Class 12 : Maths (Hindi) – अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔵 परिचय:
त्रिकोणमितिय फलन (Trigonometric Functions) की सहायता से कोणों और उनके संबंधित त्रिकोणमितीय मानों के बीच संबंध को व्यक्त किया जाता है। किंतु जब हमें किसी त्रिकोणमितीय फलन का मान दिया हो और हमें उसके आधार पर कोण ज्ञात करना हो, तब हमें प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों (Inverse Trigonometric Functions) की आवश्यकता पड़ती है।
➡️ यह अध्याय इसी प्रकार के प्रतिलोम फलनों का अध्ययन कराता है।
➡️ ये फलन गणित के कई क्षेत्रों जैसे कि बीजगणित, कलन, ज्यामिति और भौतिकी में अत्यंत महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

🟡 1️⃣ प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलन की आवश्यकता क्यों?
🌿 जब हम कहते हैं कि sin θ = 1/2, तो θ का मान क्या होगा? इसका उत्तर प्रतिलोम फलन से मिलता है।
🧠 इसे इस प्रकार लिखा जाता है : θ = sin⁻¹(1/2)
इसका अर्थ है – ऐसा कोण, जिसका sine 1/2 हो।
✔️ इसी कारण प्रतिलोम फलनों की आवश्यकता पड़ती है।

🟢 2️⃣ त्रिकोणमितिय फलन के प्रतिलोम की परिभाषा
➡️ चूंकि त्रिकोणमितिय फलन एक-एक फलन नहीं होते, इसलिए उनके प्रतिलोम फलनों को परिभाषित करने हेतु उनके प्रांत (Domain) को सीमित करना पड़ता है।
✏️ Note: एक-एक फलन (One-one) और परिपूर्ण फलन (Onto) का ही प्रतिलोम फलन संभव है।
मुख्य फलन और उनके प्रतिलोम फलनों के प्रांत और परास (Domain and Range):
फलन प्रांत (Domain) परास (Range) प्रतिलोम का प्रांत प्रतिलोम का परास
sin [−π/2, π/2] [−1, 1] [−1, 1] [−π/2, π/2]
cos [0, π] [−1, 1] [−1, 1] [0, π]
tan (−π/2, π/2) R R (−π/2, π/2)
cot (0, π) R R (0, π)
sec [0, π], y ≠ π/2 (−∞, −1]∪[1, ∞) (−∞, −1]∪[1, ∞) [0, π], y ≠ π/2
cosec [−π/2, π/2], y ≠ 0 (−∞, −1]∪[1, ∞) (−∞, −1]∪[1, ∞) [−π/2, π/2], y ≠ 0

🔴 3️⃣ मानक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
(i) sin⁻¹ x
✔️ प्रांत: [−1, 1]
✔️ परास: [−π/2, π/2]
➡️ sin(sin⁻¹ x) = x
➡️ sin⁻¹(sin x) = x (जहाँ x ∈ [−π/2, π/2])
(ii) cos⁻¹ x
✔️ प्रांत: [−1, 1]
✔️ परास: [0, π]
(iii) tan⁻¹ x
✔️ प्रांत: R
✔️ परास: (−π/2, π/2)
इसी प्रकार अन्य फलनों के लिए भी परिभाषाएँ दी जाती हैं।

🔵 4️⃣ प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों के गुणधर्म (Properties)
⚡ मूल गुणधर्म:
1️⃣ sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹ x
2️⃣ cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹ x
3️⃣ tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹ x
4️⃣ sec⁻¹(−x) = π − sec⁻¹ x
5️⃣ cosec⁻¹(−x) = −cosec⁻¹ x
6️⃣ cot⁻¹(−x) = π − cot⁻¹ x
💡 Concept: इन गुणधर्मों का उपयोग करके जटिल प्रश्नों को सरल रूप में बदला जाता है।

🟡 5️⃣ प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों के बीच संबंध
1️⃣ sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2
2️⃣ tan⁻¹ x + cot⁻¹ x = π/2
3️⃣ sec⁻¹ x + cosec⁻¹ x = π/2
✔️ इन संबंधों का उपयोग प्रश्न हल करने में अत्यंत सहायक होता है।

🟢 6️⃣ समीकरण हल करने की विधियाँ
उदाहरण:
यदि sin⁻¹ x + sin⁻¹ y = π/2 हो, तो x² + y² = ?
हल:
sin⁻¹ x + sin⁻¹ y = π/2
➡️ cos⁻¹ x = sin⁻¹ y
➡️ x² + y² = 1
✅ ऐसे प्रश्नों में इन गुणधर्मों का सीधे प्रयोग किया जाता है।

🔴 7️⃣ प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों के ग्राफ
➡️ इन ग्राफों के अध्ययन से इनके परास और प्रांत को भली-भांति समझा जा सकता है।
उदाहरण:
sin⁻¹ x का ग्राफ [−1, 1] में होता है तथा मान [−π/2, π/2] तक होते हैं।
✏️ Note: सभी ग्राफ सुसंगत एवं स्पष्ट होने चाहिए।

🟢 8️⃣ सममितीय गुणधर्म (Symmetry Properties)
✔️ sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, cosec⁻¹ x का ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित (odd function) होता है।
✔️ cos⁻¹ x, sec⁻¹ x का ग्राफ Y-अक्ष के सापेक्ष सममित (even function) होता है।

🟡 9️⃣ यौगिक फलनों (Composite Functions) के प्रश्न
➡️ cos⁻¹(sin x) इत्यादि प्रकार के प्रश्नों में सावधानी से परास और प्रांत का ध्यान रखते हुए हल करना होता है।
उदाहरण: cos⁻¹(sin π/3) = cos⁻¹(√3/2) = π/6

🔴 10️⃣ प्रतियोगी परीक्षाओं और जीवन में उपयोग
💡 Concept:
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग गणितीय मॉडल, रेखांकन, यांत्रिकी, इंजीनियरिंग, भौतिकी, और विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में किया जाता है।
➡️ प्राय: Integration में इनका विशेष स्थान होता है।
➡️ कंप्यूटर ग्राफिक्स और सिग्नल प्रोसेसिंग में भी इनका उपयोग होता है।

