Class 8 : गणित – अध्याय 1 : वर्ग और घन
व्याख्या और विवेचन
🌟 🟣 विस्तृत व्याख्या
🔵 गणित में कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जो बहुत विशेष महत्त्व रखती हैं।
🟢 “वर्ग” और “घन” ऐसी ही दो अत्यन्त महत्त्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं।
🟡 जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तब उसका वर्ग प्राप्त होता है।
🔴 और जब किसी संख्या को तीन बार उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तब उसका घन प्राप्त होता है।
🟠 यह अध्याय हमें केवल वर्ग और घन निकालना ही नहीं सिखाता, बल्कि संख्याओं में छिपे पैटर्न, उनके गुणनखण्ड, तथा उनके मूलों को समझना भी सिखाता है।
💡 अवधारणा:
🔹 किसी संख्या n का वर्ग = n × n = n²
🔹 किसी संख्या n का घन = n × n × n = n³
✏️ ध्यान दें:
🔹 यह अध्याय केवल गणना का अध्याय नहीं है।
🔹 यह निरीक्षण, तर्क, पैटर्न-पहचान और व्यवस्थित सोच का अध्याय भी है।
🌈 🔵 वर्ग का अर्थ
🟢 यदि किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा किया जाए, तो प्राप्त संख्या उसका वर्ग कहलाती है।
🟣 जैसे:
🔹 1² = 1 × 1 = 1
🔹 2² = 2 × 2 = 4
🔹 3² = 3 × 3 = 9
🔹 4² = 4 × 4 = 16
🔹 5² = 5 × 5 = 25
🔹 6² = 6 × 6 = 36
🔹 7² = 7 × 7 = 49
🔹 8² = 8 × 8 = 64
🔹 9² = 9 × 9 = 81
🔹 10² = 10 × 10 = 100
🟡 इसलिए 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 आदि वर्ग संख्याएँ हैं।
💡 अवधारणा:
🔹 वर्ग संख्या वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या के वर्ग के रूप में लिखी जा सके।
✏️ ध्यान दें:
🔹 हर संख्या वर्ग संख्या नहीं होती।
🔹 जैसे 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 आदि वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।
🌟 🔴 वर्ग का ज्यामितीय अर्थ
🟢 “वर्ग” का सम्बन्ध केवल संख्याओं से नहीं, आकृति से भी है।
🟡 यदि किसी वर्ग की भुजा a हो, तो उसका क्षेत्रफल = a × a = a² होता है।
🟣 इसलिए वर्ग संख्या को हम वर्गाकार व्यवस्था के रूप में भी समझ सकते हैं।
उदाहरण:
🔹 यदि भुजा = 2 इकाई, तो क्षेत्रफल = 2² = 4 वर्ग इकाई
🔹 यदि भुजा = 3 इकाई, तो क्षेत्रफल = 3² = 9 वर्ग इकाई
🔹 यदि भुजा = 5 इकाई, तो क्षेत्रफल = 5² = 25 वर्ग इकाई
🧠 इससे स्पष्ट है कि वर्ग संख्या का सम्बन्ध क्षेत्रफल से जुड़ा हुआ है।
🌟 🟠 वर्ग संख्याओं में पैटर्न
🔵 पहली कुछ वर्ग संख्याएँ हैं:
🔹 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
🟢 अब लगातार वर्ग संख्याओं का अन्तर देखिए:
🔹 4 – 1 = 3
🔹 9 – 4 = 5
🔹 16 – 9 = 7
🔹 25 – 16 = 9
🔹 36 – 25 = 11
🔹 49 – 36 = 13
🟣 यहाँ हमें 3, 5, 7, 9, 11, 13 … अर्थात क्रमागत विषम संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
अर्थात:
🔹 2² – 1² = 3
🔹 3² – 2² = 5
🔹 4² – 3² = 7
🔹 5² – 4² = 9
💡 अवधारणा:
🔹 लगातार दो वर्ग संख्याओं का अन्तर क्रमागत विषम संख्या होता है।
✏️ ध्यान दें:
🔹 यही कारण है कि वर्ग संख्याओं में एक नियमित पैटर्न दिखाई देता है।
🌟 🟡 पहली n विषम संख्याओं का योग
🟢 वर्गों से जुड़ा एक बहुत सुन्दर परिणाम यह है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
उदाहरण:
🔹 1 = 1²
🔹 1 + 3 = 4 = 2²
🔹 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
🔹 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
🔹 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
अतः
🔹 पहली n विषम संख्याओं का योग = n²
