Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 6. क्रमचय और संचय

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔵 व्याख्या (Explanation)
🌿 परिचय
गणित में जब हमें किसी वस्तु–समूह के तत्वों को क्रम में रखने या चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी होती है, तब हम क्रमचय (Permutation) और संचय (Combination) की अवधारणाओं का प्रयोग करते हैं।
➡️ क्रमचय का अर्थ है वस्तुओं का किसी विशेष क्रम में विन्यास करना।
➡️ संचय का अर्थ है वस्तुओं का केवल चयन करना, क्रम का ध्यान नहीं रखना।
उदाहरण के लिए —
यदि हमारे पास 3 वस्तुएँ A, B, C हैं,
तो “AB” और “BA” दोनों अलग क्रमचय हैं,
परंतु एक ही संचय (क्योंकि दोनों में A और B का चयन समान है)।

💡 क्रमचय (Permutation)
परिभाषा:
किसी n वस्तुओं में से r वस्तुओं को क्रमबद्ध ढंग से व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या को क्रमचय कहते हैं।
सूत्र:
n वस्तुओं में से r वस्तुओं के क्रमचय की संख्या =
nP_r = n! / (n−r)!
जहाँ n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 1

🔴 क्रमचय के प्रकार
1️⃣ सभी वस्तुओं का क्रमचय (r = n)
➡️ कुल क्रमचय = n!
2️⃣ कुछ वस्तुओं का क्रमचय (r < n)
➡️ कुल क्रमचय = nP_r = n! / (n−r)!
3️⃣ दोहराव सहित क्रमचय
➡️ यदि कोई वस्तु एक से अधिक बार दोहराई जा सकती है, तो कुल क्रमचय = n^r
4️⃣ समान वस्तुओं वाले क्रमचय
➡️ यदि n वस्तुओं में से p वस्तुएँ समान प्रकार की, q वस्तुएँ समान प्रकार की हों,
तो कुल क्रमचय = n! / (p! × q! × …)

🟢 संचय (Combination)
परिभाषा:
किसी n वस्तुओं में से r वस्तुओं को बिना क्रम का विचार किए चुनने के तरीकों की संख्या को संचय कहते हैं।
सूत्र:
nC_r = n! / [r! × (n−r)!]
👉 संचय में “क्रम” का कोई महत्व नहीं होता।

🧠 क्रमचय और संचय के बीच संबंध
✔️ nP_r = nC_r × r!
✔️ nC_r = nC_(n−r)

⚡ महत्वपूर्ण नियम (Properties)
🔹 शून्य संचय: nC_0 = 1
🔹 पूर्ण संचय: nC_n = 1
🔹 लगातार संचयों का योग: nC_r + nC_(r−1) = (n+1)C_r
🔹 पदों की समानता: nC_r = nC_(n−r)

✏️ उदाहरण
उदाहरण 1:
5 विद्यार्थियों में से 2 को एक पंक्ति में बैठाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
➡️ कुल वस्तुएँ = 5, चयन = 2
➡️ nP_r = 5P_2 = 5! / (5−2)!
➡️ = 5 × 4 = 20 क्रमचय
उदाहरण 2:
6 छात्रों में से 2 छात्रों का चयन करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
➡️ n = 6, r = 2
➡️ nC_r = 6! / [2! × 4!] = (6×5)/2 = 15 संचय
उदाहरण 3:
“RAM” शब्द के अक्षरों को विभिन्न तरीकों से व्यवस्थित करने की संख्या = 3! = 6

🌿 फैक्टोरियल (Factorial)
परिभाषा:
किसी धनात्मक पूर्णांक n का फैक्टोरियल n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 1
✔️ 0! = 1 (परिभाषा से)
उदाहरण:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

🟣 व्यावहारिक उपयोग
✔️ वस्तुओं, संख्याओं या अक्षरों की विभिन्न संभावनाएँ ज्ञात करने में।
✔️ पासवर्ड, सीट व्यवस्था, रंग संयोजन जैसे दैनिक जीवन के प्रश्नों में।
✔️ प्रायिकता (Probability) के प्रश्नों की नींव के रूप में।

💡 क्रमचय और संचय का अंतर (मुख्य अंतर):

🔵 1️⃣ क्रम का महत्व:
➡️ क्रमचय में वस्तुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण होता है।
➡️ संचय में वस्तुओं का क्रम अप्रासंगिक होता है।

🟢 2️⃣ गणना का प्रकार:
➡️ क्रमचय में प्रत्येक अलग क्रम को अलग गिना जाता है।
➡️ संचय में केवल चयन की गणना होती है, क्रम नहीं।

🟠 3️⃣ सूत्र:
➡️ क्रमचय का सूत्र = nP_r = n! / (n−r)!
➡️ संचय का सूत्र = nC_r = n! / [r!(n−r)!]

🔴 4️⃣ उदाहरण:
➡️ “AB” और “BA” — दोनों अलग क्रमचय हैं।
➡️ पर “AB” और “BA” — एक ही संचय हैं।

✔️ संक्षेप में:
क्रमचय = क्रमबद्ध व्यवस्था
संचय = केवल चयन, बिना क्रम का विचार

🔵 विशेष अवधारणाएँ
1️⃣ क्रमचय की पुनरावृत्ति:
यदि एक वस्तु बार-बार ली जा सकती है, तो कुल क्रमचय n^r होगा।
2️⃣ वृत्ताकार क्रमचय (Circular permutation):
n वस्तुओं को वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = (n−1)!
3️⃣ समान वस्तुओं के साथ क्रमचय:
यदि n वस्तुओं में p, q, r वस्तुएँ समान हैं,
तो कुल क्रमचय = n! / (p! × q! × r!)

🟢 सारांश (Summary)
✔️ क्रमचय = वस्तुओं का क्रमबद्ध विन्यास।
✔️ संचय = वस्तुओं का चयन (क्रम अप्रासंगिक)।
✔️ फैक्टोरियल का प्रयोग दोनों के सूत्रों में किया जाता है।
✔️ nP_r = n! / (n−r)!
✔️ nC_r = n! / [r!(n−r)!]
✔️ nP_r = nC_r × r!
✔️ nC_r = nC_(n−r)
✔️ वृत्ताकार क्रमचय = (n−1)!
✔️ 0! = 1
✔️ क्रमचय में क्रम महत्त्वपूर्ण, संचय में नहीं।

📝 Quick Recap
🔵 क्रमचय: n वस्तुओं में से r वस्तुओं को क्रम से व्यवस्थित करना = nP_r
🟢 संचय: n वस्तुओं में से r वस्तुओं का केवल चयन = nC_r
🟠 संबंध: nP_r = nC_r × r!
🔴 वृत्ताकार क्रमचय: (n−1)!
💡 फैक्टोरियल नियम: n! = n × (n−1) × … × 1

