Class 10 : Maths (In Hindi) – Lesson 13. सांख्यिकी
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 विस्तृत व्याख्या
🔴 1️⃣ परिचय
• सांख्यिकी वह गणितीय शाखा है जिसमें आँकड़ों (Data) का संकलन, वर्गीकरण, प्रस्तुतीकरण, विश्लेषण और व्याख्या की जाती है।
• वास्तविक जीवन में मौसम पूर्वानुमान, सर्वेक्षण, खेल विश्लेषण, आर्थिक रिपोर्ट आदि सांख्यिकी के उदाहरण हैं।
• इस अध्याय में मुख्यतः समान्तर वर्गान्तर (Class Intervals), आवृत्ति वितरण (Frequency Distribution), माध्य (Mean), माध्यिका (Median) और बहुलक (Mode) पर ध्यान दिया गया है।
🟢 2️⃣ आँकड़ों का संगठन (Organisation of Data)
🔸 कच्चे आँकड़े (Raw Data): अव्यवस्थित आँकड़े, जिन्हें सीधे संग्रहित किया गया।
🔸 सजाए गए आँकड़े (Arranged Data): जब कच्चे आँकड़े आरोही या अवरोही क्रम में रखे जाते हैं।
🔸 आवृत्ति (Frequency): किसी मान के बार-बार आने की संख्या।
🔸 आवृत्ति वितरण सारणी (Frequency Table): मानों को वर्गान्तरों में बाँटकर उनकी आवृत्तियों के साथ प्रदर्शित करना।
🟡 3️⃣ आँकड़ों का प्रस्तुतीकरण (Presentation of Data)
💡 प्रकार:
• तालिकात्मक (Tabular): वर्गान्तर और आवृत्ति तालिका।
• आरेखात्मक (Graphical):
🔹 हिस्टोग्राम (Histogram) – आवृत्ति वितरण को बिना अंतराल के खम्भों द्वारा।
🔹 बहुभुज (Frequency Polygon) – वर्ग-चिन्हों के मध्य बिंदुओं को जोड़कर।
🔹 ओगिव (Ogive) – संचयी आवृत्ति (Cumulative Frequency) के लिए वक्र।
✏️ नोट: ग्राफ़ बनाते समय समान मापदण्ड (Scale) और स्पष्ट लेबल प्रयोग करें।
🔴 4️⃣ माध्य (Mean)
🔸 समीकरण:
माध्य (x̄) = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
जहाँ fᵢ = आवृत्ति, xᵢ = वर्ग-चिन्ह (Class Mark)।
🔸 विधियाँ:
1️⃣ प्रत्यक्ष विधि (Direct Method): x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ।
2️⃣ विन्यस्त विचलन विधि (Assumed Mean Method): x̄ = a + (Σfᵢdᵢ / Σfᵢ) × h।
➡️ dᵢ = (xᵢ − a)/h।
3️⃣ चरणबद्ध विचलन विधि (Step Deviation Method): x̄ = a + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × h, जहाँ uᵢ = (xᵢ − a)/h।
✔️ उदाहरण:
• वर्गान्तर: 0–10, 10–20, 20–30
• आवृत्तियाँ: 5, 8, 7
🔵 Step 1: वर्ग-चिन्ह: 5, 15, 25।
🔵 Step 2: Σfᵢxᵢ = 5×5 + 8×15 + 7×25 = 25 + 120 + 175 = 320।
🔵 Step 3: Σfᵢ = 20।
✔ Final: x̄ = 320/20 = 16।
🟢 5️⃣ माध्यिका (Median)
🔸 परिभाषा: वह मान जो व्यवस्थित आँकड़ों को दो समान भागों में विभाजित करे।
🔸 सूत्र (समूहित आँकड़ों के लिए):
Median = L + [(N/2 − CF)/f] × h
➡️ L = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
➡️ N = Σfᵢ (कुल आवृत्ति)
➡️ CF = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
➡️ f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
➡️ h = वर्गान्तर चौड़ाई।
✔️ उदाहरण:
• N = 50, माध्यिका वर्ग की निचली सीमा = 20, CF = 18, f = 12, h = 10।
Median = 20 + [(25 − 18)/12]×10 = 20 + (7/12)×10 ≈ 25.83।
🟡 6️⃣ बहुलक (Mode)
🔸 परिभाषा: वह मान जो सबसे अधिक बार प्रकट हो।
🔸 सूत्र (समूहित आँकड़ों के लिए):
Mode = L + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h
➡️ L = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
➡️ f₁ = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
➡️ f₀ = बहुलक वर्ग से पहले की आवृत्ति
➡️ f₂ = बहुलक वर्ग के बाद की आवृत्ति।
🔴 7️⃣ ग्राफ़ीय विधियाँ
• हिस्टोग्राम से बहुलक निकालना: बहुलक वर्ग पर खम्भों से रेखाएँ खींचकर।
• ओगिव द्वारा माध्यिका: दो प्रकार की ओगिव (Less than और Greater than) बनाकर प्रतिच्छेदन बिंदु से माध्यिका ज्ञात।
🟢 8️⃣ संयुक्त उपयोग
• यदि दो मान (Mean और Mode) ज्ञात हैं, तो एम्पिरिकल सूत्र: Mode ≈ 3Median − 2Mean।
• जाँच के लिए उपयोग।
🟡 9️⃣ उदाहरण व अनुप्रयोग
✔ खेल आँकड़े (रनों का औसत), मौसम (औसत वर्षा), व्यापार (औसत बिक्री), सर्वेक्षण परिणाम।
✔ निर्णय लेने में माध्य, माध्यिका, बहुलक का चयन—उदाहरण: असमान वितरण में माध्यिका उपयोगी।
🔴 🔟 सावधानियाँ व सुझाव
✏️ वर्गान्तर चौड़ाई समान रखें (यदि असमान हों तो समायोजित करें)।
✏️ CF तालिका ध्यानपूर्वक बनाएँ।
✏️ हिस्टोग्राम के स्तम्भों के बीच अंतर न छोड़ें।
✏️ इकाइयाँ (cm, km, रुपये) स्पष्ट लिखें।
🌿 11️⃣ वास्तविक जीवन उदाहरण
• विद्यालय परीक्षा के औसत अंक।
