Class 10 : Maths (In Hindi) – Lesson 3. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔷🔵 परिचय
🧠 गणित में समीकरण वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने का सशक्त उपकरण है।
📌 जब केवल एक चर हो, हल करना सरल है।
📌 जब दो चर हों, तो हमें व्यवस्थित विधियों का प्रयोग करना होता है।
➡️ इस अध्याय में हम सीखेंगे:
दो चर वाले रैखिक समीकरण क्या होते हैं।
इनका युग्म किस प्रकार हल किया जाता है।
हल की प्रकृति और अनुप्रयोग।
🟢 1. दो चर वाले रैखिक समीकरण
परिभाषा:
👉 ax + by + c = 0 (a, b दोनों शून्य नहीं) = दो चर वाला रैखिक समीकरण।
उदाहरण:
🔹 2x + 3y – 5 = 0
🔹 x – y = 4
✔️ हल = ऐसा (x, y) युग्म जो समीकरण को संतुष्ट करे।
🔴 2. रैखिक समीकरणों का युग्म
सामान्य रूप:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0
💡 Concept: हल वही (x, y) होगा जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे।
🟡 3. ज्यामितीय व्याख्या
📍 प्रत्येक समीकरण निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा को निरूपित करता है।
➡️ रेखाएँ एक बिन्दु पर मिलें → ✔️ एकमात्र हल।
➡️ रेखाएँ समानांतर हों → ❌ कोई हल नहीं।
➡️ रेखाएँ एक-दूसरे पर हों → ♾️ अनन्त हल।
🌿 4. हल की प्रकृति का मानदंड
➡️ यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → ✔️ एक हल।
➡️ यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → ❌ कोई हल नहीं।
➡️ यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → ♾️ अनन्त हल।
⚡ 5. हल करने की विधियाँ
✳️ (i) रेखाचित्र विधि
📊 चरण:
दोनों समीकरणों को y के रूप में लिखें।
निर्देशांक तल पर रेखाएँ खींचें।
प्रतिछेद बिन्दु = हल।
उदाहरण:
x + y = 5, x – y = 1
➡️ y = 5 – x
➡️ y = x – 1
✔️ प्रतिछेद बिन्दु (3, 2) = हल।
✳️ (ii) प्रतिस्थापन विधि
उदाहरण:
x + y = 5, x – y = 1
➡️ दूसरे से: x = y + 1
➡️ पहले में रखें: (y + 1) + y = 5
➡️ 2y + 1 = 5
➡️ y = 2
➡️ x = 3
✔️ हल: (3, 2)
✳️ (iii) उन्मूलन विधि
उदाहरण:
2x + 3y = 13
x – 2y = −4
➡️ दूसरे को 2 से गुणा: 2x – 4y = −8
➡️ घटाएँ: (2x + 3y) – (2x – 4y) = 13 – (−8)
➡️ 7y = 21
➡️ y = 3
➡️ x – 2y = −4 ⇒ x = 2
✔️ हल: (2, 3)
✳️ (iv) परस्पर-गुणन विधि
सूत्र:
x / (b₁c₂ – b₂c₁) = y / (c₁a₂ – c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ – a₂b₁)
उदाहरण:
2x + 3y = 5
3x – 2y = 3
➡️ a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = −5
➡️ a₂ = 3, b₂ = −2, c₂ = −3
👉 b₁c₂ – b₂c₁ = −19
👉 c₁a₂ – c₂a₁ = −9
👉 a₁b₂ – a₂b₁ = −13
✔️ x / (−19) = y / (−9) = 1 / (−13)
➡️ x = 19/13, y = 9/13
✔️ हल: (19/13, 9/13)
🟢 6. वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
🌍 उपयोग:
रेलगाड़ी की गति–दूरी समस्याएँ।
वस्तुओं की कीमत व लागत।
साझेदारी व लाभ–हानि।
कार्य–समय आधारित प्रश्न।
✏️ Note:
केवल रैखिक समीकरण युग्म ही इन विधियों से हल होते हैं।
उच्च घात वाले समीकरण हेतु अन्य तकनीकें हैं।
🟡 सारांश (~300 शब्द)
📌 मुख्य बिंदु:
दो चर वाला रैखिक समीकरण: ax + by + c = 0 (a व b ≠ 0)।
युग्म: दो समीकरण एक साथ → हल (x, y)।
ज्यामितीय व्याख्या: प्रत्येक समीकरण = रेखा।
प्रतिछेद = एक हल।
समानांतर = कोई हल नहीं।
एक-दूसरे पर = अनन्त हल।
📌 मानदंड:
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → ✔️ एक हल।
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → ❌ कोई हल नहीं।
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → ♾️ अनन्त हल।
📌 विधियाँ:
रेखाचित्र विधि → ग्राफ से।
प्रतिस्थापन विधि → एक चर ज्ञात कर दूसरे में रखें।
उन्मूलन विधि → जोड़/घटाकर चर हटाएँ।
परस्पर-गुणन विधि → सूत्र आधारित।
📌 उदाहरण:
(3, 2), (2, 3), (19/13, 9/13) विभिन्न विधियों से।
📌 अनुप्रयोग:
गति–दूरी, लागत–मूल्य, साझेदारी, कार्य–समय।
📝 Quick Recap
🔵 समीकरण: ax + by + c = 0।
🟢 युग्म = दो समीकरण एक साथ।
🔴 हल की प्रकृति: एक / कोई नहीं / अनन्त।
🟡 विधियाँ: रेखाचित्र, प्रतिस्थापन, उन्मूलन, परस्पर-गुणन।
