Class : 9 – Math (Hindi) : Lesson 6. रेखाएँ और कोण

पाठ का विश्लेषण  एवं  विवेचन

✨ विस्तृत व्याख्या
🔵 भूमिका
रेखाएँ और कोण ज्यामिति का अत्यंत महत्त्वपूर्ण भाग हैं। वास्तविक जीवन में हम सड़क के चौराहे, भवनों के कोने, घड़ी की सुइयाँ और क्रिकेट के बल्ले व गेंद की स्थिति में रेखाओं और कोणों का प्रत्यक्ष अनुभव करते हैं। इस अध्याय में हम रेखाओं और कोणों से संबंधित बुनियादी परिभाषाएँ, स्वयंसिद्ध और प्रमेयों का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय युक्लिड की ज्यामिति पर आधारित है और आगे चलकर त्रिभुज, चतुर्भुज और वृत्तों के अध्ययन की नींव रखता है।

🟢 मूल परिभाषाएँ
🔵 रेखा (Line): जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हो।
🟢 किरण (Ray): जिसका एक निश्चित आरंभ बिंदु हो और दूसरी दिशा में अनंत तक फैली हो।
🔴 रेखाखंड (Line Segment): दो बिंदुओं को जोड़ने वाली निश्चित लंबाई की रेखा।
🟡 कोण (Angle): दो रेखाओं या किरणों के मिलने से बनने वाला आकृति।
💡 Concept: कोण का माप डिग्री (°) में किया जाता है।

🔴 कोणों के प्रकार
🔵 न्यूनकोण (Acute angle) → 0° < θ < 90°
🟢 समकोण (Right angle) → θ = 90°
🔴 अधिककोण (Obtuse angle) → 90° < θ < 180°
🟡 सीधा कोण (Straight angle) → θ = 180°
🔵 प्रतिबिंब कोण (Reflex angle) → θ > 180°
🟢 पूर्ण कोण (Complete angle) → θ = 360°
✏️ Note: घड़ी की सुइयाँ कोण के निर्माण का उत्तम उदाहरण हैं।

🟡 रेखाओं के बीच संबंध
समान्तर रेखाएँ (Parallel lines)
प्रतिछेदी रेखाएँ (Intersecting lines)
लंब रेखाएँ (Perpendicular lines)
🌿 वास्तविक उदाहरण: रेलवे की पटरियाँ समान्तर रेखाओं का उदाहरण हैं।

🔵 युक्लिड के स्वयंसिद्ध (स्मरण)
यदि एक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटे कि एक ओर के अंतः कोणों का योग 180° से कम हो, तो वे रेखाएँ उस ओर मिलेंगी।
सभी समकोण परस्पर बराबर होते हैं।
💡 Concept: यही आधार समान्तर रेखाओं और कोणों के संबंधों को सिद्ध करने में प्रयोग होता है।

🟢 कोणों के युग्म (Pairs of Angles)
पूरक कोण (Complementary Angles): दो कोण जिनका योग 90° हो।
सम्पूरक कोण (Supplementary Angles): दो कोण जिनका योग 180° हो।
सन्निकट कोण (Adjacent Angles): जिनका एक भुजा और शीर्ष समान हो।
रेखीय युग्म कोण (Linear Pair of Angles): दो कोण जिनका योग 180° हो और जो एक सीधी रेखा पर हों।
विपरीत कोण (Vertically Opposite Angles): प्रतिछेदी रेखाओं के बनने पर बने विपरीत कोण।
✔️ प्रमेय: प्रतिछेदी रेखाओं पर बनने वाले विपरीत कोण बराबर होते हैं।

🔴 प्रमेय और प्रमाण
प्रमेय 1: यदि दो रेखाएँ प्रतिछेदित होती हैं, तो विपरीत कोण बराबर होते हैं।
🟢 प्रमाण:
मान लीजिए रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिछेदित होती हैं।
∠AOC और ∠BOD एक रेखीय युग्म हैं → ∠AOC + ∠BOD = 180°
∠AOD और ∠BOD भी रेखीय युग्म हैं → ∠AOD + ∠BOD = 180°
⇒ ∠AOC = ∠AOD
✔️ सिद्ध हुआ कि विपरीत कोण बराबर हैं।
प्रमेय 2: यदि एक रेखा दो समान्तर रेखाओं को काटती है, तो
समांतर कोण बराबर होते हैं।
अंतः कोणों का योग 180° होता है।

