Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 14. प्रायिकता
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🌿 अध्याय परिचय:
इस अध्याय में हम अनिश्चित घटनाओं (Random Events) से सम्बंधित अध्ययन करते हैं। किसी घटना के घटने की संभावना को प्रायिकता (Probability) कहा जाता है। प्रायिकता का अध्ययन वास्तविक जीवन की समस्याओं जैसे — सिक्का उछालना, पासा फेंकना, कार्ड निकालना, मौसम की भविष्यवाणी आदि से गहराई से जुड़ा है।
🔵 भाग 1: प्रायिकता की मूल अवधारणा
💡 परिभाषा:
यदि किसी प्रयोग (Experiment) के सभी संभाव्य परिणामों (Possible Outcomes) की संख्या n हो तथा किसी विशेष घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या m हो,
तो उस घटना की प्रायिकता = P(E) = m/n
✏️ ध्यान दें:
0 ≤ P(E) ≤ 1
निश्चित घटना की प्रायिकता = 1
असंभव घटना की प्रायिकता = 0
🟢 भाग 2: प्रयोग (Experiment) और घटनाएँ (Events)
➡️ यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment):
वह प्रयोग जिसके परिणाम पहले से निश्चित न हों, जैसे — सिक्का उछालना, पासा फेंकना।
➡️ परिणाम (Outcome):
किसी प्रयोग का एक संभव परिणाम।
उदाहरण: सिक्का उछालने पर परिणाम = {चित, पट}।
➡️ नमूना स्थान (Sample Space):
सभी संभाव्य परिणामों का समूह।
उदाहरण: पासा फेंकने पर S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
➡️ घटना (Event):
नमूना स्थान का कोई उपसमुच्चय।
उदाहरण: पासे पर सम संख्या आने की घटना E = {2, 4, 6}।
🟡 भाग 3: घटनाओं के प्रकार
🔹 सरल घटना (Simple Event): केवल एक परिणाम वाली घटना।
🔹 संयुक्त घटना (Compound Event): एक से अधिक परिणाम वाली घटना।
🔹 निश्चित घटना (Certain Event): जो हमेशा घटे।
🔹 असंभव घटना (Impossible Event): जो कभी न घटे।
🔹 पूरक घटना (Complementary Event): यदि घटना E हो, तो उसका पूरक E’ = “E के न घटने की घटना”।
👉 P(E) + P(E’) = 1
🔴 भाग 4: घटनाओं का संयोग (Union) और प्रतिच्छेद (Intersection)
💡 घटनाओं का संयोग (Union):
यदि दो घटनाएँ A और B हों,
तो A या B के घटने की प्रायिकता:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
💡 घटनाओं का प्रतिच्छेद (Intersection):
दोनों घटनाओं के एक साथ घटने की प्रायिकता = P(A ∩ B)
✏️ विशेष स्थिति:
यदि A और B परस्पर बहिष्कृत हों (Mutually Exclusive), तो
P(A ∩ B) = 0
⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
🧠 भाग 5: शर्तीय प्रायिकता (Conditional Probability)
यदि A और B दो घटनाएँ हों तथा P(B) ≠ 0,
तो B के घटने की शर्त पर A के घटने की प्रायिकता है:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
✏️ उदाहरण:
पासा फेंकने पर सम संख्या आने की घटना A और
संख्या 4 या उससे बड़ी आने की घटना B।
P(A | B) निकालें।
➡️ S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,4,6}, B = {4,5,6}
A ∩ B = {4,6}
P(A | B) = (2/6) / (3/6) = 2/3
💡 भाग 6: स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)
दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र (Independent) कहलाती हैं यदि:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
यदि यह समानता न हो, तो घटनाएँ आश्रित (Dependent) कहलाती हैं।
🟢 भाग 7: कुल प्रायिकता का नियम (Theorem of Total Probability)
यदि {B₁, B₂, B₃, … Bₙ} परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ हैं तथा उनका संयोग निश्चित घटना है,
तो किसी घटना A के लिए:
P(A) = Σ P(Bᵢ) × P(A | Bᵢ)
🔵 भाग 8: बेयस प्रमेय (Bayes’ Theorem)
यदि {B₁, B₂, … Bₙ} एक विभाजन बनाती हैं और A कोई घटना है,
तो किसी विशेष Bₖ के लिए:
P(Bₖ | A) = [P(Bₖ) × P(A | Bₖ)] / Σ[P(Bᵢ) × P(A | Bᵢ)]
💡 यह प्रमेय तब प्रयुक्त होता है जब घटना घट चुकी हो और हमें उसका कारण ज्ञात करना हो।
🟠 भाग 9: ज्यामितीय प्रायिकता (Geometric Probability)
यदि किसी ज्यामितीय क्षेत्र में घटना घटने की संभावना चाहिए,
तो प्रायिकता =
P(E) = (अनुकूल क्षेत्रफल) / (कुल क्षेत्रफल)
उदाहरण: किसी रेखाखण्ड की लंबाई 10 सेमी है।
यदि बिन्दु यादृच्छिक रूप से चुना जाए,
तो 3 से 7 के बीच आने की प्रायिकता = (7−3)/10 = 4/10 = 0.4
🔴 भाग 10: प्रायिकता के मुख्य नियम
1️⃣ 0 ≤ P(E) ≤ 1
2️⃣ P(S) = 1
3️⃣ P(∅) = 0
4️⃣ P(E’) = 1 − P(E)
5️⃣ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
6️⃣ यदि A और B स्वतंत्र हों → P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
🟢 भाग 11: वास्तविक जीवन में उपयोग
✔️ मौसम की भविष्यवाणी
✔️ बीमा जोखिम आकलन
✔️ पासा/ताश खेलों में गणना
✔️ वैज्ञानिक नमूना विश्लेषण
✔️ यातायात दुर्घटना संभावना अध्ययन
✳️ Summary (लगभग 300 शब्दों में सारांश)
🔹 प्रायिकता का अर्थ किसी घटना के घटने की संभावना है।
🔹 प्रायिकता की सीमा 0 और 1 के बीच होती है।
🔹 प्रत्येक यादृच्छिक प्रयोग के संभाव्य परिणामों का समूह नमूना स्थान कहलाता है।
🔹 किसी घटना के घटने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या।
🔹 घटनाएँ सरल, संयुक्त, परस्पर बहिष्कृत या स्वतंत्र हो सकती हैं।
🔹 शर्तीय प्रायिकता में किसी घटना की प्रायिकता दूसरी घटना के घटने पर निर्भर करती है।
🔹 कुल प्रायिकता का नियम और बेयस प्रमेय जटिल परिस्थितियों में उपयोगी हैं।
🔹 ज्यामितीय प्रायिकता क्षेत्रफल अथवा लंबाई पर आधारित होती है।
🔹 वास्तविक जीवन में प्रायिकता गणित, बीमा, सांख्यिकी, और विज्ञान में अत्यधिक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
📝 Quick Recap:
🌿 P(E) = m/n
🌿 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
🌿 P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B)
🌿 P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (यदि स्वतंत्र हों)
🌿 P(E’) = 1 − P(E)
🌿 बेयस प्रमेय ⇒ P(Bₖ | A) = [P(Bₖ)P(A|Bₖ)] / Σ[P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)]
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पाठ्यपुस्त के प्रश्न
📙 प्रश्नावली 14.1
🔷 प्रश्न 1:
एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E = “पत्ते पर संख्या 4 प्राप्त हो” है और घटना F = “पत्ते पर सम संख्या प्राप्त हो”। क्या E और F परस्पर अपरवर्ती हैं?
उत्तर:
✏️ नमूना स्थान S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
✏️ घटना E = {4}
✏️ घटना F = {2, 4, 6}
➡️ E ∩ F = {4}
🔴 चूँकि E और F का एक सामान्य तत्त्व (4) है, अतः वे परस्पर अपरवर्ती नहीं हैं।
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🔷 प्रश्न 2:
एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) A: संख्या 7 से कम है।
(ii) B: संख्या 7 से बड़ी है।
(iii) C: संख्या 3 का गुणज है।
(iv) D: संख्या 4 से कम है।
(v) E: 4 से बड़ी संख्या है।
(vi) F: संख्या 3 का गुणज नहीं है।
उत्तर:
✏️ नमूना स्थान S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
🔹 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
🔹 B = ∅
🔹 C = {3, 6}
🔹 D = {1, 2, 3}
🔹 E = {5, 6}
🔹 F = {1, 2, 4, 5}
अब इनके संघ व छेदन:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ B = ∅
B ∪ C = {3, 6}
E ∩ F = {5, 6} ∩ {1, 2, 4, 5} = {5}
D ∪ E = {1, 2, 3, 5, 6}
A − C = {1, 2, 4, 5}
D − E = {1, 2, 3}
E ∩ F′ = E ∩ {3, 6} = {6}
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🔷 प्रश्न 3:
एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंका जाए और उन पर प्राप्त संख्याओं को लिखिए।
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
A: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B: दोनों पासों पर संख्या 2 समान होती है।
C: प्राप्त संख्याओं का योग 7 से कम व 3 का गुणज है।
उत्तर:
✏️ नमूना स्थान S = {(1,1), (1,2), …, (6,6)}
✏️ कुल संभाव्य परिणाम = 36
🔹 A = {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
🔹 B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
🔹 C = {(1,2), (2,1), (3,3)}
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🔷 प्रश्न 4:
एक बैग में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं।
घटनाएँ A: “दोनों लाल गेंदें”, B: “एक लाल और एक काली गेंद”,
C: “दोनों काली गेंदें”।
क्या ये घटनाएँ परस्पर अपरवर्ती हैं?
