Class 11 : Maths (In Hindi) – Lesson 1. समुच्चय
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔷 अध्याय: समुच्चय — विस्तृत व्याख्या (≈1700 शब्द)
🔶 1. समुच्चय की भूमिका
गणित में समुच्चय (Set) की संकल्पना एक अत्यंत मूलभूत अवधारणा है।
समुच्चय का अर्थ है — वस्तुओं का एक ऐसा सुस्पष्ट (well-defined) और भिन्न (distinct) समूह जिसे एकक इकाई (single entity) के रूप में माना जाता है।
उदाहरण:
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय: {1, 2, 3, 4, …}
अंग्रेज़ी वर्णमाला के स्वरों का समुच्चय: {a, e, i, o, u}
सुस्पष्टता का तात्पर्य यह है कि किसी भी वस्तु के समुच्चय का सदस्य होने या न होने में कोई अस्पष्टता न हो।
🔶 2. समुच्चयों का निरूपण
समुच्चयों को मुख्यतः दो विधियों से दर्शाया जाता है:
(a) सूची पद्धति (Roster Form):
समुच्चय के सभी अवयवों को कॉमा द्वारा पृथक कर और कुंडली कोष्ठकों { } में लिखते हैं।
उदाहरण: A = {2, 4, 6, 8}
(b) विधिक पद्धति (Set-Builder Form):
इसमें समुच्चय के अवयवों के लिए कोई सामान्य नियम या गुण लिखा जाता है।
उदाहरण: A = {x : x एक सम प्राकृतिक संख्या है जो 10 से छोटी है}
🔶 3. समुच्चयों के प्रकार
रिक्त समुच्चय (Empty Set/Null Set):
जिसमें कोई भी अवयव नहीं होता।
संकेत: ∅ या { }
उदाहरण: {x ∈ ℕ : x विषम संख्या हो जो 2 से विभाज्य हो}
सीमित और असीमित समुच्चय:
सीमित: जिनके अवयवों की संख्या गिनने योग्य हो।
उदाहरण: {1, 2, 3, 4}
असीमित: जिनके अवयव अनगिनत हों।
उदाहरण: सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
समान समुच्चय (Equal Sets):
यदि दो समुच्चयों के सभी अवयव समान हों
उदाहरण: A = {1, 2}, B = {2, 1}
समतुल्य समुच्चय (Equivalent Sets):
जिनमें अवयवों की संख्या समान हो
उदाहरण: A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}
एकतत्वीय समुच्चय (Singleton Set):
जिसमें केवल एक अवयव हो
उदाहरण: A = {5}
उपसमुच्चय (Subset):
A ⊆ B ⇨ A का प्रत्येक अवयव B में हो।
विशेष उपसमुच्चय (Proper Subset):
A ⊂ B ⇨ A ⊆ B हो लेकिन A ≠ B
घातांक समुच्चय (Power Set):
किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय
यदि A में n अवयव हों तो P(A) में 2ⁿ अवयव होंगे
सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set):
वह समुच्चय जिसमें वर्तमान चर्चा के सभी अवयव हों
संकेत: U
पूरक समुच्चय (Complement Set):
U में वे अवयव जो A में नहीं हों
संकेत: A′ या Aᶜ
🔶 4. वेन आरेख (Venn Diagrams)
वेन आरेख समुच्चयों का चित्रात्मक निरूपण होता है, जिसमें समुच्चयों को वृत्तों द्वारा और सार्वत्रिक समुच्चय को एक आयत द्वारा दर्शाते हैं।
साझा क्षेत्र = छेद (Intersection)
पूर्ण संयुक्त क्षेत्र = संघ (Union)
बाहरी क्षेत्र = पूरक (Complement)
🔶 5. समुच्चयों पर संक्रियाएँ
संघ संक्रिया (Union – A ∪ B):
A या B या दोनों में जो अवयव हों
उदाहरण: A = {1, 2}, B = {2, 3} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3}
छेद संक्रिया (Intersection – A ∩ B):
A और B दोनों में जो अवयव हों
उदाहरण: A ∩ B = {2}
अंतर संक्रिया (Difference – A − B):
A में वे अवयव जो B में नहीं हैं
उदाहरण: A − B = {1}
पूरक संक्रिया (Complement – A′):
U में वे अवयव जो A में नहीं हैं
🔶 6. संक्रियाओं के गुण
संघ के गुण:
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A (समांक गुण – Commutative)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (सहसंगी गुण – Associative)
A ∪ U = U
छेद के गुण:
A ∩ ∅ = ∅
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ U = A
वितरण नियम (Distributive Laws):
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
🔶 7. पूरक नियम (Complement Laws)
A ∪ A′ = U
A ∩ A′ = ∅
(A′)′ = A
U′ = ∅
∅′ = U
🔶 8. डी मॉर्गन के नियम (De Morgan’s Laws)
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
✔ ये नियम पूरक संक्रियाओं को सरल करने हेतु अत्यंत उपयोगी हैं।
🔶 9. संघ एवं छेद पर आधारित व्यावहारिक समस्याएँ
यदि A और B सीमित समुच्चय हैं तो:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
तीन समुच्चयों के लिए:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
✔ इस प्रकार के सूत्र सर्वेक्षण एवं आँकड़ों की गणना में सहायक होते हैं।
🔶 10. परिमाणता (Cardinality)
किसी समुच्चय में अवयवों की संख्या को परिमाणता कहते हैं
संकेत: n(A)
उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} ⇒ n(A) = 3
🔶 11. समुच्चयों के अनुप्रयोग
समुच्चयों का प्रयोग गणित के अनेक क्षेत्रों में होता है, जैसे:
प्रायिकता (Probability): घटनाओं को समुच्चयों के रूप में परिभाषित किया जाता है
संबंध एवं फलन (Relations and Functions): क्रमिक युग्मों के समुच्चय
संगणक विज्ञान (Computer Science): डेटा संरचना
तार्किक विवेचन (Logic): वाक्यों को समुच्चयों में परिवर्तित कर विश्लेषण
सर्वेक्षण (Surveys): विभिन्न वर्गों में वर्गीकरण
✅ सारांश (≈300 शब्दों में)
यह अध्याय “समुच्चय” गणित की एक मूल अवधारणा प्रस्तुत करता है, जिसमें वस्तुओं के एक सुस्पष्ट समूह को एक इकाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसमें समुच्चयों का निरूपण सूची तथा विधिक पद्धति द्वारा किया जाता है।
इसमें विभिन्न प्रकार के समुच्चय जैसे कि रिक्त, सीमित, असीमित, एकतत्वीय, समान, समतुल्य, उपसमुच्चय, घातांक समुच्चय, सार्वत्रिक एवं पूरक समुच्चय की विस्तार से व्याख्या दी गई है।
समुच्चयों पर की जाने वाली चार प्रमुख संक्रियाएँ — संघ, छेद, अंतर, और पूरक — को स्पष्ट किया गया है।
वेन आरेख द्वारा इन संक्रियाओं का चित्रात्मक निरूपण भी समझाया गया है।
इसके अतिरिक्त, इस अध्याय में संक्रियाओं के गुण जैसे कि समांक, सहसंगी, पहचानत्मक, तथा वितरणीय गुण दिए गए हैं।
डी मॉर्गन के नियम पूरक संक्रियाओं को सरल करने में अत्यंत सहायक सिद्ध होते हैं।
संघ एवं छेद पर आधारित व्यावहारिक समस्याएँ जैसे कि
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
जैसे सूत्रों द्वारा वास्तविक जीवन की समस्याएँ हल की जाती हैं।
अंत में, परिमाणता (n(A)) के माध्यम से समुच्चयों में अवयवों की संख्या ज्ञात की जाती है।
इस प्रकार समुच्चयों की अवधारणा गणित, संगणन, तर्क, प्रायिकता और दैनिक जीवन में अत्यंत उपयोगी सिद्ध होती है।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🔷 प्रश्न 1.