🟡 व्यावहारिक अनुप्रयोग
घर के दरवाजे के खोलने-बंद करने पर बनने वाले कोण।
घड़ी की मिनट और घंटे की सुइयों द्वारा बने कोण।
वास्तुशिल्प और इंजीनियरिंग में समान्तर और लंब रेखाओं का प्रयोग।
✏️ Note: बिना कोण और रेखाओं की समझ के त्रिभुजों और चतुर्भुजों का अध्ययन संभव नहीं।

🌿 अध्याय का महत्व
यह अध्याय न केवल सैद्धांतिक रूप से बल्कि व्यावहारिक जीवन में भी अत्यंत उपयोगी है। यह आगे के अध्यायों जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त और त्रिकोणमिति की नींव रखता है।

📌 Summary (~300 words)
परिभाषाएँ और अवधारणाएँ
रेखा, रेखाखंड, किरण और कोण ज्यामिति की मूल परिभाषाएँ हैं।
कोणों को उनके माप के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
कोणों के युग्म
पूरक, सम्पूरक, सन्निकट, रेखीय युग्म और विपरीत कोण।
प्रमेय: प्रतिछेदी रेखाओं पर बने विपरीत कोण बराबर होते हैं।
समान्तर रेखाएँ और स्वयंसिद्ध
यदि एक रेखा दो समान्तर रेखाओं को काटती है, तो समांतर कोण बराबर होते हैं।
अंतः कोणों का योग 180° होता है।
महत्व
व्यावहारिक जीवन में कोणों और रेखाओं की महत्त्वपूर्ण भूमिका है।
गणितीय तर्क शक्ति और प्रमाण पद्धति की समझ को विकसित करता है।
✔️ यह अध्याय आगे के सभी ज्यामितीय अध्ययनों के लिए आधारभूत है।

📝 Quick Recap
🔵 कोण: न्यूनकोण, समकोण, अधिककोण, सीधा कोण, प्रतिबिंब कोण।
🟢 कोणों के युग्म: पूरक, सम्पूरक, सन्निकट, रेखीय युग्म, विपरीत कोण।
🟡 प्रमेय: प्रतिछेदी रेखाओं पर बने विपरीत कोण बराबर होते हैं।
🔴 समान्तर रेखाओं को काटने पर बनने वाले कोणों के गुणधर्म।
🌿 वास्तविक जीवन में कोण और रेखाओं का व्यापक प्रयोग।

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पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्नावली 6.1

🔵 प्रश्न 1
आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: दिया है ∠AOC + ∠BOE = 70°
🔵 चरण 2: दिया है ∠BOD = 40°
🔵 चरण 3: O पर सम्पूर्ण कोण = 360°
🔵 चरण 4: ∠AOC + ∠BOE + ∠BOD + ∠COE = 360°
🔵 चरण 5: 70° + 40° + ∠COE = 360°
🔵 चरण 6: ∠COE = 360° − 110° = 250°
🔵 चरण 7: प्रतिवर्ती कोण से ∠AOC = ∠BOD = 40°
🔵 चरण 8: ∠BOE = 70° − ∠AOC = 70° − 40° = 30°
🟡 जाँच: 30° + 40° + 40° + 250° = 360° (सत्य)
✔️ Final: ∠BOE = 30°, ∠COE = 250°

🔵 प्रश्न 2
आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: ∠POY = 90° ⇒ a + b = 90°
🔵 चरण 2: a : b = 2 : 3 ⇒ a = 2k, b = 3k
🔵 चरण 3: 2k + 3k = 90° ⇒ 5k = 90°
🔵 चरण 4: k = 18° ⇒ a = 36°, b = 54°
🔵 चरण 5: c, a का प्रतिवर्ती कोण है ⇒ c = a
🔵 चरण 6: c = 36°
🟡 जाँच: a + b = 36° + 54° = 90° (सत्य)
✔️ Final: c = 36°

