Class : 9 – Science (Hindi) : Lesson 7. गति

पाठ का विश्लेषण एवं विवेचन

🔵 प्रस्तावना
गति का अर्थ है समय के साथ किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन। प्रकृति में अधिकतर घटनाएँ किसी न किसी रूप में गति से जुड़ी हैं—धरती का घूर्णन, वाहन का चलना, वर्षा-बूँदों का गिरना, अथवा हृदय में रक्त का प्रवाह। इस पाठ में दूरी व विस्थापन, चाल व वेग, औसत मान, त्वरण, समान त्वरण की गति के समीकरण, दूरी–समय व वेग–समय आलेख तथा सरल गणनाएँ समझेंगे।

🟡 आधारभूत परिभाषाएँ: स्थान, दूरी, विस्थापन
🔵 स्थान: किसी तय सन्दर्भ–बिन्दु के सापेक्ष वस्तु की स्थिति।
🟢 दूरी: वस्तु द्वारा तय किया गया कुल पथ; यह अदिश है (केवल परिमाण)।

🔴 विस्थापन: प्रारम्भिक स्थान से अंतिम स्थान तक सीधी रेखा–खण्ड की सदिश मात्रा (परिमाण व दिशा सहित)।
🟣 अदिश–सदिश: दूरी, चाल, समय अदिश; विस्थापन, वेग, त्वरण सदिश।
✏️ नोट: दूरी ≥ विस्थापन; एक ही बिन्दु से लौट आने पर दूरी > 0 पर विस्थापन = 0 हो सकता है।

🌿 चाल और वेग
🔵 चाल = तय दूरी ÷ लिया गया समय
v̄ (चाल) = s/t

🟢 वेग = विस्थापन ÷ समय (दिशा सहित)
(यहाँ वेग का अर्थ औसत वेग है)

🟡 तत्क्षण चाल/वेग: अत्यल्प समयांतर पर मापा गया मान; व्यवहार में उच्च–सूक्ष्म उपकरणों से ज्ञात किया जाता है।
🟣 औसत चाल बनाम औसत वेग
औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय
औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय
⚡ वृताकार पथ पर एक पूर्ण चक्कर के बाद औसत वेग = 0, पर औसत चाल शून्य नहीं।

🔴 त्वरण (वेग–परिवर्तन की दर)
🟢 त्वरण a = (अंतिम वेग − प्रारम्भिक वेग)/समय
a = (v − u)/t

🔵 ऋणात्मक त्वरण (मन्दन): जब वेग घट रहा हो, a ऋणात्मक होगा।
🟣 समान त्वरण: a का मान समय के साथ नियत; स्कूटी का समान रूप से तेज़ होना, मुक्तपतन (वायु–प्रतिरोध नगण्य मानें) इसके उदाहरण हैं।

🌿 समान–त्वरण गति के मुख्य समीकरण (गति–संबंध)
जब a नियत हो, तब
🔵 v = u + a t
🟢 s = u t + (1/2) a t²
🔴 v² − u² = 2 a s

💡 अवधारणा: दूसरे समीकरण में s समय–आधारित पथ है; तीसरे में समय अनुपस्थित है, इसलिए जब t न दिया हो तब उपयोगी है।
🟣 दूरी–समय आलेख
🔵 ढाल = दूरी–समय आलेख की ढाल चाल को दर्शाती है।
🟡 समान गति: सीधी रेखा; ढाल नियत → चाल नियत।
🟢 स्थिर वस्तु: क्षैतिज रेखा (दूरी स्थिर)।

🔴 असमान गति: वक्र रेखा; ढाल बदलती रहती है।
🔵 वेग–समय आलेख
🟣 ढाल = त्वरण; क्षेत्रफल = विस्थापन।
वेग–समय रेखा के नीचे का क्षेत्रफल (समय–अक्ष के ऊपर) = उस अंतराल में विस्थापन।
समान त्वरण पर रेखा सीधी; शून्य त्वरण पर क्षैतिज रेखा।

🟠 दैनन्दिन जीवन में अवधारणाएँ
🔵 शहर–यात्रा में भीड़ के कारण औसत चाल कम हो जाती है भले ही बीच–बीच में चाल बड़ी रही हो।
🟢 पर्वतीय पथ पर जाते–आते विस्थापन कम हो सकता है पर दूरी अधिक।
🔴 खेलों में तेज़ धावक का त्वरण प्रारम्भ के क्षणों में सबसे महत्त्वपूर्ण होता है।
🟣 विज्ञान प्रयोगों में वेग–समय आलेख पढ़कर समान त्वरण का प्रमाण किया जाता है।