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पाठ्यपुस्त के प्रश्न

📘 प्रश्नावली 6.1

🔵 प्रश्न 1:
अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो।
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति न हो।
✏️ हल:
(i) जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो:
➡️ प्रत्येक स्थान (सैकड़ा, दहाई, इकाई) पर 5 अंकों में से कोई भी अंक रखा जा सकता है।
🔹 कुल संख्याएँ = 5 × 5 × 5 = 125
(ii) जब पुनरावृत्ति की अनुमति न हो:
➡️ सैकड़ा स्थान पर 5 में से कोई भी अंक = 5
➡️ दहाई स्थान पर 4 शेष अंक
➡️ इकाई स्थान पर 3 शेष अंक
🔹 कुल संख्याएँ = 5 × 4 × 3 = 60
✔️ उत्तर: (i) 125, (ii) 60

🟢 प्रश्न 2:
अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो।
✏️ हल:
➡️ सम संख्या की अंतिम संख्या (इकाई अंक) = 2, 4, 6 → 3 विकल्प
➡️ सैकड़ा अंक = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 विकल्प
➡️ दहाई अंक = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 विकल्प
🔹 कुल संख्याएँ = 6 × 6 × 3 = 108
✔️ उत्तर: 108

🔴 प्रश्न 3:
अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4-अक्षरों के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति की अनुमति न हो।
✏️ हल:
➡️ कुल अक्षर = 10
➡️ 4 अक्षरों के कोड = 10P4
➡️ 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040
✔️ उत्तर: 5040 कोड

🟡 प्रश्न 4:
0 से 9 के अंकों का प्रयोग करके कितने 4-अंकीय टेलीफोन नंबर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नंबर 67 से प्रारंभ होता है और कोई अंक एक से अधिक बार न आए।
✏️ हल:
➡️ पहले दो अंक 6 और 7 निश्चित हैं।
➡️ शेष दो स्थानों के लिए 0,1,2,3,4,5,8,9 से चयन (8 अंक)।
➡️ बिना पुनरावृत्ति: 8P2 = 8 × 7 = 56
✔️ उत्तर: 56 टेलीफोन नंबर।

🔵 प्रश्न 5:
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणामों को लिख लिया जाता है। परिणामों की कुल संख्या क्या होगी?
✏️ हल:
➡️ हर उछाल में दो संभावनाएँ: हेड (H) या टेल (T)
➡️ कुल संभावनाएँ = 2 × 2 × 2 = 8
➡️ परिणाम: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
✔️ उत्तर: 8 संभावित परिणाम।

🟢 प्रश्न 6:
भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए गए हैं। इनसे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडे, एक के ऊपर एक, लगाने की आवश्यकता है?
✏️ हल:
➡️ झंडों का क्रम महत्वपूर्ण है (ऊपर और नीचे अलग गिने जाएँगे)।
➡️ 5 झंडों में से 2 का चयन और क्रम = 5P2
➡️ 5P2 = 5 × 4 = 20
✔️ उत्तर: 20 संकेत।
📘 प्रश्नावली 6.2

🔵 प्रश्न 1. मान निकालिए:
(i) 8!
(ii) 4! – 3!

उत्तर:

(i) ✏️ 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
➡️ 8! = 40320 ✔️

(ii) ✏️ 4! – 3! = (4 × 3 × 2 × 1) – (3 × 2 × 1)
➡️ = 24 – 6
➡️ = 18 ✔️

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🟢 प्रश्न 2. क्या 3! + 4! = 7! ?

उत्तर:
✏️ LHS = 3! + 4!
= (3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1)
➡️ = 6 + 24 = 30

✏️ RHS = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
➡️ = 5040

💡 चूँकि 30 ≠ 5040
➡️ इसलिए 3! + 4! ≠ 7! ✔️

────────────────────────────

🟡 प्रश्न 3. 8! / (6! × 2!) का परिकलन कीजिए।

उत्तर:
✏️ 8! = 8 × 7 × 6!
इसलिए,
(8!)/(6! × 2!) = (8 × 7 × 6!) / (6! × 2!)

➡️ 6! कट जाएगा,
= (8 × 7) / (2 × 1)
= 56 / 2 = 28 ✔️

────────────────────────────

🔴 प्रश्न 4. यदि 1/6! + 1/7! = x/8! हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
✏️ दोनों भिन्नों को समान हर (8!) में बदलें —

1/6! + 1/7!
= (8 × 7)/(8!) + (8)/(8!)
➡️ = (56 + 8)/8!
➡️ = 64/8!

अतः x = 64 ✔️

────────────────────────────

🟢 प्रश्न 5. n! / (n–r)! का मान निकालिए जब —
(i) n = 6, r = 2
(ii) n = 9, r = 5

उत्तर:

(i) ✏️ n! / (n–r)! = 6! / (6–2)! = 6! / 4!
= (6 × 5 × 4!)/4! = 30
➡️ उत्तर: 30 ✔️

(ii) ✏️ n! / (n–r)! = 9! / (9–5)! = 9! / 4!
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/4!
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5
= 15120 ✔️

📘 प्रश्नावली 6.3

🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹
प्रश्न 1.
1 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
उत्तर:
✏️ कुल अंक = 9
➡️ 3 अंकीय संख्या बनाने के लिए:
पहले स्थान के लिए 9 विकल्प,
दूसरे के लिए 8,
तीसरे के लिए 7 विकल्प होंगे।
🟢 अतः कुल संख्याएँ = 9 × 8 × 7 = 504
✔️ उत्तर: 504 तीन अंकीय संख्याएँ।

प्रश्न 2.
किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
उत्तर:
➡️ 4 अंकीय संख्या के लिए पहले अंक शून्य नहीं हो सकता।
पहले स्थान के लिए 9 विकल्प (1–9),
दूसरे के लिए 9 विकल्प (0–9 परंतु पहला अंक नहीं),
तीसरे के लिए 8,
चौथे के लिए 7 विकल्प।
💡 कुल संख्याएँ = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
✔️ उत्तर: 4536 चार अंकीय संख्याएँ।

प्रश्न 3.
अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
उत्तर:
➡️ सम संख्या का अंतिम अंक सम होगा → {2, 4, 6}
🔵 मामला 1: अंतिम अंक 2 → शेष अंक {1, 3, 4, 6, 7}
पहले स्थान के लिए 5, दूसरे के लिए 4 विकल्प → 5×4=20
🔵 मामला 2: अंतिम अंक 4 → शेष अंक {1, 2, 3, 6, 7} → फिर 5×4=20
🔵 मामला 3: अंतिम अंक 6 → शेष अंक {1, 2, 3, 4, 7} → फिर 5×4=20
💡 कुल = 20+20+20 = 60 सम संख्याएँ।
✔️ उत्तर: 60 तीन अंकीय सम संख्याएँ।

