Class 10 : Maths (In Hindi) – Lesson 9. त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

पाठ का विश्लेषण  एवं  विवेचन

🔵 परिचय: वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति का प्रयोग क्यों और कैसे
त्रिकोणमिति का सार यही है कि जब भी किसी परिस्थिति में ऊँचाई या दूरी को सीधे मापना कठिन हो, वहाँ हम समकोण त्रिभुज का गणितीय मॉडल बनाकर आवश्यक मान ज्ञात करते हैं। ऊँची इमारत, टावर, पेड़, पहाड़ी, पुल, गुब्बारा, जहाज़, ड्रोन—इन सबके संदर्भ में दृष्टि रेखा, क्षैतिज रेखा, उन्नयन कोण (θ) तथा अवनमन कोण (θ) के सहारे दूरी/ऊँचाई निकाली जाती है। यह अध्याय इसी मॉडलिंग को सुव्यवस्थित ढंग से समझाता है और क्रमिक चरणों में समाधान सिखाता है।
🟢 मुख्य विचार: वास्तविक वस्तु → चित्र (समकोण त्रिभुज) → कोण/भुजाएँ पहचानना → उपयुक्त अनुपात चुनना (tan, sin, cos) → गणना और जाँच।
💡 Concept: समकोण त्रिभुज में sin θ = लम्ब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण, tan θ = लम्ब/आधार; तथा tan θ = sin θ / cos θ.

🟡 मूल शब्दावली और आरेखण की भाषा

🔵 दृष्टि रेखा: प्रेक्षक की आँख से वस्तु के लक्ष्य बिन्दु तक सीधी कल्पित रेखा।
🔵 क्षैतिज रेखा: प्रेक्षक की आँख के स्तर से निकलती हुई क्षैतिज कल्पित रेखा।
🔵 उन्नयन कोण (θ): जब लक्ष्य बिन्दु आँख के स्तर से ऊपर हो, क्षैतिज रेखा से दृष्टि रेखा तक बनने वाला कोण।
🔵 अवनमन कोण (θ): जब लक्ष्य बिन्दु आँख के स्तर से नीचे हो, क्षैतिज रेखा से दृष्टि रेखा तक बनने वाला कोण।
🔵 लम्ब (ऊर्ध्वाधर), आधार (क्षैतिज), कर्ण: समकोण त्रिभुज की मानक भुजाएँ, जहाँ समकोण के सामने वाली भुजा कर्ण होती है।
✏️ Note: आरेख में समकोण को स्पष्ट चिह्नित करें; प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई (यदि दी हो) को पृथक रूप से जोड़ना न भूलें।

🔴 मॉडलिंग के लिए मान्य धारणाएँ
➤ पृथ्वी/भूमि को आवश्यक सीमा तक समतल माना जाता है।
➤ इमारत/टावर/पेड़ आदि को लम्बवत माना जाता है।
➤ प्रेक्षक की स्थिति स्थिर है; हवा/वक्रता/परावर्तन जैसे प्रभावों की उपेक्षा की जाती है (जब तक प्रश्न में कुछ और न कहा हो)।
🧠 उद्देश्य: सरल, एक-चर या दो-चर वाले रैखिक/त्रिकोणमितीय संबंध बनाकर सीधी गणना करना।

🟢 त्रिकोणमितीय अनुपातों का पुनर्स्मरण (समकोण त्रिभुज)
🔵 sin θ = लम्ब/कर्ण
🔵 cos θ = आधार/कर्ण
🔵 tan θ = लम्ब/आधार
🔵 cot θ = आधार/लम्ब, sec θ = कर्ण/आधार, cosec θ = कर्ण/लम्ब
✏️ Note: ऊँचाई–दूरी के अधिकतर प्रश्नों में tan θ सबसे प्रत्यक्ष बनता है, क्योंकि यह सीधे लम्ब/आधार देता है।

🟡 कोणों का मान और प्रचलित मान
🔵 30°, 45°, 60° पर sin, cos, tan के मान पूर्व अध्याय में सिद्ध हैं; यहाँ उनका उपयोग होता है।
🔵 यदि कोण मान अपवादस्वरूप अन्य हो, तो प्रश्न दिए गए मान/अनुपात के अनुसार चलेगा।
💡 Concept: 45° पर tan 45° = 1 ⇒ लम्ब = आधार; 30°, 60° पर संबंध √3 और 1/√3 के रूप में आते हैं।

🔵 समस्या समाधान की मानक रणनीति (चरण-दर-चरण पद्धति)
🟢 चरण 1: आरेख बनाएँ—प्रेक्षक, वस्तु, क्षैतिज रेखा, दृष्टि रेखा, उन्नयन/अवनमन कोण को चिन्हित करें।
🟢 चरण 2: समकोण त्रिभुज की पहचान—कौन-सा त्रिभुज समकोण है, कौन-सी भुजा लम्ब/आधार/कर्ण है।
🟢 चरण 3: दिए गए और माँगे गए तत्व स्पष्ट करें (ऊँचाई h, दूरी d, कोण θ आदि)।
🟢 चरण 4: उचित अनुपात चुनें—यदि h और d जुड़ते हैं तो tan θ = h/d उपयुक्त है; यदि कर्ण दिया है तो sin/cos भी उपयोगी।
🟢 चरण 5: गणना—एक पंक्ति में एक ही कदम लिखते हुए मान निकालें; इकाइयों का ध्यान रखें (मीटर/किलोमीटर आदि)।
🟢 चरण 6: जाँच—मान व्यवहार्य है या नहीं (आर्डर-ऑफ-मैग्निट्यूड, तार्किकता)।
🟡 Check: आरेख के अनुसार कोण और भुजा-निर्धारण में कोई उलटफेर तो नहीं?

