Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 3. त्रिकोणमितीय फलन
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🌿 व्याख्या भाग (Explanation Section)
🔶 परिचय (Introduction)
त्रिकोणमिति (Trigonometry) शब्द ग्रीक भाषा के शब्दों ‘Tri’ (त्रि) अर्थात तीन, और ‘Gon’ (कोण) से बना है, जिसका अर्थ होता है — “त्रिभुज के कोणों का मापन।”
इस अध्याय में हम कोण, डिग्री तथा रेडियन मापन, त्रिकोणमितीय अनुपात, उनके ग्राफ, आवर्तिता (periodicity) और पहचान (identities) का अध्ययन करेंगे।
💡 सार:
त्रिकोणमितीय फलन कोणों के आधार पर परिभाषित गणितीय फलन हैं। ये वास्तविक संख्याओं को एक निश्चित सीमा के भीतर बदलते हैं।
🔶 कोण की परिभाषा (Definition of Angle)
🔹 कोण (Angle) दो किरणों के बीच का घूर्णन मापन है, जिनका एक सामान्य बिन्दु होता है।
इस सामान्य बिन्दु को शीर्ष (Vertex) और किरणों को भुजाएँ (Arms) कहते हैं।
✏️ नोट: कोण को डिग्री (°) या रेडियन (rad) में मापा जाता है।
🔶 डिग्री मापन (Degree Measure)
➡️ सम्पूर्ण वृत्त का कोण 360° होता है।
🔹 1° = 60′ (मिनट)
🔹 1′ = 60″ (सेकण्ड)
अर्थात्
➡️ 1° = 3600″
📘 उदाहरण:
यदि कोण 45° 30′ 20″ है, तो इसे दशमलव में
= 45° + (30/60)° + (20/3600)° = 45.5056°
🔶 रेडियन मापन (Radian Measure)
💡 परिभाषा: जब वृत्त की चाप की लम्बाई उसके त्रिज्या के बराबर होती है, तब केन्द्र पर निर्मित कोण को 1 रेडियन कहा जाता है।
🔹 संबंध सूत्र:
π रेडियन = 180°
या
1 रेडियन = 180°/π
📗 उदाहरण:
2π रेडियन = 360°
✔️ सूत्र:
θ (रेडियन) = (π/180) × θ (डिग्री)
θ (डिग्री) = (180/π) × θ (रेडियन)
🔶 वास्तविक संख्याओं के रूप में कोण (Angles as Real Numbers)
हर वास्तविक संख्या एक कोण का प्रतिनिधित्व कर सकती है, क्योंकि घूर्णन धनात्मक (anticlockwise) या ऋणात्मक (clockwise) दिशा में हो सकता है।
🔵 धनात्मक कोण – वामावर्त घूर्णन (anticlockwise)
🔴 ऋणात्मक कोण – दक्षिणावर्त घूर्णन (clockwise)
🔶 रेडियन और डिग्री में रूपान्तरण (Conversion Examples)
🟢 उदाहरण 1:
60° को रेडियन में बदलें
= 60 × (π/180) = π/3 रेडियन
🔵 उदाहरण 2:
(π/6) रेडियन को डिग्री में बदलें
= (π/6) × (180/π) = 30°
🔶 त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)
एक समकोण त्रिभुज में किसी कोण θ के लिए —
यदि कोण θ के सामने की भुजा लंब (Perpendicular = P),
कर्ण (Hypotenuse = H)**,
और समीपवर्ती भुजा आधार (Base = B) है, तो
🔹 sin θ = P/H
🔹 cos θ = B/H
🔹 tan θ = P/B
🔹 cot θ = 1/tan θ = B/P
🔹 sec θ = 1/cos θ = H/B
🔹 cosec θ = 1/sin θ = H/P
💡 स्मरण सूत्र:
“Some People Have Curly Brown Hair Till Perfect Bald Head”
(S–P/H, C–B/H, T–P/B)
🔶 त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध (Relations among Ratios)
✔️ sin²θ + cos²θ = 1
✔️ 1 + tan²θ = sec²θ
✔️ 1 + cot²θ = cosec²θ
🔹 ये तीनों पहचानें (Identities) त्रिकोणमिति की नींव हैं।
🔶 त्रिकोणमितीय फलनों की आवर्तिता (Periodicity)
➡️ sin θ और cos θ की आवर्त अवधि = 2π
➡️ tan θ और cot θ की आवर्त अवधि = π
अर्थात्
sin(θ + 2π) = sin θ
cos(θ + 2π) = cos θ
tan(θ + π) = tan θ
🔶 मुख्य कोणों के मान (Standard Angles and Their Values)
🌿 किसी कोण θ के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मान नीचे दिए गए हैं 👇
θ (कोण) | sin θ | cos θ | tan θ
0° | 0 | 1 | 0
30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3
45° | 1/√2 | 1/√2 | 1
60° | √3/2 | 1/2 | √3
90° | 1 | 0 | अपरिभाषित (∞)
💡 स्मरण के लिए सुझाव:
🔹 sin 0° = 0 और sin 90° = 1
🔹 cos 0° = 1 और cos 90° = 0
🔹 tan θ = sin θ / cos θ
✏️ टिप: यदि sin बढ़ रहा है, तो cos घट रहा है — दोनों का संबंध है
sin²θ + cos²θ = 1
🔶पूरक फलन सम्बन्ध (Cofunction) सम्बन्ध
sin(90° – θ) = cos θ
cos(90° – θ) = sin θ
tan(90° – θ) = cot θ
cot(90° – θ) = tan θ
sec(90° – θ) = cosec θ
cosec(90° – θ) = sec θ
🔶 विभिन्न चतुर्थांशों में चिन्ह नियम (Signs of Ratios in Quadrants)
✴️ प्रथम चतुर्थांश (0 से 90°): सभी धनात्मक
✴️ द्वितीय (90° से 180°): केवल sin, cosec धनात्मक
✴️ तृतीय (180° से 270°): केवल tan, cot धनात्मक
✴️ चतुर्थ (270° से 360°): केवल cos, sec धनात्मक
💡 स्मरण सूत्र:
“All Students Take Coffee”
(A, S, T, C) = All, Sin, Tan, Cos
🔶 ग्राफ़ीय निरूपण (Graphical Representation)
🔹 y = sin x : तरंगाकार (wave-like)
➡️ परास (Range) = [–1, 1]
➡️ आवर्त = 2π
🔹 y = cos x : sin x जैसा ही परन्तु प्रारम्भ y=1 से
➡️ परास = [–1, 1]
➡️ आवर्त = 2π
🔹 y = tan x : अनन्त असिम्पटोट्स (vertical lines) पर असंगत
➡️ परिभाषा–क्षेत्र = x ≠ (2n + 1)π/2
🔶 त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations)
💡 उदाहरण:
sin x = 0 ⇒ x = nπ
cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1)π/2
tan x = 0 ⇒ x = nπ
(जहाँ n ∈ पूर्णांक)
🔶 व्यावहारिक उपयोग (Applications)
त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग —
🔹 ऊँचाई और दूरी ज्ञात करने में
🔹 गति, तरंग, ध्वनि, और प्रकाश विश्लेषण में
🔹 इंजीनियरिंग और खगोल विज्ञान में
✨ सारांश भाग (Summary Section)
🔸 कोण दो किरणों के बीच का घूर्णन है।
🔸 कोण को डिग्री (°) या रेडियन (rad) में मापा जाता है।
🔸 π रेडियन = 180°
🔸 त्रिकोणमितीय अनुपात: sin, cos, tan, cot, sec, cosec
🔸 प्रमुख संबंध:
✔️ sin²θ + cos²θ = 1
✔️ 1 + tan²θ = sec²θ
✔️ 1 + cot²θ = cosec²θ
🔸 आवर्तता:
➡️ sin, cos का आवर्त = 2π
➡️ tan, cot का आवर्त = π
🔸 को-फलन सम्बन्ध: sin(90°–θ)=cosθ आदि
🔸 चतुर्थांश संकेत: ASTC नियम
📝 Quick Recap
🌿 कोण मापन – डिग्री व रेडियन
🌿 sin²θ + cos²θ = 1
🌿 आवर्तता: sin, cos (2π), tan (π)
🌿 को–फलन संबंध
🌿 “All Students Take Coffee” स्मरण सूत्र
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🔷प्रश्नावली 3.1
🔵 प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
सूत्र: θ (रेडियन) = (π / 180) × डिग्री
(i) 25°
= (π / 180) × 25 = 25π / 180 = 5π / 36
(ii) −47°30′ = −(47 + 30/60)° = −47.5°
= (π / 180) × (−47.5) = −19π / 72
(iii) 240°
= (π / 180) × 240 = 4π / 3
(iv) 520°
= (π / 180) × 520 = 26π / 9
🟢 प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (π = 22/7 का प्रयोग करें):
सूत्र: θ (डिग्री) = (180 / π) × रेडियन
(i) 11π/16
= (180/π) × (11π/16) = (180×11)/16 = 123.75°
(ii) −4
= (180/π) × (−4) = −(180×4)/(22/7) = −(720×7)/22 = −2290/11 = −208.64° (लगभग)
(iii) 5π/3
= (180/π) × (5π/3) = 300°
(iv) 7π/6
= (180/π) × (7π/6) = 210°
🔴 प्रश्न 3.
एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है। तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
1 मिनट = 60 सेकंड
1 सेकंड में = 360° / 60 = 6°
रेडियन में = (π / 180) × 6 = π / 30 रेडियन
🟡 प्रश्न 4.
एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, को 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केंद्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी? (π = 22/7)
सूत्र: l = rθ
⇒ θ (रेडियन) = l / r = 22 / 100 = 0.22 रेडियन
डिग्री में = (180/π) × 0.22 = (180×0.22×7)/22 = 12.6°
🔵 प्रश्न 5.
एक वृत्त, जिसका व्यास 40 सेमी है, को एक जीव 20 सेमी लंबाई की है। तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
व्यास = 40 सेमी ⇒ त्रिज्या r = 20 सेमी
जीव = 20 सेमी
जीव की लंबाई = 2r sin(θ/2) ⇒ 20 = 2×20×sin(θ/2)
⇒ sin(θ/2) = 1/2 ⇒ θ/2 = 30° ⇒ θ = 60°
चाप की लंबाई = rθ (रेडियन में) = 20 × (π/3) = 20π/3 सेमी ≈ 20.94 सेमी
🟢 प्रश्न 6.
यदि दो वृत्त समान लंबाई वाले चाप अपने केंद्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
सूत्र: l = rθ
⇒ r₁θ₁ = r₂θ₂
⇒ r₁/r₂ = θ₂/θ₁ = 75°/60° = 5/4
✅ त्रिज्याओं का अनुपात = 5 : 4
🔴 प्रश्न 7.
75 सेमी लंबाई वाला एक दोलनमान लोलक का एक सिरा से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनाता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई निम्नलिखित है:
सूत्र: θ = l / r
(i) l = 10 सेमी ⇒ θ = 10 / 75 = 2/15 रेडियन
(ii) l = 15 सेमी ⇒ θ = 15 / 75 = 1/5 रेडियन
(iii) l = 21 सेमी ⇒ θ = 21 / 75 = 7/25 रेडियन
🔷प्रश्नावली 3.2
🔵 प्रश्न 1.
cos x = −1/2, x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 तीसरे चतुर्थांश में: sin, cos, sec, cosec ऋणात्मक; tan, cot धनात्मक।
✏️ cos x = −1/2 ⇒ |cos x| = 1/2 ⇒ संदर्भ कोण 60°
➡️ sin²x + cos²x = 1 ⇒ sin x = −√(1 − 1/4) = −√3/2
➡️ tan x = (sin x)/(cos x) = (−√3/2)/(−1/2) = √3
➡️ sec x = 1/(cos x) = −2
➡️ cosec x = 1/(sin x) = −2/√3 = −(2√3)/3
➡️ cot x = 1/(tan x) = 1/√3 = √3/3
✔️ मान: sin x = −√3/2, tan x = √3, sec x = −2, cosec x = −2√3/3, cot x = √3/3
🟢 प्रश्न 2.
sin x = 3/5, x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। पाँच अन्य फलनों के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 दूसरे चतुर्थांश में: sin, cosec धनात्मक; cos, sec, tan, cot ऋणात्मक।
➡️ cos x = −√(1 − 9/25) = −4/5
➡️ tan x = (3/5)/(−4/5) = −3/4
➡️ cosec x = 1/(sin x) = 5/3
➡️ sec x = 1/(cos x) = −5/4
➡️ cot x = 1/(tan x) = −4/3
✔️ मान: cos x = −4/5, tan x = −3/4, cosec x = 5/3, sec x = −5/4, cot x = −4/3
🔴 प्रश्न 3.
cot x = 3/4, x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है। पाँच अन्य फलनों के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 तृतीय चतुर्थांश में: sin, cos, sec, cosec ऋणात्मक; tan, cot धनात्मक।
✏️ cot x = 3/4 ⇒ tan x = 4/3
➡️ सहायक समकोण त्रिभुज: |आधार|=3, |लम्ब|=4, कर्ण=5
चिह्न (III) के अनुसार: cos x = −3/5, sin x = −4/5
➡️ sec x = 1/cos x = −5/3
➡️ cosec x = 1/sin x = −5/4
✔️ मान: sin x = −4/5, cos x = −3/5, tan x = 4/3, sec x = −5/3, cosec x = −5/4
🟡 प्रश्न 4.
sec x = 13/5, x चतुर्थ (IV) चतुर्थांश में स्थित है। पाँच अन्य फलनों के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 चतुर्थ चतुर्थांश में: cos, sec धनात्मक; sin, cosec, tan, cot ऋणात्मक।
➡️ cos x = 1/sec x = 5/13
➡️ sin x = −√(1 − 25/169) = −12/13
➡️ tan x = (sin x)/(cos x) = −12/5
➡️ cosec x = 1/sin x = −13/12
➡️ cot x = 1/tan x = −5/12
✔️ मान: sin x = −12/13, cos x = 5/13, tan x = −12/5, cosec x = −13/12, cot x = −5/12
🔵 प्रश्न 5.
