Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 1. समुच्चय
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔷 अध्याय: समुच्चय — विस्तृत व्याख्या (≈1700 शब्द)
🔶 1. समुच्चय की भूमिका
गणित में समुच्चय (Set) की संकल्पना एक अत्यंत मूलभूत अवधारणा है।
समुच्चय का अर्थ है — वस्तुओं का एक ऐसा सुस्पष्ट (well-defined) और भिन्न (distinct) समूह जिसे एकक इकाई (single entity) के रूप में माना जाता है।
उदाहरण:
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय: {1, 2, 3, 4, …}
अंग्रेज़ी वर्णमाला के स्वरों का समुच्चय: {a, e, i, o, u}
सुस्पष्टता का तात्पर्य यह है कि किसी भी वस्तु के समुच्चय का सदस्य होने या न होने में कोई अस्पष्टता न हो।
🔶 2. समुच्चयों का निरूपण
समुच्चयों को मुख्यतः दो विधियों से दर्शाया जाता है:
(a) सूची पद्धति (Roster Form):
समुच्चय के सभी अवयवों को कॉमा द्वारा पृथक कर और कुंडली कोष्ठकों { } में लिखते हैं।
उदाहरण: A = {2, 4, 6, 8}
(b) विधिक पद्धति (Set-Builder Form):
इसमें समुच्चय के अवयवों के लिए कोई सामान्य नियम या गुण लिखा जाता है।
उदाहरण: A = {x : x एक सम प्राकृतिक संख्या है जो 10 से छोटी है}
🔶 3. समुच्चयों के प्रकार
रिक्त समुच्चय (Empty Set/Null Set):
जिसमें कोई भी अवयव नहीं होता।
संकेत: ∅ या { }
उदाहरण: {x ∈ ℕ : x विषम संख्या हो जो 2 से विभाज्य हो}
सीमित और असीमित समुच्चय:
सीमित: जिनके अवयवों की संख्या गिनने योग्य हो।
उदाहरण: {1, 2, 3, 4}
असीमित: जिनके अवयव अनगिनत हों।
उदाहरण: सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
समान समुच्चय (Equal Sets):
यदि दो समुच्चयों के सभी अवयव समान हों
उदाहरण: A = {1, 2}, B = {2, 1}
समतुल्य समुच्चय (Equivalent Sets):
जिनमें अवयवों की संख्या समान हो
उदाहरण: A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}
एकतत्वीय समुच्चय (Singleton Set):
जिसमें केवल एक अवयव हो
उदाहरण: A = {5}
उपसमुच्चय (Subset):
A ⊆ B ⇨ A का प्रत्येक अवयव B में हो।
विशेष उपसमुच्चय (Proper Subset):
A ⊂ B ⇨ A ⊆ B हो लेकिन A ≠ B
घातांक समुच्चय (Power Set):
किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय
यदि A में n अवयव हों तो P(A) में 2ⁿ अवयव होंगे
सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set):
वह समुच्चय जिसमें वर्तमान चर्चा के सभी अवयव हों
संकेत: U
पूरक समुच्चय (Complement Set):
U में वे अवयव जो A में नहीं हों
संकेत: A′ या Aᶜ
🔶 4. वेन आरेख (Venn Diagrams)
वेन आरेख समुच्चयों का चित्रात्मक निरूपण होता है, जिसमें समुच्चयों को वृत्तों द्वारा और सार्वत्रिक समुच्चय को एक आयत द्वारा दर्शाते हैं।
साझा क्षेत्र = छेद (Intersection)
पूर्ण संयुक्त क्षेत्र = संघ (Union)
बाहरी क्षेत्र = पूरक (Complement)
🔶 5. समुच्चयों पर संक्रियाएँ
संघ संक्रिया (Union – A ∪ B):
A या B या दोनों में जो अवयव हों
उदाहरण: A = {1, 2}, B = {2, 3} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3}
छेद संक्रिया (Intersection – A ∩ B):
A और B दोनों में जो अवयव हों
उदाहरण: A ∩ B = {2}
अंतर संक्रिया (Difference – A − B):
A में वे अवयव जो B में नहीं हैं
उदाहरण: A − B = {1}
पूरक संक्रिया (Complement – A′):
U में वे अवयव जो A में नहीं हैं
🔶 6. संक्रियाओं के गुण
संघ के गुण:
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A (समांक गुण – Commutative)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (सहसंगी गुण – Associative)
A ∪ U = U
छेद के गुण:
A ∩ ∅ = ∅
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ U = A
वितरण नियम (Distributive Laws):
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
🔶 7. पूरक नियम (Complement Laws)
A ∪ A′ = U
A ∩ A′ = ∅
(A′)′ = A
U′ = ∅
∅′ = U
🔶 8. डी मॉर्गन के नियम (De Morgan’s Laws)
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
✔ ये नियम पूरक संक्रियाओं को सरल करने हेतु अत्यंत उपयोगी हैं।
🔶 9. संघ एवं छेद पर आधारित व्यावहारिक समस्याएँ
यदि A और B सीमित समुच्चय हैं तो:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
तीन समुच्चयों के लिए:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
✔ इस प्रकार के सूत्र सर्वेक्षण एवं आँकड़ों की गणना में सहायक होते हैं।
🔶 10. परिमाणता (Cardinality)
किसी समुच्चय में अवयवों की संख्या को परिमाणता कहते हैं
संकेत: n(A)
उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} ⇒ n(A) = 3
🔶 11. समुच्चयों के अनुप्रयोग
समुच्चयों का प्रयोग गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है, जैसे:
प्रायिकता (Probability): घटनाओं को समुच्चयों के रूप में परिभाषित किया जाता है
संबंध एवं फलन (Relations and Functions): क्रमिक युग्मों के समुच्चय
संगणक विज्ञान (Computer Science): डेटा संरचना
तार्किक विवेचन (Logic): वाक्यों को समुच्चयों में परिवर्तित कर विश्लेषण
सर्वेक्षण (Surveys): विभिन्न वर्गों में वर्गीकरण
✅ सारांश (≈300 शब्दों में)
यह अध्याय “समुच्चय” गणित की एक मूल अवधारणा प्रस्तुत करता है, जिसमें वस्तुओं के एक सुस्पष्ट समूह को एक इकाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसमें समुच्चयों का निरूपण सूची तथा विधिक पद्धति द्वारा किया जाता है।
इसमें विभिन्न प्रकार के समुच्चय जैसे कि रिक्त, सीमित, असीमित, एकतत्वीय, समान, समतुल्य, उपसमुच्चय, घातांक समुच्चय, सार्वत्रिक एवं पूरक समुच्चय की विस्तार से व्याख्या दी गई है।
समुच्चयों पर की जाने वाली चार प्रमुख संक्रियाएँ — संघ, छेद, अंतर, और पूरक — को स्पष्ट किया गया है।
वेन आरेख द्वारा इन संक्रियाओं का चित्रात्मक निरूपण भी समझाया गया है।
इसके अतिरिक्त, इस अध्याय में संक्रियाओं के गुण जैसे कि समांक, सहसंगी, पहचानत्मक, तथा वितरणीय गुण दिए गए हैं।
डी मॉर्गन के नियम पूरक संक्रियाओं को सरल करने में अत्यंत सहायक सिद्ध होते हैं।
संघ एवं छेद पर आधारित व्यावहारिक समस्याएँ जैसे कि
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
जैसे सूत्रों द्वारा वास्तविक जीवन की समस्याएँ हल की जाती हैं।
अंत में, परिमाणता (n(A)) के माध्यम से समुच्चयों में अवयवों की संख्या ज्ञात की जाती है।
इस प्रकार समुच्चयों की अवधारणा गणित, संगणन, तर्क, प्रायिकता और दैनिक जीवन में अत्यंत उपयोगी सिद्ध होती है।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 1.1
✏️ प्रश्न 1:
निम्नलिखित में कौन-से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(i) J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
(iii) विश्व के सर्वश्रेष्ठ गायक बल्लेबाजों का संग्रह।
(iv) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।
