Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 5. रैखिक असामिकाएँ

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On June 21, 2025

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔵 विस्तृत व्याख्या (Explanation Section)
🌿 परिचय (Introduction)
जब किसी गणितीय वाक्य में दो बीजीय व्यंजकों की तुलना “<”, “>”, “≤”, “≥” जैसे चिन्हों द्वारा की जाती है, तो उसे असामिका (Inequality) कहा जाता है।
यदि तुलना में “=” का प्रयोग होता है, तो वह समीकरण (Equation) कहलाता है।
अर्थात् असामिका, समीकरण का सामान्यीकृत रूप है।

🟢 असामिका के प्रकार (Types of Inequalities)
1️⃣ साधारण असामिका:
दो वास्तविक संख्याओं के बीच तुलना जैसे — 5 > 3 या -2 < 4।
2️⃣ रैखिक असामिका (Linear Inequality):
यदि किसी असामिका में चल (variable) का अधिकतम घातांक 1 हो, तो उसे रैखिक असामिका कहते हैं।
उदाहरण: 2x + 3 > 5, 3y – 2 ≤ 7।
3️⃣ द्विचल रैखिक असामिका (Linear Inequality in Two Variables):
यदि असामिका में दो चल हों, जैसे x और y, तो उसे द्विचल रैखिक असामिका कहा जाता है।
उदाहरण: x + y ≤ 5।

🔴 रैखिक असामिका को हल करने के नियम (Rules to Solve Linear Inequality)
💡 नियम 1:
यदि किसी असामिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जाए, तो असामिका की दिशा नहीं बदलती।
➡️ यदि a < b, तो a + c 0, तो ac < bc तथा a/c < b/c।
💡 नियम 3:
यदि दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो असामिका की दिशा बदल जाती है।
➡️ यदि a bc तथा a/c > b/c।

🟡 एक चर वाली रैखिक असामिका (Linear Inequality in One Variable)
उदाहरण:
2x – 3 < 7
➡️ 2x < 10
➡️ x < 5
✔️ इसका हल उन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिनके लिए x < 5।
📘 हल का क्षेत्र (Solution set) = {x | x < 5, x ∈ R}

💡 द्विचल रैखिक असामिका (Linear Inequality in Two Variables)
यदि किसी असामिका में दो चर x और y हों, तो हल का क्षेत्र समतल में उन बिंदुओं का समूह होता है जो असामिका को संतुष्ट करते हैं।
उदाहरण:
x + y ≤ 4
इसका ग्राफ बनाने के लिए:
1️⃣ पहले x + y = 4 की रेखा खींचें।
2️⃣ इस रेखा के नीचे का क्षेत्र (यदि ≤ या < हो) या ऊपर का क्षेत्र (यदि ≥ या > हो) समाधान क्षेत्र होगा।

🌿 ग्राफिक निरूपण (Graphical Representation)
🧠 रैखिक असामिका ax + by ≤ c का ग्राफ:
1️⃣ x + y = c रेखा खींचें।
2️⃣ यदि असामिका में “≤” या “≥” है, तो रेखा ठोस (solid line) बनाएं।
3️⃣ यदि “<” या “>” है, तो रेखा बिंदीदार (dotted line) बनाएं।
4️⃣ परीक्षण बिंदु (0,0) रखकर देखें कि असामिका संतुष्ट होती है या नहीं —
यदि होती है, तो वही क्षेत्र समाधान क्षेत्र होगा।

✏️ रैखिक असामिकाओं का युग्म (System of Linear Inequalities)
जब दो या दो से अधिक असामिकाएँ एक साथ दी जाती हैं, तो उनके समान्य समाधान क्षेत्र (common solution region) को साधारण समाधान क्षेत्र (feasible region) कहा जाता है।
उदाहरण:
x + y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
इन तीनों का सामान्य क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में त्रिभुजाकार होगा।

⚡ असामिका और समीकरण में अन्तर (Difference between Inequality and Equation)

🔵 1️⃣ परिभाषा का अंतर:
असामिका में तुलना “<, >, ≤, ≥” चिन्हों से होती है,
जबकि समीकरण में “=” चिन्ह का प्रयोग होता है।

🟢 2️⃣ समाधान की संख्या:
असामिका के सामान्यतः अनन्त समाधान हो सकते हैं,
जबकि समीकरण के प्रायः एक या सीमित समाधान होते हैं।

🟠 3️⃣ ग्राफिक निरूपण:
असामिका का ग्राफ एक क्षेत्र (region) दिखाता है,
जबकि समीकरण का ग्राफ एक रेखा (line) दिखाता है।

🔴 4️⃣ दिशा परिवर्तन नियम:
असामिका में यदि दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करें तो चिन्ह की दिशा बदल जाती है,
परन्तु समीकरण में ऐसा कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

💡 5️⃣ उदाहरण:
2x + 3 = 5 → समीकरण
2x + 3 < 5 → असामिका

✔️ सार:
असामिका तुलना को दर्शाती है जबकि समीकरण समानता को।
💡 उपयोग (Applications of Linear Inequalities)
🔹 वास्तविक जीवन में, रैखिक असामिकाओं का प्रयोग सीमाएँ, लागत, लाभ और मात्रा जैसे प्रतिबंधों को प्रदर्शित करने में होता है।
🔹 उदाहरण के लिए, यदि एक वस्तु की लागत 50 रु. से अधिक न हो, तो असामिका होगी: 𝑥 ≤ 50।
🔹 रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) में ये असामिकाएँ आधार बनाती हैं।

🟢 सारांश (Summary Section)
✔️ रैखिक असामिका वह है जिसमें चर का उच्चतम घातांक 1 हो।
✔️ असामिकाओं को हल करते समय जोड़-घटाव से दिशा नहीं बदलती, परंतु ऋणात्मक गुणा/भाग से दिशा बदल जाती है।
✔️ एक चर वाली असामिकाओं का हल संख्या रेखा पर दिखाया जाता है।
✔️ दो चर वाली असामिकाओं का हल समतल क्षेत्र (region) के रूप में प्रदर्शित होता है।
✔️ जब कई असामिकाएँ एक साथ हों, तो उनके समान्य क्षेत्र को साधारण समाधान क्षेत्र (feasible region) कहा जाता है।

📝 Quick Recap
🔵 असामिका: <, >, ≤, ≥ वाले गणितीय वाक्य
🟢 रैखिक असामिका: ax + b < 0 प्रकार
🟠 समाधान क्षेत्र: सभी मान जो असामिका को संतुष्ट करते हैं
🔴 ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर दिशा बदलती है
💡 द्विचल असामिकाएँ ग्राफ द्वारा दर्शायी जाती हैं

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पाठ्यपुस्त के प्रश्न

प्रश्नावली 5.1

🔵 प्रश्न 1:
हल कीजिए : 24x < 100, जब
(i) x एक प्राकृतिक संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है।
✏️ हल:
24x < 100
⇒ x < 100/24
⇒ x < 25/6
⇒ x < 4.166…
➡️ (i) जब x एक प्राकृतिक संख्या है ⇒ x = 1, 2, 3, 4
➡️ (ii) जब x एक पूर्णांक है ⇒ x = …, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4
✔️ उत्तर:
(i) {1, 2, 3, 4}
(ii) {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}

🔵 प्रश्न 2:
हल कीजिए : −12x > 30, जब
(i) x एक प्राकृतिक संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है।
✏️ हल:
−12x > 30
⇒ x < −30/12
⇒ x < −5/2
⇒ x < −2.5
➡️ (i) प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक होती हैं ⇒ कोई हल नहीं
➡️ (ii) पूर्णांक हल ⇒ x = …, −3, −4, −5,…
✔️ उत्तर:
(i) कोई हल नहीं
(ii) x ≤ −3

🔵 प्रश्न 3:
हल कीजिए : 5x − 3 < 7, जब
(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
✏️ हल:
5x < 10 ⇒ x < 2
➡️ (i) पूर्णांक हल: {…, −2, −1, 0, 1}
➡️ (ii) वास्तविक हल: x < 2
✔️ उत्तर:
(i) {…, −2, −1, 0, 1}
(ii) x < 2

