Class 6 : Maths ( Hindi ) – Lesson 5. अभाज्य समय
व्याख्या और विवेचन
🧠🔍✨ 1. गुणनखंड और गुणज – परिचय ✨🔍🧠
⬩ ➗ जब कोई संख्या किसी दूसरी संख्या को पूरा-पूरा काट दे, तो पहली संख्या दूसरी की गुणनखंड कहलाती है।
⬩ 🔸 12 को देखो। ⬩ 1, 2, 3, 4, 6, 12 सभी इसे पूरा-पूरा काट देते हैं। ⬩ ✅ ये सब 12 के गुणनखंड हैं। ⬩ ❌ 5 से 12 को भाग दो तो पूरा नहीं कटता, इसलिए 5 गुणनखंड नहीं है।
⬩ 📏 गुणनखंड हमेशा संख्या से छोटे या उसके बराबर होते हैं।
⬩ ✖️ अब गुणज समझो। ⬩ 📈 किसी संख्या में 1, 2, 3, 4… से गुणा करने पर जो संख्याएं आएं, वे उसके गुणज हैं। ⬩ 📈 4 के गुणज हैं 4, 8, 12, 16, 20 और आगे अनंत तक। ⬩ ♾️ गुणज की कोई सीमा नहीं होती।
⬩ ⬆️ गुणज हमेशा संख्या से बड़े या उसके बराबर होते हैं।
⬩ ⚖️ गुणनखंड और गुणज में यही मुख्य अंतर है। ⬩ 🔸 गुणनखंड गिने जा सकते हैं क्योंकि वे सीमित होते हैं। ⬩ ♾️ गुणज अनंत होते हैं।
🏠🔸✨ 2. अभाज्य और भाज्य संख्याएं ✨🔸🏠
⬩ 🌍 संख्याओं की दुनिया में दो परिवार हैं। ⬩ 🔸 अभाज्य और भाज्य।
⬩ 🔒 अभाज्य संख्या वह है जिसके केवल दो गुणनखंड हों, 1 और वह संख्या स्वयं। ⬩ 🔸 7 को देखो। ⬩ ✂️ इसे 1 और 7 के अलावा कोई पूरा-पूरा नहीं काट सकता। ⬩ ✅ इसलिए 7 अभाज्य है। ⬩ 🔹 इसी तरह 2, 3, 5, 11, 13 सब अभाज्य हैं।
⬩ 🔓 भाज्य संख्या वह है जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों। ⬩ 🔸 12 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6, 12। ⬩ 📊 छह गुणनखंड हैं, दो से ज़्यादा। ⬩ ✅ इसलिए 12 भाज्य है। ⬩ 🔹 4, 6, 8, 9, 10 सब भाज्य हैं।
⬩ ☝️ 1 विशेष संख्या है। ⬩ 🔸 इसका केवल एक गुणनखंड है, वह स्वयं 1। ⬩ 🚫 न दो गुणनखंड हैं न दो से ज़्यादा। ⬩ ⚖️ इसलिए 1 न अभाज्य है न भाज्य।
⬩ 😮 एक रोचक बात। ⬩ ✌️ 2 एकमात्र सम संख्या है जो अभाज्य है। ⬩ ✂️ बाकी सभी सम संख्याएं 2 से कट जाती हैं, इसलिए भाज्य हैं।
🔍🕵️✨ 3. अभाज्य संख्याओं की पहचान ✨🕵️🔍
⬩ ❓ कैसे पता करें कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं?
