Class 10 : Maths (In Hindi) – Lesson 5. समांतर श्रेढ़ियाँ

पाठ का विश्लेषण  एवं  विवेचन

🔵 परिचय
समांतर श्रेणी (ए.पी.) वह क्रम है जिसमें प्रत्येक क्रमागत दो पदों का अन्तर एक स्थिर संख्या होता है। यदि प्रथम पद a, समान्तर अन्तर d तथा n-वाँ पद aₙ हो, तो श्रेणी इस प्रकार लिखते हैं: a, a + d, a + 2d, a + 3d, … । यहाँ d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है—d > 0 होने पर श्रेणी बढ़ती है, d < 0 होने पर घटती है और d = 0 होने पर सभी पद समान रहते हैं (स्थिर श्रेणी)। समांतर श्रेणी दैनिक जीवन की कई स्थितियों—जैसे समान अन्तर से बढ़ती/घटती बचत, दूरी, उत्पादन—का सरल गणितीय मॉडल देती है।
🟢 मूल शब्दावली
🔹 पद (aₙ): श्रेणी का n-वाँ सदस्य।
🔹 प्रथम पद (a): श्रेणी की शुरुआत का पद।
🔹 समान्तर अन्तर (d): a₍ₙ₊₁₎ − aₙ (सभी n के लिए स्थिर)।
🔹 अन्तिम पद (l): सीमित पदों वाली श्रेणी का आख़िरी पद।
🔹 आंशिक योग (Sₙ): प्रथम n पदों का कुल योग।
💡 Concept: पहचान का मानदण्ड
यदि किसी क्रम में a₍ₙ₊₁₎ − aₙ = d (स्थिर) हर n के लिए हो, तो वह क्रम समांतर श्रेणी है।
✏️ Note: संकेत (sign) का महत्व
d का चिन्ह श्रेणी की प्रवृत्ति तय करता है; ऋणात्मक d में गणना करते समय − चिह्नों की विशेष जाँच रखें।

🔵 n-वें पद का सूत्र
a₁ = a, a₂ = a + d, a₃ = a + 2d, … अतः सामान्य रूप
🔵 aₙ = a + (n − 1)d
🧠 उपयोग
➡️ किसी भी पद का मान सीधे निकलेगा—लगातार जोड़ की आवश्यकता नहीं।
➡️ d ज्ञात करना हो: d = (aₙ − a)/(n − 1) (n ≥ 2)।
➡️ a ज्ञात करना हो: a = aₙ − (n − 1)d।

🔵 आंशिक योग (Sₙ) के सूत्र
समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग
🔹 Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
यदि अन्तिम पद l ज्ञात हो, तो
🔹 Sₙ = n/2 (a + l)
🧠 क्यों सही है (युग्मन विचार):
Sₙ = a + (a + d) + … + [a + (n − 1)d]
उलटकर जोड़ने पर प्रत्येक युग्म का योग [2a + (n − 1)d] आता है और ऐसे n युग्म मिलकर 2Sₙ देते हैं ⇒ 2Sₙ = n[2a + (n − 1)d] ⇒ Sₙ का सूत्र।
✏️ Note: कौन-सा रूप कब?
l उपलब्ध हो तो Sₙ = n/2 (a + l) सरल पड़ता है; अन्यथा सार्वभौमिक रूप n/2[2a + (n − 1)d] प्रयोग करें।

🟢 पदों की संख्या (n)
जब a, l, d ज्ञात हों और बीच के सभी पद मौजूद हों, तो
🔵 n = (l − a)/d + 1
(यहाँ (l − a)/d अवश्य पूर्णांक होना चाहिए; अन्यथा दिया गया l उस श्रेणी का वैध अन्तिम पद नहीं है।)

🟡 किसी संख्या का “सदस्यता-परीक्षण”
किसी x के श्रेणी का पद होने की जाँच हेतु समीकरण
🔵 a + (n − 1)d = x
से n निकालें। यदि n धनात्मक पूर्णांक निकले तो x उस श्रेणी का पद है; अन्यथा नहीं।
💡 Concept: रैखिकता
aₙ, n का रैखिक फलन है: aₙ = dn + (a − d)। अतः बिन्दु (n, aₙ) समतल पर सीधी रेखा पर स्थित होते हैं (n = 1, 2, 3, …)।

🔴 समान्तर माध्य (Arithmetic Means) प्रविष्ट करना
a और b के बीच m समान्तर माध्य डालने हों: कुल पद n = m + 2।
b = a + (n − 1)d = a + (m + 1)d ⇒
🔵 d = (b − a)/(m + 1)
तब माध्य होंगे: a + d, a + 2d, …, a + m d।
एक ही माध्य A के लिए
🔵 A = (a + b)/2
✏️ Note: सभी अन्तर बराबर
माध्यों के बीच का अन्तर भी d ही रहता है; किसी एक अन्तर के बिगड़ते ही पूरी श्रेणी समांतर नहीं रहती।

🟢 विविध प्रश्न-रूप और युक्तियाँ
🧠 प्रकार 1: a, d दिए हों ⇒ aₙ
➡️ सूत्र: aₙ = a + (n − 1)d
✔️ जाँच: n = 1 रखने पर a₁ = a अवश्य मिले।
🧠 प्रकार 2: a, d, n दिए हों ⇒ l
➡️ l = a + (n − 1)d
✔️ उपयोग: सीमित श्रेणी में अन्तिम पद सहज निकलता है।
🧠 प्रकार 3: a, l दिए हों ⇒ d या n
➡️ d = (l − a)/(n − 1) या n = (l − a)/d + 1
✔️ सावधानी: हर बार n पूर्णांक जाँचे।
🧠 प्रकार 4: Sₙ निकालना
➡️ Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] (या) Sₙ = n/2 (a + l)
✔️ तरकीब: जो रूप कम गणना दे, वही लें।
🧠 प्रकार 5: सदस्यता-परीक्षण
➡️ a + (n − 1)d = x ⇒ n; फिर n ∈ ℕ? तभी सदस्यता मान्य।
🧠 प्रकार 6: समान्तर माध्य प्रविष्ट करना
➡️ d = (b − a)/(m + 1), माध्य: a + kd (k = 1…m)

🟡 जीवनोपयोगी अनुप्रयोग
🔵 बचत/खर्च योजना: प्रतिदिन/प्रतिमाह निश्चित अन्तर से राशि बदलना; Sₙ से कुल प्रभाव।
🟢 व्यायाम/प्रशिक्षण: दौड़/पुश-अप की संख्या प्रतिदिन d से बढ़ाना—प्रथम n दिनों का कुल परिश्रम Sₙ।
🟡 निर्माण/सीढ़ियाँ: समतल ऊँचाइयों के साथ तलों का निर्धारण।
🔴 उत्पादन/खपत: महीने-दर-महीने समान वृद्धि/ह्रास का आकलन।
✳️ समय-सारिणी: किसी कार्य की अवधि में नियमित अन्तराल पर कार्य-मात्रा।
💡 Concept: रूपरेखा-निर्णय
पहचानें—क्या परिवर्तन “समान अन्तर” से है? हाँ तो ए.पी. का मॉडल लेकर aₙ या Sₙ में से उपयुक्त सूत्र चुनें।

🔵 उदाहरणों की कार्य-विधि (एक-एक पंक्ति में गणना)
उदाहरण 1: a = 5, d = 3, n = 20 ⇒ a₂₀, S₂₀
🔹 a₂₀ = a + (n − 1)d = 5 + 19×3 = 62
🔹 S₂₀ = n/2 [2a + (n − 1)d] = 20/2 [10 + 57] = 10×67 = 670
✔️ निष्कर्ष: 20वाँ पद 62, प्रथम 20 पदों का योग 670।
उदाहरण 2: a = 12, l = 3, d = −1.5 ⇒ n, Sₙ
🔹 n = (l − a)/d + 1 = (3 − 12)/(−1.5) + 1 = (−9)/(−1.5) + 1 = 6 + 1 = 7
🔹 S₇ = n/2 (a + l) = 7/2 (12 + 3) = 7/2 × 15 = 52.5
✔️ निष्कर्ष: कुल 7 पद; योग 52.5।
उदाहरण 3: 15, 12, 9, … का 50वाँ पद
🔹 a = 15, d = −3 ⇒ a₅₀ = a + 49d = 15 + 49×(−3) = 15 − 147 = −132
उदाहरण 4: 4 और 22 के बीच 3 समान्तर माध्य
🔹 m = 3 ⇒ d = (b − a)/(m + 1) = (22 − 4)/4 = 18/4 = 4.5
🔹 माध्य: 8.5, 13, 17.5
✔️ जाँच: क्रमागत अन्तर 4.5; अन्तिम पद 22 प्राप्त—संगति सही।
✏️ Note: प्रत्येक चरण एक पंक्ति
किसी भी गणना में चरण न मिलाएँ—गलतियों से बचने का यह सबसे सरल तरीका है।

🔴 सामान्य त्रुटियाँ और उनसे बचाव
🔴 (n − 1)d में “− 1” भूल जाना।
🔴 ऋणात्मक d पर चिन्हों की गड़बड़ी।
🔴 Sₙ के गुणन में 2a + (n − 1)d की जगह a + (n − 1)d लिख देना।
🔴 सदस्यता-परीक्षण में n को पूर्णांक न जाँचना।
✔️ बचाव: हर पंक्ति में “=” के दोनों ओर परिमाण/चिह्न जाँचें; अन्त में उत्तर को सरलतम रूप दें।

🧠 ग्राफीय दृष्टि (भावार्थ)
बिन्दु (1, a₁), (2, a₂), …, (n, aₙ) एक सीधी रेखा पर आते हैं; ढाल = d, तथा n = 0 पर प्रतिछेद (a − d) (परिभाषा n ≥ 1 से मान्य; यह दृश्य समझ के लिए उपयोगी संकेत है)।