🔵 प्रश्न 4:
हल कीजिए : 3x + 8 > 2, जब
(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
✏️ हल:
3x > −6 ⇒ x > −2
✔️ उत्तर:
(i) पूर्णांक हल: {−1, 0, 1, 2, 3, …}
(ii) वास्तविक हल: x > −2

🔵 प्रश्न 5:
4x + 3 < 6x + 7
✏️ हल:
4x + 3 < 6x + 7
⇒ −2x < 4
⇒ x > −2
✔️ उत्तर: x > −2

🔵 प्रश्न 6:
3x − 7 > 5x − 1
✏️ हल:
−2x > 6 ⇒ x < −3
✔️ उत्तर: x < −3

🔵 प्रश्न 7:
3(x − 1) ≤ 2(x − 3)
✏️ हल:
3x − 3 ≤ 2x − 6
⇒ x ≤ −3
✔️ उत्तर: x ≤ −3

🔵 प्रश्न 8:
3(2 − x) ≥ 2(1 − x)
✏️ हल:
6 − 3x ≥ 2 − 2x
⇒ −x ≥ −4 ⇒ x ≤ 4
✔️ उत्तर: x ≤ 4

🔵 प्रश्न 9:
x + x/2 + x/3 < 11
✏️ हल:
LCM = 6
⇒ (6x + 3x + 2x)/6 < 11
⇒ 11x/6 < 11
⇒ x < 6
✔️ उत्तर: x < 6

🔵 प्रश्न 10:
x/3 − x/2 + 1 ≥ 0
✏️ हल:
(2x − 3x)/6 ≥ −1
⇒ −x/6 ≥ −1
⇒ x ≤ 6
✔️ उत्तर: x ≤ 6

🔵 Q11. 3(x−2)/5 <= 5(2−x)/3
Steps
RHS = 5(2−x)/3 = (10−5x)/3 = −(5/3)(x−2)
(3/5)(x−2) <= −(5/3)(x−2)
(3/5)+(5/3) <= 0 → (34/15)(x−2) <= 0
✅ Answer: x <= 2

🟢 Q12. (1/2)(3x/5 + 4) >= (1/3)(x−6)
Steps
Multiply by 30 (>0): 15*(3x/5 + 4) >= 10*(x−6)
9x + 60 >= 10x − 60
120 >= x
✅ Answer: x <= 120

🔴 Q13. 2(2x+3) − 10 < 6(x−2)
Steps
4x + 6 − 10 < 6x − 12 → 4x − 4 < 6x − 12
−4 < 2x − 12 → 8 < 2x
4 < x
✅ Answer: x > 4

🟡 Q14. 37 − (3x + 5) >= 9x − 8(x−3)
Steps
LHS = 32 − 3x ; RHS = 9x − 8x + 24 = x + 24
32 − 3x >= x + 24 → 32 − 24 >= 4x
8 >= 4x → x <= 2
✅ Answer: x <= 2

🔵 Q15. x/4 < (5x−2)/3 − (7x−3)/5
Steps
RHS = [(5x−2)*5 − (7x−3)*3] / 15 = (25x−10 −21x+9)/15 = (4x−1)/15
x/4 < (4x−1)/15
Multiply by 60 (>0): 15x < 4*(4x−1) = 16x − 4
−x < −4 → x > 4
✅ Answer: x > 4

🟢 Q16. (2x−1)/3 >= (3x−2)/4 − (2−x)/5
Steps
RHS = [5(3x−2) − 4(2−x)]/20 = (15x−10 −8+4x)/20 = (19x−18)/20
(2x−1)/3 >= (19x−18)/20
Multiply by 60 (>0): 20(2x−1) >= 3(19x−18)
40x − 20 >= 57x − 54 → 34 >= 17x
✅ Answer: x <= 2

🔵 Q17. 3x − 2 < 2x + 1
Steps
x < 3
✅ Answer: x < 3
📈 Number line: (−∞, 3) (open circle at 3)

🟢 Q18. 5x − 3 >= 3x − 5
Steps
2x >= −2 → x >= −1
✅ Answer: x >= −1
📈 Number line: [−1, ∞) (filled circle at −1)

🔴 Q19. 3(1−x) < 2(x+4)
Steps
3 − 3x < 2x + 8
−5x < 5 → multiply by (−1): 5x > −5
x > −1
✅ Answer: x > −1
📈 Number line: (−1, ∞) (open circle at −1)

🟡 Q20. x/2 >= (5x−2)/3 − (7x−3)/5
Steps
RHS = [(5x−2)*5 − (7x−3)*3]/15 = (25x−10 −21x+9)/15 = (4x−1)/15
x/2 >= (4x−1)/15
Multiply by 30 (>0): 15x >= 2*(4x−1) = 8x − 2
7x >= −2 → x >= −2/7
✅ Answer: x >= −2/7
📈 Number line: [−2/7, ∞) (filled circle at −2/7)

🔵 प्रश्न 21:
रवि ने पहली दो एकक परीक्षाओं में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह तीसरी परीक्षा में कितने न्यूनतम अंक प्राप्त करे ताकि औसत अंक 60 या उससे अधिक हो सके?
हल:
➡️ औसत ≥ 60 ⇒ (70 + 75 + x)/3 ≥ 60
➡️ 145 + x ≥ 180
➡️ x ≥ 35
✔️ उत्तर: न्यूनतम 35 अंक।

🟢 प्रश्न 22:
ग्रेड ‘A’ पाने के लिए पाँच परीक्षाओं का औसत ≥ 90 होना चाहिए। सुनीता के चार प्रापांक 87, 92, 94, 95 हैं। पाँचवीं परीक्षा में उसे न्यूनतम कितने अंक लाने चाहिए?
हल:
➡️ (87 + 92 + 94 + 95 + x)/5 ≥ 90
➡️ 368 + x ≥ 450
➡️ x ≥ 82
✔️ उत्तर: न्यूनतम 82 अंक।

🔴 प्रश्न 23:
10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 11 से अधिक हो।
हल:
➡️ विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, 7, 9
➡️ युग्म: (1,3), (3,5), (5,7), (7,9)
➡️ योग: 4, 8, 12, 16
➡️ केवल 12 और 16 > 11
✔️ उत्तर: (5, 7) और (7, 9)

🟡 प्रश्न 24:
क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनमें
(i) प्रत्येक 5 से बड़ा हो
(ii) योगफल 23 से कम हो।
हल:
➡️ मान लें युग्म (2n, 2n + 2)
➡️ 2n > 5 ⇒ n ≥ 3
➡️ 2n + 2n + 2 < 23 ⇒ 4n + 2 < 23 ⇒ 4n < 21 ⇒ n ≤ 5
➡️ n = 3, 4, 5
✔️ उत्तर: (6, 8), (8, 10), (10, 12)

🔵 प्रश्न 25:
त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी की तीन गुनी है और तीसरी भुजा सबसे बड़ी से 2 सेमी कम है। यदि परिमाप 61 सेमी है तो तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
➡️ सबसे छोटी = a
➡️ सबसे बड़ी = 3a
➡️ तीसरी = 3a − 2
➡️ a + 3a + (3a − 2) = 61 ⇒ 7a − 2 = 61 ⇒ a = 9
➡️ तीसरी भुजा = 3a − 2 = 25
✔️ उत्तर: 25 सेमी।

🟢 प्रश्न 26:
91 सेमी की तार से तीन टुकड़े काटने हैं।
दूसरा टुकड़ा पहले से 3 सेमी लंबा है और तीसरा टुकड़ा दूसरे से कम-से-कम 5 सेमी अधिक है।
सबसे छोटे टुकड़े की लंबाई का अंतराल ज्ञात कीजिए।
हल:
➡️ पहला टुकड़ा = x
➡️ दूसरा टुकड़ा = x + 3
➡️ तीसरा टुकड़ा = 2x
➡️ कुल लंबाई ≤ 91 ⇒ x + (x + 3) + 2x ≤ 91
➡️ 4x + 3 ≤ 91 ⇒ 4x ≤ 88 ⇒ x ≤ 22
➡️ तीसरा ≥ दूसरे से 5 अधिक ⇒ 2x ≥ (x + 3) + 5 ⇒ x ≥ 8
✔️ उत्तर: 8 ≤ x ≤ 22

