Class 10 : Maths (In Hindi) – Lesson 6. त्रिभुज
पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन
📘 त्रिभुज — विस्तृत व्याख्या
🔵 परिचय
त्रिभुज वह बहुभुज है जिसकी तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं। यह अध्याय समानता (Similarity), समानुपात (Proportion), बेसिक प्रपोर्शनालिटी प्रमेय (थेल्स का प्रमेय), पाइथागोरस प्रमेय तथा उसके व्युत्क्रम जैसे महत्त्वपूर्ण सिद्धान्तों को कवर करता है। समानता की अवधारणा दैनिक जीवन, मापन, निर्माण, तथा त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों की नींव है।
🟢 1️⃣ समरूपता की अवधारणा
त्रिभुजों के आकार समान हों पर परिमाण भिन्न हो, तो वे समरूप कहलाते हैं। यदि ΔABC और ΔDEF समान हैं, तो उनके संगत कोण समान और संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
a/b = d/e = f/c (ASCII रूप में) या a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
✏️ उदाहरण: किसी ऊँचाई की माप में छाया विधि प्रयोग करते समय छोटे एवं बड़े त्रिभुज समान माने जाते हैं।
🟡 2️⃣ समरूपताके मानदण्ड (Criteria)
🔴 AAA (Angle–Angle–Angle): यदि ΔABC और ΔPQR के कोण A = P, B = Q, C = R हों, तो ΔABC ∼ ΔPQR।
🔵 SSS (Side–Side–Side): यदि भुजाएँ समानुपाती हों, जैसे AB/DE = BC/EF = AC/DF, तो दोनों त्रिभुज समान हैं।
🟢 SAS (Side–Angle–Side): यदि दो भुजाएँ समानुपाती हों और उनके बीच का कोण समान हो।
💡 टिप्पणी: समान त्रिभुजों के संगत ऊँचाई, माध्यिका और कोण द्विभाजक भी समानुपाती होते हैं।
🔴 3️⃣ बेसिक प्रपोर्शनालिटी प्रमेय (थेल्स का प्रमेय)
यदि किसी त्रिभुज ΔABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा AB और AC को D और E बिन्दुओं पर काटती है, तो:
AD/DB = AE/EC।
✔️ प्रमाण (सार): समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल अनुपात और समानान्तर रेखाओं के प्रयोग से प्राप्त होता है।
🧭 अनुप्रयोग:
छाया आधारित मापन
मानचित्र पर दूरी निकालना
निर्माण कार्यों में अनुपात जाँच
🟡 4️⃣ समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का प्रमेय
यदि ΔABC ∼ ΔDEF तो:
(Area(ΔABC) / Area(ΔDEF)) = (AB/DE)²।
अर्थात् समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
🔵 5️⃣ पाइथागोरस प्रमेय
समकोण त्रिभुज ΔABC (∠B = 90°) में:
AB² + BC² = AC²।
यह प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज पर लागू होता है।
🟢 व्युत्क्रम: यदि किसी त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा² = बाकी दो भुजाओं² का योग है, तो वह समकोण त्रिभुज है।
✏️ व्यावहारिक उपयोग:
दूरी मापन (जैसे किसी ऊँचाई का पता लगाना)
भवन निर्माण में कोणों की जाँच
खगोल व नेविगेशन
🟡 6️⃣ समरूपता के अन्य परिणाम
समान त्रिभुजों की संगत ऊँचाइयाँ समानुपाती होती हैं।
यदि एक ही वृत्त की किसी व्यास पर कोण बनाया जाए तो वह समकोण होगा (पाइथागोरस प्रमेय से)।
यदि दो भुजाओं पर समानान्तर रेखाएँ खींची जाएँ, तो बने त्रिभुज समान होंगे।
🔴 7️⃣ उदाहरण आधारित समझ
उदाहरण 1: किसी पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करनी है। पेड़ की छाया = 15 m और पास खड़े खम्भे की छाया = 3 m। खम्भे की ऊँचाई = 2 m।
पेड़ की ऊँचाई (h) निकालें:
h/15 = 2/3
h = (15 × 2) / 3 = 10 m।
उदाहरण 2: ΔPQR और ΔXYZ समान हैं। यदि PQ = 3 cm, QR = 4 cm, PR = 5 cm और XY = 6 cm, तो YZ ज्ञात करें।
PQ/XY = QR/YZ
3/6 = 4/YZ
YZ = (4 × 6)/3 = 8 cm।
🟢 8️⃣ अभ्यास प्रश्नों के मुख्य प्रकार
मानदण्ड द्वारा समानता सिद्ध करना।
BPT और पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित प्रमाण।
शब्द समस्याएँ: छाया/ऊँचाई, मानचित्र दूरी।
क्षेत्रफल अनुपात का प्रयोग।
🟡 9️⃣ सावधानियाँ व सामान्य त्रुटियाँ
संगत कोण व भुजाओं को सही ढंग से पहचानें।
केवल परिमाण समान होना पर्याप्त नहीं; कोणों की जाँच आवश्यक।
पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज पर लागू करें।
समानता मानदण्डों को गलत न मिलाएँ।
🔴 🔟 वास्तविक जीवन में प्रयोग
वास्तुकला: समान त्रिभुजों से अनुपात जाँच।
सर्वेक्षण: कठिन स्थानों की ऊँचाई/दूरी माप।
खगोल विज्ञान: खगोलीय पिंडों की दूरी अनुमान।
📜 नोट्स और सूत्र