• शहर की मासिक बिजली खपत।
• खेल टीमों का प्रदर्शन।
📚 सारांश (~300 शब्द)
🔵 मुख्य बिंदु
• सांख्यिकी = आँकड़ों का संकलन, संगठन, प्रस्तुतीकरण और विश्लेषण।
• प्रस्तुतीकरण: तालिका, हिस्टोग्राम, बहुभुज, ओगिव।
• माध्य = Σfᵢxᵢ/Σfᵢ।
• माध्यिका = L + [(N/2 − CF)/f]×h।
• बहुलक = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h।
🟢 युक्तियाँ
• प्रत्यक्ष, विन्यस्त विचलन, व चरणबद्ध विधियों का चयन आँकड़ों के अनुसार करें।
• जाँच हेतु 3Median ≈ 2Mean + Mode सूत्र उपयोगी।
• ग्राफ बनाते समय उचित पैमाना रखें।
🔴 अनुप्रयोग
• व्यापार, विज्ञान, खेल, जनगणना, मौसम पूर्वानुमान आदि।
✔ सांख्यिकी निर्णय-निर्माण और प्रवृत्ति समझने के लिए अनिवार्य उपकरण है।
📝 Quick Recap
1️⃣ माध्य = Σfᵢxᵢ/Σfᵢ।
2️⃣ माध्यिका = L + [(N/2−CF)/f]×h।
3️⃣ बहुलक = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h।
4️⃣ हिस्टोग्राम, बहुभुज, ओगिव से आँकड़े प्रस्तुत करें।
5️⃣ एम्पिरिकल संबंध: Mode ≈ 3Median − 2Mean।
6️⃣ वास्तविक जीवन अनुप्रयोग: खेल, व्यापार, मौसम, सर्वेक्षण।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
📘 प्रश्नावली 13.1
🔵 Question 1
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संवेदना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित अंकड़े एकत्रित किए। प्रति घर औसत पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
पौधों की संख्या (xᵢ): 0–2, 2–4, 4–6, 6–8, 8–10, 10–12, 12–14
घरों की संख्या (fᵢ): 1, 2, 1, 5, 6, 2, 3
माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
🟢 Answer 1
💡 Concept: प्रत्यक्ष विधि से माध्य x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ)/Σfᵢ.
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न (मध्य मान) mᵢ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
🔵 Step 2: fᵢ·mᵢ = 1×1 = 1; 2×3 = 6; 1×5 = 5; 5×7 = 35; 6×9 = 54; 2×11 = 22; 3×13 = 39.
🔵 Step 3: Σfᵢ = 1+2+1+5+6+2+3 = 20.
🔵 Step 4: Σ(fᵢ·mᵢ) = 1+6+5+35+54+22+39 = 162.
🔵 Step 5: x̄ = 162/20.
✔️ Final: 8.1 पौधे प्रति घर (प्रत्यक्ष विधि उचित क्योंकि डेटा कम है)।
🔵 Question 2
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:
500–520: 12, 520–540: 14, 540–560: 8, 560–580: 6, 580–600: 10.
एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 2
💡 Concept: चरण-विचलन विधि। x̄ = a + h·Σ(fᵢuᵢ)/Σfᵢ.
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 510, 530, 550, 570, 590; h=20; a=550.
🔵 Step 2: uᵢ = (xᵢ−a)/h ⇒ −2, −1, 0, 1, 2.
🔵 Step 3: fᵢuᵢ = 12(−2)=−24; 14(−1)=−14; 8(0)=0; 6(1)=6; 10(2)=20.
🔵 Step 4: Σfᵢ = 50; Σ(fᵢuᵢ)=−24−14+0+6+20=−12.
🔵 Step 5: x̄ = 550 + 20(−12/50) = 550 − 4.8.
✔️ Final: ₹ 545.2
🔵 Question 3
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च राशि का है। माध्य जेबखर्च ₹ 18 है। लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए।
जेब भत्ता (₹): 11–13, 13–15, 15–17, 17–19, 19–21, 21–23, 23–25
बच्चों की संख्या: 7, 6, 9, 13, f, 5, 4
🟢 Answer 3
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
🔵 Step 2: fᵢxᵢ = 84, 84, 144, 234, 20f, 110, 96.
🔵 Step 3: Σfᵢ = 44+f (7+6+9+13+5+4=44).
🔵 Step 4: माध्य सूत्र: 18 = (752+20f)/(44+f).
🔵 Step 5: 18(44+f) = 752+20f ⇒ 792+18f=752+20f.
🔵 Step 6: 40=2f ⇒ f=20.
🟡 Check: Σf=64 ⇒ Σfx=1152 ⇒1152/64=18 ✅
✔️ Final: f = 20
🔵 Question 4
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) प्रति मिनट संख्या नोट की गई:
65–68: 2, 68–71: 4, 71–74: 3, 74–77: 8, 77–80: 7, 80–83: 3, 83–86: 3.
एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 4
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 66.5, 69.5, 72.5, 75.5, 78.5, 81.5, 84.5.
🔵 Step 2: fᵢxᵢ = 133, 278, 217.5, 604, 549.5, 244.5, 253.5.
🔵 Step 3: Σfᵢ=30; Σ(fᵢxᵢ)=2279.
🔵 Step 4: x̄=2279/30.
✔️ Final: 75.97 beats/min
🔵 Question 5
किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :
आमों की संख्या: 50–52, 53–55, 56–58, 59–61, 62–64
पेटियों की संख्या: 15, 110, 135, 115, 25
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया?