⬩ ➗ सबसे आसान तरीका है भाग देकर देखना। ⬩ 🔸 संख्या को 2 से भाग दो, फिर 3 से, फिर 5 से, फिर 7 से। ⬩ 🚫 अगर कोई भी पूरा-पूरा न काटे तो संख्या अभाज्य है।
⬩ 🔹 29 को जाँचो। ⬩ 🔸 29 ÷ 2 में शेष बचता है। ⬩ 🔸 29 ÷ 3 में शेष बचता है। ⬩ 🔸 29 ÷ 5 में शेष बचता है। ⬩ 🔸 29 ÷ 7 में शेष बचता है। ⬩ 🛡️ कोई नहीं काट पाया। ⬩ ✅ 29 अभाज्य है।
⬩ 💯 100 तक 25 अभाज्य संख्याएं हैं।
⬩ 📝 ये हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97।
⬩ 🧠 इन्हें याद रखना उपयोगी है। ⬩ 💡 ध्यान दो, 2 के बाद सभी अभाज्य विषम हैं।
🤝🚫✨ 4. सह-अभाज्य संख्याएं ✨🚫🤝
⬩ 🤝 दो संख्याएं सह-अभाज्य तब होती हैं जब उनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 के अलावा न हो।
⬩ 🔸 8 और 15 को देखो। ⬩ 🔹 8 के गुणनखंड हैं 1, 2, 4, 8। ⬩ 🔹 15 के गुणनखंड हैं 1, 3, 5, 15। ⬩ ☝️ दोनों में केवल 1 समान है। ⬩ ✅ इसलिए 8 और 15 सह-अभाज्य हैं।
⬩ 🔸 4 और 6 को देखो। ⬩ 🔹 4 के गुणनखंड हैं 1, 2, 4। ⬩ 🔹 6 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 6। ⬩ 🔸 दोनों में 1 और 2 समान हैं। ⬩ ✌️ 2 उभयनिष्ठ है जो 1 नहीं है। ⬩ ❌ इसलिए 4 और 6 सह-अभाज्य नहीं हैं।
⬩ 📏 सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. हमेशा 1 होता है।
⬩ 💡 ध्यान दो, सह-अभाज्य होने के लिए संख्याओं का स्वयं अभाज्य होना ज़रूरी नहीं है। ⬩ 🔸 8 और 15 दोनों भाज्य हैं फिर भी सह-अभाज्य हैं।
🌳✂️✨ 5. अभाज्य गुणनखंडन – गुणनखंड वृक्ष विधि ✨✂️🌳
⬩ 🧱 हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। ⬩ 🏷️ इसे अभाज्य गुणनखंडन कहते हैं।
⬩ 🌳 गुणनखंड वृक्ष विधि में संख्या को बार-बार दो भागों में तोड़ते हैं जब तक सब अभाज्य न हो जाएं।
⬩ 🔸 36 का अभाज्य गुणनखंडन करें:
⬩ ✂️ 36 को तोड़ो → 2 × 18
⬩ ✂️ 18 को तोड़ो → 2 × 9
⬩ ✂️ 9 को तोड़ो → 3 × 3
⬩ 🛑 अब सब अभाज्य हैं। रुक जाओ।
⬩ ✅ 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
⬩ 🔸 एक और उदाहरण। 60 का गुणनखंडन:
⬩ ✂️ 60 → 2 × 30
⬩ ✂️ 30 → 2 × 15
⬩ ✂️ 15 → 3 × 5
⬩ ✅ 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
⬩ 🧠 याद रखो, अभाज्य गुणनखंडन हमेशा एक ही होता है, चाहे किसी भी क्रम में तोड़ो।
➗🪜✨ 6. भाग विधि से अभाज्य गुणनखंडन ✨🪜➗
⬩ ➗ भाग विधि में संख्या को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से बार-बार भाग देते हैं।
⬩ 🔸 72 का अभाज्य गुणनखंडन भाग विधि से:
⬩ 🔹 2 से भाग → 72 ÷ 2 = 36
⬩ 🔹 2 से भाग → 36 ÷ 2 = 18
⬩ 🔹 2 से भाग → 18 ÷ 2 = 9
⬩ 🚫 अब 9 को 2 से भाग नहीं दे सकते। 3 से भाग दो।
⬩ 🔹 3 से भाग → 9 ÷ 3 = 3
⬩ 🔹 3 से भाग → 3 ÷ 3 = 1
⬩ 🏁 1 आ गया, रुक जाओ।