प्रश्न 4.
अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?
उत्तर:
✏️ बिना दोहराव के कुल 4 अंकीय संख्याएँ = 5P4 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120
➡️ सम संख्याओं के लिए अंतिम अंक सम होगा → {2, 4}
🔵 मामला 1: अंतिम अंक 2 → शेष अंक {1, 3, 4, 5}
पहले तीन स्थान = 4P3 = 24
🔵 मामला 2: अंतिम अंक 4 → शेष अंक {1, 2, 3, 5}
पहले तीन स्थान = 4P3 = 24
💡 कुल सम संख्याएँ = 24 + 24 = 48
✔️ उत्तर: कुल 120 चार अंकीय संख्याएँ, जिनमें 48 सम संख्याएँ हैं।

प्रश्न 5.
8 व्यक्तियों की समिति में, हम किसी प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यदि एक व्यक्ति दोनों पद न ग्रहण कर सके?
उत्तर:
➡️ अध्यक्ष चुनने के 8 तरीके।
➡️ उपाध्यक्ष चुनने के 7 तरीके (एक व्यक्ति पहले ही चुना गया)।
💡 कुल तरीके = 8 × 7 = 56
✔️ उत्तर: 56 तरीके।

प्रश्न 6.
यदि n−1P3 = nP2 = 1! हो, तो n ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 सूत्र: nPr = n! / (n−r)!
➡️ n−1P3 = 1!
⇒ (n−1)! / (n−4)! = 1
⇒ (n−1)(n−2)(n−3) = 1
अब संभव मान n = 4 रखने पर:
(3×2×1) = 6 ≠ 1
n = 3 रखने पर: (2×1×0) = 0 ≠ 1
n = 2 रखने पर: मान नहीं बनता।
👉 अतः ऐसा कोई प्राकृतिक n नहीं जिससे यह समीकरण सत्य हो।
✔️ उत्तर: कोई उपयुक्त प्राकृतिक संख्या नहीं।

प्रश्न 7.
r ज्ञात कीजिए यदि
(i) 5Pₙ = 2 × 6P₍ₙ₋₁₎
(ii) 5Pₙ = 6P₍ₙ₋₁₎
उत्तर (i):
➡️ 5Pₙ = 2 × 6P₍ₙ₋₁₎
⇒ 5! / (5−r)! = 2 × [6! / (6−r−1)!]
⇒ 120 / (5−r)! = 2 × 720 / (5−r)!
यह तभी संभव जब दोनों पक्ष समान हों।
समीकरण हल करने पर r = 5 प्राप्त होता है।
✔️ उत्तर: r = 5
उत्तर (ii):
➡️ 5Pₙ = 6P₍ₙ₋₁₎
इसी विधि से हल करने पर
✔️ उत्तर: r = 4

प्रश्न 8.
EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
उत्तर:
🔵 EQUATION में कुल 8 अलग-अलग अक्षर हैं: E, Q, U, A, T, I, O, N
➡️ कुल अक्षरों की संख्या = 8
🟢 सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कुल संभव व्यवस्थाएँ (क्रमचय):
n! = 8!
✏️ अतः
8! = 40320
✔️ उत्तर: 40320 शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बन सकते हैं।

प्रश्न 9.
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं होती, यदि—
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाएँ।
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाएँ।
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाए, पर प्रथम अक्षर एक स्वर हो।
उत्तर:
MONDAY में 6 अक्षर हैं – M, O, N, D, A, Y
🟢 स्वर (A, O) = 2
🟡 व्यंजन = 4
(i) 4 अक्षरों के क्रमचय:
nPᵣ = 6P₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
(ii) सभी अक्षर लिए जाएँ → 6P₆ = 6! = 720
(iii) प्रथम अक्षर स्वर = 2 विकल्प (A या O)
शेष 5 अक्षरों को 5! = 120 रीति से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए कुल = 2 × 120 = 240
✔️ उत्तर: (i) 360, (ii) 720, (iii) 240

प्रश्न 10.
MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमों में से कितने में चारों ‘I’ एक साथ न आते हैं?
उत्तर:
MISSISSIPPI में कुल अक्षर = 11
विवरण: M–1, I–4, S–4, P–2
➡️ कुल संभावित क्रमचय:
= 11! / (1! × 4! × 4! × 2!)
अब उन क्रमों की संख्या निकालें जहाँ सभी ‘I’ एक साथ हों।
चार ‘I’ को एक एकक (ब्लॉक) मानें → कुल घटक = 11 − 4 + 1 = 8
इनमें अक्षर: M, (IIII), S(4), P(2)
➡️ कुल क्रमचय = 8! / (4! × 2!)
अतः
चारों ‘I’ एक साथ न आएँ → कुल = [11! / (4! × 4! × 2!)] − [8! / (4! × 2!)]
✔️ उत्तर: कुल संख्या = (11! / (4! × 4! × 2!)) − (8! / (4! × 2!))

प्रश्न 11.
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि—
(i) चयनित शब्द का प्रारम्भ P से तथा अन्त S से हो।
(ii) सभी स्वर साथ-साथ हों।
(iii) P तथा S के बीच सदैव 4 अक्षर हों।
उत्तर:
PERMUTATIONS में कुल 12 अक्षर हैं: P, E, R, M, U, T, A, T, I, O, N, S
(यहाँ T दो बार आता है)
🔵 कुल अक्षर = 12
🔴 T दोहराया है → 2 समान

(i) प्रथम अक्षर P स्थिर, अन्तिम S स्थिर → शेष 10 अक्षर = 10! / 2!
✔️ उत्तर = 10! / 2!

(ii) स्वर = E, U, A, I, O (कुल 5)
इन्हें एक एकक (ब्लॉक) मानें → साथ-साथ
अब घटक = 6 (स्वर ब्लॉक + 7 शेष व्यंजन में T दोहराया)
= (7! / 2!) × (स्वरों के भीतर 5!)
✔️ उत्तर = (7! × 5!) / 2!

(iii) P और S के बीच सदैव 4 अक्षर हों।
P का स्थान 1 से 8 तक हो सकता है (क्योंकि P और S के बीच 4 अक्षर हों, अर्थात् S का स्थान = P + 5)।
अतः P के 8 संभाव स्थान हैं।
शेष 10 अक्षरों को 10! / 2! रीति से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल = 8 × (10! / 2!)
✔️ उत्तर: (i) 10! / 2! (ii) (7! × 5!) / 2! (iii) 8 × (10! / 2!)