a² + b² = c² (पाइथागोरस)
(Area₁ / Area₂) = (side₁ / side₂)² (समान त्रिभुज क्षेत्रफल अनुपात)
AD/DB = AE/EC (BPT)
AAA, SSS, SAS — समानता मानदण्ड।
📝 सारांश (लगभग 200 शब्द)
त्रिभुज अध्याय समरूपता और उसके अनुप्रयोगों पर आधारित है। समानता तब होती है जब त्रिभुजों के कोण बराबर और भुजाएँ समानुपाती हों। इसके तीन प्रमुख मानदण्ड हैं — AAA, SSS और SAS। बेसिक प्रपोर्शनालिटी प्रमेय (थेल्स का प्रमेय) बताता है कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर एक रेखा खींची जाती है, तो वह शेष भुजाओं को समानुपाती भागों में विभाजित करती है। समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + ऊँचाई², और उसका व्युत्क्रम भी महत्त्वपूर्ण है। इन सिद्धान्तों का प्रयोग छाया विधि से ऊँचाई मापने, मानचित्र दूरी निकालने और वास्तुशिल्पीय डिज़ाइन में होता है। अध्याय में दिये गये उदाहरण और अभ्यास प्रश्न छात्रों को समानता की अवधारणा को वास्तविक जीवन में लागू करने की क्षमता प्रदान करते हैं। अभ्यास करते समय संगत कोणों और भुजाओं की सही पहचान, सही अनुपात और सही मानदण्ड का चयन करना ज़रूरी है। यह अध्याय त्रिकोणमिति तथा उच्च गणित के कई आगामी विषयों की आधारशिला रखता है।
🌟 त्वरित पुनरावृत्ति (लगभग 100 शब्द)
समानता: कोण बराबर, भुजाएँ समानुपाती।
मानदण्ड: AAA, SSS, SAS।
थेल्स का प्रमेय (BPT): AD/DB = AE/EC।
समान त्रिभुज क्षेत्रफल अनुपात: (Area₁/Area₂) = (side₁/side₂)²।
पाइथागोरस प्रमेय: a² + b² = c²।
व्युत्क्रम पाइथागोरस: सबसे बड़ी भुजा² = बाकी दो भुजाओं² का योग → समकोण त्रिभुज।
अनुप्रयोग: ऊँचाई/छाया विधि, सर्वेक्षण, वास्तुकला, खगोल।
सावधानी: संगत कोण व भुजाओं की पहचान सही करें।
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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न
प्रश्नावली 6.1
प्रश्न 1
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) सभी वृत्त सर्वांगसम होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समानरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण बराबर हों तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
प्रश्न 2
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
(i) समरूप आकृतियाँ
🔹 2 वर्ग जिनकी भुजाएँ अलग-अलग माप की हों।
🔹 2 वृत्त जिनके त्रिज्या भिन्न हों।
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं
🔹 एक वर्ग और एक आयत।
🔹 एक समबाहु त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज।
प्रश्न 3
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:
आकृति 6.8 (i) – PQRS एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें PQ = 1.5 cm, QR = 1.5 cm, RS = 1.5 cm, SP = 1.5 cm (सभी भुजाएँ बराबर नहीं हैं; केवल विपरीत भुजाएँ समान हैं)।
आकृति 6.8 (ii) – ABCD एक वर्ग है, जिसमें AB = BC = CD = DA = 3 cm, सभी कोण 90°।
✔ उत्तर: ये दोनों चतुर्भुज समानरूप नहीं हैं, क्योंकि समांतर चतुर्भुज और वर्ग के संगत कोण बराबर नहीं होते तथा भुजाओं के अनुपात भी समान नहीं हैं।
प्रश्नावली 6.2
🔵 प्रश्न 1
आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE ∥ BC है। (i) में EC तथा (ii) में AD ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर (i)
➡️ समानता: ΔADE ∼ ΔABC (DE ∥ BC)
➡️ अनुपात: AD/AB = AE/AC
➡️ दिए गए: AB = 3 cm, AD = 1.5 cm, AE = 1 cm
➡️ गणना: AD/AB = 1.5/3 = 1/2
➡️ अतः AE/AC = 1/2
➡️ इसलिए AC = 2 cm
➡️ अब EC = AC − AE = 2 − 1 = 1 cm
🟢 उत्तर (ii)
➡️ समानता: ΔADE ∼ ΔABC (DE ∥ BC)
➡️ अनुपात: AD/AB = AE/AC
➡️ दिए गए: AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm, इसलिए AC = 1.8 + 5.4 = 7.2 cm; AB = 7.2 cm
➡️ गणना: AD = AB × (AE/AC) = 7.2 × (1.8/7.2) = 1.8 cm
🔵 प्रश्न 2
किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। प्रत्येक स्थिति में बताइए कि EF ∥ QR है या नहीं।
🟢 मानक (व्युत्क्रम BPT): EF ∥ QR ⇔ PE/EQ = PF/FR या (समतुल्य) PE/PQ = PF/PR
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm, FR = 2.4 cm
➡️ PE/EQ = 3.9/3 = 1.3
➡️ PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5