⚡ 💡 Why This Lesson Matters (यह अध्याय क्यों महत्त्वपूर्ण है?)
🧠 यह अध्याय गणित के गहरे अध्ययनों का आधार है।
✔️ उच्च गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के क्षेत्र में अनिवार्य।
➡️ कई प्राकृतिक घटनाओं के गणितीय मॉडल बनाने में सहायक।
🌿 सिग्नल प्रोसेसिंग, मशीन लर्निंग, कृत्रिम बुद्धिमत्ता में महत्त्वपूर्ण भूमिका।

📝 Quick Recap:
🔵 sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ के प्रांत और परास स्पष्ट रूप से याद रखें।
🟢 सभी गुणधर्मों को सूत्र के रूप में याद रखना अनिवार्य।
🔴 यौगिक फलनों के प्रश्न सावधानी से हल करें।
🟡 ग्राफ के सममितीय गुणधर्मों को समझना आवश्यक।

🔷 संक्षिप्त सारांश (300 शब्दों में)
✔️ इस पाठ में प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों का अध्ययन किया गया।
✔️ त्रिकोणमितिय फलनों के प्रतिलोम को परिभाषित करने हेतु उनके प्रांत को सीमित करना आवश्यक है।
✔️ sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ इत्यादि फलनों के प्रांत और परास निश्चित होते हैं।

🔵 मुख्य बिंदु:
➡️ sin⁻¹ x : प्रांत [−1, 1], परास [−π/2, π/2]
➡️ cos⁻¹ x : प्रांत [−1, 1], परास [0, π]
➡️ tan⁻¹ x : प्रांत R, परास (−π/2, π/2)

✔️ प्रतिलोम त्रिकोणमितिय फलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म —
sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹ x, cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹ x, tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹ x आदि।
✔️ इन फलनों के बीच के संबंध महत्वपूर्ण :
sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, tan⁻¹ x + cot⁻¹ x = π/2
✔️ ग्राफ के माध्यम से प्रांत और परास को आसानी से समझ सकते हैं।
✔️ यौगिक फलनों को हल करते समय सावधानी से परास का ध्यान रखें।

➡️ उपयोगिता:
इस अध्याय का उपयोग उन्नत गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, प्रतियोगी परीक्षाओं, और कंप्यूटर ग्राफिक्स में होता है।
यह अध्याय त्रिकोणमितीय फलनों की गहराई को समझाने हेतु आधारशिला है।

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

🧮 प्रश्नावली 2.1

🔵 प्रश्न:
निम्नलिखित के मुख्य मानों को ज्ञात कीजिए —

🔹 (1) sin⁻¹(−1/2)
✏️ हम जानते हैं कि sin(−θ) = −sin(θ)
और sin(π/6) = 1/2
➡️ sin⁻¹(−1/2) = −π/6
✔️ उत्तर: −π/6

🔹 (2) cos⁻¹(√3/2)
✏️ cos(π/6) = √3/2
और cos⁻¹ का परास [0, π] है
✔️ उत्तर: π/6

🔹 (3) cosec⁻¹(2)
✏️ cosec(π/6) = 2
✔️ उत्तर: π/6

🔹 (4) tan⁻¹(−√3)
✏️ tan(−θ) = −tan(θ)
और tan(π/3) = √3
➡️ tan⁻¹(−√3) = −π/3
✔️ उत्तर: −π/3

🔹 (5) cos⁻¹(−1/2)
✏️ cos(2π/3) = −1/2
और cos⁻¹ का परास [0, π]
✔️ उत्तर: 2π/3

🔹 (6) tan⁻¹(−1)
✏️ tan(−θ) = −tan(θ), tan(π/4) = 1
➡️ tan⁻¹(−1) = −π/4
✔️ उत्तर: −π/4

🔹 (7) sec⁻¹(2/√3)
✏️ sec(π/6) = 2/√3
✔️ उत्तर: π/6

🔹 (8) cot⁻¹(√3)
✏️ cot(π/6) = √3
✔️ उत्तर: π/6

🔹 (9) cos⁻¹(−1/√2)
✏️ cos(3π/4) = −1/√2
✔️ उत्तर: 3π/4

🔹 (10) cosec⁻¹(−√2)
✏️ cosec(−π/4) = −√2
✔️ उत्तर: −π/4

🔵 प्रश्न 11:
tan⁻¹(1) + cos⁻¹(−1/2) + sin⁻¹(−1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ tan⁻¹(1) = π/4
cos⁻¹(−1/2) = 2π/3
sin⁻¹(−1/2) = −π/6
➡️ योग = π/4 + 2π/3 − π/6
अब ल.स.प. = 12
= (3π + 8π − 2π)/12
= 9π/12 = 3π/4
✔️ उत्तर: 3π/4

🔵 प्रश्न 12:
cos⁻¹(1/2) + 2 sin⁻¹(1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर:
✏️ cos⁻¹(1/2) = π/3
sin⁻¹(1/2) = π/6
➡️ 2 sin⁻¹(1/2) = 2 × π/6 = π/3
योग = π/3 + π/3 = 2π/3
✔️ उत्तर: 2π/3

🔵 प्रश्न 13:
यदि sin⁻¹x = y, तो y का परास (Range) क्या होगा?
🟢 उत्तर:
sin⁻¹x का परास होता है [−π/2, π/2]
✔️ उत्तर: (B) −π/2 ≤ y ≤ π/2

🔵 प्रश्न 14:
tan⁻¹(√3) − sec⁻¹(−2) का मान बराबर है —
🟢 उत्तर:
✏️ tan⁻¹(√3) = π/3
sec⁻¹(−2) = π − sec⁻¹(2) = π − π/3 = 2π/3
➡️ tan⁻¹(√3) − sec⁻¹(−2) = π/3 − 2π/3 = −π/3
अब परास [0, π] में लाने हेतु
⇒ π − π/3 = 2π/3
✔️ उत्तर: (D) 2π/3

प्रश्नावली 2.2

🔵 प्रश्न 1: सिद्ध कीजिए — 3 sin⁻¹x = sin⁻¹(3x − 4x³), x ∈ [−1/2, 1/2]
🟢 उत्तर:
✏️ मान लें θ = sin⁻¹x ⇒ sin θ = x तथा θ ∈ [−π/2, π/2]
➡️ पहचान: sin(3θ) = 3 sin θ − 4 sin³ θ = 3x − 4x³
➡️ अतः sin⁻¹(3x − 4x³) = 3θ , बशर्ते 3θ, sin⁻¹ के परास [−π/2, π/2] में हो।
💡 x ∈ [−1/2, 1/2] ⇒ |x| ≤ 1/2 ⇒ |θ| ≤ π/6 ⇒ |3θ| ≤ π/2 (परास के भीतर)।
✔️ निष्कर्ष: 3 sin⁻¹x = sin⁻¹(3x − 4x³)

