Class 10 : Maths (In Hindi) – Lesson 8. त्रिकोणमिति का परिचय
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
✨ विस्तृत व्याख्या
🔵 परिचय
➡️ त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें समकोण त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है। “त्रि” + “कोण” + “मिति” का अर्थ है — तीन कोणों का मापन।
🟢 वास्तविक जीवन में इसका प्रयोग खगोल विज्ञान, भौतिकी, वास्तुकला, इंजीनियरिंग और नौवहन (नेविगेशन) में होता है।
✏️ नोट: त्रिकोणमिति केवल कोण और भुजाओं का संबंध नहीं बल्कि उनके अनुपातों को समझने की एक विधि है।
🔴 समकोण त्रिभुज की पुनरावृत्ति
🌿 एक समकोण त्रिभुज ABC में, समकोण B पर है। कर्ण (hypotenuse) सबसे लम्बी भुजा AC होगी, जबकि कोण θ के सामने की भुजा लम्ब (opposite side) और θ के समीप वाली भुजा आधार (adjacent side) कहलाती है।
✔️ यह अवधारणा त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित है।
🟡 त्रिकोणमितीय अनुपात
💡 परिभाषाएँ
🔹 sin θ (साइन θ) = लम्ब / कर्ण
🔹 cos θ (कोस θ) = आधार / कर्ण
🔹 tan θ (टैन θ) = लम्ब / आधार
🔹 cosec θ (कोसेक θ) = कर्ण / लम्ब = 1/sin θ
🔹 sec θ (सेक θ) = कर्ण / आधार = 1/cos θ
🔹 cot θ (कोट θ) = आधार / लम्ब = 1/tan θ
🧠 याद रखने की युक्ति: “Some People Have / Curly Black Hair / Turning Silky Red” — यहाँ क्रम से sin, cos, tan, cosec, sec, cot को याद रखा जा सकता है (हिन्दी में: लम्ब-कर्ण, आधार-कर्ण, लम्ब-आधार का पैटर्न)।
✏️ नोट: त्रिकोणमितीय अनुपात केवल तीक्ष्ण कोण (0° < θ < 90°) के लिए परिभाषित हैं।
🔵 विशेष कोणों के मान
🟢 तालिका (sin, cos, tan, cosec, sec, cot के लिए 0°, 30°, 45°, 60°, 90°):
θ=0° → sin=0, cos=1, tan=0, cosec=∞, sec=1, cot=∞
θ=30° → sin=½, cos=√3/2, tan=1/√3, cosec=2, sec=2/√3, cot=√3
θ=45° → sin=1/√2, cos=1/√2, tan=1, cosec=√2, sec=√2, cot=1
θ=60° → sin=√3/2, cos=½, tan=√3, cosec=2/√3, sec=2, cot=1/√3
θ=90° → sin=1, cos=0, tan=∞, cosec=1, sec=∞, cot=0
🌿 उपयोग: इन मानों को सीधे याद रखना आवश्यक है क्योंकि प्रश्नों में त्वरित गणना के लिए यही प्रयोग होते हैं।
🟡 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Identities)
💡 तीन मूलभूत सर्वसमिकाएँ
🔴 (i) sin²θ + cos²θ = 1
🔴 (ii) 1 + tan²θ = sec²θ
🔴 (iii) 1 + cot²θ = cosec²θ
✔️ सिद्धि (संक्षिप्त):
समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय: (लम्ब)² + (आधार)² = (कर्ण)²
लम्ब = sin θ × कर्ण, आधार = cos θ × कर्ण ⇒ (sin²θ + cos²θ)=1
अन्य दो सर्वसमिकाएँ tan=sin/cos तथा sec=1/cos का उपयोग कर प्राप्त होती हैं।
✏️ नोट: सर्वसमिकाएँ केवल तीक्ष्ण कोणों के लिए सत्य हैं।
🔵 पूरक कोण संबंध (Complementary Angle Relations)
🟢 sin(90°−θ)=cos θ
🟢 cos(90°−θ)=sin θ
🟢 tan(90°−θ)=cot θ
🟢 cot(90°−θ)=tan θ
🟢 sec(90°−θ)=cosec θ
🟢 cosec(90°−θ)=sec θ
🌟 उदाहरण: sin 30°=cos 60°, cos 30°=sin 60° इत्यादि।
🟡 त्रिकोणमिति के सरल प्रश्न और वास्तविक उपयोग
🔵 उदाहरण 1 (दूरी और ऊँचाई)
एक वृक्ष के आधार से 20 m दूर एक बिंदु से उसके शीर्ष का ऊँचाई कोण 30° है। वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
➡️ tan θ = ऊँचाई/आधार ⇒ tan 30° = h/20 ⇒ 1/√3 = h/20 ⇒ h = 20/√3 m।
🔵 उदाहरण 2 (भवन की ऊँचाई)
भवन की छत से किसी खंभे की ऊँचाई का कोण 45°, आधार दूरी 10 m। tan 45°=1 ⇒ h=10 m।
🌿 वास्तविक उपयोग:
🟢 नौवहन (जहाज़ की दिशा निर्धारण)
🟢 खगोल विज्ञान (ग्रहों की दूरी ज्ञात करना)
🟢 वास्तुकला और पुल निर्माण
🔴 त्रिकोणमिति का इतिहास और योगदान
⚡ प्राचीन भारत में आर्यभट्ट और भास्कराचार्य ने त्रिकोणमितीय सारणियाँ दीं।
📜 ग्रीक गणितज्ञ हिपार्कस और टॉलेमी ने भी त्रिकोणमिति के विकास में योगदान दिया।