📘 प्रश्नावली 6.4

🔵 प्रश्न 1.
यदि ⁿC₈ = ⁿC₂ तो ⁿC₂ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
💡 गुणधर्म — ⁿCᵣ = ⁿC₍ₙ₋ᵣ₎
➡️ अतः 8 = n − 2
⟹ n = 10
✏️ अब ⁿC₂ = ¹⁰C₂
= (10 × 9) / 2 = 45
✔️ उत्तर: 45

🔵 प्रश्न 2.
n का मान ज्ञात कीजिए, यदि
(i) ²ⁿC₂ : ⁿC₂ = 12 : 1
(ii) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1

🟢 (i) हल:
दिया है –
(²ⁿC₂) / (ⁿC₂) = 12
अब सूत्र लगाएँ –
ⁿCᵣ = n! / [r!(n−r)!]
तो,
(²ⁿC₂) / (ⁿC₂)
= [(2n)! / (2!(2n−2)!)] ÷ [n! / (2!(n−2)!)]
= [(2n)(2n−1)] / [n(n−1)]
= [2(2n−1)] / (n−1)
अब इसे 12 के बराबर रखें –
2(2n−1)/(n−1) = 12
⇒ 4n − 2 = 12n − 12
⇒ 8n = 10
⇒ n = 1.25
💡 अतः कोई भी प्राकृतिक संख्या (integer n) संभव नहीं है।

🟢 (ii) हल:
दिया है –
(²ⁿC₃) / (ⁿC₃) = 11
अब सूत्र लगाएँ –
ⁿCᵣ = n! / [r!(n−r)!]
तो,
(²ⁿC₃) / (ⁿC₃)
= [(2n)! / (3!(2n−3)!)] ÷ [n! / (3!(n−3)!)]
= [(2n)(2n−1)(2n−2)] / [n(n−1)(n−2)]
अब इसे 11 के बराबर रखें –
(2n)(2n−1)(2n−2) / [n(n−1)(n−2)] = 11
अब जाँच द्वारा हल करें –
यदि n = 6,
तो ²ⁿC₃ = ¹²C₃ = (12×11×10)/(3×2×1) = 220
और ⁿC₃ = ⁶C₃ = (6×5×4)/(3×2×1) = 20
⇒ अनुपात = 220 / 20 = 11 ✔️
अतः n = 6

✔️ अंतिम उत्तर:
(i) कोई प्राकृतिक n नहीं
(ii) n = 6
🔵 प्रश्न 3.
किसी वृत्त पर स्थित 21 बिंदुओं से होकर कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
🟢 उत्तर:
हर जीवा दो अलग-अलग बिंदुओं से निर्धारित होती है।
अतः संख्या = ²¹C₂
²¹C₂ = (21 × 20) / 2 = 210
✔️ उत्तर: 210

🔵 प्रश्न 4.
5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के तथा 3 लड़कियों की टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
🟢 उत्तर:
लड़के चुनने के तरीके = ⁵C₃ = (5×4×3)/(3×2×1) = 10
लड़कियाँ चुनने के तरीके = ⁴C₃ = 4
कुल तरीके = 10 × 4 = 40
✔️ उत्तर: 40

🔵 प्रश्न 5.
6 लाल, 5 सफेद और 5 नीली गेंदों में से 9 गेंदें चुननी हैं, यदि प्रत्येक रंग की कम से कम 3 गेंदें ली जाएँ।
🟢 उत्तर:
कम से कम 3 का अर्थ — ठीक 3–3 गेंदें (क्योंकि कुल 9)।
अतः संख्या = ⁶C₃ × ⁵C₃ × ⁵C₃
= 20 × 10 × 10 = 2000
✔️ उत्तर: 2000

🔵 प्रश्न 6.
52 पत्तों की गड्डी से 5 पत्ते ऐसे चुनने हैं जिनमें केवल 1 इक्का हो।
🟢 उत्तर:
इक्के 4 हैं, बाक़ी 48 अन्य पत्ते।
एक इक्का चुनने के तरीके = ⁴C₁ = 4
शेष 4 पत्ते 48 में से = ⁴⁸C₄
कुल संयोजन = ⁴C₁ × ⁴⁸C₄
✏️ ⁴⁸C₄ = (48×47×46×45)/(4×3×2×1) = 194580
अतः कुल = 4 × 194580 = 778320
✔️ उत्तर: 4 × ⁴⁸C₄ = 778320

🔵 प्रश्न 7.
17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 खिलाड़ी गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में ठीक 4 गेंदबाज हों?

🟢 उत्तर:
कुल खिलाड़ी = 17
गेंदबाज = 5
गैर-गेंदबाज = 17 − 5 = 12
टीम में कुल 11 खिलाड़ी हैं और प्रत्येक टीम में ठीक 4 गेंदबाज होने चाहिए।
✏️ अतः चयन दो चरणों में होगा —
(1) गेंदबाजों का चयन = ⁵C₄
(2) शेष खिलाड़ियों (गैर-गेंदबाजों) का चयन = ¹²C₇
➡️ कुल चयन के तरीके = ⁵C₄ × ¹²C₇
⁵C₄ = 5
¹²C₇ = ¹²C₅ = (12×11×10×9×8)/(5×4×3×2×1) = 792
✔️ कुल तरीके = 5 × 792 = 3960

🔵 प्रश्न 8.
एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंदें हैं। 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर:
काली गेंदें = 5
लाल गेंदें = 6
2 काली चुनने के तरीके = ⁵C₂
3 लाल चुनने के तरीके = ⁶C₃
कुल तरीके = ⁵C₂ × ⁶C₃
⁵C₂ = (5×4)/(2×1) = 10
⁶C₃ = (6×5×4)/(3×2×1) = 20
✔️ कुल = 10 × 20 = 200

🔵 प्रश्न 9.
9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी 5 पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशेष पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं?

🟢 उत्तर:
कुल पाठ्यक्रम = 9
अनिवार्य पाठ्यक्रम = 2
अतः शेष चुनने वाले पाठ्यक्रम = 5 − 2 = 3
बचे हुए पाठ्यक्रम = 9 − 2 = 7
✏️ शेष 7 में से 3 पाठ्यक्रम चुनने होंगे —
संख्या = ⁷C₃
⁷C₃ = (7×6×5)/(3×2×1) = 35
✔️ उत्तर: 35

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

🔵 Section A — बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) [प्रश्न 1–18]

Question 1:
यदि n = 5 और r = 2, तो nPᵣ का मान क्या होगा?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 15
🟠 (C) 20
🔴 (D) 30
Answer: (C) 20

Question 2:
5 अलग वस्तुओं में से 3 वस्तुओं को क्रमबद्ध रूप में रखने के कितने तरीके होंगे?
🔵 (A) 10
🟢 (B) 20
🟠 (C) 30
🔴 (D) 60
Answer: (D) 60

Question 3:
यदि nCᵣ = nC₄ और n = 9, तो r का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 9
Answer: (C) 6

Question 4:
यदि nC₂ = 10, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 7
Answer: (B) 5

Question 5:
यदि nP₂ = 56, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 7
🟢 (B) 8
🟠 (C) 9
🔴 (D) 10
Answer: (B) 8

Question 6:
यदि nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎, तो इसका अर्थ है —
🔵 (A) संचय का मान असमान है
🟢 (B) संचय का मान समान है
🟠 (C) संचय का मान शून्य है
🔴 (D) संचय का मान ऋणात्मक है
Answer: (B) संचय का मान समान है

Question 7:
6 वस्तुओं में से 2 वस्तुओं का चयन बिना क्रम का विचार किए किया जाए, तो कुल संचय होंगे —
🔵 (A) 10
🟢 (B) 12
🟠 (C) 15
🔴 (D) 20
Answer: (C) 15

Question 8:
यदि nC₀ + nC₁ + nC₂ + … + nCₙ = ?
🔵 (A) 2ⁿ
🟢 (B) n!
🟠 (C) n²
🔴 (D) 2n
Answer: (A) 2ⁿ

Question 9:
यदि 5P₃ = k × 5C₃, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3!
🟠 (C) 3
🔴 (D) 4
Answer: (B) 3!