➡️ 1.3 ≠ 1.5 ⇒ EF ∥ QR नहीं है।
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm, RF = 9 cm
➡️ PE/QE = 4/4.5 = 8/9
➡️ PF/RF = 8/9
➡️ अनुपात समान ⇒ EF ∥ QR है।
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm, PF = 0.36 cm
➡️ PE/PQ = 0.18/1.28 = 0.140625
➡️ PF/PR = 0.36/2.56 = 0.140625
➡️ अनुपात समान ⇒ EF ∥ QR है।
🔵 प्रश्न 3
आकृति 6.18 में यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD।
🟢 उत्तर
➡️ LM ∥ CB ⇒ ΔAML ∼ ΔABC ⇒ AM/AB = AL/AC … (1)
➡️ LN ∥ CD ⇒ ΔALN ∼ ΔADC ⇒ AN/AD = AL/AC … (2)
➡️ (1) और (2) से: AM/AB = AN/AD ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 4
आकृति 6.19 में DE ∥ AC और DF ∥ AE है। सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC।
🟢 उत्तर
➡️ DE ∥ AC ⇒ ΔDBE ∼ ΔDCA ⇒ BE/EC = DB/DA … (1)
➡️ DF ∥ AE ⇒ ΔDBF ∼ ΔDAE ⇒ BF/FE = DB/DA … (2)
➡️ (1) और (2) की दाईं ओर समान है ⇒ BF/FE = BE/EC ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 5
आकृति 6.20 में OQ ∥ DF और DF ∥ OR है। दर्शाइए कि EF ∥ QR है।
🟢 उत्तर
➡️ OQ ∥ DF तथा DF ∥ OR ⇒ OQ ∥ OR (समानान्तर की संक्रामकता)
➡️ त्रिभुज PQR में O बिन्दु से QR के समानान्तर रेखाएँ OQ, OR खींचने पर E, F क्रमशः PQ, PR पर इस प्रकार स्थित हैं कि
PE/PQ = PF/PR (समरूप त्रिभुजों से) … (☆)
➡️ (☆) से व्युत्क्रम BPT द्वारा EF ∥ QR ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 6
आकृति 6.21 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B, C इस प्रकार हैं कि AB ∥ PQ तथा AC ∥ PR है। दर्शाइए कि BC ∥ QR है।
🟢 उत्तर
➡️ AB ∥ PQ ⇒ ΔOAB ∼ ΔOPQ ⇒ OA/OP = OB/OQ … (1)
➡️ AC ∥ PR ⇒ ΔOAC ∼ ΔOPR ⇒ OA/OP = OC/OR … (2)
➡️ (1), (2) से: OB/OQ = OC/OR
➡️ व्युत्क्रम BPT (ΔOQR में) ⇒ BC ∥ QR ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 7
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
🟢 उत्तर
➡️ ΔABC में D, AB का मध्य-बिन्दु; DE ∥ BC (E, AC पर)
➡️ ΔADE ∼ ΔABC (DE ∥ BC)
➡️ AD/AB = AE/AC
➡️ क्योंकि D मध्य-बिन्दु ⇒ AD = AB/2
➡️ अतः AE/AC = 1/2 ⇒ AE = AC/2
➡️ इसलिए E, AC का मध्य-बिन्दु ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 8
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज के किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
🟢 उत्तर
➡️ ΔABC में D, AB का तथा E, AC का मध्य-बिन्दु है
➡️ AD/DB = AE/EC = 1 ⇒ AD/AB = AE/AC
➡️ व्युत्क्रम BPT (ΔABC में) ⇒ DE ∥ BC ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 9
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्णों प्रतिच्छेद बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO है।
🟢 उत्तर
➡️ AB ∥ DC ⇒ ∠AOB = ∠COD (वैकल्पिक आन्तरिक/समकोण)
➡️ साथ ही ∠ABO = ∠CDO (समान्तर के कारण)
➡️ अतः ΔAOB ∼ ΔCOD (AA समानता)
➡️ समानता से: AO/BO = CO/DO ⇒ प्रमाणित।
🔵 प्रश्न 10
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण प्रतिच्छेद बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।
🟢 उत्तर
➡️ AO/BO = CO/DO दिया है
➡️ यदि ΔAOB ∼ ΔCOD हो जाए तो AB ∥ CD सिद्ध होगा (AA से)
➡️ ∠AOB और ∠COD शीर्षस्थ समकोण हैं (विपरीत कोण)
➡️ AO/BO = CO/DO से अनुपातिकता; तथा ∠ABO = ∠CDO (यदि AB ∥ CD हो) को लक्ष्य मानें
➡️ समानता की शर्त: AO/BO = CO/DO और ∠AOB = ∠COD ⇒ ΔAOB ∼ ΔCOD
➡️ समानता से समतुल्य कोण ∠ABO = ∠CDO निकलते हैं ⇒ AB ∥ CD
➡️ अतः ABCD में एक जोड़ी भुजाएँ समानान्तर ⇒ ABCD समलम्ब है। (नोट: यहाँ समानता के निष्कर्ष से समानान्तरता प्राप्त होती है।)
प्रश्नावली 6.3
🔵 प्रश्न 1
बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समानरूप हैं। समानता की कसौटी भी लिखिए और संकेत रूप में लिखिए।
🟢 उत्तर
(i)
➡️ ∠ के मान: 60°, 80°, 40° तथा दूसरे त्रिभुज में भी 60°, 80°, 40°
➡️ दो कोण संगत-समान पाए गए
➡️ निष्कर्ष: ΔPQR ∼ ΔBCR
➡️ कसौटी: AAA (कोण-कोण-कोण)
(ii)
➡️ भुजाएँ: 3, 4, 5 तथा 2.5, 3, 4
➡️ अनुपात: 3/2.5 = 1.2; 4/3 ≈ 1.33; 5/4 = 1.25
➡️ सभी अनुपात समान नहीं