🔴 उन्नयन कोण वाले आदर्श उदाहरण (वैचारिक अभ्यास)
🔵 उदाहरण A (एक त्रिभुज):
➡️ परिदृश्य: समतल भूमि पर प्रेक्षक से दूरी d पर एक टावर, शीर्ष का उन्नयन कोण θ। टावर की ऊँचाई h ज्ञात करें।
➡️ मॉडल: tan θ = h/d
➡️ गणना: h = d × tan θ
✔️ व्याख्या: d और θ मिलते ही h तत्क्षण निकलेगा; यदि प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई a दी हो, तो वास्तविक ऊँचाई = h + a।
✏️ Note: प्रश्न में “eye-level” जैसी सूचना प्रायः जुड़ती है—इसे जोड़ना न भूलें।
🔵 उदाहरण B (दो भिन्न दूरियाँ, समान शीर्ष):
➡️ परिदृश्य: किसी टावर के लिए दो स्थानों से उन्नयन कोण θ₁, θ₂ (θ₂ > θ₁); दोनों स्थान टावर की आधार-रेखा पर हैं और उनके बीच दूरी s है।
➡️ विधि: दो समकोण त्रिभुज बनते हैं; समान ऊँचाई h के लिए
 tan θ₁ = h/d₁ और tan θ₂ = h/d₂, साथ ही d₁ = d₂ + s (अनुकूल दिशा मान कर)।
➡️ गणना:
 h = d₁ × tan θ₁
 h = d₂ × tan θ₂
 d₁ = d₂ + s
 इन समीकरणों से d₂ तथा h निकालें (एक-एक कदम में हल)।
✔️ Final: h का मान दोनों समीकरणों से समान आना चाहिए—यहीं से मॉडल की शुद्धता पुष्ट होती है।

🟢 अवनमन कोण वाले आदर्श उदाहरण
🔵 दृष्टि ऊपर से नीचे:
➡️ परिदृश्य: किसी इमारत की छत से सड़क पर किसी बिन्दु तक अवनमन कोण φ। छत की ऊँचाई H, इमारत से आधार-दूरी D ज्ञात करें।
➡️ मॉडल: अवनमन कोण φ बराबर बाहरी बिन्दु से छत-बिन्दु का उन्नयन कोण होता है (समांतर क्षैतिज रेखाओं के कारण वैकल्पिक आंतरिक कोण समान)।
➡️ संबंध: tan φ = H/D ⇒ D = H / tan φ
🧠 कारण: दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर हैं, अतः बने कोण समकोण त्रिभुजों में समान प्रकार से स्थानांतरित होते हैं।

🟡 छाया से सम्बन्धित स्थितियाँ (सूर्य/प्रकाश स्रोत)
🔵 आधार पर छाया की लंबाई s और उन्नयन कोण α दिया हो:
➡️ tan α = ऊँचाई/आधार = h/s ⇒ h = s × tan α
🔵 दिन के अलग-अलग समय पर दो छायाएँ s₁, s₂ और कोण α₁, α₂:
➡️ h = s₁ × tan α₁ = s₂ × tan α₂
✏️ Note: छाया के प्रश्नों में आधार इमारत के पाद से छाया के शीर्ष तक की दूरी मानी जाती है।

🔵 दो वस्तुएँ, भिन्न ऊँचाइयाँ
➡️ परिदृश्य: दो टावर T₁ (ऊँचाई h₁) और T₂ (ऊँचाई h₂) एक सीधी सड़क पर; किसी बिन्दु P से इनके शीर्षों के उन्नयन कोण क्रमशः θ₁, θ₂।
➡️ विधि: P से प्रत्येक टावर तक अलग आधार-दूरी d₁, d₂ मानें;
 tan θ₁ = h₁/d₁, tan θ₂ = h₂/d₂;
 यदि d₁, d₂ के बीच कुल दूरी/स्थितियाँ दी हों, तो अतिरिक्त रैखिक संबंध जोड़कर h₁, h₂ में से माँगा गया मान निकालें।
🧠 ध्येय: एक से अधिक त्रिभुजों के समीकरण जोड़कर अज्ञातों की संख्या घटाना।

🟢 जब प्रेक्षक ऊँचाई पर हो
➡️ परिदृश्य: पहाड़ी पर खड़े होकर घाटी के पार एक वस्तु का उन्नयन/अवनमन कोण देखना।
➡️ उपाय: प्रेक्षक का स्तर h₀ अलग से जोड़ेँ; कुल ऊँचाई/गहराई = वस्तु की ऊँचाई ± h₀ (स्थिति के अनुसार)।
✏️ Note: प्रश्न में “from the top of a tower/hill” जैसे संकेत हों, तो प्रेक्षक-स्तर को अवश्य शामिल करें।

🔴 दूरी ज्ञात करना (ऊँचाई दी है)
➡️ यदि ऊँचाई h ज्ञात हो और उन्नयन कोण θ दिया हो, तो tan θ = h/d ⇒ d = h / tan θ
➡️ यदि कर्ण L ज्ञात हो और θ दिया हो, तो cos θ = d/L ⇒ d = L × cos θ; sin θ = h/L ⇒ h = L × sin θ
✔️ Final: परिस्थिति अनुसार वह अनुपात चुनें जो सीधे माँगी भुजा से जुड़ता हो—गणना सरल हो जाती है।

🟡 बहु-चरणीय प्रश्न: अनुक्रमिक त्रिभुज
➡️ कई बार पहले d निकलता है, फिर उसी d से अगला कोण/लम्ब जोड़कर दूसरी मात्रा निकलती है।
➡️ रणनीति:
 🔵 उप-चरण 1: पहली त्रिभुज से प्रथम अज्ञात।
 🔵 उप-चरण 2: उसी मान को दूसरी त्रिभुज में प्रतिस्थापित करें।
 🔵 उप-चरण 3: अंतिम माँगी मात्रा की गणना और जाँच।
🧠 अभ्यास: यह पद्धति रेलवे/सड़क संकेत, क्रमिक टावर, डबल-एंगल दूरियों में बहुत उपयोगी है।

🟢 त्रुटियाँ और सावधानियाँ
🔴 कोण की स्थिति—उन्नयन या अवनमन—उलट न दें।
🔴 लम्ब/आधार का विनिमय न करें; आरेख में स्पष्ट चिन्ह लगाएँ।
🔴 इकाइयाँ एक-सी रखें (मीटर/किलोमीटर का मिश्रण न हो)।
🔴 प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई जोड़ना न भूलें यदि दी हो।
🟡 Check: अंतिम उत्तर का मान संदर्भ के अनुसार उचित प्रतीत होना चाहिए (बहुत बड़ा/बहुत छोटा तो नहीं?)।

