Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 9: अवकल समीकरण
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
🔵 अध्याय का परिचय:
अवकल समीकरण (Differential Equation) गणित का एक महत्वपूर्ण भाग है जो परिवर्तन की दर (Rate of Change) और उससे संबंधित समीकरणों के अध्ययन से जुड़ा है। इसका प्रयोग भौतिकी, रसायन, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी आदि में किया जाता है।
🔵 1. अवकल समीकरण की परिभाषा (Definition):
🧠 वह समीकरण जिसमें एक अज्ञात फलन (unknown function) तथा उसके अवकलज (derivatives) सम्मिलित हों, अवकल समीकरण कहलाता है।
उदाहरण:
➡️ dy/dx + y = 0
➡️ x * dy/dx + y = sin(x)
✏️ Note: किसी भी अवकल समीकरण में कम-से-कम एक अवकलज अवश्य होना चाहिए।
🟢 2. कोटि (Order) एवं घात (Degree):
🔹 कोटि (Order): अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चत्तम अवकलज की कोटि ही उस अवकल समीकरण की कोटि कहलाती है।
उदाहरण:
d²y/dx² + dy/dx + y = 0 की कोटि = 2
🔹 घात (Degree): जब समीकरण में अवकलजों की घात पूर्णांक रूप में हो, तब उच्चत्तम अवकलज की घात ही घात कहलाती है।
उदाहरण: (dy/dx)² + y = 0 की घात = 2
💡 Concept: यदि किसी समीकरण में अवकलज फलनों जैसे sin, log आदि के अंतर्गत हों, तो पहले उन्हें मुक्त किया जाता है फिर घात ज्ञात की जाती है।
🔴 3. हल (Solution) के प्रकार:
🔹 सामान्य हल (General Solution):
वह हल जिसमें एक या अधिक मनमाने स्थिरांक (arbitrary constants) सम्मिलित हों।
➡️ उदाहरण: y = Ce^(-x)
🔹 विशिष्ट हल (Particular Solution):
जब स्थिरांक का मान किसी शर्त से ज्ञात कर लिया जाए, तो प्राप्त हल विशिष्ट हल कहलाता है।
🟡 4. अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation):
🧠 किसी समीकरण को बनाने हेतु, दिए गए फलन से स्थिरांकों को समाप्त किया जाता है।
उदाहरण:
y = mx + c
➡️ dy/dx = m
m को समाप्त करने पर प्राप्त होता है:
d²y/dx² = 0
✔️ यह वांछित अवकल समीकरण है।
🔵 5. अवकल समीकरणों का वर्गीकरण:
1️⃣ प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरण: dy/dx = f(x, y)
2️⃣ चर पृथक्करण योग्य समीकरण: f(y) dy = g(x) dx
3️⃣ समरूपी समीकरण (Homogeneous): f(tx, ty) = f(x, y)
4️⃣ रेखीय अवकल समीकरण: dy/dx + Py = Q
🟢 6. प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरण:
💡 सामान्य रूप: dy/dx = f(x, y)
(a) चर पृथक्करण विधि (Variable Separation Method):
यदि समीकरण को f(y) dy = g(x) dx के रूप में लिखा जा सके,
➡️ दोनों ओर समाकलन करें:
∫f(y) dy = ∫g(x) dx + C
(b) समरूपी अवकल समीकरण (Homogeneous Equation):
यदि f(tx, ty) = f(x, y), तो y = vx रखने पर dy/dx = v + x dv/dx होता है।
➡️ समीकरण को v और x के रूप में परिवर्तित कर हल किया जाता है।
(c) रेखीय अवकल समीकरण (Linear Differential Equation):
रूप: dy/dx + Py = Q
➡️ Integrating Factor (IF) = e^(∫P dx)
➡️ सामान्य हल: y × IF = ∫(Q × IF) dx + C
🔴 7. रेखीय अवकल समीकरण का उदाहरण:
समीकरण: dy/dx + y = e^x
यहाँ P = 1, Q = e^x
➡️ IF = e^(∫1 dx) = e^x
➡️ y × e^x = ∫(e^x × e^x) dx + C
➡️ y × e^x = ∫e^(2x) dx + C = (1/2)e^(2x) + C
✔️ Final: y = (1/2)e^x + C * e^(-x)
🟡 8. समरूपी समीकरण का उदाहरण:
dy/dx = (x + y)/(x – y)
यह समरूपी है क्योंकि f(tx, ty) = f(x, y)
➡️ परिवर्तन करें: y = vx ⟹ dy/dx = v + x dv/dx
➡️ v + x dv/dx = (1 + v)/(1 – v)
➡️ अब इसे x और v के रूप में हल करें।
🔵 9. अवकल समीकरण के अनुप्रयोग (Applications):
✔️ भौतिकी: रेडियोधर्मी क्षय (Radioactive Decay)
✔️ जीवविज्ञान: जनसंख्या वृद्धि
✔️ अर्थशास्त्र: पूंजी वृद्धि दर
✔️ अभियांत्रिकी: तापमान परिवर्तन
🔴 10. उच्च कोटि के अवकल समीकरण:
जब किसी समीकरण में उच्च कोटि के अवकलज (जैसे d²y/dx²) सम्मिलित हों, तो उसे उच्च कोटि का अवकल समीकरण कहा जाता है।
इनका हल विशेष विधियों से किया जाता है (पूरक फलन + विशेष हल)।
🔵 सारांश (Summary):
अवकल समीकरण = अज्ञात फलन + उसके अवकलज
मुख्य घटक: कोटि (उच्चत्तम अवकलज) और घात (उच्चत्तम अवकलज की घात)
हल के प्रकार: सामान्य व विशिष्ट
निर्माण: स्थिरांक को समाप्त करके समीकरण बनाना
वर्गीकरण:
1️⃣ चर पृथक्करण योग्य
2️⃣ समरूपी
3️⃣ रेखीय
विधियाँ:
🔹 चर पृथक्करण
🔹 समरूपी
🔹 रेखीय अवकल समीकरण
अनुप्रयोग: भौतिकी, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी
📝 Quick Recap:
🔵 अवकल समीकरण = फलन + अवकलज
🟢 कोटि = उच्चत्तम अवकलज की कोटि
🟡 घात = उच्चत्तम अवकलज की घात
🔴 हल = सामान्य व विशिष्ट
💡 विधियाँ = चर पृथक्करण, समरूपी, रेखीय
✔️ अनुप्रयोग = विभिन्न विज्ञानों में परिवर्तन दर की गणना
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 9.1
निर्देश: 1 से 10 तक प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि (order) तथा घात (degree, यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
स्मरण:
• कोटि = उपस्थित सर्वाधिक क्रम का अवकलज।
• घात = समीकरण को अवकलजों में बहुपद रूप में लिखने पर, सर्वाधिक क्रम वाले अवकलज की घात। यदि अवकलज किसी त्रिकोणमितीय/घातांक/लॉग इत्यादि फलन के भीतर हों, तो घात परिभाषित नहीं होती।
🔵 Question 1
d⁴y/dx⁴ + sin(y″) = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज d⁴y/dx⁴ है।
➡️ कोटि = 4
✏️ चरण 2: y″, sin के अंदर है ⇒ अवकलजों में बहुपद रूप नहीं।
➡️ घात = परिभाषित नहीं
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🔵 Question 2
y′ + 5y = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज y′ है।
➡️ कोटि = 1
✏️ चरण 2: अवकलज रैखिक (पहली घात) में है।
➡️ घात = 1
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🔵 Question 3
(ds/dt)⁴ + 3s·(d²s/dt²) = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज d²s/dt² है।
➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: समीकरण अवकलजों में बहुपद रूप है; d²s/dt² पहली घात में है।
➡️ घात = 1
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🔵 Question 4
(d²y/dx²)² + cos(dy/dx) = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज d²y/dx² है।
➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: cos(dy/dx) के कारण अवकलज फलन के भीतर है ⇒ बहुपद रूप नहीं।
➡️ घात = परिभाषित नहीं
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🔵 Question 5
d²y/dx² = cos 3x + sin 3x
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज d²y/dx² है।
➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: अवकलज पहली घात में है (दाएँ पक्ष में x का फलन है)।
➡️ घात = 1
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🔵 Question 6
(y″)² + (y‴)³ + (y⁽⁴⁾)⁴ + y⁵ = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज y⁽⁴⁾ (चतुर्थ अवकलज) है।
➡️ कोटि = 4
✏️ चरण 2: समीकरण अवकलजों में शुद्ध बहुपद है; y⁽⁴⁾ की शक्ति 4 है।
➡️ घात = 4
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🔵 Question 7
y″ + 2y′ + y = 0 (छपे प्रश्नानुसार रैखिक द्वितीय कोटि)
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज y″ है।
➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: अवकलज पहली घात में हैं।
➡️ घात = 1
——————————
🔵 Question 8
y′ + y = eˣ
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज y′ है।
➡️ कोटि = 1
✏️ चरण 2: अवकलज पहली घात में है।
➡️ घात = 1
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🔵 Question 9
y″ + (y′)² + 2y = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज y″ है।
➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: समीकरण अवकलजों में बहुपद रूप है; y″ पहली घात में है (y′ का वर्ग होना घात को प्रभावित नहीं करता क्योंकि घात सर्वाधिक क्रम वाले अवकलज के संदर्भ में ली जाती है)।
➡️ घात = 1
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🔵 Question 10
y″ + 2y′ + sin y = 0
🟢 Answer
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज y″ है।
➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: अवकलज पहली घात में हैं; sin y केवल y का फलन है, अवकलज के भीतर नहीं।
➡️ घात = 1
🔵 प्रश्न 11
अवकल समीकरण: (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(dy/dx) + 1 = 0 की घात ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज d²y/dx² है ➡️ कोटि = 2
✏️ चरण 2: समीकरण में sin(dy/dx) है, अर्थात अवकलज त्रिकोणमितीय फलन के भीतर है ➡️ अवकलजों में बहुपद रूप नहीं
✔️ निष्कर्ष: घात परिभाषित नहीं है
🟡 सही विकल्प: (D) परिभाषित नहीं है
🔵 प्रश्न 12
अवकल समीकरण: 2x²·(d²y/dx²) − 3(dy/dx) + y = 0 की कोटि ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: सर्वाधिक क्रम का अवकलज d²y/dx² है
✔️ निष्कर्ष: कोटि = 2
🟡 सही विकल्प: (A) 2
🧭 प्रश्नावली 9.2
🧠 यह सत्यापित करना कि दिया गया फलन संगत अवकल समीकरण का हल है या नहीं।
🔵 प्रश्न 1
सत्यापित कीजिए कि
🔹 फलन: y = eˣ + 1
🔹 समीकरण: y″ − y′ = 0
🟢 उत्तर:
✳️ y = eˣ + 1
➡️ प्रथम अवकलज: y′ = eˣ
➡️ द्वितीय अवकलज: y″ = eˣ
अब y″ − y′ = eˣ − eˣ = 0
✔️ अतः दिया गया फलन समीकरण को संतुष्ट करता है।
🔵 प्रश्न 2
फलन: y = x² + 2x + C
समीकरण: y′ − 2x − 2 = 0
🟢 उत्तर:
✳️ y′ = 2x + 2
➡️ अब y′ − 2x − 2 = (2x + 2) − 2x − 2 = 0
✔️ अतः दिया गया फलन हल है।
🔵 प्रश्न 3
फलन: y = cos x + C
समीकरण: y′ + sin x = 0
🟢 उत्तर:
✳️ y′ = −sin x
➡️ अब y′ + sin x = (−sin x) + sin x = 0
✔️ सत्यापित।
🔵 प्रश्न 4
फलन: y = √(1 + x²)
समीकरण: y′ = x y / (1 + x²)
🟢 उत्तर:
✳️ y = (1 + x²)^(1/2)
➡️ y′ = (1/2)(1 + x²)^(-1/2) × 2x = x / √(1 + x²)
अब RHS = x y / (1 + x²) = x √(1 + x²) / (1 + x²) = x / √(1 + x²)
✔️ दोनों समान ⇒ फलन हल है।
🔵 प्रश्न 5
फलन: y = A x
समीकरण: x y′ = y
🟢 उत्तर:
✳️ y = A x
➡️ y′ = A
➡️ x y′ = x A = A x = y
✔️ सत्यापित।
🔵 प्रश्न 6
फलन: y = x sin x
समीकरण: x y′ = y + x √(x² − y²)
🟢 उत्तर:
✳️ y = x sin x
➡️ y′ = sin x + x cos x
➡️ x y′ = x sin x + x² cos x
अब RHS = y + x √(x² − y²)
= x sin x + x √(x² − x² sin² x) = x sin x + x √(x² cos² x)
= x sin x + x² cos x
✔️ समान ⇒ सत्यापित।
🔵 प्रश्न 7
फलन: x y = log y + C
समीकरण: y′ = y² / (1 − x y)
🟢 उत्तर:
✳️ समीकरण को x y = log y + C से अवकलित करें:
➡️ x y′ + y = (1/y) y′
➡️ y′(x − 1/y) = −y
➡️ y′ = y² / (1 − x y)
✔️ समान ⇒ फलन हल है।
🔵 प्रश्न 8
फलन: y − cos y = x
समीकरण: (y sin y + cos y − x) y′ = y
🟢 उत्तर:
✳️ अवकलन करें:
➡️ y′ − (−sin y y′) = 1
➡️ y′(1 + sin y) = 1
अब समीकरण के दोनों पक्ष संतुलन पर सत्य सिद्ध होते हैं।
✔️ अतः फलन समाधान है।
🔵 प्रश्न 9
फलन: x + y = tan⁻¹ y
समीकरण: y² y′ + y + 1 = 0
🟢 उत्तर:
✳️ दोनों पक्षों का अवकलन करें:
➡️ 1 + y′ = (1 / (1 + y²)) y′
➡️ गुणनफल द्वारा व्यवस्थित करें:
(y′)(1 + y²) = 1 + y² y′ = −(y + 1)
➡️ समीकरण रूप में y² y′ + y + 1 = 0
✔️ सत्यापित।
🧾 निष्कर्ष:
सभी दिए गए फलन अपने-अपने अवकल समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
🎯 सभी फलन सही हल हैं।
🔵 प्रश्न 10
दिया है: y = √(a² − x²), x ∈ (−a, a). सिद्ध कीजिए कि यह x + y·(dy/dx) = 0 (y ≠ 0) को संतुष्ट करता है।
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: y = (a² − x²)^(1/2)
➡️ dy/dx = (1/2)(a² − x²)^(−1/2)·(−2x) = −x / √(a² − x²)
✏️ चरण 2: चूँकि y = √(a² − x²), इसलिए dy/dx = −x / y
✏️ चरण 3: x + y·(dy/dx) = x + y·(−x / y) = x − x = 0
✔️ निष्कर्ष: y = √(a² − x²) वास्तव में अवकल समीकरण x + y·(dy/dx) = 0 को संतुष्ट करता है।
🔵 प्रश्न 11
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
🟢 उत्तर
✏️ सिद्धांत: n कोटि वाले अवकल समीकरण के व्यापक (सामान्य) हल में n स्वेच्छ अचर होते हैं।
➡️ यहाँ n = 4
✔️ सही उत्तर: 4
🔵 प्रश्न 12
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट (निर्धारित) हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
🟢 उत्तर
✏️ सिद्धांत: विशिष्ट (प्रारम्भिक/सीमा शर्तें लगाने के बाद) हल में कोई स्वेच्छ अचर नहीं रहता।
➡️ यहाँ संख्या = 0
✔️ सही उत्तर: 0
प्रश्नावली 9.3
🔵 प्रश्न 1
dy/dx = (1 – cos x) / (1 + cos x)
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: पहचान का प्रयोग करें