उत्तर:
✏️ कुल गेंदें = 8
✏️ घटनाएँ:
A = {दोनों लाल},
B = {एक लाल, एक काली},
C = {दोनों काली}
➡️ किसी भी दो घटनाओं में कोई समान परिणाम नहीं है।
🟢 अतः A, B, C परस्पर अपरवर्ती घटनाएँ हैं।
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🔷 प्रश्न 5:
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं।
निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित कीजिए:
A: सभी पर सिर आए।
B: कम से कम दो सिर आएँ।
C: अधिकतम एक सिर आए।
अब जाँचिए कि A और B परस्पर अपरवर्ती हैं या नहीं।
उत्तर:
✏️ नमूना स्थान S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
🔹 A = {HHH}
🔹 B = {HHH, HHT, HTH, THH}
🔹 C = {HTT, THT, TTH, TTT}
➡️ A ∩ B = {HHH} ≠ ∅
🔴 अतः A और B परस्पर अपरवर्ती नहीं हैं।
✏️ प्रश्न 6.
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं —
A : पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B : पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C : पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए —
(i) A′
(ii) B – नहीं
(iii) A या B
(iv) A और B
(v) A किंतु C नहीं
(vi) B या C
(vii) B और C
(viii) A ∩ B′ ∩ C′
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🟢 उत्तर:
(i) A′ ➡️ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना।
(ii) B – नहीं ➡️ पहले पासे पर विषम संख्या नहीं आना अर्थात सम संख्या प्राप्त होना।
(iii) A या B ➡️ पहले पासे पर कोई भी संख्या (सम या विषम) आना — अर्थात सम्पूर्ण नमूना स्थान S।
(iv) A और B ➡️ संभव नहीं क्योंकि कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती, इसलिए A ∩ B = ∅।
(v) A किंतु C नहीं ➡️ पहले पासे पर सम संख्या आए परंतु दोनों पासों का योग 5 से अधिक हो।
(vi) B या C ➡️ पहले पासे पर विषम संख्या आए या दोनों पासों का योग 5 से कम या बराबर हो।
(vii) B और C ➡️ पहले पासे पर विषम संख्या आए तथा दोनों पासों का योग ≤ 5 हो।
(viii) A ∩ B′ ∩ C′ ➡️ पहले पासे पर सम संख्या आए, विषम संख्या न आए तथा योग 5 से अधिक हो।
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✏️ प्रश्न 7.
उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखते हुए निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
(i) A और B परस्पर असंपृक्त हैं।
(ii) A और B परस्पर असंपृक्त और निरपेक्ष हैं।
(iii) A = B′
(iv) A और C परस्पर असंपृक्त हैं।
(v) A′ और B′ परस्पर असंपृक्त हैं।
(vi) A′, B′, C′ परस्पर असंपृक्त घटनाएँ हैं।
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🟡 उत्तर:
(i) ✔️ सत्य — क्योंकि A और B एक साथ नहीं हो सकते।
(ii) ❌ असत्य — क्योंकि A और B परस्पर असंपृक्त तो हैं पर निरपेक्ष नहीं।
(iii) ✔️ सत्य — A = B′ क्योंकि सम और विषम का परिपूरक होता है।
(iv) ❌ असत्य — A और C परस्पर असंपृक्त नहीं हैं, दोनों साथ हो सकते हैं (जैसे पहले पासे पर 2, दूसरे पर 3 ⇒ योग 5)।
(v) ❌ असत्य — A′ और B′ साथ-साथ संभव नहीं, अतः असंपृक्त नहीं।
(vi) ❌ असत्य — तीनों घटनाएँ A′, B′, C′ एक साथ असंपृक्त नहीं हो सकतीं क्योंकि उनके बीच कुछ साझा परिणाम हैं।
📙 प्रश्नावली 14.2
🔹 प्रश्न 1:
प्रतितर्स्य समुच्चय S = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆, ω₇} के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन-से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं हैं?
💡 सिद्धांत:
किसी प्रायिकता निर्धारण के वैध होने के लिए दो शर्तें आवश्यक हैं —
1️⃣ प्रत्येक प्रायिकता P(ωᵢ) ≥ 0 होनी चाहिए।
2️⃣ सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए, अर्थात्
Σ P(ωᵢ) = 1
🔵 (a) 0.1, 0.01, 0.05, 0.03, 0.01, 0.2, 0.6
✏️ जोड़ = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1.0
✔️ सभी मान धनात्मक हैं।
➡️ उत्तर: वैध निर्धारण ✅
🟢 (b) 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7
✏️ जोड़ = 7/7 = 1
✔️ सभी मान धनात्मक हैं।
➡️ उत्तर: वैध निर्धारण ✅
🟠 (c) 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7
✏️ जोड़ = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8 > 1
⚠️ योग 1 से अधिक है।
➡️ उत्तर: अवैध निर्धारण ❌
🔴 (d) −0.1, 0.2, 0.3, −0.4, 0.5, −0.6, 0.7
⚠️ कुछ प्रायिकताएँ ऋणात्मक हैं।
❌ ऋणात्मक प्रायिकता संभव नहीं।
➡️ उत्तर: अवैध निर्धारण ❌
🟣 (e) 1/14, 2/14, 3/14, 4/14, 5/14, 6/14, 15/14
✏️ जोड़ = (1+2+3+4+5+6+15)/14 = 36/14 = 18/7 > 1
⚠️ योग 1 से अधिक है।
➡️ उत्तर: अवैध निर्धारण ❌
🌟 अंतिम निष्कर्ष:
✔️ (a) और (b) — वैध निर्धारण
❌ (c), (d), (e) — अवैध निर्धारण
🔷 Q2. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पृष्ठ (Head) प्राप्त होने की प्रायिकता?
✏️ नमूना स्थान S = {HH, HT, TH, TT} (4 परिणाम)
🟢 अनुकूल परिणाम = {HH, HT, TH} = 3
➡️ P(कम से कम एक H) = 3/4
🔷 Q3. एक पासा फेंका जाता है। निम्न घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या प्राप्त होना
✏️ अभाज्य = {2, 3, 5} (3 परिणाम) / 6
➡️ P = 3/6 = 1/2
(ii) 3 से बड़ी संख्या प्राप्त होना
✏️ {4, 5, 6} (3) / 6 → 1/2
(iii) 1 या 1 से छोटी संख्या प्राप्त होना
✏️ केवल 1 संभव है → 1 परिणाम / 6
➡️ P = 1/6
(iv) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त होना
✏️ केवल 6 → 1/6
(v) 6 से छोटी संख्या प्राप्त होना
✏️ {1,2,3,4,5} (5) / 6 → 5/6
🔷 Q4. ताश की गड्डी (52 पत्ते) से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया।
(a) प्रतितर्स्य समुच्चय में बिंदु = 52
(b) (चित्र अस्पष्ट है—सामान्य पाठ्य-पुस्तक के अनुसार मान लेते हैं: “हृदय का इक्का”)
✏️ हृदय का इक्का = 1 विशिष्ट पत्ता
➡️ P = 1/52
(c) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता
(i) इक्का है → कुल 4 इक्के
➡️ P = 4/52 = 1/13
(ii) काले रंग (♠️ पान या ♣️ चिड़ी) का है → 26 पत्ते
➡️ P = 26/52 = 1/2
🔷 Q5. एक निष्पक्ष सिक्का है जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है (दोनों समान संभावना)। एक निष्पक्ष पासा भी फेंका जाता है। योग ज्ञात कीजिए:
(Sum = 3) और (Sum = 12)
• सिक्के के मान: {1, 6} ; P(1) = P(6) = 1/2
• पासे के मान: {1,…,6} ; हर एक की P = 1/6
(i) योग = 3
✏️ केवल संयोजन: (1, 2)
➡️ P = (1/2) × (1/6) = 1/12
(ii) योग = 12
✏️ केवल संयोजन: (6, 6)
➡️ P = (1/2) × (1/6) = 1/12
प्रश्न 6 :
नगर परिषद में चार पुरुष व छह स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक परिषद सदस्य चुना गया है, तो एक स्त्री के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔹 कुल परिषद सदस्यों की संख्या = 4 + 6 = 10
🔹 स्त्रियों की संख्या = 6
➡️ अतः स्त्री के चुने जाने की प्रायिकता,
P(स्त्री) = स्त्रियों की संख्या / कुल सदस्यों की संख्या
P(स्त्री) = 6 / 10 = 3 / 5
✔️ अतः एक स्त्री चुने जाने की प्रायिकता = 3/5।
🔵 प्रश्न 7 :
एक निष्पक्ष सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक हेड पर ₹1 जीतता है तथा प्रत्येक टेल पर ₹1.50 हारता है। इस प्रयोग के प्रतिफल समुच्चय से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही इन राशियों में से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर :
✏️ दिए गए अनुसार:
प्रत्येक उछाल के दो संभावित परिणाम हैं –
➡️ हेड (H) → ₹1 जीत
➡️ टेल (T) → ₹1.50 हार
🔹 चार उछालों के कुल संभावित परिणाम = 2⁴ = 16
💡 मान लीजिए कि व्यक्ति को x हेड प्राप्त होते हैं।
तो वह 4 – x बार टेल प्राप्त करेगा।
🔸 प्रत्येक हेड से ₹1 की प्राप्ति
🔸 प्रत्येक टेल से ₹1.50 का नुकसान
इसलिए कुल राशि (R) = (₹1 × x) – (₹1.50 × (4 – x))
➡️ R = x – 1.5(4 – x)
➡️ R = x – 6 + 1.5x
➡️ R = 2.5x – 6
🟠 अब विभिन्न मानों के लिए राशि ज्ञात करें:
जब x = 0 → R = –6
जब x = 1 → R = –3.5
जब x = 2 → R = –1
जब x = 3 → R = +1.5
जब x = 4 → R = +4
इस प्रकार, संभव राशियाँ हैं :
👉 –6, –3.5, –1, +1.5, +4
🔴 अब प्रत्येक राशि की प्रायिकता ज्ञात करें:
x हेड प्राप्त होने की प्रायिकता = (4Cx) × (1/2)⁴
🔹 x = 0 → P = 1/16
🔹 x = 1 → P = 4/16
🔹 x = 2 → P = 6/16
🔹 x = 3 → P = 4/16
🔹 x = 4 → P = 1/16
✅ अंतिम उत्तर :
संभव राशियाँ = –6, –3.5, –1, +1.5, +4
उनकी प्रायिकताएँ क्रमशः = 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16
✔️ सभी प्रायिकताओं का योग = 1
अतः उत्तर पूर्णतः सही है।
🔷 प्रश्न 8.