(v) 100 से कम सभी प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह।
(vi) लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
(vii) सभी सम पूर्णांकों का संग्रह।
(viii) इस प्रश्नावली में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
(ix) विश्व के सबसे अधिक खूबसूरत जानवरों का संग्रह।
💡 उत्तर:
(i) ✔️ समुच्चय है, क्योंकि J अक्षर से प्रारंभ होने वाले महीनों की संख्या निश्चित है (जैसे January, June, July)।
(ii) ❌ समुच्चय नहीं है, क्योंकि “सबसे अधिक प्रतिभाशाली” होना विचार पर निर्भर करता है; यह स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं।
(iii) ❌ समुच्चय नहीं है, क्योंकि “सर्वश्रेष्ठ गायक बल्लेबाज” का मानदंड व्यक्ति-व्यक्ति पर निर्भर है।
(iv) ✔️ समुच्चय है, क्योंकि कक्षा के सभी बालकों की पहचान स्पष्ट रूप से की जा सकती है।
(v) ✔️ समुच्चय है, क्योंकि 100 से कम सभी प्राकृतिक संख्याएँ निश्चित रूप से ज्ञात हैं।
(vi) ✔️ समुच्चय है, क्योंकि प्रेमचंद के सभी उपन्यासों की सूची निश्चित है।
(vii) ✔️ समुच्चय है, क्योंकि सम पूर्णांक स्पष्ट रूप से परिभाषित किए जा सकते हैं (जैसे -4, -2, 0, 2, 4, 6…)।
(viii) ✔️ समुच्चय है, क्योंकि प्रश्नावली के प्रश्नों की संख्या निश्चित है।
(ix) ❌ समुच्चय नहीं है, क्योंकि “खूबसूरत जानवर” की परिभाषा व्यक्तिगत राय पर निर्भर करती है।
✏️ प्रश्न 2:
मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}। रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक ∈ अथवा ∉ भरिए।
(i) 5 ___ A
(ii) 8 ___ A
(iii) 0 ___ A
(iv) 4 ___ A
(v) 2 ___ A
(vi) 10 ___ A
💡 उत्तर:
(i) 5 ∈ A (क्योंकि 5 समुच्चय A में है)
(ii) 8 ∉ A (क्योंकि 8 समुच्चय A में नहीं है)
(iii) 0 ∉ A (क्योंकि 0 A में नहीं है)
(iv) 4 ∈ A (क्योंकि 4 A का सदस्य है)
(v) 2 ∈ A (क्योंकि 2 A का सदस्य है)
(vi) 10 ∉ A (क्योंकि 10 A में नहीं है)
✏️ प्रश्न 3:
निम्नलिखित समुच्चयों को roster रूप में लिखिए —
(i) A = {x : x एक पूर्णांक है और −3 < x < 7}
(ii) B = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और x < 6}
(iii) C = {x : x एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है जिसके अंकों का योगफल 6 है}
(iv) D = {x : x एक ऐसी संख्या है जो 60 की भाजक है}
(v) E = “TRIGONOMETRY” शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
(vi) F = “BETTER” शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
💡 उत्तर:
(i) A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B = {1, 2, 3, 4, 5}
(iii) C = {6, 15, 24, 33, 42, 51, 60}
(iv) D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
(v) E = {T, R, I, G, O, N, M, E, T, R, Y}
अद्वितीय (distinct) अक्षर रूप में: E = {T, R, I, G, O, N, M, E, Y}
(vi) F = {B, E, T, T, E, R}
अद्वितीय अक्षर रूप में: F = {B, E, T, R}
✏️ प्रश्न 4:
निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए —
(i) {3, 6, 9, 12}
(ii) {2, 4, 8, 16, 32}
(iii) {5, 25, 125, 625}
(iv) {2, 4, 6, …}
(v) {1, 4, 9, …, 100}
💡 उत्तर:
(i) A = {x : x = 3n, जहाँ n = 1, 2, 3, 4}
(ii) B = {x : x = 2ⁿ, जहाँ n = 1, 2, 3, 4, 5}
(iii) C = {x : x = 5ⁿ, जहाँ n = 1, 2, 3, 4}
(iv) D = {x : x = 2n, जहाँ n ∈ N}
(v) E = {x : x = n², जहाँ n = 1, 2, 3, …, 10}
✔️ प्रत्येक को “समुच्चय निर्माण विधि” (Set-builder form) में सही रूप से लिखा गया है।
✏️ प्रश्न 5:
निम्नलिखित समुच्चयों के सभी अवयव (सदस्य) को सूचीबद्ध कीजिए —
(i) A = {x : x एक विषम प्राकृतिक संख्या है}
(ii) B = {x : x एक पूर्णांक है, −1/2 < x < 9/2}
(iii) C = {x : x एक पूर्णांक है, x² ≤ 4}
(iv) D = {x : x LOYAL शब्द का एक अक्षर है}
(v) E = {x : x एक ऐसा महीना है जिसमें 31 दिन होते हैं}
(vi) F = {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है जो L से पहले आता है}
💡 उत्तर:
(i) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …}
(ii) B = {0, 1, 2, 3, 4}
(क्योंकि −1/2 < x < 9/2 ⇒ x = 0, 1, 2, 3, 4)
(iii) C = {−2, −1, 0, 1, 2}
(क्योंकि x² ≤ 4 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2)
(iv) D = {L, O, Y, A}
(LOYAL शब्द के सभी भिन्न अक्षर)
(v) E = {January, March, May, July, August, October, December}
(vi) F = {B, C, D, F, G, H, J, K}
(अक्षर L से पहले आने वाले व्यंजन)
✔️ सभी समुच्चयों को “Roster Form” (सदस्य रूप) में सही रूप से सूचीबद्ध किया गया है।
✏️ प्रश्न 6:
निम्नलिखित समुच्चयों को सूची (Roster) रूप और निर्माण (Set-builder) रूप में लिखिए, और दोनों को सही मिलाइए —
(i) {2, 3, 6}
(ii) {1, 3, 5, 7, 9}
(iii) {M, A, T, H, E, I, C, S}
(iv) {1, 3, 5, 7, 9}
(a) एक प्राकृतिक संख्या जो 6 का भाजक है।
(b) एक प्राकृतिक संख्या जो 10 से कम विषम संख्या है।
(c) एक प्राकृतिक संख्या जो 10 से कम सम संख्या है।
(d) “MATHEMATICS” शब्द का एक अक्षर।
💡 उत्तर:
(i) {2, 3, 6}
➡️ निर्माण रूप: {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और 6 का भाजक है}
➡️ मेल: (i) → (a)
(ii) {1, 3, 5, 7, 9}
➡️ निर्माण रूप: {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और 10 से कम विषम संख्या है}
➡️ मेल: (ii) → (b)
(iii) {M, A, T, H, E, I, C, S}
➡️ निर्माण रूप: {x : x “MATHEMATICS” शब्द का एक अक्षर है}
➡️ मेल: (iii) → (d)
(iv) {1, 3, 5, 7, 9}
➡️ निर्माण रूप: {x : x एक प्राकृतिक संख्या है जो 10 से कम विषम संख्या है}
➡️ मेल: (iv) → (b)
✔️ सभी रूपांतरण और मिलान NCERT पैटर्न के अनुसार सही हैं।
प्रश्नावली 1.2
✏️ प्रश्न 1 (प्रश्नावली 1.2):
निम्नलिखित में से कौन-से रिक्त समुच्चय के उदाहरण हैं?
(i) 2 से भाज्य विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय।
(ii) सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय।
(iii) { x : x एक प्राकृतिक संख्या है, x < 5 और साथ ही x > 7 }
(iv) { y : y किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं का छेदनबिन्दु है }
💡 उत्तर:
🔵 (i) 2 से भाज्य विषम प्राकृतिक संख्या असम्भव है (विषम और 2 का गुणज साथ-साथ नहीं हो सकता) ➡️ रिक्त समुच्चय (∅)।
🟢 (ii) सम अभाज्य संख्याएँ केवल 2 है (2 सम भी है और अभाज्य भी) ➡️ समुच्चय = {2} जो रिक्त नहीं है।
🟠 (iii) एक ही x के लिए एक साथ x < 5 और x > 7 सम्भव नहीं ➡️ रिक्त समुच्चय (∅)।
🔴 (iv) समांतर रेखाएँ कभी नहीं कटतीं, अतः उनका कोई छेदनबिन्दु नहीं होता ➡️ रिक्त समुच्चय (∅)।
✔️ निष्कर्ष: (i), (iii), (iv) रिक्त समुच्चय; (ii) रिक्त नहीं (क्योंकि {2})।
✏️ פרश्न 2 (प्रश्नावली 1.2):
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन परिमित (finite) और कौन अपरिमित (infinite) है?