🔵 प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए — 3 cos⁻¹x = cos⁻¹(4x³ − 3x), x ∈ [1/2, 1]
🟢 उत्तर:
✏️ मान लें θ = cos⁻¹x ⇒ cos θ = x तथा θ ∈ [0, π]
➡️ पहचान: cos(3θ) = 4 cos³ θ − 3 cos θ = 4x³ − 3x
➡️ x ∈ [1/2, 1] ⇒ θ ∈ [0, π/3] ⇒ 3θ ∈ [0, π] (cos⁻¹ का परास)
✔️ निष्कर्ष: 3 cos⁻¹x = cos⁻¹(4x³ − 3x)

🔵 प्रश्न 3: tan⁻¹( (√(1 + x²) − 1) / x ), x ≠ 0 — सरल रूप लिखिए
🟢 उत्तर:
✏️ मान लें θ = tan⁻¹x ⇒ tan θ = x, √(1 + x²) = sec θ
➡️ भिन्न = (sec θ − 1)/tan θ = ( (1 − cos θ)/cos θ ) ÷ (sin θ/ cos θ) = (1 − cos θ)/sin θ = tan(θ/2)
✔️ अतः tan⁻¹( … ) = θ/2 = (1/2) tan⁻¹x

🔵 प्रश्न 4: tan⁻¹( √{(1 − cos x)/(1 + cos x)} ), 0 < x < π — सरल रूप लिखिए
🟢 उत्तर:
✏️ पहचान: √{(1 − cos x)/(1 + cos x)} = tan(x/2) (0 < x < π ⇒ धनात्मक)
✔️ अतः मान = tan⁻¹( tan(x/2) ) = x/2

🔵 प्रश्न 5: tan⁻¹( (cos x − sin x)/(cos x + sin x) ), −π/4 < x < 3π/4 — सरल रूप लिखिए
🟢 उत्तर:
✏️ (cos x − sin x)/(cos x + sin x) = (1 − tan x)/(1 + tan x) = tan(π/4 − x)
दिए परास में π/4 − x ∈ (−π/2, π/2)
✔️ अतः मान = tan⁻¹( tan(π/4 − x) ) = π/4 − x

🔵 प्रश्न 6: tan⁻¹( x / √(a² − x²) ), |x| < a — सरल रूप लिखिए
🟢 उत्तर:
✏️ x = a sin θ लें (|x| < a ⇒ θ ∈ (−π/2, π/2)) ⇒ √(a² − x²) = a cos θ
➡️ भिन्न = (a sin θ)/(a cos θ) = tan θ
✔️ अतः मान = tan⁻¹( tan θ ) = θ = sin⁻¹( x/a )

🔵 प्रश्न 7: tan⁻¹( (3a²x − x³)/(a³ − 3ax²) ), a > 0, −a/√3 < x < a/√3 — सरल रूप लिखिए
🟢 उत्तर:
✏️ t = x/a लें ⇒ |t| < 1/√3
➡️ भिन्न = [a³(3t − t³)] / [a³(1 − 3t²)] = (3t − t³)/(1 − 3t²) = tan(3θ) जहाँ t = tan θ
क्योंकि |t| < 1/√3 ⇒ θ ∈ (−π/6, π/6) ⇒ 3θ ∈ (−π/2, π/2)
✔️ अतः मान = tan⁻¹( tan(3θ) ) = 3θ = 3 tan⁻¹( x/a )

🔵 प्रश्न 8:
मान ज्ञात कीजिए :
tan⁻¹ [ 2cos( 2sin⁻¹(1/2) ) ]
🟢 उत्तर:
✏️ सबसे पहले sin⁻¹(1/2) = π/6 क्योंकि sin(π/6) = 1/2
➡️ अतः 2sin⁻¹(1/2) = 2 × π/6 = π/3
➡️ अब cos(π/3) = 1/2
➡️ फिर 2 × cos(π/3) = 2 × 1/2 = 1
✔️ अतः tan⁻¹(1) = π/4
🟩 अंतिम उत्तर: π/4

🔵 प्रश्न 9:
मान ज्ञात कीजिए :
tan⁻¹(1/2)[ sin⁻¹( 2x / (1 + x²) ) + cos⁻¹( (1 − y²) / (1 + y²) ) ],
जहाँ |x| < 1, y > 0 तथा xy < 1
🟢 उत्तर:
✏️ ज्ञात सूत्र :
sin⁻¹( 2x / (1 + x²) ) = 2tan⁻¹(x)
cos⁻¹( (1 − y²) / (1 + y²) ) = 2tan⁻¹(y)
➡️ अतः कोष्ठक के अंदर का मान :
2tan⁻¹(x) + 2tan⁻¹(y) = 2( tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) )
➡️ अब पूरी अभिव्यक्ति :
tan⁻¹(1/2)[ 2( tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) ) ] = tan⁻¹( tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) )
अब मान लें
θ₁ = tan⁻¹(x), θ₂ = tan⁻¹(y)
तब
tan(θ₁ + θ₂) = (x + y) / (1 − xy)
✔️ अतः
tan⁻¹( tan⁻¹(x) + tan⁻¹(y) ) = tan⁻¹( (x + y) / (1 − xy) )
🟩 अंतिम उत्तर: tan⁻¹( (x + y) / (1 − xy) )

🔵 प्रश्न 10
sin⁻¹( sin(2π/3) ) का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
sin(2π/3) = sin(π − π/3) = sin(π/3) = √3/2
sin⁻¹ का परास [−π/2, π/2] है और sin⁻¹(√3/2) = π/3
✔️ अंतिम उत्तर: π/3

────────────────────────────────

🔵 प्रश्न 11
tan⁻¹( tan(3π/4) ) का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
tan(3π/4) = −1
tan⁻¹(−1) का मुख्य मान = −π/4 (परास (−π/2, π/2))
✔️ अंतिम उत्तर: −π/4

────────────────────────────────

🔵 प्रश्न 12
tan( sin⁻¹(3/5) + cot⁻¹(3/2) ) का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
मान लें α = sin⁻¹(3/5) ⇒ sin α = 3/5, cos α = 4/5 ⇒ tan α = 3/4
मान लें β = cot⁻¹(3/2) ⇒ cot β = 3/2 ⇒ tan β = 2/3
अब tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)
= (3/4 + 2/3) / (1 − (3/4)(2/3))
= (17/12) / (1/2) = 17/6
✔️ अंतिम उत्तर: 17/6