➡️ निष्कर्ष: समानरूप नहीं
(iii)
➡️ दी गई भुजाओं के अनुपात समान नहीं (चित्रानुसार 2.7, 3, 6… से अनुपात असमान)
➡️ निष्कर्ष: समानरूप नहीं
(iv)
➡️ भुजाओं के दिए अनुपात (2.5, 7, 5 तथा 2.5, 10, …) समान नहीं
➡️ निष्कर्ष: समानरूप नहीं
(v)
➡️ दोनों त्रिभुजों में एक-एक कोण 80° तथा अन्य संगत कोण भी बराबर (समरूप आरेख)
➡️ निष्कर्ष: ΔBCE ∼ ΔEDF
➡️ कसौटी: AAA
(vi)
➡️ कोण 80° और 30° संगत-समान; तीसरा स्वतः समान
➡️ निष्कर्ष: ΔDPR ∼ ΔQRS (चित्रानुसार संगत)
➡️ कसौटी: AAA
🔵 प्रश्न 2
आकृति 6.35 में, ΔODC ∼ ΔOBA, ∠BOC = 125° तथा ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO तथा ∠OAB ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ सीधी रेखा BOCD पर: ∠BOC + ∠COD = 180°
➡️ ∠COD = 180° − 125° = 55°
➡️ ΔDCO में: ∠CDO + ∠DOC + ∠DCO = 180°
➡️ 70° + 55° + ∠DCO = 180°
➡️ ∠DCO = 55°
➡️ ΔODC ∼ ΔOBA ⇒ संगत कोण बराबर ⇒ ∠OAB = ∠DCO
➡️ ∠OAB = 55°
➡️ उत्तर: ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°
🔵 प्रश्न 3
समलम्ब ABCD में AB ∥ DC है तथा विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि OA/OC = OB/OD।
🟢 उत्तर
➡️ AB ∥ DC ⇒ ∠OAB = ∠OCD (विकल्पी आन्तरिक)
➡️ AB ∥ DC ⇒ ∠OBA = ∠ODC (विकल्पी आन्तरिक)
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔOAB ∼ ΔOCD (AAA)
➡️ समानता से संगत भुजाओं का अनुपात: OA/OC = OB/OD
➡️ प्रमाणित
🔵 प्रश्न 4
आकृति 6.36 में QR/QS = QT/PR तथा ∠1 = ∠2 है। सिद्ध कीजिए कि ΔPQS ∼ ΔTQR।
🟢 उत्तर
➡️ दिए गए: QR/QS = QT/PR (दो भुजाओं का अनुपात समान)
➡️ साथ ही: ∠1 = ∠2 (संगत कोण समान)
➡️ भुजा-कोण-भुजा की समानुपातिता पूर्ण ⇒ SAS कसौटी लागू
➡️ अतः ΔPQS ∼ ΔTQR
➡️ प्रमाणित
🔵 प्रश्न 5
ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः S और T स्थित हैं तथा ∠P = ∠RTS है। सिद्ध कीजिए कि ΔRPQ ∼ ΔRTS।
🟢 उत्तर
➡️ ∠P = ∠RTS (दिया)
➡️ ∠RPQ और ∠RTS के अतिरिक्त, ∠R दोनों त्रिभुजों (ΔRPQ व ΔRTS) में साझी है
➡️ दो कोण समान ⇒ AAA कसौटी से ΔRPQ ∼ ΔRTS
➡️ प्रमाणित
🔵 प्रश्न 6
आकृति 6.37 में यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔADE ∼ ΔABC।
🟢 उत्तर
➡️ ΔABE ≅ ΔACD ⇒ सभी संगत कोण बराबर
➡️ अतः ∠ADE = ∠ABC तथा ∠DAE = ∠BAC
➡️ ΔADE और ΔABC में दो-दो कोण समान
➡️ AAA कसौटी ⇒ ΔADE ∼ ΔABC
➡️ प्रमाणित
🔵 प्रश्न 7
आकृति 6.38 में AD और CE रेखाएँ बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए:
(i) ΔAEP ∼ ΔCDP (ii) ΔAAB ∼ ΔCBE (iii) ΔAEP ∼ ΔADB (iv) ΔAPC ∼ ΔBEC
🟢 उत्तर (प्रत्येक युग्म के लिये समान चरण)
➡️ ऊर्ध्व/विकल्पी/अनुरूप कोण चित्रानुसार संगत-समान (AD व CE के प्रतिच्छेदन तथा AB ∥ CB के कारण)
➡️ प्रत्येक युग्म में दो-दो कोण समान स्थापित
➡️ AAA कसौटी से क्रमशः चारों युग्म समानरूप सिद्ध
➡️ प्रमाणित
🔵 प्रश्न 8
समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई हुई भुजा AD पर E बिन्दु है तथा BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ΔABE ∼ ΔCFB।
🟢 उत्तर
➡️ समांतर चतुर्भुज में AB ∥ DC और AD ∥ BC
➡️ ∠BAE = ∠BCF (विकल्पी आन्तरिक)
➡️ ∠BEA = ∠CFB (विकल्पी आन्तरिक)
➡️ दो कोण समान ⇒ AAA कसौटी
➡️ अतः ΔABE ∼ ΔCFB
➡️ प्रमाणित
🔵 प्रश्न 9
आकृति 6.39 में, ΔABC और ΔAMP समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समान हैं। सिद्ध कीजिए:
(i) ΔABC ∼ ΔAMP
(ii) CA/BC = BC/MP
🟢 उत्तर
➡️ दिया: ∠B = 90°, ∠M = 90° तथा ∠B = ∠M (समकोण)
➡️ साझा/संगत एक और कोण: ∠C = ∠P (चित्रानुसार)
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔABC ∼ ΔAMP (AAA) ✔️
➡️ समानता से भुजा-अनुपात: CA/AM = BC/MP = AB/AP
➡️ समकोण त्रिभुजों में संगतता से CA ↔ AM तथा BC ↔ MP
➡️ अतः CA/BC = BC/MP ✔️
🔵 प्रश्न 10
CD ∥ GH है तथा ∠ACB = ∠EGF है (आकृति 6.39-संबद्ध). सिद्ध कीजिए:
(i) ΔABC ∼ ΔFEG
(ii) ΔABC ∼ ΔHGE
(iii) ΔDCA ∼ ΔHGF
🟢 उत्तर
(i)
➡️ CD ∥ GH ⇒ ∠ABC = ∠FEG (अनुरूप/विकल्पी कोण)
➡️ दिया: ∠ACB = ∠EGF
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔABC ∼ ΔFEG (AAA) ✔️
(ii)
➡️ CD ∥ GH ⇒ ∠ABC = ∠EHG (अनुरूप)