🟢 Answer 5
💡 Concept: चरण-विचलन विधि से माध्य ज्ञात करते हैं क्योंकि वर्ग-अंतराल समान और मान पास-पास हैं।
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 51, 54, 57, 60, 63
🔵 Step 2: मान लें a = 57, h = 3
🔵 Step 3: uᵢ = (xᵢ − a)/h ⇒ −2, −1, 0, 1, 2
🔵 Step 4: fᵢuᵢ = 15(−2)=−30; 110(−1)=−110; 135(0)=0; 115(1)=115; 25(2)=50
🔵 Step 5: Σfᵢ = 15+110+135+115+25 = 400
🔵 Step 6: Σ(fᵢuᵢ) = −30 −110 +0 +115 +50 = 25
🔵 Step 7: सूत्र x̄ = a + h·(Σ(fᵢuᵢ)/Σfᵢ)
🔵 Step 8: प्रतिस्थापन x̄ = 57 + 3(25/400)
🔵 Step 9: सरलीकरण x̄ = 57 + 75/400 = 57 + 0.1875
✔️ Final: 57.19 आम प्रति पेटी (लगभग) — चरण-विचलन विधि प्रयुक्त।
🔵 Question 6
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :
दैनिक व्यय (₹) : 100–150, 150–200, 200–250, 250–300, 300–350
परिवारों की संख्या (fᵢ) : 4, 5, 12, 2, 2
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 6
💡 Concept: चरण-विचलन विधि
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 125, 175, 225, 275, 325
🔵 Step 2: मान लें a = 225, h = 50
🔵 Step 3: uᵢ = (xᵢ − a)/h ⇒ −2, −1, 0, 1, 2
🔵 Step 4: fᵢuᵢ = 4(−2)=−8; 5(−1)=−5; 12(0)=0; 2(1)=2; 2(2)=4
🔵 Step 5: Σfᵢ = 25; Σ(fᵢuᵢ)=−8−5+0+2+4=−7
🔵 Step 6: x̄ = 225 + 50(−7/25) = 225 − 14 = 211
✔️ Final: ₹ 211
🔵 Question 7
वायु में सल्फर डाई–ऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :
SO₂ की सांद्रता: 0.00–0.04, 0.04–0.08, 0.08–0.12, 0.12–0.16, 0.16–0.20, 0.20–0.24
बारंबारता (fᵢ): 4, 9, 9, 2, 4, 2
वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 7
💡 Concept: प्रत्यक्ष विधि
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 0.02, 0.06, 0.10, 0.14, 0.18, 0.22
🔵 Step 2: fᵢxᵢ = 0.08, 0.54, 0.90, 0.28, 0.72, 0.44
🔵 Step 3: Σfᵢ=30; Σ(fᵢxᵢ)=2.96
🔵 Step 4: x̄=2.96/30=0.0987
✔️ Final: 0.099 ppm (लगभग)
🔵 Question 8
किसी कक्षा अध्यापक ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा, उनका माध्य ज्ञात कीजिए :
दिनों की संख्या: 0–6, 6–10, 10–14, 14–20, 20–28, 28–38, 38–40
विद्यार्थियों की संख्या (fᵢ): 11, 10, 7, 4, 4, 3, 1
🟢 Answer 8
💡 Concept: प्रत्यक्ष विधि (x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ)/Σfᵢ)
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 3, 8, 12, 17, 24, 33, 39
🔵 Step 2: fᵢxᵢ =
11×3 = 33
10×8 = 80
7×12 = 84
4×17 = 68
4×24 = 96
3×33 = 99
1×39 = 39
🔵 Step 3: Σfᵢ = 11+10+7+4+4+3+1 = 40
🔵 Step 4: Σ(fᵢxᵢ) = 33+80+84+68+96+99+39 = 499
🔵 Step 5: माध्य (x̄) = Σ(fᵢxᵢ)/Σfᵢ = 499/40
🔵 Step 6: सरलीकरण = 12.475 दिन
✔️ Final: लगभग 12.48 दिन (प्रत्येक विद्यार्थी की औसत अनुपस्थिति)
🔵 Question 9
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (%) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :
साक्षरता दर (%): 45–55, 55–65, 65–75, 75–85, 85–95
नगरों की संख्या (fᵢ): 3, 10, 11, 8, 3
🟢 Answer 9
💡 Concept: प्रत्यक्ष विधि
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 50, 60, 70, 80, 90
🔵 Step 2: fᵢxᵢ = 150, 600, 770, 640, 270
🔵 Step 3: Σfᵢ=35; Σ(fᵢxᵢ)=2430
🔵 Step 4: x̄=2430/35=69.43
✔️ Final: 69.4 %
📘 प्रश्नावली 13.2
🔵 Question 1
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :
आयु (वर्ष में): 5–15, 15–25, 25–35, 35–45, 45–55, 55–65
रोगियों की संख्या (fᵢ): 6, 11, 21, 23, 14, 5
उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्र प्रवृत्ति के मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
🟢 Answer 1
💡 Concept:
माध्य: x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ)/Σfᵢ
बहुलक: Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]·h
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न (xᵢ) = 10, 20, 30, 40, 50, 60
🔵 Step 2: fᵢxᵢ = 60, 220, 630, 920, 700, 300
🔵 Step 3: Σfᵢ = 6+11+21+23+14+5 = 80
🔵 Step 4: Σ(fᵢxᵢ) = 60+220+630+920+700+300 = 2830
🔵 Step 5: माध्य = 2830/80 = 35.38 वर्ष
🔵 Step 6: बहुलक वर्ग = 35–45 (f₁=23), f₀=21, f₂=14, L=35, h=10
🔵 Step 7: Mode = 35 + [(23−21)/(46−21−14)]·10
= 35 + [2/11]·10 = 35 + 1.82
✔️ Final: Mode ≈ 36.82 वर्ष
🟡 तुलना: माध्य (35.38) और बहुलक (36.82) पास-पास हैं, अतः आँकड़े लगभग सामान्य वितरण दर्शाते हैं।
🔵 Question 2
निम्नलिखित आँकड़े, 225 विद्युत उपकरणों के औसत जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं :
जीवनकाल (घंटों में): 0–20, 20–40, 40–60, 60–80, 80–100, 100–120
बारंबारता (fᵢ): 10, 35, 52, 61, 38, 29
उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 2
🔵 Step 1: बहुलक वर्ग = 60–80 (f₁=61), f₀=52, f₂=38, L=60, h=20
🔵 Step 2: Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]·h
= 60 + [(61−52)/(122−52−38)]·20
= 60 + (9/32)·20
= 60 + 5.625
✔️ Final: 65.63 घंटे
🔵 Question 3
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।
व्यय (₹): 1000–1500, 1500–2000, 2000–2500, 2500–3000, 3000–3500, 3500–4000, 4000–4500, 4500–5000