💡 अवधारणा:
🔹 वर्ग संख्या को केवल गुणा से ही नहीं, योग के पैटर्न से भी समझा जा सकता है।
🌟 🔵 वर्ग संख्या के इकाई अंक
🟣 किसी पूर्ण वर्ग के इकाई अंक के बारे में कुछ निश्चित बातें कही जा सकती हैं।
🟡 किसी पूर्ण वर्ग का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6, 9 हो सकता है।
उदाहरण:
🔹 1² = 1
🔹 2² = 4
🔹 3² = 9
🔹 4² = 16
🔹 5² = 25
🔹 6² = 36
🔹 7² = 49
🔹 8² = 64
🔹 9² = 81
🔹 10² = 100
✏️ ध्यान दें:
🔹 किसी पूर्ण वर्ग का इकाई अंक 2, 3, 7, 8 कभी नहीं हो सकता।
💡 अवधारणा:
🔹 यदि किसी संख्या का अन्तिम अंक 2, 3, 7, 8 है, तो वह पूर्ण वर्ग नहीं होगी।
🌟 🟢 वर्गमूल का अर्थ
🔵 यदि किसी संख्या m का वर्ग किसी संख्या N के बराबर हो, तो m, N का वर्गमूल कहलाता है।
अर्थात यदि
🔹 m² = N
तो
🔹 √N = m
उदाहरण:
🔹 3² = 9, इसलिए √9 = 3
🔹 5² = 25, इसलिए √25 = 5
🔹 8² = 64, इसलिए √64 = 8
🔹 12² = 144, इसलिए √144 = 12
✏️ ध्यान दें:
🔹 केवल पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है।
🔹 जैसे √36 = 6, पर √2 पूर्ण संख्या नहीं है।
🌟 🔴 पूर्ण वर्ग की पहचान
🟢 किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने की पहचान के लिए अभाज्य गुणनखण्ड बहुत उपयोगी होते हैं।
उदाहरण:
🔹 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
🔹 यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड सम घात में है।
🔹 इसलिए 36 एक पूर्ण वर्ग है।
अब 18 को देखिए:
🔹 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
🔹 यहाँ 2 की घात 1 है, जो सम नहीं है।
🔹 इसलिए 18 पूर्ण वर्ग नहीं है।
💡 अवधारणा:
🔹 यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डों की सभी घातें सम हों, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
✏️ ध्यान दें:
🔹 पूर्ण वर्ग बनाने के लिए सभी गुणनखण्ड जोड़ी में होने चाहिए।
🌟 🟣 अभाज्य गुणनखण्ड विधि से वर्गमूल
🔵 अब देखते हैं कि अभाज्य गुणनखण्ड विधि से वर्गमूल कैसे निकाला जाता है।
उदाहरण: 144 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
🔹 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
🔹 = 2⁴ × 3²
अब जोड़े बनाइए:
🔹 (2 × 2), (2 × 2), (3 × 3)
प्रत्येक जोड़े से एक-एक संख्या लेते हैं:
🔹 2 × 2 × 3 = 12
अतः
🔹 √144 = 12
एक और उदाहरण:
🔹 225 = 3 × 3 × 5 × 5
🔹 = 3² × 5²
जोड़े:
🔹 (3 × 3), (5 × 5)
अतः
🔹 √225 = 3 × 5 = 15
💡 अवधारणा:
🔹 वर्गमूल निकालते समय जोड़ों से एक-एक गुणनखण्ड बाहर आता है।
🌟 🟠 भाग विधि से वर्गमूल
🟢 बड़ी संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए भाग विधि भी प्रयुक्त होती है।
🟡 इस विधि में संख्या के अंकों को दाएँ से बाएँ दो-दो के समूहों में बाँटते हैं।
🟣 फिर क्रमशः ऐसी संख्या चुनते हैं जिसका वर्ग दिए गए भाग से अधिक न हो।
उदाहरण के रूप में 2025 को देखिए:
🔹 2025 को 20 | 25 के रूप में बाँटते हैं।
🔹 20 से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग 16 = 4² है।
🔹 इसलिए भागफल का पहला अंक 4 होगा।
🔹 आगे की प्रक्रिया पूरी करने पर वर्गमूल 45 प्राप्त होता है।
अतः
🔹 √2025 = 45
✏️ ध्यान दें:
🔹 भाग विधि अधिक अभ्यास माँगती है, पर बड़ी संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी है।
🌟 🔵 घन का अर्थ
🔴 अब घन को समझते हैं।
🟢 यदि किसी संख्या को तीन बार उसी संख्या से गुणा किया जाए, तो प्राप्त संख्या उसका घन कहलाती है।
