) = 1
यह तभी संभव है जब घातांक = 0 हो,
अर्थात् n + 1/2 = 0
✅ अंततः:
➡️ n = −1/2
उत्तर: n = −1/2 ✔️
🔵 प्रश्न 28.
दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है।
दिखाइए कि संख्याएँ (3 + 2√2) : (3 − 2√2) के अनुपात में हैं।
🟢 हल:
मान लें संख्याएँ a और b हैं।
योग = 6 × √(ab)
अर्थात् a + b = 6√(ab)
✏️ मान लें √(a/b) = r ⇒ a = r²b
Substitute: r²b + b = 6√(r²b²)
⇒ b(r² + 1) = 6br
⇒ r² − 6r + 1 = 0
⇒ r = 3 ± 2√2
अतः अनुपात a : b = r² : 1 = (3 ± 2√2) : 1
✔️ या संख्याएँ (3 + 2√2) : (3 − 2√2) के अनुपात में हैं।
🔵 प्रश्न 29.
यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ A ± √(A + G)(A − G) हैं।
🟢 हल:
✏️ मान लें मूल संख्याएँ a और b हैं। तब
• समांतर माध्य: A = (a + b)/2
• गुणोत्तर माध्य: G = √(ab)
➡️ अतः a + b = 2A तथा ab = G²
अब a, b के लिए द्विघात बनेगा:
x² − (a + b)x + ab = 0 ⇒ x² − 2Ax + G² = 0
द्विघात सूत्र से:
x = [2A ± √(4A² − 4G²)]/2 = A ± √(A² − G²)
परन्तु A² − G² = (A + G)(A − G)
✔️ सिद्ध: संख्याएँ A ± √(A + G)(A − G) हैं।
🔵 प्रश्न 30.
किसी कल्चर में जीवाणुओं की संख्या प्रति घण्टा दुगुनी हो जाती है। आरम्भ में 30 जीवाणु थे। दूसरे, चौथे तथा nवें घण्टे बाद संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
यह गुणोत्तर श्रेणी है।
• प्रथम पद a = 30
• सार्व अनुपात r = 2
सामान्य पद: aₙ = a·rⁿ⁻¹
➡️ a₂ = 30·2¹ = 60
➡️ a₄ = 30·2³ = 240
➡️ aₙ = 30·2ⁿ⁻¹ ✔️
🔵 प्रश्न 31.
₹500 की राशि पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज से 10 वर्ष बाद कुल राशि ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
सूत्र: A = P(1 + r/100)ⁿ
यहाँ P = 500, r = 10, n = 10
A = 500(1 + 10/100)¹⁰ = 500(1.1)¹⁰
(1.1)¹⁰ ≈ 2.5937424601
➡️ A ≈ 500 × 2.5937424601 = ₹1296.87 (लगभग) ✔️
🔵 प्रश्न 32.
किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का अनुपात 8 : 5 है। वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।
🟢 हल:
मान लें मूल α तथा β हैं।
• समांतर माध्य = (α + β)/2
• गुणोत्तर माध्य = √(αβ)
दिया: (α + β)/2 : √(αβ) = 8 : 5
मान लें कोई धन नियतांक k ऐसा है कि
(α + β)/2 = 8k तथा √(αβ) = 5k
⇒ α + β = 16k, αβ = 25k²
द्विघात का रूप: x² − (α + β)x + αβ = 0
⇒ x² − 16kx + 25k² = 0 (जहाँ k धन नियतांक)
यदि सुविधानुसार k = 1 लें, तो विशेष समीकरण:
➡️ x² − 16x + 25 = 0 ✔️
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
🔷 Section A : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs)
प्रश्न 1. यदि किसी समानांतर अनुक्रम का प्रथम पद 2 है और समान अन्तर 3 है, तो पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 11
🟢 (B) 12
🟠 (C) 14
🔴 (D) 15
उत्तर: (C) 14
✏️ aₙ = a + (n−1)d = 2 + (5−1)×3 = 14
प्रश्न 2. यदि aₙ = 7 + (n−1)×2, तो यह किस प्रकार का अनुक्रम है?
🔵 (A) समानांतर अनुक्रम
🟢 (B) गुणोत्तर अनुक्रम
🟠 (C) हार्मोनिक अनुक्रम
🔴 (D) सम्मिश्र अनुक्रम
उत्तर: (A) समानांतर अनुक्रम
प्रश्न 3. अनुक्रम 3, 6, 12, 24,… में सामान्य अनुपात (r) क्या है?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 4
उत्तर: (A) 2
प्रश्न 4. यदि किसी गुणोत्तर अनुक्रम का प्रथम पद 2 और सामान्य अनुपात 3 है, तो तीसरा पद क्या होगा?
🔵 (A) 6
🟢 (B) 9
🟠 (C) 18
🔴 (D) 27
उत्तर: (C) 18
✏️ aₙ = a·rⁿ⁻¹ = 2×3² = 18
प्रश्न 5. यदि किसी समानांतर अनुक्रम में a = 5 और d = −2 है, तो छठा पद क्या होगा?
🔵 (A) −5
🟢 (B) −3
🟠 (C) −7
🔴 (D) 5
उत्तर: (A) −5
✏️ aₙ = a + (n−1)d = 5 + 5(−2) = −5
प्रश्न 6. यदि किसी G.P. का प्रथम पद 81 है और सामान्य अनुपात 1/3 है, तो चौथा पद क्या होगा?
🔵 (A) 9
🟢 (B) 3
🟠 (C) 1
🔴 (D) 27
उत्तर: (B) 3
✏️ aₙ = a·rⁿ⁻¹ = 81×(1/3)³ = 3
प्रश्न 7. अनुक्रम 5, 10, 15,… में समान अन्तर (d) क्या है?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 15
🟠 (C) 5
🔴 (D) 20
उत्तर: (C) 5
प्रश्न 8. अनुक्रम 2, 4, 8, 16,… का nवाँ पद क्या होगा?
🔵 (A) 2n
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) n²
🔴 (D) 2×n
उत्तर: (B) 2ⁿ
प्रश्न 9. Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] किस अनुक्रम का योग सूत्र है?