🔵 प्रश्न 3
आकृति 6.15 में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: S–Q–R–T एक ही सीधी रेखा पर हैं।
🔵 चरण 2: अतः ∠PQS और ∠PQR सम्पूरक हैं ⇒ ∠PQS = 180° − ∠PQR
🔵 चरण 3: ∠PRT और ∠PRQ सम्पूरक हैं ⇒ ∠PRT = 180° − ∠PRQ
🔵 चरण 4: दिया है ∠PQR = ∠PRQ
🔵 चरण 5: 180° − ∠PQR = 180° − ∠PRQ
🔵 चरण 6: ∴ ∠PQS = ∠PRT
✔️ Final: ∠PQS = ∠PRT

🔵 प्रश्न 4
आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: O पर सम्पूर्ण कोण = 360°
🔵 चरण 2: (x + y) + (w + z) = 360°
🔵 चरण 3: दिया है x + y = w + z ⇒ 2(x + y) = 360°
🔵 चरण 4: x + y = 180°
🔵 चरण 5: ∠AOB = x + y = 180°
🔵 चरण 6: 180° का कोण एक सीधी रेखा का कोण होता है।
✔️ Final: AOB एक सीधी रेखा है

🔵 प्रश्न 5
आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है। किन्तु OR रेखा PQ पर लम्बवत है तथा OP और OR के बीच OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए: ∠ROS = 1/2 (∠QOS − ∠POS)।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: POQ सीधी रेखा ⇒ ∠POQ = 180°
🔵 चरण 2: OR ⟂ PQ ⇒ ∠POR = ∠QOR = 90°
🔵 चरण 3: मान लें ∠POS = α तथा ∠ROS = θ (OS, OP और OR के बीच)
🔵 चरण 4: OP और OR के बीच कुल कोण 90° ⇒ α + θ = 90° ⇒ θ = 90° − α
🔵 चरण 5: OQ, OP की विपरीत किरण ⇒ ∠QOS = 180° − α
🔵 चरण 6: ∠QOS − ∠POS = (180° − α) − α = 180° − 2α
🔵 चरण 7: 1/2(∠QOS − ∠POS) = 1/2(180° − 2α) = 90° − α = θ
🔵 चरण 8: θ = ∠ROS
✔️ Final: ∠ROS = 1/2 (∠QOS − ∠POS)

🔵 प्रश्न 6
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। यदि किरण YQ, ∠XYZ का समद्विभाजक करती है, तो ∠XYQ तथा ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: दिया है ∠XYZ = 64°
🔵 चरण 2: YQ, ∠XYZ का समद्विभाजक ⇒ ∠XYQ = ∠QYZ = 64°/2 = 32°
🔵 चरण 3: YP, YX की विपरीत किरण ⇒ ∠QYP और ∠QYX सम्पूरक हैं
🔵 चरण 4: ∠QYX = ∠XYQ = 32°
🔵 चरण 5: ∠QYP = 180° − 32° = 148°
🟡 जाँच: ∠QYZ + ∠QYP = 32° + 148° = 180° (सीधी रेखा पर)
✔️ Final: ∠XYQ = 32°, ∠QYP = 148°

✏️ Note: प्रतिवर्ती कोण — एक ही शिखर पर बनी दो प्रतिकूल किरणों के साथ बने बराबर कोण।
💡 Concept: सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है; पूर्ण कोण 360° होता है।

प्रश्नावली 6.2

🔵 प्रश्न 1
आकृति 6.23 में, यदि AB ∥ CD, CD ∥ EF और y : z = 3 : 7 हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: y : z = 3 : 7 ⇒ मान लें y = 3k, z = 7k।
🔵 चरण 2: तिरछी रेखा द्वारा बने सम्पूरक कोण ⇒ y + z = 180°।
🔵 चरण 3: 3k + 7k = 180° ⇒ 10k = 180° ⇒ k = 18°।
🔵 चरण 4: y = 3k = 54°, z = 7k = 126°।
🔵 चरण 5: AB ∥ EF होने से समतुल्य कोण ⇒ x = y = 54°।
🟡 जाँच: 54° + 126° = 180° (ठीक)।
✔️ Final: x = 54°।