उदाहरण:
🔹 1³ = 1 × 1 × 1 = 1
🔹 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
🔹 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
🔹 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
🔹 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
🔹 6³ = 6 × 6 × 6 = 216
🔹 7³ = 7 × 7 × 7 = 343
🔹 8³ = 8 × 8 × 8 = 512
🔹 9³ = 9 × 9 × 9 = 729
🔹 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
💡 अवधारणा:
🔹 घन संख्या वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या के घन के रूप में लिखी जा सके।
🌟 🟣 घन का ज्यामितीय अर्थ
🟢 यदि किसी घन की भुजा a हो, तो उसका आयतन = a × a × a = a³ होता है।
🟡 इसलिए घन संख्या का सम्बन्ध आयतन से है।
उदाहरण:
🔹 यदि भुजा = 2 इकाई, तो आयतन = 2³ = 8 घन इकाई
🔹 यदि भुजा = 3 इकाई, तो आयतन = 3³ = 27 घन इकाई
🔹 यदि भुजा = 4 इकाई, तो आयतन = 4³ = 64 घन इकाई
🧠 जैसे वर्ग क्षेत्रफल से जुड़ा था, वैसे घन आयतन से जुड़ा है।
🌟 🔵 पूर्ण घन की पहचान
🟣 किसी संख्या के पूर्ण घन होने की पहचान भी अभाज्य गुणनखण्डों से की जाती है।
उदाहरण:
🔹 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2³ × 3³
यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड की घात 3 के गुणज में है।
अतः 216 पूर्ण घन है।
अब 54 को देखिए:
🔹 54 = 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2 × 3³
यहाँ 2 की घात 1 है, जो 3 का गुणज नहीं है।
अतः 54 पूर्ण घन नहीं है।
💡 अवधारणा:
🔹 यदि अभाज्य गुणनखण्डों की सभी घातें 3 के गुणज हों, तो संख्या पूर्ण घन होगी।
✏️ ध्यान दें:
🔹 पूर्ण घन बनाने के लिए सभी गुणनखण्ड तिकड़ी में होने चाहिए।
🌟 🔴 घनमूल का अर्थ
🟢 यदि किसी संख्या m का घन किसी संख्या N के बराबर हो, तो m, N का घनमूल कहलाता है।
अर्थात यदि
🔹 m³ = N
तो
🔹 ∛N = m
उदाहरण:
🔹 2³ = 8, इसलिए ∛8 = 2
🔹 3³ = 27, इसलिए ∛27 = 3
🔹 4³ = 64, इसलिए ∛64 = 4
🔹 5³ = 125, इसलिए ∛125 = 5
🔹 12³ = 1728, इसलिए ∛1728 = 12
🌟 🟢 अभाज्य गुणनखण्ड विधि से घनमूल
उदाहरण: 1728 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
🔹 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2⁶ × 3³
अब तिकड़ियाँ बनाइए:
🔹 (2 × 2 × 2), (2 × 2 × 2), (3 × 3 × 3)
प्रत्येक तिकड़ी से एक-एक संख्या लेते हैं:
🔹 2 × 2 × 3 = 12
अतः
🔹 ∛1728 = 12
एक और उदाहरण:
🔹 343 = 7 × 7 × 7 = 7³
अतः
🔹 ∛343 = 7
💡 अवधारणा:
🔹 घनमूल निकालते समय तिकड़ियों से एक-एक गुणनखण्ड बाहर आता है।
🌟 🟡 किन संख्याओं से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग बनेगा
🟢 यह अध्याय हमें यह भी सिखाता है कि किसी संख्या को किस छोटी-से-छोटी संख्या से गुणा करें ताकि वह पूर्ण वर्ग बन जाए।
उदाहरण: 48 को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि वह पूर्ण वर्ग बन जाए?
🔹 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
🔹 = 2⁴ × 3
यहाँ 2⁴ तो जोड़ी में है, पर 3 अकेला है।
इसे जोड़ी में लाने के लिए 3 से गुणा करेंगे।
🔹 48 × 3 = 144
🔹 144 = 12²
अतः
🔹 48 को 3 से गुणा करने पर वह पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
🌟 🟠 किन संख्याओं से गुणा करने पर पूर्ण घन बनेगा
🟣 अब देखते हैं कि किसी संख्या को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि वह पूर्ण घन बन जाए।
उदाहरण: 54 को किस छोटी संख्या से गुणा करें कि वह पूर्ण घन बन जाए?