🧠 आधुनिक काल में यह भौतिकी, इंजीनियरिंग और डेटा विज्ञान के कई क्षेत्रों में आधारभूत है।
📘 सारांश (~300 शब्द)
🔵 परिभाषा और आधारभूत विचार
त्रिकोणमिति: कोणों और भुजाओं के अनुपात का अध्ययन।
समकोण त्रिभुज की तीन भुजाएँ: लम्ब, आधार, कर्ण।
🟢 त्रिकोणमितीय अनुपात
sin θ = लम्ब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण, tan θ = लम्ब/आधार।
cosec θ, sec θ, cot θ इनके व्युत्क्रम/अनुपात से।
🟡 विशेष कोण मान
0°,30°,45°,60°,90° के मान तालिका से याद।
वास्तविक समस्याओं में सीधे प्रयोग।
🔴 सर्वसमिकाएँ और पूरक कोण
sin²θ+cos²θ=1; 1+tan²θ=sec²θ; 1+cot²θ=cosec²θ।
पूरक कोण संबंध: sin(90°−θ)=cos θ आदि।
🌿 अनुप्रयोग
ऊँचाई और दूरी संबंधी समस्याएँ।
निर्माण कार्य, नौवहन, खगोल विज्ञान।
वैज्ञानिक शोध और प्रौद्योगिकी।
⚡ ऐतिहासिक दृष्टि
भारतीय गणितज्ञों और ग्रीक विद्वानों का योगदान।
आधुनिक युग में इंजीनियरिंग व भौतिकी में महत्त्व।
📝 Quick Recap
🔵 त्रिकोणमिति = कोण-भुजा अनुपात का अध्ययन।
🟢 मुख्य अनुपात: sin, cos, tan और इनके व्युत्क्रम।
🟡 विशेष कोण मान और सर्वसमिकाएँ याद रखना आवश्यक।
🔴 पूरक कोण संबंध समस्याओं को सरल बनाते हैं।
🌿 वास्तविक जीवन में ऊँचाई-दूरी, नेविगेशन, खगोल विज्ञान में प्रयोग।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 8.1
🔵 Q1. △ABC में, B समकोण; AB = 24 cm, BC = 7 cm। ज्ञात कीजिए: (i) sin A, cos A (ii) sin C, cos C
🟢 Answer
1️⃣ कर्ण: AC = √(AB² + BC²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25
2️⃣ sin A = BC/AC = 7/25; cos A = AB/AC = 24/25
3️⃣ sin C = AB/AC = 24/25; cos C = BC/AC = 7/25
✔️ Final: sin A = 7/25, cos A = 24/25; sin C = 24/25, cos C = 7/25
🔵 Q2. आकृति 8.13 में tan P − cot R का मान ज्ञात कीजिए। (PQ = 12 cm, PR = 13 cm; Q पर समकोण)
🟢 Answer
1️⃣ QR = √(PR² − PQ²) = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5
2️⃣ tan P = (समने/समीप) = QR/PQ = 5/12
3️⃣ cot R = (समीप/समने) = QR/PQ = 5/12
4️⃣ tan P − cot R = 5/12 − 5/12 = 0
✔️ Final: 0
🔵 Q3. यदि sin A = 3/4, तो cos A तथा tan A ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
1️⃣ सर्वसमिका: sin²A + cos²A = 1
2️⃣ cos²A = 1 − sin²A = 1 − (3/4)² = 1 − 9/16 = 7/16
3️⃣ cos A = √(7/16) = √7/4 (न्यून कोण A ⇒ धनात्मक)
4️⃣ tan A = (sin A)/(cos A) = (3/4)/(√7/4) = 3/√7 = 3√7/7
✔️ Final: cos A = √7/4, tan A = 3√7/7
🔵 Q4. यदि 15·cot A = 8, तो sin A तथा sec A ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
1️⃣ cot A = 8/15 ⇒ tan A = 15/8
2️⃣ मान लें लम्ब = 15k, आधार = 8k ⇒ कर्ण = √(15²k² + 8²k²) = √(225k² + 64k²) = √289k² = 17k
3️⃣ sin A = लम्ब/कर्ण = 15k/17k = 15/17
4️⃣ cos A = आधार/कर्ण = 8/17 ⇒ sec A = 1/cos A = 17/8
✔️ Final: sin A = 15/17, sec A = 17/8
🔵 Q5. यदि sec θ = 13/12, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
1️⃣ cos θ = 1/sec θ = 12/13
2️⃣ सर्वसमिका: sin²θ + cos²θ = 1 ⇒ sin²θ = 1 − (12/13)² = 1 − 144/169 = 25/169
3️⃣ sin θ = √(25/169) = 5/13 (न्यून कोण A ⇒ धनात्मक)
4️⃣ tan θ = sin θ / cos θ = (5/13)/(12/13) = 5/12
5️⃣ cot θ = 1/tan θ = 12/5
6️⃣ cosec θ = 1/sin θ = 13/5
✔️ Final (सभी): sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12, cot θ = 12/5, sec θ = 13/12, cosec θ = 13/5
🔵 Q6.
यदि A और B न्यून कोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B।
🟢 Answer
➤ चरण 1: 0° < A,B < 90° ⇒ cos θ इस अंतराल में एक-एक और घटती है।
➤ चरण 2: cos A = cos B ⇒ केवल तभी सम्भव जब A = B।
✔️ Final: ∠A = ∠B
🔵 Q7.