🔵 प्रश्न 2
आकृति 6.24 में, यदि AB ∥ CD, EF ⟂ CD और ∠GED = 126° हैं, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: EF ⟂ CD ⇒ ∠CED = 90°।
🔵 चरण 2: दिया है ∠GED = 126°।
इसका अर्थ है कि रेखा GE और रेखा ED (जो क्षैतिज CD के साथ है) के बीच का कोण 126° है।
अतः GE और क्षैतिज के बीच का न्यून कोण = 180° − 126° = 54°।
🔵 चरण 3: ∠GEF = GE और EF के बीच का कोण है।
EF, CD पर लंब है ⇒ EF और CD के बीच 90° है।
अतः ∠GEF = |126° − 90°| = 36°।
🔵 चरण 4: ∠FGE = GE और GF के बीच का कोण है।
चूँकि GF क्षैतिज दाईं ओर है और GE का क्षैतिज से कोण 54° है,
अतः ∠FGE = 54°।
🔵 चरण 5: ∠AGE = GA और GE के बीच का कोण है।
GA क्षैतिज बाईं ओर है ⇒ GE और बाएँ क्षैतिज के बीच का कोण = 180° − 54° = 126°।
अतः ∠AGE = 126°।
🟡 जाँच: ∠AGE + ∠GEF + ∠FGE = 126° + 36° + 54° = 216°।
(यह सही है क्योंकि यह अलग-अलग शीर्षों पर बने कोण हैं, चतुर्भुज के कोण-योग की स्थिति नहीं है।)
✔️ Final:
∠AGE = 126°
∠GEF = 36°
∠FGE = 54°

🔵 प्रश्न 3
आकृति 6.25 में, यदि PQ ∥ ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° हैं, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: बिंदु R से ST के समांतर RT खींचें (संकेतानुसार)।
🔵 चरण 2: PQ ∥ ST ∥ RT ⇒ समतुल्य कोण से ∠QRT = ∠PQR = 110°।
🔵 चरण 3: ∠TRS, ∠RST के विकल्प आन्तरिक/समतुल्य ⇒ ∠TRS = 130°।
🔵 चरण 4: बिंदु R पर तीन किरणें RQ, RT, RS हैं; घूर्ण कोण योग ⇒
∠QRT + ∠TRS + (360° − ∠QRS) = 360°।
🔵 चरण 5: 110° + 130° + (360° − ∠QRS) = 360° ⇒ ∠QRS = 120°।
🟡 जाँच: आलेख अनुसार यह अन्त: कोण है।
✔️ Final: ∠QRS = 120°।

🔵 प्रश्न 4
आकृति 6.26 में, यदि AB ∥ CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° हैं, तो x और y ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: AB ∥ CD ⇒ ∠APQ और ∠PQC समतुल्य ⇒ x = 50°।
🔵 चरण 2: ∠PRD, ∠DRQ का बाह्य कोण है; RQ, RD सीधी रेखा ⇒ ∠DRQ + ∠PRD = 180°।
🔵 चरण 3: ∠DRQ = y ⇒ y + 127° = 180° ⇒ y = 53°।
🟡 जाँच: 50° और 53° आलेख से संगत।
✔️ Final: x = 50°, y = 53°।

🔵 प्रश्न 5
आकृति 6.27 में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतित किरण AB, दर्पण PQ से B पर परावर्तित है और परावर्तित किरण BC पर चलकर दर्पण RS से C पर पुनः परावर्तित होती है, जिससे परावर्तित किरण CD के अनुदिश चलती है। सिद्ध कीजिए कि AB ∥ CD है।
🟢 उत्तर
🔵 चरण 1: परावर्तन का नियम: आपतन कोण = परावर्तन कोण (हर दर्पण पर)।
🔵 चरण 2: पहली परावर्तन पर ∠ABP = ∠PBC।
🔵 चरण 3: PQ ∥ RS ⇒ दर्पणों की अभिलंब रेखाएँ भी समांतर; अतः बराबर कोण दूसरी परावर्तन पर भी संरक्षित।
🔵 चरण 4: दूसरी परावर्तन पर ∠QCR = ∠RCD।
🔵 चरण 5: समान्तर दर्पणों के कारण किरण की दिशा-संरचना बनी रहती है; अतः प्रारम्भिक AB और अंतिम CD समांतर।
✔️ Final: AB ∥ CD।