परिवारों की संख्या (fᵢ): 24, 40, 33, 28, 30, 22, 16, 7
🟢 Answer 3
💡 Concept (Mode): Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]·h
💡 Concept (Mean): x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ)/Σfᵢ
🔵 Step 1: बहुलक वर्ग = 1500–2000 (f₁=40), f₀=24, f₂=33, L=1500, h=500
Mode = 1500 + [(40−24)/(80−24−33)]·500
= 1500 + (16/23)·500
= 1500 + 347.83
✔️ बहुलक मासिक व्यय ≈ ₹1847.8
🔵 Step 2: वर्ग-चिह्न xᵢ = 1250, 1750, 2250, 2750, 3250, 3750, 4250, 4750
🔵 Step 3: fᵢxᵢ =
24×1250=30000
40×1750=70000
33×2250=74250
28×2750=77000
30×3250=97500
22×3750=82500
16×4250=68000
7×4750=33250
🔵 Step 4: Σfᵢ = 200
🔵 Step 5: Σ(fᵢxᵢ) = 30000+70000+74250+77000+97500+82500+68000+33250 = 532500
🔵 Step 6: माध्य = 532500/200 = 2662.5 ₹
✔️ Final:
• बहुलक मासिक व्यय ≈ ₹1847.8
• माध्य मासिक व्यय ≈ ₹2662.5
🔵 Question 4
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक–विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापों की व्याख्या कीजिए।
प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या (xᵢ): 15–20, 20–25, 25–30, 30–35, 35–40, 40–45, 45–50, 50–55
राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या (fᵢ): 3, 8, 9, 10, 3, 0, 0, 2
🟢 Answer 4
💡 Concept:
माध्य x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ)/Σfᵢ
बहुलक Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]·h
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ = 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, 37.5, 42.5, 47.5, 52.5
🔵 Step 2: fᵢxᵢ = 52.5, 180, 247.5, 325, 112.5, 0, 0, 105
🔵 Step 3: Σfᵢ = 35
🔵 Step 4: Σ(fᵢxᵢ) = 1022.5
🔵 Step 5: माध्य = 1022.5 / 35 = 29.21 विद्यार्थी प्रति शिक्षक
🔵 Step 6: बहुलक वर्ग = 30–35 (f₁=10), f₀=9, f₂=3, L=30, h=5
Mode = 30 + [(10−9)/(20−9−3)]·5 = 30 + (1/8)·5 = 30.625
✔️ Final: Mode ≈ 30.63 विद्यार्थी प्रति शिक्षक
🟡 व्याख्या: माध्य और बहुलक पास-पास हैं, इसलिए डेटा लगभग सामान्य वितरण को दर्शाता है।
🔵 Question 5
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एकदिवसीय अंतरराष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
बनाए गए रन (xᵢ): 3000–4000, 4000–5000, 5000–6000, 6000–7000, 7000–8000, 8000–9000, 9000–10000, 10000–11000
बल्लेबाजों की संख्या (fᵢ): 4, 18, 9, 7, 6, 3, 1, 1
🟢 Answer 5
💡 Concept: Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]·h
🔵 Step 1: बहुलक वर्ग = 4000–5000 (f₁=18), f₀=4, f₂=9, L=4000, h=1000
🔵 Step 2: Mode = 4000 + [(18−4)/(36−4−9)]·1000
= 4000 + (14/23)·1000
= 4000 + 608.7
✔️ Final: Mode ≈ 4609 रन
🟡 व्याख्या: सबसे अधिक बार दोहराया गया वर्ग 4000–5000 है, अतः लगभग 4609 रन सबसे विशिष्ट मान है।
🔵 Question 6
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यवस्थित किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
कारों की संख्या (xᵢ): 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70, 70–80
बारंबारता (fᵢ): 7, 14, 13, 12, 20, 11, 15, 8
🟢 Answer 6
💡 Concept: बहुलक Mode = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)]·h
🔵 Step 1: बहुलक वर्ग = 40–50 (क्योंकि f₁=20 सबसे अधिक)
🔵 Step 2: L = 40, h = 10, f₀ = 12 (पिछला वर्ग 30–40), f₁ = 20, f₂ = 11 (अगला वर्ग 50–60)
🔵 Step 3: Mode = 40 + [(20 − 12)/(40 − 12 − 11)]·10
🔵 Step 4: Mode = 40 + (8/17)·10
🔵 Step 5: Mode = 40 + 4.7059
✔️ Final: 44.71 कारें (लगभग)
🟡 व्याख्या: बहुलक वर्ग 40–50 है, इसलिए लगभग 44.7 कारें इस आँकड़े का सबसे विशिष्ट मान है।
📘 प्रश्नावली 13.3
🔵 Question 1
निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए तथा उनकी तुलना कीजिए।
मासिक खपत (इकाइयों में): 65–85, 85–105, 105–125, 125–145, 145–165, 165–185, 185–205
उपभोक्ताओं की संख्या (fᵢ): 4, 5, 13, 20, 14, 8, 4
🟢 Answer 1
💡 Concept:
• माध्यक (Median) वर्ग ज्ञात करने हेतु Σfᵢ=68, N/2=34.
• माध्य: x̄ = Σ(fᵢxᵢ)/Σfᵢ
• बहुलक: Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]·h
🔵 Step 1: वर्ग-चिह्न xᵢ=75,95,115,135,155,175,195.
🔵 Step 2: Σ(fᵢxᵢ)=300+475+1495+2700+2170+1400+780=931. Wait—recompute:
4×75=300
5×95=475
13×115=1495
20×135=2700
14×155=2170
8×175=1400
4×195=780
योग=300+475+1495+2700+2170+1400+780=9320
Σfᵢ=68
x̄=9320/68=137.06 इकाई ✔️
🔵 Step 3: बहुलक वर्ग=125–145 (f₁=20,f₀=13,f₂=14,L=125,h=20)
Mode=125+(20−13)/(40−13−14)×20=125+(7/13)×20=125+10.77=135.77 इकाई ✔️
🔵 Step 4: माध्यक हेतु संचयी बारंबारता:
65–85:4 →4
85–105:5 →9
105–125:13 →22
125–145:20 →42 (Median class)
145–165:14 →56
165–185:8 →64
185–205:4 →68
Median=L+(N/2−CF)/f×h=125+(34−22)/20×20=125+(12/20)×20=125+12=137 इकाई ✔️
✔️ Final: माध्य ≈137.06, माध्यक=137, बहुलक=135.77
🔵 Question 2
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
वर्ग अंतराल: 0–10,10–20,20–30,30–40,40–50,50–60
बारंबारता: 5,x,20,15,y,5
योग=60
🟢 Answer 2
🔵 Step 1: Σfᵢ=5+x+20+15+y+5=45+x+y=60 ⇒ x+y=15.