────────────────────────────────

🔵 प्रश्न 13 (बहुविकल्प)
cos⁻¹( cos(7π/6) ) का मान बराबर है —
(A) 7π/6 (B) 5π/6 (C) π/3 (D) π/6

🟢 उत्तर
cos(7π/6) = cos(π + π/6) = −cos(π/6) = −√3/2
cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6 (क्योंकि cos⁻¹ का परास [0, π])
✔️ सही विकल्प: (B) 5π/6

────────────────────────────────

🔵 प्रश्न 14 (बहुविकल्प)
sin( π/3 − sin⁻¹(−1/2) ) का मान —
(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1

🟢 उत्तर
sin⁻¹(−1/2) = −π/6
अभिव्यक्ति = sin( π/3 − (−π/6) ) = sin( π/3 + π/6 ) = sin(π/2) = 1
✔️ सही विकल्प: (D) 1

────────────────────────────────

🔵 प्रश्न 15 (बहुविकल्प)
tan⁻¹(√3) − cot⁻¹(−√3) का मान ज्ञात कीजिए।

🟢 उत्तर
tan⁻¹(√3) = π/3
cot⁻¹(−√3) = π − cot⁻¹(√3) = π − π/6 = 5π/6 (परास (0, π))
अतः मान = π/3 − 5π/6 = −π/2
✔️ अंतिम उत्तर: −π/2 (उपलब्ध विकल्पों में यही मान चुनें)

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(CBSE MODEL प्रश्न पत्र)

सिर्फ इसी पाठ से निर्मित CBSE MODEL प्रश्न पत्र।

SECTION A (Q1 – Q18 : 1 MARK EACH)

❓ Q1. cos⁻¹ (cos (7π / 6)) का मान है :
(A) π/6
(B) 5π/6
(C) –5π/6
(D) –π/6
✅ Answer 1: (C) –5π/6

❓ Q2. sin⁻¹ (0) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π
(C) π/2
(D) –π/2
✅ Answer 2: (A) 0

❓ Q3. यदि cos⁻¹ x + cos⁻¹ y = π/2 हो, तो x² + y² का मान होगा :
(A) 1
(B) 0
(C) 2
(D) √2
✅ Answer 3: (A) 1

❓ Q4. निम्नलिखित में कौनसा कथन सत्य है?
sin⁻¹ (−x) = −sin⁻¹ x
(A) सत्य
(B) असत्य
✅ Answer 4: (A) सत्य

❓ Q5. tan⁻¹ (1) का मान है :
(A) π/2
(B) 0
(C) π/4
(D) π
✅ Answer 5: (C) π/4

❓ Q6. cos⁻¹ (1/2) का मान है :
(A) π/6
(B) π/3
(C) π/4
(D) π/2
✅ Answer 6: (B) π/3

❓ Q7. निम्न में कौन सा सही मेल है?
(A) sin⁻¹ 1 = π/2
(B) cos⁻¹ 1 = π/2
(C) tan⁻¹ 0 = π/2
(D) sin⁻¹ 0 = π/2
✅ Answer 7: (A) sin⁻¹ 1 = π/2

❓ Q8. Assertion (कथन) : sin⁻¹ (x) + cos⁻¹ (x) = π/2
Reason (कारण) : sin और cos के परास पूरक होते हैं।
(A) Assertion और Reason दोनों सही हैं।
(B) केवल Assertion सही है।
(C) दोनों गलत हैं।
(D) Assertion सही, Reason गलत।
✅ Answer 8: (A) Assertion और Reason दोनों सही हैं।

❓ Q9. cos⁻¹ (–1) का मान क्या है?
(A) 0
(B) π
(C) π/2
(D) –π
✅ Answer 9: (B) π

❓ Q10. यदि tan⁻¹ (x) + cot⁻¹ (x) = ?
(A) π/2
(B) π
(C) 0
(D) 2π
✅ Answer 10: (A) π/2

❓ Q11. cosec⁻¹ (2) का मान :
(A) π/6
(B) π/2
(C) π/3
(D) π/4
✅ Answer 11: (A) π/6

❓ Q12. cos⁻¹ (√3/2) का मान है :
(A) π/3
(B) π/6
(C) π/4
(D) π/2
✅ Answer 12: (A) π/6

❓ Q13. sin⁻¹ (1/2) का मान है :
(A) π/3
(B) π/6
(C) π/4
(D) π/2
✅ Answer 13: (B) π/6

❓ Q14. cos⁻¹ (0) का मान है :
(A) π/2
(B) π
(C) 0
(D) –π/2
✅ Answer 14: (A) π/2

❓ Q15. यदि sin⁻¹ (3/5) = θ, तो cos θ = ?
(A) 4/5
(B) 5/3
(C) 3/4
(D) 1
✅ Answer 15: (A) 4/5

❓ Q16. sin (tan⁻¹ x) का मान :
(A) x / √(1 + x²)
(B) 1 / √(1 + x²)
(C) x / √(1 − x²)
(D) √(1 + x²)
✅ Answer 16: (A) x / √(1 + x²)

❓ Q17. Assertion (कथन) : tan⁻¹ (–x) = –tan⁻¹ x
Reason (कारण) : tan⁻¹ फलन विषम फलन है।
(A) Assertion और Reason दोनों सही।
(B) Assertion सही, Reason गलत।
(C) दोनों गलत।
(D) केवल Reason सही।
✅ Answer 17: (A) Assertion और Reason दोनों सही।

❓ Q18. cos⁻¹ (x) का परास (Range) होता है :
(A) (–π, π)
(B) [0, π]
(C) [–π/2, π/2]
(D) [0, 2π]
✅ Answer 18: (B) [0, π]


🔶 SECTION B (Q19 – Q23 : 2 MARKS EACH)

❓ Q19. सिद्ध कीजिए कि :
sin⁻¹ (x) + cos⁻¹ (x) = π/2
✅ Answer 19:
➡️ मान लीजिए sin⁻¹ (x) = θ
तो, sin θ = x ⇒ cos θ = √(1 − x²)
अब, cos⁻¹ (√(1 − x²)) = π/2 − θ
इसलिए, θ + cos⁻¹ (√(1 − x²)) = π/2
पर cos⁻¹ (√(1 − x²)) = cos⁻¹ (cos θ) = θ
अतः sin⁻¹ (x) + cos⁻¹ (x) = π/2 ✅