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अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

🔵 खण्ड A (प्रश्न 1–6) — (प्रत्येक 1 अंक, अति लघु)
🔵 प्रश्न 1
✳️ रेखीय युग्म की परिभाषा लिखिए।
🟢 उत्तर
➤ एक ही सीधी रेखा पर बने दो सन्निहित कोण, जिनका योग 180° हो, रेखीय युग्म कहलाते हैं।

🔵 प्रश्न 2
✳️ विपरीत मुख कोण क्या होते हैं?
🟢 उत्तर
➤ दो रेखाओं के प्रतिछेदन पर बने सामने-सामने कोण विपरीत मुख कोण कहलाते हैं और वे बराबर होते हैं।

🔵 प्रश्न 3 (बहुविकल्पी प्रश्न)
✳️ यदि l ∥ m तथा छेदक t पर एक समतुल्य कोण 60° है, तो उसी दिशा का दूसरा समतुल्य कोण होगा—
🔴 30°
🟡 60°
🟢 90°
🔵 120°
🟢 उत्तर
➤ समतुल्य कोण बराबर होते हैं ⇒ 60° ✔️

🔵 प्रश्न 4
✳️ किसी रेखीय युग्म का कोण-योग लिखिए।
🟢 उत्तर
➤ 180°।

🔵 प्रश्न 5 (बहुविकल्पी प्रश्न)
✳️ यदि ∠AOC = 110° है, तो ∠BOD (उसका विपरीत मुख कोण) होगा—
🔴 70°
🟡 90°
🟢 110°
🔵 140°
🟢 उत्तर
➤ विपरीत मुख कोण बराबर ⇒ 110° ✔️

🔵 प्रश्न 6
✳️ समांतर रेखाओं को छेदक काटे तो बराबर होने वाले किसी एक कोण-युग्म का नाम लिखिए।
🟢 उत्तर
➤ समतुल्य कोण (या वैकल्पिक आभ्यन्तर कोण) बराबर होते हैं।

🟢 खण्ड B (प्रश्न 7–12) — (प्रत्येक 2 अंक, लघु उत्तरीय)
🔵 प्रश्न 7
✳️ रेखीय युग्म के एक कोण का मान 35° है। दूसरा कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➤ सूत्र: ∠1 + ∠2 = 180°
➤ प्रतस्थापन: 35° + ∠2 = 180°
➤ सरलकरण: ∠2 = 145°

🔵 प्रश्न 8
✳️ प्रतिछेदन पर ∠x और ∠y रेखीय युग्म हैं तथा ∠x : ∠y = 2 : 7। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➤ मानें ∠x = 2k, ∠y = 7k; 2k + 7k = 180°
➤ 9k = 180 ⇒ k = 20
➤ ∠x = 40°, ∠y = 140°

🔵 प्रश्न 9
✳️ l ∥ m तथा छेदक t पर वैकल्पिक आभ्यन्तर कोण 75° है। समतुल्य कोण तथा समपार्श्व आभ्यन्तर कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➤ वैकल्पिक आभ्यन्तर = 75°
➤ समतुल्य = 75°
➤ समपार्श्व आभ्यन्तर = 180° − 75° = 105°

🔵 प्रश्न 10
✳️ l ∥ m। छेदक t पर ∠1 = 2x + 10° और ∠2 = 3x − 20° समतुल्य कोण हैं। x तथा दोनों कोण ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➤ समतुल्य कोण बराबर: 2x + 10 = 3x − 20
➤ 30 = x
➤ ∠1 = 2(30) + 10 = 70°, ∠2 = 3(30) − 20 = 70°

🔵 प्रश्न 11
✳️ सिद्ध कीजिए: यदि दो सन्निहित कोणों का योग 180° हो, तो उनकी बाह्य भुजाएँ एक सीध में होती हैं।
🟢 उत्तर
➤ कोण-योग 180° ⇒ दोनों कोण रेखीय युग्म हैं।
➤ रेखीय युग्म की परिभाषा से बाह्य भुजाएँ एक सीध में आती हैं। ✔️