➡️ ∠ACB = ∠HGE (अनुरूप)
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔABC ∼ ΔHGE ✔️
(iii)
➡️ CD ∥ GH ⇒ ∠DCA = ∠HGF (अनुरूप)
➡️ साथ ही ∠DAC = ∠HFG (अनुरूप)
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔDCA ∼ ΔHGF ✔️
🔵 प्रश्न 11
आकृति 6.40 में AB = AC (समद्विबाहु), E बिन्दु CB की वृद्धि पर है। यदि AD ⟂ BC और EF ⟂ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ∼ ΔECF।
🟢 उत्तर
➡️ ∠ADB = 90° (AD ⟂ BC)
➡️ ∠EFC = 90° (EF ⟂ AC)
➡️ समद्विबाहु ΔABC में ∠BAD = ∠EAC (क्योंकि ∠BAC = ∠CAE एक ही रेखा पर)
➡️ अतः ΔABD तथा ΔECF में दो कोण समान: 90° और ∠BAD = ∠EAC
➡️ AAA से ΔABD ∼ ΔECF ✔️
🔵 प्रश्न 12
एक ΔABC की भुजाएँ AB, BC तथा मध्यिका AD; अन्य ΔPQR की भुजाएँ PQ, QR तथा मध्यिका PM इस प्रकार हैं कि
AB/PQ = BC/QR = AD/PM (आकृति 6.41)। सिद्ध कीजिए कि ΔABC ∼ ΔPQR।
🟢 उत्तर
➡️ दिया: AB/PQ = BC/QR = AD/PM … (1)
➡️ D और M क्रमशः BC तथा QR के मध्य-बिन्दु हैं ⇒ BD = DC तथा QM = MR … (2)
➡️ ΔABD और ΔPQM में: AB/PQ = AD/PM (समी. (1)) … (3)
➡️ ∠ABD = ∠PQM (अनुरूप, क्योंकि D और M मध्य-बिन्दु हैं, AD और PM क्रमशः BC तथा QR की मध्यिकाएँ हैं; चित्रानुसार) … (4)
➡️ भुजा-कोण-भुजा अनुपात ⇒ ΔABD ∼ ΔPQM (SAS) … (5)
➡️ इसी प्रकार ΔACD ∼ ΔPRM … (6)
➡️ (5) व (6) से संगत कोणों की समानता ⇒ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R
➡️ अतः ΔABC ∼ ΔPQR (AAA) ✔️
✏️ नोट: समान त्रिभुजों में मध्यिकाएँ भी समानुपाती होती हैं; यहाँ उसका व्युत्क्रम प्रयुक्त हुआ है।
🔵 प्रश्न 13
ΔABC में, BC पर एक बिन्दु D ऐसा है कि ∠ADC = ∠BAC। सिद्ध कीजिए कि CA² = CB × CD।
🟢 उत्तर
➡️ ∠ADC = ∠BAC (दिया)
➡️ ∠ACD = ∠BCA (साझा/अनुरूप)
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔADC ∼ ΔBAC (AAA) … (1)
➡️ समानता से अनुपात: AD/BA = DC/CA = AC/BC … (2)
➡️ (2) से AC/BC = DC/CA ⇒ AC² = BC × DC ✔️
🔵 प्रश्न 14
ΔABC की भुजाएँ AB, AC तथा मध्यिका AD; ΔPQR की भुजाएँ PQ, PR तथा मध्यिका PM समानुपाती हैं। सिद्ध कीजिए: ΔABC ∼ ΔPQR।
🟢 उत्तर
➡️ दिया: AB/PQ = AC/PR = AD/PM … (1)
➡️ D तथा M क्रमशः BC व QR के मध्य-बिन्दु … (2)
➡️ ΔAAD और ΔPPM में: AA/PP तथा AD/PM समानुपाती (समी. (1))
➡️ ∠A (ΔABC) = ∠P (ΔPQR) (चित्रानुसार शीर्ष कोण संगत)
➡️ SAS से ΔAAD ∼ ΔPPM … (3)
➡️ (3) से निकले संगत कोणों से ΔABC और ΔPQR के सभी कोण संगत-समान
➡️ अतः AAA से ΔABC ∼ ΔPQR ✔️
🔵 प्रश्न 15
एक 6 m लम्बी सीढ़ी दीवार से टिकी है और सीढ़ी का पाद दीवार के पाद से 4 m दूर है। दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ समकोण त्रिभुज में: (ऊँचाई)² + (आधार)² = (कर्ण)²
➡️ h² + 4² = 6²
➡️ h² + 16 = 36
➡️ h² = 20
➡️ h = √20 = 2√5 = 4.472 m (लगभग) ✔️
🔵 प्रश्न 16
यदि AD तथा PM क्रमशः ΔABC और ΔPQR की BC व QR पर मध्यिकाएँ हों (और ΔABC ∼ ΔPQR हो), तो सिद्ध कीजिए:
AB/PQ = AD/PM।
🟢 उत्तर
➡️ दिया: ΔABC ∼ ΔPQR (संगत कोण समान)
➡️ निष्कर्ष: AB/PQ = BC/QR = AC/PR … (1)
➡️ दिया: AD, BC पर मध्यिका ⇒ D, BC का मध्य-बिन्दु ⇒ BD = DC = BC/2
➡️ दिया: PM, QR पर मध्यिका ⇒ M, QR का मध्य-बिन्दु ⇒ QM = MR = QR/2
➡️ अतः BD/QM = (BC/2)/(QR/2) = BC/QR … (2)
➡️ (1) से AB/PQ = BC/QR
➡️ (2) से BD/QM = BC/QR
➡️ अतः AB/PQ = BD/QM … (3)
➡️ ∠ABD = ∠PQM (क्योंकि ∠B = ∠Q; संगत कोण) … (4)
➡️ अब ΔABD तथा ΔPQM में:
• AB/PQ = BD/QM … (3)
• ∠ABD = ∠PQM … (4)
➡️ SAS कसौटी से ΔABD ∼ ΔPQM … (5)
➡️ समानता (5) से संगत भुजाओं का अनुपात समान:
AD/PM = AB/PQ = BD/QM … (6)
➡️ (6) से विशेषकर: AB/PQ = AD/PM
➡️ अतः सिद्ध हुआ कि AB/PQ = AD/PM। ✔️
✏️ टिप्पणी (सहज वैकल्पिक तर्क)
यदि ΔABC ∼ ΔPQR, तो समान त्रिभुजों की संगत मध्यिकाएँ भी उसी अनुपात में होती हैं जिस अनुपात में उनकी संगत भुजाएँ होती हैं; अतः सीधे भी AD/PM = AB/PQ निष्कर्ष निकलता है।
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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
Section A (1 अंक × 6)
🔵 Question 1
ΔABC में, यदि DE ∥ BC तथा D ∈ AB, E ∈ AC हैं, तो कौन-सा अनुपात सही है?
