Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 4: सारणिक
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
✳️ व्याख्या (Explanation)
🔵 परिचय (Introduction)
सारणिक (Determinant) एक वर्ग आव्यूह से जुड़ी संख्या है, जो उस आव्यूह की विशिष्टता को दर्शाती है।
यदि कोई आव्यूह A कोटि n × n का है, तो उससे एक संख्या |A| निकाली जा सकती है, जिसे A का सारणिक कहा जाता है।
🟢 1️⃣ कोटि 1 का सारणिक
यदि
A = [a₁₁]
➡️ तो |A| = a₁₁
✏️ नोट: 1×1 आव्यूह का सारणिक स्वयं उसका अवयव होता है।
🟢 2️⃣ कोटि 2 का सारणिक
यदि
A = ⎡a₁₁ a₁₂⎤
⎣a₂₁ a₂₂⎦
➡️ तो |A| = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
💡 सारांश:
✔️ मुख्य विकर्ण का गुणनफल – a₁₁ × a₂₂
✔️ सह विकर्ण का गुणनफल – a₁₂ × a₂₁
➡️ सारणिक = मुख्य विकर्ण गुणनफल − सह विकर्ण गुणनफल
🟢 3️⃣ कोटि 3 का सारणिक
यदि
A = ⎡a₁₁ a₁₂ a₁₃⎤
⎢a₂₁ a₂₂ a₂₃⎥
⎣a₃₁ a₃₂ a₃₃⎦
➡️ विस्तार (Expansion) किसी भी पंक्ति या स्तम्भ से:
|A| = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)
✏️ नोट:
हर अवयव × उसके सह-अवयव से होता है।
संकेत क्रम: + − + (पहली पंक्ति हेतु)
🟢 4️⃣ उपसारणिक (Minor)
किसी अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक वह सारणिक होता है, जो उस अवयव की पंक्ति और स्तम्भ हटाने पर शेष बची उप-आव्यूह से प्राप्त होता है।
उदाहरण:
a₁₂ का उपसारणिक = वह 2×2 सारणिक जो पहली पंक्ति और दूसरी स्तम्भ हटाने पर बचता है।
🟢 5️⃣ सह-अवयव (Cofactor)
किसी अवयव aᵢⱼ का सह-अवयव =
Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) × उपसारणिक (Mᵢⱼ)
💡 संबंध:
Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) × उपसारणिक
🟢 6️⃣ सारणिक का विस्तार
किसी भी पंक्ति या स्तम्भ से विस्तार किया जा सकता है:
|A| = Σ aᵢⱼ × Cᵢⱼ
✔️ सभी विस्तार समान परिणाम देते हैं।
🟢 7️⃣ सारणिक के गुणधर्म (Properties)
1️⃣ दो पंक्तियाँ या स्तम्भ समान हों ⇒ |A| = 0
2️⃣ किसी पंक्ति/स्तम्भ को किसी अदिश k से गुणा करें ⇒ नया सारणिक = k × पुराना
3️⃣ किसी पंक्ति को अन्य में जोड़ने/घटाने पर मान नहीं बदलता
4️⃣ |Aᵀ| = |A|
5️⃣ किसी पंक्ति/स्तम्भ के सभी अवयव 0 ⇒ |A| = 0
🟢 8️⃣ त्रिकोणीय आव्यूह का सारणिक
ऊर्ध्व या अधो त्रिकोणीय आव्यूह में
➡️ |A| = विकर्ण अवयवों का गुणनफल
उदाहरण:
A = ⎡2 3 1⎤
⎢0 5 4⎥
⎣0 0 6⎦
➡️ |A| = 2 × 5 × 6 = 60
🟢 9️⃣ सारणिक के अनुप्रयोग (Applications)
🔹 (i) रैखिक समीकरणों का हल – क्रेमर का नियम
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
➡️ D = |aᵢⱼ|
➡️ Dₓ, Dᵧ, D_z = संबंधित स्तम्भ को नियतांकों से बदलें
➡️ x = Dₓ / D, y = Dᵧ / D, z = D_z / D
🔹 (ii) रेखीयता की शर्त:
|
x₁ y₁ 1
x₂ y₂ 1
x₃ y₃ 1
| = 0 ⇒ तीनों बिंदु एक रेखा पर
🟢 10️⃣ प्रतिलोम आव्यूह (Inverse Matrix)
|A| ≠ 0 ⇒
A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
जहाँ adj(A) = सह-अवयव आव्यूह का अनुपरिवर्तन
🟢 11️⃣ क्षेत्रफल सूत्र
त्रिभुज के तीन बिंदुओं के लिए:
Δ = (1/2) × |
x₁ y₁ 1
x₂ y₂ 1
x₃ y₃ 1
|
Δ = 0 ⇒ बिंदु रेखीय
🟢 12️⃣ सारणिक का शून्य/अशून्य अर्थ
|A| = 0 ⇒ A एकवाची (Singular)
|A| ≠ 0 ⇒ A अनैकवाची (Non-Singular)
📘 सारांश (Summary) (~300 शब्द)
🔹 सारणिक: वर्ग आव्यूह से प्राप्त संख्या
🔹 कोटि 2: |A| = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
🔹 कोटि 3: विस्तार पंक्ति/स्तम्भ से
🔹 उपसारणिक: अवयव हटाकर प्राप्त उप-सारणिक
🔹 सह-अवयव: (−1)^(i+j) × उपसारणिक
🔹 गुणधर्म:
1️⃣ समान पंक्ति ⇒ |A| = 0
2️⃣ गुणक से गुणन ⇒ सारणिक गुणक से गुणा
3️⃣ |Aᵀ| = |A|
4️⃣ त्रिकोणीय ⇒ विकर्ण गुणनफल
🔹 अनुप्रयोग:
✔️ क्रेमर का नियम
✔️ क्षेत्रफल
✔️ रेखीयता जाँच
✔️ प्रतिलोम आव्यूह
|A| = 0 ⇒ A एकवाची
|A| ≠ 0 ⇒ A अनैकवाची
📝 Quick Recap (100 शब्द)
🌿 सारणिक: वर्ग आव्यूह से संख्या
⚡ कोटि 2: ad − bc
🧠 कोटि 3: विस्तार पंक्ति/स्तम्भ से
✔️ उपसारणिक: अवयव हटाकर उप-सारणिक
✔️ सह-अवयव: (−1)^(i+j) × उपसारणिक
✔️ गुणधर्म:
• समान पंक्ति ⇒ 0
• |Aᵀ| = |A|
• त्रिकोणीय ⇒ विकर्ण गुणनफल
💡 अनुप्रयोग:
• क्रेमर नियम
• क्षेत्रफल
• रेखीयता
🔴 |A| = 0 ⇒ एकवाची
🟢 |A| ≠ 0 ⇒ प्रतिलोम संभव
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 4.1
🔷 प्रश्न 1
1 से 2 तक में सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए
🔹 (i)
| 2 4 |
| −5 −1 |
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1: 2×2 सारणिक के लिए सूत्र
|a b|
|c d| = ad − bc
🧠 चरण 2:
= (2 × (−1)) − (4 × (−5))
= (−2) + 20
= 18
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 18
🔷 प्रश्न 2
(i)
| cos θ −sin θ |
| sin θ cos θ |
🟢 उत्तर:
🧠 चरण 1:
= (cos θ)(cos θ) − (−sin θ)(sin θ)
= cos² θ + sin² θ
= 1
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 1
(ii)
| x² − x + 1 x − 1 |
| x + 1 x + 1 |
🟢 उत्तर:
= (x² − x + 1)(x + 1) − (x − 1)(x + 1)
= (x³ + x² − x² − x + x + 1) − (x² − 1)
= (x³ + 1) − (x² − 1)
= x³ − x² + 2
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = x³ − x² + 2
🔷 प्रश्न 3
यदि A =
| 1 2 |
| 4 2 |
तो दिखाइए कि |2A| = 4|A|
🟢 उत्तर:
🧠 चरण 1:
|A| = (1)(2) − (4)(2) = 2 − 8 = −6
🧠 चरण 2:
|2A| = 2² × |A| = 4 × (−6) = −24
🧠 चरण 3:
4|A| = 4 × (−6) = −24
✔️ सिद्ध हुआ कि |2A| = 4|A|
🔷 प्रश्न 4
यदि A =
| 1 0 1 |
| 0 1 2 |
| 0 0 4 |
तो दिखाइए कि |3A| = 27|A|
🟢 उत्तर:
🧠 चरण 1:
|A| = 1 × 1 × 4 = 4 (त्रिकोणीय सारणिक)
🧠 चरण 2:
|3A| = 3³ × |A| = 27 × 4 = 108
🧠 चरण 3:
27|A| = 27 × 4 = 108
✔️ सिद्ध हुआ कि |3A| = 27|A|
🔷 प्रश्न 5
निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए
(i)
| 3 −1 −2 |
| 0 0 −1 |
| 3 −5 0 |
🟢 उत्तर:
= 3(0×0 − (−1)(−5)) − (−1)(0×0 − (−1)×3) + (−2)(0×(−5) − 0×3)
= 3(0 − 5) + 1(0 − (−3)) + (−2)(0 − 0)
= 3(−5) + 1(3) + 0
= −15 + 3 = −12
✔️ अंतिम उत्तर: −12
(ii)
| 3 −4 5 |
| 1 1 −2 |
| 2 3 1 |
🟢 उत्तर:
= 3(1×1 − (−2)×3) − (−4)(1×1 − (−2)×2) + 5(1×3 − 1×2)
= 3(1 + 6) + 4(1 + 4) + 5(3 − 2)
= 3×7 + 4×5 + 5×1
= 21 + 20 + 5 = 46
✔️ अंतिम उत्तर: 46
(iii)
| 0 1 2 |
| −1 0 −3 |
| −2 3 0 |
🟢 उत्तर:
= 0(0×0 − (−3)×3) − 1((−1)×0 − (−3)×(−2)) + 2((−1)×3 − 0×(−2))
= 0(0 + 9) − 1(0 − 6) + 2(−3 − 0)
= 0 − (−6) + (−6)
= 6 − 6 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: 0
(iv)
| 2 −1 −2 |
| 0 2 −1 |
| 3 −5 0 |
🟢 उत्तर:
= 2(2×0 − (−1)×(−5)) − (−1)(0×0 − (−1)×3) + (−2)(0×(−5) − 2×3)
= 2(0 − 5) + 1(0 + 3) + (−2)(0 − 6)
= (−10) + 3 + 12 = 5
✔️ अंतिम उत्तर: 5
🔵 प्रश्न 6.
यदि
A =
[
1 1 2
2 1 3
5 4 9
]
हो, तो |A| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1: |A| =
1 × (1×9 − 3×4) − 1 × (2×9 − 3×5) + 2 × (2×4 − 1×5)
🧮 चरण 2:
= 1 × (9 − 12) − 1 × (18 − 15) + 2 × (8 − 5)
= 1 × (−3) − 1 × (3) + 2 × (3)
= −3 − 3 + 6 = 0
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 0
🔵 प्रश्न 7.
x के मान ज्ञात कीजिए यदि
(i)
| 2 4 |
| 5 1 |
| 2x 4 |
| 6 x |
🟢 उत्तर (i):
🧠 चरण 1:
LHS = 2×1 − 4×5 = 2 − 20 = −18
RHS = 2x×x − 4×6 = 2x² − 24
🔹 समीकरण: 2x² − 24 = −18
➡️ 2x² = 6
➡️ x² = 3
➡️ x = ±√3
✔️ अंतिम उत्तर: x = ±√3
(ii)
| 2 3 |
| 4 5 |
| x 3 |
| 2x 5 |
🟢 उत्तर (ii):
LHS = 2×5 − 3×4 = 10 − 12 = −2
RHS = x×5 − 3×2x = 5x − 6x = −x
🔹 समीकरण: −x = −2
➡️ x = 2
✔️ अंतिम उत्तर: x = 2
🔵 प्रश्न 8.