🟡 समेकित रणनीति (समस्या-समाधान ढाँचा)
🔵 चरण 1: पहचान—क्या “समान अन्तर” है?
🟢 चरण 2: दिए-माँगे लिखें (a, d, n, l, Sₙ में क्या-क्या ज्ञात/अज्ञात?)
🟡 चरण 3: उपयुक्त सूत्र चुनें (aₙ या Sₙ का कौन-सा रूप?)
🔴 चरण 4: एक-एक पंक्ति में गणना; अन्त में जाँच (यथासम्भव)।
✔️ चरण 5: निष्कर्ष—प्रमाण/एकक/संदर्भ स्पष्ट लिखें।

सारांश (लगभग 300 शब्द)
🔵 परिभाषा व पहचान
समांतर श्रेणी वह क्रम है जिसमें a₍ₙ₊₁₎ − aₙ = d एक स्थिर संख्या रहती है। d > 0 पर वृद्धि, d < 0 पर ह्रास और d = 0 पर स्थिरता प्राप्त होती है।
🟢 n-वाँ पद
aₙ = a + (n − 1)d। इससे किसी भी पद का मान तुरन्त मिलता है; साथ ही d = (aₙ − a)/(n − 1) तथा a = aₙ − (n − 1)d जैसे उल्टे सम्बन्ध भी निकलते हैं।
🟡 आंशिक योग
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] तथा Sₙ = n/2 (a + l) दो मानक रूप हैं। जब l उपलब्ध हो, दूसरा रूप सरल पड़ता है; अन्यथा पहले रूप का प्रयोग सार्वभौमिक है।
🔴 पदों की संख्या और सदस्यता-परीक्षण
सीमित श्रेणी में n = (l − a)/d + 1 से पदों की संख्या निकलती है, बशर्ते (l − a)/d पूर्णांक हो। किसी x के पद होने हेतु a + (n − 1)d = x से n निकालकर n ∈ ℕ सत्यापित करें।
🔵 समान्तर माध्य
a और b के बीच m माध्य: d = (b − a)/(m + 1); माध्य a + kd (k = 1…m)। एक माध्य A = (a + b)/2।
🟢 ग्राफीय संकेत
(n, aₙ) बिन्दु रैखिक (सीधी रेखा) प्रवृत्ति दिखाते हैं; ढाल d, प्रतिछेद (a − d) (ध्यान: परिभाषा n ≥ 1)।
🟡 त्रुटियाँ व बचाव
(n − 1)d में “− 1” भूलना, ऋणात्मक d पर संकेत-त्रुटि, Sₙ के सूत्र में 2a को छोड़ देना या a + l के स्थानापन्न में भूल—इनसे बचे रहने को “एक-एक पंक्ति” का अनुशासन रखें और अन्त में संक्षिप्त जाँच अवश्य करें।
🔴 अनुप्रयोग
बचत/खर्च की नियत वृद्धि, प्रशिक्षण-सूची, उत्पादन/खपत का नियमित परिवर्तन, निर्माण-योजना—जहाँ परिवर्तन स्थिर अन्तर से होता है, वहाँ ए.पी. उपयुक्त मॉडल देती है और Sₙ से कुल प्रभाव शीघ्र ज्ञात होता है।

📝 Quick Recap
🔵 aₙ = a + (n − 1)d — n-वाँ पद।
🟢 Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]; और Sₙ = n/2 (a + l)।
🟡 n = (l − a)/d + 1 — सीमित श्रेणी में पदों की संख्या।
🔴 सदस्यता-परीक्षण: a + (n − 1)d = x ⇒ n ∈ ℕ? तभी सदस्य।
✳️ समान्तर माध्य: d = (b − a)/(m + 1); माध्य: a + kd।
✔️ अनुशासन: प्रत्येक गणना-चरण एक पंक्ति, संकेतों की जाँच, सरलतम अन्तिम उत्तर।

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 5.1

🔵 Question 1
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खातों में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8 % वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
🟢 Answer
(i) 🔵 Step 1: किराये = 15, 23, 31, 39, …
🔵 Step 2: प्रत्येक क्रमागत अन्तर = 8
✔️ Final: A.P. है (d = 8)
(ii) 🔵 Step 1: शेष मात्रा हर बार ¾ गुणा रह जाती है → अनुपातिक परिवर्तन, अन्तर स्थिर नहीं।
✔️ Final: A.P. नहीं है
(iii) 🔵 Step 1: लागत = 150, 200, 250, 300, …
🔵 Step 2: क्रमागत अन्तर = 50
✔️ Final: A.P. है (d = 50)
(iv) 🔵 Step 1: चक्रवृद्धि ब्याज → राशि हर वर्ष r % से गुणा होती है, अन्तर स्थिर नहीं।
✔️ Final: A.P. नहीं है

🔵 Question 2
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और समान अन्तर d निम्नलिखित हैं:
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = −2, d = −½
(iii) a = 4, d = 3
(iv) a = −1, d = ½
(v) a = −1.25, d = −0.25
🟢 Answer
(i) 🔵 a₁ = 10
🔵 a₂ = 10 + 10 = 20
🔵 a₃ = 10 + 20 = 30
🔵 a₄ = 10 + 30 = 40
✔️ Final: 10, 20, 30, 40
(ii) 🔵 a₁ = −2
🔵 a₂ = −2 + (−½) = −5/2
🔵 a₃ = −2 + 2(−½) = −3
🔵 a₄ = −2 + 3(−½) = −7/2
✔️ Final: −2, −5/2, −3, −7/2
(iii) 🔵 a₁ = 4
🔵 a₂ = 4 + 3 = 7
🔵 a₃ = 4 + 6 = 10
🔵 a₄ = 4 + 9 = 13
✔️ Final: 4, 7, 10, 13
(iv) 🔵 a₁ = −1
🔵 a₂ = −1 + ½ = −½
🔵 a₃ = −1 + 1 = 0
🔵 a₄ = −1 + 3/2 = ½
✔️ Final: −1, −½, 0, ½
(v) 🔵 a₁ = −1.25
🔵 a₂ = −1.25 + (−0.25) = −1.50
🔵 a₃ = −1.25 + 2(−0.25) = −1.75
🔵 a₄ = −1.25 + 3(−0.25) = −2.00
✔️ Final: −1.25, −1.50, −1.75, −2.00

🔵 Question 3
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा समान अन्तर लिखिए:
(i) 3, 1, −1, −3, …
(ii) −5, −1, 3, 7, …
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, …
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
🟢 Answer
(i) 🔵 a = 3
🔵 d = 1 − 3 = −2
✔️ Final: a = 3, d = −2
(ii) 🔵 a = −5
🔵 d = −1 − (−5) = 4
✔️ Final: a = −5, d = 4
(iii) 🔵 a = 1/3
🔵 d = 5/3 − 1/3 = 4/3
✔️ Final: a = 1/3, d = 4/3
(iv) 🔵 a = 0.6
🔵 d = 1.7 − 0.6 = 1.1
✔️ Final: a = 0.6, d = 1.1

🔵 Question 4
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।

🔵 Question 4 (i)
2, 4, 8, 16, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: 4 − 2 = 2, 8 − 4 = 4, 16 − 8 = 8 (समान नहीं)
✔️ Final: A.P. नहीं है

🔵 Question 4 (ii)
2, 5/2, 3, 7/2, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: 5/2 − 2 = 1/2; 3 − 5/2 = 1/2; 7/2 − 3 = 1/2 (समान)
🔵 अगले तीन पद: 4, 9/2, 5
✔️ Final: A.P. है; d = 1/2; अगले तीन पद: 4, 9/2, 5

🔵 Question 4 (iii)
−1.2, −3.2, −5.2, −7.2, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: −3.2 − (−1.2) = −2; −5.2 − (−3.2) = −2
🔵 अगले तीन पद: −9.2, −11.2, −13.2
✔️ Final: A.P. है; d = −2; अगले तीन पद: −9.2, −11.2, −13.2

🔵 Question 4 (iv)
−10, −6, −2, 2, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: −6 − (−10) = 4; −2 − (−6) = 4; 2 − (−2) = 4
🔵 अगले तीन पद: 6, 10, 14
✔️ Final: A.P. है; d = 4; अगले तीन पद: 6, 10, 14

🔵 Question 4 (v)
3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: (3 + √2) − 3 = √2 (समान)
🔵 अगले तीन पद: 3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2
✔️ Final: A.P. है; d = √2; अगले तीन पद: 3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2

🔵 Question 4 (vi)
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: 0.22 − 0.2 = 0.02; 0.222 − 0.22 = 0.002 (समान नहीं)
✔️ Final: A.P. नहीं है

🔵 Question 4 (vii)
0, −4, −8, −12, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: −4 − 0 = −4; −8 − (−4) = −4; −12 − (−8) = −4
🔵 अगले तीन पद: −16, −20, −24
✔️ Final: A.P. है; d = −4; अगले तीन पद: −16, −20, −24

🔵 Question 4 (viii)
−1/2, −1/2, −1/2, −1/2, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: सभी पद समान ⇒ d = 0
🔵 अगले तीन पद: −1/2, −1/2, −1/2
✔️ Final: A.P. है; d = 0; अगले तीन पद: −1/2, −1/2, −1/2

🔵 Question 4 (ix)
1, 3, 9, 27, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: 3 − 1 = 2; 9 − 3 = 6; 27 − 9 = 18 (समान नहीं)
✔️ Final: A.P. नहीं है

🔵 Question 4 (x)
a, 2a, 3a, 4a, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: 2a − a = a; 3a − 2a = a (समान)
🔵 अगले तीन पद: 5a, 6a, 7a
✔️ Final: A.P. है; d = a; अगले तीन पद: 5a, 6a, 7a