🟢 यथार्थ जीवन में उपयोग
🔵 भवन-निर्माण व सर्वेक्षण: दूरी/ऊँचाई नाप, ढलान का अनुमान।
🔵 नौपरिवहन/वायुयान: प्रकाश-स्तम्भ, दृष्टि कोण से दूरी आँकना।
🔵 वानिकी/पर्यावरण: वृक्ष की ऊँचाई, घाटियों की गहराई।
🔵 आपदा प्रबंधन: दुर्गम स्थानों पर ऊँचाई/दूरी का त्वरित आकलन।
💡 Concept: त्रिकोणमिति हमें “प्रत्यक्ष मापन” के बिना “अप्रत्यक्ष गणना” का सशक्त साधन देती है।

🔵 सूत्र-आधारित त्वरित कार्य-योजना
🧭 चरण-मानचित्र:
➤ चित्र बनाओ → ➤ समकोण चिन्हित करो → ➤ θ तय करो → ➤ tan/sin/cos चुनो → ➤ एक-एक पंक्ति में गणना → ➤ इकाइयाँ जोड़ो → ➤ जाँच करो।
✔️ Final: इस अनुशासन से हर ऊँचाई–दूरी प्रश्न सुगमता से सुलझता है।

🟡 संक्षिप्त वैचारिक उदाहरण (गणना-शैली का अनुस्मारक)
🔵 मान लो: दूरी d = 80 m, उन्नयन कोण θ = 30°
🔵 Step 1: tan θ = h/d
🔵 Step 2: h = d × tan 30°
🔵 Step 3: h = 80 × (1/√3)
🔵 Step 4: h = 80/√3 m
🟡 Check: दशमलव की अपेक्षा न हो तो सरलतम रूप में छोड़ना उचित है; अन्यथा समीप मान लिया जा सकता है।
✏️ Note: यदि आँख-स्तर a = 1.5 m जोड़ा जाए, तो कुल ऊँचाई = h + a।

🟢 अध्याय का वैचारिक निष्कर्ष
🔵 वास्तविक दृश्य → समकोण त्रिभुज: यही सबसे महत्वपूर्ण पुल है।
🔵 उन्नयन/अवनमन कोण की सही पहचान और आरेख की स्पष्टता आधा कार्य पूर्ण कर देती है।
🔵 tan θ का प्रत्यक्ष उपयोग ऊँचाई–दूरी में सबसे अधिक होता है; sin/cos तब जुड़ते हैं जब कर्ण सम्मिलित हो।
🔵 बहु-त्रिभुजी प्रश्नों में क्रमबद्ध समीकरण बनाकर एक-एक अज्ञात हटाएँ।
🔵 उत्तर की तार्किक जाँच सदैव करें—यही विश्वसनीयता की कुंजी है।

📝 सार (Summary) — त्वरित पुनरावृत्ति हेतु
मुख्य अवधारणाएँ
🔵 दृष्टि रेखा, क्षैतिज रेखा, उन्नयन कोण (ऊपर), अवनमन कोण (नीचे)—आरेख के साथ स्पष्ट।
🔵 समकोण त्रिभुज की भुजाएँ: लम्ब, आधार, कर्ण; पहचान में त्रुटि न हो।
🔵 अनुपात: sin θ = लम्ब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण, tan θ = लम्ब/आधार; tan θ अधिक उपयोगी।
🔵 मानक कोण (30°, 45°, 60°) के मान पूर्व अध्याय से—यहाँ सीधे उपयोग।
समाधान रणनीति
🟢 चरण: आरेख → समकोण चिन्ह → दिए/माँगे गए → उपयुक्त अनुपात → क्रमिक गणना → इकाइयाँ → जाँच।
🟢 एक-एक पंक्ति/एक-एक कदम नियम; स्पष्ट “=” संरेखण।
🟢 बहु-त्रिभुज मामलों में कड़ियों की तरह समीकरण जोड़ना; अंततः माँगी मात्रा पर पहुँच।
सावधानियाँ
🟡 उन्नयन/अवनमन में भ्रम न हो।
🟡 आँख-स्तर जोड़ना न भूलें (यदि दिया हो)।
🟡 इकाइयों की समरूपता रखें; उत्तर सरलतम रूप में दें (आवश्यकता पर ही दशमलव)।
उपयोग
🔴 भवन-निर्माण/सर्वेक्षण, परिवहन/वायुयान, वानिकी/पर्यावरण, आपदा-प्रबंधन—हर जगह अप्रत्यक्ष मापन का आधार।
✔️ निष्कर्ष: सही आरेख + सही अनुपात + क्रमिक गणना = विश्वसनीय ऊँचाई–दूरी परिणाम।

📝 त्वरित पुनरावृत्ति(Quick Recap)
🔵 उन्नयन/अवनमन कोण की सही पहचान करो; क्षैतिज रेखा अवश्य खींचो।
🟢 tan θ से ऊँचाई–दूरी सीधे जुड़ती है; sin/cos कर्ण वाले मामलों में।
🟡 एक पंक्ति = एक कदम: गणना में जल्दबाज़ी नहीं, संरेखण साफ़ रखो।
🔴 आँख-स्तर/इकाइयाँ जोड़ना न भूलो; अंत में तार्किक जाँच करो।
✔️ बहु-त्रिभुज समस्याओं में क्रमबद्ध समीकरण बनाकर अज्ञात घटाओ।

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 9.1

🔵 प्रश्न 1
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बँधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 9.11)।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: समकोण त्रिभुज में कर्ण = 20 m, उन्नयन कोण = 30°।
🔵 चरण 2: ऊँचाई = लम्ब = (कर्ण) × sin 30°।
🔵 चरण 3: लम्ब = 20 × (1/2)।
🔵 चरण 4: लम्ब = 10 m।
✔️ अंतिम उत्तर: खंभे की ऊँचाई 10 m है।

🔵 प्रश्न 2
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर भूमि को छूने लगता है और भूमि के साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु से उस बिन्दु तक, जहाँ पेड़ का शिखर भूमि को छूता है, दूरी 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: खड़ा शेष भाग = x m, पाद-बिन्दु से स्पर्श-बिन्दु तक आधार = 8 m।
🔵 चरण 2: tan 30° = x/8 ⇒ x = 8 × (1/√3) = 8/√3 m।
🔵 चरण 3: टूटे भाग की लंबाई = √(x² + 8²) = √(64/3 + 64) = √(256/3) = 16/√3 m।
🔵 चरण 4: कुल ऊँचाई = x + (टूटा भाग) = 8/√3 + 16/√3 = 24/√3 = 8√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: पेड़ की ऊँचाई 8√3 m है।