🔵 Step 2: माध्यक वर्ग ज्ञात करने हेतु संचयी बारंबारता:
0–10:5
10–20:5+x
20–30:25+x
30–40:40+x
Median class=20–30 क्योंकि N/2=30.
Median=20+(30−(5+x))/20×10=20+(25−x)/20×10.
दिया गया माध्यक=28.5 ⇒28.5=20+(25−x)/20×10.
⇒8.5=(25−x)/2 ⇒17=25−x ⇒x=8.
फिर y=15−x=15−8=7.
✔️ Final: x=8, y=7.
🔵 Question 3
एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के आँकड़े देता है। माध्यक आयु ज्ञात कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन व्यक्तियों को दी जाती है जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक है, परंतु 60 वर्ष से कम है।
आयु (वर्ष में) व संचयी संख्या:
20 से कम=2,25 से कम=6,30 से कम=24,35 से कम=45,40 से कम=78,45 से कम=89,50 से कम=92,55 से कम=98,60 से कम=100.
🟢 Answer 3
🔵 Step 1: वर्ग अंतराल बनाइए:
18–20:2,20–25:4,25–30:18,30–35:21,35–40:33,40–45:11,45–50:3,50–55:6,55–60:2.
Σfᵢ=100.
Median class=35–40 (क्योंकि N/2=50 और CF=45<50<78).
L=35,h=5,f=33,CF=45.
Median=35+(50−45)/33×5=35+(5/33)×5=35+0.7576=35.76 वर्ष.
✔️ Final: 35.8 वर्ष (लगभग).
🔵 प्रश्न 4
एक पीपे की 40 पट्टियों की लंबाइयाँ (mm) इस प्रकार दी गई हैं :
118–126 : 3, 127–135 : 5, 136–144 : 9, 145–153 : 12, 154–162 : 5, 163–171 : 4, 172–180 : 2
पट्टियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर 4
सूत्र:
माध्यक = L + ((N/2 − CF) / f) × h
जहाँ:
L = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
N = कुल प्रेक्षण (40)
CF = माध्यक वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति
f = माध्यक वर्ग की आवृत्ति
h = वर्ग चौड़ाई
संचयी आवृत्ति: 3, 8, 17, 29, 34, 38, 40
N/2 = 20 ⇒ माध्यक वर्ग = 144.5–153.5
L = 144.5, h = 9, CF = 17, f = 12
माध्यक = 144.5 + ((20 − 17)/12) × 9
= 144.5 + (3/12) × 9
= 144.5 + 2.25
= 146.75
✔️ उत्तर: 146.75 mm
🔵 प्रश्न 5
400 विद्युत दीयों का जीवन काल (घंटों में) इस प्रकार है :
1500–2000 : 14, 2000–2500 : 56, 2500–3000 : 60, 3000–3500 : 86, 3500–4000 : 74, 4000–4500 : 62, 4500–5000 : 48
दीयों का औसत जीवन काल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर 5
सूत्र:
माध्य (x̄) = Σ(fᵢ × xᵢ) / Σfᵢ
वर्ग-चिह्न (xᵢ): 1750, 2250, 2750, 3250, 3750, 4250, 4750
fᵢxᵢ = 24500, 126000, 165000, 279500, 277500, 263500, 228000
Σfᵢ = 400
Σfᵢxᵢ = 1364000
x̄ = 1364000 / 400 = 3410
✔️ उत्तर: 3410 घंटे
🔵 प्रश्न 6
100 कुलनामों (surnames) में अक्षरों की संख्या का बंटन इस प्रकार है :
1–4 : 6, 4–7 : 30, 7–10 : 40, 10–13 : 16, 13–16 : 4, 16–29 : 2
माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर 6
सूत्र (माध्य):
x̄ = Σ(fᵢ × xᵢ) / Σfᵢ
सूत्र (माध्यक):
माध्यक = L + ((N/2 − CF) / f) × h
सूत्र (बहुलक):
बहुलक = L + ((f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)) × h
N = 98
माध्यक वर्ग = 7–10 (क्योंकि CF = 36, और 49 वहाँ आता है)
L = 7, h = 3, CF = 36, f = 40
माध्यक = 7 + ((49 − 36)/40) × 3 = 7.98
✔️ माध्यक = 7.98 अक्षर
माध्य:
वर्ग-चिह्न = 2.5, 5.5, 8.5, 11.5, 14.5, 22.5
Σ(fᵢxᵢ) = 807
x̄ = 807 / 98 = 8.23
✔️ माध्य = 8.23 अक्षर
बहुलक:
बहुलक वर्ग = 7–10, L = 7, h = 3, f₁ = 40, f₀ = 30, f₂ = 16
बहुलक = 7 + ((40 − 30)/(80 − 30 − 16)) × 3
= 7 + (10/34) × 3 = 7.88
✔️ बहुलक = 7.88 अक्षर
🔵 प्रश्न 7
30 विद्यार्थियों के भार (किग्रा) इस प्रकार हैं :
40–45 : 2, 45–50 : 3, 50–55 : 6, 55–60 : 8, 60–65 : 6, 65–70 : 3, 70–75 : 2
विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर 7
सूत्र:
माध्यक = L + ((N/2 − CF) / f) × h
N = 30 ⇒ N/2 = 15
संचयी आवृत्ति = 2, 5, 11, 19, 25, 28, 30
माध्यक वर्ग = 55–60
L = 55, h = 5, CF = 11, f = 8
माध्यक = 55 + ((15 − 11)/8) × 5
= 55 + (4/8) × 5
= 55 + 2.5
= 57.5
✔️ उत्तर: 57.5 किग्रा
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(समय: 3 घंटे | कुल अंक: 80)
🔵 Section A (Q1–Q6) — Very Short/Objective (1 अंक)
Section A (Q1–Q6) — प्रत्येक 1 अंक
🔵 Question 1: एक आँकड़ा समूह में कितने प्रेक्षण हैं: 4, 6, 8, 10, 12 ?
🟢 Answer 1:
✳️ प्रेक्षण = {4, 6, 8, 10, 12}
✳️ कुल प्रेक्षण = 5
🔵 Question 2: 5, 7, 9, 3, 6 का माध्य ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 2:
➤ Formula → x̄ = Σxᵢ / n
➤ Substitution → (5+7+9+3+6)/5
➤ Simplification → 30/5
➤ Final answer → 6
🔵 Question 3: यदि किसी डेटा का बहुलक 25 है, तो इसका क्या अर्थ है?