🔵 प्रश्न 12
✳️ प्रतिछेदन पर एक कोण 110° है। शेष तीन कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
🟢 उत्तर
➤ विपरीत मुख = 110°
➤ रेखीय युग्म = 180° − 110° = 70°
➤ उसका विपरीत मुख = 70°

🔵 प्रश्न 13
• प्रश्न: रेखाएँ l और m बिन्दु O पर प्रतिछेदित हैं। यदि ∠AOC = 72°, तो ∠BOD, ∠AOD, ∠BOC ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🧠 सूत्र: (i) विपरीत मुख कोण बराबर (ii) रेखीय युग्म का योग 180°
➤ ∠BOD = ∠AOC = 72°
➤ ∠AOD = 180° − 72° = 108°
➤ ∠BOC = ∠AOD = 108°
✅ अंतिम: 72°, 108°, 108°

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🔵 प्रश्न 14
• प्रश्न: यदि समतुल्य कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समांतर सिद्ध कीजिए।
• उत्तर:
🧠 रचना: छेदक t, रेखाएँ l और m काटता है; समतुल्य कोण ∠1 = ∠2।
➤ यदि l और m समांतर न हों तो वैकल्पिक/समपार्श्व आभ्यन्तर सम्बन्ध असंगत होंगे (विरोधाभास)।
✅ निष्कर्ष: समतुल्य कोण बराबर ⇒ l ∥ m।

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🔵 प्रश्न 15 (आन्तरिक विकल्प)
• प्रश्न:
(क) l ∥ m, ∠1 = 3x + 10°, ∠2 = 5x − 50° समतुल्य हैं। x तथा ∠1 ज्ञात कीजिए।
या
(ख) l ∥ m, ∠3 = 2y + 8°, ∠4 = 7y − 82° वैकल्पिक आभ्यन्तर हैं। y तथा ∠3 ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🔹 (क)
➤ सूत्र → 3x + 10 = 5x − 50
➤ सरलकरण → 60 = 2x ⇒ x = 30
➤ प्रतस्थापन → ∠1 = 3×30 + 10 = 100°
✅ अंतिम: x = 30, ∠1 = 100°

🔸 (ख)
➤ सूत्र → 2y + 8 = 7y − 82
➤ सरलकरण → 90 = 5y ⇒ y = 18
➤ प्रतस्थापन → ∠3 = 2×18 + 8 = 44°
✅ अंतिम: y = 18, ∠3 = 44°

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🔵 प्रश्न 16
• प्रश्न: एक रेखीय युग्म के कोणों का अनुपात 2:7 है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🧮 सूत्र → ∠1 + ∠2 = 180°
➤ मानें ∠1 = 2k, ∠2 = 7k
➤ 2k + 7k = 180 ⇒ 9k = 180 ⇒ k = 20
✅ अंतिम: ∠1 = 40°, ∠2 = 140°

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🔵 प्रश्न 17 (आन्तरिक विकल्प)
• प्रश्न:
(क) यदि एक ही ओर के समपार्श्व आभ्यन्तर कोणों का योग 180° हो, तो l ∥ m सिद्ध कीजिए।
या
(ख) यदि वैकल्पिक आभ्यन्तर कोण बराबर हों, तो l ∥ m सिद्ध कीजिए।
• उत्तर:
🔹 (क)
➤ नियम → समपार्श्व आभ्यन्तर का योग 180° ⇒ समांतर रेखाएँ (उल्टा निष्कर्ष)
✅ निष्कर्ष: l ∥ m

🔸 (ख)
➤ नियम → वैकल्पिक आभ्यन्तर बराबर ⇒ समांतर रेखाएँ (उल्टा निष्कर्ष)
✅ निष्कर्ष: l ∥ m

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🔵 प्रश्न 18
• प्रश्न: l₁ ∥ l₂। छेदक t पर ∠P = 128° (बाह्य) दिया है। (i) समतुल्य, (ii) वैकल्पिक आभ्यन्तर, (iii) समपार्श्व आभ्यन्तर कोण ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🧠 (i) 128° ➤ (ii) 128° ➤ (iii) 180° − 128° = 52°
✅ अंतिम: 128°, 128°, 52°