❓ Q20. सिद्ध कीजिए कि :
tan⁻¹ (x) + cot⁻¹ (x) = π/2
✅ Answer 20:
➡️ tan⁻¹ (x) का परास (−π/2, π/2), cot⁻¹ (x) का परास (0, π)
हम जानते हैं : cot⁻¹ x = π/2 − tan⁻¹ x
अतः tan⁻¹ (x) + cot⁻¹ (x) = π/2 ✅

❓ Q21. यदि sin⁻¹ (3/5) = θ हो, तो cos θ और tan θ के मान ज्ञात कीजिए।
✅ Answer 21:
➡️ sin θ = 3/5
तो, cos θ = √(1 − (3/5)²) = 4/5
और tan θ = 3/4
🔷 Final Answer : cos θ = 4/5, tan θ = 3/4 ✅

❓ Q22. cos⁻¹ (−x) = π − cos⁻¹ (x) सिद्ध कीजिए।
✅ Answer 22:
➡️ cos (π − θ) = − cos θ
तो, cos⁻¹ (−x) = π − cos⁻¹ (x)
यह cos के प्रतिलोम फलन की परास के आधार पर सत्य है। ✅

❓ Q23. यदि tan⁻¹ (√3) = θ, तो sin θ और cos θ ज्ञात कीजिए।
✅ Answer 23:
➡️ tan θ = √3 ⇒ θ = π/3
तो sin θ = √3 / 2, cos θ = 1 / 2 ✅

🔷 SECTION C (Q24 – Q28 : 3 MARKS EACH)

❓ Q24. सिद्ध कीजिए :
sin⁻¹ (−x) = −sin⁻¹ (x)
✅ Answer 24:
➡️ मान लीजिए sin⁻¹ (x) = θ
तो sin θ = x
अब, sin (−θ) = −sin θ ⇒ −x
अतः sin⁻¹ (−x) = −θ = −sin⁻¹ (x) ✅

❓ Q25. यदि cos⁻¹ (3/5) = θ हो, तो sin θ, tan θ और cot θ के मान ज्ञात कीजिए।
✅ Answer 25:
➡️ cos θ = 3/5
तो sin θ = √(1 − (3/5)²) = 4/5
tan θ = 4/3
cot θ = 3/4
🔷 Final Answer : sin θ = 4/5, tan θ = 4/3, cot θ = 3/4 ✅

❓ Q26. सिद्ध कीजिए :
tan⁻¹ (−x) = −tan⁻¹ (x)
✅ Answer 26:
➡️ tan (−θ) = − tan θ
तो, tan⁻¹ (−x) = − tan⁻¹ (x)
यह tan के प्रतिलोम फलन के विषम होने के कारण सत्य है। ✅

❓ Q27. यदि sin⁻¹ (x) = A, cos⁻¹ (x) = B हो, तो A + B का मान क्या होगा?
✅ Answer 27:
➡️ sin⁻¹ (x) + cos⁻¹ (x) = π/2
अतः A + B = π/2 ✅

❓ Q28. यदि tan⁻¹ (1) = θ हो, तो θ का मान क्या है? θ के लिए sin θ और cos θ ज्ञात कीजिए।
✅ Answer 28:
➡️ tan θ = 1 ⇒ θ = π/4
sin (π/4) = 1/√2
cos (π/4) = 1/√2 ✅


🔶 SECTION D (Q29 – Q31 : 4 MARKS EACH)

❓ Q29.
CASE-BASED QUESTION:
किसी त्रिभुज में sin⁻¹ (3/5) = θ और cos⁻¹ (5/13) = φ दिए गए हैं। निम्नलिखित के उत्तर दीजिए –
(i) cos θ का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) sin φ का मान ज्ञात कीजिए।
(iii) tan (θ + φ) का मान ज्ञात कीजिए।
(iv) tan⁻¹ (θ + φ) का मान क्या होगा?

✅ Answer 29:
(i) sin θ = 3/5 ⇒ cos θ = 4/5
(ii) cos φ = 5/13 ⇒ sin φ = 12/13
(iii) tan θ = 3/4, tan φ = 12/5
tan (θ + φ) = (tan θ + tan φ) / (1 − tan θ tan φ)
= (3/4 + 12/5) / (1 − (3/4)(12/5)) = (15/20 + 48/20) / (1 − 36/20) = (63/20) / (−16/20) = −63/16
(iv) tan⁻¹ (−63/16) का उत्तर −tan⁻¹ (63/16) होगा।

❓ Q30.
CASE-BASED QUESTION:
x ∈ [0, 1] के लिए सिद्ध कीजिए :
tan⁻¹ √x = (1/2) cos⁻¹ ( (1 − x) / (1 + x) )

✅ Answer 30:
मान लीजिए √x = tan θ
⇒ x = tan² θ
cos 2θ = (1 − tan² θ) / (1 + tan² θ) = (1 − x) / (1 + x)
⇒ 2θ = cos⁻¹ ( (1 − x) / (1 + x) )
पर θ = tan⁻¹ √x
तो 2 tan⁻¹ √x = cos⁻¹ ( (1 − x) / (1 + x) )
⇒ tan⁻¹ √x = (1/2) cos⁻¹ ( (1 − x) / (1 + x) ) ✅

❓ Q31.
CASE-BASED QUESTION:
सिद्ध कीजिए :
cot⁻¹ ( (√(1 + sin x) + √(1 − sin x)) / (√(1 + sin x) − √(1 − sin x)) ) = x / 2, x ∈ (0, π/4)

✅ Answer 31:
यह प्रश्न NCERT में पहले सिद्ध किया जा चुका है।
sin x = 2 sin (x/2) cos (x/2)
1 + sin x = (sin (x/2) + cos (x/2))²
1 − sin x = (cos (x/2) − sin (x/2))²
इन्हें रखकर काटकर सरल करने पर cot⁻¹ (tan (π/4 + x/2)) आएगा।
अतः उत्तर = x / 2 ✅

🔷 SECTION E (Q32 – Q35 : 5 MARKS EACH)