🟢 Answer 3:
✳️ बहुलक = वह मान जो सबसे अधिक बार आता है।
✳️ अर्थ → प्रेक्षणों में 25 सबसे अधिक बार दोहराया गया मान है।
🔵 Question 4: निम्न सारणी के लिये N ज्ञात कीजिए:
मान: 2, 4, 6; आवृत्तियाँ: 3, 5, ? ; कुल प्रेक्षण = 15
🟢 Answer 4:
✳️ Σfᵢ = 3 + 5 + ? = 15
✳️ ? = 15 − 8 = 7
🔵 Question 5: वर्ग-अंतराल 10–20, 20–30, 30–40; आवृत्तियाँ 5, 8, 7 के लिये माध्यिका वर्ग कौन सा होगा? (N=20)
🟢 Answer 5:
✳️ CF: <20=5, <30=13, <40=20
✳️ N/2=10
✳️ माध्यिका वर्ग → वह वर्ग जहाँ CF पूर्व < N/2 ≤ CF वर्तमान
✳️ 5 <10 ≤13 ⇒ माध्यिका वर्ग = 20–30
🔵 Question 6 (MCQ): बहुलक ज्ञात करने का सूत्र कौन सा है?
🟡 विकल्प:
1️⃣ 🔵 Mode = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)]·h
2️⃣ 🟢 Median = L + [(N/2 − CFB)/f]·h
3️⃣ 🟡 Mean = Σfᵢxᵢ/Σfᵢ
4️⃣ 🔴 कोई नहीं
🟢 Answer 6: विकल्प 1️⃣
🟢 Section B (Q7–Q12) — प्रत्येक 2 अंक
🔵 Question 7: पाँच संख्याओं 12, 18, 10, 20, 15 का माध्य ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 7:
➤ Formula → x̄ = Σxᵢ / n
➤ Substitution → (12+18+10+20+15)/5
➤ Simplification → 75/5
➤ Final answer → 15
🔵 Question 8: निम्न डेटा का बहुलक ज्ञात कीजिए:
मान: 4, 5, 6, 5, 7, 5, 6
🟢 Answer 8:
✳️ आवृत्तियाँ: 4(1), 5(3), 6(2), 7(1)
✳️ सर्वाधिक आवृत्ति वाला मान = 5 ⇒ बहुलक = 5
🔵 Question 9: एक आवृत्ति वितरण की माध्यिका 40 है। यदि CFB=30, f=10, h=10, L=35, N=80, जाँचें।
🟢 Answer 9:
➤ Formula → Median = L + [(N/2 − CFB)/f]·h
➤ Substitution → 40 = 35 + [(40 −30)/10]·10
➤ Simplification → 40 = 35 + (10/10)·10 = 35 +10
➤ Final check → 40 सही है ✅
🔵 Question 10: दो समूहों के माध्य क्रमशः 28 (n₁=20) और 32 (n₂=30) हैं। संयुक्त माध्य ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 10:
➤ Formula → x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂)
➤ Substitution → (20×28 + 30×32)/(20+30)
➤ Simplification → (560 +960)/50 =1520/50
➤ Final answer → 30.4
🔵 Question 11: संचयी आवृत्ति सारणी क्या है? उदाहरण सहित लिखिए।
🟢 Answer 11:
✳️ परिभाषा → संचयी आवृत्ति सारणी वह सारणी है जिसमें प्रत्येक वर्ग-अंतराल तक की कुल आवृत्तियों का जोड़ दिया जाता है।
✳️ उदाहरण → वर्ग-अंतराल: 0–10, 10–20, 20–30; आवृत्तियाँ: 5, 7, 8
➡ CF: <10=5, <20=12, <30=20
🔵 Question 12: यदि किसी डेटा के सभी मानों में एक नियत संख्या k जोड़ दी जाए, तो माध्य पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
🟢 Answer 12:
✳️ सिद्धान्त → नया माध्य = पुराना माध्य + k
✳️ कारण → सभी मान समान रूप से बदलते हैं, अतः औसत भी k से बढ़ता/घटता है।
🔵 Section C (Q13–Q22) — प्रत्येक 3 अंक
(आन्तरिक विकल्प केवल C-विभाग में; लगभग 3–4 प्रश्नों में दिए गए हैं)
🔵 Question 13: नीचे दिये समूहित आँकड़ों का माध्य (प्रत्यक्ष विधि) ज्ञात कीजिए।
वर्ग-अंतराल: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्ति fᵢ: 4, 6, 9, 7, 4
🟢 Answer 13:
➤ वर्ग-चिह्न xᵢ: 5, 15, 25, 35, 45
➤ fᵢxᵢ: 4·5=20, 6·15=90, 9·25=225, 7·35=245, 4·45=180
➤ Σfᵢ = 4+6+9+7+4 = 30
➤ Σ(fᵢxᵢ) = 20+90+225+245+180 = 760
➤ सूत्र: x̄ = Σ(fᵢxᵢ) / Σfᵢ
➤ प्रतिस्थापन: x̄ = 760 / 30
➤ सरलीकरण: x̄ = 25.33 (लगभग)
🔵 Question 14: निम्न आवृत्ति-वितरण की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
वर्ग-अंतराल: 0–20, 20–40, 40–60, 60–80, 80–100
आवृत्ति: 5, 11, 15, 9, 6
🟢 Answer 14:
➤ Σf = 5+11+15+9+6 = 46 ⇒ N = 46, N/2 = 23
➤ संचयी आवृत्ति (≤): 5, 16, 31, 40, 46 ⇒ माध्यिका वर्ग = 40–60
➤ L = 40, CFB = 16, f = 15, h = 20
➤ सूत्र: Median = L + [(N/2 − CFB)/f]·h
➤ प्रतिस्थापन: Median = 40 + [(23 − 16)/15]·20
➤ सरलीकरण: Median = 40 + (7/15)·20 = 40 + 9.33…
➤ अन्तिम उत्तर: 49.33 (लगभग)
OR
उसी प्रकार ज्ञात कीजिए: वर्ग-अंतराल 10–30, 30–50, 50–70; आवृत्ति 8, 12, 10.