🔹 54 = 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2 × 3³
यहाँ 3³ ठीक है, पर 2 अकेला है।
पूर्ण घन बनाने के लिए 2³ चाहिए।
अतः 2² = 4 से गुणा करेंगे।
🔹 54 × 4 = 216
🔹 216 = 6³
अतः
🔹 54 को 4 से गुणा करने पर वह पूर्ण घन बन जाएगा।
✏️ ध्यान दें:
🔹 पूर्ण वर्ग के लिए जोड़ी पूरी करनी होती है।
🔹 पूर्ण घन के लिए तिकड़ी पूरी करनी होती है।
🌟 🔵 वर्ग और घन का वास्तविक जीवन में उपयोग
🟢 वर्ग और घन केवल पुस्तक तक सीमित नहीं हैं।
🟡 उनका उपयोग मापन, निर्माण, वास्तु-रचना, क्षेत्रफल और आयतन में होता है।
उदाहरण:
🔹 यदि किसी वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल 64 वर्ग इकाई है, तो उसकी भुजा = √64 = 8 इकाई होगी।
🔹 यदि किसी घन का आयतन 125 घन इकाई है, तो उसकी भुजा = ∛125 = 5 इकाई होगी।
💡 अवधारणा:
🔹 क्षेत्रफल से भुजा निकालने में वर्गमूल काम आता है।
🔹 आयतन से भुजा निकालने में घनमूल काम आता है।
🌟 🔴 सामान्य भूलें
🟢 विद्यार्थी इस अध्याय में कुछ सामान्य भूलें कर बैठते हैं।
🔹 भूल 1:
2² को 2 + 2 समझ लेना
सही: 2² = 2 × 2 = 4
🔹 भूल 2:
3³ को 3 × 3 = 9 मान लेना
सही: 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
🔹 भूल 3:
अभाज्य गुणनखण्ड बनाते समय जोड़े या तिकड़ियाँ ठीक से न बनाना
🔹 भूल 4:
पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन की पहचान बिना जाँच के कर लेना
🔹 भूल 5:
√ और ∛ का अर्थ समझे बिना केवल उत्तर याद करना
✏️ ध्यान दें:
🔹 इस अध्याय में क्रमबद्ध कार्य और सावधानी बहुत आवश्यक है।
🌟 🟣 अध्याय का बौद्धिक संदेश
🔵 यह अध्याय हमें बताता है कि संख्याएँ केवल जोड़-घटाव की वस्तु नहीं हैं।
🟢 उनमें संरचना, क्रम और पैटर्न छिपे होते हैं।
🟡 वर्ग हमें समरूपता, क्षेत्रफल और जोड़ी का विचार देता है।
🔴 घन हमें आयतन, त्रिविमीय सोच और तिकड़ी का विचार देता है।
💡 अवधारणा:
🔹 वर्ग और घन की समझ आगे चलकर बीजगणित, क्षेत्रमिति, संख्या-पद्धति और उच्च गणित के लिए आधार बनती है।
🌈 🔵 समापन
🟢 “वर्ग और घन” अध्याय संख्या-जगत की एक सुन्दर यात्रा है।
🟡 इसमें हम सीखते हैं कि कौन-सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं, कौन-सी पूर्ण घन हैं, उनके मूल कैसे ज्ञात किए जाते हैं, और किसी संख्या को पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन बनाने के लिए किस संख्या से गुणा करना चाहिए।
🟣 यह अध्याय गणना के साथ-साथ पैटर्न-पहचान, तर्क और व्यवस्थित सोच का भी विकास करता है।
🔴 यदि विद्यार्थी इस अध्याय की मूल बातों को अच्छी तरह समझ ले, तो आगे के अनेक गणितीय अध्याय अधिक सरल लगने लगते हैं।
✏️ ध्यान दें:
🔹 वर्ग के लिए जोड़ी याद रखें।
🔹 घन के लिए तिकड़ी याद रखें।
💡 अवधारणा:
🔹 वर्ग और घन, संख्या की शक्ति और संरचना को समझने की एक सुन्दर शुरुआत हैं।
सारांश
🔵 किसी संख्या का वर्ग n² = n × n और घन n³ = n × n × n होता है।
🟢 1, 4, 9, 16, 25 आदि वर्ग संख्याएँ हैं, जबकि 1, 8, 27, 64, 125 आदि घन संख्याएँ हैं।
🟡 वर्ग का सम्बन्ध क्षेत्रफल से और घन का सम्बन्ध आयतन से है।
🟣 लगातार दो वर्ग संख्याओं का अन्तर क्रमागत विषम संख्या होता है, तथा पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
🔴 पूर्ण वर्ग की पहचान अभाज्य गुणनखण्डों की सम घात से होती है और पूर्ण घन की पहचान 3 के गुणज घात से होती है।
🟠 वर्गमूल ज्ञात करने में जोड़ों का और घनमूल ज्ञात करने में तिकड़ियों का प्रयोग किया जाता है।
🟤 किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ी पूरी करनी होती है और पूर्ण घन बनाने के लिए तिकड़ी।
🔷 वास्तविक जीवन में वर्ग और घन का उपयोग क्षेत्रफल, आयतन और मापन की समस्याओं में होता है।
🔶 यह अध्याय तर्क, निरीक्षण और पैटर्न-पहचान की क्षमता को मजबूत करता है।
📝 त्वरित पुनरावृत्ति
🔹 n² = n × n