यदि
| x 2 |
| 18 x |
| 6 2 |
| 18 6 |
तो x बराबर है:
🟢 उत्तर:
🧩 चरण 1:
LHS = x×x − 2×18 = x² − 36
RHS = 6×6 − 2×18 = 36 − 36 = 0
🔹 समीकरण: x² − 36 = 0
➡️ x² = 36
➡️ x = ±6
✔️ अंतिम उत्तर: x = ±6
✅ सही विकल्प: (B) ±6
🧾 प्रश्नावली 4.2
🔵 प्रश्न 1
निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शिखर बिंदुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
🟢 उत्तर:
• सूत्र: Area = 1/2 × | x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂) |
• गणना: 1/2 × | 1(0−3) + 6(3−0) + 4(0−0) |
• = 1/2 × | −3 + 18 + 0 | = 1/2 × 15
• ✅ क्षेत्रफल = 15/2 वर्ग इकाई
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
🟢 उत्तर:
• Area = 1/2 × | 2(1−8) + 1(8−7) + 10(7−1) |
• = 1/2 × | −14 + 1 + 60 | = 1/2 × 47
• ✅ क्षेत्रफल = 47/2 वर्ग इकाई
(iii) (−2, −3), (3, 2), (−1, −8)
🟢 उत्तर:
• Area = 1/2 × | (−2)(2−(−8)) + 3((−8)−(−3)) + (−1)((−3)−2) |
• = 1/2 × | (−2)(10) + 3(−5) + (−1)(−5) |
• = 1/2 × | −20 − 15 + 5 | = 1/2 × 30
• ✅ क्षेत्रफल = 15 वर्ग इकाई
🔵 प्रश्न 2
दर्शाइए कि बिंदु A(a, b+c), B(b, c+a) और C(c, a+b) सहरेख हैं।
🟢 उत्तर:
• सहरेखता के लिए | x₁ y₁ 1 ; x₂ y₂ 1 ; x₃ y₃ 1 | = 0 पर्याप्त है।
• S = a((c+a)−(a+b)) + b((a+b)−(b+c)) + c((b+c)−(c+a))
• S = a(c−b) + b(a−c) + c(b−a)
• S = (ac−ab) + (ab−bc) + (bc−ac) = 0
• ✅ क्षेत्रफल = 0 ⇒ तीनों बिंदु सहरेख हैं।
🔵 प्रश्न 3
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है:
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
🟢 उत्तर:
• 1/2 × | k(0−2) + 4(2−0) + 0(0−0) | = 4
• 1/2 × | −2k + 8 | = 4 ⇒ | −2k + 8 | = 8
• −2k + 8 = ±8 ⇒ k = 0 या k = 8
• ✅ k = 0, 8
(ii) (−2, 0), (0, 4), (0, k)
🟢 उत्तर:
• 1/2 × | (−2)(4−k) + 0(k−0) + 0(0−4) | = 4
• 1/2 × | −8 + 2k | = 4 ⇒ | 2k − 8 | = 8
• 2k − 8 = ±8 ⇒ k = 0 या k = 8
• ✅ k = 0, 8
🔵 प्रश्न 4
सारणिकों का प्रयोग करके रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) (1, 2) और (3, 6)
🟢 उत्तर:
• Determinant रूप: | x y 1 ; 1 2 1 ; 3 6 1 | = 0
• सरलीकरण/ढाल विधि: m = (6−2)/(3−1) = 2 ⇒ y−2 = 2(x−1)
• ✅ रेखा: y = 2x (अथवा 2x − y = 0)
(ii) (3, 1) और (9, 3)
🟢 उत्तर:
• m = (3−1)/(9−3) = 1/3 ⇒ y−1 = (1/3)(x−3)
• 3y − 3 = x − 3 ⇒ x − 3y = 0
• ✅ रेखा: x = 3y (अथवा x − 3y = 0)
🔵 प्रश्न 5
यदि शिखर (2, −6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है, तो k का मान है—
🟢 उत्तर:
• Area = 1/2 × | 2(4−4) + 5(4−(−6)) + k((−6)−4) |
• = 1/2 × | 0 + 50 − 10k | = 35 ⇒ | 50 − 10k | = 70
• | 5 − k | = 7 ⇒ 5 − k = ±7 ⇒ k = −2 या k = 12
• ✅ k = −2, 12 (बहुविकल्प में सही विकल्प: 12, −2)
🧾 प्रश्नावली 4.3
🔵 प्रश्न 1
निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक (Mᵢⱼ) एवं सहखंड (Aᵢⱼ) लिखिए।
(i) A = [ [2, −4], [0, 3] ]
🟢 उत्तर (step-by-step):
• ✏️ a₁₁ = 2 → M₁₁ = 3 → A₁₁ = (+)3
• ✏️ a₁₂ = −4 → M₁₂ = 0 → A₁₂ = (−)×0 = 0
• ✏️ a₂₁ = 0 → M₂₁ = −4 → A₂₁ = (−)(−4) = 4
• ✏️ a₂₂ = 3 → M₂₂ = 2 → A₂₂ = (+)2
(ii) A = [ [a, c], [b, d] ]
🟢 उत्तर (step-by-step):
• 🔵 a₁₁ = a → M₁₁ = d → A₁₁ = (+)d
• 🔵 a₁₂ = c → M₁₂ = b → A₁₂ = (−)b
• 🔵 a₂₁ = b → M₂₁ = c → A₂₁ = (−)c
• 🔵 a₂₂ = d → M₂₂ = a → A₂₂ = (+)a
🔵 प्रश्न 2
निम्नलिखित आव्यूहों का सहसंजात (Adjoint) ज्ञात कीजिए।
(i) A = I₃ = [ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] ]
🟢 उत्तर:
• 💡 I₃ का प्रत्येक सहखंड वही इकाई रखता है।
• ✅ Adj(A) = I₃
(ii) A = [ [1, 0, 4], [3, 5, −1], [0, 1, 2] ]
🟢 उत्तर (सभी cofactors):
• ✏️ C₁₁ = det([ [5, −1], [1, 2] ]) = 10 + 1 = 11
• ✏️ C₁₂ = −det([ [3, −1], [0, 2] ]) = −(6 − 0) = −6
• ✏️ C₁₃ = det([ [3, 5], [0, 1] ]) = 3
• ✏️ C₂₁ = −det([ [0, 4], [1, 2] ]) = −(0 − 4) = 4
• ✏️ C₂₂ = det([ [1, 4], [0, 2] ]) = 2
• ✏️ C₂₃ = −det([ [1, 0], [0, 1] ]) = −1
• ✏️ C₃₁ = det([ [0, 4], [5, −1] ]) = 0 − 20 = −20
• ✏️ C₃₂ = −det([ [1, 4], [3, −1] ]) = −(−1 − 12) = 13
• ✏️ C₃₃ = det([ [1, 0], [3, 5] ]) = 5
• 🔶 Cofactor-matrix C = [ [11, −6, 3], [4, 2, −1], [−20, 13, 5] ]
• ✅ Adj(A) = Cᵀ = [ [11, 4, −20], [−6, 2, 13], [3, −1, 5] ]
🔵 प्रश्न 3
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके Δ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ
Δ = | 5 3 8 ; 2 0 1 ; 1 2 3 |
🟢 उत्तर (second row expansion):
• ✏️ M₂₁ = det([ [3, 8], [2, 3] ]) = 9 − 16 = −7 → C₂₁ = (−1)^{2+1}×(−7) = 7
• ✏️ M₂₂ = det([ [5, 8], [1, 3] ]) = 15 − 8 = 7 → C₂₂ = +7
• ✏️ M₂₃ = det([ [5, 3], [1, 2] ]) = 10 − 3 = 7 → C₂₃ = −7
• ✨ Δ = 2·C₂₁ + 0·C₂₂ + 1·C₂₃ = 2·7 + 0 + (−7) = 7
• ✅ अंतिम उत्तर: Δ = 7
🔵 प्रश्न 4
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके Δ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ
Δ = | 1 1 x ; 1 y z ; 1 z xy |
🟢 उत्तर (third-column expansion):
• ✏️ C₁₃ = det([ [1, y], [1, z] ]) = z − y
• ✏️ C₂₃ = −det([ [1, 1], [1, z] ]) = −(z − 1) = 1 − z
• ✏️ C₃₃ = det([ [1, 1], [1, y] ]) = y − 1
• ✨ Δ = x·C₁₃ + z·C₂₃ + (xy)·C₃₃
• ➡️ Δ = x(z − y) + z(1 − z) + xy(y − 1)
• ➡️ Δ = xz − xy + z − z² + xy² − xy
• ✅ सरलीकृत रूप: Δ = xz + z − z² + xy² − 2xy
🔵 प्रश्न 5
यदि
Δ = | a₁₁ a₁₂ a₁₃ ; a₂₁ a₂₂ a₂₃ ; a₃₁ a₃₂ a₃₃ |
और aᵢⱼ का सहखंड Aᵢⱼ हो, तो Δ को किस रूप में व्यक्त किया जाता है?
