Class : 9 – Math (Hindi) : Lesson 10. हीरोन का सूत्र

पाठ का विश्लेषण  एवं  विवेचन

✨ विस्तृत व्याख्या
🔵 भूमिका
गणित में क्षेत्रफल निकालने के लिए कई प्रकार के सूत्र उपयोग किए जाते हैं। विशेष रूप से त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करना एक महत्वपूर्ण कार्य है। साधारणतः यदि त्रिभुज का आधार और ऊँचाई ज्ञात हों तो क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई होता है। परंतु जब ऊँचाई ज्ञात न हो, केवल भुजाओं की लंबाई ही दी हो, तब हमें हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula) का प्रयोग करना पड़ता है।
यह सूत्र एक यूनानी गणितज्ञ हीरोन (Hero of Alexandria) द्वारा दिया गया था। इस सूत्र का महत्व इसलिए बढ़ जाता है क्योंकि यह न केवल त्रिभुज बल्कि चतुर्भुज जैसी अन्य आकृतियों में भी उपयोगी होता है।

🟢 परिभाषा (हीरोन का सूत्र)
यदि किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b, c दी हों, तो उसका क्षेत्रफल निकालने का सूत्र है:
➡️ सबसे पहले अर्धपरिमाप (Semi-perimeter) निकालते हैं:
s = (a + b + c) / 2
➡️ फिर क्षेत्रफल (Area) = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
✏️ Note:
यह सूत्र तभी लागू होता है जब तीनों भुजाएँ त्रिभुज की असमता (Triangle Inequality) को संतुष्ट करती हों।

🔴 हीरोन के सूत्र का प्रमाण (रूपरेखा)
त्रिभुज ∆ABC जिसकी भुजाएँ a, b, c हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 1/2 × आधार × ऊँचाई।
ऊँचाई को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा भुजाओं और अर्धपरिमाप के रूप में व्यक्त किया जाता है।
सरलीकरण करने पर क्षेत्रफल का मान निकलता है:
∆ = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]

🟡 हीरोन सूत्र के प्रयोग
त्रिभुज का क्षेत्रफल
जब तीनों भुजाएँ दी हों।
उदाहरण: a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm
➡️ s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12 cm
➡️ ∆ = √[12(12 − 7)(12 − 8)(12 − 9)]
= √[12 × 5 × 4 × 3] = √720 = 12√5 cm²

समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)
यदि दो भुजाएँ समान हों तो भी यह सूत्र उपयोगी है।
विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle)
जब कोई भी भुजा समान न हो, तो सामान्य सूत्र से ऊँचाई निकालना कठिन होता है। वहाँ हीरोन सूत्र बहुत सहायक होता है।

🔵 हीरोन सूत्र का विस्तार – चतुर्भुज
हीरोन सूत्र को बढ़ाकर चक्रवृत्तीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) का क्षेत्रफल भी निकाला जा सकता है।
यदि चतुर्भुज की भुजाएँ a, b, c, d हों और वह चक्रवृत्तीय हो, तो:
➡️ s = (a + b + c + d) / 2
➡️ क्षेत्रफल = √[(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)]

🟢 वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग
भूमि मापन (जब खेत की भुजाएँ दी हों और ऊँचाई न दी हो)।
वास्तुकला और निर्माण कार्य।
सर्वेक्षण और नक्शा बनाना।
त्रिकोणीय पार्क या बगीचे का क्षेत्रफल निकालना।

🔴 अध्याय का महत्व
यह सूत्र त्रिभुजों और चतुर्भुजों दोनों के लिए अत्यंत उपयोगी है।
जब ऊँचाई उपलब्ध न हो, केवल भुजाएँ ज्ञात हों, तब क्षेत्रफल निकालने का सबसे आसान और सटीक तरीका है।
प्रतियोगी परीक्षाओं और व्यावहारिक जीवन में इसके अनेक अनुप्रयोग हैं।

📌 Summary (~300 शब्द)
हीरोन का सूत्र: त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
अर्धपरिमाप: s = (a + b + c)/2
प्रमाण: पाइथागोरस प्रमेय और अर्धपरिमाप से।
विशेष प्रयोग: समद्विबाहु और विषमभुज त्रिभुजों में।
चक्रवृत्तीय चतुर्भुज: क्षेत्रफल = √[(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)]
अनुप्रयोग: भूमि मापन, निर्माण, सर्वेक्षण, वास्तुकला।
महत्व: त्रिभुज और चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सरल व उपयोगी सूत्र।
✔️ यह अध्याय विद्यार्थियों को गणितीय दृष्टि से सोचने और समस्याओं को हल करने में गहराई प्रदान करता है।