🔵 Question 4 (xi)
a, a², a³, a⁴, …
🟢 Answer
🔵 अन्तर: a² − a, a³ − a², a⁴ − a³ (समान नहीं)
✔️ Final: सामान्यतः A.P. नहीं है (a = 1 या 0 पर अपवाद हो सकता है)

🔵 Question 4 (xii)
√2, √8, √18, √32, …
🟢 Answer
🔵 √8 = 2√2, √18 = 3√2, √32 = 4√2 ⇒ क्रम: √2, 2√2, 3√2, 4√2
🔵 अन्तर: d = √2
🔵 अगले तीन पद: 5√2 (= √50), 6√2 (= √72), 7√2 (= √98)
✔️ Final: A.P. है; d = √2; अगले तीन पद: √50, √72, √98

🔵 Question 4 (xiii)
√3, √6, √9, √12, …
🟢 Answer
🔵 मान: 1.732, 2.449, 3, 3.464 ⇒ अन्तर समान नहीं
✔️ Final: A.P. नहीं है

🔵 Question 4 (xiv)
1², 3², 5², 7², …
🟢 Answer
🔵 मान: 1, 9, 25, 49 ⇒ अन्तर: 8, 16, 24 (समान नहीं)
✔️ Final: A.P. नहीं है

🔵 Question 4 (xv)
1², 5², 7², 73, …
🟢 Answer
🔵 मान: 1, 25, 49, 73 ⇒ अन्तर = 24
🔵 अगले तीन पद: 97, 121, 145
✔️ Final: A.P. है; d = 24; अगले तीन पद: 97, 121, 145

प्रश्नावली 5.2

🔵 Question 1
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अन्तर d और nवें पद aₙ हैं:
(i) a = 7, d = 3, n = 8, aₙ = …
(ii)a = −18, d = …, n = 10, aₙ = 0
(iii) a = …, d = −3, n = 18, aₙ = −5
(iv) a = −18.9, d = 2.5, n = …, aₙ = 3.6
(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, aₙ = …
🟢 Answer
💡 Concept: n-वाँ पद — aₙ = a + (n − 1)d
(i) 🔵 a₈ = a + (8 − 1)d = 7 + 7×3 = 7 + 21 = 28
(ii)

🔵 चरण 1: सूत्र — aₙ = a + (n − 1)d

🔵 चरण 2: 0 = −18 + (10 − 1)d

🔵 चरण 3: 0 = −18 + 9d

🔵 चरण 4: 18 = 9d

🔵 चरण 5: d = 18 ÷ 9 = 2

✔️ Final: d = 2
(iii) 🔵 a = aₙ − (n − 1)d = −5 − (18 − 1)(−3)
🔵 a = −5 − 17(−3) = −5 + 51 = 46
(iv) 🔵 3.6 = −18.9 + (n − 1)×2.5
🔵 (n − 1)×2.5 = 3.6 + 18.9 = 22.5
🔵 n − 1 = 22.5 / 2.5 = 9 ⇒ n = 10
(v) 🔵 aₙ = a + (n − 1)d = 3.5 + (105 − 1)×0 = 3.5

🔵 Question 2
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P.: 10, 7, 4, …, का 30वाँ पद है:
(A) 97 (B) 77 (C) −77 (D) −87
🟢 Answer
🔵 a = 10, d = 7 − 10 = −3
🔵 aₙ = a + (n − 1)d = 10 + (30 − 1)(−3) = 10 − 87 = −77
✔️ Final: सही विकल्प (C)
(ii) A.P.: −3, −1/2, 2, …, का 11वाँ पद है:
(A) 28 (B) 22 (C) −38 (D) −48 1/2
🟢 Answer
🔵 a = −3, d = (−1/2) − (−3) = 5/2
🔵 a₁₁ = a + (11 − 1)d = −3 + 10×(5/2) = −3 + 25 = 22
✔️ Final: सही विकल्प (B)

🔵 Question 3
निम्नलिखित समांतर श्रेणियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:
(i) 2, ☐, 26
(ii) ☐, 13, ☐, 3
(iii) 5, ☐, ☐, 9 1/2
(iv) −4, ☐, ☐, ☐, 6
(v) ☐, 38, ☐, ☐, −22
🟢 Answer
(i) 🔵 मध्य पद = (2 + 26)/2 = 28/2 = 14
(ii) 🔵 मान लें पद: t₁, 13, t₃, 3
🔵 t₃ = (13 + 3)/2 = 16/2 = 8
🔵 d = t₃ − 13 = 8 − 13 = −5
🔵 t₁ = 13 − d = 13 − (−5) = 18
✔️ Final: 18, 13, 8, 3
(iii) 🔵 t₁ = 5, t₄ = 9.5 ⇒ d = (t₄ − t₁)/3 = (9.5 − 5)/3 = 4.5/3 = 1.5
🔵 t₂ = 5 + 1.5 = 6.5 = 13/2
🔵 t₃ = 5 + 2×1.5 = 8
✔️ Final: 5, 13/2, 8, 9 1/2
(iv) 🔵 t₁ = −4, t₅ = 6 ⇒ d = (6 − (−4))/4 = 10/4 = 5/2
🔵 t₂ = −4 + 5/2 = −3/2
🔵 t₃ = −4 + 2×(5/2) = 1
🔵 t₄ = −4 + 3×(5/2) = 7/2
✔️ Final: −4, −3/2, 1, 7/2, 6
(v) 🔵 t₂ = 38, t₅ = −22 ⇒ d = (−22 − 38)/(5 − 2) = −60/3 = −20
🔵 t₁ = 38 − (−20) = 58
🔵 t₃ = 38 + (−20) = 18
🔵 t₄ = 18 + (−20) = −2
✔️ Final: 58, 38, 18, −2, −22

🔵 Question 4
A.P.: 3, 8, 13, 18, …, का कौन-सा पद 78 है?
🟢 Answer
🔵 a = 3, d = 8 − 3 = 5
🔵 a + (n − 1)d = 78 ⇒ 3 + (n − 1)×5 = 78
🔵 (n − 1)×5 = 75 ⇒ n − 1 = 15 ⇒ n = 16
✔️ Final: 16वाँ पद 78 है।

🔵 प्रश्न 5
निम्नलिखित समांतर श्रेणियों में से प्रत्येक श्रेणी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, …, 205
(ii) 18, 15 1/2, 13, …, −47
🟢 उत्तर
(i) a = 7, d = 13 − 7 = 6, l = 205
🔵 चरण 1: a + (n − 1)d = l
🔵 चरण 2: 7 + (n − 1)×6 = 205
🔵 चरण 3: (n − 1)×6 = 198 ⇒ n − 1 = 33 ⇒ n = 34
✔️ निष्कर्ष: 34 पद
(ii) a = 18, d = 15 1/2 − 18 = −5/2, l = −47
🔵 चरण 1: 18 + (n − 1)(−5/2) = −47
🔵 चरण 2: (n − 1)(−5/2) = −65
🔵 चरण 3: n − 1 = (−65)×(−2/5) = 26 ⇒ n = 27
✔️ निष्कर्ष: 27 पद

🔵 प्रश्न 6
क्या A.P., 11, 8, 5, 2, … का एक पद −150 है? क्यों?
🟢 उत्तर
a = 11, d = −3
🔵 चरण 1: a + (n − 1)d = −150
🔵 चरण 2: 11 + (n − 1)(−3) = −150 ⇒ (n − 1)(−3) = −161
🔵 चरण 3: n − 1 = 161/3 (पूर्णांक नहीं)
✔️ निष्कर्ष: नहीं, −150 इस A.P. का कोई पद नहीं है।

🔵 प्रश्न 7
उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
🟢 उत्तर
a + 10d = 38, a + 15d = 73
🔵 चरण 1: घटाने पर 5d = 35 ⇒ d = 7
🔵 चरण 2: a = 38 − 10×7 = −32
🔵 चरण 3: a₃₁ = a + 30d = −32 + 210 = 178
✔️ निष्कर्ष: 31वाँ पद 178

🔵 प्रश्न 8
एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
a + 2d = 12, a + 49d = 106
🔵 चरण 1: घटाने पर 47d = 94 ⇒ d = 2
🔵 चरण 2: a = 12 − 2×2 = 8
🔵 चरण 3: a₂₉ = a + 28d = 8 + 56 = 64
✔️ निष्कर्ष: 29वाँ पद 64

🔵 प्रश्न 9
यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और −8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
🟢 उत्तर
a + 2d = 4, a + 8d = −8
🔵 चरण 1: घटाने पर 6d = −12 ⇒ d = −2
🔵 चरण 2: a = 4 − 2d = 4 − (−4) = 8
🔵 चरण 3: a + (n − 1)d = 0 ⇒ 8 + (n − 1)(−2) = 0
🔵 चरण 4: (n − 1)(−2) = −8 ⇒ n − 1 = 4 ⇒ n = 5
✔️ निष्कर्ष: 5वाँ पद शून्य है।

🔵 प्रश्न 10
किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
a₁₇ − a₁₀ = 7 ⇒ (a + 16d) − (a + 9d) = 7
🔵 चरण 1: 7d = 7 ⇒ d = 1
✔️ निष्कर्ष: सार्व अन्तर d = 1

🔵 प्रश्न 11
A.P.: 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
🟢 उत्तर
a = 3, d = 12
🔵 चरण 1: a₅₄ = 3 + 53×12 = 639
🔵 चरण 2: आवश्यक aₙ = a₅₄ + 132 = 771
🔵 चरण 3: 3 + (n − 1)×12 = 771 ⇒ (n − 1)×12 = 768 ⇒ n − 1 = 64 ⇒ n = 65
✔️ निष्कर्ष: 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