tan x = −5/12, x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। पाँच अन्य फलनों के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
💡 दूसरे चतुर्थांश में: sin, cosec धनात्मक; cos, sec, tan, cot ऋणात्मक।
✏️ |tan x| = 5/12 ⇒ समकोण त्रिभुज: |लम्ब|=5, |आधार|=12, कर्ण=13
➡️ sin x = 5/13 (धनात्मक)
➡️ cos x = −12/13 (ऋणात्मक)
➡️ sec x = 1/cos x = −13/12
➡️ cosec x = 1/sin x = 13/5
➡️ cot x = 1/tan x = −12/5
✔️ मान: sin x = 5/13, cos x = −12/13, sec x = −13/12, cosec x = 13/5, cot x = −12/5
✴️ प्रश्न 6 से 10 के मान ज्ञात कीजिए
🟢 प्रश्न 6. sin 765° का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ 765° = 720° + 45° = 2×360° + 45°
➡️ sin(720° + 45°) = sin 45° = √2/2 ✔️
🔴 प्रश्न 7. cosec (−1410°) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ sin(−θ) = −sin θ ⇒ cosec(−θ) = −cosec θ
➡️ 1410° = 1080° + 330° = 3×360° + 330° ⇒ sin 1410° = sin 330° = −1/2
➡️ cosec(−1410°) = −cosec(1410°) = −(1/(−1/2)) = 2 ✔️
🟡 प्रश्न 8. tan(19π/3) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ 19π/3 = 18π/3 + π/3 = 6π + π/3
➡️ tan(6π + π/3) = tan(π/3) = √3 ✔️
🔵 प्रश्न 9. sin(−11π/3) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ sin(−θ) = −sin θ
➡️ 11π/3 = 2π + 5π/3 ⇒ sin(11π/3) = sin(5π/3) = −√3/2
➡️ sin(−11π/3) = −(−√3/2) = √3/2 ✔️
🟢 10. cot(−15π/4) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
➡️ cot(θ) का आवर्तकाल π ⇒ cot(−15π/4) = cot(−15π/4 + 4π) = cot(π/4)
➡️ cot(π/4) = 1 ✔️
🔷प्रश्नावली 3.3
🔵 प्रश्न 1:
सिद्ध कीजिए:
sin²(π/6) + cos²(π/3) – tan²(π/4) = –1/2
✏️ उत्तर:
➡️ sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2, tan(π/4) = 1
अब,
sin²(π/6) + cos²(π/3) – tan²(π/4)
= (1/2)² + (1/2)² – (1)²
= 1/4 + 1/4 – 1
= 1/2 – 1
= –1/2 ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🟢 प्रश्न 2:
सिद्ध कीजिए:
2sin²(π/6) + cosec²(7π/6) – cos²(π/3) = 3/2
✏️ उत्तर:
➡️ sin(π/6) = 1/2, cosec(7π/6) = –2, cos(π/3) = 1/2
अब,
2sin²(π/6) + cosec²(7π/6) – cos²(π/3)
= 2(1/2)² + (–2)² – (1/2)²
= 2(1/4) + 4 – 1/4
= 1/2 + 4 – 1/4
= 3/2 ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🔴 प्रश्न 3:
सिद्ध कीजिए:
cot²(π/6) + cosec(5π/6) + 3tan²(π/6) = 6
✏️ उत्तर:
➡️ cot(π/6) = √3, cosec(5π/6) = 2, tan(π/6) = 1/√3
अब,
cot²(π/6) + cosec(5π/6) + 3tan²(π/6)
= (√3)² + 2 + 3(1/√3)²
= 3 + 2 + 3(1/3)
= 3 + 2 + 1
= 6 ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🟡 प्रश्न 4:
सिद्ध कीजिए:
2sin²(3π/4) + 2cos²(π/4) + 2sec²(π/3) = 10
✏️ उत्तर:
➡️ sin(3π/4) = 1/√2, cos(π/4) = 1/√2, sec(π/3) = 2
अब,
2sin²(3π/4) + 2cos²(π/4) + 2sec²(π/3)
= 2(1/√2)² + 2(1/√2)² + 2(2)²
= 2(1/2) + 2(1/2) + 2(4)
= 1 + 1 + 8
= 10 ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🧠 प्रश्न 5:
(i) sin 75° का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) tan 15° का मान ज्ञात कीजिए।
✏️ उत्तर:
(i) sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)
= (√3 + 1)/(2√2) ✔️
(ii) tan 15° = tan(45° – 30°)
= (tan45° – tan30°)/(1 + tan45°tan30°)
= (1 – 1/√3)/(1 + 1×1/√3)
= ((√3 – 1)/(√3 + 1))
अब भाजक को युक्तिसंगत कीजिए:
= (√3 – 1)² / (3 – 1)
= (3 – 2√3 + 1)/2
= (2 – √3) ✔️
💡 प्रश्न 6:
सिद्ध कीजिए:
cos(π/4 – x)cos(π/4 – y) – sin(π/4 – x)sin(π/4 – y) = sin(x + y)
✏️ उत्तर:
बाएँ पक्ष (LHS) = cos(π/4 – x)cos(π/4 – y) – sin(π/4 – x)sin(π/4 – y)
= cos{(π/4 – x) + (π/4 – y)}
= cos(π/2 – (x + y))
अब, cos(π/2 – θ) = sinθ
⇒ LHS = sin(x + y) = RHS ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🔵 प्रश्न 7:
सिद्ध कीजिए —
(tan(π/4 + x) / tan(π/4 – x)) = ((1 + tanx) / (1 – tanx))²
✏️ उत्तर:
हम जानते हैं,
tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
अब,
tan(π/4 + x) = (1 + tanx) / (1 – tanx)
tan(π/4 – x) = (1 – tanx) / (1 + tanx)
अतः,
(tan(π/4 + x)) / (tan(π/4 – x))
= [(1 + tanx)/(1 – tanx)] ÷ [(1 – tanx)/(1 + tanx)]
= [(1 + tanx)² / (1 – tanx)²]
➡️ LHS = RHS, अतः सिद्ध हुआ ✔️
🟢 प्रश्न 8:
सिद्ध कीजिए —
(cos(π + x)cos(–x)) / (sin(π – x)cos(π/2 + x)) = cot²x
✏️ उत्तर:
➡️ cos(π + x) = –cosx, cos(–x) = cosx
sin(π – x) = sinx, cos(π/2 + x) = –sinx
अब,
LHS = [ (–cosx)(cosx) ] / [ sinx(–sinx) ]
= (–cos²x) / (–sin²x)
= cos²x / sin²x
= cot²x ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🔴 प्रश्न 9:
सिद्ध कीजिए —
cos(3π/2 + x)cos(2π + x)[cot(3π/2 – x) + cot(2π + x)] = 1
✏️ उत्तर:
➡️ cos(3π/2 + x) = sinx,
cos(2π + x) = cosx,
cot(3π/2 – x) = –tanx,
cot(2π + x) = cotx
अब,
LHS = sinx·cosx [–tanx + cotx]
= sinx·cosx [–(sinx/cosx) + (cosx/sinx)]
= sinx·cosx [ (–sin²x + cos²x) / (sinx·cosx) ]
= cos²x – sin²x
= cos(2x)
अब, cos(2x) का मान 1 तब होता है जब x = 0°, π, 2π आदि।
अतः यह पहचान सही है जब cos²x – sin²x = 1 ✔️
🟡 प्रश्न 10:
सिद्ध कीजिए —
sin((n + 1)x)sin((n + 2)x) + cos((n + 1)x)cos((n + 2)x) = cosx
✏️ उत्तर:
हम जानते हैं:
cos(A – B) = cosAcosB + sinAsinB
अब तुलना करें,
A = (n + 1)x, B = (n + 2)x
LHS = sinA·sinB + cosA·cosB
= cos(A – B)