📝 Quick Recap
🔵 अर्धपरिमाप: s = (a + b + c)/2
🟢 त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
🟡 चक्रवृत्तीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल = √[(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)]
🔴 ऊँचाई ज्ञात न होने पर भी क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।
🌿 अनुप्रयोग: भूमि मापन, निर्माण, सर्वेक्षण।

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 10.1

🔵 प्रश्न 1
एक यातायात संकेतक बोर्ड पर “आगे स्कूल है” लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेतक बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
🟢 उत्तर
➡️ प्रत्येक भुजा = 180 ÷ 3 = 60 cm
➡️ अर्धपरिमाप (s) = 180 ÷ 2 = 90 cm
➡️ क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
= √[90(90−60)(90−60)(90−60)]
= √[90 × 30 × 30 × 30]
= √(90 × 27,000)
= √24,30,000
= 1558.8 cm² (लगभग)
✔️ अन्तिम उत्तर: 1559 cm² (लगभग)

🔵 प्रश्न 2
किसी फ्लाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। इस विज्ञापन से प्रति वर्ग मीटर रु 5000 की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने इस दीवार को विज्ञापन देने के लिए एक महीने के लिए किराए पर लिया। इसने कितना किराया दिया?
🟢 उत्तर
➡️ भुजाएँ: a = 122 m, b = 22 m, c = 120 m
➡️ परिमाप = 122 + 22 + 120 = 264 m
➡️ अर्धपरिमाप (s) = 132 m
➡️ क्षेत्रफल = √[132(132−122)(132−22)(132−120)]
= √[132 × 10 × 110 × 12]
= √(17,42,400)
= 1320 m²
➡️ एक माह का किराया = 1320 × 5000 = ₹66,00,000
✔️ अन्तिम उत्तर: ₹66 लाख

🔵 प्रश्न 3
किसी पार्क में एक फिसल पट्टी बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो पेंट से रंगे हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ भुजाएँ: a = 15 m, b = 11 m, c = 6 m
➡️ परिमाप = 15 + 11 + 6 = 32 m
➡️ अर्धपरिमाप (s) = 16 m
➡️ क्षेत्रफल = √[16(16−15)(16−11)(16−6)]
= √[16 × 1 × 5 × 10]
= √800
= 28.3 m² (लगभग)
✔️ अन्तिम उत्तर: 28.3 m² (लगभग)

🔵 प्रश्न 4
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
🟢 उत्तर
➡️ तीसरी भुजा = 42 − (18 + 10) = 14 cm
➡️ भुजाएँ: a = 18 cm, b = 10 cm, c = 14 cm
➡️ अर्धपरिमाप (s) = 42 ÷ 2 = 21 cm
➡️ क्षेत्रफल = √[21(21−18)(21−10)(21−14)]
= √[21 × 3 × 11 × 7]
= √4851
= 69.6 cm² (लगभग)
✔️ अन्तिम उत्तर: 69.6 cm² (लगभग)

🔵 प्रश्न 5
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ मान लीजिए भुजाएँ = 12x, 17x, 25x
➡️ परिमाप = 12x + 17x + 25x = 54x = 540 cm
➡️ x = 10 cm
➡️ भुजाएँ: 120 cm, 170 cm, 250 cm
➡️ अर्धपरिमाप (s) = 270 cm
➡️ क्षेत्रफल = √[270(270−120)(270−170)(270−250)]
= √[270 × 150 × 100 × 20]
= √81,000,000
= 9000 cm²
✔️ अन्तिम उत्तर: 9000 cm²

🔵 प्रश्न 6
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ भुजाएँ: a = 12 cm, b = 12 cm, c = 6 cm
➡️ परिमाप = 30 cm
➡️ अर्धपरिमाप (s) = 15 cm
➡️ क्षेत्रफल = √[15(15−12)(15−12)(15−6)]
= √[15 × 3 × 3 × 9]
= √1215
= 34.8 cm² (लगभग)
✔️ अन्तिम उत्तर: 34.8 cm² (लगभग)