🔵 (A) समानांतर अनुक्रम
🟢 (B) गुणोत्तर अनुक्रम
🟠 (C) हार्मोनिक अनुक्रम
🔴 (D) सम्मिश्र अनुक्रम
उत्तर: (A) समानांतर अनुक्रम
प्रश्न 10. यदि किसी समानांतर अनुक्रम के प्रथम 20 पदों का योग 200 है और प्रथम पद 2 है, तो समान अन्तर d ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 0.9
🟢 (B) 0.84
🟠 (C) 1.2
🔴 (D) 2
उत्तर: (B) 0.84
✏️ Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
200 = 10 [4 + 19d]
→ 20 = 4 + 19d
→ d = 16/19 ≈ 0.84
प्रश्न 11. यदि aₙ = 2ⁿ है, तो यह कौन-सा अनुक्रम है?
🔵 (A) समानांतर अनुक्रम
🟢 (B) गुणोत्तर अनुक्रम
🟠 (C) हार्मोनिक अनुक्रम
🔴 (D) मिश्रित अनुक्रम
उत्तर: (B) गुणोत्तर अनुक्रम
प्रश्न 12. 1 + 2 + 3 + … + n का योग क्या है?
🔵 (A) n(n−1)/2
🟢 (B) n(n+1)/2
🟠 (C) n²
🔴 (D) n² + n
उत्तर: (B) n(n+1)/2
प्रश्न 13. यदि समानांतर अनुक्रम में a₁ = 5 और a₇ = 23 है, तो समान अन्तर (d) ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (B) 3
✏️ a₇ = a + (7−1)d ⇒ 23 = 5 + 6d ⇒ d = 3
प्रश्न 14. यदि गुणोत्तर अनुक्रम में a₁ = 3 और a₄ = 81 है, तो r का मान क्या होगा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (B) 3
✏️ a₄ = a·r³ ⇒ 81 = 3r³ ⇒ r³ = 27 ⇒ r = 3
प्रश्न 15. यदि किसी G.P. में a = 1 और r = 2 है, तो पाँचवाँ पद क्या होगा?
🔵 (A) 8
🟢 (B) 16
🟠 (C) 32
🔴 (D) 64
उत्तर: (B) 16
✏️ a₅ = a·r⁴ = 1×2⁴ = 16
प्रश्न 16. यदि किसी A.P. में a₃ = 10 और a₇ = 22 है, तो समान अन्तर d का मान क्या होगा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (B) 3
✏️ a₇ − a₃ = 4d = 12 ⇒ d = 3
प्रश्न 17. यदि 5, x, 45 किसी G.P. के क्रमागत पद हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 10
🟢 (B) 15
🟠 (C) 20
🔴 (D) 30
उत्तर: (B) 15
✏️ x² = 5×45 ⇒ x = √225 = 15
प्रश्न 18. यदि a, b, c समानांतर अनुक्रम में हों, तो 2b का मान क्या होगा?
🔵 (A) a + c
🟢 (B) a − c
🟠 (C) a + 2c
🔴 (D) a − 2c
उत्तर: (A) a + c
✏️ समानांतर अनुक्रम में a, b, c ⇒ b − a = c − b ⇒ 2b = a + c
🔶 Section B : अति लघु एवं लघु उत्तर प्रश्न (Short Answer Questions)
प्रश्न 19. समानांतर अनुक्रम का nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ यदि प्रथम पद = a तथा समान अन्तर = d है,
तो सामान्य पद (General Term) होगा —
➡️ aₙ = a + (n − 1)d
प्रश्न 20. गुणोत्तर अनुक्रम का सामान्य पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ यदि प्रथम पद = a तथा सामान्य अनुपात = r है,
तो nवाँ पद —
➡️ aₙ = a·rⁿ⁻¹
प्रश्न 21. समानांतर अनुक्रम 5, 8, 11, … का 20वाँ पद ज्ञात करें।
उत्तर:
🔹 a = 5, d = 3
➡️ aₙ = a + (n − 1)d
a₂₀ = 5 + (20 − 1)×3 = 5 + 57 = 62
प्रश्न 22. गुणोत्तर अनुक्रम 2, 6, 18,… का 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
🔹 a = 2, r = 3
➡️ aₙ = a·rⁿ⁻¹
a₇ = 2×3⁶ = 2×729 = 1458
प्रश्न 23. A.P. का प्रथम पद 10 है तथा समान अन्तर 5 है। इसके प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात करें।
उत्तर:
➡️ Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₁₅ = 15/2 [20 + 14×5] = (15/2)[20 + 70] = (15/2)×90 = 675
🔷 Section C : मध्यम उत्तर प्रश्न (3 अंक वाले प्रश्न)
प्रश्न 24. यदि किसी A.P. में पाँचवाँ पद 12 और 9वाँ पद 20 है, तो a और d ज्ञात करें।
उत्तर:
🔹 a₅ = a + 4d = 12
🔹 a₉ = a + 8d = 20
दोनों को घटाएँ —
(a₉ − a₅) = 4d = 8 ⇒ d = 2
अब, a + 4×2 = 12 ⇒ a = 4
➡️ a = 4, d = 2
प्रश्न 25. यदि किसी G.P. का प्रथम पद 5 और चौथा पद 135 हो, तो r का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
a₄ = a·r³
135 = 5·r³
r³ = 27 ⇒ r = 3
प्रश्न 26. यदि किसी G.P. के प्रथम चार पदों का योग 80 है और उनका गुणनफल 4096 है, तो अनुक्रम ज्ञात करें।
उत्तर:
मान लेते हैं कि अनुक्रम है a, ar, ar², ar³
➡️ योग : a(1 + r + r² + r³) = 80
➡️ गुणनफल : a⁴r⁶ = 4096 ⇒ (ar³/2)⁴ = 4096
साधारण गणना से r = 2, a = 5
अतः अनुक्रम = 5, 10, 20, 40
प्रश्न 27. यदि किसी समानांतर अनुक्रम का 10वाँ पद 34 और 20वाँ पद 74 है, तो प्रथम पद और समान अन्तर ज्ञात करें।
उत्तर:
a₁₀ = a + 9d = 34
a₂₀ = a + 19d = 74
दोनों को घटाएँ —
10d = 40 ⇒ d = 4
अब, a + 9×4 = 34 ⇒ a = −2
➡️ प्रथम पद = −2, समान अन्तर = 4
🔷 Section D : दीर्घ उत्तर प्रश्न (5 अंक वाले प्रश्न)
प्रश्न 28. सिद्ध कीजिए कि समानांतर अनुक्रम के n पदों का योग इस सूत्र से दिया जाता है —
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
उत्तर:
✏️ मान लेते हैं समानांतर अनुक्रम के n पद हैं —
a, (a + d), (a + 2d), …, [a + (n − 1)d]
➡️ अब इन पदों का योग Sₙ मानते हैं —
Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n − 1)d]
🔄 अब इसे उलट क्रम में लिखते हैं —
Sₙ = [a + (n − 1)d] + [a + (n − 2)d] + … + a
✏️ दोनों समीकरणों को जोड़ें —
2Sₙ = n(2a + (n − 1)d)
अतः
➡️ Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
✔️ सिद्ध हुआ।
प्रश्न 29. यदि किसी G.P. का प्रथम पद 3 है और सामान्य अनुपात 2 है, तो पहले 10 पदों का योग ज्ञात करें।
उत्तर:
✏️ G.P. के n पदों का योग सूत्र —
Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
➡️ यहाँ a = 3, r = 2, n = 10
S₁₀ = 3(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 3(1024 − 1)/1 = 3×1023 = 3069
प्रश्न 30. यदि किसी समानांतर अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 5n² + 3n है, तो उसका सामान्य पद aₙ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ हमें ज्ञात है कि
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
➡️ Sₙ = 5n² + 3n
Sₙ₋₁ = 5(n − 1)² + 3(n − 1) = 5(n² − 2n + 1) + 3n − 3 = 5n² − 10n + 5 + 3n − 3 = 5n² − 7n + 2
अब,
aₙ = (5n² + 3n) − (5n² − 7n + 2) = 10n − 2
➡️ अतः aₙ = 10n − 2
प्रश्न 31. सिद्ध कीजिए कि G.P. के तीन क्रमागत पद a/r, a, ar हों तो वे गुणोत्तर अनुक्रम बनाते हैं।
उत्तर:
✏️ G.P. के तीन क्रमागत पद दिए हैं —
a₁ = a/r, a₂ = a, a₃ = ar
अब,
a₂² = (a)² = a²
और
a₁ × a₃ = (a/r) × (ar) = a²
चूँकि a₂² = a₁ × a₃
➡️ अतः ये पद गुणोत्तर अनुक्रम बनाते हैं।
✔️ सिद्ध हुआ।
🔶 Section E : अनुप्रयोग / केस आधारित प्रश्न (5 अंक वाले प्रश्न)
प्रश्न 32. एक बास्केटबॉल खिलाड़ी पहले दिन 3 बार, दूसरे दिन 6 बार, तीसरे दिन 9 बार अभ्यास करता है। यदि यह क्रम 20 दिनों तक जारी रहता है, तो कुल अभ्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
✏️ अनुक्रम : 3, 6, 9, …, (20वाँ पद)
यह समानांतर अनुक्रम है जहाँ a = 3, d = 3, n = 20
➡️ Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
S₂₀ = 20/2 [6 + 19×3] = 10[6 + 57] = 10×63 = 630
प्रश्न 33. एक गेंद को नीचे की ओर फेंका गया, जो हर बार पूर्व ऊँचाई का 3/4 भाग उछलती है। यदि पहली ऊँचाई 64 m थी, तो 5 उछालों के बाद कुल चली दूरी ज्ञात करें।
उत्तर:
✏️ पहले गिरने की दूरी = 64 m
पहला उछाल = 64×(3/4) = 48 m
इसके बाद हर बार दूरी घटती जाएगी — यह G.P. है।
➡️ कुल दूरी = 64 + 2(48 + 36 + 27 + 20.25)
= 64 + 2(131.25) = 64 + 262.5 = 326.5 m
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि किसी ए.पी. का प्रथम पद 2 है और समानांतर अंतर 3 है, तो 10वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 29
🟩 2️⃣ 30
🟨 3️⃣ 31
🟦 4️⃣ 32
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2
यदि किसी जी.पी. का प्रथम पद 3 और अनुपात 2 है, तो पाँचवाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 48
🟩 2️⃣ 24
🟨 3️⃣ 96
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 3
यदि ए.पी. में aₙ = 7n − 3 हो, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ −3
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4
किसी ए.पी. का पाँचवाँ पद 20 तथा 10वाँ पद 35 है। समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 5
किसी ए.पी. का प्रथम पद 5 है और समानांतर अंतर 5 है, तो nवाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 5n
🟩 2️⃣ 5n − 5
🟨 3️⃣ 5n + 5
🟦 4️⃣ n + 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6
यदि ए.पी. के तीन क्रमागत पद a, a + d, a + 2d हों, तो उनका योग = ?
🟥 1️⃣ 3a + 3d
🟩 2️⃣ 3a + 2d
🟨 3️⃣ 3a + d
🟦 4️⃣ 3a
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 7
यदि किसी जी.पी. में a₁ = 2, r = 3, तो a₄ = ?
🟥 1️⃣ 18
🟩 2️⃣ 54
🟨 3️⃣ 27
🟦 4️⃣ 81
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8
यदि किसी ए.पी. के पहले n पदों का योग Sₙ = 3n² + 2n हो, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 9
यदि किसी ए.पी. का प्रथम पद 1 है और समानांतर अंतर 2 है, तो 50वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 99
🟩 2️⃣ 100
🟨 3️⃣ 101
🟦 4️⃣ 102
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10
यदि किसी जी.पी. का प्रथम पद 81 और अनुपात 1/3 है, तो पाँचवाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 11
यदि किसी जी.पी. में a₁ = 1, r = 2, तो S₄ = ?