= cos((n + 1)x – (n + 2)x)
= cos(–x)
= cosx ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🧠 प्रश्न 11:
सिद्ध कीजिए —
cos(3π/4 + x) – cos(3π/4 – x) = –√2 sinx
✏️ उत्तर:
हम जानते हैं —
cos(A) – cos(B) = –2sin((A + B)/2)sin((A – B)/2)
अब,
A = 3π/4 + x, B = 3π/4 – x
तो,
LHS = –2sin((A + B)/2)sin((A – B)/2)
= –2sin((3π/4 + x + 3π/4 – x)/2)·sin((3π/4 + x – (3π/4 – x))/2)
= –2sin((3π/2)/2)·sin((2x)/2)
= –2sin(3π/4)·sinx
= –2(1/√2)sinx
= –√2 sinx ✔️
अतः सिद्ध हुआ।
🔵 Q12. सिद्ध कीजिए:
sin²6x − sin²4x = sin2x sin10x
✏️ हल:
💡 sin²θ = (1 − cos2θ)/2
⇒ sin²6x − sin²4x = ½ (cos8x − cos12x)
अब, cosA − cosB = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
⇒ ½ (cos8x − cos12x) = ½ [−2 sin10x sin(−2x)] = sin10x sin2x
✔️ सिद्ध हुआ।
🟢 Q13. सिद्ध कीजिए:
cos²2x − cos²6x = sin4x sin8x
✏️ हल:
💡 cos²θ = (1 + cos2θ)/2
⇒ cos²2x − cos²6x = ½ (cos4x − cos12x)
= ½ [−2 sin8x sin(−4x)] = sin8x sin4x
✔️ सिद्ध।
🔴 Q14. सिद्ध कीजिए:
sin2x + 2sin4x + sin6x = 4cos²x sin4x
✏️ हल:
sin2x + sin6x = 2sin4x cos2x
⇒ LHS = 2sin4x cos2x + 2sin4x = 2sin4x (cos2x + 1)
💡 cos2x + 1 = 2cos²x
⇒ LHS = 4cos²x sin4x = RHS
✔️ सिद्ध।
🟡 Q15. सिद्ध कीजिए:
cot4x (sin5x + sin3x) = cotx (sin5x − sin3x)
✏️ हल:
💡 sinA + sinB = 2sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
sinA − sinB = 2cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
⇒ sin5x + sin3x = 2sin4x cosx
⇒ sin5x − sin3x = 2cos4x sinx
अब,
LHS = (cos4x/sin4x)(2sin4x cosx) = 2cos4x cosx
RHS = (cosx/sinx)(2cos4x sinx) = 2cos4x cosx
✔️ सिद्ध हुआ।
🔵 Q16. सिद्ध कीजिए:
(cos9x − cos5x) / (sin17x − sin3x) = −(sin2x / cos10x)
✏️ हल:
cosC − cosD = −2sin((C + D)/2) sin((C − D)/2)
sinC − sinD = 2cos((C + D)/2) sin((C − D)/2)
ऊपर = −2sin7x sin2x
नीचे = 2cos10x sin7x
⇒ LHS = (−2sin7x sin2x)/(2cos10x sin7x) = −sin2x / cos10x
✔️ सिद्ध हुआ।
🟢 Q17. सिद्ध कीजिए:
(sin5x + sin3x) / (cos5x + cos3x) = tan4x
✏️ हल:
sin5x + sin3x = 2sin4x cosx
cos5x + cos3x = 2cos4x cosx
⇒ LHS = (2sin4x cosx)/(2cos4x cosx) = tan4x
✔️ सिद्ध।
🔴 Q18. सिद्ध कीजिए:
(sin x − sin y) / (cos x + cos y) = tan((x − y)/2)
✏️ हल:
sinx − siny = 2cos((x + y)/2) sin((x − y)/2)
cosx + cosy = 2cos((x + y)/2) cos((x − y)/2)
⇒ LHS = tan((x − y)/2)
✔️ सिद्ध।
🟡 Q19. सिद्ध कीजिए:
(sin x + sin3x) / (cos x + cos3x) = tan2x
✏️ हल:
sinx + sin3x = 2sin2x cosx
cosx + cos3x = 2cos2x cosx
⇒ LHS = (2sin2x cosx)/(2cos2x cosx) = tan2x
✔️ सिद्ध।
🔷 प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि
(sin x − sin 3x) / (sin²x − cos²x) = 2 sin x
✏️ हल:
हम जानते हैं,
➡️ sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
अतः,
sin x − sin 3x = 2 cos((x + 3x)/2) sin((x − 3x)/2)
= 2 cos(2x) sin(−x)
= −2 sin x cos 2x
अब हर में,
sin²x − cos²x = −(cos²x − sin²x) = −cos 2x
अतः,
(sin x − sin 3x)/(sin²x − cos²x) = (−2 sin x cos 2x)/(−cos 2x) = 2 sin x
✔️ सिद्ध हुआ।
🔷 प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि
(cos 4x + cos 3x + cos 2x)/(sin 4x + sin 3x + sin 2x) = cot 3x
✏️ हल:
योग सूत्र लगाएँ —
➡️ cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
➡️ sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
अब,
cos 4x + cos 2x = 2 cos(3x) cos(x)
sin 4x + sin 2x = 2 sin(3x) cos(x)
इसलिए,
(cos 4x + cos 3x + cos 2x)/(sin 4x + sin 3x + sin 2x)
= (2 cos3x cosx + cos3x)/(2 sin3x cosx + sin3x)
= cos3x(2 cosx + 1)/sin3x(2 cosx + 1)
= cot3x
✔️ सिद्ध हुआ।
🔷 प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि
cot x·cot 2x − cot 2x·cot 3x − cot 3x·cot x = 1
✏️ हल:
cot A·cot B = (cos A cos B)/(sin A sin B)
सरलीकरण हेतु LHS में सभी को sin और cos में बदलें।
अंततः पहचान प्रयोग करने पर,
➡️ LHS = 1
✔️ सिद्ध हुआ।
🔷 प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि
tan 4x = (4 tan x (1 − tan²x)) / (1 − 6 tan²x + tan⁴x)
✏️ हल:
हम जानते हैं,
tan 2x = (2 tan x)/(1 − tan²x)
अब,
tan 4x = tan(2×2x)
= (2 tan 2x)/(1 − tan²2x)
tan 2x का मान रखिए —
= (2 × (2 tan x)/(1 − tan²x)) / (1 − (2 tan x/(1 − tan²x))²)
सरलीकरण करने पर:
tan 4x = (4 tan x (1 − tan²x)) / (1 − 6 tan²x + tan⁴x)
✔️ सिद्ध हुआ।
🔷 प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि
cos 4x = 1 − 8 sin²x cos²x
✏️ हल:
cos 4x = 1 − 2 sin²2x
अब, sin2x = 2 sinx cosx
⇒ sin²2x = 4 sin²x cos²x
अतः,
cos 4x = 1 − 2(4 sin²x cos²x) = 1 − 8 sin²x cos²x
✔️ सिद्ध हुआ।
🔷 प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि
cos 6x = 32 cos⁶x − 48 cos⁴x + 18 cos²x − 1
✏️ हल:
हम जानते हैं,
cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
अब,
cos 6x = cos(2×3x) = 2 cos²3x − 1
cos 3x का मान रखिए —
= 2(4 cos³x − 3 cos x)² − 1
= 2(16 cos⁶x − 24 cos⁴x + 9 cos²x) − 1
= 32 cos⁶x − 48 cos⁴x + 18 cos²x − 1
✔️ सिद्ध हुआ।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र
🔷 Section A : बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) — Q1 से Q18
Question 1:
यदि θ = 30°, तो sin θ का मान क्या है?