⬩ ✅ 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
⬩ 🔑 भाग विधि में हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या से शुरू करो। ⬩ 📈 पहले 2 से जितना हो भाग दो, फिर 3 से, फिर 5 से, इसी तरह आगे।
📏🕰️✨ 7. म.स. और ल.स. ✨🕰️📏
⬩ 📏 म.स. (महत्तम समापवर्तक) दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
⬩ 🔸 12 और 18 का म.स. निकालें:
⬩ 🔹 12 = 2² × 3
⬩ 🔹 18 = 2 × 3²
⬩ 🤏 उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड हैं 2 और 3। न्यूनतम घात लो।
⬩ 🔹 2 की न्यूनतम घात = 2¹
⬩ 🔹 3 की न्यूनतम घात = 3¹
⬩ ✅ म.स. = 2 × 3 = 6
⬩ 🏠 दैनिक जीवन में म.स. का उपयोग। ⬩ 🧱 दो खेत 12 मीटर और 18 मीटर चौड़े हैं। ⬩ 📏 सबसे बड़ी समान टाइल कितने मीटर की लगा सकते हैं? ⬩ ✅ उत्तर है 6 मीटर।
⬩ 📈 ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य) दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है।
⬩ 🔸 12 और 18 का ल.स. निकालें:
⬩ 🔹 12 = 2² × 3
⬩ 🔹 18 = 2 × 3²
⬩ 👐 सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लो।
⬩ 🔹 2 की अधिकतम घात = 2²
⬩ 🔹 3 की अधिकतम घात = 3²
⬩ ✅ ल.स. = 4 × 9 = 36
⬩ 🔔 दैनिक जीवन में ल.स. का उपयोग। ⬩ 🕰️ एक घंटी 12 मिनट में बजती है, दूसरी 18 मिनट में। ⬩ ⏰ दोनों साथ बजीं तो अगली बार कब साथ बजेंगी? ⬩ ✅ उत्तर है 36 मिनट बाद।
❓📘✨ 8. प्रश्न और उत्तर ✨📘❓
🔒 ❓ प्रश्न 1 (सरल)
प्रश्न: निम्न संख्याओं में से अभाज्य और भाज्य संख्याएं छांटो: 17, 24, 29, 35, 41, 51
📌 ✅ हल:
🔴 ⬩ प्रत्येक संख्या की जाँच करते हैं।
🟠 ⬩ 17 → 1 और 17 के अलावा कोई गुणनखंड नहीं → अभाज्य
🟡 ⬩ 24 → 2, 3, 4, 6, 8, 12 से कट जाती है → भाज्य
🟢 ⬩ 29 → 1 और 29 के अलावा कोई गुणनखंड नहीं → अभाज्य
🔵 ⬩ 35 → 5 और 7 से कट जाती है (5 × 7 = 35) → भाज्य
🟣 ⬩ 41 → 1 और 41 के अलावा कोई गुणनखंड नहीं → अभाज्य
🟤 ⬩ 51 → 3 और 17 से कट जाती है (3 × 17 = 51) → भाज्य
उत्तर: अभाज्य – 17, 29, 41। भाज्य – 24, 35, 51।
🔒 ❓ प्रश्न 2 (सरल)
प्रश्न: 36 के सभी गुणनखंड लिखो।
📌 ✅ हल:
🔴 ⬩ 36 को 1 से लेकर 36 तक की संख्याओं से भाग देकर देखते हैं।
🟠 ⬩ 36 ÷ 1 = 36 ✓
🟡 ⬩ 36 ÷ 2 = 18 ✓
🟢 ⬩ 36 ÷ 3 = 12 ✓
🔵 ⬩ 36 ÷ 4 = 9 ✓
🟣 ⬩ 36 ÷ 6 = 6 ✓
🟤 ⬩ 36 ÷ 9 = 4 ✓
🔴 ⬩ 36 ÷ 12 = 3 ✓
🟠 ⬩ 36 ÷ 18 = 2 ✓
🟡 ⬩ 36 ÷ 36 = 1 ✓
उत्तर: 36 के गुणनखंड हैं – 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (कुल 9 गुणनखंड)
🔒 ❓ प्रश्न 3 (मध्यम)
प्रश्न: 84 का अभाज्य गुणनखंडन भाग विधि से करो।
📌 ✅ हल:
🔴 ⬩ 84 को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग देते हैं।
🟠 ⬩ 84 ÷ 2 = 42
🟡 ⬩ 42 ÷ 2 = 21
🟢 ⬩ 21 को 2 से भाग नहीं हो सकता। 3 से भाग देते हैं।