🟥 1️⃣ 15
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 14
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12
यदि Sₙ = n² हो, तो nवाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 2n + 1
🟩 2️⃣ 2n − 1
🟨 3️⃣ n² − (n − 1)²
🟦 4️⃣ n² + (n − 1)²
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 13
यदि a = 2, d = 3, तो S₅ = ?
🟥 1️⃣ 40
🟩 2️⃣ 35
🟨 3️⃣ 30
🟦 4️⃣ 25
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14
यदि a = 2, r = 2, तो S₄ = ?
🟥 1️⃣ 30
🟩 2️⃣ 32
🟨 3️⃣ 28
🟦 4️⃣ 24
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 15
यदि ए.पी. का पाँचवाँ पद 12 तथा दसवाँ पद 27 है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ −3
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16
यदि किसी ए.पी. के पहले n पदों का योग 5n² है, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 17
यदि ए.पी. में a₁ = 1, a₁₀ = 19, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18
यदि जी.पी. के पहले तीन पद 1, 2, 4 हैं, तो r = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 19
यदि a, b, c जी.पी. में हों, तो b² = ?
🟥 1️⃣ ac
🟩 2️⃣ 2ac
🟨 3️⃣ a + c
🟦 4️⃣ a − c
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20
यदि a, b, c ए.पी. में हों, तो 2b = ?
🟥 1️⃣ a + c
🟩 2️⃣ a − c
🟨 3️⃣ b + c
🟦 4️⃣ b − c
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 21
यदि किसी जी.पी. के पहले n पदों का योग Sₙ = 80 तथा r = 2, a = 5, तो n = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22
यदि किसी ए.पी. में a = 2, d = 3, तो Sₙ = ?
🟥 1️⃣ 3n² + n
🟩 2️⃣ 1.5n² + 0.5n
🟨 3️⃣ n² + n
🟦 4️⃣ n² + 2n
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 23
यदि a = 3, r = 1/2, तो S∞ = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24
यदि ए.पी. के पहले n पदों का योग 5n² − 3n है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ −3
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25
यदि a = 2, r = 1/3, तो S₃ = ?
🟥 1️⃣ 26/9
🟩 2️⃣ 14/9
🟨 3️⃣ 20/9
🟦 4️⃣ 10/9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26
यदि किसी जी.पी. में प्रथम पद 4 और अनुपात 1/2 है, तो S∞ = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27
यदि किसी ए.पी. में a = 2, d = 5, तो 15वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 72
🟩 2️⃣ 77
🟨 3️⃣ 82
🟦 4️⃣ 87
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28
यदि ए.पी. में 7वाँ पद 13 और 13वाँ पद 25 है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29
यदि किसी ए.पी. में a = 5, d = 3, तो पहले 20 पदों का योग = ?
🟥 1️⃣ 710
🟩 2️⃣ 600
🟨 3️⃣ 640
🟦 4️⃣ 720
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30
यदि किसी जी.पी. में a = 3, r = 2, तो 6वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 96
🟩 2️⃣ 192
🟨 3️⃣ 128
🟦 4️⃣ 64
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31
यदि किसी जी.पी. का प्रथम पद 5 और अंतिम पद 320 हो, तथा r = 2, तो पदों की संख्या = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32
यदि किसी ए.पी. का प्रथम पद 1 और समानांतर अंतर 1 है, तो Sₙ = ?
🟥 1️⃣ n(n + 1)/2
🟩 2️⃣ n²
🟨 3️⃣ n
🟦 4️⃣ n² + n
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33
यदि किसी जी.पी. में a = 2, r = 3, तो S₅ = ?
🟥 1️⃣ 242
🟩 2️⃣ 242/2
🟨 3️⃣ 242/3
🟦 4️⃣ 243
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34
यदि किसी ए.पी. के पहले n पदों का योग Sₙ = n² + 3n हो, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35
यदि किसी जी.पी. का प्रथम पद 16 और अनुपात 1/2 है, तो पाँचवाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36
यदि किसी ए.पी. के पहले n पदों का योग Sₙ = 5n² + 3n है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37
यदि किसी ए.पी. में a₁ = 7, a₅ = 19, तो d = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38
यदि ए.पी. में 3 क्रमागत पद हों x − 1, x, x + 1, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ x
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39
यदि किसी जी.पी. में Sₙ = 63, a = 3, r = 2, तो n = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40
यदि किसी ए.पी. में a = 4, d = 3, तो 25वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 76
🟩 2️⃣ 77
🟨 3️⃣ 78
🟦 4️⃣ 79
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41
यदि किसी जी.पी. का अनुपात 2 और तीसरा पद 8 है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42
यदि किसी ए.पी. में a = 2, d = 3, तो S₁₀ = ?
🟥 1️⃣ 155
🟩 2️⃣ 145
🟨 3️⃣ 150
🟦 4️⃣ 160
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43
यदि किसी ए.पी. में a = 1, d = 2, तो S₁₀ = ?
🟥 1️⃣ 100
🟩 2️⃣ 90
🟨 3️⃣ 110
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44
यदि किसी जी.पी. में a = 4, r = 3, तो S₃ = ?
🟥 1️⃣ 52
🟩 2️⃣ 64
🟨 3️⃣ 40
🟦 4️⃣ 48
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45
यदि किसी जी.पी. का प्रथम पद 5 और अनुपात 1/5 हो, तो S∞ = ?
🟥 1️⃣ 25/4
🟩 2️⃣ 5/4
🟨 3️⃣ 5/2
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46
यदि ए.पी. का 5वाँ पद 20 और 15वाँ पद 60 हो, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47
यदि किसी ए.पी. के पहले 5 पदों का योग 40 है, तो औसत = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48
यदि किसी जी.पी. का प्रथम पद 6, अनुपात 1/2 है, तो तीसरा पद = ?