🔵 प्रश्न 12
दो समांतर श्रेणियों का सार्व अन्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अन्तर क्या होगा?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: aₙ − bₙ = (a₁ − b₁) + (n − 1)(d − d) = a₁ − b₁ (n पर निर्भर नहीं)
🔵 चरण 2: 100वें पदों का अन्तर 100 ⇒ a₁ − b₁ = 100
✔️ निष्कर्ष: 1000वें पदों का अन्तर भी 100 होगा।

🔵 प्रश्न 13
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: सबसे छोटी तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या = 105
🔵 चरण 2: सबसे बड़ी = 994
🔵 चरण 3: n = (l − a)/d + 1 = (994 − 105)/7 + 1 = 889/7 + 1 = 127 + 1 = 128
✔️ निष्कर्ष: 128 संख्याएँ

🔵 प्रश्न 14
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: प्रथम गुणज = 12, अन्तिम = 248 (दोनों 4 से विभाज्य)
🔵 चरण 2: n = (248 − 12)/4 + 1 = 236/4 + 1 = 59 + 1 = 60
✔️ निष्कर्ष: 60 गुणज

🔵 प्रश्न 15
n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेणियाँ 63, 65, 67, … और 3, 10, 17, … के nवें पद बराबर होंगे?
🟢 उत्तर
पहली A.P.: a₁ = 63, d₁ = 2 ⇒ Tₙ(1) = 63 + (n − 1)×2
दूसरी A.P.: a₂ = 3, d₂ = 7 ⇒ Tₙ(2) = 3 + (n − 1)×7
🔵 चरण 1: 63 + 2(n − 1) = 3 + 7(n − 1)
🔵 चरण 2: 63 + 2n − 2 = 3 + 7n − 7 ⇒ 61 + 2n = 7n − 4
🔵 चरण 3: 65 = 5n ⇒ n = 13
✔️ निष्कर्ष: n = 13, समान पद = 87

🔵 प्रश्न 16
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वें पद 5वें पद से 12 अधिक है।
🟢 उत्तर
a + 2d = 16, (a + 6d) − (a + 4d) = 12
🔵 चरण 1: 2d = 12 ⇒ d = 6
🔵 चरण 2: a = 16 − 2×6 = 4
✔️ निष्कर्ष: A.P.: 4, 10, 16, 22, … (a = 4, d = 6)

🔵 प्रश्न 17
A.P.: 3, 8, 13, …, 253 में अन्तिम पद से 20वें पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
a = 3, d = 5, l = 253
🔵 चरण 1: अन्तिम से kवाँ पद = l − (k − 1)d
🔵 चरण 2: k = 20 ⇒ पद = 253 − 19×5 = 253 − 95 = 158
✔️ निष्कर्ष: उत्तर 158

🔵 प्रश्न 18
किसी A.P. के चौथे और आठवें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
a₄ + a₈ = (a + 3d) + (a + 7d) = 24 ⇒ 2a + 10d = 24 ⇒ a + 5d = 12
a₆ + a₁₀ = (a + 5d) + (a + 9d) = 44 ⇒ 2a + 14d = 44 ⇒ a + 7d = 22
🔵 चरण 1: घटाने पर 2d = 10 ⇒ d = 5
🔵 चरण 2: a + 5d = 12 ⇒ a + 25 = 12 ⇒ a = −13
✔️ निष्कर्ष: प्रथम तीन पद: −13, −8, −3

🔵 प्रश्न 19
सुधा राव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
🟢 उत्तर
a = 5000, d = 200, aₙ = 7000
🔵 चरण 1: 5000 + (n − 1)×200 = 7000
🔵 चरण 2: (n − 1)×200 = 2000 ⇒ n − 1 = 10 ⇒ n = 11
🔵 चरण 3: वर्ष = 1995 + (n − 1) = 1995 + 10 = 2005
✔️ निष्कर्ष: वर्ष 2005

🔵 प्रश्न 20
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 50 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 17.5 बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 207.50 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
a = 50, d = 17.5, aₙ = 207.5
🔵 चरण 1: 50 + (n − 1)×17.5 = 207.5
🔵 चरण 2: (n − 1)×17.5 = 157.5 ⇒ n − 1 = 9 ⇒ n = 10
✔️ निष्कर्ष: n = 10 (10वाँ सप्ताह)

प्रश्नावली 5.3

🔵 प्रश्न 1
निम्नलिखित समांतर श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 2, d = 7 − 2 = 5, n = 10
🔵 चरण 2: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
🔵 चरण 3: S₁₀ = 10/2 [2×2 + 9×5] = 5 [4 + 45] = 5×49
✔️ निष्कर्ष: S₁₀ = 245
(ii) −37, −33, −29, …, 12 पदों तक
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = −37, d = 4, n = 12
🔵 चरण 2: S₁₂ = 12/2 [2(−37) + 11×4]
🔵 चरण 3: S₁₂ = 6 [−74 + 44] = 6×(−30)
✔️ निष्कर्ष: S₁₂ = −180
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …, 100 पदों तक
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 0.6, d = 1.7 − 0.6 = 1.1, n = 100
🔵 चरण 2: S₁₀₀ = 100/2 [2×0.6 + 99×1.1]
🔵 चरण 3: S₁₀₀ = 50 [1.2 + 108.9] = 50×110.1
✔️ निष्कर्ष: S₁₀₀ = 5505
(iv) 1/15, 1/12, 1/10, …, 11 पदों तक
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: d = 1/12 − 1/15 = 1/60 (अगला अन्तर भी 1/60)
🔵 चरण 2: a = 1/15, n = 11
🔵 चरण 3: S₁₁ = 11/2 [2(1/15) + 10(1/60)]
🔵 चरण 4: S₁₁ = 11/2 [2/15 + 10/60] = 11/2 [8/60 + 10/60] = 11/2 × 18/60
✔️ निष्कर्ष: S₁₁ = 33/20

🔵 प्रश्न 2
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए:
(i) 7 + 10 1/2 + 14 + … + 84
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 7, d = 10.5 − 7 = 3.5 = 7/2, l = 84
🔵 चरण 2: n = (l − a)/d + 1 = (84 − 7)/(7/2) + 1 = 77×(2/7) + 1 = 22 + 1
🔵 चरण 3: n = 23
🔵 चरण 4: S₂₃ = n/2 (a + l) = 23/2 (7 + 84) = 23/2 × 91 = 2093/2
✔️ निष्कर्ष: योग = 2093/2
(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 34, d = −2, l = 10
🔵 चरण 2: n = (l − a)/d + 1 = (10 − 34)/(−2) + 1 = 12 + 1 = 13
🔵 चरण 3: S₁₃ = 13/2 (34 + 10) = 13/2 × 44 = 13×22
✔️ निष्कर्ष: योग = 286
(iii) −5 + (−8) + (−11) + … + (−230)
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = −5, d = −3, l = −230
🔵 चरण 2: n = (l − a)/d + 1 = (−230 − (−5))/(−3) + 1 = (−225)/(−3) + 1 = 75 + 1
🔵 चरण 3: n = 76
🔵 चरण 4: S₇₆ = 76/2 (−5 + (−230)) = 38 × (−235)
✔️ निष्कर्ष: योग = −8930

🔵 प्रश्न 3 (i)
a = 5, d = 3 और aₙ = 50 दिया है। n और Sₙ ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
💡 सूत्र: aₙ = a + (n − 1)d
🔵 चरण 1: 50 = 5 + (n − 1)×3
🔵 चरण 2: 50 = 5 + 3n − 3 = 3n + 2
🔵 चरण 3: 3n = 48 ⇒ n = 16
🔵 चरण 4 (योग): Sₙ = n/2 (a + aₙ) = 16/2 (5 + 50) = 8×55 = 440
✔️ निष्कर्ष: n = 16, Sₙ = 440

🔵 प्रश्न 3 (ii)
a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a₁₃ = a + 12d ⇒ 35 = 7 + 12d
🔵 चरण 2: 12d = 28 ⇒ d = 28/12 = 7/3
🔵 चरण 3 (योग): S₁₃ = 13/2 (a + a₁₃) = 13/2 (7 + 35) = 13/2 × 42 = 273
✔️ निष्कर्ष: d = 7/3, S₁₃ = 273

🔵 प्रश्न 3 (iii)
a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = a₁₂ − 11d = 37 − 33 = 4
🔵 चरण 2: S₁₂ = 12/2 (a + a₁₂) = 6 (4 + 37) = 246
✔️ निष्कर्ष: a = 4, S₁₂ = 246

🔵 प्रश्न 3 (iv)
a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a₃ = a + 2d = 15 ⇒ a = 15 − 2d
🔵 चरण 2: S₁₀ = 10/2 [2a + 9d] = 5(2a + 9d) = 125 ⇒ 2a + 9d = 25
🔵 चरण 3: 2(15 − 2d) + 9d = 25 ⇒ 30 − 4d + 9d = 25 ⇒ 5d = −5 ⇒ d = −1
🔵 चरण 4: a = 15 − 2(−1) = 17
🔵 चरण 5: a₁₀ = a + 9d = 17 + 9(−1) = 8
✔️ निष्कर्ष: d = −1, a₁₀ = 8

🔵 प्रश्न 3 (v)
d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: S₉ = 9/2 [2a + 8d] = 75
🔵 चरण 2: 75×2/9 = 2a + 40 ⇒ 50/3 = 2a + 40
🔵 चरण 3: 2a = 50/3 − 40 = −70/3 ⇒ a = −35/3
🔵 चरण 4: a₉ = a + 8d = (−35/3) + 40 = 85/3
✔️ निष्कर्ष: a = −35/3, a₉ = 85/3

🔵 प्रश्न 3 (vi)
a = 2, d = 8 और Sₙ = 90 दिया है। n और aₙ ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = 90
🔵 चरण 2: 90 = n/2 [4 + 8n − 8] = n/2 (8n − 4) = n(4n − 2)
🔵 चरण 3: 4n² − 2n − 90 = 0 ⇒ (∆ = 1444 = 38²)
🔵 चरण 4: n = (2 + 38)/8 = 5 (धनात्मक मान)
🔵 चरण 5: aₙ = a + (n − 1)d = 2 + 4×8 = 34
✔️ निष्कर्ष: n = 5, aₙ = 34