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन-कौन से एक-दूसरे के उपसमुच्चय हैं, यह निर्धारित कीजिए:
A = {x : x ∈ ℝ और x समीकरण x² − 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करता है},
B = {2, 4, 6},
C = {2, 4, 6, 8, …},
D = {∅}
✅ उत्तर:
📌 चरण 1:
प्रश्न में दिया गया समीकरण हल कीजिए:
x² − 8x + 12 = 0
⇒ (x − 6)(x − 2) = 0
⇒ x = 2, 6
∴ A = {2, 6}
📌 चरण 2: समुच्चयों को पुनः लिखें:
A = {2, 6}
B = {2, 4, 6}
C = {2, 4, 6, 8, 10, …} (सभी सम प्राकृतिक संख्याएँ ≥ 2)
D = {∅} (रिक्त समुच्चय को युक्त एकल समुच्चय)
📌 चरण 3: उपसमुच्चय जाँचें:
A ⊆ B ✅ (क्योंकि 2, 6 ∈ B)
A ⊆ C ✅ (क्योंकि 2, 6 ∈ C)
B ⊆ C ✅ (क्योंकि 2, 4, 6 ∈ C)
∅ ⊆ A ✅ (रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है)
D ⊆ A, B या C ❌ (क्योंकि ∅ ∉ A, B या C)
🔷 प्रश्न 2.
प्रत्येक निम्न कथन के सत्य या असत्य का निर्धारण कीजिए। यदि सत्य हो तो प्रमाण दीजिए, अन्यथा एक उदाहरण दीजिए।
(i) यदि x ∈ A और A ⊆ B, तो x ∈ B
(ii) यदि A ⊆ B और B ∈ C, तो A ∈ C
(iii) यदि A ⊂ B और B ⊂ C, तो A ⊂ C
(iv) यदि A ⊂ B और B ⊈ C, तो A ⊂ C
(v) यदि x ∈ A और A ⊈ B, तो x ∈ B
(vi) यदि A ⊂ B और x ∉ B, तो x ∉ A
✅ उत्तर:
(i) ✅ सत्य –
A ⊆ B होने पर A का हर तत्त्व B में भी होगा।
यदि x ∈ A, तो x ∈ B
(ii) ❌ असत्य –
उदाहरण:
A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}}
यहाँ A ⊆ B और B ∈ C है, परंतु A ∉ C
(iii) ✅ सत्य –
यदि A ⊂ B और B ⊂ C, तो स्पष्ट रूप से A ⊂ C
(सुपरिवर्तनीय गुण)
(iv) ❌ असत्य –
उदाहरण:
A = {1}, B = {1, 2}, C = {3, 4}
A ⊂ B और B ⊈ C है, परंतु A ⊂ C ❌ (क्योंकि 1 ∉ C)
(v) ❌ असत्य –
उदाहरण:
A = {1}, B = {2, 3}
⇒ A ⊈ B और 1 ∉ B
(vi) ✅ सत्य –
यदि x ∉ B और A ⊂ B, तो x ∉ A
(क्योंकि A में केवल B के तत्त्व ही होते हैं)
🔷 प्रश्न 3.
यदि A ∪ B = A ∪ C और A ∩ B = A ∩ C हो, तो सिद्ध कीजिए कि B = C
✅ उत्तर:
हमें दिया गया है:
A ∪ B = A ∪ C …(1)
A ∩ B = A ∩ C …(2)
हमें सिद्ध करना है: B = C
📌 मान लीजिए x ∈ B
🔹 स्थिति 1: x ∈ A
⇒ x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∩ C ⇒ x ∈ C
🔹 स्थिति 2: x ∉ A
⇒ x ∈ B लेकिन A में नहीं ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∪ C
चूंकि x ∉ A ⇒ x ∈ C
∴ x ∈ B ⇒ x ∈ C ⇒ B ⊆ C
अब समान प्रक्रिया से:
x ∈ C ⇒ x ∈ B ⇒ C ⊆ B
∴ B = C
🔷 प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित चार कथन समतुल्य हैं:
(i) A ⊆ B
(ii) A − B = ∅
(iii) A ∪ B = B
(iv) A ∩ B = A
✅ उत्तर:
(i) ⇒ (ii):
यदि A ⊆ B, तो A में कोई भी तत्त्व ऐसा नहीं होगा जो B में न हो
⇒ A − B = ∅
(ii) ⇒ (iii):
यदि A − B = ∅, तो A के सभी तत्त्व B में होंगे
⇒ A ∪ B = B
(iii) ⇒ (iv):
A ∪ B = B ⇒ A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A
(iv) ⇒ (i):
A ∩ B = A ⇒ सभी तत्त्व A के, B में हैं
⇒ A ⊆ B
∴ सभी कथन एक-दूसरे के समतुल्य हैं।
🔷 प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि यदि A ⊆ B हो, तो C − B ⊆ C − A
✅ उत्तर:
📌 मान लीजिए x ∈ C − B
⇒ x ∈ C और x ∉ B
अब चूंकि A ⊆ B है ⇒ A के हर तत्त्व B में होगा
⇒ यदि x ∉ B ⇒ x ∉ A
⇒ x ∈ C और x ∉ A ⇒ x ∈ C − A
∴ x ∈ C − A ⇒ C − B ⊆ C − A
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🔷 प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए:
A = (A ∩ B) ∪ (A − B) तथा A ∪ (B − A) = A ∪ B
📌 उत्तर:
प्रथम:
माना x ∈ A
⇒ या तो x ∈ B या x ∉ B
→ यदि x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B
→ यदि x ∉ B ⇒ x ∈ A − B
⇒ ∴ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A − B)
∴ A ⊆ (A ∩ B) ∪ (A − B)
अब, यदि x ∈ (A ∩ B) ∪ (A − B)
⇒ x ∈ A
∴ (A ∩ B) ∪ (A − B) ⊆ A
अतः A = (A ∩ B) ∪ (A − B)
द्वितीय:
माना x ∈ A ∪ (B − A)
⇒ या तो x ∈ A या x ∈ B − A
→ दोनों ही दशाओं में x ∈ A ∪ B
∴ A ∪ (B − A) ⊆ A ∪ B
अब, यदि x ∈ A ∪ B
→ यदि x ∈ A, तो x ∈ A ∪ (B − A)
→ यदि x ∈ B परंतु x ∉ A ⇒ x ∈ B − A
⇒ ∴ x ∈ A ∪ (B − A)
∴ A ∪ B ⊆ A ∪ (B − A)
इस प्रकार सिद्ध हुआ:
A = (A ∩ B) ∪ (A − B)
A ∪ (B − A) = A ∪ B
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🔷 प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:
(i) A ∪ (A ∩ B) = A
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A
📌 उत्तर:
(i) A ∪ (A ∩ B) = A
→ अवशोषण गुण (Absorption Law) द्वारा
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A
→ अवशोषण गुण द्वारा
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🔷 प्रश्न 8.