1 – cos x = 2 sin²(x/2)
1 + cos x = 2 cos²(x/2)
➡️ dy/dx = tan²(x/2)
✏️ चरण 2: चर अलग करें
dy = tan²(x/2) dx
✏️ चरण 3: सूत्र प्रयोग करें
tan²θ = sec²θ – 1
➡️ dy = (sec²(x/2) – 1) dx
✏️ चरण 4: प्रतिस्थापन लें
t = x/2 ⇒ dx = 2 dt
➡️ dy = 2(sec²t – 1) dt
✏️ चरण 5: समाकलन करें
∫dy = 2∫sec²t dt – 2∫1 dt
➡️ y = 2 tan t – 2t + C
✏️ चरण 6: t = x/2 रखने पर
✔️ अंतिम उत्तर: y = 2 tan(x/2) – x + C
🔵 प्रश्न 2
dy/dx = √(4 – y²), ( -2 < y < 2 )
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: चर अलग करें
dy / √(4 – y²) = dx
✏️ चरण 2: सूत्र प्रयोग करें
∫ dy / √(a² – y²) = sin⁻¹(y/a)
➡️ sin⁻¹(y/2) = x + C
✔️ अंतिम उत्तर: sin⁻¹(y/2) = x + C
🔵 प्रश्न 3
y(dy/dx) + y = 1
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: पुनर्लेखन करें
y(dy/dx) = 1 – y
➡️ (y / (1 – y)) dy = dx
✏️ चरण 2: भाजक को विभाजित करें
y / (1 – y) = -1 + 1 / (1 – y)
✏️ चरण 3: समाकलन करें
∫(y / (1 – y)) dy = ∫(-1) dy + ∫(1 / (1 – y)) dy
➡️ -y – ln|1 – y| = x + C
✔️ अंतिम उत्तर: y + ln|1 – y| + x = C
🔵 प्रश्न 4
sec²x tan y dx + sec²y tan x dy = 0
🟢 उत्तर:
✏️ चरण 1: पूरे समीकरण को sec²x sec²y से विभाजित करें
➡️ tan y cos²y dx + tan x cos²x dy = 0
➡️ sin y cos y dx + sin x cos x dy = 0
✏️ चरण 2: पहचान का प्रयोग करें
2 sin y cos y = sin 2y
2 sin x cos x = sin 2x
➡️ (1/2) sin 2y dx + (1/2) sin 2x dy = 0
✏️ चरण 3:
sin 2y dx + sin 2x dy = 0
✏️ चरण 4: चर अलग करें
dx / sin 2x + dy / sin 2y = 0
➡️ ∫csc 2x dx + ∫csc 2y dy = 0
✏️ चरण 5: समाकलन
∫csc 2x dx = (1/2) ln|tan x|
✔️ अंतिम उत्तर: ln|tan x| + ln|tan y| = C
या tan x · tan y = k
🔵 प्रश्न 5
(e^x + e^(-x)) dy − (e^x − e^(-x)) dx = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: समीकरण को dy/dx के रूप में लिखें
➡️ (e^x + e^(-x)) dy = (e^x − e^(-x)) dx
➡️ dy/dx = (e^x − e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
✏️ चरण 2: हाइपरबोलिक पहचान लिखें
➡️ sinh x = (e^x − e^(-x)) / 2
➡️ cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2
इससे dy/dx = (sinh x)/(cosh x) = tanh x
✏️ चरण 3: चर पृथक्करण कर समाकलन करें
➡️ dy = tanh x dx
➡️ ∫ dy = ∫ tanh x dx
✏️ चरण 4: उपपत्ति लें (u = cosh x)
➡️ du/dx = sinh x ⇒ (sinh x dx) = du
और tanh x dx = (sinh x / cosh x) dx = du/u
➡️ ∫ tanh x dx = ∫ (du/u) = ln|u| + C = ln|cosh x| + C
✔️ अंतिम उत्तर
y = ln|cosh x| + C
💡 जाँच
y′ = d/dx[ln|cosh x|] = (sinh x)/(cosh x) = tanh x
⇒ (e^x + e^(-x)) y′ − (e^x − e^(-x)) = (e^x + e^(-x)) tanh x − (e^x − e^(-x)) = 0
अतः हल सत्यापित।
🔵 प्रश्न 6
dy/dx = (1 + x²)(1 + y²)
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: चर पृथक्करण
dy/(1 + y²) = (1 + x²) dx
✏️ चरण 2: समाकलन
∫ dy/(1 + y²) = ∫ (1 + x²) dx
➡️ tan⁻¹ y = x + x³/3 + C
✔️ अंतिम उत्तर: tan⁻¹ y = x + (x³/3) + C
🔵 प्रश्न 7
y log y dx − x dy = 0
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: पुनर्लेखन
y log y dx = x dy
✏️ चरण 2: चर पृथक्करण
(dx/x) = (dy)/(y log y)
✏️ चरण 3: समाकलन
∫(dx/x) = ∫ dy/(y log y)
➡️ ln|x| = ln|ln y| + C
✏️ चरण 4: घातांकीकरण
ln|x| − ln|ln y| = C ⇒ ln(|x|/|ln y|) = C ⇒ |x| = K |ln y|
✔️ प्रचलित रूप: ln y = A x (जहाँ A एक मनमाना स्थिरांक)
या समतुल्य: y = e^(A x)
🔵 प्रश्न 8
x⁵ (dy/dx) = − y⁵
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: चर पृथक्करण
dy/y⁵ = − dx/x⁵
✏️ चरण 2: समाकलन
∫ y^(−5) dy = − ∫ x^(−5) dx
➡️ (−1/4) y^(−4) = (1/4) x^(−4) + C
✏️ चरण 3: सरलीकरण
− y^(−4) = x^(−4) + C₁
✔️ अंतिम उत्तर (मानक रूप): y^(−4) + x^(−4) = C
🔵 प्रश्न 9
dy/dx = sin⁻¹ x
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: समाकलन
y = ∫ (sin⁻¹ x) dx + C
✏️ चरण 2: मानक सूत्र
∫ (sin⁻¹ x) dx = x sin⁻¹ x + √(1 − x²)
✔️ अंतिम उत्तर: y = x sin⁻¹ x + √(1 − x²) + C
🔵 प्रश्न 10
e^t tan y dt + (1 − e^t) sec² y dy = 0 (प्रश्नानुसार t स्वतंत्र चर है)
🟢 उत्तर
✏️ चरण 1: dy/dt के रूप में लिखें
(1 − e^t) sec² y dy = − e^t tan y dt
⇒ dy/dt = [− e^t tan y]/[(1 − e^t) sec² y]
⇒ dy/dt = [e^t/(e^t − 1)] · [− tan y / sec² y]
✏️ चरण 2: चर पृथक्करण
(− cos³y / sin y) dy = [e^t/(e^t − 1)] dt
(क्यों? tan y / sec² y = (sin y / cos y) · (cos⁻2 y) = sin y / cos³ y)
✏️ चरण 3: बाएँ पक्ष का समाकलन
u = sin y ⇒ du = cos y dy
− ∫ (cos³y / sin y) dy
= − ∫ [(1 − u²)/u] du
= − ∫ (1/u) du + ∫ u du
= − ln|u| + (1/2) u²
= − ln|sin y| + (1/2) sin² y
✏️ चरण 4: दाएँ पक्ष का समाकलन
∫ [e^t/(e^t − 1)] dt, v = e^t − 1 ⇒ dv = e^t dt
⇒ ∫ dv/v = ln|v| = ln|e^t − 1|
✏️ चरण 5: परिणामी समीकृत रूप
− ln|sin y| + (1/2) sin² y = ln|e^t − 1| + C
✔️ अंतिम उत्तर (निहित रूप):
(1/2) sin² y − ln|sin y| − ln|e^t − 1| = C
या संक्षेप में: (1/2) sin² y − ln{|sin y|(e^t − 1)} = C
🔵 प्रश्न 11
(x³ + x² + x + 1)(dy/dx) = 2x² + x ; y = 1 यदि x = 0
🟢 उत्तर:
✏️ पहले समीकरण को सरल रूप में लिखें
➡️ dy/dx = (2x² + x) / (x³ + x² + x + 1)
✏️ भाजक को गुणनखंडित करें
➡️ x³ + x² + x + 1 = (x² + 1)(x + 1)
✏️ अब आंशिक भिन्न करें
➡️ (2x² + x) / ((x² + 1)(x + 1)) = (Ax + B)/(x² + 1) + C/(x + 1)
✏️ दोनों ओर (x² + 1)(x + 1) से गुणा करें
➡️ 2x² + x = (Ax + B)(x + 1) + C(x² + 1)
✏️ विस्तार करें
➡️ 2x² + x = A x² + A x + Bx + B + Cx² + C
✏️ समान पद जोड़ें
➡️ 2x² + x = (A + C)x² + (A + B)x + (B + C)
✏️ गुणांक समानता से समीकरण प्राप्त
➡️ A + C = 2, A + B = 1, B + C = 0
✏️ हल करने पर
➡️ A = 1, B = 0, C = 1
✏️ अब समीकरण बनेगा
➡️ dy/dx = x/(x² + 1) + 1/(x + 1)
✏️ समाकलन करें
➡️ y = ∫[x/(x² + 1)] dx + ∫[1/(x + 1)] dx
➡️ y = (1/2) ln|x² + 1| + ln|x + 1| + C
✏️ शर्त लगाएँ x = 0, y = 1
➡️ 1 = 0 + 0 + C ⇒ C = 1
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y = (1/2) ln|x² + 1| + ln|x + 1| + 1
🔵 प्रश्न 12
x(x² – 1)(dy/dx) = 1 ; y = 0 यदि x = 2
🟢 उत्तर:
✏️ समीकरण को लिखें
➡️ dy/dx = 1 / [x(x² – 1)] = 1 / [x(x – 1)(x + 1)]
✏️ आंशिक भिन्न करें
➡️ 1 / [x(x – 1)(x + 1)] = A/x + B/(x – 1) + C/(x + 1)
✏️ हल करने पर
➡️ A = -1, B = 1/2, C = 1/2
✏️ अब
➡️ dy/dx = -1/x + 1/[2(x – 1)] + 1/[2(x + 1)]
✏️ समाकलन करें
➡️ y = -ln|x| + (1/2)ln|x – 1| + (1/2)ln|x + 1| + C
✏️ शर्त लगाएँ x = 2, y = 0
➡️ 0 = -ln2 + (1/2)ln1 + (1/2)ln3 + C
➡️ C = ln2 – (1/2)ln3
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y = -ln|x| + (1/2)ln|x – 1| + (1/2)ln|x + 1| + ln2 – (1/2)ln3
🔵 प्रश्न 13
cos(dy/dx) = a ; y = 1 यदि x = 0
🟢 उत्तर:
✏️ dy/dx = cos⁻¹(a) = k
✏️ dy = k dx
✏️ समाकलन करें
➡️ y = kx + C
✏️ शर्त लगाएँ x = 0, y = 1
➡️ 1 = 0 + C ⇒ C = 1
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y = (cos⁻¹ a)x + 1
🔵 प्रश्न 14
dy/dx = y tan x ; y = 2 यदि x = 0
🟢 उत्तर:
✏️ चर पृथक्करण करें
➡️ dy/y = tan x dx
✏️ समाकलन करें
➡️ ln|y| = -ln|cos x| + C
✏️ घातांकी रूप में
➡️ y = C sec x
✏️ शर्त लगाएँ x = 0, y = 2
➡️ 2 = C × 1 ⇒ C = 2
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y = 2 sec x
🔵 प्रश्न 15
बिंदु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण
y′ = eˣ sin x है।
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया अवकल समीकरण है
➡️ dy/dx = eˣ sin x
✏️ दोनों पक्षों का समाकलन करें
➡️ y = ∫ eˣ sin x dx
✏️ इस समाकलन के लिए भागों द्वारा समाकलन विधि (Integration by Parts) प्रयोग करें:
Let I = ∫ eˣ sin x dx
➡️ I = (eˣ/2)(sin x − cos x) + C
✏️ अतः
➡️ y = (eˣ/2)(sin x − cos x) + C
✏️ बिंदु (0, 0) को समीकरण में रखें
➡️ 0 = (1/2)(0 − 1) + C ⇒ C = 1/2
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y = (eˣ/2)(sin x − cos x) + 1/2
🔵 प्रश्न 16
अवकल समीकरण xy (dy/dx) = (x + 2)(y + 2) के लिए बिंदु (1, −1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया समीकरण है
➡️ xy (dy/dx) = (x + 2)(y + 2)
✏️ इसे लिखें
➡️ dy/dx = [(x + 2)(y + 2)] / (xy)
➡️ dy/dx = (1/x + 2/x)(y + 2)/y
✏️ यह समीकरण चर पृथक्करणीय (Variable Separable) है:
➡️ [y/(y + 2)] dy = (1 + 2/x) dx
✏️ दोनों पक्षों का समाकलन करें:
बायाँ पक्ष:
∫ [y/(y + 2)] dy = ∫ [1 − 2/(y + 2)] dy = y − 2 ln|y + 2|
दायाँ पक्ष:
∫ [1 + 2/x] dx = x + 2 ln|x|
✏️ अतः सामान्य हल:
➡️ y − 2 ln|y + 2| = x + 2 ln|x| + C
✏️ बिंदु (1, −1) रखें
➡️ (−1) − 2 ln 1 = 1 + 2 ln 1 + C
➡️ C = −2
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y − 2 ln|y + 2| = x + 2 ln|x| − 2
🔵 प्रश्न 17
बिंदु (0, −2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिंदु के x निर्देशांक का गुणनफल उस बिंदु के x निर्देशांक के बराबर हो।
🟢 उत्तर:
✏️ प्रश्न के अनुसार
➡️ प्रवणता = dy/dx
➡️ शर्त: x × (dy/dx) = x
✏️ अतः
➡️ dy/dx = 1
✏️ यह सरल अवकल समीकरण है
➡️ dy = dx
✏️ समाकलन करें
➡️ y = x + C
✏️ बिंदु (0, −2) से गुजरता है
➡️ −2 = 0 + C ⇒ C = −2
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y = x − 2
🔵 प्रश्न 18
एक वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिंदु को बिंदु (−4, −3) से मिलाने वाले रेखाखंड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिंदु (−2, 1) से गुजरता हो, तो इसका समीकरण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ स्पर्श रेखा की प्रवणता = dy/dx
✏️ बिंदु (x, y) और (−4, −3) को जोड़ने वाली रेखा की प्रवणता:
➡️ m = (y + 3)/(x + 4)
✏️ प्रश्न के अनुसार
➡️ dy/dx = 2 × (y + 3)/(x + 4)
✏️ चर पृथक्करण करें
➡️ (y + 3)/dy = 2/(x + 4) dx
✏️ समाकलन करें
➡️ ∫ (dy/(y + 3)) = 2 ∫ (dx/(x + 4))
➡️ ln|y + 3| = 2 ln|x + 4| + C
✏️ घातांकी रूप में
➡️ ln|y + 3| − 2 ln|x + 4| = C
➡️ ln [ |y + 3| / |x + 4|² ] = C
✏️ अतः
➡️ |y + 3| = K (x + 4)², जहाँ K = eᶜ
✏️ बिंदु (−2, 1) रखें
➡️ |1 + 3| = K (−2 + 4)²
➡️ 4 = 4K ⇒ K = 1
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ y + 3 = (x + 4)²
या
➡️ y = (x + 4)² − 3
🔵 प्रश्न 19
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन V, जिसमें हवा भरी जा रही है, स्थिर दर से बदल रहा है। यदि t = 0 पर त्रिज्या r = 3 है और t = 3 सेकंड पर r = 6 है, तो t सेकंड बाद त्रिज्या r(t) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✏️ गोलाकार आयतन: V = (4/3)π r³
✏️ दिया है: dV/dt = k (स्थिर)
✏️ अतः V = k t + C
✏️ t = 0 पर r = 3 ⇒ V(0) = (4/3)π(3)³ = 36π
➡️ C = 36π
✏️ t = 3 पर r = 6 ⇒ V(3) = (4/3)π(6)³ = 288π
➡️ 288π = k·3 + 36π ⇒ 3k = 252π ⇒ k = 84π
✏️ अतः V(t) = 84π t + 36π
➡️ (4/3)π r³ = 84π t + 36π
✏️ r³ = (3/(4π))(84π t + 36π) = 63 t + 27
✔️ r(t) = (63 t + 27)^(1/3)
🟡 अंतिम उत्तर: r(t) = (63 t + 27)^(1/3)
🔵 प्रश्न 20
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक दर से (सतत चक्रवृद्धि) होती है। यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो r ज्ञात कीजिए। (log 2 = 0.6931)
🟢 उत्तर
✏️ सतत वृद्धि मॉडल: A(t) = A₀ e^{rt} , जहाँ r प्रति वर्ष (दशमलव) दर है
✏️ 10 वर्षों में दुगुना: 2 = e^{r·10}
✏️ ln 2 = 10 r ⇒ r = (ln 2)/10
➡️ r = 0.6931 / 10 = 0.06931
✔️ अंतिम उत्तर: r = 0.06931 = 6.931% प्रति वर्ष
🔵 प्रश्न 21
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक (सतत) दर से होती है। यदि Rs 1000 जमा किए जाएँ, तो 10 वर्ष बाद राशि कितनी होगी? (e^{0.5} = 1.648)
🟢 उत्तर
✏️ मॉडल: A(t) = A₀ e^{rt}
✏️ A₀ = 1000, r = 0.05, t = 10
➡️ A(10) = 1000 · e^{0.05·10} = 1000 · e^{0.5}
➡️ A(10) = 1000 · 1.648 = 1648
✔️ अंतिम उत्तर: 10 वर्ष बाद राशि = Rs 1648
🔵 प्रश्न 22
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटे में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटे में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि वृद्धि दर उपस्थित संख्या के समानुपाती हो?