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🔵 प्रश्न 19 (आन्तरिक विकल्प)
• प्रश्न:
(क) बिन्दु O के चारों ओर बने क्रमागत कोण 2x°, 3x°, 4x° हैं और पूर्ण घेर बनाते हैं। x तथा कोण ज्ञात कीजिए।
या
(ख) प्रतिछेदन पर एक कोण y° है और उसका रेखीय युग्म 5y − 60° है। y तथा दोनों कोण ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🔹 (क)
➤ सूत्र → 2x + 3x + 4x = 360
➤ सरलकरण → 9x = 360 ⇒ x = 40
✅ कोण: 80°, 120°, 160°

🔸 (ख)
➤ सूत्र → y + (5y − 60) = 180
➤ सरलकरण → 6y = 240 ⇒ y = 40
✅ कोण: 40°, 140°

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🔵 प्रश्न 20
• प्रश्न: l₁ ∥ l₂। ∠1 = 4z − 20°, उसी ओर का समपार्श्व आभ्यन्तर ∠2 = 2z + 40° है। z तथा दोनों कोण ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🧮 सूत्र → समपार्श्व आभ्यन्तर का योग 180°
➤ (4z − 20) + (2z + 40) = 180 ⇒ 6z + 20 = 180 ⇒ 6z = 160 ⇒ z = 80/3
➤ ∠1 = 4×(80/3) − 20 = 260/3° = 86 2/3°
➤ ∠2 = 2×(80/3) + 40 = 280/3° = 93 1/3°
✅ अंतिम: z = 80/3, ∠1 = 86 2/3°, ∠2 = 93 1/3°

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🔵 प्रश्न 21
• प्रश्न: दो रेखाएँ l₁ और l₂ दोनों ही तीसरी रेखा p के समांतर हैं। सिद्ध कीजिए कि l₁ ∥ l₂।
• उत्तर:
🧠 p ∥ l₁ ⇒ किसी छेदक पर समतुल्य कोण बराबर; p ∥ l₂ ⇒ वही कोण l₂ पर भी बराबर।
✅ संक्रमण से l₁ पर कोण = l₂ पर कोण ⇒ l₁ ∥ l₂।

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🔵 प्रश्न 22 (आन्तरिक विकल्प)
• प्रश्न:
(क) l ∥ m और ∠A = 5x + 5° (बाह्य) का समतुल्य ∠B = 3x + 45° है। x तथा सम्बन्धित कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
या
(ख) l ∥ m। यदि ∠C = 70° (आभ्यन्तर) है, तो उसका वैकल्पिक आभ्यन्तर, समतुल्य और रेखीय युग्म कोण ज्ञात कीजिए।
• उत्तर:
🔹 (क)
➤ सूत्र → 5x + 5 = 3x + 45
➤ सरलकरण → 2x = 40 ⇒ x = 20
➤ प्रतस्थापन → ∠A = ∠B = 5×20 + 5 = 105°
➤ उसी ओर समपार्श्व आभ्यन्तर = 180° − 105° = 75°
✅ अंतिम: x = 20, समतुल्य = 105°, समपार्श्व = 75°

🔸 (ख)
🧠 वैकल्पिक आभ्यन्तर = 70°
🧠 समतुल्य = 70°
🧠 रेखीय युग्म = 180° − 70° = 110°
✅ अंतिम: 70°, 70°, 110°

🔴 प्रश्न 23
🔵 सिद्ध कीजिए कि यदि दो समान्तर रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है, तो समतुल्य कोण बराबर होते हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ l ∥ m और अनुप्रस्थ रेखा t इन्हें काटती है।
➤ कोण 1 और कोण 2 समतुल्य कोण हैं।
➤ चूँकि l ∥ m, अतः कोण 1 = कोण 2.
➡️ अन्तिम उत्तर: समतुल्य कोण बराबर होते हैं।