🌱 सावधानियाँ और सामान्य भ्रम
🟢 दूरी और विस्थापन को एक–दूसरे का पर्याय न मानें।
🔵 औसत वेग शून्य होना औसत चाल का शून्य होना नहीं दर्शाता।
🔴 मन्दन भी त्वरण है; केवल चिन्ह ऋणात्मक होता है।
🟣 समान–त्वरण समीकरण केवल तब लागू करें जब त्वरण नियत हो।
🧠 उदाहरण–समूह (गणनाएँ चरणबद्ध)

🔵 उदाहरण 1: औसत चाल बनाम औसत वेग
एक छात्र मैदान की परिधि पर चलता है। वह 400 मीटर की परिधि वाला एक चक्कर 4 मिनट में पूरा करता है और फिर प्रारम्भिक बिन्दु पर ही पहुँचता है।
चरण 1: कुल दूरी = 400 मीटर
चरण 2: कुल समय = 4 मिनट = 240 सेकण्ड
चरण 3: औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 400 / 240 = 1.6667 मीटर प्रति सेकण्ड
चरण 4: कुल विस्थापन = 0 (प्रारम्भिक बिन्दु पर ही वापसी)
चरण 5: औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय = 0 / 240 = 0
✔️ निष्कर्ष: औसत चाल शून्य नहीं; औसत वेग शून्य है।

🟢 उदाहरण 2: समान–त्वरण गति
एक कार आरम्भ में विराम पर है। वह समान त्वरण से चलकर 10 सेकण्ड में 200 मीटर तय करती है। त्वरण ज्ञात करें।
दिया: u = 0, t = 10 सेकण्ड, s = 200 मीटर
चरण 1: s = u t + (1/2) a t² का प्रयोग
चरण 2: 200 = 0 × 10 + (1/2) a × (10)²
चरण 3: 200 = (1/2) a × 100
चरण 4: 200 = 50 a
चरण 5: a = 200 / 50 = 4 मीटर प्रति सेकण्ड²
✔️ निष्कर्ष: त्वरण = 4 मीटर प्रति सेकण्ड²

🟣 उदाहरण 3: समय दिए बिना वेग निकालना
एक साइकिल 5 मीटर प्रति सेकण्ड से चल रही है। वह समान त्वरण से 45 मीटर और चली, जिससे अंतिम वेग 11 मीटर प्रति सेकण्ड हो गया। त्वरण जाँचें।
दिया: u = 5 मीटर प्रति सेकण्ड, v = 11 मीटर प्रति सेकण्ड, s = 45 मीटर
चरण 1: v² − u² = 2 a s
चरण 2: 11² − 5² = 2 a × 45
चरण 3: 121 − 25 = 90 a
चरण 4: 96 = 90 a
चरण 5: a = 96 / 90 = 1.0667 मीटर प्रति सेकण्ड²
✔️ निष्कर्ष: त्वरण ≈ 1.07 मीटर प्रति सेकण्ड²

🔴 उदाहरण 4: वेग–समय आलेख से विस्थापन
मान लीजिए 0 से 6 सेकण्ड तक वेग–समय आलेख सीधी रेखा के रूप में बढ़ते वेग को दर्शाता है: 0 सेकण्ड पर वेग 0, 6 सेकण्ड पर वेग 12 मीटर प्रति सेकण्ड।
चरण 1: यह त्रिभुजाकार क्षेत्रफल है जिसकी आधार = 6 सेकण्ड, ऊँचाई = 12 मीटर प्रति सेकण्ड
चरण 2: विस्थापन = क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई
चरण 3: = (1/2) × 6 × 12 = 36 मीटर
✔️ निष्कर्ष: 0 से 6 सेकण्ड में विस्थापन 36 मीटर

🟠 मुक्तपतन (वायु–प्रतिरोध नगण्य)
🔵 पृथ्वी के निकट मुक्तपतन में त्वरण लगभग नियत माना जाता है।
🟢 समान–त्वरण समीकरणों का प्रयोग कर गिरने–चढ़ने की दूरी, वेग, समय का निर्धारण किया जा सकता है।
🔴 ऊपर फेंकी वस्तु के लिए ऊपर जाते समय वेग घटता है; शीर्ष पर क्षणिक वेग 0; लौटते समय वेग बढ़ता है।
🟣 अनुप्रयोग–दृष्टि