तीन बार सिक्का उछाला जाता है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
✏️ (i) तीन चित्त प्राप्त होना
➡️ कुल संभाव्य परिणाम = 2³ = 8
➡️ केवल एक परिणाम (HHH) अनुकूल है।
✔️ प्रायिकता = 1/8
✏️ (ii) दो चित्त प्राप्त होना
➡️ दो चित्त वाले परिणाम: HHT, HTH, THH
➡️ अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
✔️ प्रायिकता = 3/8
✏️ (iii) न्यूनतम दो चित्त प्राप्त होना
➡️ दो या अधिक चित्त के परिणाम: HHT, HTH, THH, HHH
➡️ अनुकूल परिणाम = 4
✔️ प्रायिकता = 4/8 = 1/2
✏️ (iv) अधिकतम दो चित्त प्राप्त होना
➡️ शून्य, एक या दो चित्त के परिणाम
➡️ अनुकूल परिणाम = 7
✔️ प्रायिकता = 7/8
✏️ (v) भी चित्त प्राप्त न होना
➡️ सभी पट: TTT
✔️ प्रायिकता = 1/8
✏️ (vi) 3 पट प्राप्त होना
➡️ अनुकूल परिणाम केवल TTT
✔️ प्रायिकता = 1/8
✏️ (vii) ठीक 2 पट प्राप्त होना
➡️ परिणाम: TTH, THT, HTT
✔️ प्रायिकता = 3/8
✏️ (viii) कोई भी पट न प्राप्त होना
➡️ परिणाम: HHH
✔️ प्रायिकता = 1/8
🔷 प्रश्न 9.
यदि किसी घटना A की प्रायिकता 2/11 है, तो घटना “A नहीं” की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
✏️ “A नहीं” की प्रायिकता = 1 – P(A)
➡️ = 1 – 2/11
✔️ = 9/11
🔷 प्रश्न 10.
शब्द “ASSASSINATION” से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर —
(i) एक स्वर (vowel) है
(ii) एक व्यंजन (consonant) है
✏️ शब्द में कुल अक्षर = 13
अक्षर = A(3), S(4), I(2), N(2), T(1), O(1)
➡️ स्वरों की संख्या = A(3) + I(2) + O(1) = 6
✔️ स्वर चुने जाने की प्रायिकता = 6/13
➡️ व्यंजनों की संख्या = 13 – 6 = 7
✔️ व्यंजन चुने जाने की प्रायिकता = 7/13
🌟 अंतिम उत्तर संक्षेप:
(i) स्वर की प्रायिकता = 6/13
(ii) व्यंजन की प्रायिकता = 7/13
✏️ प्रश्न 11:
एक लॉटरी में एक व्यक्ति 1 से 20 तक की संख्याओं में से 6 भिन्न-भिन्न संख्याएँ यादृच्छया चुनता है और यदि वे चुनी गई 6 संख्याएँ उन 6 संख्याओं से मेल खाती हैं, जिन्हें लॉटरी समिति ने पूर्व निर्धारित कर रखा है, तो वह व्यक्ति इनाम जीत जाता है। लॉटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है?
(संकेत: संख्याओं के प्राप्त होने के क्रम का कोई महत्व नहीं है।)
💡 उत्तर:
➡️ कुल संख्याएँ = 20
➡️ व्यक्ति द्वारा चुनी जाने वाली संख्याएँ = 6
🔵 कुल संभाव्य तरीक़े = 20 संख्याओं में से 6 चुनने के तरीक़े
= 20C₆
🟢 अनुकूल परिणाम = केवल 1 (जब सभी 6 संख्याएँ मेल खाएँ)
🔴 अतः प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या
= 1 / 20C₆
अब 20C₆ = 20! / (6! × 14!)
= (20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 38,760
✔️ इसलिए व्यक्ति के इनाम जीतने की प्रायिकता = 1 / 38,760
✏️ प्रश्न 12:
जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ P(A) और P(B) युक्तिसंगत (consistently) परिभाषित की गई हैं या नहीं।
(i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
(ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8
💡 उत्तर:
🔹 (i)
प्रायिकता का नियम:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.5 + 0.7 – 0.6 = 0.6
➡️ चूंकि 0 ≤ P(A ∪ B) ≤ 1, यह संभव है।
✔️ अतः ये प्रायिकताएँ युक्तिसंगत हैं।
🔹 (ii)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.8 = 0.5 + 0.4 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0.1
➡️ यह भी 0 ≤ 0.1 ≤ 1 के भीतर है।
✔️ अतः यह भी युक्तिसंगत है।
✏️ प्रश्न 13:
निम्नलिखित में रिक्त स्थान भरिए —
(i) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5, P(A ∪ B) = 0.6, P(A ∩ B) = ?
(ii) P(A) = 0.35, P(B) = 0.25, P(A ∩ B) = 0.15, P(A ∪ B) = ?
(iii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.35, P(A ∪ B) = 0.7, P(A ∩ B) = ?