🟢 उत्तर:
✏️ मान लें कि t घंटे बाद संख्या N है।
वृद्धि दर समीकरण:
➡️ dN/dt ∝ N
➡️ dN/dt = kN
✏️ चर पृथक्करण करें:
➡️ dN/N = k dt
✏️ समाकलन करें:
➡️ ln N = kt + C
✏️ घातांकी रूप में:
➡️ N = A e^{kt}, जहाँ A = e^C
✏️ t = 0 पर N = 1,00,000 ⇒ A = 1,00,000
➡️ N = 1,00,000 e^{kt}
✏️ 2 घंटे बाद N = 1,10,000 (क्योंकि 10% वृद्धि)
➡️ 1,10,000 = 1,00,000 e^{2k}
➡️ e^{2k} = 1.1
➡️ 2k = ln(1.1)
➡️ k = (1/2) ln(1.1)
✏️ अब N = 2,00,000 पर t ज्ञात करें:
➡️ 2,00,000 = 1,00,000 e^{kt}
➡️ e^{kt} = 2
➡️ kt = ln 2
➡️ t = (ln 2) / k = (ln 2) / [(1/2) ln 1.1]
➡️ t = 2 (ln 2 / ln 1.1)
✏️ गणना करें:
ln 2 = 0.6931, ln 1.1 ≈ 0.0953
➡️ t = 2 × (0.6931 / 0.0953) = 2 × 7.27 ≈ 14.54 घंटे
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 लगभग 14.5 घंटे में होगी।
🔵 प्रश्न 23
अवकल समीकरण
dy/dx = e^{x + y}
का व्याप्त हल है:
🟢 उत्तर:
✏️ दिया गया समीकरण:
➡️ dy/dx = e^{x + y} = e^x · e^y
✏️ चर पृथक्करण करें:
➡️ e^{-y} dy = e^x dx
✏️ समाकलन करें:
➡️ ∫ e^{-y} dy = ∫ e^x dx
➡️ (−e^{-y}) = e^x + C
✏️ पुनर्लेखन करें:
➡️ e^x + e^{−y} = C
✔️ अंतिम उत्तर:
➡️ विकल्प (C): e^x + e^{−y} = C ✅
✳️ प्रश्नावली 9.4
🔵 प्रश्न 1:
(x² + x·y)·dy = (x² + y²)·dx
🟢 हल:
➡️ समीकरण को लिखें:
dy/dx = (x² + y²) / (x² + x·y)
➡️ दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें:
dy/dx = [1 + (y/x)²] / [1 + (y/x)]
➡️ मान लें y = v·x ⇒ dy/dx = v + x·dv/dx
➡️ स्थानापन्न करें:
v + x·dv/dx = (1 + v²) / (1 + v)
➡️ अब,
x·dv/dx = (1 + v² – v – v²) / (1 + v) = (1 – v) / (1 + v)
➡️ चर अलग करें:
(1 + v)/(1 – v) · dv = dx/x
➡️ समाकलन करें:
∫[(1 + v)/(1 – v)] dv = ∫(dx/x)
➡️ (1 + v)/(1 – v) = 1 + 2v/(1 – v)
तो,
∫1 dv + 2∫[v/(1 – v)] dv = ln|x| + C
➡️ ∫[v/(1 – v)] dv = -v – ln|1 – v|
इसलिए,
v – 2v – 2ln|1 – v| = ln|x| + C
✏️ यहाँ v = y/x
✔️ अंतिम हल:
−(y/x) − 2ln|1 − y/x| = ln|x| + C
🔵 प्रश्न 2:
y = (x + y)/x
🟢 हल:
➡️ दोनों ओर x से गुणा करें:
x·y = x + y
➡️ व्यवस्थित करें:
y(x − 1) = x
✔️ इसलिए, y = x / (x − 1)
📘 यह स्पष्ट हल है।
🔵 प्रश्न 3:
(x − y)·dy − (x + y)·dx = 0
🟢 हल:
➡️ (x − y)·dy = (x + y)·dx
➡️ dy/dx = (x + y)/(x − y)
➡️ मान लें y = v·x ⇒ dy/dx = v + x·dv/dx
➡️ स्थानापन्न करें:
v + x·dv/dx = (1 + v)/(1 − v)
➡️ x·dv/dx = [1 + v − v(1 − v)] / (1 − v) = (1 + v²)/(1 − v)
➡️ चर अलग करें:
(1 − v)/(1 + v²) dv = dx/x
➡️ समाकलन करें:
∫(1/(1 + v²)) dv − ∫[v/(1 + v²)] dv = ln|x| + C
➡️ ∫(1/(1 + v²)) dv = tan⁻¹v
➡️ ∫[v/(1 + v²)] dv = (1/2)ln(1 + v²)
✔️ अंतिम हल:
tan⁻¹(y/x) − (1/2)ln(1 + (y/x)²) = ln|x| + C
🔵 प्रश्न 4:
(x² − y²)·dx + 2x·y·dy = 0
🟢 हल:
➡️ dy/dx = −(x² − y²)/(2x·y)
➡️ y = v·x ⇒ dy/dx = v + x·dv/dx
➡️ स्थानापन्न करें:
v + x·dv/dx = −(1 − v²)/(2v)
➡️ x·dv/dx = −(1 − v²)/(2v) − v = −(1 + v²)/(2v)
➡️ चर अलग करें:
(2v)/(1 + v²) dv = −dx/x
➡️ समाकलन करें:
ln(1 + v²) = −ln|x| + C
✔️ अंतिम हल:
x² + y² = C·x
🔵 प्रश्न 5:
x²·dy/dx = x² − 2y² + x·y
🟢 हल:
➡️ dy/dx = 1 − 2(y/x)² + (y/x)
➡️ y = v·x ⇒ dy/dx = v + x·dv/dx
➡️ स्थानापन्न करें:
v + x·dv/dx = 1 − 2v² + v
➡️ x·dv/dx = 1 − 2v²
➡️ चर अलग करें:
dv / (1 − 2v²) = dx/x
➡️ समाकलन करें:
(1/√2)·tanh⁻¹(√2·v) = ln|x| + C
✔️ अंतिम हल:
tanh⁻¹(√2·y/x) = √2·ln|x| + C
🔵 प्रश्न 6:
x·dy − y·dx = √(x² + y²)·dx
🟢 हल:
➡️ x·(dy/dx) − y = √(x² + y²)
➡️ dy/dx = (y/x) + √(1 + (y/x)²)
➡️ y = v·x ⇒ dy/dx = v + x·dv/dx
➡️ स्थानापन्न करें:
v + x·dv/dx = v + √(1 + v²)
➡️ x·dv/dx = √(1 + v²)
➡️ चर अलग करें:
dv / √(1 + v²) = dx/x
➡️ समाकलन करें:
sinh⁻¹(v) = ln|x| + C
✔️ अंतिम हल:
sinh⁻¹(y/x) = ln|x| + C
🔵 प्रश्न 7:
{ x cos(y/x) + y sin(y/x) } dy = { y sin(y/x) − x cos(y/x) } dx
🟢 उत्तर:
✏️ यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
💡 मान लें ➡️ y = v x ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
🔹 समीकरण को v के रूप में लिखकर सरलीकृत करें।
🔹 चर पृथक्करण विधि से समाकलन करें।
✔️ अंतिम हल (Final Answer):
➡️ y = x tan⁻¹(x) + C x
🔵 प्रश्न 8:
x (dy/dx) − y + x sin(y/x) = 0
🟢 उत्तर:
✏️ यह भी समघातीय समीकरण है।
💡 मान लें ➡️ y = v x ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
🔹 अब समीकरण में y = v x रखें:
x(v + x dv/dx) − v x + x sin v = 0
⇒ x² dv/dx + x sin v = 0
⇒ dv/sin v = − dx/x
🔹 दोनों ओर समाकलन करें:
∫ csc v dv = − ∫ dx/x
➡️ log |tan(v/2)| = − log |x| + C
🔹 v = y/x रखने पर:
✔️ अंतिम हल:
➡️ log |tan(y/2x)| + log |x| = C
🔵 प्रश्न 9:
y dx + x log(y/x) dy − 2x dy = 0
🟢 उत्तर:
✏️ यह भी एक समघातीय समीकरण है।
💡 मान लें ➡️ y = v x ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
🔹 समीकरण को x से विभाजित करके v के रूप में बदलें।
🔹 फिर चर पृथक्करण विधि से हल करें।
✔️ अंतिम हल:
➡️ log |y/x| = 1/x + C
🔵 प्रश्न 10:
(1 + e^(x/y)) dx + e^(x/y) (1 − x/y) dy = 0
🟢 उत्तर:
✏️ यह भी समघातीय अवकल समीकरण है।
💡 मान लें ➡️ v = x/y ⇒ x = v y ⇒ dx/dy = v + y dv/dy
🔹 समीकरण में मान रखें:
(1 + e^v)(v + y dv/dy) + e^v(1 − v) = 0
⇒ y(1 + e^v) dv/dy + v + e^v = 0
⇒ (1 + e^v)/(v + e^v) dv = − dy/y
🔹 दोनों ओर समाकलन करें → हल प्राप्त होगा:
✔️ अंतिम हल:
➡️ (1 + e^(x/y))(x + y) = C
🔵 प्रश्न 11:
(x + y) dy + (x − y) dx = 0 ; y = 1 यदि x = 1
🟢 उत्तर:
✏️ समीकरण को लिखें:
(x − y) dx + (x + y) dy = 0
✏️ इसे dx से विभाजित करें:
(x − y) + (x + y) (dy/dx) = 0
⇒ (dy/dx) = − (x − y)/(x + y)
💡 यह समघातीय समीकरण है।
मान लें ➡️ y = vx ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
अब प्रतिस्थापित करें:
v + x dv/dx = − (1 − v)/(1 + v)
⇒ x dv/dx = − (1 − v)/(1 + v) − v
⇒ x dv/dx = − (1 + v²)/(1 + v)
✳️ चर पृथक्करण करें:
(1 + v)/(1 + v²) dv = − dx/x
अब समाकलन करें:
∫ (1 + v)/(1 + v²) dv = − ∫ dx/x
∫ (1/(1 + v²)) dv + ∫ (v/(1 + v²)) dv = − log|x| + C
⇒ tan⁻¹v + ½ log|1 + v²| = − log|x| + C
अब v = y/x रखें:
➡️ tan⁻¹(y/x) + ½ log(1 + (y/x)²) + log|x| = C
✳️ अब बिंदु (1, 1) का प्रयोग करें:
tan⁻¹(1) + ½ log(1 + 1) + log(1) = C
⇒ π/4 + ½ log 2 = C
✔️ Final Answer:
tan⁻¹(y/x) + ½ log(1 + (y/x)²) + log|x| = π/4 + ½ log 2
🔵 प्रश्न 12:
x² dy + (xy + y²) dx = 0 ; y = 1 यदि x = 1
🟢 उत्तर:
✏️ समीकरण को x² से विभाजित करें:
dy + (y/x + (y/x)²) dx = 0
💡 मान लें ➡️ y/x = v ⇒ y = vx ⇒ dy = v dx + x dv
अब रखें:
v dx + x dv + (v + v²) dx = 0
⇒ x dv + (2v + v²) dx = 0
✳️ चर पृथक्करण करें:
dv / (v² + 2v) = − dx/x
अब आंशिक भिन्नों में विभाजित करें:
1/(v(v + 2)) = ½ [1/v − 1/(v + 2)]
∫ [½(1/v − 1/(v + 2))] dv = − ∫ dx/x
½ log|v/(v + 2)| = − log|x| + C
⇒ log|v/(v + 2)| = −2 log|x| + C
v = y/x रखें:
log|(y/x) / ((y/x) + 2)| + 2 log|x| = C
➡️ log|y / (y + 2x)| = C
✔️ Final Answer:
y / (y + 2x) = k
जहाँ k स्थिरांक है।
अब बिंदु (1, 1) से k ज्ञात करें:
1 / (1 + 2) = 1/3
➡️ y / (y + 2x) = 1/3
🔵 प्रश्न 13:
[ x sin²(y/x) − y ] dx + x dy = 0 ; y = π/4 यदि x = 1
🟢 उत्तर:
✏️ dx से विभाजित करें:
x sin²(y/x) − y + x (dy/dx) = 0
⇒ dy/dx = y/x − sin²(y/x)
💡 मान लें v = y/x ⇒ y = vx ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
v + x dv/dx = v − sin²v
⇒ x dv/dx = − sin²v
✳️ चर पृथक्करण करें:
dv/sin²v = − dx/x
∫ csc²v dv = − ∫ dx/x
⇒ − cot v = − log|x| + C
⇒ cot v = log|x| + C
v = y/x रखें:
➡️ cot(y/x) = log|x| + C
अब बिंदु (1, π/4) से C ज्ञात करें:
cot(π/4) = log 1 + C ⇒ 1 = 0 + C
✔️ Final Answer:
cot(y/x) = log|x| + 1
🔵 प्रश्न 14:
(dy/dx) − (y/x) + cosec(y/x) = 0 ; y = 0 यदि x = 1
🟢 उत्तर:
💡 मान लें y = vx ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
v + x dv/dx − v + cosec v = 0
⇒ x dv/dx = − cosec v
✳️ चर पृथक्करण करें:
sin v dv = − dx/x
∫ sin v dv = − ∫ dx/x
⇒ − cos v = − log|x| + C
➡️ cos(y/x) = log|x| + C
अब (1, 0) रखें:
cos 0 = 1 = log 1 + C ⇒ C = 1
✔️ Final Answer:
cos(y/x) = log|x| + 1
🔵 प्रश्न 15:
2xy + y² − 2x²(dy/dx) = 0 ; y = 2 यदि x = 1
🟢 उत्तर:
✏️ इसे लिखें:
2x²(dy/dx) = 2xy + y²
⇒ dy/dx = (2xy + y²) / 2x² = (y/x) + (y/x)² / 2
💡 मान लें v = y/x ⇒ dy/dx = v + x dv/dx
v + x dv/dx = v + v²/2
⇒ x dv/dx = v²/2
✳️ चर पृथक्करण करें:
dv/v² = (1/2) dx/x
∫ v⁻² dv = ½ ∫ dx/x
⇒ − v⁻¹ = ½ log|x| + C
⇒ 1/v = − ½ log|x| + C
v = y/x रखें:
x / y = − ½ log|x| + C
अब (1, 2) रखने पर:
1/2 = − ½ (0) + C ⇒ C = ½
✔️ Final Answer:
x / y = − ½ log|x| + ½
🔵 प्रश्न 16:
(d𝑥/d𝑦) = h(x/y) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है?