🌿 अनुप्रयोग: व्यापार, गति, कार्य समस्याएँ।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 3.1
🔵 प्रश्न 1(i):
कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लीजिए लड़कों की संख्या = x
➡️ लड़कियों की संख्या = y
कुल विद्यार्थियों का समीकरण:
x + y = 10
लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक है:
y = x + 4
अब हल करते हैं:
➡️ x + (x + 4) = 10
➡️ 2x + 4 = 10
➡️ 2x = 6
➡️ x = 3
✔️ लड़कों की संख्या = 3
✔️ लड़कियों की संख्या = y = 3 + 4 = 7
🔵 प्रश्न 1(ii):
5 पेंसिल तथा 7 कलम का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलम का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लीजिए 1 पेंसिल का मूल्य = x रुपए
➡️ 1 कलम का मूल्य = y रुपए
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
अब हल करते हैं:
पहला समीकरण: 5x + 7y = 50
दूसरा समीकरण: 7x + 5y = 46
➤ (1)×7: 35x + 49y = 350
➤ (2)×5: 35x + 25y = 230
अब घटाएँ:
(35x + 49y) – (35x + 25y) = 350 – 230
24y = 120
y = 5
अब y = 5 को (1) में रखें:
5x + 7(5) = 50
5x + 35 = 50
5x = 15
x = 3
✔️ पेंसिल का मूल्य = ₹3
✔️ कलम का मूल्य = ₹5
🔵 प्रश्न 2(i):
समीकरण: 5x – 4y + 8 = 0, 7x + 6y – 9 = 0
🟢 उत्तर:
➡️ यहाँ a₁ = 5, b₁ = –4, c₁ = 8
➡️ a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = –9
अब अनुपात जाँचें:
a₁/a₂ = 5/7
b₁/b₂ = –4/6 = –2/3
c₁/c₂ = 8/(–9) = –8/9
चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
✔️ रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।
🔵 प्रश्न 2(ii):
समीकरण: 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0
🟢 उत्तर:
➡️ a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
➡️ a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24
अब अनुपात जाँचें:
a₁/a₂ = 9/18 = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 12/24 = 1/2
सभी अनुपात समान हैं।
✔️ रेखाएँ संयोगी (Coincident) हैं।
🔵 प्रश्न 2(iii):
समीकरण: 6x – 3y + 10 = 0, 2x – y + 9 = 0
🟢 उत्तर:
➡️ a₁ = 6, b₁ = –3, c₁ = 10
➡️ a₂ = 2, b₂ = –1, c₂ = 9
अब अनुपात जाँचें:
a₁/a₂ = 6/2 = 3
b₁/b₂ = –3/(–1) = 3
c₁/c₂ = 10/9
यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂, लेकिन c₁/c₂ ≠
✔️ रेखाएँ समान्तर हैं।
🔵 प्रश्न 3(i):
समीकरण: 3x + 2y = 5, 2x – 3y = 7
🟢 उत्तर:
➡️ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = –5
➡️ a₂ = 2, b₂ = –3, c₂ = –7
a₁/a₂ = 3/2
b₁/b₂ = 2/(–3) = –2/3
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
✔️ रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
🔵 प्रश्न 3(ii):
समीकरण: 2x – 3y = 8, 4x – 6y = 9
🟢 उत्तर:
➡️ a₁ = 2, b₁ = –3, c₁ = –8
➡️ a₂ = 4, b₂ = –6, c₂ = –9
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
b₁/b₂ = –3/(–6) = 1/2
c₁/c₂ = –8/(–9) = 8/9
a₁/a₂ = b₁/b₂, परंतु c₁/c₂ ≠
✔️ रेखाएँ समान्तर हैं।
🔵 प्रश्न 3(iii):
समीकरण: (3/2)x + (5/3)y = 7, 9x – 10y = 14
🟢 उत्तर:
पहले समीकरण को मानक रूप में लिखें:
(3/2)x + (5/3)y – 7 = 0
➡️ गुणांक: a₁ = 3/2, b₁ = 5/3, c₁ = –7
दूसरा समीकरण: 9x – 10y – 14 = 0
➡️ a₂ = 9, b₂ = –10, c₂ = –14
अब अनुपात जाँचें:
a₁/a₂ = (3/2)/9 = 1/6
b₁/b₂ = (5/3)/(–10) = –1/6
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
✔️ रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
🔵 प्रश्न 3(iv):
समीकरण: 5x – 3y = 11, –10x + 6y = –22
🟢 उत्तर:
➡️ a₁ = 5, b₁ = –3, c₁ = –11
➡️ a₂ = –10, b₂ = 6, c₂ = –22
a₁/a₂ = 5/(–10) = –1/2
b₁/b₂ = (–3)/6 = –1/2
c₁/c₂ = (–11)/(–22) = 1/2
तीनों अनुपात समान हैं।
✔️ रेखाएँ संयोगी हैं।
( v ) (4/3)x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
🟢 उत्तर:
➡️ पहले मानक रूप में लिखें: (4/3)x + 2y − 8 = 0 ; 2x + 3y − 12 = 0
➡️ गुणांक: a₁ = 4/3, b₁ = 2, c₁ = −8 ; a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = −12