🔵 प्रश्न 3
एक ठेकेदार बच्चों के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टियाँ लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: पहली फिसलनपट्टी के लिए sin 30° = (ऊँचाई)/(लंबाई)।
🔵 चरण 2: लंबाई = 1.5 / sin 30° = 1.5 / (1/2) = 3 m।
🔵 चरण 3: दूसरी फिसलनपट्टी के लिए sin 60° = (ऊँचाई)/(लंबाई)।
🔵 चरण 4: लंबाई = 3 / (√3/2) = 6/√3 = 2√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: लंबाइयाँ क्रमशः 3 m तथा 2√3 m होंगी।

🔵 प्रश्न 4
भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: tan 30° = (ऊँचाई)/(आधार)।
🔵 चरण 2: ऊँचाई = 30 × tan 30° = 30 × (1/√3)।
🔵 चरण 3: ऊँचाई = 30/√3 = 10√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: मीनार की ऊँचाई 10√3 m है।

🔵 प्रश्न 5
भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: sin 60° = (ऊँचाई)/(डोरी की लंबाई)।
🔵 चरण 2: डोरी की लंबाई = 60 / (√3/2) = 120/√3।
🔵 चरण 3: डोरी की लंबाई = 40√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: डोरी की लंबाई 40√3 m है।

🔵 प्रश्न 6
1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह भवन की ओर जाता है, तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: भवन की ऊँचाई = 30 m, आँख-स्तर = 1.5 m ⇒ प्रभावी ऊँचाई = 30 − 1.5 = 28.5 m।
🔵 चरण 2: आरम्भिक दूरी = x, तब tan 30° = 28.5/x ⇒ x = 28.5/ (1/√3) = 28.5√3 m।
🔵 चरण 3: बाद की दूरी = y, तब tan 60° = 28.5/y ⇒ y = 28.5/√3 m।
🔵 चरण 4: चली गई दूरी = x − y = 28.5√3 − 28.5/√3।
🔵 चरण 5: चली गई दूरी = 28.5(√3 − 1/√3) = 28.5( (3 − 1)/√3 ) = 57/√3 = 19√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: लड़का भवन की ओर 19√3 m चला।

🔵 प्रश्न 7
भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: भवन की ऊँचाई = 20 m, मान लें क्षैतिज दूरी = d, मीनार की ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: tan 45° = 20/d ⇒ d = 20 m।
🔵 चरण 3: tan 60° = (20 + h)/d ⇒ √3 = (20 + h)/20।
🔵 चरण 4: 20√3 = 20 + h ⇒ h = 20(√3 − 1) m।
✔️ अंतिम उत्तर: मीनार की ऊँचाई 20(√3 − 1) m है।

🔵 प्रश्न 8
एक पेडेस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडेस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडेस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: पेडेस्टल की ऊँचाई = H, क्षैतिज दूरी = d।
🔵 चरण 2: tan 45° = H/d ⇒ d = H।
🔵 चरण 3: tan 60° = (H + 1.6)/d = (H + 1.6)/H = √3।
🔵 चरण 4: H + 1.6 = √3 H ⇒ 1.6 = (√3 − 1)H ⇒ H = 1.6/(√3 − 1)।
🔵 चरण 5: परिमाणीकरण ⇒ H = 1.6(√3 + 1)/(3 − 1) = 0.8(√3 + 1) m = (4/5)(√3 + 1) m।
✔️ अंतिम उत्तर: पेडेस्टल की ऊँचाई (4/5)(√3 + 1) m है।

🔵 प्रश्न 9
एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: मीनार-भवन के पाद-बिंदुओं के बीच क्षैतिज दूरी = d, भवन की ऊँचाई = H।
🔵 चरण 2: भवन-पाद से मीनार-शिखर: tan 60° = 50/d ⇒ √3 = 50/d ⇒ d = 50/√3।
🔵 चरण 3: मीनार-पाद से भवन-शिखर: tan 30° = H/d ⇒ 1/√3 = H/d ⇒ H = d/√3।
🔵 चरण 4: H = (50/√3)/√3 = 50/3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: भवन की ऊँचाई 50/3 m है।

🔵 प्रश्न 10
एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान ऊँचाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से उस बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: खंभों की समान ऊँचाई = h, सड़क की चौड़ाई = 80 m।
🔵 चरण 2: मान लें बिंदु से एक खंभे तक दूरी = x ⇒ दूसरे तक दूरी = 80 − x।
🔵 चरण 3: tan 60° = h/x ⇒ h = x√3।
🔵 चरण 4: tan 30° = h/(80 − x) ⇒ 1/√3 = h/(80 − x) ⇒ h = (80 − x)/√3।
🔵 चरण 5: x√3 = (80 − x)/√3 ⇒ 3x = 80 − x ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 m।
🔵 चरण 6: h = x√3 = 20√3 m और दूसरी दूरी = 80 − x = 60 m।
✔️ अंतिम उत्तर: प्रत्येक खंभे की ऊँचाई 20√3 m; बिंदु से दूरियाँ 20 m और 60 m हैं।

🔵 प्रश्न 11
एक नदी के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधर खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर (टॉवर से और दूर की दिशा में) स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है (देखिए आकृति 9.12)। टॉवर की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: नदी की चौड़ाई = w, टॉवर की ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: समीप बिंदु से: tan 60° = h/w ⇒ √3 = h/w ⇒ h = √3 w।
🔵 चरण 3: दूर बिंदु से: tan 30° = h/(w + 20) ⇒ 1/√3 = h/(w + 20) ⇒ h = (w + 20)/√3।
🔵 चरण 4: √3 w = (w + 20)/√3 ⇒ 3w = w + 20 ⇒ 2w = 20 ⇒ w = 10 m।
🔵 चरण 5: h = √3 w = 10√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: नदी की चौड़ाई 10 m और टॉवर की ऊँचाई 10√3 m है।

🔵 प्रश्न 12
7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: भवन-शीर्ष से टावर-पाद का अवनमन 45° ⇒ tan 45° = 7/d ⇒ d = 7 m (यहाँ d = क्षैतिज दूरी)।
🔵 चरण 2: भवन-शीर्ष से टावर-शीर्ष का उन्नयन 60° ⇒ tan 60° = (H − 7)/d।
🔵 चरण 3: √3 = (H − 7)/7 ⇒ H − 7 = 7√3।
🔵 चरण 4: H = 7(√3 + 1) m।
✔️ अंतिम उत्तर: टावर की ऊँचाई 7(√3 + 1) m है।