🔵 ⬩ 21 ÷ 3 = 7
🟣 ⬩ 7 अभाज्य है।
🟤 ⬩ 7 ÷ 7 = 1
🔴 ⬩ 1 आ गया, रुक जाओ।
🟠 ⬩ 84 = 2 × 2 × 3 × 7
उत्तर: 84 = 2² × 3 × 7
🔒 ❓ प्रश्न 4 (मध्यम-कठिन)
प्रश्न: 48 और 60 का म.स. अभाज्य गुणनखंडन विधि से निकालो।
📌 ✅ हल:
🔴 ⬩ पहले दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
🟠 ⬩ 48 का गुणनखंडन:
⬩ 48 = 2 × 24 = 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
⬩ 48 = 2⁴ × 3
🟡 ⬩ 60 का गुणनखंडन:
⬩ 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5
⬩ 60 = 2² × 3 × 5
🟢 ⬩ अब म.स. के लिए उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं।
🔵 ⬩ उभयनिष्ठ गुणनखंड: 2 और 3
🟣 ⬩ 2 की न्यूनतम घात = 2² = 4
🟤 ⬩ 3 की न्यूनतम घात = 3¹ = 3
🔴 ⬩ म.स. = 4 × 3 = 12
उत्तर: म.स. (48, 60) = 12
🔒 ❓ प्रश्न 5 (कठिन)
प्रश्न: दो घंटियाँ एक साथ बजीं। पहली घंटी 15 मिनट बाद फिर बजती है और दूसरी 20 मिनट बाद। दोनों घंटियाँ अगली बार कितने मिनट बाद एक साथ बजेंगी?
📌 ✅ हल:
🔴 ⬩ यह ल.स. का प्रश्न है। दोनों घंटियाँ तभी साथ बजेंगी जब समय 15 और 20 दोनों का गुणज हो।
🟠 ⬩ 15 और 20 का ल.स. निकालते हैं।
🟡 ⬩ 15 = 3 × 5
🟢 ⬩ 20 = 2² × 5
🔵 ⬩ ल.स. के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लेते हैं।
🟣 ⬩ 2 की अधिकतम घात = 2² = 4
🟤 ⬩ 3 की अधिकतम घात = 3¹ = 3
🔴 ⬩ 5 की अधिकतम घात = 5¹ = 5
🟠 ⬩ ल.स. = 4 × 3 × 5 = 60
उत्तर: दोनों घंटियाँ 60 मिनट (1 घंटे) बाद फिर एक साथ बजेंगी।
⭐📌✨ 9. त्वरित पुनरावृत्ति ✨📌⭐
🔴 गुणनखंड वे संख्याएं हैं जो किसी संख्या को पूरा-पूरा काट दें, ये सीमित होते हैं।
🟡 गुणज किसी संख्या में 1, 2, 3… गुणा करने पर आते हैं, ये अनंत होते हैं।
🟢 अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं।
🔵 भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
🟣 1 न अभाज्य है न भाज्य, यह विशेष संख्या है।
🟠 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
🟤 सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. 1 होता है।
🔴 अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखते हैं।
🟡 म.स. के लिए उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफल लेते हैं।
🟢 ल.स. के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात का गुणनफल लेते हैं।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
🔒 ❓ प्रश्न 1.
2024 एक अधिवर्ष है (अर्थात फरवरी में 29 दिन होते हैं)। अधिवर्ष हर उस वर्ष में होता है जो 4 के गुणज होते हैं, सिवाय उन वर्षों के जो 100 से तो विभाजित हैं लेकिन 400 से नहीं।
a. आपके जन्म के वर्ष से लेकर अब तक कौन-से वर्ष अधिवर्ष थे?