🌿 यातायात नियोजन में औसत चाल का आँकड़ा मार्ग–डिजाइन का आधार बनता है।
⚡ खेल–प्रशिक्षण में प्रारम्भिक त्वरण, अधिकतम वेग तक पहुँचने का समय, थकावट के साथ वेग–क्षय का अध्ययन किया जाता है।
🧠 भूकम्प–तरंगों के प्रसार में विभिन्न माध्यमों में वेग–भिन्नता पथ व समय का आकलन संभव बनाती है।
🟤 सामान्य अभ्यास–युक्तियाँ

🔵 ज्ञात–अज्ञात को स्पष्ट लिखें; मात्रकों का समन्वय रखें।
🟢 समान–त्वरण मानने से पहले जाँच लें कि त्वरण वास्तव में नियत है।
🔴 दूरी–समय बनाम वेग–समय आलेख के अर्थ में भ्रम न करें: दूरी–समय की ढाल = चाल; वेग–समय का क्षेत्रफल = विस्थापन।
🟣 संख्यात्मक प्रश्नों में चरण छोड़कर छलाँग न लगाएँ; हर चरण अलग पंक्ति में लिखें।

🟢 संक्षेप (~200 शब्द)
गति वह परिघटना है जिसमें समय के साथ वस्तु का स्थान बदलता है। आधारभूत मात्राएँ—दूरी (अदिश) और विस्थापन (सदिश)—एक–दूसरे से भिन्न हैं; दूरी हमेशा गैर–ऋणात्मक और विस्थापन दिशा–सहित हो सकता है। चाल = दूरी/समय, जबकि वेग = विस्थापन/समय; अतः औसत चाल और औसत वेग प्रायः भिन्न होते हैं।

वेग–परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं; वेग घटने पर त्वरण ऋणात्मक कहलाता है। समान–त्वरण के लिए गति–संबंध v = u + a t, s = u t + (1/2) a t², v² − u² = 2 a s अत्यन्त उपयोगी हैं। दूरी–समय आलेख की ढाल चाल बताती है; वेग–समय आलेख की ढाल त्वरण और उसका क्षेत्रफल विस्थापन देता है। मुक्तपतन जैसे प्रसंगों में त्वरण को नियत मानकर सीधे समीकरण लगाए जा सकते हैं। व्यावहारिक जीवन—यातायात, खेल, अभियंत्रण—में औसत चाल, औसत वेग व त्वरण का विश्लेषण निर्णय–निर्माण में सहायक होता है।

प्रश्न हल करते समय ज्ञात–अज्ञात स्पष्ट करें, मात्रक सही रखें, चरणबद्ध गणना करें, और यह परखें कि समान–त्वरण धारणा लागू है या नहीं। इस प्रकार “गति” अध्याय आगे के अध्यायों—बल, कार्य–ऊर्जा–शक्ति, रैखिक गति विश्लेषण—का मजबूत आधार तैयार करता है।

📝 त्वरित दोहरान
🔵 अदिश बनाम सदिश: दूरी–चाल अदिश; विस्थापन–वेग–त्वरण सदिश
🟢 औसत चाल = कुल दूरी/कुल समय; औसत वेग = कुल विस्थापन/कुल समय
🟡 त्वरण a = (v − u)/t; मन्दन का चिन्ह ऋणात्मक
🔴 समान–त्वरण गति–संबंध: v = u + a t; s = u t + (1/2) a t²; v² − u² = 2 a s
🟣 दूरी–समय आलेख की ढाल = चाल; वेग–समय आलेख का क्षेत्रफल = विस्थापन
🟠 गणना हमेशा चरणबद्ध; सूत्रों में खड़ी पाई नहीं; केवल 0–9 अंक; शुद्ध हिन्दी शब्दावली

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्न 1. एक एथलीट वृत्तीय रास्ते, जिसका व्यास 200 m है, का एक चक्कर 40 s में लगाता है। 2 min 20 s के बाद वह कितनी दूरी तय करेगा और उसका विस्थापन क्या होगा?
उत्तर :
🔵 कुल समय = 2 min 20 s = 140 s
🟢 चक्करों की संख्या = 140 ÷ 40 = 3.5
🔴 परिमाप = π × व्यास = π × 200 m = 200 π m
🟣 दूरी = 3.5 × 200 π = 700 π m ≈ 2199 m
🟡 3.5 चक्कर बाद वह प्रारम्भ-बिन्दु के ठीक विपरीत बिन्दु पर होगा ⇒ विस्थापन = व्यास = 200 m
✔️ निष्कर्ष: दूरी ≈ 2199 m, विस्थापन = 200 m