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

(कुल अंक: 80, समय: 3 घंटे)

🔵 Section A (प्रश्न 1–6) — (प्रत्येक 1 अंक)
🔵 प्रश्न 1
यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 7 cm, 8 cm और 9 cm हैं तो उसका अर्द्ध परिमाप ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ अर्द्ध परिमाप (s) = (a + b + c)/2
➡️ = (7 + 8 + 9)/2
➡️ = 24/2 = 12 cm

🔵 प्रश्न 2
त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 5 cm और 6 cm हैं। इसका अर्द्ध परिमाप क्या होगा?
🟢 उत्तर
➡️ s = (5 + 5 + 6)/2 = 16/2 = 8 cm

🔵 प्रश्न 3
हीरोन का सूत्र लिखिए।
🟢 उत्तर
➡️ क्षेत्रफल = √[s(s – a)(s – b)(s – c)]

🔵 प्रश्न 4
यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों (समबाहु त्रिभुज), तो हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल निकालने पर सूत्र क्या बनेगा?
🟢 उत्तर
➡️ क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a^2

🔵 प्रश्न 5
त्रिभुज की भुजाएँ 9 cm, 10 cm और 17 cm हैं। क्या इससे क्षेत्रफल निकाला जा सकता है?
🟢 उत्तर
➡️ त्रिभुज का नियम: a + b > c
➡️ 9 + 10 = 19 > 17 ✔️
➡️ इसलिए त्रिभुज संभव है और क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से निकाला जा सकता है।

🔵 प्रश्न 6
हीरोन का सूत्र किसके लिए प्रयुक्त होता है?
🟢 उत्तर
➡️ जब त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात न हो और केवल भुजाएँ दी हों, तब क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए।

🟢 Section B (प्रश्न 7–12) — (प्रत्येक 2 अंक)
🟢 प्रश्न 7
भुजाएँ 6 cm, 8 cm, 10 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟡 उत्तर
➡️ s = (6 + 8 + 10)/2 = 24/2 = 12
➡️ क्षेत्रफल = √[12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10)]
➡️ = √[12 × 6 × 4 × 2]
➡️ = √576 = 24 cm²

🟢 प्रश्न 8
भुजाएँ 13 cm, 14 cm और 15 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟡 उत्तर
➡️ s = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21
➡️ क्षेत्रफल = √[21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)]
➡️ = √[21 × 8 × 7 × 6]
➡️ = √7056
➡️ = 84 cm²

🟢 प्रश्न 9
किसी समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ 10 cm और आधार 12 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟡 उत्तर
➡️ s = (10 + 10 + 12)/2 = 32/2 = 16
➡️ क्षेत्रफल = √[16(16 – 10)(16 – 10)(16 – 12)]
➡️ = √[16 × 6 × 6 × 4]
➡️ = √2304
➡️ = 48 cm²

🟢 प्रश्न 10
भुजाएँ 7 cm, 24 cm, 25 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟡 उत्तर
➡️ s = (7 + 24 + 25)/2 = 56/2 = 28
➡️ क्षेत्रफल = √[28(28 – 7)(28 – 24)(28 – 25)]
➡️ = √[28 × 21 × 4 × 3]
➡️ = √7056
➡️ = 84 cm²

🟢 प्रश्न 11
एक त्रिभुज की भुजाएँ 15 cm, 20 cm और 25 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟡 उत्तर
➡️ s = (15 + 20 + 25)/2 = 60/2 = 30
➡️ क्षेत्रफल = √[30(30 – 15)(30 – 20)(30 – 25)]
➡️ = √[30 × 15 × 10 × 5]
➡️ = √22500
➡️ = 150 cm²

🟢 प्रश्न 12
एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 10 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟡 उत्तर
➡️ क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²
➡️ = (√3 / 4) × (10)²
➡️ = (√3 / 4) × 100
➡️ = 25√3 cm²
➡️ लगभग = 43.3 cm²

🟡 Section C (प्रश्न 13–22) — (प्रत्येक 3 अंक)
🔵 प्रश्न 13
भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी और 13 सेमी वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✳️ सूत्र: क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
➡️ s = (9 + 10 + 13)/2 = 32/2 = 16
➡️ क्षेत्रफल = √[16(16 − 9)(16 − 10)(16 − 13)]
➡️ = √[16 × 7 × 6 × 3]
➡️ = √2016 = √(16 × 9 × 14) = 4 × 3 × √14
➡️ क्षेत्रफल = 12√14 सेमी²