b. वर्ष 2024 से 2099 तक कितने अधिवर्ष होंगे?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 (a)
➡️ यह प्रत्येक विद्यार्थी के जन्म वर्ष पर निर्भर करेगा
➡️ नियम:
✔️ जो वर्ष 4 से विभाजित हो → अधिवर्ष
✔️ यदि 100 से विभाजित हो → तब 400 से भी विभाजित होना चाहिए
💡 उदाहरण:
🔹 2000 ✔️ (400 से विभाजित)
🔹 1900 ❌ (400 से विभाजित नहीं)
➡️ विद्यार्थी स्वयं अपने जन्म वर्ष से गिनेंगे
🔹 (b)
➡️ 2024 से 2099 तक अधिवर्ष ज्ञात करें
🔹 अधिवर्ष: 4 के गुणज
➡️ क्रम:
2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060,
2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096
➡️ कुल संख्या = 19
📌 ✅ उत्तर:: 19 अधिवर्ष
🔒 ❓ प्रश्न 2.
सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4 अंकों की संख्याओं का पता लगाइए, जो 4 से विभाज्य हों और पैलिनड्रोम भी हों?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 4 अंकों की पैलिनड्रोम संख्या का रूप:
➡️ abba
🔹 4 से विभाज्यता का नियम:
➡️ अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए
🔹 सबसे छोटी संख्या:
➡️ न्यूनतम 4-अंकीय पैलिनड्रोम: 1001
🔹 क्रम से जाँच:
➡️ 1001 → 01 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 1111 → 11 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 1221 → 21 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 1331 → 31 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 1441 → 41 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 1551 → 51 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 1661 → 61 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 1771 → 71 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 1881 → 81 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 1991 → 91 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ आगे:
➡️ 2002 → 02 ÷ 4 = शेष 2 ❌
➡️ 2112 → 12 ÷ 4 = शेष 0 ✔️
✔️ सबसे छोटी संख्या = 2112
🔹 सबसे बड़ी संख्या:
➡️ अधिकतम 4-अंकीय पैलिनड्रोम: 9999
🔹 उल्टे क्रम में जाँच:
➡️ 9999 → 99 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 9889 → 89 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 9779 → 79 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 9669 → 69 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 9559 → 59 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 9449 → 49 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 9339 → 39 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 9229 → 29 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ 9119 → 19 ÷ 4 = शेष 3 ❌
➡️ 9009 → 09 ÷ 4 = शेष 1 ❌
➡️ आगे:
➡️ 8888 → 88 ÷ 4 = शेष 0 ✔️
✔️ सबसे बड़ी संख्या = 8888
📌 ✅ उत्तर:
🔹 सबसे छोटी = 2112
🔹 सबसे बड़ी = 8888
🔒 ❓ प्रश्न 3.
खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन सदैव सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी भी सत्य नहीं है। आप अपने तर्क के समर्थन में उदाहरण दे सकते हैं।
a. दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
b. दो विषम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 (a)
➡️ उदाहरण:
2 + 6 = 8 ✔️ (4 का गुणज)
4 + 2 = 6 ❌ (4 का गुणज नहीं)
➡️ निष्कर्ष: ✔️ कभी-कभी सत्य
🔹 (b)
➡️ उदाहरण:
1 + 3 = 4 ✔️
3 + 5 = 8 ✔️
5 + 7 = 12 ✔️
➡️ निष्कर्ष: ✔️ सदैव सत्य
🔒 ❓ प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को (a) 10, (b) 5, (c) 2 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345
📌 ✅ उत्तर:
🔹 78 → 10 से 8, 5 से 3, 2 से 0
🔹 99 → 10 से 9, 5 से 4, 2 से 1
🔹 173 → 10 से 3, 5 से 3, 2 से 1
🔹 572 → 10 से 2, 5 से 2, 2 से 0
🔹 980 → 10 से 0, 5 से 0, 2 से 0
🔹 1111 → 10 से 1, 5 से 1, 2 से 1
🔹 2345 → 10 से 5, 5 से 0, 2 से 1
🔒 ❓ प्रश्न 5.
शिक्षक ने पूछा कि क्या 14560 संख्याओं 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य है। गुणा ने इनमें से केवल दो संख्याओं से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और कहा कि 14560 उन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है। वे दो संख्याएँ क्या हो सकती हैं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 यदि कोई संख्या 8 और 5 से विभाज्य है
➡️ तो वह 2, 4 और 10 से भी विभाज्य होगी
📌 ✅ उत्तर: 5 और 8
🔒 ❓ प्रश्न 6.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य हैं?