a₁/a₂ = (4/3)/2 = 4/6 = 2/3
b₁/b₂ = 2/3
c₁/c₂ = (−8)/(−12) = 8/12 = 2/3
✔️ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 2/3
💡 निष्कर्ष: रेखाएँ संयोगी हैं ⇒ युग्म संगत (आश्रित) है और अनन्त हल हैं।
🔵 प्रश्न 4:
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
🟢 उत्तर:
पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर: 2x + 2y = 10
दोनों समीकरण समान हैं।
✔️ ये संयोगी रेखाएँ हैं ⇒ युग्म संगत (आश्रित) है और अनन्त हल हैं।
(ii) x – y = 8 ; 3x – 3y = 16
🟢 उत्तर:
पहले समीकरण को 3 से गुणा: 3x – 3y = 24
लेकिन दूसरा समीकरण है 3x – 3y = 16
विरोधाभास ⇒ कोई हल नहीं।
✔️ असंगत युग्म (समान्तर रेखाएँ)।
(iii) 2x – y – 6 = 0 ; 4x – 2y – 4 = 0
🟢 उत्तर:
पहले समीकरण: 2x – y = 6
दूसरे को 2 से भाग दें: 2x – y = 2
विरोधाभास ⇒ कोई हल नहीं।
✔️ असंगत युग्म (समान्तर रेखाएँ)।
(iv) 2x – 2y – 2 = 0 ; 4x – 4y – 5 = 0
🟢 उत्तर:
पहले: 2x – 2y = 2 → x – y = 1
दूसरा: 4x – 4y = 5 → x – y = 5/4
विरोधाभास ⇒ कोई हल नहीं।
✔️ असंगत युग्म (समान्तर रेखाएँ)।
🔵 प्रश्न 5:
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का परिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें चौड़ाई = x m
➡️ लम्बाई = x + 4 m
➡️ परिमाप = 2(l + b) = 36
2(x + (x + 4)) = 36
2(2x + 4) = 36
4x + 8 = 36
4x = 28
x = 7
✔️ चौड़ाई = 7 m
✔️ लम्बाई = 7 + 4 = 11 m
🔵 प्रश्न 6:
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चर में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि:
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
🟢 उत्तर:
दी गई रेखा: 2x + 3y – 8 = 0
एक दूसरी रेखा जिसका अनुपात भिन्न हो: x + y – 4 = 0
✔️ ये प्रतिच्छेद करती रेखाएँ होंगी।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
🟢 उत्तर:
चाहिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
उदाहरण: 4x + 6y – 10 = 0
✔️ यह पहली रेखा के समान्तर होगी।
(iii) संयोगी रेखाएँ हों।
🟢 उत्तर:
चाहिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
उदाहरण: 4x + 6y – 16 = 0
✔️ यह पहली रेखा के संयोगी होगी।
🔵 प्रश्न 7:
समीकरण: –x + y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए।
x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पट्टल का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
पहली रेखा (–x + y + 1 = 0):
➡️ y = x – 1
x = 0 → y = –1 ⇒ बिंदु (0, –1)
y = 0 → x = 1 ⇒ बिंदु (1, 0)
दूसरी रेखा (3x + 2y – 12 = 0):
➡️ 3x + 2y = 12
x = 0 → y = 6 ⇒ बिंदु (0, 6)
y = 0 → x = 4 ⇒ बिंदु (4, 0)
प्रतिच्छेदन बिंदु निकालें:
y = x – 1 को 3x + 2y = 12 में रखें:
3x + 2(x – 1) = 12
3x + 2x – 2 = 12
5x = 14
x = 14/5
y = 14/5 – 1 = 9/5
✔️ प्रतिच्छेदन बिंदु = (14/5, 9/5)
त्रिभुज के शीर्ष:
(1, 0), (4, 0), (14/5, 9/5)
क्षेत्रफल (Area of triangle):
सूत्र: ½ |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
= ½ |1(0 – 9/5) + 4(9/5 – 0) + 14/5(0 – 0)|
= ½ |(–9/5) + (36/5) + 0|
= ½ × 27/5
= 27/10
✔️ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 27/10 वर्ग इकाई
प्रश्नावली 3.2
🔵 प्रश्न 1(i):
x + y = 14, x – y = 4
🟢 उत्तर:
➡️ पहले समीकरण से: x = 14 – y
➡️ इसे दूसरे में रखें: (14 – y) – y = 4
➡️ 14 – 2y = 4
➡️ –2y = –10
➡️ y = 5
➡️ x = 14 – 5 = 9
✔️ हल: x = 9, y = 5
🔵 प्रश्न 1(ii):
s – t = 3, (s/3) + (t/2) = 6
🟢 उत्तर:
➡️ पहले से: s = t + 3
➡️ इसे दूसरे में रखें: (t+3)/3 + t/2 = 6
➡️ (t/3 + 1) + t/2 = 6
➡️ (2t + 3t)/6 + 1 = 6
➡️ 5t/6 + 1 = 6
➡️ 5t/6 = 5
➡️ t = 6
➡️ s = t + 3 = 9
✔️ हल: s = 9, t = 6
🔵 प्रश्न 1(iii):
3x – y = 3, 9x – 3y = 9
🟢 उत्तर:
➡️ दूसरे को 3 से भाग दें: 3x – y = 3
➡️ दोनों समान समीकरण हैं।
✔️ हल: अनन्त समाधान (संयोगी रेखाएँ)
🔵 प्रश्न 1(iv):
0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3