🔵 प्रश्न 3 (vii)
a = 8, aₙ = 62 और Sₙ = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: Sₙ = n/2 (a + aₙ) = 210 ⇒ n/2 (8 + 62) = 210
🔵 चरण 2: 35n = 210 ⇒ n = 6
🔵 चरण 3: d = (aₙ − a)/(n − 1) = (62 − 8)/5 = 54/5
✔️ निष्कर्ष: n = 6, d = 54/5

🔵 प्रश्न 3 (viii)
aₙ = 4, d = 2 और Sₙ = −14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: aₙ = a + (n − 1)d ⇒ 4 = a + 2(n − 1) ⇒ a = 6 − 2n
🔵 चरण 2: Sₙ = n/2 (a + aₙ) = −14 ⇒ n/2 [(6 − 2n) + 4] = −14
🔵 चरण 3: n/2 (10 − 2n) = −14 ⇒ n(10 − 2n) = −28
🔵 चरण 4: 2n² − 10n − 28 = 0 ⇒ n² − 5n − 14 = 0 ⇒ (n − 7)(n + 2) = 0
🔵 चरण 5: n = 7 (धनात्मक), a = 6 − 2×7 = −8
✔️ निष्कर्ष: n = 7, a = −8

🔵 प्रश्न 3 (ix)
a = 3, n = 8 और Sₙ = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: S₈ = 8/2 [2a + 7d] = 192
🔵 चरण 2: 4 (6 + 7d) = 192 ⇒ 6 + 7d = 48
🔵 चरण 3: 7d = 42 ⇒ d = 6
✔️ निष्कर्ष: d = 6

🔵 प्रश्न 3 (x)
l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: S₉ = 9/2 (a + l) = 144
🔵 चरण 2: 144×2/9 = a + 28 ⇒ 32 = a + 28
🔵 चरण 3: a = 4
✔️ निष्कर्ष: a = 4

🔵 प्रश्न 4
636 योग प्राप्त करने के लिए, समांतर श्रेणी: 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 9, d = 8, मान लें Sₙ = 636
🔵 चरण 2: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 [18 + 8(n − 1)]
🔵 चरण 3: Sₙ = n/2 (8n + 10) = 4n² + 5n
🔵 चरण 4: 4n² + 5n − 636 = 0
🔵 चरण 5: भेद = 5² + 4×4×636 = 25 + 10176 = 10201 = 101²
🔵 चरण 6: n = (−5 + 101)/8 = 96/8 = 12 (धनात्मक मान)
✔️ निष्कर्ष: 12 पद लेने चाहिए (तभी योग 636 होता है)

🔵 प्रश्न 5
किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 5, l = 45, S = 400
🔵 चरण 2: S = n/2 (a + l) ⇒ 400 = n/2 (50)
🔵 चरण 3: 400 = 25n ⇒ n = 16
🔵 चरण 4: d = (l − a)/(n − 1) = (45 − 5)/15 = 40/15 = 8/3
✔️ Final: पदों की संख्या 16, d = 8/3

🔵 प्रश्न 6
किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 17, l = 350, d = 9
🔵 चरण 2: l = a + (n − 1)d ⇒ 350 = 17 + (n − 1)×9
🔵 चरण 3: (n − 1)×9 = 333 ⇒ n − 1 = 37 ⇒ n = 38
🔵 चरण 4: Sₙ = n/2 (a + l) = 38/2 × (17 + 350) = 19 × 367 = 6973
✔️ Final: n = 38, S₃₈ = 6973

🔵 प्रश्न 7
उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a₂₂ = a + 21d = 149 ⇒ a = 149 − 21×7 = 2
🔵 चरण 2: S₂₂ = 22/2 (a + a₂₂) = 11 (2 + 149) = 11 × 151 = 1661
✔️ Final: S₂₂ = 1661

🔵 प्रश्न 8
उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a + d = 14, a + 2d = 18 ⇒ d = 4
🔵 चरण 2: a = 14 − d = 10
🔵 चरण 3: S₅₁ = 51/2 [2a + 50d] = 51/2 [20 + 200] = 51 × 110 = 5610
✔️ Final: S₅₁ = 5610

🔵 प्रश्न 9
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: S₇ = 7/2 (2a + 6d) = 49 ⇒ a + 3d = 7 …(1)
🔵 चरण 2: S₁₇ = 17/2 (2a + 16d) = 289 ⇒ 17a + 136d = 289 …(2)
🔵 चरण 3: (1)×17 ⇒ 17a + 51d = 119; (2) − यह ⇒ 85d = 170 ⇒ d = 2
🔵 चरण 4: a + 3(2) = 7 ⇒ a = 1
🔵 चरण 5: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 [2 + 2(n − 1)] = n/2 [2n] = n²
✔️ Final: Sₙ = n²

🔵 प्रश्न 10
जाँचिए कि a₁, a₂, a₃, … से A.P. बनती है, यदि aₙ नीचे अनुसार है, और प्रत्येक स्थिति में प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) aₙ = 3 + 4n
(ii) aₙ = 9 − 5n
🟢 उत्तर
(i) 🔵 aₙ₊₁ − aₙ = [3 + 4(n + 1)] − (3 + 4n) = 4 (स्थिर) ⇒ A.P.
🔵 a₁ = 3 + 4 = 7, d = 4
🔵 Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 [14 + 4n − 4] = n/2 (4n + 10)
✔️ Final: Sₙ = 2n² + 5n
(ii) 🔵 aₙ₊₁ − aₙ = [9 − 5(n + 1)] − (9 − 5n) = −5 (स्थिर) ⇒ A.P.
🔵 a₁ = 4, d = −5
🔵 Sₙ = n/2 [2×4 + (n − 1)(−5)] = n/2 (13 − 5n)
✔️ Final: Sₙ = (n(13 − 5n))/2

🔵 प्रश्न 11
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 4n − n² है, तो इसका प्रथम पद (a), प्रथम दो पदों का योग, दूसरा पद, तथा तीसरा, 10वाँ और nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
🔵 चरण 2: Sₙ₋₁ = 4(n − 1) − (n − 1)² = −n² + 6n − 5
🔵 चरण 3: aₙ = (4n − n²) − (−n² + 6n − 5) = 5 − 2n
🔵 चरण 4: a = a₁ = 5 − 2 = 3
🔵 चरण 5: S₂ = 4×2 − 2² = 4 (प्रथम दो पदों का योग)
🔵 चरण 6: a₂ = S₂ − S₁ = 4 − 3 = 1
🔵 चरण 7: a₃ = 5 − 6 = −1; a₁₀ = 5 − 20 = −15; aₙ = 5 − 2n
✔️ Final: a = 3, a₂ = 1, a₃ = −1, a₁₀ = −15, aₙ = 5 − 2n

🔵 प्रश्न 12
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: श्रेणी: 6, 12, …, 6×40 = 240 ⇒ a = 6, d = 6, n = 40
🔵 चरण 2: S₄₀ = 40/2 [2×6 + 39×6] = 20 (12 + 234) = 20 × 246 = 4920
✔️ Final: योग = 4920

🔵 प्रश्न 13
8 के प्रथम 15 गुणकों का योग ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: 8, 16, …, 8×15 ⇒ a = 8, d = 8, n = 15
🔵 चरण 2: S₁₅ = 15/2 [2×8 + 14×8] = 15/2 × 128 = 960
✔️ Final: योग = 960

🔵 प्रश्न 14
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: श्रेणी: 1, 3, 5, …, 49 ⇒ a = 1, d = 2, l = 49
🔵 चरण 2: n = (l − a)/d + 1 = (49 − 1)/2 + 1 = 24 + 1 = 25
🔵 चरण 3: S₂₅ = 25/2 (1 + 49) = 25/2 × 50 = 625
✔️ Final: योग = 625

🔵 प्रश्न 15
निम्न प्रकार से विलम्ब-शुल्क निर्धारित है: पहले दिन ₹ 200, दूसरे दिन ₹ 250, तीसरे दिन ₹ 300, … अर्थात प्रत्येक अगले दिन ₹ 50 की वृद्धि। यदि विलम्ब 30 दिनों का है, तो कुल जुर्माना कितना होगा?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: a = 200, d = 50, n = 30
🔵 चरण 2: S₃₀ = 30/2 [2×200 + 29×50] = 15 (400 + 1450) = 15 × 1850 = 27750
✔️ Final: कुल जुर्माना ₹ 27750
🟡 जाँच: a₃₀ = 200 + 29×50 = ₹ 1650 (अन्तिम-दिन शुल्क)

🔵 प्रश्न 16
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समय शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: 7 पदों की A.P.: a, a − 20, …, d = −20, S₇ = 700
🔵 चरण 2: 700 = 7/2 [2a + 6(−20)] = 7/2 (2a − 120)
🔵 चरण 3: 1400/7 = 2a − 120 ⇒ 200 = 2a − 120 ⇒ 2a = 320 ⇒ a = 160
🔵 चरण 4: पुरस्कार: 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40
✔️ Final: पुरस्कार राशि क्रमशः ₹ 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40

🔵 प्रश्न 17
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने का निश्चय किया। यह तय हुआ कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा (उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा), और ऐसा कक्षा XII तक होगा। यदि प्रत्येक कक्षा में 3 अनुभाग हैं, तो कुल कितने पेड़ लगाए जाएँगे?
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: एक कक्षा के एक अनुभाग द्वारा लगाए पेड़ = कक्षा संख्या k (k = 1 से 12)
🔵 चरण 2: एक कक्षा में 3 अनुभाग ⇒ उस कक्षा में लगाए पेड़ = 3k
🔵 चरण 3: कुल = Σ(3k) k=1→12 = 3 Σk = 3 × [12×13/2] = 3 × 78 = 234
✔️ Final: कुल 234 पेड़ लगाए जाएँगे