🔵 प्रश्न 14
भुजाएँ 11 सेमी, 13 सेमी और 20 सेमी हैं। पहले जाँचिए कि त्रिभुज सम्भव है या नहीं, फिर (यदि सम्भव हो) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ त्रिभुज असमता: 11 + 13 = 24 > 20 ✔️, 11 + 20 = 31 > 13 ✔️, 13 + 20 = 33 > 11 ✔️
➡️ अतः त्रिभुज सम्भव।
➡️ s = (11 + 13 + 20)/2 = 44/2 = 22
➡️ क्षेत्रफल = √[22(22 − 11)(22 − 13)(22 − 20)]
➡️ = √[22 × 11 × 9 × 2] = √4356
➡️ क्षेत्रफल = 66 सेमी²

🔵 प्रश्न 15
a = 8 सेमी, b = 15 सेमी, c = 17 सेमी। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा जाँचिए कि यह समकोण त्रिभुज है या नहीं।
🟢 उत्तर
➡️ s = (8 + 15 + 17)/2 = 40/2 = 20
➡️ क्षेत्रफल = √[20(20 − 8)(20 − 15)(20 − 17)]
➡️ = √[20 × 12 × 5 × 3] = √3600 = 60
➡️ क्षेत्रफल = 60 सेमी²
🧠 जाँच (समकोण): 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² ✔️
➡️ अतः त्रिभुज समकोण है।

🔵 प्रश्न 16
एक त्रिभुज में दो भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी हैं और परिमाप 36 सेमी है। तृतीय भुजा तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ तृतीय भुजा = 36 − (13 + 14) = 36 − 27 = 9 सेमी
➡️ s = 36/2 = 18
➡️ क्षेत्रफल = √[18(18 − 13)(18 − 14)(18 − 9)]
➡️ = √[18 × 5 × 4 × 9] = √3240
➡️ = √(81 × 40) = 9 × √40 = 9 × 2√10
➡️ क्षेत्रफल = 18√10 सेमी²

🔵 प्रश्न 17
एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 13 सेमी और 13 सेमी तथा आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ s = (13 + 13 + 10)/2 = 36/2 = 18
➡️ क्षेत्रफल = √[18(18 − 13)(18 − 13)(18 − 10)]
➡️ = √[18 × 5 × 5 × 8] = √3600
➡️ क्षेत्रफल = 60 सेमी²

🔵 प्रश्न 18
भुजाएँ 7 सेमी, 8 सेमी, 9 सेमी। क्षेत्रफल निकालकर सरलीकृत मूल रूप में लिखिए।
🟢 उत्तर
➡️ s = (7 + 8 + 9)/2 = 24/2 = 12
➡️ क्षेत्रफल = √[12(12 − 7)(12 − 8)(12 − 9)]
➡️ = √[12 × 5 × 4 × 3] = √720
➡️ = √(12² × 5) = 12√5
➡️ क्षेत्रफल = 12√5 सेमी²

🔵 प्रश्न 19
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ भुजा a = 36/3 = 12 सेमी
➡️ s = (12 + 12 + 12)/2 = 36/2 = 18
➡️ क्षेत्रफल = √[18(18 − 12)(18 − 12)(18 − 12)]
➡️ = √[18 × 6 × 6 × 6] = √3888
➡️ √3888 = √(144 × 27) = 12 × √27 = 12 × 3√3
➡️ क्षेत्रफल = 36√3 सेमी²

🔵 प्रश्न 20
किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 30√3 सेमी² है तथा भुजाएँ 10 सेमी, 13 सेमी, c सेमी हैं। c ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ s = (10 + 13 + c)/2 = (23 + c)/2
➡️ क्षेत्रफल² = s(s − 10)(s − 13)(s − c)
➡️ (30√3)² = 2700 = [(23 + c)/2] × [(c + 3)/2] × [(c − 3)/2] × [(23 − c)/2]
➡️ 2700 = [(23 + c)(c + 3)(c − 3)(23 − c)]/16
➡️ 43200 = (529 − c²)(c² − 9)
➡️ मानें x = c², तब 43200 = (529 − x)(x − 9)
➡️ ⇒ 43200 = −x² + 538x − 4761
➡️ ⇒ x² − 538x + 47961 = 0
➡️ नियामक Δ = 538² − 4 × 47961 = 97600 = 1600 × 61
➡️ √Δ = 40√61
➡️ x = [538 ± 40√61]/2 = 269 ± 20√61
➡️ अतः c² = 269 − 20√61 या c² = 269 + 20√61
➡️ c = √(269 − 20√61) ≈ 10.63 सेमी, या c = √(269 + 20√61) ≈ 20.64 सेमी
🧠 जाँच (त्रिभुज असमता): 3 < c < 23 ⇒ दोनों मान मान्य ✔️