❓ Q32.
cos⁻¹ (4/5) + cos⁻¹ (12/13) = cos⁻¹ (33/65) सिद्ध कीजिए।

✅ Answer 32:
cos⁻¹ (4/5) = θ, cos⁻¹ (12/13) = φ
cos θ = 4/5, sin θ = 3/5
cos φ = 12/13, sin φ = 5/13
cos (θ + φ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ
= (4/5)(12/13) − (3/5)(5/13) = (48/65) − (15/65) = 33/65
⇒ θ + φ = cos⁻¹ (33/65) ✅

❓ Q33.
sin⁻¹ (8/17) + sin⁻¹ (3/5) = tan⁻¹ (77/36) सिद्ध कीजिए।

✅ Answer 33:
sin⁻¹ (8/17) = θ, sin⁻¹ (3/5) = φ
sin θ = 8/17, cos θ = 15/17
sin φ = 3/5, cos φ = 4/5
tan θ = 8/15, tan φ = 3/4
tan (θ + φ) = (tan θ + tan φ) / (1 − tan θ tan φ)
= (8/15 + 3/4) / (1 − (8/15)(3/4)) = (32/60 + 45/60) / (1 − 24/60)
= (77/60) / (36/60) = 77/36
⇒ θ + φ = tan⁻¹ (77/36) ✅

❓ Q34.
cos⁻¹ (12/13) + sin⁻¹ (3/5) = sin⁻¹ (56/65) सिद्ध कीजिए।

✅ Answer 34:
cos⁻¹ (12/13) = θ, sin⁻¹ (3/5) = φ
cos θ = 12/13, sin θ = 5/13
sin φ = 3/5, cos φ = 4/5
sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ
= (5/13)(4/5) + (12/13)(3/5) = 20/65 + 36/65 = 56/65
⇒ θ + φ = sin⁻¹ (56/65) ✅

❓ Q35.
यदि sin⁻¹ (1−x) − 2 sin⁻¹ x = π/2 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

✅ Answer 35:
मान लीजिए sin⁻¹ (1−x) = A, sin⁻¹ x = B
A − 2B = π/2
⇒ A = π/2 + 2B
sin A = cos 2B = 1 − 2 sin² B = 1 − 2x²
sin A = 1 − x
तो, 1 − x = 1 − 2x²
⇒ x = 0 या x = 1/2
🔷 Final Answer : x = 1/2 ✅

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

JEE MAINS पिछले सालों के प्रश्न

प्रश्न 1. यदि sin⁻¹ x + cos⁻¹ x का मान है :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2024 | पाली : 2 | सेट : A

प्रश्न 2. cos⁻¹ (–1) का मान क्या है ?
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2023 | पाली : 1 | सेट : B

प्रश्न 3. tan⁻¹ (–1) का मान :
(अ) π/4
(ब) –π/4
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2022 | पाली : 2 | सेट : C

प्रश्न 4. sin⁻¹ (0) का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2021 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 5. tan⁻¹ 1 + cot⁻¹ 1 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2020 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 6. cos⁻¹ 0 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2020 | पाली : 1 | सेट : C

प्रश्न 7. cos⁻¹ x का परास होता है :
(अ) (–π, π)
(ब) [0, π]
(स) [–π/2, π/2]
(द) [0, 2π]
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2019 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 8. sin⁻¹ 1 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2018 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 9. यदि sin⁻¹ (3/5) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) 4/5
(ब) 5/3
(स) 3/4
(द) 1
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2018 | पाली : 2 | सेट : C

प्रश्न 10. sin⁻¹ (–x) का मान होता है :
(अ) sin⁻¹ x
(ब) –sin⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2017 | पाली : 2 | सेट : A

प्रश्न 11. tan⁻¹ (0) का मान :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2017 | पाली : 1 | सेट : B

प्रश्न 12. cos⁻¹ 1 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2016 | पाली : 2 | सेट : A

प्रश्न 13. यदि tan⁻¹ (√3) = θ हो, तो sin θ का मान :
(अ) 1/2
(ब) √3 / 2
(स) 1
(द) 0
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2016 | पाली : 1 | सेट : B

प्रश्न 14. cosec⁻¹ 2 का मान :
(अ) π/6
(ब) π/2
(स) π/3
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2015 | पाली : 2 | सेट : C

प्रश्न 15. cos⁻¹ (√3/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2015 | पाली : 1 | सेट : B

प्रश्न 16. sin⁻¹ (1/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2014 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 17. sin (tan⁻¹ x) का मान :
(अ) x / √(1 + x²)
(ब) 1 / √(1 + x²)
(स) x / √(1 – x²)
(द) √(1 + x²)
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2014 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 18. यदि sin⁻¹ (1 – x) – 2 sin⁻¹ x = π/2 हो, तो x का मान :
(अ) 0
(ब) 1/2
(स) 1
(द) 1/3
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2013 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 19. tan⁻¹ (1) का मान :
(अ) π/4
(ब) π/2
(स) π
(द) 0
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2013 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 20. tan⁻¹ (–1) का प्रधान मान :
(अ) –π/4
(ब) π/4
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2012 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 21. sin⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र :
(अ) (–∞, ∞)
(ब) [–1, 1]
(स) [0, π]
(द) [–π/2, π/2]
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2012 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 22. tan⁻¹ (–x) का मान :
(अ) –tan⁻¹ x
(ब) tan⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2011 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 23. cos⁻¹ (–x) का मान :
(अ) π – cos⁻¹ x
(ब) –cos⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) π + cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2011 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 24. tan⁻¹ x का परास :
(अ) (–π/2, π/2)
(ब) (0, π)
(स) (–π, π)
(द) (0, 2π)
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2010 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 25. यदि sin⁻¹ (x) = A, cos⁻¹ (x) = B, तो A + B का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2010 | पाली : 2 | सेट : B