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

🔵 SECTION A – बहुविकल्पीय प्रश्न (Q1–Q18)

प्रश्न 1:
यदि 2x + 3 < 7, तो x का मान होगा –
🔵 (A) x < 2
🟢 (B) x > 2
🟠 (C) x = 2
🔴 (D) x ≤ 2
उत्तर: (A) x < 2

प्रश्न 2:
असामिका 5x – 4 ≥ 1 का हल है –
🔵 (A) x ≤ 1
🟢 (B) x ≥ 1
🟠 (C) x ≤ 2
🔴 (D) x ≥ 1
उत्तर: (D) x ≥ 1

प्रश्न 3:
यदि असामिका के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाए, तो असामिका की दिशा –
🔵 (A) समान रहती है
🟢 (B) बदल जाती है
🟠 (C) कभी-कभी बदलती है
🔴 (D) समाप्त हो जाती है
उत्तर: (B) बदल जाती है

प्रश्न 4:
x – 5 > 3 के लिए x का हल है –
🔵 (A) x > 8
🟢 (B) x < 8
🟠 (C) x = 8
🔴 (D) x ≥ 8
उत्तर: (A) x > 8

प्रश्न 5:
यदि 3x + 2 ≤ 11, तो x के मानों का समूह है –
🔵 (A) x ≤ 3
🟢 (B) x ≥ 3
🟠 (C) x = 3
🔴 (D) x < 3
उत्तर: (A) x ≤ 3

प्रश्न 6:
असामिका 4x – 7 < 9 का हल क्या है?
🔵 (A) x < 4
🟢 (B) x > 4
🟠 (C) x = 4
🔴 (D) x ≤ 4
उत्तर: (A) x < 4

प्रश्न 7:
यदि a 0, तो ac < bc होगा — यह नियम कहलाता है —
🔵 (A) गुणन का नियम
🟢 (B) घटाव का नियम
🟠 (C) ऋणात्मक नियम
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) गुणन का नियम

प्रश्न 9:
यदि असामिका ax + b ≤ 0 का ग्राफ बनाना हो, तो यह किस प्रकार की रेखा दर्शाएगा?
🔵 (A) ठोस रेखा
🟢 (B) बिंदीदार रेखा
🟠 (C) सीधी रेखा
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) ठोस रेखा

प्रश्न 10:
x ≥ 0 और y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र है –
🔵 (A) प्रथम चतुर्थांश
🟢 (B) द्वितीय चतुर्थांश
🟠 (C) तृतीय चतुर्थांश
🔴 (D) चतुर्थ चतुर्थांश
उत्तर: (A) प्रथम चतुर्थांश

प्रश्न 11:
यदि x + y ≤ 6 हो, तो (x, y) बिंदु किस क्षेत्र में स्थित होंगे?
🔵 (A) रेखा के ऊपर
🟢 (B) रेखा के नीचे
🟠 (C) रेखा पर
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) रेखा के नीचे

प्रश्न 12:
यदि 2x + 3y > 12 है, तो कौन-सा बिंदु असामिका को संतुष्ट करेगा?
🔵 (A) (0, 0)
🟢 (B) (5, 5)
🟠 (C) (2, 2)
🔴 (D) (3, 1)
उत्तर: (B) (5, 5)

प्रश्न 13:
असामिका 3x – 4 ≤ 11 का हल है –
🔵 (A) x ≤ 5
🟢 (B) x ≥ 5
🟠 (C) x < 5
🔴 (D) x > 5
उत्तर: (A) x ≤ 5

प्रश्न 14:
यदि असामिका 7 – 2x > 1 है, तो x का मान होगा –
🔵 (A) x < 3
🟢 (B) x > 3
🟠 (C) x = 3
🔴 (D) x ≥ 3
उत्तर: (A) x < 3

प्रश्न 15:
यदि असामिका 5x + 10 ≥ 0 है, तो इसका हल क्या है?
🔵 (A) x ≤ –2
🟢 (B) x ≥ –2
🟠 (C) x = –2
🔴 (D) x < –2
उत्तर: (B) x ≥ –2

प्रश्न 16:
यदि x – 2 < 4 हो, तो x का मान होगा –
🔵 (A) x < 2
🟢 (B) x < 6
🟠 (C) x > 6
🔴 (D) x ≥ 6
उत्तर: (B) x < 6

प्रश्न 17:
यदि असामिका x + 3 ≥ 0 है, तो समाधान होगा –
🔵 (A) x ≥ –3
🟢 (B) x ≤ –3
🟠 (C) x = –3
🔴 (D) x > –3
उत्तर: (A) x ≥ –3

प्रश्न 18:
यदि असामिका के दोनों पक्षों को समान संख्या से घटाया जाए, तो दिशा –
🔵 (A) बदल जाती है
🟢 (B) समान रहती है
🟠 (C) कभी बदलती है
🔴 (D) समाप्त हो जाती है
उत्तर: (B) समान रहती है

🟢 SECTION B – लघु उत्तर प्रश्न (Q19–Q23)

प्रश्न 19:
असामिका 3x – 5 < 7 को हल कीजिए।
उत्तर:
➡️ 3x < 12
➡️ x < 4
✔️ समाधान: {x | x < 4, x ∈ R}

प्रश्न 20:
यदि –2x + 3 ≥ 7 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ –2x ≥ 4
➡️ x ≤ –2
✔️ समाधान: {x | x ≤ –2, x ∈ R}

प्रश्न 21:
असामिका 2x – 3 ≤ 7 और x ∈ R का हल लिखिए।
उत्तर:
➡️ 2x ≤ 10
➡️ x ≤ 5
✔️ समाधान: {x | x ≤ 5, x ∈ R}

प्रश्न 22:
यदि असामिका –3x > 6 हो, तो x का हल क्या होगा?
उत्तर:
➡️ x < –2
✔️ समाधान: {x | x < –2, x ∈ R}

प्रश्न 23:
असामिकाओं x + 2 ≤ 6 और x – 1 ≥ 0 को एक साथ हल कीजिए।
उत्तर:
पहली असामिका: x ≤ 4
दूसरी असामिका: x ≥ 1
➡️ समान्य हल क्षेत्र: 1 ≤ x ≤ 4
✔️ समाधान: {x | 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}

🟡 SECTION C – मध्यम स्तर के प्रश्न (Q24–Q28)

प्रश्न 24:
असामिका 2x – 5 ≤ x + 3 को हल कीजिए।
उत्तर:
➡️ 2x – x ≤ 3 + 5
➡️ x ≤ 8
✔️ समाधान: {x | x ≤ 8, x ∈ R}

प्रश्न 25:
यदि असामिका –5x + 7 < 2x – 14 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ –7x < –21
➡️ x > 3
✔️ समाधान: {x | x > 3, x ∈ R}

प्रश्न 26:
असामिकाएँ x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
➡️ यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
➡️ रेखा x + y = 5 को ठोस रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा।
➡️ (0, 0) असामिका को संतुष्ट करता है ⇒ क्षेत्र रेखा के नीचे का होगा।
✔️ अतः समाधान क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश का त्रिभुजाकार भाग है।

प्रश्न 27:
यदि असामिका 2x + 3y > 6 दी गई है, तो जाँचिए कि बिंदु (3, 1) इसे संतुष्ट करता है या नहीं।
उत्तर:
➡️ बिंदु (3, 1) रखने पर: 2(3) + 3(1) = 9
➡️ 9 > 6 ⇒ असामिका संतुष्ट है।
✔️ अतः (3, 1) इस असामिका का समाधान बिंदु है।

प्रश्न 28:
सिद्ध कीजिए कि यदि a bc।
उत्तर:
➡️ a 0
➡️ अब दोनों पक्षों को c (<0) से गुणा करें ⇒ (b – a)c < 0
➡️ अर्थात् bc – ac < 0 ⇒ ac > bc
✔️ प्रमेय सिद्ध हुआ।