🟢 उत्तर:
➡️ पहले से: 0.2x = 1.3 – 0.3y
➡️ x = (1.3 – 0.3y)/0.2
➡️ x = 6.5 – 1.5y
अब इसे दूसरे में रखें:
0.4(6.5 – 1.5y) + 0.5y = 2.3
➡️ 2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3
➡️ 2.6 – 0.1y = 2.3
➡️ –0.1y = –0.3
➡️ y = 3
➡️ x = 6.5 – 1.5(3) = 6.5 – 4.5 = 2
✔️ हल: x = 2, y = 3
🔵 प्रश्न 1(v):
√2 x + √3 y = 0, √3 x – √8 y = 0
🟢 उत्तर:
➡️ पहले से: √2 x = –√3 y
➡️ x = –(√3/√2) y
अब दूसरे में रखें:
√3(–√3/√2 y) – √8 y = 0
➡️ –(3/√2) y – 2√2 y = 0
➡️ –(3/√2 + 2√2) y = 0
➡️ y = 0
➡️ x = 0
✔️ हल: x = 0, y = 0
🔵 प्रश्न 1(vi):
(3x/2) – (5y/3) = –2, (x/3) + (y/2) = 13/6
🟢 उत्तर:
➡️ पहले को 6 से गुणा: 9x – 10y = –12
➡️ दूसरे को 6 से गुणा: 2x + 3y = 13
अब हल करें:
दूसरे से: 2x = 13 – 3y
x = (13 – 3y)/2
इसे पहले में रखें:
9(13 – 3y)/2 – 10y = –12
➡️ (117 – 27y)/2 – 10y = –12
➡️ (117 – 27y – 20y)/2 = –12
➡️ (117 – 47y)/2 = –12
➡️ 117 – 47y = –24
➡️ –47y = –141
➡️ y = 3
➡️ x = (13 – 3×3)/2 = (13 – 9)/2 = 4/2 = 2
✔️ हल: x = 2, y = 3
🔵 प्रश्न 2:
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = –24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
🟢 उत्तर:
समीकरण 1: 2x + 3y = 11
समीकरण 2: 2x – 4y = –24
➡️ पहले से: 2x = 11 – 3y
➡️ x = (11 – 3y)/2
इसे दूसरे में रखें:
2((11 – 3y)/2) – 4y = –24
➡️ (11 – 3y) – 4y = –24
➡️ 11 – 7y = –24
➡️ –7y = –35
➡️ y = 5
➡️ x = (11 – 3(5))/2 = (11 – 15)/2 = –4/2 = –2
✔️ हल: x = –2, y = 5
अब y = mx + 3 में रखें:
5 = m(–2) + 3
➡️ 5 = –2m + 3
➡️ –2m = 2
➡️ m = –1
✔️ अंतिम उत्तर: x = –2, y = 5 और m = –1
🔵 प्रश्न 3(i):
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें छोटी संख्या = y, बड़ी = x
➡️ x − y = 26, तथा x = 3y
➡️ 3y − y = 26
➡️ 2y = 26
➡️ y = 13
➡️ x = 3×13 = 39
✔️ संख्याएँ: 39 और 13
🔵 प्रश्न 3(ii):
दो सम्पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ छोटे कोण = x°, बड़ा = x + 18°
➡️ x + (x + 18) = 90
➡️ 2x + 18 = 90
➡️ 2x = 72
➡️ x = 36
➡️ बड़ा कोण = 36 + 18 = 54
✔️ कोण: 36° और 54°
🔵 प्रश्न 3(iii):
एक कोच ने 7 बल्ले और 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं, तथा 3 बल्ले और 5 गेंदें ₹1750 में। प्रत्येक बल्ले और गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें 1 बल्ले का मूल्य = B, 1 गेंद का मूल्य = C
➡️ 7B + 6C = 3800 …(1)
➡️ 3B + 5C = 1750 …(2)
➡️ (2)×7 ⇒ 21B + 35C = 12250
➡️ (1)×3 ⇒ 21B + 18C = 11400
➡️ घटाएँ ⇒ 17C = 850
➡️ C = 50
➡️ 3B + 5(50) = 1750 ⇒ 3B + 250 = 1750 ⇒ 3B = 1500 ⇒ B = 500
✔️ मूल्य: बल्ला ₹500, गेंद ₹50
🔵 प्रश्न 3(iv):
एक नगर में टैक्सी का नियत (स्थिर) भाड़ा + प्रति km भाड़ा लिया जाता है।
10 km के लिए ₹105 और 15 km के लिए ₹155। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा ज्ञात कीजिए; 25 km का कुल भाड़ा भी ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ नियत भाड़ा = f, प्रति km भाड़ा = r
➡️ f + 10r = 105 …(1)
➡️ f + 15r = 155 …(2)
➡️ (2)−(1): 5r = 50 ⇒ r = 10
➡️ f = 105 − 10×10 = 105 − 100 = 5
➡️ 25 km का भाड़ा = f + 25r = 5 + 250 = 255
✔️ नियत भाड़ा ₹5, प्रति km ₹10, 25 km = ₹255
🔵 प्रश्न 3(v):
यदि किसी भिन्न के अंश और हर में 2 जोड़ने पर वह 9/11 बनती है और 3 जोड़ने पर 5/6 बनती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ भिन्न = x/y (y ≠ 0)
➡️ (x + 2)/(y + 2) = 9/11 …(1)
➡️ (x + 3)/(y + 3) = 5/6 …(2)
➡️ 11(x+2) = 9(y+2) ⇒ 11x − 9y = −4 …(A)
➡️ 6(x+3) = 5(y+3) ⇒ 6x − 5y = −3 …(B)
➡️ (A)×5 ⇒ 55x − 45y = −20
➡️ (B)×9 ⇒ 54x − 45y = −27
➡️ घटाएँ ⇒ x = 7
➡️ 6x − 5y = −3 ⇒ 42 − 5y = −3 ⇒ −5y = −45 ⇒ y = 9
✔️ मूल भिन्न = 7/9
📘 प्रश्न 3(vi)
प्रश्न:
पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
🟢 उत्तर (प्रतिस्थापन विधि)