🔵 प्रश्न 21
एक चतुर्भुज ABCD को विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों ACD और ABC में बाँटा गया है। यदि AC = 26 सेमी, त्रिभुज ACD की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी, 15 सेमी तथा त्रिभुज ABC की भुजाएँ 10 सेमी, 24 सेमी, 26 सेमी हैं, तो चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔹 त्रिभुज ACD:
➡️ s₁ = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21
➡️ क्षेत्रफल₁ = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 सेमी²
🔹 त्रिभुज ABC:
➡️ s₂ = (10 + 24 + 26)/2 = 60/2 = 30
➡️ क्षेत्रफल₂ = √[30 × 20 × 6 × 4] = √14400 = 120 सेमी²
➡️ कुल क्षेत्रफल = क्षेत्रफल₁ + क्षेत्रफल₂ = 84 + 120 = 204 सेमी²

🔵 प्रश्न 22 (आन्तरिक विकल्प)
(क) एक त्रिभुज में भुजाएँ 15 सेमी, 16 सेमी, 17 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
या
(ख) एक त्रिभुज में भुजाएँ 10 सेमी, 13 सेमी और 19 सेमी हैं। पहले जाँचिए कि त्रिभुज सम्भव है या नहीं; यदि सम्भव हो तो क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔸 (क) के लिए
➡️ s = (15 + 16 + 17)/2 = 48/2 = 24
➡️ क्षेत्रफल = √[24(24 − 15)(24 − 16)(24 − 17)]
➡️ = √[24 × 9 × 8 × 7] = √12096
➡️ = √(144 × 84) = 12√84 = 12 × 2√21
➡️ क्षेत्रफल = 24√21 सेमी²
🔸 (ख) के लिए
➡️ जाँच: 10 + 13 = 23 > 19 ✔️, 10 + 19 = 29 > 13 ✔️, 13 + 19 = 32 > 10 ✔️
➡️ s = (10 + 13 + 19)/2 = 42/2 = 21
➡️ क्षेत्रफल = √[21(21 − 10)(21 − 13)(21 − 19)]
➡️ = √[21 × 11 × 8 × 2] = √3696
➡️ = √(16 × 231) = 4√231
➡️ क्षेत्रफल = 4√231 सेमी²

🔴 Section D (प्रश्न 23–30) — (प्रत्येक 4 अंक)
🔵 प्रश्न 23
एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी, 15 सेमी हैं। पहले क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, फिर 14 सेमी आधार पर ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✳️ सूत्र (हीरोन): क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]
➡️ s = (13 + 14 + 15)/2
➡️ s = 42/2 = 21
➡️ क्षेत्रफल = √[21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15)]
➡️ = √[21 × 8 × 7 × 6]
➡️ = √7056
➡️ = 84 सेमी²
✳️ ऊँचाई का सूत्र: क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई
➡️ 84 = (1/2) × 14 × h
➡️ 84 = 7h
➡️ h = 84/7
➡️ h = 12 सेमी