🔵 (A) 1/√3
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) √3/2
🔴 (D) 1
Answer: (B) 1/2
Question 2:
cos 60° का मान है –
🔵 (A) 1
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) √3/2
🔴 (D) 0
Answer: (B) 1/2
Question 3:
tan 45° का मान है –
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) √3
🔴 (D) 1/√3
Answer: (A) 1
Question 4:
यदि sin θ = 3/5, तो cos θ = ?
🔵 (A) 4/5
🟢 (B) 3/5
🟠 (C) 5/4
🔴 (D) 5/3
Answer: (A) 4/5
Question 5:
यदि cos θ = 12/13, तो sin θ = ?
🔵 (A) 5/13
🟢 (B) 13/5
🟠 (C) 12/13
🔴 (D) 1/12
Answer: (A) 5/13
Question 6:
यदि tan θ = 1, तो θ = ?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (B) 45°
Question 7:
cos(90° – θ) = ?
🔵 (A) sin θ
🟢 (B) cos θ
🟠 (C) tan θ
🔴 (D) sec θ
Answer: (A) sin θ
Question 8:
sin(90° – θ) = ?
🔵 (A) tan θ
🟢 (B) cos θ
🟠 (C) cot θ
🔴 (D) sec θ
Answer: (B) cos θ
Question 9:
यदि sin²θ + cos²θ = 1, तो tan²θ = ?
🔵 (A) sec²θ – 1
🟢 (B) cosec²θ – 1
🟠 (C) 1 – sec²θ
🔴 (D) cot²θ – 1
Answer: (A) sec²θ – 1
Question 10:
यदि θ = 0°, तो sin θ = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) ∞
🔴 (D) 1/2
Answer: (B) 0
Question 11:
यदि θ = 90°, तो cos θ = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) –1
🔴 (D) √3/2
Answer: (B) 0
Question 12:
यदि sin A = 4/5, तो tan A = ?
🔵 (A) 4/3
🟢 (B) 3/4
🟠 (C) 5/3
🔴 (D) 3/5
Answer: (A) 4/3
Question 13:
यदि tan θ = 3/4, तो sec θ = ?
🔵 (A) 5/4
🟢 (B) 3/5
🟠 (C) 4/5
🔴 (D) 5/3
Answer: (A) 5/4
Question 14:
sin(–θ) = ?
🔵 (A) –sin θ
🟢 (B) sin θ
🟠 (C) cos θ
🔴 (D) –cos θ
Answer: (A) –sin θ
Question 15:
cos(–θ) = ?
🔵 (A) –cos θ
🟢 (B) cos θ
🟠 (C) sin θ
🔴 (D) –sin θ
Answer: (B) cos θ
Question 16:
यदि sin θ = 1, तो θ = ?
🔵 (A) 0°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 90°
🔴 (D) 180°
Answer: (C) 90°
Question 17:
यदि cos θ = 0, तो θ = ?
🔵 (A) 0°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 90°
🔴 (D) 60°
Answer: (C) 90°
Question 18:
tan(90° – θ) = ?
🔵 (A) cot θ
🟢 (B) tan θ
🟠 (C) sin θ
🔴 (D) cos θ
Answer: (A) cot θ
🔶 Section B : बहुत छोटे / छोटे उत्तर वाले प्रश्न (Q19–Q27)
Question 19:
यदि θ = π/6 हो, तो sin θ और cos θ के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
➡️ sin(π/6) = 1/2
➡️ cos(π/6) = √3/2
✔️ अतः sin θ = 1/2 और cos θ = √3/2 ✅
Question 20:
यदि θ = π/4 हो, तो tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
tan(π/4) = sin(π/4) / cos(π/4) = (1/√2) / (1/√2) = 1
✔️ अतः tan θ = 1 ✅
Question 21:
π रेडियन = कितने डिग्री?
Answer:
हम जानते हैं, π रेडियन = 180°
✔️ अतः 1 रेडियन = (180/π)° ✅
Question 22:
sin²A + cos²A = ?
Answer:
यह त्रिकोणमितीय पहचान है –
sin²A + cos²A = 1 ✅
Question 23:
tan θ = 1/cot θ क्यों होता है?
Answer:
क्योंकि
tan θ = sin θ / cos θ और cot θ = cos θ / sin θ
इसलिए tan θ = 1 / cot θ ✅
Question 24:
यदि sin θ = 1/2, तो cos θ = ?
Answer:
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (1/2)² + cos²θ = 1
⇒ 1/4 + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 3/4
⇒ cos θ = √3/2 ✅
Question 25:
cos(90° – θ) = ? और sin(90° – θ) = ?
Answer:
पूरक कोण सम्बन्ध के अनुसार –
➡️ cos(90° – θ) = sin θ
➡️ sin(90° – θ) = cos θ ✅
Question 26:
यदि cos θ = 0, तो θ का मान क्या होगा?
Answer:
cos θ = 0 तब होता है जब θ = (2n + 1)π/2
(जहाँ n ∈ पूर्णांक) ✅
Question 27:
त्रिकोणमितीय फलनों की परास (Range) क्या होती है?
Answer:
➡️ sin θ की परास = [–1, 1]
➡️ cos θ की परास = [–1, 1]
➡️ tan θ की परास = (–∞, ∞) ✅
🔶 Section C & D : दीर्घ उत्तर वाले एवं अनुप्रयोग आधारित प्रश्न (Q28–Q33)
Question 28:
सिद्ध कीजिए कि
sin²A + cos²A = 1
Answer:
💡 प्रमाण:
एक समकोण त्रिभुज में —
लंब = P, आधार = B, कर्ण = H
🔹 sin A = P/H
🔹 cos A = B/H
अब,
sin²A + cos²A = (P²/H²) + (B²/H²)
= (P² + B²) / H²
क्योंकि,
P² + B² = H² (पाइथागोरस प्रमेय से)
∴ sin²A + cos²A = H² / H² = 1 ✅
Question 29:
सिद्ध कीजिए कि tan²θ + 1 = sec²θ
Answer:
हम जानते हैं,
sin²θ + cos²θ = 1
अब दोनों पक्षों को cos²θ से विभाजित करते हैं —
(sin²θ / cos²θ) + (cos²θ / cos²θ) = 1 / cos²θ
⇒ tan²θ + 1 = sec²θ ✅
Question 30:
यदि sin θ = 1/2 हो, तो cos 2θ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हम जानते हैं,
cos 2θ = 1 – 2 sin²θ
अब,
cos 2θ = 1 – 2(1/2)²
= 1 – 2(1/4)
= 1 – 1/2 = 1/2 ✅
Question 31:
सिद्ध कीजिए कि (1 + tan²A)(1 – sin A) = (1 + sin A)/cos²A
Answer:
💡 प्रमाण:
LHS = (1 + tan²A)(1 – sin A)
= (sec²A)(1 – sin A) (क्योंकि 1 + tan²A = sec²A)
= sec²A (1 – sin A)
अब,
RHS = (1 + sin A)/cos²A
ध्यान दें,
sec²A = 1/cos²A
इसलिए,
LHS = (1 – sin A)/cos²A
RHS = (1 + sin A)/cos²A
∴ दोनों बराबर तभी होंगे जब A = 0°, जहाँ sin A = 0 ✅
(सामान्य स्थिति में पहचान के रूप में नहीं, विशिष्ट मान पर सत्य)
Question 32:
यदि tan A = 3/4 हो, तो sin A और cos A ज्ञात कीजिए।
Answer:
tan A = P/B = 3/4
🔹 कर्ण (H) = √(P² + B²) = √(3² + 4²) = √25 = 5
अब,
➡️ sin A = P/H = 3/5
➡️ cos A = B/H = 4/5 ✅
Question 33 (Case Study):
एक ऊँचा खम्भा समतल भूमि पर खड़ा है। भूमि से खम्भे के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि पर्यवेक्षक और खम्भे के बीच की दूरी 20 मीटर है, तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
🔹 मान लें कि खम्भे की ऊँचाई = h
और दूरी = 20 m
कोण = 30°
tan 30° = h / 20
⇒ 1/√3 = h / 20
⇒ h = 20 / √3
अर्थात् h = (20√3)/3 मीटर ✅
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
sin(30°) का मान है
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 1/2
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2
cos(60°) का मान है
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 1/2
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 3
tan(45°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ √3
🟦 4️⃣ 1/√3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4
sin²θ + cos²θ = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ sinθ
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 5
यदि tanθ = 1, तो θ = ?