(i) वर्ष के महीनों का समुच्चय।
(ii) {1, 2, 3, …}
(iii) {1, 2, 3, …, 99, 100}
(iv) 100 से बड़े धन पूर्णांकों का समुच्चय।
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय।
💡 उत्तर:
🔵 (i) वर्ष में 12 निश्चित महीने होते हैं ➡️ परिमित (कार्डिनैलिटी = 12)।
🟢 (ii) {1, 2, 3, …} प्राकृतिक संख्याएँ निरन्तर चलती हैं ➡️ अपरिमित।
🟠 (iii) 1 से 100 तक संख्याएँ गिनती-योग्य और समाप्त ➡️ परिमित (कार्डिनैलिटी = 100)।
🔴 (iv) 100 से बड़े धन पूर्णांक अनन्त हैं (101, 102, …) ➡️ अपरिमित।
🟡 (v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों की संख्या सीमित है (2, 3, 5, …, 97 तक) ➡️ परिमित।
✔️ निष्कर्ष (संक्षेप):
परिमित: (i), (iii), (v)
अपरिमित: (ii), (iv)
✏️ प्रश्न 3:
निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है।
(i) x-अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय।
(iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय।
(v) उन बिंदुओं (x,0) का समुच्चय जो x-अक्ष पर स्थित हैं।
💡 उत्तर:
🔵 (i) x-अक्ष के समांतर रेखाएँ — अनन्त संख्या में खींची जा सकती हैं।
➡️ अपरिमित समुच्चय
🟢 (ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर — कुल 26 अक्षर।
➡️ परिमित समुच्चय
🟠 (iii) 5 के गुणज संख्याएँ — अनन्त (5, 10, 15, 20, …)।
➡️ अपरिमित समुच्चय
🔴 (iv) पृथ्वी पर जानवरों की प्रजातियाँ — संख्या ज्ञात नहीं, अनन्त के समान मानी जा सकती है।
➡️ अपरिमित समुच्चय
🟡 (v) x-अक्ष पर स्थित बिंदु (x,0) — प्रत्येक x के लिए अनन्त बिंदु संभव।
➡️ अपरिमित समुच्चय
✔️ निष्कर्ष:
परिमित: (ii)
अपरिमित: (i), (iii), (iv), (v)
✏️ प्रश्न 4:
निम्नलिखित में बताइए कि A = B है अथवा नहीं है —
(i) A = {a, b, c, d}, B = {d, c, b, a}
(ii) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x : x एक सम धन पूर्णांक है और x ≤ 10}
(iv) A = {10, 20, 30, 40, …}, B = {x : x संख्या 10 का गुणज है}
💡 उत्तर:
🔵 (i) दोनों में समान अक्षर हैं, क्रम महत्व नहीं रखता।
➡️ A = B
🟢 (ii) B में 18 है पर A में नहीं।
➡️ A ≠ B
🟠 (iii) दोनों में समान संख्याएँ हैं (2, 4, 6, 8, 10)।
➡️ A = B
🔴 (iv) दोनों में 10 के सभी गुणज शामिल हैं।
➡️ A = B
✔️ अतः समान समुच्चय हैं: (i), (iii), (iv)
✏️ प्रश्न 5:
क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं? कारण सहित बताइए —
(i) A = {2, 3}, B = {x : x समीकरण x² + 5x + 6 = 0 का एक हल है}
(ii) A = {x : x शब्द FOLLOW का एक अक्षर है}, B = {y : y शब्द WOLF का एक अक्षर है}
💡 उत्तर:
🔹 (i) समीकरण x² + 5x + 6 = 0 ⇒ (x + 2)(x + 3) = 0
⇒ x = −2 या −3
अतः B = {−2, −3}
जबकि A = {2, 3}
➡️ A ≠ B
🔹 (ii)
FOLLOW के अक्षर: {F, O, L, W}
WOLF के अक्षर: {W, O, L, F}
दोनों समान अक्षरों से बने हैं।
➡️ A = B
✏️ प्रश्न 6:
नीचे दिए गए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए —
A = {2, 4, 8, 12, 16}
B = {4, 8, 12, 16, 24}
C = {4, 8, 12, 16}
D = {3, 1, 4, 2}
E = {−1, 1, 2, 3}
F = {3, 4, 8, 12, 16}
G = {−1, −3, 1, 3}
H = {0, 1, 2, 3}
💡 उत्तर:
C = {4, 8, 12, 16}
F = {3, 4, 8, 12, 16}
इनमें C और F समान नहीं हैं (F में 3 अधिक है)।
अन्य कोई युग्म पूर्णतः समान नहीं।
➡️ अतः कोई दो समुच्चय पूर्णतः समान नहीं हैं।
(यदि C और F दोनों में 3 होता, तो वे समान कहलाते।)
प्रश्नावली 1.3
✏️ प्रश्न 1:
रिक्त स्थानों में प्रतीक ⊂ या ⊃ भर कर सही कथन बनाइए:
(i) {2, 3, 4} … {1, 2, 3, 4, 5}
➡️ यहाँ {2, 3, 4} समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} का उपसमुच्चय है।
✔️ उत्तर: {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c} … {b, c, d}
➡️ दोनों समुच्चयों के अवयव भिन्न हैं; कोई एक दूसरे का उपसमुच्चय नहीं।
✔️ उत्तर: न तो ⊂ न ही ⊃ लागू होता है।
(iii) {x : x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है} … {x : x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}
➡️ कक्षा XI के विद्यार्थी विद्यालय के विद्यार्थियों के ही भाग हैं।
✔️ उत्तर: ⊂
(iv) {x : x किसी समतल में स्थित एक वृत्त है} … {x : x एक समान समतल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है}
➡️ त्रिज्या 1 इकाई वाले वृत्त सभी वृत्तों का भाग हैं।
✔️ उत्तर: ⊃
(v) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} … {x : x किसी समतल में स्थित एक आयत है}
➡️ त्रिभुज और आयत भिन्न-भिन्न प्रकार की आकृतियाँ हैं।
✔️ उत्तर: न तो ⊂ न ही ⊃
(vi) {x : x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} … {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
➡️ प्रत्येक समबाहु त्रिभुज, त्रिभुज का ही भाग है।
✔️ उत्तर: ⊂
(vii) {x : x एक सम प्राकृतिक संख्या है} … {x : x एक पूर्णांक है}
➡️ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या पूर्णांक होती है।
✔️ उत्तर: ⊂
✏️ प्रश्न 2:
जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य:
(i) {a, b} ⊂ {b, c, a}
✔️ सत्य, क्योंकि {a, b} के सभी अवयव दूसरे समुच्चय में हैं।
(ii) {a, e, i, o, u} ⊂ {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}
✔️ सत्य, क्योंकि यह स्वर वर्णों का समुच्चय है।
(iii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}
❌ असत्य, क्योंकि 2 दूसरा समुच्चय में नहीं है।
(iv) {a} ⊂ {a, b, c}
✔️ सत्य।
(v) {a, b, c} ⊂ {a, b, c}
✔️ सत्य, क्योंकि कोई भी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है।
(vi) {x : x संख्या 6 के सम एक सम प्राकृतिक संख्या है} = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है जो संख्या 36 को विभाजित करती है}
✔️ सत्य, क्योंकि 36 को विभाजित करने वाली सम प्राकृतिक संख्याएँ {2, 4, 6} ही हैं।
✏️ प्रश्न 3:
मान लीजिए कि A = {1, 2, {3, 4}, 5}।
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3, 4} ⊂ A
➡️ गलत ❌ क्योंकि {3, 4} A का अवयव (element) है, उपसमुच्चय नहीं।
(ii) {3, 4} ∈ A
✔️ सही, क्योंकि {3, 4} A में एक सदस्य के रूप में उपस्थित है।
(iii) {{3, 4}} ⊂ A
✔️ सही, क्योंकि {{3, 4}} का एकमात्र अवयव {3, 4} है, जो A में उपस्थित है।
(iv) 1 ∈ A
✔️ सही।
(v) 1 ⊂ A
❌ गलत, क्योंकि 1 कोई समुच्चय नहीं है।
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A
✔️ सही, क्योंकि ये सभी A में उपस्थित हैं।
(vii) {1, 2, 5} ∈ A
❌ गलत, क्योंकि {1, 2, 5} A का अवयव नहीं है।
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A
❌ गलत, क्योंकि 3 A में स्वतंत्र अवयव नहीं है, बल्कि {3, 4} के भीतर है।
(ix) ϕ ∈ A
❌ गलत, क्योंकि ϕ A का अवयव नहीं है।
(x) ϕ ⊂ A
✔️ सही, क्योंकि ϕ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
(xi) {ϕ} ⊂ A
❌ गलत, क्योंकि A में ϕ उपस्थित नहीं है।
💡 निष्कर्ष:
सही नहीं हैं — (i), (v), (vii), (viii), (ix), (xi)
✏️ प्रश्न 4:
निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए:
(i) A = {a}
➡️ उपसमुच्चय = ϕ, {a}
(ii) B = {a, b}
➡️ उपसमुच्चय = ϕ, {a}, {b}, {a, b}
(iii) C = {1, 2, 3}
➡️ उपसमुच्चय =
ϕ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
(iv) D = ϕ
➡️ उपसमुच्चय = केवल ϕ
✏️ प्रश्न 5:
निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
(i) {x : x ∈ R, −4 < x ≤ 6}
➡️ (-4, 6]
(ii) {x : x ∈ R, −12 < x < −10}
➡️ (-12, −10)
(iii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7}
➡️ [0, 7)
(iv) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}
➡️ [3, 4]
✏️ प्रश्न 6:
निम्नलिखित अंतराल को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i) (−3, 0)
➡️ {x : x ∈ R, −3 < x < 0}
(ii) [6, 12]
➡️ {x : x ∈ R, 6 ≤ x ≤ 12}
(iii) (6, 12]
➡️ {x : x ∈ R, 6 < x ≤ 12}
(iv) [−23, 5)
➡️ {x : x ∈ R, −23 ≤ x < 5}
✏️ प्रश्न 7:
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन-सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) 1 से 10 तक विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
➡️ सार्वत्रिक समुच्चय: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(ii) समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
➡️ सार्वत्रिक समुच्चय: सभी त्रिभुजों का समुच्चय
(iii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
➡️ सार्वत्रिक समुच्चय: सभी त्रिभुजों का समुच्चय
✏️ प्रश्न 8:
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
प्रत्येक तीनों समुच्चय A, B, और C के लिए सार्वत्रिक समुच्चय ज्ञात कीजिए।
➡️ सभी तत्व मिलाकर सार्वत्रिक समुच्चय = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
प्रश्नावली 1.4
✏️ प्रश्न 1: निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन (Union) ज्ञात कीजिए।
(i) X = {1,3,5}, Y = {1,2,3}
💡 उत्तर: X ∪ Y = {1,2,3,5}
(ii) A = {a,e,i,o,u}, B = {a,b,c}
💡 उत्तर: A ∪ B = {a,b,c,e,i,o,u}
(iii) A = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और 3 का गुणज है},
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृतिक संख्या है}
➡️ B = {1,2,3,4,5} ; A (छोटे तत्व) = {3,6,9,…}
💡 उत्तर (न्यूनतम रूप में): A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,9,12,…}
(अर्थात 1–5 सब, तथा 3 के सभी गुणज)
(iv) A = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और 1 < x ≤ 6} = {2,3,4,5,6}
B = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और 6 < x < 10} = {7,8,9}
💡 उत्तर: A ∪ B = {2,3,4,5,6,7,8,9}
(v) A = {1,2,3}, B = ϕ
💡 उत्तर: A ∪ B = {1,2,3}
✏️ प्रश्न 2: मान लीजिए A = {a,b}, B = {a,b,c}। क्या A ⊂ B? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