प्रश्न 2. 300 m सीधी दौड़ पर जोसेफ़ जॉगिंग करता हुआ 2 min 50 s में एक सिरा A से दूसरे सिरे B पर पहुँचता है और ठहरकर 1 min में 100 m पीछे बिंदु C पर पहुँचता है। जोसेफ़ की औसत चाल और औसत वेग ज्ञात कीजिए— (a) सिरा A से सिरा B तक, (b) सिरा A से सिरा C तक।
उत्तर :
🔵 (a) A→B
चरण 1: दूरी = 300 m, समय = 2 min 50 s = 170 s
चरण 2: औसत चाल = 300 ÷ 170 = 1.7647 m s⁻¹ (≈ 1.76 m s⁻¹)
चरण 3: औसत वेग = विस्थापन ÷ समय = 300 ÷ 170 = 1.7647 m s⁻¹
✔️ निष्कर्ष: औसत चाल = औसत वेग ≈ 1.76 m s⁻¹
🟢 (b) A→C (B से 100 m पीछे)
चरण 1: कुल दूरी = 300 + 100 = 400 m
चरण 2: कुल समय = 170 s + 60 s = 230 s
चरण 3: कुल विस्थापन = A से C = 200 m
चरण 4: औसत चाल = 400 ÷ 230 = 1.7391 m s⁻¹ (≈ 1.74 m s⁻¹)
चरण 5: औसत वेग = 200 ÷ 230 = 0.8696 m s⁻¹ (≈ 0.87 m s⁻¹)
✔️ निष्कर्ष: औसत चाल ≈ 1.74 m s⁻¹, औसत वेग ≈ 0.87 m s⁻¹

प्रश्न 3. अब्दुल गाड़ी से स्कूल जाने के क्रम में औसत चाल 20 km h⁻¹ पाता है। उसी रास्ते से लौटने के समय वहाँ भीड़ कम है और औसत चाल 40 km h⁻¹ है। अब्दुल की इस पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है?
उत्तर :
🔵 समान दूरी आने–जाने ⇒ औसत चाल = 2 u v ÷ (u + v)
🟢 = 2 × 20 × 40 ÷ (20 + 40)
🔴 = 1600 ÷ 60 = 26.666… km h⁻¹
✔️ निष्कर्ष: औसत चाल ≈ 26.67 km h⁻¹

प्रश्न 4. कोई मोटरबोट झील में विश्रामावस्था से 3.0 m s⁻² के नियत त्वरण से 8.0 s तक बढ़ती है। इस समयान्तराल में मोटरबोट कितनी दूरी तय करती है?
उत्तर :
🔵 दिया: u = 0, a = 3.0 m s⁻², t = 8.0 s
🟢 सूत्र: s = u t + (1/2) a t²
🔴 s = 0 × 8 + (1/2) × 3.0 × (8)²
🟣 s = (1/2) × 3.0 × 64 = 96 m
✔️ निष्कर्ष: दूरी = 96 m

प्रश्न 5. किसी गाड़ी का चालक 52 km h⁻¹ की गति से चल रही कार में ब्रेक लगाता है और एकसमान मन्दन से कार 10 s में रुक जाती है। दूसरी कार 30 km h⁻¹ से चल रही है और वह भी 10 s में रुकती है। चाल–समय आलेख बनाइए तथा बताइए—ब्रेक लगाने के पश्चात् किस कार की रोकी गई दूरी अधिक है?
उत्तर :
🔵 पहली कार: प्रारम्भिक वेग u₁ = 52 × 5/18 = 14.44 m s⁻¹
🟢 रोकने का समय t = 10 s, अंतिम वेग v = 0
🔴 दूरी s₁ = औसत वेग × समय = (u₁ + 0)/2 × 10 = 14.44/2 × 10 = 72.2 m
🟣 दूसरी कार: u₂ = 30 × 5/18 = 8.33 m s⁻¹
🟡 दूरी s₂ = (u₂ + 0)/2 × 10 = 8.33/2 × 10 = 41.7 m
✔️ निष्कर्ष: पहली कार अधिक दूरी (≈ 72 m) तक जाएगी; इसलिए उसकी रोक दूरी अधिक है।
✏️ नोट: चाल–समय आलेख दोनों के लिए त्रिभुजाकार होगा; आधार = 10 s, ऊँचाई क्रमशः 14.44 व 8.33 m s⁻¹।