यदि cot θ = 7/8, तो निकालिए:
(i) ((1 + sin θ)(1 − sin θ)) / ((1 + cos θ)(1 − cos θ))
(ii) cot² θ
🟢 Answer
➤ चरण 1: (1 + sin θ)(1 − sin θ) = 1 − sin² θ
➤ चरण 2: (1 + cos θ)(1 − cos θ) = 1 − cos² θ
➤ चरण 3: भिन्न = (1 − sin² θ)/(1 − cos² θ) = cos² θ / sin² θ = cot² θ
➤ चरण 4: cot² θ = (7/8)² = 49/64
✔️ Final (i): 49/64
➤ चरण 5: cot² θ = 49/64
✔️ Final (ii): 49/64
🔵 Q8.
यदि 3 · cot A = 4, तो दिखाइए कि (1 − tan² A)/(1 + tan² A) = cos² A − sin² A।
🟢 Answer
💡 पहचान: cos 2A = (1 − tan² A)/(1 + tan² A) और cos 2A = cos² A − sin² A ⇒ कथन सदैव सत्य।
📌 संख्यात्मक जाँच:
➤ चरण 1: 3 · cot A = 4 ⇒ cot A = 4/3 ⇒ tan A = 3/4
➤ चरण 2: LHS = (1 − (3/4)²)/(1 + (3/4)²) = (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = (7/16)/(25/16) = 7/25
➤ चरण 3: RHS = cos² A − sin² A = 7/25
✔️ Final: कथन सत्य
🔵 Q9.
त्रिभुज ABC में, B समकोण है। यदि tan A = 1/√3, तो ज्ञात कीजिए:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C − sin A sin C
🟢 Answer
➤ चरण 1: B = 90° ⇒ A + C = 90°
➤ चरण 2: (i) = sin (A + C) = sin 90° = 1
➤ चरण 3: (ii) = cos (A + C) = cos 90° = 0
✔️ Final: (i) = 1, (ii) = 0
🔵 Q10.
△PQR में, Q समकोण है। PR + QR = 25 cm तथा PQ = 5 cm। sin P, cos P, tan P ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ चरण 1: QR = x, PR = h ⇒ h + x = 25
➤ चरण 2: h² = PQ² + QR² = 5² + x² = 25 + x²
➤ चरण 3: (25 − x)² = 25 + x² ⇒ 625 − 50x + x² = 25 + x² ⇒ 600 = 50x ⇒ x = 12
➤ चरण 4: h = 25 − x = 13
➤ चरण 5: sin P = विपरीत/कर्ण = QR/PR = 12/13
➤ चरण 6: cos P = समीप/कर्ण = PQ/PR = 5/13
➤ चरण 7: tan P = विपरीत/समीप = QR/PQ = 12/5
✔️ Final: sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5
प्रश्नावली 8.2
🔵 प्रश्न 1(i): sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = sin(60° + 30°)
➤ = sin 90°
✔️ अंतिम मान = 1
🔵 प्रश्न 1(ii): 2 tan² 45° + cos² 30° − sin² 60°
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ tan 45° = 1 ⇒ 2 tan² 45° = 2×1² = 2
➤ cos 30° = √3/2 ⇒ cos² 30° = 3/4
➤ sin 60° = √3/2 ⇒ sin² 60° = 3/4
➤ कुल = 2 + 3/4 − 3/4
✔️ अंतिम मान = 2
🔵 प्रश्न 1(iii): cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ cos 45° = 1/√2
➤ sec 30° = 2/√3 , cosec 30° = 2
➤ हर = 2/√3 + 2 = 2(1/√3 + 1)
➤ मान = (1/√2) ÷ [2(1/√3 + 1)]
➤ = √3 / [2√2 (1 + √3)] (साधारण रूप)
➤ हर का परिमूलीकरण: = (3√2 − √6)/8
✔️ अंतिम मान = (3√2 − √6)/8
🔵 प्रश्न 1(iv): (sin 30° + tan 45° − cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ sin 30° = 1/2 , tan 45° = 1 , cosec 60° = 2/√3
➤ अंश = 1/2 + 1 − 2/√3 = 3/2 − 2/√3
➤ sec 30° = 2/√3 , cos 60° = 1/2 , cot 45° = 1
➤ हर = 2/√3 + 1/2 + 1 = 3/2 + 2/√3
➤ मान = (3/2 − 2/√3) / (3/2 + 2/√3)
➤ बीजगणितीय सरलीकरण: = (43 − 24√3)/11
✔️ अंतिम मान = (43 − 24√3)/11
🔵 प्रश्न 1(v): (5 cos² 60° + 4 sec² 30° − tan² 45°) / (sin² 30° + cos² 30°)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ cos 60° = 1/2 ⇒ cos² 60° = 1/4 ⇒ 5 cos² 60° = 5/4
➤ sec 30° = 2/√3 ⇒ sec² 30° = 4/3 ⇒ 4 sec² 30° = 16/3
➤ tan 45° = 1 ⇒ tan² 45° = 1
➤ अंश = 5/4 + 16/3 − 1 = 67/12
➤ हर = sin² 30° + cos² 30° = 1/4 + 3/4 = 1
✔️ अंतिम मान = 67/12
🔵 प्रश्न 2(i): (2 tan 30°)/(1 + tan² 30°) = ? (विकल्प: A sin 60°, B cos 60°, C tan 60°, D sin 30°)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ tan 30° = 1/√3
➤ मान = (2/√3) / (1 + 1/3)
➤ = (2/√3) / (4/3) = (2/√3)×(3/4) = 3/(2√3) = √3/2
✔️ सही विकल्प = A (sin 60°)
🔵 प्रश्न 2(ii): (1 − tan² 45°)/(1 + tan² 45°) = ? (विकल्प: A tan 90°, B 1, C sin 45°, D 0)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ tan 45° = 1
➤ मान = (1 − 1²)/(1 + 1²) = 0/2 = 0
✔️ सही विकल्प = D (0)
🔵 प्रश्न 2(iii): sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है: (A 0°, B 30°, C 45°, D 60°)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ sin 2A = 2 sin A cos A
➤ 2 sin A cos A = 2 sin A ⇒ या तो sin A = 0 या cos A = 1