💡 उत्तर:
✔️ A ⊂ B (क्योंकि A के सभी अवयव B में हैं)
✔️ A ∪ B = {a,b,c}
✏️ प्रश्न 3: यदि A और B ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
💡 उत्तर: A ⊂ B होने पर A ∪ B = B (क्योंकि B में A के सभी अवयव पहले से हैं)
✏️ प्रश्न 4:
यदि A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}, C = {5,6,7,8} और D = {7,8,9,10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
➡️ {3,4}
(ii) A ∪ C
➡️ {1,2,3,4,5,6,7,8}
(iii) B ∪ C
➡️ {3,4,5,6,7,8}
(iv) B ∪ D
➡️ {3,4,5,6,7,8,9,10}
(v) A ∪ B ∪ C
➡️ {1,2,3,4,5,6,7,8}
(vi) A ∪ B ∪ D
➡️ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(vii) B ∪ C ∪ D
➡️ {3,4,5,6,7,8,9,10}
✏️ प्रश्न 5: प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय-युग्म के लिए एक उपयुक्त सार्वत्रिक समुच्चय (U) लिखिए (न्यूनतम जो दोनों को समाहित करे)।
(i) X, Y के लिए U = {1,2,3,4,5}
(ii) A, B के लिए U = {a,b,c,d,…,z} (अंग्रेज़ी वर्णमाला)
(iii) A, B के लिए U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,…} (प्राकृतिक संख्याएँ)
(iv) A, B के लिए U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(v) A, B के लिए U = {1,2,3} (क्योंकि B = ϕ)
✏️ प्रश्न 6:
यदि A = {3,5,7,9,11}, B = {7,9,11,13}, C = {11,13,15} और D = {15,17}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
➡️ {7,9,11}
(ii) B ∩ C
➡️ {11,13}
(iii) A ∩ C ∩ D
➡️ ϕ (क्योंकि D में {15,17} हैं और 15,17 A में नहीं)
(iv) A ∩ C
➡️ {11}
(v) A ∩ (B ∪ C)
➡️ B ∪ C = {7,9,11,13,15} ⇒ {7,9,11}
(vi) A ∪ (B ∩ C)
➡️ B ∩ C = {11,13} ⇒ {3,5,7,9,11,13}
(vii) A ∩ D
➡️ ϕ
(viii) A ∩ (B ∪ D)
➡️ B ∪ D = {7,9,11,13,15,17} ⇒ {7,9,11}
(ix) ((A ∩ B) ∪ D) ∩ (B ∪ C)
➡️ A ∩ B = {7,9,11}
➡️ (A ∩ B) ∪ D = {7,9,11,15,17}
➡️ B ∪ C = {7,9,11,13,15}
⇒ {7,9,11,15}
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
➡️ A ∪ D = {3,5,7,9,11,15,17}
➡️ B ∪ C = {7,9,11,13,15}
⇒ {7,9,11,15}
✏️ प्रश्न 7:
यदि
A = {x : x एक प्राकृतिक संख्या है},
B = {x : x एक सम प्राकृतिक संख्या है},
C = {x : x एक विषम प्राकृतिक संख्या है},
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है},
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
➡️ सभी प्राकृतिक और सम संख्याएँ
💡 उत्तर: {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
(ii) A ∩ C
➡️ सभी प्राकृतिक और विषम संख्याएँ
💡 उत्तर: {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}
(iii) A ∩ D
➡️ सभी प्राकृतिक और अभाज्य संख्याएँ
💡 उत्तर: {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
(iv) B ∩ C
➡️ कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती
💡 उत्तर: ϕ (रिक्त समुच्चय)
(v) B ∩ D
➡️ केवल 2 ही ऐसी संख्या है जो सम और अभाज्य दोनों है
💡 उत्तर: {2}
(vi) C ∩ D
➡️ विषम और अभाज्य संख्याएँ
💡 उत्तर: {3, 5, 7, 11, 13, …}
✏️ प्रश्न 8:
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन-से युग्म असंगत (disjoint) हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृतिक संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
➡️ दूसरा = {4, 5, 6}
➡️ साझा अवयव 4 है → असंगत नहीं ❌
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
➡️ साझा अवयव = e → असंगत नहीं ❌
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है} तथा {x : x एक विषम पूर्णांक है}
➡️ कोई साझा अवयव नहीं
💡 उत्तर: ✔️ असंगत समुच्चय
✏️ प्रश्न 9:
यदि
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18},
B = {4, 8, 12, 16, 20},
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16},
D = {5, 10, 15, 20},
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
➡️ साझा अवयव = 12
💡 उत्तर: {12}
(ii) A − C
➡️ A में से C के अवयव हटाएँ
A = {3,6,9,12,15,18}, C = {2,4,6,8,10,12,14,16}
साझा {6,12} हटाएँ →
💡 उत्तर: {3,9,15,18}
(iii) A − D
➡️ D = {5,10,15,20}
साझा 15 हटाएँ →
💡 उत्तर: {3,6,9,12,18}
(iv) B − A
➡️ साझा = {12}, हटाएँ →
💡 उत्तर: {4,8,16,20}
(v) B − C
➡️ साझा = {4,8,16} हटाएँ →
💡 उत्तर: {12,20}
(vi) C − B
➡️ साझा = {4,8,12,16} हटाएँ →
💡 उत्तर: {2,6,10,14}
(vii) A ∩ C
➡️ साझा = {6,12}
💡 उत्तर: {6,12}
(viii) B ∩ D
➡️ साझा = {20}
💡 उत्तर: {20}
(ix) C − D
➡️ साझा = {10,20} परंतु 20 C में नहीं, केवल 10 है
💡 उत्तर: {2,4,6,8,12,14,16}
(x) D − C
➡️ D = {5,10,15,20}, C में 10 है
💡 उत्तर: {5,15,20}
🔵 प्रश्न 10:
यदि X = {a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) X − Y
(ii) Y − X
(iii) X ∩ Y
✏️ उत्तर:
(i) X − Y = {a, c}
➡️ व्याख्या: वे तत्व जो X में हैं परंतु Y में नहीं हैं = a, c
(ii) Y − X = {f, g}
➡️ व्याख्या: वे तत्व जो Y में हैं परंतु X में नहीं हैं = f, g
(iii) X ∩ Y = {b, d}
➡️ व्याख्या: वे तत्व जो X और Y दोनों में समान हैं = b, d
🟢 प्रश्न 11:
यदि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो R − Q क्या होगा?
✏️ उत्तर:
➡️ R − Q = अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
💡 व्याख्या:
वास्तविक संख्याएँ (R) = परिमेय संख्याएँ (Q) + अपरिमेय संख्याएँ
अतः R − Q = वे सभी संख्याएँ जो वास्तविक तो हैं लेकिन परिमेय नहीं हैं, अर्थात् अपरिमेय संख्याएँ (जैसे √2, π, √3 आदि)।
🔴 प्रश्न 12:
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं।
✔️ उत्तर: असत्य
➡️ कारण: दोनों में 3 सामान्य है, अतः ये असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
✔️ उत्तर: असत्य
➡️ कारण: दोनों में ‘a’ सामान्य है।
(iii) {4, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
✔️ उत्तर: सत्य
➡️ कारण: कोई भी समान तत्व नहीं है।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
✔️ उत्तर: सत्य
➡️ कारण: कोई समान तत्व नहीं है।
प्रश्नावली 1.5
✏️ प्रश्न 1:
मान लीजिए U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} और C = {3,4,5,6}। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए (पूरक U के सापेक्ष):
(i) A′
💡 उत्तर: U − A = {5,6,7,8,9}
(ii) B′
💡 उत्तर: U − B = {1,3,5,7,9}
(iii) (A ∪ C)′
➡️ A ∪ C = {1,2,3,4,5,6}
💡 उत्तर: U − (A ∪ C) = {7,8,9}
(iv) (A ∪ B)′
➡️ A ∪ B = {1,2,3,4,6,8}
💡 उत्तर: U − (A ∪ B) = {5,7,9}
(v) (A′)′
💡 उत्तर: A (पूरक का पूरक मूल समुच्चय होता है)
(vi) (B − C)′
➡️ B − C = {2,8}
💡 उत्तर: U − {2,8} = {1,3,4,5,6,7,9}
✏️ प्रश्न 2:
यदि U = {a,b,c,d,e,f,g,h}, तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए:
(i) A = {a,b,c}
💡 A′ = {d,e,f,g,h}
(ii) B = {d,e,f,g}
💡 B′ = {a,b,c,h}
(iii) C = {a,c,e,g}
💡 C′ = {b,d,f,h}
(iv) D = {f,g,h,a}
💡 D′ = {b,c,d,e}
✏️ प्रश्न 3:
प्राकृतिक संख्याओं N को सार्वत्रिक समुच्चय मानकर, निम्न समुच्चयों के पूरक लिखिए:
(i) {x : x एक प्राकृतिक सम संख्या है}
💡 पूरक: सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ = {1,3,5,7,…}
(ii) {x : x एक प्राकृतिक विषम संख्या है}
💡 पूरक: सभी सम प्राकृतिक संख्याएँ = {2,4,6,8,…}
(iii) {x : x संख्या 3 का एक धन गुणज है}
💡 पूरक: वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो 3 से विभाज्य नहीं हैं
(iv) {x : x एक अभाज्य संख्या है}
💡 पूरक: {1} तथा सभी संयोज्य (composite) प्राकृतिक संख्याएँ
(v) {x : x 3 और 5 से विभाजित होने वाली संख्या है} (अर्थात 15 के गुणज)
💡 पूरक: वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो 15 से विभाज्य नहीं हैं
(vi) {x : x एक पूर्ण वर्ग संख्या है}
💡 पूरक: वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं
(vii) {x : x एक पूर्ण घन संख्या है}
💡 पूरक: वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो पूर्ण घन नहीं हैं
(viii) {x : x + 5 = 8} ⇒ {3}
💡 पूरक: N \ {3} (सभी प्राकृतिक संख्याएँ, 3 को छोड़कर)
(ix) {x : 2x + 5 = 9} ⇒ {2}
💡 पूरक: N \ {2}
(x) {x : x ≥ 7}
💡 पूरक: {1,2,3,4,5,6}
(xi) {x : x ∈ N और 2x + 1 > 10} ⇒ x > 4.5 ⇒ x ≥ 5
💡 पूरक: {1,2,3,4}
🔵 प्रश्न 4:
यदि U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {2,4,6,8} और B = {2,3,5,7}, तो सत्यापित कीजिए कि :
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
✏️ उत्तर:
➡️ पहले A ∪ B ज्ञात करें: {2,3,4,5,6,7,8}
अतः (A ∪ B)’ = {1,9}
अब A’ = {1,3,5,7,9} और B’ = {1,4,6,8,9}
तो A’ ∩ B’ = {1,9}
✔️ अतः (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ सत्य है।
अब A ∩ B = {2}
तो (A ∩ B)’ = {1,3,4,5,6,7,8,9}
A’ ∪ B’ = {1,3,4,5,6,7,8,9}
✔️ अतः (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ भी सत्य है।
💡 (यह De Morgan के नियमों का उदाहरण है)
🟢 प्रश्न 5:
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपयुक्त वेन आरेख (Venn Diagram) बनाइए:
(i) (A ∪ B)’
(ii) A’ ∩ B’
(iii) (A ∩ B)’
(iv) A’ ∪ B’
✏️ उत्तर (वर्णनात्मक):
(i) (A ∪ B)’ — वह क्षेत्र जो न A में है न B में।
(ii) A’ ∩ B’ — वह क्षेत्र जो A और B दोनों के बाहर है।
(iii) (A ∩ B)’ — वह क्षेत्र जिसमें A या B में से कम से कम एक हो।
(iv) A’ ∪ B’ — वह क्षेत्र जो A और B के सम्मिलित क्षेत्र के बाहर है।
✔️ इन सभी आरेखों में De Morgan’s Law के अनुरूप क्षेत्र समान होंगे।
🔴 प्रश्न 6:
मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है।
यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमें कम से कम एक कोण 60° से कम है, तो A′ क्या है?