Question 10:
कुल n वस्तुओं में से सभी का क्रमचय कितने होंगे?
🔵 (A) n!
🟢 (B) nP₁
🟠 (C) nPₙ
🔴 (D) nCₙ
Answer: (A) n!

Question 11:
यदि nC₂ = 6, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 4
🟢 (B) 3
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
Answer: (A) 4

Question 12:
यदि nP₂ = 12, तो n का मान क्या है?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
Answer: (B) 4

Question 13:
यदि 8 विद्यार्थियों में से अध्यक्ष और उपाध्यक्ष का चयन करना है, तो कुल कितने तरीके होंगे?
🔵 (A) 8P₂
🟢 (B) 8C₂
🟠 (C) 8 × 2
🔴 (D) 16
Answer: (A) 8P₂

Question 14:
यदि n = 6 और r = 3, तो nCᵣ का मान होगा —
🔵 (A) 20
🟢 (B) 30
🟠 (C) 15
🔴 (D) 10
Answer: (C) 15

Question 15:
5 वस्तुओं को वृत्त में रखने के कुल कितने क्रमचय होंगे?
🔵 (A) 5!
🟢 (B) (5−1)!
🟠 (C) 5²
🔴 (D) 10
Answer: (B) (5−1)!

Question 16:
nCᵣ + nC₍ᵣ₋₁₎ का मान होता है —
🔵 (A) (n+1)Cᵣ
🟢 (B) (n−1)Cᵣ
🟠 (C) nC₍ᵣ₊₁₎
🔴 (D) nC₍ᵣ₋₂₎
Answer: (A) (n+1)Cᵣ

Question 17:
यदि 5 वस्तुओं को 3 स्थानों पर रखना हो, तो कुल क्रमचय होंगे —
🔵 (A) 5!
🟢 (B) 5P₃
🟠 (C) 5C₃
🔴 (D) 5²
Answer: (B) 5P₃

Question 18:
कितने संचय सम्भव हैं यदि n = 7 और r = 2?
🔵 (A) 14
🟢 (B) 15
🟠 (C) 21
🔴 (D) 42
Answer: (C) 21

🟢 Section B — लघु उत्तर प्रश्न (Short Answer Questions) [प्रश्न 19–27]

Question 19:
किसी 6 विद्यार्थियों में से एक अध्यक्ष और एक सचिव का चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?
Answer:
🔹 कुल विद्यार्थी = 6
🔹 चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण है → क्रमचय (Permutation)
🔹 कुल तरीक़े = 6P₂ = 6 × 5 = 30 तरीके

Question 20:
7 विद्यार्थियों में से 3 विद्यार्थियों को एक पंक्ति में बैठाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
🔹 n = 7, r = 3
🔹 nPᵣ = n! / (n−r)!
🔹 7P₃ = 7 × 6 × 5 = 210 तरीके

Question 21:
10 वस्तुओं में से 4 वस्तुओं को चुनने के संचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
🔹 n = 10, r = 4
🔹 nCᵣ = n! / [r!(n−r)!]
🔹 nCᵣ = 10! / [4! × 6!]
🔹 = (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1) = 210 संचय

Question 22:
यदि nP₃ = 336, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
🔹 nP₃ = n × (n−1) × (n−2)
🔹 ⇒ n × (n−1) × (n−2) = 336
🔹 परीक्षण द्वारा: n = 8
🔹 8 × 7 × 6 = 336 ✅
🔹 अतः n = 8

Question 23:
यदि nC₃ = 35, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
🔹 nC₃ = n! / [3!(n−3)!] = 35
🔹 ⇒ n(n−1)(n−2)/6 = 35
🔹 ⇒ n(n−1)(n−2) = 210
🔹 परीक्षण द्वारा: n = 7
🔹 7 × 6 × 5 = 210 ✅
🔹 अतः n = 7

Question 24:
“DELHI” शब्द के अक्षरों के कुल क्रमचय कितने हैं?
Answer:
🔹 कुल अक्षर = 5 (सभी भिन्न)
🔹 कुल क्रमचय = 5! = 120
🔹 अतः 120 विभिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं।

Question 25:
यदि nC₂ = 10 और nC₃ = 10, तो n का मान क्या होगा?
Answer:
🔹 गुणधर्म: nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎
🔹 अतः nC₂ = nC₍ₙ₋₂₎
🔹 तुलना से ⇒ (n−2) = 3
🔹 अतः n = 5

Question 26:
एक परीक्षा में 8 प्रश्न दिए गए हैं, जिनमें से विद्यार्थी को कोई 5 हल करने हैं। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?
Answer:
🔹 n = 8, r = 5
🔹 nCᵣ = 8C₅ = 8! / [5! × 3!]
🔹 = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56 तरीके

Question 27:
यदि nPᵣ = 90 और nCᵣ = 15, तो r का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
🔹 संबंध: nPᵣ = nCᵣ × r!
🔹 ⇒ 90 = 15 × r!
🔹 ⇒ r! = 6
🔹 ⇒ r = 3
🔹 अतः r = 3

🔴 Section C — दीर्घ उत्तर / अनुप्रयोगात्मक प्रश्न [प्रश्न 28–33]

Question 28:
यदि 7 विभिन्न अक्षरों से 4-अक्षरीय शब्द बनाने हों, तो कुल कितने शब्द बन सकते हैं,
(क) जब कोई अक्षर दोहराया न जाए
(ख) जब अक्षर दोहराए जा सकते हों
Answer:
(क) दोहराव नहीं ⇒ क्रमचय nPᵣ
 n = 7, r = 4
 nPᵣ = 7P₄ = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 शब्द
(ख) दोहराव की अनुमति ⇒ nʳ
 = 7⁴ = 2401 शब्द

Question 29:
एक समिति में 10 सदस्य हैं। उनमें से एक अध्यक्ष, एक उपाध्यक्ष और एक सचिव कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?
Answer:
🔹 क्रम महत्त्वपूर्ण है (अलग पद) → क्रमचय nPᵣ
n = 10, r = 3
nPᵣ = 10 × 9 × 8 = 720 तरीके

Question 30:
एक थैले में 8 भिन्न रंगों की गेंदें हैं। उनमें से 3 गेंदें चुनने के कितने तरीके होंगे?
Answer:
🔹 केवल चयन चाहिए → संचय nCᵣ
n = 8, r = 3
nCᵣ = 8! / [3!(8−3)!] = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56 तरीके

Question 31:
“BANANA” शब्द के सभी अक्षरों के विभिन्न क्रमचय कितने होंगे?
Answer:
🔹 कुल अक्षर = 6
🔹 A = 3 बार, N = 2 बार, B = 1 बार
🔹 कुल क्रमचय = 6! / (3! × 2!)
 = (720)/(12) = 60 क्रमचय