दिखाइए कि A ∩ B = A ∩ C का तात्पर्य यह नहीं होता कि B = C
📌 उत्तर:
विपरीत उदाहरण लें:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 4}
तब,
A ∩ B = {1, 2}
A ∩ C = {1, 2}
⇒ A ∩ B = A ∩ C
परंतु B ≠ C
अतः A ∩ B = A ∩ C होने पर B = C आवश्यक नहीं।
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🔷 प्रश्न 9.
माना A एवं B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X के लिए
A ∩ X = B ∩ X तथा A ∪ X = B ∪ X,
तो सिद्ध कीजिए कि A = B
(संकेंत: वितरण नियम का प्रयोग करें)
📌 उत्तर:
X = A ∪ B रखने पर:
A = A ∩ (A ∪ B) = B ∩ (A ∪ B)
⇒ A ⊆ B
X = A ∩ B रखने पर:
A = A ∪ (A ∩ B) = B ∪ (A ∩ B)
⇒ B ⊆ A
अतः A = B
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🔷 प्रश्न 10.
ऐसे समुच्चय A, B एवं C ज्ञात कीजिए ताकि
A ∩ B ≠ ∅, B ∩ C ≠ ∅, A ∩ C ≠ ∅
लेकिन A ∩ B ∩ C = ∅ हो।
📌 उत्तर:
उदाहरण:
A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}
A ∩ B = {2} ≠ ∅
B ∩ C = {3} ≠ ∅
A ∩ C = {1} ≠ ∅
परंतु A ∩ B ∩ C = ∅
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।
🔹 Q1. किसी 4 अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या क्या होगी?
(A) 16
(B) 8
(C) 4
(D) 32
✅ उत्तर: (A) 16
🔹 Q2. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, तो A ∪ B =
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {2, 3}
(C) {1, 2}
(D) {1, 4}
✅ उत्तर: (A) {1, 2, 3, 4}
🔹 Q3. निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय सीमित (finite) है?
(A) सभी तारों का समुच्चय
(B) सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
(C) 20 से कम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(D) रेखा पर सभी बिंदुओं का समुच्चय
✅ उत्तर: (C) 20 से कम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
🔹 Q4. निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय रिक्त (empty) है?
(A) {x ∈ N : x < 5}
(B) {x ∈ N : x < 0}
(C) {x ∈ Z : x² = 1}
(D) {x ∈ R : x = x}
✅ उत्तर: (B) {x ∈ N : x < 0}
🔹 Q5. यदि A = {1, 2}, तो P(A) (पावर सेट) होगा:
(A) {{1}, {2}}
(B) {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
(C) {{∅}, {1, 2}}
(D) {1, 2, ∅}
✅ उत्तर: (B) {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
🔹 Q6. यदि A = {x : x² = 9}, तो A =
(A) {0, 3}
(B) {−3, 3}
(C) {3}
(D) {−3}
✅ उत्तर: (B) {−3, 3}
🔹 Q7. यदि A ∩ B = ∅ हो, तो A और B को कहा जाएगा:
(A) रिक्त समुच्चय
(B) असंगत समुच्चय
(C) बराबर समुच्चय
(D) उपसमुच्चय
✅ उत्तर: (B) असंगत समुच्चय
🔹 Q8. यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A − {3, 4} =
(A) {3, 4}
(B) {1, 2}
(C) {1, 2, 3}
(D) {1, 2, 4}
✅ उत्तर: (B) {1, 2}
🔹 Q9. यदि A ⊆ B, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सदैव सत्य है?
(A) A − B = A
(B) A ∪ B = A
(C) A ∩ B = A
(D) B − A = B
✅ उत्तर: (C) A ∩ B = A
🔹 Q10. यदि A और B दो समुच्चय हों और A − B = ∅ हो, तो
(A) A ⊂ B
(B) A ⊆ B
(C) B ⊆ A
(D) A = ∅
✅ उत्तर: (B) A ⊆ B
🔹 Q11. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन गलत है?
(A) ∅ ⊆ A
(B) A ⊆ A
(C) A ⊆ ∅
(D) A ⊆ U
✅ उत्तर: (C) A ⊆ ∅
🔹 Q12. यदि A ∪ B = B, तो A ⊆ B है:
(A) सही
(B) गलत
(C) आवश्यक नहीं
(D) ∅
✅ उत्तर: (A) सही
🔹 Q13. किसी समुच्चय A के 3 अवयव हैं, तो P(A) में कुल अवयव होंगे:
(A) 6
(B) 8
(C) 3
(D) 9
✅ उत्तर: (B) 8
🔹 Q14. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, तो A ∩ B =
(A) {1}
(B) {2}
(C) {3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (B) {2}
🔹 Q15. निम्नलिखित में से कौन-सा समुच्चय सार्वत्रिक (universal) समुच्चय हो सकता है?