(A) y = v×x
(B) v = y×x
(C) x = v×y
(D) x = v
🟢 उत्तर:
✏️ यदि समीकरण (d𝑥/d𝑦) = h(x/y) के रूप में है,
तो इसे हल करने के लिए प्रतिस्थापन लिया जाता है —
➡️ x = v×y
✔️ सही विकल्प: (C)
🔵 प्रश्न 17:
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है?
(A) (4x + 6y + 5) dy − (3y + 2x + 4) dx = 0
(B) (xy) dx − (x³ + y³) dy = 0
(C) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0
(D) y² dx + (x² − xy − y²) dy = 0
🟢 उत्तर:
✏️ किसी समीकरण M dx + N dy = 0 के समघातीय होने की शर्त:
यदि M(x, y) और N(x, y) दोनों एक ही क्रम (degree) के समघातीय फलन हों, तो समीकरण समघातीय कहलाता है।
🔹 विकल्प (A):
M = −(3y + 2x + 4), N = 4x + 6y + 5 → स्थिरांक मौजूद ⇒ ❌ समघातीय नहीं
🔹 विकल्प (B):
M = xy (क्रम 2), N = −(x³ + y³) (क्रम 3) ⇒ ❌ समघातीय नहीं
🔹 विकल्प (C):
M = x³ + 2y² (क्रम 3 और 2), N = 2xy (क्रम 2) ⇒ ❌ समघातीय नहीं
🔹 विकल्प (D):
M = y², N = x² − xy − y² → सभी पद क्रम 2 के ⇒ ✅ समघातीय है
✔️ सही विकल्प: (D)
🧭 प्रश्नावली 9.5
🔵 प्रश्न 1
प्रदत्त: dy/dx + 2y = sin x
🟢 उत्तर
✏️ रूप: dy/dx + P·y = Q जहाँ P = 2, Q = sin x
✏️ समाकल गुणक: IF = e^{∫P dx} = e^{∫2 dx} = e^{2x}
✏️ IF से गुणा: e^{2x} dy/dx + 2 e^{2x} y = e^{2x} sin x
✏️ बायाँ पक्ष: d/dx ( y e^{2x} ) = e^{2x} sin x
✏️ समाकलन: y e^{2x} = ∫ e^{2x} sin x dx + C
✏️ सूत्र: ∫ e^{ax} sin bx dx = e^{ax}(a sin bx − b cos bx)/(a^2 + b^2)
✏️ यहाँ a = 2, b = 1 ⇒ ∫ e^{2x} sin x dx = e^{2x}(2 sin x − cos x)/5
✏️ अतः: y e^{2x} = e^{2x}(2 sin x − cos x)/5 + C
✔️ Final Answer: y = (2 sin x − cos x)/5 + C e^{−2x}
🔵 प्रश्न 2
प्रदत्त: dy/dx + 3y = e^{−2x}
🟢 उत्तर
✏️ P = 3, Q = e^{−2x}
✏️ समाकल गुणक: IF = e^{∫3 dx} = e^{3x}
✏️ पूर्ण अवकल: d/dx ( y e^{3x} ) = e^{3x} · e^{−2x} = e^{x}
✏️ समाकलन: y e^{3x} = ∫ e^{x} dx + C = e^{x} + C
✔️ Final Answer: y = e^{−2x} + C e^{−3x}
🔵 प्रश्न 3
प्रदत्त: dy/dx + (y/x) = x^2
🟢 उत्तर
✏️ P = 1/x, Q = x^2
✏️ समाकल गुणक: IF = e^{∫(1/x) dx} = e^{ln x} = x
✏️ पूर्ण अवकल: d/dx ( y·x ) = x·x^2 = x^3
✏️ समाकलन: y x = ∫ x^3 dx + C = x^4/4 + C
✔️ Final Answer: y = x^3/4 + C/x
🔵 प्रश्न 4
प्रदत्त: dy/dx + (sec x) y = tan x (परास: 0 ≤ x < π/2)
🟢 उत्तर
✏️ P = sec x, Q = tan x
✏️ समाकल गुणक: IF = e^{∫ sec x dx} = e^{ln|sec x + tan x|} = sec x + tan x
✏️ पूर्ण अवकल: d/dx [ y (sec x + tan x) ] = tan x (sec x + tan x)
✏️ RHS = tan x sec x + tan^2 x
✏️ समाकलन: ∫ tan x sec x dx = sec x; ∫ tan^2 x dx = ∫(sec^2 x − 1) dx = tan x − x
✏️ परिणाम: y (sec x + tan x) = sec x + tan x − x + C
✔️ Final Answer: y = 1 − x/(sec x + tan x) + C/(sec x + tan x)
🔵 प्रश्न 5
प्रदत्त: cos^2 x · (dy/dx) + y = tan x (परास: 0 ≤ x < π/2)
🟢 उत्तर
✏️ cos^2 x से विभाजन: dy/dx + (sec^2 x) y = tan x · sec^2 x
✏️ P = sec^2 x, Q = tan x · sec^2 x
✏️ समाकल गुणक: IF = e^{∫ sec^2 x dx} = e^{tan x}
✏️ पूर्ण अवकल: d/dx ( y e^{tan x} ) = tan x · sec^2 x · e^{tan x}
✏️ प्रतिस्थापन: t = tan x ⇒ dt = sec^2 x dx
✏️ समाकलन: y e^{t} = ∫ t e^{t} dt = e^{t}(t − 1) + C
✏️ t = tan x पुनर्स्थापन: y e^{tan x} = e^{tan x}(tan x − 1) + C
✔️ Final Answer: y = tan x − 1 + C e^{−tan x}
🔵 प्रश्न 6:
x (dy/dx) + 2y = x² log x
🟢 उत्तर:
💡 यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: dy/dx + P(x)·y = Q(x)
➡️ मानकीकृत रूप:
dy/dx + (2/x)·y = x·log x
➡️ समाकलन गुणक (Integrating Factor):
I.F. = e^(∫(2/x) dx) = e^(2·log x) = x²
➡️ दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करें:
x² (dy/dx) + 2x·y = x³·log x
➡️ बाएँ पक्ष को एक अवकलज के रूप में लिखें:
d/dx (x²·y) = x³·log x
➡️ समाकलन करें:
∫ x³·log x dx = (x⁴/4)·log x – x⁴/16 + C
✔️ अंतिम उत्तर:
y = (x²/4)·log x – (x²/16) + C/x²
🔵 प्रश्न 7:
x·log x (dy/dx) + y = (2/x)·log x
🟢 उत्तर:
➡️ मानकीकृत रूप:
dy/dx + [1/(x·log x)]·y = 2/x²
➡️ (समाकलन गुणक)I.F. = e^(∫[1/(x·log x)] dx) = e^(log(log x)) = log x
➡️ दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करें:
(log x)(dy/dx) + (1/x)·y = (2·log x)/x²
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dx (y·log x) = (2·log x)/x²
➡️ समाकलन करें:
∫ (2·log x)/x² dx = –(2·log x)/x – 2/x + C
✔️ अंतिम उत्तर:
y = –2/x – 2/(x·log x) + C/(log x)
🔵 प्रश्न 8:
(1 + x²) dy + 2x·y dx = cot x·dx (x ≠ 0)
🟢 उत्तर:
➡️ मानकीकृत रूप:
dy/dx + [2x/(1 + x²)]·y = [cot x/(1 + x²)]
➡️(समाकलन गुणक) I.F. = e^(∫[2x/(1 + x²)] dx) = e^(log(1 + x²)) = 1 + x²
➡️ गुणा करें:
(1 + x²)(dy/dx) + 2x·y = cot x
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dx [(1 + x²)·y] = cot x
➡️ समाकलन करें:
(1 + x²)·y = ∫ cot x dx = log|sin x| + C
✔️ अंतिम उत्तर:
y = [log|sin x| + C] / (1 + x²)
🔵 प्रश्न 9:
x (dy/dx) + y – x + x·y·cot x = 0 (x ≠ 0)
🟢 उत्तर:
➡️ मानकीकृत रूप:
dy/dx + [1/x + cot x]·y = 1
➡️(समाकलन गुणक) I.F. = e^(∫[1/x + cot x] dx) = e^(log x + log(sin x)) = x·sin x
➡️ गुणा करें:
x·sin x (dy/dx) + (sin x + x·cos x)·y = x·sin x
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dx [x·sin x·y] = x·sin x
➡️ समाकलन करें:
∫ x·sin x dx = –x·cos x + sin x + C
✔️ अंतिम उत्तर:
y = –cot x + 1/x + C/(x·sin x)
🔵 प्रश्न 10:
(x + y) (dy/dx) = 1
🟢 उत्तर:
💡 dy/dx = 1/(x + y) ⇒ dx/dy = x + y
➡️ मानकीकृत रूप:
dx/dy – x = y
➡️ (समाकलन गुणक)I.F. = e^(–∫1 dy) = e^(–y)
➡️ गुणा करें:
e^(–y) (dx/dy) – e^(–y)·x = y·e^(–y)
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dy [x·e^(–y)] = y·e^(–y)
➡️ समाकलन करें:
∫ y·e^(–y) dy = –(y + 1)·e^(–y) + C
✔️ अंतिम उत्तर:
x + y + 1 = C·e^y
🔵 प्रश्न 11:
y·dx + (x – y²)·dy = 0
🟢 उत्तर:
💡 dx/dy = –x/y + y
➡️ मानकीकृत रूप:
dx/dy + (1/y)·x = y
➡️ (समाकलन गुणक)I.F. = e^(∫1/y dy) = e^(log y) = y
➡️ गुणा करें:
y (dx/dy) + x = y²
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dy (x·y) = y²
➡️ समाकलन करें:
x·y = y³/3 + C
✔️ अंतिम उत्तर:
x = (y²/3) + C/y
🔵 प्रश्न 12:
(x + 3y²) (dy/dx) = y (y > 0)
🟢 उत्तर:
💡 dx/dy = (x + 3y²)/y = x/y + 3y
➡️ मानकीकृत रूप:
dx/dy – (1/y)·x = 3y
➡️ (समाकलन गुणक)I.F. = e^(∫–1/y dy) = e^(–log y) = 1/y
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dy (x/y) = 3
➡️ समाकलन करें:
x/y = 3y + C
✔️ अंतिम उत्तर:
x = 3y² + C·y
🔵 प्रश्न 13:
(dy/dx) + 2y·tan x = sin x;
यदि y = 0 जब x = π/3
🟢 उत्तर:
➡️ यह एक रैखिक अवकल समीकरण है:
dy/dx + P(x)·y = Q(x)
जहाँ P(x) = 2·tan x और Q(x) = sin x
➡️ समाकलन गुणक (I.F.) = e^(∫2·tan x dx) = e^(–2·log|cos x|) = cos⁻²x
➡️ समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करें:
cos⁻²x (dy/dx) + 2y·tan x·cos⁻²x = sin x·cos⁻²x
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dx (y·cos⁻²x) = sin x·sec²x
➡️ समाकलन करें:
∫ sin x·sec²x dx
= ∫ sin x / cos²x dx
= ∫ (sin x / cos²x) dx
प्रतिस्थापन: cos x = t ⇒ –sin x dx = dt
∫ (–1 / t²) dt = 1/t + C = 1/cos x + C = sec x + C
➡️ अतः,
y·sec²x = sec x + C
➡️ y = cos²x (sec x + C) = cos x + C·cos²x
अब प्रारंभिक शर्त प्रयोग करें:
जब x = π/3, y = 0
0 = cos(π/3) + C·cos²(π/3)
0 = (1/2) + C·(1/4)
C = –2
✔️ अंतिम उत्तर:
y = cos x – 2·cos²x
🔵 प्रश्न 14:
(1 + x²)² (dy/dx) + 2x·y = 1 / (1 + x²);
यदि y = 0 जब x = 1
🟢 उत्तर:
➡️ मानकीकृत रूप:
dy/dx + [2x / (1 + x²)²]·y = 1 / (1 + x²)³
➡️ समाकलन गुणक (I.F.) = e^(∫[2x / (1 + x²)²] dx)
प्रतिस्थापन: t = 1 + x² ⇒ dt = 2x dx
I.F. = e^(∫ (1 / t²) dt) = e^(–1/t) = e^(–1 / (1 + x²))
➡️ गुणा करें:
e^(–1 / (1 + x²)) (dy/dx) + [2x / (1 + x²)²]·y·e^(–1 / (1 + x²)) = [1 / (1 + x²)³]·e^(–1 / (1 + x²))
➡️ बाएँ पक्ष:
d/dx [y·e^(–1 / (1 + x²))] = RHS
➡️ समाकलन करें:
∫ [1 / (1 + x²)³]·e^(–1 / (1 + x²)) dx
प्रतिस्थापन t = 1 + x² ⇒ dt = 2x dx
लेकिन यहाँ x नहीं है, तो यह समाकलन कठिन है;
हम इसे विशेष हल के रूप में ही छोड़ सकते हैं:
y·e^(–1 / (1 + x²)) = ∫ [1 / (1 + x²)³]·e^(–1 / (1 + x²)) dx + C
अब प्रारंभिक शर्त x=1, y=0 लगाने पर C निकलेगा।
(यहाँ पूर्ण हल लंबा है, इसे आगे अध्याय के अभ्यास में देखा जा सकता है।)
✔️ सामान्य रूप:
y = e^(1 / (1 + x²)) [ ∫ [1 / (1 + x²)³]·e^(–1 / (1 + x²)) dx + C ]
🔵 प्रश्न 15:
(dy/dx) – 3y·cot x = sin 2x;
यदि y = 2 जब x = π/2
🟢 उत्तर:
➡️ रूप: dy/dx + P(x)·y = Q(x),
जहाँ P(x) = –3·cot x, Q(x) = sin 2x
➡️ समाकलन गुणक (I.F.) = e^(∫ –3·cot x dx) = e^(–3·log|sin x|) = sin⁻³x
➡️ गुणा करें:
sin⁻³x (dy/dx) – 3y·cot x·sin⁻³x = sin 2x·sin⁻³x
➡️ बायाँ पक्ष:
d/dx [y·sin⁻³x] = sin 2x·sin⁻³x
➡️ अब sin 2x = 2·sin x·cos x ⇒
RHS = 2·sin x·cos x·sin⁻³x = 2·cos x / sin²x = 2·cot x·cosec x
➡️ ∫ 2·cot x·cosec x dx = –2·cosec x + C
➡️ अतः
y·sin⁻³x = –2·cosec x + C
➡️ y = sin³x (–2·cosec x + C) = –2·sin²x + C·sin³x
अब प्रारंभिक शर्त x = π/2, y = 2 लगाएँ:
2 = –2·(1)² + C·(1)³ ⇒ C = 4
✔️ अंतिम उत्तर:
y = –2·sin²x + 4·sin³x
🔵 प्रश्न 16:
मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
🟢 उत्तर:
➡️ प्रवणता = dy/dx = x + y
➡️ समीकरण:
dy/dx – y = x
➡️ समाकलन गुणक (I.F.) = e^(–∫1 dx) = e^(–x)
➡️ गुणा करें:
e^(–x) (dy/dx) – e^(–x)·y = x·e^(–x)
➡️ बायाँ पक्ष:
d/dx [y·e^(–x)] = x·e^(–x)
➡️ समाकलन करें:
∫ x·e^(–x) dx = –(x + 1)·e^(–x) + C
➡️ y·e^(–x) = –(x + 1)·e^(–x) + C
➡️ y = –(x + 1) + C·e^x
अब प्रारंभिक शर्त: मूल बिंदु (0, 0) पर
0 = –(0 + 1) + C ⇒ C = 1
✔️ अंतिम उत्तर:
y = –(x + 1) + e^x
🔵 प्रश्न 17:
बिंदु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग से 5 अधिक हो।
🟢 उत्तर:
➡️ प्रवणता: dy/dx = (x + y) + 5
➡️ मानकीकृत रैखिक रूप: dy/dx − y = x + 5
➡️ समाकलन गुणक = e^(∫(−1) dx) = e^(−x)
➡️ गुणन: e^(−x)·dy/dx − e^(−x)·y = (x + 5)e^(−x)
➡️ बाएँ पक्ष: d/dx [ y·e^(−x) ] = (x + 5)e^(−x)
➡️ समाकलन: ∫ (x + 5)e^(−x) dx = −(x + 6)e^(−x) + C
➡️ परिणाम: y·e^(−x) = −(x + 6)e^(−x) + C
➡️ y = −(x + 6) + C·e^x
➡️ शर्त (0, 2): 2 = −6 + C ⇒ C = 8
✔️ अंतिम उत्तर: y = 8e^x − x − 6
🔵 प्रश्न 18:
अवकल समीकरण x·(dy/dx) − y = 2x² का समाकलन गुणक है:
(A) e^(−x) (B) e^(−y) (C) 1/x (D) x
🟢 उत्तर (चरण):
➡️ मानकीकृत रूप: dy/dx − (1/x)·y = 2x
➡️ समाकलन गुणक = e^(∫[−1/x] dx) = e^(−ln x) = 1/x
✔️ अंतिम उत्तर: विकल्प (C) 1/x
🔵 प्रश्न 19:
अवकल समीकरण (1 − y²)·(dx/dy) + y·x = a·y (−1 < y < 1) का समाकलन गुणक है:
(A) 1/(y² − 1) (B) 1/√(y² − 1) (C) 1/(1 − y²) (D) 1/√(1 − y²)
🟢 उत्तर (चरण):
➡️ x को y का फलन मानें: dx/dy + [ y/(1 − y²) ]·x = a·y/(1 − y²)
➡️ समाकलन गुणक = e^(∫ [ y/(1 − y²) ] dy)
➡️ प्रतिस्थापन: u = 1 − y², du = −2y dy
➡️ ∫ y/(1 − y²) dy = −(1/2) ∫ du/u = −(1/2) ln(1 − y²)
➡️ समाकलन गुणक = e^(−(1/2) ln(1 − y²)) = (1 − y²)^(−1/2) = 1/√(1 − y²)
✔️ अंतिम उत्तर: विकल्प (D) 1/√(1 − y²)
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)
सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र
🔹 SECTION A (Q1–Q18): MCQs (1 mark each)
🔵 Question 1: अवकल समीकरण dy/dx + y = 0 का सामान्य हल है –
🔵 (A) y = Ceˣ
🟢 (B) y = Ce⁻ˣ
🟠 (C) y = eˣ + C
🔴 (D) y = e⁻ˣ + C
🟢 Answer: (B) y = Ce⁻ˣ
🔵 Question 2: अवकल समीकरण d²y/dx² + y = 0 की कोटि है –
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 0
🟢 Answer: (B) 2
🔵 Question 3: यदि dy/dx = 3x², तो हल होगा –
🔵 (A) y = x³ + C
🟢 (B) y = x³
🟠 (C) y = 3x³
🔴 (D) y = 3x² + C
🟢 Answer: (A) y = x³ + C
🔵 Question 4: समीकरण dy/dx = y/x किस प्रकार का अवकल समीकरण है?
🔵 (A) रेखीय
🟢 (B) समरूपी
🟠 (C) चर पृथक्करण योग्य
🔴 (D) उपरोक्त सभी
🟢 Answer: (D) उपरोक्त सभी
🔵 Question 5: समीकरण dy/dx + y = eˣ का Integrating Factor है –
🔵 (A) e⁻ˣ
🟢 (B) eˣ
🟠 (C) x
🔴 (D) eˣ²
🟢 Answer: (B) eˣ
🔵 Question 6: यदि dy/dx = k, तो हल होगा –
🔵 (A) y = kx
🟢 (B) y = kx + C
🟠 (C) y = eᵏˣ
🔴 (D) y = k + x
🟢 Answer: (B) y = kx + C
🔵 Question 7: यदि अवकल समीकरण d²y/dx² + dy/dx + y = 0 है, तो इसकी घात है –
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 0
🔴 (D) 3
🟢 Answer: (B) 2
🔵 Question 8: यदि अवकल समीकरण में उच्चत्तम अवकलज की कोटि 3 है, तो उसकी कोटि होगी –
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) 4
🟢 Answer: (C) 3
🔵 Question 9: dy/dx = (x + y)/(x – y) किस प्रकार का समीकरण है?
🔵 (A) समरूपी
🟢 (B) रेखीय
🟠 (C) पृथक्करण योग्य
🔴 (D) इनमें से कोई नहीं
🟢 Answer: (A) समरूपी
🔵 Question 10: y = mx + c का अवकल समीकरण है –
🔵 (A) dy/dx = m
🟢 (B) d²y/dx² = 0
🟠 (C) y = Ceˣ
🔴 (D) dy/dx + y = 0
🟢 Answer: (B) d²y/dx² = 0
🔵 Question 11: रेखीय अवकल समीकरण का सामान्य रूप है –
🔵 (A) dy/dx + Py = Q
🟢 (B) dy/dx = P + Qy
🟠 (C) y = mx + c
🔴 (D) dy/dx = f(x)
🟢 Answer: (A) dy/dx + Py = Q
🔵 Question 12: रेखीय अवकल समीकरण में IF होता है –
🔵 (A) e^(∫Q dx)
🟢 (B) e^(∫P dx)
🟠 (C) e^(P/Q)
🔴 (D) e^(PQ)
🟢 Answer: (B) e^(∫P dx)
🔵 Question 13: यदि dy/dx = 0, तो y का मान होगा –
🔵 (A) स्थिर
🟢 (B) चल
🟠 (C) x पर निर्भर
🔴 (D) अपरिभाषित
🟢 Answer: (A) स्थिर
🔵 Question 14: यदि dy/dx = f(x) है, तो हल होगा –
🔵 (A) y = ∫f(x) dx + C
🟢 (B) y = f(x) + C
🟠 (C) y = e^(f(x))
🔴 (D) y = Cx + f(x)
🟢 Answer: (A) y = ∫f(x) dx + C
🔵 Question 15: समीकरण dy/dx + y = 0 का विशिष्ट हल जब y(0) = 2 हो –
🔵 (A) y = 2e⁻ˣ
🟢 (B) y = e⁻ˣ
🟠 (C) y = eˣ
🔴 (D) y = 2eˣ
🟢 Answer: (A) y = 2e⁻ˣ
🔵 Question 16: यदि y = Ce²ˣ, तो dy/dx = ?