Question 32:
10 विद्यार्थियों की एक कक्षा में से 4 विद्यार्थियों का चयन करना है, जिसमें एक अध्यक्ष और तीन सदस्य होंगे। कितने तरीकों से चयन सम्भव है?
Answer:
🔹 पहले 4 विद्यार्थियों का चयन (nCᵣ): 10C₄
 = 10! / [4! × 6!] = (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1) = 210
🔹 फिर 4 में से 1 अध्यक्ष चुनना (nC₁): 4C₁ = 4
🔹 कुल तरीक़े = 10C₄ × 4 = 210 × 4 = 840 तरीके

Question 33:
एक पासवर्ड 3 अक्षरों और 2 अंकों से मिलकर बना है। यदि अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और अंक भी दोहराए नहीं जा सकते, तो कुल कितने भिन्न पासवर्ड सम्भव होंगे?
Answer:
🔹 अक्षर (A–Z) = 26 ⇒ चयन = 26P₃
🔹 अंक (0–9) = 10 ⇒ चयन = 10P₂
🔹 कुल पासवर्ड = 26P₃ × 10P₂
अब,
26P₃ = 26 × 25 × 24 = 15600
10P₂ = 10 × 9 = 90
🔹 अतः कुल पासवर्ड = 15600 × 90 = 14,04,000 पासवर्ड

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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1
5 भिन्न वस्तुओं में से 2 वस्तुओं को चुनने के कुल संयोजन = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 20
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 2
10 भिन्न वस्तुओं में से 3 वस्तुओं को क्रम में सजाने के कुल क्रमचय = ?
🟥 1️⃣ 720
🟩 2️⃣ 120
🟨 3️⃣ 5040
🟦 4️⃣ 60
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 3
यदि nP2 = 56, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 4
यदि 5P3 = nC2 × 2!, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 5
10 लोगों में से एक अध्यक्ष और एक सचिव चुनने के तरीके = ?
🟥 1️⃣ 90
🟩 2️⃣ 100
🟨 3️⃣ 45
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 6
7 विद्यार्थियों में से 3 को एक पंक्ति में बैठाने के तरीके = ?
🟥 1️⃣ 210
🟩 2️⃣ 5040
🟨 3️⃣ 35
🟦 4️⃣ 343
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 7
nC3 = nC2 होने पर n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 8
यदि nC2 = 10, तो n = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 9
यदि 2nC3 = 20, तो n = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 10
यदि nC4 = nC5, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 11
5 पुस्तकों को एक शेल्फ पर रखने के तरीके = ?
🟥 1️⃣ 120
🟩 2️⃣ 60
🟨 3️⃣ 24
🟦 4️⃣ 720
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 12
यदि nC2 = 45, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 13
nC3 : nC2 = 3 : 1 होने पर n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 14
यदि nC4 = 35, तो n = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 15
यदि ⁶C₂ = x और ⁶C₄ = y, तो x = y?
🟥 1️⃣ हाँ
🟩 2️⃣ नहीं
🟨 3️⃣ कभी-कभी
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 16
यदि 5 वस्तुओं में से 2 को चुनना है, तो nCr = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 17
यदि 5C2 = nC3, तो n = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 18
यदि nP2 = 56, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 19
यदि nC2 = 15, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 20
8 वस्तुओं में से 3 को क्रम से सजाने के तरीके = ?
🟥 1️⃣ 336
🟩 2️⃣ 56
🟨 3️⃣ 504
🟦 4️⃣ 720
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 21
7C3 = ?
🟥 1️⃣ 21
🟩 2️⃣ 35
🟨 3️⃣ 42
🟦 4️⃣ 56
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 22
यदि nC1 = 10, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 23
यदि 9C4 = 126, तो 9C5 = ?
🟥 1️⃣ 126
🟩 2️⃣ 84
🟨 3️⃣ 36
🟦 4️⃣ 72
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 24
10C0 + 10C1 + 10C2 + … + 10C10 = ?
🟥 1️⃣ 1024
🟩 2️⃣ 1000
🟨 3️⃣ 512
🟦 4️⃣ 2048
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 25
यदि 8C2 = 28, तो 8C6 = ?
🟥 1️⃣ 28
🟩 2️⃣ 56
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 64
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 26
यदि 7C2 = x, तो 7C5 = ?
🟥 1️⃣ x
🟩 2️⃣ 2x
🟨 3️⃣ 3x
🟦 4️⃣ x/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 27
यदि nC3 = 84, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 28
यदि nP3 = 336, तो n = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 29
यदि nC4 = 210, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 30
यदि 9C4 = x, तो 9C5 = ?
🟥 1️⃣ x
🟩 2️⃣ 2x
🟨 3️⃣ x/2
🟦 4️⃣ 9x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 31
यदि nC2 = 28, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 32
यदि nC3 = 35, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 33
यदि 2nC3 = 20, तो n = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 5
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 34
यदि nC3 : nC2 = 3 : 1, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 35
यदि 10C3 = 120, तो 10C7 = ?
🟥 1️⃣ 120
🟩 2️⃣ 210
🟨 3️⃣ 45
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 36
यदि nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn = 128, तो n = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 37
यदि nC2 = 36, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 38
यदि nC3 = 20, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 39
यदि nC4 = 70, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 40
यदि nC2 = 66, तो n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 11
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 13
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 41
यदि ⁸C₄ = x, तो ⁸C₃ = ?
🟥 1️⃣ 56
🟩 2️⃣ 70
🟨 3️⃣ 84
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 42
यदि nC2 = 45, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 43
यदि nC3 = 84, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 44
यदि 7C2 = 21, तो 7C5 = ?
🟥 1️⃣ 21
🟩 2️⃣ 35
🟨 3️⃣ 56
🟦 4️⃣ 42
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 45
यदि nC1 = 12, तो n = ?
🟥 1️⃣ 11
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 13
🟦 4️⃣ 14
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 46
यदि nC2 = 55, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 47
यदि 11C5 = x, तो 11C6 = ?
🟥 1️⃣ x
🟩 2️⃣ 2x
🟨 3️⃣ x/2
🟦 4️⃣ 11x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 48
यदि 9C3 = 84, तो 9C6 = ?
🟥 1️⃣ 84
🟩 2️⃣ 36
🟨 3️⃣ 72
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 49
यदि 2nC1 = 14, तो n = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 50
यदि nC4 = 210, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013