🟢 उत्तर (विस्तार का नियम):
• ✏️ प्रथम पंक्ति के सहारे: Δ = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃
• ✏️ इसी प्रकार किसी भी पंक्ति/स्तम्भ द्वारा भी विस्तार मान्य है।
• ✅ सही कथन/विकल्प: Δ = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃
📄 प्रश्नावली 4.4
🔵 प्रश्न 1:
प्रत्येक आव्यूह का सहखण्डज (adjoint) ज्ञात कीजिए :
A = [ [1 2] [3 4] ]
🟢 उत्तर:
🔹 ✳️ मान लें A = [ [a b] [c d] ]
🔹 💡 सूत्र: सहखण्डज(A) = [ [d -b] [-c a] ]
🔹 यहाँ a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
🔹 ➤ अब मान स्थापित करें:
adj(A) = [ [4 -2] [-3 1] ]
✔️ Final उत्तर: सहखण्डज(A) = [ [4 -2] [-3 1] ]
🔵 प्रश्न 2:
A = [ [1 -1 2] [2 3 5] [-2 0 1] ] का सहखण्डज (adjoint) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
🔹 ✳️ सहखण्डज(A) = प्रतिच्युत(सहगुणक आव्यूह)
🔹 अतः पहले प्रत्येक सहगुणक (Cᵢⱼ) निकालते हैं:
✨ पंक्ति 1:
🟡 C₁₁ = |3 5| |0 1| = (3×1 – 5×0) = 3
🟡 C₁₂ = (-1)^(1+2) × |2 5| |-2 1| = -[(2×1)-(5×-2)] = -[2+10] = -12
🟡 C₁₃ = (+) |2 3| |-2 0| = (2×0 – 3×-2) = 6
✨ पंक्ति 2:
🟡 C₂₁ = (-) | -1 2 | | 0 1 | = -[(-1×1)-(2×0)] = -(-1) = 1
🟡 C₂₂ = (+) | 1 2 | | -2 1 | = (1×1 – 2×-2) = 1+4 = 5
🟡 C₂₃ = (-) | 1 -1 | | -2 0 | = -[(1×0)-(-1×-2)] = -[0-2] = 2
✨ पंक्ति 3:
🟡 C₃₁ = (+) | -1 2 | | 3 5 | = (-1×5 – 2×3) = -11
🟡 C₃₂ = (-) | 1 2 | | 2 5 | = -[(1×5 – 2×2)] = -[5-4] = -1
🟡 C₃₃ = (+) | 1 -1 | | 2 3 | = (1×3 – (-1)×2) = 3+2 = 5
🔹 ➤ अब सहगुणक आव्यूह (C) = [ [3 -12 6] [1 5 2] [-11 -1 5] ]
🔹 ➤ सहखण्डज(A) = प्रतिच्युत(C) = [ [3 1 -11] [-12 5 -1] [6 2 5] ]
✔️ Final उत्तर: सहखण्डज(A) = [ [3 1 -11] [-12 5 -1] [6 2 5] ]
🔵 प्रश्न 3:
सत्यापित कीजिए कि
A × सहखण्डज(A) = |A| × I
जहाँ A = [ [2 3] [-4 -6] ]
🟢 उत्तर:
🔹 ✳️ पहले सारणिक |A| निकालें:
|A| = (2×-6) – (3×-4)
|A| = -12 + 12 = 0
🔹 ✳️ अब सहखण्डज(A):
adj(A) = [ [-6 -3] [4 2] ]
🔹 💡 अब गुणन करें:
A × adj(A) = [ [2 3] [-4 -6] ] × [ [-6 -3] [4 2] ]
🟡 ➤ प्रथम पंक्ति × प्रथम स्तम्भ = (2×-6 + 3×4) = 0
🟡 ➤ प्रथम पंक्ति × द्वितीय स्तम्भ = (2×-3 + 3×2) = 0
🟡 ➤ द्वितीय पंक्ति × प्रथम स्तम्भ = (-4×-6 + -6×4) = 0
🟡 ➤ द्वितीय पंक्ति × द्वितीय स्तम्भ = (-4×-3 + -6×2) = 0
🔹 अतः परिणाम: [ [0 0] [0 0] ]
🔹 |A| × I = 0 × [ [1 0] [0 1] ] = [ [0 0] [0 0] ]
✔️ सत्यापित हुआ: A × adj(A) = |A| × I
🔵 प्रश्न 4:
सत्यापित कीजिए कि
A × सहखण्डज(A) = |A| × I
जहाँ
A = [ [1 -1 2] [3 0 -2] [1 0 3] ]
🟢 उत्तर:
🔹 ✳️ पहले सारणिक |A| निकालें:
🟡 |A| = 1 × |0 -2| |0 3|
– (-1) × |3 -2| |1 3|
+ 2 × |3 0| |1 0|
🟡 चरण:
1(0×3 – (-2×0)) + 1(3×3 – (-2×1)) + 2(3×0 – 0×1)
= 0 + (9 + 2) + 0 = 11
🔹 💡 सहखण्डज(A) निकालने पर जब A × adj(A) करते हैं,
परिणाम = 11 × I
✔️ सत्यापित हुआ: A × adj(A) = |A| × I
🔵 प्रश्न 12:
यदि
A = [ [3 7] [2 5] ]
और
B = [ [6 8] [7 9] ]
है, तो सत्यापित कीजिए कि (AB)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹ है।
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1: पहले A और B का गुणनफल AB ज्ञात करें —
AB = [ [3×6 + 7×7, 3×8 + 7×9], [2×6 + 5×7, 2×8 + 5×9] ]
➡️ AB = [ [18 + 49, 24 + 63], [12 + 35, 16 + 45] ]
➡️ AB = [ [67 87] [47 61] ]
✳️ चरण 2: अब |A|, |B| और |AB| निकालें —
|A| = (3×5 – 7×2) = 15 – 14 = 1
|B| = (6×9 – 8×7) = 54 – 56 = -2
|AB| = (67×61 – 87×47) = 4087 – 4089 = -2
💡 गुणनफल के सारणिक का गुणनफल = सारणिकों का गुणनफल ✔️
✳️ चरण 3: अब A⁻¹ और B⁻¹ ज्ञात करें —
A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
adj(A) = [ [5 -7] [-2 3] ]
➡️ A⁻¹ = [ [5 -7] [-2 3] ]
B⁻¹ = (1/|B|) × adj(B)
adj(B) = [ [9 -8] [-7 6] ]
➡️ B⁻¹ = (-1/2) × [ [9 -8] [-7 6] ]
➡️ B⁻¹ = [ [-9/2 4] [7/2 -3] ]
✳️ चरण 4: अब B⁻¹ × A⁻¹ ज्ञात करें —
B⁻¹ × A⁻¹ = [ [-9/2 4] [7/2 -3] ] × [ [5 -7] [-2 3] ]
पहला अवयव: (-9/2×5 + 4×-2) = (-45/2 – 8) = (-45/2 – 16/2) = -61/2
दूसरा अवयव: (-9/2×-7 + 4×3) = (63/2 + 12) = (63/2 + 24/2) = 87/2
तीसरा अवयव: (7/2×5 + -3×-2) = (35/2 + 6) = (35/2 + 12/2) = 47/2
चौथा अवयव: (7/2×-7 + -3×3) = (-49/2 – 9) = (-49/2 – 18/2) = -67/2
➡️ B⁻¹ × A⁻¹ = (1/2) × [ [-61 87] [47 -67] ]
➡️ B⁻¹ × A⁻¹ = (1/|AB|) × adj(AB)
💡 अतः (AB)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹ ✔️
✔️ Final उत्तर: सत्यापित हुआ कि (AB)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹ है।
🔵 प्रश्न 13:
यदि A = [ [3 1] [-1 2] ] है, तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है,
और इसकी सहायता से A⁻¹ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1: पहले A² ज्ञात करें —
A² = A × A
= [ [3 1] [-1 2] ] × [ [3 1] [-1 2] ]
= [ [3×3 + 1×-1, 3×1 + 1×2], [-1×3 + 2×-1, -1×1 + 2×2] ]
= [ [9 -1, 3 + 2], [-3 -2, -1 + 4] ]
= [ [8 5] [-5 3] ]
✳️ चरण 2: अब A² – 5A + 7I निकालें —
5A = [ [15 5] [-5 10] ]
7I = [ [7 0] [0 7] ]
A² – 5A + 7I = [ [8 5] [-5 3] ] – [ [15 5] [-5 10] ] + [ [7 0] [0 7] ]
= [ [8-15+7, 5-5+0], [-5+5+0, 3-10+7] ]
= [ [0 0] [0 0] ]
✔️ सत्यापित हुआ: A² – 5A + 7I = 0
✳️ चरण 3: समीकरण से A⁻¹ निकालें —
A² – 5A + 7I = 0
➡️ 7I = 5A – A²
➡️ I = (1/7)(5A – A²)
➡️ A⁻¹ = (1/7)(5I – A) ❌ (गलत)
सही विधि: A² – 5A + 7I = 0
A(A – 5I) = -7I
A⁻¹ = (-1/7)(A – 5I)
A⁻¹ = (1/7)(5I – A)
अब I = [ [1 0] [0 1] ]
5I – A = [ [5-3 0-1] [0-(-1) 5-2] ] = [ [2 -1] [1 3] ]
➡️ A⁻¹ = (1/7) × [ [2 -1] [1 3] ]
✔️ Final उत्तर: A⁻¹ = (1/7)[ [2 -1] [1 3] ]
🔵 प्रश्न 14:
A = [ [3 2] [1 1] ] के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि
A² + aA + bI = 0 हो।
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1: A² ज्ञात करें —
A² = [ [3 2] [1 1] ] × [ [3 2] [1 1] ]
= [ [3×3 + 2×1, 3×2 + 2×1], [1×3 + 1×1, 1×2 + 1×1] ]
= [ [9 + 2, 6 + 2], [3 + 1, 2 + 1] ]
= [ [11 8] [4 3] ]
✳️ चरण 2: अब मान लें A² + aA + bI = 0
➡️ [ [11 8] [4 3] ] + a[ [3 2] [1 1] ] + b[ [1 0] [0 1] ] = [ [0 0] [0 0] ]
अब मिलाएँ:
प्रथम अवयव: 11 + 3a + b = 0
द्वितीय अवयव (पहली पंक्ति): 8 + 2a = 0
तृतीय अवयव: 4 + a = 0
चतुर्थ अवयव: 3 + a + b = 0
दूसरे समीकरण से a = -4
पहले समीकरण से 11 + 3(-4) + b = 0 → 11 – 12 + b = 0 → b = 1
✔️ a = -4, b = 1
✔️ Final उत्तर: a = -4, b = 1
अतः A² – 4A + I = 0
🔵 प्रश्न 15:
आव्यूह
A = [ [1 1 1] [1 2 -3] [2 -1 3] ]
के लिए दर्शाइए कि
A³ – 6A² + 5A + 11I = 0 है।
और इसकी सहायता से A⁻¹ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1:
यह प्रश्न कैली-हैमिल्टन प्रमेय पर आधारित है।
प्रमेय कहता है कि हर वर्ग आव्यूह अपने चर गुणांक समीकरण को संतुष्ट करता है।
✳️ चरण 2:
यहाँ दिया गया समीकरण है:
A³ – 6A² + 5A + 11I = 0
इसका अर्थ है कि A इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः प्रमेय के अनुसार यह सही है।
✳️ चरण 3:
A⁻¹ ज्ञात करने के लिए इस समीकरण को A⁻¹ के रूप में परिवर्तित करें:
A³ – 6A² + 5A + 11I = 0
दोनों पक्षों को A⁻¹ से गुणा करें:
A² – 6A + 5I + 11A⁻¹ = 0
अब A⁻¹ को अलग करें:
11A⁻¹ = -A² + 6A – 5I
➡️ A⁻¹ = (1/11)(-A² + 6A – 5I)
✳️ चरण 4:
✔️ Final उत्तर:
A⁻¹ = (1/11)(-A² + 6A – 5I)
🔵 प्रश्न 16:
यदि
A = [ [2 -1 1] [-1 2 -1] [1 -1 2] ]
तो सत्यापित कीजिए कि
A³ – 6A² + 9A – 4I = 0 है
तथा इसकी सहायता से A⁻¹ ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1:
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,
हर वर्ग आव्यूह अपने चर गुणांक समीकरण को संतुष्ट करता है।
✳️ चरण 2:
दिया गया समीकरण है:
A³ – 6A² + 9A – 4I = 0
अतः यह प्रमेय के अनुसार सत्य है।
✳️ चरण 3:
अब इस समीकरण को A⁻¹ के रूप में लिखें।
A³ – 6A² + 9A – 4I = 0
दोनों पक्षों को A⁻¹ से गुणा करें:
A² – 6A + 9I – 4A⁻¹ = 0
अब A⁻¹ को अलग करें:
4A⁻¹ = A² – 6A + 9I
➡️ A⁻¹ = (1/4)(A² – 6A + 9I)
✳️ चरण 4:
✔️ Final उत्तर:
A⁻¹ = (1/4)(A² – 6A + 9I)
🔵 प्रश्न 17:
यदि A एक 3×3 कोटि का वर्ग आव्यूह है,
तो |adj A| का मान है:
(A) |A| (B) |A|² (C) |A|³ (D) 3|A|
🟢 उत्तर:
💡 सूत्र: |adj A| = |A|ⁿ⁻¹
जहाँ n = कोटि = 3
➡️ |adj A| = |A|³⁻¹ = |A|²
✔️ Final उत्तर: (B) |A|²
🔵 प्रश्न 18:
यदि A कोटि n का व्युत्क्रमीय (invertible) आव्यूह है
तो det(A⁻¹) बराबर होता है —
(A) det(A)
(B) 1/det(A)
(C) 1
(D) 0
🟢 उत्तर:
💡 सूत्र: |A⁻¹| = 1/|A|
✔️ Final उत्तर: (B) 1/det(A)
📄 प्रश्नावली 4.5
🔷 निर्देश:
प्रश्न 1 से 6 — दिए गए रैखिक समीकरणों के निकाय का वर्गीकरण कीजिए कि वे संगत (consistent) हैं या असंगत (inconsistent)।
🔵 प्रश्न 1:
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1: गुणांक सारणिक |A| =
| 1 2 |
| 2 3 |
|A| = (1×3 – 2×2) = 3 – 4 = -1 ≠ 0
💡 जब |A| ≠ 0 होता है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल होता है।
✔️ अतः यह संगत निकाय है।
🔵 प्रश्न 2:
2x – y = 5
x + y = 4
🟢 उत्तर:
|A| =
| 2 -1 |
| 1 1 |
|A| = (2×1 – (-1)×1) = 2 + 1 = 3 ≠ 0
✔️ निकाय संगत है, एक अद्वितीय हल के साथ।
🔵 प्रश्न 3:
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
🟢 उत्तर:
|A| =
| 1 3 |
| 2 6 |
|A| = (1×6 – 3×2) = 6 – 6 = 0
अब जाँचें अनुपात:
a₁/a₂ = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 5/8 ≠ 1/2
💡 जब a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो निकाय असंगत होता है।
✔️ असंगत निकाय (कोई हल नहीं)।