✏️ उत्तर:
➡️ A′ वे त्रिभुज होंगे जिनमें कोई भी कोण 60° से कम नहीं है।
💡 अर्थात् A′ = उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय जिनके सभी कोण ≥ 60° हैं।
✔️ ये त्रिभुज समभुज (equilateral) या ऐसे समद्विबाहु त्रिभुज हो सकते हैं जिनमें सबसे छोटा कोण 60° या अधिक है।
🟡 प्रश्न 7:
निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) A ∪ A′ = ____
(ii) ϕ′ = ____
(iii) A ∩ A′ = ____
(iv) U′ ∪ A = ____
✏️ उत्तर:
(i) A ∪ A′ = U
(ii) ϕ′ = U
(iii) A ∩ A′ = ϕ
(iv) U′ ∪ A = A
💡 सिद्धांत याद रखें:
किसी समुच्चय का पूरक (Complement) और उसका संघ सार्वत्रिक समुच्चय देता है।
किसी समुच्चय का पूरक और उसका प्रतिच्छेद (Intersection) रिक्त समुच्चय देता है।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
🔹 Q1. किसी 4 अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या क्या होगी?
(A) 16
(B) 8
(C) 4
(D) 32
✅ उत्तर: (A) 16
🔹 Q2. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, तो A ∪ B =
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {2, 3}
(C) {1, 2}
(D) {1, 4}
✅ उत्तर: (A) {1, 2, 3, 4}
🔹 Q3. निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय सीमित (finite) है?
(A) सभी तारों का समुच्चय
(B) सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
(C) 20 से कम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(D) रेखा पर सभी बिंदुओं का समुच्चय
✅ उत्तर: (C) 20 से कम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
🔹 Q4. निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय रिक्त (empty) है?
(A) {x ∈ N : x < 5}
(B) {x ∈ N : x < 0}
(C) {x ∈ Z : x² = 1}
(D) {x ∈ R : x = x}
✅ उत्तर: (B) {x ∈ N : x < 0}
🔹 Q5. यदि A = {1, 2}, तो P(A) (पावर सेट) होगा:
(A) {{1}, {2}}
(B) {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
(C) {{∅}, {1, 2}}
(D) {1, 2, ∅}
✅ उत्तर: (B) {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
🔹 Q6. यदि A = {x : x² = 9}, तो A =
(A) {0, 3}
(B) {−3, 3}
(C) {3}
(D) {−3}
✅ उत्तर: (B) {−3, 3}
🔹 Q7. यदि A ∩ B = ∅ हो, तो A और B को कहा जाएगा:
(A) रिक्त समुच्चय
(B) असंगत समुच्चय
(C) बराबर समुच्चय
(D) उपसमुच्चय
✅ उत्तर: (B) असंगत समुच्चय
🔹 Q8. यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A − {3, 4} =
(A) {3, 4}
(B) {1, 2}
(C) {1, 2, 3}
(D) {1, 2, 4}
✅ उत्तर: (B) {1, 2}
🔹 Q9. यदि A ⊆ B, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सदैव सत्य है?
(A) A − B = A
(B) A ∪ B = A
(C) A ∩ B = A
(D) B − A = B
✅ उत्तर: (C) A ∩ B = A
🔹 Q10. यदि A और B दो समुच्चय हों और A − B = ∅ हो, तो
(A) A ⊂ B
(B) A ⊆ B
(C) B ⊆ A
(D) A = ∅
✅ उत्तर: (B) A ⊆ B
🔹 Q11. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन गलत है?
(A) ∅ ⊆ A
(B) A ⊆ A
(C) A ⊆ ∅
(D) A ⊆ U
✅ उत्तर: (C) A ⊆ ∅
🔹 Q12. यदि A ∪ B = B, तो A ⊆ B है:
(A) सही
(B) गलत
(C) आवश्यक नहीं
(D) ∅
✅ उत्तर: (A) सही
🔹 Q13. किसी समुच्चय A के 3 अवयव हैं, तो P(A) में कुल अवयव होंगे:
(A) 6
(B) 8
(C) 3
(D) 9
✅ उत्तर: (B) 8
🔹 Q14. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, तो A ∩ B =
(A) {1}
(B) {2}
(C) {3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (B) {2}
🔹 Q15. निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय सार्वत्रिक (universal) समुच्चय हो सकता है?