➡️ मान लें:
जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
पहला समीकरण (5 वर्ष बाद):
x + 5 = 3(y + 5)
x + 5 = 3y + 15
x – 3y = 10 …(1)
दूसरा समीकरण (5 वर्ष पूर्व):
x – 5 = 7(y – 5)
x – 5 = 7y – 35
x – 7y = –30 …(2)
हल (प्रतिस्थापन):
समीकरण (1): x = 3y + 10
इसे (2) में रखें:
(3y + 10) – 7y = –30
–4y + 10 = –30
–4y = –40
y = 10
अब x = 3y + 10 = 3(10) + 10 = 40
✔️ अंतिम उत्तर:
जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष
पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष
प्रश्नावली 3.3
🔵 प्रश्न 1(i):
x + y = 5 और 2x – 3y = 4
🟢 उत्तर (प्रतिस्थापन विधि):
x = 5 – y
2(5 – y) – 3y = 4
10 – 2y – 3y = 4
–5y = –6
y = 6/5
x = 5 – 6/5 = 19/5
✔️ हल: x = 19/5, y = 6/5
🟢 उत्तर (विलोपन विधि):
समीकरण (1): x + y = 5
समीकरण (2): 2x – 3y = 4
(1)×2 ⇒ 2x + 2y = 10
अब घटाएँ: (2x – 3y) – (2x + 2y) = 4 – 10
–5y = –6 ⇒ y = 6/5, फिर x = 19/5
✔️ दोनों विधियों से समान हल।
➡️ यहाँ विलोपन विधि सरल है।
🔵 प्रश्न 1(ii):
3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
🟢 उत्तर (प्रतिस्थापन विधि):
2x – 2y = 2 ⇒ x – y = 1 ⇒ x = y + 1
इसे पहले में रखें: 3(y+1) + 4y = 10
3y + 3 + 4y = 10 ⇒ 7y + 3 = 10
7y = 7 ⇒ y = 1
x = 1+1 = 2
✔️ हल: x = 2, y = 1
🟢 उत्तर (विलोपन विधि):
(1) 3x + 4y = 10
(2) 2x – 2y = 2
(2)×2 ⇒ 4x – 4y = 4
अब (1)×2 = 6x + 8y = 20
जोड़ें: 10x + 4y = 24 ⇒ 5x + 2y = 12
यहाँ गणना थोड़ी लंबी ⇒ प्रतिस्थापन सरल।
➡️ यहाँ प्रतिस्थापन विधि अधिक उपयुक्त।
🔵 प्रश्न 1(iii):
3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
🟢 उत्तर (प्रतिस्थापन विधि):
पहला: 3x – 5y = 4 …(1)
दूसरा: 9x = 2y + 7 ⇒ 9x – 2y = 7 …(2)
(1) से: 3x = 4 + 5y ⇒ x = (4+5y)/3
इसे (2) में रखें: 9(4+5y)/3 – 2y = 7
3(4+5y) – 2y = 7
12 + 15y – 2y = 7
13y = –5
y = –5/13
x = (4 + 5(–5/13))/3 = (4 – 25/13)/3 = (52/13 – 25/13)/3 = (27/13)/3 = 9/13
✔️ हल: x = 9/13, y = –5/13
🟢 विलोपन विधि:
पहला: 3x – 5y = 4
दूसरा: 9x – 2y = 7
×3 करें: 9x – 15y = 12
अब घटाएँ: (9x – 2y) – (9x – 15y) = 7 – 12
13y = –5 ⇒ y=–5/13, फिर x=9/13
➡️ यहाँ विलोपन विधि सरल।
🔵 प्रश्न 1(iv):
x/2 + 2y/3 = –1 और x – y/3 = 3
🟢 उत्तर (प्रतिस्थापन विधि):
दूसरे से: x = 3 + y/3
इसे पहले में रखें: (3+y/3)/2 + 2y/3 = –1
(3/2 + y/6) + 2y/3 = –1
3/2 + y/6 + 4y/6 = –1
3/2 + 5y/6 = –1
5y/6 = –1 – 3/2 = –5/2
y = (–5/2)×(6/5) = –3
x = 3 + (–3)/3 = 2
✔️ हल: x = 2, y = –3
🟢 विलोपन विधि:
समीकरण (1): x/2 + 2y/3 = –1
समीकरण (2): x – y/3 = 3
LCM लेकर लंबा हो जाएगा ⇒ प्रतिस्थापन सरल।
➡️ यहाँ प्रतिस्थापन विधि अधिक उपयुक्त।
🔵 प्रश्न 2(i):
यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
🟢 उत्तर:
मान लें भिन्न = x/y
(x+1)/(y–1) = 1 ⇒ x – y = –2 …(1)
x/(y+1) = 1/2 ⇒ 2x = y+1 ⇒ –2x + y = –1 …(2)
(1)+(2): –x = –3 ⇒ x = 3
y = x+2 = 5
✔️ भिन्न = 3/5
🔵 प्रश्न 2(ii):
पाँच वर्ष पूर्व रूचि की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात रूचि की आयु सोनू की आयु की दोगुनी हो जाएगी। रूचि और सोनू की वर्तमान आयु कितनी है?
🟢 उत्तर:
मान लें वर्तमान आयु: रूचि = x, सोनू = y
x–5 = 3(y–5) ⇒ x – 3y = –10 …(1)
x+10 = 2(y+10) ⇒ x – 2y = 10 …(2)
(1)–(2): –y = –20 ⇒ y = 20
x – 40 = 10 ⇒ x = 50
✔️ रूचि = 50 वर्ष, सोनू = 20 वर्ष
🔵 प्रश्न 2(iii):
किसी संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या को अंकों के पलटने से जो संख्या मिलती है, वह दी गई संख्या से 27 कम है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लें संख्या = 10x + y
x + y = 9 …(1)
(10x+y) – (10y+x) = 27 ⇒ 9x – 9y = 27 ⇒ x – y = 3 …(2)
(1)+(2): 2x = 12 ⇒ x = 6
y = 9–6 = 3
✔️ संख्या = 63
🔵 प्रश्न 2(iv):
मीना ने ₹2000 निकाले जिनमें ₹50 और ₹100 के नोट थे। कुल 25 नोट थे। उसने कितने–कितने नोट लिए?