➤ 0° ≤ A ≤ 90° में cos A = 1 ⇒ A = 0°
✔️ सही विकल्प = A (0°)
🔵 प्रश्न 2(iv): (2 tan 30°)/(1 − tan² 30°) = ? (विकल्प: A cos 60°, B sin 60°, C tan 60°, D sin 30°)
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ tan 30° = 1/√3
➤ मान = (2/√3) / (1 − 1/3) = (2/√3) / (2/3)
➤ = (2/√3)×(3/2) = 3/√3 = √3
✔️ सही विकल्प = C (tan 60°)
🔵 प्रश्न 3: यदि tan(A + B) = √3 और tan(A − B) = 1/√3 ; 0° < A + B ≤ 90° ; A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ tan(A + B) = √3 ⇒ A + B = 60°
➤ tan(A − B) = 1/√3 ⇒ A − B = 30°
➤ जोड़ें: 2A = 90° ⇒ A = 45°
➤ A + B = 60° ⇒ 45° + B = 60° ⇒ B = 15°
✔️ निष्कर्ष: A = 45°, B = 15°
🔵 प्रश्न 4(i): sin(A + B) = sin A + sin B
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ सूत्र: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
➤ RHS ≠ sin A + sin B
✖️ कथन असत्य
🔵 प्रश्न 4(ii): θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ 0° ≤ θ ≤ 90° पर sin θ एकवर्धी (increasing) है
✔️ कथन सत्य (इस क्षेत्र में)
🔵 प्रश्न 4(iii): θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ 0° ≤ θ ≤ 90° पर cos θ घटता है
✖️ कथन असत्य
🔵 प्रश्न 4(iv): सभी θ के मानों पर sin θ = cos θ
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ 0° ≤ θ ≤ 90° में sin θ = cos θ केवल θ = 45° पर
✖️ कथन असत्य
🔵 प्रश्न 4(v): A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
🟢 उत्तर (चरण-दर-चरण):
➤ cot A = cos A / sin A ; A = 0° ⇒ sin 0° = 0
➤ 1/0 अपरिभाषित
✔️ कथन सत्य
प्रश्नावली 8.3
🔵 Question 1
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
🟢 Answer
🔵 Step 1: tan A = 1/cot A
🔵 Step 2: cosec² A = 1 + cot² A ⇒ sin A = 1/cosec A = 1/√(1 + cot² A)
🔵 Step 3: sec² A = 1 + tan² A = 1 + (1/cot² A) = (cot² A + 1)/cot² A
🔵 Step 4: ⇒ sec A = √(cot² A + 1)/|cot A| (न्यून कोण पर sec A>0, cot A>0)
✔️ Final:
• sin A = 1/√(1 + cot² A)
• sec A = √(1 + cot² A)/cot A
• tan A = 1/cot A
🔵 Question 2
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
🟢 Answer
🔵 Step 1: sec A = 1/cos A ⇒ cos A = 1/sec A
🔵 Step 2: sin² A + cos² A = 1 ⇒ sin² A = 1 − 1/sec² A = (sec² A − 1)/sec² A
🔵 Step 3: ⇒ sin A = √(sec² A − 1)/sec A
🔵 Step 4: tan A = sin A/cos A = [√(sec² A − 1)/sec A] / (1/sec A) = √(sec² A − 1)
🔵 Step 5: cot A = 1/tan A = 1/√(sec² A − 1)
🔵 Step 6: cosec A = 1/sin A = sec A/√(sec² A − 1)
✔️ Final:
• sin A = √(sec² A − 1)/sec A, • cos A = 1/sec A, • tan A = √(sec² A − 1),
• cot A = 1/√(sec² A − 1), • cosec A = sec A/√(sec² A − 1)
🔵 Question 3
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :
🟣 (i) 9 sec² A − 9 tan² A बराबर है: (A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
🟢 Answer
🔵 Step 1: sec² A − tan² A = 1
🔵 Step 2: 9 sec² A − 9 tan² A = 9(sec² A − tan² A) = 9×1
✔️ Final: 9 ⇒ सही विकल्प (B)
🟣 (ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ − cosec θ) बराबर है: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) −1
🟢 Answer
🔵 Step 1: tanθ = sinθ/cosθ, secθ = 1/cosθ, cotθ = cosθ/sinθ, cosecθ = 1/sinθ
🔵 Step 2: (1 + s/c + 1/c)(1 + c/s − 1/s) = ((s + c + 1)/c) · ((s + c − 1)/s)
🔵 Step 3: अंश = (s + c + 1)(s + c − 1) = (s + c)² − 1 = s² + 2sc + c² − 1 = 2sc
🔵 Step 4: हर = cs
✔️ Final: 2sc/(cs) = 2 ⇒ सही विकल्प (C)
🟣 (iii) (sec A + tan A)(1 − sin A) बराबर है: (A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cos A
🟢 Answer
🔵 Step 1: sec A + tan A = (1 + sin A)/cos A
🔵 Step 2: (sec A + tan A)(1 − sin A) = [(1 + sin A)(1 − sin A)]/cos A
🔵 Step 3: = (1 − sin² A)/cos A = cos² A/cos A
✔️ Final: cos A ⇒ सही विकल्प (D)
🟣 (iv) (1 + tan² A)/(1 + cot² A) बराबर है: (A) sec² A (B) −1 (C) cot² A (D) tan² A
🟢 Answer
🔵 Step 1: 1 + tan² A = sec² A, 1 + cot² A = cosec² A
🔵 Step 2: (1 + tan² A)/(1 + cot² A) = sec² A/cosec² A
🔵 Step 3: = (1/cos² A)/(1/sin² A) = sin² A/cos² A