🔸 n³ = n × n × n
🔹 √a का अर्थ a का वर्गमूल है।
🔸 ∛a का अर्थ a का घनमूल है।
🔹 पूर्ण वर्ग में अभाज्य गुणनखण्ड जोड़ों में होते हैं।
🔸 पूर्ण घन में अभाज्य गुणनखण्ड तिकड़ियों में होते हैं।
🔹 पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
🔸 वर्ग का सम्बन्ध क्षेत्रफल से और घन का सम्बन्ध आयतन से है।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🔒 ❓ प्रश्न 1. 27000 और 10648 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 27000 का घनमूल
🔸 हम जानते हैं:
30 × 30 × 30 = 27000
🔸 अतः
30³ = 27000
🔸 इसलिए
∛27000 = 30
✔️ अंतिम उत्तर: 27000 का घनमूल = 30
🔹 10648 का घनमूल
🔸 जाँच करते हैं:
22 × 22 = 484
🔸 अब
484 × 22 = 10648
🔸 अतः
22³ = 10648
🔸 इसलिए
∛10648 = 22
✔️ अंतिम उत्तर: 10648 का घनमूल = 22
🔒 ❓ प्रश्न 2. 1323 को घन संख्या बनाने के लिए आप किस संख्या से गुणा करेंगे?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले 1323 का अभाज्य गुणनखंड करते हैं:
🔸 1323 = 3 × 441
🔸 441 = 3 × 147
🔸 147 = 3 × 49
🔸 49 = 7 × 7
🔹 इसलिए
1323 = 3 × 3 × 3 × 7 × 7
1323 = 3³ × 7²
🔹 किसी घन संख्या में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की घात 3 का गुणज होनी चाहिए।
🔸 यहाँ 3³ पूर्ण है।
🔸 परन्तु 7² को 7³ बनाने के लिए 7¹ और चाहिए।
🔹 इसलिए 1323 को 7 से गुणा करेंगे।
जाँच:
1323 × 7 = 3³ × 7² × 7
= 3³ × 7³
= (3 × 7)³
= 21³
✔️ अंतिम उत्तर: 1323 को घन संख्या बनाने के लिए 7 से गुणा करेंगे।
🔒 ❓ प्रश्न 3. निम्न में से सत्य या असत्य बताइए। साथ ही अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) किसी विषम संख्या का घन सम होगा।
(ii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं जो 8 पर समाप्त होता हो।
(iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय संख्या हो सकता है।
(iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
(v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है।
📌 ✅ उत्तर:
🔒 ❓ (i) किसी विषम संख्या का घन सम होगा।
🔹 यह कथन असत्य है।
🔸 कारण:
किसी विषम संख्या को 3 बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या भी विषम ही रहती है।
🔸 उदाहरण:
3³ = 27
🔹 27 विषम है, सम नहीं है।
✔️ अंतिम उत्तर: असत्य
🔒 ❓ (ii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं जो 8 पर समाप्त होता हो।
🔹 यह कथन असत्य है।
🔸 कारण:
कई पूर्ण घन 8 पर समाप्त होते हैं।
🔸 उदाहरण:
2³ = 8
12³ = 1728
🔹 दोनों संख्याएँ 8 पर समाप्त होती हैं।
✔️ अंतिम उत्तर: असत्य
🔒 ❓ (iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय संख्या हो सकता है।
🔹 यह कथन असत्य है।
🔸 कारण:
सबसे छोटी 2 अंकीय संख्या 10 है।
🔸 अब
10³ = 1000
🔹 1000 एक 4 अंकीय संख्या है।
🔹 क्योंकि 10 से बड़ी हर 2 अंकीय संख्या का घन 1000 से बड़ा होगा, इसलिए उसका घन भी कम से कम 4 अंकीय ही होगा।
✔️ अंतिम उत्तर: असत्य
🔒 ❓ (iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
🔹 यह कथन असत्य है।
🔸 कारण:
सबसे बड़ी 2 अंकीय संख्या 99 है।
🔸 अब
99² = 9801
🔸 फिर
99³ = 99 × 99 × 99
= 9801 × 99
= 9801 × (100 – 1)
= 980100 – 9801
= 970299
🔹 970299 में 6 अंक हैं।
🔹 अतः किसी भी 2 अंकीय संख्या का घन 6 अंकों से अधिक नहीं हो सकता।
✔️ अंतिम उत्तर: असत्य
🔒 ❓ (v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है।
🔹 यह कथन असत्य है।
🔸 कारण:
हर घन संख्या के गुणनखंडों की संख्या विषम हो, यह आवश्यक नहीं है।
🔸 उदाहरण:
8 = 2³
🔸 8 के गुणनखंड हैं:
1, 2, 4, 8
🔹 कुल गुणनखंडों की संख्या = 4
🔹 4 सम है, विषम नहीं।
✔️ अंतिम उत्तर: असत्य