प्रश्न 6. चित्र 7.10 में तीन वस्तुओं A, B और C के दूरी–समय आलेख प्रदर्शित हैं। आलेख का अध्ययन करके निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(a) तीनों में से कौन सबसे तीव्र गति से गतिमान है?
(b) क्या ये तीनों किसी भी समय सड़क के एक ही बिंदु पर होंगे?
(c) जिस समय B, A से गुजरती है उस समय तक C कितनी दूरी तय कर लेती है?
(d) जिस समय B, C से गुजरती है उस समय तक यह कितनी दूरी तय कर लेती है?
उत्तर :
🔵 (a) जिसकी ढाल अधिक ⇒ सबसे तीव्र गति ⇒ B
🟢 (b) आलेखों से तीनों का एक ही बिंदु पर मिलना नहीं दिखता ⇒ नहीं
🔴 (c) और (d) के लिए विधि: प्रतिच्छेदन समय को ग्रिड से पढ़ें; उस समय संबंधित रेखा की ऊर्ध्वाधर निर्देशांक दूरी देगा।
🟣 पाठ्यपुस्तक के चित्र के पठन के आधार पर मान थोड़े बदल सकते हैं; सामान्य पठन में B–A का प्रतिच्छेदन लगभग 1.2 h के निकट और B–C का प्रतिच्छेदन लगभग 0.8–1.0 h के निकट पढ़ा जाता है—तब C व B की दूरियाँ ग्रिड से पढ़कर लिखें।

प्रश्न 7. 20 m की ऊँचाई से एक गेंद को गिराया जाता है। यदि उसका त्वरण 10 m s⁻² है, तो यह कितने समय बाद धरातल से टकराएगी और किस वेग से टकराएगी?
उत्तर :
🔵 दिया: u = 0, s = 20 m, a = 10 m s⁻²
🟢 s = (1/2) a t² ⇒ 20 = (1/2) × 10 × t²
🔴 20 = 5 t²
🟣 t² = 4
🟡 t = 2 s
🔵 v = u + a t = 0 + 10 × 2 = 20 m s⁻¹ (नीचे की ओर)
✔️ निष्कर्ष: समय = 2 s, टकराने से ठीक पहले वेग = 20 m s⁻¹

प्रश्न 8. किसी कार का चाल–समय आलेख चित्र 7.11 में दर्शाया गया है।
(a) पहले 4 s में कार कितनी दूरी तय करती है? इस अवधि में कार द्वारा तय की गई दूरी को आलेख में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाइए।
(b) आलेख का कौन-सा भाग कार की एकसमान गति को दर्शाता है?
उत्तर :
🔵 (a) दूरी = 0 से 4 s के बीच चाल–समय वक्र के नीचे का क्षेत्रफल (त्रिभुज/समलम्ब के अनुसार ग्रिड से पढ़ें)
🟢 (b) जहाँ वक्र क्षैतिज (चाल नियत) दिखे, वही भाग एकसमान गति को दर्शाता है।
✏️ ग्रिड-पठन पर आधारित सटीक संख्याएँ पाठ्यपुस्तक के चित्र से ही पढ़कर लिखें; परीक्षा में वही अंक मान्य होंगे।

प्रश्न 9. निम्नलिखित में से कौन-सी अवस्थाएँ सम्भव हैं? प्रत्येक के लिए एक उदाहरण दीजिए।
(a) कोई वस्तु जिसका त्वरण नियत हो परन्तु वेग शून्य हो।
(b) कोई वस्तु जिसका औसत चाल शून्य हो परन्तु औसत वेग शून्य न हो।
(c) कोई वस्तु किसी निश्चित दिशा में गतिमान हो परन्तु उसका त्वरण उस दिशा पर लम्बवत हो।
उत्तर :
🔵 (a) सम्भव—ऊपर फेंकी वस्तु शीर्ष बिन्दु पर क्षणिक वेग 0, पर त्वरण (गुरुत्वज) नियत रहता है।
🟢 (b) सम्भव नहीं—यदि औसत चाल शून्य है तो कुल दूरी शून्य होनी चाहिए; पर दूरी शून्य होने पर औसत वेग भी शून्य होगा।
🔴 (c) सम्भव—समविकार वृत्तीय गति में वेग स्पर्शरेखी दिशा में और त्वरण (केन्द्राभिमुख) त्रिज्या की ओर, जो वेग पर लम्बवत होता है।