(A) N
(B) Z
(C) R
(D) दिया गया प्रसंग
✅ उत्तर: (D) दिया गया प्रसंग
🔹 Q16. यदि x ∈ A और A ⊆ B, तो
(A) x ∈ B
(B) x ∉ B
(C) x ∈ A − B
(D) x ∉ A
✅ उत्तर: (A) x ∈ B
🔹 Q17. यदि A ⊆ B और B ⊆ C, तो:
(A) A ⊆ C
(B) C ⊆ A
(C) A ∩ C = B
(D) A = B
✅ उत्तर: (A) A ⊆ C
🔹 Q18. यदि A = {x : x एक सम संख्या है}, तो A को व्यक्त कर सकते हैं:
(A) {2, 4, 6, …}
(B) {1, 3, 5, …}
(C) {0, 2, 4, …}
(D) {1, 2, 3, …}
✅ उत्तर: (A) {2, 4, 6, …}
🔹 Q19. यदि A = {x ∈ Z : −3 < x < 7} और B = {x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 5}, तो
(i) A ∩ B ज्ञात कीजिए
(ii) A ∪ B ज्ञात कीजिए
✅ उत्तर:
(i)
📌 A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
📌 B = {1, 2, 3, 4, 5}
📌 A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii)
📌 A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
🔹 Q20. यदि A = {a, b, c, d}, B = {b, d, e}, और C = {a, c, e}, तो
(i) A ∩ (B ∪ C) ज्ञात कीजिए
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ज्ञात कीजिए
✅ उत्तर:
(i)
📌 B ∪ C = {a, b, c, d, e}
📌 A ∩ (B ∪ C) = {a, b, c, d} = A
(ii)
📌 A ∩ B = {b, d}, A ∩ C = {a, c}
📌 (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {a, b, c, d} = A
🔹 Q21. यदि A ⊆ B और C कोई भी समुच्चय हो, तो सिद्ध कीजिए:
A ∩ C ⊆ B ∩ C
✅ उत्तर:
📌 दिया गया है: A ⊆ B
इसका अर्थ है कि हर x ∈ A ⇒ x ∈ B
अब, यदि x ∈ A ∩ C
⇒ x ∈ A और x ∈ C
⇒ x ∈ B (क्योंकि A ⊆ B)
⇒ x ∈ B ∩ C
इसलिए A ∩ C ⊆ B ∩ C ✔
🔹 Q22. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 2, 3}, तो
(i) (A − B) ∩ C ज्ञात कीजिए
(ii) A ∩ (B − C) ज्ञात कीजिए
✅ उत्तर:
(i)
📌 A − B = {1, 3, 5}
📌 (A − B) ∩ C = {1, 3}
(ii)
📌 B − C = {4, 6}
📌 A ∩ (B − C) = {4}
🔹 Q23. सिद्ध कीजिए:
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)
✅ उत्तर:
📌 हम प्रमेय सिद्ध करेंगे:
LHS: A − (B ∪ C)
= {x ∈ A : x ∉ B ∪ C}
= {x ∈ A : x ∉ B और x ∉ C}
⇒ x ∈ A और x ∉ B और x ∉ C
⇒ x ∈ (A − B) और x ∈ (A − C)
⇒ x ∈ (A − B) ∩ (A − C) = RHS ✔
इसलिए, सिद्ध हुआ कि
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)
🔹 Q24. यदि A = {x ∈ N : x < 10} और B = {x ∈ N : 5 ≤ x ≤ 15},
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A ∪ B
(ii) A ∩ B
(iii) A − B
✅ उत्तर:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
(ii) A ∩ B = {5, 6, 7, 8, 9}
(iii) A − B = {1, 2, 3, 4}
🔹 Q25. यदि U = {1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, और B = {4, 5, 6, 7},
तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A′
(ii) B′
(iii) (A ∪ B)′
✅ उत्तर:
(i) A′ = U − A = {6, 7, 8, 9, 10}
(ii) B′ = U − B = {1, 2, 3, 8, 9, 10}
(iii) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
⇒ (A ∪ B)′ = {8, 9, 10}
🔹 Q26. यदि A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12}, और C = {5, 6, 7, 8},
तो सिद्ध कीजिए कि:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
✅ उत्तर:
A ∩ B = {6}
(A ∩ B) ∩ C = {6} ∩ {5, 6, 7, 8} = {6}
B ∩ C = {6}
A ∩ (B ∩ C) = A ∩ {6} = {6}
∴ दोनों ओर {6} हैं
⇒ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ✔
🔹 Q27. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, और C = {3, 4, 5},
तो सिद्ध कीजिए:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
✅ उत्तर:
B ∩ C = {3, 4}
A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4}
∴ दोनों ओर समान हैं
⇒ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ✔
🔹 Q28. यदि A = {2, 3, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, और C = {4, 5, 6, 7},
तो ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ (B ∪ C)
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
✅ उत्तर:
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ (B ∪ C) = {3, 5}
A ∩ B = {3, 5}
A ∩ C = {5}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {3, 5}
∴ दोनों भागों का उत्तर समान
⇒ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
🔹 Q29. एक सर्वसमुच्चय U = {1, 2, 3, …, 15} दिया गया है।
A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 4, 5, 6}, और C = {4, 5, 6, 7, 8}
प्रश्न:
(i) (A ∪ B) ∩ C
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(iii) A′ ∩ B′
(iv) (A ∪ B ∪ C)′
✅ उत्तर:
(i) A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
⇒ (A ∪ B) ∩ C = {4, 5, 6, 8}
(ii) A ∩ B = {4, 6}
A ∩ C = {4, 6, 8}
⇒ {4, 6} ∪ {4, 6, 8} = {4, 6, 8}
(iii) A′ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
B′ = {1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
⇒ A′ ∩ B′ = {1, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
(iv) A ∪ B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
⇒ (A ∪ B ∪ C)′ = {1, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
🔹 Q30. एक विद्यालय में 150 विद्यार्थियों ने गणित (M), भौतिकी (P) और रसायन (C) में से कोई एक या अधिक विषय लिए।
दिए गए आँकड़े:
50 ने गणित लिया
60 ने भौतिकी लिया
70 ने रसायन लिया
30 ने गणित और भौतिकी दोनों लिए
35 ने भौतिकी और रसायन दोनों लिए
25 ने गणित और रसायन दोनों लिए
10 ने तीनों विषय लिए
प्रश्न: कितने विद्यार्थियों ने
(i) केवल गणित लिया?