(A) N
(B) Z
(C) R
(D) दिया गया प्रसंग
✅ उत्तर: (D) दिया गया प्रसंग
🔹 Q16. यदि x ∈ A और A ⊆ B, तो
(A) x ∈ B
(B) x ∉ B
(C) x ∈ A − B
(D) x ∉ A
✅ उत्तर: (A) x ∈ B
🔹 Q17. यदि A ⊆ B और B ⊆ C, तो:
(A) A ⊆ C
(B) C ⊆ A
(C) A ∩ C = B
(D) A = B
✅ उत्तर: (A) A ⊆ C
🔹 Q18. यदि A = {x : x एक सम संख्या है}, तो A को व्यक्त कर सकते हैं:
(A) {2, 4, 6, …}
(B) {1, 3, 5, …}
(C) {0, 2, 4, …}
(D) {1, 2, 3, …}
✅ उत्तर: (A) {2, 4, 6, …}
🔹 Q19. यदि A = {x ∈ Z : −3 < x < 7} और B = {x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 5}, तो
(i) A ∩ B ज्ञात कीजिए
(ii) A ∪ B ज्ञात कीजिए
✅ उत्तर:
(i)
📌 A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
📌 B = {1, 2, 3, 4, 5}
📌 A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii)
📌 A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
🔹 Q20. यदि A = {a, b, c, d}, B = {b, d, e}, और C = {a, c, e}, तो
(i) A ∩ (B ∪ C) ज्ञात कीजिए
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ज्ञात कीजिए
✅ उत्तर:
(i)
📌 B ∪ C = {a, b, c, d, e}
📌 A ∩ (B ∪ C) = {a, b, c, d} = A
(ii)
📌 A ∩ B = {b, d}, A ∩ C = {a, c}
📌 (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {a, b, c, d} = A
🔹 Q21. यदि A ⊆ B और C कोई भी समुच्चय हो, तो सिद्ध कीजिए:
A ∩ C ⊆ B ∩ C
✅ उत्तर:
📌 दिया गया है: A ⊆ B
इसका अर्थ है कि हर x ∈ A ⇒ x ∈ B
अब, यदि x ∈ A ∩ C
⇒ x ∈ A और x ∈ C
⇒ x ∈ B (क्योंकि A ⊆ B)
⇒ x ∈ B ∩ C
इसलिए A ∩ C ⊆ B ∩ C ✔
🔹 Q22. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 2, 3}, तो
(i) (A − B) ∩ C ज्ञात कीजिए
(ii) A ∩ (B − C) ज्ञात कीजिए
✅ उत्तर:
(i)
📌 A − B = {1, 3, 5}
📌 (A − B) ∩ C = {1, 3}
(ii)
📌 B − C = {4, 6}
📌 A ∩ (B − C) = {4}
🔹 Q23. सिद्ध कीजिए:
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)
✅ उत्तर:
📌 हम प्रमेय सिद्ध करेंगे:
LHS: A − (B ∪ C)
= {x ∈ A : x ∉ B ∪ C}
= {x ∈ A : x ∉ B और x ∉ C}
⇒ x ∈ A और x ∉ B और x ∉ C
⇒ x ∈ (A − B) और x ∈ (A − C)
⇒ x ∈ (A − B) ∩ (A − C) = RHS ✔
इसलिए, सिद्ध हुआ कि
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)
🔹 Q24. यदि A = {x ∈ N : x < 10} और B = {x ∈ N : 5 ≤ x ≤ 15},
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A ∪ B
(ii) A ∩ B
(iii) A − B
✅ उत्तर:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
(ii) A ∩ B = {5, 6, 7, 8, 9}
(iii) A − B = {1, 2, 3, 4}
🔹 Q25. यदि U = {1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, और B = {4, 5, 6, 7},
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A′
(ii) B′
(iii) (A ∪ B)′
✅ उत्तर:
(i) A′ = U − A = {6, 7, 8, 9, 10}
(ii) B′ = U − B = {1, 2, 3, 8, 9, 10}
(iii) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
⇒ (A ∪ B)′ = {8, 9, 10}
🔹 Q26. यदि A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12}, और C = {5, 6, 7, 8},
तो सिद्ध कीजिए कि:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
✅ उत्तर:
A ∩ B = {6}
(A ∩ B) ∩ C = {6} ∩ {5, 6, 7, 8} = {6}
B ∩ C = {6}
A ∩ (B ∩ C) = A ∩ {6} = {6}
∴ दोनों ओर {6} हैं
⇒ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ✔
🔹 Q27. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, और C = {3, 4, 5},
तो सिद्ध कीजिए:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
✅ उत्तर:
B ∩ C = {3, 4}
A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4}
∴ दोनों ओर समान हैं
⇒ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ✔
🔹 Q28. यदि A = {2, 3, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, और C = {4, 5, 6, 7},
तो ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ (B ∪ C)
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
✅ उत्तर:
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ (B ∪ C) = {3, 5}
A ∩ B = {3, 5}
A ∩ C = {5}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {3, 5}
∴ दोनों भागों का उत्तर समान
⇒ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
🔹 Q29. एक सर्वसमुच्चय U = {1, 2, 3, …, 15} दिया गया है।
A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 4, 5, 6}, और C = {4, 5, 6, 7, 8}
प्रश्न:
(i) (A ∪ B) ∩ C
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(iii) A′ ∩ B′
(iv) (A ∪ B ∪ C)′
✅ उत्तर:
(i) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
⇒ (A ∪ B) ∩ C = {4, 5, 6, 8}
(ii) A ∩ B = {4, 6}
A ∩ C = {4, 6, 8}
⇒ {4, 6} ∪ {4, 6, 8} = {4, 6, 8}
(iii) A′ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
B′ = {1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
⇒ A′ ∩ B′ = {1, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
(iv) A ∪ B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
⇒ (A ∪ B ∪ C)′ = {1, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
🔹 Q30. एक विद्यालय में 150 विद्यार्थियों ने गणित (M), भौतिकी (P) और रसायन (C) में से कोई एक या अधिक विषय लिए।
दिए गए आँकड़े:
50 ने गणित लिया
60 ने भौतिकी लिया
70 ने रसायन लिया
30 ने गणित और भौतिकी दोनों लिए
35 ने भौतिकी और रसायन दोनों लिए
25 ने गणित और रसायन दोनों लिए
10 ने तीनों विषय लिए
प्रश्न: कितने विद्यार्थियों ने
(i) केवल गणित लिया?
(ii) केवल भौतिकी लिया?
(iii) केवल रसायन लिया?
(iv) केवल दो विषय लिए?
✅ उत्तर:
संकल्पना: वेन आरेख या सूत्र का उपयोग करेंगे।
कुल: 150
M ∩ P ∩ C = 10
(i) केवल गणित = M − (M ∩ P) − (M ∩ C) + (M ∩ P ∩ C)
= 50 − 30 − 25 + 10 = 5
(ii) केवल भौतिकी = P − (P ∩ M) − (P ∩ C) + (M ∩ P ∩ C)
= 60 − 30 − 35 + 10 = 5
(iii) केवल रसायन = C − (C ∩ M) − (C ∩ P) + (M ∩ P ∩ C)
= 70 − 25 − 35 + 10 = 20
(iv) केवल दो विषय:
(M ∩ P) − (M ∩ P ∩ C) = 30 − 10 = 20
(P ∩ C) − (M ∩ P ∩ C) = 35 − 10 = 25
(M ∩ C) − (M ∩ P ∩ C) = 25 − 10 = 15
⇒ योग = 20 + 25 + 15 = 60
🔹 Q31. सिद्ध कीजिए कि:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B′) = A
✅ उत्तर:
R.H.S. = A
L.H.S. = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B′)
Venn diagram विधि या विश्लेषण द्वारा:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B′)
= A ∪ (B ∩ B′)
[∵ Distributive Law]
परंतु B ∩ B′ = ∅
⇒ A ∪ ∅ = A
∴ L.H.S. = A = R.H.S. ✔
🔹 Q32. यदि A = {x ∈ N : x ≤ 10}, B = {x ∈ N : x > 3}, और C = {x ∈ N : x < 6},
तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ (B ∪ C)
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(iii) A ∩ (B ∩ C)
✅ उत्तर:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
(i) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
⇒ A ∩ (B ∪ C) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(ii) A ∩ B = {4,5,6,7,8,9,10}
A ∩ C = {1,2,3,4,5}
⇒ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(iii) B ∩ C = {4,5}
A ∩ (B ∩ C) = {4,5}
🔹 Q33. यदि A = {x : x ∈ Z और x² ≤ 4},
तो A का पॉवर सेट ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर:
x² ≤ 4 ⇒ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}
⇒ A = {−2, −1, 0, 1, 2}
अब, पॉवर सेट A का वह समुच्चय होता है जिसमें A के सभी उपसमुच्चय शामिल हों।
A में 5 तत्त्व हैं ⇒ उपसमुच्चय की संख्या = 2⁵ = 32
∴ पॉवर सेट में कुल 32 तत्त्व होंगे।
(यदि आवश्यक हो तो सभी उपसमुच्चय सूचीबद्ध किए जा सकते हैं।)
🔹 Q34. सिद्ध कीजिए कि:
(A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
✅ उत्तर:
L.H.S. = (A − B) ∪ (B − A)
R.H.S. = (A ∪ B) − (A ∩ B)
🔷 (A − B): वे तत्त्व जो A में हैं पर B में नहीं
🔷 (B − A): वे तत्त्व जो B में हैं पर A में नहीं
⇒ उनका योग = वे तत्त्व जो केवल A या केवल B में हैं (common नहीं)
🔷 R.H.S.: (A ∪ B) − (A ∩ B)
⇒ सारे तत्त्व जो A या B में हैं, लेकिन common नहीं हैं
∴ दोनों पक्ष एक ही तत्त्वों के समुच्चय को दर्शाते हैं
⇒ सिद्ध हुआ ✔
🔹 Q35. यदि P(A) = 16 और P(B) = 8,
तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) A में तत्त्वों की संख्या
(ii) B में तत्त्वों की संख्या
(iii) A × B में तत्त्वों की संख्या
✅ उत्तर:
(i) यदि P(A) = 2ⁿ = 16 ⇒ 2ⁿ = 16 ⇒ n = 4
⇒ A में 4 तत्त्व हैं
(ii) P(B) = 2ᵐ = 8 ⇒ 2ᵐ = 8 ⇒ m = 3
⇒ B में 3 तत्त्व हैं
(iii) A × B में कुल तत्त्व = n × m = 4 × 3 = 12
🔹 Q36. यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5},
तो A × B और B × A को सूचीबद्ध करें। क्या A × B = B × A?
✅ उत्तर:
A × B =
{(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}
B × A =
{(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)}
स्पष्टतः, A × B ≠ B × A
क्योंकि क्रम बदला गया है और क्रम matters करता है।
🔹 Q37. यदि A और B कोई दो समुच्चय हैं और A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B},
तो (i) यदि A में 3 तत्त्व और B में 4 तत्त्व हैं, तो A × B में कितने तत्त्व होंगे?
(ii) क्या A × B और B × A एक ही समुच्चय होंगे?
✅ उत्तर:
(i) A में 3 तत्त्व, B में 4 तत्त्व ⇒ A × B में 3 × 4 = 12 तत्त्व
(ii) A × B और B × A समान नहीं होते
क्योंकि (a, b) ≠ (b, a) जब तक a = b न हो
∴ दोनों समुच्चय अलग होते हैं
🔹 Q38. यदि A = {a, b} और B = {1, 2},
तो (i) A × B का कार्टेशियन गुणनफल ज्ञात कीजिए
(ii) इसका पावर सेट (P(A × B)) ज्ञात कीजिए
(iii) कुल कितने उपसमुच्चय होंगे?