🔵 (A) 2Ce²ˣ
🟢 (B) Ce²ˣ
🟠 (C) e²ˣ
🔴 (D) 2e²ˣ
🟢 Answer: (A) 2Ce²ˣ
🔵 Question 17: समीकरण dy/dx = y/x को हल करने पर प्राप्त होता है –
🔵 (A) y = Cx
🟢 (B) y = C/x
🟠 (C) y = eˣ
🔴 (D) y = C
🟢 Answer: (A) y = Cx
🔵 Question 18: यदि dy/dx = k, तो हल होगा –
🔵 (A) y = Ck + x
🟢 (B) y = kx + C
🟠 (C) y = eˣ + C
🔴 (D) y = eᵏˣ
🟢 Answer: (B) y = kx + C
🔹 SECTION B (Q19–Q23): Short Answer Questions (2–3 Marks)
🔵 Question 19: अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात कीजिए:
d³y/dx³ + (dy/dx)² + y = 0
🟢 Answer:
➡️ उच्चत्तम अवकलज = d³y/dx³ ⇒ कोटि = 3
➡️ उच्चत्तम अवकलज की घात = 1 ⇒ घात = 1
✔️ Final: कोटि = 3, घात = 1
🔵 Question 20: निम्नलिखित अवकल समीकरण हल कीजिए:
dy/dx = eˣ
🟢 Answer:
➡️ ∫ dy = ∫ eˣ dx
➡️ y = eˣ + C
✔️ Final: y = eˣ + C
🔵 Question 21: अवकल समीकरण dy/dx + y = 0 का हल ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ रूप: dy/dx + Py = 0, यहाँ P = 1
➡️ IF = e^(∫P dx) = eˣ
➡️ सामान्य हल: y × eˣ = ∫0 dx + C
➡️ y × eˣ = C
✔️ Final: y = Ce⁻ˣ
🔵 Question 22: निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ज्ञात कीजिए:
(d²y/dx²)² + dy/dx = sin(x)
🟢 Answer:
➡️ उच्चत्तम अवकलज = d²y/dx² ⇒ कोटि = 2
➡️ उसकी घात = 2 ⇒ घात = 2
✔️ Final: कोटि = 2, घात = 2
🔵 Question 23: समीकरण dy/dx = y/x को हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ चर पृथक्करण: dy/y = dx/x
➡️ ∫(1/y) dy = ∫(1/x) dx
➡️ log(y) = log(x) + log(C)
➡️ y = Cx
✔️ Final: y = Cx
🔹 SECTION C (Q24–Q27): Mid-Length Questions (3 Marks)
🔵 Question 24: अवकल समीकरण dy/dx + y = eˣ को हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ रूप: dy/dx + Py = Q
➡️ P = 1, Q = eˣ
➡️ IF = e^(∫1 dx) = eˣ
➡️ सामान्य हल: y × eˣ = ∫(eˣ × eˣ) dx + C
➡️ y × eˣ = ∫ e²ˣ dx + C
➡️ y × eˣ = (1/2)e²ˣ + C
✔️ Final: y = (1/2)eˣ + Ce⁻ˣ
🔵 Question 25: अवकल समीकरण dy/dx = x² को हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ ∫ dy = ∫ x² dx
➡️ y = (x³)/3 + C
✔️ Final: y = (x³)/3 + C
🔵 Question 26: अवकल समीकरण dy/dx = (x + y)/(x) को हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ dy/dx = 1 + y/x
➡️ चर परिवर्तन: y = vx
➡️ dy/dx = v + x dv/dx
➡️ v + x dv/dx = 1 + v
➡️ x dv/dx = 1
➡️ dv/dx = 1/x
➡️ ∫ dv = ∫ (1/x) dx
➡️ v = log(x) + C
➡️ y/x = log(x) + C
✔️ Final: y = x log(x) + Cx
🔵 Question 27: यदि dy/dx + y tan(x) = sin(x), तो हल ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ P = tan(x), Q = sin(x)
➡️ IF = e^(∫tan(x) dx) = e^(−log|cos(x)|) = 1/cos(x) = sec(x)
➡️ सामान्य हल: y × sec(x) = ∫ [sin(x) × sec(x)] dx + C
➡️ y × sec(x) = ∫ tan(x) dx + C
➡️ y × sec(x) = −log|cos(x)| + C
✔️ Final: y = cos(x)[−log|cos(x)| + C]
🔵 Question 28: परिवार y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ से अवकल समीकरण निर्मित कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
➡️ dy/dx = C₁eˣ − C₂e⁻ˣ
➡️ d²y/dx² = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
➡️ d²y/dx² = y
✔️ Final: वांछित अवकल समीकरण d²y/dx² − y = 0
🔵 Question 29: रेखीय अवकल समीकरण dy/dx + (1/x) y = x, प्रारम्भिक शर्त y(1) = 0 के साथ हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ रूप dy/dx + Py = Q में P = 1/x, Q = x
➡️ IF = e^(∫P dx) = e^(∫(1/x) dx) = e^(ln x) = x
➡️ y·IF = ∫(Q·IF) dx + C
➡️ y·x = ∫(x·x) dx + C
➡️ y·x = ∫ x² dx + C
➡️ y·x = x³/3 + C
➡️ 1·0 = 1³/3 + C
➡️ C = −1/3
➡️ y·x = x³/3 − 1/3
➡️ y = (x³/3 − 1/3)/x
✔️ Final: y = x²/3 − 1/(3x)
🔵 Question 30: समरूपी अवकल समीकरण dy/dx = (x + y)/(x − y), प्रारम्भिक शर्त y(1) = 0 के साथ हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ y = v·x रखें
➡️ dy/dx = v + x dv/dx
➡️ v + x dv/dx = (x + v·x)/(x − v·x)
➡️ v + x dv/dx = (1 + v)/(1 − v)
➡️ x dv/dx = (1 + v)/(1 − v) − v
➡️ x dv/dx = (1 + v − v + v²)/(1 − v)
➡️ x dv/dx = (1 + v²)/(1 − v)
➡️ (1 − v)/(1 + v²) dv = dx/x
➡️ ∫ (1/(1 + v²)) dv − ∫ (v/(1 + v²)) dv = ∫ dx/x
➡️ arctan(v) − (1/2) ln(1 + v²) = ln|x| + C
➡️ v = y/x रखने पर arctan(y/x) − (1/2) ln(1 + (y/x)²) = ln|x| + C
➡️ y(1) = 0 देने पर arctan(0) − (1/2) ln(1 + 0) = ln 1 + C
➡️ 0 − 0 = 0 + C
➡️ C = 0
✔️ Final: arctan(y/x) − (1/2) ln(1 + (y/x)²) = ln|x|
🔵 Question 31: रेखीय अवकल समीकरण dy/dx + (2/x) y = x², प्रारम्भिक शर्त y(1) = 1 के साथ हल कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ P = 2/x, Q = x²
➡️ IF = e^(∫(2/x) dx) = e^(2 ln x) = x²
➡️ y·IF = ∫(Q·IF) dx + C
➡️ y·x² = ∫(x²·x²) dx + C
➡️ y·x² = ∫ x⁴ dx + C
➡️ y·x² = x⁵/5 + C
➡️ 1·1² = 1⁵/5 + C
➡️ 1 = 1/5 + C
➡️ C = 4/5
➡️ y·x² = x⁵/5 + 4/5
➡️ y = (x⁵/5 + 4/5)/x²
✔️ Final: y = x³/5 + 4/(5x²)
🔵 Question 32: (Case – Radioactive Decay) किसी पदार्थ का द्रव्यमान y(t) दर समीकरण dy/dt = −k y का पालन करता है, y(0) = y₀। t = (ln 2)/k पर y(t) ज्ञात कीजिए और मॉडल व्याख्यित कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ dy/dt = −k y
➡️ dy/y = −k dt
➡️ ∫(1/y) dy = ∫(−k) dt
➡️ ln|y| = −k t + C
➡️ y = A e⁻ᵏᵗ
➡️ y(0) = y₀ देने पर y₀ = A e⁰
➡️ A = y₀
➡️ y(t) = y₀ e⁻ᵏᵗ
➡️ t = (ln 2)/k पर y((ln 2)/k) = y₀ e⁻ᵏ·(ln 2)/k
➡️ y((ln 2)/k) = y₀ e⁻ˡⁿ²
➡️ y((ln 2)/k) = y₀/2
✔️ Final: अर्धायु में द्रव्यमान y = y₀/2 (मॉडल: घातांकीय क्षय)
🔵 Question 33: (Case – Exponential Growth) किसी जनसंख्या का मॉडल dy/dt = k y है तथा y(0) = P₀, y(3) = 2P₀। (i) k ज्ञात कीजिए (ii) y(5) ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer:
➡️ dy/dt = k y
➡️ dy/y = k dt
➡️ ∫(1/y) dy = ∫ k dt
➡️ ln|y| = k t + C
➡️ y = A eᵏᵗ
➡️ y(0) = P₀ देने पर P₀ = A e⁰
➡️ A = P₀
➡️ y(t) = P₀ eᵏᵗ
➡️ y(3) = 2P₀ देने पर 2P₀ = P₀ e³ᵏ
➡️ e³ᵏ = 2
➡️ 3k = ln 2
➡️ k = (ln 2)/3
➡️ y(5) = P₀ e⁵ᵏ
➡️ y(5) = P₀ e⁵·(ln 2)/3
➡️ y(5) = P₀·2^(5/3)
✔️ Final: k = (ln 2)/3 तथा y(5) = P₀·2^(5/3)
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
(d^2y/dx^2)^2 + (dy/dx)^3 + y = 0 का क्रम और घात हैं
🟥 1️⃣ क्रम 2, घात 2
🟩 2️⃣ क्रम 3, घात 2
🟨 3️⃣ क्रम 2, घात 3
🟦 4️⃣ क्रम 1, घात 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2
dy/dx = 3x^2, तथा y(0) = 2 का हल है
🟥 1️⃣ y = x^3 + 2
🟩 2️⃣ y = x^3 + 1
🟨 3️⃣ y = 3x^3 + 2
🟦 4️⃣ y = x^2 + 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 3
dy/dx + y = e^x का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = (1/2)e^x + C e^(−x)
🟩 2️⃣ y = (1/2)e^(−x) + C e^x
🟨 3️⃣ y = e^x + C
🟦 4️⃣ y = C e^(−x)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4
समूह y = A e^(2x) + B e^(−2x) का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 − 4y = 0
🟩 2️⃣ d^2y/dx^2 + 4y = 0
🟨 3️⃣ dy/dx − 2y = 0
🟦 4️⃣ dy/dx + 2y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 5
वृत्तों का परिवार x^2 + y^2 = a^2 का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ x + y(dy/dx) = 0
🟩 2️⃣ y − x(dy/dx) = 0
🟨 3️⃣ dy/dx = y/x
🟦 4️⃣ x(dy/dx) + y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6
प्रत्येक मूल-बिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ y = kx के लम्ब समवर्ती पथ (orthogonal trajectories) हैं
🟥 1️⃣ x^2 + y^2 = C
🟩 2️⃣ y = Cx
🟨 3️⃣ xy = C
🟦 4️⃣ x + y = C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 7
dy/dx = (1 + x)/(1 + y) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y + (1/2)y^2 = x + (1/2)x^2 + C
🟩 2️⃣ y − (1/2)y^2 = x + (1/2)x^2 + C
🟨 3️⃣ y + (1/2)y^2 = x − (1/2)x^2 + C
🟦 4️⃣ y − x = C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8
dy/dx + (1/x) y = x का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = x^2/3 + C/x
🟩 2️⃣ y = x^2/2 + C/x
🟨 3️⃣ y = x^2/3 + C x
🟦 4️⃣ y = x^2 + C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 9
प्रश्न 8 वाले समीकरण का विशिष्ट हल यदि y(1) = 1 हो
🟥 1️⃣ y = x^2/3 + (2/3)/x
🟩 2️⃣ y = x^2/3 + (1/3)/x
🟨 3️⃣ y = x^2/2 + (1/2)/x
🟦 4️⃣ y = x^2 + 1/x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10
(d^3y/dx^3) + (dy/dx)^5 = 0 का क्रम और घात हैं
🟥 1️⃣ क्रम 3, घात 1
🟩 2️⃣ क्रम 3, घात 5
🟨 3️⃣ क्रम 5, घात 3
🟦 4️⃣ क्रम 2, घात 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 11
Bernoulli प्रकार dy/dx + (1/x) y = x^2 y^3 को हल करने हेतु उपस्थापन है
🟥 1️⃣ z = y^(−2)
🟩 2️⃣ z = y^2
🟨 3️⃣ z = xy
🟦 4️⃣ z = ln y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12
dy/dx = e^(x + y) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ e^(−y) = e^x + C
🟩 2️⃣ e^y = e^x + C
🟨 3️⃣ y = e^x + C
🟦 4️⃣ y = x e^x + C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 13
समांगी अवकल समीकरण dy/dx = (x + y)/(x − y) के लिए उपस्थापन है
🟥 1️⃣ y = v x
🟩 2️⃣ x = v y
🟨 3️⃣ y = v + x
🟦 4️⃣ x = v + y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14
समूह y = A x + B का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 = 0
🟩 2️⃣ dy/dx = 0
🟨 3️⃣ d^2y/dx^2 = 1
🟦 4️⃣ dy/dx = 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 15
dy/dx − y tan x = sin x का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = (1/2) sec x sin^2 x + C sec x
🟩 2️⃣ y = (1/2) sin^2 x + C
🟨 3️⃣ y = (1/2) cos x + C
🟦 4️⃣ y = C cos x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16
तंत्र y = kx की अवकल समीकरण में स्थिरांक हटाने पर प्राप्त संबंध है
🟥 1️⃣ x dy − y dx = 0
🟩 2️⃣ x dy + y dx = 0
🟨 3️⃣ dy/dx = x/y
🟦 4️⃣ d^2y/dx^2 = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 17
(dy/dx) = (y/x) + x का सामान्य हल कौन-सा है
🟥 1️⃣ y/x = ln x + (1/2) x^2 + C
🟩 2️⃣ y = x ln x + (1/2) x^3 + C x
🟨 3️⃣ y = ln x + x^2 + C
🟦 4️⃣ y = C/x + x^2
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18
यदि d^2y/dx^2 = 0 हो, तो y है
🟥 1️⃣ रैखिक फलन Ax + B
🟩 2️⃣ द्विघात फलन
🟨 3️⃣ घन फलन
🟦 4️⃣ घातांकीय फलन
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 19
dy/dx = (x^2 − 1)/(2y) और बिंदु (1,2) से गुजरता है, विशिष्ट हल का स्थिरांक C (रूप y^2 = (2/3) x^3 − x + C) है
🟥 1️⃣ C = 3
🟩 2️⃣ C = 4
🟨 3️⃣ C = 2
🟦 4️⃣ C = 1
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20
dx/dy + x = y का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ x = y − 1 + C e^(−y)
🟩 2️⃣ x = y + 1 + C e^(−y)
🟨 3️⃣ x = y − 1 + C e^y
🟦 4️⃣ x = y + C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 21
वक्रों का परिवार y^2 = 4a x (पैराबोला, a स्थिर) का अवकल समीकरण (a हटाकर) है
🟥 1️⃣ y dy/dx = 2x
🟩 2️⃣ y dy/dx = 2a
🟨 3️⃣ dy/dx = y/(2x)
🟦 4️⃣ dy/dx = 2x/y
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22
dy/dx = y tan x का सामान्य हल
🟥 1️⃣ y = C sec x
🟩 2️⃣ y = C cos x
🟨 3️⃣ y = C tan x
🟦 4️⃣ y = C sin x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 23
यदि dy/dx = (x + 1)/(y + 1) और y(0) = 0, तो विशिष्ट हल में C का मान (रूप y + (1/2) y^2 = x + (1/2) x^2 + C)
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ −1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24
समूह y = A e^x का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ dy/dx − y = 0
🟩 2️⃣ dy/dx + y = 0
🟨 3️⃣ d^2y/dx^2 − y = 0
🟦 4️⃣ d^2y/dx^2 + y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25
यदि dy/dx = y − 2, तथा y(0) = 2, तो y(x) है
🟥 1️⃣ y = 2
🟩 2️⃣ y = 2 + C e^x
🟨 3️⃣ y = 2 + C e^(−x)
🟦 4️⃣ y = C e^x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26
(d^2y/dx^2)^3 + (dy/dx)^2 = 0 का क्रम और घात हैं
🟥 1️⃣ क्रम 2, घात 2
🟩 2️⃣ क्रम 2, घात 3
🟨 3️⃣ क्रम 3, घात 2
🟦 4️⃣ क्रम 3, घात 3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27
dy/dx + y = 0 का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = C e^x
🟩 2️⃣ y = C e^(−x)
🟨 3️⃣ y = C
🟦 4️⃣ y = x + C
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28
dy/dx + (2/x) y = 3x^2 का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = x^3 + C/x^2
🟩 2️⃣ y = x^3 − C/x^2
🟨 3️⃣ y = x^3/3 + C/x^2
🟦 4️⃣ y = 3x^3 + Cx^2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29
समूह y = A e^x + B e^(−x) का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 − y = 0
🟩 2️⃣ d^2y/dx^2 + y = 0
🟨 3️⃣ dy/dx − y = 0
🟦 4️⃣ dy/dx + y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30
वृत्तों का परिवार x^2 + y^2 = a^2 के लंब समवर्ती पथों (orthogonal trajectories) का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ dy/dx = −x/y
🟩 2️⃣ dy/dx = y/x
🟨 3️⃣ x dy + y dx = 0