संकेत: N=30, N/2=15; माध्यिका वर्ग 30–50; L=30, CFB=8, f=12, h=20 ⇒ Median = 41.67 (लगभग)
🔵 Question 15: नीचे दिये वितरण का बहुलक ज्ञात कीजिए।
वर्ग-अंतराल: 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्ति: 8, 12, 17, 9
🟢 Answer 15:
➤ बहुलक वर्ग = 30–40 (f₁=17), f₀=12, f₂=9, L=30, h=10
➤ सूत्र: Mode = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)]·h
➤ प्रतिस्थापन: Mode = 30 + [(17−12)/(34−12−9)]·10
➤ सरलीकरण: Mode = 30 + (5/13)·10 = 30 + 3.846…
➤ अन्तिम उत्तर: 33.85 (लगभग)
🔵 Question 16: समावेशी वर्ग-अंतराल 1–5, 6–10, 11–15, 16–20, 21–25; आवृत्ति 3, 5, 8, 6, 4 को बहिष्कारी रूप में बदलिए और माध्य ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 16:
➤ बहिष्कारी रूप: 0.5–5.5, 5.5–10.5, 10.5–15.5, 15.5–20.5, 20.5–25.5
➤ xᵢ: 3, 8, 13, 18, 23
➤ fᵢxᵢ: 3·3=9, 5·8=40, 8·13=104, 6·18=108, 4·23=92
➤ Σfᵢ=26, Σ(fᵢxᵢ)=353
➤ x̄ = 353/26 = 13.58 (लगभग)
🔵 Question 17: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 की आवृत्तियाँ 7, f, 11, 5 हैं। यदि माध्य x̄ = 20 हो, तो f ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 17:
➤ xᵢ: 5, 15, 25, 35
➤ Σ(fᵢxᵢ) = 7·5 + f·15 + 11·25 + 5·35 = 35 + 15f + 275 + 175 = 485 + 15f
➤ N = 7 + f + 11 + 5 = 23 + f
➤ x̄ = Σ(fᵢxᵢ)/N ⇒ 20 = (485 + 15f)/(23 + f)
➤ 20(23 + f) = 485 + 15f
➤ 460 + 20f = 485 + 15f
➤ 5f = 25 ⇒ f = 5
OR
यदि 10–20 ही माध्यिका वर्ग रहे, तो शर्त: CFB < N/2 ≤ CFB + f ⇒ 7 < (23+f)/2 ≤ 7 + f ⇒ f ≥ 9.
🔵 Question 18: दो अनुभागों के लिये Σ(fᵢxᵢ) व Σfᵢ दिये हैं: A: 1240, 40; B: 1845, 55. दोनों के माध्य और अन्तर ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 18:
➤ x̄_A = 1240/40 = 31
➤ x̄_B = 1845/55 = 33.545…
➤ अन्तर = 33.545… − 31 = 2.545… (लगभग 2.55)
🔵 Question 19: ‘कम से कम’ संचयी-आवृत्ति (less-than) सारणी दी है:
<10: 4, <20: 11, <30: 23, <40: 31, <50: 36. माध्यिका ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 19:
➤ N = 36 ⇒ N/2 = 18
➤ वर्ग-आवृत्तियाँ: 0–10:4, 10–20:(11−4)=7, 20–30:(23−11)=12, 30–40:(31−23)=8, 40–50:(36−31)=5
➤ माध्यिका वर्ग: 20–30 (क्योंकि CF <20=11 < 18 ≤ 23)
➤ L=20, CFB=11, f=12, h=10
➤ Median = 20 + [(18 − 11)/12]·10
➤ Median = 20 + (7/12)·10 = 20 + 5.833…
➤ अन्तिम उत्तर: 25.83 (लगभग)
OR
उसी डेटा को ‘अधिक से अधिक’ (more-than) रूप में बदलकर माध्यिका वर्ग पहचानिए (गणना समान रहेगी): माध्यिका वर्ग 20–30 ही रहेगा।
🔵 Question 20: अनुभवसिद्ध सम्बन्ध का प्रयोग कर बहुलक ज्ञात कीजिए: यदि माध्य x̄ = 28.4 तथा माध्यिका = 30.5 हो।
🟢 Answer 20:
➤ सम्बन्ध: Mode ≈ 3·Median − 2·Mean
➤ प्रतिस्थापन: Mode ≈ 3·30.5 − 2·28.4
➤ सरलीकरण: Mode ≈ 91.5 − 56.8 = 34.7
🔵 Question 21: नीचे दिये आँकड़ों का माध्य (चरण-विचलन विधि) ज्ञात कीजिए।
वर्ग-अंतराल: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्ति: 6, 10, 14, 10, 5
🟢 Answer 21:
➤ xᵢ: 5, 15, 25, 35, 45; मान लें a = 25, h = 10
➤ uᵢ = (xᵢ − a)/h ⇒ −2, −1, 0, 1, 2
➤ fᵢuᵢ: 6(−2)=−12, 10(−1)=−10, 14(0)=0, 10(1)=10, 5(2)=10
➤ Σfᵢ = 45; Σ(fᵢuᵢ) = −12 −10 +0 +10 +10 = −2
➤ सूत्र: x̄ = a + h·[Σ(fᵢuᵢ)/Σfᵢ]
➤ प्रतिस्थापन: x̄ = 25 + 10·(−2/45)
➤ सरलीकरण: x̄ = 25 − 20/45 = 25 − 0.444…
➤ अन्तिम उत्तर: 24.56 (लगभग)
OR
उसी डेटा पर a = 15, h = 10 लेकर uᵢ पुनः निकालें; x̄ का मान 24.56 ही प्राप्त होगा (मूल/पैमाना बदलने पर माध्य का समायोजन सूत्र x̄ = a + h·ū लागू रहता है)।
🔵 Question 22: संक्षेप में स्पष्ट कीजिए कि चरण-विचलन विधि में मूल (origin) व पैमाना (scale) बदलने से माध्य का सूत्र कैसे सरल बनता है।
🟢 Answer 22:
➤ मान लें xᵢ = a + h·uᵢ ⇒ uᵢ = (xᵢ − a)/h.
➤ x̄ = (Σfᵢxᵢ)/N = (Σfᵢ(a + h·uᵢ))/N = a + h·(Σfᵢuᵢ)/N.