🟥 1️⃣ 1.5
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 2.5
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49
यदि किसी ए.पी. का प्रथम पद 5 और समानांतर अंतर 3 है, तो 50वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 152
🟩 2️⃣ 150
🟨 3️⃣ 153
🟦 4️⃣ 155
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50
यदि किसी जी.पी. में Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) हो, तो यह सूत्र लागू होगा जब r ≠ ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ −1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि एक अंकगणितीय श्रेणी का प्रथम पद 5 है तथा समानांतर अंतर 3 है, तो 10वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 32
🟩 2️⃣ 33
🟨 3️⃣ 35
🟦 4️⃣ 34
✔️ उत्तर: 2️⃣ 33
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 2
यदि एक ज्यामितीय श्रेणी का प्रथम पद 3 है और सामान्य अनुपात 2 है, तो 5वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 24
🟩 2️⃣ 48
🟨 3️⃣ 96
🟦 4️⃣ 60
✔️ उत्तर: 3️⃣ 96
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 3
यदि किसी ए.पी. का 3रा पद 7 और 7वाँ पद 19 है, तो समानांतर अंतर (d) = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 4
यदि 3 संख्याएँ ए.पी. में हैं और उनका योग 15 तथा गुणनफल 80 है, तो संख्याएँ = ?
🟥 1️⃣ 3, 5, 7
🟩 2️⃣ 4, 5, 6
🟨 3️⃣ 2, 5, 8
🟦 4️⃣ 2, 4, 9
✔️ उत्तर: 2️⃣ 4, 5, 6
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 5
यदि ए.पी. का प्रथम पद 2 है और समानांतर अंतर 2 है, तो पहले 10 पदों का योग = ?
🟥 1️⃣ 100
🟩 2️⃣ 120
🟨 3️⃣ 110
🟦 4️⃣ 90
✔️ उत्तर: 1️⃣ 100
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 6
यदि G.P. का प्रथम पद 81 और चौथा पद 24 है, तो सामान्य अनुपात = ?
🟥 1️⃣ 1/2
🟩 2️⃣ 2/3
🟨 3️⃣ 1/3
🟦 4️⃣ 3/4
✔️ उत्तर: 2️⃣ 2/3
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 7
यदि किसी G.P. के 3 क्रमागत पद 1/4, x, 4 हैं, तो x = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 8
यदि ए.पी. के पहले n पदों का योग Sn = 3n² + 5n है, तो समानांतर अंतर (d) = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 6
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 9
यदि 5, x, 45 G.P. में हैं, तो x = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 15
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 25
✔️ उत्तर: 4️⃣ 25
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 10
यदि किसी ए.पी. के पहले n पदों का योग n(2n + 1) है, तो प्रथम पद (a) = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 3️⃣ 1
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 11
यदि G.P. का प्रथम पद 2 और सामान्य अनुपात 1/2 है, तो पहले 6 पदों का योग = ?
🟥 1️⃣ 3.9375
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3.9375
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 12
यदि a, b, c ए.पी. में हैं, तो b² = ?
🟥 1️⃣ ac
🟩 2️⃣ 2ac
🟨 3️⃣ (a + c)²/4
🟦 4️⃣ a² + c²
✔️ उत्तर: 1️⃣ ac
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 13
यदि 3 संख्याएँ G.P. में हैं और उनका योग 21 तथा गुणनफल 216 है, तो संख्याएँ = ?
🟥 1️⃣ 3, 6, 12
🟩 2️⃣ 2, 6, 18
🟨 3️⃣ 4, 6, 9
🟦 4️⃣ 5, 6, 10
✔️ उत्तर: 3️⃣ 4, 6, 9
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 14
यदि a, b, c ए.पी. में हैं, तो (b − a) : (c − b) = ?
🟥 1️⃣ 1 : 1
🟩 2️⃣ 2 : 1
🟨 3️⃣ 1 : 2
🟦 4️⃣ 3 : 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1 : 1
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 15
यदि ए.पी. का प्रथम पद 7 है तथा समानांतर अंतर −3 है, तो कितने पदों का योग 0 होगा?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 2️⃣ 8
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 16
यदि G.P. के 2 क्रमागत पदों का योग 30 और गुणनफल 216 है, तो पद = ?
🟥 1️⃣ 6, 24
🟩 2️⃣ 12, 18
🟨 3️⃣ 9, 21
🟦 4️⃣ 8, 22
✔️ उत्तर: 2️⃣ 12, 18
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 17
यदि a, b, c G.P. में हैं और a² + b² + c² = 14, ac = 4, तो b = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ −2
🟨 3️⃣ ±2
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 3️⃣ ±2
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 1)
🔵 प्रश्न 18
यदि a, b, c G.P. में हैं तथा a², b², c² A.P. में हैं, तो G.P. का सामान्य अनुपात = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ −1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ −1
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 19
यदि ए.पी. के पहले 10 पदों का योग 145 है और प्रथम पद 5 है, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 20
यदि किसी G.P. का पाँचवाँ पद 32 और आठवाँ पद 256 है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 16
✔️ उत्तर: 2️⃣ 2
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 21
यदि ए.पी. के n पदों का योग Sn = n² + 2n है, तो 10वाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 21
🟩 2️⃣ 22
🟨 3️⃣ 23
🟦 4️⃣ 24
✔️ उत्तर: 1️⃣ 21
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 22
यदि a, b, c A.P. में हैं, तो a + c = ?
🟥 1️⃣ 2b
🟩 2️⃣ b
🟨 3️⃣ 3b
🟦 4️⃣ 4b
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2b
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 23
यदि G.P. के पहले 3 पदों का योग 26 और गुणनफल 216 है, तो सामान्य अनुपात = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 24
यदि ए.पी. में Sn = n(2n + 1) हो, तो प्रथम पद (a₁) = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 3️⃣ 1
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 25
यदि ए.पी. में तीसरा पद 10 और दसवाँ पद 31 है, तो पहले 10 पदों का योग = ?
🟥 1️⃣ 205
🟩 2️⃣ 200
🟨 3️⃣ 210
🟦 4️⃣ 215
✔️ उत्तर: 1️⃣ 205
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 26
यदि a, ar, ar², ar³ G.P. में हैं, तो उनका योग = ?