(ii) केवल भौतिकी लिया?
(iii) केवल रसायन लिया?
(iv) केवल दो विषय लिए?
✅ उत्तर:
संकल्पना: वेन आरेख या सूत्र का उपयोग करेंगे।
कुल: 150
M ∩ P ∩ C = 10
(i) केवल गणित = M − (M ∩ P) − (M ∩ C) + (M ∩ P ∩ C)
= 50 − 30 − 25 + 10 = 5
(ii) केवल भौतिकी = P − (P ∩ M) − (P ∩ C) + (M ∩ P ∩ C)
= 60 − 30 − 35 + 10 = 5
(iii) केवल रसायन = C − (C ∩ M) − (C ∩ P) + (M ∩ P ∩ C)
= 70 − 25 − 35 + 10 = 20
(iv) केवल दो विषय:
(M ∩ P) − (M ∩ P ∩ C) = 30 − 10 = 20
(P ∩ C) − (M ∩ P ∩ C) = 35 − 10 = 25
(M ∩ C) − (M ∩ P ∩ C) = 25 − 10 = 15
⇒ योग = 20 + 25 + 15 = 60
🔹 Q31. सिद्ध कीजिए कि:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B′) = A
✅ उत्तर:
R.H.S. = A
L.H.S. = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B′)
Venn diagram विधि या विश्लेषण द्वारा:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B′)
= A ∪ (B ∩ B′)
[∵ Distributive Law]
परंतु B ∩ B′ = ∅
⇒ A ∪ ∅ = A
∴ L.H.S. = A = R.H.S. ✔
🔹 Q32. यदि A = {x ∈ N : x ≤ 10}, B = {x ∈ N : x > 3}, और C = {x ∈ N : x < 6},
तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ (B ∪ C)
(ii) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(iii) A ∩ (B ∩ C)
✅ उत्तर:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
(i) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
⇒ A ∩ (B ∪ C) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(ii) A ∩ B = {4,5,6,7,8,9,10}
A ∩ C = {1,2,3,4,5}
⇒ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(iii) B ∩ C = {4,5}
A ∩ (B ∩ C) = {4,5}
🔹 Q33. यदि A = {x : x ∈ Z और x² ≤ 4},
तो A का पॉवर सेट ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर:
x² ≤ 4 ⇒ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}
⇒ A = {−2, −1, 0, 1, 2}
अब, पॉवर सेट A का वह समुच्चय होता है जिसमें A के सभी उपसमुच्चय शामिल हों।
A में 5 तत्त्व हैं ⇒ उपसमुच्चय की संख्या = 2⁵ = 32
∴ पॉवर सेट में कुल 32 तत्त्व होंगे।
(यदि आवश्यक हो तो सभी उपसमुच्चय सूचीबद्ध किए जा सकते हैं।)
🔹 Q34. सिद्ध कीजिए कि:
(A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
✅ उत्तर:
L.H.S. = (A − B) ∪ (B − A)
R.H.S. = (A ∪ B) − (A ∩ B)
🔷 (A − B): वे तत्त्व जो A में हैं पर B में नहीं
🔷 (B − A): वे तत्त्व जो B में हैं पर A में नहीं
⇒ उनका योग = वे तत्त्व जो केवल A या केवल B में हैं (common नहीं)
🔷 R.H.S.: (A ∪ B) − (A ∩ B)
⇒ सारे तत्त्व जो A या B में हैं, लेकिन common नहीं हैं
∴ दोनों पक्ष एक ही तत्त्वों के समुच्चय को दर्शाते हैं
⇒ सिद्ध हुआ ✔
🔹 Q35. यदि P(A) = 16 और P(B) = 8,
तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) A में तत्त्वों की संख्या
(ii) B में तत्त्वों की संख्या
(iii) A × B में तत्त्वों की संख्या
✅ उत्तर:
(i) यदि P(A) = 2ⁿ = 16 ⇒ 2ⁿ = 16 ⇒ n = 4
⇒ A में 4 तत्त्व हैं
(ii) P(B) = 2ᵐ = 8 ⇒ 2ᵐ = 8 ⇒ m = 3
⇒ B में 3 तत्त्व हैं
(iii) A × B में कुल तत्त्व = n × m = 4 × 3 = 12
🔹 Q36. यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5},
तो A × B और B × A को सूचीबद्ध करें। क्या A × B = B × A?
✅ उत्तर:
A × B =
{(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}
B × A =
{(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)}
स्पष्टतः, A × B ≠ B × A
क्योंकि क्रम बदला गया है और क्रम matters करता है।
🔹 Q37. यदि A और B कोई दो समुच्चय हैं और A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B},
तो (i) यदि A में 3 तत्त्व और B में 4 तत्त्व हैं, तो A × B में कितने तत्त्व होंगे?
(ii) क्या A × B और B × A एक ही समुच्चय होंगे?
✅ उत्तर:
(i) A में 3 तत्त्व, B में 4 तत्त्व ⇒ A × B में 3 × 4 = 12 तत्त्व
(ii) A × B और B × A समान नहीं होते
क्योंकि (a, b) ≠ (b, a) जब तक a = b न हो
∴ दोनों समुच्चय अलग होते हैं
🔹 Q38. यदि A = {a, b} और B = {1, 2},
तो (i) A × B का कार्टेशियन गुणनफल ज्ञात कीजिए
(ii) इसका पावर सेट (P(A × B)) ज्ञात कीजिए
(iii) कुल कितने उपसमुच्चय होंगे?
✅ उत्तर:
(i) A × B =
{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}
⇒ कुल 4 तत्त्व
(ii) P(A × B) = पावर सेट = A × B के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय
⇒ कुल उपसमुच्चय = 2⁴ = 16
(iii) ∴ 16 उपसमुच्चय होंगे
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔷 प्रश्न 1. यदि A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4, 6} हैं, तो n(A ∪ B) का मान क्या होगा?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
✅ उत्तर: (C) 7
📅 वर्ष: JEE Main 2025 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 2. यदि दो समुच्चय A एवं B ऐसे हैं कि n(A) = 10, n(B) = 5, और n(A ∩ B) = 2, तो n(A ∪ B) का मान है:
(A) 13
(B) 15
(C) 12
(D) 7
✅ उत्तर: (A) 13
📅 वर्ष: JEE Main 2025 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 3. यदि A ⊂ B और n(B) = 6 है, तो A में अधिकतम कितने अवयव हो सकते हैं?