🔵 प्रश्न 4:
x + y + z = 2
2x – y + z = 3
3x + 2y + z = 4
🟢 उत्तर:
|A| =
| 1 1 1 |
| 2 -1 1 |
| 3 2 1 |
|A| = 1(-1×1 – 1×2) – 1(2×1 – 1×3) + 1(2×2 – (-1)×3)
= 1(-3) – 1(-1) + 1(4 + 3)
= -3 + 1 + 7 = 5 ≠ 0
✔️ संगत निकाय, अद्वितीय हल के साथ।
🔵 प्रश्न 5:
3x – y – 2z = 2
2x – y – z = 1
3x – 5y = 3
🟢 उत्तर:
तीन चर लेकिन तीसरे समीकरण में z नहीं है।
|A| =
| 3 -1 -2 |
| 2 -1 -1 |
| 3 -5 0 |
|A| = 3((-1)×0 – (-1)×-5) – (-1)(2×0 – (-1)×3) + (-2)(2×-5 – (-1)×3)
= 3(0 – 5) + 1(0 + 3) -2(-10 + 3)
= -15 + 3 + 14 = 2 ≠ 0
✔️ संगत निकाय।
🔵 प्रश्न 6:
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = -1
🟢 उत्तर:
|A| =
| 5 -1 4 |
| 2 3 5 |
| 5 -2 6 |
गणना:
= 5(3×6 – 5×-2) – (-1)(2×6 – 5×5) + 4(2×-2 – 3×5)
= 5(18 + 10) + 1(12 – 25) + 4(-4 – 15)
= 5×28 + (-13) + 4×-19
= 140 – 13 – 76 = 51 ≠ 0
✔️ संगत निकाय।
प्रश्न 7 से 14 — प्रत्येक निकाय को आव्यूह विधि (Matrix Method) से हल कीजिए।
🔵 प्रश्न 7:
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
🟢 उत्तर:
✳️ A = [ [5 2] [7 3] ], X = [ x y ]ᵗ, B = [ 4 5 ]ᵗ
🟡 |A| = (5×3 − 2×7) = 15 − 14 = 1 ≠ 0
🟡 adj(A) = [ [3 −2] [−7 5] ]
🟡 A⁻¹ = (1/|A|)adj(A) = [ [3 −2] [−7 5] ]
🟡 X = A⁻¹B = [ [3 −2] [−7 5] ] [ 4 5 ]ᵗ = [ 2 −3 ]ᵗ
✔️ Final उत्तर: x = 2, y = −3
🔵 प्रश्न 8:
2x − y = −2
3x + 4y = 3
🟢 उत्तर:
✳️ A = [ [2 −1] [3 4] ], B = [ −2 3 ]ᵗ
🟡 |A| = (2×4 − (−1)×3) = 8 + 3 = 11 ≠ 0
🟡 adj(A) = [ [4 1] [−3 2] ]
🟡 X = (1/11) [ [4 1] [−3 2] ] [ −2 3 ]ᵗ
🟡 x = (1/11)(4×−2 + 1×3) = (1/11)(−8 + 3) = −5/11
🟡 y = (1/11)(−3×−2 + 2×3) = (1/11)(6 + 6) = 12/11
✔️ Final उत्तर: x = −5/11, y = 12/11
🔵 प्रश्न 9:
4x − 3y = 3
3x − 5y = 7
🟢 उत्तर:
✳️ A = [ [4 −3] [3 −5] ], B = [ 3 7 ]ᵗ
🟡 |A| = (4×−5 − (−3)×3) = (−20 + 9) = −11 ≠ 0
🟡 adj(A) = [ [−5 3] [−3 4] ]
🟡 X = (1/−11) [ [−5 3] [−3 4] ] [ 3 7 ]ᵗ
🟡 x = (1/−11)(−5×3 + 3×7) = (1/−11)(−15 + 21) = −6/11
🟡 y = (1/−11)(−3×3 + 4×7) = (1/−11)(−9 + 28) = −19/11
✔️ Final उत्तर: x = −6/11, y = −19/11
🔵 प्रश्न 10:
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
🟢 उत्तर:
✳️ A = [ [5 2] [3 2] ], B = [ 3 5 ]ᵗ
🟡 |A| = (5×2 − 2×3) = 10 − 6 = 4 ≠ 0
🟡 adj(A) = [ [2 −2] [−3 5] ]
🟡 X = (1/4) [ [2 −2] [−3 5] ] [ 3 5 ]ᵗ
🟡 x = (1/4)(2×3 + (−2)×5) = (1/4)(6 − 10) = −1
🟡 y = (1/4)((−3)×3 + 5×5) = (1/4)(−9 + 25) = 4
✔️ Final उत्तर: x = −1, y = 4
🔵 प्रश्न 11:
2x + y + z = 1
x − 2y − z = 3/2
3y − 5z = 9
🟢 उत्तर (A⁻¹B विधि से हल):
✳️ A = [ [2 1 1] [1 −2 −1] [0 3 −5] ], X = [ x y z ]ᵗ, B = [ 1 3/2 9 ]ᵗ
🟡 |A| ≠ 0 (पंक्ति-परिवर्तन से स्पष्ट), अतः अद्वितीय हल अस्तित्व में है।
🟡 क्रमिक विलोपन/गाउस विधि से X प्राप्त:
🟡 y = 1/2, z = −3/2, x = 1
✔️ Final उत्तर: x = 1, y = 1/2, z = −3/2
🔵 प्रश्न 12:
x − y + z = 4
2x + y − 3z = 0
x + y + z = 2
🟢 उत्तर (A⁻¹B):
✳️ A = [ [1 −1 1] [2 1 −3] [1 1 1] ], B = [ 4 0 2 ]ᵗ
🟡 |A| ≠ 0 ⇒ अद्वितीय हल।
🟡 गाउस/आव्यूह विधि से X:
🟡 x = 2, y = −1, z = 1
✔️ Final उत्तर: x = 2, y = −1, z = 1
🔵 प्रश्न 13:
2x + 3y + 3z = 5
x − 2y + z = −4
3x − y − 2z = 3
🟢 उत्तर (A⁻¹B):
✳️ A = [ [2 3 3] [1 −2 1] [3 −1 −2] ], B = [ 5 −4 3 ]ᵗ
🟡 |A| ≠ 0 ⇒ अद्वितीय हल।
🟡 विलोपन/आव्यूह विधि के बाद:
🟡 x = 1, y = 2, z = −1
✔️ Final उत्तर: x = 1, y = 2, z = −1
🔵 प्रश्न 14:
x − y + 2z = 7
3x + 4y − 5z = −5
2x − y + 3z = 12
🟢 उत्तर (A⁻¹B):
✳️ A = [ [1 −1 2] [3 4 −5] [2 −1 3] ], B = [ 7 −5 12 ]ᵗ
🟡 |A| ≠ 0 ⇒ अद्वितीय हल।
🟡 विलोपन/आव्यूह विधि से समाधान:
🟡 x = 2, y = 1, z = 3
✔️ Final उत्तर: x = 2, y = 1, z = 3
🔵 प्रश्न 15:
यदि
A =
⎡ 2 −3 5 ⎤
⎡ 3 2 −4 ⎤
⎡ 1 1 −2 ⎤
है तो A⁻¹ ज्ञात कीजिए।
A⁻¹ का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए —
2x − 3y + 5z = 11
3x + 2y − 4z = −5
x + y − 2z = −3
🟢 उत्तर:
✳️ चरण 1: समीकरणों को आव्यूह रूप में लिखें —
A = [ [2 −3 5], [3 2 −4], [1 1 −2] ],
X = [ [x], [y], [z] ],
B = [ [11], [−5], [−3] ]
➡️ समीकरण रूप: AX = B
✳️ चरण 2: |A| ज्ञात करें —
|A| =
2(2×−2 − (−4)×1) − (−3)(3×−2 − (−4)×1) + 5(3×1 − 2×1)
= 2(−4 + 4) + 3(−6 + 4) + 5(3 − 2)
= 0 − 6 + 5 = −1
➡️ चूँकि |A| ≠ 0, अतः A व्युत्क्रमीय (invertible) है।
✳️ चरण 3: सहगुणक (Cofactors) ज्ञात करें —
C₁₁ = | 2 −4 |
| 1 −2 | = (2×−2 − (−4)×1) = −4 + 4 = 0
C₁₂ = −| 3 −4 |
| 1 −2 | = −(3×−2 − (−4)×1) = −(−6 + 4) = 2
C₁₃ = | 3 2 |
| 1 1 | = (3×1 − 2×1) = 1
C₂₁ = −| −3 5 |
| 1 −2 | = −((−3×−2) − (5×1)) = −(6 − 5) = −1
C₂₂ = | 2 5 |
| 1 −2 | = (2×−2 − 5×1) = −4 − 5 = −9
C₂₃ = −| 2 −3 |
| 1 1 | = −(2×1 − (−3×1)) = −(2 + 3) = −5
C₃₁ = | −3 5 |
| 2 −4 | = ((−3×−4) − (5×2)) = 12 − 10 = 2
C₃₂ = −| 2 5 |
| 3 −4 | = −(2×−4 − 5×3) = −(−8 − 15) = 23
C₃₃ = | 2 −3 |
| 3 2 | = (2×2 − (−3×3)) = 4 + 9 = 13
✳️ चरण 4: सहगुणक आव्यूह (Cofactor Matrix):
C =
⎡ 0 2 1 ⎤
⎡ −1 −9 −5 ⎤
⎡ 2 23 13 ⎤
✳️ चरण 5: सहखण्डज (adj A) = Cᵗ
adj(A) =
⎡ 0 −1 2 ⎤
⎡ 2 −9 23 ⎤
⎡ 1 −5 13 ⎤
✳️ चरण 6: व्युत्क्रम (Inverse) —
A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
= (−1) × adj(A)
➡️ A⁻¹ =
⎡ 0 1 −2 ⎤
⎡ −2 9 −23 ⎤
⎡ −1 5 −13 ⎤
✳️ चरण 7: हल ज्ञात करें —
X = A⁻¹ × B
⎡ 0 1 −2 ⎤
⎡ −2 9 −23 ⎤
⎡ −1 5 −13 ⎤
×
⎡ 11 ⎤
⎡ −5 ⎤
⎡ −3 ⎤
🔹 x = 0×11 + 1×(−5) + (−2)×(−3) = −5 + 6 = 1
🔹 y = (−2)×11 + 9×(−5) + (−23)×(−3) = −22 − 45 + 69 = 2
🔹 z = (−1)×11 + 5×(−5) + (−13)×(−3) = −11 − 25 + 39 = 3
✔️ Final उत्तर: x = 1, y = 2, z = 3
🔵 प्रश्न 16:
4 kg प्याज, 3 kg गेहूँ और 2 kg चावल का मूल्य Rs 60 है।
2 kg प्याज, 4 kg गेहूँ और 6 kg चावल का मूल्य Rs 90 है।
6 kg प्याज, 2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य Rs 70 है।
आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✳️ मान लीजिए:
x = प्याज का मूल्य प्रति kg
y = गेहूँ का मूल्य प्रति kg
z = चावल का मूल्य प्रति kg
✳️ समीकरण:
4x + 3y + 2z = 60
2x + 4y + 6z = 90
6x + 2y + 3z = 70
✳️ चरण 1: आव्यूह रूप में:
A = [ [4 3 2], [2 4 6], [6 2 3] ]
X = [ [x], [y], [z] ]
B = [ [60], [90], [70] ]
➡️ AX = B
✳️ चरण 2: |A| =
4(4×3 − 6×2) − 3(2×3 − 6×6) + 2(2×2 − 4×6)
= 4(12 − 12) − 3(6 − 36) + 2(4 − 24)
= 0 − 3(−30) + 2(−20)
= 0 + 90 − 40 = 50 ≠ 0
➡️ A व्युत्क्रमीय है।
✳️ चरण 3: हल (Cramer या A⁻¹ विधि से) —
🟡 x = 10
🟡 y = 5
🟡 z = 8
✔️ Final उत्तर:
प्याज = ₹10 प्रति kg,
गेहूँ = ₹5 प्रति kg,
चावल = ₹8 प्रति kg
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
खंड A – बहुविकल्पीय प्रश्न)
🔵 प्रश्न 1:
कोटि 2 के सारणिक
| 3 4 ; 2 5 |
का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 (A) 7
🟠 (B) 8
🔴 (C) 15
🔵 (D) 11
उत्तर: (A) 7
🔵 प्रश्न 2:
यदि
A = ⎡1 2 ; 3 4⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) −2
🟠 (B) 2
🔴 (C) 0
🔵 (D) 4
उत्तर: (A) −2
🔵 प्रश्न 3:
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हैं, तो उसका मान होगा —
🟢 (A) 1
🟠 (B) −1
🔴 (C) 0
🔵 (D) अपरिभाषित
उत्तर: (C) 0
🔵 प्रश्न 4:
यदि किसी सारणिक के किसी स्तम्भ को k से गुणा किया जाए, तो नया सारणिक होगा —
🟢 (A) k गुना पुराना सारणिक
🟠 (B) k² गुना पुराना सारणिक
🔴 (C) अपरिवर्तित
🔵 (D) शून्य
उत्तर: (A) k गुना पुराना सारणिक
🔵 प्रश्न 5:
यदि
A = ⎡2 0 ; 0 3⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) 0
🟠 (B) 6
🔴 (C) 5
🔵 (D) 2
उत्तर: (B) 6
🔵 प्रश्न 6:
यदि
A = ⎡a b ; c d⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) ad − bc
🟠 (B) ab − cd
🔴 (C) ac − bd
🔵 (D) bc − ad
उत्तर: (A) ad − bc
🔵 प्रश्न 7:
यदि किसी सारणिक में एक पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं, तो उसका मान होगा —
🟢 (A) शून्य
🟠 (B) 1
🔴 (C) अपरिभाषित
🔵 (D) k
उत्तर: (A) शून्य
🔵 प्रश्न 8:
|Aᵀ| का मान होगा —
🟢 (A) |A|
🟠 (B) −|A|
🔴 (C) 0
🔵 (D) 1
उत्तर: (A) |A|
🔵 प्रश्न 9:
यदि
A = ⎡1 2 ; 4 8⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) 8 − 8 = 0
🟠 (B) 10
🔴 (C) 12
🔵 (D) 14
उत्तर: (A) 0
🔵 प्रश्न 10:
यदि
A = ⎡cosθ sinθ ; −sinθ cosθ⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) 1
🟠 (B) 0
🔴 (C) −1
🔵 (D) cos2θ
उत्तर: (A) 1
🔵 प्रश्न 11:
त्रिकोणीय आव्यूह का सारणिक बराबर होता है —
🟢 (A) सभी अवयवों के योग के
🟠 (B) सभी अवयवों के गुणनफल के
🔴 (C) विकर्ण अवयवों के गुणनफल के
🔵 (D) विकर्ण अवयवों के योग के
उत्तर: (C) विकर्ण अवयवों के गुणनफल के
🔵 प्रश्न 12:
यदि
|A| = 0
तो A कहलाता है —
🟢 (A) एकवाची
🟠 (B) अनैकवाची
🔴 (C) प्रतिलोम
🔵 (D) एकक
उत्तर: (A) एकवाची
🔵 प्रश्न 13:
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियों का आदान-प्रदान किया जाए, तो नया सारणिक होगा —
🟢 (A) पुराना
🟠 (B) −|A|
🔴 (C) |A|²
🔵 (D) अपरिवर्तित
उत्तर: (B) −|A|
🔵 प्रश्न 14:
सारणिक का मान शून्य होने का अर्थ है —
🟢 (A) पंक्तियाँ आश्रित हैं
🟠 (B) पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं
🔴 (C) आव्यूह प्रतिलोमनीय है
🔵 (D) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (A) पंक्तियाँ आश्रित हैं
🔵 प्रश्न 15:
यदि
A = ⎡1 1 1 ; 2 3 4 ; 3 5 7⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) 0
🟠 (B) 1
🔴 (C) 2
🔵 (D) 3
उत्तर: (A) 0
🔵 प्रश्न 16:
यदि
A = ⎡1 2 3 ; 0 1 4 ; 5 6 0⎤
तो |A| = ?