प्रश्न 10. एक कृत्रिम उपग्रह 42250 km त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। यदि वह 24 h में पृथ्वी की परिक्रमा करता है, तो उसकी चाल का परिकलन कीजिए।
उत्तर :
🔵 कक्षीय परिधि = 2 π r = 2 π × 42250 km
🟢 परिधि ≈ 6.2832 × 42250 = 265440 km (लगभग)
🔴 समय = 24 h
🟣 चाल = परिधि ÷ समय = 265440 ÷ 24 = 11060 km h⁻¹ (लगभग)
🟡 चाल (m s⁻¹) = 11060 × 1000 ÷ 3600 ≈ 3070 m s⁻¹
✔️ निष्कर्ष: औसत कक्षीय चाल ≈ 11060 km h⁻¹ ≈ 3070 m s⁻¹

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

खण्ड A (बहुविकल्पीय प्रश्न, प्रश्न 1–10, प्रत्येक 1 अंक)
प्रश्न 1. यदि किसी वस्तु की चाल स्थिर है, तो उसका त्वरण होगा—
शून्य
अधिक
घटता हुआ
ऋणात्मक
उत्तर : 1

प्रश्न 2. औसत चाल = ?
कुल विस्थापन ÷ कुल समय
कुल दूरी ÷ कुल समय
कुल चाल ÷ कुल समय
कुल वेग ÷ कुल दूरी
उत्तर : 2

प्रश्न 3. किसी वस्तु का चाल–समय आलेख सीधी रेखा है और क्षैतिज है। इसका अर्थ है—
वस्तु स्थिर है
वस्तु का वेग स्थिर है
वस्तु का त्वरण है
वस्तु पीछे जा रही है
उत्तर : 1

प्रश्न 4. 2 km दूरी को 10 min में तय करने पर औसत चाल होगी—
3.33 m s⁻¹
2 m s⁻¹
5 m s⁻¹
10 m s⁻¹
उत्तर : 1

प्रश्न 5. यदि किसी वस्तु का चाल–समय आलेख सीधी रेखा झुका हुआ है, तो—
त्वरण शून्य है
त्वरण नियत है
त्वरण घटता है
वस्तु स्थिर है
उत्तर : 2

प्रश्न 6. विस्थापन–समय आलेख का ढाल बताता है—
चाल
वेग
त्वरण
समय
उत्तर : 2

प्रश्न 7. समान चाल वाली वस्तु के चाल–समय आलेख का रूप होगा—
क्षैतिज रेखा
ऊर्ध्वाधर रेखा
झुकी सीधी रेखा
वक्र रेखा
उत्तर : 3

प्रश्न 8. यदि कोई वस्तु विश्राम से चलना प्रारम्भ करती है, तो प्रारम्भिक वेग होगा—
0
1
अनन्त
ऋणात्मक
उत्तर : 1

प्रश्न 9. एक समान त्वरण वाली गति में चाल ज्ञात करने का सूत्र है—
v = u + a t
v = s t
v = 2 a t
v = u t
उत्तर : 1

प्रश्न 10. 36 km h⁻¹ को m s⁻¹ में व्यक्त करें।
10
20
15
25
उत्तर : 1

खण्ड A (कथन–कारण आधारित प्रश्न, प्रश्न 11–20, प्रत्येक 1 अंक)
पहले विकल्पों का अर्थ (कथन–कारण प्रश्नों में प्रयोग हेतु):
दोनों कथन और कारण सत्य हैं, तथा कारण सही व्याख्या है।
दोनों कथन और कारण सत्य हैं, पर कारण सही व्याख्या नहीं है।
कथन सत्य है, कारण असत्य है।
कथन असत्य है, कारण सत्य है।

प्रश्न 11.
कथन: समान चाल वाली वस्तु का त्वरण शून्य होता है।
कारण: त्वरण चाल के परिवर्तन की दर है।
उत्तर : 1

प्रश्न 12.
कथन: यदि विस्थापन = 0 हो तो औसत वेग भी 0 होगा।
कारण: औसत वेग = विस्थापन ÷ समय।
उत्तर : 1

प्रश्न 13.
कथन: दूरी सदैव धनात्मक होती है।
कारण: दूरी वस्तु की कुल पथ-लम्बाई है।
उत्तर : 1

प्रश्न 14.
कथन: चाल–समय आलेख का ढाल त्वरण देता है।
कारण: विस्थापन–समय आलेख का ढाल वेग देता है।
उत्तर : 3

प्रश्न 15.
कथन: समान वेग में त्वरण शून्य होता है।
कारण: त्वरण = चाल का परिवर्तन ÷ समय।
उत्तर : 1

प्रश्न 16.
कथन: चाल और वेग का मान समान हो सकता है।
कारण: चाल अदिश है जबकि वेग सदिश है।
उत्तर : 2