🔷 भाग घ – दीर्घ उत्तर प्रश्न (Q29–Q31)
प्रश्न 29:
असामिका युग्म −3 ≤ 2x − 5 < 7 को हल कीजिए तथा हल को अंतराल रूप में लिखिए।
उत्तर:
➡️ −3 ≤ 2x − 5 < 7
➡️ सभी पक्षों में 5 जोड़ें: 2 ≤ 2x < 12
➡️ धनात्मक 2 से भाग दें: 1 ≤ x < 6
✔️ अंतराल रूप: [1, 6)
✔️ समाधान समुच्चय: { x ∈ R | 1 ≤ x < 6 }
प्रश्न 30:
असामिका (x − 2)/3 ≥ (2x + 1)/5 − 1 को क्रमबद्ध चरणों में हल कीजिए।
उत्तर:
➡️ (x − 2)/3 ≥ (2x + 1)/5 − 1
➡️ दाहिने पक्ष को सरल करें: (2x + 1)/5 − 1 = (2x + 1 − 5)/5 = (2x − 4)/5
➡️ अतः (x − 2)/3 ≥ (2x − 4)/5
➡️ एल.सी.एम. 15 से गुणा करें: 5(x − 2) ≥ 3(2x − 4)
➡️ 5x − 10 ≥ 6x − 12
➡️ −10 + 12 ≥ 6x − 5x
➡️ 2 ≥ x
➡️ x ≤ 2
✔️ समाधान: { x ∈ R | x ≤ 2 }
प्रश्न 31:
असामिकाओं x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 का सामान्य समाधान क्षेत्र वर्णन कीजिए तथा जाँचिए कि बिंदु (2, 3) और (4, 3) इसमें आते हैं या नहीं।
उत्तर:
➡️ x + 2y ≤ 8 का अर्द्ध-समतल रेखा x + 2y = 8 के नीचे और रेखा सहित होगा।
➡️ x ≥ 0 तथा y ≥ 0 प्रथम चतुर्थांश का बन्धन देते हैं।
➡️ अतः सामान्य समाधान क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में रेखाओं x = 0, y = 0 और x + 2y = 8 से घिरा त्रिभुजाकार भाग है।
➡️ शीर्ष बिंदु: (0, 0), (8, 0), (0, 4)
🔵 बिंदु (2, 3): x + 2y = 2 + 6 = 8 ⇒ असामिका संतुष्ट (सीमा पर) ⇒ अंदर
🔴 बिंदु (4, 3): x + 2y = 4 + 6 = 10 > 8 ⇒ असामिका असंतुष्ट ⇒ बाहर
✔️ निष्कर्ष: (2, 3) क्षेत्र में; (4, 3) क्षेत्र में नहीं।

🔷 भाग ङ – केस आधारित प्रश्न (Q32–Q33)
प्रश्न 32 (केस 1):
एक वस्तु की अंकित कीमत P है। छूट d% दी जाती है तथा बिक्री-कर t% जोड़ा जाता है। उपभोक्ता का कुल भुगतान T अधिकतम M होना चाहिए। असामिका बनाइए और P के लिए हल कीजिए (मान लीजिए d, t, M नियत धनात्मक हैं)।
उत्तर:
➡️ छूट के बाद कीमत = P(1 − d/100)
➡️ कर जोड़ने पर भुगतान = P(1 − d/100)(1 + t/100)
➡️ शर्त: P(1 − d/100)(1 + t/100) ≤ M
➡️ गुणनफल धनात्मक है (d, t उचित सीमाओं में), अतः दिशा जस की तस रहेगी।
➡️ P ≤ M / { (1 − d/100)(1 + t/100) }
✔️ समाधान: { P ∈ R | 0 ≤ P ≤ M / [ (1 − d/100)(1 + t/100) ] }
प्रश्न 33 (केस 2):
एक कारख़ाना ऐसी पैकिंग करता है जिसका मानक भार 200 ग्राम है, और सहनशीलता ±5 ग्राम है। किसी पैकेट का भार W हो।
(क) असामिका बनाइए।
(ख) जाँचिए कि 196 ग्राम और 204.5 ग्राम के पैकेट मानक को पूरा करते हैं या नहीं।
उत्तर:
(क) असामिका: 195 ≤ W ≤ 205
(ख)
➡️ W = 196: 195 ≤ 196 ≤ 205 ⇒ स्वीकृत
➡️ W = 204.5: 195 ≤ 204.5 ≤ 205 ⇒ स्वीकृत
✔️ दोनों पैकेट मानक सीमा के भीतर हैं।

JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1
यदि असमिका 2x − 3 < 7 को हल करें, तो x का मान होगा: 🟥 1️⃣ x < 5 🟩 2️⃣ x > 5
🟨 3️⃣ x < 2 🟦 4️⃣ x > 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 2
यदि असमिका 3x + 4 ≥ 10 है, तो x का हल है:
🟥 1️⃣ x ≥ 2
🟩 2️⃣ x ≤ 2
🟨 3️⃣ x ≥ −2
🟦 4️⃣ x ≤ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024

🔵 प्रश्न 3
असमिका −2x + 5 > 1 का हल है:
🟥 1️⃣ x < 2 🟩 2️⃣ x > 2
🟨 3️⃣ x < −2 🟦 4️⃣ x > −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 4
यदि 5x − 7 ≤ 8, तो x का मान:
🟥 1️⃣ x ≤ 3
🟩 2️⃣ x ≥ 3
🟨 3️⃣ x ≤ 2
🟦 4️⃣ x ≥ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023

🔵 प्रश्न 5
x के लिए असमिका |x| < 3 का हल है: 🟥 1️⃣ −3 < x < 3 🟩 2️⃣ x < −3 🟨 3️⃣ x > 3
🟦 4️⃣ |x| > 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 6
यदि |x − 2| ≤ 5, तो हल का समुच्चय होगा:
🟥 1️⃣ −3 ≤ x ≤ 7
🟩 2️⃣ 3 ≤ x ≤ 5
🟨 3️⃣ x ≤ 5
🟦 4️⃣ x ≥ −3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022

🔵 प्रश्न 7
असमिका 2x + 3 > 7 को संतुष्ट करने वाला x का मान:
🟥 1️⃣ x > 2
🟩 2️⃣ x < 2
🟨 3️⃣ x ≥ 2
🟦 4️⃣ x ≤ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 8
यदि असमिका −x + 4 < 1, तो हल है: 🟥 1️⃣ x > 3
🟩 2️⃣ x < 3 🟨 3️⃣ x > 4
🟦 4️⃣ x < 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021

🔵 प्रश्न 9
यदि 2x − 5 ≥ 9, तो x का हल:
🟥 1️⃣ x ≥ 7
🟩 2️⃣ x ≤ 7
🟨 3️⃣ x ≥ 2
🟦 4️⃣ x ≤ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 10
|x + 1| ≥ 3 का हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −4 या x ≥ 2
🟩 2️⃣ x ≥ −4
🟨 3️⃣ x ≤ 2
🟦 4️⃣ −4 ≤ x ≤ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020

🔵 प्रश्न 11
असमिका x² − 4x < 0 का हल है: 🟥 1️⃣ 0 < x < 4 🟩 2️⃣ x < 0 🟨 3️⃣ x > 4
🟦 4️⃣ x = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 12
यदि x² − 9 < 0, तो x का हल: 🟥 1️⃣ −3 < x < 3 🟩 2️⃣ x > 3
🟨 3️⃣ x < −3
🟦 4️⃣ x = 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019

🔵 प्रश्न 13
यदि x² + 2x + 1 ≥ 0, तो हल का समुच्चय:
🟥 1️⃣ सभी वास्तविक संख्याएँ
🟩 2️⃣ कोई नहीं
🟨 3️⃣ x ≥ 0
🟦 4️⃣ x ≤ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 14
यदि x² − 5x + 6 ≥ 0, तो हल है:
🟥 1️⃣ x ≤ 2 या x ≥ 3
🟩 2️⃣ 2 < x < 3
🟨 3️⃣ x ≥ 2
🟦 4️⃣ x ≤ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018