572, 2352, 5600, 6000, 77622160
📌 ✅ उत्तर:
🔹 शर्त:
➡️ अंतिम अंक 0 होना चाहिए (10 के लिए)
➡️ अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए
🔹 5600 ✔️
🔹 6000 ✔️
🔹 77622160 ✔️
📌 ✅ उत्तर: 5600, 6000, 77622160
🔒 ❓ प्रश्न 7.
दो संख्याएँ लिखिए जिनका गुणनफल 10000 हो। दोनों संख्याओं का इकाई का अंक शून्य नहीं होना चाहिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 10000 = 16 × 625
🔹 जाँच:
16 × 625 = 10000 ✔️
➡️ दोनों के इकाई अंक 0 नहीं
📌 ✅ उत्तर: 16 और 625
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
🔵 SECTION A (Q1–Q6) — बहुविकल्पीय प्रश्न
🔒 ❓ 1. निम्न में से कौन-सी संख्या अभाज्य है?
🟢1️⃣ 9
🔵2️⃣ 11
🟡3️⃣ 15
🟣4️⃣ 21
📌 ✅ उत्तर: 🔵2️⃣
📌 11 के केवल 2 गुणनखंड (1 और 11) होते हैं, इसलिए यह अभाज्य है
🔒 ❓ 2. 1 किस प्रकार की संख्या है?
🟢1️⃣ अभाज्य
🔵2️⃣ संयोज्य
🟡3️⃣ न अभाज्य न संयोज्य
🟣4️⃣ सम
📌 ✅ उत्तर:: 🟡3️⃣
📌 1 के केवल 1 ही गुणनखंड है, इसलिए यह न अभाज्य है न संयोज्य
🔒 ❓ 3. सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
🟢1️⃣ 1
🔵2️⃣ 2
🟡3️⃣ 3
🟣4️⃣ 5
📌 ✅ उत्तर: 🔵2️⃣
📌 ✅ उत्तर: 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है
🔒 ❓ 4. निम्न में से कौन-सी संख्या सम और अभाज्य दोनों है?
🟢1️⃣ 2
🔵2️⃣ 4
🟡3️⃣ 6
🟣4️⃣ 8
📌 ✅ उत्तर: 🟢1️⃣
📌 ✅ उत्तर: 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है
🔒 ❓ 5. 15 किस प्रकार की संख्या है?
🟢1️⃣ अभाज्य
🔵2️⃣ संयोज्य
🟡3️⃣ पूर्ण वर्ग
🟣4️⃣ सम
📌 ✅ उत्तर: 🔵2️⃣
📌 📌✅ उत्तर: 15 के 1, 3, 5, 15 गुणनखंड होते हैं
🔒 ❓ 6. निम्न में से कौन-सी संख्या अभाज्य नहीं है?
🟢1️⃣ 7
🔵2️⃣ 13
🟡3️⃣ 17
🟣4️⃣ 21
✔️ ✅ उत्तर: 🟣4️⃣
📌 ✅ Answer: 21 = 3 × 7, इसलिए यह संयोज्य है
🔵 SECTION B (Q7–Q12) — एक पंक्ति उत्तर
🔒 ❓ 7. अभाज्य संख्या की परिभाषा लिखिए।
📌 ✅ उत्तर: वह संख्या जिसके केवल 2 गुणनखंड (1 और स्वयं) हों, अभाज्य संख्या कहलाती है
🔒 ❓ 8. संयोज्य संख्या क्या होती है?
📌 ✅ उत्तर: वह संख्या जिसके 2 से अधिक गुणनखंड हों, संयोज्य संख्या कहलाती है
🔒 ❓ 9. क्या 2 एक अभाज्य संख्या है?
📌 ✅ उत्तर: हाँ
🔒 ❓ 10. क्या 1 अभाज्य संख्या है?