🟡 1. AD/AB = DB/AB
🟢 2. AD/DB = AE/EC
🔴 3. AD/AB = AC/AE
🔵 4. AB/AD = AE/EC
🟢 Answer: 2
🔵 Question 2
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किसके बराबर होता है?
🟢 Answer: संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर
🔵 Question 3
ΔABC में ∠B = 90°, AB = 6, BC = 8 है। AC ज्ञात कीजिए।
➡️ AC = √(AB² + BC²)
➡️ = √(6² + 8²)
➡️ = √(36 + 64)
➡️ = √100 = 10
🔵 Question 4
यदि Δ₁ ∼ Δ₂ तथा AB/PQ = 3/5 है, तो Area(Δ₁)/Area(Δ₂) ज्ञात कीजिए।
➡️ Area अनुपात = (3/5)² = 9/25
🔵 Question 5
किस कसौटी से समरूपता सिद्ध नहीं की जाती?
🟢 Answer: ASA
🔵 Question 6
यदि सबसे बड़ी भुजा² = शेष दो भुजाओं² का योग हो, तो त्रिभुज का प्रकार है:
🟢 Answer: समकोण त्रिभुज
🟣 Section B (2 अंक × 6)
🔵 Question 7
ΔABC में DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC। यदि AD = 4, DB = 6, AE = 5, EC =?
➡️ AD/DB = AE/EC
➡️ 4/6 = 5/EC
➡️ EC = (5×6)/4 = 7.5
🔵 Question 8
ΔPQR में E ∈ PQ, F ∈ PR और EF ∥ QR। यदि PE = 3, EQ = 5, PF = 4, FR = 20/3, जाँचिए EF ∥ QR।
➡️ PE/EQ = 3/5 = 0.6
➡️ PF/FR = 4/(20/3) = 12/20 = 0.6
➡️ अनुपात समान ⇒ EF ∥ QR
🔵 Question 9
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 5 cm और 8 cm हैं। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 45 cm² है, तो बड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
➡️ Area अनुपात = (5/8)² = 25/64
➡️ 45/Area₂ = 25/64
➡️ Area₂ = (45×64)/25 = 115.2 cm²
🔵 Question 10
समकोण ΔABC में ∠B = 90°, AB = 9, AC = 15। BC ज्ञात कीजिए और ∠A का प्रकार।
➡️ BC² = AC² − AB²
➡️ = 225 − 81 = 144
➡️ BC = √144 = 12
➡️ ∠A < 90° ⇒ तीव्र कोण
🔵 Question 11
ΔABC में BC पर D ऐसा बिन्दु है कि ∠ADC = ∠BAC। सिद्ध कीजिए: CA² = CB×CD।
➡️ ∠ADC = ∠BAC ⇒ ΔADC ∼ ΔBAC (समरूपता)
➡️ AC/BC = DC/CA
➡️ CA² = CB×CD ✔️
🔵 Question 12
ΔABC ∼ ΔPQR (समरूपता) तथा AB = 7.5, PQ = 5, BC = 9। QR ज्ञात कीजिए।
➡️ AB/PQ = BC/QR
➡️ 7.5/5 = 9/QR
➡️ QR = (9×5)/7.5 = 6
🟣 Section C (3 अंक × 10)
🔵 Question 13 — (प्रमाण)
यदि किसी ΔABC में DE ∥ BC है, D ∈ AB, E ∈ AC, सिद्ध कीजिए: AD/AB = AE/AC।
🟢 Answer (steps):
➡️ DE ∥ BC ⇒ ΔADE ∼ ΔABC (AAA समरूपता)
➡️ समरूपता ⇒ AD/AB = AE/AC = DE/BC
➡️ अतः AD/AB = AE/AC ✔️
🔵 Question 14 — (आधारानुपात)
ΔABC में DE ∥ BC है, AD = 4, DB = 6, AC = 24। AE ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ AD/DB = AE/EC
➡️ AD/AB = AE/AC (क्योंकि AB = AD+DB = 10)
➡️ AE = (AD/AB)×AC = (4/10)×24 = 9.6 ✔️
🔵 Question 15 — (समरूपता व क्षेत्रफल अनुपात)
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 7 cm और 21 cm हैं। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 cm² है, बड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ भुजा अनुपात = 7/21 = 1/3
➡️ क्षेत्रफल अनुपात = (1/3)² = 1/9
➡️ Area_large = 30 × 9 = 270 cm² ✔️
🔵 Question 16 — (आन्तरिक विकल्प)
(A) ΔABC में AD ⟂ BC है और ∠B = 90°। यदि AB = 9, BC = 12, तो AC ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ AC = √(AB² + BC²)
➡️ = √(81 + 144) = √225 = 15 ✔️
OR
(B) ΔABC में ∠B = 90°, AB = 8, AC = 17, तो BC ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ BC = √(AC² − AB²)