🔴 प्रश्न 24
🔵 सिद्ध कीजिए कि यदि दो समान्तर रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है, तो वैकल्पिक आन्तरिक कोण बराबर होते हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ AB ∥ CD, अनुप्रस्थ EF.
➤ ∠AEF = ∠EFD (वैकल्पिक आन्तरिक कोण)
✔️ प्रमेय: समान्तर रेखाओं को काटने वाली अनुप्रस्थ रेखा पर वैकल्पिक आन्तरिक कोण बराबर होते हैं।
➡️ अन्तिम उत्तर: वैकल्पिक आन्तरिक कोण बराबर हैं।

🔴 प्रश्न 25
🔵 सिद्ध कीजिए कि यदि दो समान्तर रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है, तो आन्तरिक कोणों का योग 180° होता है।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ l ∥ m और अनुप्रस्थ n.
➤ कोण 3 + कोण 4 = 180°
✔️ यह सह आन्तरिक कोण प्रमेय है।
➡️ अन्तिम उत्तर: आन्तरिक कोणों का योग 180° है।

🔴 प्रश्न 26
🔵 सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है और समतुल्य कोण बराबर हों, तो वे रेखाएँ समान्तर होती हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ p और q, अनुप्रस्थ t.
➤ यदि ∠1 = ∠2 (समतुल्य कोण)
➤ तब p ∥ q.
✔️ यह प्रमेय है: समतुल्य कोण बराबर ⇒ रेखाएँ समान्तर।
➡️ अन्तिम उत्तर: रेखाएँ समान्तर सिद्ध।

🔴 प्रश्न 27
🔵 सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है और वैकल्पिक आन्तरिक कोण बराबर हों, तो वे रेखाएँ समान्तर होती हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ AB और CD, अनुप्रस्थ EF.
➤ यदि ∠AEF = ∠EFD
➤ तब AB ∥ CD.
✔️ प्रमेय: वैकल्पिक आन्तरिक कोण बराबर ⇒ रेखाएँ समान्तर।
➡️ अन्तिम उत्तर: रेखाएँ समान्तर सिद्ध।

🔴 प्रश्न 28
🔵 सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है और आन्तरिक कोणों का योग 180° हो, तो वे रेखाएँ समान्तर होती हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ l और m, अनुप्रस्थ n.
➤ यदि ∠3 + ∠4 = 180°
➤ तब l ∥ m.
✔️ सह आन्तरिक कोण प्रमेय का प्रतिलोम।
➡️ अन्तिम उत्तर: रेखाएँ समान्तर सिद्ध।

🔴 प्रश्न 29 (आन्तरिक विकल्प)
🔵 सिद्ध कीजिए कि किसी बिन्दु पर मिलने वाली दो रेखाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: रेखाएँ AB और CD बिन्दु O पर मिलती हैं।
➤ ∠AOC और ∠BOD विपरीत कोण हैं।
➤ ∠AOC + ∠AOD = 180° (रेखीय युग्म)
➤ ∠BOD + ∠AOD = 180°
➤ अतः ∠AOC = ∠BOD
➡️ अन्तिम उत्तर: विपरीत कोण बराबर होते हैं।
OR
🔵 सिद्ध कीजिए कि किसी रेखा पर यदि दो रेखाएँ लम्बवत हों, तो वे आपस में समान्तर होती हैं।
🟢 उत्तर
✳️ दिया गया: AB ⟂ PQ और CD ⟂ PQ
➤ तब ∠APQ = ∠CPQ = 90°
➤ अतः AB ∥ CD
➡️ अन्तिम उत्तर: दोनों रेखाएँ समान्तर होती हैं।

🔴 प्रश्न 30 (आन्तरिक विकल्प)
🔵 सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके विपरीत आन्तरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
🟢 उत्तर
✳️ मान लें ∆ABC, ∠ACD बाह्य कोण।
➤ ∠ACD = ∠A + ∠B (बाह्य कोण प्रमेय)
➡️ अन्तिम उत्तर: बाह्य कोण = विपरीत आन्तरिक कोणों का योग।
OR
🔵 सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है (रेखाएँ और कोण अध्याय की प्रमेय से)।
🟢 उत्तर
✳️ मान लें ∆ABC, ∠1, ∠2, ∠3
➤ AB ∥ DE, DE ∥ AC
➤ कोण संबंध से: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
➡️ अन्तिम उत्तर: तीनों कोणों का योग 180° है।

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मानचित्र

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