🔵 प्रश्न 15
यदि |x| ≥ 2, तो हल का समुच्चय:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ 2
🟩 2️⃣ −2 < x < 2
🟨 3️⃣ x = 2
🟦 4️⃣ x = −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 16
यदि x² − 1 ≤ 0, तो x का मान:
🟥 1️⃣ −1 ≤ x ≤ 1
🟩 2️⃣ x ≤ −1
🟨 3️⃣ x ≥ 1
🟦 4️⃣ x ≥ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017

🔵 प्रश्न 17
यदि x² + 3x + 2 ≥ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ −1
🟩 2️⃣ −2 ≤ x ≤ −1
🟨 3️⃣ x ≥ −2
🟦 4️⃣ x ≤ −1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 18
असमिका |2x − 3| ≤ 1 का हल:
🟥 1️⃣ 1 ≤ x ≤ 2
🟩 2️⃣ x ≥ 2
🟨 3️⃣ x ≤ 1
🟦 4️⃣ 0 ≤ x ≤ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016

🔵 प्रश्न 19
यदि असमिका 3x² − 12x ≤ 0, तो हल है:
🟥 1️⃣ 0 ≤ x ≤ 4
🟩 2️⃣ x ≤ 0
🟨 3️⃣ x ≥ 4
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 20
यदि x² − 2x − 8 ≥ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ 4
🟩 2️⃣ −2 ≤ x ≤ 4
🟨 3️⃣ x ≥ −2
🟦 4️⃣ x ≤ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015

🔵 प्रश्न 21
यदि असमिका |x − 4| < 2, तो हल: 🟥 1️⃣ 2 < x < 6 🟩 2️⃣ x > 6
🟨 3️⃣ x < 2
🟦 4️⃣ x ≥ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 22
यदि |x + 2| > 5, तो हल का समुच्चय:
🟥 1️⃣ x < −7 या x > 3
🟩 2️⃣ x ≥ 3
🟨 3️⃣ x ≤ −7
🟦 4️⃣ x ≥ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014

🔵 प्रश्न 23
यदि x² − 9x + 20 ≤ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ 4 ≤ x ≤ 5
🟩 2️⃣ x ≤ 4
🟨 3️⃣ x ≥ 5
🟦 4️⃣ x = 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 24
यदि असमिका 2x² + 3x − 2 ≥ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ 1/2
🟩 2️⃣ −2 < x < 1/2
🟨 3️⃣ x ≥ 1/2
🟦 4️⃣ x ≤ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 25
यदि |x − 1| ≥ 3, तो हल का समुच्चय:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ 4
🟩 2️⃣ −2 ≤ x ≤ 4
🟨 3️⃣ x ≥ −2
🟦 4️⃣ x ≤ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013

🔵 प्रश्न 26
यदि असमिका 4x − 5 < 7 है, तो हल होगा: 🟥 1️⃣ x < 3 🟩 2️⃣ x > 3
🟨 3️⃣ x ≤ 3
🟦 4️⃣ x ≥ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2012

🔵 प्रश्न 27
यदि असमिका x² − 3x > 0 का हल:
🟥 1️⃣ x < 0 या x > 3
🟩 2️⃣ 0 < x < 3 🟨 3️⃣ x > 3
🟦 4️⃣ x < 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2012

🔵 प्रश्न 28
|x − 2| ≥ 4 का हल समुच्चय:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ 6
🟩 2️⃣ −2 < x < 6
🟨 3️⃣ x ≥ 2
🟦 4️⃣ x ≤ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2011

🔵 प्रश्न 29
x² + 4x + 3 ≥ 0 का हल है:
🟥 1️⃣ x ≤ −3 या x ≥ −1
🟩 2️⃣ −3 < x < −1
🟨 3️⃣ x ≥ −3
🟦 4️⃣ x ≤ −1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2011

🔵 प्रश्न 30
असमिका 3x − 7 ≥ 5 का हल:
🟥 1️⃣ x ≥ 4
🟩 2️⃣ x ≤ 4
🟨 3️⃣ x ≥ 3
🟦 4️⃣ x ≤ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2010

🔵 प्रश्न 31
यदि असमिका |x| ≤ 2, तो हल समुच्चय:
🟥 1️⃣ −2 ≤ x ≤ 2
🟩 2️⃣ x ≥ 2
🟨 3️⃣ x ≤ −2
🟦 4️⃣ x > 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2010

🔵 प्रश्न 32
x² − 5x + 6 < 0 का हल:
🟥 1️⃣ 2 < x < 3
🟩 2️⃣ x ≤ 2
🟨 3️⃣ x ≥ 3
🟦 4️⃣ 2 ≤ x ≤ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2009

🔵 प्रश्न 33
यदि असमिका |x − 1| > 2 है, तो हल समुच्चय:
🟥 1️⃣ x < −1 या x > 3
🟩 2️⃣ x > −1
🟨 3️⃣ x < 3
🟦 4️⃣ x = 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2009

🔵 प्रश्न 34
x² − 2x − 3 ≤ 0 का हल:
🟥 1️⃣ −1 ≤ x ≤ 3
🟩 2️⃣ x ≤ −1
🟨 3️⃣ x ≥ 3
🟦 4️⃣ x = −1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2008

🔵 प्रश्न 35
यदि असमिका 2x² + x − 3 ≥ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −3/2 या x ≥ 1
🟩 2️⃣ −3/2 ≤ x ≤ 1
🟨 3️⃣ x ≥ −3/2
🟦 4️⃣ x ≤ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2008

🔵 प्रश्न 36
यदि असमिका |2x + 1| < 5, तो हल समुच्चय: 🟥 1️⃣ −3 < x < 2 🟩 2️⃣ x < −3 🟨 3️⃣ x > 2
🟦 4️⃣ −2 < x < 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2007

🔵 प्रश्न 37
x² − 4 ≥ 0 का हल है:
🟥 1️⃣ x ≤ −2 या x ≥ 2
🟩 2️⃣ −2 < x < 2
🟨 3️⃣ x = ±2
🟦 4️⃣ सभी वास्तविक संख्याएँ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2007

🔵 प्रश्न 38
यदि असमिका 3x² − 5x − 2 < 0 है, तो हल: 🟥 1️⃣ −1/3 < x < 2 🟩 2️⃣ x > 2
🟨 3️⃣ x < −1/3
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2006

🔵 प्रश्न 39
यदि x² + 6x + 8 > 0, तो हल:
🟥 1️⃣ x < −4 या x > −2
🟩 2️⃣ −4 < x < −2
🟨 3️⃣ x ≥ −4
🟦 4️⃣ x ≤ −2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2006

🔵 प्रश्न 40
यदि |x + 3| ≤ 4, तो हल:
🟥 1️⃣ −7 ≤ x ≤ 1
🟩 2️⃣ x ≥ 1
🟨 3️⃣ x ≤ −7
🟦 4️⃣ −4 ≤ x ≤ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2005

🔵 प्रश्न 41
यदि असमिका 2x² − 3x − 2 ≥ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −1/2 या x ≥ 2
🟩 2️⃣ −1/2 ≤ x ≤ 2
🟨 3️⃣ x ≥ −1/2
🟦 4️⃣ x ≤ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2005

🔵 प्रश्न 42
यदि x² − x − 6 < 0, तो हल समुच्चय: 🟥 1️⃣ −2 < x < 3 🟩 2️⃣ x > 3
🟨 3️⃣ x < −2
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2004

🔵 प्रश्न 43
यदि |x − 5| < 2, तो हल: 🟥 1️⃣ 3 < x < 7 🟩 2️⃣ x > 7
🟨 3️⃣ x < 3
🟦 4️⃣ x ≥ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2004

🔵 प्रश्न 44
x² + 2x − 3 ≤ 0 का हल:
🟥 1️⃣ −3 ≤ x ≤ 1
🟩 2️⃣ x ≥ 1
🟨 3️⃣ x ≤ −3
🟦 4️⃣ कोई नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2003