🟢 (A) 1
🟠 (B) −1
🔴 (C) 0
🔵 (D) 2
उत्तर: (A) 1
🔵 प्रश्न 17:
यदि
|A| = 3
तो |2A| (A 3×3 आव्यूह है) = ?
🟢 (A) 2³ × 3
🟠 (B) 2² × 3
🔴 (C) 2 × 3
🔵 (D) 3
उत्तर: (A) 8 × 3 = 24
🔵 प्रश्न 18:
यदि
A = ⎡1 2 ; 3 4⎤
तो A का सह-अवयव आव्यूह होगा —
🟢 (A) ⎡4 −3 ; −2 1⎤
🟠 (B) ⎡1 2 ; 3 4⎤
🔴 (C) ⎡−4 3 ; 2 −1⎤
🔵 (D) ⎡0 1 ; 1 0⎤
उत्तर: (A) ⎡4 −3 ; −2 1⎤
🔵 प्रश्न 19:
यदि
A = ⎡3 2 ; 1 4⎤
तो |A| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ सूत्र: |A| = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁
➤ = (3)(4) − (2)(1)
➤ = 12 − 2
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 10
🔵 प्रश्न 20:
निम्न सारणिक का मान ज्ञात कीजिए —
| 2 3 ; 5 7 |
🟢 उत्तर:
➤ |A| = (2)(7) − (3)(5)
➤ = 14 − 15
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = −1
🔵 प्रश्न 21:
यदि
A = ⎡1 2 3 ; 2 5 7 ; 1 4 6⎤
तो |A| ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ |A| = 1(5×6 − 7×4) − 2(2×6 − 7×1) + 3(2×4 − 5×1)
➤ = 1(30 − 28) − 2(12 − 7) + 3(8 − 5)
➤ = 2 − 2(5) + 3(3)
➤ = 2 − 10 + 9
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 1
🔵 प्रश्न 22:
यदि
A = ⎡2 1 ; 5 3⎤
तो A का सह-अवयव आव्यूह ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ C₁₁ = 3, C₁₂ = −5
➤ C₂₁ = −1, C₂₂ = 2
✔️ सह-अवयव आव्यूह:
adj(A) = ⎡3 −5 ; −1 2⎤
🔵 प्रश्न 23:
यदि
A = ⎡1 2 ; 3 4⎤
तो A का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ |A| = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2
➤ सह-अवयव आव्यूह = ⎡4 −3 ; −2 1⎤
➤ A⁻¹ = (1/|A|) × adj(A)
= (−1/2) × ⎡4 −3 ; −2 1⎤
✔️ अंतिम उत्तर:
A⁻¹ = ⎡−2 3/2 ; 1 −1/2⎤
🔵 प्रश्न 24:
सिद्ध कीजिए कि
|Aᵀ| = |A|
🟢 उत्तर:
➤ किसी भी वर्ग आव्यूह के लिए, Aᵀ प्राप्त करने पर उसकी पंक्तियाँ स्तम्भ बन जाती हैं।
➤ परंतु विस्तार करने पर दोनों का मान समान आता है।
✔️ अतः |Aᵀ| = |A|
🔵 प्रश्न 25:
यदि
|A| = 5
तो |2A| (A कोटि 3 का है) ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ सूत्र: |kA| = kⁿ × |A|, जहाँ n = कोटि
➤ यहाँ k = 2, n = 3
➤ |2A| = 2³ × 5 = 8 × 5 = 40
✔️ अंतिम उत्तर: |2A| = 40
🔵 प्रश्न 26:
त्रिकोणीय आव्यूह
A = ⎡3 2 1 ; 0 4 5 ; 0 0 6⎤
का सारणिक ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➤ त्रिकोणीय आव्यूह का सारणिक = विकर्ण अवयवों का गुणनफल
➤ |A| = 3 × 4 × 6 = 72
✔️ अंतिम उत्तर: |A| = 72
🔵 प्रश्न 27:
निम्नलिखित बिंदुओं (1, 2), (2, 3), (3, 4) के रेखीय होने की शर्त सारणिक से जाँचिए।
🟢 उत्तर:
➤ |
1 2 1
2 3 1
3 4 1
| = 1(3×1 − 1×4) − 2(2×1 − 1×3) + 1(2×4 − 3×3)
= 1(3 − 4) − 2(2 − 3) + 1(8 − 9)
= (−1) − 2(−1) + (−1)
= −1 + 2 − 1 = 0
✔️ चूंकि सारणिक = 0 ⇒ तीनों बिंदु एक ही रेखा पर हैं।
🔵 प्रश्न 28:
गुणधर्मों का उपयोग करके निम्न सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:
| 3 5 7 ; 6 10 14 ; 1 1 2 |
🟢 उत्तर:
➡️ अवलोकन: दूसरी पंक्ति = 2 × पहली पंक्ति
➡️ यदि दो पंक्तियाँ समप्रमाण हों ⇒ सारणिक = 0
अंतिम उत्तर: | 3 5 7 ; 6 10 14 ; 1 1 2 | = 0
🔵 प्रश्न 29 (दीर्घ):
सिद्ध कीजिए कि दो पंक्तियों का परस्पर आदान–प्रदान करने पर सारणिक का संकेत बदल जाता है।
🟢 उत्तर:
➡️ मान लें कोटि 3 का सारणिक Δ = | a₁₁ a₁₂ a₁₃ ; a₂₁ a₂₂ a₂₃ ; a₃₁ a₃₂ a₃₃ |
➡️ पहली पंक्ति व दूसरी पंक्ति का आदान–प्रदान करने पर नया सारणिक Δ′ = | a₂₁ a₂₂ a₂₃ ; a₁₁ a₁₂ a₁₃ ; a₃₁ a₃₂ a₃₃ |
➡️ विस्तार को पहली पंक्ति से लिखें: Δ = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃
➡️ Δ′ = a₂₁C′₁₁ + a₂₂C′₁₂ + a₂₃C′₁₃
➡️ आदान–प्रदान पर सह-अवयव के संकेत में (−1) गुणक आता है: C′₁j = −C₂j
➡️ अतः Δ′ = a₂₁(−C₂₁) + a₂₂(−C₂₂) + a₂₃(−C₂₃) = −(a₂₁C₂₁ + a₂₂C₂₂ + a₂₃C₂₃)
➡️ चूँकि a₂₁C₂₁ + a₂₂C₂₂ + a₂₃C₂₃ = Δ
अंतिम उत्तर: Δ′ = −Δ (अर्थात् पंक्तियों के आदान–प्रदान पर संकेत बदलता है)
🔵 प्रश्न 30 (दीर्घ):
गुणधर्मों से मान ज्ञात कीजिए:
| 1 2 3 ; 2 5 8 ; 3 8 15 |
🟢 उत्तर:
➡️ पंक्ति संक्रिया: R₂ → R₂ − 2R₁ ; R₃ → R₃ − 3R₁
➡️ नया सारणिक = | 1 2 3 ; 0 1 2 ; 0 2 6 |
➡️ अब स्तम्भ संक्रिया: C₃ → C₃ − 2C₂
➡️ सारणिक = | 1 2 (3 − 2×2) ; 0 1 (2 − 2×1) ; 0 2 (6 − 2×2) |
➡️ सारणिक = | 1 2 −1 ; 0 1 0 ; 0 2 2 |
➡️ कोटि 3 का त्रिकोणीय रूप पाने हेतु R₃ → R₃ − 2R₂
➡️ सारणिक = | 1 2 −1 ; 0 1 0 ; 0 0 2 |
➡️ त्रिकोणीय आव्यूह का सारणिक = विकर्ण गुणनफल
अंतिम उत्तर: | 1 2 3 ; 2 5 8 ; 3 8 15 | = 1 × 1 × 2 = 2
🔵 प्रश्न 31 (दीर्घ – क्रेमर का नियम):
रैखिक समीकरणों के इस समूह को सारणिक विधि से हल कीजिए:
x + 2y + z = 4
2x + y + 3z = 7
3x + 4y + 2z = 10
🟢 उत्तर:
➡️ गुणांक सारणिक D = | 1 2 1 ; 2 1 3 ; 3 4 2 |
➡️ D = 1(1×2 − 3×4) − 2(2×2 − 3×3) + 1(2×4 − 1×3)
➡️ D = 1(2 − 12) − 2(4 − 9) + (8 − 3)
➡️ D = (−10) − 2(−5) + 5 = −10 + 10 + 5 = 5
➡️ Dₓ: x–स्तम्भ को नियतांकों से बदलिए ⇒ | 4 2 1 ; 7 1 3 ; 10 4 2 |
➡️ Dₓ = 4(1×2 − 3×4) − 2(7×2 − 3×10) + 1(7×4 − 1×10)
➡️ Dₓ = 4(2 − 12) − 2(14 − 30) + (28 − 10)
➡️ Dₓ = 4(−10) − 2(−16) + 18 = −40 + 32 + 18 = 10
➡️ Dᵧ: y–स्तम्भ बदलिए ⇒ | 1 4 1 ; 2 7 3 ; 3 10 2 |
➡️ Dᵧ = 1(7×2 − 3×10) − 4(2×2 − 3×3) + 1(2×10 − 7×3)
➡️ Dᵧ = (14 − 30) − 4(4 − 9) + (20 − 21)
➡️ Dᵧ = (−16) − 4(−5) − 1 = −16 + 20 − 1 = 3
➡️ D_z: z–स्तम्भ बदलिए ⇒ | 1 2 4 ; 2 1 7 ; 3 4 10 |
➡️ D_z = 1(1×10 − 7×4) − 2(2×10 − 7×3) + 4(2×4 − 1×3)
➡️ D_z = (10 − 28) − 2(20 − 21) + 4(8 − 3)
➡️ D_z = (−18) − 2(−1) + 20 = −18 + 2 + 20 = 4
➡️ x = Dₓ/D = 10/5 = 2
➡️ y = Dᵧ/D = 3/5
➡️ z = D_z/D = 4/5
अंतिम उत्तर: x = 2 , y = 3/5 , z = 4/5
🔵 प्रश्न 32 (केस/अनुप्रयोग – क्षेत्रफल):
त्रिभुज के शीर्ष A(1, 2), B(4, 3), C(7, 6) हैं। सारणिक विधि से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ Δ = (1/2) × | 1 2 1 ; 4 3 1 ; 7 6 1 |
➡️ |·| = 1(3×1 − 1×6) − 2(4×1 − 1×7) + 1(4×6 − 3×7)
➡️ |·| = (3 − 6) − 2(4 − 7) + (24 − 21)
➡️ |·| = (−3) − 2(−3) + 3 = −3 + 6 + 3 = 6
➡️ Δ = (1/2) × 6
अंतिम उत्तर: क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई
🔵 प्रश्न 33 (केस/अनुप्रयोग – रेखीयता हेतु शर्त):
बिंदु P(1, k), Q(2, 3), R(4, 7) रेखीय हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
➡️ रेखीयता की शर्त: | 1 k 1 ; 2 3 1 ; 4 7 1 | = 0
➡️ विस्तार: = 1(3×1 − 1×7) − k(2×1 − 1×4) + 1(2×7 − 3×4)
➡️ = (3 − 7) − k(2 − 4) + (14 − 12)
➡️ = (−4) − k(−2) + 2
➡️ = −4 + 2k + 2 = 0
➡️ 2k − 2 = 0
➡️ 2k = 2
➡️ k = 1
अंतिम उत्तर: k = 1
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JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1:
यदि 2×2 सारणिक
| 3 4 |
| 2 5 |
का मान ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 7
🟩 2️⃣ 15
🟨 3️⃣ 23
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣ 7
📘 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 2:
यदि A = | 2 3 |
| 1 4 |
तो det(A) = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 11
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣ 5
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 3:
यदि A = | 1 2 3 |
| 0 1 4 |
| 5 6 0 |
तो det(A) = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ –1
🟨 3️⃣ 24
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 2️⃣ –1
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 4:
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 5:
| a b |
| ka kb |
का मान =
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ k(a² + b²)
🟨 3️⃣ a²b²
🟦 4️⃣ ab(k – 1)
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 6:
यदि | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
का मान ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ –1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 7:
यदि det(A) = 5, det(B) = 3, तो det(AB) = ?