🟢 उत्तर:
मान लें ₹50 के नोट = x, ₹100 के नोट = y
x + y = 25 …(1)
50x + 100y = 2000 ⇒ x + 2y = 40 …(2)
(2)–(1): y = 15 ⇒ x = 25–15 = 10
✔️ ₹50 के नोट = 10, ₹100 के नोट = 15
🔵 प्रश्न 2(v):
किराए पर पुस्तकें देने वाला एक पुस्तकालय प्रथम दिन का किराया और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया तय करता है। शिरीष ने 7 दिन के लिए ₹27 दिए, ऋतु ने 5 दिन के लिए ₹21 दिए। प्रथम दिन का किराया और अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लें प्रथम दिन का किराया = x, प्रत्येक अतिरिक्त दिन का = y
x + 6y = 27 …(1)
x + 4y = 21 …(2)
(1)–(2): 2y = 6 ⇒ y = 3
x + 12 = 21 ⇒ x = 9
✔️ प्रथम दिन का किराया = ₹9, अतिरिक्त दिन का किराया = ₹3
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(Response 1: प्रश्न 1 से 12 तक)
🔵 प्रश्न 1 (1 अंक)
यदि रेखा का समीकरण 2x + 3y = 6 है, तो y-अवच्छेदक (intercept) क्या होगा?
🟢 उत्तर:
x = 0 रखने पर, 3y = 6 ⇒ y = 2
✔️ अतः y-अवच्छेदक = 2
🔵 प्रश्न 2 (1 अंक)
समीकरण 3x – 9y = 12 का x-अवच्छेदक क्या है?
🟢 उत्तर:
y = 0 रखने पर, 3x = 12 ⇒ x = 4
✔️ अतः x-अवच्छेदक = 4
🔵 प्रश्न 3 (1 अंक)
समीकरण 2x + 3y = 6 और 4x + 6y = 12 किस प्रकार के हैं?
🟢 उत्तर:
दोनों समीकरण एक-दूसरे के गुणज हैं।
✔️ अतः ये अनन्त समाधान (Coincident lines) देते हैं।
🔵 प्रश्न 4 (1 अंक)
समीकरणों के युग्म का कोई समाधान न होने की शर्त क्या है?
🟢 उत्तर:
यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो कोई समाधान नहीं होता।
🔵 प्रश्न 5 (1 अंक)
समीकरण 2x + y = 5 और 4x + 2y = 10 का हल कैसा होगा?
🟢 उत्तर:
यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ अनन्त समाधान।
🔵 प्रश्न 6 (1 अंक)
यदि किसी युग्म के दो रेखाएँ एक ही बिन्दु पर मिलें, तो समाधान का प्रकार क्या होगा?
🟢 उत्तर:
✔️ एकमात्र समाधान (Unique solution)
🔵 प्रश्न 7 (2 अंक)
समीकरण 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = –24 को हल कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ समीकरण (1): 2x + 3y = 11
➤ समीकरण (2): 2x – 4y = –24
(1) – (2): 7y = 35
⇒ y = 5
अब y = 5 को (1) में रखें: 2x + 15 = 11
⇒ 2x = –4
⇒ x = –2
✔️ हल: (x, y) = (–2, 5)
🔵 प्रश्न 8 (2 अंक)
समीकरण x + 2y = 10 तथा 2x + 4y = 20 के हलों की संख्या कितनी है?
🟢 उत्तर:
यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ अनन्त समाधान।
✔️ हलों की संख्या = अनन्त
🔵 प्रश्न 9 (2 अंक)
रेखीय समीकरण युग्म का ग्राफीय हल क्या कहलाता है?
🟢 उत्तर:
दोनों समीकरणों की रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिन्दु को ग्राफीय हल कहते हैं।
🔵 प्रश्न 10 (2 अंक)
यदि 5x – 6y = 15 और 10x – 12y = 30 हों, तो हल का प्रकार बताएँ।
🟢 उत्तर:
यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ अनन्त समाधान
🔵 प्रश्न 11 (2 अंक)
समीकरण 3x + 2y = 12 और x – y = 1 को हल कीजिए।
🟢 उत्तर:
(2): x = 1 + y
(1): 3(1 + y) + 2y = 12
⇒ 3 + 3y + 2y = 12
⇒ 5y = 9
⇒ y = 9/5
अब x = 1 + 9/5 = 14/5
✔️ हल: (x, y) = (14/5, 9/5)
🔵 प्रश्न 12 (2 अंक)
यदि किसी युग्म के दो समीकरण समांतर रेखाएँ हों, तो हल का प्रकार क्या होगा?