✔️ Final: tan² A ⇒ सही विकल्प (D)
🔵 Question 4
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण हैं :
🟣 (i) (cosec θ − cot θ)² = (1 − cos θ)/(1 + cos θ)
🟢 Answer
🔵 Step 1: cosecθ = 1/sinθ, cotθ = cosθ/sinθ
🔵 Step 2: LHS = ( (1 − cosθ)/sinθ )² = (1 − cosθ)²/sin²θ
🔵 Step 3: sin²θ = 1 − cos²θ = (1 − cosθ)(1 + cosθ)
🔵 Step 4: LHS = (1 − cosθ)² / [(1 − cosθ)(1 + cosθ)]
🔵 Step 5: LHS = (1 − cosθ)/(1 + cosθ) = RHS
✔️ Final: सिद्ध
🟣 (ii) cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A
🟢 Answer
🔵 Step 1: LHS = [cos²A + (1 + sin A)²] / [cos A(1 + sin A)]
🔵 Step 2: cos²A + 1 + 2 sin A + sin²A = 2 + 2 sin A
🔵 Step 3: LHS = 2(1 + sin A)/[cos A(1 + sin A)]
🔵 Step 4: LHS = 2/cos A
✔️ Final: 2 sec A ⇒ सिद्ध
🟣 (iii) tan θ/(1 − cot θ) + cot θ/(1 − tan θ) = 1 + sec θ · cosec θ
🟢 Answer
🔵 Step 1: tanθ = s/c, cotθ = c/s (जहाँ s = sinθ, c = cosθ)
🔵 Step 2: s/c ÷ (1 − c/s) = s²/[c(s − c)]
🔵 Step 3: c/s ÷ (1 − s/c) = c²/[s(c − s)] = −c²/[s(s − c)]
🔵 Step 4: LHS = [s²/(c(s − c))] − [c²/(s(s − c))]
🔵 Step 5: = 1/(s − c) · (s²/c − c²/s) = (s³ − c³)/(sc(s − c))
🔵 Step 6: s³ − c³ = (s − c)(s² + sc + c²)
🔵 Step 7: LHS = (s² + sc + c²)/(sc) = (s² + c²)/(sc) + 1
🔵 Step 8: = 1/(sc) + 1 = 1 + (1/c)(1/s)
✔️ Final: 1 + secθ·cosecθ ⇒ सिद्ध
🟣 (iv) (1 + sec A)/sec A = sin² A/(1 − cos A)
🟢 Answer
🔵 Step 1: LHS = 1/sec A + 1 = cos A + 1
🔵 Step 2: RHS = sin² A/(1 − cos A) = (1 − cos² A)/(1 − cos A)
🔵 Step 3: RHS = (1 − cos A)(1 + cos A)/(1 − cos A) = 1 + cos A
✔️ Final: दोनों पक्ष 1 + cos A ⇒ सिद्ध
🟣 (v) (cos A − sin A + 1)/(cos A + sin A − 1) = cosec A + cot A
🟢 Answer
🔵 Step 1: LHS को (cos A + sin A + 1)/(cos A + sin A + 1) से गुणा करें
🔵 Step 2: हर = (cos A + sin A − 1)(cos A + sin A + 1) = (cos A + sin A)² − 1 = 2 cos A sin A
🔵 Step 3: अंश = (cos A − sin A + 1)(cos A + sin A + 1)
🔵 Step 4: = cos²A − sin²A + 2 cos A + 1
🔵 Step 5: cos²A − sin²A = 1 − 2 sin²A ⇒ अंश = 2 − 2 sin²A + 2 cos A = 2(cos²A + cos A)
🔵 Step 6: LHS = [2(cos²A + cos A)] / [2 cos A sin A] = (cos A + 1)/sin A
🔵 Step 7: (cos A + 1)/sin A = 1/sin A + cos A/sin A
✔️ Final: cosec A + cot A ⇒ सिद्ध
🟣 (vi) √((1 + sin A)/(1 − sin A)) = sec A + tan A
🟢 Answer
🔵 Step 1: अंदर √ को परिमूल्यित करें: (1 + sin A)/(1 − sin A) · (1 + sin A)/(1 + sin A)
🔵 Step 2: = (1 + sin A)² / (1 − sin² A) = (1 + sin A)² / cos² A
🔵 Step 3: LHS = (1 + sin A)/|cos A| ; न्यून कोण ⇒ cos A > 0
🔵 Step 4: LHS = (1 + sin A)/cos A = 1/cos A + sin A/cos A
✔️ Final: sec A + tan A ⇒ सिद्ध
🟣 (vii) (sin θ − 2 sin³ θ)/(2 cos³ θ − cos θ) = tan θ
🟢 Answer
🔵 Step 1: LHS = [sinθ(1 − 2 sin²θ)] / [cosθ(2 cos²θ − 1)]
🔵 Step 2: 1 − 2 sin²θ = cos 2θ, 2 cos²θ − 1 = cos 2θ
🔵 Step 3: LHS = [sinθ · cos 2θ] / [cosθ · cos 2θ]
🔵 Step 4: cos 2θ ≠ 0 होने पर काटें
✔️ Final: tan θ ⇒ सिद्ध
🟣 (viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
🟢 Answer
🔵 Step 1: (sin A + cosec A)² = sin²A + 2 + cosec²A
🔵 Step 2: (cos A + sec A)² = cos²A + 2 + sec²A
🔵 Step 3: योग = (sin²A + cos²A) + 4 + (sec²A + cosec²A)
🔵 Step 4: sin²A + cos²A = 1
🔵 Step 5: sec²A = 1 + tan²A, cosec²A = 1 + cot²A
🔵 Step 6: योग = 1 + 4 + [ (1 + tan²A) + (1 + cot²A) ]
✔️ Final: 7 + tan²A + cot²A ⇒ सिद्ध
🟣 (ix) (cosec A − sin A)(sec A − cos A) = 1/(tan A + cot A)
🟢 Answer
🔵 Step 1: LHS = (1/s − s)(1/c − c) (s = sinA, c = cosA)
🔵 Step 2: = [(1 − s²)/s] · [(1 − c²)/c] = (c²/s) · (s²/c)
🔵 Step 3: = (c s)
🔵 Step 4: RHS = 1/(tanA + cotA) = 1/(s/c + c/s) = 1/((s² + c²)/(sc)) = sc
✔️ Final: दोनों पक्ष sc ⇒ सिद्ध
🟣 (x) (1 + tan² A)/(1 + cot² A) = ((1 − tan A)/(1 − cot A))² = tan² A
🟢 Answer
🔵 Step 1: 1 + tan²A = sec²A, 1 + cot²A = cosec²A
🔵 Step 2: (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = sec²A/cosec²A = tan²A (पहला भाग)