🟥 1️⃣ a(1 − r⁴)/(1 − r)
🟩 2️⃣ a(1 − r³)/(1 − r)
🟨 3️⃣ a(1 − r⁵)/(1 − r)
🟦 4️⃣ ar(1 − r³)/(1 − r)
✔️ उत्तर: 1️⃣ a(1 − r⁴)/(1 − r)
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 27
यदि ए.पी. में तीसरा पद 7 और सातवाँ पद 15 है, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 28
यदि G.P. के 4 क्रमागत पद a, b, c, d हैं, तो b²c² = ?
🟥 1️⃣ a²d²
🟩 2️⃣ abcd
🟨 3️⃣ (ac)²
🟦 4️⃣ (bd)²
✔️ उत्तर: 2️⃣ abcd
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 29
यदि ए.पी. के पहले 20 पदों का योग 400 है और प्रथम पद 5 है, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 3
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 30
यदि ए.पी. का पहला पद 4 और समानांतर अंतर 2 है, तो कौन सा पद 100 होगा?
🟥 1️⃣ 48वाँ
🟩 2️⃣ 49वाँ
🟨 3️⃣ 50वाँ
🟦 4️⃣ 51वाँ
✔️ उत्तर: 2️⃣ 49वाँ
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 31
यदि G.P. का प्रथम पद 3 और सामान्य अनुपात 3 है, तो पाँचवाँ पद = ?
🟥 1️⃣ 243
🟩 2️⃣ 81
🟨 3️⃣ 729
🟦 4️⃣ 2187
✔️ उत्तर: 1️⃣ 243
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 32
यदि ए.पी. के n पदों का योग Sn = n² है, तो समानांतर अंतर = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 33
यदि ए.पी. के पहले n पदों का योग Sn = 5n² + 3n है, तो प्रथम पद = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 1️⃣ 8
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 2)
🔵 प्रश्न 34
यदि G.P. में पाँचवाँ पद 16 और आठवाँ पद 128 है, तो सामान्य अनुपात = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 3
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 2)
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
🔷 भाग A — (मध्यम कठिनता) [Q1–Q20]
Q1. समानांतर अनुक्रम 2, 5, 8, 11,… का 25वाँ पद ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 72
🟢 (B) 74
🟠 (C) 76
🔴 (D) 78
➡️ उत्तर: (B) 74
Q2. यदि किसी A.P. का प्रथम पद 7 और समान अन्तर 3 है, तो 10वाँ पद होगा —
🔵 (A) 34
🟢 (B) 37
🟠 (C) 40
🔴 (D) 45
➡️ उत्तर: (A) 34
Q3. किसी G.P. के प्रथम तीन पद 3, 6, 12 हैं। उसका 6वाँ पद होगा —
🔵 (A) 96
🟢 (B) 128
🟠 (C) 192
🔴 (D) 384
➡️ उत्तर: (C) 192
Q4. किसी A.P. में a = 4, d = 2, तो S₅ = ?
🔵 (A) 25
🟢 (B) 30
🟠 (C) 35
🔴 (D) 40
➡️ उत्तर: (B) 30
Q5. 1 + 2 + 3 + … + n का योग है —
🔵 (A) n²
🟢 (B) n(n + 1)/2
🟠 (C) n(n − 1)/2
🔴 (D) (n + 1)²
➡️ उत्तर: (B) n(n + 1)/2
Q6. यदि किसी G.P. में a = 2, r = 3, तो a₄ = ?
🔵 (A) 18
🟢 (B) 27
🟠 (C) 54
🔴 (D) 81
➡️ उत्तर: (C) 54
Q7. किसी A.P. में a₁₀ = 29 और d = 3 है, तो प्रथम पद a = ?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 2
🟠 (C) −1
🔴 (D) 7
➡️ उत्तर: (B) 2
Q8. यदि G.P. का योग Sₙ = 80, a = 5, r = 2 हो, तो n का मान —
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
➡️ उत्तर: (B) 4
Q9. किसी A.P. का 1वाँ और 11वाँ पद क्रमशः 4 और 24 हैं। d = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 4
➡️ उत्तर: (B) 2
Q10. समानांतर अनुक्रम के पहले n पदों का योग Sₙ = 3n² + 2n है, तो उसका 10वाँ पद = ?
🔵 (A) 58
🟢 (B) 60
🟠 (C) 62
🔴 (D) 64
➡️ उत्तर: (A) 58
Q11. गुणोत्तर अनुक्रम 3, 9, 27,… का सामान्य अनुपात r = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 4
➡️ उत्तर: (C) 3
Q12. यदि किसी A.P. में a₁ = 5, a₆ = 20, तो d = ?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
➡️ उत्तर: (B) 3
Q13. यदि किसी G.P. में a = 1, r = ½, तो S∞ = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) ½
🔴 (D) 3
➡️ उत्तर: (B) 2
Q14. 5, 10, 20, 40,… अनुक्रम है —
🔵 (A) A.P.
🟢 (B) G.P.
🟠 (C) H.P.
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
➡️ उत्तर: (B) G.P.
Q15. 2, 5, 8,… का समान अन्तर है —
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
➡️ उत्तर: (B) 3
Q16. यदि किसी G.P. में तीसरा पद 8 और पाँचवाँ पद 32 हो, तो r = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 4
➡️ उत्तर: (B) 2
Q17. यदि Sₙ = 4n² + n हो, तो a₅ = ?
🔵 (A) 38
🟢 (B) 39
🟠 (C) 40
🔴 (D) 41
➡️ उत्तर: (A) 38
Q18. किसी A.P. में 8वाँ पद 30 और 12वाँ पद 50 है, तो d = ?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
➡️ उत्तर: (B) 5
Q19. यदि aₙ = 3n + 2, तो यह कौन सा अनुक्रम है?
🔵 (A) A.P.
🟢 (B) G.P.
🟠 (C) H.P.
🔴 (D) कोई नहीं
➡️ उत्तर: (A) A.P.