प्रश्न 17.
कथन: वृत्तीय गति में वेग की दिशा बदलती रहती है।
कारण: वेग एक सदिश राशि है।
उत्तर : 1

प्रश्न 18.
कथन: चाल–समय आलेख का क्षेत्रफल विस्थापन देता है।
कारण: विस्थापन = चाल × समय।
उत्तर : 1

प्रश्न 19.
कथन: यदि वस्तु पीछे की ओर गति करे तो वेग ऋणात्मक हो सकता है।
कारण: वेग सदिश राशि है।
उत्तर : 1

प्रश्न 20.
कथन: किसी वस्तु के लिए औसत चाल = औसत वेग।
कारण: यह तभी सम्भव है जब विस्थापन = दूरी हो।
उत्तर : 1

खण्ड B (अति लघुत्तरीय प्रश्न, प्रश्न 21–26, प्रत्येक 2 अंक)
प्रश्न 21. चाल और वेग में अंतर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर :
🔵 चाल अदिश राशि है, केवल परिमाण बताती है।
🟢 वेग सदिश राशि है, परिमाण और दिशा दोनों बताता है।

प्रश्न 22. 72 km h⁻¹ को m s⁻¹ में व्यक्त कीजिए।
उत्तर :
🔵 72 × 1000 ÷ 3600 = 20 m s⁻¹

प्रश्न 23. विस्थापन–समय आलेख का ढाल क्या दर्शाता है?
उत्तर :
🟢 विस्थापन–समय आलेख का ढाल वस्तु का वेग दर्शाता है।

प्रश्न 24. समान त्वरण में औसत चाल का सूत्र लिखिए।
उत्तर :
🔵 औसत चाल = (u + v)/2

प्रश्न 25. यदि कोई कार 10 m s⁻¹ से 20 m s⁻¹ तक 10 s में पहुँचती है तो त्वरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 a = (v – u)/t = (20 – 10)/10 = 1 m s⁻²

प्रश्न 26. किसी वस्तु का चाल–समय आलेख त्रिभुजाकार है। उसका क्षेत्रफल किसे दर्शाता है?
उत्तर :
🟢 वह क्षेत्रफल विस्थापन दर्शाता है।

खण्ड C (लघुत्तरीय प्रश्न, प्रश्न 27–33, प्रत्येक 3 अंक)
प्रश्न 27. एक वस्तु को 5 m s⁻² के त्वरण से 10 s तक चलाया जाता है। वस्तु का अंतिम वेग और दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 u = 0, a = 5 m s⁻², t = 10 s
🟢 v = u + a t = 0 + 5 × 10 = 50 m s⁻¹
🔴 s = u t + (1/2) a t² = 0 + (1/2) × 5 × 100 = 250 m

प्रश्न 28. यदि किसी वस्तु की प्रारम्भिक चाल 10 m s⁻¹ है और वह 2 m s⁻² के त्वरण से 5 s तक चलती है, तो अंतिम चाल और दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 v = u + a t = 10 + 2 × 5 = 20 m s⁻¹
🟢 s = u t + (1/2) a t² = 10 × 5 + (1/2) × 2 × 25 = 50 + 25 = 75 m

प्रश्न 29. किसी कार की चाल 36 km h⁻¹ से 90 km h⁻¹ तक 10 s में बढ़ती है। उसका त्वरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 u = 36 × 5/18 = 10 m s⁻¹
🟢 v = 90 × 5/18 = 25 m s⁻¹
🔴 a = (25 – 10)/10 = 1.5 m s⁻²

प्रश्न 30. समान त्वरण में विस्थापन का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
उत्तर :
🔵 v = u + a t
🟢 s = u t + (1/2) a t²
✔️ यही समान्तर त्वरण में विस्थापन का सूत्र है।

प्रश्न 31. एक ट्रेन विश्राम से प्रारम्भ होती है और 2 m s⁻² के त्वरण से 5 s तक चलती है। दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 s = u t + (1/2) a t² = 0 × 5 + (1/2) × 2 × 25 = 25 m

प्रश्न 32. औसत चाल की परिभाषा लिखिए और सूत्र दीजिए।
उत्तर :
🟢 औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय

प्रश्न 33. एक वस्तु को 20 m s⁻¹ की चाल से ऊपर फेंका जाता है। वह कितनी ऊँचाई तक जाएगी? (g = 10 m s⁻²)
उत्तर :
🔵 v² = u² – 2 g h
🟢 0 = (20)² – 2 × 10 × h
🔴 400 = 20 h
🟣 h = 20 m