(A) 5
(B) 6
(C) 4
(D) 3
✅ उत्तर: (A) 5
📅 वर्ष: JEE Main 2024 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 4. समुच्चय {1, 2, 3, 4} के उपसमुच्चयों की कुल संख्या कितनी होगी?
(A) 8
(B) 16
(C) 32
(D) 64
✅ उत्तर: (B) 16
📅 वर्ष: JEE Main 2024 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 5. यदि n(A ∪ B) = 20, n(A) = 12, और n(B) = 13, तो n(A ∩ B) = ?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
✅ उत्तर: (C) 5
📅 वर्ष: JEE Main 2023 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 6. यदि समुच्चय A के 3 अवयव हैं, तो उसके यथार्थ उपसमुच्चयों (proper subsets) की संख्या होगी:
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 5
✅ उत्तर: (B) 7
📅 वर्ष: JEE Main 2023 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 7. यदि A = {x : x प्राकृतिक संख्या है और x ≤ 5} तथा B = {2, 4, 6}, तो A ∩ B होगा:
(A) {2, 4, 6}
(B) {2, 4}
(C) {2}
(D) ∅
✅ उत्तर: (B) {2, 4}
📅 वर्ष: JEE Main 2022 (शिफ्ट 1)
🔷 प्रश्न 8. यदि A = {x : x एक सम पूर्णांक है}, B = {x : x एक अभाज्य संख्या है}, तो A ∩ B है:
(A) {2}
(B) {2, 4}
(C) {4}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A) {2}
📅 वर्ष: JEE Main 2022 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 9. यदि n(U) = 50, n(A) = 20, n(B) = 25, और n(A ∩ B) = 10, तो n((A ∪ B)′) = ?
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
✅ उत्तर: (C) 15
📅 वर्ष: JEE Main 2021
🔷 प्रश्न 10. यदि P(A) = समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो, और n(A) = 3 हो, तो n(P(A)) का मान क्या होगा?
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
✅ उत्तर: (B) 8
📅 वर्ष: JEE Main 2021 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 11. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, तो A × B होगा:
(A) {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)}
(B) {(2,1), (3,1)}
(C) {(1,2), (2,3)}
(D) {(1,1), (2,2)}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Main 2020
🔷 प्रश्न 12. यदि A, B, C समुच्चय हैं और A ⊆ B तथा B ⊆ C, तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?
(A) A ⊆ C
(B) A ∩ C = ∅
(C) A ∪ C = B
(D) C ⊆ A
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Main 2020 (शिफ्ट 2)
🔷 प्रश्न 13. यदि n(A) = 5 हो, तो P(A) में तत्वों की संख्या कितनी होगी?
(A) 10
(B) 15
(C) 32
(D) 25
✅ उत्तर: (C) 32
📅 वर्ष: JEE Main 2019
🔷 प्रश्न 14. समुच्चय {a, b, c, d} के यथार्थ उपसमुच्चयों की संख्या कितनी होगी?
(A) 15
(B) 16
(C) 8
(D) 14
✅ उत्तर: (A) 15
📅 वर्ष: JEE Main 2018
🔷 प्रश्न 15. यदि A और B दो समुच्चय हैं, और A ∪ B = A, तो B ∩ A′ = ?
(A) B
(B) ∅
(C) A
(D) A′
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Main 2018
🔷 प्रश्न 16. यदि A ⊂ B, तो कौन-सा कथन सही है?
(A) A ∩ B = A
(B) A ∪ B = A
(C) A ∩ B = B
(D) B ⊂ A
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Main 2017
🔷 प्रश्न 17. {x : x एक विषम प्राकृतिक संख्या < 10} का समुच्चय है:
(A) {1, 2, 3, 5, 7, 9}
(B) {1, 3, 5, 7, 9}
(C) {1, 3, 5, 7, 9, 11}
(D) {3, 5, 7, 9}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Main 2016
🔷 प्रश्न 18. यदि A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(B) { }
(C) {5}
(D) {2, 4}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Main 2015
🔷 प्रश्न 19. यदि n(U) = 100, n(A) = 60, n(B) = 50, और n(A ∩ B) = 30, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 80
(B) 100
(C) 60
(D) 70
✅ उत्तर: (A) 80
📅 वर्ष: JEE Main 2014
🔷 प्रश्न 20. यदि A = {x : x एक अभाज्य संख्या ≤ 10}, B = {2, 3, 5}, तो A – B = ?
(A) ∅
(B) {7}
(C) {1, 7}
(D) {9}
✅ उत्तर: (B) {7}
📅 वर्ष: JEE Main 2013
🔷 प्रश्न 21. एक समुच्चय के 6 अवयव हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या होगी:
(A) 36
(B) 64
(C) 32
(D) 128
✅ उत्तर: (B) 64
📅 वर्ष: JEE Main 2013
🔷 प्रश्न 22. यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, तो A – B = ?
(A) {1, 2}
(B) {3, 4}
(C) {2, 3}
(D) {1, 2, 3, 4}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE 2012
🔷 प्रश्न 23. यदि n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), तो यह सूत्र किस सिद्धांत का है?
(A) गणना सिद्धांत
(B) व्यंजक समुच्चय सिद्धांत
(C) समुच्चय सिद्धांत
(D) वेन आरेख सिद्धांत
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: AIEEE 2011
🔷 प्रश्न 24. यदि A = {x ∈ N : x < 5}, तो समुच्चय A है:
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {1, 2, 3, 4, 5}
(C) {0, 1, 2, 3, 4}
(D) {1, 2, 3, 5}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2010
🔷 प्रश्न 25. यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो (A ∪ B) ∩ A′ = ?
(A) A
(B) B
(C) B ∩ A′
(D) A ∩ B
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: AIEEE 2009
🔷 Q26. समुच्चय A = {x ∈ ℕ : x < 6} और B = {x ∈ ℕ : 4 ≤ x ≤ 8} हैं।
A ∩ B क्या होगा?
(A) {4, 5}
(B) {6}
(C) {5, 6}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A) {4, 5}
📅 वर्ष: AIEEE 2008
🔷 Q27. यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, और C = {2, 3, 5}, तो (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ?
(A) {2, 3}
(B) {1, 2, 3}
(C) {3}
(D) {2}
✅ उत्तर: (A) {2, 3}
📅 वर्ष: AIEEE 2007
🔷 Q28. यदि दो समुच्चय A और B ऐसे हैं कि A ∪ B = A ∩ B, तो
(A) A = B
(B) A ⊂ B
(C) B ⊂ A
(D) A ∩ B = ∅
✅ उत्तर: (A) A = B
📅 वर्ष: AIEEE 2007
🔷 Q29. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, और C = {3, 4, 5}, तो (A ∪ B) ∩ C = ?