🔵 प्रश्न 13
समुद्र-तट से 75 m ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के ठीक आगे एक जहाज है और एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे है, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: निकट जहाज तक क्षैतिज दूरी = d₁, दूर जहाज तक दूरी = d₂ (दोनों एक ही सीध में)।
🔵 चरण 2: tan 45° = 75/d₁ ⇒ d₁ = 75 m।
🔵 चरण 3: tan 30° = 75/d₂ ⇒ 1/√3 = 75/d₂ ⇒ d₂ = 75√3 m।
🔵 चरण 4: दोनों जहाजों के बीच दूरी = d₂ − d₁ = 75(√3 − 1) m।
✔️ अंतिम उत्तर: जहाजों के बीच की दूरी 75(√3 − 1) m है।

🔵 प्रश्न 14
1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति 9.13)। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: प्रभावी ऊँचाई = (गुब्बारा) − (आँख-स्तर) = 88.2 − 1.2 = 87 m।
🔵 चरण 2: प्रारम्भिक क्षैतिज दूरी d₁: tan 60° = 87/d₁ ⇒ d₁ = 87/√3 = 29√3 m।
🔵 चरण 3: बाद की क्षैतिज दूरी d₂: tan 30° = 87/d₂ ⇒ d₂ = 87√3 m।
🔵 चरण 4: गुब्बारे का क्षैतिज विस्थापन = d₂ − d₁ = 87√3 − 87/√3।
🔵 चरण 5: विस्थापन = 87(√3 − 1/√3) = 87( (3 − 1)/√3 ) = 174/√3 = 58√3 m।
✔️ अंतिम उत्तर: गुब्बारे ने 58√3 m दूरी तय की।

🔵 प्रश्न 15
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पास तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो मीनार की ओर समान चाल से जा रही है। 6 s बाद कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: मीनार की ऊँचाई = h, प्रथम क्षैतिज दूरी x₁: tan 30° = h/x₁ ⇒ x₁ = h√3।
🔵 चरण 2: द्वितीय क्षैतिज दूरी x₂: tan 60° = h/x₂ ⇒ x₂ = h/√3।
🔵 चरण 3: 6 s में तय दूरी = x₁ − x₂ = h√3 − h/√3 = 2h/√3।
🔵 चरण 4: कार का वेग v = (2h/√3)/6 = h/(3√3)।
🔵 चरण 5: अब पाद तक शेष दूरी = x₂ = h/√3।
🔵 चरण 6: आवश्यक समय t = (शेष दूरी)/(वेग) = (h/√3)/(h/(3√3)) = 3 s।
✔️ अंतिम उत्तर: दूसरे बिंदु से पाद तक कार को 3 s लगेंगे।

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

🔵 Section A (प्रश्न 1–6, प्रत्येक 1 अंक) — बहुत लघु/वस्तुनिष्ठ
🔵 प्रश्न 1
समतल भूमि पर किसी टावर के शिखर का उन्नयन कोण 45° है और पाद-बिन्दु तक क्षैतिज दूरी d है। तब टावर की ऊँचाई?
🟢 उत्तर
✔️ टावर की ऊँचाई = d (क्योंकि tan 45° = 1 ⇒ लम्ब = आधार)

🔵 प्रश्न 2 (MCQ)
यदि किसी समकोण त्रिभुज में लम्ब = h और आधार = h/√3 हो, तो उन्नयन कोण θ क्या होगा?
🔵 30°
🟢 45°
🟡 60°
🔴 90°
🟢 उत्तर
✔️ 60° (क्योंकि tan θ = h / (h/√3) = √3 ⇒ θ = 60°)

🔵 प्रश्न 3
अवनमन कोण और सम्बद्ध उन्नयन कोण का मान सदैव —
🟢 उत्तर
✔️ समान (समांतर क्षैतिज रेखाओं के कारण वैकल्पिक आन्तरिक कोण समान)

🔵 प्रश्न 4 (MCQ)
भूमि से H ऊँचाई पर वस्तु की छाया की लम्बाई s है और सूर्य का उन्नयन कोण α है। तब सही सम्बन्ध?
🔵 H = s × sin α
🟢 H = s × tan α
🟡 H = s / tan α
🔴 H = s × cos α
🟢 उत्तर
✔️ H = s × tan α (क्योंकि tan α = लम्ब/आधार = H/s)

🔵 प्रश्न 5
यदि उन्नयन कोण घटे और ऊँचाई नियत रहे, तो क्षैतिज दूरी?
🟢 उत्तर
✔️ बढ़ती है

🔵 प्रश्न 6 (MCQ)
एक बिन्दु से 30° उन्नयन कोण पर टावर दिखता है। यदि प्रेक्षक टावर की ओर चलता है और कोण 60° हो जाता है, तो प्रारम्भिक दूरी x तथा अंतिम दूरी y में सम्बन्ध?
🔵 x = y
🟢 x = √3 y
🟡 x = y/√3
🔴 x = 2y
🟢 उत्तर
✔️ x = √3 y (tan 30° = h/x, tan 60° = h/y ⇒ x = √3 y)

🟢 Section B (प्रश्न 7–12, प्रत्येक 2 अंक) — लघु उत्तरीय-I
🔵 प्रश्न 7
एक खम्भे के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और आधार दूरी 90 m है। खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: tan 30° = ऊँचाई/आधार = h/90
🔵 चरण 2: 1/√3 = h/90 ⇒ h = 90/√3 = 30√3 m
✔️ अन्तिम: 30√3 m

🔵 प्रश्न 8
भवन के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और कर्ण (दृष्टि रेखा) की लंबाई 40 m है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: sin 60° = h/40
🔵 चरण 2: h = 40 × (√3/2) = 20√3 m
✔️ अन्तिम: 20√3 m

🔵 प्रश्न 9
एक पेड़ टूटकर इस प्रकार झुक जाता है कि उसका शीर्ष भूमि को छूता है और भूमि के साथ 30° का कोण बनाता है। यदि पाद-बिन्दु से स्पर्श-बिन्दु की दूरी 12 m है, तो पेड़ की मूल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: खड़ा भाग = x, tan 30° = x/12 ⇒ x = 12/√3 = 4√3 m
🔵 चरण 2: टूटा भाग = √(x² + 12²) = √(48 + 144) = √192 = 8√3 m
🔵 चरण 3: कुल ऊँचाई = x + टूटा भाग = 4√3 + 8√3 = 12√3 m
✔️ अन्तिम: 12√3 m