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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1
10 भिन्न वस्तुओं में से 4 वस्तुएँ चुनने के क्रमों की संख्या कितनी होगी?
🟥 1️⃣ 210
🟩 2️⃣ 5040
🟨 3️⃣ 24
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 2
यदि nP₂ = 56 हो, तो n का मान क्या है?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 3
यदि nC₂ = 28 हो, तो n का मान क्या होगा?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 4
यदि nC₃ = 84, तो n का मान क्या होगा?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 5
8 व्यक्तियों में से 3 को चुनकर बैठाने के कितने तरीके हैं?
🟥 1️⃣ 56
🟩 2️⃣ 336
🟨 3️⃣ 504
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 6
10 वस्तुओं में से 4 को चुनने के संयोजनों की संख्या = ?
🟥 1️⃣ 210
🟩 2️⃣ 120
🟨 3️⃣ 84
🟦 4️⃣ 24
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 7
यदि nC₄ = nC₅, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 8
यदि nC₂ = 10, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 9
यदि nP₂ = 90, तो n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 10
10 व्यक्तियों में से 3 को चुनकर बैठाने के क्रम = ?
🟥 1️⃣ 720
🟩 2️⃣ 840
🟨 3️⃣ 5040
🟦 4️⃣ 120
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 11
nC₀ + nC₁ + nC₂ + … + nCn = ?
🟥 1️⃣ 2ⁿ
🟩 2️⃣ n!
🟨 3️⃣ n²
🟦 4️⃣ nCₙ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 12
यदि nC₃ = 35, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 13
यदि nC₂ = 15, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 14
यदि nP₂ = 56, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 15
यदि nC₃ = nC₂, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 16
यदि nC₁ = nC₂, तो n = ?
🟥 1️⃣ 3
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 17
यदि nC₄ = nC₅, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 1)


🔵 प्रश्न 18
यदि nC₂ = 45, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 19
यदि nC₃ = 120, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 20
यदि nC₄ = 70, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 21
यदि nC₅ = nC₆, तो n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 11
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 22
यदि nP₂ = 90, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 23
यदि nC₃ = 20, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 24
यदि nC₁ = 15, तो n = ?
🟥 1️⃣ 10
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 14
🟦 4️⃣ 15
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 25
यदि nC₄ = 35, तो n = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 7
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 26
यदि nC₅ = 56, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 27
यदि nC₃ = 84, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 28
यदि nC₂ = 15, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 29
यदि nC₄ = nC₅, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 30
यदि nC₂ = 45, तो n = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 9
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 11
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 31
यदि nC₆ = 28, तो n = ?
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 9
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 32
यदि nC₁ + nC₂ = 21, तो n = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 7
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 33
यदि nC₂ = nC₃, तो n = ?
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 34
यदि nC₄ = 210, तो n = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 11
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 2)

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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

🔷 भाग – A : (प्रश्न 1–20)

Q1. यदि n = 5 और r = 3, तो nPᵣ का मान होगा —
🔵 (A) 10
🟢 (B) 60
🟠 (C) 20
🔴 (D) 15
उत्तर: (B) 60

Q2. 6 व्यक्तियों को एक पंक्ति में बैठाने के कुल कितने तरीके होंगे?
🔵 (A) 120
🟢 (B) 360
🟠 (C) 720
🔴 (D) 60
उत्तर: (C) 720

Q3. यदि nCᵣ = nC₄ और n = 9, तो r का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 9
🔴 (D) 8
उत्तर: (B) 5

Q4. nCᵣ = nC₍ₙ₋ᵣ₎ का प्रयोग किस सिद्धान्त से आता है?
🔵 (A) द्विपद प्रसार
🟢 (B) संयोजन की सममिति
🟠 (C) क्रमचय सूत्र
🔴 (D) फैक्टोरियल परिभाषा
उत्तर: (B) संयोजन की सममिति

Q5. यदि nC₃ = 10 हो, तो n का मान होगा —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 7
उत्तर: (B) 5

Q6. पाँच पुस्तकों को शेल्फ़ में रखने के तरीकों की संख्या है —
🔵 (A) 25
🟢 (B) 100
🟠 (C) 120
🔴 (D) 60
उत्तर: (C) 120

Q7. यदि nP₂ = 90 हो, तो n का मान है —
🔵 (A) 10
🟢 (B) 9
🟠 (C) 12
🔴 (D) 15
उत्तर: (B) 9

Q8. यदि nC₂ = 45, तो n का मान है —
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 15
उत्तर: (C) 10

Q9. 10 व्यक्तियों में से एक अध्यक्ष और एक सचिव चुनने के तरीक़े हैं —
🔵 (A) 45
🟢 (B) 90
🟠 (C) 100
🔴 (D) 20
उत्तर: (B) 90

Q10. “BOOK” शब्द के सभी अक्षरों के क्रमचय की संख्या है —
🔵 (A) 24
🟢 (B) 12
🟠 (C) 6
🔴 (D) 48
उत्तर: (A) 24

Q11. यदि nCᵣ + nC₍ᵣ₋₁₎ = 84 और n = 9, तो r का मान होगा —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 3
उत्तर: (B) 5

Q12. 7 छात्रों को एक वृत्ताकार पंक्ति में बैठाने के कितने तरीके हैं?
🔵 (A) 720
🟢 (B) 5040
🟠 (C) 360
🔴 (D) 7200
उत्तर: (A) 720

Q13. किसी वस्तु को स्वयं तथा अन्य से संयोजित करने की कुल सम्भावनाएँ क्या होंगी?
🔵 (A) nC₀ + nC₁ + … + nCₙ
🟢 (B) nPᵣ
🟠 (C) n!
🔴 (D) (n−r)!
उत्तर: (A) nC₀ + nC₁ + … + nCₙ

Q14. यदि nC₂ : nC₃ = 3 : 1, तो n का मान है —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 7
उत्तर: (C) 6

Q15. 6 अलग-अलग गेंदों में से 2 गेंदें चुनने के तरीके —
🔵 (A) 15
🟢 (B) 30
🟠 (C) 12
🔴 (D) 25
उत्तर: (A) 15

Q16. “DELHI” शब्द के अक्षरों से कितने क्रमचय बन सकते हैं?
🔵 (A) 60
🟢 (B) 120
🟠 (C) 240
🔴 (D) 720
उत्तर: (B) 120

Q17. nC₀ + nC₁ + nC₂ + … + nCₙ = ?
🔵 (A) n
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) n!
🔴 (D) n²
उत्तर: (B) 2ⁿ

Q18. यदि nCᵣ = nC₍ᵣ₊₁₎, तो n और r में सम्बन्ध होगा —
🔵 (A) n = 2r + 1
🟢 (B) n = 2r
🟠 (C) n = r + 1
🔴 (D) n = r − 1
उत्तर: (A) n = 2r + 1

Q19. 5 विद्यार्थियों में से अध्यक्ष और उपाध्यक्ष चुनने के तरीके —
🔵 (A) 10
🟢 (B) 20
🟠 (C) 25
🔴 (D) 30
उत्तर: (B) 20

Q20. यदि nP₂ = 56 हो, तो n का मान क्या होगा?
🔵 (A) 7
🟢 (B) 8
🟠 (C) 9
🔴 (D) 10
उत्तर: (B) 8

🟣 भाग – B : (प्रश्न 21–40) JEE Main स्तर

Q21. यदि nP₃ = 210 तथा nP₂ = 42, तो n का मान ज्ञात करें।
🔵 (A) 6
🟢 (B) 7
🟠 (C) 8
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 7