🔵 प्रश्न 45
यदि असमिका 2x² − 5x + 2 < 0, तो हल: 🟥 1️⃣ 1 < x < 2 🟩 2️⃣ x < 1 🟨 3️⃣ x > 2
🟦 4️⃣ x ≥ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2003

🔵 प्रश्न 46
|x| > 1 का हल:
🟥 1️⃣ x < −1 या x > 1
🟩 2️⃣ −1 < x < 1
🟨 3️⃣ x = 1
🟦 4️⃣ x = −1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2002

🔵 प्रश्न 47
यदि असमिका 3x² − 2x − 1 ≤ 0, तो हल:
🟥 1️⃣ −1/3 ≤ x ≤ 1
🟩 2️⃣ x ≥ 1
🟨 3️⃣ x ≤ −1/3
🟦 4️⃣ x > 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2002

🔵 प्रश्न 48
यदि |x + 1| ≥ 3, तो हल समुच्चय:
🟥 1️⃣ x ≤ −4 या x ≥ 2
🟩 2️⃣ −4 < x < 2
🟨 3️⃣ x ≥ −4
🟦 4️⃣ x ≤ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2001

🔵 प्रश्न 49
x² − 4x + 3 > 0 का हल:
🟥 1️⃣ x < 1 या x > 3
🟩 2️⃣ 1 < x < 3
🟨 3️⃣ x ≥ 1
🟦 4️⃣ x ≤ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2001

🔵 प्रश्न 50
असमिका 2x² − x − 3 ≥ 0 का हल:
🟥 1️⃣ x ≤ −1 या x ≥ 3/2
🟩 2️⃣ −1 ≤ x ≤ 3/2
🟨 3️⃣ x ≥ 3/2
🟦 4️⃣ x ≤ −1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2001

JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

🔵 प्रश्न 1
यदि असमिका 2x − 3 < 7 को हल करें, तो x का मान होगा 🟥 1️⃣ x < 5 🟩 2️⃣ x > 5
🟨 3️⃣ x ≤ 5
🟦 4️⃣ x ≥ 5
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 2
असमिका 3x + 2 ≥ 11 के हल का समुच्चय है
🟥 1️⃣ x ≥ 3
🟩 2️⃣ x ≤ 3
🟨 3️⃣ x > 3
🟦 4️⃣ x < 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 3
यदि |x − 2| < 3, तो x के मानों का अंतराल होगा
🟥 1️⃣ (−1, 5)
🟩 2️⃣ [−1, 5]
🟨 3️⃣ (−3, 2)
🟦 4️⃣ (−5, 5)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 4
यदि |2x − 1| ≥ 3, तो x का हल होगा
🟥 1️⃣ (−∞, −1] ∪ [2, ∞)
🟩 2️⃣ (−∞, 1] ∪ [2, ∞)
🟨 3️⃣ (−1, 2)
🟦 4️⃣ [−1, 2]
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 5
यदि असमिका x² − 4x + 3 < 0 हो, तो x का हल होगा
🟥 1️⃣ (1, 3)
🟩 2️⃣ (−∞, 1)
🟨 3️⃣ (3, ∞)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 6
यदि असमिका x² + x − 6 > 0 हो, तो x के मान होंगे
🟥 1️⃣ (−∞, −3) ∪ (2, ∞)
🟩 2️⃣ (−3, 2)
🟨 3️⃣ [−3, 2]
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 7
यदि असमिका (x − 1)(x − 3) ≤ 0 हो, तो x के मान होंगे
🟥 1️⃣ [1, 3]
🟩 2️⃣ (1, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, 1) ∪ (3, ∞)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 8
यदि असमिका (x − 2)(x + 4) > 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ (−∞, −4) ∪ (2, ∞)
🟩 2️⃣ (−4, 2)
🟨 3️⃣ [−4, 2]
🟦 4️⃣ (−∞, 2)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 9
यदि असमिका x² − 5x + 6 ≥ 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ (−∞, 2] ∪ [3, ∞)
🟩 2️⃣ (2, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, 2) ∪ (3, ∞)
🟦 4️⃣ (2, 3)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 10
यदि असमिका (x + 1)(x − 2) < 0 हो, तो x का हल है
🟥 1️⃣ (−1, 2)
🟩 2️⃣ (−∞, −1) ∪ (2, ∞)
🟨 3️⃣ (−1, 2]
🟦 4️⃣ [−1, 2]
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2014 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 11
यदि |x| ≥ 2, तो x का हल है
🟥 1️⃣ (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
🟩 2️⃣ (−2, 2)
🟨 3️⃣ [−2, 2]
🟦 4️⃣ (−∞, 2)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2013 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 12
यदि असमिका x² − 9 ≤ 0 हो, तो x का हल है
🟥 1️⃣ [−3, 3]
🟩 2️⃣ (−3, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, 3)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2012 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 13
यदि असमिका 2x² − 5x + 2 < 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ (1, 2)
🟩 2️⃣ (1/2, 2)
🟨 3️⃣ (0, 1/2)
🟦 4️⃣ (2, ∞)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2011 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 14
यदि असमिका (x − 3)² ≥ 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ सभी वास्तविक संख्याएँ
🟩 2️⃣ केवल 3
🟨 3️⃣ 3 से अधिक
🟦 4️⃣ 3 से कम
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2010 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 15
यदि असमिका (x − 1)(x − 2)(x − 3) ≤ 0 हो, तो हल होगा
🟥 1️⃣ [1, 2] ∪ [3, ∞)
🟩 2️⃣ [1, 3]
🟨 3️⃣ (−∞, 1] ∪ [2, 3]
🟦 4️⃣ [1, 2] ∪ [3, ∞)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2009 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 16
यदि असमिका x³ − 3x² + 2x ≤ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ [0, 1] ∪ [2, ∞)
🟩 2️⃣ [0, 1] ∪ [2, ∞)
🟨 3️⃣ [0, 1] ∪ [2, ∞)
🟦 4️⃣ (0, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2008 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 17
यदि असमिका (x² − 4)(x − 1) ≥ 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ (−∞, −2] ∪ [1, 2]
🟩 2️⃣ [−2, 1] ∪ [2, ∞)
🟨 3️⃣ (−∞, −2) ∪ (1, 2)
🟦 4️⃣ (−2, 1)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2007 (Paper 1)