🔒 ❓ प्रश्न 4. आपको बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन संख्या है। इस संख्या का गुणनखंड किए बिना क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है? इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों का अनुमान लगाइए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पूर्ण घनों के कुछ मान याद करते हैं:
🔸 10³ = 1000
🔸 11³ = 1331
🔸 12³ = 1728
🔸 13³ = 2197
🔸 14³ = 2744
🔸 15³ = 3375
🔸 16³ = 4096
🔸 17³ = 4913
🔸 18³ = 5832
🔸 19³ = 6859
🔸 20³ = 8000
🔸 21³ = 9261
🔸 22³ = 10648
🔸 23³ = 12167
🔸 24³ = 13824
🔸 32³ = 32768
🔹 अब प्रत्येक संख्या का घनमूल पहचानते हैं:
🔸 1331 = 11³
अतः ∛1331 = 11
🔸 4913 = 17³
अतः ∛4913 = 17
🔸 12167 = 23³
अतः ∛12167 = 23
🔸 32768 = 32³
अतः ∛32768 = 32
✔️ अंतिम उत्तर:
🔹 1331 का घनमूल = 11
🔹 4913 का घनमूल = 17
🔹 12167 का घनमूल = 23
🔹 32768 का घनमूल = 32
🔒 ❓ प्रश्न 5. निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) 67³ – 66³
(ii) 43³ – 42³
(iii) 67² – 66²
(iv) 43² – 42²
📌 ✅ उत्तर:
🔹 हमें चार व्यंजकों की तुलना करनी है।
🔹 पहले सूत्र याद करें:
🔸 a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
🔸 a² – b² = (a – b)(a + b)
🔹 अब एक-एक करके मान ज्ञात करते हैं।
🔒 ❓ (i) 67³ – 66³
🔸 यहाँ
a = 67, b = 66
🔸 तब
67³ – 66³ = (67 – 66)(67² + 67 × 66 + 66²)
🔸 = 1 × (67² + 67 × 66 + 66²)
🔸 67² = 4489
🔸 67 × 66 = 4422
🔸 66² = 4356
🔸 अतः
67³ – 66³ = 4489 + 4422 + 4356
= 13267
✔️ मान = 13267
🔒 ❓ (ii) 43³ – 42³
🔸 यहाँ
a = 43, b = 42
🔸 तब
43³ – 42³ = (43 – 42)(43² + 43 × 42 + 42²)
🔸 = 1 × (43² + 43 × 42 + 42²)
🔸 43² = 1849
🔸 43 × 42 = 1806
🔸 42² = 1764
🔸 अतः
43³ – 42³ = 1849 + 1806 + 1764
= 5419
✔️ मान = 5419
🔒 ❓ (iii) 67² – 66²
🔸 यहाँ
a = 67, b = 66
🔸 तब
67² – 66² = (67 – 66)(67 + 66)
🔸 = 1 × 133
= 133
✔️ मान = 133
🔒 ❓ (iv) 43² – 42²
🔸 यहाँ
a = 43, b = 42
🔸 तब
43² – 42² = (43 – 42)(43 + 42)
🔸 = 1 × 85
= 85
✔️ मान = 85
🔹 अब चारों मानों की तुलना करते हैं:
🔸 (i) = 13267
🔸 (ii) = 5419
🔸 (iii) = 133
🔸 (iv) = 85
🔹 इनमें सबसे बड़ा 13267 है।
✔️ अंतिम उत्तर:
सबसे बड़ा है 67³ – 66³
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
खंड A
(प्रश्न 1 से 6)
प्रत्येक प्रश्न 1 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 1.
कौन-सी संख्या एक पूर्ण वर्ग है?
🟢1️⃣ 36
🔵2️⃣ 18
🟡3️⃣ 20
🟣4️⃣ 28
📌 ✅ उत्तर: 🟢1️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 2.
कौन-सी संख्या एक पूर्ण घन है?
🟢1️⃣ 54
🔵2️⃣ 64
🟡3️⃣ 72
🟣4️⃣ 90
📌 ✅ उत्तर: 🔵2️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 3.
किसी संख्या n का वर्ग क्या होगा?
🟢1️⃣ n + n
🔵2️⃣ 2n
🟡3️⃣ n²
🟣4️⃣ n³
📌 ✅ उत्तर: 🟡3️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 4.
पहली 5 विषम संख्याओं का योग क्या होगा?
🟢1️⃣ 20
🔵2️⃣ 25
🟡3️⃣ 15
🟣4️⃣ 30
📌 ✅ उत्तर: 🔵2️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 5.
√144 का मान क्या है?
🟢1️⃣ 10
🔵2️⃣ 11
🟡3️⃣ 12
🟣4️⃣ 14
📌 ✅ उत्तर: 🟡3️⃣
🔒 ❓ प्रश्न 6.
∛125 का मान क्या है?
🟢1️⃣ 3
🔵2️⃣ 4
🟡3️⃣ 5
🟣4️⃣ 6
📌 ✅ उत्तर: 🟡3️⃣
खंड B
(प्रश्न 7 से 12)
प्रत्येक प्रश्न 2 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 7.
पूर्ण वर्ग संख्या किसे कहते हैं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 वह संख्या जो किसी पूर्ण संख्या के वर्ग के रूप में लिखी जा सके, पूर्ण वर्ग संख्या कहलाती है।
🔹 उदाहरण : 1, 4, 9, 16, 25
🔒 ❓ प्रश्न 8.
पूर्ण घन संख्या किसे कहते हैं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 वह संख्या जो किसी पूर्ण संख्या के घन के रूप में लिखी जा सके, पूर्ण घन संख्या कहलाती है।
🔹 उदाहरण : 1, 8, 27, 64, 125
🔒 ❓ प्रश्न 9.