खण्ड D (दीर्घ उत्तरीय प्रश्न, प्रत्येक 5 अंक)
प्रश्न 34. समान्तर त्वरण में प्रयुक्त तीन समीकरणों को व्युत्पन्न कीजिए।
उत्तर :
🔵 प्रारम्भिक चाल = u, समय = t, त्वरण = a, अंतिम चाल = v, विस्थापन = s
अंतिम चाल का समीकरण
v = u + a t
विस्थापन का समीकरण
s = u t + (1/2) a t²
चाल और विस्थापन सम्बन्ध
v² – u² = 2 a s
🟢 ये तीनों समीकरण समान्तर त्वरण में प्रयुक्त होते हैं।

प्रश्न 35. एक कार 5 s में विश्राम से 15 m s⁻¹ की चाल प्राप्त करती है। फिर 10 s तक उसी चाल से चलती है और अन्त में 5 s में रुक जाती है। कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 चरण 1 (त्वरण)
u = 0, v = 15, t = 5
s₁ = u t + (1/2) a t²
a = (v – u)/t = (15 – 0)/5 = 3 m s⁻²
s₁ = 0 × 5 + (1/2) × 3 × 25 = 37.5 m
🔵 चरण 2 (समान चाल)
u = v = 15, t = 10
s₂ = v t = 15 × 10 = 150 m
🔵 चरण 3 (मन्दन)
u = 15, v = 0, t = 5
a = (v – u)/t = (0 – 15)/5 = –3 m s⁻²
s₃ = u t + (1/2) a t²
= 15 × 5 + (1/2) × (–3) × 25
= 75 – 37.5 = 37.5 m
🟢 कुल दूरी = s₁ + s₂ + s₃ = 37.5 + 150 + 37.5 = 225 m

प्रश्न 36. एक कण 20 m s⁻¹ की चाल से ऊपर फेंका गया। ज्ञात कीजिए –
(i) अधिकतम ऊँचाई
(ii) ऊर्ध्वगमन समय
(iii) सम्पूर्ण समय
(iv) सम्पूर्ण दूरी (g = 10 m s⁻²)
उत्तर :
🔵 (i) अधिकतम ऊँचाई
v² = u² – 2 g h
0 = 20² – 2 × 10 × h
400 = 20 h
h = 20 m
🔵 (ii) ऊर्ध्वगमन समय
v = u – g t
0 = 20 – 10 t
t = 2 s
🔵 (iii) सम्पूर्ण समय
ऊर्ध्वगमन समय + अवरोहण समय = 2 + 2 = 4 s
🔵 (iv) सम्पूर्ण दूरी
= ऊर्ध्वगमन दूरी + अवरोहण दूरी = 20 + 20 = 40 m
🟢 निष्कर्ष: अधिकतम ऊँचाई 20 m, कुल समय 4 s, कुल दूरी 40 m।

खण्ड E (केस आधारित प्रश्न, प्रत्येक 4 अंक)
प्रश्न 37. किसी बस का चाल–समय आलेख एक समबाहु त्रिभुज के रूप में है, जो 0 से 20 s तक फैला है और अधिकतम चाल 10 m s⁻¹ है।
प्रश्न:
(a) बस का त्वरण चरण ज्ञात कीजिए।
(b) कुल विस्थापन ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 (a) त्वरण चरण (0–10 s)
a = (v – u)/t = (10 – 0)/10 = 1 m s⁻²
🔵 (b) कुल विस्थापन
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई
= (1/2) × 20 × 10 = 100 m

प्रश्न 38. एक वस्तु का चाल–समय आलेख समलम्बाकार है, जिसमें 0–5 s तक चाल 4 m s⁻¹ है और 5–10 s तक 8 m s⁻¹ है।
प्रश्न:
(a) कुल विस्थापन ज्ञात कीजिए।
(b) औसत चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 विस्थापन = क्षेत्रफल
= (4 × 5) + (8 × 5)
= 20 + 40 = 60 m
🔵 औसत चाल = कुल विस्थापन ÷ कुल समय
= 60 ÷ 10 = 6 m s⁻¹

प्रश्न 39. किसी कार का चाल–समय आलेख 0–4 s तक 5 m s⁻¹ चाल दिखाता है, फिर 4–6 s तक 10 m s⁻¹ और 6–8 s तक 15 m s⁻¹।
प्रश्न:
(a) कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
(b) औसत चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
🔵 कुल दूरी = (5 × 4) + (10 × 2) + (15 × 2)
= 20 + 20 + 30 = 70 m
🔵 औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय
= 70 ÷ 8 = 8.75 m s⁻¹

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