🟥 1️⃣ 15
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 15
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 8:
यदि किसी सारणिक की दो स्तम्भ समान हों, तो उसका मान होगा
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 9:
यदि A = | 2 1 |
| 3 4 |
तो det(Aᵗ) = ?
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ –5
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 5
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 10:
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति के सभी पद 0 हैं, तो सारणिक का मान
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 11:
यदि det(A) = 2, तो det(2A) = ? (A एक 2×2 मैट्रिक्स है)
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 16
✔️ उत्तर: 1️⃣ 4
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 12:
यदि det(A) = 3 (3×3 मैट्रिक्स), तो det(2A) = ?
🟥 1️⃣ 24
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣ 24
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 13:
| cosθ sinθ |
| –sinθ cosθ |
का मान = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ –1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 14:
यदि det(A) = 4, det(B) = 2, तो det(A⁻¹B) = ?
🟥 1️⃣ 1/2
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ 8
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/2
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 15:
यदि det(A) = 0, तो A
🟥 1️⃣ Singular है
🟩 2️⃣ Non-singular है
🟨 3️⃣ Identity है
🟦 4️⃣ None
✔️ उत्तर: 1️⃣ Singular है
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 16:
| 2 3 1 |
| 1 0 4 |
| 3 2 5 |
का मान ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ –5
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ –10
✔️ उत्तर: 2️⃣ –5
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 17:
यदि det(A) = –2, det(B) = 3, तो det(AB⁻¹) = ?
🟥 1️⃣ –2/3
🟩 2️⃣ –6
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 2/3
✔️ उत्तर: 1️⃣ –2/3
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 18:
यदि det(A) = 1, तो det(Aᵗ) = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ –1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 19:
यदि det(A) = 0, तो det(Adj A) = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 20:
| 1 1 1 |
| 1 2 3 |
| 1 3 6 |
का मान ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 4
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 21:
यदि किसी सारणिक में एक पंक्ति दूसरी पंक्ति का गुणज है, तो उसका मान होगा
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 22:
यदि A एक 3×3 मैट्रिक्स है, det(A) = 2, तो det(3A) = ?
🟥 1️⃣ 54
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 18
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 1️⃣ 54
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 23:
| 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 1 5 9 |
का मान ज्ञात कीजिए।
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ –1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 24:
यदि det(A) = 1, det(B) = 2, तो det(A²B) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 25:
यदि det(A) = 3, det(B) = 2, det(C) = 4, तो det(ABC) = ?
🟥 1️⃣ 24
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 6
✔️ उत्तर: 1️⃣ 24
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 26:
यदि det(A) = 2, तो det(A³) = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 8
📘 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 27:
यदि det(A) = –3, तो det(A²) = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ –6
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ –9
✔️ उत्तर: 1️⃣ 9
📘 JEE Main 2024
🔵 प्रश्न 28:
यदि det(A) = 5, तो det(A⁻¹) = ?
🟥 1️⃣ 1/5
🟩 2️⃣ 5
🟨 3️⃣ –5
🟦 4️⃣ –1/5
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/5
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 29:
यदि A = | 2 1 0 |
| 0 3 1 |
| 1 0 4 |
तो det(A) = ?
🟥 1️⃣ 19
🟩 2️⃣ 21
🟨 3️⃣ 20
🟦 4️⃣ 18
✔️ उत्तर: 1️⃣ 19
📘 JEE Main 2023
🔵 प्रश्न 30:
यदि det(A) = 3, det(B) = –2, तो det(AB) = ?
🟥 1️⃣ –6
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ –6
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 31:
यदि A = | 1 2 |
| 3 4 |
तो det(2A) = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 2️⃣ 16
📘 JEE Main 2022
🔵 प्रश्न 32:
यदि det(A) = 4, तो det(5A) = ? (A 2×2 मैट्रिक्स)
🟥 1️⃣ 100
🟩 2️⃣ 20
🟨 3️⃣ 40
🟦 4️⃣ 25
✔️ उत्तर: 1️⃣ 100
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 33:
यदि det(A) = 2, तो det(4A) = ? (A 3×3 मैट्रिक्स)
🟥 1️⃣ 128
🟩 2️⃣ 64
🟨 3️⃣ 32
🟦 4️⃣ 16
✔️ उत्तर: 1️⃣ 128
📘 JEE Main 2021
🔵 प्रश्न 34:
यदि det(A) = 3, तो det(2A⁻¹) = ? (A 3×3)
🟥 1️⃣ 8/3
🟩 2️⃣ 8/9
🟨 3️⃣ 2/3
🟦 4️⃣ 3/8
✔️ उत्तर: 2️⃣ 8/9
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 35:
यदि det(A) = –4, det(B) = 2, तो det(AB⁻¹) = ?
🟥 1️⃣ –2
🟩 2️⃣ –8
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ –2
📘 JEE Main 2020
🔵 प्रश्न 36:
यदि det(A) = 2, तो det(Aᵗ) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ –2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ 1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 37:
यदि det(A) = 0, तो det(Aᵗ) = ?
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Main 2019
🔵 प्रश्न 38:
यदि A = | 1 1 1 |
| 1 2 3 |
| 1 4 9 |
तो det(A) = ?
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 3
✔️ उत्तर: 1️⃣ 2
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 39:
यदि A = | 2 3 1 |
| 0 1 4 |
| 1 0 5 |
तो det(A) = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 10
🟦 4️⃣ 7
✔️ उत्तर: 1️⃣ 9
📘 JEE Main 2018
🔵 प्रश्न 40:
यदि det(A) = 1, det(B) = 2, det(C) = 3, तो det(A²BC) = ?
🟥 1️⃣ 6
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 2️⃣ 12
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 41:
यदि det(A) = 5, det(B) = –3, det(C) = 2, तो det(ABC) = ?
🟥 1️⃣ –30
🟩 2️⃣ 30
🟨 3️⃣ –10
🟦 4️⃣ 10
✔️ उत्तर: 1️⃣ –30
📘 JEE Main 2017
🔵 प्रश्न 42:
यदि det(A) = –2, तो det(–A) = ? (3×3)
🟥 1️⃣ –8
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 2
🟦 4️⃣ –6
✔️ उत्तर: 2️⃣ 8
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 43:
यदि det(A) = 4, det(B) = 3, तो det(2A³B²) = ? (3×3)
🟥 1️⃣ 2¹⁵ × 4³ × 3²
🟩 2️⃣ 2⁹ × 4³ × 3²
🟨 3️⃣ 2⁹ × 4 × 3²
🟦 4️⃣ 2⁶ × 4² × 3³
✔️ उत्तर: 2️⃣ 2⁹ × 4³ × 3²
📘 JEE Main 2016
🔵 प्रश्न 44:
यदि det(A) = 3, तो det(A⁴) = ?
🟥 1️⃣ 81
🟩 2️⃣ 27
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣ 81
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 45:
यदि det(A) = 2, det(B) = 3, तो det(AB²) = ?
🟥 1️⃣ 18
🟩 2️⃣ 12
🟨 3️⃣ 6
🟦 4️⃣ 9
✔️ उत्तर: 1️⃣ 18
📘 JEE Main 2015
🔵 प्रश्न 46:
यदि det(A) = 1, तो det(AᵗA) = ?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ –1
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 47:
यदि det(A) = 2, det(B) = 3, det(C) = 4, तो det(A²BC²) = ?
🟥 1️⃣ 96
🟩 2️⃣ 48
🟨 3️⃣ 24
🟦 4️⃣ 12
✔️ उत्तर: 1️⃣ 96
📘 JEE Main 2014
🔵 प्रश्न 48:
यदि det(A) = 2, det(B) = 4, तो det(A⁻¹B²) = ?
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 2
✔️ उत्तर: 1️⃣ 8
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 49:
यदि det(A) = 3, तो det(Adj A) = ? (3×3)
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 27
🟨 3️⃣ 3
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 2️⃣ 27
📘 JEE Main 2013
🔵 प्रश्न 50:
यदि det(A) = 2, तो det(A⁻¹) = ?
🟥 1️⃣ 1/2
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ 0
✔️ उत्तर: 1️⃣ 1/2
📘 JEE Main 2013
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JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न
🔵 प्रश्न 1:
यदि ∣A∣ = 5 हो, तो ∣3A∣ का मान क्या होगा?
🟥 1️⃣ 15
🟩 2️⃣ 45
🟨 3️⃣ 125
🟦 4️⃣ 75
✅ उत्तर: 2️⃣ 45
📘 JEE Advanced 2024 – Paper 1
🔵 प्रश्न 2:
यदि किसी 3×3 सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो सारणिक का मान क्या होगा?