💡 उत्तर:
🔹 (i)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.6 = 0.3 + 0.5 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0.8 – 0.6 = 0.2
🔹 (ii)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.35 + 0.25 – 0.15 = 0.45
🔹 (iii)
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= 0.5 + 0.35 – 0.7 = 0.15
✔️ इसलिए तीनों उत्तर इस प्रकार हैं —
(i) P(A ∩ B) = 0.2
(ii) P(A ∪ B) = 0.45
(iii) P(A ∩ B) = 0.15
✏️ प्रश्न 14:
P(A) = 3/5 और P(B) = 1/5 दिया गया है। यदि A और B परस्पर अपवर्ज्य घटनाएँ हैं, तो P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए।
💡 उत्तर:
यदि A और B परस्पर अपवर्ज्य (mutually exclusive) हैं, तो
P(A ∩ B) = 0
🔹 अतः
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 3/5 + 1/5 – 0
= 4/5
✔️ इसलिए, P(A ∪ B) = 4/5
📘 निष्कर्ष:
इन सभी प्रश्नों में प्रायिकता के मूल सूत्र
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
और संयोजन सूत्रों का प्रयोग किया गया है।
✏️ प्रश्न 15:
यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार हैं कि
P(E) = 1/4, P(F) = 1/2 और P(E ∩ F) = 1/8,
तो ज्ञात कीजिए:
(i) P(E ∪ F)
(ii) P(E′ ∩ F′)
💡 उत्तर:
🔹 (i)
सूत्र: P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
= 1/4 + 1/2 – 1/8
= 2/8 + 4/8 – 1/8 = 5/8
✔️ अतः P(E ∪ F) = 5/8
🔹 (ii)
P(E′ ∩ F′) = 1 – P(E ∪ F)
= 1 – 5/8 = 3/8
✔️ अतः P(E′ ∩ F′) = 3/8
✏️ प्रश्न 16:
घटनाएँ E और F इस प्रकार हैं कि P(E′ ∩ F′) = 0.25।
बताइए कि E और F परस्पर अपवर्ज्य हैं या नहीं।
💡 उत्तर:
परस्पर अपवर्ज्य घटनाओं के लिए
P(E ∩ F) = 0
अब,
P(E′ ∩ F′) = 1 – P(E ∪ F)
⇒ P(E ∪ F) = 1 – 0.25 = 0.75
यदि E और F परस्पर अपवर्ज्य होतीं, तो
P(E ∪ F) = P(E) + P(F)
लेकिन यहाँ हमें केवल P(E′ ∩ F′) = 0.25 दिया है, न कि P(E) और P(F)।
इसलिए यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि E और F परस्पर अपवर्ज्य हैं या नहीं।
🔹 अतः दी गई सूचना अपर्याप्त है।
✏️ प्रश्न 17:
घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि
P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, और P(A ∩ B) = 0.16।
ज्ञात कीजिए:
(i) P(A′)
(ii) P(B′)
(iii) P(A ∪ B)
💡 उत्तर:
🔹 (i)
P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 0.42 = 0.58
🔹 (ii)
P(B′) = 1 – P(B) = 1 – 0.48 = 0.52
🔹 (iii)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.42 + 0.48 – 0.16 = 0.74
✔️ इसलिए P(A′) = 0.58, P(B′) = 0.52, और P(A ∪ B) = 0.74
✏️ प्रश्न 18:
एक पाठशाला के कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और 30% जीव विज्ञान पढ़ते हैं। प्रत्येक 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं।
यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाए, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि —
(i) वह गणित या जीव विज्ञान पढ़ता है,
(ii) वह न तो गणित और न ही जीव विज्ञान पढ़ता है।
💡 उत्तर:
दिया गया:
P(M) = 0.40, P(B) = 0.30, P(M ∩ B) = 0.10
🔹 (i)
P(M ∪ B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)
= 0.40 + 0.30 – 0.10 = 0.60
✔️ अतः विद्यार्थी के गणित या जीव विज्ञान पढ़ने की प्रायिकता = 0.6
🔹 (ii)
P(न तो M न ही B) = 1 – P(M ∪ B) = 1 – 0.6 = 0.4
✔️ अतः विद्यार्थी के न तो गणित और न ही जीव विज्ञान पढ़ने की प्रायिकता = 0.4
✏️ प्रश्न 19:
एक परीक्षा प्रणाली में दो परीक्षाएँ (Tests) हैं और किसी विद्यार्थी के चुने जाने की पहली परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 है और दूसरी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.7 है।
यदि विद्यार्थी की दोनों परीक्षाओं में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.95 है, तो ज्ञात कीजिए कि कम-से-कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्या है।
💡 उत्तर:
दिया गया:
P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.95 ❌ (यह असंभव है, क्योंकि यह 1 से अधिक हो जाएगा)
👉 वास्तव में यहाँ टाइपो है — प्रश्न का अर्थ यह है कि किसी विद्यार्थी के कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.95 है, न कि दोनों में।
अतः
P(A ∪ B) = 0.95
अब
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= 0.8 + 0.7 – 0.95 = 0.55
✔️ इसलिए विद्यार्थी के दोनों परीक्षाओं में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता = 0.55
📘 निष्कर्ष:
इन प्रश्नों में प्रायिकता के मूल सूत्रों का उपयोग किया गया है:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A′) = 1 – P(A)
P(A′ ∩ B′) = 1 – P(A ∪ B)
✏️ प्रश्न 20:
एक विद्यार्थी के अंग्रेजी और हिंदी दोनों विषयों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.5 है और दोनों में से कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता 0.1 है।
यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.75 हो, तो हिंदी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?
💡 उत्तर:
मान लें,
A = विद्यार्थी अंग्रेजी परीक्षा उत्तीर्ण करता है
B = विद्यार्थी हिंदी परीक्षा उत्तीर्ण करता है
दिया गया:
P(A) = 0.75
P(A ∩ B) = 0.5
P(न तो A न ही B) = 0.1
➡️ अब,
P(न तो A न ही B) = 1 – P(A ∪ B)
अतः
P(A ∪ B) = 1 – 0.1 = 0.9
हमें ज्ञात है:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.9 = 0.75 + P(B) – 0.5
0.9 = 0.25 + P(B)
P(B) = 0.65
✔️ अतः हिंदी परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता = 0.65
✏️ प्रश्न 21:
एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन.सी.सी. (NCC), 32 ने एन.एस.एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है।
यदि इनमें से एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए —
(i) विद्यार्थी ने एन.सी.सी. या एन.एस.एस. को चुना है।
(ii) विद्यार्थी ने न तो एन.सी.सी. और न ही एन.एस.एस. को चुना है।
(iii) विद्यार्थी ने एन.एस.एस. को चुना है किंतु एन.सी.सी. को नहीं चुना है।
💡 उत्तर:
कुल विद्यार्थी = 60
P(NCC) = 30/60 = 0.5
P(NSS) = 32/60 = 0.533
P(NCC ∩ NSS) = 24/60 = 0.4
🔹 (i)
P(NCC ∪ NSS) = P(NCC) + P(NSS) – P(NCC ∩ NSS)
= 0.5 + 0.533 – 0.4 = 0.633
✔️ अतः विद्यार्थी के NCC या NSS चुनने की प्रायिकता = 0.633
🔹 (ii)
P(न तो NCC न ही NSS) = 1 – P(NCC ∪ NSS)
= 1 – 0.633 = 0.367
✔️ अतः विद्यार्थी के किसी भी को न चुनने की प्रायिकता = 0.367
🔹 (iii)
P(NSS ∩ NCC′) = P(NSS) – P(NCC ∩ NSS)
= 0.533 – 0.4 = 0.133
✔️ अतः विद्यार्थी के केवल NSS (और NCC नहीं) चुनने की प्रायिकता = 0.133
📘 निष्कर्ष:
इन प्रश्नों में प्रयोग हुआ मुख्य सूत्र —
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
और
P(न तो A न ही B) = 1 – P(A ∪ B)
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
🧠 Section A : बहुविकल्पीय प्रश्न (Q1–Q18)
प्रश्न 1. एक सिक्का एक बार उछाला गया। पृष्ठीय सम्भाव्यता कि “चित” प्राप्त हो = ?
🔵 (A) 1
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1/3
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) 1/2
प्रश्न 2. एक पासा फेंका गया। सम संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 1/6
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 2/3
उत्तर: (C) 1/2
प्रश्न 3. यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p है, तो उसके न घटित होने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 1 − p
🟢 (B) p − 1
🟠 (C) 1/p
🔴 (D) p²
उत्तर: (A) 1 − p
प्रश्न 4. दो सिक्के एक साथ उछाले गये। दोनों पर पट आने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 1/4
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 1/4
प्रश्न 5. एक पासा दो बार फेंका गया। योग 7 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/12
🟢 (B) 1/6
🟠 (C) 1/9
🔴 (D) 5/36
उत्तर: (D) 5/36
प्रश्न 6. किसी पत्तों के ताश से एक पत्ता निकाला गया। हृदय (Heart) पाने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 1/13
उत्तर: (C) 1/4
प्रश्न 7. यदि P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4 हो तथा A, B परस्पर बहिष्कृत हों, तो P(A ∪ B) = ?
🔵 (A) 0.12
🟢 (B) 0.7
🟠 (C) 0.1
🔴 (D) 0.3
उत्तर: (B) 0.7
प्रश्न 8. एक थैले में 4 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई। लाल गेंद आने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 4/9
🟢 (B) 5/9
🟠 (C) 1/9
🔴 (D) 2/9
उत्तर: (A) 4/9
प्रश्न 9. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.25 है। न घटित होने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 0.25
🟢 (B) 0.50
🟠 (C) 0.75
🔴 (D) 0.10
उत्तर: (C) 0.75
प्रश्न 10. एक निष्पक्ष पासा फेंका गया। 4 से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 2/3
🟠 (C) 1/3
🔴 (D) 1/4
उत्तर: (A) 1/2
प्रश्न 11. किसी घटना की असफलता की प्रायिकता 0.4 है। उसकी सफलता की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 0.4
🟢 (B) 0.6
🟠 (C) 0.8
🔴 (D) 0.3
उत्तर: (B) 0.6
प्रश्न 12. दो सिक्के उछाले जाने पर कम से कम एक चित आने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 3/4
🟢 (B) 1/4
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) 3/4
प्रश्न 13. एक संख्या यादृच्छिक रूप से 1 से 20 के बीच चुनी जाती है। वह सम और 5 से विभाज्य हो इसकी प्रायिकता = ?
🔵 (A) 1/20
🟢 (B) 1/5
🟠 (C) 1/10
🔴 (D) 1/2
उत्तर: (C) 1/10
प्रश्न 14. यदि P(A) = 1/2 और P(B) = 1/3 तथा दोनों स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
🔵 (A) 1/6
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1/5
🔴 (D) 1/3
उत्तर: (A) 1/6
प्रश्न 15. यदि किसी प्रयोग के सभी परिणाम समान रूप से संभाव्य हैं, तो प्रायिकता = ?