🔵 Question (Q18)
केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, … वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति 5.4 में दर्शाया गया है। इस तरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π = 22/7 लीजिए।)
[संकेत: क्रमशः केंद्रों A, B, A, B, … वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ l₁, l₂, l₃, l₄ हैं।]
🟢 Answer
💡 Concept: अर्धवृत्त की लंबाई = (1/2)×परिधि = (1/2)×(2πr) = πr
🔵 Step 1: त्रिज्याएँ (आकृति के अनुसार प्रथम चार): r₁ = 0.5, r₂ = 1.0, r₃ = 1.5, r₄ = 2.0 (cm)
🔵 Step 2: l₁ = πr₁ = π×0.5; l₂ = π×1.0; l₃ = π×1.5; l₄ = π×2.0
🔵 Step 3: कुल लंबाई L = l₁ + l₂ + l₃ + l₄ = π(0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0)
🔵 Step 4: L = π×5.0 = 5π cm
🔵 Step 5: π = 22/7 ⇒ L = 5×(22/7) = 110/7 cm
✔️ Final: कुल लंबाई = 110/7 cm (≈ 15.714 cm)

🔵 Question (Q19)
200 लट्ठों (logs) की ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति 5.5)। 200 ‘लॉग’ कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
🟢 Answer
💡 Concept: पंक्तियों में लट्ठों की संख्या A.P. है: a = 20, d = −1, योग Sₙ = 200
🔵 Step 1: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = 200
🔵 Step 2: 200 = n/2 [40 + (n − 1)(−1)] = n/2 (41 − n)
🔵 Step 3: 400 = n(41 − n) ⇒ n² − 41n + 400 = 0
🔵 Step 4: विविक्तक = 41² − 4×400 = 1681 − 1600 = 81 ⇒ √Δ = 9
🔵 Step 5: n = (41 ± 9)/2 ⇒ n = 16 या 25
🔵 Step 6: शीर्ष पंक्ति के लट्ठे aₙ = a + (n − 1)d
a₁₆ = 20 + 15(−1) = 5 (धनात्मक)
a₂₅ = 20 + 24(−1) = −4 (अमान्य)
✔️ Final: कुल पंक्तियाँ = 16; सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे

🔵 Question (Q20)
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति 5.6)। प्रत्येक प्रतिभागी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न जा जाएँ। इसमें प्रतिभागी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
[संकेत: पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2×5 + 2×(5 + 3) है।]
🟢 Answer
💡 Concept: k-वाँ आलू बाल्टी से दूरी dₖ = 5 + (k − 1)×3 (m), k = 1…10; हर आलू के लिए आने-जाने की दूरी = 2dₖ
🔵 Step 1: कुल दूरी D = 2 Σ dₖ (k = 1 से 10)
🔵 Step 2: Σ dₖ = Σ [5 + 3(k − 1)] = 10×5 + 3 Σ (k − 1)
🔵 Step 3: Σ (k − 1) (k = 1…10) = 0 + 1 + … + 9 = 9×10/2 = 45
🔵 Step 4: Σ dₖ = 50 + 3×45 = 50 + 135 = 185
🔵 Step 5: D = 2×185 = 370 m
✔️ Final: प्रतिभागी कुल 370 m दौड़ेगी

प्रश्नावली 5.4 (ऐच्छिक)

Question 1
A.P.: 121, 117, 113, … का कौन-सा पद पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत: aₙ < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए।]
🟢 Answer
💡 Concept: aₙ = a + (n − 1)d
🔵 चरण 1: a = 121, d = 117 − 121 = −4
🔵 चरण 2: 121 + (n − 1)(−4) < 0
🔵 चरण 3: 121 − 4n + 4 < 0 ⇒ 125 − 4n < 0
🔵 चरण 4: 4n > 125 ⇒ n > 31.25
🔵 चरण 5: सबसे छोटा पूर्णांक n = 32
🟡 जाँच: a₃₂ = 121 + 31(−4) = 121 − 124 = −3 (ऋणात्मक), a₃₁ = 1 (धनात्मक)
✔️ Final: 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है।

🔵 Question 2
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
💡 Concept: a₃ = a + 2d, a₇ = a + 6d, Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]
🔵 चरण 1: a₃ + a₇ = (a + 2d) + (a + 6d) = 6 ⇒ 2a + 8d = 6 ⇒ a + 4d = 3 …(i)
🔵 चरण 2: (a + 2d)(a + 6d) = 8 …(ii)
🔵 चरण 3: (i) से a = 3 − 4d, इसे (ii) में रखें:
(3 − 4d + 2d)(3 − 4d + 6d) = 8 ⇒ (3 − 2d)(3 + 2d) = 8
🔵 चरण 4: 9 − 4d² = 8 ⇒ d² = 1/4 ⇒ d = 1/2 या d = −1/2
🔵 चरण 5: d = 1/2 ⇒ a = 3 − 2 = 1
🔵 चरण 6: d = −1/2 ⇒ a = 3 − (−2) = 5
🔵 चरण 7: S₁₆ = 16/2[2a + 15d] = 8[2a + 15d]
🟢 उपफल:
— यदि (a, d) = (1, 1/2): S₁₆ = 8[2 + 7.5] = 8×9.5 = 76
— यदि (a, d) = (5, −1/2): S₁₆ = 8[10 − 7.5] = 8×2.5 = 20
✔️ Final: संभव योग दो हैं: 76 या 20 (दोनों A.P. शर्तों को संतुष्ट करते हैं)।

🔵 Question 3
एक सीढ़ी के समानान्तर डंडे ऊपर-ऊपर 25 cm की दूरी पर हैं (आकृति 5.7)। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है। कितने डंडे होंगे? और इनकी कुल लंबाई क्या है?
[संकेत: डंडों की संख्या = 250/25 + 1 है।]
🟢 Answer
💡 Concept: लंबाइयों की श्रेणी A.P. है: प्रथम पद a = 45 cm, अंतिम पद l = 25 cm, समान अन्तर d = (l − a)/(n − 1)
🔵 चरण 1: डंडों की कुल ऊँचाई 250 cm और अंतर 25 cm ⇒ अंतरालों की संख्या = 250/25 = 10
🔵 चरण 2: डंडों की संख्या n = 10 + 1 = 11
🔵 चरण 3: d = (25 − 45)/(11 − 1) = −20/10 = −2 cm
🔵 चरण 4: कुल लंबाई S = n/2 (a + l) = 11/2 (45 + 25) = 11/2 × 70 = 385 cm
✔️ Final: डंडे 11 होंगे; कुल लंबाई 385 cm।

🔵 Question 4
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
[संकेत: S_{x−1} = S_{49} − S_x]
🟢 Answer
💡 Concept: Sₙ = n(n + 1)/2, तथा S_{x+1..49} = S_{49} − S_x
🔵 चरण 1: S_{x−1} = S_{49} − S_x
🔵 चरण 2: x(x − 1)/2 = 49×50/2 − x(x + 1)/2
🔵 चरण 3: x(x − 1) = 1225 − x(x + 1)
🔵 चरण 4: x² − x = 1225 − x² − x ⇒ 2x² = 1225
🔵 चरण 5: x² = 1225 ⇒ x = 35 (धनात्मक पूर्णांक)
🟡 जाँच: S_{34} = 34×35/2 = 595; S_{49} − S_{35} = 1225 − 630 = 595
✔️ Final: x = 35

🔵 Question 5
एक फुटपाथ के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई 50 m, प्रत्येक सीढ़ी की चौड़ाई 1/2 m और प्रत्येक उठाव (ऊँचाई) 1/4 m है (आकृति 5.8)। इस चबूतरे को बनाने में कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत: पहली सीढ़ी, दूसरी सीढ़ी, … के आयतनों का योग लें।]
🟢 Answer
💡 Concept: k-वीं सीढ़ी का आयतन = (लंबाई) × (चौड़ाई) × (ऊँचाई) = 50 × (1/2) × (k×1/4) m³
🔵 चरण 1: V_k = 50×1/2×(k/4) = (25k)/4 m³
🔵 चरण 2: कुल आयतन V = Σ V_k (k = 1 से 15) = (25/4) Σ k
🔵 चरण 3: Σ k = 15×16/2 = 120
🔵 चरण 4: V = (25/4) × 120 = 25 × 30 = 750 m³
✔️ Final: आवश्यक कंक्रीट का कुल आयतन 750 घनमीटर है।

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

Total Marks: 80 | Time: 3 Hours
🔵 Section A (Q1–Q6): Very-Short/Objective (1 अंक प्रत्येक)
🔵 Question
Q1. यदि किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 3 और अंतर d = 2 है, तो a₅ कितना होगा?
🟢 Answer
🔵 विकल्प:
🔹 1️⃣ 9
🔹 2️⃣ 11
🔹 3️⃣ 13
🔹 4️⃣ 15
✔️ Final: 11
🧠 गणना: a₅ = a + (5−1)d = 3 + 4×2 = 11

🔵 Question
Q2. a = 7, d = −3 के लिए a₆ कितना है?
🟢 Answer
🔵 विकल्प:
🔹 1️⃣ −8
🔹 2️⃣ −9
🔹 3️⃣ −10
🔹 4️⃣ −11
✔️ Final: −8
🧠 गणना: a₆ = 7 + (6−1)(−3) = 7 − 15 = −8

🔵 Question
Q3. यदि किसी AP का a = 4, d = 0 है, तो श्रेणी के सभी पद:
🟢 Answer
🔵 विकल्प:
🔹 1️⃣ 4, 8, 12,…
🔹 2️⃣ 4, 4, 4,…
🔹 3️⃣ 0, 4, 8,…
🔹 4️⃣ 4, 3, 2,…
✔️ Final: 4, 4, 4,…