(A) {3, 4}
(B) {3}
(C) {2, 3}
(D) {1, 2, 3, 4, 5}
✅ उत्तर: (A) {3, 4}
📅 वर्ष: AIEEE 2006
🔷 Q30. समुच्चय A के 3 तत्व हैं। इसके यथार्थ उपसमुच्चयों की संख्या होगी:
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 4
✅ उत्तर: (B) 7
📅 वर्ष: AIEEE 2005
🔷 Q31. यदि A = {x : x ∈ ℕ, x² < 30} और B = {1, 2, 3, 4}, तो A – B = ?
(A) {5}
(B) {5}
(C) {5}
(D) {5}
✅ उत्तर: (A) {5}
📅 वर्ष: AIEEE 2004
🔷 Q32. यदि A ∩ B = ∅ हो, तो A और B कहलाते हैं:
(A) उपसमुच्चय
(B) पूर्ण समुच्चय
(C) असंपृक्त (Disjoint)
(D) यथार्थ समुच्चय
✅ उत्तर: (C) असंपृक्त
📅 वर्ष: AIEEE 2003
🔷 Q33. यदि P(A) में 16 समुच्चय हैं, तो A में तत्वों की संख्या है:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
✅ उत्तर: (B) 4
📅 वर्ष: AIEEE 2003
🔷 Q34. यदि A और B समुच्चय हैं और A ∩ B = A, तो A ⊂ ?
(A) B
(B) A
(C) A ∪ B
(D) A ∩ B
✅ उत्तर: (A) B
📅 वर्ष: AIEEE 2002
🔷 Q35. A = {x : x एक अभाज्य संख्या ≤ 7}, B = {2, 3, 5}, तो A – B = ?
(A) {1}
(B) {7}
(C) {2, 3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (B) {7}
📅 वर्ष: AIEEE 2002
🔷 Q36. यदि A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6}, तो A ∪ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(B) {3, 4}
(C) {5, 6}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q37. यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, तो A × B में कुल कितने अवयव होंगे?
(A) 6
(B) 9
(C) 2
(D) 5
✅ उत्तर: (A) 6
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q38. यदि n(A ∪ B) = 45, n(A) = 25, n(B) = 20, तो n(A ∩ B) = ?
(A) 0
(B) 5
(C) 10
(D) 20
✅ उत्तर: (C) 10
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q39. यदि A = {x : x एक सम प्राकृतिक संख्या ≤ 10}, B = {2, 4, 6}, तो A ⊇ B ?
(A) सत्य
(B) असत्य
(C) निश्चित नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
✅ उत्तर: (A) सत्य
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q40. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4}, तो (A ∪ B) ∩ C = ?
(A) ∅
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2, 3}
✅ उत्तर: (C) {3}
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q41. यदि A और B ऐसे समुच्चय हैं कि A ∩ B = ∅, तो A ∪ B में कुल अवयवों की संख्या:
(A) n(A) + n(B)
(B) n(A) − n(B)
(C) n(B) − n(A)
(D) n(A ∩ B)
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q42. समुच्चय A के 0 अवयव हैं। तो इसका पावर समुच्चय है:
(A) ∅
(B) {∅}
(C) {}
(D) {0}
✅ उत्तर: (B) {∅}
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q43. यदि n(A) = 3, n(B) = 2, तो A × B में कुल अवयव होंगे:
(A) 6
(B) 3
(C) 2
(D) 5
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q44. {x ∈ ℕ : x² < 16} = ?
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {0, 1, 2, 3}
(C) {1, 2, 3}
(D) {1, 4, 9}
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q45. यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A ∩ (B ∪ A′) = ?
(A) A
(B) B
(C) ∅
(D) B ∩ A
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q46. यदि n(A) = 10, n(B) = 15, और A ∩ B = ∅, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 25
(B) 10
(C) 15
(D) 5
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q47. समुच्चय A = {x ∈ ℝ : x² − 9 = 0} है:
(A) {−3, 3}
(B) {3}
(C) {−3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q48. यदि A = {1, 2, 3}, तो A के पावर समुच्चय में ∅ समुच्चय का स्थान:
(A) एक उपसमुच्चय
(B) एक अवयव
(C) दोनों
(D) कोई नहीं
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q49. यदि दो समुच्चय A और B ऐसे हों कि A ∩ B = A, तो A ⊆ B है?
(A) सत्य
(B) असत्य
(C) आवश्यक नहीं
(D) कोई नहीं
✅ उत्तर: (A) सत्य
📅 वर्ष: AIEEE 2001
🔷 Q50. यदि A = {1, 2}, तो (A × A) में कुल अवयव:
(A) 4
(B) 6
(C) 2
(D) 8
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: AIEEE 2001
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🧾 Paper 1: प्रश्न 1–17
🔷 Q1. यदि A = {x ∈ ℝ : x² < 9} और B = {x ∈ ℝ : −2 < x < 3}, तो A ∩ B क्या होगा?
(A) (−3, 3)
(B) (−2, 3)
(C) (−2, 2)
(D) (−3, 2)
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2024 | Paper 1
🔷 Q2. यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, तो A × B में कुल कितने तत्व होंगे जो पहले अवयव 2 वाले हों?
(A) 1
(B) 3
(C) 0
(D) 5
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2024 | Paper 1
🔷 Q3. A = {x : x एक पूर्ण वर्ग है ≤ 25}, B = {x : x एक विषम संख्या है ≤ 9}, A ∩ B = ?
(A) {1, 9, 25}
(B) {1, 9}
(C) {9, 25}
(D) {1, 4, 9}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2023 | Paper 1
🔷 Q4. यदि n(A) = 5, n(B) = 3, तो A × B में कुल तत्व = ?
(A) 15
(B) 8
(C) 5
(D) 3
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2022 | Paper 1
🔷 Q5. यदि n(A ∪ B) = 20, n(A) = 12, n(B) = 13, तो n(A ∩ B) = ?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 10
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2021 | Paper 1
🔷 Q6. यदि A = {x : x ∈ ℕ, x² < 50} और B = {x : x ∈ ℕ, x ≤ 7}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(C) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(D) ∅
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2020 | Paper 1
🔷 Q7. यदि A ⊂ B और n(A) = n(B), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
(A) A = B
(B) A ∩ B = ∅
(C) A ⊃ B
(D) A ∪ B = ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2019 | Paper 1
🔷 Q8. एक समुच्चय में n तत्व हैं। तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या क्या होगी?