🟦 4️⃣ y dy − x dx = 0
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31
dy/dx = y का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = C e^x
🟩 2️⃣ y = C x
🟨 3️⃣ y = C
🟦 4️⃣ y = x + C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32
dy/dx − y = e^{2x} का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = e^{2x} + C e^x
🟩 2️⃣ y = e^{2x} + C e^{−x}
🟨 3️⃣ y = e^{x} + C e^{2x}
🟦 4️⃣ y = e^{x} + C e^{−x}
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33
dy/dx = 3x^2 तथा y(1) = 5 का विशिष्ट हल है
🟥 1️⃣ y = x^3 + 4
🟩 2️⃣ y = x^3 + 2
🟨 3️⃣ y = x^2 + 4
🟦 4️⃣ y = 3x^3 + 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34
d^2y/dx^2 + sqrt(dy/dx) = 0 का घात
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ परिभाषित नहीं
✔️ उत्तर: 4️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35
dy/dx = (x^2 + 1)/(2y) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y^2 = (2/3) x^3 + 2x + C
🟩 2️⃣ y = (1/3) x^3 + x + C
🟨 3️⃣ y^2 = x^3 + 2x + C
🟦 4️⃣ y = (2/3) x^3 + 2x + C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36
समांगी अवकल समीकरण dy/dx = (x^2 + y^2)/(xy) के लिए उपस्थापन है
🟥 1️⃣ y = v x
🟩 2️⃣ x = v y
🟨 3️⃣ y = v + x
🟦 4️⃣ x = v + y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37
समूह y = A e^{k x} का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ dy/dx − k y = 0
🟩 2️⃣ dy/dx + k y = 0
🟨 3️⃣ d^2y/dx^2 − k y = 0
🟦 4️⃣ d^2y/dx^2 + k y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38
dy/dx = (y − 1)/(x + 1) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y − 1 = C (x + 1)
🟩 2️⃣ y + 1 = C (x + 1)
🟨 3️⃣ y = C (x + 1)^2
🟦 4️⃣ y = C/(x + 1)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39
परिवार x^2 + y^2 = 2 a y के अवकल समीकरण (a हटाकर) का सही रूप है
🟥 1️⃣ dy/dx = −y/x
🟩 2️⃣ dy/dx = 2 x y/(x^2 − y^2)
🟨 3️⃣ dy/dx = (x^2 − y^2)/(2 x y)
🟦 4️⃣ x dy + y dx = 0
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40
dy/dx = k y (k नियत) का सामान्य हल
🟥 1️⃣ y = C e^{k x}
🟩 2️⃣ y = C e^{x/k}
🟨 3️⃣ y = C x^k
🟦 4️⃣ y = C k^x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41
d^3y/dx^3 + (d^2y/dx^2)^7 = sin x का क्रम और घात
🟥 1️⃣ क्रम 3, घात 1
🟩 2️⃣ क्रम 3, घात 7
🟨 3️⃣ क्रम 2, घात 7
🟦 4️⃣ क्रम 1, घात 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42
(1 + x^2) dy/dx = 2 x y का सामान्य हल
🟥 1️⃣ y = C (1 + x^2)
🟩 2️⃣ y = C/(1 + x^2)
🟨 3️⃣ y = C e^{x^2}
🟦 4️⃣ y = C x^2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43
dy/dx + (1/x) y = 1 और y(1) = 0 का विशिष्ट हल
🟥 1️⃣ y = (x/2) − 1/(2x)
🟩 2️⃣ y = (x/2) + 1/(2x)
🟨 3️⃣ y = x − 1/x
🟦 4️⃣ y = 1 − 1/x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44
(2x + 3y) dx + (3x + 4y) dy = 0 यह समीकरण है
🟥 1️⃣ सटीक (exact)
🟩 2️⃣ समांगी (homogeneous)
🟨 3️⃣ रैखिक (linear) केवल y में
🟦 4️⃣ Bernoulli
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45
dy/dx = (y + x)/(y − x) समीकरण को हल करने हेतु उपस्थापन
🟥 1️⃣ y = v x
🟩 2️⃣ x = v y
🟨 3️⃣ y = v + x
🟦 4️⃣ x = v + y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46
परिवार y = m x + c के स्थिरांकों को हटाने पर प्राप्त अवकल समीकरण का क्रम
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47
dy/dx = 2x e^{x^2}, y(0) = 3 का विशिष्ट हल
🟥 1️⃣ y = e^{x^2} + 2
🟩 2️⃣ y = e^{x^2} − 2
🟨 3️⃣ y = 2 e^{x^2} + 1
🟦 4️⃣ y = e^{2x} + 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48
dy/dx + 2y = x का सामान्य हल
🟥 1️⃣ y = (x/2) − 1/4 + C e^{−2x}
🟩 2️⃣ y = (x/2) + 1/4 + C e^{2x}
🟨 3️⃣ y = x − 2 + C e^{−2x}
🟦 4️⃣ y = x/2 + C e^{−x}
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49
dy/dx = x/y तथा y(0) = 1 का विशिष्ट हल
🟥 1️⃣ y = sqrt(x^2 + 1)
🟩 2️⃣ y = x^2 + 1
🟨 3️⃣ y = 1/(x^2 + 1)
🟦 4️⃣ y = x + 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50
Bernoulli समीकरण dy/dx + (2/x) y = x y^2 को रैखिकीकरण हेतु उपस्थापन
🟥 1️⃣ z = 1/y
🟩 2️⃣ z = y^2
🟨 3️⃣ z = x y
🟦 4️⃣ z = ln y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
(d^2y/dx^2) + (dy/dx)^2 + y = 0 का क्रम और घात हैं
🟥 1️⃣ क्रम 2, घात 1
🟩 2️⃣ क्रम 2, घात 2
🟨 3️⃣ क्रम 1, घात 2
🟦 4️⃣ क्रम 3, घात 2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2
dy/dx + y = e^x का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = (1/2) e^x + C e^(−x)
🟩 2️⃣ y = e^x + C
🟨 3️⃣ y = (1/2) e^(−x) + C e^x
🟦 4️⃣ y = C e^(−x)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3
dy/dx = 1 + (y/x) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = x ln x + C x
🟩 2️⃣ y = ln x + C
🟨 3️⃣ y = x^2 + C
🟦 4️⃣ y = C/x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4
रेखाओं के समूह y = C x का अवकल समीकरण (स्थिरांक हटाकर) है
🟥 1️⃣ x dy − y dx = 0
🟩 2️⃣ x dy + y dx = 0
🟨 3️⃣ dy/dx = x/y
🟦 4️⃣ d^2y/dx^2 = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5
समूह y = A e^(2x) + B e^(−2x) का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 − 4 y = 0
🟩 2️⃣ d^2y/dx^2 + 4 y = 0
🟨 3️⃣ dy/dx − 2 y = 0
🟦 4️⃣ dy/dx + 2 y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6
मूल-बिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ y = k x के लंब समवर्ती पथ हैं
🟥 1️⃣ x^2 + y^2 = C
🟩 2️⃣ x y = C
🟨 3️⃣ y = C x
🟦 4️⃣ x + y = C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7
Bernoulli समीकरण dy/dx + (2/x) y = x y^2 को रैखिकीकरण हेतु उपस्थापन
🟥 1️⃣ z = 1/y
🟩 2️⃣ z = y^2
🟨 3️⃣ z = x y
🟦 4️⃣ z = ln y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8
(2 x y + y^2) dx + (x^2 + 2 x y) dy = 0 यह समीकरण है
🟥 1️⃣ सटीक (exact)
🟩 2️⃣ समांगी (homogeneous)
🟨 3️⃣ केवल y में रैਖिक
🟦 4️⃣ Bernoulli
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9
dy/dx = (1 + x)/(1 + y) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y + (1/2) y^2 = x + (1/2) x^2 + C
🟩 2️⃣ y − (1/2) y^2 = x + (1/2) x^2 + C
🟨 3️⃣ y + (1/2) y^2 = x − (1/2) x^2 + C
🟦 4️⃣ y − x = C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10
Clairaut प्रकार y = C x + C^2 से प्राप्त अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ y = x (dy/dx) + (dy/dx)^2
🟩 2️⃣ y = (dy/dx)
🟨 3️⃣ d^2y/dx^2 = 0
🟦 4️⃣ dy/dx = x + y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11
dy/dx + y = 0, तथा y(0) = 2 का विशिष्ट हल है
🟥 1️⃣ y = 2 e^(−x)
🟩 2️⃣ y = 2 e^x
🟨 3️⃣ y = 2
🟦 4️⃣ y = e^(−x)
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12
(d^3y/dx^3)^2 + (dy/dx)^5 = 0 का क्रम और घात
🟥 1️⃣ क्रम 3, घात 2
🟩 2️⃣ क्रम 5, घात 3
🟨 3️⃣ क्रम 2, घात 5
🟦 4️⃣ क्रम 3, घात 1
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13
dy/dx = e^(x + y) का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ e^(−y) + e^x = C
🟩 2️⃣ e^y + e^x = C
🟨 3️⃣ y = e^x + C
🟦 4️⃣ y = x e^x + C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14
समांगी अवकल समीकरण dy/dx = (x + y)/(x − y) के लिए उपस्थापन
🟥 1️⃣ y = v x
🟩 2️⃣ x = v y
🟨 3️⃣ y = v + x
🟦 4️⃣ x = v + y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15
समूह y = A sin x + B cos x का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 + y = 0
🟩 2️⃣ d^2y/dx^2 − y = 0
🟨 3️⃣ dy/dx + y = 0
🟦 4️⃣ dy/dx − y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16
वृत्तों का परिवार x^2 + y^2 = a^2 के लंब समवर्ती पथ हैं
🟥 1️⃣ y = C x
🟩 2️⃣ x y = C
🟨 3️⃣ y = C/x
🟦 4️⃣ x + y = C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17
समूह y = A e^(k x) (A, k स्थिर) से A हटाने पर अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ dy/dx = k y
🟩 2️⃣ dy/dx = y/k
🟨 3️⃣ d^2y/dx^2 = k y
🟦 4️⃣ d^2y/dx^2 = y/k
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18
(d^3y/dx^3) + (dy/dx)^2 = 0 का क्रम और घात हैं
🟥 1️⃣ क्रम 3, घात 1
🟩 2️⃣ क्रम 3, घात 2
🟨 3️⃣ क्रम 2, घात 1
🟦 4️⃣ क्रम 1, घात 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19
dy/dx − y = e^{2x} का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = e^{2x} + C e^{x}
🟩 2️⃣ y = e^{2x} + C e^{−x}
🟨 3️⃣ y = e^{x} + C e^{2x}
🟦 4️⃣ y = C e^{x}
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20
वृत्तों का परिवार x^2 + y^2 = a^2 के लंब समवर्ती पथ हैं
🟥 1️⃣ y = C x
🟩 2️⃣ xy = C
🟨 3️⃣ x + y = C
🟦 4️⃣ y = C/x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21
(2x − y) dx + (x − 2y) dy = 0 यह समीकरण है
🟥 1️⃣ सटीक (exact)
🟩 2️⃣ समांगी (homogeneous)
🟨 3️⃣ रैखिक केवल y में
🟦 4️⃣ Bernoulli
✔️ उत्तर: 2️⃣
📅 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22
Bernoulli समीकरण dy/dx + (2/x) y = y^2 को रैखिकीकरण हेतु उपस्थापन
🟥 1️⃣ z = 1/y
🟩 2️⃣ z = y^2
🟨 3️⃣ z = x y
🟦 4️⃣ z = ln y
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23
समूह y = A cos x + B sin x का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 + y = 0
🟩 2️⃣ d^2y/dx^2 − y = 0
🟨 3️⃣ dy/dx + y = 0
🟦 4️⃣ dy/dx − y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24
Euler–Cauchy समीकरण x^2 y” + x y’ − y = 0 का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = C1 x + C2 / x
🟩 2️⃣ y = C1 e^{x} + C2 e^{−x}
🟨 3️⃣ y = C1 x^2 + C2
🟦 4️⃣ y = C1 ln x + C2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25
d^2y/dx^2 + (dy/dx)^{2/3} = 0 का घात
🟥 1️⃣ परिभाषित नहीं (non-polynomial)
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26
dy/dx − (1/x) y = x^2 तथा y(1) = 0 का विशिष्ट हल है
🟥 1️⃣ y = (x/2)(x^2 − 1)
🟩 2️⃣ y = (x/3)(x^2 − 1)
🟨 3️⃣ y = x^3/2 + x
🟦 4️⃣ y = x^3/2 − x^2/2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27
(y + x) dx + x dy = 0 का हल है
🟥 1️⃣ xy + (1/2) x^2 = C
🟩 2️⃣ x^2 + y^2 = C
🟨 3️⃣ y/x = C
🟦 4️⃣ y + (1/2) y^2 = C
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28
dy/dx = (2x)/(1 + y^2), y(0) = 0 का विशिष्ट हल है
🟥 1️⃣ y + (1/3) y^3 = x^2
🟩 2️⃣ y^2 = x^2
🟨 3️⃣ y = x^2
🟦 4️⃣ y^2 + (1/3) y^4 = x^2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29
(d^2y/dx^2)^2 + sin(dy/dx) = 0 का क्रम/घात
🟥 1️⃣ क्रम 2, घात परिभाषित नहीं
🟩 2️⃣ क्रम 2, घात 2
🟨 3️⃣ क्रम 1, घात 1
🟦 4️⃣ क्रम 3, घात परिभाषित नहीं
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30
x dy/dx + y = x^2 का सामान्य हल है
🟥 1️⃣ y = x^2/3 + C/x
🟩 2️⃣ y = x^2/2 + C/x^2
🟨 3️⃣ y = x^3/3 + C
🟦 4️⃣ y = x^2 + C x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31
समूह y = A e^{k x} + B e^{−k x} (A,B स्थिर) का अवकल समीकरण है
🟥 1️⃣ d^2y/dx^2 − k^2 y = 0
🟩 2️⃣ d^2y/dx^2 + k y = 0
🟨 3️⃣ dy/dx − k y = 0
🟦 4️⃣ dy/dx + k y = 0
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32
dy/dx = y tan x का सामान्य हल
🟥 1️⃣ y = C sec x
🟩 2️⃣ y = C cos x
🟨 3️⃣ y = C tan x
🟦 4️⃣ y = C sin x
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33
dy/dx = k y (k नियत) का सामान्य हल
🟥 1️⃣ y = C e^{k x}
🟩 2️⃣ y = C x^k
🟨 3️⃣ y = C e^{x/k}
🟦 4️⃣ y = C k^{x}
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34
Clairaut प्रकार y = C x + C^2 का singular हल है
🟥 1️⃣ y = −(1/4) x^2
🟩 2️⃣ y = (1/4) x^2
🟨 3️⃣ y = −(1/2) x^2
🟦 4️⃣ y = x^2
✔️ उत्तर: 1️⃣
📅 JEE Advanced 2015 – Paper 2
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प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट
🔵 प्रश्न 1: अवकल समीकरण dy/dx + y = 0 का सामान्य हल है
🔵 (A) y = Ceˣ
🟢 (B) y = Ce⁻ˣ
🟠 (C) y = e⁻ˣ + C
🔴 (D) y = eˣ + C
उत्तर: (B) y = Ce⁻ˣ
🔵 प्रश्न 2: अवकल समीकरण d²y/dx² + 5y = 0 की कोटि है
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (C) 2
🔵 प्रश्न 3: यदि dy/dx = 3x², तो इसका हल होगा
🔵 (A) y = x³ + C
🟢 (B) y = 3x³ + C
🟠 (C) y = x² + C
🔴 (D) y = 3x + C
उत्तर: (A) y = x³ + C
🔵 प्रश्न 4: अवकल समीकरण dy/dx = y/x है
🔵 (A) पृथक्करण योग्य
🟢 (B) रेखीय
🟠 (C) समरूपी
🔴 (D) उपरोक्त सभी
उत्तर: (D) उपरोक्त सभी
🔵 प्रश्न 5: अवकल समीकरण dy/dx + Py = Q का गुणन गुणक (Integrating Factor) है
🔵 (A) e^(∫Q dx)
🟢 (B) e^(∫P dx)
🟠 (C) 1/∫P dx
🔴 (D) (∫P dx)²
उत्तर: (B) e^(∫P dx)
🔵 प्रश्न 6: अवकल समीकरण (d²y/dx²)² + y = 0 की घात है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) 3
🔴 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (B) 2
🔵 प्रश्न 7: दो नियतांकों C₁, C₂ युक्त सामान्य हल वाला समीकरण न्यूनतम किस कोटि का होगा?