🔵 (A) अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या
🟢 (B) कुल परिणामों की संख्या / अनुकूल परिणामों की संख्या
🟠 (C) 1 / कुल परिणाम
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A) अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या
प्रश्न 16. एक सिक्का तीन बार उछाला गया। ठीक दो चित आने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 3/8
🟢 (B) 1/8
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 1/2
उत्तर: (A) 3/8
प्रश्न 17. एक थैले में 3 लाल, 2 नीली, 5 हरी गेंदें हैं। नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 1/10
🟢 (B) 2/10
🟠 (C) 2/9
🔴 (D) 1/9
उत्तर: (B) 2/10
प्रश्न 18. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.6 है। उसके न घटित होने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 0.4
🟢 (B) 0.6
🟠 (C) 1.0
🔴 (D) 0.2
उत्तर: (A) 0.4
🔹 Question 19.
किसी थैले में 5 लाल, 3 नीली और 2 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। लाल गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल गेंदें = 5 + 3 + 2 = 10
अनुकूल परिणाम (लाल गेंद) = 5
अतः, P(लाल) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम
➡️ P(लाल) = 5/10 = 1/2
🔹 Question 20.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। ‘कम से कम एक चित’ प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
नमूना स्थान S = {चित-चित, चित-पट्ट, पट्ट-चित, पट्ट-पट्ट}
‘कम से कम एक चित’ = 3 परिणाम
कुल परिणाम = 4
➡️ P(कम से कम एक चित) = 3/4
🔹 Question 21.
एक पासा एक बार फेंका जाता है। सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या होगी?
Answer:
सम संख्या = {2, 4, 6}
कुल परिणाम = 6
अनुकूल परिणाम = 3
➡️ P(सम संख्या) = 3/6 = 1/2
🔹 Question 22.
एक ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। हुकुम (♠️) का पत्ता आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल पत्ते = 52
हुकुम के पत्ते = 13
➡️ P(हुकुम) = 13/52 = 1/4
🔹 Question 23.
एक सिक्का तीन बार उछाला गया। सभी परिणामों की प्रायिकता समान मानते हुए तीनों बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल परिणाम = 2³ = 8
अनुकूल परिणाम = {चित-चित-चित} = 1
➡️ P(सभी चित) = 1/8
🔹 Question 24.
एक डिब्बे में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें बिना पुनःस्थापन के निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहली बार लाल आने की प्रायिकता = 4/10
दूसरी बार लाल आने की प्रायिकता = 3/9
➡️ P(दोनों लाल) = (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15
🔹 Question 25.
एक संख्या 1 से 20 के मध्य यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। वह 3 का गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
3 के गुणज = 3, 6, 9, 12, 15, 18 → 6 संख्याएँ
कुल संख्याएँ = 20
➡️ P(3 का गुणज) = 6/20 = 3/10
🔹 Question 26.
एक सिक्का और एक पासा साथ-साथ फेंके जाते हैं। सिक्के पर चित और पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
सिक्के पर चित आने की प्रायिकता = 1/2
पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता = 3/6 = 1/2
➡️ P(चित और सम संख्या) = (1/2) × (1/2) = 1/4
🔹 Question 27.
एक थैले में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। दोनों के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहली बार काली आने की प्रायिकता = 4/10
दूसरी बार काली आने की प्रायिकता = 3/9
➡️ P(दोनों काली) = (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15
✳️ Question 28.
एक थैले में 5 लाल, 4 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकाली जाती हैं।
तीनों के अलग-अलग रंग की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल गेंदें = 12
कुल संभावित चयन = ¹²C₃ = 220
अनुकूल चयन = 5C₁ × 4C₁ × 3C₁ = 60
➡️ P(तीनों भिन्न रंग की) = 60 / 220 = 3 / 11
✳️ Question 29.
एक छात्र के गणित, भौतिकी और रसायन के उत्तीर्ण होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.8, 0.7 और 0.9 हैं।
तीनों में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (मान लीजिए घटनाएँ स्वतंत्र हैं)।
Answer:
घटनाएँ स्वतंत्र हैं, अतः
P(सभी उत्तीर्ण) = P(M) × P(P) × P(C)
= 0.8 × 0.7 × 0.9 = 0.504
➡️ P(सभी विषयों में उत्तीर्ण) = 0.504
✳️ Question 30.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है।
(क) कम से कम एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ख) ठीक दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल संभावित परिणाम = 2³ = 8
(क) कोई चित नहीं आने की प्रायिकता = (1/2)³ = 1/8
➡️ P(कम से कम एक चित) = 1 − 1/8 = 7/8
(ख) ठीक दो चित के लिए अनुकूल परिणाम = 3
➡️ P(ठीक दो चित) = 3/8
✳️ Question 31.
एक परीक्षा में किसी विद्यार्थी के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.6 है।
50 विद्यार्थियों में से ठीक 30 के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(सांकेतिक रूप में बायनॉमियल प्रमेय का प्रयोग करें।)
Answer:
यह बायनॉमियल वितरण है:
n = 50, p = 0.6, q = 0.4, x = 30
P(X = x) = nCₓ × pˣ × qⁿ⁻ˣ
➡️ P(30 के उत्तीर्ण) = ⁵⁰C₃₀ × (0.6)³⁰ × (0.4)²⁰
(यह परिणाम बायनॉमियल रूप में अंतिम उत्तर है।)
✳️ Question 32 (केस आधारित प्रश्न).
दो थैलियाँ हैं –
थैला A में 3 लाल और 2 काली गेंदें हैं,
थैला B में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और फिर एक गेंद निकाली जाती है।
वह गेंद लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
थैला A चुने जाने की प्रायिकता = 1/2
थैला B चुने जाने की प्रायिकता = 1/2
थैला A से लाल गेंद की प्रायिकता = 3/5
थैला B से लाल गेंद की प्रायिकता = 4/9
➡️ कुल प्रायिकता का नियम:
P(लाल) = (1/2)(3/5) + (1/2)(4/9)
= (3/10) + (2/9) = (27 + 20) / 90 = 47/90
✳️ Question 33 (अनुप्रयोगात्मक प्रश्न).
किसी मशीन के दो घटक A और B हैं।
A के ठीक से कार्य करने की प्रायिकता 0.95 और B की 0.9 है।
यदि मशीन तभी काम करती है जब दोनों घटक ठीक से काम करें,
तो मशीन के कार्य करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:
P(मशीन काम करे) = P(A) × P(B)
= 0.95 × 0.9 = 0.855
अतः मशीन के सही कार्य करने की प्रायिकता 0.855 (या 85.5%) है।
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
एक थैले में 3 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। वह लाल होने की प्रायिकता क्या है?