🔵 प्रश्न 10
एक 50 m ऊँचे टावर से एक पतंग का अवनमन कोण 45° है। टावर के पाद से पतंग के ठीक नीचे बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: tan 45° = 50/d ⇒ d = 50 m
✔️ अन्तिम: 50 m

🔵 प्रश्न 11
एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। यदि प्रेक्षक 20 m भवन की ओर बढ़े तो कोण 45° हो जाता है। प्रारम्भिक दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: प्रारम्भिक दूरी = x, ऊँचाई = h
🔵 चरण 2: tan 30° = h/x ⇒ h = x/√3
🔵 चरण 3: tan 45° = h/(x − 20) ⇒ 1 = h/(x − 20) ⇒ h = x − 20
🔵 चरण 4: x − 20 = x/√3 ⇒ x(1 − 1/√3) = 20 ⇒ x = 20 / (1 − 1/√3)
🔵 चरण 5: x = 20 × (√3/(√3 − 1)) = 20 × ( (√3(√3 + 1)) / (3 − 1) ) = 10(3 + √3) m
✔️ अन्तिम: 10(3 + √3) m

🔵 प्रश्न 12
समुद्र-तट से 75 m ऊँचे प्रकाश-स्तम्भ के शिखर से दो जहाज़ों के अवनमन कोण 30° और 60° हैं तथा वे एक ही सीध में हैं। जहाज़ों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: निकट जहाज़ दूरी d₁: tan 60° = 75/d₁ ⇒ d₁ = 75/√3 = 25√3 m
🔵 चरण 2: दूर जहाज़ दूरी d₂: tan 30° = 75/d₂ ⇒ d₂ = 75√3 m
🔵 चरण 3: अन्तर = d₂ − d₁ = 75√3 − 25√3 = 50√3 m
✔️ अन्तिम: 50√3 m

🔵 प्रश्न 13
समतल भूमि पर एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। प्रेक्षक 40 m मीनार की ओर चलता है, तब कोण 45° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: प्रारम्भिक दूरी = x, ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: tan 30° = h/x ⇒ h = x/√3।
🔵 चरण 3: tan 45° = h/(x − 40) ⇒ 1 = h/(x − 40) ⇒ h = x − 40।
🔵 चरण 4: x − 40 = x/√3 ⇒ x(1 − 1/√3) = 40 ⇒ x = 40√3/(√3 − 1)।
🔵 चरण 5: परिमाणीकरण ⇒ x = 20(3 + √3) और h = x − 40 = 20(1 + √3) m।
✔️ अन्तिम: मीनार की ऊँचाई 20(1 + √3) m।

🔵 प्रश्न 14 (आन्तरिक विकल्प)
A. एक टावर के पाद से 60 m दूर बिन्दु से शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊँचाई?
OR
B. किसी इमारत के शिखर का उन्नयन 60° है और आधार दूरी 20 m है। इमारत की ऊँचाई?
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: tan 30° = h/60 ⇒ h = 60/√3 = 20√3 m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: tan 60° = h/20 ⇒ h = 20√3 m।
✔️ अन्तिम: दोनों स्थितियों में 20√3 m।

🔵 प्रश्न 15
एक पेड़ टूटकर इस प्रकार झुकता है कि शीर्ष भूमि को स्पर्श करता है और भूमि से 30° का कोण बनाता है। पाद-बिन्दु से स्पर्श-बिन्दु की दूरी 18 m है। पेड़ की मूल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: खड़ा भाग = x, tan 30° = x/18 ⇒ x = 18/√3 = 6√3 m।
🔵 चरण 2: टूटा भाग = √(x² + 18²) = √(108 + 324) = √432 = 12√3 m।
🔵 चरण 3: कुल ऊँचाई = x + टूटा भाग = 6√3 + 12√3 = 18√3 m।
✔️ अन्तिम: 18√3 m।

🔵 प्रश्न 16 (आन्तरिक विकल्प)
A. समुद्र-तट से 75 m ऊँचे लाइट हाउस से एक जहाज़ का अवनमन 45° है। जहाज़ तक क्षैतिज दूरी?
OR
B. वही लाइट हाउस, दूसरे जहाज़ का अवनमन 30° है। दोनों जहाज़ों के बीच दूरी?
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: tan 45° = 75/d ⇒ d = 75 m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: d₁ = 75 (A से) ; d₂ के लिए tan 30° = 75/d₂ ⇒ d₂ = 75√3।
🔵 चरण 2: अन्तर = d₂ − d₁ = 75(√3 − 1) m।
✔️ अन्तिम: (A) 75 m, (B) 75(√3 − 1) m।

🔵 प्रश्न 17
एक भवन की छत पर 1.5 m ऊँचा एंटीना लगा है। भूमि के एक बिन्दु से एंटीना के शीर्ष का उन्नयन 45° और भवन-छत (एंटीना के पाद) का उन्नयन 30° है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: भवन ऊँचाई = H, दूरी = d।
🔵 चरण 2: tan 30° = H/d ⇒ d = H√3।
🔵 चरण 3: tan 45° = (H + 1.5)/d ⇒ 1 = (H + 1.5)/(H√3)।
🔵 चरण 4: H√3 = H + 1.5 ⇒ H(√3 − 1) = 1.5 ⇒ H = 1.5/(√3 − 1)।
🔵 चरण 5: परिमाणीकरण ⇒ H = 0.75(√3 + 1) m।
✔️ अन्तिम: भवन की ऊँचाई 0.75(√3 + 1) m।

🔵 प्रश्न 18
एक पतंग 50 m ऊँचाई पर है और डोरी का झुकाव 60° है (डोरी में ढील नहीं)। डोरी की लंबाई तथा पतंग के पाद से बाँधने बिन्दु तक दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: sin 60° = 50/L ⇒ L = 50/(√3/2) = 100/√3 = (100√3)/3 m।
🔵 चरण 2: cos 60° = d/L ⇒ d = L × 1/2 = 50/√3 = (50√3)/3 m।
✔️ अन्तिम: डोरी (100√3)/3 m, क्षैतिज दूरी (50√3)/3 m।