🔵 प्रश्न 18
यदि असमिका (x² − 4x + 3) ≥ 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ (−∞, 1] ∪ [3, ∞)
🟩 2️⃣ (1, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, 3)
🟦 4️⃣ (1, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 19
यदि |x − 1| ≤ 2, तो हल का अंतराल है
🟥 1️⃣ [−1, 3]
🟩 2️⃣ (−1, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, 1]
🟦 4️⃣ (1, 3)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 20
यदि असमिका (x − 2)(x − 5) < 0 हो, तो x के मान हैं
🟥 1️⃣ (2, 5)
🟩 2️⃣ [2, 5]
🟨 3️⃣ (−∞, 2) ∪ (5, ∞)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 21
यदि |x| < 3, तो हल का समुच्चय है
🟥 1️⃣ (−3, 3)
🟩 2️⃣ [−3, 3]
🟨 3️⃣ (−∞, 3)
🟦 4️⃣ [−3, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 22
यदि असमिका x² − x − 6 ≤ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ [−2, 3]
🟩 2️⃣ (−2, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, −2] ∪ [3, ∞)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 23
यदि असमिका x² − 2x − 3 > 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ (−∞, −1) ∪ (3, ∞)
🟩 2️⃣ (−1, 3)
🟨 3️⃣ [−1, 3]
🟦 4️⃣ (−∞, 3)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 24
यदि असमिका (x + 2)(x − 4) ≤ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ [−2, 4]
🟩 2️⃣ (−2, 4)
🟨 3️⃣ (−∞, −2] ∪ [4, ∞)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 25
यदि |x + 1| ≥ 3, तो हल है
🟥 1️⃣ (−∞, −4] ∪ [2, ∞)
🟩 2️⃣ (−4, 2)
🟨 3️⃣ (−∞, 2)
🟦 4️⃣ [−2, 4]
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 26
यदि असमिका (x − 1)(x + 2)(x − 3) > 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ (−2, 1) ∪ (3, ∞)
🟩 2️⃣ (−∞, −2) ∪ (1, 3)
🟨 3️⃣ (−∞, −2) ∪ (3, ∞)
🟦 4️⃣ (−2, 1) ∪ (3, ∞)
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2015 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 27
यदि असमिका (x² − 1)(x − 2) ≤ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ [−1, 1] ∪ [2, ∞)
🟩 2️⃣ (−∞, −1] ∪ [1, 2]
🟨 3️⃣ [−1, 1] ∪ [1, 2]
🟦 4️⃣ (−1, 1)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2014 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 28
यदि असमिका x³ − 3x² + 2x > 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ (0, 1) ∪ (2, ∞)
🟩 2️⃣ [0, 1] ∪ [2, ∞)
🟨 3️⃣ (−∞, 0) ∪ (1, 2)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2013 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 29
यदि असमिका (x² − 2x)(x − 3) ≥ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ (−∞, 0] ∪ [2, 3]
🟩 2️⃣ [0, 2] ∪ [3, ∞)
🟨 3️⃣ (−∞, 0) ∪ (2, 3)
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2012 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 30
यदि असमिका x(x − 1)(x − 2) < 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ (0, 1) ∪ (2, ∞)
🟩 2️⃣ (0, 2)
🟨 3️⃣ (−∞, 0) ∪ (1, 2)
🟦 4️⃣ (0, 1) ∪ (1, 2)
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2011 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 31
यदि असमिका (x² − 4)(x − 3) ≤ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ [−2, 2] ∪ [3, ∞)
🟩 2️⃣ (−∞, −2] ∪ [2, 3]
🟨 3️⃣ [−2, 2] ∪ [2, 3]
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2010 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 32
यदि असमिका |x − 2| + |x + 3| ≥ 5 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ सभी वास्तविक संख्याएँ
🟩 2️⃣ कोई नहीं
🟨 3️⃣ (−∞, ∞)
🟦 4️⃣ [−3, 2]
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2009 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 33
यदि असमिका x² − 6x + 8 > 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ (−∞, 2) ∪ (4, ∞)
🟩 2️⃣ (2, 4)
🟨 3️⃣ [2, 4]
🟦 4️⃣ (−∞, ∞)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2008 (Paper 2)

🔵 प्रश्न 34
यदि असमिका (x − 1)(x − 4)(x − 5) ≤ 0 हो, तो हल है
🟥 1️⃣ [1, 4] ∪ [5, ∞)
🟩 2️⃣ (−∞, 1] ∪ [4, 5]
🟨 3️⃣ [1, 4] ∪ [4, 5]
🟦 4️⃣ [1, 4] ∪ [5, ∞)
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2007 (Paper 2)

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

Q1. यदि 2x + 3 < 7, तो x का हल है
🔵 (A) x < 2
🟢 (B) x > 2
🟠 (C) x = 2
🔴 (D) x ≥ 2
उत्तर: (A) x < 2

Q2. असामिका 5x − 4 ≥ 1 का हल है
🔵 (A) x ≥ 1
🟢 (B) x ≥ 1
🟠 (C) x ≥ 1
🔴 (D) x ≥ 1
उत्तर: (A) x ≥ 1

Q3. यदि a b + c
🟠 (C) a + c = b + c
🔴 (D) कोई निश्चित नहीं
उत्तर: (A) a + c < b + c

Q4. यदि a 0, तो ac और bc के बीच सम्बन्ध
🔵 (A) ac < bc
🟢 (B) ac > bc
🟠 (C) ac = bc
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) ac < bc

Q5. यदि a bc
🟠 (C) ac = bc
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (B) ac > bc

Q6. 3x − 2 ≤ 7 का समाधान समुच्चय
🔵 (A) {x | x ≤ 3}
🟢 (B) {x | x ≤ 9/3}
🟠 (C) {x | x ≤ 3}
🔴 (D) {x | x ≥ 3}
उत्तर: (A) {x | x ≤ 3}

Q7. x − 5 > 3 का हल
🔵 (A) x > 8
🟢 (B) x < 8
🟠 (C) x = 8
🔴 (D) x ≥ 8
उत्तर: (A) x > 8

Q8. 4x − 7 < 9 का हल
🔵 (A) x < 4
🟢 (B) x ≤ 4
🟠 (C) x > 4
🔴 (D) x = 4
उत्तर: (A) x < 4

Q9. यदि 2x + 3y ≤ 12 है, तो बिंदु (3, 2)
🔵 (A) असामिका को संतुष्ट करता है
🟢 (B) असंतुष्ट करता है
🟠 (C) सीमा पर है
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (C) सीमा पर है

Q10. x + y ≤ 6 का समाधान क्षेत्र
🔵 (A) रेखा के नीचे तथा रेखा सहित
🟢 (B) रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित
🟠 (C) केवल रेखा
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) रेखा के नीचे तथा रेखा सहित

Q11. ax + b < 0 का रेखांकन
🔵 (A) बिंदीदार रेखा और नीचे का अर्द्ध-समतल
🟢 (B) ठोस रेखा और नीचे का अर्द्ध-समतल
🟠 (C) बिंदीदार रेखा और ऊपर का अर्द्ध-समतल
🔴 (D) ठोस रेखा और ऊपर का अर्द्ध-समतल
उत्तर: (A) बिंदीदार रेखा और नीचे का अर्द्ध-समतल

Q12. 2x − 3 ≥ 7 ⇒
🔵 (A) x ≥ 5
🟢 (B) x ≤ 5
🟠 (C) x > 5
🔴 (D) x < 5
उत्तर: (A) x ≥ 5

Q13. −3x > 6 ⇒
🔵 (A) x > −2
🟢 (B) x < −2
🟠 (C) x ≥ −2
🔴 (D) x ≤ −2
उत्तर: (B) x < −2

Q14. x ∈ R, 2x + 1 ≤ 0 ⇒
🔵 (A) x ≤ −1/2
🟢 (B) x ≥ −1/2
🟠 (C) x = −1/2
🔴 (D) x > −1/2
उत्तर: (A) x ≤ −1/2

Q15. x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
🔵 (A) प्रथम चतुर्थांश
🟢 (B) द्वितीय चतुर्थांश
🟠 (C) तृतीय चतुर्थांश
🔴 (D) चतुर्थ चतुर्थांश
उत्तर: (A) प्रथम चतुर्थांश

Q16. x + 2y > 8 के लिए रेखा का प्रकार
🔵 (A) बिंदीदार
🟢 (B) ठोस
🟠 (C) कोई नहीं
🔴 (D) दोनों
उत्तर: (A) बिंदीदार

Q17. 3x + 2 ≤ 11 ⇒
🔵 (A) x ≤ 3
🟢 (B) x ≥ 3
🟠 (C) x = 3
🔴 (D) x < 3
उत्तर: (A) x ≤ 3

Q18. यदि a ≤ b, तो a − c और b − c के बीच सम्बन्ध
🔵 (A) a − c ≤ b − c
🟢 (B) a − c ≥ b − c
🟠 (C) a − c = b − c तभी जब c = 0
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (A) a − c ≤ b − c

Q19. 2x − 5 < x + 4 ⇒
🔵 (A) x < 9
🟢 (B) x > 9
🟠 (C) x ≤ 9
🔴 (D) x ≥ 9
उत्तर: (A) x < 9

Q20. x − 2 < 4 और x + 1 ≥ 0 का संयुक्त हल
🔵 (A) −1 ≤ x < 6
🟢 (B) x < 6
🟠 (C) x ≥ −1
🔴 (D) x > −1
उत्तर: (A) −1 ≤ x < 6

Q21. संयुक्त असामिका −3 ≤ 2x − 5 < 7 का अंतराल रूप
🔵 (A) (1, 6)
🟢 (B) [1, 6)
🟠 (C) [1, 6]
🔴 (D) (1, 6]
उत्तर: (B) [1, 6)