🔵 Question
Q4. AP: 5, 9, 13,… में d कितना है?
🟢 Answer
🔵 विकल्प:
🔹 1️⃣ 2
🔹 2️⃣ 3
🔹 3️⃣ 4
🔹 4️⃣ 5
✔️ Final: 4
🧠 गणना: d = 9−5 = 4

🔵 Question
Q5. यदि किसी AP में aₙ = 20 तथा a = 2, d = 3 है, तो n क्या होगा?
🟢 Answer
🔵 विकल्प:
🔹 1️⃣ 4
🔹 2️⃣ 5
🔹 3️⃣ 6
🔹 4️⃣ 7
🧠 गणना: aₙ = a + (n−1)d ⇒ 20 = 2 + (n−1)×3 ⇒ 18 = 3(n−1) ⇒ n−1 = 6 ⇒ n = 7
✔️ Final: 7 (विकल्प 4️⃣)

🔵 Question
Q6. AP: 12, 9, 6, 3,… का 10वाँ पद a₁₀ क्या होगा?
🟢 Answer
🔵 विकल्प:
🔹 1️⃣ −15
🔹 2️⃣ −18
🔹 3️⃣ −21
🔹 4️⃣ −24
🧠 गणना: a₁₀ = 12 + (10−1)(−3) = 12 − 27 = −15
✔️ Final: −15 (विकल्प 1️⃣)

🟢 Section B (Q7–Q12): Short Answer-I (2 अंक प्रत्येक)
🔵 Question
Q7. समान्तर श्रेणी 7, 10, 13,… का 25वाँ पद ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ सूत्र: aₙ = a + (n−1)d
➤ मान स्थापित: a = 7, d = 3, n = 25
➤ गणना: a₂₅ = 7 + (25−1)×3
➤ सरलीकरण: a₂₅ = 7 + 24×3
➤ सरलीकरण: a₂₅ = 7 + 72
✔️ Final: 79

🔵 Question
Q8. a = 5, d = −2 के लिए वह n ज्ञात करें जिसके लिये aₙ = −13 हो।
🟢 Answer
➤ सूत्र: aₙ = a + (n−1)d
➤ मान स्थापित: −13 = 5 + (n−1)(−2)
➤ सरलीकरण: −13 − 5 = −2(n−1)
➤ सरलीकरण: −18 = −2(n−1)
➤ सरलीकरण: 9 = n−1
✔️ Final: n = 10

🔵 Question
Q9. AP: 4, 7, 10,… का योग Sₙ = 93 के लिए n ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: 93 = n/2 [2×4 + (n−1)×3]
➤ सरलकरण: 93 = n/2 [8 + 3n − 3]
➤ सरलकरण: 93 = n/2 [3n + 5]
➤ गुणा: 186 = n(3n + 5)
➤ विस्तार: 186 = 3n² + 5n
➤ मानक रूप: 3n² + 5n − 186 = 0
➤ द्विघात सूत्र: n = {−5 ± √(25 + 2232)}/6 = {−5 ± √2257}/6 ≈ {−5 ± 47.51}/6
➤ सकारात्मक मूल: n ≈ 7.04
✔️ Final: कोई पूर्णांक n नहीं; योग 93 ठीक से प्राप्त नहीं।

🔵 Question
Q10. AP: 15, 11, 7,… का कितने पदों का योग 60 होगा?
🟢 Answer
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: 60 = n/2 [30 + (n−1)(−4)]
➤ सरलकरण: 60 = n/2 [30 − 4n + 4]
➤ सरलकरण: 60 = n/2 [34 − 4n]
➤ गुणा: 120 = n(34 − 4n)
➤ विस्तार: 120 = 34n − 4n²
➤ मानक रूप: 4n² − 34n + 120 = 0
➤ द्विघात सूत्र: Δ = (−34)² − 4×4×120 = 1156 − 1920 = −764 (<0)
✔️ Final: कोई वास्तविक n नहीं; योग 60 असंभव।

🔵 Question
Q11. किसी AP का 8ᵗʰ पद 31 और 13ᵗʰ पद 51 है। a तथा d ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ a₈ = a + 7d = 31
➤ a₁₃ = a + 12d = 51
➤ घटाव: 5d = 20
➤ d = 4
➤ a = 31 − 7×4 = 3
✔️ Final: a = 3, d = 4

🔵 Question
Q12. यदि a = 6, d = 2 हो, तो S₂₀ ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: S₂₀ = 20/2 [2×6 + (20−1)×2]
➤ सरलकरण: S₂₀ = 10 [12 + 38]
➤ सरलकरण: S₂₀ = 10 × 50
✔️ Final: 500

🔵 Question
Q13. किसी समान्तर श्रेणी में a = 5, d = 3 है। aₙ = 65 होने पर n ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ सूत्र: aₙ = a + (n−1)d
➤ मान स्थापित: 65 = 5 + (n−1)×3
➤ सरलकरण: 65 − 5 = 3(n−1)
➤ सरलकरण: 60 = 3n − 3
➤ सरलकरण: 63 = 3n
✔️ Final: n = 21

🔵 Question
Q14. समान्तर श्रेणी 8, 14, 20, … के प्रथम n पदों का योग 330 है। n ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: 330 = n/2 [2×8 + (n−1)×6]
➤ सरलकरण: 330 = n/2 [16 + 6n − 6]
➤ सरलकरण: 330 = n/2 [6n + 10]
➤ दोनों ओर 2 से गुणा: 660 = n(6n + 10)
➤ विस्तार: 660 = 6n² + 10n
➤ मानक रूप: 6n² + 10n − 660 = 0
➤ 2 से भाग: 3n² + 5n − 330 = 0
➤ द्विघात सूत्र: n = {−5 ± √(25 + 3960)}/6 = {−5 ± √3985}/6
➤ अनुमान: √3985 ≈ 63.14 ⇒ n ≈ (−5 + 63.14)/6 ≈ 9.69
🟡 जाँच: n = 9 पर S₉ = 9/2 [16 + 8×6] = 9/2 [16 + 48] = 9/2 × 64 = 288 (कम)
🟡 जाँच: n = 10 पर S₁₀ = 10/2 [16 + 9×6] = 5 [16 + 54] = 5×70 = 350 (अधिक)
✔️ Final: कोई पूर्णांक n नहीं; Sₙ = 330 संभव नहीं (लगभग n ≈ 9.69)

🔵 Question
Q15. किसी समान्तर श्रेणी में a = 2, S₁₀ = 95 है तथा d ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: 95 = 10/2 [2×2 + (10−1)d]
➤ सरलकरण: 95 = 5 [4 + 9d]
➤ सरलकरण: 95/5 = 4 + 9d
➤ सरलकरण: 19 = 4 + 9d
➤ सरलकरण: 15 = 9d
✔️ Final: d = 15/9 = 5/3

🔵 Question
Q16. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी समान्तर श्रेणी के n पदों का योग Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] हो, तो Sₙ₊₁ − Sₙ = a + nd होगा, जो कि aₙ₊₁ के बराबर है।
🟢 Answer
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d], Sₙ₊₁ = (n+1)/2 [2a + nd]
➤ अन्तर: Sₙ₊₁ − Sₙ = {(n+1)/2 [2a + nd]} − {n/2 [2a + (n−1)d]}
➤ सरलकरण: = 1/2 { (n+1)(2a + nd) − n(2a + (n−1)d) }
➤ विस्तार: = 1/2 { 2a n + 2a + n²d + nd − 2an − n²d + nd }
➤ कटौती: 2an, n²d कटते हैं; शेष = 1/2 { 2a + 2nd }
➤ सरलकरण: = a + nd
✔️ Final: Sₙ₊₁ − Sₙ = a + nd = aₙ₊₁ (सिद्ध)

🔵 Question
Q17. तीन संख्याएँ समान्तर श्रेणी में हैं। यदि उनका योग 24 तथा उनका गुणनफल 440 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ मान लें: संख्याएँ (a−d), a, (a+d)
➤ योग: (a−d) + a + (a+d) = 3a = 24 ⇒ a = 8
➤ गुणनफल: (a−d)×a×(a+d) = a(a² − d²) = 440
➤ मान स्थापित: 8(64 − d²) = 440
➤ सरलकरण: 64 − d² = 55
➤ सरलकरण: d² = 9
➤ d = 3 या d = −3
✔️ Final: संख्याएँ 5, 8, 11 (या 11, 8, 5)

🔵 Question
Q18. एक सभागार में पंक्तियों में सीटें इस प्रकार हैं: पहली पंक्ति में 20 सीटें, दूसरी में 24, तीसरी में 28, … कुल 25 पंक्तियाँ हैं। कुल सीटों की संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ पहचान: यह समान्तर श्रेणी है जहाँ a = 20, d = 4, n = 25
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: S₂₅ = 25/2 [2×20 + (25−1)×4]
➤ सरलकरण: S₂₅ = 25/2 [40 + 96]
➤ सरलकरण: S₂₅ = 25/2 × 136
➤ गुणा/भाग: S₂₅ = 25 × 68 = 1700
✔️ Final: कुल सीटें = 1700

🔵 Question
Q19. यदि a₆ = 29 तथा a₁₅ = 74 हो, तो a तथा d ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ a₆ = a + 5d = 29
➤ a₁₅ = a + 14d = 74
➤ घटाव: (a + 14d) − (a + 5d) = 74 − 29
➤ सरलकरण: 9d = 45
➤ d = 5
➤ a = 29 − 5×5 = 4
✔️ Final: a = 4, d = 5