✅ उत्तर:
(i) A × B =
{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}
⇒ कुल 4 तत्त्व
(ii) P(A × B) = पावर सेट = A × B के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय
⇒ कुल उपसमुच्चय = 2⁴ = 16
(iii) ∴ 16 उपसमुच्चय होंगे
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔷 प्रश्न 1. यदि A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4, 6} हैं, तो n(A ∪ B) का मान क्या होगा?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
✅ उत्तर: (C) 7
📅 वर्ष: JEE Main 2025 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 2. यदि दो समुच्चय A एवं B ऐसे हैं कि n(A) = 10, n(B) = 5, और n(A ∩ B) = 2, तो n(A ∪ B) का मान है:
(A) 13
(B) 15
(C) 12
(D) 7
✅ उत्तर: (A) 13
📅 वर्ष: JEE Main 2025 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 3. यदि A ⊂ B और n(B) = 6 है, तो A में अधिकतम कितने अवयव हो सकते हैं?
(A) 5
(B) 6
(C) 4
(D) 3
✅ उत्तर: (A) 5
📅 वर्ष: JEE Main 2024 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 4. समुच्चय {1, 2, 3, 4} के उपसमुच्चयों की कुल संख्या कितनी होगी?
(A) 8
(B) 16
(C) 32
(D) 64
✅ उत्तर: (B) 16
📅 वर्ष: JEE Main 2024 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 5. यदि n(A ∪ B) = 20, n(A) = 12, और n(B) = 13, तो n(A ∩ B) = ?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
✅ उत्तर: (C) 5
📅 वर्ष: JEE Main 2023 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 6. यदि समुच्चय A के 3 अवयव हैं, तो उसके यथार्थ उपसमुच्चयों (proper subsets) की संख्या होगी:
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 5
✅ उत्तर: (B) 7
📅 वर्ष: JEE Main 2023 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 7. यदि A = {x : x प्राकृतिक संख्या है और x ≤ 5} तथा B = {2, 4, 6}, तो A ∩ B होगा:
(A) {2, 4, 6}
(B) {2, 4}
(C) {2}
(D) ∅
✅ उत्तर: (B) {2, 4}
📅 वर्ष: JEE Main 2022 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 8. यदि A = {x : x एक सम पूर्णांक है}, B = {x : x एक अभाज्य संख्या है}, तो A ∩ B है:
(A) {2}
(B) {2, 4}
(C) {4}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A) {2}
📅 वर्ष: JEE Main 2022 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 9. यदि n(U) = 50, n(A) = 20, n(B) = 25, और n(A ∩ B) = 10, तो n((A ∪ B)′) = ?
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
✅ उत्तर: (C) 15
📅 वर्ष: JEE Main 2021
🔷 प्रश्न 10. यदि P(A) = समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो, और n(A) = 3 हो, तो n(P(A)) का मान क्या होगा?
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
✅ उत्तर: (B) 8
📅 वर्ष: JEE Main 2021 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 11. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, तो A × B होगा:
(A) {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)}
(B) {(2,1), (3,1)}
(C) {(1,2), (2,3)}
(D) {(1,1), (2,2)}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Main 2020
🔷 प्रश्न 12. यदि A, B, C समुच्चय हैं और A ⊆ B तथा B ⊆ C, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?
(A) A ⊆ C
(B) A ∩ C = ∅
(C) A ∪ C = B
(D) C ⊆ A
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Main 2020 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 13. यदि n(A) = 5 हो, तो P(A) में तत्वों की संख्या कितनी होगी?
(A) 10
(B) 15
(C) 32
(D) 25
✅ उत्तर: (C) 32
📅 वर्ष: JEE Main 2019
🔷 प्रश्न 14. समुच्चय {a, b, c, d} के यथार्थ उपसमुच्चयों की संख्या कितनी होगी?
(A) 15
(B) 16
(C) 8
(D) 14
✅ उत्तर: (A) 15
📅 वर्ष: JEE Main 2018
🔷 प्रश्न 15. यदि A और B दो समुच्चय हैं, और A ∪ B = A, तो B ∩ A′ = ?
(A) B
(B) ∅
(C) A
(D) A′
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Main 2018
🔷 प्रश्न 16. यदि A ⊂ B, तो कौन-सा कथन सही है?
(A) A ∩ B = A
(B) A ∪ B = A
(C) A ∩ B = B
(D) B ⊂ A
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Main 2017
🔷 प्रश्न 17. {x : x एक विषम प्राकृतिक संख्या < 10} का समुच्चय है:
(A) {1, 2, 3, 5, 7, 9}
(B) {1, 3, 5, 7, 9}
(C) {1, 3, 5, 7, 9, 11}
(D) {3, 5, 7, 9}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Main 2016
🔷 प्रश्न 18. यदि A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(B) { }
(C) {5}
(D) {2, 4}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Main 2015
🔷 प्रश्न 19. यदि n(U) = 100, n(A) = 60, n(B) = 50, और n(A ∩ B) = 30, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 80
(B) 100
(C) 60
(D) 70
✅ उत्तर: (A) 80
📅 वर्ष: JEE Main 2014
🔷 प्रश्न 20. यदि A = {x : x एक अभाज्य संख्या ≤ 10}, B = {2, 3, 5}, तो A – B = ?
(A) ∅
(B) {7}
(C) {1, 7}
(D) {9}
✅ उत्तर: (B) {7}
📅 वर्ष: JEE Main 2013
🔷 प्रश्न 21. एक समुच्चय के 6 अवयव हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या होगी:
(A) 36
(B) 64
(C) 32
(D) 128
✅ उत्तर: (B) 64
📅 वर्ष: JEE Main 2013
🔷 प्रश्न 22. यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, तो A – B = ?
(A) {1, 2}
(B) {3, 4}
(C) {2, 3}
(D) {1, 2, 3, 4}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE 2012
🔷 प्रश्न 23. यदि n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), तो यह सूत्र किस सिद्धांत का है?
(A) गणना सिद्धांत
(B) व्यंजक समुच्चय सिद्धांत
(C) समुच्चय सिद्धांत
(D) वेन आरेख सिद्धांत
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: AIEEE 2011
🔷 प्रश्न 24. यदि A = {x ∈ N : x < 5}, तो समुच्चय A है:
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {1, 2, 3, 4, 5}
(C) {0, 1, 2, 3, 4}
(D) {1, 2, 3, 5}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2010
🔷 प्रश्न 25. यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो (A ∪ B) ∩ A′ = ?
(A) A
(B) B
(C) B ∩ A′
(D) A ∩ B
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: AIEEE 2009
🔷 Q26. समुच्चय A = {x ∈ ℕ : x < 6} और B = {x ∈ ℕ : 4 ≤ x ≤ 8} हैं।
A ∩ B क्या होगा?
(A) {4, 5}
(B) {6}
(C) {5, 6}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A) {4, 5}
📅 वर्ष: AIEEE 2008
🔷 Q27. यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, और C = {2, 3, 5}, तो (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ?
(A) {2, 3}
(B) {1, 2, 3}
(C) {3}
(D) {2}
✅ उत्तर: (A) {2, 3}
📅 वर्ष: AIEEE 2007
🔷 Q28. यदि दो समुच्चय A और B ऐसे हैं कि A ∪ B = A ∩ B, तो
(A) A = B
(B) A ⊂ B
(C) B ⊂ A
(D) A ∩ B = ∅
✅ उत्तर: (A) A = B
📅 वर्ष: AIEEE 2007
🔷 Q29. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, और C = {3, 4, 5}, तो (A ∪ B) ∩ C = ?
(A) {3, 4}
(B) {3}
(C) {2, 3}
(D) {1, 2, 3, 4, 5}
✅ उत्तर: (A) {3, 4}
📅 वर्ष: AIEEE 2006
🔷 Q30. समुच्चय A के 3 तत्व हैं। इसके यथार्थ उपसमुच्चयों की संख्या होगी:
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 4
✅ उत्तर: (B) 7
📅 वर्ष: AIEEE 2005
🔷 Q31. यदि A = {x : x ∈ ℕ, x² < 30} और B = {1, 2, 3, 4}, तो A – B = ?
(A) {5}
(B) {5}
(C) {5}
(D) {5}
✅ उत्तर: (A) {5}
📅 वर्ष: AIEEE 2004
🔷 Q32. यदि A ∩ B = ∅ हो, तो A और B कहलाते हैं:
(A) उपसमुच्चय
(B) पूर्ण समुच्चय
(C) असंपृक्त (Disjoint)
(D) यथार्थ समुच्चय
✅ उत्तर: (C) असंपृक्त
📅 वर्ष: AIEEE 2003
🔷 Q33. यदि P(A) में 16 समुच्चय हैं, तो A में तत्वों की संख्या है:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
✅ उत्तर: (B) 4
📅 वर्ष: AIEEE 2003
🔷 Q34. यदि A और B समुच्चय हैं और A ∩ B = A, तो A ⊂ ?
(A) B
(B) A
(C) A ∪ B
(D) A ∩ B
✅ उत्तर: (A) B
📅 वर्ष: AIEEE 2002
🔷 Q35. A = {x : x एक अभाज्य संख्या ≤ 7}, B = {2, 3, 5}, तो A – B = ?
(A) {1}
(B) {7}
(C) {2, 3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (B) {7}
📅 वर्ष: AIEEE 2002
🔷 Q36. यदि A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6}, तो A ∪ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(B) {3, 4}
(C) {5, 6}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q37. यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, तो A × B में कुल कितने अवयव होंगे?
(A) 6
(B) 9
(C) 2
(D) 5
✅ उत्तर: (A) 6
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q38. यदि n(A ∪ B) = 45, n(A) = 25, n(B) = 20, तो n(A ∩ B) = ?
(A) 0
(B) 5
(C) 10
(D) 20
✅ उत्तर: (C) 10
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q39. यदि A = {x : x एक सम प्राकृतिक संख्या ≤ 10}, B = {2, 4, 6}, तो A ⊇ B ?