🔵 Step 3: मान लें t = tanA ⇒ cotA = 1/t
🔵 Step 4: ((1 − t)/(1 − 1/t))² = [(1 − t) · (t/(t − 1))]² = (−t)²
🔵 Step 5: = t² = tan²A (दूसरा भाग)
✔️ Final: दोनों बराबरीयाँ सत्य; परिणाम tan² A ⇒ सिद्ध
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
📊 कुल अंक: 80 ⏰ समय: 3 घंटे
📑 Response 1: प्रश्न 1–12 (खंड A एवं B)
🔵 प्रश्न 1
sin 30° का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: त्रिकोणमितीय सारणी से sin 30° = 1/2
✔️ अन्तिम उत्तर: 1/2
🔵 प्रश्न 2
cos 60° का मान क्या है?
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: cos 60° = 1/2
✔️ अन्तिम उत्तर: 1/2
🔵 प्रश्न 3
tan 45° का मान लिखिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: tan 45° = 1
✔️ अन्तिम उत्तर: 1
🔵 प्रश्न 4
cosec 90° का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: cosec 90° = 1/sin 90° = 1/1 = 1
✔️ अन्तिम उत्तर: 1
🔵 प्रश्न 5
sec 0° का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sec 0° = 1/cos 0° = 1/1 = 1
✔️ अन्तिम उत्तर: 1
🔵 प्रश्न 6
यदि sin θ = 1/2 और θ न्यून कोण है, तो cos θ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sin²θ + cos²θ = 1
🔵 Step 2: (1/2)² + cos²θ = 1
🔵 Step 3: 1/4 + cos²θ = 1
🔵 Step 4: cos²θ = 1 − 1/4 = 3/4
🔵 Step 5: cos θ = √(3/4) = √3/2 (न्यून कोण ⇒ धनात्मक)
✔️ अन्तिम उत्तर: √3/2
🟢 खंड B — प्रत्येक 2 अंक
🔵 प्रश्न 7
यदि tan A = 3/4 और A न्यून कोण है, तो sin A और cos A का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: tan A = 3/4 ⇒ समकोण त्रिभुज में लम्ब = 3, आधार = 4
🔵 Step 2: कर्ण = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
🔵 Step 3: sin A = लम्ब/कर्ण = 3/5
🔵 Step 4: cos A = आधार/कर्ण = 4/5
✔️ अन्तिम उत्तर: sin A = 3/5, cos A = 4/5
🔵 प्रश्न 8
यदि cos A = 12/13 और A न्यून कोण है, तो sin A और tan A का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sin²A + cos²A = 1
🔵 Step 2: sin²A = 1 − (12/13)² = 1 − 144/169 = 25/169
🔵 Step 3: sin A = 5/13
🔵 Step 4: tan A = sin A / cos A = (5/13)/(12/13) = 5/12
✔️ अन्तिम उत्तर: sin A = 5/13, tan A = 5/12
🔵 प्रश्न 9
cosec² A − cot² A का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: cosec²A − cot²A = 1 (मानक सर्वसमिका)
✔️ अन्तिम उत्तर: 1
🔵 प्रश्न 10
यदि sec A = 5/4 है, तो tan² A का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sec²A = 1 + tan²A
🔵 Step 2: sec A = 5/4 ⇒ sec²A = 25/16
🔵 Step 3: 25/16 = 1 + tan²A
🔵 Step 4: tan²A = 25/16 − 1 = 25/16 − 16/16 = 9/16
✔️ अन्तिम उत्तर: 9/16
🔵 प्रश्न 11
एक सीढ़ी दीवार के सहारे लगी है। सीढ़ी की लम्बाई 5 m है और उसका पायाँ सिरा दीवार से 3 m दूर है। दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: कर्ण = 5 m, आधार = 3 m
🔵 Step 2: लम्ब = √(कर्ण² − आधार²) = √(25 − 9)
🔵 Step 3: = √16 = 4 m
✔️ अन्तिम उत्तर: 4 m
🔵 प्रश्न 12
यदि sin A = 3/5 है, तो cos A और tan A के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sin²A + cos²A = 1
🔵 Step 2: (3/5)² + cos²A = 1
🔵 Step 3: 9/25 + cos²A = 1
🔵 Step 4: cos²A = 1 − 9/25 = 16/25
🔵 Step 5: cos A = 4/5 (न्यून कोण ⇒ धनात्मक)
🔵 Step 6: tan A = sin A / cos A = (3/5)/(4/5) = 3/4
✔️ अन्तिम उत्तर: cos A = 4/5, tan A = 3/4
📑 Response 2: प्रश्न 13–22 (खंड C — प्रत्येक 3 अंक)
🔵 प्रश्न 13
यदि tan A = 5/12 है, तो sin A और cos A के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: tan A = लम्ब/आधार = 5/12
🔵 Step 2: कर्ण = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13
🔵 Step 3: sin A = 5/13
🔵 Step 4: cos A = 12/13
✔️ अन्तिम उत्तर: sin A = 5/13, cos A = 12/13
🔵 प्रश्न 14
यदि sec A = 13/5 है, तो tan A और cot A के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sec A = कर्ण/आधार = 13/5 ⇒ कर्ण = 13, आधार = 5
🔵 Step 2: लम्ब = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12
🔵 Step 3: tan A = लम्ब/आधार = 12/5
🔵 Step 4: cot A = आधार/लम्ब = 5/12
✔️ अन्तिम उत्तर: tan A = 12/5, cot A = 5/12
🔵 प्रश्न 15
सिद्ध कीजिए कि: (1 + tan² A) = sec² A.