➤ निष्कर्ष: मूल बदलने पर a जुड़ता/घटता है; पैमाना बदलने पर h से गुणन होता है; अतः गणना uᵢ पर हो कर x̄ = a + h·ū से शीघ्र पूरी होती है।
🔴 Section D (Q23–Q30) — प्रत्येक 4 अंक
(आन्तरिक विकल्प लगभग 3 प्रश्नों में दिये गये हैं)
🔵 Question 23: किसी विद्यालय के 100 विद्यार्थियों के गणित अंकों का समूहित डेटा नीचे है। माध्य ज्ञात कीजिए।
वर्ग-अंतराल: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50
आवृत्तियाँ: 5, 12, 20, 30, 33
🟢 Answer 23:
➤ xᵢ: 5,15,25,35,45
➤ fᵢxᵢ: 5×5=25,12×15=180,20×25=500,30×35=1050,33×45=1485
➤ Σfᵢ=100, Σ(fᵢxᵢ)=25+180+500+1050+1485=3240
➤ x̄=Σ(fᵢxᵢ)/Σfᵢ=3240/100
➤ अन्तिम उत्तर: 32.4
🔵 Question 24: एक कंपनी के मासिक वेतन (₹) का आवृत्ति-वितरण नीचे है। माध्यिका ज्ञात कीजिए।
वर्ग-अंतराल: 0–2000, 2000–4000, 4000–6000, 6000–8000, 8000–10000
आवृत्तियाँ: 14, 24, 32, 20, 10
🟢 Answer 24:
➤ Σf=14+24+32+20+10=100, N/2=50
➤ CF: <2000=14,<4000=38,<6000=70,<8000=90,<10000=100 ⇒ माध्यिका वर्ग=4000–6000
➤ L=4000, CFB=38, f=32, h=2000
➤ Median=4000+[(50−38)/32]×2000
➤ =4000+(12/32)×2000=4000+750
➤ अन्तिम उत्तर: 4750
🔵 Question 25: किसी खेल क्लब में खिलाड़ियों की ऊँचाइयों का आवृत्ति-वितरण:
वर्ग-अंतराल (सेमी):150–160,160–170,170–180,180–190
आवृत्तियाँ:12,18,24,6
(i) बहुलक ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 25:
➤ बहुलक वर्ग=170–180(f₁=24),f₀=18,f₂=6,L=170,h=10
➤ Mode=170+[(24−18)/(48−18−6)]×10
➤ =(170+6/24×10)=170+2.5=172.5 सेमी
🔵 Question 26: नीचे दिये दो अनुभागों के अंकों के माध्य क्रमशः 42(n₁=25) और 38(n₂=35) हैं। संयुक्त माध्य ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 26:
➤ x̄=(25×42+35×38)/(25+35)
➤ =(1050+1330)/60=2380/60
➤ अन्तिम उत्तर: 39.67
🔵 Question 27: निम्न कम से कम (less-than) संचयी-आवृत्ति सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए।
<10:5,<20:15,<30:32,<40:50,<50:65,<60:80
🟢 Answer 27:
➤ वर्ग-आवृत्तियाँ:0–10=5,10–20=10,20–30=17,30–40=18,40–50=15,50–60=15
➤ N=80,N/2=40
➤ CF: <30=32,<40=50 ⇒ माध्यिका वर्ग=30–40
➤ L=30,CFB=32,f=18,h=10
➤ Median=30+[(40−32)/18]×10=30+(8/18)×10=30+4.44
➤ अन्तिम उत्तर: 34.44
🔵 Question 28 (आन्तरिक विकल्प):
(a) 0–20,20–40,40–60,60–80,80–100;आवृत्तियाँ:7,10,20,8,5 के लिये बहुलक ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer 28(a):
➤ बहुलक वर्ग=40–60(f₁=20),f₀=10,f₂=8,L=40,h=20
➤ Mode=40+[(20−10)/(40−10−8)]×20
➤ =(40+10/22×20)=40+9.09=49.09
OR
(b) समान आँकड़ों के लिये अनुभवसिद्ध सम्बन्ध से बहुलक अनुमानित कीजिए यदि माध्य=48,माध्यिका=50।
Mode≈3×50−2×48=150−96=54
🔵 Question 29 (आन्तरिक विकल्प):
(a) किसी वितरण के माध्य को चरण-विचलन विधि से सिद्ध कीजिए कि x̄=a+h·ū.
🟢 Answer 29(a):
➤ मान लें xᵢ=a+h·uᵢ ⇒ uᵢ=(xᵢ−a)/h
➤ x̄=(Σfᵢxᵢ)/N=(Σfᵢ(a+h·uᵢ))/N
➤ =a+h·(Σfᵢuᵢ)/N=a+h·ū ✅
OR
(b) समझाइए कि माध्यिका निकालने में संचयी आवृत्ति क्यों आवश्यक है।
✳️ उत्तर: माध्यिका वह मान है जो डेटा को दो बराबर भागों में बाँटता है। संचयी आवृत्ति से हम N/2 की स्थिति खोजते हैं जिससे माध्यिका वर्ग का चयन सम्भव हो।
🔵 Question 30 (आन्तरिक विकल्प):
(a) किसी कम्पनी के वेतन वितरण से नीचे दिये अनुसार माध्य और माध्यिका का अन्तर निकालिए और टिप्पणी कीजिए।
वर्ग-अंतराल:0–5k,5–10k,10–15k,15–20k,20–25k
आवृत्तियाँ:6,10,14,12,8
🟢 Answer 30(a):
➤ xᵢ:2.5,7.5,12.5,17.5,22.5
➤ fᵢxᵢ:15,75,175,210,180 ⇒ Σ(fᵢxᵢ)=655
➤ Σfᵢ=50 ⇒ माध्य=655/50=13.1k
➤ CF:<5=6,<10=16,<15=30,<20=42,<25=50 ⇒ N/2=25 ⇒ माध्यिका वर्ग=10–15
➤ L=10,CFB=16,f=14,h=5 ⇒ Median=10+[(25−16)/14]×5=10+(9/14)×5=10+3.21=13.21k
➤ अन्तर=13.1−13.21≈−0.11k ⇒ लगभग समान हैं।
OR
(b) अनुभवसिद्ध सम्बन्ध का प्रयोग कर बहुलक अनुमानित करें: यदि माध्यिका=13.21k,माध्य=13.1k ⇒ Mode≈3×13.21−2×13.1=39.63−26.2=13.43k.
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मनोमानचित्र
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