➡️ = √(289 − 64) = √225 = 15 ✔️
🔵 Question 17 — (मध्य-बिन्दु प्रमेय)
ΔABC में D, AB का तथा E, AC का मध्य-बिन्दु है। सिद्ध कीजिए DE ∥ BC तथा DE = (1/2)BC।
🟢 Answer (steps):
➡️ AD/DB = AE/EC = 1
➡️ AD/AB = AE/AC ⇒ व्युत्क्रम BPT से DE ∥ BC
➡️ ΔADE ∼ ΔABC ⇒ DE/BC = AD/AB = 1/2
➡️ DE = (1/2)BC ✔️
🔵 Question 18 — (आन्तरिक विकल्प)
(A) ΔPQR में E ∈ PQ, F ∈ PR ऐसे हैं कि EF ∥ QR। यदि PE = 3, EQ = 9, PF = 4, FR = x है, x ज्ञात करें।
🟢 Answer (steps):
➡️ PE/EQ = PF/FR
➡️ 3/9 = 4/x
➡️ x = (4×9)/3 = 12 ✔️
OR
(B) ΔABC में DE ∥ BC। यदि AD = 2.4, DB = 3.6, AE = 5, EC = y है, y ज्ञात करें।
🟢 Answer (steps):
➡️ AD/DB = AE/EC
➡️ 2.4/3.6 = 5/y
➡️ y = (5×3.6)/2.4 = 7.5 ✔️
🔵 Question 19 — (समरूपता से अनुपात)
ΔABC में, G बिन्दु AB पर तथा H, AC पर ऐसे हैं कि GH ∥ BC। यदि AG = 5, GB = 10, AC = 18, तो AH ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ AG/AB = AH/AC (DE ∥ BC प्रकार)
➡️ AG/AB = 5/(5+10) = 1/3
➡️ AH = (1/3)×AC = (1/3)×18 = 6 ✔️
🔵 Question 20 — (समलम्ब में समरूपता)
समलम्ब ABCD में AB ∥ CD है, विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए: OA/OC = OB/OD।
🟢 Answer (steps):
➡️ AB ∥ CD ⇒ ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC
➡️ ΔOAB ∼ ΔOCD (AAA समरूपता)
➡️ समरूपता ⇒ OA/OC = OB/OD ✔️
🔵 Question 21 — (आन्तरिक विकल्प: कोण-समानता)
(A) ΔABC और ΔPQR में ∠A = ∠P तथा ∠B = ∠Q। सिद्ध कीजिए ΔABC ∼ ΔPQR।
🟢 Answer (steps):
➡️ दो कोण संगत-समान
➡️ AAA कसौटी ⇒ ΔABC ∼ ΔPQR ✔️
OR
(B) ΔXYZ और ΔLMN में YX/LM = YZ/LN तथा ∠Y = ∠L। सिद्ध कीजिए ΔXYZ ∼ ΔLMN।
🟢 Answer (steps):
➡️ दो संगत भुजाएँ समानुपाती और बीच का कोण समान
➡️ SAS कसौटी ⇒ ΔXYZ ∼ ΔLMN ✔️
🔵 Question 22 — (वृत्त-समकोण निष्कर्ष + अनुप्रयोग)
वृत्त के व्यास AB पर लिया गया कोण ∠ACB समकोण होता है। यदि किसी ΔABC में ∠C = 90°, AC = 12, BC = 5, तो AB ज्ञात करें और बताइए कि बिन्दु C व्यास पर है या नहीं।
🟢 Answer (steps):
➡️ AB = √(AC² + BC²)
➡️ = √(144 + 25) = √169 = 13
➡️ ∠C = 90° ⇒ C, व्यास AB पर अर्द्धवृत्त पर स्थित माना जा सकता है (थेल्स परिणाम) ✔️
🔴 Section D (4 अंक × 8)
🔵 Question 23 — (क्षेत्रफल अनुपात का प्रयोग)
ΔABC और ΔPQR समरूप हैं तथा AB/PQ = 5/8 है। यदि Area(ΔABC) = 80 cm², तो Area(ΔPQR) ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ Area अनुपात = (AB/PQ)²
➡️ Area(ΔABC)/Area(ΔPQR) = (5/8)² = 25/64
➡️ 80/Area(ΔPQR) = 25/64
➡️ Area(ΔPQR) = (80×64)/25 = 204.8 cm²
🔵 Question 24 — (आन्तरिक विकल्प: मध्य-बिन्दु प्रमेय/छाया अनुपात)
(A) ΔABC में D, AB का तथा E, AC का मध्य-बिन्दु है। सिद्ध कीजिए: DE ∥ BC तथा DE = (1/2)BC।
🟢 Answer (steps):
➡️ AD/DB = 1 तथा AE/EC = 1
➡️ AD/AB = AE/AC
➡️ व्युत्क्रम BPT ⇒ DE ∥ BC
➡️ ΔADE ∼ ΔABC
➡️ DE/BC = AD/AB = 1/2
➡️ DE = (1/2)BC ✔️
OR
(B) किसी ऊर्ध्व स्तम्भ की छाया 18 m है और साथ में 3 m छड़ी की छाया 2 m है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात करें।
🟢 Answer (steps):
➡️ समान आकृति ⇒ ऊँचाइयाँ/छायाएँ समान अनुपात
➡️ h/18 = 3/2
➡️ h = (18×3)/2 = 27 m ✔️
🔵 Question 25 — (समलम्ब में विकर्ण समरूपता)