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: tan A = sin A / cos A
🔵 Step 2: 1 + tan² A = 1 + (sin²A / cos²A) = (cos²A + sin²A)/cos²A
🔵 Step 3: cos²A + sin²A = 1 ⇒ (cos²A + sin²A)/cos²A = 1/cos²A = sec²A
✔️ अन्तिम उत्तर: सिद्ध
🔵 प्रश्न 16
यदि cos θ = 3/5 है, तो 2 sin θ cos θ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sin²θ + cos²θ = 1 ⇒ sin²θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25
🔵 Step 2: sin θ = 4/5 (न्यून कोण)
🔵 Step 3: 2 sin θ cos θ = 2 × (4/5) × (3/5) = 24/25
✔️ अन्तिम उत्तर: 24/25
🔵 प्रश्न 17
यदि tan θ = 3/4 है, तो (1 − sin θ)(1 + sin θ) का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: tan θ = 3/4 ⇒ लम्ब = 3, आधार = 4 ⇒ कर्ण = 5
🔵 Step 2: sin θ = 3/5
🔵 Step 3: (1 − sin θ)(1 + sin θ) = 1 − sin² θ = 1 − (9/25) = 16/25
✔️ अन्तिम उत्तर: 16/25
🔵 प्रश्न 18
यदि sec A = 17/8 है, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sec A = कर्ण/आधार = 17/8 ⇒ कर्ण = 17, आधार = 8
🔵 Step 2: लम्ब = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15
🔵 Step 3: cos A = 8/17
🔵 Step 4: sin A = 15/17
🔵 Step 5: tan A = 15/8
🔵 Step 6: cot A = 8/15
🔵 Step 7: cosec A = 17/15
✔️ अन्तिम उत्तर: sin A = 15/17, cos A = 8/17, tan A = 15/8, cot A = 8/15, cosec A = 17/15, sec A = 17/8
🔵 प्रश्न 19
सिद्ध कीजिए कि: (sec A + tan A)(1 − sin A) = cos A.
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sec A + tan A = (1 + sin A)/cos A
🔵 Step 2: ⇒ (sec A + tan A)(1 − sin A) = (1 + sin A)(1 − sin A)/cos A
🔵 Step 3: = (1 − sin² A)/cos A = cos² A / cos A = cos A
✔️ अन्तिम उत्तर: सिद्ध
🔵 प्रश्न 20
OR
सिद्ध कीजिए कि: (1 + sec A)/sec A = sin² A /(1 − cos A).
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: LHS = (1 + sec A)/sec A = 1 + 1/sec A = 1 + cos A
🔵 Step 2: RHS = sin²A /(1 − cos A) = (1 − cos²A)/(1 − cos A)
🔵 Step 3: RHS = (1 − cos A)(1 + cos A)/(1 − cos A) = 1 + cos A
✔️ अन्तिम उत्तर: सिद्ध
🔵 प्रश्न 21
tan² A + 1 / tan² A का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: sec²A = 1 + tan²A ⇒ tan²A = sec²A − 1
🔵 Step 2: tan²A + 1/tan²A ≥ 2 (AM ≥ GM असमानता से)
✔️ अन्तिम उत्तर: न्यूनतम मान 2
🔵 प्रश्न 22
यदि sin θ = 24/25 हो, तो cos θ और tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 Step 1: cos² θ = 1 − sin² θ = 1 − (24/25)² = 1 − 576/625 = 49/625
🔵 Step 2: cos θ = 7/25
🔵 Step 3: tan θ = sin θ / cos θ = (24/25)/(7/25) = 24/7
✔️ अन्तिम उत्तर: cos θ = 7/25, tan θ = 24/7
🔵 Question 23
सिद्ध कीजिए: (cosec A − sin A)(sec A − cos A) = 1/(tan A + cot A)
🟢 Answer
💡 Concept: s = sin A, c = cos A, जहाँ 0° < A < 90°
🔵 Step 1: LHS = (1/s − s)(1/c − c)
🔵 Step 2: = ((1 − s²)/s) · ((1 − c²)/c)
🔵 Step 3: = (c²/s) · (s²/c) (क्योंकि 1 − s² = c², 1 − c² = s²)
🔵 Step 4: = s c
🔵 Step 5: RHS = 1/(tan A + cot A) = 1/(s/c + c/s) = 1/((s² + c²)/(s c)) = s c
🟡 Check: s² + c² = 1 प्रयुक्त
✔️ Final: LHS = RHS ⇒ सिद्ध
🔵 Question 24
सिद्ध कीजिए: (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
🟢 Answer
💡 Concept: sec² A = 1 + tan² A, cosec² A = 1 + cot² A
🔵 Step 1: (sin A + cosec A)² = sin²A + 2 + cosec²A
🔵 Step 2: (cos A + sec A)² = cos²A + 2 + sec²A
🔵 Step 3: LHS = (sin²A + cos²A) + 4 + (cosec²A + sec²A)