1️⃣ 3/8
2️⃣ 5/8
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/8
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3/8
📅 JEE Main 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2
यदि दो सिक्के एक साथ उछाले जाएँ, तो दोनों पर हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/4
4️⃣ 3/4
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/4
📅 JEE Main 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3
एक पासा फेंका गया। सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 2/3
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/2
📅 JEE Main 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4
एक पासा दो बार फेंका गया। योग 7 आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/12
3️⃣ 1/36
4️⃣ 5/36
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/6
📅 JEE Main 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5
यदि किसी घटना की प्रायिकता 0.4 है, तो उसका पूरक घटना की प्रायिकता होगी:
1️⃣ 0.6
2️⃣ 0.4
3️⃣ 0.5
4️⃣ 0.3
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.6
📅 JEE Main 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6
यदि P(A) = 1/3 और P(B) = 1/2 तथा A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/2
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/6
📅 JEE Main 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7
एक पासा फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/3
2️⃣ 1/2
3️⃣ 2/3
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Main 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8
52 ताश के पत्तों में से एक कार्ड निकाला गया। लाल पत्ते आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1/13
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Main 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 3️⃣ 3/4
📅 JEE Main 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10
यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 और P(A ∪ B) = 0.7, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 0.1
2️⃣ 0.2
3️⃣ 0.3
4️⃣ 0.6
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.2
📅 JEE Main 2014 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11
एक थैले में 4 सफेद और 6 काली गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है। काली गेंद आने की प्रायिकता:
1️⃣ 2/5
2️⃣ 3/5
3️⃣ 4/5
4️⃣ 1/5
🟢 उत्तर: 2️⃣ 3/5
📅 JEE Main 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12
P(A) = 1/4, P(B) = 1/2 और A ⊂ B, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/4
📅 JEE Main 2012 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13
यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 है, तो यह घटना कहलाती है:
1️⃣ असंभव घटना
2️⃣ निश्चित घटना
3️⃣ यादृच्छिक घटना
4️⃣ शून्य घटना
🟢 उत्तर: 2️⃣ निश्चित घटना
📅 JEE Main 2011 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14
यदि P(A) = 0.7, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.4, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.8
2️⃣ 1
3️⃣ 0.6
4️⃣ 0.9
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.8
📅 JEE Main 2010 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15
यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.8
2️⃣ 0.9
3️⃣ 1
4️⃣ 0.7
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.9
📅 JEE Main 2009 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16
यदि एक पासा फेंका जाए, तो 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/3
2️⃣ 1/6
3️⃣ 2/3
4️⃣ 1/2
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/3
📅 JEE Main 2008 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17
52 कार्ड में से एक इक्का आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/52
2️⃣ 1/26
3️⃣ 1/13
4️⃣ 4/13
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/13
📅 JEE Main 2007 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18
एक सिक्का तीन बार उछाला गया। ठीक दो हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 3/8
2️⃣ 1/8
3️⃣ 1/2
4️⃣ 5/8
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3/8
📅 JEE Main 2006 – Paper 1
🔵 प्रश्न 19
यदि P(A) = 2/3, P(B) = 1/2 और P(A ∩ B) = 1/3, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 1/2
2️⃣ 5/6
3️⃣ 2/3
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 2️⃣ 5/6
📅 JEE Main 2005 – Paper 1
🔵 प्रश्न 20
यदि एक पासा फेंका गया, तो अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 2/3
4️⃣ 1/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/2
📅 JEE Main 2004 – Paper 1
🔵 प्रश्न 21
एक सिक्का 4 बार उछाला गया। कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 15/16
2️⃣ 1/16
3️⃣ 1/2
4️⃣ 3/4
🟢 उत्तर: 1️⃣ 15/16
📅 JEE Main 2003 – Paper 1
🔵 प्रश्न 22
P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.2, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.8
2️⃣ 0.6
3️⃣ 0.5
4️⃣ 0.4
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.6
📅 JEE Main 2002 – Paper 1
🔵 प्रश्न 23
एक पासा फेंकने पर 3 से कम संख्या आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/2
4️⃣ 2/3
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/3
📅 JEE Main 2001 – Paper 1
🔵 प्रश्न 24
यदि किसी घटना की प्रायिकता 0 है, तो यह घटना कहलाती है:
1️⃣ असंभव घटना
2️⃣ निश्चित घटना
3️⃣ यादृच्छिक घटना
4️⃣ पूरक घटना
🟢 उत्तर: 1️⃣ असंभव घटना
📅 JEE Main 2000 – Paper 1
🔵 प्रश्न 25
52 कार्ड में से लाल कार्ड आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Main 1999 – Paper 1
🔵 प्रश्न 26
यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.2, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.7
2️⃣ 0.6
3️⃣ 0.8
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.7
📅 JEE Main 1998 – Paper 1
🔵 प्रश्न 27
यदि दो पासे फेंके जाएँ, तो योग 9 आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/9
3️⃣ 1/12
4️⃣ 1/36
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/12
📅 JEE Main 1997 – Paper 1
🔵 प्रश्न 28
एक सिक्का 2 बार उछाला गया। कोई भी हेड न आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/4
📅 JEE Main 1996 – Paper 1
🔵 प्रश्न 29
यदि P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A ∩ B) = 1/6, तो घटनाएँ A और B हैं:
1️⃣ परस्पर बहिष्कृत
2️⃣ स्वतंत्र
3️⃣ आश्रित
4️⃣ समान
🟢 उत्तर: 2️⃣ स्वतंत्र
📅 JEE Main 1995 – Paper 1
🔵 प्रश्न 30
यदि एक सिक्का तीन बार उछाला गया, तो कम से कम दो हेड आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 3/8
3️⃣ 1/8
4️⃣ 5/8
🟢 उत्तर: 4️⃣ 5/8
📅 JEE Main 1994 – Paper 1
🔵 प्रश्न 31
यदि एक पासा फेंका गया, तो अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 2/3
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/2
📅 JEE Main 1993 – Paper 1
🔵 प्रश्न 32
एक सिक्का उछाला गया। हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1
2️⃣ 1/2
3️⃣ 0
4️⃣ 2
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Main 1992 – Paper 1
🔵 प्रश्न 33
यदि एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं, तो लाल गेंद निकलने की प्रायिकता है:
1️⃣ 3/8
2️⃣ 5/8
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/8
🟢 उत्तर: 2️⃣ 5/8
📅 JEE Main 1991 – Paper 1
🔵 प्रश्न 34
P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.3, तो A और B घटनाएँ:
1️⃣ स्वतंत्र
2️⃣ परस्पर बहिष्कृत
3️⃣ समान
4️⃣ आश्रित
🟢 उत्तर: 1️⃣ स्वतंत्र
📅 JEE Main 1990 – Paper 1
🔵 प्रश्न 35
यदि एक पासा दो बार फेंका गया, तो योग 5 आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/9
2️⃣ 1/6
3️⃣ 1/12
4️⃣ 1/36
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/12
📅 JEE Main 1989 – Paper 1
🔵 प्रश्न 36
यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, और A व B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 0.9
2️⃣ 0.2
3️⃣ 0.1
4️⃣ 0.5
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.2
📅 JEE Main 1988 – Paper 1
🔵 प्रश्न 37
यदि दो पासे फेंके जाते हैं, तो योग 11 आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/36
2️⃣ 1/18
3️⃣ 1/6
4️⃣ 1/12
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/36
📅 JEE Main 1987 – Paper 1
🔵 प्रश्न 38
यदि किसी घटना की प्रायिकता 1/3 है, तो उसके पूरक की प्रायिकता:
1️⃣ 1/3
2️⃣ 2/3
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/4
🟢 उत्तर: 2️⃣ 2/3
📅 JEE Main 1986 – Paper 1
🔵 प्रश्न 39
52 पत्तों में से एक पत्ता निकाला गया। इक्का आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/13
2️⃣ 1/4
3️⃣ 1/52
4️⃣ 1/26
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/13
📅 JEE Main 1985 – Paper 1
🔵 प्रश्न 40
एक पासा फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 2/3
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/2
📅 JEE Main 1984 – Paper 1
🔵 प्रश्न 41
यदि P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.72
2️⃣ 0.66
3️⃣ 0.9
4️⃣ 0.5
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.66
📅 JEE Main 1983 – Paper 1
🔵 प्रश्न 42
यदि दो पासे फेंके जाएँ, तो योग 3 आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/36
2️⃣ 1/18
3️⃣ 1/6
4️⃣ 1/12
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/36
📅 JEE Main 1982 – Paper 1
🔵 प्रश्न 43
एक सिक्का 2 बार उछाला गया। ठीक एक हेड आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 0
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Main 1981 – Paper 1
🔵 प्रश्न 44
यदि P(A) = 1/4, P(B) = 1/3 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/12
4️⃣ 7/12
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/12
📅 JEE Main 1980 – Paper 1
🔵 प्रश्न 45
यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.4, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.8
2️⃣ 1
3️⃣ 0.6
4️⃣ 0.9
🟢 उत्तर: 4️⃣ 0.9
📅 JEE Main 1979 – Paper 1
🔵 प्रश्न 46
यदि किसी घटना की प्रायिकता 0.75 है, तो पूरक घटना की प्रायिकता:
1️⃣ 0.25
2️⃣ 0.75
3️⃣ 0.5
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.25
📅 JEE Main 1978 – Paper 1
🔵 प्रश्न 47
यदि P(A) = 2/5, P(B) = 3/5, A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 6/25
2️⃣ 1/5
3️⃣ 2/5
4️⃣ 3/5
🟢 उत्तर: 1️⃣ 6/25
📅 JEE Main 1977 – Paper 1
🔵 प्रश्न 48
यदि P(A) = 1/2, P(B) = 1/2, और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 1/2
2️⃣ 3/4
3️⃣ 1
4️⃣ 1/4
🟢 उत्तर: 2️⃣ 3/4
📅 JEE Main 1976 – Paper 1
🔵 प्रश्न 49
एक पासा दो बार फेंका गया। कम से कम एक बार 6 आने की प्रायिकता:
1️⃣ 11/36
2️⃣ 25/36
3️⃣ 1/6
4️⃣ 1/36
🟢 उत्तर: 2️⃣ 25/36
📅 JEE Main 1975 – Paper 1
🔵 प्रश्न 50
यदि दो सिक्के उछाले जाएँ, तो दोनों पर टेल आने की प्रायिकता:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/4
📅 JEE Main 1974 – Paper 1
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। दोनों लाल होने की प्रायिकता क्या है?
1️⃣ 1/10
2️⃣ 3/10
3️⃣ 3/5
4️⃣ 2/5
🟢 उत्तर: 2️⃣ 3/10
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2
यदि P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 और P(A ∩ B) = 1/6, तो P(A ∪ B) का मान है:
1️⃣ 1/3
2️⃣ 2/3
3️⃣ 1/2
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 2️⃣ 2/3
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3
दो स्वतंत्र घटनाएँ A और B हैं जिनके लिए P(A) = 0.4 और P(B) = 0.5 हैं। तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 0.9
2️⃣ 0.2
3️⃣ 0.5
4️⃣ 0.4
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.2
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4
यदि किसी सिक्के को तीन बार उछाला जाए, तो कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता क्या होगी?