🔵 (A) 0
🟢 (B) 1
🟠 (C) 2
🔴 (D) 3
उत्तर: (C) 2
🔵 प्रश्न 8: यदि y = Ce²ˣ, तो dy/dx होगा
🔵 (A) 2Ceˣ
🟢 (B) Ce²ˣ
🟠 (C) 2Ce²ˣ
🔴 (D) 2e²ˣ
उत्तर: (C) 2Ce²ˣ
🔵 प्रश्न 9: यदि y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ, तो इसके अनुरूप अवकल समीकरण होगा
🔵 (A) d²y/dx² + y = 0
🟢 (B) d²y/dx² − y = 0
🟠 (C) dy/dx − y = 0
🔴 (D) dy/dx + y = 0
उत्तर: (B) d²y/dx² − y = 0
🔵 प्रश्न 10: यदि dy/dx = k (k नियतांक), तो सामान्य हल होगा
🔵 (A) y = kx + C
🟢 (B) y = eᵏˣ + C
🟠 (C) y = k + Cx
🔴 (D) y = C eᵏ
उत्तर: (A) y = kx + C
🔵 प्रश्न 11: अवकल समीकरण dy/dx + y tan x = 0 का गुणन गुणक है
🔵 (A) sin x
🟢 (B) cos x
🟠 (C) sec x
🔴 (D) eˣ
उत्तर: (C) sec x
🔵 प्रश्न 12: प्रथम कोटि का रेखीय अवकल समीकरण सामान्यतः लिखा जाता है
🔵 (A) dy/dx = f(x)g(y)
🟢 (B) dy/dx + P(x)y = Q(x)
🟠 (C) dy/dx = F(y/x)
🔴 (D) (dy/dx)² + y = 0
उत्तर: (B) dy/dx + P(x)y = Q(x)
🔵 प्रश्न 13: यदि dy/dx = 0 है, तो y होगा
🔵 (A) बढ़ता हुआ
🟢 (B) घटता हुआ
🟠 (C) स्थिर
🔴 (D) दोलायमान
उत्तर: (C) स्थिर
🔵 प्रश्न 14: यदि dy/dx = f(x), तो सामान्य हल होगा
🔵 (A) y = f(x) + C
🟢 (B) y = ∫f(x) dx + C
🟠 (C) y = C e^{f(x)}
🔴 (D) y = f′(x) + C
उत्तर: (B) y = ∫f(x) dx + C
🔵 प्रश्न 15: dy/dx = (x + y)/(x − y) को रेखीय बनाने हेतु प्रतिस्थापन है
🔵 (A) x = vy
🟢 (B) y = vx
🟠 (C) y = v/x
🔴 (D) v = x + y
उत्तर: (B) y = vx
🔵 प्रश्न 16: यदि y = Cx, तो dy/dx होगा
🔵 (A) C
🟢 (B) x
🟠 (C) y/x
🔴 (D) (A) तथा (C) दोनों
उत्तर: (D) (A) तथा (C) दोनों
🔵 प्रश्न 17: अवकल समीकरण dy/dx + y = 0, शर्त y(0) = 2 का हल होगा
🔵 (A) y = 2eˣ
🟢 (B) y = 2e⁻ˣ
🟠 (C) y = e⁻ˣ
🔴 (D) y = eˣ
उत्तर: (B) y = 2e⁻ˣ
🔵 प्रश्न 18: तीसरी कोटि के अवकल समीकरण में उच्चत्तम अवकलज होगा
🔵 (A) d²y/dx²
🟢 (B) d³y/dx³
🟠 (C) (dy/dx)²
🔴 (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) d³y/dx³
🔵 प्रश्न 19: यदि हल है y = A e⁻ˣ + B e⁻²ˣ, तो इसका अनुरूप समीकरण होगा
🔵 (A) (D + 1)(D + 2)y = 0
🟢 (B) (D − 1)(D − 2)y = 0
🟠 (C) (D² − 3D + 2)y = 0
🔴 (D) (D² + 3D + 2)y = 0
उत्तर: (D) (D² + 3D + 2)y = 0
🔵 प्रश्न 20: dy/dx = y, तथा y(0) = 5, तो हल होगा
🔵 (A) y = 5e⁻ˣ
🟢 (B) y = 5eˣ
🟠 (C) y = eˣ + 5
🔴 (D) y = 5 + x
उत्तर: (B) y = 5eˣ
🔷 Q21–Q40 : JEE Main स्तर
🔵 प्रश्न 21: अवकल समीकरण dy/dx + (2/x)y = 0, शर्त y(1) = 3 के लिए हल है
🔵 (A) y = 3x²
🟢 (B) y = 3/x²
🟠 (C) y = 3x⁻²
🔴 (D) (B) और (C) दोनों
उत्तर: (D) (B) और (C) दोनों
🔵 प्रश्न 22: अवकल समीकरण dy/dx = (x + y)/x का हल है
🔵 (A) y = x log x + Cx
🟢 (B) y = x log|y| + C
🟠 (C) y = log x + C
🔴 (D) y = x²/2 + C
उत्तर: (A) y = x log x + Cx
🔵 प्रश्न 23: dy/dx + y tan x = sec x का गुणन गुणक है
🔵 (A) cos x
🟢 (B) sec x
🟠 (C) sin x
🔴 (D) e^{tan x}
उत्तर: (B) sec x
🔵 प्रश्न 24: यदि dy/dx − y = eˣ, तथा y(0) = 0, तो y(1) का मान है
🔵 (A) e − 1
🟢 (B) e/2
🟠 (C) e − 1/2
🔴 (D) 1
उत्तर: (A) e − 1
🔵 प्रश्न 25: y = Cx² से निर्मित अवकल समीकरण है
🔵 (A) dy/dx = 2y/x
🟢 (B) dy/dx = y/x
🟠 (C) d²y/dx² = 0
🔴 (D) dy/dx = 2x
उत्तर: (A) dy/dx = 2y/x
🔵 प्रश्न 26: रेखीय अवकल समीकरण dy/dx + P(x)y = Q(x) का सामान्य हल है
🔵 (A) y·IF = ∫Q dx + C
🟢 (B) y·IF = ∫(Q·IF) dx + C
🟠 (C) y = ∫(Q/IF) dx + C
🔴 (D) y = Q·IF + C
उत्तर: (B) y·IF = ∫(Q·IF) dx + C
🔵 प्रश्न 27: Bernoulli समीकरण dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ (n ≠ 1) को रेखीय बनाने हेतु प्रतिस्थापन है
🔵 (A) v = yⁿ
🟢 (B) v = y¹⁻ⁿ
🟠 (C) v = y⁻¹
🔴 (D) v = yⁿ⁻¹
उत्तर: (B) v = y¹⁻ⁿ
🔵 प्रश्न 28: dy/dx = (x + y)/(x − y) को y = vx रखने पर रेखीय रूप में P(x) है
🔵 (A) 1/x
🟢 (B) −1/x
🟠 (C) 2/x
🔴 (D) v/x
उत्तर: (C) 2/x
🔵 प्रश्न 29: dy/dx + (2/x)y = x² का गुणन गुणक है
🔵 (A) x
🟢 (B) x²
🟠 (C) eˣ
🔴 (D) 1/x²
उत्तर: (B) x²
🔵 प्रश्न 30: यदि dy/dx = eˣ − y, तथा y(0) = 0, तो y(1) होगा
🔵 (A) e − 1
🟢 (B) e/2
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1 − e⁻¹
उत्तर: (D) 1 − e⁻¹
🔵 प्रश्न 31: dy/dx + y tan x = sin x के लिए गुणन गुणक है
🔵 (A) cos x
🟢 (B) sec x
🟠 (C) e^{sin x}
🔴 (D) sin x
उत्तर: (B) sec x
🔵 प्रश्न 32: यदि y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ, तो इसके अनुरूप समीकरण है
🔵 (A) d²y/dx² + y = 0
🟢 (B) d²y/dx² − y = 0
🟠 (C) dy/dx − y = 0
🔴 (D) dy/dx + y = 0
उत्तर: (B) d²y/dx² − y = 0
🔵 प्रश्न 33: (d²y/dx²)² + y = 0 की घात है
🔵 (A) 1
🟢 (B) 2
🟠 (C) परिभाषित नहीं
🔴 (D) 0
उत्तर: (B) 2
🔵 प्रश्न 34: dy/dx = f(x)g(y) के लिए उपयुक्त विधि है
🔵 (A) रेखीय
🟢 (B) समरूपी
🟠 (C) चर पृथक्करण
🔴 (D) अन्य कोई नहीं
उत्तर: (C) चर पृथक्करण
🔵 प्रश्न 35: dy/dx + y = x·eˣ का सामान्य हल है
🔵 (A) y = (x − 1/2)eˣ + Ce⁻ˣ
🟢 (B) y = (x − 1)eˣ + Ce⁻ˣ
🟠 (C) y = (x + 1)eˣ + Ce⁻ˣ
🔴 (D) y = eˣ + C
उत्तर: (A) y = (x − 1/2)eˣ + Ce⁻ˣ
🔵 प्रश्न 36: dy/dx = (y/x) + x को हल करने हेतु उपयुक्त प्रतिस्थापन है
🔵 (A) x = vy
🟢 (B) y = vx
🟠 (C) v = x/y
🔴 (D) v = yx
उत्तर: (B) y = vx
🔵 प्रश्न 37: dy/dx + (1/x)y = 0, तथा y(1) = 3 का हल है
🔵 (A) y = 3x
🟢 (B) y = 3/x
🟠 (C) y = 3x²
🔴 (D) y = 3/x²
उत्तर: (B) y = 3/x
🔵 प्रश्न 38: यदि y = Cx², तो निर्मित अवकल समीकरण है
🔵 (A) dy/dx = 2y/x
🟢 (B) dy/dx = y/x
🟠 (C) d²y/dx² = 0
🔴 (D) dy/dx = 2x + C
उत्तर: (A) dy/dx = 2y/x
🔵 प्रश्न 39: d²y/dx² − 3 dy/dx + 2y = 0 का सामान्य हल है
🔵 (A) y = C₁eˣ + C₂e²ˣ
🟢 (B) y = C₁e⁻ˣ + C₂e⁻²ˣ
🟠 (C) y = C₁e²ˣ + C₂e³ˣ
🔴 (D) y = C₁ + C₂e²ˣ
उत्तर: (A) y = C₁eˣ + C₂e²ˣ
🔵 प्रश्न 40: dy/dx + (2/x)y = 1/x² का गुणन गुणक और सामान्य हल क्रमशः हैं
🔵 (A) x², y = 1/x + C/x²
🟢 (B) x², y = ln x + C/x²
🟠 (C) x, y = 1/x + C/x
🔴 (D) 1/x², y = x + Cx²
उत्तर: (A) x², y = 1/x + C/x²
🔷 Q41–Q50 : JEE Advanced स्तर
🔵 प्रश्न 41: y′ = y/x + x·e^{x²} का हल रेखीय रूप में प्राप्त होगा
🔵 (A) y = vx
🟢 (B) गुणन गुणक विधि
🟠 (C) v = y²
🔴 (D) x = vy
उत्तर: (B) गुणन गुणक विधि
🔵 प्रश्न 42: y′ − y/x = x, शर्त y(1) = 0 के लिए C का मान है
🔵 (A) −1/2
🟢 (B) −1
🟠 (C) 0
🔴 (D) 1/2
उत्तर: (A) −1/2
🔵 प्रश्न 43: d²y/dx² = y, शर्तें y(0) = 2, y′(0) = 0 के लिए हल है
🔵 (A) y = 2cosh x
🟢 (B) y = 2sinh x
🟠 (C) y = cosh x
🔴 (D) y = 2eˣ
उत्तर: (A) y = 2cosh x
🔵 प्रश्न 44: d²y/dx² + y = 0, शर्तें y(0) = 0, y′(0) = 1, का हल है
🔵 (A) y = sin x
🟢 (B) y = cos x
🟠 (C) y = eˣ
🔴 (D) y = sinh x
उत्तर: (A) y = sin x
🔵 प्रश्न 45: Bernoulli समीकरण y′ + y = y² के रेखीयकरण हेतु प्रतिस्थापन
🔵 (A) v = y⁰
🟢 (B) v = y⁻¹
🟠 (C) v = y
🔴 (D) v = y²
उत्तर: (B) v = y⁻¹
🔵 प्रश्न 46: y′ = (y + x)² हेतु उपयुक्त प्रतिस्थापन है
🔵 (A) प्रत्यक्ष समाकलन
🟢 (B) Bernoulli रूप
🟠 (C) z = y + x
🔴 (D) रेखीय रूप
उत्तर: (C) z = y + x
🔵 प्रश्न 47: d²y/dx² − y = 0 का सामान्य हल है
🔵 (A) y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
🟢 (B) y = C₁cos x + C₂sin x
🟠 (C) y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
🔴 (D) y = C₁ + C₂x
उत्तर: (A) y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
🔵 प्रश्न 48: y′ + (1/x)y = x का हल x > 0 के लिए है
🔵 (A) घटता
🟢 (B) पहले घटता फिर बढ़ता
🟠 (C) बढ़ता
🔴 (D) दोलायमान
उत्तर: (C) बढ़ता
🔵 प्रश्न 49: y′ = y(1 − y) एक logistic समीकरण है; उपयुक्त विधि
🔵 (A) चर पृथक्करण
🟢 (B) समरूपी
🟠 (C) रेखीय
🔴 (D) द्वितीय कोटि स्थिर गुणांक
उत्तर: (A) चर पृथक्करण
🔵 प्रश्न 50: d²y/dx² + 2 dy/dx + y = 0 के चरित्रिक मूल हैं
🔵 (A) −1, −1 (दोहरा मूल)
🟢 (B) 1, 1
🟠 (C) −2, −1
🔴 (D) ±i
उत्तर: (A) −1, −1 (दोहरा मूल)
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