🟢 उत्तर:
✔️ कोई समाधान नहीं (No solution)
🔵 प्रश्न 13 (3 अंक)
रेखीय समीकरणों का युग्म 3x + 2y = 11 और 2x – 3y = –4 को उपस्थापन विधि से हल कीजिए।
🟢 उत्तर:
(2): 2x – 3y = –4 ⇒ 2x = 3y – 4 ⇒ x = (3y – 4)/2
इसे (1) में रखें:
3((3y – 4)/2) + 2y = 11
⇒ (9y – 12)/2 + 2y = 11
⇒ (9y – 12 + 4y)/2 = 11
⇒ (13y – 12)/2 = 11
⇒ 13y – 12 = 22
⇒ 13y = 34
⇒ y = 34/13
अब x = (3(34/13) – 4)/2 = (102/13 – 4)/2 = (102 – 52)/26 = 50/26 = 25/13
✔️ हल: (x, y) = (25/13, 34/13)
🔵 प्रश्न 14 (3 अंक)
समीकरणों का युग्म 7x – 15y = 2 और x + 2y = 3 को विलोपन विधि से हल कीजिए।
🟢 उत्तर:
(2): x + 2y = 3 ⇒ x = 3 – 2y
इसे (1) में रखें:
7(3 – 2y) – 15y = 2
⇒ 21 – 14y – 15y = 2
⇒ 21 – 29y = 2
⇒ –29y = –19 ⇒ y = 19/29
अब x = 3 – 2(19/29) = (87 – 38)/29 = 49/29
✔️ हल: (x, y) = (49/29, 19/29)
🔵 प्रश्न 15 (3 अंक)
एक साथ 470 विद्यार्थियों ने विज्ञान और गणित की परीक्षा दी। 10% विद्यार्थियों ने दोनों परीक्षाएँ उत्तीर्ण कीं और 35% केवल गणित में असफल हुए। केवल विज्ञान में असफल होने वालों की संख्या 120 है। विज्ञान और गणित दोनों में असफल विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लीजिए:
गणित में असफल = x, विज्ञान में असफल = y, दोनों में असफल = z
दिए अनुसार:
x = 35% of 470 = 164.5 ≈ 165
y = 120
दोनों में पास = 10% of 470 = 47
अब: कुल = पास + केवल गणित असफल + केवल विज्ञान असफल + दोनों असफल
470 = 47 + 165 + 120 + z
⇒ z = 470 – 332 = 138
✔️ दोनों में असफल विद्यार्थी = 138
🔵 प्रश्न 16 (3 अंक)
किसी भिन्न के अंश और हर का योग 11 है। यदि अंश और हर दोनों में 2-2 जोड़ दिए जाएँ तो भिन्न 1/2 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लीजिए भिन्न = x/y
➤ x + y = 11 …(1)
➤ (x + 2)/(y + 2) = 1/2 …(2)
(2): 2(x + 2) = y + 2 ⇒ 2x + 4 = y + 2 ⇒ 2x – y = –2 …(3)
अब (1) और (3) को हल कीजिए:
x + y = 11
2x – y = –2
(जोड़ने पर): 3x = 9 ⇒ x = 3
अब y = 8
✔️ भिन्न = 3/8
🔵 प्रश्न 17 (3 अंक)
✳️ OR विकल्प प्रश्न
(क) दो संख्याओं का योग 45 है। बड़ी संख्या छोटी संख्या के दोगुने से 9 अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
या
(ख) एक 2-अंकीय संख्या है जिसके अंकों का योग 7 है। यदि अंकों को पलट दिया जाए तो प्राप्त संख्या मूल संख्या से 27 अधिक होती है। संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर (क):
x + y = 45 …(1)
x = 2y + 9 …(2)
(1): 2y + 9 + y = 45 ⇒ 3y + 9 = 45 ⇒ 3y = 36 ⇒ y = 12
x = 2(12) + 9 = 33
✔️ संख्याएँ = 33 और 12
🔵 प्रश्न 18 (3 अंक)
✳️ OR विकल्प प्रश्न
(क) x और y का योग 18 है और उनका अन्तर 6 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
या
(ख) एक रेस्टोरेंट में दो प्रकार के भोज्य पदार्थ हैं। एक प्लेट समोसे की कीमत ₹30 और एक प्लेट इडली की कीमत ₹40 है। कुल 11 प्लेटें ₹370 में खरीदी गईं। कितनी प्लेटें प्रत्येक प्रकार की खरीदी गईं?
🟢 उत्तर (क):
x + y = 18 …(1)
x – y = 6 …(2)
(1)+(2): 2x = 24 ⇒ x = 12
y = 6
✔️ संख्याएँ = 12 और 6
🔵 प्रश्न 19 (3 अंक)
एक पुस्तकालय में दो प्रकार की पुस्तकें हैं। एक पुस्तक की कीमत ₹40 और दूसरी की ₹50 है। कुल 40 पुस्तकें ₹1750 में खरीदी गईं। कितनी-कितनी पुस्तकें खरीदी गईं?
🟢 उत्तर:
मान लीजिए 40 वाली पुस्तकें = x, 50 वाली = y
x + y = 40 …(1)
40x + 50y = 1750 …(2)
(1): y = 40 – x
(2): 40x + 50(40 – x) = 1750
⇒ 40x + 2000 – 50x = 1750
⇒ –10x = –250 ⇒ x = 25
y = 15
✔️ पुस्तकें: 40 वाली = 25, 50 वाली = 15
🔵 प्रश्न 20 (3 अंक)
✳️ OR विकल्प प्रश्न
(क) यदि 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = –24, तो उन्हें हल कीजिए।
या
(ख) यदि 3x + 2y = 12 और x – y = 1, तो उन्हें हल कीजिए।
🟢 उत्तर (क):
(पहले से किया हुआ हल)
y = 5, x = –2
✔️ हल = (–2, 5)
🔵 प्रश्न 21 (3 अंक)
यदि 5 पेंसिल और 7 रबर की कीमत ₹50 है तथा 7 पेंसिल और 5 रबर की कीमत ₹46 है, तो एक पेंसिल और एक रबर की कीमत ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लीजिए पेंसिल = x, रबर = y
5x + 7y = 50 …(1)
7x + 5y = 46 …(2)
(1)×7: 35x + 49y = 350
(2)×5: 35x + 25y = 230
घटाने पर: 24y = 120 ⇒ y = 5
अब (1): 5x + 35 = 50 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3
✔️ पेंसिल = ₹3, रबर = ₹5
🔵 प्रश्न 22 (3 अंक)
✳️ OR विकल्प प्रश्न
(क) एक कुएँ को 2 पाइप भरते हैं। पहला पाइप 10 घंटे में तथा दूसरा 15 घंटे में भरता है। दोनों एक साथ खुलने पर कितने समय में कुआँ भरेगा?
या
(ख) एक कार्य A अकेले 12 दिन में तथा B अकेले 15 दिन में कर सकता है। दोनों मिलकर कितने दिन में कार्य पूरा करेंगे?