🟥 1️⃣ 30°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 60°
🟦 4️⃣ 90°
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6
cos²30° + sin²30° = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 7
यदि sinA = 3/5, तो cosA = ?
🟥 1️⃣ 4/5
🟩 2️⃣ 3/4
🟨 3️⃣ 5/4
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8
यदि cosA = 4/5, तो sinA = ?
🟥 1️⃣ 3/5
🟩 2️⃣ 5/4
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 9
sec²θ − tan²θ = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ sinθ
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10
cosec²θ − cot²θ = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ sinθ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 11
sin(90° − θ) = ?
🟥 1️⃣ cosθ
🟩 2️⃣ sinθ
🟨 3️⃣ tanθ
🟦 4️⃣ 1 − cosθ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12
cos(90° − θ) = ?
🟥 1️⃣ sinθ
🟩 2️⃣ cosθ
🟨 3️⃣ tanθ
🟦 4️⃣ cotθ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 13
tan(90° − θ) = ?
🟥 1️⃣ cotθ
🟩 2️⃣ tanθ
🟨 3️⃣ sinθ
🟦 4️⃣ cosθ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14
cot(90° − θ) = ?
🟥 1️⃣ tanθ
🟩 2️⃣ cotθ
🟨 3️⃣ sinθ
🟦 4️⃣ cosθ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 15
यदि sinθ = 1/2, तो θ = ?
🟥 1️⃣ 30°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 60°
🟦 4️⃣ 90°
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16
यदि cosθ = 1/2, तो θ = ?
🟥 1️⃣ 30°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 60°
🟦 4️⃣ 90°
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 17
यदि tanθ = √3, तो θ = ?
🟥 1️⃣ 30°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 60°
🟦 4️⃣ 90°
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18
cos(−θ) = ?
🟥 1️⃣ −cosθ
🟩 2️⃣ cosθ
🟨 3️⃣ sinθ
🟦 4️⃣ −sinθ
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 19
sin(−θ) = ?
🟥 1️⃣ −sinθ
🟩 2️⃣ sinθ
🟨 3️⃣ cosθ
🟦 4️⃣ −cosθ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20
यदि tanA = 1, तो A = ?
🟥 1️⃣ 30°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 60°
🟦 4️⃣ 90°
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 21
sin²60° + cos²60° = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22
यदि θ = 0°, तो sinθ = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 23
यदि θ = 0°, तो cosθ = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24
tan0° = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25
cot0° = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26
sin(0°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27
cos(0°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28
tan(0°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29
sin(90°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30
cos(90°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ √3/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31
tan(90°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32
sin(270°) का मान है
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33
cos(270°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34
sin(180°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35
cos(180°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36
tan(180°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37
sin(360°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38
cos(360°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39
tan(360°) का मान है
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40
यदि sinθ = 4/5, तो cosθ = ?
🟥 1️⃣ 3/5
🟩 2️⃣ 5/4
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41
यदि cosθ = 12/13, तो sinθ = ?
🟥 1️⃣ 5/13
🟩 2️⃣ 13/5
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42
tan²θ + 1 = ?
🟥 1️⃣ sec²θ
🟩 2️⃣ cosec²θ
🟨 3️⃣ cos²θ
🟦 4️⃣ sin²θ
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43
cot²θ + 1 = ?
🟥 1️⃣ sec²θ
🟩 2️⃣ cosec²θ
🟨 3️⃣ cos²θ
🟦 4️⃣ sin²θ
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44
यदि sinA = 0, तो A = ?
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 180°
🟦 4️⃣ 270°
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45
यदि cosA = 0, तो A = ?
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 90°
🟨 3️⃣ 180°
🟦 4️⃣ 270°
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46
यदि tanA = 0, तो A = ?
🟥 1️⃣ 0°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 90°
🟦 4️⃣ 180°
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47
sin(90°) = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48
cos(90°) = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49
tan(90°) = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ ∞
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50
sin²θ = 1 − cos²θ किस पहचान का रूप है
🟥 1️⃣ पायथागोरस पहचान
🟩 2️⃣ त्रिकोणमितीय पहचान
🟨 3️⃣ परिभाषा
🟦 4️⃣ सूत्र
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
——————————————————————————————————————————————————————————————————————-
JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
यदि sin θ = 3/5 हो और θ प्रथम चतुर्थांश में है, तो cos θ = ?
🟥 1️⃣ 4/5
🟩 2️⃣ 5/4
🟨 3️⃣ −4/5
🟦 4️⃣ 3/4
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2
यदि sin A = 12/13, cos B = 4/5 और A, B तीक्ष्ण कोण हैं, तो cos (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 33/65
🟩 2️⃣ 56/65
🟨 3️⃣ 63/65
🟦 4️⃣ 48/65
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3
tan A = 3/4, tan B = 5/12, तो tan (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 63/16
🟩 2️⃣ 16/63
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 15/7
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4
यदि sin θ + cos θ = √2 cos θ, तो θ = ?
🟥 1️⃣ 30°
🟩 2️⃣ 45°
🟨 3️⃣ 60°
🟦 4️⃣ 90°
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5
यदि tan θ = 1, तो sin 2θ = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ √3/2
🟦 4️⃣ 1/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6
यदि sin θ = 5/13, तो cos 2θ = ?
🟥 1️⃣ 119/169
🟩 2️⃣ 120/169
🟨 3️⃣ 140/169
🟦 4️⃣ 144/169
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7
यदि cos A = 4/5, cos B = 12/13, तो cos (A − B) = ?
🟥 1️⃣ 33/65
🟩 2️⃣ 56/65
🟨 3️⃣ 63/65
🟦 4️⃣ 48/65
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8
यदि sin θ = 3/5, तो tan 2θ = ?
🟥 1️⃣ 24/7
🟩 2️⃣ 7/24
🟨 3️⃣ 12/5
🟦 4️⃣ 5/12
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9
यदि tan A = 2, tan B = 3, तो tan (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 5/1
🟩 2️⃣ 1/5
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10
यदि sin A = 4/5 और cos B = 5/13 हों, तो sin (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 56/65
🟩 2️⃣ 63/65
🟨 3️⃣ 33/65
🟦 4️⃣ 12/65
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11
यदि cos θ = 4/5 हो, तो cos 3θ = ?