1️⃣ 1/8
2️⃣ 3/8
3️⃣ 7/8
4️⃣ 1/2
🟢 उत्तर: 3️⃣ 7/8
📅 JEE Advanced 2010 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5
एक डिब्बे में 5 सफेद और 7 काली गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है। काली गेंद आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 5/12
2️⃣ 7/12
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/3
🟢 उत्तर: 2️⃣ 7/12
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6
यदि दो पासे फेंके जाएँ, तो योग 7 प्राप्त होने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/12
3️⃣ 1/36
4️⃣ 5/12
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/6
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7
यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.3, तो P(A′ ∩ B′) = ?
1️⃣ 0.4
2️⃣ 0.2
3️⃣ 0.1
4️⃣ 0.3
🟢 उत्तर: 4️⃣ 0.3
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8
एक कार्ड को 52 कार्डों के पैक से निकाला जाता है। वह दिल या राजा हो इसकी प्रायिकता है:
1️⃣ 4/13
2️⃣ 1/13
3️⃣ 5/13
4️⃣ 3/13
🟢 उत्तर: 3️⃣ 5/13
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9
दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.58
2️⃣ 0.7
3️⃣ 0.12
4️⃣ 0.6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.58
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10
यदि एक पासे को दो बार फेंका जाए, तो पहली बार सम संख्या और दूसरी बार विषम संख्या आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 1/3
4️⃣ 1/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/4
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11
एक सिक्का तीन बार उछाला गया। सभी बार टेल आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/4
3️⃣ 1/8
4️⃣ 3/8
🟢 उत्तर: 3️⃣ 1/8
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12
यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ P(A) + P(B)
2️⃣ P(A) × P(B)
3️⃣ P(A) − P(B)
4️⃣ P(A)/P(B)
🟢 उत्तर: 2️⃣ P(A) × P(B)
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13
P(A) = 1/2, P(B) = 1/4 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 3/4
2️⃣ 5/8
3️⃣ 1/2
4️⃣ 7/8
🟢 उत्तर: 2️⃣ 5/8
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14
एक डिब्बे में 10 गेंदें हैं जिनमें से 4 लाल हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। लाल गेंद मिलने की प्रायिकता है:
1️⃣ 2/5
2️⃣ 3/5
3️⃣ 1/2
4️⃣ 4/10
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2/5
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15
यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.7, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 0.2
2️⃣ 0.1
3️⃣ 0.3
4️⃣ 0.4
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.2
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16
दो सिक्के उछाले गए। कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 3/4
2️⃣ 1/4
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/8
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3/4
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17
यदि एक पासे को फेंका जाए, तो 3 से कम संख्या आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/6
2️⃣ 2/6
3️⃣ 3/6
4️⃣ 4/6
🟢 उत्तर: 2️⃣ 2/6
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18
यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 और P(A ∪ B) = 0.7, तो P(A ∩ B) का मान है:
1️⃣ 0.1
2️⃣ 0.2
3️⃣ 0.3
4️⃣ 0.4
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.2
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19
यदि किसी यादृच्छिक प्रयोग में कुल संभावित घटनाएँ 8 हैं, और प्रत्येक घटना की प्रायिकता समान है, तो किसी एक घटना की प्रायिकता क्या होगी?
1️⃣ 1/8
2️⃣ 1/4
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/16
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/8
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20
यदि दो पासे फेंके जाते हैं, तो योग 10 या 11 आने की प्रायिकता क्या है?
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/9
3️⃣ 1/12
4️⃣ 5/36
🟢 उत्तर: 4️⃣ 5/36
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21
यदि P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 और A, B स्वतंत्र हैं, तो P(A′ ∩ B) = ?
1️⃣ 1/6
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/4
4️⃣ 1/2
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/3
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22
यदि किसी सिक्के को 4 बार उछाला जाए, तो ठीक 2 बार हेड आने की प्रायिकता क्या होगी?
1️⃣ 3/8
2️⃣ 3/16
3️⃣ 6/16
4️⃣ 1/2
🟢 उत्तर: 3️⃣ 6/16
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23
P(A) = 0.7, P(B) = 0.6 और P(A ∩ B) = 0.5, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.8
2️⃣ 0.6
3️⃣ 1.2
4️⃣ 0.9
🟢 उत्तर: 4️⃣ 0.9
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24
यदि किसी थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं, और 2 गेंदें निकाली जाती हैं, तो दोनों लाल आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 2/15
2️⃣ 1/3
3️⃣ 2/5
4️⃣ 1/5
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2/15
📅 JEE Advanced 2012 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25
यदि एक पासे को दो बार फेंका जाए, तो दोनों बार सम संख्या आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/2
4️⃣ 1/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/4
📅 JEE Advanced 2013 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26
एक डिब्बे में 3 लाल, 2 नीली और 1 हरी गेंद है। यदि एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाए, तो लाल गेंद आने की प्रायिकता क्या है?
1️⃣ 1/2
2️⃣ 1/3
3️⃣ 2/3
4️⃣ 1/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 1/2
📅 JEE Advanced 2011 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जिनके लिए P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 हैं, तो P(A ∩ B′) = ?
1️⃣ 0.24
2️⃣ 0.16
3️⃣ 0.36
4️⃣ 0.4
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.24
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28
यदि किसी थैले में 5 सफेद और 5 काली गेंदें हैं, तो एक गेंद निकाली गई। सफेद गेंद आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/5
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/5
4️⃣ 2/5
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29
P(A) = 1/2, P(B) = 1/4 और A, B परस्पर अपूर्णांकित (mutually exclusive) हैं, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 1/8
2️⃣ 1/4
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1/2
🟢 उत्तर: 3️⃣ 3/4
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30
दो सिक्के उछाले गए। ठीक एक हेड आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 1/4
2️⃣ 1/2
3️⃣ 3/4
4️⃣ 1/8
🟢 उत्तर: 2️⃣ 1/2
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31
यदि किसी पासे को फेंकने पर संख्या ≤ 4 आने की प्रायिकता है:
1️⃣ 2/3
2️⃣ 1/3
3️⃣ 1/2
4️⃣ 5/6
🟢 उत्तर: 1️⃣ 2/3
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जिनके लिए P(A) = 0.5 और P(B) = 0.4, तो P(A ∩ B) = ?
1️⃣ 0.9
2️⃣ 0.2
3️⃣ 0.1
4️⃣ 0.4
🟢 उत्तर: 2️⃣ 0.2
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33
यदि P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 और P(A ∩ B) = 0.12, तो P(A ∪ B) = ?
1️⃣ 0.58
2️⃣ 0.62
3️⃣ 0.52
4️⃣ 0.70
🟢 उत्तर: 1️⃣ 0.58
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34
यदि एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है, तो ठीक 2 बार हेड आने की प्रायिकता क्या होगी?
1️⃣ 3/8
2️⃣ 1/2
3️⃣ 1/4
4️⃣ 1/8
🟢 उत्तर: 1️⃣ 3/8
📅 JEE Advanced 2014 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
Q1.
एक सिक्का एक बार उछाला गया। चित आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/4
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1/3
🔴 (D) 1
Answer: (B) 1/2
Q2.
एक पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 2/3
🔴 (D) 1/6
Answer: (A) 1/2
Q3.
एक ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। राजा आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/13
🟢 (B) 1/26
🟠 (C) 1/52
🔴 (D) 4/13
Answer: (A) 1/13
Q4.
यदि किसी थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं, तो लाल गेंद आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 3/8
🟢 (B) 5/8
🟠 (C) 1/8
🔴 (D) 1/2
Answer: (B) 5/8
Q5.
दो पासे फेंके जाने पर कुल 7 का योग आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 1/12
🟢 (B) 1/6
🟠 (C) 1/8
🔴 (D) 1/10
Answer: (B) 1/6
Q6.
यदि एक पासा फेंका जाए, तो “3 से कम संख्या” आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 1/3
🟢 (B) 2/3
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 1/6
Answer: (A) 1/3
Q7.
एक सिक्का दो बार उछाला गया। दोनों बार चित आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 3/4
Answer: (C) 1/4
Q8.
1 से 20 तक की संख्याओं में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या ली गई। वह 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/4
🟢 (B) 1/5
🟠 (C) 1/3
🔴 (D) 1/2
Answer: (A) 1/4
Q9.
एक सिक्का तीन बार उछाला गया। ठीक दो चित आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 3/8
🟢 (B) 1/8
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 7/8
Answer: (A) 3/8
Q10.
एक ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। इक्का आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/13
🟢 (B) 1/52
🟠 (C) 1/26
🔴 (D) 4/13
Answer: (A) 1/13
Q11.
किसी थैले में 4 सफेद और 6 काली गेंदें हैं। सफेद गेंद आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 2/5
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 3/5
🔴 (D) 4/5
Answer: (A) 2/5
Q12.
यदि P(E) = 0.6 हो, तो P(E′) का मान क्या होगा?
🔵 (A) 0.4
🟢 (B) 0.5
🟠 (C) 0.6
🔴 (D) 1.4
Answer: (A) 0.4
Q13.