(A) सत्य
(B) असत्य
(C) निश्चित नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
✅ उत्तर: (A) सत्य
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q40. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4}, तो (A ∪ B) ∩ C = ?
(A) ∅
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2, 3}
✅ उत्तर: (C) {3}
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q41. यदि A और B ऐसे समुच्चय हैं कि A ∩ B = ∅, तो A ∪ B में कुल अवयवों की संख्या:
(A) n(A) + n(B)
(B) n(A) − n(B)
(C) n(B) − n(A)
(D) n(A ∩ B)
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q42. समुच्चय A के 0 अवयव हैं। तो इसका पावर समुच्चय है:
(A) ∅
(B) {∅}
(C) {}
(D) {0}
✅ उत्तर: (B) {∅}
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q43. यदि n(A) = 3, n(B) = 2, तो A × B में कुल अवयव होंगे:
(A) 6
(B) 3
(C) 2
(D) 5
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q44. {x ∈ ℕ : x² < 16} = ?
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {0, 1, 2, 3}
(C) {1, 2, 3}
(D) {1, 4, 9}
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q45. यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A ∩ (B ∪ A′) = ?
(A) A
(B) B
(C) ∅
(D) B ∩ A
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q46. यदि n(A) = 10, n(B) = 15, और A ∩ B = ∅, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 25
(B) 10
(C) 15
(D) 5
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q47. समुच्चय A = {x ∈ ℝ : x² − 9 = 0} है:
(A) {−3, 3}
(B) {3}
(C) {−3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q48. यदि A = {1, 2, 3}, तो A के पावर समुच्चय में ∅ समुच्चय का स्थान:
(A) एक उपसमुच्चय
(B) एक अवयव
(C) दोनों
(D) कोई नहीं
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q49. यदि दो समुच्चय A और B ऐसे हों कि A ∩ B = A, तो A ⊆ B है?
(A) सत्य
(B) असत्य
(C) आवश्यक नहीं
(D) कोई नहीं
✅ उत्तर: (A) सत्य
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q50. यदि A = {1, 2}, तो (A × A) में कुल अवयव:
(A) 4
(B) 6
(C) 2
(D) 8
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🧾 Paper 1: प्रश्न 1–17
🔷 Q1. यदि A = {x ∈ ℝ : x² < 9} और B = {x ∈ ℝ : −2 < x < 3}, तो A ∩ B क्या होगा?
(A) (−3, 3)
(B) (−2, 3)
(C) (−2, 2)
(D) (−3, 2)
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2024 | Paper 1
🔷 Q2. यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, तो A × B में कुल कितने तत्व होंगे जो पहले अवयव 2 वाले हों?
(A) 1
(B) 3
(C) 0
(D) 5
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2024 | Paper 1
🔷 Q3. A = {x : x एक पूर्ण वर्ग है ≤ 25}, B = {x : x एक विषम संख्या है ≤ 9}, A ∩ B = ?
(A) {1, 9, 25}
(B) {1, 9}
(C) {9, 25}
(D) {1, 4, 9}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2023 | Paper 1
🔷 Q4. यदि n(A) = 5, n(B) = 3, तो A × B में कुल तत्व = ?
(A) 15
(B) 8
(C) 5
(D) 3
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2022 | Paper 1
🔷 Q5. यदि n(A ∪ B) = 20, n(A) = 12, n(B) = 13, तो n(A ∩ B) = ?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 10
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2021 | Paper 1
🔷 Q6. यदि A = {x : x ∈ ℕ, x² < 50} और B = {x : x ∈ ℕ, x ≤ 7}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(C) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(D) ∅
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2020 | Paper 1
🔷 Q7. यदि A ⊂ B और n(A) = n(B), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
(A) A = B
(B) A ∩ B = ∅
(C) A ⊃ B
(D) A ∪ B = ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2019 | Paper 1
🔷 Q8. एक समुच्चय में n तत्व हैं। तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या क्या होगी?
(A) 2ⁿ
(B) 2n
(C) n²
(D) n!
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2018 | Paper 1
🔷 Q9. यदि A और B असंपृक्त समुच्चय हैं और n(A) = 4, n(B) = 3, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 7
(B) 12
(C) 1
(D) 0
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2017 | Paper 1
🔷 Q10. यदि A = {1, 2, 3}, तो A × A में ऐसे कितने अवयव हैं जिनमें दोनों अवयव बराबर हैं?
(A) 3
(B) 6
(C) 9
(D) 0
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2016 | Paper 1
🔷 Q11. यदि A = {x ∈ ℝ : x ≥ 0} और B = {x ∈ ℝ : x < 5}, तो A ∩ B = ?
(A) (0, 5)
(B) [0, 5)
(C) (−∞, 5)
(D) (−∞, ∞)
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2015 | Paper 1
🔷 Q12. यदि दो समुच्चय A और B ऐसे हों कि A ∪ B = A, तो B ⊂ ?
(A) A
(B) ∅
(C) B
(D) A ∩ B
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2014 | Paper 1
🔷 Q13. यदि A = {x : x ∈ ℕ, x ≤ 10}, और B = {x ∈ ℕ : x सम है}, तो A ∩ B = ?
(A) {2, 4, 6, 8, 10}
(B) {1, 3, 5, 7, 9}
(C) ∅
(D) {2, 4, 6, 8}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2013 | Paper 1
🔷 Q14. यदि दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन शून्य समुच्चय हो, तो A और B:
(A) समान हैं
(B) अलग हैं
(C) असंपृक्त हैं
(D) इनमें से कोई नहीं
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2012 | Paper 1
🔷 Q15. यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × B = ?
(A) {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
(B) {(3,1), (4,1), (3,2), (4,2)}
(C) {(1,2), (3,4)}
(D) {(2,1), (4,3)}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2011 | Paper 1
🔷 Q16. यदि A में n तत्व हों और B में m तत्व हों, तो A × B में कुल n × m अवयव होंगे। यदि n = 2, m = 3, तो अवयवों की संख्या = ?
(A) 5
(B) 6
(C) 4
(D) 3
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2010 | Paper 1
🔷 Q17. यदि A = {1, 2, 3} हो, तो पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या:
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2009 | Paper 1
🧾 Paper 2: प्रश्न 18–34
🔷 Q18. यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2}
(B) {3, 4}
(C) ∅
(D) {5, 6}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2024 | Paper 2
🔷 Q19. यदि A = {x ∈ ℤ : x² < 16} हो, तो A = ?
(A) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
(B) {1, 2, 3}
(C) {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
(D) {−5, 5}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2023 | Paper 2
🔷 Q20. यदि A = {2, 3}, B = {4, 5}, तो (A × B) ∩ (B × A) = ?
(A) ∅
(B) {(2, 4)}
(C) {(4, 2)}
(D) {(3, 5)}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2022 | Paper 2
🔷 Q21. यदि n(A) = 5 हो, तो A का पावर समुच्चय में कितने अवयव होंगे?
(A) 25
(B) 10
(C) 32
(D) 20
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2021 | Paper 2
🔷 Q22. यदि A = {x ∈ ℝ : x² − 4x + 3 = 0}, तो A = ?
(A) {1, 3}
(B) {−1, −3}
(C) {2, 3}
(D) {3, 4}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2020 | Paper 2
🔷 Q23. {x ∈ ℕ : x² < 20} = ?
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {1, 2, 3, 4}
(C) {1, 2, 3}
(D) {1, 2, 3, 4}
✅ उत्तर: (D)
📅 वर्ष: JEE Adv 2019 | Paper 2
🔷 Q24. यदि A = {x : x ∈ ℝ, x > 2}, B = {x : x ∈ ℝ, x < 4}, तो A ∩ B = ?
(A) (2, 4)
(B) (−∞, ∞)
(C) ∅
(D) [2, 4)
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2018 | Paper 2
🔷 Q25. यदि A = {a, b}, B = {c, d}, तो A × B में कितने अवयव होंगे?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2017 | Paper 2
🔷 Q26. यदि n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), और n(A) = 10, n(B) = 12, n(A ∩ B) = 4, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 18
(B) 16
(C) 20
(D) 14
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2016 | Paper 2
🔷 Q27. यदि A = {1, 2, 3} और B = {3, 4, 5}, तो A ∪ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5}
(B) {3}
(C) {1, 2, 3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2015 | Paper 2
🔷 Q28. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2, 3}
(B) {2}
(C) ∅
(D) {1}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2014 | Paper 2
🔷 Q29. यदि A = {x ∈ ℝ : x ≥ 0} और B = {x ∈ ℝ : x ≤ 0}, तो A ∩ B = ?
(A) {0}
(B) ℝ
(C) ∅
(D) ℕ
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2013 | Paper 2
🔷 Q30. यदि A = {2, 4, 6}, तो A का पावर समुच्चय में कितने अवयव होंगे?
(A) 6
(B) 8
(C) 7
(D) 9
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2012 | Paper 2
🔷 Q31. यदि n(A) = 3, तो A के उपसमुच्चयों की संख्या:
(A) 6
(B) 8
(C) 7
(D) 9
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2011 | Paper 2
🔷 Q32. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, तो A ∩ B = ?
(A) {1}
(B) {2, 3}
(C) {3, 4}
(D) {1, 2}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2010 | Paper 2
🔷 Q33. यदि A = {1, 3, 5}, और B = {2, 3, 6}, तो A ∩ B = ?
(A) {3}
(B) ∅
(C) {1, 3}
(D) {5, 6}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2009 | Paper 2
🔷 Q34. यदि n(P(A)) = 8, तो n(A) = ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2008 | Paper 2
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