Q22. (x − 3)/2 ≥ (2x − 1)/5 − 1 का हल
🔵 (A) x ≤ 4
🟢 (B) x ≥ 4
🟠 (C) x ≥ 2
🔴 (D) x ≤ 2
उत्तर: (B) x ≥ 4

Q23. 3x − 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 के क्षेत्र में कौन-सा बिंदु है
🔵 (A) (2, 6)
🟢 (B) (4, 0)
🟠 (C) (0, 7)
🔴 (D) (5, 4)
उत्तर: (B) (4, 0)

Q24. यदि 0 < a 0, तो निम्न में से सही
🔵 (A) a/c < b/c
🟢 (B) a/c > b/c
🟠 (C) a/c = b/c
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (A) a/c < b/c

Q25. यदि 0 < a bc
🟠 (C) ac = bc
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (B) ac > bc

Q26. x + y ≥ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 के क्षेत्र का एक शीर्ष बिंदु
🔵 (A) (5, 0)
🟢 (B) (0, 0)
🟠 (C) (2, 3)
🔴 (D) (0, 5)
उत्तर: (B) (0, 0)

Q27. 2x + 3y > 6 के लिए परीक्षण बिंदु (0, 0) रखने पर
🔵 (A) असामिका संतुष्ट
🟢 (B) असामिका असंतुष्ट
🟠 (C) सीमा पर
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (B) असामिका असंतुष्ट

Q28. x ∈ R, −2 < x ≤ 5 का सही अंतराल रूप
🔵 (A) [−2, 5)
🟢 (B) (−2, 5]
🟠 (C) (−2, 5)
🔴 (D) [−2, 5]
उत्तर: (B) (−2, 5]

Q29. यदि p < q और r < s, तो p + r तथा q + s के बीच
🔵 (A) p + r < q + s
🟢 (B) p + r > q + s
🟠 (C) p + r = q + s
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (A) p + r < q + s

Q30. 3x − 5 ≤ 2x + 4 ≤ 5x − 2 का संयुक्त हल
🔵 (A) x ≤ 9 और x ≥ 2/3
🟢 (B) 2/3 ≤ x ≤ 9
🟠 (C) x ≥ 9
🔴 (D) x ≤ 2/3
उत्तर: (B) 2/3 ≤ x ≤ 9

Q31. (x − 1)/2 < (x + 3)/5 का हल
🔵 (A) x < −9
🟢 (B) x > −9
🟠 (C) x = −9
🔴 (D) x ≥ −9
उत्तर: (B) x > −9

Q32. 4x − 3y ≥ 12 की रेखा का प्रकार
🔵 (A) ठोस
🟢 (B) बिंदीदार
🟠 (C) दोनों
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) ठोस

Q33. x − 2y < 6 में बिंदु (−2, 5) रखने पर
🔵 (A) संतुष्ट
🟢 (B) असंतुष्ट
🟠 (C) सीमा पर
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (A) संतुष्ट

Q34. 2x − 3 ≤ 5x − 12 ⇒
🔵 (A) x ≥ 3
🟢 (B) x ≤ 3
🟠 (C) x > 3
🔴 (D) x < 3
उत्तर: (A) x ≥ 3

Q35. यदि x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 4, तो क्षेत्र
🔵 (A) रेखा के ऊपर प्रथम चतुर्थांश
🟢 (B) रेखा के नीचे प्रथम चतुर्थांश
🟠 (C) केवल रेखा
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (A) रेखा के ऊपर प्रथम चतुर्थांश

Q36. a < b < c होने पर सही निष्कर्ष
🔵 (A) a + b < a + c
🟢 (B) b − a < c − a
🟠 (C) दोनों सही
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) दोनों सही

Q37. यदि x ∈ R और 0 < k, तो x < y ⇔
🔵 (A) kx < ky
🟢 (B) kx > ky
🟠 (C) kx = ky
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (A) kx < ky

Q38. यदि m < 0, तो x < y ⇒
🔵 (A) mx < my
🟢 (B) mx > my
🟠 (C) mx = my
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (B) mx > my

Q39. 3x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 क्षेत्र का एक कोना बिंदु
🔵 (A) (0, 0)
🟢 (B) (3, 0)
🟠 (C) (0, 9)
🔴 (D) (9, 0)
उत्तर: (A) (0, 0)

Q40. 2x + 5 ≥ 1 और 3x − 4 < 8 का संयुक्त हल
🔵 (A) x ≥ −2 और x < 4
🟢 (B) x ≥ −2 तथा x < 4
🟠 (C) x ∈ [−2, 4)
🔴 (D) सभी सही
उत्तर: (D) सभी सही

Q41. यदि α < β और γ < δ, किन्तु δ − β < γ − α, तो
🔵 (A) (α + δ) − (β + γ) < 0
🟢 (B) (α + δ) − (β + γ) > 0
🟠 (C) (α + δ) − (β + γ) = 0
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (B) (α + δ) − (β + γ) > 0

Q42. वास्तविक x के लिए संयुक्त असामिका 1 < (2x − 3)/5 < 3 का हल
🔵 (A) 4 < x < 9
🟢 (B) 4 ≤ x < 9
🟠 (C) 4 < x ≤ 9
🔴 (D) 4 ≤ x ≤ 9
उत्तर: (A) 4 < x < 9

Q43. k ऐसा कि असामिका 2x + k ≤ 0 का समाधान समुच्चय (−∞, 3] हो, तो k
🔵 (A) 6
🟢 (B) −6
🟠 (C) −3
🔴 (D) 3
उत्तर: (A) 6

Q44. a, b, c धनात्मक हैं और a/b < c/d; निम्न में से सत्य
🔵 (A) (a + c)/(b + d) दोनों के बीच में
🟢 (B) (a + c)/(b + d) > c/d
🟠 (C) (a + c)/(b + d) < a/b
🔴 (D) निश्चित नहीं
उत्तर: (A) (a + c)/(b + d) दोनों के बीच में

Q45. x, y ∈ R, असामिका |x − y| ≤ t (जहाँ t ≥ 0) का रैखिक रूप समकक्ष
🔵 (A) y − t ≤ x ≤ y + t
🟢 (B) x − t ≤ y ≤ x + t
🟠 (C) दोनों समकक्ष
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) दोनों समकक्ष

Q46. p < q और r < s ⇒ निम्न में से कौन-सा सदैव सत्य
🔵 (A) pr + ps < qr + qs
🟢 (B) p(r + s) < q(r + s)
🟠 (C) दोनों सत्य
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (C) दोनों सत्य

Q47. x ∈ R, असामिका समुच्चय x ≥ 1, x ≤ 4, 2x + 3y ≤ 12 के समाधान क्षेत्र में y का अधिकतम मान (x नियत रखते हुए)
🔵 (A) (12 − 2x)/3
🟢 (B) (12 − 3x)/2
🟠 (C) (12 + 2x)/3
🔴 (D) 12 − 2x
उत्तर: (A) (12 − 2x)/3

Q48. यदि 0 < a < b, तो निम्न में से असत्य
🔵 (A) 1/a > 1/b
🟢 (B) a^2 < b^2
🟠 (C) −a < −b
🔴 (D) a + b > 2a
उत्तर: (C) −a < −b

Q49. वास्तविक x के लिए 2 ≤ 3 − (x − 1) < 6 का हल
🔵 (A) −2 < x ≤ 2
🟢 (B) −2 ≤ x < 2
🟠 (C) −1 ≤ x < 3
🔴 (D) 0 < x ≤ 4
उत्तर: (B) −2 ≤ x < 2

Q50. वास्तविक x के लिए (x − 2)/3 ≤ (x + 1)/4 ≤ (x + 5)/6 का संयुक्त हल
🔵 (A) x ≥ 2
🟢 (B) x ≤ 2
🟠 (C) x ≥ −1
🔴 (D) x ≥ −5
उत्तर: (A) x ≥ 2

Important Notice : The lessons and study materials up to July–August 2025 have been sent. Soon, after receiving feedback from teachers and students, we will deliver the latest and more innovative study materials for the upcoming months.