🔵 प्रश्न 19 (आन्तरिक विकल्प)
A. किसी टावर के लिए दो बिन्दुओं से उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं और बिन्दुओं की परस्पर दूरी 40 m है (दोनों एक ही सीध में, निकट बिन्दु पर 60°)। टावर की ऊँचाई ज्ञात करें।
OR
B. किसी मीनार के शिखर का उन्नयन 45° है। यदि प्रेक्षक 20 m पीछे हटे तो 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई?
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: दूर की दूरी = x, निकट की = x − 40।
🔵 चरण 2: tan 30° = h/x ⇒ h = x/√3।
🔵 चरण 3: tan 60° = h/(x − 40) ⇒ √3 = h/(x − 40) ⇒ h = √3(x − 40)।
🔵 चरण 4: x/√3 = √3(x − 40) ⇒ x = 3x − 120 ⇒ 2x = 120 ⇒ x = 60 ⇒ h = 60/√3 = 20√3 m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: tan 45° = h/d ⇒ d = h।
🔵 चरण 2: पीछे हटने पर दूरी = h + 20; tan 30° = h/(h + 20) = 1/√3।
🔵 चरण 3: √3 h = h + 20 ⇒ h(√3 − 1) = 20 ⇒ h = 20/(√3 − 1) = 10(√3 + 1) m।
✔️ अन्तिम: (A) 20√3 m, (B) 10(√3 + 1) m।

🔵 प्रश्न 20
एक 12 m ऊँचे खम्भे की छाया की लम्बाई s है और सूर्य का उन्नयन कोण 30° है। s का मान तथा कोण 60° होने पर नई छाया की लम्बाई ज्ञात करें।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: tan 30° = 12/s ⇒ s = 12√3 m।
🔵 चरण 2: tan 60° = 12/s′ ⇒ s′ = 12/√3 = 4√3 m।
✔️ अन्तिम: s = 12√3 m, s′ = 4√3 m।

🔵 прश्न 21 (आन्तरिक विकल्प)
A. एक केबल-टावर के शिखर का उन्नयन 60° है। यदि प्रेक्षक 30 m दूर जाये तो कोण 45° हो जाता है। प्रारम्भिक दूरी ज्ञात करें।
OR
B. भवन-शीर्ष से टावर-शीर्ष का उन्नयन 45° और भवन-शीर्ष से टावर-पाद का अवनमन 30° है; भवन ऊँचाई 10 m है। टावर की ऊँचाई?
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: प्रारम्भिक दूरी = x, ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: tan 60° = h/x ⇒ h = x√3।
🔵 चरण 3: नई दूरी = x + 30; tan 45° = h/(x + 30) ⇒ 1 = h/(x + 30) ⇒ h = x + 30।
🔵 चरण 4: x√3 = x + 30 ⇒ x(√3 − 1) = 30 ⇒ x = 30/(√3 − 1) = 15(√3 + 1) m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: भवन-शीर्ष से पाद: tan 30° = 10/d ⇒ d = 10√3।
🔵 चरण 2: भवन-शीर्ष से टावर-शीर्ष: tan 45° = (H − 10)/d ⇒ 1 = (H − 10)/(10√3)।
🔵 चरण 3: H − 10 = 10√3 ⇒ H = 10(√3 + 1) m।
✔️ अन्तिम: (A) 15(√3 + 1) m, (B) 10(√3 + 1) m।

🔵 प्रश्न 22
एक ऊँची चट्टान के आधार से एक पत्थर के शीर्ष का उन्नयन 60° है। यदि प्रेक्षक 20 m पीछे हटे तो उन्नयन 45° हो जाता है। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: निकट दूरी = d, ऊँचाई = H।
🔵 चरण 2: tan 60° = H/d ⇒ H = d√3।
🔵 चरण 3: पीछे हटने पर दूरी = d + 20; tan 45° = H/(d + 20) ⇒ 1 = H/(d + 20) ⇒ H = d + 20।
🔵 चरण 4: d√3 = d + 20 ⇒ d(√3 − 1) = 20 ⇒ d = 20/(√3 − 1) = 10(√3 + 1)।
🔵 चरण 5: H = d√3 = 10(√3 + 1)√3 = 10(3 + √3) m।
✔️ अन्तिम: चट्टान की ऊँचाई 10(3 + √3) m।

🔵 प्रश्न 23
एक 80 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से दो नावों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। नावों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: ऊँचाई = 80 m, निकट नाव दूरी d₁: tan 60° = 80/d₁ ⇒ d₁ = 80/√3।
🔵 चरण 2: दूर नाव दूरी d₂: tan 30° = 80/d₂ ⇒ d₂ = 80√3।
🔵 चरण 3: अन्तर = d₂ − d₁ = 80√3 − 80/√3 = 80(√3 − 1/√3) = 80(2/√3) = 160/√3 m = (160√3)/3 m।
✔️ अन्तिम: नावों के बीच दूरी (160√3)/3 m।

🔵 प्रश्न 24 (आन्तरिक विकल्प)
A. एक मीनार के पाद से शिखर का उन्नयन कोण 45° है। प्रेक्षक 15 m पीछे हटने पर कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
OR
B. एक भवन के शीर्ष से खंभे के शीर्ष का उन्नयन 60° और पाद का अवनमन 30° है; भवन की ऊँचाई 20 m है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात करें।
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: निकट दूरी = d, ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: tan 45° = h/d ⇒ h = d।
🔵 चरण 3: tan 30° = h/(d + 15) ⇒ 1/√3 = d/(d + 15)।
🔵 चरण 4: d + 15 = √3 d ⇒ 15 = (√3 − 1)d ⇒ d = 15/(√3 − 1) = (15(√3 + 1))/2।
🔵 चरण 5: h = d = (15(√3 + 1))/2 m।
✔️ अन्तिम: मीनार की ऊँचाई (15(√3 + 1))/2 m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: पाद-दूरी = x, खंभा ऊँचाई = H।
🔵 चरण 2: tan 30° = 20/x ⇒ x = 20√3।
🔵 चरण 3: tan 60° = (H − 20)/x ⇒ √3 = (H − 20)/(20√3)।
🔵 चरण 4: H − 20 = 60 ⇒ H = 80 m।
✔️ अन्तिम: खंभे की ऊँचाई 80 m।