एक पासा दो बार फेंका गया। पहले बार 4 और दूसरे बार 6 आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 1/12
🟢 (B) 1/18
🟠 (C) 1/36
🔴 (D) 1/6
Answer: (C) 1/36
Q14.
यदि किसी सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता 0.5 है, तो पट आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 0.25
🟢 (B) 0.75
🟠 (C) 0.5
🔴 (D) 1
Answer: (C) 0.5
Q15.
एक सिक्का और एक पासा साथ फेंके गए। चित और सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/4
🟠 (C) 1/3
🔴 (D) 1/6
Answer: (B) 1/4
Q16.
एक थैले में 10 गेंदें हैं, जिनमें 6 लाल और 4 काली हैं। यदि एक गेंद निकाली जाती है, तो काली गेंद की प्रायिकता है —
🔵 (A) 3/5
🟢 (B) 2/5
🟠 (C) 1/5
🔴 (D) 4/9
Answer: (B) 2/5
Q17.
एक ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। अंक पत्ता (जैक, क्वीन या किंग) आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 3/52
🟢 (B) 9/52
🟠 (C) 12/52
🔴 (D) 1/4
Answer: (B) 9/52
Q18.
एक थैले में 3 सफेद, 4 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। सफेद गेंद आने की प्रायिकता है —
🔵 (A) 3/12
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 2/3
Answer: (C) 1/4
Q19.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। सभी बार पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
🔵 (A) 1/4
🟢 (B) 1/8
🟠 (C) 3/8
🔴 (D) 1/2
Answer: (B) 1/8
Q20.
यदि P(A) = 0.7 और P(B) = 0.4 हों तथा A और B स्वतंत्र हों, तो P(A ∩ B) = ?
🔵 (A) 0.28
🟢 (B) 0.3
🟠 (C) 0.7
🔴 (D) 0.11
Answer: (A) 0.28
🧠 Q21–Q40 : उन्नत स्तर (JEE Main)
Q21. यदि किसी पत्तों के गड्डी से एक पत्ता चुना जाता है, तो “लाल पत्ता या राजा” प्राप्त होने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 7/13
🟢 (B) 17/52
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 4/13
Answer: (A) 7/13
Q22. दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। योग 9 आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/9
🟢 (B) 1/8
🟠 (C) 1/12
🔴 (D) 1/18
Answer: (A) 1/9
Q23. एक पात्र में 4 लाल, 5 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। यदि एक गेंद निकाली जाती है, तो उसके नीली या हरी होने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 5/12
🟢 (B) 2/3
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) 1/4
Answer: (B) 2/3
Q24. दो घटनाएँ A और B ऐसी हैं कि P(A) = 1/3 और P(B) = 1/2, यदि दोनों स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = ?
🔵 (A) 1/6
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 1/5
Answer: (A) 1/6
Q25. यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.4 है, तो उसके न घटित होने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 0.6
🟢 (B) 0.4
🟠 (C) 0.3
🔴 (D) 0.8
Answer: (A) 0.6
Q26. दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/4
🟢 (B) 3/4
🟠 (C) 1/2
🔴 (D) 1/3
Answer: (B) 3/4
Q27. यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 और P(A ∩ B) = 0.2, तो P(A ∪ B) = ?
🔵 (A) 0.7
🟢 (B) 0.6
🟠 (C) 0.5
🔴 (D) 0.9
Answer: (A) 0.7
Q28. किसी थैले में 6 सफेद, 3 लाल और 1 काली गेंद हैं। यदि यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाए, तो उसके सफेद न होने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 3/10
🟢 (B) 2/5
🟠 (C) 4/10
🔴 (D) 1/3
Answer: (B) 2/5
Q29. एक संख्या यादृच्छिक रूप से 1 से 50 के बीच चुनी जाती है। उसके 4 या 6 का गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात करें।
🔵 (A) 16/50
🟢 (B) 10/25
🟠 (C) 14/50
🔴 (D) 17/50
Answer: (A) 16/50
Q30. यदि एक सिक्का तीन बार उछाला जाए, तो ठीक दो बार पट आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 3/8
🟢 (B) 1/8
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 1/2
Answer: (A) 3/8
Q31. दो घटनाएँ A और B ऐसी हैं कि P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, और P(A ∩ B) = 0.2, तो P(A′ ∩ B′) = ?
🔵 (A) 0.3
🟢 (B) 0.6
🟠 (C) 0.5
🔴 (D) 0.4
Answer: (A) 0.3
Q32. यदि दो पासे फेंके जाते हैं, तो सम संख्या का योग आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 2/3
Answer: (A) 1/2
Q33. यदि 3 सिक्के उछाले जाएँ, तो कम से कम दो चित आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 3/8
🟢 (B) 4/8
🟠 (C) 1/8
🔴 (D) 5/8
Answer: (B) 4/8
Q34. किसी पत्तों की गड्डी से एक पत्ता चुना गया। वह इक्का या दिल का पत्ता होने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 16/52
🟢 (B) 4/13
🟠 (C) 13/52
🔴 (D) 3/13
Answer: (A) 16/52
Q35. एक थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। यदि दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाएँ, तो दोनों के लाल होने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 2/15
🟢 (B) 1/15
🟠 (C) 1/5
🔴 (D) 2/9
Answer: (A) 2/15
Q36. यदि P(A) = 1/4 और P(B|A) = 1/2, तो P(A ∩ B) = ?
🔵 (A) 1/8
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 3/8
Answer: (A) 1/8
Q37. यदि किसी पात्र में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं, तो एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 1/5
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1/3
🔴 (D) 2/5
Answer: (B) 1/2
Q38. यदि तीन पासे फेंके जाते हैं, तो योग 6 आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
🔵 (A) 5/216
🟢 (B) 10/216
🟠 (C) 20/216
🔴 (D) 15/216
Answer: (B) 10/216
Q39. किसी पासे के विषम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 1/3
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 1/6
🔴 (D) 2/3
Answer: (B) 1/2
Q40. यदि एक सिक्का चार बार उछाला जाए, तो सभी बार चित आने की प्रायिकता क्या होगी?
🔵 (A) 1/8
🟢 (B) 1/16
🟠 (C) 1/4
🔴 (D) 3/8
Answer: (B) 1/16
Q41. एक गड्डी से दो पत्ते बिना पुनःस्थापन के निकाले जाते हैं। “एक इक्का तथा एक बादशाह” मिलने की प्रायिकता क्या है?
🔵 (A) 16/1326
🟢 (B) 8/663
🟠 (C) 1/26
🔴 (D) 2/51
Answer: (B) 8/663
Q42. दो पासे फेंके गए। A = {योग 7} तथा B = {पहले पासे पर सम संख्या}। P(A | B) = ?
🔵 (A) 1/3
🟢 (B) 1/6
🟠 (C) 1/9
🔴 (D) 2/9
Answer: (B) 1/6
Q43. तीन निष्पक्ष सिक्के उछाले गए। A = {कम से कम दो चित}, B = {पहले उछाल में चित}। P(A | B) = ?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 3/4
🟠 (C) 5/8
🔴 (D) 7/8
Answer: (B) 3/4
Q44. एक थैले में 5 लाल, 4 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। दो गेंदें बिना पुनःस्थापन के निकाली जाती हैं। “दोनों के रंग भिन्न” होने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 47/66
🟢 (B) 19/66
🟠 (C) 23/66
🔴 (D) 41/66
Answer: (A) 47/66
Q45. दो स्वतंत्र घटनाएँ A, B के लिए P(A) = p, P(B) = q। “ठीक एक” के घटित होने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) p + q − pq
🟢 (B) p + q − 2pq
🟠 (C) pq
🔴 (D) 1 − pq
Answer: (B) p + q − 2pq
Q46. 72 का एक भाजक यादृच्छिक रूप से चुना गया। उसके 3 का गुणज होने की प्रायिकता = ?
(संकेत: 72 = 2³·3²)
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 2/3
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) 5/6
Answer: (B) 2/3
Q47. एक गड्डी से दो पत्ते बिना पुनःस्थापन के चुने गए। “दोनों लाल” होने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 25/102
🟢 (B) 1/4
🟠 (C) 13/102
🔴 (D) 5/51
Answer: (A) 25/102
Q48. [0,1] पर समान रूप से चुने गये बिन्दु X के लिए P(|X − 1/2| > 1/4) = ?
🔵 (A) 1/4
🟢 (B) 1/2
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) 1/3
Answer: (B) 1/2
Q49. किसी परिवार में दो बच्चे हैं। ज्ञात है कि “कम से कम एक बालक” है। “दोनों बालक” होने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 1/3
🟠 (C) 2/3
🔴 (D) 3/4
Answer: (B) 1/3
Q50. एक निष्पक्ष सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक पहली बार चित न आ जाए। “उछालों की संख्या विषम” होने की प्रायिकता = ?
🔵 (A) 1/2
🟢 (B) 2/3
🟠 (C) 3/4
🔴 (D) 1/3
Answer: (B) 2/3
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