क्या 81 एक पूर्ण वर्ग है? कारण सहित लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 81 = 9²
🔹 इसलिए 81 एक पूर्ण वर्ग है।
🔒 ❓ प्रश्न 10.
क्या 216 एक पूर्ण घन है? कारण सहित लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 216 = 6³
🔹 इसलिए 216 एक पूर्ण घन है।
🔒 ❓ प्रश्न 11.
पहली 4 वर्ग संख्याएँ लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहली 4 वर्ग संख्याएँ हैं :
1, 4, 9, 16
🔒 ❓ प्रश्न 12.
पहली 4 घन संख्याएँ लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहली 4 घन संख्याएँ हैं :
1, 8, 27, 64
खंड C
(प्रश्न 13 से 22)
प्रत्येक प्रश्न 3 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि पहली 4 विषम संख्याओं का योग 4² के बराबर है।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहली 4 विषम संख्याएँ हैं :
1, 3, 5, 7
🔹 इनका योग = 1 + 3 + 5 + 7
🔹 = 16
🔹 4² = 4 × 4 = 16
🔹 अतः पहली 4 विषम संख्याओं का योग 4² के बराबर है।
🔒 ❓ प्रश्न 14.
144 का वर्गमूल अभाज्य गुणनखण्ड विधि से ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
🔹 = 2⁴ × 3²
🔹 जोड़े बनाते हैं :
(2 × 2), (2 × 2), (3 × 3)
🔹 प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेते हैं :
2 × 2 × 3 = 12
🔹 अतः √144 = 12
🔒 ❓ प्रश्न 15.
1728 का घनमूल अभाज्य गुणनखण्ड विधि से ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2⁶ × 3³
🔹 तिकड़ियाँ बनाते हैं :
(2 × 2 × 2), (2 × 2 × 2), (3 × 3 × 3)
🔹 प्रत्येक तिकड़ी से एक संख्या लेते हैं :
2 × 2 × 3 = 12
🔹 अतः ∛1728 = 12
🔒 ❓ प्रश्न 16.
जाँचिए कि 50 पूर्ण वर्ग है या नहीं।
अथवा
जाँचिए कि 54 पूर्ण घन है या नहीं।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए :
🔹 50 = 2 × 5 × 5
🔹 = 2 × 5²
🔹 यहाँ 2 की घात 1 है, जो सम नहीं है।
🔹 इसलिए 50 पूर्ण वर्ग नहीं है।
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए :
🔹 54 = 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2 × 3³
🔹 यहाँ 2 की घात 1 है, जो 3 का गुणज नहीं है।
🔹 इसलिए 54 पूर्ण घन नहीं है।
🔒 ❓ प्रश्न 17.
225 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 225 = 15²
🔹 इसलिए √225 = 15
🔹 जाँच : 15 × 15 = 225
🔹 अतः उत्तर 15 है।
🔒 ❓ प्रश्न 18.
343 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 343 = 7³
🔹 इसलिए ∛343 = 7
🔹 जाँच : 7 × 7 × 7 = 343
🔹 अतः उत्तर 7 है।
🔒 ❓ प्रश्न 19.
48 को किस छोटी-से-छोटी संख्या से गुणा करें कि वह पूर्ण वर्ग बन जाए?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
🔹 = 2⁴ × 3
🔹 2⁴ तो जोड़ी में है, पर 3 अकेला है।
🔹 3 को जोड़ी में लाने के लिए 3 से गुणा करेंगे।
🔹 48 × 3 = 144 = 12²
🔹 अतः अपेक्षित संख्या 3 है।
🔒 ❓ प्रश्न 20.
54 को किस छोटी-से-छोटी संख्या से गुणा करें कि वह पूर्ण घन बन जाए?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 54 = 2 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2 × 3³
🔹 3³ तो तिकड़ी में है, पर 2 अकेला है।
🔹 2 को तिकड़ी में लाने के लिए 2² = 4 से गुणा करेंगे।
🔹 54 × 4 = 216 = 6³
🔹 अतः अपेक्षित संख्या 4 है।
🔒 ❓ प्रश्न 21.
किसी पूर्ण वर्ग संख्या के इकाई अंक के बारे में क्या कह सकते हैं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 किसी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक केवल
0, 1, 4, 5, 6, 9 हो सकता है।
🔹 इसलिए 2, 3, 7, 8 इकाई अंक वाली संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती।
🔒 ❓ प्रश्न 22.
लगातार दो वर्ग संख्याओं के अन्तर का नियम उदाहरण सहित लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 लगातार दो वर्ग संख्याओं का अन्तर क्रमागत विषम संख्या होता है।
🔹 उदाहरण :
🔹 2² – 1² = 4 – 1 = 3
🔹 3² – 2² = 9 – 4 = 5
🔹 4² – 3² = 16 – 9 = 7
🔹 अतः नियम सही है।
खंड D
(प्रश्न 23 से 30)
प्रत्येक प्रश्न 4 अंक
🔒 ❓ प्रश्न 23.
पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन में अंतर उदाहरण सहित स्पष्ट कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पूर्ण वर्ग वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या के वर्ग के रूप में लिखी जा सके।
🔹 उदाहरण :
1 = 1²
25 = 5²
64 = 8²
🔹 पूर्ण घन वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या के घन के रूप में लिखी जा सके।
🔹 उदाहरण :
1 = 1³
27 = 3³
64 = 4³
🔹 ध्यान दें कि 64 एक साथ पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन दोनों है, क्योंकि
64 = 8² और 64 = 4³
🔹 अतः पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन की परिभाषाएँ अलग हैं, पर कुछ संख्याएँ दोनों हो सकती हैं।
🔒 ❓ प्रश्न 24.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से 441 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 441 = 3 × 3 × 7 × 7
🔹 = 3² × 7²
🔹 जोड़े बनाते हैं :
(3 × 3), (7 × 7)
🔹 प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेते हैं :
3 × 7 = 21
🔹 अतः √441 = 21
🔒 ❓ प्रश्न 25.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से 512 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
🔹 = 2⁹
🔹 तिकड़ियाँ बनाते हैं :
(2 × 2 × 2), (2 × 2 × 2), (2 × 2 × 2)
🔹 प्रत्येक तिकड़ी से एक संख्या लेते हैं :
2 × 2 × 2 = 8
🔹 अतः ∛512 = 8
🔒 ❓ प्रश्न 26.
जाँचिए कि 1296 एक पूर्ण वर्ग है या नहीं। यदि है, तो उसका वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
अथवा
जाँचिए कि 1000 एक पूर्ण घन है या नहीं। यदि है, तो उसका घनमूल ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए :
🔹 1296 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
🔹 = 2⁴ × 3⁴
🔹 सभी घातें सम हैं।
🔹 इसलिए 1296 एक पूर्ण वर्ग है।
🔹 √1296 = 2² × 3²
🔹 = 4 × 9
🔹 = 36
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए :
🔹 1000 = 10³
🔹 इसलिए 1000 एक पूर्ण घन है।
🔹 ∛1000 = 10
🔒 ❓ प्रश्न 27.
सिद्ध कीजिए कि पहली 5 विषम संख्याओं का योग 5² के बराबर है।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहली 5 विषम संख्याएँ हैं :
1, 3, 5, 7, 9
🔹 इनका योग = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
🔹 = 25
🔹 5² = 5 × 5 = 25
🔹 अतः पहली 5 विषम संख्याओं का योग 5² के बराबर है।
🔒 ❓ प्रश्न 28.
एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 256 वर्ग मीटर है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
🔹 दिया है : क्षेत्रफल = 256 वर्ग मीटर
🔹 इसलिए भुजा = √256
🔹 256 = 16²
🔹 अतः भुजा = 16 मीटर
🔒 ❓ प्रश्न 29.
एक घन का आयतन 729 घन सेमी है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
अथवा
एक वर्गाकार फर्श का क्षेत्रफल 324 वर्ग सेमी है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 पहले भाग के लिए :
🔹 घन का आयतन = (भुजा)³
🔹 दिया है : आयतन = 729 घन सेमी
🔹 इसलिए भुजा = ∛729
🔹 729 = 9³
🔹 अतः भुजा = 9 सेमी
🔹 अथवा
🔹 दूसरे भाग के लिए :
🔹 वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
🔹 दिया है : क्षेत्रफल = 324 वर्ग सेमी
🔹 इसलिए भुजा = √324
🔹 324 = 18²
🔹 अतः भुजा = 18 सेमी
🔒 ❓ प्रश्न 30.
“वर्ग और घन” अध्याय के आधार पर समझाइए कि अभाज्य गुणनखण्ड विधि पूर्ण वर्ग, पूर्ण घन, वर्गमूल और घनमूल को समझने में कैसे सहायक है।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 अभाज्य गुणनखण्ड विधि किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में लिखने की विधि है।
🔹 इस विधि से हम जाँच सकते हैं कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
🔹 यदि सभी अभाज्य गुणनखण्डों की घातें सम हों, तो संख्या पूर्ण वर्ग होती है।
🔹 इसी प्रकार, यदि सभी अभाज्य गुणनखण्डों की घातें 3 के गुणज हों, तो संख्या पूर्ण घन होती है।
🔹 वर्गमूल निकालते समय हम गुणनखण्डों के जोड़े बनाते हैं और प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेते हैं।
🔹 घनमूल निकालते समय हम गुणनखण्डों की तिकड़ियाँ बनाते हैं और प्रत्येक तिकड़ी से एक संख्या लेते हैं।
🔹 उदाहरण :
144 = 2⁴ × 3²
अतः √144 = 12
🔹 1728 = 2⁶ × 3³
अतः ∛1728 = 12
🔹 इसलिए अभाज्य गुणनखण्ड विधि इस अध्याय की मूल समझ को बहुत सरल, स्पष्ट और तर्कपूर्ण बनाती है।
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