🟢 उत्तर (क):
1 घंटे में पहले पाइप से = 1/10, दूसरे से = 1/15
कुल = 1/10 + 1/15 = (3 + 2)/30 = 5/30 = 1/6
⇒ कुआँ = 6 घंटे में भरेगा
✔️ समय = 6 घंटे
🔵 प्रश्न 23 (4 अंक)
रेखा 2x + 3y = 12 और x – y = 1 का ग्राफ बनाकर उनका हल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ समीकरण (1): 2x + 3y = 12
यदि x = 0 ⇒ y = 4
यदि y = 0 ⇒ x = 6
⇒ बिन्दु (0, 4) और (6, 0)
➤ समीकरण (2): x – y = 1
यदि x = 0 ⇒ –y = 1 ⇒ y = –1
यदि y = 0 ⇒ x = 1
⇒ बिन्दु (0, –1) और (1, 0)
✔️ ग्राफ पर प्रतिच्छेदन बिन्दु = (3, 2)
👉 हल: (x, y) = (3, 2)
🔵 प्रश्न 24 (4 अंक)
x + 2y = 5 और 2x + 4y = 10 का हल ग्राफ द्वारा कीजिए।
🟢 उत्तर:
दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं।
✔️ अतः युग्म के अनन्त समाधान हैं।
🔵 प्रश्न 25 (4 अंक)
दो संख्याओं का योग 27 है तथा उनका अन्तर 3 है। उन संख्याओं को समीकरणों के युग्म द्वारा ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लीजिए संख्याएँ x और y हैं।
➤ समीकरण: x + y = 27 …(1)
➤ समीकरण: x – y = 3 …(2)
(1) + (2): 2x = 30 ⇒ x = 15
अब y = 27 – 15 = 12
✔️ संख्याएँ = 15 और 12
🔵 प्रश्न 26 (4 अंक)
एक आयत की लम्बाई चौड़ाई से 7 सेमी अधिक है। यदि परिमाप 74 सेमी है, तो आयाम ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लीजिए चौड़ाई = x, लम्बाई = x + 7
परिमाप = 2(l + b) = 74
⇒ 2(x + 7 + x) = 74
⇒ 4x + 14 = 74
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15
⇒ लम्बाई = 22
✔️ आयाम: चौड़ाई = 15 सेमी, लम्बाई = 22 सेमी
🔵 प्रश्न 27 (4 अंक)
एक संख्या का तीन गुना दूसरी संख्या के दोगुने से 2 अधिक है। यदि उनका योग 14 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
मान लीजिए संख्याएँ x और y हैं।
➤ 3x = 2y + 2 …(1)
➤ x + y = 14 …(2)
(1): 3x – 2y = 2
(2): x + y = 14
हल करने पर:
3x – 2y = 2
x + y = 14 ⇒ y = 14 – x
⇒ 3x – 2(14 – x) = 2
⇒ 3x – 28 + 2x = 2
⇒ 5x = 30
⇒ x = 6
y = 14 – 6 = 8
✔️ संख्याएँ = 6 और 8
🔵 प्रश्न 28 (4 अंक)
एक नाव की स्थिर जल में चाल 10 किमी/घं है। यदि धारा की चाल 4 किमी/घं है, तो 36 किमी धारा के साथ जाने और लौटने में समय ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ धारा के साथ चाल = 10 + 4 = 14 किमी/घं
समय = 36/14 = 18/7 घं
➤ धारा के विपरीत चाल = 10 – 4 = 6 किमी/घं
समय = 36/6 = 6 घं
कुल समय = 18/7 + 6 = (18 + 42)/7 = 60/7 घं
✔️ समय = 60/7 घं (लगभग 8.57 घं)
🔵 प्रश्न 29 (4 अंक)
✳️ OR विकल्प प्रश्न
(क) किसी भिन्न के अंश तथा हर को 2-2 घटाने पर वह 1/2 बन जाती है और अंश हर से 4 कम है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
या
(ख) एक 2-अंकीय संख्या ऐसी है कि उसके अंकों का योग 9 है। यदि उसके अंकों को पलट दिया जाए तो संख्या मूल संख्या से 27 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर (क):
मान लीजिए भिन्न = x/y
➤ (x – 2)/(y – 2) = 1/2 ⇒ 2x – 4 = y – 2 ⇒ 2x – y = 2 …(1)
➤ x = y – 4 …(2)
(2) को (1) में रखने पर:
2(y – 4) – y = 2 ⇒ y – 8 = 2 ⇒ y = 10 ⇒ x = 6
✔️ भिन्न = 6/10 = 3/5
🔵 प्रश्न 30 (4 अंक)
✳️ OR विकल्प प्रश्न
(क) किसी विद्यालय में 10वीं कक्षा के विद्यार्थियों को गणित और विज्ञान पत्रिका दिलाई गई। गणित पत्रिका की कीमत ₹40 तथा विज्ञान पत्रिका की ₹50 है। कुल 50 पत्रिकाओं के लिए ₹2200 व्यय हुआ। प्रत्येक पत्रिका कितनी ली गई?
या
(ख) एक थैली में केवल 50 पैसे और 1 रुपये के सिक्के हैं। सिक्कों की कुल संख्या 120 है और उनकी कुल कीमत ₹80 है। प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर (क):
मान लीजिए गणित पत्रिकाएँ = x, विज्ञान पत्रिकाएँ = y
➤ x + y = 50 …(1)
➤ 40x + 50y = 2200 …(2)
(1) से y = 50 – x
(2): 40x + 50(50 – x) = 2200
⇒ 40x + 2500 – 50x = 2200
⇒ –10x = –300
⇒ x = 30, y = 20
✔️ गणित पत्रिकाएँ = 30, विज्ञान पत्रिकाएँ = 20
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मानचित्र
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