Q20. यदि G.P. का योग Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) है, तो यह सूत्र r < 1 के लिए मान्य है।
🔵 (A) सही
🟢 (B) गलत
🟠 (C) कभी-कभी
🔴 (D) नहीं कहा जा सकता
➡️ उत्तर: (A) सही
🔶 भाग B — JEE Main स्तर (उच्च कठिनता वाले प्रश्न)
Q21. यदि किसी A.P. के पहले n पदों का योग Sₙ = 5n² + 2n है, तो इसका 9वाँ पद ज्ञात करें।
🔵 (A) 86
🟢 (B) 88
🟠 (C) 90
🔴 (D) 92
➡️ उत्तर: (C) 90
Q22. यदि G.P. के प्रथम दो पद 2 और 6 हैं, तो इसका 8वाँ पद होगा —
🔵 (A) 1458
🟢 (B) 729
🟠 (C) 2187
🔴 (D) 4374
➡️ उत्तर: (A) 1458
Q23. समानांतर अनुक्रम में यदि a₃ = 12 तथा a₉ = 30 है, तो d का मान ज्ञात करें।
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
➡️ उत्तर: (C) 3
Q24. यदि किसी G.P. में a₄ = 81 और r = 3 हो, तो a = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 3
🟠 (C) 9
🔴 (D) 27
➡️ उत्तर: (A) 1
Q25. किसी A.P. का 6वाँ पद 20 और 10वाँ पद 32 है, तो a और d ज्ञात करें।
🔵 (A) a = 4, d = 2
🟢 (B) a = 8, d = 3
🟠 (C) a = 12, d = 4
🔴 (D) a = 10, d = 5
➡️ उत्तर: (B) a = 8, d = 3
Q26. यदि किसी G.P. के 4 पदों का योग 30 और गुणनफल 81 है, तो अनुक्रम ज्ञात करें।
🔵 (A) 3, 6, 12, 24
🟢 (B) 2, 4, 8, 16
🟠 (C) 1.5, 3, 6, 12
🔴 (D) 1, 3, 9, 27
➡️ उत्तर: (A) 3, 6, 12, 24
Q27. समानांतर अनुक्रम के पहले 20 पदों का योग 610 है और पहला पद 10 है। d ज्ञात करें।
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
➡️ उत्तर: (B) 3
Q28. यदि किसी G.P. के पहले चार पदों का योग 80 और उनका गुणनफल 4096 है, तो अनुक्रम होगा —
🔵 (A) 5, 10, 20, 40
🟢 (B) 3, 6, 12, 24
🟠 (C) 4, 8, 16, 32
🔴 (D) 6, 12, 24, 48
➡️ उत्तर: (A) 5, 10, 20, 40
Q29. किसी A.P. में aₙ = 7n + 1 है। इसका 50वाँ पद = ?
🔵 (A) 348
🟢 (B) 350
🟠 (C) 352
🔴 (D) 354
➡️ उत्तर: (B) 350
Q30. किसी A.P. में यदि 7वाँ पद 17 और 13वाँ पद 35 है, तो 20वाँ पद ज्ञात करें।
🔵 (A) 55
🟢 (B) 57
🟠 (C) 59
🔴 (D) 61
➡️ उत्तर: (A) 55
Q31. यदि किसी A.P. का सामान्य पद aₙ = 2n + 3 है, तो प्रथम 15 पदों का योग S₁₅ = ?
🔵 (A) 255
🟢 (B) 270
🟠 (C) 285
🔴 (D) 300
➡️ उत्तर: (B) 270
Q32. किसी G.P. में यदि a = 2, r = ½, n = 8, तो S₈ = ?
🔵 (A) 3.75
🟢 (B) 3.98
🟠 (C) 3.99
🔴 (D) 4.00
➡️ उत्तर: (A) 3.75
Q33. यदि किसी G.P. के तीन क्रमागत पद x/2, x, 2x हैं, तो r = ?
🔵 (A) ½
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
➡️ उत्तर: (C) 2
Q34. किसी A.P. में a₁ = 6, d = 3 है। कितने पदों का योग 90 होगा?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 6
🟠 (C) 7
🔴 (D) 8
➡️ उत्तर: (B) 6
Q35. यदि G.P. का योग Sₙ = 120 और a = 15, r = 2 है, तो n = ?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
➡️ उत्तर: (B) 4
Q36. किसी अनुक्रम के पहले चार पद 3, 6, 12, 24 हैं। यह अनुक्रम किस प्रकार का है?
🔵 (A) समानांतर
🟢 (B) गुणोत्तर
🟠 (C) हार्मोनिक
🔴 (D) कोई नहीं
➡️ उत्तर: (B) गुणोत्तर
Q37. यदि किसी A.P. का 5वाँ पद 20 और 15वाँ पद 50 है, तो पहले 20 पदों का योग = ?
🔵 (A) 900
🟢 (B) 950
🟠 (C) 1000
🔴 (D) 1050
➡️ उत्तर: (C) 1000
Q38. यदि किसी G.P. में a = 3, r = 2, तो 5 पदों का योग S₅ = ?
🔵 (A) 93
🟢 (B) 95
🟠 (C) 96
🔴 (D) 99
➡️ उत्तर: (C) 93
Q39. किसी A.P. में पहले 50 पदों का योग 4000 है और पहला पद 10 है। समान अन्तर ज्ञात करें।
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
➡️ उत्तर: (C) 3
Q40. किसी G.P. में पहले 6 पदों का योग 364 और प्रथम पद 4 है, तो r = ?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
➡️ उत्तर: (A) 2
Q21. यदि Sₙ = 5n² + 2n हो, तो 9वाँ पद (a₉) क्या होगा?
🔵 (A) 70
🟢 (B) 85
🟠 (C) 90
🔴 (D) 95
उत्तर: (🟠) 90
Q22. यदि किसी G.P. में a = 2 तथा r = 3 है, तो 8वाँ पद क्या होगा?
🔵 (A) 2187
🟢 (B) 1458
🟠 (C) 729
🔴 (D) 4374
उत्तर: (🔴) 4374
Q23. यदि किसी A.P. में a₃ = 12 तथा a₉ = 30 हैं, तो d का मान क्या होगा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (🟢) 3
Q24. यदि किसी G.P. का चौथा पद 81 और सामान्य अनुपात 3 हो, तो प्रथम पद क्या होगा?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 3
🟠 (C) 9
🔴 (D) 27
उत्तर: (🟢) 3
Q25. यदि किसी A.P. में a₆ = 20 और a₁₀ = 32 हैं, तो प्रथम पद क्या होगा?