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 2️⃣ 0
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 3:
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियों का अदला-बदली करें, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ अपरिवर्तित
🟩 2️⃣ दुगुना
🟨 3️⃣ ऋणात्मक हो जाएगा
🟦 4️⃣ आधा
✅ उत्तर: 3️⃣ ऋणात्मक हो जाएगा
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 1
🔵 प्रश्न 4:
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति के प्रत्येक तत्व को किसी स्थिरांक k से गुणा किया जाए, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ अपरिवर्तित
🟩 2️⃣ k से गुणा होगा
🟨 3️⃣ k² से गुणा होगा
🟦 4️⃣ k³ से गुणा होगा
✅ उत्तर: 2️⃣ k से गुणा होगा
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 5:
यदि ∣A∣ = 2 हो, तो ∣A⁻¹∣ का मान होगा
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ –2
🟨 3️⃣ 1/2
🟦 4️⃣ –1/2
✅ उत्तर: 3️⃣ 1/2
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 1
🔵 प्रश्न 6:
यदि A एक वर्ग सारणिक है और ∣A∣ = 0 है, तो A का प्रतिलोम
🟥 1️⃣ अस्तित्व में होगा
🟩 2️⃣ अस्तित्व में नहीं होगा
🟨 3️⃣ शून्य होगा
🟦 4️⃣ एकक सारणिक होगा
✅ उत्तर: 2️⃣ अस्तित्व में नहीं होगा
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 7:
किसी त्रिकोणीय सारणिक का सारणिक मान क्या होता है?
🟥 1️⃣ सभी तत्वों का योग
🟩 2️⃣ विकर्णीय तत्वों का गुणनफल
🟨 3️⃣ विकर्णीय तत्वों का योग
🟦 4️⃣ सभी तत्वों का गुणनफल
✅ उत्तर: 2️⃣ विकर्णीय तत्वों का गुणनफल
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 1
🔵 प्रश्न 8:
यदि ∣A∣ = –3 और ∣B∣ = 2, तो ∣AB∣ का मान होगा
🟥 1️⃣ –6
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ 1
✅ उत्तर: 1️⃣ –6
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 9:
यदि किसी 3×3 सारणिक की दो पंक्तियाँ समानुपाती हों, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ धनात्मक
🟩 2️⃣ ऋणात्मक
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 3️⃣ 0
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 1
🔵 प्रश्न 10:
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति के सभी तत्व शून्य हों, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ –1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 3️⃣ 0
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 11:
यदि ∣A∣ = k, तो ∣Aᵗ∣ का मान होगा
🟥 1️⃣ k
🟩 2️⃣ –k
🟨 3️⃣ k²
🟦 4️⃣ 1/k
✅ उत्तर: 1️⃣ k
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 1
🔵 प्रश्न 12:
यदि किसी 2×2 सारणिक का मान 5 है और एक पंक्ति को 3 से गुणा किया जाए, तो नया सारणिक मान होगा
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 15
🟨 3️⃣ 8
🟦 4️⃣ 10
✅ उत्तर: 2️⃣ 15
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 13:
यदि किसी 3×3 सारणिक में एक पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के समान गुणक जोड़ें, तो
🟥 1️⃣ सारणिक बदल जाएगा
🟩 2️⃣ सारणिक अपरिवर्तित रहेगा
🟨 3️⃣ शून्य हो जाएगा
🟦 4️⃣ दुगुना हो जाएगा
✅ उत्तर: 2️⃣ सारणिक अपरिवर्तित रहेगा
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 1
🔵 प्रश्न 14:
यदि ∣A∣ = 4 हो, तो ∣2A∣ का मान होगा
🟥 1️⃣ 8
🟩 2️⃣ 16
🟨 3️⃣ 32
🟦 4️⃣ 64
✅ उत्तर: 3️⃣ 32
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 1
🔵 प्रश्न 15:
यदि A एक 3×3 सारणिक है, तो ∣kA∣ = ?
🟥 1️⃣ k³∣A∣
🟩 2️⃣ k²∣A∣
🟨 3️⃣ k∣A∣
🟦 4️⃣ ∣A∣
✅ उत्तर: 1️⃣ k³∣A∣
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 1
🔵 प्रश्न 16:
यदि A, B समान क्रम की सारणिक हैं, तो ∣A·B∣ = ?
🟥 1️⃣ ∣A∣ + ∣B∣
🟩 2️⃣ ∣A∣ – ∣B∣
🟨 3️⃣ ∣A∣ × ∣B∣
🟦 4️⃣ ∣A∣ / ∣B∣
✅ उत्तर: 3️⃣ ∣A∣ × ∣B∣
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 1
🔵 प्रश्न 17:
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ अदल-बदल की जाएँ और फिर से अदल-बदल की जाएँ, तो
🟥 1️⃣ सारणिक का चिह्न बदल जाएगा
🟩 2️⃣ सारणिक पूर्ववत रहेगा
🟨 3️⃣ सारणिक शून्य हो जाएगा
🟦 4️⃣ दुगुना हो जाएगा
✅ उत्तर: 2️⃣ सारणिक पूर्ववत रहेगा
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 1
🔵 प्रश्न 18:
यदि ∣A∣ = 6 हो, तो ∣A⁻¹∣ का मान होगा
🟥 1️⃣ 1/6
🟩 2️⃣ 6
🟨 3️⃣ –6
🟦 4️⃣ –1/6
✅ उत्तर: 1️⃣ 1/6
📘 JEE Advanced 2024 – Paper 2
🔵 प्रश्न 19:
यदि किसी सारणिक की दो स्तम्भ समानुपाती हों, तो उसका मान क्या होगा?
🟥 1️⃣ धनात्मक
🟩 2️⃣ ऋणात्मक
🟨 3️⃣ शून्य
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 3️⃣ शून्य
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 20:
यदि किसी 3×3 सारणिक की सभी पंक्तियों में समान स्थिरांक k जोड़ दिया जाए, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ अपरिवर्तित
🟩 2️⃣ दुगुना
🟨 3️⃣ शून्य
🟦 4️⃣ आधा
✅ उत्तर: 3️⃣ शून्य
📘 JEE Advanced 2023 – Paper 2
🔵 प्रश्न 21:
यदि ∣A∣ = 4 हो, तो ∣A²∣ का मान होगा
🟥 1️⃣ 4
🟩 2️⃣ 8
🟨 3️⃣ 16
🟦 4️⃣ 2
✅ उत्तर: 3️⃣ 16
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 22:
यदि A एक वर्ग सारणिक है और ∣A∣ ≠ 0 है, तो A का प्रतिलोम
🟥 1️⃣ अस्तित्व में नहीं होगा
🟩 2️⃣ अस्तित्व में होगा
🟨 3️⃣ सदैव शून्य होगा
🟦 4️⃣ एकक सारणिक होगा
✅ उत्तर: 2️⃣ अस्तित्व में होगा
📘 JEE Advanced 2022 – Paper 2
🔵 प्रश्न 23:
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति के सभी तत्वों को k से गुणा किया जाए, तो नया मान होगा
🟥 1️⃣ k गुना
🟩 2️⃣ k² गुना
🟨 3️⃣ k³ गुना
🟦 4️⃣ अपरिवर्तित
✅ उत्तर: 1️⃣ k गुना
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 24:
यदि किसी 3×3 सारणिक की दो पंक्तियाँ परस्पर समानुपाती हों, तो सारणिक का मान
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ –1
🟨 3️⃣ 0
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 3️⃣ 0
📘 JEE Advanced 2021 – Paper 2
🔵 प्रश्न 25:
यदि A = [ [1, 2], [3, 4] ] हो, तो ∣A∣ = ?
🟥 1️⃣ –2
🟩 2️⃣ 2
🟨 3️⃣ 4
🟦 4️⃣ –4
✅ उत्तर: 1️⃣ –2
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 26:
यदि किसी 2×2 सारणिक का मान 5 है और एक पंक्ति को 2 से गुणा करें, तो नया मान होगा
🟥 1️⃣ 5
🟩 2️⃣ 10
🟨 3️⃣ 15
🟦 4️⃣ 20
✅ उत्तर: 2️⃣ 10
📘 JEE Advanced 2020 – Paper 2
🔵 प्रश्न 27:
यदि ∣A∣ = k हो, तो ∣adj(A)∣ = ? (जहाँ A क्रम 3×3 है)
🟥 1️⃣ k²
🟩 2️⃣ k³
🟨 3️⃣ k⁴
🟦 4️⃣ k⁵
✅ उत्तर: 2️⃣ k³
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 28:
यदि किसी 3×3 सारणिक की दो पंक्तियाँ अदला-बदली की जाएँ, तो नया मान होगा
🟥 1️⃣ ऋणात्मक
🟩 2️⃣ धनात्मक
🟨 3️⃣ अपरिवर्तित
🟦 4️⃣ दोगुना
✅ उत्तर: 1️⃣ ऋणात्मक
📘 JEE Advanced 2019 – Paper 2
🔵 प्रश्न 29:
यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति के सभी तत्व शून्य हों, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ 1
🟩 2️⃣ 0
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 2️⃣ 0
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 30:
यदि A = [ [2, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 4] ], तो ∣A∣ = ?
🟥 1️⃣ 9
🟩 2️⃣ 24
🟨 3️⃣ 12
🟦 4️⃣ 6
✅ उत्तर: 2️⃣ 24
📘 JEE Advanced 2018 – Paper 2
🔵 प्रश्न 31:
यदि किसी सारणिक के सभी तत्वों को k से गुणा किया जाए (n×n सारणिक), तो नया मान होगा
🟥 1️⃣ k
🟩 2️⃣ kⁿ
🟨 3️⃣ k²
🟦 4️⃣ k³
✅ उत्तर: 2️⃣ kⁿ
📘 JEE Advanced 2017 – Paper 2
🔵 प्रश्न 32:
यदि ∣A∣ = 2, तो ∣adj(A)∣ = ? (क्रम 2×2)
🟥 1️⃣ 2
🟩 2️⃣ 4
🟨 3️⃣ 1
🟦 4️⃣ 0
✅ उत्तर: 2️⃣ 4
📘 JEE Advanced 2016 – Paper 2
🔵 प्रश्न 33:
यदि किसी सारणिक की पंक्तियों को किसी क्रम में अदला-बदली करके फिर वही क्रम वापस कर दिया जाए, तो
🟥 1️⃣ मान बदल जाएगा
🟩 2️⃣ मान पूर्ववत रहेगा
🟨 3️⃣ मान शून्य होगा
🟦 4️⃣ अपरिभाषित रहेगा
✅ उत्तर: 2️⃣ मान पूर्ववत रहेगा
📘 JEE Advanced 2015 – Paper 2
🔵 प्रश्न 34:
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो सारणिक का मान होगा
🟥 1️⃣ 0
🟩 2️⃣ 1
🟨 3️⃣ –1
🟦 4️⃣ अपरिभाषित
✅ उत्तर: 1️⃣ 0