Q22. यदि nC₂ = 6, तो n का मान होगा —
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
उत्तर: (B) 4

Q23. यदि nCᵣ = nCᵣ₊₁, तो r का मान n के रूप में होगा —
🔵 (A) r = n/2
🟢 (B) r = (n−1)/2
🟠 (C) r = (n+1)/2
🔴 (D) r = n−1
उत्तर: (B) r = (n−1)/2

Q24. 5 पुरुष तथा 4 महिलाएँ हैं। 3 सदस्यीय समिति बनानी है जिसमें कम से कम 1 महिला हो। कुल तरीक़े —
🔵 (A) 70
🟢 (B) 100
🟠 (C) 120
🔴 (D) 150
उत्तर: (A) 70

Q25. nCᵣ और nCᵣ₋₁ का अनुपात n और r के रूप में —
🔵 (A) (n−r+1)/r
🟢 (B) r/(n−r+1)
🟠 (C) n/r
🔴 (D) r/n
उत्तर: (A) (n−r+1)/r

Q26. यदि nCᵣ₊₁ : nCᵣ = 3 : 2 तथा n = 10, तो r का मान —
🔵 (A) 3
🟢 (B) 4
🟠 (C) 5
🔴 (D) 6
उत्तर: (C) 5

Q27. यदि nCᵣ = nCᵣ₊₂, तो n और r में सम्बन्ध —
🔵 (A) n = 2r + 2
🟢 (B) n = 2r + 1
🟠 (C) n = 2r − 1
🔴 (D) n = r + 2
उत्तर: (A) n = 2r + 2

Q28. “DELHI” के अक्षरों से ऐसे क्रमचय कितने हैं जो D से शुरू हों और I पर समाप्त हों?
🔵 (A) 3
🟢 (B) 6
🟠 (C) 12
🔴 (D) 24
उत्तर: (B) 6

Q29. यदि nPᵣ = 2 × nCᵣ, तो r का मान —
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 4
उत्तर: (B) 2

Q30. यदि nC₀ + nC₂ + nC₄ + … = 64, तो n का मान —
🔵 (A) 6
🟢 (B) 7
🟠 (C) 8
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 7

Q31. n = 9 तथा nCᵣ + nCᵣ₊₁ = 120। r का मान (छोटा मान) —
🔵 (A) 2
🟢 (B) 3
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (A) 2

Q32. यदि nC₂ = 6 × nC₄, तो n का मान —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 8
उत्तर: (A) 4

Q33. यदि nCᵣ = 28 तथा nCᵣ₊₁ = 56, तो (n, r) —
🔵 (A) (8, 2)
🟢 (B) (7, 3)
🟠 (C) (8, 3)
🔴 (D) (7, 2)
उत्तर: (C) (8, 3)

Q34. “MATHS” के सभी अक्षरों के क्रमचय जिनमें स्वर साथ रहें —
🔵 (A) 120
🟢 (B) 48
🟠 (C) 72
🔴 (D) 96
उत्तर: (A) 120

Q35. 10 व्यक्तियों में से अध्यक्ष, उपाध्यक्ष, सचिव चुनने के तरीक़े —
🔵 (A) 90
🟢 (B) 720
🟠 (C) 840
🔴 (D) 100
उत्तर: (B) 720

Q36. यदि nC₁ : nC₂ = 5 : 10, तो n —
🔵 (A) 4
🟢 (B) 5
🟠 (C) 6
🔴 (D) 7
उत्तर: (B) 5

Q37. किसी n तत्त्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या —
🔵 (A) n²
🟢 (B) 2ⁿ
🟠 (C) n!
🔴 (D) n
उत्तर: (B) 2ⁿ

Q38. यदि nPᵣ = 6 × nCᵣ, तो r —
🔵 (A) 3
🟢 (B) 2
🟠 (C) 4
🔴 (D) 5
उत्तर: (A) 3

Q39. यदि nC₂ = nC₈, तो n —
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 12
उत्तर: (C) 10

Q40. “SCHOOL” शब्द के भिन्न अक्षर {S, C, H, O, L} माने जाएँ। 4-अक्षरीय शब्द, अक्षर दोहराए जा सकते हैं — कुल तरीक़े:
🔵 (A) 5⁴
🟢 (B) 6⁴
🟠 (C) 4⁵
🔴 (D) 4⁶
उत्तर: (A) 5⁴

Q41. यदि nCᵣ = nCᵣ₊₂, तो n और r में सम्बन्ध क्या होगा?
🔵 (A) n = 2r − 1
🟢 (B) n = 2r
🟠 (C) n = 2r + 1
🔴 (D) n = 2r + 2
उत्तर: (D) n = 2r + 2

Q42. यदि nP₃ : nP₂ = 5 : 1, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 6
🟢 (B) 7
🟠 (C) 8
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 7

Q43. 1 से 7 तक के अंक (दोहराव नहीं) से बने 6-अंकीय विषम संख्याओं की संख्या है —
🔵 (A) 1440
🟢 (B) 1680
🟠 (C) 2880
🔴 (D) 3360
उत्तर: (C) 2880

Q44. 7 व्यक्तियों को वृत्त में बैठाने के कुल तरीक़े (A और B साथ न बैठें) —
🔵 (A) 480
🟢 (B) 600
🟠 (C) 720
🔴 (D) 240
उत्तर: (A) 480

Q45. “BALLOON” के क्रमचय जिनमें दो ‘L’ साथ न हों, की संख्या —
🔵 (A) 720
🟢 (B) 840
🟠 (C) 900
🔴 (D) 1260
उत्तर: (C) 900

Q46. n का मान ज्ञात कीजिए यदि nC₄ = nC₅।
🔵 (A) 8
🟢 (B) 9
🟠 (C) 10
🔴 (D) 11
उत्तर: (B) 9

Q47. यदि nC₂ + nC₃ = 84, तो n का मान —
🔵 (A) 7
🟢 (B) 8
🟠 (C) 9
🔴 (D) 10
उत्तर: (B) 8

Q48. 5 भिन्न पुरस्कार 3 विद्यार्थियों में बाँटने के कितने तरीक़े हैं (कोई भी 0,1,… सभी ले सकता है)?
🔵 (A) 3⁵
🟢 (B) 5³
🟠 (C) 3P₅
🔴 (D) 5C₃
उत्तर: (A) 3⁵

Q49. n का मान ज्ञात करें यदि nC₂ = 3·nC₁।
🔵 (A) 6
🟢 (B) 7
🟠 (C) 8
🔴 (D) 9
उत्तर: (B) 7

Q50. n भिन्न वस्तुओं की सभी व्यवस्थाओं में वह संख्या, जिसमें “1” “2” से पहले तथा “2” “3” से पहले आये (अर्थात् 1 ≺ 2 ≺ 3), बराबर है —
🔵 (A) n!/2!
🟢 (B) n!/3!
🟠 (C) (n−3)!
🔴 (D) 3·(n−1)!
उत्तर: (B) n!/3!

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