🔵 (A) 5
🟢 (B) 8
🟠 (C) 10
🔴 (D) 12
उत्तर: (🟢) 8
Q26. किसी G.P. के चार पदों का योग 30 तथा गुणनफल 81 है। तो वह श्रेणी होगी —
🔵 (A) 1, 3, 9, 27
🟢 (B) 3, 6, 12, 24
🟠 (C) 2, 4, 8, 16
🔴 (D) 4, 8, 16, 32
उत्तर: (🟢) 3, 6, 12, 24
Q27. किसी A.P. में S₂₀ = 610 और प्रथम पद 10 है, तो d का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (🟢) 3
Q28. किसी G.P. के चार पदों का योग 80 तथा गुणनफल 4096 है। तो अनुक्रम क्या होगा?
🔵 (A) 4, 8, 16, 32
🟢 (B) 5, 10, 20, 40
🟠 (C) 2, 6, 18, 54
🔴 (D) 3, 9, 27, 81
उत्तर: (🟢) 5, 10, 20, 40
Q29. यदि aₙ = 7n + 1 हो, तो 50वाँ पद क्या होगा?
🔵 (A) 350
🟢 (B) 351
🟠 (C) 352
🔴 (D) 353
उत्तर: (🟠) 352
Q30. यदि किसी A.P. में a₇ = 17 और a₁₃ = 35 हैं, तो a₂₀ का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 52
🟢 (B) 58
🟠 (C) 60
🔴 (D) 64
उत्तर: (🟢) 58
Q31. यदि aₙ = 2n + 3 हो, तो पहले 15 पदों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 255
🟢 (B) 275
🟠 (C) 285
🔴 (D) 300
उत्तर: (🔵) 255
Q32. यदि किसी G.P. के 8 पद हैं, प्रथम पद 2 और r = ½ है, तो S₈ क्या होगा?
🔵 (A) 3.5
🟢 (B) 3.98
🟠 (C) 4.25
🔴 (D) 4.5
उत्तर: (🟢) 3.98
Q33. x/2, x, 2x एक _______ है।
🔵 (A) A.P.
🟢 (B) G.P.
🟠 (C) H.P.
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (🟢) G.P.
Q34. किसी A.P. में Sₙ = 90, a = 6, d = 3 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 5
🟢 (B) 6
🟠 (C) 7
🔴 (D) 8
उत्तर: (🟢) 6
Q35. किसी G.P. में Sₙ = 15(2ⁿ − 1) और Sₙ = 120 हो, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
उत्तर: (🔵) 3
Q36. अनुक्रम 3, 6, 12, 24 किस प्रकार का है?
🔵 (A) A.P.
🟢 (B) G.P.
🟠 (C) H.P.
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (🟢) G.P.
Q37. यदि किसी A.P. में a₅ = 20 और a₁₅ = 50 हों, तो पहले 20 पदों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 710
🟢 (B) 720
🟠 (C) 730
🔴 (D) 740
उत्तर: (🟠) 730
Q38. यदि a = 3 और r = 2 हो, तो पहले 5 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 90
🟢 (B) 93
🟠 (C) 96
🔴 (D) 99
उत्तर: (🟢) 93
Q39. किसी A.P. में S₅₀ = 4000, a = 20 हो, तो d का लगभग मान क्या होगा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 3.27
🔴 (D) 4
उत्तर: (🟠) 3.27
Q40. यदि किसी G.P. में a = 4, S₆ = 364 है, तो r का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (🟢) 3
Q41. यदि किसी A.P. के पहले तीन पद क्रमशः x, y, z हैं और x + z = 2y हो, तो अनुक्रम का प्रकार क्या है?
🔵 (A) A.P.
🟢 (B) G.P.
🟠 (C) H.P.
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (🔵) A.P.
Q42. यदि किसी G.P. के पहले दो पद 3 और 6 हैं, तो 6वाँ पद क्या होगा?
🔵 (A) 72
🟢 (B) 96
🟠 (C) 108
🔴 (D) 192
उत्तर: (🔴) 192
Q43. यदि aₙ = 3n² + 2n हो, तो (a₁₀ − a₉) का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 58
🟢 (B) 60
🟠 (C) 62
🔴 (D) 64
उत्तर: (🔵) 58
Q44. यदि a, b, c किसी G.P. के क्रमिक पद हों, तो (b² = ac) सिद्ध करता है कि —
🔵 (A) G.P. के पद समान हैं
🟢 (B) G.P. का सामान्य अनुपात r = b/a है
🟠 (C) b = c
🔴 (D) उपरोक्त सभी
उत्तर: (🟢) G.P. का सामान्य अनुपात r = b/a है
Q45. किसी A.P. के पहले n पदों का योग Sₙ = 2n² + 3n है, तो उसका सामान्य पद aₙ क्या होगा?
🔵 (A) 4n + 1
🟢 (B) 4n + 2
🟠 (C) 4n + 3
🔴 (D) 2n + 1
उत्तर: (🟢) 4n + 2
Q46. यदि किसी G.P. में a = 2 और r = ½ है, तो अनन्त तक का योग क्या होगा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 1
उत्तर: (🔵) 2
Q47. किसी A.P. के 5वें और 9वें पद क्रमशः 20 और 36 हैं, तो 12वाँ पद क्या होगा?
🔵 (A) 44
🟢 (B) 46
🟠 (C) 48
🔴 (D) 50
उत्तर: (🟠) 48
Q48. यदि aₙ = 2n³ + n² हो, तो प्रथम पद a₁ का मान क्या है?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
उत्तर: (🟢) 4
Q49. यदि किसी G.P. का चौथा पद 16 और सातवाँ पद 128 हो, तो r का मान क्या होगा?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (🔵) 2
Q50. यदि किसी A.P. में प्रथम पद 5 और सामान्य अन्तर 3 हो, तो पहले 50 पदों का योग क्या होगा?
🔵 (A) 3650
🟢 (B) 3825
🟠 (C) 4000
🔴 (D) 4225
उत्तर: (🟢) 3825
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