🔵 Question
Q20. यदि Sₙ = 3n² + 5n हो, तो सिद्ध कीजिए कि सामान्य पद aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 6n + 2 है तथा जाँचिए कि यह समान्तर श्रेणी है।
🟢 Answer
➤ Sₙ = 3n² + 5n, Sₙ₋₁ = 3(n−1)² + 5(n−1)
➤ विस्तार: Sₙ₋₁ = 3(n² − 2n + 1) + 5n − 5 = 3n² − 6n + 3 + 5n − 5
➤ सरलकरण: Sₙ₋₁ = 3n² − n − 2
➤ अन्तर: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = (3n² + 5n) − (3n² − n − 2)
➤ सरलकरण: aₙ = 6n + 2
➤ अन्तर d = aₙ₊₁ − aₙ = [6(n+1) + 2] − (6n + 2) = 6 (नियत)
✔️ Final: aₙ = 6n + 2 तथा d = 6 ⇒ यह समान्तर श्रेणी है (सिद्ध)

🔵 Question
Q21. (आन्तरिक विकल्प)
(A) किसी समान्तर श्रेणी में a = −4, d = 3 है। वह n ज्ञात कीजिए जिसके लिये Sₙ = 57 हो।
OR
(B) किसी समान्तर श्रेणी में a₅ = 12 तथा d = 2 है। a ज्ञात कीजिए और S₁₂ निकालिए।
🟢 Answer (A)
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: 57 = n/2 [2(−4) + (n−1)×3]
➤ सरलकरण: 57 = n/2 [−8 + 3n − 3] = n/2 [3n − 11]
➤ गुणा: 114 = n(3n − 11)
➤ मानक रूप: 3n² − 11n − 114 = 0
➤ द्विघात सूत्र: n = {11 ± √(121 + 1368)}/6 = {11 ± √1489}/6
➤ √1489 ≈ 38.61 ⇒ n ≈ (11 + 38.61)/6 ≈ 8.27 (पूर्णांक नहीं)
✔️ Final: कोई पूर्णांक n नहीं; Sₙ = 57 असंभव
🟢 Answer (B)
➤ a₅ = a + 4d = 12 ⇒ a + 8 = 12 ⇒ a = 4
➤ S₁₂ = 12/2 [2a + (12−1)d]
➤ मान स्थापित: S₁₂ = 6 [2×4 + 11×2]
➤ सरलकरण: S₁₂ = 6 [8 + 22] = 6×30
✔️ Final: a = 4, S₁₂ = 180

🔵 Question
Q22. (आन्तरिक विकल्प)
(A) k का मान ज्ञात कीजिए ताकि 7, (7 + k), (7 + 2k) समान्तर श्रेणी के क्रमागत पद हों जिनका योग 48 है।
OR
(B) तीन क्रमागत पदों का योग 39 है और मध्य पद 13 है। समान्तर श्रेणी के ये पद ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (A)
➤ पद: 7, 7 + k, 7 + 2k
➤ योग: 7 + (7 + k) + (7 + 2k) = 21 + 3k = 48
➤ सरलकरण: 3k = 27
✔️ Final: k = 9 (पद: 7, 16, 25)
🟢 Answer (B)
➤ मान लें: (a−d), a, (a+d)
➤ दिया: a = 13, योग = 39 ⇒ 3a = 39
➤ परिणाम: a = 13
➤ पद: 13 − d, 13, 13 + d (योग स्वयं 39)
✔️ Final: अनंत हल; परन्तु यदि पूर्णांक और सरल क्रमागत चुनें तो d = 3 ⇒ पद 10, 13, 16

🔵 Question
Q23. एक किसान अपने खेत के चारों ओर पेड़ इस प्रकार लगाता है कि पहली कतार में 5 पेड़ हैं, दूसरी कतार में 8 पेड़, तीसरी में 11 पेड़, और इसी प्रकार कुल 20 कतारें हैं। कुल कितने पेड़ लगाए गए?
🟢 Answer
➤ a = 5, d = 3, n = 20
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: S₂₀ = 20/2 [2×5 + (20−1)×3]
➤ सरलकरण: S₂₀ = 10 [10 + 57]
➤ सरलकरण: S₂₀ = 10 × 67
✔️ Final: कुल पेड़ = 670

🔵 Question
Q24. एक व्यापारी हर माह अपनी बिक्री को 2% बढ़ाता है। पहले माह बिक्री ₹50,000 थी। 12 महीनों के बाद कुल बिक्री कितनी होगी? (AP रूप में सन्निकटन मान लें: पहले माह और प्रत्येक माह के बीच का अंतर ₹1000 है।)
🟢 Answer
➤ a = 50,000, d = 1,000, n = 12
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: S₁₂ = 12/2 [2×50,000 + (12−1)×1,000]
➤ सरलकरण: S₁₂ = 6 [100,000 + 11,000]
➤ सरलकरण: S₁₂ = 6 × 111,000
✔️ Final: ₹666,000

🔵 Question
Q25. यदि किसी AP का 9ᵗʰ पद 28 और 21ᵗʰ पद 64 है, तो प्रथम पद और सामान्य अंतर ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ a₉ = a + 8d = 28
➤ a₂₁ = a + 20d = 64
➤ घटाव: 12d = 36 ⇒ d = 3
➤ a = 28 − 8×3 = 28 − 24 = 4
✔️ Final: a = 4, d = 3

🔵 Question
Q26. (आन्तरिक विकल्प)
(A) एक व्यक्ति प्रतिदिन ₹10 बचाता है, हर अगले दिन वह बचत ₹2 बढ़ाता है। 30 दिनों के बाद कुल बचत कितनी होगी?
OR
(B) एक सभागार में पहली पंक्ति में 18 सीटें हैं, दूसरी में 20, तीसरी में 22, … कुल 25 पंक्तियाँ हैं। कुल सीटें ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (A)
➤ a = 10, d = 2, n = 30
➤ सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
➤ मान स्थापित: S₃₀ = 30/2 [20 + 29×2]
➤ सरलकरण: S₃₀ = 15 [20 + 58] = 15×78
✔️ Final: ₹1,170
🟢 Answer (B)
➤ a = 18, d = 2, n = 25
➤ S₂₅ = 25/2 [36 + 48] = 25/2 × 84 = 25 × 42
✔️ Final: 1,050 सीटें

🔵 Question
Q27. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी AP के n पदों का योग Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] है, तो उसका 20ᵗʰ पद a₂₀ = S₂₀ − S₁₉ होगा।
🟢 Answer
➤ सूत्र: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
➤ a₂₀ = S₂₀ − S₁₉ = [20/2(2a + 19d)] − [19/2(2a + 18d)]
➤ विस्तार: = 10(2a + 19d) − (19/2)(2a + 18d)
➤ समान हर: = [20(2a + 19d) − 19(2a + 18d)]/2
➤ विस्तार: = [40a + 380d − 38a − 342d]/2
➤ सरलकरण: = [2a + 38d]/2 = a + 19d
✔️ Final: a₂₀ = a + 19d (सिद्ध)

🔵 Question
Q28. (आन्तरिक विकल्प)
(A) 200 को चार भागों में विभाजित कीजिए जो समान्तर श्रेणी में हों तथा उनका योग 200 हो और सामान्य अंतर 10 हो।
OR
(B) किसी AP के चार क्रमागत पदों का योग 32 है और उनका गुणनफल 585 है। पद ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (A)
➤ मान लें: a−15, a−5, a+5, a+15 (d = 10)
➤ योग: 4a = 200 ⇒ a = 50
➤ पद: 35, 45, 55, 65
✔️ Final: 35, 45, 55, 65
🟢 Answer (B)
➤ मान लें: (a−3d), (a−d), (a+d), (a+3d)
➤ योग: 4a = 32 ⇒ a = 8
➤ गुणनफल: (8−3d)(8−d)(8+d)(8+3d) = (64−9d²)(64−d²) = 585
➤ मान स्थापित: 64² − 64d² − 576d² + 9d⁴ = 585
➤ अनुमान: d = 1 ⇒ पद: 5,7,9,11 (योग =32, गुणनफल=3465>585)
🟡 सन्निकटन: यह विकल्प जटिल है; अन्य मान जैसे d=2 जाँचने पर भी उपयुक्त गुणनफल नहीं।
✔️ Final: इस डेटा से कोई सरल पूर्णांक समाधान नहीं; विकल्प (A) का हल मान्य।

🔵 Question
Q29. एक रेलवे प्लेटफॉर्म पर बत्तियाँ इस प्रकार लगी हैं कि पहली बत्ती 5 m की दूरी पर है, दूसरी 8 m पर, तीसरी 11 m पर,… कुल 40 बत्तियाँ हैं। अंतिम बत्ती तक कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer
➤ a = 5, d = 3, n = 40
➤ सूत्र: aₙ = a + (n−1)d
➤ अंतिम दूरी: a₄₀ = 5 + 39×3 = 5 + 117 = 122 m
✔️ Final: अंतिम बत्ती तक दूरी = 122 m

🔵 Question
Q30. सिद्ध कीजिए कि किसी AP के पहले n पदों के वर्गों का अंतर भी एक AP बनाता है: अर्थात् aₙ₊₁² − aₙ² समान्तर श्रेणी के रूप में है।
🟢 Answer
➤ मान लें: aₙ = a + (n−1)d
➤ aₙ₊₁ = a + nd
➤ अन्तर: aₙ₊₁² − aₙ² = (a + nd)² − (a + (n−1)d)²
➤ पहचान: x² − y² = (x − y)(x + y)
➤ अंतर: = [a + nd − (a + (n−1)d)] × [a + nd + a + (n−1)d]
➤ सरलकरण: = [d] × [2a + (2n−1)d]
➤ यह रैखिक रूप में है क्योंकि प्रत्येक वृद्धि d से होती है।
✔️ Final: सिद्ध कि aₙ₊₁² − aₙ² समान्तर श्रेणी है।

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मानचित्र

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