(A) 2ⁿ
(B) 2n
(C) n²
(D) n!
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2018 | Paper 1
🔷 Q9. यदि A और B असंपृक्त समुच्चय हैं और n(A) = 4, n(B) = 3, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 7
(B) 12
(C) 1
(D) 0
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2017 | Paper 1
🔷 Q10. यदि A = {1, 2, 3}, तो A × A में ऐसे कितने अवयव हैं जिनमें दोनों अवयव बराबर हैं?
(A) 3
(B) 6
(C) 9
(D) 0
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2016 | Paper 1
🔷 Q11. यदि A = {x ∈ ℝ : x ≥ 0} और B = {x ∈ ℝ : x < 5}, तो A ∩ B = ?
(A) (0, 5)
(B) [0, 5)
(C) (−∞, 5)
(D) (−∞, ∞)
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2015 | Paper 1
🔷 Q12. यदि दो समुच्चय A और B ऐसे हों कि A ∪ B = A, तो B ⊂ ?
(A) A
(B) ∅
(C) B
(D) A ∩ B
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2014 | Paper 1
🔷 Q13. यदि A = {x : x ∈ ℕ, x ≤ 10}, और B = {x ∈ ℕ : x सम है}, तो A ∩ B = ?
(A) {2, 4, 6, 8, 10}
(B) {1, 3, 5, 7, 9}
(C) ∅
(D) {2, 4, 6, 8}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2013 | Paper 1
🔷 Q14. यदि दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन शून्य समुच्चय हो, तो A और B:
(A) समान हैं
(B) अलग हैं
(C) असंपृक्त हैं
(D) इनमें से कोई नहीं
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2012 | Paper 1
🔷 Q15. यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × B = ?
(A) {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
(B) {(3,1), (4,1), (3,2), (4,2)}
(C) {(1,2), (3,4)}
(D) {(2,1), (4,3)}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2011 | Paper 1
🔷 Q16. यदि A में n तत्व हों और B में m तत्व हों, तो A × B में कुल n × m अवयव होंगे। यदि n = 2, m = 3, तो अवयवों की संख्या = ?
(A) 5
(B) 6
(C) 4
(D) 3
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2010 | Paper 1
🔷 Q17. यदि A = {1, 2, 3} हो, तो पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या:
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2009 | Paper 1
🧾 Paper 2: प्रश्न 18–34
🔷 Q18. यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2}
(B) {3, 4}
(C) ∅
(D) {5, 6}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2024 | Paper 2
🔷 Q19. यदि A = {x ∈ ℤ : x² < 16} हो, तो A = ?
(A) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
(B) {1, 2, 3}
(C) {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
(D) {−5, 5}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2023 | Paper 2
🔷 Q20. यदि A = {2, 3}, B = {4, 5}, तो (A × B) ∩ (B × A) = ?
(A) ∅
(B) {(2, 4)}
(C) {(4, 2)}
(D) {(3, 5)}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2022 | Paper 2
🔷 Q21. यदि n(A) = 5 हो, तो A का पावर समुच्चय में कितने अवयव होंगे?
(A) 25
(B) 10
(C) 32
(D) 20
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2021 | Paper 2
🔷 Q22. यदि A = {x ∈ ℝ : x² − 4x + 3 = 0}, तो A = ?
(A) {1, 3}
(B) {−1, −3}
(C) {2, 3}
(D) {3, 4}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2020 | Paper 2
🔷 Q23. {x ∈ ℕ : x² < 20} = ?
(A) {1, 2, 3, 4}
(B) {1, 2, 3, 4}
(C) {1, 2, 3}
(D) {1, 2, 3, 4}
✅ उत्तर: (D)
📅 वर्ष: JEE Adv 2019 | Paper 2
🔷 Q24. यदि A = {x : x ∈ ℝ, x > 2}, B = {x : x ∈ ℝ, x < 4}, तो A ∩ B = ?
(A) (2, 4)
(B) (−∞, ∞)
(C) ∅
(D) [2, 4)
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2018 | Paper 2
🔷 Q25. यदि A = {a, b}, B = {c, d}, तो A × B में कितने अवयव होंगे?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
✅ उत्तर: (C)
📅 वर्ष: JEE Adv 2017 | Paper 2
🔷 Q26. यदि n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), और n(A) = 10, n(B) = 12, n(A ∩ B) = 4, तो n(A ∪ B) = ?
(A) 18
(B) 16
(C) 20
(D) 14
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2016 | Paper 2
🔷 Q27. यदि A = {1, 2, 3} और B = {3, 4, 5}, तो A ∪ B = ?
(A) {1, 2, 3, 4, 5}
(B) {3}
(C) {1, 2, 3}
(D) ∅
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2015 | Paper 2
🔷 Q28. यदि A = {1, 2}, B = {2, 3}, तो A ∩ B = ?
(A) {1, 2, 3}
(B) {2}
(C) ∅
(D) {1}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2014 | Paper 2
🔷 Q29. यदि A = {x ∈ ℝ : x ≥ 0} और B = {x ∈ ℝ : x ≤ 0}, तो A ∩ B = ?
(A) {0}
(B) ℝ
(C) ∅
(D) ℕ
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2013 | Paper 2
🔷 Q30. यदि A = {2, 4, 6}, तो A का पावर समुच्चय में कितने अवयव होंगे?
(A) 6
(B) 8
(C) 7
(D) 9
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2012 | Paper 2
🔷 Q31. यदि n(A) = 3, तो A के उपसमुच्चयों की संख्या:
(A) 6
(B) 8
(C) 7
(D) 9
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2011 | Paper 2
🔷 Q32. यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, तो A ∩ B = ?
(A) {1}
(B) {2, 3}
(C) {3, 4}
(D) {1, 2}
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2010 | Paper 2
🔷 Q33. यदि A = {1, 3, 5}, और B = {2, 3, 6}, तो A ∩ B = ?
(A) {3}
(B) ∅
(C) {1, 3}
(D) {5, 6}
✅ उत्तर: (A)
📅 वर्ष: JEE Adv 2009 | Paper 2
🔷 Q34. यदि n(P(A)) = 8, तो n(A) = ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
✅ उत्तर: (B)
📅 वर्ष: JEE Adv 2008 | Paper 2
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मस्तिष्क मानचित्र
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दृश्य सामग्री
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