प्रश्न 26. cos⁻¹ (1/2) का मान क्या है ?
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2009 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 27. यदि cos⁻¹ (x) = A, sin⁻¹ (x) = B हो, तो A + B का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2009 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 28. यदि sin⁻¹ (x) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x²
(द) x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2008 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 29. cos⁻¹ (√3/2) का मान :
(अ) π/6
(ब) π/3
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2008 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 30. tan⁻¹ 0 का मान :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2007 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 31. cos⁻¹ 1 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2007 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 32. यदि tan⁻¹ (1) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) 1 / √2
(ब) 0
(स) 1
(द) √3 / 2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2006 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 33. sin (cos⁻¹ (x)) का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x
(द) x²
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2006 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 34. cos (sin⁻¹ (x)) का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x
(द) x²
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2005 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 35. cos⁻¹ (0) का मान :
(अ) π/2
(ब) 0
(स) π
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2005 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 36. यदि sin⁻¹ (x) = θ हो, तो tan θ का मान :
(अ) x / √(1 − x²)
(ब) √(1 − x²) / x
(स) √(1 + x²)
(द) x²
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2004 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 37. sin⁻¹ 0 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2004 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 38. tan⁻¹ (1) का मान :
(अ) π/4
(ब) π/2
(स) π
(द) 0
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2003 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 39. cos⁻¹ 0 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2003 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 40. sin⁻¹ 1 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2002 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 41. tan⁻¹ (0) का मान :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2002 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 42. sin⁻¹ (–x) = ?
(अ) sin⁻¹ x
(ब) –sin⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2001 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 43. cos⁻¹ (–x) = ?
(अ) π – cos⁻¹ x
(ब) –cos⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) π + cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 44. tan⁻¹ (–x) = ?
(अ) –tan⁻¹ x
(ब) tan⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 45. cos⁻¹ (1) का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 46. tan⁻¹ (–1) का मान :
(अ) –π/4
(ब) π/4
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 47. cos⁻¹ (1/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 48. cos⁻¹ 1 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 1 | सेट : A

प्रश्न 49. sin⁻¹ 0 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 2 | सेट : B

प्रश्न 50. cos⁻¹ (0) का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2001 | पाली : 1 | सेट : A

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

JEE ADVANCED पिछले सालों के प्रश्न

Q1. यदि sin⁻¹ x + cos⁻¹ x का मान है :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2025 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q2. cos⁻¹ (−1) का मान है :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2024 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q3. tan⁻¹ (–1) का मान :
(अ) π/4
(ब) –π/4
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2023 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q4. sin⁻¹ (0) का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2022 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q5. tan⁻¹ 1 + cot⁻¹ 1 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2021 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q6. cos⁻¹ 0 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2020 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q7. cos⁻¹ x का परास :
(अ) (–π, π)
(ब) [0, π]
(स) [–π/2, π/2]
(द) [0, 2π]
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2019 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q8. sin⁻¹ 1 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2018 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q9. यदि sin⁻¹ (3/5) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) 4/5
(ब) 5/3
(स) 3/4
(द) 1
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2017 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q10. sin⁻¹ (−x) का मान :
(अ) sin⁻¹ x
(ब) –sin⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2016 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q11. tan⁻¹ 0 का मान :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2015 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q12. cos⁻¹ 1 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2014 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q13. यदि tan⁻¹ (√3) = θ हो, तो sin θ का मान :
(अ) 1/2
(ब) √3/2
(स) 1
(द) 0
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2013 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q14. cosec⁻¹ 2 का मान :
(अ) π/6
(ब) π/2
(स) π/3
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2012 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q15. cos⁻¹ (√3/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2011 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q16. sin⁻¹ (1/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2010 | पेपर : 1 | सेट : 1

Q17. tan⁻¹ (–x) का मान :
(अ) –tan⁻¹ x
(ब) tan⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2009 | पेपर : 1 | सेट : 1

प्रश्न 18 से 34 — JEE Advanced Paper 2

Q18. cos⁻¹ (–x) का मान :
(अ) π – cos⁻¹ x
(ब) –cos⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) π + cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2025 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q19. cos⁻¹ (0) का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2024 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q20. sin⁻¹ 0 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2023 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q21. cos⁻¹ 1 का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2022 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q22. sin⁻¹ 1 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2021 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q23. cos⁻¹ (1/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2020 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q24. यदि sin⁻¹ (x) = A, cos⁻¹ (x) = B हो, तो A + B का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2019 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q25. यदि sin⁻¹ (x) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x²
(द) x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2018 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q26. sin (cos⁻¹ x) का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x
(द) x²
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2017 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q27. cos (sin⁻¹ x) का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x
(द) x²
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2016 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q28. tan⁻¹ (0) का मान :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2015 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q29. tan⁻¹ (1) का मान :
(अ) π/4
(ब) π/2
(स) π
(द) 0
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2014 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q30. cos⁻¹ (0) का मान :
(अ) π/2
(ब) 0
(स) π
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2013 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q31. sin⁻¹ (–x) का मान :
(अ) sin⁻¹ x
(ब) –sin⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (ब)
वर्ष : 2012 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q32. cos⁻¹ (–x) का मान :
(अ) π – cos⁻¹ x
(ब) –cos⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) π + cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2011 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q33. tan⁻¹ (–x) का मान :
(अ) –tan⁻¹ x
(ब) tan⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2010 | पेपर : 2 | सेट : 1

Q34. cos⁻¹ (1) का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π/2
उत्तर : (अ)
वर्ष : 2009 | पेपर : 2 | सेट : 1

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मॉडल अभ्यास सेट

प्रश्न 1 से 25 : जेईई मेन स्तर

Q1. cos⁻¹ (1) का मान है :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) π/4
उत्तर : (अ)

Q2. sin⁻¹ (0) का मान है :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)

Q3. tan⁻¹ (0) का मान है :
(अ) 0
(ब) π/2
(स) π
(द) π/4
उत्तर : (अ)

Q4. cos⁻¹ (0) का मान है :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)

Q5. sin⁻¹ (1) का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) π/4
उत्तर : (अ)

Q6. tan⁻¹ (1) का मान :
(अ) π/4
(ब) π/2
(स) π
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q7. cos⁻¹ (1/2) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)

Q8. यदि sin⁻¹ (x) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x²
(द) x
उत्तर : (अ)

Q9. cos (sin⁻¹ x) का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x
(द) x²
उत्तर : (अ)

Q10. sin (cos⁻¹ x) का मान :
(अ) √(1 − x²)
(ब) √(1 + x²)
(स) x
(द) x²
उत्तर : (अ)

Q11. cos⁻¹ (−x) = ?
(अ) π – cos⁻¹ x
(ब) –cos⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) π + cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)

Q12. sin⁻¹ (−x) = ?
(अ) sin⁻¹ x
(ब) –sin⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (ब)

Q13. tan⁻¹ (−x) = ?
(अ) –tan⁻¹ x
(ब) tan⁻¹ x
(स) cos⁻¹ x
(द) –cos⁻¹ x
उत्तर : (अ)

Q14. cos⁻¹ x का परास होता है :
(अ) [0, π]
(ब) (–π, π)
(स) [–π/2, π/2]
(द) [0, 2π]
उत्तर : (अ)