📌 ✅ उत्तर: नहीं
🔒 ❓ 11. दो अभाज्य संख्याएँ लिखिए।
📌 ✅ उत्तर: 3, 5
🔒 ❓ 12. क्या सभी सम संख्याएँ संयोज्य होती हैं?
📌 ✅ उत्तर: नहीं (2 अभाज्य है)
🔵 SECTION C (Q13–Q22) — लघु उत्तरीय प्रश्न
🔒 ❓ 13. 12 के सभी गुणनखंड लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1
🔹 2
🔹 3
🔹 4
🔹 6
🔹 12
🔒 ❓ 14. 17 अभाज्य है या नहीं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 17 के गुणनखंड: 1, 17
🔹 केवल 2 गुणनखंड
➡️ इसलिए 17 अभाज्य है
🔒 ❓ 15. 18 के गुणनखंड लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1
🔹 2
🔹 3
🔹 6
🔹 9
🔹 18
🔒 ❓ 16. 23 अभाज्य संख्या क्यों है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 23 के केवल 2 गुणनखंड (1 और 23)
➡️ इसलिए अभाज्य है
🔒 ❓ 17. 20 अभाज्य है या संयोज्य?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 20 = 2 × 10
🔹 20 के कई गुणनखंड हैं
➡️ संयोज्य
🔒 ❓ 18. 2 से 10 तक की अभाज्य संख्याएँ लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 2, 3, 5, 7
🔒 ❓ 19. 9 अभाज्य क्यों नहीं है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 9 = 3 × 3
🔹 1, 3, 9 गुणनखंड
➡️ 2 से अधिक गुणनखंड
➡️ इसलिए संयोज्य
🔒 ❓ 20. 11 के गुणनखंड लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1
🔹 11
🔒 ❓ 21. 25 अभाज्य है या नहीं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 25 = 5 × 5
➡️ संयोज्य
🔒 ❓ 22. 19 अभाज्य संख्या है, सिद्ध कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 19 के गुणनखंड: 1, 19
➡️ केवल 2 गुणनखंड
➡️ इसलिए अभाज्य
🔵 SECTION D (Q23–Q30) — विस्तृत उत्तरीय प्रश्न
🔒 ❓ 23. अभाज्य और संयोज्य संख्याओं में अंतर लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 अभाज्य संख्या: केवल 2 गुणनखंड
🔹 संयोज्य संख्या: 2 से अधिक गुणनखंड
🔒 ❓ 24. 1 से 20 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 2
🔹 3
🔹 5
🔹 7
🔹 11
🔹 13
🔹 17
🔹 19
🔒 ❓ 25. 30 के गुणनखंड लिखिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 1
🔹 2
🔹 3
🔹 5
🔹 6
🔹 10
🔹 15
🔹 30
🔒 ❓ 26. सिद्ध कीजिए कि 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 2 के गुणनखंड: 1, 2
➡️ अभाज्य
🔹 अन्य सम संख्याएँ 2 से विभाजित होती हैं
➡️ 2 से अधिक गुणनखंड
➡️ इसलिए 2 ही एकमात्र सम अभाज्य है
🔒 ❓ 27. 21 संयोज्य संख्या क्यों है?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 21 = 3 × 7
🔹 गुणनखंड: 1, 3, 7, 21
➡️ 2 से अधिक गुणनखंड
➡️ संयोज्य
🔒 ❓ 28. 15 और 17 की तुलना कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 15 = 3 × 5 → संयोज्य
🔹 17 → अभाज्य
🔒 ❓ 29. 1 से 10 तक की संख्याओं को अभाज्य और संयोज्य में वर्गीकृत कीजिए।
📌 ✅ उत्तर:
🔹 अभाज्य: 2, 3, 5, 7
🔹 संयोज्य: 4, 6, 8, 9, 10
🔹 1 → न अभाज्य न संयोज्य
🔒 ❓ 30. किसी संख्या के अभाज्य होने की जाँच कैसे करते हैं?
📌 ✅ उत्तर:
🔹 उसके गुणनखंड ज्ञात करें
🔹 यदि केवल 2 गुणनखंड हों
➡️ अभाज्य
🔹 यदि 2 से अधिक हों
➡️ संयोज्य
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