🔵 प्रश्न 24 (आन्तरिक विकल्प)
(क) एक त्रिभुज की भुजाएँ 10 सेमी, 13 सेमी, 15 सेमी हैं। क्षेत्रफल तथा अन्तःवृत्त त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
या
(ख) एक समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाएँ 17 सेमी, 17 सेमी तथा आधार 16 सेमी है। क्षेत्रफल तथा आधार पर ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔸 (क) के लिए
✳️ s = (10 + 13 + 15)/2
➡️ s = 38/2 = 19
✳️ क्षेत्रफल = √[19(19 − 10)(19 − 13)(19 − 15)]
➡️ = √[19 × 9 × 6 × 4]
➡️ = √4104
➡️ = 64.0625… का मूल नहीं (सरलीकरण)
➡️ 4104 = 9 × 456 = 9 × 8 × 57 = 72 × 57 = 36 × 114
➡️ √4104 = √(36 × 114) = 6√114 = 6 × 3√(12.666…) (उपयुक्त रूप)
➡️ √4104 = 6√114 सेमी² (स्वाभाविक मूल रूप)
✳️ अन्तःवृत्त त्रिज्या का सूत्र: क्षेत्रफल = r × s
➡️ r = क्षेत्रफल/s = (6√114)/19
➡️ r = (6√114)/19 सेमी
🔸 (ख) के लिए
✳️ s = (17 + 17 + 16)/2
➡️ s = 50/2 = 25
✳️ क्षेत्रफल = √[25(25 − 17)(25 − 17)(25 − 16)]
➡️ = √[25 × 8 × 8 × 9]
➡️ = √14400
➡️ = 120 सेमी²
✳️ ऊँचाई h: 120 = (1/2) × 16 × h
➡️ 120 = 8h
➡️ h = 120/8
➡️ h = 15 सेमी

🔵 प्रश्न 25
एक त्रिभुज की भुजाएँ 25 सेमी, 26 सेमी, 39 सेमी हैं। पहले त्रिभुज असमता की जाँच कीजिए, फिर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➡️ 25 + 26 = 51 > 39 ✔️
➡️ 26 + 39 = 65 > 25 ✔️
➡️ 25 + 39 = 64 > 26 ✔️
➡️ अतः त्रिभुज संभव।
✳️ s = (25 + 26 + 39)/2
➡️ s = 90/2 = 45
✳️ क्षेत्रफल = √[45(45 − 25)(45 − 26)(45 − 39)]
➡️ = √[45 × 20 × 19 × 6]
➡️ = √(45 × 6 × 20 × 19)
➡️ = √(270 × 380) = √102600
➡️ 102600 = 100 × 1026 = 100 × 2 × 513 = 200 × 513
➡️ √102600 = 10√1026 = 10√(2 × 513) = 10√(2 × 27 × 19)
➡️ = 10 × 3√(38 × 3) = 30√(114) सेमी² (सरलीकृत मूल रूप)

🔵 प्रश्न 26 (आन्तरिक विकल्प)
(क) भुजाएँ 15 सेमी, 36 सेमी, 39 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा 36 सेमी आधार पर ऊँचाई निकालिए।
या
(ख) भुजाएँ 18 सेमी, 24 सेमी, 30 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा अन्तःवृत्त त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔸 (क) के लिए
✳️ s = (15 + 36 + 39)/2
➡️ s = 90/2 = 45
✳️ क्षेत्रफल = √[45(45 − 15)(45 − 36)(45 − 39)]
➡️ = √[45 × 30 × 9 × 6]
➡️ = √(45 × 30 × 54) = √72900
➡️ √72900 = √(729 × 100) = 27 × 10
➡️ क्षेत्रफल = 270 सेमी²
✳️ ऊँचाई h: 270 = (1/2) × 36 × h
➡️ 270 = 18h
➡️ h = 270/18
➡️ h = 15 सेमी
🔸 (ख) के लिए
✳️ s = (18 + 24 + 30)/2
➡️ s = 72/2 = 36
✳️ क्षेत्रफल = √[36(36 − 18)(36 − 24)(36 − 30)]
➡️ = √[36 × 18 × 12 × 6]
➡️ = √(36 × 1296)
➡️ = 6 × √1296 = 6 × 36
➡️ क्षेत्रफल = 216 सेमी²
✳️ r = क्षेत्रफल/s = 216/36
➡️ r = 6 सेमी

🔵 प्रश्न 27
एक समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाएँ 25 सेमी, 25 सेमी तथा आधार 14 सेमी है। क्षेत्रफल तथा अन्तःवृत्त त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✳️ s = (25 + 25 + 14)/2
➡️ s = 64/2 = 32
✳️ क्षेत्रफल = √[32(32 − 25)(32 − 25)(32 − 14)]
➡️ = √[32 × 7 × 7 × 18]
➡️ = √(32 × 49 × 18)
➡️ = √(16 × 2 × 49 × 18) = 4 × 7 × √(36)
➡️ = 28 × 6
➡️ क्षेत्रफल = 168 सेमी²
✳️ r = क्षेत्रफल/s = 168/32
➡️ r = 21/4
➡️ r = 5.25 सेमी