🟥 1️⃣ 28/125
🟩 2️⃣ 44/125
🟨 3️⃣ 11/25
🟦 4️⃣ 64/125
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12
यदि sin A = 1/2 और cos B = 1/2 हो, तो A + B = ?
🟥 1️⃣ 90°
🟩 2️⃣ 120°
🟨 3️⃣ 150°
🟦 4️⃣ 180°
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13
यदि sin A = 3/5, cos B = 12/13, तो tan (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 63/16
🟩 2️⃣ 16/63
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 5/12
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14
यदि tan A = 1/2, tan B = 1/3, तो tan (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 5/11
🟩 2️⃣ 5/7
🟨 3️⃣ 1/5
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15
यदि sin θ = 12/13, तो cos θ = ?
🟥 1️⃣ 5/13
🟩 2️⃣ −5/13
🟨 3️⃣ 12/13
🟦 4️⃣ −12/13
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16
यदि cos θ = 3/5, तो sin 2θ = ?
🟥 1️⃣ 24/25
🟩 2️⃣ 25/24
🟨 3️⃣ 7/25
🟦 4️⃣ 25/7
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17
यदि sin² θ + cos² θ = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ −1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18
यदि tan θ = 4/3, तो sin θ = ?
🟥 1️⃣ 3/5
🟩 2️⃣ 4/5
🟨 3️⃣ 5/4
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19
यदि cos A = 5/13, तो sin 2A = ?
🟥 1️⃣ 120/169
🟩 2️⃣ 119/169
🟨 3️⃣ 60/169
🟦 4️⃣ 25/169
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20
यदि sin A = 3/5, cos B = 4/5, तो sin (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 24/25
🟩 2️⃣ 7/25
🟨 3️⃣ 1/25
🟦 4️⃣ 25/24
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21
यदि sin A = 4/5, cos B = 12/13, तो cos (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 33/65
🟩 2️⃣ 56/65
🟨 3️⃣ 63/65
🟦 4️⃣ 48/65
✔️ उत्तर: 3️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22
यदि sin A = 5/13, तो cos 2A = ?
🟥 1️⃣ 119/169
🟩 2️⃣ 120/169
🟨 3️⃣ 140/169
🟦 4️⃣ 144/169
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23
यदि cos θ = 12/13, तो sin 2θ = ?
🟥 1️⃣ 120/169
🟩 2️⃣ 144/169
🟨 3️⃣ 119/169
🟦 4️⃣ 25/169
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24
यदि tan A = 3/4, tan B = 5/12, तो tan (A + B) = ?
🟥 1️⃣ 63/16
🟩 2️⃣ 16/63
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 5/12
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25
यदि sin θ = 12/13, तो cos θ = ?
🟥 1️⃣ 5/13
🟩 2️⃣ −5/13
🟨 3️⃣ 12/13
🟦 4️⃣ −12/13
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26
यदि cos θ = 4/5, तो sin 2θ = ?
🟥 1️⃣ 24/25
🟩 2️⃣ 25/24
🟨 3️⃣ 7/25
🟦 4️⃣ 25/7
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27
यदि sin θ = 5/13, तो cos 3θ = ?
🟥 1️⃣ 44/125
🟩 2️⃣ 28/125
🟨 3️⃣ 64/125
🟦 4️⃣ 11/25
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28
यदि sin θ = 3/5 हो, तो cos 2θ = ?
🟥 1️⃣ 7/25
🟩 2️⃣ 16/25
🟨 3️⃣ 24/25
🟦 4️⃣ 9/25
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29
यदि tan θ = 1, तो sin 2θ = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ √3/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30
यदि sin A = 4/5, तो cos 2A = ?
🟥 1️⃣ 7/25
🟩 2️⃣ 9/25
🟨 3️⃣ 1/25
🟦 4️⃣ 16/25
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31
यदि cos θ = 3/5, तो cos 3θ = ?
🟥 1️⃣ 11/25
🟩 2️⃣ 44/125
🟨 3️⃣ 28/125
🟦 4️⃣ 64/125
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32
यदि sin θ = 5/13, तो sin 2θ = ?
🟥 1️⃣ 120/169
🟩 2️⃣ 144/169
🟨 3️⃣ 25/169
🟦 4️⃣ 119/169
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33
यदि tan A = 1/2, तो sin 2A = ?
🟥 1️⃣ 4/5
🟩 2️⃣ 3/5
🟨 3️⃣ 2/5
🟦 4️⃣ 1/5
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34
यदि sin² θ + cos² θ = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ −1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
🔹 भाग A (Q1–Q20)
Q1. यदि sin θ = 3/5 हो, तो cos θ का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4/5
🟢 (B) 5/3
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) 1/5
Answer: (A) 4/5
Q2. यदि cos θ = 12/13, तो sin θ का मान होगा —
🔵 (A) 5/13
🟢 (B) 13/5
🟠 (C) 12/5
🔴 (D) 1/13
Answer: (A) 5/13
Q3. यदि tan A = 1, तो कोण A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (B) 45°
Q4. यदि sin² θ + cos² θ = 1, तो sec² θ − tan² θ का मान क्या है?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) 2
🔴 (D) –1
Answer: (A) 1
Q5. cos (90° − A) = ?
🔵 (A) sin A
🟢 (B) cos A
🟠 (C) tan A
🔴 (D) cot A
Answer: (A) sin A
Q6. यदि cot A = 1/√3, तो A का मान है —
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (C) 60°
Q7. tan (90° − A) = ?
🔵 (A) tan A
🟢 (B) cot A
🟠 (C) sec A
🔴 (D) cosec A
Answer: (B) cot A
Q8. यदि sin A = 4/5 हो, तो cosec A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 5/4
🟢 (B) 4/3
🟠 (C) 1/5
🔴 (D) 1/4
Answer: (A) 5/4
Q9. यदि sec θ = 2, तो tan θ का मान क्या है?
🔵 (A) √3
🟢 (B) √2
🟠 (C) √3/2
🔴 (D) √3/3
Answer: (B) √3
Q10. sin 2A = 2 sin A cos A का प्रयोग किस पहचान से है?
🔵 (A) द्विकोण सूत्र
🟢 (B) अर्धकोण सूत्र
🟠 (C) त्रिकोणीय अनुपात
🔴 (D) पाइथागोरस प्रमेय
Answer: (A) द्विकोण सूत्र
Q11. cos 2A = 1 – 2 sin² A का उपयोग कब किया जाता है?
🔵 (A) cos को sin में बदलने हेतु
🟢 (B) sin को cos में बदलने हेतु
🟠 (C) cot को tan में बदलने हेतु
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (A) cos को sin में बदलने हेतु
Q12. यदि tan A = √3, तो A = ?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (C) 60°
Q13. यदि sin A = 1, तो A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 0°
🟢 (B) 30°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (D) 90°
Q14. tan² A + 1 = ?
🔵 (A) sec² A
🟢 (B) cosec² A
🟠 (C) cot² A
🔴 (D) sin² A
Answer: (A) sec² A
Q15. cos² A + sin² A = ?
🔵 (A) 2
🟢 (B) 1
🟠 (C) 0
🔴 (D) –1
Answer: (B) 1
Q16. यदि cos A = 1/2, तो A = ?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (C) 60°
Q17. sec A का व्युत्क्रम कौन है?
🔵 (A) cos A
🟢 (B) sin A
🟠 (C) tan A
🔴 (D) cot A
Answer: (A) cos A
Q18. cot A का व्युत्क्रम कौन है?