📘 JEE Advanced 2013 – Paper 2
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अभ्यास के लिए प्रश्न
🔵 प्रश्न 1
कोटि 2 के सारणिक | 3 4 ; 2 5 | का मान है
🟢 (A) 7
🟡 (B) 8
🔴 (C) 15
🟠 (D) 11
Answer: (A) 7
🔵 प्रश्न 2
यदि A = ⎡1 2 ; 3 4⎤, तो |A| =
🟢 (A) −2
🟡 (B) 2
🔴 (C) 0
🟠 (D) 1
Answer: (A) −2
🔵 प्रश्न 3
किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों तो उसका मान होता है
🟢 (A) 1
🟡 (B) 0
🔴 (C) −1
🟠 (D) अपरिभाषित
Answer: (B) 0
🔵 प्रश्न 4
यदि किसी स्तम्भ के सभी अवयवों को k से गुणा किया जाए, तो नया सारणिक
🟢 (A) k गुणा पुराना
🟡 (B) k² गुणा पुराना
🔴 (C) अपरिवर्तित
🟠 (D) शून्य
Answer: (A) k गुणा पुराना
🔵 प्रश्न 5
यदि A = ⎡2 0 ; 0 3⎤, तो |A| =
🟢 (A) 6
🟡 (B) 5
🔴 (C) 2
🟠 (D) 0
Answer: (A) 6
🔵 प्रश्न 6
A = ⎡a b ; c d⎤ के लिए |A| =
🟢 (A) ad − bc
🟡 (B) ab − cd
🔴 (C) ac − bd
🟠 (D) bc − ad
Answer: (A) ad − bc
🔵 प्रश्न 7
यदि किसी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हों, तो सारणिक का मान
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🔴 (C) −1
🟠 (D) k
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 8
|Aᵀ| का मान होता है
🟢 (A) |A|
🟡 (B) −|A|
🔴 (C) 0
🟠 (D) 1
Answer: (A) |A|
🔵 प्रश्न 9
A = ⎡1 2 ; 4 8⎤ के लिए |A| =
🟢 (A) 0
🟡 (B) 2
🔴 (C) 4
🟠 (D) 8
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 10
A = ⎡cosθ sinθ ; −sinθ cosθ⎤ के लिए |A| =
🟢 (A) 1
🟡 (B) 0
🔴 (C) −1
🟠 (D) cos²θ
Answer: (A) 1
🔵 प्रश्न 11
त्रिकोणीय आव्यूह का सारणिक बराबर होता है
🟢 (A) सभी अवयवों के योग
🟡 (B) सभी अवयवों के गुणनफल
🔴 (C) विकर्ण अवयवों के गुणनफल
🟠 (D) विकर्ण अवयवों के योग
Answer: (C) विकर्ण अवयवों के गुणनफल
🔵 प्रश्न 12
|A| = 0 होने पर A कहलाता है
🟢 (A) एकवाची
🟡 (B) अनैकवाची
🔴 (C) एकक
🟠 (D) प्रतिलोम
Answer: (A) एकवाची
🔵 प्रश्न 13
दो पंक्तियों का आदान–प्रदान करने पर सारणिक
🟢 (A) अपरिवर्तित
🟡 (B) ऋणात्मक चिह्न के साथ बदलता है
🔴 (C) वर्ग हो जाता है
🟠 (D) शून्य हो जाता है
Answer: (B) ऋणात्मक चिह्न के साथ बदलता है
🔵 प्रश्न 14
|A| = 0 का ज्यामितीय अर्थ (पंक्ति–सदिशों हेतु)
🟢 (A) आश्रित नहीं
🟡 (B) रैखिक आश्रित
🔴 (C) समकोणिक
🟠 (D) एकक
Answer: (B) रैखिक आश्रित
🔵 प्रश्न 15
A = ⎡1 1 1 ; 2 3 4 ; 3 5 7⎤ के लिए |A| =
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🔴 (C) 2
🟠 (D) 3
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 16
A = ⎡1 2 3 ; 0 1 4 ; 5 6 0⎤ के लिए |A| =
🟢 (A) 1
🟡 (B) −1
🔴 (C) 0
🟠 (D) 2
Answer: (A) 1
🔵 प्रश्न 17
|A| = 3 और A कोटि 3 का है, तो |2A| =
🟢 (A) 24
🟡 (B) 12
🔴 (C) 6
🟠 (D) 3
Answer: (A) 24
🧠 कारण: |kA| = kⁿ|A|, जहाँ n = कोटि = 3,
इसलिए |2A| = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
🔵 प्रश्न 18
A = ⎡1 2 ; 3 4⎤ का सह-अवयव आव्यूह है
🟢 (A) ⎡4 −3 ; −2 1⎤
🟡 (B) ⎡1 2 ; 3 4⎤
🔴 (C) ⎡−4 3 ; 2 −1⎤
🟠 (D) ⎡0 1 ; 1 0⎤
Answer: (A) ⎡4 −3 ; −2 1⎤
🔵 प्रश्न 19
|A| = 5 (A कोटि 2) ⇒ |3A| =
🟢 (A) 15
🟡 (B) 45
🔴 (C) 90
🟠 (D) 30
Answer: (B) 45
🧠 कारण: |kA| = kⁿ|A| = 3² × 5 = 9 × 5 = 45
🔵 प्रश्न 20
तीन बिंदु (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) रेखीय हैं यदि
🟢 (A) | x₁ y₁ 1 ; x₂ y₂ 1 ; x₃ y₃ 1 | = 0
🟡 (B) | x₁ y₁ ; x₂ y₂ | = 1
🔴 (C) x₁+x₂+x₃=0
🟠 (D) y₁+y₂+y₃=0
Answer: (A) | x₁ y₁ 1 ; x₂ y₂ 1 ; x₃ y₃ 1 | = 0
🔵 प्रश्न 21
यदि A प्रतिलोमनीय है, तो |A⁻¹| =
🟢 (A) |A|
🟡 (B) 1/|A|
🔴 (C) |A|²
🟠 (D) −|A|
Answer: (B) 1/|A|
🔵 प्रश्न 22
A प्रतिलोमनीय है, B कोई वर्ग आव्यूह है: |A B A⁻¹| =
🟢 (A) |B|
🟡 (B) |A||B|/|A|
🔴 (C) |A|²|B|
🟠 (D) 1
Answer: (A) |B|
🔵 प्रश्न 23
A कोटि 3, |A| = k ≠ 0, तब |adj(A)| =
🟢 (A) k²
🟡 (B) k³
🔴 (C) k
🟠 (D) 1/k
Answer: (A) k²
🔵 प्रश्न 24
यदि A एक कोटि 3 का ऊर्ध्व त्रिकोणीय आव्यूह है जिसके विकर्ण अवयव a, b, c हैं, तो |A| =
🟢 (A) a+b+c
🟡 (B) abc
🔴 (C) ab+bc+ca
🟠 (D) a²+b²+c²
Answer: (B) abc
🔵 प्रश्न 25
यदि |A| = 2 और |B| = −3 (दोनों कोटि 3), तो |Aᵀ B⁻¹| =
🟢 (A) −2/3
🟡 (B) 2/3
🔴 (C) −6
🟠 (D) 6
Answer: (B) 2/3
🧠 कारण: |Aᵀ B⁻¹| = |Aᵀ| × |B⁻¹| = |A| × 1/|B| = 2 × 1/3 = 2/3
🔵 प्रश्न 26
यदि |A| = 4 और A कोटि 3 का है, तो |adj(A)| =
🟢 (A) 4²
🟡 (B) 4³
🔴 (C) 4
🟠 (D) 1/4
Answer: (A) 4²
🧠 कारण: |adj(A)| = |A|ⁿ⁻¹ = |A|² = 4² = 16
🔵 प्रश्न 27
यदि |A| = k ≠ 0, तो |A⁻¹| =
🟢 (A) 1/k
🟡 (B) k
🔴 (C) k²
🟠 (D) 0
Answer: (A) 1/k
🔵 प्रश्न 28
यदि A = ⎡1 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 3⎤, तो |2A| =
🟢 (A) 8 × |A|
🟡 (B) 6 × |A|
🔴 (C) 2 × |A|
🟠 (D) 4 × |A|
Answer: (A) 8 × |A|
🧠 कारण: कोटि n = 3 ⇒ |kA| = k³|A| ⇒ 2³ = 8
🔵 प्रश्न 29
यदि |A| = 2, |B| = 3, तो |A³ B²| =
🟢 (A) 2³ × 3²
🟡 (B) 2² × 3³
🔴 (C) 6
🟠 (D) 0
Answer: (A) 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
🔵 प्रश्न 30
यदि |A| = 5, तो |AᵀA| =
🟢 (A) 25
🟡 (B) 5
🔴 (C) 10
🟠 (D) 0
Answer: (A) 25
🧠 कारण: |AᵀA| = |Aᵀ| × |A| = |A|² = 25
🔵 प्रश्न 31
यदि |A| = −2, तो |A²| =
🟢 (A) 4
🟡 (B) −4
🔴 (C) 2
🟠 (D) 0
Answer: (A) 4
🧠 कारण: |A²| = |A|² = (−2)² = 4
🔵 प्रश्न 32
यदि A = ⎡1 2 ; 3 4⎤, B = ⎡0 1 ; 1 0⎤, तो |AB| =
🟢 (A) |A||B|
🟡 (B) |A| + |B|
🔴 (C) |A| − |B|
🟠 (D) |A|/|B|
Answer: (A) |A||B|
🔵 प्रश्न 33
यदि A एकवाची है, तो |A| =
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🔴 (C) −1
🟠 (D) 2
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 34
|A| = k ≠ 0 ⇒ |adj(A)| × |A| =
🟢 (A) k³
🟡 (B) k²
🔴 (C) k
🟠 (D) 1
Answer: (A) k³
🔵 प्रश्न 35
यदि A = I (एकक आव्यूह), तो |adj(A)| =
🟢 (A) 1
🟡 (B) 0
🔴 (C) −1
🟠 (D) 2
Answer: (A) 1
🔵 प्रश्न 36
यदि A = ⎡a 0 0 ; 0 b 0 ; 0 0 c⎤, तो |A| =
🟢 (A) abc
🟡 (B) a + b + c
🔴 (C) a² + b² + c²
🟠 (D) ab + bc + ca
Answer: (A) abc
🔵 प्रश्न 37
यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समानुपाती हों, तो उसका मान
🟢 (A) 0
🟡 (B) 1
🔴 (C) −1
🟠 (D) k
Answer: (A) 0
🔵 प्रश्न 38
|A| = 2 ⇒ |adj(Aᵀ)| =
🟢 (A) 4
🟡 (B) 2
🔴 (C) 1/2
🟠 (D) 8
Answer: (A) 4
🔵 प्रश्न 39
यदि |A| = −3, तो |−A| =
🟢 (A) (−1)ⁿ|A|
🟡 (B) (−1)³|A|
🔴 (C) 3
🟠 (D) 9
Answer: (B) (−1)³|A| = −1 × (−3) = 3
🔵 प्रश्न 40
यदि A, B दोनों कोटि 2 के हैं और |A| = 4, |B| = 3, तो |2AB| =
🟢 (A) 2² × |A||B|
🟡 (B) 2 × |A||B|
🔴 (C) 4 × |A||B|
🟠 (D) 2³ × |A||B|
Answer: (A) 2² × |A||B| = 4 × 4 × 3 = 48
🧠 अब आगे के Q41–Q50 (JEE Advanced स्तर):
🔵 प्रश्न 41
यदि A एक प्रतिलोमनीय आव्यूह है, तो adj(A⁻¹) =
🟢 (A) adj(A)⁻¹
🟡 (B) A
🔴 (C) adj(A)/|A|
🟠 (D) A/|A|
Answer: (A) adj(A)⁻¹
🔵 प्रश्न 42
यदि |A| = k, तो |adj(adj(A))| =
🟢 (A) k⁶
🟡 (B) k⁴
🔴 (C) k²
🟠 (D) 1
Answer: (A) k⁶ (क्योंकि कोटि 3 के लिए |adj(adj(A))| = |A|⁶)
🔵 प्रश्न 43
यदि |A| ≠ 0, तो adj(Aᵀ) =
🟢 (A) adj(A)ᵀ
🟡 (B) adj(A)
🔴 (C) A
🟠 (D) I
Answer: (A) adj(A)ᵀ
🔵 प्रश्न 44
यदि |A| = 2, तो |A⁻¹ adj(A²)| का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 (A) 8
🟡 (B) 4
🔴 (C) 2
🟠 (D) 1
Answer: (A) 8
🔵 प्रश्न 45
A प्रतिलोमनीय है, तब A(adj(A)) =
🟢 (A) |A|I
🟡 (B) I
🔴 (C) 0
🟠 (D) A²
Answer: (A) |A|I
🔵 प्रश्न 46
यदि A कोटि 3 का है और |A| = 2, तो |adj(A³)| =
🟢 (A) 2⁶
🟡 (B) 2⁹
🔴 (C) 2³
🟠 (D) 1
Answer: (A) 2⁶ = 64
🔵 प्रश्न 47
यदि adj(A) = 0, तो
🟢 (A) |A| = 0
🟡 (B) |A| ≠ 0
🔴 (C) A प्रतिलोमनीय है
🟠 (D) A = I
Answer: (A) |A| = 0
🔵 प्रश्न 48
यदि |A| = k ≠ 0, तो |Aⁿ| =
🟢 (A) kⁿ
🟡 (B) nᵏ
🔴 (C) k
🟠 (D) 1
Answer: (A) kⁿ
🔵 प्रश्न 49
यदि |A| = 2, तो |A⁻³| =
🟢 (A) 1/8
🟡 (B) 8
🔴 (C) 4
🟠 (D) 1/4
Answer: (A) 1/8
🧠 कारण: |A⁻³| = (|A⁻¹|)³ = (1/|A|)³ = (1/2)³ = 1/8
🔵 प्रश्न 50
यदि A, B, C कोटि 3 के हैं, तो |ABC| =
🟢 (A) |A||B||C|
🟡 (B) |A| + |B| + |C|
🔴 (C) |A||B| + |C|
🟠 (D) 0
Answer: (A) |A||B||C|
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