🔵 Step 4: = 1 + 4 + [(1 + cot²A) + (1 + tan²A)]
🔵 Step 5: = 5 + 2 + tan²A + cot²A
✔️ Final: 7 + tan²A + cot²A ⇒ सिद्ध
🔵 Question 25
यदि sec A = 13/12 और A न्यून कोण है, तो sin A, cos A, tan A, cot A, cosec A ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
💡 Formula: sec A = hypotenuse/base
🔵 Step 1: hypotenuse = 13, base = 12
🔵 Step 2: perpendicular = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5
🔵 Step 3: cos A = 12/13
🔵 Step 4: sin A = 5/13
🔵 Step 5: tan A = sin A/cos A = (5/13)/(12/13) = 5/12
🔵 Step 6: cot A = 12/5
🔵 Step 7: cosec A = 13/5
✔️ Final: sin A = 5/13, cos A = 12/13, tan A = 5/12, cot A = 12/5, cosec A = 13/5
🔵 Question 26
सिद्ध कीजिए: (1 + sec A)/sec A = sin² A/(1 − cos A)
🟢 Answer
💡 Concept: cos A = 1/sec A, sin² A = 1 − cos² A
🔵 Step 1: LHS = 1 + 1/sec A = 1 + cos A
🔵 Step 2: RHS = sin²A/(1 − cos A) = (1 − cos²A)/(1 − cos A)
🔵 Step 3: = (1 − cos A)(1 + cos A)/(1 − cos A)
🔵 Step 4: = 1 + cos A
✔️ Final: LHS = RHS ⇒ सिद्ध
🔵 Question 27
यदि tan θ = 3/4, तो सिद्ध कीजिए कि (1 − sin θ)(1 + sin θ) = (1 − cos θ)(1 + cos θ) = 16/25
🟢 Answer
💡 Diagram idea: समकोण त्रिभुज में base = 4, perpendicular = 3, hypotenuse = 5
🔵 Step 1: sin θ = 3/5, cos θ = 4/5
🔵 Step 2: (1 − sin θ)(1 + sin θ) = 1 − sin² θ = 1 − (9/25) = 16/25
🔵 Step 3: (1 − cos θ)(1 + cos θ) = 1 − cos² θ = 1 − (16/25) = 9/25 (ध्यान)
🔴 Warning: प्रश्न के दोनों पक्ष समान नहीं; दूसरा मान 9/25 आता है
🟡 Check: अतः समानता का दावा गलत होगा; सही कथन: (1 − sin² θ) = 16/25, (1 − cos² θ) = 9/25
✔️ Final: (1 − sin² θ) = 16/25 तथा (1 − cos² θ) = 9/25 (सही मान प्रस्तुत)
🔵 Question 28
सिद्ध कीजिए: √((1 + sin A)/(1 − sin A)) = sec A + tan A
🟢 Answer
💡 Concept: परिमूल्यन द्वारा सरलकरण
🔵 Step 1: (1 + sin A)/(1 − sin A) · (1 + sin A)/(1 + sin A)
🔵 Step 2: = (1 + sin A)²/(1 − sin² A)
🔵 Step 3: = (1 + sin A)²/cos² A
🔵 Step 4: √(…) = (1 + sin A)/|cos A| ; न्यून कोण ⇒ cos A > 0
🔵 Step 5: = 1/cos A + sin A/cos A
✔️ Final: sec A + tan A ⇒ सिद्ध
🔵 Question 29
OR
सिद्ध कीजिए: (cosec A − cot A)² = (1 − cos A)/(1 + cos A)
🟢 Answer
💡 Concept: cosec A = 1/sin A, cot A = cos A/sin A
🔵 Step 1: LHS = (1/sin A − cos A/sin A)² = ((1 − cos A)/sin A)²
🔵 Step 2: = (1 − cos A)²/sin² A
🔵 Step 3: sin² A = (1 − cos A)(1 + cos A)
🔵 Step 4: LHS = (1 − cos A)²/[(1 − cos A)(1 + cos A)]
🔵 Step 5: = (1 − cos A)/(1 + cos A)
✔️ Final: सिद्ध
🔵 Question 30
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: (sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°) / (sec 30° + cosec 30°)
🟢 Answer
💡 Values: sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sec 30° = 2/√3, cosec 30° = 2
🔵 Step 1: अंश = (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2)
🔵 Step 2: = 3/4 + 1/4 = 1
🔵 Step 3: हर = 2/√3 + 2 = 2(1/√3 + 1)
🔵 Step 4: मान = 1 / [2(1 + 1/√3)]
🔵 Step 5: परिमूलीकरण: = 1 / [2((√3 + 1)/√3)] = √3 / [2(√3 + 1)]
🔵 Step 6: आगे: = √3(√3 − 1) / [2((√3 + 1)(√3 − 1))]
🔵 Step 7: = √3(√3 − 1) / [2(3 − 1)] = √3(√3 − 1)/4
✔️ Final: (3 − √3)/4
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मनोमानचित्र
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