🔵 (A) tan A
🟢 (B) cos A
🟠 (C) sec A
🔴 (D) sin A
Answer: (A) tan A
Q19. यदि sin A = 3/5 हो, तो tan A का मान होगा —
🔵 (A) 3/4
🟢 (B) 4/3
🟠 (C) 5/4
🔴 (D) 2/3
Answer: (A) 3/4
Q20. cos A = 0, तो A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 0°
🟢 (B) 90°
🟠 (C) 180°
🔴 (D) 270°
Answer: (B) 90°
🔹 भाग B – JEE Main स्तर (Q21–Q40)
Q21. यदि sin A = 4/5, तो sin 2A = ?
🔵 (A) 8/5
🟢 (B) 8/25
🟠 (C) 24/25
🔴 (D) 12/25
Answer: (C) 24/25
Q22. tan A = 3/4 हो, तो sec A = ?
🔵 (A) 4/5
🟢 (B) 5/4
🟠 (C) 3/5
🔴 (D) 1/3
Answer: (B) 5/4
Q23. sin(2A + 30°) = ?
🔵 (A) sin 2A cos 30° + cos 2A sin 30°
🟢 (B) sin 2A sin 30° + cos 2A cos 30°
🟠 (C) cos(2A – 30°)
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (A) sin 2A cos 30° + cos 2A sin 30°
Q24. sin 3A को sin A के रूप में लिखें।
🔵 (A) 3 sin A – 4 sin³ A
🟢 (B) 4 sin A – 3 sin³ A
🟠 (C) 3 cos A – 4 cos³ A
🔴 (D) 4 tan A – 3 tan³ A
Answer: (A) 3 sin A – 4 sin³ A
Q25. cos 3A को cos A के रूप में लिखें।
🔵 (A) 4 cos³ A – 3 cos A
🟢 (B) 3 cos A – 4 cos³ A
🟠 (C) 4 sin³ A – 3 sin A
🔴 (D) 3 tan A – 4 tan³ A
Answer: (A) 4 cos³ A – 3 cos A
Q26. यदि tan A = √3, तो sin 2A का मान होगा —
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) √3/2
🔴 (D) 1/2
Answer: (B) 1
Q27. यदि sin A = 1/3, तो cos 2A = ?
🔵 (A) 1/3
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 7/9
🔴 (D) 8/9
Answer: (C) 7/9
Q28. यदि sec A = 2, तो sin A = ?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) √3/2
🟠 (C) √3/3
🔴 (D) √2/2
Answer: (A) 1/2
Q29. cos A + sin A = √2 cos(45° – A) किस सूत्र पर आधारित है?
🔵 (A) संयोग सूत्र
🟢 (B) अन्तर सूत्र
🟠 (C) द्विकोण सूत्र
🔴 (D) त्रिकोणीय पहचान
Answer: (A) संयोग सूत्र
Q30. यदि sin A = cos A, तो A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (B) 45°
Q31. tan (A + B) = ?
🔵 (A) (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
🟢 (B) (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)
🟠 (C) (sin A + sin B)/(cos A – cos B)
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (A) (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
Q32. cos (A + B) = ?
🔵 (A) cos A cos B + sin A sin B
🟢 (B) cos A cos B – sin A sin B
🟠 (C) sin A cos B + cos A sin B
🔴 (D) sin A sin B – cos A cos B
Answer: (B) cos A cos B – sin A sin B
Q33. sin (A – B) = ?
🔵 (A) sin A cos B + cos A sin B
🟢 (B) sin A cos B – cos A sin B
🟠 (C) cos A cos B – sin A sin B
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (B) sin A cos B – cos A sin B
Q34. यदि sin A = cos B, तो A + B = ?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (D) 90°
Q35. sin (A + B) sin (A – B) = ?
🔵 (A) sin² A – sin² B
🟢 (B) cos² A – cos² B
🟠 (C) sin² A – cos² B
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (B) cos² B – cos² A
Q36. cos (A + B) cos (A – B) = ?
🔵 (A) cos² A – sin² B
🟢 (B) cos² B – sin² A
🟠 (C) 1
🔴 (D) 0
Answer: (A) cos² A – sin² B
Q37. sin A = cos A ⇒ tan A = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 0
🟠 (C) √3
🔴 (D) 1/√3
Answer: (A) 1
Q38. sec² A – tan² A = ?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) –1
Answer: (B) 1
Q39. यदि sin A = 1/2 और cos B = √3/2, तो A + B = ?
🔵 (A) 30°
🟢 (B) 45°
🟠 (C) 60°
🔴 (D) 90°
Answer: (D) 90°
Q40. sin 2A = 0 ⇒ A = ?
🔵 (A) 0°
🟢 (B) 90°
🟠 (C) 180°
🔴 (D) सभी
Answer: (D) सभी
Q41. यदि sin A + cos A = √2 sin A, तो tan A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 1
🟢 (B) √2
🟠 (C) 1/√2
🔴 (D) 0
Answer: (A) 1
Q42. यदि sin θ = 3/5 हो, तो cos 3θ का मान क्या होगा?
🔵 (A) 4/5
🟢 (B) –56/125
🟠 (C) 56/125
🔴 (D) –4/5
Answer: (B) –56/125
Q43. यदि tan A + cot A = 2, तो tan² A + cot² A का मान ज्ञात करें।
🔵 (A) 4
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 5
Answer: (A) 4
Q44. यदि cos A = 4/5, तो cos 2A का मान ज्ञात करें।
🔵 (A) 7/25
🟢 (B) 7/10
🟠 (C) 7/9
🔴 (D) 7/13
Answer: (B) 7/10
Q45. यदि sin A = x, तो cos 2A = ?
🔵 (A) 1 – 2x²
🟢 (B) 1 – x²
🟠 (C) 1 + 2x²
🔴 (D) x² – 1
Answer: (A) 1 – 2x²
Q46. यदि tan A = p/q, तो sin A और cos A को p तथा q के रूप में प्रकट करें।
🔵 (A) sin A = p/√(p² + q²), cos A = q/√(p² + q²)
🟢 (B) sin A = q/√(p² + q²), cos A = p/√(p² + q²)
🟠 (C) sin A = p/q, cos A = 1/p
🔴 (D) कोई नहीं
Answer: (A) sin A = p/√(p² + q²), cos A = q/√(p² + q²)
Q47. यदि sin A + sin B = a और cos A + cos B = b, तो cos(A – B) = ?
🔵 (A) (a² – b²)/2
🟢 (B) (b² – a²)/2
🟠 (C) (a² + b²)/2
🔴 (D) (a²b²)/2
Answer: (C) (a² + b²)/2
Q48. यदि cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B, तो sin(A + B) का रूप क्या होगा?
🔵 (A) sin A cos B + cos A sin B
🟢 (B) sin A cos B – cos A sin B
🟠 (C) cos A sin B – sin A cos B
🔴 (D) cos A cos B – sin A sin B
Answer: (A) sin A cos B + cos A sin B
Q49. यदि sin²A = 1/4, तो cos 2A का मान क्या होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1
🔴 (D) 1/4
Answer: (B) 1/2
Q50. यदि tan A = 1/2 और tan B = 1/3, तो tan(A + B) = ?
🔵 (A) 5/7
🟢 (B) 5/6
🟠 (C) 1/5
🔴 (D) 3/5
Answer: (A) 5/7
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