🔵 प्रश्न 28
एक त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी, 17 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा 17 सेमी आधार पर ऊँचाई निकालिए।
🟢 उत्तर
✳️ s = (9 + 10 + 17)/2
➡️ s = 36/2 = 18
✳️ क्षेत्रफल = √[18(18 − 9)(18 − 10)(18 − 17)]
➡️ = √[18 × 9 × 8 × 1]
➡️ = √1296
➡️ क्षेत्रफल = 36 सेमी²
✳️ ऊँचाई h: 36 = (1/2) × 17 × h
➡️ 36 = 17h/2
➡️ 72 = 17h
➡️ h = 72/17
➡️ h = 72/17 सेमी

🔵 प्रश्न 29 (आन्तरिक विकल्प)
(क) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 सेमी² है तथा दो भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी हैं। तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
या
(ख) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 सेमी² है तथा दो भुजाएँ 10 सेमी, 26 सेमी हैं। तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔸 (क) के लिए
✳️ मानें तीसरी भुजा = x
➡️ s = (13 + 14 + x)/2 = (27 + x)/2
✳️ क्षेत्रफल² = s(s − 13)(s − 14)(s − x)
➡️ 84² = 7056
➡️ 7056 = [(27 + x)/2] × [(x + 1)/2] × [(x − 1)/2] × [(27 − x)/2]
➡️ 7056 = [(27 + x)(x + 1)(x − 1)(27 − x)]/16
➡️ 112896 = (27² − x²)(x² − 1)
➡️ 112896 = (729 − x²)(x² − 1)
➡️ मानें y = x²
➡️ 112896 = (729 − y)(y − 1) = −y² + 730y − 729
➡️ y² − 730y + (112896 + 729) = 0
➡️ y² − 730y + 113625 = 0
➡️ नियामक Δ = 730² − 4 × 113625 = 532900 − 454500 = 78400
➡️ √Δ = 280
➡️ y = [730 ± 280]/2 ⇒ y = 505 या y = 225
➡️ x² = 505 (असंगत, 13 + 14 > x ⇒ x < 27; √505 ≈ 22.47 मान्य) या x² = 225 ⇒ x = 15
➡️ परिमाप शर्त: 13 + 14 > x ⇒ x < 27 ✔️
➡️ अतः सम्भव मान: x = 15 सेमी (सुप्रसिद्ध त्रिक)
🔸 (ख) के लिए
✳️ मानें तीसरी भुजा = x
➡️ s = (10 + 26 + x)/2 = (36 + x)/2
✳️ 60² = 3600
➡️ 3600 = [(36 + x)/2] × [(x − 16)/2] × [(x − 10)/2] × [(36 − x)/2]
➡️ 57600 = (36 + x)(x − 16)(x − 10)(36 − x)
➡️ यौगिक गुणन को सरल कर द्विघात x² के रूप में हल करने पर दो मान प्राप्त होते हैं
➡️ गणना पश्चात मान: x = 26 (अपवर्ज्य, 10 + 26 = 36 = x ⇒ त्रिभुज अपसारी) या x = 14
➡️ त्रिभुज असमता: 10 + 14 > 26 ✔️, 14 + 26 > 10 ✔️, 10 + 26 > 14 ✔️
➡️ अतः x = 14 सेमी

🔵 प्रश्न 30
एक त्रिभुज की भुजाएँ 50 सेमी, 60 सेमी, 70 सेमी हैं। क्षेत्रफल, 60 सेमी आधार पर ऊँचाई तथा अन्तःवृत्त त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
✳️ s = (50 + 60 + 70)/2
➡️ s = 180/2 = 90
✳️ क्षेत्रफल = √[90(90 − 50)(90 − 60)(90 − 70)]
➡️ = √[90 × 40 × 30 × 20]
➡️ = √(90 × 40 × 600) = √(3600 × 600)
➡️ = 60√600 = 60 × 10√6
➡️ क्षेत्रफल = 600√6 सेमी²
✳️ ऊँचाई h (आधार 60 सेमी): 600√6 = (1/2) × 60 × h
➡️ 600√6 = 30h
➡️ h = (600√6)/30
➡️ h = 20√6 सेमी
✳️ r = क्षेत्रफल/s = (600√6)/90
➡️ r = (20√6)/3
➡️ r = (20√6)/3 सेमी

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मानचित्र

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