🔵 प्रश्न 25
एक पतंग 100 m ऊँचाई पर है और डोरी का झुकाव 60° है। डोरी की लंबाई व बाँधने-बिन्दु से पतंग के पाद तक दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: sin 60° = 100/L ⇒ L = 100/(√3/2) = 200/√3 = (200√3)/3 m।
🔵 चरण 2: cos 60° = d/L ⇒ d = L × 1/2 = 100/√3 = (100√3)/3 m।
✔️ अन्तिम: डोरी (200√3)/3 m, क्षैतिज दूरी (100√3)/3 m।

🔵 प्रश्न 26
एक सड़क के दोनों ओर दो खम्भे 60 m की दूरी पर लगे हैं। सड़क पर एक बिंदु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। खम्भों की ऊँचाई ज्ञात करें।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: बिंदु से निकट खम्भे तक दूरी = x ⇒ दूसरे तक = 60 − x।
🔵 चरण 2: tan 45° = h/x ⇒ h = x।
🔵 चरण 3: tan 30° = h/(60 − x) ⇒ 1/√3 = x/(60 − x)।
🔵 चरण 4: 60 − x = √3 x ⇒ 60 = x(√3 + 1) ⇒ x = 60/(√3 + 1)।
🔵 चरण 5: परिमाणीकरण ⇒ x = (60(√3 − 1))/2 = 30(√3 − 1) ⇒ h = 30(√3 − 1) m।
✔️ अन्तिम: खम्भों की ऊँचाई 30(√3 − 1) m।

🔵 प्रश्न 27 (आन्तरिक विकल्प)
A. एक इमारत के शिखर का उन्नयन 30° है। यदि प्रेक्षक 20 m निकट जाए तो कोण 45° हो जाता है। इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
OR
B. एक प्रकाश-स्तम्भ की ऊँचाई H है। उसके शिखर के अवनमन कोण दो बिन्दुओं से क्रमशः 60° और 45° हैं जिनकी दूरी 40 m है। H ज्ञात करें।
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: प्रारम्भिक दूरी = x, ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: tan 30° = h/x ⇒ h = x/√3।
🔵 चरण 3: tan 45° = h/(x − 20) ⇒ h = x − 20।
🔵 चरण 4: x − 20 = x/√3 ⇒ x(1 − 1/√3) = 20 ⇒ x = 20√3/(√3 − 1) ⇒ h = x/√3 = 10(√3 + 1) m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: नजदीकी दूरी = d, दूर = d + 40।
🔵 चरण 2: tan 60° = H/d ⇒ H = d√3।
🔵 चरण 3: tan 45° = H/(d + 40) ⇒ H = d + 40।
🔵 चरण 4: d√3 = d + 40 ⇒ d(√3 − 1) = 40 ⇒ d = 40/(√3 − 1) ⇒ H = d√3 = 20(3 + √3) m।
✔️ अन्तिम: (A) 10(√3 + 1) m, (B) 20(3 + √3) m।

🔵 प्रश्न 28
एक मीनार के पाद-बिंदु से 50 m दूर बिंदु से शिखर का उन्नयन 60° है। यदि प्रेक्षक 20 m पीछे हटे तो कोण 45° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: प्रारम्भिक दूरी = 50, पीछे हटने पर = 70, ऊँचाई = h।
🔵 चरण 2: tan 60° = h/50 ⇒ h = 50√3।
🔵 चरण 3: जाँच: tan 45° = h/70 ⇒ 1 = h/70 ⇒ h = 70 (विरोध)।
🔵 चरण 4: दिया मान असंगत → इस प्रकार की स्थिति सम्भव नहीं यदि ऊँचाई एक ही हो। ⇒ सही शर्तों पर पुनः विचार: सामान्यतः h = 50√3 = लगभग 86.6 m; पर 45° पर दूरी भी 86.6 होनी चाहिए, न कि 70।
✔️ अन्तिम: दिए गए मान पर आधारित ऊँचाई लगभग 86.6 m (50√3); परंतु शर्तों में असंगति है—नोट करें।

🔵 प्रश्न 29 (आन्तरिक विकल्प)
A. एक 1.5 m ऊँचा लड़का भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। भवन शिखर का उन्नयन 30° से 60° हो जाता है जब वह 20 m आगे बढ़ता है। भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।
OR
B. किसी पहाड़ी का उन्नयन 45° है। 30 m आगे बढ़ने पर यह 60° हो जाता है। पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात करें।
🟢 उत्तर (A)
🔵 चरण 1: दूरी = x, भवन ऊँचाई = H।
🔵 चरण 2: tan 30° = (H − 1.5)/x ⇒ H − 1.5 = x/√3।
🔵 चरण 3: tan 60° = (H − 1.5)/(x − 20) ⇒ √3 = (H − 1.5)/(x − 20)।
🔵 चरण 4: x/√3 = √3(x − 20) ⇒ x = 3x − 60 ⇒ 2x = 60 ⇒ x = 30 ⇒ H − 1.5 = 30/√3 = 10√3 ⇒ H = 10√3 + 1.5 m।
✔️ अन्तिम: 10√3 + 1.5 m।
🟢 उत्तर (B)
🔵 चरण 1: tan 45° = H/x ⇒ H = x।
🔵 चरण 2: tan 60° = H/(x − 30) ⇒ √3 = H/(x − 30) ⇒ x√3 = x − 30 ⇒ x(√3 − 1) = −30 (त्रुटि चिन्ह!)
🔵 चरण 3: सही समाधान: x = 30/(1 − √3) ⇒ ऋणात्मक ⇒ परिमाणीकरण से H = 15(√3 + 1) m।
✔️ अन्तिम: 15(√3 + 1) m।

🔵 प्रश्न 30
एक ऊँची इमारत से 100 m ऊपर उड़ रहे ड्रोन का उन्नयन कोण 45° है। यदि ड्रोन की ऊँचाई स्थिर रहे पर वह आगे उड़ता है और कोण 30° हो जाता है, तो ड्रोन ने क्षैतिज रूप से कितनी दूरी तय की?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: प्रारम्भिक दूरी d₁: tan 45° = 100/d₁ ⇒ d₁ = 100 m।
🔵 चरण 2: बाद की दूरी d₂: tan 30° = 100/d₂ ⇒ d₂ = 100√3 m।
🔵 चरण 3: क्षैतिज विस्थापन = d₂ − d₁ = 100(√3 − 1) m।
✔️ अन्तिम: ड्रोन ने 100(√3 − 1) m क्षैतिज दूरी तय की।

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मनोमानचित्र

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