Q15. tan⁻¹ x का परास होता है :
(अ) (–π/2, π/2)
(ब) (0, π)
(स) (–π, π)
(द) (0, 2π)
उत्तर : (अ)

Q16. sin⁻¹ x का परिभाषा क्षेत्र :
(अ) [–1, 1]
(ब) (–∞, ∞)
(स) [0, π]
(द) [–π/2, π/2]
उत्तर : (अ)

Q17. cos⁻¹ (√3/2) का मान :
(अ) π/6
(ब) π/3
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)

Q18. यदि tan⁻¹ (√3) = θ हो, तो sin θ का मान :
(अ) 1/2
(ब) √3 / 2
(स) 1
(द) 0
उत्तर : (ब)

Q19. यदि sin⁻¹ (3/5) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) 4/5
(ब) 5/3
(स) 3/4
(द) 1
उत्तर : (अ)

Q20. cos⁻¹ (–1) का मान :
(अ) 0
(ब) π
(स) π/2
(द) –π
उत्तर : (ब)

Q21. sin⁻¹ (0.5) का मान :
(अ) π/6
(ब) π/3
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)

Q22. यदि sin⁻¹ (x) = A, cos⁻¹ (x) = B हो, तो A + B का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)

Q23. tan⁻¹ (1) + cot⁻¹ (1) का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)

Q24. cos⁻¹ 0 का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) –π/2
उत्तर : (अ)

Q25. यदि sin⁻¹ (x) = θ हो, तो tan θ का मान :
(अ) x / √(1 − x²)
(ब) √(1 − x²) / x
(स) √(1 + x²)
(द) x²
उत्तर : (अ)

प्रश्न 26 से 50 : जेईई एडवांस्ड स्तर

Q26. यदि sin⁻¹ (3/5) + sin⁻¹ (4/5) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) 24/25
(ब) 7/25
(स) 1/5
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q27. यदि cos⁻¹ (3/5) + cos⁻¹ (4/5) = θ, तो sin θ का मान :
(अ) 24/25
(ब) 7/25
(स) 1/5
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q28. cos⁻¹ (x) + sin⁻¹ (x) = ?
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)

Q29. tan⁻¹ (x) + cot⁻¹ (x) का मान :
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (अ)

Q30. यदि cos⁻¹ (4/5) = θ, तो tan θ का मान :
(अ) 3/4
(ब) 4/3
(स) 5/3
(द) 1
उत्तर : (अ)

Q31. यदि tan⁻¹ (3/4) = θ हो, तो cos θ का मान :
(अ) 4/5
(ब) 5/3
(स) 3/5
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q32. sin (tan⁻¹ (x)) का मान :
(अ) x / √(1 + x²)
(ब) 1 / √(1 + x²)
(स) x / √(1 − x²)
(द) √(1 + x²)
उत्तर : (अ)

Q33. cos (tan⁻¹ (x)) का मान :
(अ) 1 / √(1 + x²)
(ब) x / √(1 + x²)
(स) x² / (1 + x²)
(द) √(1 − x²)
उत्तर : (अ)

Q34. यदि sin⁻¹ (x) = A, cos⁻¹ (x) = B, तो A + B = π/2 क्यों होता है?
(अ) परास पूरक होते हैं
(ब) परिभाषा से
(स) दोनों फलनों का संयोजन
(द) कोई कारण नहीं
उत्तर : (अ)

Q35. यदि cos⁻¹ (3/5) = θ हो, तो cos 2θ का मान :
(अ) 7/25
(ब) 24/25
(स) 1
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q36. tan (2 tan⁻¹ x) = ?
(अ) 2x / (1 − x²)
(ब) (1 − x²) / (2x)
(स) 2x / (1 + x²)
(द) (1 + x²) / (2x)
उत्तर : (अ)

Q37. यदि sin⁻¹ (x) = θ हो, तो cos (2θ) = ?
(अ) 1 − 2x²
(ब) 2x² − 1
(स) x²
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q38. यदि cos⁻¹ (x) = θ हो, तो sin (2θ) = ?
(अ) 2x√(1 − x²)
(ब) x²
(स) 1 − x²
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q39. यदि tan⁻¹ (x) = A हो, तो sin (2A) = ?
(अ) 2x / (1 + x²)
(ब) 2x / (1 − x²)
(स) (1 − x²) / (1 + x²)
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q40. यदि cos⁻¹ (x) = θ हो, तो tan (θ) = ?
(अ) √(1 − x²) / x
(ब) x / √(1 − x²)
(स) √(1 + x²)
(द) 1
उत्तर : (अ)

Q41. यदि sin⁻¹ (1 − x) − 2 sin⁻¹ x = π/2 हो, तो x = ?
(अ) 1/2
(ब) 1/3
(स) 0
(द) 1
उत्तर : (अ)

Q42. यदि tan⁻¹ (1) = θ, तो θ का मान :
(अ) π/4
(ब) 0
(स) π
(द) π/2
उत्तर : (अ)

Q43. यदि cos⁻¹ (x) = π/3 हो, तो x का मान :
(अ) 1/2
(ब) 0
(स) √3/2
(द) 1
उत्तर : (अ)

Q44. cos⁻¹ (−1/2) का मान :
(अ) 2π/3
(ब) π/3
(स) π/2
(द) π/4
उत्तर : (अ)

Q45. cos⁻¹ (0.5) का मान :
(अ) π/3
(ब) π/6
(स) π/4
(द) π/2
उत्तर : (अ)

Q46. यदि tan⁻¹ (x) = θ हो, तो cos (2θ) = ?
(अ) (1 − x²) / (1 + x²)
(ब) (1 + x²) / (1 − x²)
(स) x² / (1 + x²)
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q47. sin⁻¹ (0) + cos⁻¹ (0) = ?
(अ) π/2
(ब) π
(स) 0
(द) 2π
उत्तर : (ब)

Q48. tan⁻¹ (√3) + cot⁻¹ (√3) = ?
(अ) π/2
(ब) π/3
(स) π/4
(द) 0
उत्तर : (अ)

Q49. यदि cos⁻¹ (0) = θ हो, तो θ का मान :
(अ) π/2
(ब) 0
(स) π
(द) –π/2
उत्तर : (अ)

Q50. sin (tan⁻¹ (1)) का मान :
(अ) 1 / √2
(ब) 0
(स) 1
(द) √3 / 2
उत्तर : (अ)

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————