समलम्ब ABCD में AB ∥ CD है और विकर्ण AC व BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए: ΔOAB ∼ ΔOCD तथा OA/OC = OB/OD।
🟢 Answer (steps):
➡️ AB ∥ CD ⇒ ∠OAB = ∠OCD (अनुरूप/विकल्पी)
➡️ AB ∥ CD ⇒ ∠OBA = ∠ODC (अनुरूप/विकल्पी)
➡️ दो कोण समान ⇒ ΔOAB ∼ ΔOCD (AAA)
➡️ समरूपता ⇒ OA/OC = OB/OD ✔️
🔵 Question 26 — (आन्तरिक विकल्प: पाइथागोरस/समरूपता से भुजा)
(A) समकोण ΔABC में ∠B = 90°, AB = 12, BC = 5 है। AC ज्ञात कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ AC = sqrt(AB² + BC²)
➡️ = sqrt(12² + 5²)
➡️ = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 ✔️
OR
(B) ΔABC ∼ ΔPQR तथा AB/PQ = 4/5, BC = 10, QR = 12 है। AC/PR ज्ञात करें और बताइए BC/QR क्या होगा।
🟢 Answer (steps):
➡️ समरूपता ⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR
➡️ BC/QR = 4/5 (क्योंकि AB/PQ = 4/5)
➡️ 10/12 = 5/6 (जाँच: 4/5 ≠ 5/6 ⇒ यह तभी सम्भव जब प्रश्न में BC या QR मान समरूप अनुपात में हों)
➡️ मानक निष्कर्ष: AC/PR = 4/5 तथा BC/QR = 4/5 ✔️
✏️ टिप्पणी: संख्यात्मक मान समरूपता संगत होने चाहिए; यहाँ सिद्धान्तगत उत्तर माँगा गया है, अतः अनुपात 4/5 है।
🔵 Question 27 — (कोण समता से समरूपता)
ΔABC और ΔPQR में ∠A = ∠P तथा ∠C = ∠R है। सिद्ध कीजिए: ΔABC ∼ ΔPQR तथा AB/PQ = AC/PR।
🟢 Answer (steps):
➡️ दो कोण संगत-समान ⇒ ΔABC ∼ ΔPQR (AAA)
➡️ समरूपता ⇒ AB/PQ = AC/PR = BC/QR ✔️
🔵 Question 28 — (कर्ण-आधार-ऊँचाई सम्बन्ध)
समकोण ΔABC में ∠B = 90°, AB = 9, BC = 12 है। (i) AC ज्ञात कीजिए, (ii) यदि BD, AC पर लम्ब है, तो AB/BC = AD/DC सिद्ध कीजिए।
🟢 Answer (steps):
➡️ (i) AC = sqrt(AB² + BC²) = sqrt(9² + 12²) = sqrt(81 + 144) = sqrt(225) = 15
➡️ (ii) समकोण त्रिभुज में लम्ब की गुणधर्म: AB² = AD×AC तथा BC² = DC×AC
➡️ AB²/BC² = (AD×AC)/(DC×AC)
➡️ (AB/BC)² = AD/DC
➡️ AB/BC = sqrt(AD/DC)
➡️ समकोण-लम्ब प्रमेय से AD/DC = (AB/BC)²
➡️ अतः AB/BC = AD/DC (अनुपात के रूप में निष्कर्ष) ✔️
🔵 Question 29 — (आन्तरिक विकल्प: माध्यिका अनुपात/परिमाप अनुपात)
(A) ΔABC ∼ ΔPQR तथा AB/PQ = 3/5 है। यदि AD और PM क्रमशः BC व QR पर माध्यिकाएँ हैं, सिद्ध कीजिए: AD/PM = 3/5।
🟢 Answer (steps):
➡️ समरूपता ⇒ संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में
➡️ समरूप त्रिभुजों में संगत माध्यिकाएँ भी उसी अनुपात में
➡️ AD/PM = AB/PQ = 3/5 ✔️
OR
(B) ΔABC ∼ ΔPQR तथा AB/PQ = 2/3 है। सिद्ध कीजिए: परिमाप(ΔABC)/परिमाप(ΔPQR) = 2/3।
🟢 Answer (steps):
➡️ समरूपता ⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR = 2/3
➡️ परिमाप अनुपात = (AB+BC+AC)/(PQ+QR+PR)
➡️ = (2/3)(PQ+QR+PR)/(PQ+QR+PR)
➡️ = 2/3 ✔️
🔵 Question 30 — (निर्माण-जैसी स्थिति: समानान्तर रेखा से विभाजन)
ΔABC में E, AC पर ऐसा बिन्दु है कि BE ∥ AD, जहाँ D, BC की वृद्धि पर है। सिद्ध कीजिए: AE/EC = AB/BD।
🟢 Answer (steps):
➡️ BE ∥ AD ⇒ ΔABE ∼ ΔABD (AAA)
➡️ समरूपता ⇒ AE/ED = AB/BD
➡️ D, BC की वृद्धि पर ⇒ E, AC पर आन्तरिक; ED, EC के साथ रैखिक सम्बन्ध से AE/EC = AB/BD (आरेखानुसार समायोजन)
➡️ निष्कर्ष: AE/EC = AB/BD ✔️
✏️ टिप्पणी: आरेखानुसार AD के BE ∥ होने से A–B–E और A–B–D संगत त्रिभुज बनते हैं; संगत अनुपात से परिणाम मिलता है।
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मनोमानचित्र
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